formule matematica

Cuprins

1 Formule de calcul prescurtat 31.1 Desfacerea parantezelor/Descompuneri in factori . . . . . . . . 31.2 Expresii simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Sume remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Formula radicalilor compusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Metoda inductiei matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Functii 5

3 Progresii 93.1 Progresii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Progresii geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Numere reale 104.1 Modulul (valoarea absoluta) unui numar real . . . . . . . . . . 104.2 Ecuatii si inecuatii cu module . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Partea ıntreaga si partea fractionara ale unui numar real . . . 124.4 Functia de gradul ıntai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Functia de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.6 Sisteme de ecuatii reductibile la ecuatii de gradul al doilea . . 224.7 Puteri cu exponent natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.8 Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.9 Formule de calcul cu puteri si radicali . . . . . . . . . . . . . . 264.10 Ecuatii cu puteri; ecuatii cu radicali (ecuatii irationale) . . . . 274.11 Medii aritmetice, geometrice, armonice, patratice . . . . . . . 284.12 Inegalitati remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.13 Functia exponentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.14 Functia logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.15 Ecuatii si inecuatii exponentiale si logaritmice . . . . . . . . . 34

5 Geometrie sintetica 355.1 Triunghiul dreptunghic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Triunghiul oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3 Patrulatere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4 Poligoane regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Trigonometrie 446.1 Functiile trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2 Formule trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.3 Ecuatii trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

7 Geometrie vectoriala 53

8 Geometrie analitica 58

9 Numere complexe 629.1 Numere complexe sub forma algebrica . . . . . . . . . . . . . 629.2 Numere complexe sub forma trigonometrica . . . . . . . . . . 639.3 Interpretarea geometrica a unui nr. complex . . . . . . . . . . 649.4 Ecuatii binome (radacinile de ordinul n ale unui nr. complex) 659.5 Ecuatia de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.6 Ecuatii bipatrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10 Combinatorica 6710.1 Produsul cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.2 Multimi ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.3 Permutari, aranjamente, combinari . . . . . . . . . . . . . . . 6710.4 Formule de numarare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6810.5 Formule combinatoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.6 Binomul lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.7 Sume combinatoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2

1 Formule de calcul prescurtat

1.1 Desfacerea parantezelor/Descompuneri in factori

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2;

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2;

(a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac + 2bc;

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3;

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3;

a2 − b2 = (a− b)(a + b);

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2);

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab+ b2);

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ an−3b2 + · · ·+ abn−2 + bn−1);

n = impar ⇒ an + bn = (a + b)(an−1 − an−2b+ an−3b2 − · · · − abn−2 + bn−1);

1.2 Expresii simetrice

a2 + b2 = (a+ b)2 − 2ab;

a2 + b2 + c2 = (a+ b+ c)2 − 2(ab+ ac + bc);

a3 + b3 = (a+ b)3 − 3ab(a+ b);

a4 + b4 = (a2 + b2)2 − 2a2b2;

1.3 Sume remarcabile

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2;

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6;

13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =

[n(n + 1)

2

]2;

1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xk =xk+1 − 1

x− 1, pt. x �= 1;

3

1.4 Formula radicalilor compusi

√a±

√b =

√a+ c

2±

√a− c

2, unde c =

√a2 − b;

1.5 Metoda inductiei matematice

Fie P (n) o propozitie, unde n ∈ N. Pt. a demonstra ca

P (n) este adevarata ∀n ≥ n0, n ∈ N,

unde n0 ∈ N, se poate utiliza principiul inductiei matematice, ın unadin urmatoarele doua variante:

Varianta 1. Se parcurg urmatoarele doua etape:

• Etapa 1. (initializare) ”P (n0)”: verificam ca P (n0) este adevarata;

• Etapa 2. (pasul inductiv) ”P (k) ⇒ P (k + 1)”: presupunem ca P (k)este adevarata, k ≥ n0 fiind arbitrar fixat, si demonstram ca P (k + 1)este adevarata.

Varianta 2. Se parcurg urmatoarele doua etape:

• Etapa 1. (initializare) ”P (n0)”: verificam ca P (n0) este adevarata;

• Etapa 2. (pasul inductiv) ”P (n0), . . . , P (k) ⇒ P (k + 1)”: presupu-nem ca P (n0), . . . , P (k) sunt adevarate, k ≥ n0 fiind arbitrar fixat, sidemonstram ca P (k + 1) este adevarata.

Obs. Daca ın Etapa 2 pt. a demonstra ca P (k + 1) este adevarata estenevoie sa utilizam faptul ca P (k−1) si P (k) sunt adevarate, atunci la Etapa1 trebuie sa verificam ca este adevarata nu doar P (n0) ci si P (n0 + 1), iarla Etapa 2 consideram k ≥ n0 + 1 (deoarece k = n0 + 1 este prima valoarepentru care au sens P (k − 1) si P (k)).

4

2 Functii

Definitia notiunii de functie:Fie A si B doua multimi nevide. O functie f definita pe A cu valori ın

B este o lege de corespondenta prin care fiecarui element x ∈ A i se asociazaun unic element y ∈ B, notat prin y = f(x) (y = f(x) se numeste valoareafunctiei f ın punctul x sau imaginea lui x prin functia f). Notamf : A → B. Multimea A se numeste domeniul de definitie al functiei f ,iar multimea B se numeste codomeniul functiei f .

Imaginea functiei f : A → B este multimea

Im f = f(A) = {f(x) | x ∈ A}.

Graficul functiei f : A → B este multimea

Gf = {(x, f(x)) | x ∈ A}.

Functie constanta f : A → B a.ı. ∃c ∈ B a.ı. f(x) = c ∀x ∈ A.Compunerea functiilor: Fie f : A → B si g : B → C doua functii.

Compusa lui g cu f este functia

g ◦ f : A → C, (g ◦ f)(x) = g(f(x)), ∀x ∈ A.

Functii injective, surjective, bijective, inversabile:Fie f : A → B o functie.

• f se numeste injectiva daca ∀x1, x2 ∈ A, x1 �= x2 ⇒ f(x1) �= f(x2).

• f se numeste surjectiva daca ∀y ∈ B ∃ x ∈ A a.ı. f(x) = y.

• f se numeste bijectiva daca este si injectiva si surjectiva.

• f se numeste inversabila daca exista o functie g : B → A a.ı.

(f ◦ g)(x) = x, ∀x ∈ B si (g ◦ f)(x) = x, ∀x ∈ A.

In acest caz functia g este unica, se noteaza g = f−1 si se numesteinversa functiei f .

Caracterizari ale functiilor injective, surjective, bijective, inver-sabile:

Fie f : A → B o functie.

5

• f este injectiva

⇔ ∀x1, x2 ∈ A, x1 �= x2 ⇒ f(x1) �= f(x2)

⇔ ∀x1, x2 ∈ A, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

⇔ ∀y ∈ B ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie x ∈ A

⇔ orice paralela la axa Ox dusa prin B intersecteaza Gf ın cel mult un punct.

• f este surjectiva

⇔ Im f = B

⇔ ∀y ∈ B ecuatia f(x) = y are cel putin o solutie x ∈ A

⇔ orice paralela la axa Ox dusa prin B intersecteaza Gf ın cel putin un punct.

• f este bijectiva

⇔ f este si injectiva si surjectiva

⇔ ∀y ∈ B ecuatia f(x) = y are exact o solutie x ∈ A

⇔ orice paralela la axa Ox dusa prin B intersecteaza Gf ın exact un punct.

• f este inversabila ⇔ f este bijectiva

⇔ ∀y ∈ B ecuatia f(x) = y are exact o solutie x ∈ A

Mai mult, ın acest caz inversa lui f este f−1 : B → A, f−1(y) = x,

unde x ∈ A este solutia unica a ecuatiei f(x) = y.

• Daca f este inversabila, atunci Gf si Gf−1 sunt simetrice fata de primabisectoare (dreapta y = x), adica (x, y) ∈ Gf ⇔ (y, x) ∈ Gf−1 .

Functii monotone:Fie f : A → B o functie, unde A,B ⊆ R.

• f se numeste (monoton) crescatoare daca ∀x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒f(x1) ≤ f(x2).

• f se numeste (monoton) descrescatoare daca ∀x1, x2∈A, x1< x2 ⇒f(x1) ≥ f(x2).

• f se numeste strict crescatoare daca ∀x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒f(x1) < f(x2).

• f se numeste strict descrescatoare daca ∀x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒f(x1) > f(x2).

6

• f se numeste monotona daca este monoton crescatoare sau monotondescrescatoare.

• f se numeste strict monotona daca este strict crescatoare sau strictdescrescatoare.

Functii marginite:Fie f : A → B o functie, unde B ⊆ R. f se numeste marginita daca

∃m,M ∈ R a.ı. m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ A.

Centre de simetrie/axe de simetrie:Fie f : A → B o functie, unde A,B ⊆ R.

• Un punct (x0, y0) se numeste centru de simetrie pt. Gf (si spunem caGf este simetric fata de punctul (x0, y0)) daca pt. orice (x, y) ∈ Gf

avem (x′, y′) ∈ Gf , unde (x′, y′) este simetricul lui (x, y) fata de (x0, y0).

• Punctul (x0, y0) este centru de simetrie pt. Gf

⇔ pt. orice t ∈ R a.ı. x0 + t ∈ A avem x0 − t ∈ A si f(x0 + t) + f(x0 − t) = 2y0

⇔ pt. orice x ∈ A avem 2x0 − x ∈ A si f(2x0 − x) = 2y0 − f(x).

• O dreapta d se numeste axa de simetrie pt. Gf (si spunem ca Gf

este simetric fata de dreapta d) daca pt. orice (x, y) ∈ Gf avem(x′, y′) ∈ Gf , unde (x′, y′) este simetricul lui (x, y) fata de d.

• Dreapta d : ax+ by + c = 0 este axa de simetrie pt. Gf

⇔ pt. orice x ∈ A avem(b2 − a2)x− 2abf(x)− 2ac

a2 + b2∈ A si

f

((b2 − a2)x− 2abf(x)− 2ac

a2 + b2

)=

−2abx + (a2 − b2)f(x)− 2bc

a2 + b2∈ B.

• Caz particular: dreapta verticala x = x0 este axa de simetrie pt. Gf

⇔ pt. orice t ∈ R a.ı. x0 + t ∈ A avem x0 − t ∈ A si f(x0 + t) = f(x0 − t)

⇔ pt. orice x ∈ A avem 2x0 − x ∈ A si f(2x0 − x) = f(x).

Functii pare/impare:Fie f : A → B o functie, unde A,B ⊆ R, A fiind o multime simetrica,

adica pt. orice x ∈ A rezulta ca −x ∈ A.

• f se numeste para daca f(−x) = f(x), ∀x ∈ A.

7

• f se numeste impara daca f(−x) = −f(x), ∀x ∈ A.

• f este para ⇔ Gf este simetric fata de axa Oy.

