interior alg comp iii

192
Horváth Alexandru Introducere în algebra computationala EDITURA DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ, R.A. aplicatii în teoria numerelor, criptografie, singularitati

Upload: andrewww13y

Post on 31-Dec-2015

68 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

math

TRANSCRIPT

Page 1: Interior Alg Comp III

Horváth Alexandru

Introducere

în algebra computationala

EDITURA DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ, R.A.

aplicatii în teoria numerelor, criptografie, singularitati

Page 2: Interior Alg Comp III
Dane
Typewritten Text
ISBN 978-973-30-3372-1
Page 3: Interior Alg Comp III

Memoriei părinţilor mei

Page 4: Interior Alg Comp III
Page 5: Interior Alg Comp III

Prefaţă

C cartea de faţă se înscrie în seria celor două volume apărute an-terior la această editură sub acelaşi titlu principal: "Introduc-ere în algebra computaţională". Diferenţa este reprezentată desubtitlul volumului, de această dată fiind alese alte trei capitole

însemnate ale matematicii spre a fi subiectul unei abordări computaţionale:teoria numerelor, teoria ecuaţiilor diferenţiale şi teoria singularităţilor. Simplaenumerare a acestor trei capitole vaste ale matematicii arată că în dimensi-unea restrânsă a prezentului volum nu poate fi vorba decât de o prezentarecu caracter introductiv. Cu toate acestea autorul are speranţa că modul deabordare cu accentele computaţionale aduse în prim plan, care merg până laprezentarea unor aplicaţii concrete relevante, este în măsură să confere atât ojustificare a prezentării materialului sub această formă, cât şi să ofere cititoru-lui o perspectivă modernă şi atrăgătoare. Aceste idei au o dezvoltare suficientde largă în capitolul introductiv.

În cadrul acestei scurte prefeţe – în conformitate cu tradiţia deja încetăţen-ită – autorul găseşte potrivit să reia textual câteva din ideile principale dinprefaţa celor două volume anterioare. Acestea exprimă punctul de vedere alautorului şi spiritul în care se abordează conţinutul volumului de faţă.

Termenul "computaţional" acoperă – în percepţia autorului – nu atât calculnumeric, cât mai degrabă simbolizează strădania de a face efective rezultateleclasice sau noi ale întregii matematici. Cititorul este invitat a se gândi de dataaceasta spre exemplu la problema calculului factorilor unui număr natural cumulte cifre, la calculul formulei funcţiei care constituie soluţia unei ecuaţiidiferenţiale în opoziţie cu valorile numerice ale acestei funcţii într-un set depuncte ale domeniului său de definiţie, sau la "calculul" structurii topologicedeci ale unor invarianţi asociaţi unor obiecte geometrice complicate cum suntsingularităţile izolate ale unor hipersuprafeţe complexe.

Strădania de a face construcţiile ideatice ale matematicii cât mai ope-raţionale este favorizată cu succes de mijloacele de calcul din ce în ce maiperformante de care dispunem astăzi. Aceste mijloace ne permit, pe de o

5

Page 6: Interior Alg Comp III

6

parte, implementarea unor algoritmi din ce în ce mai sofisticaţi, pe de altăparte, lărgesc esenţial aria experimentărilor în cercetarea fundamentală mate-matică. Autorul s-a străduit ca acest impact al calculelor efective să constituieo caracteristică dominantă şi a prezentului volum.

Algebra computaţională reprezintă un capitol relativ nou al matematicii,dar sintagma simbolizează o direcţie de dezvoltare recentă deosebit de vigu-roasă a întregii matematici. În clasificarea capitolelor matematicii, promovatăde AMS, Societatea de Matematică Americană, se poate constata că în recentaversiune a clasificării MSC2010 apare deja de peste 40 de ori sintagma "com-putaţional", în legătură cu, practic, toate capitolele majore ale matematicii,sugerând o amploare deosebită a studiului aspectelor computaţionale. Sin-tagma "algebră computaţională" se extinde generic, într-o oarecare măsură,asupra tuturor acestora, fapt care justifică apariţia în paginile unui aceluiaşivolum a diversităţilor de aplicaţii, aşa cum se întâmplă şi în cazul volumuluide faţă.

Cartea conţine, în afara unui capitol introductiv, trei capitole majore de-dicate câte unui domeniu de aplicaţie a algebrei computaţionale.

Primul capitol, este o incursiune în teoria computaţională a numerelor. Seprezintă mai întâi conceptele de bază conceptele de bază ale teoriei clasice alenumerelor, câteva noţiuni şi rezultate importante legate de numere prime, di-vizibilitate, congruenţe şi resturi pătratice. Exemplele concrete sunt calculateîn mediul oferit de un sistem de calcul simbolic consacrat. Aplicaţiile rele-vante destul de numeroase includ teste de primalitate – atât probabilistice câtşi deterministe – factorizarea numerelor întregi, ecuaţii diofantice particulare,calculul logaritmului discret.

Al doilea capitol se ocupă de criptografie. Criptografia studiază metodede codificare a informaţiei cu scopul de a o proteja, de a o face neinteligibilă,indescifrabilă pentru toţi cei pentru care nu i se adresează.

Prezentăm în acest capitol metoda de criptare simetrică cu chei publiceRSA. Ne limităm la prezentarea principiilor şi algoritmilor matematici. Im-plementările cocrete, standardele utilizate în practică DES, AES etc. pot ficonoscute din documentaţiile existente publice de pe internet. Aplicaţii alemetodelor de criptarea cu chei publice, sunt vitale în asigurarea securităţiiînformaţei în format electronic.

Al treilea capitol este dedicat unui domeniu dificil: teoria singularităţilor.Acesta se află la intersecţia unor domenii clasice şi vaste care includ geome-tria şi topologia algebrică, analiza complexă multidimensională, geometrie şitopologie diferenţială, pentru a aminti câteva dintre acestea. Singularităţileizolate ale hipersuprafeţelor complexe sunt descrise de spaţii topologice com-plicate, caracterizate de invarianţi topologici şi analitici. Aceşti invarianţisunt reprezentaţi în grafurile de rezoluţie. Scopul acestui capitol este de a

Page 7: Interior Alg Comp III

7

prezenta acest subiect până la înţelegerea a câtorva calculelor efective posibileîn pachetul dezvoltat special pentru acest domeniu, pachetul Singular.

Capitolele şi ale acestui volum sunt relativ independente. Puntea de legă-tură între ele şi caracteristica generală a întegului text este prezenţa în fiecarecapitol a aplicaţiilor computaţionale. Exemplele concrete sunt numeroase, elefiind realizate în pachetele de programe care sunt dintre cele mai potrivite pen-tru problema respectivă. În felul acesta cititorul este invitat implicit ca în locsă se lase pradă unor prejudecăţi care se formează involuntar prin câştigareaunei dexterităţi în utilizarea confortabilă dar exhaustivă a unui mediu de pro-gramare anume, să îşi păstreze curiozitatea deschisă spre alegerea soluţiei celmai performante pentru problema respectivă. Cartea nu conţine nici de dataaceasta iniţiere în utilizarea acestor programe, documentaţiile care însoţescaceste pachete sunt oricum accesibile de pe internet. Capitolele sunt însoţitede un număr mic de probleme propuse, care au fost compuse cu un ochi sprerezolvarea lor sprijinită de aceste programe.

În încheierea acestei scurte prefeţe, voi repeta şi aici mărturisirea făcutăîn prefaţa primului volum: cartea de faţă nu se naşte neapărat şi exclusiv dinimperativul de a comunica experienţe acumulate, ci şi din propria nevoie aautorului de a învăţa. Autorul împărtăşeşte ideea că încercarea de a-i învăţape alţii este o cale de aprofundare a cunoştinţelor proprii. Consider aşadarfiecare cititor al acestor pagini drept un partener, care mă însoţeşte în călătoria– sper fascinantă – pe care o propun prin rândurile de faţă.

Autorul

Page 8: Interior Alg Comp III
Page 9: Interior Alg Comp III

Cuprins

Introducere 11

1 Teoria numerelor 131.1 Fundamente teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid extins 161.1.2 Numere prime. Teorema fundamentală a aritmeticii . . 221.1.3 Inelul întregilor lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.1.4 Şiruri recurente. Numerele lui Fibonacci . . . . . . . . . 341.1.5 Congruenţe. Teorema chinezească a resturilor . . . . . . 381.1.6 Teorema lui Fermat, Wilson, şi Euler . . . . . . . . . . . 461.1.7 Resturi pătratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.1.8 Curbe eliptice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.2 Teste de primalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.2.1 Testul Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.2.2 Testul Miller-Rabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.2.3 Testul Agrawal-Kayal-Saxena . . . . . . . . . . . . . . . 1031.2.4 Teste bazate pe curbe eliptice . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.3 Factorizarea numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.3.1 Metoda ρ a lui Pollard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.3.2 Metoda p− 1 a lui Pollard . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.3.3 Algoritmul ECM al lui Lenstra . . . . . . . . . . . . . . 112

1.4 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2 Criptografie 1232.1 Criptare RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.2 Criptare ElGamal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3 Teoria singularităţilor 1313.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2 Topologia lui (X,x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9

Page 10: Interior Alg Comp III

10 CUPRINS

3.2.1 Nodul lui (X,x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.2.2 Clasificarea topologică a fibrărilor de drepte complexe

peste suprafeţe compacte Riemanniene . . . . . . . . . . 1363.2.3 Preliminarii analitice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.3 Singularităţi complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.3.1 Singularităţi cât . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.4 Rezoluţia singularităţilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.4.1 Graful de rezoluţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3.5 Rezoluţia lui f : (X,x)→ (C, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.5.1 Graful de rezoluţie scufundată al f : (X,x)→ (C, 0) . . 1493.5.2 Proprietăţile topologice ale lui Y . . . . . . . . . . . . . 150

3.6 Comentarii şi exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.7 Matricea de intersecţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.8 Singularităţi ale curbelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.9 Construcţia tubulară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.9.1 Fibratul de disc tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.9.2 Invarianţi topologici ai lui LX via graful de rezoluţie . . 1603.9.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.10 Graful lui (f(x, y)− zn = 0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.10.1 Proprietăţi ale grafului de rezoluţie al lui

(f(x, y)− zn = 0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.10.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.11 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.12 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Bibliografie 178

Listă de figuri 186

Glosar 189

Page 11: Interior Alg Comp III

Introducere

O biectele cele mai simple studiate în matematică sunt nu-merele naturale. Ce poate fi mai simplu decât un număr în-treg? La o vârstă fragedă ne familiarizăm cu numerele întregi,aranjate frumos în sir crescător, 1, 2, 3, 4 . . . , 1000, etc. Apoi ne

obişnuim cu operaţia de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire. Împărţireade obicei are şi rest, dar dacă numărul pe care-l împărţim a fost confecţionat înprealabil din două numere înmulţite între ele, atunci acesta poate fi împărţitşi fără rest la măcar câteva numere.

Şi uite aşa apar şi primele dificultăţi: cum recunoaştem dacă un număr nuare nici un divizor (în afară de 1, şi de el însuşi bineînţeles)? Dacă număruleste mic, să zicem 23, testăm împărţirile cu numerele mai mici decât el. Dardacă numărul este:

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000453.

Poate părea surprinzător dar există metode, algoritmi suficient de perfor-manţi care pot decide şi despre acest număr. El nu are nici un divizor, este

11

Page 12: Interior Alg Comp III

12 Introducere

cel mai mic număr prim cu 1000 de cifre.Dacă descoperim însă că un număr nu este prim, – există metode care

certifică acest fapt, fără a arăta concret un factor al numărului – atunci poateurma problema mai grea: cum arată descompunerea numărului respectiv înfactori?

Poate părea din nou paradoxal, dar această problemă este mult mai grea.Iată aici spre exemplu un număr cu "doar" 92 de cifre:

43455589024244237585707905494069883023987636149021276107378836077371874875390720546716755309

Ei bine, ştim precis că acest număr este compus, are divizori proprii, darnu suntem în stare să-i aflăm pe aceştia. Problema descompunerii în factorieste mult mai grea. Atât de grea încât o putem folosi – paradoxal, cum şineştiinţa poate fi utilă uneori – în construirea unor "lacăte" care ascund bineinformaţia pe care dorim să o protejăm, pentru a fi inteligibilă doar celui căruiai se adresează...

Considerăm, că aceste puţine exemple sunt suficiente pentru a motiva con-tinuarea studiului paginilor ce urmează.

Page 13: Interior Alg Comp III

Capitolul 1

Teoria numerelor

N umărul este un concept fundamental în matematică. Evoluţiaacestui concept coincide cu evoluţia întregii matematici: încartea intitulată Numbers [88] autorii urmăresc evoluţia con-ceptului, de la număr natural la număr raţional, real, complex,

apoi cuaternionii lui Hamilton, numerele Cayley, şi sunt evocate numeroaseteoreme de structură, printre care teoremele lui Frobenius, Hopf şi Gelfand-Mazur. Numerele p-adice, şi numerele reale nonstandard sunt amintite şi ele,însă subiectul nu este de departe epuizat, spre exemplu nu sunt tratate nu-merele algebrice, sau "numerele" construite ca elemente ale corpurilor finite,care şi-au câştigat dreptul la existenţă prin numeroasele lor aplicaţii (veziprintre altele şi volumul I al prezentei introduceri [89]).

În acest capitol obiectul de studiu este doar mulţimea numerelor întregi,cu structura conferită de operaţiile de adunare şi de înmulţire existentă întrenumere întregi.

1.1 Fundamente teoretice

Î n această secţiune reamintim conceptele de bază necesare investigăriiproprietăţilor întregilor. Relaţia fundamentală între numerele întregi care

ne interesează este relaţia de divizibilitate. Să ne reamintim că proprietăţileadunării (asociativitatea şi comutativitatea, existenţa elementului nul 0, ex-istenţa elementului opus −n pentru fiecare număr întreg n), proprietăţile în-mulţirii (asociativitatea şi comutativitatea, existenţa elementului neutru 1),împreună cu distributivitatea înmulţirii faţă de adunare, fac din mulţimeanumerelor întregi un inel (comutativ) – notat cu Z. În acest inel doar nu-merele 1 şi −1 au invers, adică împărţirea necondiţionată este posibilă doar cu

13

Page 14: Interior Alg Comp III

14 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

aceste două numere. Prin urmare "tot" ce se întâmplă interesant în universulîntregilor este legat de divizibilitate.

Definiţia 1.1.1. Fie n,m ∈ Z. Spunem că n îl divide pe m sau m este divizibilcu n, dacă există un unic p ∈ Z astfel încât np = m. Vom nota acest fapt m|n

sau n...m.

Se observă că dacă acceptăm această definiţie, atunci 0 este divizibil cuorice număr nenul, dar nu divide nici un număr.

Relaţia de divizibilitate între numere întregi are un număr de proprietăţi,care se demonstrează foarte simplu dacă ţinem cont de teorema împărţiriiîntregi.

Teorema 1.1.2 (Teorema împărţirii întregi). Fie a, b ∈ Z, b > 0 (să-l numimpe a deîmpărţit, iar pe b, împărţitor). Atunci există două numere întregiq, r ∈ Z, (numite cât, q respectiv rest, r) astfel ca

1. a = b · q + r,

2. 0 ≤ r < b,

şi aceste două numere sunt şi unice cu aceste proprietăţi.

Evident, dacă restul r este nul, atunci b|a, şi invers, dacă b|a, atunci restuleste nul. Să enumerăm acum proprietăţile relaţiei de divizibilitate între numereîntregi.

Proprietăţi 1. Relaţia de divizibilitate între numere întregi are următoareleproprietăţi:

1. a|a pentru orice număr nenul a ∈ Z (reflexivitate)

2. dacă a|b şi b|a, atunci a = b sau a = −b (antisimetrie, pentru numerepozitive)

3. dacă a|b şi b|c, atunci a|c (tranzitivitate)

4. dacă 1|a şi −1|a pentru orice număr a ∈ Z

5. dacă a|b şi a|c, atunci a|b± c

6. dacă a|b, atunci a|bc pentru orice număr c ∈ Z

7. dacă a|b, atunci ac|bc pentru orice număr c ∈ Z

Page 15: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 15

Dacă a|b şi b|a are loc simultan, atunci a şi b se numesc asociaţi prindivizibilitate. În cazul numerelor întregi, aceste numere pot diferi doar prinsemn, întrucât singurele numere care divid orice alt număr sunt 1 şi −1.

Din primele trei proprietăţi rezultă faptul că relaţia de divizibilitate esteo relaţie de ordine între numerele întregi pozitive, compatibilă cu înmulţirea,conform cu ultima proprietate.

Proprietăţile 5. şi 6. se pot interpreta astfel: numerele întregi divizibilecu un număr întreg a dat, formează un ideal în Z. Este valabilă şi afirmaţiareciprocă: orice ideal în inelul întregilor este format de toţi multiplii ai unuinumăr întreg dat a (pentru demonstraţie vezi spre exemplu volumul I, pp. 26,[89]).

Încheiem această secţiune cu cea mai importantă definiţie legată de diviz-ibilitatea numerelor întregi: conceptul de număr prim.

Fie a şi b două numere nenule, diferite 1 şi −1. Numărul c = a · b îl vomnumi număr compus sau număr reductibil, iar a şi b factori (proprii) ai lui c.Să observăm că a, b|c, dar c - a şi c - b. Să mai observăm că 1 şi −1 sunt factoriai oricărui număr, tocmai de aceea facem distincţia spunând că factorii caresunt diferiţi de aceştia şi de numărul însuşi (respectiv de opusul acestuia) suntfactori proprii. Mai clar: "descompunerea" unui număr întreg a într-un produsde genul a = 1 · 1 · 1 · (−1) · (−1) · a, o vom considera ca fiind neinteresantă, şiprin factor vom înţelege în general factor propriu.

Definiţia 1.1.3. Vom numi un număr întreg p număr prim, dacă nu estecompus.

Să observăm că singurii divizori ai unui număr prim p sunt ±1 şi ±p, altfelspus, un număr este prim dacă nu are factori proprii.

Trebuie să mai comentăm puţin această definiţie. O definiţie nu este nicio-dată lipsită de conexiuni, de raportări la un anumit context mai particular saumai general. O definiţie bună este susceptibilă întotdeauna la generalizări, eatrebuie să sugereze atât căile de generalizare, cât şi limitele valabilităţii sale.

Termenul cel mai adecvat în definiţia anterioară era de indecompozabil sauireductibil. Astfel definiţia ar fi "funcţionat" în mod natural în contexte maigenerale: în speţă şi în alte inele decât inelul numerelor întregi. Practic, îninele generale proprietatea invocată în definiţie trebuie numită – şi este numită– ireductibilitate. În contexte mai generale, denumirea de element prim esterezervat pentru o altă proprietate, care în acest context particular de altfelcoincide cu ireductibilitatea. Vom puncta mai jos la locul potrivit aceastădistincţie încă o dată.

Page 16: Interior Alg Comp III

16 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

1.1.1 Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid ex-tins

Dacă un număr a îl divide atât pe b cât şi pe c spunem că este un divizor comun.Relaţia de divizibilitate fiind o relaţie de ordine (pentru numere pozitive),numărul a este mai "mic" atunci decât b dar şi decât c. Este natural să neîntrebăm, dacă printre aceste numere există un "cel mai mare".

Definiţia 1.1.4. Fie a, b ∈ Z două numere întregi (nu ambele nule). Unnumăr d ∈ Z se va numi un cel mai mare divizor comun al celor două numere,dacă

1. d|a şi d|b,

2. dacă e|a şi e|b, atunci e|d.

Se observă că în formularea acestei definiţii am fost precauţi: nu am sug-erat unicitatea celui mai mare divizor comun. Întradevăr, din start se observăcă odată cu d şi −d va verifica cele două proprietăţi, prin urmare nu există"un" singur cel mai mare divizor comun. Abaterea de la unicitate nu esteînsă esenţială: două numere care sunt ambii cel mai mare divizor comun pen-tru două numere nu diferă dacât eventual prin semn, ele sunt asociate prindivizibilitate. Să arătăm acest lucru.

Fie d1 şi d2 ambii cel mai mare divizor comun pentru a şi b. Atunci

d1|a, şi d1|b,

respectivd2|a, şi d2|b.

Pentru d1 considerându-l pe d2 în postura lui e, avem

d2|d1.

Reciproc, pentru d2 considerându-l pe d1 în postura lui e, avem şi

d1|d2.

În consecinţă, conform punctului 2 din lista de proprietăţi 1 de la pagina 14,d1 şi d2 nu diferă, dacât eventual prin semn. Prin urmare cel mai mare divizorcomun a două numere întregi – dacă există – este şi unic, abstracţie făcând desemn.

În ceea ce priveşte existenţa, putem raţiona în felul următor. Numărul 1este divizor comun pentru cele două numere a şi b, oricare ar fi ele. Prin urmaremulţimea divizorilor comuni nu este vidă. Proprietatea a doua din definiţia

Page 17: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 17

celui mai mare divizor comun dispune deci de obiecte la care se referă. Dacănici un număr diferit de 1 şi −1 nu verifică proprietatea 2 din definiţie, atuncinumărul 1 o verifică, deci un cel mai mare divizor comun există oricum.

În treacăt fie spus, nici un divizor comun nu poate avea valoare absolutămai mare decât valoarea absolută a lui a şi a lui b, prin urmare mulţimeadivizorilor comuni este o mulţime finită. Aspectul acesta însă nu joacă nici unrol aici.

Raţionamentul de mai sus privind existenţa celui mai mare divizor comunpentru două numere întregi date, este unul tipic neconstructivist. Un raţion-ament constructivist – care se materializează şi printr-un algoritm de calcul –este cel numit algoritmul lui Euclid.

Să prezentăm acest algoritm pentru două numere pozitive, nenule, directîn varianta sa extinsă.

Fie a, b ∈ N∗, două numere întregi pozitive, nenule, a > b. Cel mai maredivizor comun al lor pozitiv d se notează d = (a, b). Să observăm mai întâi, cădin proprietăţile divizibilităţii 1 de la pagina 14 avem:

d = (a, b)⇐⇒ d = (a− b, b).

Întradevăr, dacă notăm d1 = (a, b) şi d2 = (a − b, b), avem d1|a, d1|b decid1|a− b, prin urmare d1|d2. Reciproc, dacă d2 = (a− b, b) atunci d2|a−, d2|bdeci d2|(a− b) + b, adică d2|a, prin urmare d2|d1. Aşadar d1 şi d2 sunt asociaţiprin divizibilitate, şi fiind pozitivi, coincid, d1 = d2, deci

(a, b) = (a− b, b). (1.1)

Fie acum q şi r, restul şi câtul împărţirii lui a la b, daţi de teorema împărţiriiîntregi 1.1.2 de la pagina 14. Aplicând repetat relaţia 1.1, deducem

(a, b) = (a− b, b) = (a− 2b, b) = . . . = (a− qb, b) = (r, b) = (b, r), (1.2)

undea > b > r. (1.3)

Repetând împărţirea pentru perechea (b, r), b > r, obţinem un rest nou r1 maimic, şi deci prin iterarea acestui pas, cel mai mare divizor comun a celor douănumere de la început a şi b este exprimat cu ajutorul celui mai mare divizorcomun a două numere, din ce în ce mai mici. Aceştia formează un şir strictdescrescător de numere

a > b > r > r3 > r4 > . . . (1.4)

şi avem şi "perpetuarea" celui mai mare divizor comun

(a, b) = (b, r) = (r, r3) = (r3, r4) = . . . = (rk, rk+1) = . . . (1.5)

Page 18: Interior Alg Comp III

18 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Acest şir nu poate fi infinit, la un anumit pas vom obţine rest 0, să spunemrn+1 = 0. Să observăm acum că dacă a > 0, atunci (a, 0) = a (evident), deciultimul rest nenul, rn > 0 este şi cel mai mare divizor comun al celor douănumere a şi b. Aşadar

(a, b) = . . . = (rn, rn+1) = (rn, 0) = rn = d. (1.6)

Acesta este algoritmul lui Euclid.Varianta extinsă a acestui algoritm calculează mai mult: calculează şi două

numere întregi x şi y, cu ajutorul cărora cel mai mare divizor comun se exprimăca o combinaţie liniară a celor două numere date, mai precis

d = a · x+ b · y. (1.7)

Iată cum funcţionează aceasta. Fie deci a şi b două numere întregi pozitive,nenule, şi să presupunem ca mai înainte a > b.

a = b · q2 + r2

b = r2 · q3 + r3

r2 = r3 · q4 + r4

. . .

rk−2 = rk−1 · qk + rk

rk−1 = rk · qk+1 + rk+1

rk = rk+1 · qk+2 + rk+2

. . .

rn−1 = rn · qn+1 + 0.

(1.8)

În paralel avem exprimările succesive ale resturilor, obţinute din aceste relaţiipe rând, din prima, a doua etc.

r2 = a− b · q2 (∗ ∗ a)r3 = b− r2 · q3

r4 = r2 − r3 · q4

. . .

rk = rk−2 − rk−1 · qk

rk+1 = rk−1 − rk · qk+1

rk+2 = rk − rk+1 · qk+2 (∗). . .

rn = rn−2 − rn−1 · qn

0 = rn−1 − rn · qn+1,

(1.9)

Page 19: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 19

sau

r2 = a · x2 + b · y2 (∗ ∗ b)r3 = a · x3 + b · y3

. . .

rk = a · xk + b · yk

rk+1 = a · xk+1 + b · yk+1

rk+2 = a · xk+2 + b · yk+2

. . .

rn = a · xn + b · yn.

(1.10)

Prin înlocuirea lui rk, rk+1, rk+2 în relaţia marcată cu (*) şi identifcarea coe-ficienţilor lui a şi b se citesc din aceste relaţii următoarele relaţii de recurenţă

xk+2 = xk − qk+1 · xk+1

yk+2 = yk − yk+1 · yk+1,(1.11)

care apoi se verifică simplu prin inducţie. Pentru a desăvârşi partea formală,notaţiile

a = r0

b = r1

r = r2

(1.12)

se impun, ele realizează simetria perfectă a relaţiilor

rk = rk+1 · qk+2 + rk+2 (1.13)

valabile acum pentru k = 0, 1, 2, . . . , n, adică încă doi indici.În ceea ce priveşte "iniţializarea" valorilor lui xk şi yk, avem din prima

relaţie

x2 = 1y2 = −q2

(1.14)

Pentru a avea o "iniţializare" cât mai simplă facem un "pas inapoi" prin

b = a · 0 + b (1.15)

care se "codifică" prin

r−1 = r0 · q1 + r1 (1.16)

Page 20: Interior Alg Comp III

20 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

unde evident r−1 = b şi q1 = 0, de unde obţinem o extindere a valorilor lui xk

şi yk, pentru k = 1, şi anume

x1 = 0y1 = 1.

(1.17)

Astfel recurenţele 1.11 pot fi lansate cu 1.17 şi 1.14.Toate acestea pot fi adunate într-un tabel de genul următor.

k a b q r x y r = ax+ by

1 b a 0 b 0 1 b = a · 0 + b · 12 a b q r 1 −q r = a · 1− b · q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k rk−2 rk−1 qk rk xk yk rk = a · xk + b · yk

rk−1 rk qk+1 rk+1 xk+1 yk+1 rk+1 = a · xk+1 + b · yk+1rk rk+1 qk+2 rk+2 xk+2 yk+2 rk+2 = a · xk+2 + b · yk+2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n rn−2 rn−1 qn rn = d xn = x yn = y d = a · x+ b · yrn−1 rn qn+1 0

Aici avem qk şi rk câtul respectiv restul împărţirii luirk−2 la rk−1, şi

xk = xk−2 − qk−1 · xk−1

yk = yk−2 − yk−1 · yk−1,(1.18)

cu "iniţializările" citite din primele două linii ale acestui tabel.Se cuvine să dăm şi un exemplu concret pentru a clarifica până la capăt

algoritmul. Fie a = 491 şi b = 149. Iată tabelul completat:

k a b q r x y r = ax+ by

1 149 491 0 149 0 1 149 = 491 · 0 + 149 · 12 491 149 3 44 1 −3 44 = 491 · 1 + 149 · (−3)3 149 44 3 17 −3 10 17 = 491 · (−3) + 149 · 104 44 17 2 10 7 −23 10 = 491 · 7 + 149 · (−23)5 17 10 1 7 −10 33 7 = 491 · (−10) + 149 · 336 10 7 1 3 17 −56 3 = 491 · 17 + 149 · (−56)7 7 3 2 1 −44 145 1 = 491 · (−44) + 149 · 1458 3 1 3 0

În concluzie

(491, 149) = 1491 · (−44) + 149 · 145 = 1

Page 21: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 21

Evident, toate acestea se regăsesc în formă implementată în pachete decalcul numeric şi simbolic. Vom alege de data aceasta pentru exemplificarepachetul comercial Mathematica al firmei Wolfram Research. Iată instrucţi-unea care se tastează într-un fişier de tip notebook (file.nb).

ExtendedGCD[491, 149]

Evaluarea are ca rezultat:

{1, {−44, 145}}adică cel mai mare divizor comun este 1, iar valorile lui x şi y sunt −44respectiv 145 (nici o surpriză). Prin urmare verificarea cerută prin program

491*(-44) + 149*145 == 1

va afişaTrue

Iată şi un exemplu mai sălbatic, pentru a ilustra capabilităţile Mathematica.

a = 2^1000 + 3^200;b = 5^500;{d, {x, y}} = ExtendedGCD[a, b];dxya*x + b*y == d

De data aceasta cel mai mare divizor comun d, valoarea lui x şi y sunt (veri-ficare întoarce bineînţeles valoarea True)1

-29189677543262776960787444216008590114269463886902865324415669165065953805622380020101617343082623885761631353247869511041640271246965763905145645821019071151560648217327061032545175290225312918134077999783042414542081742628419128270211225041193548805311634475422058887813488932822775438539681534677383597546917527378256781264560106282986323665062,

10238180769424662599244432296014080537395059020107572611020864809524604018771488583426500080414554674791486247016622642383380514708875535830955739874881968649764103695983242621786103352296061679128027426489081573256012763928592391223541007325508924488032882225211939087044108133768686155138536507031

Page 22: Interior Alg Comp III

22 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Algoritmul lui Euclid ne asigură existenţa celui mai mare divizor comun aoricărei perechi de numere întregi nenule. El furnizează şi un procedeu efectivde calcul (eficient) al celui mai mare divizor comun.

Definiţia 1.1.5. Fie a şi b două numere întregi. Dacă cel mai mare divizorcomun al lor este 1, atunci numerele se numesc relativ prime.

Propoziţia 1.1.6. Două numere întregi a şi b sunt relativ prime dacă şinumai dacă există numerele întregi x, y astfel ca

ax+ by = 1. (1.19)

Demonstraţie. Algoritmul lui Euclid extins ne asigură pentru două numererelativ prime exprimarea celui mai mare divizor comun al lor, adică al lui 1,sub forma ax+ by = 1. Invers, să presupunem că pentru numerele a şi b avemo exprimare a lui 1 de forma ax + by = 1. Atunci orice divizor comun d allui a şi b este un divizor şi a lui 1, deci este 1. Prin urmare singurul divizorcomun, deci şi cel mai mare, este 1, adică

(a, b) = 1. (1.20)

2

1.1.2 Numere prime. Teorema fundamentală a aritmeticii

Ce este un număr prim, a fost definit deja în 1.1.3 pe pagina 15. Spuneam căstudiul numerelor prime ocupă un loc central în teoria numerelor. Ele sunt"cărămizile" din care sunt construite toate celelalte numere: fiecare număr esteun produs de numere prime, şi această reprezentare a numerelor este şi unicăpentru fiecare număr, dacă facem abstracţie de ordinea factorilor – acestaeste conţinutul teoremei fundamentale a aritmeticii. Să analizăm puţin maiîndeaproape aceste fapte. Numerele întregi le considerăm în cele ce urmeazăpozitive, fără a pierde din generalitatea raţionamentelor pe care le vom face.

Mai întâi să observăm că orice număr este sau prim, sau are un divizorpropriu prim. Întradevăr, dacă numărul nu este prim, el este compus, deciprodus de două numere mai mici – divizori proprii ale sale. Dacă unul dinacesta este prim, am terminat raţionamentul. Dacă nici unul nu e prim, con-tinuăm descompunerea unuia dintre factori: el este un produs de două numeremai mici. Ambii aceşti divizori sunt şi divizori ai numărului dat. Dacă unuldintre aceştia este prim, am terminat. Dacă nici unul nu este... continuândastfel construim un şir de divizori proprii stric descrescător al numărului dat.Acest şir nu poate fi infinit. Ultimul termen al lui este un divizor propriuindecompozabil, deci prim al numărului dat.

Să reamintim un fapt important demonstrat deja în cărţile lui Euclid.

Page 23: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 23

Teorema 1.1.7. Mulţimea numerelor prime este infinită.

Demonstraţie. Numărul 2 este prim, neavând alţi divizori în afară de 1 şi elînsuşi. Numărul 3 este prim, din acelaşi motiv. Numărul 4 nu este prim, else descompune în produsul 4 = 2 · 2. Numărul 5 este deasemenea prim. Dacăavem un număr finit de numere prime, să spunem

p1, p2, . . . , pk (1.21)

atunci numărul

N = p1p2 · · · pk + 1 (1.22)

este sau prim, sau are un divizor prim. Dacă este prim, e clar că nu figureazăîn lista 1.21. Dacă este compus, atunci divizorul său prim este un număr primcare nu figurează în lista 1.21, deoarece numerele prime din listă nu-l divid peN (restul împărţirii lui N cu oricare din ele este 1). În ambele cazuri avemîncă un număr prim cu care putem alungi lista numerelor prime considerate.Lista numerelor prime este aşadar infinită. 2

Să considerăm un număr întreg pozitiv nenul şi diferit de 1. Să ne ream-intim că numărul 1 este neutru la înmulţire, el poate fi considerat factor aloricărui număr, prin urmare este neinteresant din punctul de vedere al pro-prietăţilor de divizibilitate a numerelor întregi. Dacă numărul considerat esteprim, deci indecompozabil, atunci evident el constituie şi unicul mod de a-lscrie ca un produs de numere indecompozabile.

Aprioric însă trebuie să ne punem problema că dacă un număr apare caun produs de mai multe numere indecompozabile atunci această exprimarea numărului este unică sau nu (evident nu facem distincţie între două de-scompuneri în care aceiaşi factori figurează în altă ordine). Întrebarea estejustificată nu doar datorită problemei analoage pentru adunare – unde evi-dent descompunerea nu este unică, 8 = 1 + 7 = 2 + 6 = . . . – ci şi de faptul căexistă mulţimi de numere în care descompunerea în factori ireductibili nu esteunică! Pentru a nu incita curiozitatea cititorului amintim fără demonstraţiefaptul că în inelul numerelor de forma a+bi

√5, unde a şi b sunt numere întregi,

– inel care se notează Z[i√

5], – avem două descompuneri esenţial diferite înfactori ireductibili ai numărului 6,

6 = 2 · 3 = (1 + i√

5) · (1− i√

5). (1.23)

Page 24: Interior Alg Comp III

24 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Aceste două descompuneri sunt esenţial diferite, deoarece factorii unei de-scompuneri nu sunt asociaţi în divizibilitate cu factorii celelilalte descom-puneri, cu alte cuvinte, factorii uneia din descompuneri diferă de factoriiceleilate descompuneri altfel decât prin "unităţi". Unităţile, aşa cum am maimenţionat sunt factori inversabili, corespondenţi ai lui ±1 din inelul întregilor.În treacăt fie spus elementele inversabile ale acestui inel sunt tot numai nu-merele ±1 = ±1 + 0i

√5. Detaliile acestei demonstraţii nu le amintim aici, dar

menţionăm că elementele acestui inel nu pot fi ordonate liniar spre deosebirede numerele întregi, în schimb o "măsură" a mărimii lor poate fi definită defuncţia

φ(a+ bi√

5) = a2 + 5b2, (1.24)

funcţie care îşi descreşte strict valoarea pentru divizorii proprii ai număruluia+ bi

√5. Cu ajutorul acestei funcţii se demonstrează că factorii lui 6 din cele

două descompuneri, numerele 2, 3, 1+ i√

5, 1− i√

5 sunt toţi patru ireductibili.Iată şi un exemplu în care diferă chiar şi numărul factorilor ireductibili

în două descompuneri ale aceluiaşi număr. În inelul Z[i√

29] al numerelor deforma a+ bi

√29, unde a şi b sunt numere întregi, numărul 30 se descompune

astfel:

30 = 2 · 3 · 5 = (1 + i√

29) · (1− i√

29). (1.25)

Toţi factorii sunt ireductibili, şi diferă până şi numărul acestora în cele douădescompuneri.

