formule geometrie m1
Post on 22-Feb-2015
684 Views
Preview:
TRANSCRIPT
APLICAŢII ALE TRIGONOMETRIEI ÎN GEOMETRIE
Fie un triunghi oarecare în care:
1. sunt lungimile laturilor triunghiului ( );
2. sunt măsurile (exprimate în radiani) ale unghiurilor triunghiului ;
3. este semiperimetrul triunghiului;
4. sunt lungimile medianelor corespunzătoare laturilor ;
5. sunt lungimile înălţimilor coborâte din vârfurile ;
6. sunt lungimile bisectoarelor interioare ale unghiurilor ;
7. este aria triunghiului ;
8. este lungimea razei cercului circumscris triunghiului ;
9. este lungimea razei cercului înscris în triunghiul .
Atunci aria triunghiului poate fi calculată astfel :
(Heron)
, unde ,
fiind vârfurile triunghiului.
, unde
, , ,
, , fiind vârfurile triunghiului.
TEOREMA SINUSURILOR :
TEOREMA COSINUSULUI :
PETRESCU LUCIAN 1
Lungimile medianelor: ; Lungimile bisectoarelor:
Formulele lui Neper: ;
FORMULE TRIGONOMETRICE.
I. FUNCŢII TRIGONOMETRICE DIRECTE
1) REDUCEREA LA PRIMUL CADRAN
Cadranul
Unghiul / funcţia trigonometrică
2) PARITATE / IMPARITATE, MONOTONIE, SEMN
Cadranul / funcţia
trigonometrică
Paritate / imparitate
IMPARĂ
PARĂ
IMPARĂ
IMPARĂ
PETRESCU LUCIAN 2
3) FORMULE TRIGONOMETRICE IMEDIATE
FORMULA FUNDAMENTALĂ:
FORMULE PENTRU COMPLEMENTUL UNUI UNGHI
4) FORMULE DE LEGĂTURĂ ÎNTRE FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE ALE ACELUIAŞI UNGHI
5) FORMULE PENTRU FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE ALE SUMEI / DIFERENŢEI DE UNGHIURI
6) CONSECINŢE: FORMULE PENTRU FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE ALE UNGHIULUI DUBLU / TRIPLU
7) FORMULE DE TRECERE DE LA UN UNGHI LA UNGHIUL DUBLU
8) FORMULE DE TRECERE DE LA SINUSUL / COSINUSUL UNUI UNGHI LA
PETRESCU LUCIAN 3
TANGENTA UNGHIULUI PE JUMĂTATE
9) FORMULE DE TRANSFORMARE ÎN PRODUS A SUMEI / DIFERENŢEI DE FUNCŢII TRIGONOMETRICE DIRECTE
10) FORMULE DE TRANSFORMARE A PRODUSULUI ÎN SUMĂ / DIFERENŢĂDE FUNCŢII TRIGONOMETRICE DIRECTE
11) VALORILE FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE DIRECTE PENTRU PRINCIPALELE UNGHIURI DIN INTERVALUL
nu există
nu există
nu există
nu există
II. FUNCŢII TRIGONOMETRICE INVERSE
1) FORMULE FUNDAMENTALE:
PETRESCU LUCIAN 4
2) VALORILE FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE INVERSE
3) FORMULE DE LEGĂTURĂ ÎNTRE
FUNCŢIILE TRIGONOMETRICE INVERSE
,
dacă
,
dacă
,
dacă
,
dacă
,
dacă
,
dacă
,
dacă
dacă
dacă
dacă
PETRESCU LUCIAN 5
dacă
dacă
4) PARITATE / IMPARITATE, MONOTONIE, SEMN
Paritate / imparitateIMPARĂ
NICI PARĂ, NICI IMPARĂ
Paritate / imparitateIMPARĂ
NICI PARĂ, NICI IMPARĂ
5) FORMULE DE TRANSFORMARE A SUMEI / DIFERENŢEI DE FUNCŢII TRIGONOMETRICE INVERSE
VECTORI ÎN PLAN
vector legat ( este origine sau punct de aplicaţie, iar este extremitate sau vârf );
PETRESCU LUCIAN 6
caracterizat prin
( vectori legaţi echipolenţi): cei doi vectori au aceeaşi direcţie, modul şi sens
(vector liber).
REGULA TRIUNGHIULUI:
REGULA PARALELOGRAMULUI:
RELAŢII VECTORIALE IMPORTANTE
TEOREMA MEDIANEI:
PROPRIETĂŢI:
1. Dacă , atunci
2. Dacă şi , atunci
PROPRIETATE: Vectorii pot forma un triunghi
1. Cele trei mediane ale unui triunghi pot forma la rândul lor un triunghi : dacă sunt mijloacele laturilor , atunci .
2. .