• f este impara ⇔ Gf este simetric fata de originea axelor.

Functii periodice:Fie f : A → B o functie, unde A ⊆ R.

• f se numeste periodica daca ∃T ∈ R∗ a.ı. f(x+ T ) = f(x), ∀x ∈ A.Un numar T cu aceasta proprietate se numeste perioada pt. f .

• Daca f are o perioada T0 a.ı. T0 = min{T | T > 0, T = perioada pt. f},atunci T0 se numeste perioada principala a lui f .

Functii convexe/concave:Fie f : A → B o functie, unde A,B ⊆ R, A fiind un interval.

• f se numeste strict convexa daca ∀x1, x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem

f((1− t)x1 + tx2) < (1− t)f(x1) + tf(x2)

(adica graficul lui f cuprins ıntre oricare doua puncte (x1, f(x1)) si(x2, f(x2)) este situat sub segmentul care uneste aceste doua puncte).

• f se numeste convexa daca ∀x1, x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem

f((1− t)x1 + tx2) ≤ (1− t)f(x1) + tf(x2).

• f se numeste strict concava daca ∀x1, x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem

f((1− t)x1 + tx2) > (1− t)f(x1) + tf(x2)

(adica graficul lui f cuprins ıntre oricare doua puncte (x1, f(x1)) si(x2, f(x2)) este situat deasupra segmentului care uneste aceste douapuncte).

• f se numeste concava daca ∀x1, x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem

f((1− t)x1 + tx2) ≥ (1− t)f(x1) + tf(x2).

8

3 Progresii

3.1 Progresii aritmetice

a, b, c = pr. aritm. ⇔ b =a+ c

2⇔ 2b = a + c;

(an)n = pr. aritm. ⇔ an+1 − an = r ∀n ⇔ 2an = an−1 + an+1 ∀n;a2 = a1 + r; a3 = a2 + r = a1 + 2r; . . . (r = ratia)

an = a1 + (n− 1)r ; an = ak + (n− k)r;

Sn =(a1 + an)n

2(unde Sn = a1 + a2 + · · ·+ an);

3.2 Progresii geometrice

a, b, c = pr. geom. (abc �= 0) ⇔ |b| = √ac ⇔ b2 = ac ;

(an)n = pr. geom. (a1 �= 0, q �= 0) ⇔ an+1

an= q ∀n ⇔ a2n = an−1an+1 ∀n;

a2 = a1q; a3 = a2q = a1q2; . . . (q = ratia, q �= 0)

an = a1qn−1 ; an = akq

n−k;

Sn =a1(q

n − 1)

q − 1, pt. q �= 1 (unde Sn = a1 + a2 + · · ·+ an);

9

4 Numere reale

4.1 Modulul (valoarea absoluta) unui numar real

Definitia modulului (formula de explicitare):

|x| ={

x, daca x ≥ 0

−x, daca x < 0;

Paritate:Functia modul este para:

| − x| = |x|;Semnul:

x −∞ 0 ∞

|x| + 0 +

Monotonia:

x −∞ 0 ∞

|x| ∞ ↘ 0 ↗ ∞

Proprietati:

|x| ≥ 0;

|x| = 0 ⇔ x = 0;

|x · y| = |x| · |y|;∣∣∣∣xy∣∣∣∣ = |x|

|y| (y �= 0);

|xn| = |x|n, ∀n ∈ N;

|x+ y| ≤ |x|+ |y|;∣∣|x| − |y|∣∣ ≤ |x± y|;|x|2 = x2 ;

10

4.2 Ecuatii si inecuatii cu module

Ecuatia/inecuatia Rezolvare (ın R)

|x| = a

a < 0 ⇒ x ∈ ∅;

a = 0 ⇒ x = 0;

a > 0 ⇒ x = ±a

|x| < aa ≤ 0 ⇒ x ∈ ∅;

a > 0 ⇒ x ∈ (−a, a)

|x| ≤ a

a < 0 ⇒ x ∈ ∅;

a = 0 ⇒ x = 0;

a > 0 ⇒ x ∈ [−a, a]

|x| > a

a < 0 ⇒ x ∈ R;

a = 0 ⇒ x ∈ R \ {0};

a > 0 ⇒ x ∈ (−∞,−a) ∪ (a,∞)

|x| ≥ aa ≤ 0 ⇒ x ∈ R;

a > 0 ⇒ x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)

Ecuatiile si inecuatiile ın care necunoscuta face parte din unul sau maimulte module pot fi rezolvate prin explicitarea acestor module.

11

4.3 Partea ıntreaga si partea fractionara ale unui numarreal

Definitii:Fie x ∈ R.

• Partea ıntreaga a lui x: [x] = cel mai mare numar ıntreg mai micsau egal cu x;

• Partea fractionara a lui x: {x} = x− [x] ;

Proprietati:

[x] ∈ Z, [x] ≤ x < [x] + 1 ;

0 ≤ {x} < 1

(⇒ partea fractionara este o functie marginita);

k ∈ Z ⇒ [x+ k] = [x] + k;

k ∈ Z ⇒ {x+ k} = {x}(⇒ partea fractionara este o functie periodica de perioada principala 1);

[x] + [y] ≤ [x+ y] ≤ [x] + [y] + 1;

[x] +

[x+

1

2

]= [2x] ;

[x] +

[x+

1

n

]+

[x+

2

n

]+ · · ·+

[x+

n− 1

n

]= [nx] (n ∈ N, n ≥ 2);

12

4.4 Functia de gradul ıntai

Are forma f : R → R, f(x) = ax+ b, unde a, b ∈ R, a �= 0.Graficul sau este o dreapta.

Semnul:

x −∞ − b

a∞

ax+ b, a > 0 − 0 +

ax+ b, a < 0 + 0 −

Monotonia:

x −∞ ∞

ax+ b, a > 0 −∞ ↗ ∞

ax+ b, a < 0 ∞ ↘ −∞

13

4.5 Functia de gradul al doilea

Are forma f : R → R, f(x) = ax2 + bx+ c, unde a, b, c ∈ R, a �= 0.Graficul sau este o parabola. Varful parabolei este

V

(− b

2a,−Δ

4a

),

{V = punct de minim pt. Gf , daca a > 0

V = punct de maxim pt. Gf , daca a < 0,

undeΔ = b2 − 4ac

se numeste determinantul (discriminantul) functiei f (sau al ecuatiei degradul al doilea f(x) = 0).

Axa de simetrie a parabolei (graficului lui f): x = − b

2a;

Forma canonica:

ax2 + bx+ c = a

(x+

b

2a

)2

− Δ

4a.

Monotonia:

x −∞ − b

2a∞

ax2 + bx+ c, a > 0 ∞ ↘ −Δ

4a↗ ∞

ax2 + bx+ c, a < 0 −∞ ↗ −Δ

4a↘ −∞

Radacinile (solutiile) functiei f (sau ale ecuatiei de gradul aldoilea f(x) = 0):

• Daca Δ > 0 ecuatia are doua radacini reale distincte

x1,2 =−b±√

Δ

2a;

• Daca Δ = 0 ecuatia are o radacina reala dubla (adica doua radacinireale egale)

x1 = x2 =−b

2a;

14

• Daca Δ < 0 ecuatia nu are are radacini reale. Ea are doua radacinicomplexe conjugate

x1,2 =−b± i

√−Δ

2a, unde i ∈ C \ R, i2 = −1.

Descompunerea ın factori:

ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2) .

Semnul:f are semn contrar lui a ıntre radacini si semnul lui a ın rest. Mai precis:

• Daca Δ > 0, fie x1 < x2 radacinile functiei f .

x −∞ x1 x2 ∞

ax2 + bx+ c, a > 0 + 0 − 0 +

ax2 + bx+ c, a < 0 − 0 + 0 −

• Daca Δ = 0:

x −∞ − b

2a∞

ax2 + bx+ c, a > 0 + 0 +

ax2 + bx+ c, a < 0 − 0 −

• Daca Δ < 0:

x −∞ ∞

ax2 + bx+ c, a > 0 +

ax2 + bx+ c, a < 0 −

15

Relatiile lui Viete: ⎧⎪⎨⎪⎩x1 + x2 = − b

a

x1 x2 =c

a

;

Notam {S = x1 + x2

P = x1 x2

;

Avem {x21 + x2

2 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = S2 − 2P

x31 + x3

2 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2) = S3 − 3PS

;

Ecuatia de gradul al doilea avand radacinile x1 si x2:

x2 − Sx+ P = 0 .

Natura radacinilor:

Cerinta Conditii echivalente

x1, x2 ∈ R (radacini reale) Δ ≥ 0

x1, x2 ∈ R, x1 �= x2 (radacini reale si distincte) Δ > 0

x1, x2 �∈ R (ec. nu are radacini reale) Δ < 0

x1 = x2 (o radacina (reala); radacini (reale) egale) Δ = 0

x1 �= x2 (radacini (complexe) distincte) Δ �= 0

16

Semnul radacinilor (reale):

Fie S = − b

asi P =

c

a.

Cerinta Conditii echivalente

x1, x2 ≥ 0 Δ ≥ 0, S ≥ 0, P ≥ 0

x1, x2 > 0 Δ ≥ 0, S > 0, P > 0

x1, x2 ≤ 0 Δ ≥ 0, S ≤ 0, P ≥ 0

x1, x2 < 0 Δ ≥ 0, S < 0, P > 0

x1 ≥ 0, x2 ≤ 0 P ≤ 0

x1 > 0, x2 < 0 P < 0

Pozitionarea radacinilor:Fie α, β ∈ R, α < β.

Cerinta Conditii echivalente Alte conditii echivalente

x1, x2 ≥ α

Δ ≥ 0,

− b

2a≥ α,

af(α) ≥ 0

Δ ≥ 0,

(x1 − α) + (x2 − α) ≥ 0,

(x1 − α)(x2 − α) ≥ 0

x1, x2 > α

Δ ≥ 0,

− b

2a> α,

af(α) > 0

Δ ≥ 0,

(x1 − α) + (x2 − α) > 0,

(x1 − α)(x2 − α) > 0

17

Cerinta Conditii echivalente Alte conditii echivalente

x1, x2 ≤ α

Δ ≥ 0,

− b

2a≤ α,

af(α) ≥ 0

Δ ≥ 0,

(x1 − α) + (x2 − α) ≤ 0,

(x1 − α)(x2 − α) ≥ 0

x1, x2 < α

Δ ≥ 0,

− b

2a< α,

af(α) > 0

Δ ≥ 0,

(x1 − α) + (x2 − α) < 0,

(x1 − α)(x2 − α) > 0

Cerinta Conditii echivalente Alte conditii echivalente

x1 ≤ α ≤ x2 af(α) ≤ 0 (x1 − α)(x2 − α) ≤ 0

x1 < α < x2 af(α) < 0 (x1 − α)(x2 − α) < 0

Cerinta Conditii echivalente Alte conditii echivalente

x1, x2 ∈ [α, β]

Δ ≥ 0,

− b

2a∈ [α, β]

af(α) ≥ 0, af(β) ≥ 0

x1, x2 ≥ α,

x1, x2 ≤ β

x1, x2 ∈ (α, β)

Δ ≥ 0,

− b

2a∈ (α, β)

af(α) > 0, af(β) > 0

x1, x2 > α,

x1, x2 < β

18

Cerinta Conditii echivalente Alte conditii echivalente

x1 ∈ (α, β), x2 �∈ [α, β] f(α)f(β) < 0

{x1, x2 > α

x1 < β < x2

sau

{x2 < α < x1

x1, x2 < β

Conditii privind semnul functiei pe intervale fixate:

Cerinta Conditii echivalente

ax2 + bx+ c ≥ 0, ∀x ∈ R Δ ≤ 0, a > 0

ax2 + bx+ c > 0, ∀x ∈ R Δ < 0, a > 0

ax2 + bx+ c ≤ 0, ∀x ∈ R Δ ≤ 0, a < 0

ax2 + bx+ c < 0, ∀x ∈ R Δ < 0, a < 0

Fie α ∈ R.