În inelul întregilor are loc proprietatea exprimată în următoarea propoziţie.

Propoziţia 1.1.8. Fie p ∈ Z un număr întreg nenul, diferit de ±1. Urmă-toarele două afirmaţii sunt echivalente:

1. p este ireductibil,

2. dacă p|ab, atunci p|a sau p|b, deci dacă p divide un produs, atunci divideunul din factorii acestuia.

Demonstraţie. Fie p un întreg ireductibil. Să presupunem că p|ab, dar p - a.Cel mai mare divizor comun al numerelor p şi a este divizor al lui p deci esteori 1 ori p însuşi. Deoarece p - a, rezultă că (p, a) = 1. Algoritmul lui Euclidextins ne asigură existenţa a două numere x, y ∈ Z astfel ca

1 = px+ ay. (1.26)

Page 25: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 25

De aici obţinem

b = pbx+ aby. (1.27)

Ambii termeni ai acestei sume sunt divizibili cu p, deci şi suma, adică b estedivizibil cu p, ceea ce demonstrează afirmaţia 2.

Reciproc, să presupunem că are loc proprietatea 2 din propoziţie. Aplicândde mai multe ori această proprietate, va rezulta că p divide un factor ireductibilq al său, prin urmare este asociat în divizibilitate cu un număr ireductibil, p|q,q|p. Rezultă că p este ireductibil. 2

Observaţiile 1.1.9.

• În general, în inele care sunt domenii de integritate (fără divizori ailui 0) are loc doar implicaţia: dacă un element este prim, atunci esteireductibil. Întradevăr, fie p un element prim, şi să presupunem că el sedescompune în

p = ab.

Atunci avem p|a sau p|b, şi schimbând la nevoie notaţia putem presupunep|a. Atunci avem

a = pc,

deci ab = pcb saup = pcb.

Aceasta se mai scrie 0 = pcb − p = p(cb − 1), şi inelul neavând divizoriai lui 0, unul din factori este 0, anume cb− 1 = 0. Aşadar

bc = 1,

deci b este inversabil, prin urmare p nu are descompuneri în care ambiifactori să fie neinversabili, deci p este ireductibil.Se vede deci că în contraexemplele de mai sus numerele ireductibile nusunt şi prime.

• Proprietatea a doua din propoziţia precedentă serveşte de fapt ladefiniţia elementului prim al unui inel (integru, adică fără divizori ailui 0). Conform propoziţiei, un număr întreg este indecompozabil exactatunci când este prim, aşadar pentru numere întregi distincţia între ele-mente ireductibile şi prime nu poate fi făcută. Acesta era motivul pentrucare am definit numerele prime direct ca numere indecompozabile. Îngeneral însă distincţia trebuie făcută. Unicitatea descompunerii în fac-tori ireductibili este asigurată tocmai în inelele în care are loc echivalenţacelor două proprietăţi din propoziţia precedentă.

Page 26: Interior Alg Comp III

26 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Să mai facem o observaţie simplă cu caracter technic.

Observaţia 1.1.10. Fie p un număr prim. Dacă p - a1, a2, . . . , ak, atunci(p, a1a2 · · · ak) = 1, adică dacă un număr prim nu divide nici unul din factoriiunui produs, atunci este relativ prim cu produsul.

Întradevăr, dacă am avea (p, a1a2 · · · ak) = d = 1, atunci deoarece d|p, arrezulta d = p. Acum deoarece p este prim şi divide un produs, rezultă cădivide unul din factori, în contradicţie cu ipoteza. Aşadar p este relativ primcu produsul numerelor.

Putem enunţa acum şi teorema fundamentală a aritmeticii.

Teorema 1.1.11 (Teorema fundamentală a aritmeticii). Orice număr întreg nse descompune – unic, abstracţie făcând de ordinea factorilor – într-un produsde numere prime, deci

n = ±p1p2 · · · pk, (1.28)

unde pi sunt numere prime. Dacă

n = p1p2 · · · pk = q1q2 · · · ql, (1.29)

unde pi şi qj sunt numere prime, atunci

k = l

şi după o eventuală renumerotare

pi = qi, pentru orice i = 1, 2, . . . , k.

Demonstraţie. Mai întâi se observă că putem presupune toate numerele poz-itive, dacă numărul dat n este negativ, vom analiza −n, fără a pierde dingeneralitate.

Existenţa descompunerii a fost deja discutată: dacă n este prim nu maiavem nimic de analizat. Dacă n este compus, el are un divizor prim p1, şin = p1n1. Continuând cu n1, până la urmă – într-un număr finit de paşi –avem o descompunere a lui n ca un produs de numere prime, n = p1p2 · · · pk.

Să arătăm unicitatea acestei descompuneri. Fie

n = p1p2 · · · pk = q1q2 · · · ql, (1.30)

Page 27: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 27

două descompuneri ale lui n în factori primi. Conform observaţiei de maiînainte, dacă p1 nu ar divide nici unul din numerele

q1, q2, . . . , ql,

atunci ar fi relativ prim cu produsul lor, adică cu n, ceea ce nu se poate,întrucât p1|n. Prin urmare p1 divide unul dintre aceste numere, şi după aeventuală renumerotare a acestora, putem spune că

p1|q1.

Dar q1 fiind şi el prim, rezultă p1 = q1, şi se continuă analiza cu

n1 = p2p3 · · · pk = q2q3 · · · ql,

deoarece egalitatea 1.30 se poate simplifica cu p1. După k paşi avem

1 = qk+1qk+2 · · · ql, (1.31)

ceea ce nu este posibil decât dacă l = k. Astfel am demonstrat şi unicitateadescompunerii în factori primi. 2

Menţionăm, că un inel fără divizori ai lui 0, în care orice element se descom-pune unic în elemente ireductibile se numeşte inel factorial. Inelul întregiloreste deci inel factorial. Inelele de numere Z[i

√5] şi Z[i

√29] nu sunt inele

factoriale.Printre rânduri din cele de mai sus se poate citi faptul că un inel este

factorial exact atunci când orice element se descompune în produs de fac-tori ireductibili şi orice element ireductibil este prim (primalitatea elementelorireductibile asigură unicitatea descompunerii în elemente ireductibile).

Se vede prin urmare şi faptul că un inel este factorial exact atunci, cândorice element se descompune într-un produs de elemente prime.

În ceea ce priveşte algoritmul lui Euclid, într-un inel A fără divizori ai lui0, aşa cum am sugerat deja, existenţa celui mai mare divizor comun se poateasigura cu ajutorul unei ipoteze care imită teorema împărţirii întregi, unde"micşorarea" restului este măsurat de o funcţie cu valori numere naturale.Astfel de inele se numesc inele Euclidiene, şi în aceste inele există cel maimare divizor comun pentru orice pereche de elemente nenule, iar algoritmullui Euclid se poate reformula în acest context mai general pentru a-l calcula.

Se cuvine în acest moment să vedem – ca şi un prim aspect global – cumse descurcă calculatoarele cu factorizarea numerelor întregi. Apelăm tot lapachetul Mathematica.

Comenzile:

Page 28: Interior Alg Comp III

28 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

FactorInteger[10^26+1]FactorInteger[10^90+1]

ne dau rezultatele într-o clipă:

{{101, 1}, {521, 1}, {1900381976777332243781, 1}}

{{61, 1}, {101, 1}, {181, 1}, {3541, 1}, {9901, 1},{27961, 1}, {4188901, 1}, {39526741, 1}, {999999000001, 1},{4999437541453012143121, 1}, {1105097795002994798105101, 1}}

altfel spus,

1026 + 1 = 101 · 521 · 1900381976777332243781 (1.32)

respectiv

1090 + 1 =61 · 101 · 181 · 3541 · 9901·27961 · 4188901 · 39526741 · 999999000001·4999437541453012143121 · 1105097795002994798105101

(1.33)

În schimb, nu este idee bună în acest an (2012) încercarea factorizării lui10350 + 1...

1.1.3 Inelul întregilor lui Gauss

Limitele pe care ni le-am impus în acest text cu caracter introductiv nu ne per-mit să părăsim universul strict al numerelor întregi. Totuşi viaţa nu cunoaşteaceste limite, şi se întâmplă des în matematică faptul că un context mai gen-eral permite descoperirea unor fapte care apoi au reflexii concrete nemijlociteîn contextul mai particular, adică permit formularea unor rezultate care înlimitele stricte ale acelui context nu ar putea fi atinse şi explicate.

O ilustrare a acestei situaţii este posibilă printr-o scurtă incursiune înuniversul întregilor lui Gauss.

Definiţia 1.1.12. Mulţimea Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} se numeşte mulţimeaîntregilor lui Gauss.

Page 29: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 29

Este uşor de văzut că această mulţime de numere complexe formează uninel. Ne propunem să vedem cum arată numerele prime ale acestui inel denumere, respectiv să vedem dacă acest inel este factorial, deci să vedem cumse descompun întregii lui Gauss în produs având factori ireductibili şi caresunt numerele prime în acest inel.

Pentru aceasta definim funcţia

φ : Z[i] −→ N, φ(a+ bi) = a2 + b2. (1.34)

Avem deci φ(z) = zz, pentru orice z = a + bi ∈ Z[i], de unde se vede faptulcă φ este o funcţie multiplicativă:

φ((a+ bi)(c+ di)) = φ(a+ bi)φ(c+ di). (1.35)

Întradevăr, dacă notăm w = c+ di, avem

φ(z · w) = zw · zw = zzww = φ(z)φ(w).

Mai direct, proprietatea se bazează pe identitatea lui Lagrange, anume

(ac− bd)2 + (ad+ bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2).

Dacă un întreg z = a+ bi al lui Gauss este inversabil,

zw = 1,

atunciφ(z)φ(w) = φ(zw) = φ(1) = 1,

prin urmare

φ(z) = 1, (1.36)

adică 1.36 este condiţie necesară pentru inversabilitatea lui z. Mai în detaliuaceastă condiţie înseamnă

a2 + b2 = 1,

ceea ce înseamnă că poate fi vorba doar de patru perechi de valori pentrunumerele întregi (a, b):

(1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0,−1).

Page 30: Interior Alg Comp III

30 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Corespunzător, avem patru numere, z = 1,−1, i,−i, toate patru fiind in-versabile:

1−1

= −1, 1i

= −i, 1−i

= i. (1.37)

Ca o primă observaţie să notăm faptul că orice întreg a ∈ Z fiind şi unîntreg al lui Gauss, a = a+0i ∈ Z[i], orice descompunere în factori în Z este şio descompunere în Z[i]. În inelul întregilor lui Gauss însă se întâmplă şi altedescompuneri, imposibile în Z, spre exemplu

5 = (2 + i)(2− i) = (1 + 2i)(1− 2i), (1.38)

şi nici unul din factorii acestor descompuneri nu este unitate. Pe de altă partefactorii acestor descompuneri sunt ireductibili, ceea ce se vede imediat, dacă negândim la "măsurarea" acestora cu funcţia φ: dacă un factor w ar fi reductibil,factorii acestuia ar furniza o descompunere a numărului întreg φ(w) în factoriproprii. Dar

φ(2 + i) = φ(2− i) = φ(1 + 2i) = φ(1− 2i) = 5, (1.39)

iar 5 este număr întreg prim, nu are factori proprii.În fine, să ne grăbim să îndepărtăm şi posibila iluzie că am avea de a face

cu două descompuneri diferite. În realitate factorii celor două descompunerinu diferă esenţial, ele diferă doar printr-un factor inversabil, deci sunt asociaţiprin divizibilitate. Mai precis

2 + i = i · (1− 2i) şi 2− i = −i · (1 + 2i). (1.40)

Faptul că orice element are o descompunere în factori ireductibili se cuvinesă arătăm în contextul puţin mai general, deoarece mecanismul care asigurăaceastă proprietate a fost deja practic dezvăluit.

Considerăm un inel A domeniu de integritate (i.e. fără divizori ai lui 0) şio funcţie

φ : A −→ N, (1.41)

care are proprietatea că dacă a, b ∈ A∗, şi a|b astfel ca a este divizor propriual lui b, atunci

φ(a) < φ(b). (1.42)

Page 31: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 31

Propoziţia 1.1.13. Fie A un inel, şi funcţia φ definită ca în 1.41 şi 1.42.Atunci orice element a ∈ A are o descompunere în elemente ireductibile.

Demonstraţie. Dacă elementul a este ireductibil suntem gata. Dacă se de-scompune într-un produs

a = a1 · a2, (1.43)

atunci avem şi

φ(a) = φ(a1) · φ(a2). (1.44)

Continuând analiza factorilor, aceştia sunt ori ireductibili, ori se descompun,şi odată cu ei şi valoarea funcţiei φ. Valorile acestei funcţii sunt însă numerenaturale nenule, divizori ai lui φ(a). Prin urmare numărul factorilor reductibilipoate fi doar un număr finit. 2

Enunţăm – pentru moment fără demonstraţie – două proprietăţi ale inelu-lui întregilor lui Gauss.

Propoziţia 1.1.14. Inelul întregilor lui Gauss este inel factorial.

Propoziţia 1.1.15. În inelul întregilor lui Gauss elementele ireductibile – decielementele prime – sunt:

• 1 + i

• numerele prime de forma 4k + 3,

• cei doi divizori existenţi din Z[i] ai numerelor prime de forma 4k + 1.

În legătură cu întregii lui Gauss se cuvine să amintim un rezultat al luiEuler, cu câteva comentarii de interes local.

Teorema 1.1.16 (Fermat,Euler). Un număr prim p impar este sumă de pă-trate dacă şi numai dacă este de forma 4k + 1.

Demonstraţie. Partea uşoară este faptul că dacă p este impar şi sumă depătrate, atunci este de forma 4k + 1. Întradevăr, dacă p este impar şi

p = a2 + b2,

atunci exact unul dintre numerele a şi b este par iar celălalt este impar. Atuncievident p are forma 4k + 1.

Invers, să presupunem că numărul prim p este de forma 4k + 1. Atunciconform propoziţiei anterioare în care sunt descrise elementele ireductibile ale

Page 32: Interior Alg Comp III

32 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

întregilor lui Gauss, rezultă că în acest inel p se descompune în exact doifactori ireductibili, deci

p = p1 · p2, unde p1, p2 ∈ Z[i].

Atunci avemp2 = φ(p) = φ(p1) · φ(p2),

şi cum nici unul din cei doi factori nu este inversabil (unitate), valorile nu-merelor întregi φ(p1), φ(p2) nu este 1. Prin urmare

φ(p1) = φ(p2) = p.

Acum dacă îl scriem pe

p1 = a+ bi, unde a, b ∈ Z,

atunci va rezultap = a2 + b2,

conform definiţiei funcţiei φ pentru întregii lui Gauss. 2

Câteva comentarii merită făcute pe marginea acestei teoreme. Se pare căteorema a fost formulată pentru prima oară de A. Girard, dar istoria matem-aticii pomeneşte cel mai frecvent sub numele lui Fermat, întrucât el o comuni-case în 1640 într-o scrisoare scrisă lui Mersenne. Euler dăduse o demonstraţieîn 1754 – cei drept lungă de 55 de pagini – aşa cum reiese dintr-o scrisoarea lui Farkas Bolyai din 1854 către fiul său János Bolyai, în care îl şi invităsă încerce o scurtare a demonstraţiei. János în scrisoarea de răspuns trimitepatru (!) demonstraţii scurte, acre se întind pe numai două pagini. Acestedemonstraţii folosesc teoria întregilor lui Gauss (cum ne exprimăm noi astăzi),dezvoltată de János Bolyai independent de Gauss ([91]).

Cea mai scurtă demonstraţie a acestei teoreme are... o singură frază. Estedatorată lui D. Zagier, şi a apărut în The American Mathematical Monthly,Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p. 144. O reproduc aici:

Afirmaţia 1.1.17. Involuţia definită pe mulţimea finită S = {(x, y, z) ∈N3|x2 + 4yz = p} prin

(x, y, z) −→

(x+ 2z, z, y − x− z), dacă x < y − z(2y − x, y, x− y + z), dacă y − z < x < 2y(x− 2y, x− y + z, y), dacă x > 2y

are exact un singur punct fix, deci |S| este impar şi involuţia definită de(x, y, z) −→ (x, z, y) are de asemenea un punct fix.

Page 33: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 33

Toate acestea evident se regăsesc printre facilităţile oferite de Mathematica.Iată comenzile respective.

Descompunerea în factori primi ai lui 2, se face cu ajutorul comenzii:

FactorInteger[2, GaussianIntegers -> True]

Rezultatul este cel aştepta:

{{-I, 1}, {1 + I, 2}}

adică2 = −i · (1 + i)2.

Prin urmare, făcând abstracţie de un factor inversabil (−i), numărul 2 esteun pătrat perfect, este pătratul numărului 1 + i, prim în inelul întregilor luiGauss.

Putem investiga primalitatea cu ajutorul unei comenzi, apoi – doar în cazulîn care numărul nu este prim – să cerem descompunerea lui.

PrimeQ[101]PrimeQ[101, GaussianIntegers -> True]FactorInteger[101, GaussianIntegers -> True]

Obţinem

TrueFalse{{-I, 1}, {1 + 10 I, 1}, {10 + I, 1}}

adică 101 este prim ca număr întreg, dar se descompune în doi factori primica întreg al lui Gauss.

101 = −i · (1 + 10i) · (10 + i).

Iată şi descompunerea exemplelor anterioare mai mari.

FactorInteger[10^26 + 1, GaussianIntegers -> True]FactorInteger[10^90 + 1, GaussianIntegers -> True]

Cu rezultatele:

{{I, 1}, {1 + 10 I, 1},{10 + I, 1},{11 + 20 I, 1}, {20 + 11 I,1},{17103437791 + 40098059710 I,1},{40098059710 + 17103437791 I,1}}

Page 34: Interior Alg Comp III

34 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

{{I, 1}, {1 + 10 I, 1}, {5 + 6 I, 1}, {6 + 5 I, 1}, {9 + 10 I,1},{10 + I, 1}, {10 + 9 I, 1}, {10 + 99 I, 1}, {25 + 54 I, 1},{54 + 25 I, 1}, {85 + 144 I, 1}, {99 + 10 I, 1}, {144 + 85 I,1},{430 + 2001 I, 1}, {1000 + 999999 I, 1}, {2001 + 430 I, 1},{3465 + 5246 I, 1}, {5246 + 3465 I, 1}, {999999 + 1000 I, 1},{49894602039 + 50099563160 I,1},{50099563160 + 49894602039 I,1},{52049947950+1049946950051 I,1},{1049946950051+52049947950 I,1}}

Întâmplător, toţi factorii primi au fost de tipul 4k+ 1, prin urmare toţi sedescompun în inelul întregilor lui Gauss în câte două numere prime complexconjugate.

1026 + 1 =i · (1 + 10i) · (10 + i) · (11 + 20i) · (20 + 11i)·(17103437791 + 40098059710i) · (40098059710 + 17103437791i)

(1.45)

1090 + 1 =i · (1 + 10i) · (5 + 6i) · (6 + 5i) · (9 + 10i) · (10 + i) · (10 + 9i)·(10 + 99i) · (25 + 54i) · (54 + 25i) · (85 + 144i) · (99 + 10i)·(144 + 85i) · (430 + 200i) · (1000 + 999999i) · (2001 + 430i)·(3465 + 5246i) · (5246 + 3465i) · (999999 + 1000i)·(49894602039 + 50099563160i) · (50099563160 + 49894602039i)·(52049947950 + 1049946950051i) · (1049946950051 + 52049947950i)

(1.46)

1.1.4 Şiruri recurente. Numerele lui Fibonacci

Şirurile definite de relaţii de recurenţă joacă un rol important în evaluareaperformanţei algoritmilor. În situaţia tipică în care avem un algoritm definitrecursiv, cu dimensiunea datelor de intrare n, evaluarea numărului de operaţiifăcut de algoritm conduce la o formulă definită prin intermediul unei relaţiide recurenţă. Să amintim aici cele mai importante şiruri definite de relaţii derecurenţă.

Definiţia 1.1.18 (Progresia aritmetică şi geometrică). Cele mai des întâlniteşiruri numerice sunt:

• Şirul definit de relaţia an+1 = an + r, a1 = a se numeşte progresiearitmetică. Termenul general are formula

an = a+ (n− 1) · r.

Page 35: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 35

Suma primilor n termeni

Sn = a1 + a2 + . . .+ an = n · a+ rn(n− 1)

2.

• Şirul definit de relaţia an+1 = an · r, a1 = a se numeşte progresie geo-metrică. Termenul general are formula

an = a · rn−1.

Suma primilor n termeni (r = 1)

Sn = a1 + a2 + . . .+ an = a · rn − 1r − 1

.

Analizând algoritmului lui Euclid în cazul cel mai defavorabil se observăcă numărul cel mai mare de operaţii se face atunci când fiecare împărţire arecâtul cel mai mic posibil, adică 1. Atunci împărţirea întreagă este de fapt oscădere: a = b·1+r, adică r = a−b. În acest caz particular a şi b, deîmpărţitulşi împărţitorul vor forma termenii consecutivi ai şirului definit recurent prinrelaţia an+1 = an + an−1.

Definiţia 1.1.19 (Şirul lui Fibonacci). Şirul definit de relaţia de recurenţă

an+1 = an + an−1,

şi "iniţializarea" a0 = a1 = 1 se numeşte şirul lui Fibonacci.

Relaţia de recurenţă este o relaţie liniară, cu coeficienţi constanţi. Tipic oastfel de relaţie admite soluţii de tip progresie geometrică, raţia r a acesteiaeste rădăcină a polinomului caracteristic

λ2 = λ+ 1.

Cele două progresii geoemtrice care rezultă vor avea deci raţia

λ1 = 1 +√

52

respectiv λ1 = 1−√

52

În treacăt fie spus, λ1 este celebrul raport de aur , care se regăseşte în nu-meroase construcţii naturale şi artificiale constituind un reper numeric pentruexprimarea armoniei în artă şi arhitectură. Literatura legată de raportul deaur este imensă, astfel ca putem să ne permitem să facem doar o trimiteregenerală la aceasta pentru alte detalii.

Page 36: Interior Alg Comp III

36 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Termenul general al şirului lui Fibonacci se deduce observând că şirurilecare verifică o relaţie de recurenţă liniară cu coeficienţi constanţi formeazăun spaţiu vectorial de dimensiune egală cu gradul polinomului caracteristic, încazul nostru 2, în care progresiile având raţia dată de aceste rădăcini formeazăo bază. Identificând coeficienţii unei combinaţii liniare ale acestor progresiicu ajutorul condiţiilor iniţiale date se obţine formula generală a termenuluigeneral căutat. În cazul şirului lui Fibonacci se obţine

an = λn1 − λn

2λ1 − λ2

,

sau mai explicit

an =(1+

√5

2 )n − (1−√

52 )n

√5

=

1+√

52 )n

√5

, (1.47)

unde am notat prin [a] întregul cel mai apropiat de numărul real a.O tratare mai elegantă – care conţine implicit şi cazul rădăcinilor confun-

date, trecute sub tăcere în analiza sumară de mai sus – se poate face prinfolosirea notaţiei matriciale. Să amintim pe scurt această abordare.

Fie relaţia de recurenţă

an+k = b1an+k−1 + b2an+k−2 + . . .+ bk−1an+1 + bkan, (1.48)

unde bi sunt constante. Primii k termeni a1, a2, . . . , ak se consideră date,următorii se calculează din relaţia de recurenţă punând n = 1, 2, . . .

Scriind

an+k = b1an+k−1 + b2an+k−2 + . . .+ bk−1an+1 + bkan

an+k−1 = an+k−1. . .

an+2 = an+2an+1 = an+1

(1.49)

apoi introducând notaţiile

vn =

an+k

an+k−1...an+2an+1

(1.50)

Page 37: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 37

şi

A =

b1 b2 . . . bk−1 bk

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 0

(1.51)

relaţia de recurenţă 1.48 are următoarea transcriere matricială:

vn = A · vn−1, (1.52)

unde v0 se consideră date, componentele acestui vector fiind primii k termeniai şirului, ak, ak − 1, . . . , a2, a1.

Acum este simplu de dedus formula termenului general:

vn = A · vn−1 = A2 · vn−2 = . . . = An · v0. (1.53)

Fie D forma canonică Jordan a matricii A, astfel ca A = CDC−1, pentruo matrice C inversabilă potrivită. Această matrice D are pe diagonală valorileproprii ale lui A, adică exact rădăcinile ecuaţiei caracteristice

λk = b1λk−1 + b2λ

k−2 + . . .+ bk−1λ+ bk, (1.54)

şi astfel avem la dispoziţie un algoritm de calcul efectiv al termenului generalal şirului, an. Fiecare celulă Jordan – de dimensiune egală cu multiplicitateaalgebrică a rădăcinii respective – în cazul în care are dimensiune strict suprau-nitară, va modifica formula de tip progresie geometrică cu un factor polinomialîn n de grad egal cu dimensiunea celului minus 1. Detaliile acestui calcul potfi găsite în numeroase tratate despre şiruri.

Fibonacci în Mathematica? Evident nu lipseşte.

Table[Fibonacci[n], {n, 65}]

{ 1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21,34, 55, 89, 144,233, 377, 610, 987,1597, 2584, 4181, 6765,10946, 17711, 28657, 46368,75025, 121393, 196418, 317811,514229, 832040, 1346269, 2178309,3524578, 5702887, 9227465, 14930352,24157817, 39088169, 63245986, 102334155,

Page 38: Interior Alg Comp III

38 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

165580141, 267914296, 433494437, 701408733,1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976,7778742049, 12586269025, 20365011074, 32951280099,53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717,365435296162, 591286729879, 956722026041, 1548008755920,2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723,17167680177565,...}

Numărul cifrelor creşte liniar cu n, deci an are o creştere exponenţială (vezişi formula 1.47).

O relaţie între termenii şirului:

FullSimplify[Fibonacci[n + 1] Fibonacci[n - 1] - Fibonacci[n]^2,n > 0 && n \[Element] Integers]

este

(-1)^n.

Şi bineînţeles avem şi limita

Limit[Fibonacci[n]/Fibonacci[n - 1], n -> Infinity]

calculată prin program

1/2 (1 + Sqrt[5]).

adică raportul de aur.

1.1.5 Congruenţe. Teorema chinezească a resturilor

Congruenţele constituie un mod ingenios şi eficace de a transforma mulţimeainfinită a întregilor într-o mulţime finită de întregi, cu păstrarea tuturor pro-prietăţilor celor două operaţii între întregi.

Fie n un număr întreg pozitiv, n ≥ 2. Cel mai simplu mod de a privi con-gruenţele mod n, este de a considera reprezentarea întregilor în baza n, apoia renunţa la toate cifrele reprezentării, exceptând ultima cifră. Se constată căoperaţiile de adunare şi înmulţire existentă între numerele întregi, văzută doarpe ultima cifră a numerelor, îşi păstrează toate proprietăţile avute: adunareaeste asociativă, există element nul, 0, fiecare număr k, (0 ≤ k ≤ n−1) are opus(−0 = 0 respectiv −k = n − k), şi aşa mai departe. Ba chiar proprietăţile sepot îmbunătăţi: dacă modulul n este ales număr prim, atunci devine posibilăşi împărţirea necondiţionată.

Toate acestea în versiunea formalizată tradiţională se prezintă astfel.

Page 39: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 39

Definiţia 1.1.20. Fie n ≥ 2 un număr întreg. Relaţia între numerele întregi,definită prin

x ∼ y dacă n|x− y, (1.55)

este o relaţie de echivalenţă compatibilă cu adunarea şi înmulţirea întregilor,numită relaţie de congruenţă modulo n. Clasele de echivalenţă se numesc clasede resturi modulo n, iar apartenenţa la aceeaşi clasă se mai notează

x ≡ y mod n. (1.56)

Deoarece în general este preferabil să apară modulul n explicit în fiecarecongruenţă notaţia mai simplă pe care o vom adopta noi nu va produce nici oconfuzie:

x = y mod n. (1.57)

Compatibilitatea cu adunarea şi înmulţirea întregilor înseamnă (modululn fixat):

x1 ∼ y1 şi x2 ∼ y2 implică x1 + x2 ∼ y1 + y2

x1 ∼ y1 şi x2 ∼ y2 implică x1 · x2 ∼ y1 · y2(1.58)

Datorită acestei compatibilităţi, operaţia de adunare şi înmulţire între clasede echivalenţă prin intermediul a câte unui reprezentant arbitrar ales al clasei,funcţionează, este bine definită: altfel spus, nu depinde de alegerea reprezen-tanţilor claselor.

Prin urmare congruenţele modulo n au următoarele proprietăţi:

Proprietăţi 1. Fie n un număr întreg fixat n ≥ 2. Atunci

1. x = x mod n pentru orice număr întreg x,

2. x = y mod n dacă şi numai dacă y = x mod n, pentru orice numereîntregi x, y

3. dacă x = y mod n şi y = z mod n atunci x = z mod n, pentru oricenumere întregi x, y, z

4. x1 = y1 mod n şi x2 = y2 mod n implică x1 + x2 = y1 + y2mod n

5. x1 = y1 mod n şi x2 = y2 mod n implică x1 · x2 = y1 · y2 mod n

6. x = 0 mod n înseamnă x = kn pentru o valoare potrivită a lui k, saupur şi simplu n|x.

Page 40: Interior Alg Comp III

40 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Demonstraţia acestor proprietăţi este o simplă reinterpretare a propri-etăţilor divizibilităţii între numere întregi, prin urmare este lăsată pe seamacititorului.

Cazul în care modulul congruenţei este număr prim este deosebit: toateclasele de resturi nenule devin inversabile.

Propoziţia 1.1.21. Fie n un număr întreg, n ≥ 2.

1. Dacă a ∈ Z este relativ prim cu n, adică (a, n) = 1, atunci există unnumăr întreg b ∈ Z astfel încât

ab = 1 mod n.

2. Dacă n = p este număr prim, atunci pentru orice a nedivizibil cu p,p - a, există b astfel ca ab = 1 mod n.

Demonstraţie. Pentru punctul 1, fie deci a, astfel ca (a, n) = 1. Atuncipropoziţia 1.1.6 de la pagina 22 asigură existenţa a două numere întregi, să lenotăm b, k, astfel ca

ab+ nk = 1.

Avem deci n|ab− 1, deci ab− 1 = 0 mod n, adică

ab = 1 mod n.

Punctul 2 al afirmaţiei din propoziţie este cazul particular în care n = p estenumăr prim. Atunci evident orice număr a nedivizibil cu p este relativ primcu p, şi se aplică punctul 1. 2

Cu ajutorul relaţiei de congruenţă putem formula ecuaţii. Cea mai simplăecuaţie este cea liniară.

Problema 1.1.22. Considerăm un număr n, întreg, n ≥ 2. Fie a, b douănumere întregi. Să se găsească toate numerele întregi x astfel ca

ax = b mod n. (1.59)

Soluţie. Pentru a rezolva această problemă, să observăm mai întâi că dacă

(a, n) = d,

relaţia 1.59 scrisă astfelax− b = nk, (1.60)

pentru un număr întreg k potrivit ales, sau sub forma ax − nk = b, implicăfaptul că

d|b.

Page 41: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 41

Aşadar pentru existenţa lui x avem o condiţie necesară

(a, n)|b. (1.61)

Să presupunem că această condiţie necesară este îndeplinită. Împărţindegalitatea 1.60 cu d = (a, n) şi după rebotezarea câturilor lui a, b, n tot cuaceste litere, avem de rezolvat aceeaşi congruenţă în ipoteza

(a, n) = 1.

Fie y, k astfel caay + nk = 1,

daţi de propoziţia 1.1.6 de la pagina 22. Această relaţie înmulţită cu b ne dă

ayb+ nkb = b, (1.62)

sau dacă notămx0 = yb, (1.63)

avem ax0 − b = nkb, ceea ce înseamnă n|ax0 − b sau

ax0 = b mod n.

Revenind la ecuaţia iniţială, toate soluţiile acesteia se obţin acum scriind

x = x0 + k · nd. (1.64)

2

Iată câteva exemple numerice:

Problemele 1.1.23. Să se rezolve următoarele congruenţe:

1. 4x = 7 mod 15

2. 5x = 7 mod 15

3. 5x = 10 mod 15

Rezolvare. 1. Avem (4, 15) = 1 şi 1|7, deci există soluţii. Algoritmul lui Euclidextins ne dă pentru reprezentarea

4y + 15k = 1,

valorile y = 4 şi k = −1. Conform metodei deduse în propoziţia anterioară,x = 4 · 7 mod 15 = 28 mod 15 deci

x = 13 mod 15.

Page 42: Interior Alg Comp III

42 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

2. Acum (5, 15) = 5 şi 5 - 7, deci nu există soluţii.3. Avem (5, 15) = 5 şi 5|10, deci soluţii există. Simplificând ecuaţia cu 5,

avem de rezolvat

x0 = 2 mod 3,

ceea ce s-ar rezolva ca la punctul 1, dacă... nu ar fi deja rezolvată. Toatesoluţiile ecuaţiei date sunt x = 2 + k · 15

5mod 15, adică:

x = 2 + 3k mod 15,

unde k este un întreg arbitrar. Un set complet mod 15 de soluţii este prinurmare

x ∈ {2, 5, 8, 11, 14}.

2

Urmează evident prezentarea acestor calcule în Mathematica. Iată progra-mul scris.

n = 15;Reduce[Mod[4 x, n] == Mod[7, n] && 0 <= x < n &&

x \[Element] Integers, x]Reduce[Mod[5 x, n] == Mod[7, n] && 0 <= x < n &&

x \[Element] Integers, x]Reduce[Mod[5 x, n] == Mod[10, n] && 0 <= x < n &&

x \[Element] Integers, x]

...şi cele trei rezultate obţinute:

x == 13

False

x == 2 || x == 5 || x == 8 || x == 11 || x == 14

Cea mai simplă extindere a problemei ecuaţiilor de congruenţe cu doar onecunoscută şi mai multe module este următoarea problemă:

Page 43: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 43

Problema 1.1.24. Se dau numerele întregi n1, n2, . . . , nk, ni ≥ 2. Să segăsească numărul întreg x – toate, dacă sunt mai multe – astfel ca

x = r1 mod n1x = r2 mod n2x = r3 mod n3

. . .x = rk mod nk

(1.65)

unde r1, r2, . . . , rk sunt numere date.Problema se numeşte problema chinezească a resturilor şi soluţia ei se

bazează pe teorema cu acelaşi nume.Teorema 1.1.25 (Teorema chinezească a resturilor). Fie numerele întregin1, n2, . . . , nk, ni ≥ 2, relativ prime două câte două. Atunci există numereîntregi x astfel ca

x = r1 mod n1x = r2 mod n2x = r3 mod n3

. . .x = rk mod nk

(1.66)

unde r1, r2, . . . , rk sunt numere date. Oricare două astfel de numere sunt con-gruente mod n1n2 · · ·nk.Demonstraţie. Considerăm perechile de numerele întregi relativ prime:

n1 n2n3n4 · · ·nk,n2 n1n3n4 · · ·nk,n3 n1n2n4 · · ·nk,

. . .nk n1n2n3 · · ·nk−1.

(1.67)

Există atunci câte o combinaţie liniară a lor egală cu 1 pentru fiecare pereche.Coeficienţii acestora sunt

x1 y1,x2 y2,x3 y3,

. . .xk yk,

(1.68)

prin urmarel1n1 + y1n2n3n4 · · ·nk = 1,l2n2 + y2n1n3n4 · · ·nk = 1,l3n3 + y3n1n2n4 · · ·nk = 1,

. . .lknk + ykn1n2n3 · · ·nk−1 = 1.

