2. utilitate si aversiune la risc

Utilitate și aversiune

la risc

Poziţionare în curiculă

Utilitate și Aversiune la Risc

Loterii şi Funcţii de utilitate

Funcţii de utilitate concave

Indicatorul aversiunii absolute la risc

Conceptul de Risc – apariţia teoriei riscului

Logica probabilităţilor vs. Logica clasică

Logica matematică clasică:

adevărat - fals

Logica probabilităţilor:

adevăruri parţiale

Conceptul de Risc – apariţia teoriei riscului

Teoria Riscului

Bernoulli (1738): utilitatea marginală

descrescândă

Knight (1921): Incertitudine vs. Risc

Neumann şi Morgenstern (1944): probabilităţi

obiective

Savage: probabilităţi subiective

Arrow (1964) şi Debreu (1959): teoria evaluării

activelor

Utilitatea şi Aversiunea la risc

Paradoxul St. Petersburg

Să presupunem că doi parteneri participă la un

joc de aruncare a monedei în mod repetat.

Primul partener primeşte

$1 dacă apare pajura după prima aruncare,

$2 dacă pajura apare prima dată numai la a doua

aruncare,

4$ dacă pajura apare prima dată numai la a treia

aruncare

şi aşa mai departe...

Paradoxul St. Petersburg

2

1

2

1

pajură

cap

$21

$20

$2n-1

2

1

2

1 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

$22

Paradoxul St. Petersburg

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

8

14

4

12

2

11)( 1

n

WE

n

n

n

2

1

2

1

pajură

cap

$21

$20

$2n-1

2

1

2

1 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1$22

Paradoxul St. Petersburg

- concluzie -

Oamenii ar trebui să plătească un infinit

de bani pentru dreptul de a juca acest joc

pe măsură ce n creşte la infinit.

E evident că nu acesta este

comportamentul uman.

Prin urmare, venitul aşteptat reprezintă o

măsură insuficientă a valorii unui joc.

Investitorii raţionali- Reprezentare sub forma utilităţii aşteptate -

Sunt consideraţi Raţionali investitorii care au un sistem de preferinţe „consecvent” pentru planuri de consum aleatoare.

Un plan de consum este o loterie cu privire la stările viitoare posibile ale naturii:

x~p4

p3

p2

p1

x1

x4

x2

x3 y~q3

q2

q1

y3

y2

y1

Investitorii raţionali- Reprezentare sub forma utilităţii aşteptate -

Preferinţele au reprezentare sub forma utilităţii

aşteptate dacă există o funcţie U astfel încât

yUExUEyx ~~ ~~

probxUxUE ~

4321 ,,,

)]([)]([)]([)]([~44332211 xUpxUpxUpxUpxUE

x~)( 2x

)( 1x

)( 4x

)( 3x

)( 1p

)( 2p

)( 3p

)( 4p

“Preferat lui”

Investitorii raţionali- Reprezentare sub forma utilităţii aşteptate -

Investitorii sunt raţionali dacă

Pot face comparaţii între jocuri

Pot face aceste comparaţii în mod consecvent:

~~ yx

~~ zy ~~ zx

Aversiunea la risc

Definiţie:

Un individ are aversiune la risc dacă nu este

dispus să accepte orice joc cu aşteptare nulă

(actuarially fair gamble – un joc pentru care

valoarea aşteptată este 0).

Rezultat:

Aversiune la risc = Funcţia de utilitate este

concavă

Demonstrarea Aversiunii la Risc

Paradoxul St. Petersbourg – utilitate marginală

descrescândă

Dacă avem aversiune la risc (nu există un joc cu

aşteptare nulă) atunci U este concavă (utilitate

marginală descrescândă)

U este o funcţie concavă - demonstraţie

Oricare ar fi w1 şi w2 cu w1< w2 şi p o

probabilitate, fie un joc de forma

Să presupunem că averea iniţială este

Atunci, un investitor cu aversiune la risc va

refuza jocul cu aşteptare nulă, adică

h~

0)1( 21 hpph

210 )1( WppWW

201000 )1(~

hWUphWUphWUEWU

Concavitatea funcţiei de utilitate

2121 11 WUpWpUWppWU

WUEWEU~~

WUEWEU~~

Echivalentul

certitudine

Despre valoarea primei de risc

WEUWEUWEWEWEUWEUWEU~

'~~~~

'~~

2~~~''

2

1~~~'

~~WEWWEUWEWWEUWEUEWUE

0

02

'

''

2

1

WU

WU

Coeficientul de

aversiune la risc

Arrow Pratt

E numai o aproximare;

funcţionează numai

pentru riscuri “mici”.

Toate momentele de

ordin mai mare decât 2

sunt neglijabile în raport

cu dispersia

0

Venituri asteptate

(ca medie)

E(W)

Utilitatea Mediei – daca am

avea media cu certitudine

U[E(W)]

Utilitatea

medie

E[U(W)]

Utilitatea

VenituriW1 W2

U(W1)

U(W2)

Aversiunea la

risc

π