aplicatia2
Post on 30-Jul-2015
92 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Aplicaţia 2 - Modele ARMA şi previziuni
Primul pas pe care trebuie să-l parcurgem în această etapă constă în selectarea unui
activ financiar şi al indicelui pieţei utilizate în aplicaţia 1. Astfel, în analiză, am utilizat
indicele pieţei londoneze, FTSE100, şi activul companiei BG. Pentru a putea realiza
previziuni ex-post pe cele două serii de timp, am fragmentat seriile de date iniţiale, care
conţineau 202 observaţii zilnice, în două subserii, luând astfel în considerare doar 180
observaţii.
Pentru fiecare dintre aceste două serii de date vom aplica, pe rând, strategia Box-
Jenkins, care presupune următoarele etape:
1. Transformarea seriei de timp, dacă este necesar, astfel încât ipoteza de staţionaritate
să fie îndeplinită.
2. Determinarea ordinelor p şi q ale procesului, astfel încât modelul să captureze cât mai
bine dinamica seriei de timp.
3. Estimarea coeficienţilor modelului ARMA.
4. Verificarea performanţelor modelului obţinut.
I. Strategia Box-Jenkins pentru indicele pieţei FTSE100
Pentru testarea staţionarităţii, am utilizat un test al rădăcinii unitate de tipul
Augmented Dickey-Fuller, implementat în EViews, definit astfel:
H0: seria are o rădăcină unitate (este nestaţionară)
H1: seria este staţionară
Decizia se ia astfel:
Dacă valoarea calculată < , ne aflăm în zona de respingere a ipotezei nule,
adică seria de timp analizată nu este random walk (este staţionară).
Dacă > , suntem în zona de acceptare a ipotezei nule, adică seria de timp
analizată ar putea fi considerată random walk.
2
Deoarece valoarea calculată (-11,43) este mai mică decât oricare dintre valorile critice
(-3,46; -2,87; -2,57), decizia este de respingere a ipotezei nule, ceea ce sugerează
staţionaritatea seriei. Aceeaşi concluzie se poate desprinde şi prin utilizarea corelogramei.
Întrucât coeficienţii de autocorelaţie au valori mici, putem afirma că seria de date provine
dintr-un proces de tip zgomot alb.
Pentru identificarea ordinelor p şi q ale modelului ARMA, analizăm corelograma:
Întrucât nu avem un model clar de model AR(p), MA(q) sau ARMA(p,q), încercăm
mai multe modele sugerate de corelogramă.
1. Modelul MA(1):
3
Coeficientul estimat al modelului MA(1) este θ = 0,151461, care este semnificativ din
punct de vedere statistic, la un prag de semnificaţie de 5% (p-value < 5%). Coeficientul
Akaike are valoarea de -5,845650.
2. Modelul MA(1) MA(7):
Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = 0,180003 şi θ2 = -0,224608, ambii semnificativ diferiţi
de zero, la un prag de semnificaţie de 1%. Coeficientul Akaike are valoarea de -5,882694.
3. Modelul MA(1) MA(7) MA(18):
Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = 0,2701713, θ2 = -0,289755 şi θ3 = -0,406531, toţi
semnificativ diferiţi de zero, la un prag de semnificaţie de 1%. Coeficientul Akaike are
valoarea de -5,946984.
4. Modelul MA(1) MA(7) MA(18) MA(23):
4
Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = 0,212382, θ2 = -0,340784, θ3 = -0,426773 şi θ4 =
0,219599, toţi semnificativ diferiţi de zero, la un prag de semnificaţie de 1%. Coeficientul
Akaike are valoarea de -6,038513.
Pentru selectarea celui mai bun test, utilizăm criteriul informaţional al lui Akaike, pe
baza datelor centralizate în tabelul următor:
Nr. crt. Modelul Coeficientul Akaike
1 MA(1) -5,845650
2 MA(1) MA(7) -5,882694
3 MA(1) MA(7) MA(18) -5,946984
4 MA(1) MA(7) MA(18) MA(23) -6,038513
Alegem, astfel, modelul ce corespunde celui mai mic indicator Akaike, adică modelul
nr. 4.
