FUNCII DERIVABILE

FUNCII DERIVABILE

DEF. Se spune c funcia f:E(R are derivat n x0(E dac exist limita . (limita poate fi finit sau infinit). n acest caz aceast limit se noteaz cu f(x0) i se numete derivata funciei f n punctul x0.

DEF. Se spune c funcia f:E(R este derivabil n x0(E dac exist limita . (limita trebuie s fie finit ).

OBS. Interpretarea geometric a derivatei: derivata unei funcii ntr-un punct reprezint coeficientul unghiular (panta) al tangentei la grafic dus prin acel punct.

Ecuaia tangentei la graficul funciei f dus prin punctul A(x0;f(x0)) este: (1) y-f(x0)=f(x0)(x-x0) dac derivata funciei este finit; (2) x=x0 dac derivata funciei este infinit.

DEF. Se spune c funcia f:E(R are derivat la stnga n x0(E dac exist limita . (limita poate fi finit sau infinit). n acest caz aceast limit se noteaz cu fs(x0) i se numete derivata la stnga a funciei f n punctul x0.

DEF. Se spune c funcia f:E(R este derivabil la stnga n x0(E dac exist limita . (limita trebuie s fie finit ).

DEF. Se spune c funcia f:E(R are derivat la dreapta n x0(E dac exist limita . (limita poate fi finit sau infinit). n acest caz aceast limit se noteaz cu fd(x0) i se numete derivata la stnga a funciei f n punctul x0.

DEF. Se spune c funcia f:E(R este derivabil la dreapta n x0(E dac exist limita . (limita trebuie s fie finit ).

TEOREM. (1) Funcia f are derivat n x0 ( f are derivate laterale n x0 i f(x0)= fs(x0)= fd(x0).

(2) Funcia f este derivabil n x0 ( f este derivabil bilateral n x0 i f(x0)= fs(x0)= fd(x0)(R.DEF.Se spune c x0 este punct de inflexiune al funciei f dac funcia este continu n x0, are derivat n x0 (finit sau infinit) i dac graficul este convex (concav) de o parte a lui x0 i concav (convex) de cealalt parte.

DEF. Punctul A(x0;f(x0)) se numete punct de ntoarcere pentru graficul funciei f, dac derivatele laterale ale funciei f n x0 sunt infinite i diferite.

DEF. Punctul A(x0;f(x0)) se numete punct unghiular pentru graficul funciei f, dac derivatele laterale ale funciei f n x0 sunt diferite i cel puin una este finit.

DEF. Dac notm h=x(x0 atunci funcia dat de corespondena h(f(x0). h se numete difereniala funciei f n punctul x0 i se noteaz df(x0). df(x0)=f(x0). hDEF. df(x)=f(x). dx , adic difereniala lui f este egal cu produsul dintre derivata funciei f i difereniala argumentului.

TEOREM. Orice funcie derivabil ntr-un punct este continu n acel punct.

DEF. Se spune c funcia f este derivabil pe intervalul I dac este derivabil n fiecare punct al intervalului I.

OPERAII CU FUNCII DERIVABILE

Dac f,g sunt funcii derivabile (pe E), atunci i suma lor f+g este o funcie derivabil (pe E) i: (f+g)=f+g (derivata sumei este egal cu suma derivatelor).

Dac f,g sunt funcii derivabile (pe E), atunci i produsul lor f. g este o funcie derivabil (pe E) i: (f. g)=f.g+f .g (derivata produsului este egal cu prima funcie derivat nmulit cu a doua nederivat, plus prima funcie nederivat nmulit cu a doua derivat). Dac f este o funcie derivabil (pe E) i k este o constant real atunci i funcia (kf) este derivabil (pe E) i: (kf)=k.f (constanta iese n afara derivrii). Aplicaie: (f(g)=f(g.

Dac f,g sunt funcii derivabile (pe E), g(x)(0,( x(E atunci i ctul lor este o funcie derivabil (pe E) i: (derivata ctului este egal cu derivata numrtorului nmulit cu numitorul nederivat minus numrtorul nederivat nmulit cu derivata numitorului, totul supra numitorului la ptrat. Fie fij:R(R funcii derivabile. Atunci are loc formula de derivare a unui determinant: . Fie I, J intervale i f:I(J, g:J(R dou funcii. Dac f este derivabil pe I i g este derivabil pe J, atunci g(f este derivabil pe I i (g(f)=g(f). f. Derivata unei funcii compuse se obine nmulind derivatele funciilor care se compun n ordinea compunerii lor. Fie funcia f:I(J, I,J intervale, f continu i bijectiv. Dac f este derivabil n punctul x0 i f(x0)(0, atunci funcia invers f(1:J(I este derivabil n punctul f(x0)=y0 i mai mult: .TABEL CU DERIVATELE FUNCIILOR ELEMENTARE

NrFunciaDerivataDomeniul de derivabilitateFuncia compusDerivata

1.c (constant)0R

2.x1Ruu

3.xn (n(N)n. xn(1Run (n(N)n. un(1.u

4.xa (a(R)a. xa(1Df((0;()ua (a(R)a. ua(1.u

5.

R*

6.

(0;()

7.exexReueu .u

8.ax, a(0, a(1ax .lnaRauau . lna. u

9.

(0;()

10.sinxcosxRsinucosu.u

11.cosx(sinxRcosu(sinu.u

12.

13.

14.

(-1;1)

15.

(-1;1)

16.

R

17.

R

DEF. Funcia f:E(R se numete derivabil de ordinul I dac este derivabil. Funcia f:E(R se numete derivata de ordinul I a lui f.

DEF. Funcia f:E(R de dou ori derivabil n x0(E, dac: (1) f este derivabil ntr-o vecintate a lui x0; (2) f este derivabil n x0. .

DEF. Funcia f este de dou ori derivabil dac f este derivabil. (f) se numete derivata de ordinul doi.

DEF. Fie n(N. Funcia f se numete derivabil de ordinul n+1 dac este derivabil de ordinul n i dac derivata sa de ordinul n, f(n) este derivabil.

DEF. Funcia f se numete derivabil de ordinul +( sau funcie infinit derivabil dac este derivabil de orice ordin n, n(N.

TEOREM. (FORMULA LUI LEIBNITZ). Dac f i g sunt funcii n-derivabile atunci: .PAGE 3

_1091463532.unknown

_1091464146.unknown

_1091464393.unknown

_1091464466.unknown

_1091464790.unknown

_1091464872.unknown

_1091464879.unknown

_1091465802.unknown

_1091466629.unknown

_1091464891.unknown

_1091464874.unknown

_1091464801.unknown

_1091464781.unknown

_1091464783.unknown

_1091464479.unknown

_1091464442.unknown

_1091464454.unknown

_1091464404.unknown

_1091464230.unknown

_1091464366.unknown

_1091464374.unknown

_1091464245.unknown

_1091464205.unknown

_1091464219.unknown

_1091464187.unknown

_1091464006.unknown

_1091464066.unknown

_1091464123.unknown

_1091464023.unknown

_1091463816.unknown

_1091463825.unknown

_1091463811.unknown

_1091462428.unknown

_1091463387.unknown

_1091463513.unknown

_1091463523.unknown

_1091463512.unknown

_1091463373.unknown

_1091463378.unknown

_1091463279.unknown

_1091432394.unknown

_1091460325.unknown

_1091460745.unknown

_1091432433.unknown

_1091432272.unknown

_1091432343.unknown

_1091431350.unknown