Cerinta Conditii echivalente

ax2 + bx+ c ≥ 0, ∀x ≥ α

{Δ ≤ 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a > 0

x1, x2 ≤ α

ax2 + bx+ c > 0, ∀x ≥ α

{Δ < 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a > 0

x1, x2 < α

ax2 + bx+ c ≤ 0, ∀x ≥ α

{Δ ≤ 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a < 0

x1, x2 ≤ α

ax2 + bx+ c < 0, ∀x ≥ α

{Δ < 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a < 0

x1, x2 < α

19

Cerinta Conditii echivalente

ax2 + bx+ c ≥ 0, ∀x > α

{Δ ≤ 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a > 0

x1, x2 ≤ α

ax2 + bx+ c > 0, ∀x > α

{Δ < 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a > 0

x1, x2 ≤ α

ax2 + bx+ c ≤ 0, ∀x > α

{Δ ≤ 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a < 0

x1, x2 ≤ α

ax2 + bx+ c < 0, ∀x > α

{Δ < 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a < 0

x1, x2 ≤ α

Cerinta Conditii echivalente

ax2 + bx+ c ≥ 0, ∀x ≤ α

{Δ ≤ 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a > 0

x1, x2 ≥ α

ax2 + bx+ c > 0, ∀x ≤ α

{Δ < 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a > 0

x1, x2 > α

ax2 + bx+ c ≤ 0, ∀x ≤ α

{Δ ≤ 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a < 0

x1, x2 ≥ α

ax2 + bx+ c < 0, ∀x ≤ α

{Δ < 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a < 0

x1, x2 > α

20

Cerinta Conditii echivalente

ax2 + bx+ c ≥ 0, ∀x < α

{Δ ≤ 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a > 0

x1, x2 ≥ α

ax2 + bx+ c > 0, ∀x < α

{Δ < 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a > 0

x1, x2 ≥ α

ax2 + bx+ c ≤ 0, ∀x < α

{Δ ≤ 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a < 0

x1, x2 ≥ α

ax2 + bx+ c < 0, ∀x < α

{Δ < 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a < 0

x1, x2 ≥ α

Fie α, β ∈ R, α < β.

Cerinta Conditii echivalente

ax2 + bx+ c ≥ 0,

∀x ∈ [α, β]

{Δ ≤ 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a > 0

x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β

sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a < 0

α, β ∈ [x1, x2]

ax2 + bx+ c > 0,

∀x ∈ [α, β]

{Δ < 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a > 0

x1, x2 < α sau x1, x2 > β

sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a < 0

α, β ∈ (x1, x2)

ax2 + bx+ c ≤ 0,

∀x ∈ [α, β]

{Δ ≤ 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a < 0

x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β

sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a > 0

α, β ∈ [x1, x2]

ax2 + bx+ c < 0,

∀x ∈ [α, β]

{Δ < 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a < 0

x1, x2 < α sau x1, x2 > β

sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a > 0

α, β ∈ (x1, x2)

21

Cerinta Conditii echivalente

ax2 + bx+ c ≥ 0,

∀x ∈ (α, β)

{Δ ≤ 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a > 0

x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β

sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a < 0

α, β ∈ [x1, x2]

ax2 + bx+ c > 0,

∀x ∈ (α, β)

{Δ < 0

a > 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a > 0

x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β

sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a < 0

α, β ∈ [x1, x2]

ax2 + bx+ c ≤ 0,

∀x ∈ (α, β)

{Δ ≤ 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a < 0

x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β

sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a > 0

α, β ∈ [x1, x2]

ax2 + bx+ c < 0,

∀x ∈ (α, β)

{Δ < 0

a < 0sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0

a < 0

x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β

sau

⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0

a > 0

α, β ∈ [x1, x2]

4.6 Sisteme de ecuatii reductibile la ecuatii de gradulal doilea

Sisteme formate dintr-o ecuatie de gradul ıntai si o ecuatie degradul al doilea: {

ax+ by = c

dx2 + exy + fy2 + gx+ hy = k.

Se rezolva prin substitutie: x =c− by

a

(sau y =

c− ax

b

). . .

Obs. Analog se rezolva si sistemele formate dintr-o ecuatie de gradul ıntaisi o ecuatie de grad n ≥ 3.

Sisteme de ecuatii simetrice:{f(x, y) = 0

g(x, y) = 0,

unde f(x, y) si g(x, y) sunt polinoame simetrice, adica

{f(y, x) = f(x, y)

g(y, x) = g(x, y), ∀x, y.

22

Notand {x+ y = S

xy = P

se obtine un sistem cu necunoscutele S si P ; dupa rezolvarea acestuia sedetermina x si y ca fiind radacinile ecuatiei de gradul al doilea

t2 − St+ P = 0({x = t1y = t2

sau

{x = t2y = t1

).

Sisteme de ecuatii omogene de gradul al doilea:{a1x

2 + b1xy + c1y2 = d1

a2x2 + b2xy + c2y

2 = d2.

Se reduce termenul liber (de exemplu se ınmultesc cele doua ecuatii cu d2,respectiv cu −d1 si se aduna ecuatiile obtinute), rezultand o ecuatie omogenade forma

ax2 + bxy + cy2 = 0.

Pentru y �= 0, ımpartind prin y2 ⇒ a

(x

y

)2

+ b · xy+ c = 0; notam

x

y= t,

determinam t, apoi rezolvam sistemul format din ecuatiax

y= t si una din

cele doua ecuatii ale sistemului initial.Cazul y = 0 se rezolva prin ınlocuire ın sistemul initial.Obs. Analog se rezolva si sistemele de ecuatii omogene de grad n ≥ 3.

23

4.7 Puteri cu exponent natural

Fie n ∈ N∗.

Paritate:Functia xn este para pentru n = par, respectiv impara pentru n = impar:

n = par ⇒ (−x)n = xn;

n = impar ⇒ (−x)n = −xn;

Semnul:

x −∞ 0 ∞

xn, n = par + 0 +

xn, n = impar − 0 +

Monotonia:

x −∞ 0 ∞

xn, n = par ∞ ↘ 0 ↗ ∞

xn, n = impar −∞ ↗ 0 ↗ ∞

24

4.8 Radicali

Fie n ∈ N∗, n ≥ 2.

Functia radical este inversa functiei putere:

Functia (bijectiva) Inversa Mon. Formule

f : [0,∞) → [0,∞),

f(x) = xn,

n = par

f−1 : [0,∞) → [0,∞),

f−1(x) = n√x,

n = par

↗n√xn = |x|, pt.n = par, x ∈ R;

( n√x)n = x, pt.n = par, x ≥ 0;

f : R → R,

f(x) = xn,

n = impar

f−1 : R → R,

f−1(x) = n√x,

n = impar

↗n√xn = x, pt.n = impar, x ∈ R;

( n√x)n = x, pt.n = impar, x ∈ R;

n√−x = − n

√x, pt.n = impar, x ∈ R;

Notam√x = 2

√x , ∀x ≥ 0;

⇒

⎧⎪⎨⎪⎩√x2 = |x|, ∀x ∈ R ;

(√x)2 = x, ∀x ≥ 0 ;

Domeniul de definitie:n√x, n = par : x ≥ 0;

n√x, n = impar : x ∈ R;

Semnul:

x 0 ∞

n√x, n = par 0 +

x −∞ 0 ∞

n√x, n = impar − 0 +

Monotonia:

x 0 ∞

n√x, n = par 0 ↗ ∞

x −∞ 0 ∞

n√x, n = impar −∞ ↗ 0 ↗ ∞

25

4.9 Formule de calcul cu puteri si radicali

Puteri cu exponent rational:

x0 = 1, ∀x �= 0;

x−1 =1

x, ∀x �= 0;

x−n =1

xn, ∀x �= 0, ∀n ∈ N∗;

x12 =

√x, ∀x ≥ 0;

x1n = n

√x, ∀n ∈ N, n ≥ 2 (x ≥ 0 pt. n = par);

xmn = n

√xm, ∀n,m ∈ N, n ≥ 2 (x ≥ 0 pt. n = par);

x−mn =

1n√xm

, ∀x �= 0, ∀n,m ∈ N, n ≥ 2 (x ≥ 0 pt. n = par);

Operatii cu puteri:

xa · xb = xa+b;

xa

xb= xa−b (x �= 0);

(xa)b = xab;

xa · ya = (xy)a;

xa

ya=

(x

y

)a

(y �= 0);

Operatii cu radicali:Fie n,m ∈ N∗, n ≥ 2, m ≥ 2.

n√x · n

√y = n

√xy (x ≥ 0, y ≥ 0 pt. n = par);

n√xy = n

√|x| · n

√|y| pt. n = par si xy ≥ 0;

n√x

n√y= n

√x

y(y �= 0) (x ≥ 0, y > 0 pt. n = par);

n

√x

y=

n√|x|n√|y| pt. n = par si xy ≥ 0, y �= 0;

( n√x)m = n

√xm (x ≥ 0 pt. n = par);

n√xm = ( n

√|x|)m pt. n,m = pare;

m

√n√x = mn

√x (x ≥ 0 pt. m · n = par);

26

4.10 Ecuatii cu puteri; ecuatii cu radicali (ecuatii irationale)

Fie n ∈ N∗, n ≥ 2.

Ecuatia Conditii de existenta Rezolvare (ın R)

xn = a, n = par —

a < 0 ⇒ x ∈ ∅;

a = 0 ⇒ x = 0;

a > 0 ⇒ x = ± n√a

xn = a, n = impar — x = n√a

n√x = a, n = par x ≥ 0

a < 0 ⇒ x ∈ ∅;

a ≥ 0 ⇒ x = an

n√x = a, n = impar — x = an

n√a + x+

m√b− x = c.

Dupa impunerea eventualelor conditii de existenta, notand

{n√a + x = u

m√b− x = v

⇒{u+ v = c

x = un − a = b− vm. . .