(1.69)

Page 44: Interior Alg Comp III

44 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

De aici deducem

x1 = y1n2n3n4 · · ·nk = 1 mod n1,x2 = y2n1n3n4 · · ·nk = 1 mod n2,x3 = y3n1n2n4 · · ·nk = 1 mod n3,

. . .xk = ykn1n2n3 · · ·nk−1 = 1 mod nk.

(1.70)

dar în acelaşi timp

x1 = 0 mod n2, n3, n4, . . . , nk,x2 = 0 mod n1, n3, n4, . . . , nk,x3 = 0 mod n1, n2, n4, . . . , nk,

. . .xk = 0 mod n1, n2, n3, . . . , nk−1,

(1.71)

Acum soluţia problemei este

x = x1r1 + x2r2 + x3r3 + . . .+ xkrk mod n, (1.72)

unde am notat n = n1n2n3 · · ·nk. Se vede din construcţia lui x că x = ri

mod ni pentru orice i = 1, 2, . . . , k. 2

Iată şi un exemplu numeric simplu.

Problema 1.1.26. Să se găsească cel mai mic număr întreg pozitiv x astfelca

x = 1 mod 3x = 3 mod 4x = 3 mod 5.

(1.73)

Soluţie. Avem, cu ajutorul algoritmului lui Euclid extins:((4 · 5)−1 mod 3) · 4 · 5 = 2 · 4 · 5 = 40((3 · 5)−1 mod 4) · 3 · 5 = 3 · 3 · 5 = 45((3 · 4)−1 mod 5) · 3 · 4 = 3 · 3 · 4 = 36

(1.74)

Prin urmare soluţia este:x = 1 · 40 + 3 · 45 + 3 · 36 mod 3 · 4 · 5

= 283 mod 60= 43 mod 60.

(1.75)

Toate soluţiile sunt de forma 43 + 60k, cea mai mică soluţie fiind 43.

Page 45: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 45

Fireşte vom realiza aceste calcule şi în Mathematica. Nu este o surprizăfaptul că Mathematica are o comandă pregătită pentru a furniza soluţia uneiprobleme de tipul resturilor chinezeşti. Aşadar comanda

ChineseRemainder[{1, 3, 3}, {3, 4, 5}]

va da rezultatul direct sub forma celui mai mic întreg care verifică congru-enţele date.

43

Proprietăţile demonstrate până acum au şi o formulare mai "elegantă" carefoloseşte proprietăţi structurale. Mai precis avem următoarele:

• Inelul întregilor Z este inel factorial: orice număr întreg se descompuneunic în produs de numere prime (este valabilă teorema fundamentală aaritmeticii).

• Inelul întregilor Z este inel euclidian: orice număr întreg se poate împărţicu orice întreg nenul, astfel ca este valabilă "proba" împărţirii, iar câtulşi restul sunt unici, dacă restul este între 0 şi modulul împărţitoruluiminus 1 (este valabilă teorema împărţiri întregi).

• Inelul întregilor este inel cu ideale principale: orice ideal este format dintoţi multiplii unui număr.

• În inelul întregilor orice pereche de numere (nu ambele nule) are un celmai mare divizor comun (şi un cel mai mic multiplu comun).

• Mulţimea claselor de resturi modulo n (n ≥ 2) formează un inel. El esteinelul factor al întregilor cu idealul generat de n. Acest inel se noteazăcu Zn.

• În inelul claselor de resturi Zn un element este inversabil dacă şi numaidacă (a, n) = 1, adică dacă este relativ prim cu modulul.

• Dacă modulul n = p este număr prim, atunci inelul factor Zp este corp:toate elementele nenule sunt inversabile. Invers toate elementele nenuledin Zn sunt inversabile, doar dacă n este prim.

• Dacă n1, n2, . . . , nk sunt relativ prime două câte două, atunci inelele

Zn ≡ Zn1

⊕Zn2

⊕. . .⊕

Znk,

sunt izomorfe, unde am notat n = n1 ·n2 · · ·nk. Aceasta este o reformu-lare a teoremei chinezeşti a resturilor.

Page 46: Interior Alg Comp III

46 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

1.1.6 Teorema lui Fermat, Wilson, şi Euler

Fie p un număr prim. Dacă 0 ≤ k, l < p atunci pentru orice număr a nedivizibilcu p avem

dacă ka = la mod p atunci k = l. (1.76)

Întradevăr, dacă ka = la mod p atunci ka− la = 0 mod p, deci (k−l)a = 0mod p, sau p|(k− l)a. Dar p este prim şi nu divide a, prin urmare p|k− l. Dar|k − l| < p, deci nu rămâne decât alternativa k = l.

Fie acum din nou a un număr nedivizibil cu p. Conform celor de mai susnumerele

1 · a, 2 · a, 3 · a, . . . , (p− 1) · a, (1.77)

sunt p− 1 numere care se află în clase de echivalenţe nenule diferite două câtedouă modulo p, astfel ele reprezintă tot cele p− 1 clase de echivalenţă modulop reprezentate şi de numerele

1, 2, 3, . . . , (p− 1), (1.78)

eventual într-o ordine diferită. Rezultă însă de aici că produsele celor p − 1numere reprezintă clase de echivalenţă egale, deci

1 · a · 2 · a · 3 · a · . . . · (p− 1) · a = 1 · 2 · 3 · . . . · (p− 1) mod p. (1.79)

Simplificând congruenţa cu produsul 1 · 2 · 3 · . . . · (p − 1), număr evidentnedivizibil cu numărul prim p, obţinem:

ap−1 = 1 mod p. (1.80)

Am demonstrat relaţia cunoscută sub numele de teorema lui Fermat.

Teorema 1.1.27 (Teorema lui Fermat). Fie p un număr prim, şi fie a unîntreg nedivizibil cu p. Atunci

ap−1 = 1 mod p. (1.81)

Se pune imediat întrebarea: este reciproca teoremei lui Fermat adevărată?Adică, dacă pentru orice a relativ prim (a, n) = 1 cu un număr n dat, aveman−1 = 1 mod n, atunci rezultă oare de aici că numărul n este prim? Săobservăm, că dacă pentru un număr a < n avem d = (a, n) = 1, atunci nautomat nu este prim, deci testul de primalitate prin intermediul reciproceiteoremei lui Fermat se pune cu condiţionarea alegerii lui a relativ prim cunumărul testat n. De altfel dacă a < n şi d = (a, n) = 1, atunci an−1 = 1mod n este automat falsă.

Page 47: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 47

Dacă reciproca teoremei lui Fermat ar fi adevărată, am avea în principiuun test de primalitate exact pentru numere întregi. Reciproca însă nu esteadevărată. Un contraexemplu îl constituie n = 561 = 3 · 11 · 17, pentru care

a560 = 1 mod 561, (1.82)

pentru orice număr întreg (a, 561) = 1, relativ prim cu 561. Asupra acestoraspecte vom mai reveni. Enunţăm acum

Totuşi teorema lui Fermat este deosebit de importantă pentru testarea pri-malităţii unui număr dat p... mai bine zis în primul rând în testarea faptuluică numărul este compus, deci testarea non-primalităţii. Ne putem limita latestarea numerelor impare, deoarece numerele pare sunt compuse, fiind diviz-ibile cu 2. Teorema lui Fermat are o formulare echivalentă dată mai jos:

Teorema 1.1.28 (Reformularea echivalentă a Teoremei lui Fermat). Fie nun număr întreg impar, diferit de 1. Dacă există un număr întreg a relativprim cu n, (a, n) = 1, astfel ca

an−1 = 1 mod n, (1.83)

atunci n este compus.

Demonstraţie. Nu este cazul să mai dăm o demonstraţie, dar repetăm totuşiraţionamentul: dacă n = p ar fi prim, atunci ar fi relativ prim cu orice număra nedivizibil cu el, şi conform teoremei lui Fermat, am avea an−1 = 1 mod n,în contradicţie cu ipoteza teoremei. 2

Utilitatea practică a acestei reformulări în testarea non-primalităţii lui neste dat de cel puţin trei fapte. Le prezentăm aici sumar, pentru a aveao imagine de ansamblu asupra acestei problematici, urmând să revenim cuamănunte acolo unde contextul va cere o dezvoltare a ideilor respective.

Primul fapt este existenţa unui algoritm de ridicare la putere modulo nrapid: pentru calculul lui an mod p este suficient să îl scriem pe n în baza 2,să-l calculăm pe

a2 mod p, (a2)2 = a22 mod p, (a22)2 = a23 mod p, . . . (1.84)

ceea ce înseamnă un număr de înmulţiri (şi împărţiri) proporţional doar cunumărul cifrelor (binare, deci şi zecimale ale) lui n, apoi să mai facem unnumăr de înmulţiri, corespunzător cu poziţiile în care cifra în baza 2 a lui neste 1, adică în total încă cel mult un număr de înmulţiri modulo n egal cunumărul cifrelor minus 1 al lui n.

Page 48: Interior Alg Comp III

48 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Pe de altă parte numărul numerelor a, care "trădează" non-primalitatealui n nu este mic – dacă există astfel de numere (!). Acest lucru se vede dinurmătorul raţionament simplu. Fie a un "complice" pentru n, adică

an−1 = 1 mod n,

şi fie b un "trădător", adică

bn−1 = 1 mod n.

Atunci ab este tot un "trădător". Întradevăr, dacă am avea

(ab)n−1 = 1 mod n,

atunci am avea şi 1 = (ab)n−1 mod n = an−1 · bn−1 mod n = (an−1

mod n) · (bn−1 mod n) = bn−1 mod n, adică

bn−1 = 1 mod n,

o contradicţie. Prin urmare dacă avem un singur "trădător", el transformăîn "trădător" orice "complice" prin înmulţire cu acesta, deci orice număr de"complici" am avea şi un singur "trădător", automat avem şi un număr de"trădători" egal cu numărul acestor "complici". Un număr mai mic decât neste sau "complice" sau "trădător", prin urmare cel puţin jumătate dintre aceş-tia sunt "trădători" – repetăm, doar dacă există cel puţin un "trădător". Înconsecinţă, la o alegere succesivă aleatoare a numerelor a, pentru testarea non-primalităţii lui n, este extrem de improbabilă nimerirea unei secvenţe lungi de"complici" pentru n. La fiecare pas probabilitatea ca şirul "complicilor" să selungească scade la cel puţin jumătate.

În fine, în al treilea rând se constată că numărul numerelor compuse carenu au nici un "trădător" – acestea se numesc numere Carmichael – este extremde mic. Distribuţia acestor numere – ca şi distribuţia numerelor prime – nuintră pentru moment în atenţia noastră.

Înainte de a trece la generalizarea teoremei lui Fermat datorată lui Euler,să dăm o formulare mai algebrică teoremei lui Fermat.

Propoziţia 1.1.29. Fie p un număr prim (impar). Considerăm corpul finitde numere Zp. Atunci toate elementele nenule ale lui Zp sunt rădăcini alepolinomului f = xp−1− 1 (cu coeficienţi în Zp), prin urmare avem şi descom-punerea în factori

xp−1 − 1 = (x− 1)(x− 2)(x− 3) · · · (x− (p− 1)). (1.85)

Page 49: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 49

Demonstraţie. Teorema lui Fermat afirmă tocmai faptul că orice clasă deechivalenţă a nenulă mod p are proprietatea că

ap−1 − 1 = 0,

deci este rădăcină a polinomului cu coeficienţi în Zp, f = xp−1 − 1. Pe dealtă parte teorema lui Bezout, valabilă pentru polinoame cu coeficienţi într-un corp, spune că dacă un număr a este rădăcină a polinomului f , atunci f sedivide la (x− a), deci f(x) = (x− a) · g(x). Aplicând acest fapt pentru toaterădăcinile lui f se obţine descompunerea în factori 1.85. 2

Avem acum o minge ridicată la fileu prea uşoară ca să nu o valorificăm.

Teorema 1.1.30 (Teorema lui Wilson). Fie p un număr prim impar. Atunci

1 · 2 · 3 · . . . · (p− 1) + 1 = 0 mod p. (1.86)

Demonstraţie. Scriind relaţiile lui Viete pentru ecuaţia din 1.85, din propoziţia1.1.29, rezultă imediat că produsul rădăcinilor ecuaţiei este (−1)p−1 ·(−1), deci

1 · 2 · 3 · . . . · (p− 1) = −1 mod p, (1.87)

ceea ce este este tocmai afirmaţia teoremei lui Wilson. 2

Să observăm în treacăt faptul că reciproca teoremei lui Wilson este deasemenea adevărată. Întradevăr, relaţia 1.86 poate fi citită şi astfel (vezi şipropoziţia 1.1.6, de la pagina 22): (a, p) = 1, pentru toate numerele a =1, 2, 3, . . . , (p − 1), deci p este relativ prim cu toate numerele mai mici ca el,prin urmare nu are divizori proprii, deci p este prim. Aşadar proprietatea1.86 este un test exact de primalitate pentru numărul p. Numărul mare deînmulţiri implicat face însă aplicarea acestui criteriu total nepractic.

Pentru a enunţa teorema lui Euler avem nevoie de o funcţie pe care odefinim acum.

Definiţia 1.1.31. Fie n un număr întreg nenul. Numărul numerelor relativprime cu n mai mici decât el se numeşte funcţia lui Euler şi se notează φ(n).

Orice funcţie odată definită, devine utilă doar dacă este calculabilă.Proprietatea fundamentală a funcţiei lui Euler, care permite calculul lui

efectiv (a se înţelege, în cazul în care dispunem de o factorizare completă anumărului n) este multiplicativitatea. În cele ce urmează vom analiza succintproprietăţile funcţiilor aritmetice multiplicative.

Page 50: Interior Alg Comp III

50 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Definiţia 1.1.32. Fie f : N∗ −→ C se numeşte funcţie aritmetică multiplica-tivă, dacă

f(a · b) = f(a) · f(b), dacă (a, b) = 1. (1.88)

Dacă proprietatea are loc fără restricţia ca a şi b să fie relativ prime, funcţiaf se va numi complet multiplicativă.

Funcţia constantă f(n) = 1 pentru orice n ∈ N∗ sau funcţia identitatef(n) = n pentru orice n ∈ N∗ sunt evident multiplicative, dar exempleleinteresante de funcţii aritmetice multiplicative putem bănui că sunt legate deproprietăţile de divizibilitate ale numerelor întregi. Propoziţia care urmeazăpregăteşte terenul în această direcţie.

Propoziţia 1.1.33. Fie f : N∗ −→ C o funcţie multiplicativă şi fie funcţiag : N∗ −→ C definită astfel

g(n) =∑d|n

f(d). (1.89)

Atunci funcţia g este o funcţie aritmetică multiplicativă.

Demonstraţie. Fie n,m ∈ N∗, astfel ca (n,m) = 1. Atunci avem

g(n ·m) =∑

d|nm

f(d)

=∑

d=d1d2,d1|n,d2|mf(d1d2)

=∑

d1|n,d2|mf(d1)f(d2)

=∑d1|n

f(d1)∑d2|m

f(d2)

= g(n) · g(m).

(1.90)

2

Astfel, dintr-o funcţie aritmetică multiplicativă putem construi o altăfuncţie aritmetică multiplicativă.

Din două funcţii aritmetice multiplicative f şi g putem construi o altăfuncţie multiplicativă în felul următor:

Propoziţia 1.1.34. Fie f şi g două funcţii aritmetice multiplicative. Atuncifuncţia

F (n) =∑d|n

f(d) · g(n

d

)=∑d|n

f

(n

d

)· g(d) (1.91)

este o funcţie aritmetică multiplicativă.

Page 51: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 51

Demonstraţie. Fie n,m ∈ N∗ astfel ca (n,m) = 1. Atunci, ca şi mai înainteun divizor d al produsului nm are o exprimare unică sub forma unui produsd = d1d2, unde d1|n, d2|m, şi bineînţeles n/d1 şi m/d2 rămân relativ prime.Aşadar calculul următor este pur şi simplu impus de regulile definite:

F (n ·m) =∑

d|nm

f(d)g(nm

d

)=

∑d=d1d2,d1|n,d2|m

f(d1d2)g(nm

d1d2

)=

∑d1|n

∑d2|m

f(d1)f(d2)g(n

d1

)g

(m

d2

)

=

∑d1|n

f(d1)g(n

d1

)∑d2|m

f(d2)g(m

d2

)= F (n) · F (m).

(1.92)

2

Având la dispoziţie aceste modalităţi de a defini noi funcţii aritmetice mul-tiplicative din funcţii anterior definite să vedem câteva aplicaţii imediate.

Definiţia 1.1.35. Fie n ∈ N∗ un număr întreg pozitiv.

1. Funcţiaτ(n) =

∑d|n

1, (1.93)

calculează numărul divizorilor pozitivi ai numărului n.

2. Funcţiaσ(n) =

∑d|n

d, (1.94)

calculează suma divizorilor pozitivi ai numărului n.

Funcţiile τ şi σ sunt funcţii aritmetice multiplicative, fiind construitepe baza propoziţiei 1.89 din funcţia multiplicativă constantă 1 respectiv dinfuncţia identitate.

Pe baza proprietăţii de multiplicativitate putem da uşor formule explicitepentru ambele funcţii, dacă avem la dispoziţie o descompunere a lui n în factoriprimi.

Propoziţia 1.1.36. Fie n ∈ N∗, un număr întreg pozitiv. Dacă descom-punerea lui n în factori prim distincţi este

n = pk11 · p

k22 · p

k33 · · · p

kmm , (1.95)

atunci

Page 52: Interior Alg Comp III

52 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

• numărul divizorilor lui n este

τ(n) = (k1 + 1) · (k2 + 1) · (k3 + 1) · · · (km + 1), (1.96)

• iar suma divizorilor lui n este

σ(n) =m∏

i=1

pki+1i − 1pi − 1

, (1.97)

Demonstraţie. Totul se reduce la următoarea observaţie. Dacă p este un numărprim atunci toţi divizorii lui pk sunt

1, p, p2, p3, . . . , pk.

Numărul acestora estek + 1

iar suma acestora estepk+1 − 1p− 1

.

De aici rezultă formulele de mai sus folosind multiplicativitatea. 2

O funcţie aritmetică mai intim legată de structura de descompunere înprodus de numere prime al numărului n este funcţia lui Möbius.

Definiţia 1.1.37. Fie n un număr întreg pozitiv. Funcţia lui Möbius, notatăµ(n) este definit astfel

µ(n) =

1, dacă n = 10, dacă p2|n, p este prim(−1)k, dacă n = p1p2 · · · pk factori primi distincţi.

(1.98)

Observaţia 1.1.38. Funcţia lui Möbius este o funcţie aritmetică multiplica-tivă.

Întradevăr, fie n şi m două numere întregi relativ prime. Atunci pătratulunui număr prim divide produsul nm exact atunci când divide unul (şi numaiunul) din cei doi factori, aşadar multiplicativitatea se verifică, valoarea funcţieişi a produsului valorilor funcţiei fiind 0.

Dacă ambele numere au o descompunere în factori primi distincţi diferiţi,şi evident şi cele două seturi sunt disjuncte între ele, atunci numărul factorilorprodusului este exact suma numerelor factorilor celor două numere. Şi în acestcaz deci proprietatea multiplicativităţii se verifică.

Să aplicăm acum pentru această nouă funcţie aritmetică multiplicativăconstrucţia din propoziţia 1.1.33 de la pagina 50, adică formula 1.89. Avematunci următorul rezultat.

Page 53: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 53

Observaţia 1.1.39. Funcţia aritmetică multiplicativă

ν(n) =∑d|n

µ(d),

are formula

ν(n) ={

1, dacă n = 10, dacă n = 1.

Întradevăr, ν(1) = µ(1) = 1. Datorită multiplicativităţii, e suficient săverificăm formula pentru puteri ale numerelor prime. Avem

ν(pk) = µ(1)+µ(p)+µ(p2)+µ(p3)+ . . .+µ(pk) = 1+(−1)+0+0+ . . .+0 = 0.

Funcţia lui Möbius este o parte componentă a unei formule importante,numită formula de inversare Möbius.

Teorema 1.1.40 (Formula de inversare a lui Möbius). (vezi şi teorema 3.2.27de la pagina 140 din vol I, [89]) Fie f o funcţie aritmetică arbitrară, şi firfuncţia g definită prin

g(n) =∑d|n

f(d). (1.99)

Atunci f(n) se poate exprima în funcţie de g(n) astfel

f(n) =∑d|n

µ

(n

d

)g(d) =

∑d|n

µ(d)g(n

d

). (1.100)

Reciproc, dacă

f(n) =∑d|n

µ

(n

d

)g(d) =

∑d|n

µ(d)g(n

d

). (1.101)

atunci g(n) se poate exprima în funcţie de f(n) astfel

g(n) =∑d|n

f(d). (1.102)

Demonstraţie. Avem următorul calcul simplu:

Page 54: Interior Alg Comp III

54 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

∑d|n

µ

(n

d

)g(d) =

∑d|n

µ(d)g(n

d

)=

∑d|n

∑c| n

d

µ(d)f(c)

=∑c|n

∑d| n

c

µ(d)f(c) aici c şi d se pot permuta

=∑c|n

f(c)∑d| n

c

µ(d)

=∑c|n

f(c) · 0 dacă c = n, sau 1 dacă c = n

= f(n).

(1.103)

Reciproc, se aplică implicaţia demonstrată pentru perechea de funcţii f(·) µ

(n

(·)

)g(·)

g(·) f(·)(1.104)

şi se obţine direct – ţinând cont şi de µ(1) = 1 –

g(n) =∑d|n

f(d). (1.105)

2

Ca o aplicaţie imediată, să aplicăm formula de inversare Möbius celor douăfuncţii din definiţia 1.1.35 de la pagina 51, funcţia care dă numărul (1.93)respectiv suma (1.94) divizorilor unui număr n. Obţinem relaţiile care nu parprea simple – ceea ce arată deja puterea formulei de inversare Möbius:

∑d|n

µ

(n

d

)τ(d) = 1,

respectiv ∑d|n

µ

(n

d

)σ(d) = n,

Ne întoarcem acum la funcţia lui Euler. Să observăm că funcţia lui Eulereste o funcţie construită din funcţia constantă 1 astfel:

φ(n) =∑

1≤k<n, (k,n)=11 (1.106)

Page 55: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 55

Să construim un tabel al numerelor de la 1 la n şi al celui mai mare divizorcomun al acestora cu n. Fie d un divizor al lui n. Atunci acest divizor apareîn acest tabel pe coloana celui mai mare divizor comun al unui număr k cunumărul n exact în poziţiile în care n/d este relativ prim cu k/d, iar acestfapt se întâmplă de φ(n/d) ori. Astfel numerele din lista {1, 2, 3, . . . , n} separtiţionează după toţi divizorii d ai lui n, şi fiecare asemenea parte conţineφ(n/d) elemente. Am demonstrat astfel

n =∑d|n

φ

(n

d

)

Aceasta însă mai poate fi scrisă şi astfel:

n =∑d|n

φ(d).

Să aplicăm şi acesteia formula de inversare Möbius. Obţinem

φ(n) =∑d|n

µ(d)nd

(1.107)

Am demonstrat deci următorul rezultat:

Propoziţia 1.1.41. Funcţia lui Euler se exprimă prin

φ(n) = n∑d|n

µ(d)d

. (1.108)

Acum funcţia constantă f(n) = 1, funcţia identitate f(n) = n şi funcţialui Möbius sunt funcţii aritmetice multiplicative, iar produsul şi câtul a douăfuncţii multiplicative evident este de asemenea multiplicativă. În plus dacăf(n) este multiplicativă, atunci g(n) =

∑d|n f(d) este multiplicativă conform

propoziţiei 1.1.33 de la pagina 50. Am demonstrat aici prin urmare primulpunct al propoziţiei care urmează:

Propoziţia 1.1.42. Funcţia lui Euler are următoarele proprietăţi.

1. Dacă (a, b) = 1 atunci φ(ab) = φ(a) · φ(b), altfel spus funcţia lui Eulereste o funcţie multiplicativă.

2. φ(pk) = pk − pk−1 pentru orice număr prim p şi întreg k ≥ 1.

3. Dacă descompunerea lui n în factori primi distincţi este

n = pk11 · p

k22 · p

k33 · · · p

kmm ,

Page 56: Interior Alg Comp III

56 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

atunci

φ(n) = n ·(

1− 1p1

)·(

1− 1p2

)·(

1− 1p3

)· · ·(

1− 1pm

).

Demonstraţie. Mai avem de arătat punctul 2 şi 3. Să observăm că multipliicu numărul prim p ai celor pk numere

1, 2, 3, . . . , pk − 1, pk,

sunt exact numerele divizibile cu p între

1, 2, 3, . . . , pk+1 − 1, pk+1,

ceea ce demonstrează punctul 2. Punctul 3 este o consecinţă naturală a mul-tiplicativităţii lui φ,

φ(n) = (pk11 − p

k1−11 )(pk2

2 − pk2−12 )(pk3

3 − pk3−13 ) · · · (pkm

m − pkm−1m ).

Urmează în mod natural realizarea funcţiilor aritmetice în Mathematica.Acest pachet are un set impresionant de funcţii aritmetice implementate. Săexemplificăm pe cele pe care le-am abordat şi noi în această secţiune.

Fie n un număr întreg. Fie

{1, d1, d2, . . . , dm−1, dm = n}

lista tuturor divizorilor lui n. Dacă notăm cu Sk(n) suma puterilor k aleacestor divizori,

Sk(n) = 1k + dk1 + dk

2 + . . .+ dkm−1 + nk,

atunci avem numărul divizorilor

τ(n) = S0(n),

suma divizorilorσ(n) = S1(n),

suma pătratelor divizorilor S2(n), suma cuburilor divizorilor S3(n) şi aşa maideparte. Mathematica are această funcţie generală implementată cu numeleDivisorSigna[k,n], astfel pentru n = 20 avem

Divisors[20]FactorInteger[20]

Page 57: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 57

iar programul afişează divizorii şi descompunerea în factori ai lui 20:

{1, 2, 4, 5, 10, 20}{{2, 2}, {5, 1}}

Acum

DivisorSigma[0, 20]DivisorSigma[1, 20]DivisorSigma[2, 20]DivisorSigma[3, 20]

ne dă numărul, suma, suma pătratelor şi cuburilor divizorilor lui 20:

6425469198

ceea ce se poate şi verifica pe acest exemplu simplu. Funcţia lui Möbius seapelează cu sintaxa

MoebiusMu[20]MoebiusMu[1731]MoebiusMu[10^10 + 1]

şi se obţine aici

01-1

Funcţia lui Euler are sintaxa

EulerPhi[20]EulerPhi[10^100 + 1]EulerPhi[200!]

valorile pentru aceste numere sunt

Page 58: Interior Alg Comp III

58 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

8

9752371271627292280974026777487712417824889101066415596072324980530419496006282258132500480000000000

81937324425081313250746457292599680077585783777063156362983489534359924358631618582108042734701126219316520872092927397317710007001791663324874054498484183450652405190336041671171885132268017453919529313189507424934122705865600516175023502936561987858921835035633419264759883268016011209925132910392663172932698112000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

În sfârşit să enunţăm generalizarea teoremei lui Fermat, datorată lui Euler.

Teorema 1.1.43 (Teorema lui Euler). Fie n un număr întreg pozitiv, şi fie aun întreg astfel ca (a, n) = 1. Atunci

aφ(n) = 1 mod n. (1.109)

Demonstraţie. Putem face un raţionament similar cu cel din demonstraţiateoremei lui Fermat. Să notăm lista completă a numerelor relativ prime şimai mici decât n cu

r1 = 1, r2, r3, . . . , rk,

unde k = φ(n), datorită definiţiei funcţiei lui Euler. Ele reprezintă clase decongruenţă distincte două câte două. Atunci numerele

ar1 = a, ar2, ar3, . . . , ark,

sunt de asemenea relativ prime cu n, şi reprezintă aceleaşi clase de congruenţe.Arătăm acest lucru în cele ce urmează. Să observăm mai întâi că dacă

ax = ay mod n,

atunci a(x− y) = ax− ay = 0 mod n, deci n|a(x− y), şi deoarece (a, n) = 1rezultă n|x− y, adică

x = y mod n.

Prin urmareari = arj mod n, pentru orice i = j.

Page 59: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 59

Pe de altă parte, dacă (a, n) = 1, şi (b, n) = 1 atunci şi (ab, n) = 1. Întradevăr,din relaţiile

ax+ nu = 1by + nv = 1 (1.110)

rezultă(ab)(xy) + n(uby + v) = 1, (1.111)

ceea ce se traduce prin faptul că produsul a două numere relativ prime cu neste de asemenea un număr relativ prim cu n. În concluzie, funcţia definită peclasele de resturi modulo n a tuturor reprezentanţilor relativ primi mai micidecât n astfel

f : {r1, r2, r3, . . . , rk} −→ {r1, r2, r3, . . . , rk}, f(x) = ax, (1.112)

este bine definită şi este o funcţie bijectivă, ceea ce înseamnă, întradevăr, cămulţimile de clase de resturi

{ar1, ar2, ar3, . . . , ark} = {r1, r2, r3, . . . , rk} (1.113)

coincid. De aici putem deduce că

ar1 · ar2 · ar3 · . . . · ark = r1 · r2 · r3 · . . . · rk mod n, (1.114)

şi simplificând cu produsul tuturor claselor de resturi obţinem

ak = 1 mod n. (1.115)

Mai avem doar să ne reamintim valoarea lui k = φ(n). 2

Toate acestea pot fi formulate în termeni mai algebrici, care accentueazămai mult aspectele structurale, în consecinţă sunt mai elegante. Iată cumarată aceste formulări.

• În inelul Zn al claselor de resturi modulo n elementele inversabile suntexact clasele de resturi reprezentate de numere relativ prime cu n. Elese notează U(Zn), şi se mai numesc unităţile inelului.

• U(Zn) este un grup multiplicativ.

• Ordinul grupului multiplicativ U(Zn) este φ(n). Într-un grup finit or-dinul fiecărui element este un divizor al ordinului grupului (teorema luiLagrange), prin urmare

aφ(n) = 1,

în inelul claselor de resturi modulo n, pentru orice a ∈ U(Zn), ceea ceconstituie o reformulare a teoremei lui Euler.

Page 60: Interior Alg Comp III

60 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

• U(Zp), unde p este un număr prim, este un grup ciclic (vezi demonstraţiaunei variante mai generale, pentru orice corp finit în vol I, Propoziţia3.2.12, pag. 129, [89]).

• ordinul oricărui element din U(Zp), unde p este un număr prim, este undivizor al lui φ(p) = p − 1. Grupul fiind ciclic, există un element careare ordinul maxim, adică ordinul grupului.

• Cel mai mic multiplu comun al ordinelor elementelor grupului i.e. or-dinul cel mai mare al elementelor din grupul finit se numeşte exponentulgrupului. Conform tot cu teorema lui Lagrange, exponentul grupuluieste un divizor al ordinului grupului. Aşadar grupul este ciclic exactatunci când exponentul grupului coincide cu ordinul grupului.

Terminăm această secţiune cu încă o funcţie aritmetică, numită funcţia luiCarmichael, care se notează λ(n). Pentru pregătirea definiţiei acestei funcţiiaritmetice să considerăm inelul Z8, al claselor de resturi modulo 8.

Numerele relativ prime cu 8, mai mici decât 8, sunt numerele impare

1, 3, 5, 7,

aşadar φ(8) = 4, în concordanţă cu formula stabilită deja

φ(8) = φ(23) = 23 − 22 = 8− 4 = 4.

Putem afirma – conform teoremei lui Euler – că

a4 = 1 mod 8, pentru toate valorile a = 1, 3, 5, 7.

Care este însă cel mai mic exponent k, pentru care avem ak = 1 mod 8pentru cele patru numere? Calculul direct ne spune

11 = 1 mod 8, 32 = 1 mod 8, 52 = 1 mod 8, 72 = 1 mod 8,

aşadar numai exponenţi 1 şi 2, deci cel mai mic multiplu comun al acestorafiind tot 2, avem

a2 = 1 mod 8, pentru toate valorile a = 1, 3, 5, 7.

Se vede deci că funcţia lui Euler nu dă ceea mai mică valoare posibilă a expo-nentului k pentru care

ak = 1 mod n, pentru toate valorile lui a, cu (a, n) = 1.

Funcţia lui Carmichael se defineşte tocmai ca fiind cel mai mic exponentcu această proprietate.

Page 61: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 61

Definiţia 1.1.44. Fie n un număr întreg pozitiv, n ≥ 2. Atunci funcţia luiCarmichael, notată λ(n) se defineşte ca fiind cel mai mic exponent pentru care

aλ(n) = 1 mod n,

pentru orice număr a, relativ prim cu n, (a, n) = 1.

Din cele de mai sus rezultă imediat că λ(n)|φ(n), pentru orice număr n.Exemplul de mai sus arată şi faptul că există numere n pentru care λ(n) =φ(n), un astfel de exemplu fiind chiar n = 8.

O descriere exactă a valorilor lui lui λ(n) este dată de teorema careurmează, pe care o reiterăm aici fără demonstraţie.

Teorema 1.1.45 (Teorema lui Carmichael). Fie n un număr întreg pozitiv.Atunci funcţia lui Charmichael are valoarea

λ(n) =

φ(n), dacă n = p, prim impardacă n = 2p, p prim impardacă n = 2 sau 4

φ(pk), dacă n = pkp, prim impar12φ(2k), dacă n = 2kk ≥ 3[λ(pk1

1 ), . . . , λ(pkmm )

]dacă n = pk1

1 pk22 · · · pkm

m

(1.116)

Ultima linie a definiţiei funcţiei este formula de "recurenţă": funcţia luiCarmichael al unui produs de puteri de numere prime impare este cel mai micmultiplu comun al valorilor funcţiei pe puterile de prime impare.

În final să menţionăm aceste rezultate în formularea "structurală".

• Teorema lui Carmichael descrie de fapt structura grupului multiplicativU(Zn) al unităţilor claselor de resturi modulo n.

• Exponentul grupului U(Zn) este funcţia lui Carmichael, λ(n).

Programare în Mathematica:

CarmichaelLambda[8]EulerPhi[8]

Rezultat:

24

Page 62: Interior Alg Comp III

62 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Pentru 10 numere consecutive, pentru comparaţie:

CarmichaelLambda[{91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100}]EulerPhi[{91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100}]

cu rezultatul

{12, 22, 30, 46, 36, 8, 96, 42, 30, 20}{72, 44, 60, 46, 72, 32, 96, 42, 60, 40}

Pentru numere prime cele două funcţii au aceeaşi valoare. Iată câtevaexemple.

Table[CarmichaelLambda[Prime[k]], {k, 991, 1000}]Table[EulerPhi[Prime[k]], {k, 991, 1000}]

Aceste valori sunt:

{7840, 7852, 7866, 7872, 7876, 7878, 7882, 7900, 7906, 7918}{7840, 7852, 7866, 7872, 7876, 7878, 7882, 7900, 7906, 7918}

1.1.7 Resturi pătratice

Am studiat deja ecuaţii de congruenţe liniare de forma

ax+ b = 0 mod n, (1.117)

în secţiunea 1.1.5. Pasul următor natural este problema ecuaţiilor în con-gruenţe pătratice. Considerând cel mai simplu polinom de gradul 2, suntemconduşi la ecuaţia

x2 = a mod n, (1.118)

adică la problema următoare: dat un număr întreg pozitiv n, ce numere a suntresturi pătratice modulo n? Spre exemplu, fie n = 7. Dacă ridicăm la pătrat

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

adică toate resturile posibile modulo 7, obţinem

x2 = 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1.

Dacă îl punem pe 0 deoparte, lista este simetrică, ceea ce nu este o surpriză:(n− x)2 = x2 mod n pentru orice x.

