SEMINARUL 7Baze. Lema substitutiei

1. Aratati ca Q(2) = {a+ b

2 | a, b Q} este un Q-spatiu vectorial si determinati o baza

si dimensiunea acestui spatiu.

2. Fie p un numar prim si M = {a + b 3p + c 3

p2 | a, b, c Q}. Aratati ca M este un

Q-spatiu vectorial si determinati o baza.

3. Determinati cate o baza si dimensiunea spatiilor vectoriale RC si CC.

4. Fie v1 = (1,2, 0), v2 = (2, 1, 1), v3 = (0, , 1) vectori din R-spatiul vectorial R3. Folosindlema schimbului sa se discute n functie de R daca sistemul v = (v1, v2, v3) este o bazaa lui R3.

5. Fie spatiul vectorial real Pn = {f R[X] | gradf 6 n}. Aratati ca:a) B = {1, X, X2, X3, X4} este o baza al lui P4.

b) B = {1, Xa1!,(Xa)2

2!,(Xa)3

3!,(Xa)4

4!}, a R este o baza a lui P4.

Aplicatie: dezvoltati polinomul f = 4+ 3X 5X2 + 2X3 dupa X 2.

6. In R-spatiul vectorial R4 se considera subspatiile:

U = (2, 0, 1,1), (0, 1, 3, 2), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 5, 2)

S = (1, 0, 2, 0), (2, 1,1, 2), (1,1, 3,2)

Determinati dimensiunile spatilor U, S, U+ S, U S si cate o baza.7. Fie f : R3 R, f(x, y, z) = (x+ 2y, y+ z, x 2z). Aratati ca f EndR(R3) si determinati

o baza si dimensiunea subspatilor Ker f, Im f.

1