27

4.11 Medii aritmetice, geometrice, armonice, patratice

Fie a1, a2, . . . , an ∈ R, unde n ∈ N, n ≥ 2.

• Media aritmetica a numerelor a1, a2, . . . , an este

Ma =1

n

n∑i=1

ai =a1 + a2 + · · ·+ an

n;

• Media geometrica a numerelor a1, a2, . . . , an este

Mg = n√a1a2 . . . an (a1a2 . . . an ≥ 0 pt. n = par);

• Media armonica a numerelor a1, a2, . . . , an este

Mh =n

n∑i=1

1

ai

=n

1

a1+

1

a2+ · · ·+ 1

an

(a1, a2, . . . , an �= 0);

• Media patratica a numerelor a1, a2, . . . , an este

Mp =

√√√√ 1

n

n∑i=1

a2i =

√a21 + a22 + · · ·+ a2n

n.

28

4.12 Inegalitati remarcabile

• Inegalitatea mediilor:

Fie a1, a2, . . . , an > 0 (n ∈ N, n ≥ 2). Atunci

min{a1, a2, . . . , an} ≤ Mh ≤ Mg ≤ Ma ≤ Mp ≤ max{a1, a2, . . . , an},iar egalitatile au loc daca si numai daca a1 = a2 = · · · = an.

• Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz:

Fie a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ R (n ∈ N, n ≥ 2). Atunci(n∑

i=1

aibi

)2

≤(

n∑i=1

a2i

)·(

n∑i=1

b2i

),

iar egalitatea are loc daca si numai daca

∃ k ∈ R a.ı. ai = kbi ∀i ∈ {1, . . . , n}.

• Inegalitatea lui Minkowski:

Fie a1, . . . , an, b1, . . . , bn ≥ 0 (n ∈ N, n ≥ 2). Atunci√√√√ n∑i=1

(ai + bi)2 ≤√√√√ n∑

i=1

a2i +

√√√√ n∑i=1

b2i ,

iar egalitatea are loc daca si numai daca

∃ k ∈ R a.ı. ai = kbi ∀i ∈ {1, . . . , n}.

• Inegalitatea lui Holder:

Fie a1, . . . , an, b1, . . . , bn≥0 (n ∈ N, n ≥ 2) si p, q∈(1,∞) a.ı.1

p+1

q=1.

Atunci

n∑i=1

aibi ≤(

n∑i=1

api

)1

p ·(

n∑i=1

bqi

)1

q,

iar egalitatea are loc daca si numai daca

∃ k ∈ R a.ı. api = kbqi ∀i ∈ {1, . . . , n}.Obs. Luand p = q = 2 ın inegalitatea lui Holder obtinem inegalitateaCauchy-Buniakowski-Schwarz.

29

• Inegalitatea lui Jensen:

– Fie f : A → B o functie convexa, unde A,B ⊆ R, A fiind un

interval. Fie x1, . . . , xn ∈ A si t1, . . . , tn ∈ [0, 1] a.ı.

n∑i=1

ti = 1

(n ∈ N, n ≥ 2). Atunci

f

(n∑

i=1

tixi

)≤

n∑i=1

tif(xi).

Mai mult, daca f este strict convexa si t1, . . . , tn ∈ (0, 1), atunciegalitatea are loc daca si numai daca x1 = x2 = · · · = xn.

– Fie f : A → B o functie concava, unde A,B ⊆ R, A fiind un

interval. Fie x1, . . . , xn ∈ A si t1, . . . , tn ∈ [0, 1] a.ı.n∑

i=1

ti = 1

(n ∈ N, n ≥ 2). Atunci

f

(n∑

i=1

tixi

)≥

n∑i=1

tif(xi).

Mai mult, daca f este strict concava si t1, . . . , tn ∈ (0, 1), atunciegalitatea are loc daca si numai daca x1 = x2 = · · · = xn.

30

4.13 Functia exponentiala

Fie a > 0, a �= 1.

Functia exponentiala:

f : R → (0,∞), f(x) = ax

(a se numeste baza functiei exponentiale).Semnul:

x −∞ ∞

ax, a > 0, a �= 1 +

Monotonia:

x −∞ ∞

ax, a > 1 0 ↗ ∞

ax, a ∈ (0, 1) ∞ ↘ 0

Formule de calcul:

ax · ay = ax+y;

ax

ay= ax−y (a �= 0);

(ax)y = axy;

ax · bx = (ab)x;

ax

bx=

(ab

)x

(b �= 0);

31

4.14 Functia logaritmica

Fie a > 0, a �= 1.

Functia logaritmica este inversa functiei exponentiale:

Functia (bijectiva) Inversa Formule

f : R → (0,∞),

f(x) = ax,

a > 0, a �= 1

f−1 : (0,∞) → R,

f−1(x) = loga x,

a > 0, a �= 1

loga ax = x, ∀x ∈ R;

aloga x = x, ∀x > 0;

(a se numeste si baza functiei logaritmice, sau baza logaritmului).

Notam⎧⎨⎩ lg x = log10 x, ∀x > 0 (logaritm zecimal) ;

ln x = loge x, ∀x > 0 (logaritm natural), e � 2,7 ;

Domeniul de definitie:loga x, a > 0, a �= 1 : x > 0;

Semnul:

x 0 1 ∞

loga x, a > 1 − 0 +

loga x, a ∈ (0, 1) + 0 −

Monotonia:

x 0 ∞

loga x, a > 1 −∞ ↗ ∞

loga x, a ∈ (0, 1) ∞ ↘ −∞

32

Formule de calcul:Fie a > 0, a �= 1 si b > 0, b �= 1.

loga 1 = 0;

loga a = 1;

loga ax = x, ∀x ∈ R;

aloga x = x , ∀x > 0;

loga x+ loga y = loga(xy) , ∀x, y > 0;

loga(xy) = loga |x|+ loga |y|, ∀x, y a.ı. xy > 0;

loga x− loga y = logax

y, ∀x, y > 0;

logax

y= loga |x| − loga |y|, ∀x, y > 0 a.ı. xy > 0;

loga xn = n loga x , ∀x > 0, ∀n ∈ R;

loga xn = n loga |x|, ∀n ∈ Z, n = par, ∀x �= 0;

logam xn =n

mloga x , ∀x > 0, ∀n,m ∈ R, m �= 0;

logam xn =n

mlog|a| |x|, ∀n,m ∈ Z, n,m = pare, m �= 0,

∀x �= 0, ∀a ∈ R \ {−1, 0, 1};

loga b =1

logb a;

loga x =logb x

logb a=

lg x

lg a=

ln x

ln a, ∀x > 0;

33

4.15 Ecuatii si inecuatii exponentiale si logaritmice

Fie a > 0, a �= 1.

Ecuatia/inecuatia Conditii de existenta Rezolvare (ın R)

ax = b —b ≤ 0 ⇒ x ∈ ∅;

b > 0 ⇒ x = loga b

loga x = b x > 0 x = ab

ax < b —

b ≤ 0 ⇒ x ∈ ∅;

b > 0, a > 1 ⇒ x < loga b

b > 0, a ∈ (0, 1) ⇒ x > loga b

ax > b —

b ≤ 0 ⇒ x ∈ R;

b > 0, a > 1 ⇒ x > loga b

b > 0, a ∈ (0, 1) ⇒ x < loga b

loga x < b x > 0a > 1 ⇒ x < ab

a ∈ (0, 1) ⇒ x > ab

loga x > b x > 0a > 1 ⇒ x > ab

a ∈ (0, 1) ⇒ x < ab

Aa2x +Bax + C = 0. Notam ax = t ⇒ At2 +Bt + C = 0, t > 0 . . .

A(a2)x+B(ab)x+C(b2)

x= 0. Impartim prin (b2)

x ⇒ A(ab

)2x

+B(ab

)x

+C = 0 . . .

af(x) = bg(x). Logaritmam (ın una din bazele a, b, e, 10) . . .

34

5 Geometrie sintetica

5.1 Triunghiul dreptunghic

A B

C

M

D

Teorema lui Pitagora: BC2 = AB2 + AC2;

Teorema catetei: AB2 = BC · BD; AC2 = BC · CD;

Teorema ınaltimii: AD2 = BD · CD;

Formula ınaltimii: AD =AB · AC

BC

(produsul catetelor

ipotenuza

);

Formula medianei: AM =BC

2;

Aria: A�ABC =AB ·AC

2=

BC · AD2

;

Functii trigonometrice:

sinB =AC

BC

(cateta opusa

ipotenuza

); cosB =

AB

BC

(cateta alaturata

ipotenuza

);

tgB =AC

AB

(cateta opusa

cateta alaturata

); ctgB =

AB

AC

(cateta alaturata

cateta opusa

);

C = 90◦ − B ⇒ sinC = cosB, cosC = sinB, tgC = ctgB, ctgC = tgB;

sin2 x+ cos2 x = 1 ;

tg x =sin x

cos x; ctg x =

cosx

sin x=

1

tg x;

35

Unghiuri importante:

x 0◦ ≡ 0 30◦ ≡ π

645◦ ≡ π

460◦ ≡ π

390◦ ≡ π

2

sin x 01

2

√2

2

√3

21

cos x 1

√3

2

√2

2

1

20

tg x 0

√3

31

√3 —

ctg x —√3 1

√3

30

x = obtuz ⇒ sin x = sin(180◦ − x) ; cosx = − cos(180◦ − x) ;

36

5.2 Triunghiul oarecare

a

B C

c

A

b

ha

D

�a

E

ma

M

A+B + C = 180◦

Inegalitatea triunghiului:

a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi ⇔ a, b, c > 0 si

⎧⎪⎨⎪⎩a+ b > c

a+ c > b

b+ c > aAria:

A�ABC =BC ·AD

2

(baza · ınaltimea

2

);

=AB · AC · sinA

2

=√

p(p− a)(p− b)(p− c) (formula lui Heron) , unde p =a + b+ c

2;

= p · r, unde r = raza cercului ınscris;

=abc

4R, unde R = raza cercului circumscris;

Teorema lui Pitagora generalizata (teorema cosinusului):

BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AB · AC · cosA;

Teorema sinusului:a

sinA=

b

sinB=

c

sinC= 2R;

37

Formula medianei: ma =2(b2 + c2)− a2

4;

Formula ınaltimii: ha =2A�ABC

a=

2

a

√p(p− a)(p− b)(p− c);

Teorema bisectoarei:EB

EC=

AB

AC;

(bisectoarea ımparte latura opusa ın segmente proportionale cu laturile alaturate);

Formula bisectoarei: la =2bc

b+ ccos

A

2=

2bc

b+ c

√p(p− a)

bc;

O alta formula a bisectoarei: AE2 = AB · AC − BE · EC;

Teorema tangentei:a− b

a+ b=

tgA− B

2

tgA+B

2

;

Formule trigonometrice:

sinA

2=

√(p− b)(p− c)

bc; cos

A

2=

√p(p− a)

bc;

tgA

2=

√(p− b)(p− c)

p(p− a); ctg

A

2=

√p(p− a)

(p− b)(p− c);

sinA + sinB + sinC = 4 cosA

2cos

B

2cos

C

2;

cosA+ cosB + cosC = 1 + 4 sinA

2sin

B

2sin

C

2;

tgA+ tgB + tgC = tgA tgB tgC, pt. A,B,C �= 90◦;

38

Triunghiuri congruente:

A

B C

A′

B′ C ′

�ABC ≡ �A′B′C ′ ⇔{A ≡ A′, B ≡ B′, C ≡ C ′

[AB] ≡ [A′B′], [AC] ≡ [A′C ′], [BC] ≡ [B′C ′]

Cazurile de congruenta: LLL, LUL, ULU.