Page 63: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 63

Se constată deci că

0, 1, 2, 4 sunt resturi pătratice modulo 7, (1.119)

în timp ce3, 5, 6 nu sunt resturi pătratice modulo 7. (1.120)

Exprimându-ne oarecum tautologic putem deci spune că ecuaţia în congruenţepătratică 1.118 are soluţie numai dacă a este rest pătratic modulo 7.

Pentru a nu forţa bunul simţ logic, să facem această echivalare la nivelulterminologiei, aşadar vom numi numărul a rest pătratic modulo n, dacă ecuaţiaîn congruenţe x2 = a mod n are soluţie.

Cu această definiţie a restului pătratic, se observă imediat că 0 şi 1 suntresturi pătratice pentru orice modul n, deoarece avem 02 = 0 şi 12 = 1. Cuaceastă observaţie am şi rezolvat studiul pentru resturilor pătratice pentrumodulul n = 2: ecuaţia 1.118 are întotdeauna soluţii.

Cazul a = 0 este deasemenea clar, dacă ne gândim la descompunerea lui nîn factori primi: x trebuie să conţină toţi factorii primi ai lui n, la puteri maimari decât jumătate din exponentul cu care factorul prim respectiv figureazăîn descompunerea lui n.

Dacă n = p este număr prim impar, se poate observa imediat un aspectvalabil pentru orice p, şi anume: x mod p şi −x mod p nu sunt egali,exceptând cazul x = 0 mod p. Întradevăr, dacă ar fi egali, atunci ar rezulta2x = 0 mod p, sau x = 0 mod p. Prin urmare ecuaţia pătratică x2 = amod p, cu a = 0, dacă are soluţie, atunci acestea sunt diferite. Pe de altăparte orice număr

x = 1, 2, 3, . . . , p− 1 (1.121)

este soluţie pentru exact una din congruenţele

x2 = 1 mod px2 = 2 mod px2 = 3 mod p

. . .x2 = p− 1 mod p,

(1.122)

şi aşa cum am observat ele se grupează câte doi pentru o ecuaţie. Prin urmareexact jumătate din aceste ecuaţii are, iar cealaltă jumătate nu are soluţii.

Această constatare este deci valabilă pentru module de tip număr primimpar. Pentru aceste module Euler a formulat un criteriu pentru a decidedacă numărul a este sau nu rest pătratic modulo p.

Page 64: Interior Alg Comp III

64 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Teorema 1.1.46 (Criteriul lui Euler). Fie p un număr prim impar. Atunciun număr a nedivizibil cu p (a = 0 mod p) este rest pătratic modulo p dacăşi numai dacă

a

p− 12 = 1 mod p. (1.123)

Demonstraţie. Mai întâi să observăm că din Teorema lui Fermat rezultă căpentru orice număr a avem

ap−1 − 1 = 0 mod p.

Dar p− 1 este număr par, prin urmare diferenţa de pătrate se descompune

(ap− 1

2 − 1)(ap− 1

2 + 1) = 0 mod p.

Prin urmare p divide un produs, dar fiind prim, divide unul din factori – defapt exact unul din factori. Aşadar pentru orice număr a avem

a

p− 12 − 1 = 0 mod p sau a

p− 12 + 1 = 0 mod p,

şi nu pot avea loc ambele relaţii, deoarece atunci prin scăderea celor două arrezulta p|2, fals.

Acum să presupunem că a este rest pătratic modulo p. Atunci a = b2

mod p, de unde rezultă pentru expresia ap− 1

2 − 1

a

p− 12 − 1 = (b2)

p− 12 − 1 = bp−1 − 1 = 0 mod p,

prin urmare prima relaţie este valabilă.Invers, să presupunem că are loc

a

p− 12 − 1 = 0 mod p. (1.124)

Întrucât grupul multiplicativ al corpului Zp este ciclic, există un generator b alacestui grup, cu ajutorul căruia orice element, deci şi elementul a se scrie subforma a = bk, pentru un exponent k potrivit. Substituind în 1.124 obţinem

(bk)p− 1

2 − 1 = 0 mod p, (1.125)

de unde – ţinând cont că b este generator, adică cea mai mică putere la careare loc această congruenţă este p− 1 – rezultă că

Page 65: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 65

kp− 1

2= 0 mod p− 1. (1.126)

Aceasta însă are loc doar dacă k este par, deci k = 2m, de unde se vede căx = bm este soluţie pentru x2 = a mod p, deci a este rest pătratic modulo p.2

Pentru numere compuse situaţia poate fi mult diferită, aşa cum arată ex-emplul următor. Fie n = 15 = 3 · 5. Cele 15 clase de resturi

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,

ridicate la pătrat modulo 15 sunt

x2 = 0, 1, 4, 9, 1, 10, 6, 4, 4, 6, 10, 1, 9, 4, 1,

în total doar 6 valori distincte. Prin urmare cele 9 clase de resturi reprezentatede numerele

2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14,

care nu sunt resturi pătratice, definesc ecuaţii care nu au soluţii.

Deşi ridicarea la putere modulo p este o operaţie algoritmic rapidă, şi testullui Euler ar putea să ne satisfacă, există metode mai eficiente de a decide dacăun număr este rest pătratic sau nu. Această metodă va fi descoperită în urmaunei analize mai profunde a proprietăţilor resturilor pătratice. În formulareaacestor analize este util să introducem o notaţie prescurtată pentru exprimareafaptului că un număr este sau nu rest pătratic în raport cu un altul – un simbolcare permite efectuarea de calcule convenabile.

Definiţia 1.1.47. Fie p un număr prim impar, şi fie (a, p) = 1, adică a unnumăr relativ prim cu p, deci nedivizibil cu p. Atunci definim simbolul luiLegendre, notat

(a

p

), astfel

(a

p

)={

1, dacă a este rest pătratic modulo p−1, dacă a nu este rest pătratic modulo p

(1.127)

Cu acest simbol relaţiile 1.119 respectiv 1.120 de la pagina 63 se exprimăastfel (1

7

)=(2

7

)=(4

7

)= 1

(37

)=(5

7

)=(6

7

)= −1

Proprietăţile simbolului lui Legendre care facilitează evaluarea lui, îl facpe acesta util în problema deciderii dacă un număr este rest pătratic sau nuîn raport cu un modul dat.

Page 66: Interior Alg Comp III

66 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Teorema 1.1.48. Fie p un număr prim impar, şi fie a şi b întregi relativprimi, adică (a, p) = 1 şi (b, p) = 1. Atunci

1.(1p

)= 1, precum şi

(a2

p

)= 1,

2. dacă a = b mod p, atunci(a

p

)=(b

p

),

3.(a

p

)= a

p− 12 mod p,

4.(ab

p

)=(a

p

)(b

p

),

5.(−1p

)={

1, dacă p = 1 mod 4−1, dacă p = 3 mod 4.

Demonstraţie. 1. În primul rând avem 12 = 1 şi a2 = a2 pentru orice a, ceeace demonstrează acest punct.

2. Dacă a = b mod p atunci evident sunt echivalente relaţiile

x2 = a mod p⇐⇒ x2 = b mod p,

deci ecuaţiile au simultan soluţii. De aici rezultă(a

p

)=(b

p

).

3. Aceasta este reformularea criteriului lui Euler, cu folosirea simboluluilui Legendre.

4. Folosind punctul precedent, avem ocazia să vedem pentru prima datăeficienţa simbolului lui Legendre în acţiune.

(ab

p

)= (ab)

p− 12 mod p

= a

p− 12 · b

p− 12 mod p

=

ap− 12 mod p

·bp− 1

2 mod p

=

(a

p

)(b

p

).

(1.128)

Page 67: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 67

5. Din nou, aplicăm doar criteriul lui Euler:

(−1p

)= (−1)

p− 12 mod p.

Acum doar trebuie să observăm că

p− 12

={

0 mod 2, dacă p = 1 mod 41 mod 2, dacă p = 3 mod 4.

2

Regulile de calcul de mai sus nu sunt încă destul de puternice pentru a servişi ca un algoritm de calcul al simbolului lui Legendre. Un pas de clarificareteoretică este adus de următorul rezultat.

Lema 1.1.49 (Lema lui Gauss). Fie p un număr prim impar, şi fie a unîntreg pozitiv relativ prim adică (a, p) = 1. Fie k numărul acelor elemente dinmulţimea

{1a, 2a, 3a, . . . , p− 12

a}, (1.129)

ale căror cel mai mic rest pătratic pozitiv este mai mare decât p2

. Atunci

(a

p

)= (−1)k. (1.130)

Demonstraţie. Trebuie să observăm mai întâi că cele p resturi pătraticemod p posibile, reprezentate de numerele

0, 1, 2, 3, . . . , p− 1,

pot fi reprezentate şi de numerele

−p− 12

,−p− 32

, . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . , p− 32

,p− 1

2. (1.131)

dar şi de numerele0, 1a, 2a, 3a, . . . , (p− 1)a,

respectiv

−p− 12

a,−p− 32

a, . . . ,−2a,−1a, 0, 1a, 2a, . . . , p− 32

a,p− 1

2a.

Elementele din lista1a, 2a, 3a, . . . , p− 1

2a

Page 68: Interior Alg Comp III

68 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

ale căror cel mai mic rest pătratic pozitiv este mai mare decât p2

, au rest pă-tratic negativ în mulţimea 1.131. Observaţia crucială este simplă: doi multipliima şi na din mulţimea 1.129 reduse modulo p în mulţimea 1.131 nu numai cănu coincid, dar nu pot fi puse unul celuilalt. Întradevăr, dacă ar fi unul opusulceluilalt, atunci am avea ma+na = 0 mod p, adică m+n = 0 mod p, ceeace este imposibil. Astfel în această mulţime a resturilor reduse fiecare numărdin lista

1, 2, 3, . . . , p− 12

apare exact odată, cu semnul + sau −, şi prin ipoteză numărul semnelor −este k. Prin înmulţire obţinem atunci

1a · 2a · 3a · . . . · p− 12

a = 1 · 2 · 3 · . . . · p− 12· (−1)k.

De aici prin simplificare avem

a

p− 12 = (−1)k mod p,

ceea ce – conform criteriului lui Euler – înseamnă(a

p

)= (−1)k mod p,

dar ambele numere pot fi doar ±1, deci avem egalitate (fără mod p). 2

O aplicaţie a Lemei lui Gauss imediată este clarificarea următoarei între-bări: pentru ce numere prime este 2 rest pătratic?

Propoziţia 1.1.50. Numărul 2 este rest pătratic pentru numere prime deforma 8k ± 1 şi nu este rest pătratic pentru numere prime de forma 8k ± 3.Mai criptic, dar în termenii simbolului lui Legendre

(2p

)= (−1)

p2 − 18 . (1.132)

Iată şi o aplicaţie, pentru a vedea cum funcţionează regulile stabilite pânăacum.

Exemplul 1.1.51. Numărul 297 este sau nu rest pătratic modulo 17? Altfelspus, are ecuaţia

x2 = 297 mod 17

soluţii?

Page 69: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 69

Soluţie. Calculăm simbolul lui Legendre(29717

)=( 8

17

)=(

2 · 22

17

)=( 2

17

)(22

17

)=( 2

17

)= (−1)36 = 1,

prin urmare 297 este rest pătratic modulo 17, deci congruenţa are soluţii.Exemplul acesta lasă de înţeles că proprietăţile simbolului Legendre nu

sunt suficient de puternice pentru a decide solubilitatea congruenţelor pătrat-ice în toate cazurile posibile. Spre exemplu ce am face cu simbolul

( 317

), sau

cu un simbol în care modulul congruenţei nu este prim?Ajutorul vine de la Gauss şi se numeşte legea reciprocităţii pătratice. Pro-

prietatea a fist conjecturată încă de Euler şi Legendre, dar prima demonstraţiea ei se datorează lui Gauss. Gauss a publicat nu mai puţin de 6 demonstraţii,iar importanţa teoremei este relevată şi de faptul că teorema are deja peste200 de demonstraţii.

Teorema 1.1.52 (Legea reciprocităţii pătratice). Fie p şi q două numereprime impare, distincte. Atunci

(p

q

)·(q

p

)= (−1)

(p− 1)(q − 1)4 . (1.133)

Demonstraţie. Schiţăm aici demonstraţia poate cea mai elementară, carefoloseşte evident Lema lui Gauss. Ideea este că prin Lema lui Gauss avem(

p

q

)= (−1)k, (1.134)

unde k este numărul punctelor planul (x, y) cu coordonate întregi care verificărelaţiile

0 < x <q

2şi − q

2< px− qy < 0.

Rezultă din aceste inecuaţii că

y <px

q+ 1

2<p+ 1

2.

Prin urmare k este numărul punctelor cu coordonate întregi din dreptunghiul

0 < x <q

2şi 0 < y <

p

2, (1.135)

care verifică şi relaţia −q2< px− qy < 0. Similar,(

q

p

)= (−1)l, (1.136)

Page 70: Interior Alg Comp III

70 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

unde l este numărul punctelor planul (x, y) cu coordonate întregi, din drep-tunghiul 1.135 care verifică relaţiile

−p2< qx− py < 0.

Teorema rezultă dacă arătăm că numărul

(p− 1)(q − 1)4

− (k + l)

este par. Se observă că(p− 1)(q − 1)

4este tocmai numărul de puncte cu coordonate întregi, care verifică şi inegal-ităţile

px− qy < q

2sau qx− py < −p

2.

Inegalităţile de mai sus au mulţimi de soluţii disjuncte, şi conţin acelaşi numărde puncte cu coordonate întregi. Acest ultim aspect se deduce din faptul cărelaţiile

x = q + 12− x′, şi y = p+ 1

2− y′

constituie o transformare bijectivă între aceste două mulţimi disjuncte. 2

Este clar acum că legea reciprocităţii pătratice oferă toate tehnicile carelipseau pentru a calcula simbolul lui Legendre

(a

p

), pentru orice număr prim

impar. Relaţiile de calcul pe care le putem folosi sunt deci următoarele:

1.(1p

)= 1,

2.(a2

p

)= 1,

3.(a

p

)=(a mod p

p

),

4.(a

p

)= a

p− 12 mod p,

5.(ab

p

)=(a

p

)(b

p

),

Page 71: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 71

6.(−1p

)= (−1)

p− 12 mod p,

7.(2p

)= (−1)

p2 − 18 ,

8.(p

q

)= (−1)

(p− 1)(q − 1)4 ·

(q

p

).

Este momentul să vedem un exemplu concret.

Exemplul 1.1.53. Se dă ecuaţia

x2 = 101 mod 13.

Se cere studiul rezolvabilităţii.

Soluţie. Numărul 13 este prim. Vom calcula simbolul lui Legendre(103

13

).

Avem succesiv(10313

)=

(103 mod 1313

)=(10

13

)=

(2 · 513

)=( 2

13

)( 513

)

= (−1)132 − 1

8( 5

13

)= (−1)21

( 513

)= −

( 513

)

= −(−1)(5− 1)(13− 1)

4(13

5

)= −(−1)12

(135

)= −

(13 mod 55

)= −

(35

)

= −(−1)(5− 1)(3− 1)

4(5

3

)= −(−1)2

(53

)= −

(5 mod 33

)

= −(2

3

)= −(−1)

32 − 18 = −(−1)1 = 1.

Prin urmare ecuaţia are soluţii.

Page 72: Interior Alg Comp III

72 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Ce se poate spune în cazul claselor de resturi modulo un număr compus?Simbolul lui Legendre se extinde formal la simbolul lui Jacobi.

Definiţia 1.1.54. Fie n = pk11 p

k22 · · · pkm

m descompunerea numărului întregpozitiv n > 1 în factori primi distincţi. Pentru Orice număr întreg nenul adefinim simbolul lui Jacobi – notat identic cu simbolul lui Legendre – prin(

a

n

)=(a

p1

)k1 ( ap2

)k2

· · ·(a

pm

)km

. (1.137)

Proprietăţile simbolului lui Jacobi sunt formal identice cu cele ale lui Leg-endre. Demonstraţia următoarei propoziţii este un exerciţiu simplu.

Propoziţia 1.1.55. Fie n, m întregi impari, nu neapărat primi. Fie deasemenea a, b întregi relativ primi cu n. Atunci proprietăţile simbolului luiJacobi se exprimă astfel:

1.( 1n

)= 1,

2.(a2

n

)= 1,

3.(a

n

)=(a mod n

n

),

4.(ab

n

)=(a

n

)(b

n

),

5.(a

nm

)=(a

n

)(a

m

),

6.(−1n

)= (−1)

n− 12 ,

7.( 2n

)= (−1)

n2 − 18 ,

8.(n

m

)= (−1)

(n− 1)(m− 1)4 ·

(m

n

).

Este important de remarcat faptul că simbolul lui Jacobi nu dezvăluiefaptul că a este rest pătratic modulo n, în schimb dezvăluie dacă nu este restpătratic. Mai concret:

Page 73: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 73

• dacă(a

n

)= 1, atunci a poate să fie sau să nu fie rest pătratic modulo

n, în schimb

• dacă(a

n

)= −1, atunci a nu este rest pătratic modulo n,

Cum arată toate acestea in Mathematica, vom vedea în câteva exemple,care urmează. Întrucât simbolul lui Jacobi îl suprascrie simbolul lui Legen-dre, acesta din urmă nici nu apare explicit printre funcţiile aritmetice imple-mentate. Proprietăţile sunt identice, doar aria de acoperire este mai mare asimbolului lui Jacobi, astfel acesta apelat cu număr prim impar calculează defapt simbolul lui Legendre.

Simbolul Legendre(103

13

), calculat mai sus,

JacobiSymbol[101, 13]

are valoarea

1

Fie

a = 21000 + 1, şi p = al 100 000 000 001-lea număr prim.

Să calculăm simbolul lui Legendre(a

p

).

a = 2^1000 + 1p = Prime[100000000001]JacobiSymbol[a, p]

Rezultatul este10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069377

2760727302559

1

prin urmare a este rest pătratic modulo p şi congruenţa

x2 = 21000 + 1 mod 2760727302559,

are soluţii.

Page 74: Interior Alg Comp III

74 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

1.1.8 Curbe eliptice

Curbele eliptice sunt curbe plane definite de ecuaţii polinomiale implicite degradul trei, în două variabile. Ele sunt obiecte deopotrivă algebrice şi geo-metrice, dar proprietăţile lor permit aplicaţii şi în teoria numerelor: mareateoremă a lui Fermat, a fost demonstrată de Andrew Wiles prin intermediulunei conjecturi legate de curbe eliptice.

Proprietatea crucială a curbelor eliptice este faptul că între punctele salepot fi algebrizate, se poate defini o operaţie – numită adunare – între punctelecurbei eliptice. Această operaţie conferă punctelor curbei structura unui grupaditiv. În felul acesta teoreme străvechi de geometrie proiectivă – teorema luiPappus şi Pascal, se reînvie ca formulări geometrice ale proprietăţii structuralede asociativitate a acestei operaţii de adunare a punctelor curbei eliptice.

Se numeşte curbă eliptică, o curbă descrisă de o ecuaţie de forma

y2 = x3 + ax+ b.

În mod intenţionat am omis specificaţii asupra numerelor x, y, a, b. Ele pot finumere complexe, atunci ecuaţia 1.138 descrie în esenţă suprafaţa unui tor –această suprafaţă sugerează cel mai bine posibilitatea definirii adunării întrepunctele ei – numere reale, raţionale, sau chiar clase de resturi modulo unnumăr prim, adică elemente ale unor corpuri finite.

Definiţia 1.1.56. Fie deci K unul din corpurile C, R, Q, sau Fq, q = pα.Fie a, b ∈ K. Se numeşte curbă eliptică peste corpul K mulţimea punctelordin "plan" (x, y), x, y ∈ K, care

• dacă caracteristica corpului este diferită de 2 şi de 3 (p = 2, p = 3) atunciverifică ecuaţia

E : y2 = x3 + ax+ b, (1.138)

unde polinomul de gradul 3 în x nu are rădăcini multiple, împreună cuun punct OE , aflat "la infinit".

• dacă caracteristica corpului este 2 (p = 2), atunci verifică una din ecuaţi-ile

E :y2 + cy = x3 + ax+ b,

E :y2 + xy = x3 + ax2 + b,(1.139)

împreună cu un punct OE , aflat "la infinit". Aici polinomului în variabilax nu mai punem nici o condiţie.

Page 75: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 75

• dacă caracteristica corpului este 3 (p = 3) atunci verifică ecuaţia

E : y2 = x3 + ax2 + bx+ c, (1.140)

unde polinomul de gradul 3 în x nu are rădăcini multiple, împreună cuun punct OE , aflat "la infinit".

Să menţionăm fără detalii de calcul faptul că orice polinom de gradul3 în două variabile x, y poate fi transformat printr-o schimbare de variabileraţională (funcţii de tip fracţii raţionale în variabilele sale) în forma 1.138,aşadar definiţia practic este generală.

Curbe eliptice se pot defini şi peste Zn, unde n nu este prim, în felulurmător.

Definiţia 1.1.57. Fie n un întreg pozitiv relativ prim cu 6, (n, 6) = 1. Senumeşte curbă eliptică peste Zn mulţimea punctelor (x, y), x, y ∈ Zn, careverifică ecuaţia

E : y2 = x3 + ax+ b, (1.141)

unde a, b ∈ Z astfel ca (n, 4a3 + 27b2) = 1, completată şi aici de un punct OE ,aflat "la infinit".

Imaginea topologică a unei curbe

Figura 1.1: Curbă eliptică peste C.

eliptice peste corpul numerelor com-plexe este un tor.

Page 76: Interior Alg Comp III

76 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Iată două exemple de curbe eliptice peste corpul numerelor reale. Acestecurbe sunt nesingulare, corespund definiţiei de mai sus.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

x

y

y2� x3

- 4 x + 1

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

x

y

y2� x3

- 3 x + 4

E : y2 = x3 − 4x+ 1 E : y2 = x3 − 3x+ 4

Figura 1.2: Curbe eliptice peste C.

Iată şi două curbe singulare: polinomul de gradul 3 în variabila x arerădăcini multiple.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

x

y

y2� x3

+ 3 x2

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

x

y

y2� x3

E : y2 = x3 + 3x2 E : y2 = x3

Figura 1.3: Curbe eliptice peste C.

Page 77: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 77

Adunarea punctelor unei curbe eliptice nesingulare se defineşte – geomet-ric1 – astfel. Se consideră două puncte P şi Q de pe curbă, şi se construieştedreapta care trece prin cele două puncte. Aceasta va intersecta curba într-unal treilea punct al cărui simetric faţă de axa y este suma punctelor P + Q.Iată cum arată adunare pe curbele din exemplele grafice anterioare.

P

Q

P + Q

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

P

Q

P + Q

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

E : y2 = x3 − 4x+ 1 E : y2 = x3 − 3x+ 4

Figura 1.4: Adunarea punctelor.

Dacă punctul P coincide cu punctul Q evident se consideră tangenta lacurbă.

P = Q

2P

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

P = Q

2P

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

E : y2 = x3 − 4x+ 1 E : y2 = x3 − 3x+ 4

Figura 1.5: Adunarea punctelor.

1Am folosit programul (variantă modificată): "Addition of Points on an Elliptic Curveover the Reals" from the Wolfram Demonstrations Project, Contributed by: Eric Errthum,http://demonstrations.wolfram.com/AdditionOfPointsOnAnEllipticCurveOverTheReals/

Page 78: Interior Alg Comp III

78 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Să remarcăm faptul că P şi −P sunt puncte care se află pe aceeaşi verticală.Fiecare verticală intersectează curba tot în trei puncte astfel: două punctedistincte şi punctul de la infinit, două puncte confundate (verticală tangentă)şi punctul de la infinit, sau de trei ori punctul de la infinit. Prin urmareorice dreaptă intersectează curba în trei puncte (nu neapărat distincte, şi nuneapărat finite), P,Q,R, pentru care avem

P +Q+R = 0.

Evident punctul de la infinit trebuie considerat ca situindu-se pe oricaredreaptă verticală. El va funcţiona ca element neutru, nul, la adunareapunctelor.

P

Q

P + Q

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

P = Q

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

E : y2 = x3 − 4x+ 1 E : y2 = x3 − 3x+ 1

Figura 1.6: Adunarea punctelor.

Să vedem acum cum arată adunarea – în forma algebrică. Fie deci curbaeliptică

E : y2 = x3 + ax+ b, (1.142)şi fie P1(x1, y1) şi P2(x2, y2) două puncte ale sale. Scriind ecuaţia dreptei caretrece prin cele două puncte sub forma

y = m(x− x1) + y1,

şi calculând intersecţia acesteia cu E – calcul pe care îl omitem aici – conducla coordonatele sumei celor două puncte

P3 = P1⊕

P2. (1.143)

Page 79: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 79

Punctul P3(x3, y3) respectiv coordonatele lui se calculează diferit dacă P1şi P2 se află pe o dreaptă verticală sau nu. Astfel

P3

{OE , dacă x1 = x2, y1 = −y2, (dreaptă verticală)(x3, y3), în caz contrar (dreaptă oblică), unde (1.144)

(x3, y3) = (m2 − x1 − x2,m(x1 − x3)− y1), (1.145)

şi

m =

y2 − y1x2 − x1

, dacă P1 = P2, (dreaptă secantă)

3x21 + a

2y1, dacă P1 = P2, (dreaptă tangentă)

(1.146)

Iată un exemplu de adunare chiar pe curba din figura de mai jos.

P

Q

P + Q

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

E : y2 = x3 − 4x+ 1

Figura 1.7: Adunarea punctelor.

Fie deci curba eliptică dată de ecuaţia

E : y2 = x3 − 4x+ 1,

şi fieP (0,−1) şi Q(2, 1),

Page 80: Interior Alg Comp III

80 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

două puncte de pe curbă (se verifică în ecuaţie). Să calculăm punctul

R = P⊕

Q.

Avem

m = 1− (−1)2− 0

= 1 şi (x, y) = (12 − 0− 2, 1 · (2− 0)− (−1)) = (−1, 2),

prin urmareR(−1, 2).

P = Q

2P

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

E : y2 = x3 − 4x+ 1

Figura 1.8: Adunarea punctelor.

Să calculăm acum punctul (vezi figura de mai sus)

R = 2P.

Avem

m = 2 · 02 + (−4)2 · (−1)

= 2 şi (x, y) = (22 − 0− 0, 2 · (0− 4)− (−1)) = (4,−7),

prin urmareR(4,−7).

Page 81: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 81

Cum arată toate acestea în Mathematica? Hmmm, nu tocmai bine, dreptpentru care apelăm la SAGE, o alternativă gratuită (open-source): "...a viablefree open source alternative to Magma, Maple, Mathematica and Matlab".

Nu putem rezista tentaţiei de a reitera aici lista completă (2012) a pa-chetelor open-source pe care se sprijină SAGE, cu câteva evidenţieri subiectivedictate pe de o parte de faptul că parte din aceste pachete au fost utilizate învolumele I [89] şi II [90], de cunoştinţele limitate ale autorului, dar mai presusde acestea pentru a atrage atenţia asupra puterii de calcul matematic inimag-inabil de vast, zestre de cunoştinţe matematice, diseminat pe fundamentulspiritului de colaborare dezinteresat al comunităţii matematicienilor, nesupuşilimitărilor pieţei economice, pe care se sprijină această interfaţă numită SAGE.

Vorba aceea, dacă ceva e mai valoros, e mai scump, dacă e şi mai valoros,e şi mai scump, dar dacă este vital, atunci nu poate fi decât... gratuit.

Pe pagina http://www.sagemath.org/links-components.html citim:"These software packages are used by Sage. Go to the Download Packagespage to get them if they are not already part of your Sage installation."

1. ATLAS: Automatically Tuned Linear Algebra Software

2. BLAS: Basic Fortan 77 linear algebra routines

3. boehm–gc: The Boehm-Demers-Weiser conservative garbage collector

4. Boost: Free peer-reviewed portable C++ source libraries

5. bzip2: High-quality data compressor

6. cddlib: Double description method of Motzkin et al.

7. Cephes: Cephes mathematical library

8. Cliquer: Routines for clique searching

9. conway–polynomials: Frank Lübeck’s tables of Conway poly-nomials over finite fields

10. CVXOPT: Convex optimization, linear programming, least squares, etc.

11. Cython: C-Extensions for Python

12. Docutils: Open-source text processing system for processing plaintextdocumentation into useful formats, such as HTML or LaTeX

Page 82: Interior Alg Comp III

82 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

13. ECL: Embeddable Common-Lisp, an implementation of the CommonLisp language as defined by the ANSI X3J13 specification

14. eclib: John Cremona’s programs for enumerating and comput-ing with elliptic curves defined over the rational numbers

15. elliptic–curves: Cremona’s mini tables of elliptic curves

16. FLINT: Fast Library for Number Theory

17. flintqs: William Hart’s highly optimized multi-polynomial quadraticsieve for integer factorization

18. fplll: Euclidean lattice reduction

19. FreeType: A free, high-quality, and portable font engine

20. GAP: Groups, Algorithms, Programming - a system for com-putational discrete algebra

21. gcc: GCC, the GNU Compiler Collection

22. GD: Dynamic graphics generation tool

23. gdmodule: A Python interface to the GD library

24. genus2reduction: Curve data computation

25. Gfan: Gröbner fans and tropical varieties

26. Givaro: C++ library for arithmetic and algebraic computations

27. GLPK: GNU Linear Programming Kit

28. GMP-ECM: Elliptic curve method for integer factorization

29. GNU MPC: Gnu Mpc is a C library for the arithmetic of complex num-bers with arbitrarily high precision and correct rounding of the result.

30. GNU patch: Applies diffs and patches to files.

31. graphs: A database of combinatorial graphs

32. GSL: The GNU Scientific Library

33. IML: Integer Matrix Library

34. IPython: Interactive computing environment with an enhanced interac-tive Python shell

Page 83: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 83

35. Jinja2: State of the art, general purpose template engine; awesome ver-sion

36. Jmol: Java viewer for chemical structures in 3D

37. jsMath: JavaScript implementation of LaTeX

38. LAPACK: Linear Algebra PACKage written in Fortran

39. lcalc: Michael Rubinstein’s L-function calculator

40. libiconv: A library to enable different languages with different charactersto be handled properly

41. libpng: Bitmap image support

42. LinBox: C++ template library for exact, high-performance linear alge-bra computation with dense, sparse, and structured matrices over theintegers and over finite fields

43. lrcalc: Littlewood-Richardson Calculator

44. M4RI: A library for fast arithmetic with dense matrices over GF(2)

45. M4RI(e): A library for fast arithmetic with dense matrices over GF(2e)

46. matplotlib: Python plotting library which produces publication qualityfigures in a variety of hardcopy formats and interactive environmentsacross platforms

47. Maxima: System for manipulating symbolic and numerical ex-pressions

48. Mercurial: Free, distributed source control management tool

49. MPFI: Multiple precision interval arithmetic library based on MPFR

50. MPFR: C library for multiple-precision floating-point computations withcorrect rounding

51. MPIR: Multiple Precision Integers and Rationals

52. mpmath: Pure Python library for multiprecision floating-point arith-metic

53. mwrank: Program for computing Mordell-Weil groups of ellip-tic curves over Q via 2-descent. Since November 2007 mwrankhas formed part of the eclib package

Page 84: Interior Alg Comp III

84 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

54. NetworkX: Python package for the creation, manipulation, and study ofthe structure, dynamics, and functions of complex networks

55. NTL: A library for doing number theory

56. NumPy: Package for scientific computing with Python

57. PALP: A package for analyzing lattice polytopes

58. PARI/GP: computer algebra system for fast computations innumber theory

59. Pexpect: Pure Python module that makes Python a better tool for con-trolling and automating other programs

60. PIL: Python Imaging Library

61. PolyBoRi: Polynomials over Boolean Rings

62. polytopes–db: Reflexive Polytopes Databases that include lists of 2- and3-dimensional reflexive polytopes

63. PPL: The Parma Polyhedra Library (PPL) provides numerical abstrac-tions especially targeted at applications in the field of analysis and ver-ification of complex systems.

64. PyCrypto: The Python Cryptography Toolkit

65. Pygments: Generic syntax highlighter

66. Pynac: Symbolic computation with Python objects

67. Python: The Python programming language

68. R: A free software environment for statistical computing and graphics

69. Ratpoints: Find rational points on hyperelliptic curves

70. Readline: The GNU Readline library provides a set of functions for useby applications that allow users to edit command lines as they are typedin

71. RPy: Simple and efficient access to R from Python

72. Rubik: Optimal Rubik’s cube solver

73. SageNB: The Sage Notebook server

Page 85: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 85

74. SageTeX: The SageTeX package allows you to embed code,results of computations, and plots from the Sage mathematicssoftware suite into LaTeX documents

75. SciPy: Scientific tools for Python

76. SCons: An open source software construction tool

77. setuptools: Download, build, install, upgrade, and uninstall Pythonpackages – easily!

78. Singular: Computer algebra system for polynomial com-putations, with special emphasis on commutative and non-commutative algebra, algebraic geometry, and singularity the-ory

79. Sphinx: A tool that makes it easy to create intelligent and beautifuldocumentation

80. SQLAlchemy: Python SQL toolkit and Object Relational Mapper thatgives application developers the full power and flexibility of SQL

81. SQLite: Software library that implements a self-contained, serverless,zero-configuration, transactional SQL database engine

82. Symmetrica: Collection of C routines for representation theory

83. SYMPOW: Package to compute special values of symmetric power el-liptic curve L-functions

84. SymPy: Python library for symbolic mathematics

85. Tachyon: Parallel/multiprocessor ray tracing system

86. Termcap: Simplifies the process of writing portable text mode applica-tions

87. zlib: Data compression library

88. zn–poly: C library for polynomial arithmetic in Z/nZ[x]

89. ZODB: Native object database for Python

Page 86: Interior Alg Comp III

86 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

SAGE are şi o interfaţă interactivă prin care se pot executa comenzi fără amai face o instalare a întregului sistem. Vom testa adunarea pe curba noastrăeliptică, modulo 17, adică peste corpul finit Z17. Definim mai întâi curba princomanda SAGE :

E = EllipticCurve(GF(17),[-4,1]);E

SAGE ne răspunde:

Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 13*x + 1 over Finite Fieldof size 17

Lista tuturor punctelor curbei se obţine prin comanda:

E.points()

şi este

[(0 : 1 : 0), (0 : 1 : 1), (0 : 16 : 1), (1 : 7 : 1),(1 : 10 : 1), (2 : 1 : 1), (2 : 16 : 1), (3 : 4 : 1),(3 : 13 : 1), (4 : 7 : 1), (4 : 10 : 1), (5 : 2 : 1),(5 : 15 : 1), (10 : 3 : 1), (10 : 14 : 1), (11 : 8 : 1),(11 : 9 : 1), (12 : 7 : 1), (12 : 10 : 1), (13 : 2 : 1),(13 : 15 : 1), (15 : 1 : 1), (15 : 16 : 1), (16 : 2 : 1),(16 : 15 : 1)]

Alegem aleator un punct al curbei:

P=E.random_element()P

El este întâmplător

(1 : 7 : 1)

Să explicăm de ce sunt trei coordonate. Curba are şi o ecuaţie omogenăcare o descrie în spaţiul proiectiv de dimensiune 2. Această ecuaţie se poateobţine prin substituţia

x x

z,

y y

z,

Page 87: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 87

în ecuaţia curbei, urmată de o înmulţire cu z3. Astfel SAGE furnizează co-ordonatele omogene ale punctelor curbei. Avantajul? Punctul de la infinitrevine în finit, el este orice punct reprezentat cu a treia coordonată 0 (şi unacel puţin din celelalte două nenulă).

Să calculăm acum adunările iterate: 2P = P + P, 3P = P + P + P, . . ..