Având în vedere modelul selectat, vom realiza previziuni ex-post pentru cea de-a
doua subserie a seriei de date iniţiale, pornind de la valoarea 181 până la 202.
Varianta statică
Evaluarea bonităţii modelului este dată de indicatorii:
5
a) Mean Absolute Percentage Error (MAPE), ce indică abaterile relative medii ale
valorilor previzionate de la cele observate (în cazul nostru, MAPE este foarte
mare, fiind egal cu 327,6111).
b) Coeficientul Theil este un coeficient de apreciere a evaluării, ce ia valori în
intervalul (0,1). Cu cât valoarea sa este mai apropiată de 0, ajustarea este mai
bună. În cazul nostru, acesta are o valoare destul de ridicată, fiind 0,743475.
c) Ultimii trei indicatori exprimă, proporţional, cele trei componente ale
descompunerii mediei pătratelor abaterilor valorilor previzionate faţă de valorile
observate.
Prima componentă exprimă pătratul abaterii între valorile medii (cea a
datelor previzionate şi cea a datelor observate). A doua componentă exprimă
pătratul diferenţei abaterilor standard corespunzătoare. A treia componentă este
componenta reziduală, ea depinzând de coeficientul de corelaţie dintre cele două
seturi de date (valori observate, valori previzionate).
O previziune este considerată bună dacă primele două componente sunt
mici, ceea ce înseamnă că proporţia celei de-a treia componente se apropie de 1.
În modelul ales, Covariance Proportion este de 98,21%, ceea ce indică o
previziune foarte bună.
Varianta dinamică
6
Se observă faptul că varianta dinamică oferă o previziune mai puţin bună decât cea
statică, întrucât Covariance Proportion are valoarea de doar 82,48%.
II. Strategia Box-Jenkins pentru activul BG Group plc (BG)
Testarea staţionarităţii (Testul Augmented Dickey-Fuller)
Deoarece valoarea calculată (-12,28) este mai mică decât oricare dintre valorile critice
(-3,46; -2,87; -2,57), putem respinge ipoteza nulă, ceea ce înseamnă că seria de date este
staţionară.
În continuare, analizăm corelograma şi încercăm mai multe modele sugerate de
aceasta:
7
1. Modelul MA(3):
Coeficientul estimat al modelului MA(3) este θ = -0,123601, care este semnificativ
din punct de vedere statistic, la un prag de semnificaţie de 10% (la limită). Coeficientul
Akaike are valoarea de -4,738463.
2. Modelul MA(3) MA(7):
Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = -0,131128 şi θ2 = -0,181419, ambii semnificativ diferiţi
de zero, la un prag de semnificaţie de 10% primul, respectiv 5%, al doilea. Coeficientul
Akaike are valoarea de -4,757420.
3. Modelul MA(3) MA(7) MA(18):
8
Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = -0,189706, θ2 = -0,220957 şi θ3 = -0,335771, toţi
semnificativ diferiţi de zero, la un prag de semnificaţie de 1%. Coeficientul Akaike are
valoarea de -4,794586.
4. Modelul MA(3) MA(7) MA(18) MA(19):
Coeficienţii estimaţi sunt θ1 = -0,180360, θ2 = -0,186561, θ3 = -0,474328 şi θ4 =
0,361837, toţi semnificativ diferiţi de zero, la un prag de semnificaţie de 1%. Coeficientul
Akaike are valoarea de -4,847487.
Centralizând datele obţinute mai sus, putem alege cel mai bun model:
Nr. crt. Modelul Coeficientul Akaike
1 MA(3) -4,738463
2 MA(3) MA(7) -4,757420
3 MA(3) MA(7) MA(18) -4,794586
4 MA(3) MA(7) MA(18) MA(19) -4,847487
Dintre cele patru modele analizate, îl alegem pe cel de-al patrulea, deoarece pentru
acesta s-a obţinut cea mai mică valoare a indicatorului Akaike.
Odată determinat modelul cel mai adecvat, putem realiza previziuni ex-post
(menţinem aceeaşi structură a celor două subserii).