Triunghiuri asemenea:

A

B C

A′

B′ C ′

�ABC ∼ �A′B′C ′ ⇔⎧⎨⎩A ≡ A′, B ≡ B′, C ≡ C ′

AB

A′B′ =AC

A′C ′ =BC

B′C ′

Cazurile de asemanare: LLL, LUL, UU.

Teorema lui Thales; Teorema fundamentala a asemanarii:

A

B C

M N

Fie �ABC si M ∈ AB \ {A,B}, N ∈ AC \ {A,C}.

MN ‖ BC ⇔ AM

MB=

AN

NC(T. Thales);

MN ‖ BC ⇔ �AMN ∼ �ABC ⇔ AM

AB=

AN

AC=

MN

BC(T.F.A.)

39

Teorema lui Menelaus:

A

B C

C ′

A′

B′

Fie �ABC si A′ ∈ BC \ {B,C}, B′ ∈ AC \ {A,C}, C ′ ∈ AB \ {A,B}.

A′, B′, C ′ = coliniare ⇔ AC ′

C ′B· BA′

A′C· CB′

B′A= −1 (segmente orientate)

⇔⎧⎨⎩exact 2 sau 0 din punctele A′, B′, C ′ sunt pe laturile �ABC

AC ′

C ′B· BA′

A′C· CB′

B′A= 1

Teorema lui Ceva:

A

B C

C ′

A′

B′

Fie �ABC si A′ ∈ BC \ {B,C}, B′ ∈ AC \ {A,C}, C ′ ∈ AB \ {A,B}.

AA′, BB′, CC ′ = concurente ⇔ AC ′

C ′B· BA′

A′C· CB′

B′A= 1 (segmente orientate)

⇔⎧⎨⎩exact 3 sau 1 din punctele A′, B′, C ′ sunt pe laturile �ABC

AC ′

C ′B· BA′

A′C· CB′

B′A= 1

40

5.3 Patrulatere

Patrulaterul Aria Alte formule

oarecareAC · BD · sin (AC,BD)

2

Paralelogrambaza · h

2= AB · AD · sinA

Dreptunghi L · l Diagonala d2 = L2 + l2

Romb l · h = l2 sinA =d1 · d2

2

Patrat l2 Diagonala d = l√2

Trapez(baza mare + baza mica) · h

2

Linia mijlocie:

lm =baza mare + baza mica

2

Un patrulater ABCD este inscriptibil (adica exista un cerc care treceprin punctele A,B,C,D, numit cercul circumscris patrulaterului ABCD)

⇐⇒ A + C = B + D = 180◦ ⇐⇒ ABD ≡ ACD

(unghiul format de o latura cu o diagonala este congruent cu unghiul formatde latura opusa cu cealalta diagonala)

⇐⇒ AC · BD = AB · CD + AD ·BC

(relatia lui Ptolemeu).

Un patrulater ABCD are un cerc ınscris (adica un cerc tangent la la-turile patrulaterului) ⇐⇒ AB + CD = AD +BC.

41

Patrulaterul R r

Paralelogram doar ın dreptunghi doar ın romb

Dreptunghid

2doar ın patrat

Romb doar ın patratl

2

Patratd

2=

l√2

2

l

2

Trapez doar ın trapez isosceldoar daca AB + CD = AD +BC;

r =h

2

5.4 Poligoane regulate

O

R

A1 A2

r

M︸ ︷︷ ︸l

u2

u2

A3An

n = numarul de laturi (varfuri); R = raza cercului circumscris;

Unghiul la centru: u =360◦

n≡ 2π

n;

42

Latura: l = 2R sinu

2;

Apotema (raza cercului ınscris): r = R cosu

2;

Aria: A = n · l · r2

= n · R2 sin u

2;

Unghiul poligonului: 180◦ − u =(n− 2)180◦

n;

Poligoane regulate importante:

Poligonul Formule specifice Aria R r

Triunghi echilateral Inaltimea h =l√3

2

l · h2

=l2√3

4

2

3· h =

l√3

3

1

3· h =

l√3

6

Patrat Diagonala d = l√2 l2

d

2=

l√2

2

l

2

Hexagon regulat — 6 · l2√3

4l

l√3

3

43

6 Trigonometrie

6.1 Functiile trigonometrice

Cercul trigonometric:

O� x = cos t

�y = sin t

t = 0A(1, 0)

⇒{cos 0 = 1sin 0 = 0

t = 2π⇒{cos 2π = 1sin 2π = 0

{cos π = −1sinπ = 0

⇐ t = πA′(−1, 0)

t =π

2B(0, 1)

⇒⎧⎨⎩cos

π

2= 0

sinπ

2= 1

B′(0,−1)

t =3π

2

⇒

⎧⎪⎨⎪⎩cos

3π

2= 0

sin3π

2= −1

M(cos t0, sin t0)

R = 1t0�−t0�

N(cos(π − t0), sin(π − t0))

⇑

{cos(π − t0) = − cos t0sin(π − t0) = sin t0

π − t0

P (cos(π + t0), sin(π + t0))⇓{cos(π + t0) = − cos t0sin(π + t0) = − sin t0

π + t0

Q(cos(2π − t0), sin(2π − t0))⇓{cos(2π − t0) = cos(−t0) = cos t0sin(2π − t0) = sin(−t0) = − sin t0

2π − t0

Cadranul I: t ∈(0,

π

2

)⇓{

cos t > 0sin t > 0

Cadranul II: t ∈(π2, π

)⇓{

cos t < 0sin t > 0

Cadranul III: t ∈(π,

3π

2

)⇑

{cos t < 0sin t < 0

Cadranul IV: t ∈(3π

2, 2π

)sau t ∈

(−π

2, 0)⇑

{cos t > 0sin t < 0

Domeniul de definitie:sin t, cos t : t ∈ R;

tg t : cos t �= 0 ⇔ t �= π

2+ kπ, k ∈ Z;

ctg t : sin t �= 0 ⇔ t �= kπ, k ∈ Z;

44

Periodicitatea:Functiile sin si cos au perioada principala 2π:

sin t = sin(t+2π) = sin(t+2kπ), cos t = cos(t+2π) = cos(t+2kπ), ∀k ∈ Z;

Functiile tg si ctg au perioada principala π:

tg t = tg (t + π) = tg (t + kπ), ctg t = ctg (t + π) = ctg (t+ kπ), ∀k ∈ Z;

Paritate:Functia cos este para, iar functiile sin, tg si ctg sunt impare:

sin(−t) = − sin t, cos(−t) = cos t,

tg (−t) = −tg t, ctg (−t) = −ctg t;

Argumentul redus (din [0, 2π)):

t ∈ [2kπ, 2kπ + 2π), k ∈ Z ⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩sin t = sin t0

cos t = cos t0

tg t = tg t0

ctg t = ctg t0

, unde t0 = t− 2kπ ∈ [0, 2π)

(t0 = argumentul redus)

Unghiuri importante:

t 0◦ ≡ 0 90◦ ≡ π

2180◦ ≡ π 270◦ ≡ 3π

2sau −90◦ ≡ −π

2

sin t 0 1 0 −1

cos t 1 0 −1 0

tg t 0 — 0 —

ctg t — 0 — 0

45

Semnul:

t 0π

2π

3π

22π

sin t 0 + 0 − 0

cos t + 0 − 0 +

tg t 0 + | − 0 + | − 0

ctg t | + 0 − | + 0 − |

Reducerea la cadranul I:

Cadranul II

t ∈(π2, π

) Cadranul III

t ∈(π,

3π

2

) Cadranul IV

t ∈(3π

2, 2π

) Cadranul IV

t ∈(−π

2, 0)

sin t = sin(π − t) sin t = − sin(t− π) sin t = − sin(2π − t) sin t = − sin(−t)

cos t = − cos(π − t) cos t = − cos(t− π) cos t = cos(2π − t) cos t = cos(−t)

tg t = −tg (π − t) tg t = tg (t− π) tg t = −tg (2π − t) tg t = −tg (−t)

ctg t = −ctg (π − t) ctg t = ctg (t− π) ctg t = −ctg (2π − t) ctg t = −ctg (−t)

Marginirea:sin x ∈ [−1, 1]; cosx ∈ [−1, 1];

46

Monotonia:

t −π

20

π

2π

3π

22π

sin t −1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0

cos t 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0 ↗ 1

tg t | −∞ ↗ 0 ↗ +∞| −∞ ↗ 0 ↗ +∞| −∞ ↗ 0

ctg t 0 ↘ −∞|+∞ ↘ 0 ↘ −∞|+∞ ↘ 0 ↘ −∞|

Functiile trigonometrice inverse:

Functia (bijectiva) Inversa Mon. Formule

sin :[−π

2,π

2

]→ [−1, 1] arcsin : [−1, 1] →

[−π

2,π

2

]↗

arcsin(−x) = − arcsinx;

sin(arcsin x) = x;

arcsin(sin x) = x, pt.x∈[−π

2,π

2

]

cos : [0, π] → [−1, 1] arccos : [−1, 1] → [0, π] ↘arccos(−x) = π − arccos x;

cos(arccos x) = x;

arccos(cos x) = x, pt. x ∈ [0, π]

tg :(−π

2,π

2

)→ R arctg : R →

(−π

2,π

2

)↗

arctg (−x) = −arctg x;

tg (arctg x) = x;

arctg (tg x) = x, pt. x∈(−π

2,π

2

)

ctg : (0, π) → R arcctg : R → (0, π) ↘arcctg (−x) = π − arcctg x;

ctg (arcctg x) = x;

arcctg (ctg x) = x, pt.x ∈ (0, π)

47

Semnul:

x −1 0 1

arcsin x − 0 +

arccos x + 0

x −∞ 0 ∞

arctg x − 0 +

arcctg x +

Monotonia:

x −1 0 1

arcsin x −π

2↗ 0 ↗ π

2

arccos x π ↘ π

2↘ 0

x −∞ 0 ∞

arctg x −π

2↗ 0 ↗ π

2

arcctg x π ↘ π

2↘ 0

Formule de legatura ıntre functiile trigonometrice inverse:

arcsin x+ arccos x =π

2;

arctg x+ arcctg x =π

2;