P+P

Obţinem

(0 : 16 : 1)

Apoi pentru 3 · P, 4 · P, 5 · P, . . . 24 · P

3*P4*P...

avem

(12 : 7 : 1)(4 : 10 : 1)(13 : 15 : 1)(11 : 9 : 1)(3 : 13 : 1)...(1 : 10 : 1)

În final

25*P

este

(0 : 1 : 0)

adică punctul de la infinit, elementul neutru al adunării. Pentru a fi com-plet edificaţi, interogăm

E.cardinality()

şi obţinem întradevăr

25

Page 88: Interior Alg Comp III

88 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Comenzile

G = E.abelian_group()GG.permutation_group()

ne informează că G este

Additive abelian group isomorphic to Z/25 embedded inAbelian group of points on Elliptic Curve defined byy^2 = x^3 + 13*x + 1 over Finite Field of size 17

Permutation Group with generators[(1,6,11,16,21,2,7,12,17,22,3,8,13,18,23,4,9,14,19,24,5,10,15,20,

25)]

eventual şi

E.discriminant()

care este

9

În aplicaţii practice în criptografie, se utilizează curbe eliptice peste corpulfinit Zp, cu p număr prim mare, cu multe cifre. Operaţia de adunare repetată,calculul lui n ·P , unde P este un punct al curbei eliptice poate fi însă efectuatărapid. Practic algoritmul adunării rapide este varianta aditivă a algoritmuluide ridicare la putere rapidă deja amintit la pagina 47.

Observaţia 1.1.58. Fie E o curbă eliptică peste corpul finit Zp, unde p esteun număr prim. Fie P un punct al curbei E. Atunci nP se poate calcula cuun număr de adunări proporţional cu numărul cifrelor zecimale ale lui n.

Întradevăr, dacă îl scriem pe n în baza 2, avem

n = ck2k + ck−12k−1 + . . .+ c12 + c0,

unde ci = 0 sau ci = 1 sunt cifrele binare ale lui n. Observaţia crucială este că

2i+1P = 2 ∗ (2iP ) = 2iP + 2iP,

Page 89: Interior Alg Comp III

1.1. FUNDAMENTE TEORETICE 89

adică o relaţie recursivă, care înseamnă că practic avem de calculat cel mult k−1 adunări pentru a dispune de toţi termenii de forma 2iP iar apoi încă cel multk − 1 adunări pentru a genera nP din aceşti multiplii ai lui P , corespunzătornumărului maxim de cifre binare egale cu 1. 2

Ceea ce face structura de grup abelian al curbele eliptice deosebit de in-teresantă este rezultatul fundamental al lui Mordell.

Teorema 1.1.59 (Mordell). Fie E o curbă eliptică definită de o ecuaţie cucoeficienţi raţionali. Atunci punctele curbei cu coordonate raţionale formeazăgrup în raport cu operaţia de adunare a punctelor curbei, şi acest grup estefinit generat.

În cazul coeficienţilor din corpuri finite curba conţine deasemenea "multe"puncte. Fie E o curbă eliptică definită de o ecuaţia

E : y2 = x3 + ax+ b.

unde coeficienţii sunt întregi modulo p, a, b ∈ Zp, p fiind un număr prim.Numărul puntelor curbei este

1 + p+∑

x∈Zp

(x3 + ax+ b

p

)= 1 + p+ ϵ.

Teorema 1.1.60 (Hasse). Cu notaţiile de mai sus avem

|ϵ| ≤ 2√p.

Aşadar numărul punctelor de pe curba E este de ordinul lui p.Iată o abordare a curbei noastre pestre corpul numerelor raţionale in

SAGE.

sage: E = EllipticCurve([-4,1]);sage: EElliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 1 over Rational Field

Alegem punctul P pe curbă.

sage: P=E.point((0,-1))sage: P(0 : -1 : 1)

Calculăm câteva iteraţii ale adunării punctului P cu el însuşi:

2P, 3P, 4P, 5P, 6P, . . .

Page 90: Interior Alg Comp III

90 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

sage: P+P(4 : -7 : 1)sage: 3*P(-7/4 : -13/8 : 1)sage: 4*P(92/49 : 113/343 : 1)sage: 5*P(-728/529 : 24023/12167 : 1)sage: 6*P(16353/2704 : 1978543/140608 : 1)sage: 7*P(82264/505521 : 213664697/359425431 : 1)sage: 8*P(59965740/625681 : -464259138209/494913671 : 1)sage: 9*P(-437050439/1778308900 : -105207858004691/74991286313000 : 1)sage: 10*P(895627460660/305288295841 : -642639966778716809/168680636812731889 : 1)sage: 11*P(-227386096131376/112768449324001 :-1115167824565664556623/1197516242715448295249 : 1)sage: 12*P(85424881963704193/42340664069214784 :9311834524619446405408577/8712373748987628343490048 : 1)sage: 13*P(-62518881591730903248/64711455218704105249 :1036258330223571307067761552943/520561145496948785597190406193 : 1)...

Calculăm rangul curbei, adică numărul generatorilor grupului aditiv alcurbei (grupul nu are o componentă de torsiune).

sage: E.rank()2

Cele două puncte P şi Q sunt generatori ai componentei libere.

sage: Q=E.point((2,1))sage: Q(2 : 1 : 1)

Aceeaşi curbă văzută peste corpul finit Z17 are un număr de puncte:

Page 91: Interior Alg Comp III

1.2. TESTE DE PRIMALITATE 91

sage: E.Np(17)25

Lista acestor puncte se obţine prin comanda:

sage: a=E.S_integral_points(S=[17], mw_base=[P,Q], verbose=True);a

1.2 Teste de primalitate

Î n această secţiune vom trece în revistă câteva aplicaţii cu caracter com-putaţional al rezultatelor prezentate în secţiunea precedentă. În primă

aproximaţie am putea spune că problema care ne interesează este următoarea:cum se aplică rezultatele teoretice stabilite anterior în calcule concrete pentrunumere foarte mari? Spre exemplu, cum decidem dacă un număr de 100 cifreeste prim sau nu? Dacă am aflat că este compus, putem calcula eficient factoriilui?

Răspunsul la astfel de întrebări este diferit de la caz la caz. Spre exemplu –am văzut deja – că putem calcula eficient puterea an mod p pentru exponen-tul n mare, mai exact cu ajutorul unui număr de înmulţiri proporţional doarcu numărul cifrelor lui n, adică în c logn paşi. Sau înmulţirea a două numeren şi m implică – chiar fără folosirea unor algoritmi de reducere a număruluide operaţii – cel mult c logn logm înmulţiri. Problema inversă, de calcul al-goritmic al exponentului n cunoscând valoarea an mod p, sau calculul lui nşi m cunoscând produsul n ·m însă, poate fi mult mai ineficient.

1.2.1 Testul Fermat

Fie n un număr întreg pozitiv. Problema pe care o studiem este: cum putemdecide eficient dacă numărul n este prim sau este compus?

Evident putem încerca împărţirea lui n la numerele

2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . , [√n]

până dăm de o împărţire exactă. În acest moment am descoperit că n estecompus. Dacă toate împărţirile din listă dau rest nenul atunci numărul n esteprim. Este suficient să testăm lista cu numere până la cel mult

√n, deoarece

este clar că dacă n are un divizor mai mare decât√n, atunci are şi unul mai

mic decât√n, astfel dacă n are un divizor propriu, atunci are ;i unul mai

mic decât√n. Acesta este un test de primalitate respectiv în acelaşi timp

şi un test de non-primalitate deterministic. Mai mult acest algoritm – încazul numărului n compus – calculează şi un divizor (pe cel mai mic), şi prinrepetarea algoritmul este şi un algoritm de descompunere în factori.

Page 92: Interior Alg Comp III

92 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Deşi algoritmul este simplu, el nu este de loc eficient: pentru numere primeel necesită întotdeauna un număr de împărţiri egal cu [

√n], iar ca test de

non-primalitate sau ca algoritm de descompunere în factori pentru numerecompuse, acelaşi număr de împărţiri în cazul cel mai defavorabil. Deşi

√n

este mult mai mic decât n (număr de cifre doar jumătate faţă de n), acestnumăr este încă prohibitiv de mare pentru numere mari, şi este diferit esenţialca ordin de mărime faţă de logn.

O îmbunătăţire posibilă ar fi eliminarea din lista de mai sus a numerelorcompuse,

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . , pk, pk <√n, pk număr prim,

deoarece dacă un număr are divizori proprii atunci are şi divizor propriu prim.Lista numerelor test se scurtează – cam de lnn ori – dar preţul este mare: listatrebuie construită şi memorată în prealabil, neexistând formulă pentru calcululdirect al numărului prim de ordinul k.

Comentariile făcute după teorema lui Fermat, varianta 1.1.28 de la pagina47 constituie baza pentru următoarea definiţie.

Definiţia 1.2.1. Fie n un număr întreg pozitiv compus.

1. Atunci n se numeşte pseudoprim de bază b, dacă (b, n) = 1 şi

bn−1 = 1 mod n. (1.147)

2. Dacă n este pseudoprim de orice bază b relativ prim cu n, (b, n) = 1atunci n se numeşte număr Carmichael.

La pagina 47 respectiv pe baza comentariului de după definiţia 1.1.44 dela pagina 61 practic am demonstrat următoarea propoziţie.

Propoziţia 1.2.2. Fie n un număr întreg pozitiv compus.

1. Dacă n este pseudoprim de bază b, atunci ordinul lui b, ord(b)|n− 1.

2. Dacă n este pseudoprim de bază b1 şi b2, el este pseudoprim de bazăb1 · b2.

3. Dacă n nu este pseudoprim de bază b, atunci el nu este pseudoprim decel puţin jumătate din bazele posibile 2 < b < n.

Cele de mai sus se pot constitui într-un test probabilistic de primalitate.Aceasta înseamnă un test care primeşte ca input un număr n, şi se comportăastfel:

Page 93: Interior Alg Comp III

1.2. TESTE DE PRIMALITATE 93

• Dacă întoarce COMPUS, atunci numărul n este compus.

• Dacă întoarce Probabil-PRIM, atunci numărul n este sau prim, sau com-pus.

Este clar că testul va spune numai Probabil-PRIM pentru numere prime.Puterea unui asemenea test rezidă însă în probabilitatea cu care testul setermină cu verdictul Probabil-PRIM pentru numere compuse.

Să presupunem că la fiecare testare a unui număr compus probabilitateaca testul să întoarcă verdictul COMPUS este 1/2. Atunci repetând testul de100 de ori, probabilitatea să obţinem COMPUS este foarte apropiată de 1,ceea ce înseamnă că dacă am obţinut de 100 de ori Probabil-PRIM, atunciprobabilitatea ca numărul să fie totuşi compus este extrem de mică. Esteexact situaţia testului Fermat.

Algoritmul testului Fermat

Algorithm 1 Algoritmul testului Fermat1: Input: n este întregul care se testează,2: p este probabilitate 0 < p < 13: Output: COMPUS, sau P-PRIM4: n este compus, sau prim cu probabilitatea p5: procedure Fermat(n, p) ◃ n este un întreg, probabilitatea este

0 < p < 16: k =

[− 1

log2(1− p)

]7: for i← 1, k do ◃ Vom face k teste Fermat8: Alege un întreg b aleator între 1 < b < n− 19: Calculează x = bn−1 mod n

10: if x = 1 then11: return COMPUS ◃ n este compus12: Stop13: end if14: end for15: return P-PRIM ◃ n este prim cu probabilitatea p16: end procedure

Page 94: Interior Alg Comp III

94 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Iată un exemplu... în Mathematica:

n = 527;Mod[2^(n - 1), n]

ne dă

64

aşadar 527 este număr compus. Programul

n = 491;For[k = 1, k <= 20, k++,{b = RandomInteger[{2, n - 1}];If[GCD[b, n] == 1, Print[Mod[b^(n - 1), n]],k--]}]

]

ne afişează

11111111111111111111

prin urmare 491 este prim cu probabilitatea garantată 1220 =

0.000 000 953 674 316 406 25. (Ei bine, la generarea numerelor de test b, ar

Page 95: Interior Alg Comp III

1.2. TESTE DE PRIMALITATE 95

trebui excluse repetiţiile, dar aceasta nu schimbă semnificativ funcţionareatestului.) În realitate 491 este prim.

În fine, se poate întâmpla şi situaţia ca testul să nu descopere faptul cănumărul este compus. Este exact cazul numerelor Carmichael. Cel mai micasemenea număr este n = 561 = 3 · 7 · 11. Pentru acest număr programul

n = 561;For[k = 1, k <= 20, k++,{b = RandomInteger[{2, n - 1}];If[GCD[b, n] == 1, Print[Mod[b^(n - 1), n]],k--]}]

afişează de 20 de ori numai 1:

111...1

Testul Solovay-Strasen

Ideea este de a folosi criteriul lui Euler 1.1.46 de la pagina 63, unde am văzutîn ce condiţii un număr a este rest pătratic modulo un număr prim p. Folosindsimbolul lui Legendre, formula 1.123 se poate scrie pentru orice (a, p) = 1

a

p− 12 =

(a

p

)mod p. (1.148)

Admiţând numere n compuse în locul numărului p, şi extinzând semnifi-caţia notaţiei la simbolul lui Jacobi, avem

a

n− 12 =

(a

p

)mod n, (1.149)

valabil pentru n prim, (a, n) = 1, şi posibil fals pentru numere compuse. Săfacem câteva teste.

n = 527;a = 2;Mod[a^((n - 1)/2), n] == Mod[JacobiSymbol[a, n], n]

ne dă

Page 96: Interior Alg Comp III

96 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

False

semnificaţia fiind: numărul 527 este compus. În schimb programul

n = 491;For[k = 1, k <= 10, k++,{a = RandomInteger[{2, (n - 1)/2 - 1}];If[GCD[a, n] == 1,Print[Mod[a^((n - 1)/2), n] == Mod[JacobiSymbol[a, n], n]],k--]}]

afişează 20 de True

TrueTrueTrue...True

semnificând că numărul 491 este probabil prim (în relaitate este prim).Pentru numărul Carmichael 561, pentru care testul Fermat a eşuat, facemcâteva încercări

a = 2;Mod[a^((n - 1)/2), n] == Mod[JacobiSymbol[a, n], n]a = 4;Mod[a^((n - 1)/2), n] == Mod[JacobiSymbol[a, n], n]a = 8;Mod[a^((n - 1)/2), n] == Mod[JacobiSymbol[a, n], n]a = 9;Mod[a^((n - 1)/2), n] == Mod[JacobiSymbol[a, n], n]

şi obţinem:

TrueTrueTrueFalse

deci după trei teste eşuate, al patrulea descoperă că 561 nu este prim! Defapt la alegerea aleatoare a numărului a

Page 97: Interior Alg Comp III

1.2. TESTE DE PRIMALITATE 97

n = 561;For[k = 1, k <= 20, k++,{a = RandomInteger[{2, (n - 1)/2 - 1}];If[GCD[a, n] == 1,Print[Mod[a^((n - 1)/2), n] == Mod[JacobiSymbol[a, n], n]],k--]}]

se obţine ceva de genul

TrueFalseTrueFalseFalseFalseFalseFalseFalseTrueFalseFalseFalseFalseTrueFalseFalseFalseFalseTrue

ceea ce ne sugerează că probabilitatea ca testul să eşueze după un numărmai mare de încercări este extrem de mic.

Definiţia 1.2.3. Fie n un număr compus impar, şi b, relativ prim cu el,(b, n) = 1, astfel ca

b

n− 12 =

(b

p

)mod n, (1.150)

atunci n se numeşte pseudoprim Euler de bază b.

Legătura dintre cele două tipuri de numere pseudoprime este următoarea.

Propoziţia 1.2.4. Dacă n este pseudoprim Euler de bază b, atunci este pseu-doprim de bază b.

Page 98: Interior Alg Comp III

98 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Demonstraţie. Ridicând la pătrat ambele părţi ale egalităţii 1.151, obţinem1.147 (pagina 92), adică condiţia de pseudoprimalitate Euler este mai tare, i.e.probabil există mai puţine numere pseudoprime Euler decât pseudoprime, înraport cu o bază b dată. 2

Un astfel de exemplu este numărul compus 91 = 7 · 13, relativ la baza 27,aşa cum demonstrează programul

a = 27;Mod[a^(n - 1), n]Mod[a^((n - 1)/2), n]JacobiSymbol[a, n]

care afişează

127-1

Proprietăţile numerelor pseudoprime Euler sunt asemănătoare cu cele alepseudoprimelor, dar sunt puţin mai "bune".

Propoziţia 1.2.5. Fie n un număr întreg pozitiv, impar, şi compus.

1. Dacă n este pseudoprim Euler de bază b1 şi b2, el este pseudoprim Eulerde bază b1 · b2.

2. Dacă n este compus (ipoteză), atunci există o bază b, (b, n) = 1, astfelca n NU este pseudoprim Euler în raport cu această bază b.

3. Dacă n este pseudoprim Euler de bază b1 şi NU este pseudoprim de bazăb2, atunci el NU este pseudoprim Euler de bază b1 · b2.

4. Dacă n nu compus, atunci în raport cu cel puţin jumătate din bazeleposibile 2 < b < n el NU este pseudoprim Euler.

Demonstraţie. 1. Rezultă direct din proprietăţile congruenţelor şi din propri-etăţile simbolului Jacobi.

2. Să presupunem că n se divide la pătratul unui număr prim p, deci

p2|n.

Alegem bazab = 1 + n

p.

Page 99: Interior Alg Comp III

1.2. TESTE DE PRIMALITATE 99

Atunci condiţia (b, n) = 1 se verifică: dacă notăm a = n

p2 , atunci avem

(b, n) = (1 + ap, ap2)= (1 + ap, ap2 − p(1 + ap))= (1 + ap,−p)= (1 + ap+ a(−p),−p)= (1,−p)= 1.

(1.151)

Avem b = 1 +ap, deci b = 1 mod p, deci simbolul lui Jacobi(b

p

)= 1. Avem

şi evaluarea(b

n

)=(b

ap2

)=(b

ap

)(b

p

)=(1 + ap

ap

)=( 1ap

)= 1.

Deoarece b = 1 + ap rezultă că bk = 1 mod n doar dacă p|k din proprietăţilecoeficienţilor binomiali. Dar acest lucru nu se întâmplă pentru k = n− 1

2,

deci n nu este pseudoprim Euler relativ la baza b.Să presupunem acum că n este liber de pătrate, nu se divide cu nici un

pătrat. Fie p un factor prim al descompunerii lui n, n = p · n1. Alegemr1 astfel încât să nu fie rest pătratic modulo p, şi fie r2 = 1 mod n1. Nu-merele (p, n1) = 1 fiind relativ prime teorema chinezească a resturilor aplicatăsistemului de congruenţe {

x = r1 mod px = r2 mod n1

asigură existenţa unei soluţii b unice mod n = p · n1. Pentru această bazăavem

(b, n) = 1, b = 1 mod n1,

(b

p

)= −1,

deci b = 1 + kn1, pentru o valoare potrivită a lui k. Atunci avem(b

n

)=(

b

pn1

)=(b

p

)(b

n1

)= (−1)

(1 + kn1n1

)= (−1)

( 1n1

)= −1.

Dar

b

n− 12 = 1 mod n1,

deci bn− 1

2 = 1 mod n1, deci

b

n− 12 = −1 mod n,

Page 100: Interior Alg Comp III

100 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

ceea ce demonstrează şi în acest caz existenţa unei baze b în raport cu care nnu este pseudoprim Euler.

3. şi 4. sunt simple exerciţii, le lăsăm pe seama cititorului. 2

Toate acestea se constituie într-un algoritm de testare a primalităţii, simi-lar cu algoritmul Fermat, dar având performanţe mai bune, în ceea ce priveştedescoperirea numerelor pseudoprime.

Algorithm 2 Algoritmul testului Solovay-Strasen1: Input: n este întregul care se testează,2: p este probabilitate 0 < p < 13: Output: COMPUS, sau P-PRIM4: n este compus, sau prim cu probabilitatea p5: procedure Solovay-Strasen(n, p) ◃ n este un întreg, probabilitatea

este 0 < p < 16: k =

[− 1

log2(1− p)

]7: for i← 1, k do ◃ Vom face k teste Solovay-Strasen8: Alege un întreg b aleator între 1 < b < n− 1

9: Calculează r = b

n− 12 mod n

10: if r = 1 şi r = n− 1 then11: return COMPUS ◃ n este compus12: Stop13: end if14: Calculează s =

(b

n

)15: if r = s mod n then16: return COMPUS ◃ n este compus17: Stop18: end if19: end for20: return P-PRIM ◃ n este prim cu probabilitatea p21: end procedure

Să facem câteva observaţii:

Observaţiile 1.2.6.

1. Datorită calculului lui r în algoritm, testarea faptului că baza aleasăaleator este un număr relativ prim cu n nu este necesară. Întradevăr,orice divizor comun al lui n şi b este divizor al lui r. Dacă r nu este

Page 101: Interior Alg Comp III

1.2. TESTE DE PRIMALITATE 101

nici 1 nici −1, el este declarat compus de algoritm. Dacă r = 1, atunciautomat se verifică (b, n) = 1.

2. Calitatea superioară a acestui algoritm este dat de faptul că nu existănumere compuse care în principiu să nu poată fi descoperite, deoareceorice număr compus are o bază în raport cu care el NU este pseudoprimEuler.

1.2.2 Testul Miller-Rabin

Este clar că punctul slab al metodelor de testare a primalităţii bazate peteorema lui Fermat, îl reprezintă numerele pseudoprime, deci numerele carese comportă ca şi numerele prime, conform cu afirmaţia teoremei. Un testcare pleacă deci de la această idee este cu atât mai bun, cu cât descoperă maimulte numere pseudoprime.

Testul Miller-Rabin se bazează pe o proprietate numită pseudoprimalitateîn sens tare. Ideea este următoarea: dacă un număr n este pseudoprim relativla baza b, deci

bn−1 = 1 mod n,

atunci scriindu-l pe n = 2s ·m, unde m = 2k+ 1 este un număr impar – altfelspus, separând toţi factorii 2 în descompunerea în factori primi al lui n− 1 –şi calculând

b2s−1m mod n, b2s−2m mod n, . . . b2m mod n, bm mod n,

dacă n ar fi prim, atunci primul rezultat diferit de 1 ar trebui să fie −1,deoarece singurele rădăcini pătrate modulo un număr prim ale lui 1, sunt ±1.

Avem deci următoarea teoremă.

Teorema 1.2.7. Fie p un număr prim impar, şi fie n − 1 = 2s ·m, unde meste impar. Fie b relativ prim cu n, (b, n) = 1. Atunci

bm = 1 mod n, sau b2im = −1 mod n, pentru un exponent 0 ≤ i < s.(1.152)

Demonstraţie. Să introducem notaţia bi = b2im. Atunci evident bs = 1mod n, deci mulţimea indicilor cu proprietatea

bi = 1 mod n,

nu este vidă. Fie

k = min0≤i≤s

{i | bj = 1 mod n, i ≤ j ≤ s}.

Page 102: Interior Alg Comp III

102 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Dacă k = 0 am terminat. Dacă k > 0 atunci

bk = 1 mod n, bk−1 = 1 mod n.

Dar1 = bk = b2

k−1 mod n,

decin|(bk−1 − 1)(bk−1 + 1),

şi conform cu alegerea lui k nu putem avea decât

n|bk−1 + 1.

Aşadarbk−1 = −1 mod n.

2

Este cât se poate de evident ce număr va fi denumit pseudoprim tare debază b.

Definiţia 1.2.8. Dacă pentru un număr compus impar n, n−1 = 2s ·m, undem este impar, şi un număr b relativ prim cu n, (b, n) = 1 are loc proprietatea1.152, atunci n se numeşte pseudoprim tare de bază b.

După toate aceste pregătiri nu este nici o surpriză relaţia dintre numerelepseudoprime tari şi numerele pseudoprime Euler.

Propoziţia 1.2.9. Orice pseudoprim tare este şi pseudoprim Euler.

Demonstraţia este evidentă.Un contraexemplu poate arăta că reciproca acestei propoziţii nu este ade-

vărată. Acesta este n = 65 relativ la baza 14, iar verificarea o lăsăm pe seamacititorului.

Totuşi pentru numere de forma n = 3 mod 4 cele două concepte coincidpentru orice bază. Demonstraţia este simplă. Se poate demonstra că un numărcompus este pseudoprim tare doar în raport cu el mult un sfert dintre bazeleposibile. Deasemenea, numere pseudoprime tari în raport cu două baze diferitenu neapărat sunt pseudoprime tari în raport cu produsul acestor baze.

Poate urma acum formularea algoritmului Miller-Rabin de testare a pri-malităţii. Acesta este evident tot un test probabilistic, utilizat cel mai des înpractică.

Page 103: Interior Alg Comp III

1.2. TESTE DE PRIMALITATE 103

Algorithm 3 Algoritmul testului Miller-Rabin1: Input: n este întregul care se testează,2: p este probabilitate 0 < p < 13: Output: COMPUS, sau P-PRIM4: n este compus, sau prim cu probabilitatea p5: procedure Miller-Rabin(n, p) ◃ n este un întreg, probabilitatea este

0 < p < 16: k =

[− 1

log2(1− p)

]7: Se descompune n = 2s ·m, m este impar.8: for j ← 1, k do ◃ Vom face k teste Miller-Rabin9: Alege un întreg b aleator între 1 < b < n− 1

10: Calculează r = bm mod n11: if r = 1 şi r = n− 1 then12: i = 113: while i ≤ s− 1 şi r = n− 1 do14: r = r2 mod n15: if r = 1 then16: return COMPUS ◃ n este compus17: Stop18: end if19: i = i+ 120: end while21: if r = n− 1 then22: return COMPUS ◃ n este compus23: Stop24: end if25: end if26: end for27: return P-PRIM ◃ n este prim cu probabilitatea p28: end procedure

Să mai menţionăm încă o dată, că cele k treceri ale testului, deci verdictulP-PRIM înseamnă o probabilitate ca n să fie totuşi compus, de numai 1

4k.

Deasemenea testul se dovedeşte puternic şi în privinţa bazelor, ele nu tre-buie neapărat alese foarte mari.

1.2.3 Testul Agrawal-Kayal-Saxena

Toate testele de primalitate discutate până acum au fost probabilistice: dacăele au decis că numărul este compus, atunci sigur este compus, dar dacă ver-

Page 104: Interior Alg Comp III

104 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

dictul lor nu este verdictul COMPUS, atunci putem spune doar că număruleste probabil prim, cei drept acest "probabil" putând fi foarte-foarte probabil.

Multă vreme nu se ştia dacă există test de primalitate exact, care să fiepolinomial în numărul cifrelor numărului testat, deci care să implice doar unnumăr de înmulţiri sau împărţiri proporţional cu o putere a lui logn, dar alcărui verdict PRIM să fie deterministic.

Relativ recent, în 2002, Agrawal, Kayal şi Saxena au descoperit şi publicatun astfel de algoritm, care a stârnit evident senzaţie. Reproducem aici doaralgoritmul fără demonstraţie, după Wikipedia2.

Algorithm 4 Algoritmul Agrawal-Kayal-Saxena1: Input: n este întregul care se testează,2: Output: COMPUS, dacă n este compus, sau3: PRIM, dacă n este prim4: procedure Agrawal-Kayal-Saxena(n) ◃ n este un întreg n ≥ 25: if n = ab, a, b ∈ N, b > 1 then6: return COMPUS ◃ n este compus7: end if8: Găseşte cel mai mic r astfel ca ordr(n) > 4 log2 n ◃ ordr(n) este

ordinul multiplicativ al lui n modulo r9: if 1 < (a, n) < n pentru un a ≤ r then

10: return COMPUS ◃ n este compus11: end if12: if n ≤ r then13: return PRIM ◃ n este prim14: end if15: for a← 1, [2√φr logn] do16: if (x+ a)n = xn + a ( mod Xr − 1, n) then17: return COMPUS ◃ n este compus18: Stop19: end if20: end for21: return PRIM ◃ n este prim22: end procedure

Menţionăm că, se poate demonstra că acest algoritm are o complexitateasimptotică de ordinul log10.5 n. Deşi de complexitate polinomială în numărulde cifre al numărului testat, şi pe deasupra algoritm deterministic, în practicătestele probabilistice nu au fost "pensionate". Aceasta, deoarece ele sunt mai

2http://en.wikipedia.org/wiki/Agrawal-Kayal-Saxena–primality–test

Page 105: Interior Alg Comp III

1.2. TESTE DE PRIMALITATE 105

rapide, şi probabilitatea ca un număr declarat probabil prim (P-PRIM) săfie în realitate compus – şi acest fapt să afecteze situaţia în cauză, – esteatât de mică, încât problema practică este de mult uitată cu o probabilitateincomparabil mai mare...

Importanţa teoretică a algoritmului este considerabilă.

1.2.4 Teste bazate pe curbe eliptice

Curbele eliptice prezentate în secţiunea precedentă pot fi utilizate în testareaprimalităţii. Algoritmii de testare a primalităţii care se bazează pe curbeeliptice sunt probabilistice în sensul că timpul de calcul este probabilistic,răspunsul este însă deterministic.

Totul se bazează pe câteva rezultate teoretice, parte vor fi prezentate maijos. Teorema care urmează este o reciprocă pentru teorema lui Fermat.

Teorema 1.2.10 (Teorema lui Pocklington). Fie n un număr întreg, şi s|n−1.Fie a, relativ prim cu n, (a, n) = 1, astfel ca

an−1 = 1 mod n

(an− 1q , n) = 1, pentru orice divizor prim q al lui s.

Atunci orice divizor prim p al lui n are proprietatea

p = 1 mod s.

În plus, dacă s >√n− 1, atunci n este prim.

Pentru curbe eliptice are loc o teoremă similară. Pe baza acestei teoreme– în condiţia cunoaşterii descompunerii în factori primi ai lui n − 1 se poatefurniza un "certificat" de primalitate, acesta este numărul a. Aceasta înseamnăcă dovedirea exactă a primalităţii – în prezenţa acestui certificat – este posibilăcu un număr de operaţii mult scăzut, eventual în timp constant, sau liniar înnumărul de cifre ale numărului testat n.

Teorema 1.2.11. Fie n un întreg, n ≥ 2, relativ prim cu 6, (nedivizibil cu 2şi 3), E o curbă eliptică peste Zn, şi fie P un punct al curbei. Fie deasemeneam, s, întregi astfel ca s|m. Presupunem că

mP = OE ,

şi presupunem că pentru orice factor prim q al lui s are loc (m/q)P = OE.Atunci, dacă p este un divizor prim al lui n, atunci numărul punctelor curbei,|E|, verifică relaţia

|E| = 0 mod s.

În plus, dacă s > ( 4√n+ 1)2, atunci n este prim.

Page 106: Interior Alg Comp III

106 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Bazat pe această teoremă Goldwasser şi Kilian au construit un algoritm(algoritmul GK) de testare, care primeşte la input un n probabil prim şi decideîn timp probabilistic dacă numărul este întradevăr prim sau este compus.

Atkin şi Morain au proiectat o implementare mai performantă a acestuialgoritm, pe care l-au numit algoritmul ECPP (Elliptic Curve Primality Prov-ing).

Reproducem acest algoritm fără o analiză detaliată, care implică consider-aţii legate de corpuri algebrice, şi întregi algebrici.

Algorithm 5 Algoritmul ECPP1: Input: n un număr probabil prim,2: Output: decide dacă n este PRIM sau COMPUS,3: procedure Algoritmul ECPP(n) ◃ n un număr probabil prim4: i← 05: Alege un nmic

6: n0 ← n7: while ni > nmic do ◃ Se construieşte un şir {i, ni, di, ωr,mr, fi}8: Caută di astfel ca ni = πiπ

′i este o descompunere în corpul de

numere algebrice K = Q(√−di)

9: Dacă unul din cele u = w(−di) numere m1, . . .mu, mr = NK(ωr −1), unde ωr este un conjugat al lui πi se descompune în factoricontinuă cupasul următor, în caz contrar reia pasul precedent.

10: Memorează datele {i, ni, di, ωr,mr, fi}, unde mr = fiNi+1.Numărul fi este complet factorizat, iar ni+1 este un întreg probabil prim.

11: i← i+ 112: end while13: for i← k, descrescător la 0 do ◃ partea de testare a primalităţii14: Calculează o rădăcină j a polinomului Hdj

(x) = 0 mod nj

15: Calculează ecuaţia unei curbe eliptice Ei al invariantului j cu numărun număr de puncte egal cu mi mod ni.

16: Caută un punct Pi pe curba eliptică Ei.17: Testează condiţiile teoremei , cu s = ni+1 şi m = mi.18: if condiţii verificate then19: Afişează PRIM20: else21: Afişează COMPUS22: end if23: end for24: end procedure

Page 107: Interior Alg Comp III

1.3. FACTORIZAREA NUMERELOR 107

1.3 Factorizarea numerelor întregiÎn secţiunea precedentă am prezentat mai mulţi algoritmi de testare a pri-malităţii unui număr întreg dat, care lucrează eficient: într-un număr de paşide dimensiune polinomială în numărul cifrelor numărului decid dacă număruleste compus, respectiv decid cu o probabilitate foarte apropiată de 1 dacă esteprim. Avem şi un algoritm deterministic (algoritmul AKS) prezentat anterior,care decide primalitatea în timp polinomial în numărul cifrelor numărului te-stat.

Numărul numerelor prime mai mici decât n este asimptotic

n

lnn,

astfel numerele compuse sunt puţin mai multe (până la n sunt cam de lnnori mai multe cele compuse faţă de cele prime). Dacă luăm la întâmplare unnumăr n – să spunem de 100 de cifre, – cu preţul a câteva sute de înmulţiri şiîmpărţiri putem afla dacă este prim sau compus.

Dacă este prim, e ok, putem să-l folosim la ce dorim noi, ca număr prim.Dacă însă este compus, se pune problema naturală: care sunt factorii primi dincare el se compune? Teorema fundamentală a aritmeticii 1.1.11 de la pagina 26ne asigură că o astfel de descompunere există şi este unică, abstracţie făcândde ordinea factorilor primi.

Cât ne costă însă în resurse computaţionale descompunerea efectivă – al-goritmică – a numărului dat. Testele de primalitate nu ne oferă şi factori ainumărului compus. Ei bine excepţie face doar testul povestit la început – detestare a divizibilităţii cu toate numerele din lista numerelor prime

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . ,

în cazul cel mai defavorabil până la valoarea [√n], adică un număr de

√n

împărţiri. Prea multe. Prezentăm în cele ce urmează câteva soluţii algorit-mice la această problemă. Cert este că situaţia este sensibil mai defavorabilădecât în cazul testării primalităţii: deocamdată nu se cunoaşte algoritm decomplexitate polinomială pentru descompunerea în factori ai întregilor.

1.3.1 Metoda ρ a lui Pollard

Să menţionăm de la bun început că dacă n este pătrat perfect, atunci alegândun număr prim mai mare decât el, el este şi rest pătratic modulo acest numărprim. Acest fapt însă se poate descoperi rapid prin calculul simbolului luiLegandre, şi odată testat, o extragere de rădăcină va da o descompunere înfactori mai mici. Putem deci presupune că numărul al cărui descompunere sevrea, nu este pătrat perfect.

Page 108: Interior Alg Comp III

108 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

Pentru pregătirea prezentării algoritmului să observăm următorul fapt sim-plu. Dacă avem o mulţime finită M cu n elemente şi o funcţie oarecare

f : M −→M.

şi x0 ∈M , atunci şirul recurent xk+1 = f(xk), k ≥ 0

x0, x1, x2, x3, . . . ,

nu poate avea toţi termenii diferiţi, prin urmare la un "moment" (i.e. indice)dat termenii încep să se repete. Dacă această repetare începe de la indicele k,astfel ca

xk = xj , k > j,

atunci evident şirul devine periodic, de la indicele j începând

. . . , xj , xj+1, . . . , xk−1, xk = xj , xk+1 = xj+1, . . . ,

astfel că, dacă notăm l = k − j, (aceasta va fi perioada) vom avea

xi+l = xi, pentru orice i ≥ j.

Punctele consecutive reprezentate prin arce într-un plan, vor descrie aluraunei litere ρ, cu codiţa dată de primii termeni neincluşi în partea periodică –de aici denumirea metodei.

Idee generală a metodei este următoarea. Fie n numărul compus care sedoreşte a descompune în factori. Mulţimea finită este mulţimea claselor deresturi modulo n, deci o mulţime cu n elemente. Să presupunem că n are undivizor propriu d, de preferinţă mic în comparaţie cu n, din motive care se vorvedea mai jos.

