2. utilitate si aversiune la risc
DESCRIPTION
riscTRANSCRIPT
Utilitate și aversiune
la risc
Poziţionare în curiculă
Utilitate și Aversiune la Risc
Loterii şi Funcţii de utilitate
Funcţii de utilitate concave
Indicatorul aversiunii absolute la risc
Conceptul de Risc – apariţia teoriei riscului
Logica probabilităţilor vs. Logica clasică
Logica matematică clasică:
adevărat - fals
Logica probabilităţilor:
adevăruri parţiale
Conceptul de Risc – apariţia teoriei riscului
Teoria Riscului
Bernoulli (1738): utilitatea marginală
descrescândă
Knight (1921): Incertitudine vs. Risc
Neumann şi Morgenstern (1944): probabilităţi
obiective
Savage: probabilităţi subiective
Arrow (1964) şi Debreu (1959): teoria evaluării
activelor
Utilitatea şi Aversiunea la risc
Paradoxul St. Petersburg
Să presupunem că doi parteneri participă la un
joc de aruncare a monedei în mod repetat.
Primul partener primeşte
$1 dacă apare pajura după prima aruncare,
$2 dacă pajura apare prima dată numai la a doua
aruncare,
4$ dacă pajura apare prima dată numai la a treia
aruncare
şi aşa mai departe...
Paradoxul St. Petersburg
2
1
2
1
pajură
cap
$21
$20
$2n-1
2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
$22
Paradoxul St. Petersburg
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
8
14
4
12
2
11)( 1
n
WE
n
n
n
2
1
2
1
pajură
cap
$21
$20
$2n-1
2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1$22
Paradoxul St. Petersburg
- concluzie -
Oamenii ar trebui să plătească un infinit
de bani pentru dreptul de a juca acest joc
pe măsură ce n creşte la infinit.
E evident că nu acesta este
comportamentul uman.
Prin urmare, venitul aşteptat reprezintă o
măsură insuficientă a valorii unui joc.
Investitorii raţionali- Reprezentare sub forma utilităţii aşteptate -
Sunt consideraţi Raţionali investitorii care au un sistem de preferinţe „consecvent” pentru planuri de consum aleatoare.
Un plan de consum este o loterie cu privire la stările viitoare posibile ale naturii:
x~p4
p3
p2
p1
x1
x4
x2
x3 y~q3
q2
q1
y3
y2
y1
Investitorii raţionali- Reprezentare sub forma utilităţii aşteptate -
Preferinţele au reprezentare sub forma utilităţii
aşteptate dacă există o funcţie U astfel încât
yUExUEyx ~~ ~~
probxUxUE ~
4321 ,,,
)]([)]([)]([)]([~44332211 xUpxUpxUpxUpxUE
x~)( 2x
)( 1x
)( 4x
)( 3x
)( 1p
)( 2p
)( 3p
)( 4p
“Preferat lui”
Investitorii raţionali- Reprezentare sub forma utilităţii aşteptate -
Investitorii sunt raţionali dacă
Pot face comparaţii între jocuri
Pot face aceste comparaţii în mod consecvent:
~~ yx
~~ zy ~~ zx
Aversiunea la risc
Definiţie:
Un individ are aversiune la risc dacă nu este
dispus să accepte orice joc cu aşteptare nulă
(actuarially fair gamble – un joc pentru care
valoarea aşteptată este 0).
Rezultat:
Aversiune la risc = Funcţia de utilitate este
concavă
Demonstrarea Aversiunii la Risc
Paradoxul St. Petersbourg – utilitate marginală
descrescândă
Dacă avem aversiune la risc (nu există un joc cu
aşteptare nulă) atunci U este concavă (utilitate
marginală descrescândă)
U este o funcţie concavă - demonstraţie
Oricare ar fi w1 şi w2 cu w1< w2 şi p o
probabilitate, fie un joc de forma
Să presupunem că averea iniţială este
Atunci, un investitor cu aversiune la risc va
refuza jocul cu aşteptare nulă, adică
h~
0)1( 21 hpph
210 )1( WppWW
201000 )1(~
hWUphWUphWUEWU
Concavitatea funcţiei de utilitate
2121 11 WUpWpUWppWU
WUEWEU~~
WUEWEU~~
Echivalentul
certitudine
Despre valoarea primei de risc
WEUWEUWEWEWEUWEUWEU~
'~~~~
'~~
2~~~''
2
1~~~'
~~WEWWEUWEWWEUWEUEWUE
0
02
'
''
2
1
WU
WU
Coeficientul de
aversiune la risc
Arrow Pratt
E numai o aproximare;
funcţionează numai
pentru riscuri “mici”.
Toate momentele de
ordin mai mare decât 2
sunt neglijabile în raport
cu dispersia
0
Venituri asteptate
(ca medie)
E(W)
Utilitatea Mediei – daca am
avea media cu certitudine
U[E(W)]
Utilitatea
medie
E[U(W)]
Utilitatea
VenituriW1 W2
U(W1)
U(W2)
Aversiunea la
risc
π