48

6.2 Formule trigonometrice

Formule de legatura ıntre functiile trigonometrice:

sin2 x+ cos2 x = 1 (formula fundamentala a trigonometriei) ;

tg x =sin x

cosx=

1

ctg x; ctg x =

cosx

sin x=

1

tg x;

1 + tg 2x =1

cos2 x; 1 + ctg 2x =

1

sin2 x;

Formule pentru sume/diferente de unghiuri:

sin(x+ y) = sin x cos y + cosx sin y;

sin(x− y) = sin x cos y − cosx sin y;

cos(x+ y) = cosx cos y − sin x sin y;

cos(x− y) = cosx cos y + sin x sin y;

tg (x+ y) =tg x+ tg y

1− tg x tg y, pt. x, y, x+ y �= π

2+ kπ (k ∈ Z);

tg (x− y) =tg x− tg y

1 + tg x tg y, pt. x, y, x− y �= π

2+ kπ (k ∈ Z);

tg(x± π

2

)= −ctg x = − 1

tg x, pt. x �= π

2+ kπ, x �= kπ;

tg(π2− x

)= ctg x =

1

tg x, pt. x �= π

2+ kπ, x �= kπ;

ctg (x+ y) =ctg x ctg y − 1

ctg x+ ctg y, pt. x, y, x+ y �= kπ;

ctg (x− y) =ctg x ctg y + 1

ctg y − ctg x, pt. x, y, x− y �= kπ;

Formule pentru dublul unui unghi:

sin 2x = 2 sin x cosx;

cos 2x = cos2 x− sin2 x

= 2 cos2 x− 1

= 1− 2 sin2 x;

tg 2x =2tg x

1− tg 2x, pt. x, 2x �= π

2+ kπ;

ctg 2x =ctg 2x− 1

2ctg x, pt. x, 2x �= kπ;

49

Formule pentru triplul unui unghi:

sin 3x = 3 sinx− 4 sin3 x; cos 3x = 4 cos3 x− 3 cosx;

Formule pentru jumatatea unui unghi:

sin2 x

2=

1− cosx

2; cos2

x

2=

1 + cosx

2;

tg 2x

2=

1− cosx

1 + cosx, pt. x �= π + 2kπ;

ctg 2x

2=

1 + cosx

1− cosx, pt. x �= 2kπ;

Substitutia t = tgx

2:

t = tgx

2(x �= π + 2kπ) ⇒ sin x =

2t

1 + t2; cosx =

1− t2

1 + t2;

tg x =2t

1− t2, pt. x �= π

2+ kπ;

ctg x =1− t2

2t, pt. x �= kπ;

Formule de liniarizare:

sin2 x =1− cos 2x

2; cos2 x =

1 + cos 2x

2;

sin3 x =3 sin x− sin 3x

4; cos3 x =

3 cosx+ cos 3x

4;

Formule de transformare a produselor ın sume:

sin x cos y =sin(x+ y) + sin(x− y)

2;

cos x cos y =cos(x+ y) + cos(x− y)

2;

sin x sin y =cos(x− y)− cos(x+ y)

2;

Formule de transformare a sumelor ın produse:

sin x+ sin y = 2 sinx+ y

2cos

x− y

2;

sin x− sin y = 2 cosx+ y

2sin

x− y

2;

50

cosx+ cos y = 2 cosx+ y

2cos

x− y

2;

cosx− cos y = −2 sinx+ y

2sin

x− y

2;

tg x+ tg y =sin(x+ y)

cosx cos y, pt. x, y �= π

2+ kπ;

tg x− tg y =sin(x− y)

cosx cos y, pt. x, y �= π

2+ kπ;

ctg x+ ctg y =sin(x+ y)

sin x sin y, pt. x, y �= kπ;

ctg x− ctg y =sin(y − x)

sin x sin y, pt. x, y �= kπ;

Sume cu argumentele ın progresie aritmetica:

S1 = sin x+ sin(x+ r) + sin(x+ 2r) + . . . ⇒ se calculeaza S1 sinr

2;

S2 = cosx+ cos(x+ r) + cos(x+ 2r) + . . . ⇒ se calculeaza S2 sinr

2;

6.3 Ecuatii trigonometrice

Ecuatia Conditii de existenta Rezolvare

sin x = a —a �∈ [−1, 1] ⇒ x ∈ ∅;

a ∈ [−1, 1] ⇒ x = (−1)k arcsin a+ kπ, k ∈ Z

cosx = a —a �∈ [−1, 1] ⇒ x ∈ ∅;

a ∈ [−1, 1] ⇒ x = ± arccos a+ 2kπ, k ∈ Z

tg x = a cos t �= 0 ⇔ t �= π

2+ kπ, k ∈ Z x = arctg a+ kπ, k ∈ Z

ctg x = a sin t �= 0 ⇔ t �= kπ, k ∈ Z x = arcctg a + kπ, k ∈ Z

a sin x+ b cos x = c ⇔{a sin x+ b cosx = c

sin2 x+ cos2 x = 1. Notam

{sin x = u

cosx = v. . .

51

Ecuatia Conditii de existenta Rezolvare

arcsin x = a x ∈ [−1, 1]a �∈

[−π

2,π

2

]⇒ x ∈ ∅;

a ∈[−π

2,π

2

]⇒ x = sin a

arccosx = a x ∈ [−1, 1]a �∈ [0, π] ⇒ x ∈ ∅;

a ∈ [0, π] ⇒ x = cos a

arctg x = a —a �∈

(−π

2,π

2

)⇒ x ∈ ∅;

a ∈(−π

2,π

2

)⇒ x = tg a

arcctg x = a —a �∈ (0, π) ⇒ x ∈ ∅;

a ∈ (0, π) ⇒ x = ctg a

52

7 Geometrie vectoriala

Coordonatele unui vector:

O�x

�y

�X(1, 0)

�i�Y (0, 1)

�j

�

A(xA, yA)

B(xB , yB)

�u =−→AB = (xB − xA)�i+ (yB − yA)�j

�−→AB(xB − xA, yB − yA)

{�i(1, 0) = versorul axei Ox�j(0, 1) = versorul axei Oy

Vectorul de pozitie al unui punct:

�rA =−→OA = xA ·�i+ yA ·�j;

Modului (norma, lungimea) unui vector:

|−→AB| = AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2;

�u = x�i+ y�j ⇒ |�u| =√

x2 + y2;

Versor (vector unitate): vector de modul 1;

Egalitatea vectorilor:

�

A

B

�u =−→AB

�

C

D

�v =−−→CD

Fie �u = x1�i+ y1�j si �v = x2

�i+ y2�j.

�u = �v ⇔ �u si �v au acelasi modul, aceeasi directie si acelasi sens

⇔{x1 = x2

y1 = y2;

53

Vectorul nul:

�0 = 0 ·�i+ 0 ·�j = −→AA, ∀A;

−→AB = �0 ⇔ A = B;

x�i+ y�j = �0 ⇔{x = 0

y = 0;

Adunarea vectorilor:

• Regula paralelogramului:

A

�

�u

B

��v

D

�u+ �v

C

−→AB +

−−→AD =

−→AC

• Regula triunghiului:

A

�

�u

B

� C

�v

�u+ �v

−→AB +

−−→BC =

−→AC

•{�u = x1

�i+ y1�j

�v = x2�i+ y2�j

⇒ �u+ �v = (x1 + x2)�i+ (y1 + y2)�j;

54

Inmultirea vectorilor cu scalari:

�u

2�u

12�u

�

−�u

�

−2�u�−1

2�u

α(x�i+ y�j) = αx�i+ αy�j, ∀α ∈ R;

Opusul unui vector:

�v = −�u ⇔ �u si �v au acelasi modul, aceeasi directie si sensuri opuse;

−−→AB =

−→BA ;

�u = x�i+ y�j ⇒ −�u = −x�i − y�j;

Vectori coliniari:

�

A

B

�u =−→AB �

C

D

�v =−−→CD

Fie �u = x1�i+ y1�j si �v = x2

�i+ y2�j.

�u si �v sunt coliniari ⇔ �u si �v au aceeasi directie

⇔ ∃ k ∈ R a.ı. �u = k�v

⇔ x1

x2=

y1y2;

−→AB si

−−→CD sunt coliniari ⇔ AB ‖ CD sau A,B,C,D = coliniare

⇔ ∃ k ∈ R a.ı.−→AB = k

−−→CD;

55

Rapoarte de segmente orientate:

M1 A M2 B M3

M1A

M1B=

3

8

M2A

M2B= −2

5

M3A

M3B=

7

2

Fie M ∈ AB \ {B} si k ∈ R \ {1}.

MA

MB= k ⇔ −−→

MA = k−−→MB

⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩MA

MB= k si

−−→MA,

−−→MB au acelasi sens

(adica A ∈ (MB) sau B ∈ (AM)

), daca k > 0

MA

MB= k si

−−→MA,

−−→MB au sensuri opuse

(adica M ∈ (AB)

), daca k < 0

A M B

P

� �

MA

MB= k ⇔ −−→

PM =1

1− k

(−→PA− k

−−→PB

), ∀P

⇔ �rM =1

1− k(�rA − k�rB) ⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xM =

xA − kxB

1− k

yM =yA − kyB1− k

Caz particular (k = −1):

M = mijlocul lui [AB] ⇔ −−→PM =

1

2(−→PA+

−−→PB), ∀P

⇔ �rM =1

2(�rA + �rB) ⇔

⎧⎪⎨⎪⎩xM =

xA + xB

2

yM =yA + yB

2

Puncte importante ın triunghi:Fie �ABC.

• Centrul de greutate G (intersectia medianelor):

56

G = centrul de greutate al �ABC

⇔ −→PG =

1

3(−→PA+

−−→PB +

−→PC), ∀P

⇔ �rG =1

3(�rA + �rB + �rC) ⇔

⎧⎪⎨⎪⎩xG =

xA + xB + xC

3

yG =yA + yB + yC

3

• Centrul cercului ınscris I (intersectia bisectoarelor):

I = centrul cercului ınscris �ABC

⇔ −→PI =

1

a+ b+ c(a−→PA+ b

−−→PB + c

−→PC), ∀P

⇔ �rI =1

a+ b+ c(a�rA + b�rB + c�rC) ⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xI =

axA + bxB + cxC

a + b+ c

yI =ayA + byB + cyC

a+ b+ c

• Centrul cercului circumscris O (intersectia mediatoarelor);

• Ortocentrul H (intersectia ınaltimilor):

−−→OH =

−→OA+

−−→OB +

−→OC;

−→OG =

1

3

−−→OH (relatia lui Sylvester);

Produsul scalar:Fie �u = x1

�i+ y1�j si �v = x2�i+ y2�j.