Vom construi şirul periodic (de la un rang încolo){x0 = ales aleator între 0 < x0 < n− 1,xi+1 = f(xi) mod n,

(1.153)

unde f este o funcţie polinomială cu coeficienţi întregi.De obicei se alege din start funcţia f(x) = x2 ± 1. Funcţiile care trebuie

evitate sunt f(x) = x2 şi f(x) = x2 − 2. Acum dacă d este relativ mic, demărime "accesibilă", atunci numărul clselor de resturi modulo d este relativmic, prin urmare este de aşteptat ca în şirul astfel generat să apară doi termenixi şi xj care se află în aceeaşi clasă de echivalenţă relativ la modulul d, maiprecis {

xi = xj mod d, darxi = xj mod n.

(1.154)

Page 109: Interior Alg Comp III

1.3. FACTORIZAREA NUMERELOR 109

Astfel avem {d|(xi − xj),n - (xi − xj) (1.155)

deci (xi − xj , n) este un divizor propriu al lui n.În practică pentru a găsi un ciclu se se pleacă de la (x1, x2) şi se calculează

recursiv

(xi, x2i),

până obţinem

xm = x2m.

Acum evident l|m, deci m este un multiplu al perioadei. Aceasta este metodalui Floyd, de determinare a unei perioade.

Algoritmul care apare în acest fel este următorul.

Algorithm 6 Metoda ρ a lui Pollard1: Input: n un număr compus impar,2: f o funcţie polinomială, iniţial f(x) = x2 ± 1,3: Output: un factor d propriu al lui n,4: sau mesajul "încearcă alt f"5: procedure Metoda ρ a lui Pollard(n) ◃ n un număr compus impar6: a← 2, b← 2 d← 17: while do8: a← f(a)9: b← f(f(a))

10: d← (|a− b|, n)11: end while12: if d = n then13: return d ◃ d este un divizor propriu al lui n14: else15: return "Încearcă alt f ." ◃ se poate repeta cu alt f16: end if17: end procedure

În ceea ce priveşte complexitatea algoritmului, în ipoteza (simplificatoare,dar sugestivă) că funcţia f(x) = x2±1 mod p, unde p este prim, se comportăpe mulţimea claselor de resturi ca o funcţie aleatoare, numărul de paşi aialgoritmului pentru găsirea unui factor propriu al lui n este de ordinul lui n

14 .

Page 110: Interior Alg Comp III

110 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

1.3.2 Metoda p− 1 a lui Pollard

Această metode este eficientă în găsirea factorilor primi p ai lui n în cazul incare numărul p − 1 are numai divizori primi mici. În această ipoteză putemgăsi multiplii pentru p− 1 – fără cunoaşterea lui p− 1 – ca produse de puteride factori primi mici ai acestuia.

Ideea este următoarea. Alegem o limită superioară B. Calculăm numărul

k =∏{qi | q este prim, qi ≤ B}.

Este evident că dacă numerele prime care îl divid pe p−1 sunt mai mici decâtB, atunci acest k este un multiplu al lui p − 1. Avem pentru acest k şi j|k,pentru orice j < B.

Iată algoritmul.

Algorithm 7 Metoda p− 1 a lui Pollard1: Input: n un număr compus impar,2: B o margine de căutare,3: Output: un factor d propriu al lui n,4: sau mesajul "încearcă o margine mai mare B, şi/sau altă alegere a

lui a"5: procedure Metoda p− 1 a lui Pollard(n) ◃ n un număr compus

impar6: Alege a mod n aleator, 1 < a < n− 17: Calculează k = [2, 3, . . . , B]8: a = ak mod n9: d = (a− 1, n)

10: if 1 < d < n then11: return d ◃ d este un divizor propriu al lui n12: STOP13: else14: return "încearcă margine mai mare B, şi/sau altă alegere a lui a"

◃ nereuşit15: end if16: end procedure

Metoda lui Fermat

Am văzut că dacă numărul n compus are factori primi relativ mici, atunci ex-istă algoritm eficient de descompunere. La extrema cealaltă, să presupunemcă n are doar doi factori, ambii foarte mari. Atunci ei sunt şi apropiaţi unul de

Page 111: Interior Alg Comp III

1.3. FACTORIZAREA NUMERELOR 111

celălalt, şi apropiaţi de de√n. Surprinzător, sau mai degrabă deloc surprinză-

tor, putem construi algoritm eficient de căutare a factorilor pentru astfel denumere.

Metoda este cât se poate de simplă şi se bazează pe o observaţie algebricăelementară:

Observaţia 1.3.1. Fie n = ab un număr compus impar, şi a > b factorii săi.Atunci

n = x2 − y2, unde x = a+ b

2, y = a− b

2.

Avem atunci şi {a = x+ y,b = x− y.

Acum dacă a şi b sunt apropiate, deci numărul y = a− b2

relativ mic, atuncix este doar cu puţin mai mare decât

√n, deci nu avem altceva de făcut,

decât să testăm ca valori posibile pentru x, valori succesive începând de lax0 = [

√n] + 1,

x = x0, x0 + 1, x0 + 2, x0 + 3, x0 + 4, x0 + 5, . . .

până când dăm de un termen pentru care

x2 − n este pătrat perfect.

Atunci y2 = x2 − n, deci

n = x2 − y2 = (x+ y)(x− y),

este o descompunere în factori al lui n. Procesul se poate relua cu aceastămetodă – sau altă metodă – pentru factorii găsiţi, până toţi factorii identificaţise dovedesc a fi numere prime.

La prima vedere problema descompunerii în factori este rezolvată: avemmetode eficiente când numărul are factori mici, şi avem metodă când numărulare factori mari. Ce ne mai lipseşte? Ei bine, toate aceste metode doarciupesc puţin din întregul tort al descompunerii: ele sunt eficiente – ca săfolosim o formulare cât mai sugestivă – doar atunci acel mic este suficientde mare în comparaţie cu numărul dat, respectiv acel mare nu este foartemic în comparaţie cu numărul dat. Practic, problema mare a descompuneriieficiente în factori este încă o nucă neatinsă, succesul atacurile de până acumeste puternic limitat.

Page 112: Interior Alg Comp III

112 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

1.3.3 Algoritmul ECM al lui Lenstra

Curbele eliptice pot fi aplicate cu succes şi în problema descompunerii în fac-tori. Ideea (lui Lenstra) este de a folosi în esenţă un algoritm de tipul celuip − 1 al lui Pollard, însă pe un grup G de ordin g = ord(G) apropiat de p,şi astfel calculele se mută din Zp în acest grup G. Dacă toţi factorii primi ailui g sunt mai mici decât marginea B impusă, atunci vom putea identifica unfactor al lui n. În caz contrar putem schimba grupul G şi repeta algoritmul.

Iată mai întâi un exemplu nebanal. Există o bază de date3 interesantăpe internet, care conţine informaţii la zi legate de testarea primalităţii şi de-scompunere în factori. Aflăm de pe acest site, că astăzi (2012) în momentulredactării acestei pagini situaţia era următoarea:

• Cel mai mic număr probabil prim are 312 cifre, este

(159149− 149149)/70301736938311990,

sau144936670462606837829053780544580227725984986836101943208795085264059777159409313368760167313808150464396237869527189619773754746832956855832726102133939310230015250791921167943705800968591577452684308224474347126244824926041478244893737979045452500173809648640809773782725550361258939806305458421833823459066711.Cu alte cuvinte toate numerele testate ca fiind probabil prime, cu celmult 311 cifre, au putut fi dovedite că sunt de fapt prime (sau compuse).

• Cel mai mic număr cu statut necunoscut (prim, probabil prim, compus– nu se ştie) are 19411 cifre, şi este numărul

(723383− 1)/(7349− 1)/69729641209848607524588472476516555753196007647835795257

adică (îmi cer scuze pentru ce urmează, dar am lucrat un sfert de oră la"factorizarea" următoarelor 8 pagini)139584198710658382890077313590906867854936954919719713960085574656910425650730057054606347322699440807412126801355245494926242430462840446905738748590002492677295056604174644214512307615773698007255986103504037258189544898897398751948686775345381800551482707260718606381708650197264504152203722366422792835394106040627191674872925067249165002091624486769779545031543017234166970

3http://factordb.com/status.php

Page 113: Interior Alg Comp III

1.3. FACTORIZAREA NUMERELOR 113

580392241059972435824458543274427228554499832567184221592360964608118230674732471136769769616475809569515138601259617719739651013471220364554773996571629260201783067303950971783366658131999060245588890152732780632493718877266913052116051078637721443021134950429230824162696076958400840696502401263881977423093356324975882678243476464022680317475586410923905950288522682880152252816562089781916204166930101502280670426233222623429435197645118950566705486434871480803061785143078573382173238319778098678530474854029839336382124651645048031215051081191471216395493423806454258587535400405914548635477039714742434049944012953178455214615733901001264587188223469789599872078703268227027765533068893222722159536126645544494823046636144714389079724133303915223171436485211379561597309270446086563647860409676362167955164596497791914614441065225302880312224080433648258723905166797662738116144409142005156286421560462272086304494926096341945313794623896555785527459166072486074454194378823269950772153774753887685284921439088003721606037346285684930692234161421256323371371351885068515403777870360735350306056046774067973770463022563023343154443261277670493646025444565485587044691110670622881969555394589134720422235436735325385249135419830956485471670872812737640172483638074048446635977482703982150490803912013484033986690458313912052495295220049165002793417581839120272300861462094725226015768129693914581577865308277504280191014015868691215657710369144191043990825948865684311991586255077363031871095865145653993422119664675000710895263006527627948369318260854851317878236511340074532269339052988355026802001698590321362885093872839504101665062061590894957112488232951075192133163838424099864813565144549460669395835431492187099830329242200638274188925916687881229385066244071558804108392172604802042139032465678241036717714726390041676406885229593805290568125288016160543913881609206314850254837763907395621647473348149027868742555219698604977626571397799424928592180578910241194082415832759943417337426144392907745471019984109138295781104237912670134574384784631803941044677028733216648822134317218796454394382455297260926803249831471840841058215704621351925797943183679097565573861144980672245945387300953763433087516179472310923888714849710751073655143413752811966458100711123883398177692158914193975982288891664358992387164160140302599481892299771203654728572493391409915279779170672598420195605193229121689561992719558764276747691669557473624370887163810798331665206483802185279188399900316091875876636458081030681421659825441150552215684988392052467635565500452568896952290794183

Page 114: Interior Alg Comp III

114 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

005992795737809759421336020354400110617517222300543737392732434776671577810449370554662702882778505137843831418949856372137934737470836951481985608079037086794430101826893584511731391430809488314564567787571582365605040791633219095713048671363602137270127238914550510108844009797485819984628442177645554629573296567200529660211756696609932847377866944291399196088242105043067732166869621631558078679124065130960306803847908073576363452459874599024419521184414863442567574460863480406944498279475956505709497155245089125800522481225413715605271506332104085130489708047209099778113362955853935175304571200942775119114700163546111874322795887045342442205123468454459604894165182527759476641308075112403257582560238105338904574706943275633551373470634985194529142317681186153062786986429466696465795959362564547071726903087828155122243365567738882706154851395486863347684646934276553534168410836704505021933642656729190153884816362891124695754056536800905728227763644766278249325363954139622847620974687908431071790000644090396905282010288885233876782263322408794993879250014049908081964968268870148272211427736747265585650824186841654315659908045662019634162688038124539519469908092867839598565323737835625410294620540102459766728557200765698884947356544010589153121619198037035505267698500385932855538521373760623595017345042461177075011025355224168435676900214499303609652257839680610762145206757986994632223471473582805483378592175060645398146761478660828950218173613922882727686581950159590511346349822916660889716670382356371862851087661216658129919361000667863434776449351046730989522077180785649983330908806595691076127146536077290079333511558400371288160653890975139127735368693131877240225258046945237507636498463187752047534724170185415387531709182339877676623283286999714587336097495108549976585905389989839600053216784405254332733237323145576599339713606118569670039252035787433990127520370352313000901097165920475170362824618722940461938212615830057992461338583260438506259883665562060650542692014672938500912121085617058213687491241323495137261523863526353813100276074172874073609299867991805463112725094252061278355582170707958007103052864745760213198809500278960440126265967271923938966720063638067736444011930965770290964878972766974016743579004299459325377592975063637107904244166806195059905893988744358891181820308530439061801458111758939281441170720265502858480053067541668996179180544092233314396019489735303287418664230960926730844876202472269776940757526606486091558258841389010971767897807748321987289746147818621402701786796826670646082621170051420064834616721

Page 115: Interior Alg Comp III

1.3. FACTORIZAREA NUMERELOR 115

379576682502451228210994707878918954947299969606108251681762379449670626297221701091935983266876533480370232490509990463084372149514303390503339761027819805294376039933817652004651591686064185776643235650981600852025301512161915812081189488122341884927065623219976001566729020590714886632752378520629401211207749260187432283720038154605400041627570849228887106479643208909698087799065564814473904629468074772198783704477484842096742516602025662321349046072160527049971290915695732132788554977954034074540482909490138967173707116735752859537546993995053734604210258969457948654420313838779263701169033990665615551169808255566885777125109559464302172896746783467827545843790185576625793909850176681322202380384550137458673300032001087603326776249265555412137889368017779323769964088236991113591885254476863173318858853239009384256474528002930996645090837289673538602224356270411981972726524177620721908390650196147432741447972704116479130987502671423143702654661544157260149520305851799120001216074484755305047612505737124229474284379838433300196170482110948992210352251568556527784472701097748440410970335064593791515390514502984117199336941246994529047367303686293815993957180920268160101596346580860838866577683370395449330067684810369857036223863701851345449680534314701476839633773661254032973600121781140001405024285453991560266894896360070594850084500729298877681550804407448211993528769637296549446614832889426784421622614773665298157041114031230852394935560551134698384806551790499129633938612844898438181735476563966421272046611334123439112827646581436162633641203843369937255170804007724665694183217422216721412113919260339100990007268855987698204418575594126866224101933277936357933497566318164142452140188568240973281303633293106436770539940382369335361699116919473646777197153500659250404112826239318992923355227469387128929690945036782952011693796578169057469219251649334434447464912060369275417810437319316824406093667959832025780184134450403109226573934390626829565512180207443636627039495419489542474579411250706400275728939542039294974215789780814960265297483521593418232528123995306680329875264158027407329681095406265218643056291617947994797584013283323348808714250571063283272635574999313978539489418440731967580745991123585748991578547375849027600730687627712795811300361765184970307374406595735175310280413753941290939946235449871154603864333411609980750316339478894084354258004151124499866372685071516033649922990288685469392830171635996357295071568953293825795433966439304309564477922564131858976280141025980392015261351772568383672422854998154490914858749210

Page 116: Interior Alg Comp III

116 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

819439453413626198442715074553631421609840796146229410361410657971197615353243281408520367312637915554995148019733233778567962398444872751845634466643761526872298065572758972816819602965728322324163555829381797790504867100106444652827173871764248794681368074919395190096403560190730498663537611801556878404581409543715380660354133471324717900282279652845853389504742821514021311791544953614438494994456065445459672281258335090836972166118265729286572576324651038173530866162992455814497021350769060967329675501073363205211431459761840932872043935801953629572780304147408620258762725484731900934695852742175311626117466950087582553175084239129639529552515973268016782082497261646262287855616319246478814919556479714942894250514015729977952640820785124173611705853116072308726227185584235062827020575096952393471574655327259763382910619576688853143782331456495724388664916133895967435906214896704579525896772731707528693955545682025805810847770143178397752868291968051142507583371298869819750983525723217190607957955102467793651587138139751291152800905266919367420425243846473286144330746277782984380773408517154563348436194046115206067435486642490337721620839241978258851303506128324025004715766631036436992011221165042814707106251196111281523317308946919128405167789633708561165670004959169740330110157583104859674917039235770541772681377849779577750707102041242576390081110192054631307336347930532576768752402027441888258112463290480970658665629666849231051014425059205981191437477385979310818299561838588201881172470359191305843442349172711188784433141071553322786193222665886749086369536763933276640208316977056244355778681967624852451701008367156139905282492698933428595952622290217423189980933618010707439603273468718101872890301247917981914816284242843982689454158307138706430242108167163071879069985919784507762414360436868866874253202437941775983535580293243188014439124811291651278933202134816140303429691283702656623959601092795478458992634159479040556065328184158858587052102238863097172301537298940015683336976971632941245581633075471322135991100864674863158559665064337868249631602906269719899020495567794128026735727533493376332506954507799397419451556018292857750154715405657966190916920419725125408019020527383180835063917203511710155620413478355217043634924190659917151523861237854072423851034836065637668586009743048096447855128894797998147715718511732160125044254083363033369987042940923891129938106662973649637615222004589557106162494507674197235645687610415636872910576385551374061061773416076191728579553240464523066929597978357186558430956852405503335481297514

Page 117: Interior Alg Comp III

1.3. FACTORIZAREA NUMERELOR 117

021509950053256323112500918722783539640024491719696037559549182283924757741106823991065742538353062980083754452654792162903691949289345853603771011598238110995305790223056275449252629489231076463661451697688619123244064391390665257330702145318361805503695679540115409464844728841419932030050163223768694348393280379564191610609180419146564727461529407048408365282403396719897018429290073145486566436730856998296133347378310819208844876136951314772599765539927758480867001983406381341790807637427475856758216902495568869599528598439200983719152209130568546123864123616415690883071327302957423429975455204149097063364086829300925060300850848728797153017197011958941671520447862401328097127385327944292446158871533463864846611673738859229381737220392223585190060238206717791244106767822172132431732574278800933917405816201537581293898819492287893867547080178929006018730352446565683553666783417587572920922992355224078386857288469384586731999698054113256959183766206653783474757740764286736225627251840838883416372845812446126445182881928011887975027969352079055171058965152188595165420115511702758277927138944799451393282154324586113728978927432441915793143194952685175730168138855647416067215065434373589621143455768148474398041976034084591421659615349713364184155340218204093708752209388192868504830084235792766523979073799748364276569714330056269505172417669174513649686180820758664280201957581545125434124482786578498346817872456028981183649411119663172606728311367743296418368013581345961888566480544077820608572471047506871548225336637737453916825004316766294353325218484274443847312783987303955314600623078524686134969271128559620723995253171968287145282418719640465651944797824555997280074355679367124070926036922626395390412314787780946890496550145748541927519853571257183901422582017583204792431741631758067800514095001189886200910063743811327387600012561710065964718401074374389991666200308238393169909672714464426480708374823219548615187145344187004673336017737301921731503425716266683643440200611000415370848218331004282849479855974592650842409101646648278967635857402012036904377523109149562288690313583904289227421670607320278713974940711176236141395225587276567473334084774071069126881323391463374854792588954263334479716831116344040608673962216334881300221248490458903972318370497525221229123992599406574282053343091744749311092878225719352351134093470405428760080830611563550830126305569572443183882836658270270036438637435053073660857441210297516475420988041733022079665925512003165944466820798268176396929124274125509019912504732628912508725768559363071116543674366

Page 118: Interior Alg Comp III

118 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

788008458072754326614647982627443991849865259218966306091708727335966484399552927766966457096168593696959945626880379050809206634311445876869648763131405259879904480398308821649696214079406818045803168898681595232063727387880373738651663451912559463759023202994512822494890353470448869139228618406709428923294523670425749865001877396039736347442643344391551014519459175986551992082491973586951835546212121696215154540655058896347411526571376996189891875968829975431093701819469481754541405019871502110467233126428065231822565072519894688522963772437462089064744502898353881443841519634235574361471085491868447243714906250270862333234150958762091084305512118205320428454066285933094804295114165438091868272533734705269174558655914321006507708526613024505937211528589428819286278323159369738890441409081072833542752590405302145534067049420464951328046134524376311719448435691777898292671097440538845039635436461440522656003430257842290652101692972894098633442200063409478279555904288241310035778177358590919303480730892313953549233157042140301344945528907490825751045961654150428506625231408109830510856099057346680003442624912947540349938437930202695901449320056742073834487895404061886406725074662746474607611988721047462866081024176847830429514865897167671910465069768280257174005197990815818149501054637937019604626507762465831887835244095505303752967924671248391611935665134202508156419999620594205948476588848363025932250339065798832047590461210643696839773748862567901769327916688970168645001631833467848704007796751460395080259365947167184864830925751296399942922226089178967874850914590509882918483216649965674800409550828482112215964886714397690929530501553016870452189284971068597022028305874854232197699513381966308356098612533573675005278231875524164306347768056202698835631348415339839123217471787121279470546666800346981100761224021376093446549633369268967697950839313764907107284141328763778696426834441238534582013537721842349802471625223445840940303298025008474262649759381232859558514074888784525404367590196971478503715372110154229934914663324108501160395720077893473636543912136053735831212434860820096869035529421223926542242759906827078474202315494772933986708332515107097330440088333080873388142170464647807891183471947606859155886584277789253610151008050769047368088365440322356682105260149025506046744328176322199932643315050179379464862665771164488711980548321199232248178691662099241797884073379534878391213379175575854586432064670713499532897477848889813167000658706724101235833463199926520664982228251830746361694241888625433060404073619933771268416470236

Page 119: Interior Alg Comp III

1.3. FACTORIZAREA NUMERELOR 119

995685622375761252545591092144951317899554776116252722655985162129340405521449343192555609663952197552269488477610263216066088632756236958322104656587605765112445423814279599470965670511309168260729562344346994823503654071712544058468552374104180910757283252107034331670553759971320920011909349869473646920729954558159678817983573526470872094751603140257718722753108870787351378558960139187414394280687407315950148539695206068372336382940578772842580330674787032286723795873652893076970425727980791347365155779734728195556727908127520213955517170847545044981445970798389089117689285033683610830376456880106272713497701744482317047418130738013250723279398850187218722010873388434944868937763430512457694405506391786457071025987606497857924004963052909195898165953971953277813739972801327330568835171985043101654725642967071084345550675246894840908717286272106533308586640434927213590716484141697326171057293986785155211514708266472989833363045192254300911075534228338037803806439017846495041024415323947316905228937239768805770778256147041267618594737998929748263715554142961350149625140007810710189576357646417874292113158548348409142265606282328455539702570987672523080011361000391714127143882151878551611430262890401051943340745699750329145861323484972887982109306833984792863177748839257347658540240293494579049177214180537012837855126363958570414661539291810868372786416633739846324839300537546442658588291320549723872418890863038785954255456771636540803247258904848462796895008549414333944953106506602215656910868638204771447459765742595612866261356111339945473496455689678553897730592983450854353546057543245608531657625462494119068515571161947559450469644737002599342673533365678129004081142338469798878903887788217398962392112006200770569589807613589686768986085964015595629615686694493686384269384823034406708946484099381684928759239938336676095422117187474481621225916351445076565458606559931751471502908655343873318182249378394073358200926633574852319465664002901608061514149290833215502108090952991279226657113299423745735577881367006259052120376966989478338950805775592870459692343090799034896287371978346373815759045181826559944514756215263087577307746235067904968523023866941627040728680651653531091195819160446597030267797461811210649550636427457407741050410805001624035064831867763127417643433485932501639937154341047507481354357780401222711947696023709767106408579175988269809785519240578098713579699408819372053029373713142450445972319135513505826280680602912354976655635356721836794262230820848487416553809701271364289160149445889775218557981767020044613218353648

Page 120: Interior Alg Comp III

120 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

6857920773207402180316747690743614021884225538496445645325454664868051189833757009277185340545687881620889649504512275861902974227473981504649570871041603297076112089624194939108671320423528762946979183217698435327362943627685985427399994837950248101389489638667586101121982139793703063778105533326232076096348140718600682444728041169488147554045901082460735729308446579688502155036432816907584756797922325627090192922312863887409076800249395869095659624731646045259540507510677156910017316023880239485801434230266485793912866676971681102852756404164398526316190626601219857963297767340390935259981687764242333330725759889316756494742072529389210079560478650962084746497743130616568433108606508975689575327162727158566174482391581462094485042765199787531665987205088327397302285832341740424197416109265102707133811891117296022647670138929398974343560660895196325572578021159586837000446215048909561046907725688204972489400940149833271488922575698704801

• În sfârşit cel mai mic număr compus – cunoscut deci de a fi compus –căruia însă nu-i cunoaştem factorii are doar 91 de cifre, şi este numărul1400192323965108164727324502515915647380523749631519012473389916919266086122699806349339489,infim, faţă de cel precedent.

De doar câteva zile, cel mai mic număr compus cu factori necunoscuţi,avea 84 de cifre şi era numărul

418659374019577371538126107346682168462775142143623919323461829906414715360867724241489

Pe pagina web a lui Dario Alejandro Alpern4 se găseşte un program scrisde el, pentru factorizarea numerelor întregi, care foloseşte, printre altele, algo-ritmul ECM. În ceva mai puţin de 3 ore, algoritmul a furnizat descompunerea:

20830018554132816087876544919924317011359× 20098847868597434816926911647555972049945965071

Factorization complete in 0d 2h 52m 54sECM: 746886580 modular multiplicationsPrime checking: 133861 modular multiplications

...dar succesul era tardiv: numărul dispăruse între timp de pe listă.4http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM

Page 121: Interior Alg Comp III

1.3. FACTORIZAREA NUMERELOR 121

Iată în sfârşit şi algoritmul.

Algorithm 8 Algoritmul ECM al lui Lenstra1: Input: n un număr compus impar, relativ prim cu 62: Output: un factor d propriu al lui n,3: procedure Algoritmul ECM al lui Lenstra(n) ◃ n un număr

compus impar, (n, 6) = 14: Alege aleator o curbă eliptică E peste Zn, şi un punct P pe E. Ecuaţia

curbei este y2 = x3+ax+b, şi coordonatele punctului P (x, y). Prin urmarese alege a, x, y ∈ Zn aleator, se calculează: ◃ alegerea curbei eliptice E

5: b← y2 − x3 − ax,6: if (4a3 + 27b2, n) = 1 then7: Alegerea lui E nu corespunde, reia algoritmul, STOP8: else9: Alege un întreg divizibil cu multe numere prime şi puteri ale aces-

tora, ca în algoritmul p−1 al lui Pollard. Spre exemplu k = [2, 3, 4, . . . , B]◃ alegerea întregului k

10: Calculează kP , folosind formulele

P3(x3, y3) = P(x1, y1) + P (x2, y2),

unde

(x3, y3) = (m2 − x1 − x3 mod n, m(x1 − x3)− y1 mod n),

unde

m =

m1m2

= y2 − y1x2 − x1

, dacă P1 = P2,

m1m2

= 3x21 + a

2y1, dacă P1 = P2

◃ calculează kP11: Dacă kP = OE mod n, atunci m2 = z şi d = (z, n), în caz contrar

repetă alegerea lui E,P , STOP ◃ calculează c.m.m.d.c12: Dacă 1 < d < n,13: if d este divizor al lui n then14: afişează FACTOR găsit, d, şi STOP15: else16: repetă alegerea lui E,P , STOP17: end if18: end if19: end procedure

Page 122: Interior Alg Comp III

122 CAPITOLUL 1. TEORIA NUMERELOR

1.4 Probleme propuse1. Calculaţi simpolul lui Legendre/Jacobi

1-1.(29

23

)

1-2.(201

17

)

1-3.(100

19

)

1-4.( 90

123

)

1-5.(299

233

)

2. Aplicaţi testul de primalitate Solovay-Strasen numărului 341, 409 şi2047.

3. Calculaţi toate bazele în raport cu care 21 este pseudoprim

4. Arătaţi că 65 este pseudoprim tare în raport cu bazele 8 şi 18, dar nueste pseudoprim tare în raport cu produsul acestora.

5. Arătaţi că 65 este pseudoprim în raport cu 12, dar nu este pseudoprimEuler şi pseudoprim tare în raport cu această bază.

6. Arătaţi că 65 este pseudoprim Euler în raport cu 14, dar nu este pseu-doprim tare în raport cu această bază.

7. Descompuneţi în factori numerele

7-1. 220 − 1

7-2. 3200 − 1

7-3. 2200 · 530 + 1

Page 123: Interior Alg Comp III

Capitolul 2

Criptografie

C riptografia urmăreşte o codificare a informaţiei cu scopulde a o face nedescifrabilă pentru cei cărora informaţia nu seadresează. Criptarea este deci tot o codificare, dar spre deose-bire de codificarea care îşi propune să protejeze informaţia faţă

de alterarea acesteia în timpul transmisiei ei, criptarea îşi propune să o facăneinteligibilă... tuturor cu excepţia celui căruia informaţia i se adresează.

Nu vom trece în revistă aici istoria – de altfel interesantă şi fascinantă – ametodelor de criptare şi decriptare a informaţiei, inventate dealungul istorieiomenirii. Există numeroase surse din care întâmplări fascinante pot fi aflatedespre ingeniozitatea celor care încercau să ascundă informaţia şi ingeniozi-tatea şi mai mare a celor care au descifrat cu succes informaţia bine ascunsă(vezi spre exemplu povestea aparatului Enigma, din cel de al doilea războimondial).

Metodele particulare de criptare şi decriptare valabile între doar doiparteneri de comunicaţie pot fi frumoase, ingenioase, dar... direcţia inevitabilăde dezvoltare este marea industrie: mesajele sunt împachetate în cutii stan-dard, diferă numai cheia cutiei. Toată lumea poate deci folosi în principiuaceeaşi metodă de criptare – lacătul – dacă cheia este personalizată şi esteunicat, atunci cutia îşi păstrază secretul.

"Principiul" de funcţionare a lacătului este simplu: este uşor de încuiat (şidescuiat) în posesia cheii, şi foarte greu sau imposibil în absenţa ei. Întrucâtastăzi informaţie înseamnă practic informaţie digitală, este evident că obiectulde studiu al criptografiei trebuie să fie criptarea şi decriptarea informaţiei digi-tale: prin urmare vrând-nevrând suntem dirijaţi pe tărâmul matematicii. Aicise află nenumărate comori – necriptate, în statut de bun public, prin urmareaccesibile oricui – din care pot fi construite sisteme de criptare ingenioase şiuşor de folosit pe calculatoare digitale.

123

Page 124: Interior Alg Comp III

124 CAPITOLUL 2. CRIPTOGRAFIE

Schema generală matematică a criptării este deci o funcţie f de criptare,

f : M −→ K

definită pe mulţimea mesajelor, cu valori într-o mulţime a mesajelor criptate,care trebuie să fie

• bijectivă, pentru a asigura corespondenţă univocă între mesajul iniţial şicel criptat,

• uşor calculabilă, adică f(m) = k uşor de calculat, dar

• inversa greu/imposibil de calculat, adică m = f−1(k) imposibil de cal-culat.

Dacă ne gândim bine, printre algoritmii prezentaţi putem din start sădăm exemple care pot realiza o astfel de funcţie. Iată spre exemplu chiardescompunerea numerelor întregi în factori: în timp ce înmulţirea a douănumere cu câte 100 de cifre este un fleac (un număr de 100 × 100 înmulţiriîntre cifre şi nişte adunări este şi operaţie uşoară şi se poate şi efectua rapid),descompunerea în factori a unui număr cu 200 de cifre este încă o problemăintangibilă. Iată deci, în principiu, avem mecanisme – banala înmulţire anumerelor întregi este un exemplu – cu ajutorul cărora putem spera construireaunor sisteme de criptare performante.

2.1 Criptare RSA

U n astfel de sistem a fost găsit de Rivest, Shamir şi Adleman (de aicidenumirea presurtată RSA). Principiul pe care se clădeşte este dezolant

de simplu: teorema lui Fermat. Acest sistem pe deasupra este un sistem cuchei publice: parte din cheie este publică, parte este privată.

Această proprietate a cheii de criptare şi decriptare face ca pentru comu-nicaţii criptate între N persoane, în loc să existe un număr de procedee sau –dacă procedeul e acelaşi – un număr de chei egal cu numărul perechilor de per-

soane care schimbă informaţii între ele, deci un maxim de N(N − 1)2

, în cazulcheilor publice este suficient câte o pereche de chei pentru fiecare persoană,una publică şi una privată, în total doar 2N .

Mecanismul de funcţionare este următorul. Să presupunem că personaleA şi B – pe numele lor criptat Alice şi Bob – vor să comunice, spre exempluAlice vrea să trimită un mesaj criptat lui Bob. Ei dispun fiecare de câte o

Page 125: Interior Alg Comp III

2.1. CRIPTARE RSA 125

cheie publică UA, UB respectiv privată RA, RB, care sunt funcţii, procedee,rapide de criptare şi decriptare. Pentru orice mesaj m

RA(UA(m)) = m, RB(UB(m)) = m,

cu alte cuvinte mesajele criptate cu cheile publice pot fi decriptate cu cheileprivate respective. Este clar acum, ce are de făcut Alice dacă vrea să trimitămesaj secret lui Bob: codifică mesajul său m cu cheia publică a lui Bob, şitrimite mesajul

k = UB(m).

Bob folosind cheia sa privată decodifică

RB(k) = m.

Nimeni altcineva, în afara de Bob nu poate decodifica mesajul. Apare însă ur-mătoarea problemă: de unde va şti Bob că mesajul nu este o farsă, el vine sigurde la Alice? Soluţia acestei probleme este simplă, dacă cheia publică şi ceaprivată a lui Alice sunt simetrice, oricare poate codifica şi celălalt decodifica,adică

UA ◦RA = Id, RA ◦ UA = Id,

şi similar pentru Bob. Acum Alice se semnează de două ori: odată necriptat,Alice, şi încă odată criptat RA(Alice). Mesajul criptat trimis lui Bob va fiacum

m,Alice,RA(Alice) −→ UB(m,Alice,RA(Alice)).

Bob, folosind cheia sa privată, va descifra

RB(UB(m,Alice,RA(Alice))) = m,Alice,RB(RA(Alice),

apoi – aflând că scrisoarea este semnată Alice, va folosi mai întâi propria cheiepublică, pentru a anula criptarea produsă

UB(RB(RA(Alice)) = RA(Alice),

apoi cheia publică a lui Alice pentru a descifra

UA(RA(Alice)) = Alice.

Constatând şi a doua oară aceeaşi semnatură – Alice – Bob poate fi absolutsigur că mesajul nu este o farsă, vine chiar de la Alice. Întradevăr, de cheiaprivată a lui Alice nu dispune nimeni în afară de el, deci nimeni altcineva nupoate trimite un mesaj care să de decodifice şi a doua oară Alice.

Page 126: Interior Alg Comp III

126 CAPITOLUL 2. CRIPTOGRAFIE

Metoda de criptare RSA realizează toate acestea. Iată cum funcţioneazăîn principiu. Alegem două numere prime p şi q, impare (şi mari, dar acestaspect acum nu este important). Fie

n = pq

– şi e uşor de calculat. Mesajele vor fi numere m,

m, 0 < m < n− 1.

Fie φ(n) = (p− 1)(q − 1) şi un număr e, ales aleator (e-encryption)

(e, φ(n)) = 1, 0 < e < φ(n).

Fied = e−1 mod φ(n),

care deci există (d-decryption). Acum mesajul codificat este

c = me mod n,

iar codificarea este simlă şi rapidă: este doar o ridicare la putere modulo n.Decodificare este la fel de simplă şi uşoară:

m = cd mod n.

Să demonstrăm acest fapt în cadrul unei propoziţii:

Propoziţia 2.1.1. În ipotezele şi cu notaţiile anterioare avem

c = me mod n dacă şi numai dacă m = cd mod n.

Demonstraţie. Avem prin construcţie

ed = 1 mod φ(n),

prin urmare putem scrie

ed = 1 + kφ(n) = 1 + k(p− 1)(q − 1),

pentru un k potrivit ales. Dacă (m, p) = 1, atunci conform teoremei lui Fermat

mp−1 = 1 mod p,

Acum avem

med = m1+k(p−1)(q−1) = m ·mp−1k(q−1) = m · 1 = m mod p.

Page 127: Interior Alg Comp III

2.1. CRIPTARE RSA 127

Similar în cazul (m, q) = 1, avem

med = m1+k(p−1)(q−1) = m ·mq−1k(p−1) = m · 1 = m mod q.