9
Varianta statică
Bonitatea modelului este evaluată, utilizând aceeaşi indicatori ca şi pentru indicele
pieţei:
a) Mean Absolute Percentage Error (MAPE) are o valoare foarte mare, fiind egal cu
360,2025.
b) Coeficientul Theil este destul de mare, având valoarea de 0,650226.
c) Primii doi indicatori au valori scăzute, ceea ce implică o valoare ridicată pentru cel
de-al treilea indicator (Covariance Proportion este 89,22%). Acest fapt indică o
previziune destul de bună.
Varianta dinamică
10
De data aceasta, varianta dinamică oferă o previziune mai bună decât varianta statică,
întrucât Covariance Proportion este 90,24%, faţă de 89,22%, în primul caz.
III. Cointegrarea
Întrucât seria randamentelor pentru activul financiar şi indicele pieţei selectate sunt
staţionare, nu este posibilă verificarea cointegrării pentru acestea. Putem, însă, verifica
această proprietate pentru seria preţurilor.
Testăm, mai întâi, staţionaritatea seriei pentru activul financiar BG şi pentru indicele
pieţei FTSE100:
Se observă că niciuna dintre cele două serii analizate nu este staţionară (valoarea
calculată este mai mare, în ambele cazuri, decât valoarea critică, indiferent de pragul de
semnificaţie ales).
Dar seriile diferenţelor de ordinul întâi sunt staţionare:
11
Deoarece seriile diferenţelor de ordinul întâi sunt staţionare, rezultă că seriile iniţiale
sunt integrate de ordinul întâi (I(1)). Verificăm, în continuare, dacă există o combinaţie
liniară a celor două serii care să ne conducă la o serie staţionară, adică seria:
, unde: reprezintă seria indicelui pieţei FTSE100, iar -
seria activului financiar BG.
Prin estimarea OLS a modelului de mai sus, obţinem următorul output de EViews:
Se constată faptul că modelul este valid, coeficienţii fiind semnificativi din punct de
vedere statistic, la un prag de semnificaţie de 1%. Salvăm reziduurile acestui model într-un
vector notat RRR şi analizăm dacă el este o serie staţionară.
12
Deoarece valoarea calculată (-2,42) este mai mare decât oricare dintre valorile critice
(-3,46; -2,87; -2,57), se acceptă ipoteza nulă, ceea ce înseamnă că seria nu este staţionară (are
rădăcină unitate).
Prin urmare, nu am găsit o combinaţie liniară a seriilor iniţiale care să fie staţionară,
seriile nefiind cointegrate.
IV. Testarea heteroscedasticităţii - Testul ARCH-LM şi modele ARCH
(GARCH)
Testăm heteroscedasticitatea pentru seria randamentelor aferentă indicelui pieţei
FTSE100. Pentru a identifica forma modelului fundamental, reprezentăm grafic evoluţia
seriei randamentelor:
Seria de date nu pare a avea trend. Prin urmare, estimăm următorul model de regresie:
. Outputul pentru modelul fundamental este următorul:
13
Se observă faptul că α este zero, din punct de vedere statistic, ceea ce ne confirmă
ipoteza că media rentabilităţilor continue este nulă. În continuare, alegem modelul auxiliar
pentru testul ARCH (folosim 3 lag-uri), de forma:
.
Ipotezele testului ARCH-LM:
H0: γ1 = 0, γ2 = 0, γ3 = 0 (model homoscedastic)
H1: există cel puţin un γ ≠ 0 (model heteroscedastic)
Constatăm faptul că doar coeficienţii γ1 şi γ3 sunt semnificativi din punct de vedere
statistic, la un prag de semnficaţie de 1%. Coeficientul γ2 ar fi semnificativ doar dacă am
admite un nivel de semnificaţie de 15%. Prin aplicarea testului ARCH-LM, se poate respinge
ipoteza nulă (p-value este foarte mic), indicând faptul că varianţa poate fi modelată printr-un
model autoregresiv cu 3 termeni (deci, există heteroscedasticitate). La aceeaşi concluzie se
ajunge şi dacă se analizează statistica Obs*R-squared.
Pentru modelarea varianţei, utilizăm un model GARCH(1,1) de forma:
.
Outputul de EViews este următorul:
14
Se constată că ambii coeficienţi ai modelului de regresie sunt semnificativi din punct
de vedere statistic (probabilitatea p-value este mai mică decât pragul de semnificaţie de 1%).
top related