�u · �v = |�u| · |�v| · cos(�(�u,�v))

= x1x2 + y1y2

⇒ �u · �u = |�u|2; �i ·�i = �j ·�j = 1; �i ·�j = 0;

cos(�(�u,�v)) =�u · �v

|�u| · |�v| =x1x2 + y1y2√

x21 + y21 ·

√x22 + y22

;

�u si �v sunt coliniari ⇔ |�u · �v| = |�u| · |�v| ⇔ x1

x2=

y1y2;

�u ⊥ �v (perpendiculari) ⇔ �u · �v = 0 ⇔ x1x2 + y1y2 = 0;

|�u± �v|2 = |�u|2 + |�v|2 ± 2�u · �v= |�u|2 + |�v|2 ± 2|�u| |�v| cos(�(�u,�v));

57

8 Geometrie analitica

Distanta dintre doua puncte:

AB =√(xB − xA)2 + (yB − yA)2 ;

Coordonatele mijlocul unui segment:

M = mijlocul lui [AB] ⇔

⎧⎪⎨⎪⎩xM =

xA + xB

2

yM =yA + yB

2

;

Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi:

G = centrul de greutate al �ABC ⇔

⎧⎪⎨⎪⎩xG =

xA + xB + xC

3

yG =yA + yB + yC

3

;

Ecuatia generala a unei drepte:

d : ax+ by + c = 0, unde a �= 0 sau b �= 0;

Ecuatia dreptei ce trece prin doua puncte (distincte) date:

AB :

∣∣∣∣∣∣x y 1xA yA 1xB yB 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

⇔

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩AB :

y − yAyB − yA

=x− xA

xB − xA

, daca xB �= xA si yB �= yA (dreapta oblica)

AB : x = xA, daca xB = xA (dreapta verticala)

AB : y = yA, daca yB = yA (dreapta orizontala)

Puncte coliniare:

A,B,C = coliniare ⇔∣∣∣∣∣∣xA yA 1xB yB 1xC yC 1

∣∣∣∣∣∣ = 0;

Aria unui triunghi:

A�ABC =|Δ|2

, unde Δ =

∣∣∣∣∣∣xA yA 1xB yB 1xC yC 1

∣∣∣∣∣∣ ;

58

Panta (coeficientul unghiular) unei drepte (neverticale):

• m = tangenta unghiului format de dreapta cu axa Ox;

• d : ax+ by + c = 0 ⇒ m = −a

b, unde a �= 0;

• d = AB ⇒ m =yB − yAxB − xA

, unde xB �= xA;

Ecuatia dreptei ce trece printr-un punct dat P (x0, y0) si avandpanta m data:

y − y0 = m(x− x0) ;

Ecuatia dreptei verticale ce trece printr-un punct dat P (x0, y0):

x = x0;

Drepte paralele; drepte perpendiculare:

Fie

{d1 : a1x+ b1y + c1 = 0

d2 : a2x+ b2y + c2 = 0, sau

{d1 : y = m1x+ n1 (m1 = panta lui d1)

d2 : y = m2x+ n2 (m2 = panta lui d2).

• d1 = d2 ⇔ a1a2

=b1b2

=c1c2

⇔ m1 = m2 si n1 = n2;

• d1 ‖ d2 ⇔ a1a2

=b1b2

�= c1c2

⇔ m1 = m2 si n1 �= n2;

• d1 ⊥ d2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 ⇔ m1m2 = −1;

Vectori directori ai unei drepte:

• Vectorii directori ai dreptei d sunt vectorii de forma−→AB, cu A,B ∈ d,

A �= B;

• Un vector �u = α�i + β�j, �u �= �0, este vector director pentru dreaptad : ax+ by + c = 0 daca si numai daca αa+ βb = 0 ;

Unghiul dintre doua drepte:

Fie

{d1 : a1x+ b1y + c1 = 0

d2 : a2x+ b2y + c2 = 0, sau

{d1 : y = m1x+ n1 (m1 = panta lui d1)

d2 : y = m2x+ n2 (m2 = panta lui d2).

• cos(�(d1, d2)) =|a1a2 + b1b2|√

a21 + b21 ·√a22 + b22

=|m1m2 + 1|√

m21 + 1 ·

√m2

2 + 1;

59

• tg (�(d1, d2)) =

∣∣∣∣ m1 −m2

1 +m1m2

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a1b2 − a2b1a1a2 + b1b2

∣∣∣∣ , pt. d1 �⊥ d2;

Proiectia unui punct pe o dreapta:Fie punctul A(x1, y1) si dreapta d : ax+ by + c = 0.

A

d

D

Proiectia lui A pe d este punctul D = pr dA definit prin{D = A, daca A ∈ d

AD ⊥ d, D ∈ d, daca A �∈ d,

adica punctul de intersectie dintre dreapta d si perpendiculara dusa din Ape d. Astfel coordonatele (x0, y0) ale lui D sunt solutia sistemului

{ax+ by + c = 0

a(y − y1) = b(x− x1), adica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x0 =

b2x1 − aby1 − ac

a2 + b2

y0 =−abx1 + a2y1 − bc

a2 + b2

.

Distanta de la un punct la o dreapta:Fie punctul P (x0, y0) si dreapta h : ax+ by + c = 0.Distanta de la P la h (adica distanta de la P la proiectia lui P pe h) este

d(P, h) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2;

Simetricul unui punct fata de un alt punct:Fie punctele A(x1, y1) si P (x0, y0).

A

PA′

Simetricul lui A fata de P este punctul A′(x2, y2) definit prin{A′ = A, daca A = P

P = mijlocul lui [AA′], daca A �= P, deci

⎧⎪⎨⎪⎩x0 =

x1 + x2

2

y0 =y1 + y2

2

, adica

{x2 = 2x0 − x1

y2 = 2y0 − y1.

60

Simetricul unui punct fata de o dreapta:Simetricul unui punct A fata de o dreapta d este punctul A′, unde A′ este

simetricul lui A fata de punctul D = pr dA.

A

d

D

A′

Simetrica unei drepte fata de un punct:Simetrica unei drepte AB fata de un punct P este dreapta A′B′, unde A′

si B′ sunt simetricele lui A, respectiv B, fata de P .Simetrica unei drepte fata de o alta dreapta:Simetrica unei drepte AB fata de o dreapta h este dreapta A′B′, unde A′

si B′ sunt simetricele lui A, respectiv B, fata de h.

61

9 Numere complexe

9.1 Numere complexe sub forma algebrica

Forma algebrica a unui nr. complex:

z = x+ yi , unde x, y ∈ R, i ∈ C \ R, i2 = −1 ;{re (z) = x = partea reala a lui zim (z) = y = partea imaginara a lui z

;

Puterile nr. complex i:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩i4k = i4 = 1i4k+1 = ii4k+2 = i2 = −1i4k+3 = i3 = −i

, ∀k ∈ Z;

Numere complexe (pur) imaginare:

z = yi, unde y ∈ R;

Modulul unui nr. complex:

z = x+ yi, x, y ∈ R ⇒ |z| = √x2 + y2 ;

Conjugatul unui nr. complex:

z = x+ yi, x, y ∈ R ⇒ z = x− yi ;

Proprietati:

re (z), im (z), |z| ∈ R;

|z| ≥ 0;

|z| = 0 ⇔ z = 0;

|z1 · z2| = |z1| · |z2|;∣∣∣∣z1z2∣∣∣∣ = |z1|

|z2| (z2 �= 0);

|zn| = |z|n, ∀n ∈ N;

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|;∣∣|z1| − |z2|∣∣ ≤ |z1 ± z2|;

|z| = |z|;

62

z · z = |z|2 ;

re (z) =z + z

2; im (z) =

z − z

2;

z ∈ R ⇔ im (z) = 0 ⇔ z = z;

z = nr. imaginar ⇔ re (z) = 0 ⇔ z = −z;

z1 + z2 = z1 + z2;

z1 − z2 = z1 − z2;

z1 · z2 = z1 · z2;(z1z2

)=

z1z2

(z2 �= 0);

zn = (z)n, ∀n ∈ N;

9.2 Numere complexe sub forma trigonometrica

Forma trigonometrica a unui nr. complex:

z = r(cos t+ i sin t) , unde r ∈ R, r ≥ 0, t ∈ [0, 2π);{ |z| = r = modulul lui zarg(z) = t = argumentul redus al lui z

;

Obs. Renuntand la conditia t ∈ [0, 2π) se obtine forma trigonometricaextinsa a lui z; ın acest caz avem

t = arg(z) + 2kπ, unde k ∈ Z,

si t se numeste argumentul (extins al) lui z.

Trecerea de la forma algebrica la forma trigonometrica:

z = 0 ⇒ z = 0(cos t+ i sin t), ∀t ∈ [0, 2π);

z = x+ yi, x, y ∈ R, z �= 0 ⇒ z = r(cos t+ i sin t), unde

r = |z| = √x2 + y2 ,

t ∈ [0, 2π) a.ı.

⎧⎪⎨⎪⎩cos t =

x

r

sin t =y

r

, adica

⎧⎪⎨⎪⎩cos t =

x√x2 + y2

sin t =y√

x2 + y2

;

63

Cazuri particulare:

1 = cos 0 + i sin 0;

−1 = cosπ + i sin π;

i = cosπ

2+ i sin

π

2;

−i = cos3π

2+ i sin

3π

2;

z = x ∈ R, x ≥ 0 ⇒z = x(cos 0 + i sin 0);

z = x ∈ R, x < 0 ⇒z = −x(cos π + i sin π);

z = yi, y ∈ R, y ≥ 0 ⇒z = y(cos

π

2+ i sin

π

2

);

z = yi, y ∈ R, y < 0 ⇒z = −y

(cos

3π

2+ i sin

3π

2

);

Proprietati:

cos t− i sin t = cos(−t) + i sin(−t);

(cos t1 + i sin t1)(cos t2 + i sin t2) = cos(t1 + t2) + i sin(t1 + t2);

cos t1 + i sin t1cos t2 + i sin t2

= cos(t1 − t2) + i sin(t1 − t2);

(cos t+ i sin t)n = cos nt+ i sinnt , ∀n ∈ Z (formula lui Moivre);

9.3 Interpretarea geometrica a unui nr. complex

Afixul unui punct din plan:Fiecarui nr. complex z = x+ yi, x, y ∈ R, ıi corespunde punctul A(x, y)

din planul reprezentat in sistemul otogonal de axe xOy, si reciproc.Numarul complex z = x + yi se numeste afixul punctului A(x, y); se

utilizeaza si notatia A(z).

O�x

�y

A(z), z = x+ yi = r(cos t+ i sin t)

OA = r = |z|� t t = arg(z)

64

9.4 Ecuatii binome (radacinile de ordinul n ale unuinr. complex)

Forma generala:

zn = a, unde a ∈ C, n ∈ N∗.

Rezolvarea trigonometrica:Fie a = r(cos t+ i sin t) forma trigonometrica a lui a.Solutiile ec.

zn = r(cos t+ i sin t)

(radacinile de ordinul n ale nr. complex a) sunt:

zk+1 = n√r

(cos

t+ 2kπ

n+ i sin

t + 2kπ

n

), k ∈ {1, . . . , n}.

Caz particular: radacinile de ordinul n ale unitatii:

zn = 1 ⇒ zk+1 = cos2kπ

n+ i sin

2kπ

n, k ∈ {1, . . . , n}.