Dacă (m, p) = p sau (m, q) = q, atunci automat congruenţele de mai sus auloc. În final, deoarece numerele p şi q sunt prime distincte, sunt şi relativprime, deci

med = m mod pq.

2

Ca o simplă observaţie să menţionăm că deoarce n = pq, deci un produsde exact două numere prime distincte (impare) φ(n) = n − p − q + 1, ceeace dă o legătură între cei patru protagonişti, încă o relaţie pe lângă n = pq.Astfel găsirea descompunerii lui n este echivalentă cu găsirea lui φ(n).

Algoritmul de criptare RSA se bazează pe următoarele fapte (de faptipoteze, – faţă de care nutrim o speranţă întemeiată că vor funcţiona ca fapte,încă o bucată de vreme, – dacă vrem să fim foarte meticuloşi în formulare).

• Numere prime mari sunt uşor de găsit, şi verificat (certificat)

• Numere compuse mari sunt imposibil/foarte greu de descompus în factoriprimi.

Dăm aici o formulare algoritmică tip pseudocod, pentru algoritmul degenerare a cheilor pentru metoda de criptare RSA.

Algorithm 9 Algoritmul RSA - Key generation1: Input: z numărul de cifre dorit pentru p şi q2: Output: cheia secretă (n, e), cheia publică d3: procedure Algoritmul RSA - Key generation(z) ◃ z numărul

cifrelor dorit4: p, q ← 105: while p sau q nu este număr prim do6: generează aleator numărul p şi q de z cifre7: end while8: n = pq9: φ(n) = (p− 1)(q − 1)

10: generează aleator e, 0 < e < φ(n) astfel ca (e, φ(n)) = 111: d = e−1 mod n12: return perechea (n, e) cheie pUblică13: return d cheie pRivată14: end procedure

Page 128: Interior Alg Comp III

128 CAPITOLUL 2. CRIPTOGRAFIE

2.2 Criptare ElGamalÎn anul 1985 ElGamal a propus un sistem criptografic cu chei publice bazatpe problema logaritmului discret. Securitatea acestui sistem este dat de lipsaunui algoritmi eficient pentru calculul logaritmului discret. Dacă an = bmod p atunci exponentul n se numeşte logaritmul discret al lui b în baza a,modulo p.

Ideea de funcţionare a acestui sistem este următoarea.

• Se alege un număr prim q şi un generator g al grupului multiplicativ Z∗q .

Aceste numere sunt publice.

• Alice alege un număr

a ∈ {1, 2, 3, . . . , q − 1}.

Acest număr va fi cheia de decriptare privată a lui Alice. Cheia decriptare publică a lui Alice este

ga ∈ Z∗q .

• Dacă Bob vrea să trimită un mesaj criptat lui Alice, el alege un numărb aleator între

b ∈ {1, 2, 3, . . . , q − 1},

şi trimite lui Alice perechea

(gb,mgab) mod q,

unde m este mesajul transmis.

• Alice va folosi cheia sa privată a, şi va calcula mai întâi

(gb)a = gab mod q,

apoi va face împărţirea

mgab/gab = m mod q.

În felul acesta Alice a putut descifra mesajul m. Puterea şi securitatea sis-temului ElGamal este conferit de faptul că nu se cunosc procedee rapide decalcul al lui gab cunoscându-se ga şi gb: orice procedeu cunoscut face apel înesenţă la calculul logaritmului discret, pentru care nu dispunem de metodeeficiente de calcul.

Page 129: Interior Alg Comp III

2.3. PROBLEME PROPUSE 129

2.3 Probleme propuse1. Construiţi un sistem de criptare RSA folosind perechile de numere prime

1-1. 101,1311-2. 123401, 1300031-3. 555123407,567130033

şi testaţi criptarea şi decriptare pe diverse mesaje.

Page 130: Interior Alg Comp III
Page 131: Interior Alg Comp III

Capitolul 3

Teoria singularităţilor

T eoria singularităţilor are o istorie care începe practic înultimele decenii ale secolului trecut. Ea este a ramură nouă amatematicii în care sunt implicate multe alte ramuri. Pentrua menţiona doar câteva putem spune că teoria singularităţilor

se află la intersecţia geometriei algebrice, a topologiei (omologie, omotopie,fibrări), a geometriei şi topologiei diferenţiale, a teoriei spaţiilor analitice şi aalgebrei comutative.

Cu toate acestea unele puncte de plecare ale teoriei singularităţilor suntmult mai vechi. Curbe cu singularităţi apar în istoria timpurie a matematicii.Probabil că prima curbă cu singularităţi a fost cissoida lui Diocles (vezi [34]).Această curbă a fost utilizată de greci pentru rezolvarea problemei dedublăriicubului.

Mai târziu, Newton a investigat curbe plane definite de ecuaţii algebriceimplicite. Într-un punct singular al curbei, ecuaţia ei nu determină una dinvariable ca o serie de puteri ale celeilalte variabile. Pentru a rezolva problemaecuaţiei explicite, Newton a dat o metodă prin care o variabilă se exprimă cao serie de puteri a unei puteri fracţionare a celeilalte variabile. Această seriese numeşte astăzi seria Puisseux. Se poate spune că actul de naştere a teorieisingularităţilor este descoperirea de către Newton a poligonului care astăzi îipoartă numele şi care este construit în planul de coordonate cu ajutorul expo-nenţilor monoamelor din ecuaţia curbei şi a perechilor Puisseux (întregi caresunt introduşi pe parcursul procesului de aproximare descoperit de Newton şiamintit mai sus).

Odată cu mutarea problemei în domeniul complex, geometria şi topologiavor juca un rol deosebit de important.

131

Page 132: Interior Alg Comp III

132 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

3.1 Introducere

O curbă algebrică plană proiectivă complexă este o suprafaţă re-ală orientată compactă de gen g. Genul este dat de gradul n al ecuaţiei

omogene a curbei prin intermediul formulei

g = (n− 1)(n− 2)2

.

Pentru curbe care au puncte singulare, această formulă se modifică cu anumitecaracteristici ale singularităţii, iar genul g este genul curbei desingularizate(vezi [59]). Din dezvoltarea Puisseux în jurul unui punct singular se poate cititopologia singularităţii, care se dovedeşte a fi un con peste un nod iterat (saulink) pe un tor.

Interacţiunea dintre teoria singularităţilor şi topologie a luat amploare înanii 1960 prin contribuţia lui Hirzebruch, Brieskorn, Milnor şi alţii (vezi [42]).Această interacţiune poate fi urmărită începând cu lucrările lui Klein, Lef-schetz şi Picard, şi alţi specialişti în teoria nodurilor de pe la începutul sec-olului trecut.

Trecând de la curbe la suprafeţe dificultăţiile studiului singularităţilor crescconsiderabil. Pentru a înţelege structura suprafeţelor algebrice complexe seîncearcă reprezentarea lor (cel puţin local) ca şi acoperiri ramificate ale plan-ului. Această metodă este analoagă cu cea din dimensiune 1 de a proiectacurbele pe o dreaptă. Dar în cazul curbelor zerourile discriminantului formeazădoar o mulţime de puncte izolate iar ramificaţia este uşor de descifrat. Pentrusuprafeţe complexe punctele de ramificaţie formează o curbă complexă, deci osuprafaţă reală 2-dimesională.

Pentru a descrie topologia unei suprafeţe complexe în jurul unui punct sin-gular izolat, se consideră scufundarea suparfeţei într-un spaţiu de dimensiunesuficient de mare CN şi se intersectează cu sfera reală S2N−1 de rază suficientde mică, centrată în punctul singular. Intersecţia acestei sfere cu suprafaţacomplexă este o 3-varietate, numită nodul (link) singularităţii.

Introducem aici câteva chestiuni de terminologie. O varietate afină alge-brică X ⊂ CN este mulţimea zerourilor comune ale unui set de polinoameîn N variabile, iar analog, o varietate proiectivă se obţine pentru polinoameomogene. O varietate X este o hipersuprafaţă dacă este mulţimea zerourilorunui singur polinom f(z1, z2, . . . , zN ) (local pentru cazul proiectiv). PunctulP (f(P ) = 0) este un punct singular al lui X, dacă toate derivatele parţialeale lui f în P sunt nule. Menţionăm că mulţimea punctelor nesingulare esteo varietate complexă de dimensiune N − 1.

Studiul local al lui X în P ∈ X ⊂ CN se începe prin considerarea nodului(link) lui P în X. Acesta se defineşte ca fiind LX = X ∩ S2N−1

ε , unde S2N−1ε

Page 133: Interior Alg Comp III

3.1. INTRODUCERE 133

este o sferă de rază suficient de mică ε în jurul lui P în CN . Dacă P esteo singularitate izolată al lui X, atunci linkul lui este o varietate compactănetedă reală de dimensiune cu 1 mai mică decât dimensiunea reală a lui X înpunctul P .

A descrie topologia varietăţii X în vecinătatea lui P este echivalent cudescrierea lui LX şi a scufundării acestuia în sferă. De fapt X este localhomeomorf cu conul de bază LX şi vîrf P . A descrie scufundarea locală a luiX în CN în vecinătatea lui P este echivalent cu descrierea scufundării lui LX

în sfera S2N−1ε .

Grupul fundamental local al singularităţii este prin definiţie grupul funda-mental al nodului.

În cazul unei singularităţi izolate a unei suprafeţe complexe algebrice,nodul este evident o 3-varietate. În acest mod avem o sursă bogată de ex-emple de 3-varietăţi compacte.

Mumford, ([69]) confirmând o conjectură a lui Abhyankar, a demonstratcă dacă P este un punct normal al suprafeţei complexe X cu grup fundamentallocal trivial, atunci P este un punct neted al lui X. Acest rezultat arată cănetezimea poate fi caracterizată printr-o proprietate topologică.

Condiţia de normalitate are o definiţie algebrică. Ea exprimă faptul căinelul germenilor de funcţii olomorfe este integral închis. Este remarcabil căaceastă condiţie pur algebrică implică consecinţe pur topologice ale lui X: eaimplică faptul că singularitatea este izolată şi nodul său este conex.

Tehnica de investigaţie principală a topologiei singularităţilor suprafeţeloreste rezoluţia singularităţii. Esenţa acestei construcţii este că printr-un şirde transformări cuadratice locale, o vecinătate a singularităţii este substituitîntr-un mod biolomorf cu un spaţiu neted, cu excepţia punctului singular în-suşi, care este substituit la rândul lui printr-un set de curbe proiective netedeabstracte, care se intersectează între ele transversal — aceste curbe sunt nu-mite divizori excepţionali — şi care sunt scufundate într-o vecinătate tubularăa curbelor excepţionale ireductibile.

În cazul suprafeţelor, în plus, acest procedeu are o natură algoritmică,astfel poate fi exploatată pentru a depista invarianţi topologici ai singularităţii.

Remarcabil este faptul că nodul singularităţii la rândul lui poate fi re-obţinut din divizorii excepţionali printr-un proces numit "plumbing" (tubu-larizare). Esenţa acestei construcţii este că o vecinătate tubulară a curbelorexcepţionale în spaţiul de rezoluţie este văzut ca un fibrat de 2-sfere (discuri)peste curba însăşi. Aceste piese sunt apoi lipite între ele conform cu grafullor de intersecţie: într-un punct de intersecţie (transversală) a două curbeexcepţionale, fibraţii de 2-sfere sunt lipite prin identificarea unei fibre pestepunctul de intersecţie cu o vecinătate de tip 2-sferă a punctului de intersecţiedin curba cealaltă, şi invers.

Page 134: Interior Alg Comp III

134 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

După netezirea colţurilor obţinem o varietate a cărei frontieră este difeo-morfă cu nodul singularităţii.

Este clar aşadar, că informaţiile topologice ale singularităţii pot fi cod-ificate într-un graf. Nodurile acestuia reprezintă curbele, iar arcele lui inter-secţiile acestora. Nodurile (deci curbele) sunt decorate cu informaţii numerice:tipul curbei, adică genul ei precum şi informaţia de răsucire, adică numărulEuler al fibratului normal al divizorului excepţional (irreductibil) în spaţiulambiant de rezoluţie, sau echivalent, numărul de autointersecţii al curbelor înspaţiul de rezoluţie în care sunt scufundate.

Grupul fundamental local al unei singularităţi al unei suprafeţe algebricese dovedeşte util în clasificarea singularităţilor.

Astfel, Brieskorn a arătat, că dacă grupul local fundamental este finitatunci X este local izomorf cu o singularitate de tip cât C2/G, unde G este unsubgrup discret, deci finit al lui SL(2,C). El a dat şi lista completă a tuturoracestor subgrupuri împreună cu graful de rezoluţie minimal al singularităţiicorespunzătoare C2/G.

Grupul fundamental local s-a dovedit a fi strâns legat deasemenea şi destructura locală analitică a singularităţii.

3.2 Topologia locală a lui (X, x)

În această secţiune vom caracteriza germenele (X,x) al unei singularităţi desuprafaţă normală din punct de vedere topologic. Vom construi o 3-varietateorientabilă LX , numit nodul lui X, astfel ca un reprezentant local al lui X săfie homeomorf cu Cone(LX).

În particular, toate proprietăţile topologice ale lui X vor fi codificate înLX . Vom vedea că 3-varietăţile posibile care apar ca noduri de singularităţide suprafaţă normale sunt speciale: ele pot fi construite prin tubularizare(plumbing). Unele din exemplele din această secţiune vor fi 3-varietăţi şi maispeciale: ele sunt S1-fibrări peste suprafeţe Riemann compacte.

În această secţiune prezentăm şi clasificarea topologică a acestor S1-fibrărivia numărul lor Euler.

3.2.1 Nodul lui (X, x)

Fie (X,x) o singularitate de suprafaţă normală. Fixăm o funcţie analiticăreală ρ : X → [0,∞) astfel ca ρ−1(0) = {x}. O asemenea funcţie există:pentru orice scufundare (X,x) ⊂ (CN , 0), putem considera restricţia aplicaţiei(z1, . . . , zN )→

∑Ni=1 |zi|2.

Page 135: Interior Alg Comp III

3.2. TOPOLOGIA LUI (X,X) 135

Lema 3.2.1. Există ε0 > 0, astfel ca ρ nu are valori critice în intervalul(0, ε0].

În particular, pentru orice 0 < ε ≤ ε0, spaţiul ρ−1(ε) este o 3-varietatenetedă orientabilă. Tipul difeomorf al lui ρ−1(ε) nu depinde de alegerea luiε ∈ (0, ε0].

Lema 3.2.2. Fixăm ε0 dat de lemma 3.2.1. Atunci pentru orice 0 < ε ≤ ε0,ρ−1([0, ε]) este homeomorf cu Cone(ρ−1(ε)).

În general, dacă dorim un reprezentant pentru germenele (X,x), preferămun spaţiu de tip ρ−1([0, ε]), ca mai sus.

Definiţia 3.2.3. Nodul lui (X,x) este o 3-varietate orientabilă ρ−1(ε), undeρ : (X,x)→ [0,∞) este o aplicaţie reală analitică cu ρ−1(0) = {x} şi 0 < ε≪ 1(ca mai sus).

Din cele anterioare rezultă că nodul lui (X,x) este independent de alegerealui ε. Mai mult se poate arăta că este independent şi de alegera lui ρ.

Lema 3.2.4. Fie ρ, ρ′ : X → [0,∞), ρ−11 (0) = ρ−1

2 (0) = {x}. Atunci existăun ε0 astfel ca

(1) ρ−11 ([0, ε0]) este compact şi ρ1|X−{x} nu are valori critice în (0, ε0],

(2) dacă ε > 0 este astfel ca ρ−12 ([0, ε]) ⊂ ρ−1

1 ([0, ε0]) atunci ipoteza punc-tului anterior (1) este satisfăcută pentru ρ2 şi ε, şi există un difeomor-fism al lui ρ−1

2 ([0, ε]) ∩ ρ−11 ([0, ε0]) pe [0, 1] × ρ−1(ε0) care duce ρ−1

1 (ε0)şi ρ−1

2 (ε) pe {0} × ρ−11 (ε0) şi {0} × ρ−1

2 (ε), respectiv.

În cele ce urmează vom nota nodul lui (X,x) prin LX . Din Lema 3.2.2rezultă că LX codifică complet topologia lui (X,x).

Exemplul 3.2.5. Fie (X,x) neted. Atunci LX = S3.

Există un rezultat profund al lui Mumford, care spune că dacă LX = S3,atunci (X,x) este un germene analitic neted, cu alte cuvinte dacă X este ovarietate topologică, atunci el este şi o varietate complexă.

Exemplul 3.2.6. Fie (X,x) = ({z21 + z2

2 + z23 = 0}, 0) ⊂ (C3, 0). Atunci

LX = −T1S2 = {v ∈ TS2 : |v| = 1} cu orientarea contrară.

Exemplul 3.2.7. Fie (X,x) = ({zd1 + zd

2 + zd3 = 0}, 0) ⊂ (C3, 0). Atunci LX

este o S1-fibrare peste Cddef= {[z1, z2, z3] ∈ P2 : zd

1 + zd2 + zd

3 = 0}.

Page 136: Interior Alg Comp III

136 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

Exemplul 3.2.8. Considerăm un subgrup finitG al lui SU(2). (Aceste grupurisunt clasificate şi sunt numite grupuri Klein, a se vedea 3.3.1, şi pagina 145,sau Lamotke [63]). Atunci G acţionează pe C2 via acţiunea SU(2) pe C2.Această acţiune conservă norma, deci acţionează pe S3. Atunci dacă punem(X,x) = C2/G, atunci nodul lui este LX = S3/G.

De exemplu dacă G = Zn este dat de reprezentarea

ξ ∈ Zn = {ξ ∈ C : ξn = 1} −→(ξ 00 ξq

)where (q, n) = 1,

atunci LX = S3/Zn. Acesta este spaţiul lenticular L(n, q).

3.2.2 Clasificarea topologică a fibrărilor de drepte complexepeste suprafeţe compacte Riemanniene

În exemplele 3.2.6 şi 3.2.7 nodul LX este o S1-fibrare peste o suprafaţă Rie-mann. În general în geometria complexă analitică (resp. în topologia alge-brică) S1-fibrările sunt derivate din fibrări vectoriale complexe 1-dimensionale,sau fibrări de drepte complexe (resp. fibrări vectoriale reale 2-dimensionale).

În această secţiune vom da clasificarea topologică a fibrărilor de dreptecomplexe peste suprafeţe Riemann.

Definiţia 3.2.9. O fibrare de drepte complexe peste sapţiul topologic B constădintr-un spaţiu topologic T şi o aplicaţie continuă π : T → B, astfel ca fiecarefibră π−1(b) are o structură complexă 1-dimensională liniară.

Adiţional, presupunem că aplicaţia π : T → B este local trivială în sen-sul următor: pentru orice b ∈ B există o vecinătate Ub al lui b în B şi unhomeomorfism φ : π−1(Ub)→ Ub ×C astfel ca

(a) diagrama următoare este comutativă

π−1(Ub)φ - Ub ×C

Ub�

pr1

π-

(b) φb′def= φ|π−1(b′) : π−1(b′) → {b′} × C este un izomorfism liniar de

spaţii vectoriale 1-dimensionale complexe pentru orice b′ ∈ Ub.

Page 137: Interior Alg Comp III

3.2. TOPOLOGIA LUI (X,X) 137

Observaţia 3.2.10. Dacă scriem definiţia în categoria de C∞-varietăţi/aplicaţii (resp. varietăţile complexe /aplicaţile analitice) obţinemC∞-fibrările de drepte (resp. fibrările olomorfe de drepte).

Exemplul 3.2.11. Fibrarea de drepte tautologică a lui PnC.

Exemplul 3.2.12. Fie C o varietate complexă 1-dimensională. Atunci TC,fibrarea olomorfă tangentă al lui C, este o fibrare olomorfă de drepte.

Exemplul 3.2.13. Fie X o varietate complexă 2-dimensională, şi C ⊂ X osubvarietate 1-dimensională complexă. Atunci fibrarea normală NC|X al lui Cîn X este o fibrare olomorfă de drepte.

Mai mult, TX|C este o fibrare olomorfă 2-dimensională vectorială şi

0 - TC - TX|C - NC|X - 0

este un şir exact de fibrări olomorfe vectoriale peste C.Dacă îl considerăm în categoria C∞ sau C0, atunci TX|C = TC ⊕NC|X .

3.2.14. Construcţia unei fibrări de drepte, folosind cociclii gαβ

O cale echivalentă de construcţie a fibrării de drepte se obţine prin consid-erarea familiei de funcţii de tranziţie pe intersecţia nevidă a perechilor de hărţide coordonate, i.e. prin prin preciyarea familiei gαβ : Uα ∩ Uβ → GL(1,C) cuurmătoarea proprietatea de cociclu:

(a) gαβgβγgγα = 1 pentru orice α, β, γ,

(b) gαα = 1, pentru orice α.

Să observăm, că două familii gαβ şi hαβ dau fibrări izomorfe dacă şi numaidacă există o familie de aplicaţii λα : Uα → GL(1,C), astfel ca

hαβ = λαgαβλ−1β on Uα ∩ Uβ, pentru orice α, β.

În particular, (gαβ)αβ dă o fibrare trivială de drepte dacă şi numai dacă existăλα : Uα → GL(1,C) astfel ca gαβ = λαλ

−1β pe Uα ∩ Uβ , pentru orice α şi β.

Exemplul 3.2.15. Exemple principale sunt OP1(n), n ∈ Z, familia de fibrăriolomorfe de drepte, definite pe dreapta complexă proiectivă.

Exemplele 3.2.16. Cazuri importante:

(a) Fibrarea de drepte tautologică pe P1 este OP1(−1).

Page 138: Interior Alg Comp III

138 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

(b) Fibrarea tangentă olomorfă de drepte pe P1 este OP1(2).

(c) Fibrarea normală de drepte pe P1 ⊂ P2 este OP1(1).

În teorema de clasificare topologică Lema următoare este crucială.

Lema 3.2.17. Presupunem că π : T → B este o fibrare de drepte complexetopologică. Fie B = B1 ∪B2 astfel ca π este trivial peste B1 şi B2. Mai mult,presupunem că aplicaţia de incluziune B1 ∩B2 ↪→ B2 are o retractă.

Atunci π este fibrarea trivială peste B.

Putem da acum teorema de caracterizare a fibrărilor de drepte topologicepe suprafeţe compacte Riemanniene.

Teorema 3.2.18. (a) Dacă B este o varietate compactă 2-dimensionalăavând bord netrivial, atunci orice fibrare topologică complexă de dreptepeste B este trivial.

(b) Presupunem că B este o varietate compactă 2-dimensională reală ori-entată fără bord. Atunci fibrările de drepte topologice peste B sunt clasifi-cate de H2(B,Z) = Z. Invariantul corespunzător este numărul Euler sauprimul număr Chern (vezi construcţia numărului Euler de mai jos şi3.2.19 Două fibrări de drepte sunt topologic echivalente dacă şi numaidacă numerele lor Euler coincid. Pentru orice n ∈ Z putem construi ofibrare de drepte având număr Euler n.

Definiţia 3.2.19. În demonstraţia teoremei de mai sus, dacă g12(z) = zn,atunci spunem că π are numărul Euler n, şi notăm cu e = e(π : T → B).

Numărul Euler e = n poate fi caracterizat şi prin proprietatea, următoare:

Propoziţia 3.2.20. Fie π : T → B o fibrare de drepte complexe peste baza Bca mai sus. Fie s : B → T o secţiune globală C∞ (π ◦ s = 1B). Notăm prin s0secţiunea zero, s0 : B → T , s0(x) = (x, 0). Atunci

(a) [Im s] şi [Im s0] determină aceaşi clasă de omologie în H2(T,Z).

(b) n = [Im s0] · [Im s0] = [Im s0] · [Im s], numărul de intersecţie luat înH2(T,Z), i.e. prin forma bilineară (, ) : H2(T,Z)⊗2 → Z.

3.2.3 Preliminarii analitice

Observaţia 3.2.21. Toate construcţiile de mai sus sunt topologice. Categoriaolomorfă este mult mai subtilă.

Page 139: Interior Alg Comp III

3.2. TOPOLOGIA LUI (X,X) 139

Dăm aici principalele idei pentru cazul analitic. Pentru clasificarea olo-morfă a fibrărilor olomorfe de drepte peste o suprafaţă Riemanniană compactăputem spera o clasificare mai fină, întrucât structura olomorfă este mult mai"rigidă", i.e. restrictivă. Cu alte cuvinte, ne aşteptăm ca pentru o aceeaşi clasătopologică să avem mai multe clase olomorfe de izomorfism.

Construcţia (gαβ)αβ arată că în limbajul coomologiei Čech clasele deizomorfism ale fibrărilor olomorfe de drepte sunt date de grupurile de coomolo-gie cu coeficienţi fasciculi H1(B,O∗

B). Şirul exact exponenţial de fascicule pesteB

0 - ZB- OB

exp - O∗B

- 0

dă şirul lung exact:

H1(B,Z) - H1(B,OB) - H1(B,O∗B)

δ- H2(B,Z) - H2(B,OB).

Acum, din teoria generală a suprafeţelor Riemann avem H2(B,OB) = 0 şiH1(B,OB) = Cg, unde g este genul lui B.

Este remarcabil că aplicaţia δ : H1(B,OB) → H2(B,Z) este dată denumărul lui Euler.

De aceea pentru fiecare n ∈ Z avem fibrări olomorfe de drepte cu numărEuler n, dar dacă g > 0, atunci pentru fiecare n, spaţiul parametrilor de fibrăriolomorfe de drepte cu număr Euler n este dat de

H1(B,OB)H1(B,Z)

= Cg/Z2g = 0.

Dacă totuşi g = 0, i.e. dacă B = P1, atunci clasificarea olomorfă şitopologică a fibrărilor de drepte este aceeaşi, şi este dat de numărul Eulerπ → e(π) ∈ Z.

Exemplele 3.2.22. Avem aici exemple pentru diverse numere Euler.

(a) e(TB) = 2 − 2g = număr Euler al lui B, unde TB este fibrarea olo-morfă tangentă al lui B.

(b) e(OP1(n)) = n.

(c) e(τP1) = −1, unde τP1 este fibrarea tautologică de drepte al lui P1

(vezi 3.2.11).

(d) e(NP1|P2) = 1, aici NP1|P2 este fibrarea normală al dreptei proiectiveîn spaţiul 2-dimensional complex proiectiv.

Page 140: Interior Alg Comp III

140 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

(e) Considerăm curba C = {xd + yd + zd = 0} ⊂ P2. Atunci e(TC) =2−2g, unde genul este g = (d−1)(d−2)/2. De asemenea e(NC|P2) = d2

(prin teorema Bézout).

Exemplul 3.2.23. Dimensiunea spaţiului vectorial H0(P1,OP1(n)) al fibrăriiolomorfe de drepte OP1(n) peste P1, este

h0(P1,OP1(n)) ={n+ 1, dacă n ≥ 0

0, dacă n < 0

3.3 Singularităţi complexeÎn această secţiune introducem câteva noţiuni legate de germenii analitici.

Fie U ⊂ Cn o mulţime deschisă. O mulţime analitică este mulţimea ze-rourilor comune ale unui set (finit) de funcţii analitice f : U → C. Întrucâtacest concept este în esenţă local, avem următoarea definiţie.

Definiţia 3.3.1. O submulţime X ⊂ U se numeşte analitică în x ∈ U dacăexistă o vecinătate V ⊂ U şi un număr finit de funcţii analitice f1, f2, . . . , fk,astfel ca

X ∩ U = {x ∈ U |f1(z) = · · · = fk(z) = 0}.

Vom spune că X este submulţime analitică a lui U dacă X este analitic înorice punct al lui U .

Mulţimile care sunt analitice numai în punctele proprii sunt numite localanalitice.

Definiţia 3.3.2. Presupunem U,U ′ sunt deschişi în Cn. FieX ⊂ U şiX ′ ⊂ U ′

mulţimi analitice. Vom spune că X şi X ′ definesc acelaşi germene de mulţimeanalitică în x ∈ U ∩ U ′ dacă există o vecinătate deschisă V ⊂ U ∩ U ′ of x,astfel ca

X ∩ V = X ′ ∩ V.

Vom nota germenele de mulţime X în x prin (X,x) iar X se va numi unreprezentant al lui (X,x).

Conceptul de germene de mulţime analitică permite studiul proprietăţilorlocale ale lui X în x. În acest mod noţiunea de singularitate (complexă) estesinonimă cu germene de mulţime analitică.

Dacă funcţiile f1, . . . , fk sunt polinoame, şi considerăm idealul I generatde ele, atunci mulţimea zerourile lor comune este numit submulţime algebrică(sau varietate, cu condiţia ca I să fie un ideal prim), iar dacă polinoamele sunt

Page 141: Interior Alg Comp III

3.3. SINGULARITĂŢI COMPLEXE 141

omogene (astfel mulţimea de puncte este presupus "omogen", i.e. este spaţiulproiectiv Pn−1) şi I este ideal prim, atunci mulţimea zerourilor comune estenumit varietate proiectivă.

Fie mulţimea de germeni de funcţii olomorfe în x ∈ U ⊂ Cn notată cu On.Se observă că, printr-o translaţie în Cn, putem presupune că x este 0, şi dinacest motiv putem omite punctul x din notaţia anterioară.

Următoarea propoziţie stabileşte unele proprietăţi ale On.

Propoziţia 3.3.3. Fie U ⊂ Cn o mulţime deschisă, astfel ca 0 ∈ U . Atunci

(a) On este o C-algebra locală,

(b) idealul maximal unic al lui On este m = {f ∈ On|f(0) = 0}

(c) mk este generat de monoamele de grad k, sau echivalent, de funcţiile,ale căror derivate de ordin mai mic decât k sunt nule în 0,

(d) un ideal I al lui On are codimensiune finită dacă şi numai dacă I ⊂mk pentru un întreg pozitiv k.

În general, notăm mulţimea zerourilor comune ale funcţiilor idealului I allui On, prin V (I).

Este un fapt important, că numărul funcţiilor ale căror zerouri comunegenerează germenele analitic, poate fi nu numai finită. De fapt, la oricegermene de mulţime analitică X în x putem asocia germenele de funcţii care seanulează pe un reprezentant al germenelui. Evident, aceste germene formeazăun ideal, notat I(X). Acest ideal determină germenele de mulţime în sensulteoremei care urmează.

Teorema 3.3.4 (Hilbert’s Nullstellensatz). Inelul local On este inel Noethe-rian. Mai mult:

(a) V (I(X)) = X pentru orice germene de mulţime analitică X,

(b) I(V (J)) =√J , pentru orice ideal J ⊂ On.

Această teoremă este deseori numită Rückert Nullstellensatz. Versiuneaoriginală a lui Hilbert a fost dată pentru polinoame şi mulţimi algebrice.

Legătura dintre proprietăţile algebrice şi analitice ale germenilor demulţimi analitice este arătată în următoarele propoziţii.

Propoziţia 3.3.5. C-algebra On este izomorfă cu C-algebra seriilor conver-gente de puteri C{z1, z2, . . . , zn}.On este un inel factorial.

Page 142: Interior Alg Comp III

142 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

Propoziţia 3.3.6. Un ideal I ⊂ On are codimensiune finită dacă şi numaidacă V (I) constă din cel mult un punct (i.e. dacă V (I) = ∅ sau V (I) = {0}).

Fie (X,x) o mulţime de germeni, analitică. Dacă (X,x) ⊂ (Cn, 0) atunciputem defini germenele de funcţie olomoră pe X, considerând On şi identi-ficând două germene f şi g dacă f − g este nul pe X, i.e. f − g ∈ I(X). Astfelinelul germenelor de funcţii olomorfe pe (X,x) este tocmai On/I(X). Vomnota această algebră analitică prin O(X,x).

Fie g : (U, 0)→ (V, 0) un izomorfism analitic, i.e. o aplicaţie biolomorfă gîntre două vecinătăţi U şi V ale lui 0, astfel ca g(0) = 0. Atunci este uşor devăzut că aplicaţia f → f ◦g defineşte un automorfism algebric g∗ al C-algebreiOn.

Este important faptul că în contextul complex este adevărată şi reciprocaacesteia.

Propoziţia 3.3.7. Orice automorphism h de C-algebre al lui On este indusde o aplicaţie biolomorfă g, i.e. există g, astfel ca h = g∗.

Mai mult, fie (X,x) ⊂ (Cn, 0) şi (Y, y) ⊂ (Cm, 0) germeni de mulţimeanalitică. O aplicaţie ϕ : (X,x) → (Y, y) de germeni induce un morfism dealgebre locale reduse

ϕ∗ : O(Y,y) −→ O(X,x)

prin ϕ∗(f) = f ◦ϕ, şi invers, orice morfism de algebre analitice reduse provinedintr-un germene de astfel de aplicaţie.

Definiţia 3.3.8. Un germene de mulţime analitică X(I) este numit hiper-suprafaţă dacă idealul I ⊂ On este principal, i.e. I = (f).

Definiţia 3.3.9. Fie (X,x) un germene de mulţime analitică. Atunci (X,x)este numit reductibil dacă există germenii X1 ⊂ X, X1 = X, şi X2 ⊂ X,X2 = X astfel ca X = X1 ∪X2. În caz contrar X este numit irreductibil.

Propoziţia 3.3.10. Un germene de mulţime analitică (X,x) este irreductibilădacă şi numai dacă idealul I(X) este un ideal prim.

Propoziţia 3.3.11. Fie (X,x) un germene de mulţime analitică. Atunci Xare o descompunere în componente irreductibile X = X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xk.

De menţionat că geometric Xi sunt "ramurile" lui X.

Definiţia 3.3.12. Fie X o submulţime analitică (scufundată) al unui domeniudin Cn. Un punct x ∈ X este numit regular pentru X dacă există o vecinătateU al lui x în Cn, astfel ca U ∩X este o subvarietate analitică complexă al luiU .

În caz contrar x este numit punct singular al lui X.

Page 143: Interior Alg Comp III

3.3. SINGULARITĂŢI COMPLEXE 143

Nu este dificil de verificat că dacă X este o mulţime analitică, x ∈ Xun punct, şi f1, . . . , fk sunt generatorii idealului I(X) al germenelui (X,x) înx, atunci rangul matricii Jacobi al lui f1, . . . , fk este tocmai codimensiuneasubvarietăţii, dacă punctul x este regular.

Propoziţia 3.3.13. Fie X o submulţime analitică într-un domeniu din Cn

şi fie x ∈ X. Atunci (X,x) este regular dacă şi numai dacă este izomorf cu(Cn−r, 0) ⊂ (Cn, 0).

Dacă n− r = 2, atunci vom spune că X este o suprafaţă.

Propoziţia 3.3.14. Mulţimea singularităţilor unei mulţimi analitice X esteo submulţime analitică proprie al lui X.

3.3.1 Singularităţi cât

Presupunem că G este un subgrup finit al lui GL(n,C). Atunci G acţioneazăpe algebra complexă de polinoame C[z1, z2, . . . , zn], prin (g ·f)(z) = f(g−1(z)).Polinoamele G-invariante formează o subalgebră, care este finit generată, şiconstă din polinoame omogene şi este notată cu C[z1, . . . , zn]G.

Să observăm că, printr-un rezultat al lui Cartan, orice automorfism localanalitic al lui (Cn, 0) poate fi linearizat printr-o schimbare a coordonatelorlocale, deci acest context este destul de general.

Cu ajutorul unei mulţimi de generatori omogeni (f1, f2, . . . , fN ) ai luiC[z1, . . . , zn]G putem defini o aplicaţie polinomială

f : Cn → CN , f(z) = (f1(z), f2(z), . . . , fn(z)).

Întrucât f este constant pe G-orbite, el poate coborî la spaţiul orbitelor Cn/G,deci putem privi f : Cn/G→ CN .

Propoziţia 3.3.15. Aplicaţia f : Cn/G→ CN este un homeomorfism propriual lui Cn/G pe o subvarietate normală algebrică al lui CN . Algebra funcţiilorregulate, prin intermediul lui f va corespunde cu C[z1, z2, . . . , zn]G.