3. .
4. (Relaţia lui Sylvester).
5. .
GEOMETRIE ANALITICĂ ÎN PLAN / ÎN SPAŢIU
PLAN SPAŢIU
PETRESCU LUCIAN 7
Distanţa dintre două puncte (lungimea, modulul, norma unui vector)
Coordonatele mijlocului unui segment
Dacă este mijlocul segmentului ,
unde şi , atunci
Dacă este mijlocul segmentului
, unde şi , atunci
Coordonatele punctului care împarte un segment într-un raport dat
Dacă , unde ,
şi , atunci .
Dacă , unde ,
şi , atunci .
Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi
Dacă este centrul de greutate al
de vârfuri , , , atunci
Dacă este centrul de greutate
al de vârfuri , ,
, atunci
PANTA UNEI DREPTE. PROPRIETĂŢI.
Dacă este o dreaptă neverticală , atunci panta dreptei este definită prin , unde
este unghiul format de dreapta cu axa şi măsurat în sens trigonometric.
PETRESCU LUCIAN 8
Panta dreptei determinată de 2 puncte , astfel ca
Condiţia de paralelism a două drepte
Condiţia de perpendicularitate a două drepte
Condiţia ca o dreaptă să fie paralelă cu axa
ECUAŢIA DREPTEI ÎN PLAN
ECUAŢIA DREPTEI PRINTR-UN PUNCT DAT ŞI PANTĂ CUNOSCUTĂ
se cunosc şi
ECUAŢIA DREPTEI PRIN DOUĂ PUNCTE
se cunosc
,
unde şi
CONDIŢIA DE COLINIARITATE A
TREI PUNCTE
se cunosc ,
,
coliniare
ECUAŢIA DREPTEI PRIN TĂIETURI
se cunosc tăieturile
şi
ECUAŢIA DREPTEI DETERMINATĂ DE UN PUNCT ŞI O DIRECŢIE
DATĂ (ECUAŢII PARAMETRICE)
se cunosc şi
astfel încât
ECUAŢIA CARTEZIANĂ IMPLICITĂ A DREPTEI
se cunosc: panta şi - ordonata la origine
ECUAŢIA GENERALĂ A DREPTEI
-
ECUAŢIA DREPTEI ÎN SPAŢIU
ECUAŢIA DREPTEI PRIN DOUĂ
PUNCTE
se cunosc ,
PETRESCU LUCIAN 9
, unde , şi
ECUAŢIA DREPTEI DETERMINATĂ DE
UN PUNCT ŞI O DIRECŢIE DATĂ
(ECUAŢII PARAMETRICE)
se cunosc şi
astfel încât
ECUAŢIA PLANULUI ÎN SPAŢIU
ECUAŢIA PLANULUI DETERMINAT DE UN
PUNCT ŞI O NORMALĂ LA PLAN
se cunosc
şi astfel încât
(normală la plan)
, unde
ECUAŢIA PLANULUI PRIN TĂIETURI
se cunosc tăieturile
, şi
ECUAŢIA PLANULUI DETERMINAT DE
TREI PUNCTE NECOLINIARE
se cunosc ,
, , necoliniare
VOLUMUL TETRAEDRULUI
se cunosc ,
, şi
, unde
CONDIŢIA DE COPLANARITATE A PATRU PUNCTE ÎN
SPAŢIU
se cunosc ,
, şi
sunt coplanare
VECTORI ÎN PLAN / SPAŢIU
ÎN REPERUL /
PETRESCU LUCIAN 10
FORMA GENERALĂ A VECTORILOR ÎN
REPERUL /
MODULUL, NORMA SAU LUNGIMEA
VECTORILOR
EGALITATEA VECTORILOR
VECTORI PARALELI (COLINIARI)
, pentru
sau astfel încât
, pentru
sau astfel încât
VECTORI NECOLINIARI nu are loc
PRODUS SCALAR
VECTORI ORTOGONALI (PERPENDICULARI)
COSINUSUL UNGHIULUI DINTRE DOI VECTORI
VECTORI DETERMINAŢI DE
DOUĂ PUNCTE DATE
POZIŢII RELATIVE A DOUĂ DREPTE ÎN PLAN, RESPECTIV A DOUĂ PLANE ÎN SPAŢIU
PETRESCU LUCIAN 11
ECUAŢIA GENERALĂ A DREPTELOR /
PLANELOR
DREPTE / PLANE EGALE
(COINCIDENTE)
DREPTE / PLANE PARALELE
DREPTE / PLANE SECANTE
DREPTE / PLANE ORTOGONALE
(PERPENDICULARE)COSINUSUL
UNGHIULUI DINTRE DOUĂ DREPTE /
PLANE
PETRESCU LUCIAN 12
top related