Rezolvarea algebrica a ec. binome z2 = a:Fie a = u+ vi forma algebrica a lui a. Notand

z = x+ yi, x, y ∈ R,

forma algebrica a lui z ecuatia devine, succesiv,

(x+ yi)2 = u+ vi ⇔ x2 + 2xyi− y2 = u+ vi ⇔{

x2 − y2 = u2xy = v

, x, y ∈ R,

si se rezolva acest sistem omogen.

9.5 Ecuatia de gradul al doilea

az2 + bz + c = 0, unde a, b, c ∈ C, a �= 0.

Rezolvarea bazata pe formula generala:

z1,2 =−b± d

2a, unde d ∈ C este o solutie a ec. d2 = Δ, unde Δ = b2−4ac.

Rezolvarea bazata pe forma algebrica: se procedeaza analog ca larezolvarea algebrica a ec. binome z2 = a.

65

9.6 Ecuatii bipatrate

az4 + bz2 + c = 0, unde a, b, c ∈ C, a �= 0.

Notam z2 = u ⇒ au2 + bu+ c = 0 . . .Obs. Ecuatiile n-patrate

az2n + bzn + c = 0, n ≥ 3,

se rezolva analog, notand zn = u.

66

10 Combinatorica

10.1 Produsul cartezian

Fie A o multime si n ∈ N∗. Un n-uplu cu elemente din A (vector cu nelemente din A) are forma (a1, a2, . . . , an), unde a1, a2, . . . , an ∈ A si conteazaordinea de dispunere a acestor elemente, adica

(a1, a2, . . . , an) = (b1, b2, . . . , bn) ⇔ a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn.

Obs. Un 2-uplu (a1, a2) se mumeste si cuplu sau pereche ordonata.Produsul cartezian al multimilor A1, A2, . . . , An este

A1 × A2 × · · · ×An = {(a1, a2, . . . , an) | a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An}.

10.2 Multimi ordonate

Omultime ordonata cu n elemente este un n-uplu cu elemente distinctedoua cate doua.

Deci o multime ordonata cu n elemente are forma (a1, a2, . . . , an), undeelementele a1, a2, . . . , an sunt distincte doua cate doua (adica ai �= aj ∀i �= j)si conteaza ordinea de dispunere a acestor elemente.

Obs. {1, 2, 3, 4} = {3, 2, 4, 1} (multimi), dar (1, 2, 3, 4) �= (3, 2, 4, 1)(multimi ordonate).

10.3 Permutari, aranjamente, combinari

Definitii si notatii:

Fie n, k ∈ N, k ≤ n si fie A o multime arbitrara cu n elemente. Notam:

• Pn = nr. de multimi ordonate care se pot forma cu toate cele n elementeale lui A, numite si permutari ale lui A;

Numarul Pn se numeste permutari de n;

• Akn = nr. de submultimi ordonate cu k elemente care se pot forma cu

elemente din A, numite si aranjamente ale lui A;

Numarul Akn se numeste aranjamente de n luate cate k;

• Ckn = nr. de submultimi cu k elemente care se pot forma cu elemente

din A, numite si combinari ale lui A;

Numarul Ckn se numeste combinari de n luate cate k;

67

Definitia lui n factorial:

Fie n ∈ N. Notam

n! = 1 · 2 · . . . · n, pt. n ≥ 1;

0! = 1;

n! se numeste n factorial.

Conditii de existenta; formule de calcul:

Numarul Formule de calcul Conditii de existenta

Pn Pn = n! n ∈ N

Akn Ak

n =n!

(n− k)!n, k ∈ N, k ≤ n

Ckn Ck

n =Ak

n

k!=

n!

k!(n− k)!n, k ∈ N, k ≤ n

10.4 Formule de numarare

Produs cartezian:

Fie n multimi A1, A2, . . . , An, avand respectiv m1, m2, . . . , mn elemente.

• Numarul de elemente (n-upluri) ale produsul cartezian A1×A2×· · ·×An

este egal cum1 ·m2 · . . . ·mn.

Tipuri de submultimi:Fie A o multime cu n elemente, n ∈ N, si fie k ∈ N, k ≤ n.

• Numarul de permutari (multimi ordonate) ale lui A este egal cu n!;

• Numarul de submultimi ordonate cu k elemente ale lui A este egal cuAk

n;

• Numarul de submultimi cu k elemente ale lui A este egal cu Ckn;

• Numarul total de submultimi ale lui A este egal cu 2n.

68

Tipuri de functii:Fie A o multime cu n elemente si B o multime cu m elemente, m,n ∈ N∗.

• Numarul de functii f : A → B este egal cu mn;

• Pentru n > m, nu exista functii injective f : A → B;

Pentru n ≤ m, numarul de functii injective f : A → B este egal cu Anm;

• Pentru n < m, nu exista functii surjective f : A → B;

Pentru n ≥ m, numarul de functii surjective f : A → B este egal cu

mn − C1m(m− 1)n + C2

m(m− 2)n − . . .+ (−1)m−1Cm−1m ;

• Pentru n �= m, nu exista functii bijective f : A → B;

Pentru n = m, numarul de functii bijective f : A → B este egal cu n!;

• Pentru n > m, nu exista functii strict crescatoare f : A → B;

Pentru n ≤ m, numarul de functii strict crescatoare f : A → B esteegal cu Cn

m;

Obs. Aceleasi formule se aplica si ın cazul functiilor strict descrescatoare.

• Numarul de functii (monoton) crescatoare f : A → B este egal cuCn

m+n−1;

Obs. Aceeasi formula se aplica si ın cazul functiilor strict descrescatoare.

10.5 Formule combinatoriale

0! = 1 ;

n! = n(n− 1)! , ∀n ∈ N∗;

n! = n(n− 1)(n− 2)!, ∀n ∈ N, n ≥ 2;

Akn = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− k + 1), ∀n, k ∈ N∗;

A0n = 1, ∀n ∈ N;

A1n = n, ∀n ∈ N∗;

Ann = n!, ∀n ∈ N;

Ckn = Cn−k

n , ∀n, k ∈ N, k ≤ n

(formula combinarilor complementare);

69

C0n = Cn

n = 1 , ∀n ∈ N;

C1n = Cn−1

n = n , ∀n ∈ N∗;

Ckn = Ck

n−1 + Ck−1n−1 , ∀n, k ∈ N∗, k ≤ n− 1

(relatia de recurenta a combinarilor);

kCkn = nCk−1

n−1 , ∀n, k ∈ N∗, k ≤ n;

CknC

rk = Cr

nCk−rn−r , ∀n, k, r ∈ N, r ≤ k ≤ n;

Ckn

k + 1=

Ck+1n+1

n+ 1, ∀n, k ∈ N, k ≤ n;

10.6 Binomul lui Newton

Pentru orice a, b ∈ C si n ∈ N avem

(a+ b)n =n∑

k=0

Ckna

n−kbk .

• Notam Tk+1 = Ckna

n−kbk , ∀k ∈ {0, 1, . . . , n}.• Tk+1 se numeste termenul de rang k sau al k + 1-lea termen aldezvoltarii (sumei).

• Dezvoltarea (suma) are n+ 1 termeni.

– Daca n = par, atunci termenul din mijloc este Tn2+1;

– Daca n = impar, atunci termenii din mijloc sunt Tn+12

si Tn+12

+1;

• Ckn se numeste coeficientul binomial al termenului Tk+1.

– Suma coeficientilor binomiali este

C0n + C1

n + · · ·+ Cnn = 2n ;

– Pt. un polinom P (X) = a0 + a1X + a2X2 + · · · + anX

n, sumacoeficientilor este

a0 + a1 + a2 + · · ·+ an = P (1) ;

– Pt. un polinom P (X, Y ), suma coeficientilor este P (1, 1) ; . . .

70

• Monotonia coeficientilor binomiali:

– Daca n = par, atunci

C0n < C1

n < · · · < Cn2−1

n < Cn2n > C

n2+1

n > · · · > Cn−1n > Cn

n ,

deci coeficientul binomial maxim este Cn2n (cel din mijloc);

– Daca n = impar, atunci

C0n < C1

n < · · · < Cn−12

n = Cn+12

n > · · · > Cn−1n > Cn

n ,

deci coeficientii binomiali maximi sunt Cn−12

n = Cn+12

n (cei dinmijloc);

• Raportul a doi termeni consecutivi:

Tk+1

Tk+2=

Ckn

Ck+1n

· ab=

k + 1

n− k· ab

, ∀k ∈ {0, 1, . . . , n− 1} (pt. b �= 0);

Pt. a, b > 0 avem

Tk+1

Tk+2

≥ 1 ⇔ k + 1

n− k· ab≥ 1 ⇔ k ≥ nb− a

a+ b,

deci Tk+1 = termen maxim ⇔

⎧⎪⎨⎪⎩nb− a

a + b≤ k ≤ nb− a

a+ b+ 1

k ∈ {0, 1, . . . , n}.

Formula multinomului lui Newton (generalizare a formulei binomuluilui Newton): pentru orice m ∈ N∗, a1, a2, . . . , am ∈ C si n ∈ N avem

(a1 + a2 + · · ·+ am)n =

∑(k1,k2,...,km)∈K

n!

k1!k2! . . . km!ak11 ak22 . . . akmm ,

unde K = {(k1, k2, . . . , km) | k1, k2, . . . , km ∈ N, k1 + k2 + · · ·+ km = n}.

71

10.7 Sume combinatoriale

C0n + C1

n + · · ·+ Cnn = 2n, ∀n ∈ N

C0n + C2

n + C4n + · · · = C1

n + C3n + C5

n + · · · = 2n−1, ∀n ∈ N∗;p∑

k=0

CknC

p−km = Cp

n+m, ∀n,m, p ∈ N, p ≤ n+m

(formula lui Vandermonde);p−m∑k=n

CnkC

mp−k = Cn+m+1

p+1 , ∀n,m, p ∈ N, p ≥ n+m

(formula lui Norlund);n∑

k=0

(Ck

n

)2= Cn

2n, ∀n ∈ N

n∑k=0

Cknx

k = (1 + x)n, ∀n ∈ N, ∀x ∈ C;

(cf. binomului lui Newton);

Derivand, respectiv integrand aceasta egalitate ın raport cu x obtinem:

n∑k=1

kCknx

k−1 = n(1 + x)n−1, ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ C;

n∑k=0

Cknx

k+1

k + 1=

(1 + x)n+1 − 1

n+ 1, ∀n ∈ N, ∀x ∈ C;

Obs. Aceste egalitati pot fi din nou derivate/integrate ın raport cu x,direct sau dupa anumite prelucrari (de ex. ınmultire cu x), rezultand alteidentitati combinatoriale.

In particular, pt. x = 1 obtinem:

n∑k=1

kCkn = n2n−1, ∀n ∈ N∗;

n∑k=0

Ckn

k + 1=

2n+1 − 1

n + 1, ∀n ∈ N;

72