Download - AN.4.A
FUNCII DERIVABILE
FUNCII DERIVABILE
DEF. Se spune c funcia f:E(R are derivat n x0(E dac exist limita . (limita poate fi finit sau infinit). n acest caz aceast limit se noteaz cu f(x0) i se numete derivata funciei f n punctul x0.
DEF. Se spune c funcia f:E(R este derivabil n x0(E dac exist limita . (limita trebuie s fie finit ).
OBS. Interpretarea geometric a derivatei: derivata unei funcii ntr-un punct reprezint coeficientul unghiular (panta) al tangentei la grafic dus prin acel punct.
Ecuaia tangentei la graficul funciei f dus prin punctul A(x0;f(x0)) este: (1) y-f(x0)=f(x0)(x-x0) dac derivata funciei este finit; (2) x=x0 dac derivata funciei este infinit.
DEF. Se spune c funcia f:E(R are derivat la stnga n x0(E dac exist limita . (limita poate fi finit sau infinit). n acest caz aceast limit se noteaz cu fs(x0) i se numete derivata la stnga a funciei f n punctul x0.
DEF. Se spune c funcia f:E(R este derivabil la stnga n x0(E dac exist limita . (limita trebuie s fie finit ).
DEF. Se spune c funcia f:E(R are derivat la dreapta n x0(E dac exist limita . (limita poate fi finit sau infinit). n acest caz aceast limit se noteaz cu fd(x0) i se numete derivata la stnga a funciei f n punctul x0.
DEF. Se spune c funcia f:E(R este derivabil la dreapta n x0(E dac exist limita . (limita trebuie s fie finit ).
TEOREM. (1) Funcia f are derivat n x0 ( f are derivate laterale n x0 i f(x0)= fs(x0)= fd(x0).
(2) Funcia f este derivabil n x0 ( f este derivabil bilateral n x0 i f(x0)= fs(x0)= fd(x0)(R.DEF.Se spune c x0 este punct de inflexiune al funciei f dac funcia este continu n x0, are derivat n x0 (finit sau infinit) i dac graficul este convex (concav) de o parte a lui x0 i concav (convex) de cealalt parte.
DEF. Punctul A(x0;f(x0)) se numete punct de ntoarcere pentru graficul funciei f, dac derivatele laterale ale funciei f n x0 sunt infinite i diferite.
DEF. Punctul A(x0;f(x0)) se numete punct unghiular pentru graficul funciei f, dac derivatele laterale ale funciei f n x0 sunt diferite i cel puin una este finit.
DEF. Dac notm h=x(x0 atunci funcia dat de corespondena h(f(x0). h se numete difereniala funciei f n punctul x0 i se noteaz df(x0). df(x0)=f(x0). hDEF. df(x)=f(x). dx , adic difereniala lui f este egal cu produsul dintre derivata funciei f i difereniala argumentului.
TEOREM. Orice funcie derivabil ntr-un punct este continu n acel punct.
DEF. Se spune c funcia f este derivabil pe intervalul I dac este derivabil n fiecare punct al intervalului I.
OPERAII CU FUNCII DERIVABILE
Dac f,g sunt funcii derivabile (pe E), atunci i suma lor f+g este o funcie derivabil (pe E) i: (f+g)=f+g (derivata sumei este egal cu suma derivatelor).
Dac f,g sunt funcii derivabile (pe E), atunci i produsul lor f. g este o funcie derivabil (pe E) i: (f. g)=f.g+f .g (derivata produsului este egal cu prima funcie derivat nmulit cu a doua nederivat, plus prima funcie nederivat nmulit cu a doua derivat). Dac f este o funcie derivabil (pe E) i k este o constant real atunci i funcia (kf) este derivabil (pe E) i: (kf)=k.f (constanta iese n afara derivrii). Aplicaie: (f(g)=f(g.
Dac f,g sunt funcii derivabile (pe E), g(x)(0,( x(E atunci i ctul lor este o funcie derivabil (pe E) i: (derivata ctului este egal cu derivata numrtorului nmulit cu numitorul nederivat minus numrtorul nederivat nmulit cu derivata numitorului, totul supra numitorului la ptrat. Fie fij:R(R funcii derivabile. Atunci are loc formula de derivare a unui determinant: . Fie I, J intervale i f:I(J, g:J(R dou funcii. Dac f este derivabil pe I i g este derivabil pe J, atunci g(f este derivabil pe I i (g(f)=g(f). f. Derivata unei funcii compuse se obine nmulind derivatele funciilor care se compun n ordinea compunerii lor. Fie funcia f:I(J, I,J intervale, f continu i bijectiv. Dac f este derivabil n punctul x0 i f(x0)(0, atunci funcia invers f(1:J(I este derivabil n punctul f(x0)=y0 i mai mult: .TABEL CU DERIVATELE FUNCIILOR ELEMENTARE
NrFunciaDerivataDomeniul de derivabilitateFuncia compusDerivata
1.c (constant)0R
2.x1Ruu
3.xn (n(N)n. xn(1Run (n(N)n. un(1.u
4.xa (a(R)a. xa(1Df((0;()ua (a(R)a. ua(1.u
5.
R*
6.
(0;()
7.exexReueu .u
8.ax, a(0, a(1ax .lnaRauau . lna. u
9.
(0;()
10.sinxcosxRsinucosu.u
11.cosx(sinxRcosu(sinu.u
12.
13.
14.
(-1;1)
15.
(-1;1)
16.
R
17.
R
DEF. Funcia f:E(R se numete derivabil de ordinul I dac este derivabil. Funcia f:E(R se numete derivata de ordinul I a lui f.
DEF. Funcia f:E(R de dou ori derivabil n x0(E, dac: (1) f este derivabil ntr-o vecintate a lui x0; (2) f este derivabil n x0. .
DEF. Funcia f este de dou ori derivabil dac f este derivabil. (f) se numete derivata de ordinul doi.
DEF. Fie n(N. Funcia f se numete derivabil de ordinul n+1 dac este derivabil de ordinul n i dac derivata sa de ordinul n, f(n) este derivabil.
DEF. Funcia f se numete derivabil de ordinul +( sau funcie infinit derivabil dac este derivabil de orice ordin n, n(N.
TEOREM. (FORMULA LUI LEIBNITZ). Dac f i g sunt funcii n-derivabile atunci: .PAGE 3
_1091463532.unknown
_1091464146.unknown
_1091464393.unknown
_1091464466.unknown
_1091464790.unknown
_1091464872.unknown
_1091464879.unknown
_1091465802.unknown
_1091466629.unknown
_1091464891.unknown
_1091464874.unknown
_1091464801.unknown
_1091464781.unknown
_1091464783.unknown
_1091464479.unknown
_1091464442.unknown
_1091464454.unknown
_1091464404.unknown
_1091464230.unknown
_1091464366.unknown
_1091464374.unknown
_1091464245.unknown
_1091464205.unknown
_1091464219.unknown
_1091464187.unknown
_1091464006.unknown
_1091464066.unknown
_1091464123.unknown
_1091464023.unknown
_1091463816.unknown
_1091463825.unknown
_1091463811.unknown
_1091462428.unknown
_1091463387.unknown
_1091463513.unknown
_1091463523.unknown
_1091463512.unknown
_1091463373.unknown
_1091463378.unknown
_1091463279.unknown
_1091432394.unknown
_1091460325.unknown
_1091460745.unknown
_1091432433.unknown
_1091432272.unknown
_1091432343.unknown
_1091431350.unknown