Definiţia 3.3.16. Germenele spaţiului orbitelor Cn/G în 0 (i.e. orbita G · 0al lui 0) este numit singularitate cât.

Studiul structurii acestor singularităţi este o problemă frumoasă. În primulrând (Cn/G, 0) este isomorf cu (Cn, 0) dacă şi numai dacă C[z1, . . . , zn]G esteo algebră polinomială. Aceste grupuri G au fost clasificate de Chevalley. AstfelC[z1, . . . , zn]G este o algebră polinomială dacă şi numai dacă G este generatde simetrii complexe (i.e. elemente g ale lui GL(n,C), de ordin finit mai maredecât 1 care invariază un hiperplan al lui Cn).

Page 144: Interior Alg Comp III

144 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

Astfel este suficient să clasificăm singularităţile cât (Cn/G, 0) unde G numai conţine simetrii complexe. Aceasta pentru că dacă subgrupul H ⊂ Geste generat de simetrii complexe, atunci este normal în G şi acţiunea lui sefactorizează: G/H acţionează pe C[z1, . . . , zn]H , unde identificăm Cn/G cuspaţiul orbitelor Cn/(G/H). Acum G/H nu mai conţine simetrii complexe.

Este în particular important şi interesant cazul n = 2 şi G ⊂ SL(2,C).Întrucât C2/G este normal, 0 este un punct izolat singular dacă avem şi G ={1}.

Exemplul 3.3.17. Singularităţile izolate de tip An, n ≥ 1.

Fie G = Zn+1 ⊂ SL(2,C) dat de reprezentarea

ξ ∈ Zn+1 = {ξ ∈ C : ξn+1 = 1} −→(ξ 00 ξ−1

).

Atunci este uşor de văzut că C[z1, z2]G este generat de monoamele omogenezn+1

1 , zn+12 , z1z2. Folosind acestea drept coordinate, putem defini

f : C2 → C3, f(z) = (zn+11 , zn+1

2 , z1z2).

Imaginea lui f este conţinută în hipersuprafaţa xy − zn+1 = 0. Aceasta esteireductibilă, şi imaginea Im f lui f are dimensiunea 2, deci ele coincid. Rezultăcă, germenele (C2/G, 0) este izomorf cu hipersuprafaţa (xy−zn+1 = 0, 0), sauprintr-o simplă schimbare de coordonate:

An : (xn+1 + y2 + z2, 0) Grup ciclic de ordin n+ 1 ≥ 2. (3.1)

Singularitatea A1 este numită cuadratică.

Exemplul 3.3.18. Singularităţile izolate de hipersuprafaţă de tip Dn (n ≥ 4),E6, E7, E8.

Presupunem că p, q, r sunt întregi, astfel ca 2 ≤ p ≤ q ≤ r şi

1p

+ 1q

+ 1r> 1.

Rezultă elementar, că pentru (p, q, r) numai tripletele (2, 2, r), (2, 3, 3),(2, 3, 4), (2, 3, 5) sunt admisibile.

Este un rezultat vechi al lui Klein, că există un domeniu triunghiular sfericpe sfera unitate S2 ⊂ R3, care are unghiurile date de aceste triplete, adicăπp ,

πq ,

πr , astfel ca simetriile date de laturile acestor triunghiuri generează un

Page 145: Interior Alg Comp III

3.4. REZOLUŢIA SINGULARITĂŢILOR 145

subgrup finit G′ al lui SO(3,R), care are acest triunghi drept domeniu funda-mental.

Să observăm că, ultimele trei triunghiuri constituie domeniu fundamentalpe sfera unitate pentru acţiunea grupurilor de simetrie ale celor cinci corpuriregulate: tetraedrul (2,3,3), hexaedrul şi octaedrul (2,3,4) şi dodecaedrul şiicozaedrul (2,3,5). Subgrupul G′

+ = G′ ∩ SO(3,R) al lui G′ are indice 2, şieste grupul de mişcări (simetrii, fără reflecţii) ale poliedrului respectiv.

Nucleul ker(h) al homeomorfismului h : SU(2,C) → SO(3,R) de grupuriLie este {±1}; h este o acoperire dublă, şi definim G ca fiind h−1(G′

+).Un rezultat al lui Milnor spune că, C[z1, z2]G este generat de 3 polinoame

şi C2/G este izomorf cu o hipersuprafaţă în C3. Acestea sunt:

Dn : (xn−1 + xy2 + z2, 0) (2, 2, n− 2) grupul diedral de ordin 4n− 4E6 : (x4 + y3 + z2, 0) (2, 3, 3) grupul tetraedral de ordin 24E7 : (x3y + y3 + z2, 0) (2, 3, 4) grupul octaedral de ordin 48E8 : (x5 + y3 + z2, 0) (2, 3, 5). grupul icosahedral de ordin 120

Interesant este faptul că orice subgrup finit G al lui SL(2,C) este conjugat înSL(2,C) cu unul din grupurile An, Dn, E6, E7, E8.

3.4 Rezoluţia singularităţilorFie (X,x) o singularitate normală de suprafaţă. În general notăm cu X ovecinătate suficient de mică fixată a lui x în X (sau mai exact, a unui reprezen-tant al lui (X,x)), conform celor discutate în secţiunea precedentă (cf. page135).

Definiţia 3.4.1. Spunem că ϕ : Y → X este o rezoluţie a lui (X,x), dacă Yeste o varietate netedă analitică, ϕ este o aplicaţie proprie analitică, Y−ϕ−1(x)este densă în Y, şi restricţia ϕ|Y−ϕ−1(x) : Y − ϕ−1(x) - X − {x} estebiolomorfă.

Mulţimea E def= ϕ−1(x) este numită divizor excepţional asociat cu rezoluţiaϕ.

Rezoluţia este numită bună dacă toate componentele ireductibile ale luiE sunt netede, se intersectează între ele transversal şi în plus oricare treicomponente ireductibile excepţionale nu au puncte comune.

Observaţiile 3.4.2. Următoarele sunt imediate.

(a) Din Zariski’s Main Theorem (vezi Hartshorne, [54] pagina 410), nor-malitatea lui (X,x) asigură că E este conex.

Page 146: Interior Alg Comp III

146 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

(b) Rezoluţia ϕ a lui (X,x) nu este unică. Cu toate acestea există orezoluţie minimală, astfel ca pentru orice rezoluţie ϕmin : Ymin → X,există o diagramă comutativă:

Yψ - Ymin

X �ϕmin

ϕ-

Mai mult, ψ este o secvenţă de blowing up. (vezi [81] pagina 264)

(c) Dacă considerăm un germene analitic de dimensiune arbitrară (X,x),cu o singularitate izolată în x ∈ X, putem defini rezoluţia acesteia similarca în definiţia 3.4.1.

Dacă dim(X,x) ≥ 3, atunci teoria rezoluţiei devine destul de complicată(e.g. nu există rezoluţie minimală), şi chiar codificarea combinatorialăa divizorilor excepţionali E şi a scufundării lor în Y necesită dificilerezultate de clasificare (şi implică chiar probleme nerezolvate încă) degeometrie complexă analitică (sau analiză globală complexă).

Dacă dim(X,x) = 1, atunci normalizarea lui (X,x) coincide cu unicarezoluţie a lui (X,x) (cf. normalizarea curbelor, [81] pagina 132).

Exemplul 3.4.3. Fie (X,x) = ({xd + yd + zd = 0}, 0) ⊂ (C3, 0) unde x, y, zsunt coordonate locale ale lui (C3, 0). În cele ce urmează vom construi (vezifigura 3.1) rezoluţia minimală a lui (X,x).

Reamintim construcţia de blowing up a lui (C3, 0) cu centrul în 0 ∈ C3.Definim

B3 = {((x, y, z), [u : v : w]) ∈ C3 ×P2 : rank∥∥∥∥∥ x y zu v w

∥∥∥∥∥ = 1}.

Page 147: Interior Alg Comp III

3.4. REZOLUŢIA SINGULARITĂŢILOR 147

?

π

C

P2

X

X

⊂ C3

C = {xd + yd + zd = 0}

g = (d−1)(d−2)2

Figura 3.1: Schiţă pentru Exemplul 3.4.3

Primaproiecţie ((x, y, z), [u : v :w]) → (x, y, z) induce o apli-caţie proprie π : B3 → C3

astfel că pentru orice p = 0,p ∈ C3, preimaginea π−1(p)constă dintr-un singur punct,şi π−1(0) = {0} ×P2 ∼= P2.

Acum, este deloc dificil deverificat că π−1(X) are douăcomponente, ambele netede.Una din ele este divizorul ex-cepţional π−1(0) cu multiplic-itatea d. Cealaltă va fi notatăcu X şi este numită transfor-mata strictă a lui X.

Într-adevăr, peste harta {w = 0} ⊂ C3 × P2, în coordonate afine u/w =α, v/w = β, π−1(x) avem ecuaţiile:

{((x, y, z), (α, β)) : x = αz, y = βz, xd + yd + zd = 0} == {(α, β, z) ∈ C3 : zd(αd + βd + 1) = 0}

Acum, z = 0 este ecuaţia lui π−1(0), şi {αd + βd + 1 = 0} este ecuaţiatransformatei stricte X al lui X. În particular p = π|X : X → X este orezoluţie a singularităţii (X,x).

Divizorul excepţional al rezoluţiei p : X → X este tocmai curba π−1(0) ∩X. Dacă identificăm π−1(0) cu P2 = {((x, y, z), [u : v : w]) : (x, y, z) = 0}atunci π−1(0) ∩ X în coordonate proiective [u : v : w] ale lui P2 are ecuaţiaud +vd +wd = 0. În particular E = p−1(0) este o curbă plană netedă proiectivăde grad d.

3.4.1 Graful de rezoluţie

Informaţia combinatorială (topologică) a rezoluţiei ϕ : Y → X este codificatăîn graful (dual) de rezoluţie Γ(X,x) (sau mai precis Γϕ(X,x)).

Vom presupune că ϕ este o rezoluţie bună.Descompunem E = ϕ−1(x) în componente ireductibile E =

∪w∈W Ew.

NodurileW ale lui Γ codifică divizorii ireductibili excepţionali {Ew}w∈W . Dacădoi divizori exceptionali corespunzători cu w1, w2 ∈ W au k puncte de inter-secţie (k ≥ 0), atunci punem în graf k arce cu capete în w1, w2.

Dacă pentru o rezoluţie Y → X avem ♯Ew1 ∩Ew2 ≥ 2 pentru unele w1, w2,atunci prin blowing up al lui Y în punctele de intersecţie {Ew1 ∩Ew2} putem

Page 148: Interior Alg Comp III

148 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

crea o nouă rezoluţie Y ′ → X, cu proprietatea că ♯E′w1 ∩E

′w2 ≤ 1 pentru orice

w1, w2.

Orice nod w ∈ W este decorat cu doi întregi. Primul este genul curbei(abstracte) netede complexe projective Ew. Este notat cu gw. În particulargw = 0 înseamnă că Ew

∼= P1.

A doua decoraţie a lui Ew este numărul de autointersecţii, ewdef= E2

w, sauechivalent, numărul Euler (sau primul număr Chern) al fibratului normal dedrepte al lui Ew în Y. În particular ew, măsoară scufundarea lui Ew în Y. Acestnumăr este totdeauna negativ: ew < 0 prin faptul că matricea de intersecţieeste negativ definită (vezi 3.7).

Definiţia 3.4.4. Graful Γϕ(X,x) decorat cu genul şi numărul Euler al divi-zorilor excepţionali este numit graful dual de rezoluţie asociat cu rezoluţiaϕ.

Exemplele 3.4.5. Vom vedea mai târziu că grafurile de rezoluţie ale singular-ităţilor lui Klein notate An, Dn, E6, E7, E8 introduse în paragraful 3.3.1 suntcunoscutele diagrame Dynkin, notate usual cu aceleaşi litere.

3.5 Rezoluţia scufundată al unui germene f :(X, x)→ (C, 0)

Acum vom generaliza construcţia anterioară pentru situaţia următoare. Con-siderăm o singularitate normală de suprafaţă (X,x) şi fixăm un germeneanalitic f : (X,x) → (C, 0). Rezoluţia scufundată bună (i.e. divizori în nor-mal crossing şi nu există trei divizori ireductibili cu un punct comun) al lui(f−1(0), x) ⊂ (X,x) constă din datele prezentate în figura următoare (vezifigura 3.2), şi este dată în definiţia:

Page 149: Interior Alg Comp III

3.5. REZOLUŢIA LUI F : (X,X)→ (C, 0) 149

:O z� -π

(X, x)

?(C, 0)

s

PP

u

v

u

v

UP UP

f

pp

f ◦ π

Figura 3.2: Rezoluţia scufundată a unuigermene

Definiţia 3.5.1. O rezoluţiescufundată al unui germenef : (X,x)→ (C, 0) este o re-zoluţie bună π : Y → X allui (X,x) (aşa cum este datîn definiţia 3.4.1) astfel camulţimea zerourilor lui f ◦ πpe Y este un divizor în nor-mal crossing.

Mai precis pentru oricepunct P ∈ (f ◦ π)−1(0),există coordonatele locale(u, v) într-o vecinătate micăUP al lui P , astfel ca f ◦π|UP

= uavb pentru unelea, b ≥ 0.

Mai mult, dacă punctul P este pe numai un singur divizor ireductibil,atunci coordonatele locale u, v pot fi alese astfel ca numai unul din numerelea, b este nenul. Observăm că a şi b este ordinul de anulare ale lui f ◦ π de-alungul divizorului ireductibil respectiv.

3.5.1 Graful de rezoluţie scufundată al f : (X, x)→ (C, 0)

Dacă fixăm o rezoluţie scufundată π : Y → X al lui (f−1(0), x) ⊂ (X,x),atunci proprietăţile sale topologice/combinatoriale sunt codificate în grafuldual de rezoluţie.

Definiţia 3.5.2. Graful dual de rezoluţie ΓX(f) al lui f este de fapt grafuldual de rezoluţie al lui π, aşa cum este descris în 3.4.1, dar cu unele decoraţiinoi (vezi figura 3.3):

(1) Dacă ordinul de anulare al lui f ◦ π de-a lungul lui Ei este mi atuncispunem că multiplicitatea lui f de-a lungul lui Ei este mi şi punem pegraf (mi) în nodul Ei (vezi figura 3.3).

Page 150: Interior Alg Comp III

150 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

[gi]

ei

(mi)

c

Figura 3.3: Decoraţiile unui nod

(2) Definim transfor-mata strictă a lui {f =0} (via π) prin St(f) =π−1(f−1(0)− {x}).Ea este construitădin componentele ire-ductibile non-compac-te ale curbei {(f ◦π) =0}.Dacă o componentă ireductibilă St(f)j a lui St(f) intersectează Ei,atunci punem o săgeată pe Ei. Multiplicitatea m(St(f)j) a săgeţii estetocmai ordinul de anulare al lui f ◦ π de-a lungul componentei (necom-pacte) ireductibile St(f)j .

O altă definiţie posibilă este prin utilizarea teoriei generale a divizorilor.Prin această teorie divizorul (f ◦ π) asociat cu f ◦ π este

(f ◦ π) =∑

i

miEi +∑

j

m(St(f)j)St(f)j .

Vom folosi mai târziu notaţia mai detailată:

(f ◦ π)Γ =∑

i

miEi, şi St(f) =∑

j

m(St(f)j)St(f)j . (3.2)

3.5.2 Proprietăţile topologice ale lui Y

Reamintim că am fixat un reprezentant X al lui (X,x) de forma X =ρ−1([0, ε]) (cf. secţiunii 3.2). În particular X are un unic punct singularx ∈ X. X − {x}, este o varietate netedă 2-dimensională complexă şi frontieralui X este ρ−1(ε), care prin definiţie este nodul LX al lui X.

Dacă π : Y → X este o rezoluţie atunci Y este o varietate complexă 2-dimensională şi restricţia π|Y−π−1(x) : Y − π−1(x)→ X − {x} este un izomor-fism analitic. Aceasta arată, că Y este o 4-varietate reală orientabilă cu bordFrY, şi restricţia lui π la FrY dă un difeomorfism orientat π|FrY : FrY → LX .Această identificare a nodului LX cu FrY va fi importantă mai târziu, atuncicând vom regăsi LX ca o 3-varietate tubulară dată de graful de rezoluţie.

Tipul homotopic al lui Y

Reprezentantul X = ρ−1([0, ε]) este homeomorf cu Cone(LX) = Cone(ρ−1(ε)),deci incluziunea nodului {x} ↪→ Cone(LX) admite o retractă naturală dedeformare. Această deformare poate fi ridicată: în particular incluziunea

Page 151: Interior Alg Comp III

3.5. REZOLUŢIA LUI F : (X,X)→ (C, 0) 151

E = π−1(x) ↪→ Y admite de asemenea o retractă. Acest lucru arată cătipul omotopic al lui Y este acelaşi ca tipul omotopic al lui E. Acum, E esteo reuniune de suprafeţe compacte Riemanniene. Fiecare compact ireductibilEi este caracterizat topologic prin genul g(Ei), iar intersecţia componentelorireductibile este codificată în arcele grafului. Astfel graful determină complettipul omotopic al lui E.

Înainte de a da următoarea teoremă introducem notaţiile:

(1) g =∑

i g(Ei), şi

(2) c = numărul ciclurilor independente ale grafului == rankH1(|Γ|,Z), unde |Γ| este realizarea topologică a lui Γ ca un spaţiusimplicial.

Printr-un argument simplu de tip Mayer-Vietoris avem:

Teorema 3.5.3. Omologia întreagă a lui Y este:

Hi(Y,Z) = Hi(E,Z) =

Z, pentru i = 0Z2g+c, pentru i = 1Z♯{Ei}, pentru i = 20, pentru i ≥ 3.

Mai sus am utilizat Zariski’s Main Theorem (vezi Hartshorne, [54] pagina410), care afirmă că E este conex, deci H0(E,Z) = Z.

În calculul lui H1 am folosit faptul că H1(Ei,Z) = Z2g(Ei).

Forma biliniară de intersecţie

Întrucât Y este o 4-varietate orientabilă reală, există o formă de intersecţie(intersection form) bine definită

( , ) : H2(Y,Z)⊗H2(Y,Z) −→ Z.

Conform cu cele de mai sus există o bază naturală în H2(Y,Z) asigurată de2-ciclii [Ei] pentru fiecare divizor ireductibil excepţional Ei. Să observăm cămatricea formei de intersecţie reprezentată în baza {[Ei]}i este (Ei, Ej)i,j , şieste complet determinată de graf: dacă i = j atunci (Ei, Ej) def= Ei · Ej estenumărul de arce care unesc nodurile corespunzătoare, şi pentru o rezoluţiebună aceasta este ≤ 1. Auto-intersecţia (Ei, Ei) = E2

i este exact decoraţia ei,numărul Euler al fibratului normal NEi|Y al lui Ei.

Evident, dacă avem doi ciclii C1 =∑

i niEi şi C2 =∑

j mjEj , atunci

(C1, C2) =∑i,j

nimj(Ei, Ej).

Page 152: Interior Alg Comp III

152 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

Legături cu divizori de tipul (f ◦ π)

Fie (X,x) o singularitate normală de suprafaţă şi fixăm o rezoluţie π :Y → X. Pentru orice f : (X,x) → (C, 0) definim transformata strictăa lui {f = 0} ⊂ (X,x) similar ca în definiţia 3.5.2 pe pagina 149 prinSt(f) = π−1({f = 0} − {x}) şi divizorul (f ◦ π) pe Y prin∑

i

miEi +∑

j

m(St(f)j)St(f)j ,

unde St(f)j sunt componentele ireductibile ale lui St(f) şi multiplicităţile suntordinul de anulare al lui f ◦π de-a lungul componentei ireductibile respective.Să observăm, că aici nu presupunem că f ◦ π = 0 este un divizor în normalcrossing.

Vom folosi aceleaşi notaţii ca în (3.2) şi anume

(f ◦ π)Γ =∑

i

miEi, şi St(f) =∑

j

m(St(f)j)St(f)j .

Reamintim că divizorul (f ◦π) asociat cu un germene analitic f : (X,x)→(C, 0) este

(f ◦ π) =∑

i

miEi +∑

j

m(St(f)j)St(f)j . (3.3)

Putem defini intersecţia lui St(f)j · Ek cu Ek în două moduri diferite. Săobservăm că intersecţia Ek · Ej a fost deja definită.

(1) Putem gândi St(f)j ca o curbă complexă cu proprietatea că St(f)j∩Ek

este sau vid sau conţine exact un punct Pj . Dacă această intersecţie este vidă,atunci St(f)j ·Ek = 0, în caz contrar este multiplicitatea intersecţiei divizorilor(St(f)j) şi Ek.

Mai precis, dacă în coordonate locale (u, v) într-o vecinătate mică U a luiPj , Ei ∩ U este dat de u = 0, şi f ◦ π|U = φ(u, v) · um(Ei), atunci

(m(St(f)j)St(f)j) · Ek = int. multPj (u, φ(u, v)) == dimC

C{u,v}<u,φ(u,v)>

(3.4)

Întrucât φ(0, 0) = 0 şi u | φ(u, v), idealul < u,φ(u, v) >⊂ mC{u,v}, deci

dimCC{u, v}

< u,φ(u, v) >≥ dimC

C{u, v}mC{u,v}

= 1.

În particular, pentru orice Ek, intersecţia

St(f)j · Ek ≥ 0. (3.5)

Page 153: Interior Alg Comp III

3.6. COMENTARII ŞI EXEMPLE 153

(2) O altă definiţie a intersecţiei (St(f)j) · Ek este topologică.Componenta ireductibilă St(f)j defineşte un ciclu relativ în H2(Y,FrY,Z).

Intersecţia St(f)j · Ek poate fi calculată prin forma de intersecţie:

< , >: H2(Y,FrY,Z)⊗H2(Y,Z) −→ Z

< [St(f)j ], [Ek] >∈ Z.

Teorema următoare dă "trucul numeric" al grafului de rezoluţie.

Teorema 3.5.4. Fixăm o rezoluţie π : Y → X al lui (X,x), şi considerăm ungermene analitic f : (X,x) → (C, 0). Atunci (f ◦ π) · Ek = 0 pentru orice k,unde (f ◦ π) este divizorul lui f ◦ π aşa cum este arătat în relaţia 3.3.

Proof: În literatură sunt mai multe demonstraţii diferite pentru această teo-remă. Pentru o demonstraţie algebrică vezi [81], [69] sau [50].

Vom da aici o demonstraţie topologică.Vom verifica, faptul că [(f ◦ π)] ∈ H2(Y,FrY,Z) este trivial. Atunci

obţinem (f ◦π) ·Ei =< [f ◦π], [Ei] >= 0. Pentru aceasta, considerăm aplicaţiacompusă

Yπ - X

f - C

şi considerăm 3-ciclul cu frontiera d = (f ◦ π)−1[0,∞). Atunci Frd = (f ◦ π)(mod FrY), unde toţi ciclii sunt socotiţi cu multiplicităţi. De aceea [f−1(0)]în H2(Y,FrY,Z) este o frontieră, deci este trivial în H2(Y,FrY,Z). 2

Corolarul 3.5.5. Cu notaţiile din teorema 3.5.4 şi 3.4

(1) mi > 0 pentru toate i,

(2) (f ◦ π)Γ · Ek ≤ 0 pentru toate k,

(3) (f ◦ π)Γ · Ek < 0 dacă St(f) ∩Ek = ∅.

(4) (f ◦ π)2Γ < 0.

3.6 Comentarii şi exemple(a) Fie spaţiul neted C2. Facem un blowing up B2, cu centru 0, similar cablowing up pentru C3 (vezi 3.4.3), şi anume:

B2 = {((x, y) : [u : v]) ∈ C2 ×P1 : xv = yu}.

Prima proiecţie π : B2 → C2 induce o aplicaţie biolomorfă B2 − π−1(0) →C2 − {0}, şi E = π−1(0) este o curbă proiectivă raţională (i.e. izomorfă cu

Page 154: Interior Alg Comp III

154 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

P1). Acum, este binecunoscut că E2 = −1. Într-adevăr, considerăm funcţiade coordonate x : C2 → C, şi luăm f = x ◦ π, atunci pe harta v = 0, cucoordonate afine α = u/v avem B2 ∩ {v = 0} = {(x, y, α) : x = yα}, decidivizorul (f) este egal cu divizorul (yα), unde (y) = 0 = E ∩ {v = 0} şi (α)este transformata strictă St(x = 0) a lui {x = 0}. Deci (f) = E + St(x = 0).

c[g = 0]

−1

Figura 3.4: Graful de rezoluţie pt. blowing up(C2, 0)

Acum, printr-o teoremă3.5.4 avem (f) ·E = 0, deciE2 + E · St(x = 0) = 0, darE ·St(x = 0) = 1, şi cum elese intersectează transversalîn numai un punct, avemE2 = −1. Aşadar graful derezoluţie asociat cu blowingup este graful prezentat înfigura 3.4, şi

c[g = 0]

e = −1

(1)

(1)

-

Figura 3.5: Graful de rezoluţie scufundată x :(C2, 0)→ (C, 0)

graful de rezoluţie scufun-dată al lui f : (C2, 0) →(C, 0), f(x, y) = x, asociatcu blowing up este dat înfigura 3.5.

(b) Dacă ϕ1 : Y1 → X este o rezoluţie a lui (X,x), atunci (prin definiţie)Y1 este netedă. Considerăm un punct arbitrar P pe ϕ−1

1 (x). Atunci avem(Y1, P ) ∼= (C2, 0), deci exact ca în paragraful (a) putem construi un blowingup p : Y2 → Y1 al lui Y1 cu centru în P , şi obţinem:

Y2p - Y1

X �ϕ1

ϕ2 = ϕ1 ◦ p-

Aplicaţia proprie ϕ2 : Y2 → X este din nou o rezoluţie a lui (X,x) (evidentnu mai este minimal), cu o nouă componentă excepţională E = p−1(0), cudecoraţiile g(E) = 0 (i.e. E = P1) şi auto-intersecţia E2 = −1 cf. punctului(a).

Invers, dacă o rezoluţie dată ϕ2 : Y2 → X are un divizor ireductibil ex-cepţional E cu g(E) = 0 şi E2 = −1, atunci printr-o teoremă a lui Castelnuovo

Page 155: Interior Alg Comp III

3.6. COMENTARII ŞI EXEMPLE 155

E poate fi contractat (analitic) într-un punct, obţinând p : Y2 → Y1 = Y2/E,şi ϕ2 = ϕ1 ◦ p pentru un anumit ϕ1 : Y1 → X. Astfel, dacă graful lui ϕconţine un nod w cu gw = 0 şi ew = −1, atunci nu este minimal, şi divizorulcorespunzător excepţional (nod) poate fi "implodat" (blow down).

(c) Printr-o teoremă netrivială (vezi e.g. [79]) orice rezoluţie ϕ : Y → Xpoate fi obţinută din rezoluţia minimală ϕmin : Ymin → X printr-un şir deblowing up-uri, i.e. ϕ = ϕmin ◦ p1 ◦ . . . ◦ pk, unde pi’s sunt blowing up-uri ca în(a) şi (b).Exemplul 3.6.1. Considerăm din nou (X,x) = ({xd + yd + zd = 0, 0) ⊂(C3, 0).

În exemplul 3.4.3 am construit o rezoluţie ϕ : X → X cu E = p−1(0)ireductibile. Întrucât E este o curbă plană proiectivă netedă în P2 de graduld, genul ei este g = (d− 1)(d− 2)/2 (cf. exemplu [59]).

[g = (d−1)(d−2)2 ]

e = −d

c

Figura 3.6: Graful pt. exemplul 3.6.1

Pentru a calcula auto-intersecţia, consid-erăm harta de coordonatex : (X,x) → (C, 0) şi apli-caţia compusă f = x ◦ ϕ :X → C. Atunci avem divi-zorul (f) = E + St(x = 0).Prin teorema 3.5.4 de pe pagina 153 avem (f) ·E = 0. Transformata strictă alui x = 0 constă din d secţiuni transversale ale lui E, deci E · St(x = 0) = d,deci E2 = −d. În particular, graful lui p este arătat în figura 3.6.

?

ϕ

C

P2

X

X

⊂ C3

C = {xd + yd + zd = 0}

g = (d−1)(d−2)2

�/

(C, 0)

l ◦ ϕ

--

-...

::

z...l

Figura 3.7: Graful pt. exemplul 3.6.1, reluare

Pentru a da şi mai multedetalii, considerăm o apli-caţie generală lineară l =ax+ by + cz definită pe X,(vezi figura 3.7) Un blow-ing up de ecuaţie x = st1,y = st2 şi z = s dă l =ax+ by+ cz = s(at1 + bt2 +1), deci multiplicitatea lui leste multE(l) = 1. Să ob-servăm, că E = {s = 0}.Întrucât divizorul (l ◦ ϕ) =E+L1 +L2 + · · ·+Ld, avem(E +L1 + · · ·+Ld) ·E = 0,sau E2 + 1 + 1 + · · · + 1 =0, unde avem de d ori 1.

Aceasta înseamnă E2 = −d.

Page 156: Interior Alg Comp III

156 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

[g = (d−1)(d−2)2 ]

e = −d

(1)

c*:

j

(1)

(1)

(1)

...d-times

Figura 3.8: Graful de rezoluţie scufundat pt. ex-emplul 3.6.1

În particular, graful derezoluţie scufundat al lui l :(X,x) → (C, 0) este celarătat în figura 3.8. Săobservăm, că dacă ştergemsăgeţile, atunci regăsim gra-ful de rezoluţie al lui (X,x)asociat cu aplicaţia ϕ, şiarătat deja în figura 3.6.

Observaţia 3.6.2. Matricea (Ev ·Ew)v,w este negativ definită. Pentru demon-straţie vezi [69], [32] şi secţiunea următoare.

3.7 Proprietăţile algebrice ale matricii de inter-secţie

În această secţiune vom demonstra că matricea de intersecţie (Ei · Ej)i,j estenegativ definită. Reamintim următoarea teoremă elementară.

Teorema 3.7.1. Dacă există un ciclu pozitiv Z =∑niEi, ni ≥ 0, ni ∈ Z, Z =

0 (suma este finită), astfel că Z · Ej ≤ 0 pentru toate j, atunci matricea(Ei ·Ej)i,j este negativ semi-definită. Dacă, în plus, Z2 < 0, atunci (Ei ·Ej)i,j

este negativ definită.

Proof: Pentru demonstraţie, vezi [32]Acum putem demonstra următoarea

Teorema 3.7.2. (Ei · Ej)i,j este negativ definită.

Proof: Considerăm o funcţie arbitrară analitică f : (X,x) → (C, 0). AtunciZ = (f ◦ π)Γ satisface ipoteza din teorema Artin 3.7.1. Astfel Z =

∑miEi,

cu mi > 0 şi Z · Ej ≤ 0 pentru orice j (vezi corolarul 3.5.5). 2

Observaţia 3.7.3. În graful de rezoluţie avem E2w < 0 (vezi toate exemplele

din acest paragraf).

Întradevăr, pentru orice Z =∑niEi, dacă Z = 0 atunci Z2 < 0.

Corolarul 3.7.4. Dacă Y este o suprafaţă netedă, şi C ⊂ Y este o curbăproiectivă netedă în Y, astfel ca numărul Euler e al fibratului normal (sauechivalent, numărul ei de auto-intersecţie în C2) este pozitiv, atunci C nupoate fi contractată analitic la un punct.

Page 157: Interior Alg Comp III

3.8. SINGULARITĂŢI ALE CURBELOR 157

Observaţia 3.7.5 (teorema lui Grauert). Din rezultatul anterior 3.7.2 de-ducem că forma de intersecţie a divizorilor ireductibili excepţionali este negativdefinită.

Invers, printr-un rezultat foarte dificil şi profund al lui Grauert orice formănegativ definită de intersecţie poate apărea în acest mod.

Mai precis, dacă fixăm pe o 2-varietate complexă nişte curbe ireductibileCi, astfel ca ∪Ci este conex şi matricea de intersecţie (Ci · Ci)i,j este negativdefinită, atunci curba ∪iCi poate fi contractată la un punct (analitic).

Cel mai simplu exemplu este cel în care avem numai o singură curbă C,care este proiectivă (C = P1), şi C2 = −1. Atunci spaţiul contractat Y/C estechiar neted (cf. teorema lui Castelnuovo, [54] pagina 410).

3.8 Singularităţi ale curbelor planeDacă (X,x) este neted, atunci un germene analitic f : (X,x) → (C, 0) esteequivalent cu o singularitate de curbă plană f : (C2, 0)→ (C, 0). Un importantavantaj technic al acestui caz particular este că rezoluţia scufundată a lui(f−1(0), 0) ⊂ (C2, 0) poate fi construită printr-un număr finit de blowing up-uri (vezi [81]).

În cele ce urmează vom da unele exemple, pentru a arăta cum funcţioneazătehnica de blowing up în acest caz.Exemplul 3.8.1. Fie curba plană dată de f(x, y) = xa + yb, a, b ≥ 2 şi a, brelativ prime.

În acest caz calculul este relativ complicat. Algoritmul este cel careurmează.Se ia fracţia a/b şi se dezvoltă în fracţie finită continuă. Presupunem că aceastaeste dată de întregii pozitivi a0, a1, . . . , ak.

a

b= a0 −

1a1 − 1

...ak−1 − 1

ak

.

Ignorăm a0. Similar, fie fracţia b/a, pe care o dezvoltăm într-o fracţie finităcontinuă. Fie numerele pozitive care apar astfel b0, b1, . . . , bl.

b

a= b0 −

1b1 − 1

...bl−1 − 1

bl

.

Ignorăm b0. Atunci graful dual de rezoluţie este arătat în figura 3.9.

Page 158: Interior Alg Comp III

158 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

d d d d d d−a1 −a2 −ak −1 −bl −b2 d−b1

. . . . . .

?

Figura 3.9: Blowing up f(x, y) = xa + yb. Graf rezoluţie dual

Aici numainumerele Eu-ler sunt date,darmultiplic-ităţiile pot fide aseme-nea calculateuşor, folosindun sistem deecuaţii linear care va fi prezentat într-o secţiune următoare.

3.9 Construcţia tubulară. Legătura dintre nodulLX şi graful ΓX.

În secţiunea 3.4 am introdus pentru o singularitate normală de suprafaţă (X,x)rezoluţia ϕ : Y → X. Combinatorica şi topologia lui ϕ au fost codificate îngraful dual de rezoluţie Γϕ.

Putem pune acum întrebarea: Conţine Γϕ toată informaţia topologicădespre (X,x) sau despre LX? Conţine Γϕ orice altă informaţie adiţională(analitică) care nu este în LX?

În acest capitol vom da răspunsul la întrebările de mai sus. Pe scurtrăspunsul este următorul: Γϕ conţine toată informaţia despre topologia lui(X,x), şi absolut nici o informaţie adiţională analitică.

Legătura cheie este construcţia tubulară (plumbing construction), pentrucare vom da detalii în cele ce urmează.

3.9.1 Fibratul de disc tubular

Considerăm un graf abstract conex Γ, care are acelaşi tip de decoraţii ca Γϕ.Mai precis, decorăm nodurile v ∈ V cu doi întregi (gv)v∈V şi (ev)v∈V , gv ∈ Nşi ev ∈ Z.

Pentru simplitate, notăm prin δv numărul de arce cu un capăt în nodul v.În cele ce urmează construim o 4-varietate orientabilă reală P (Γ) cu fron-

tieră, folosind graful Γ.Corespunzător cu fiecare nod v ∈ V al grafului Γ fixăm un fibrat de discuri

Tv cu numărul Euler ev şi spaţiu de bază o suprafaţă compactă RiemannianăBv având genul gv. De fapt putem pleca cu un fibrat de drepte complexe Tv

cu numărul Euler ev, şi bază o suprafaţă compactă conexă având genul gv, şifolosind o metrică pe fibre (∼= C), punem Tv = {u : ux ∈ (Tv)x

∼= C, ∥ux∥x ≤

Page 159: Interior Alg Comp III

3.9. CONSTRUCŢIA TUBULARĂ 159

1, pentru toate x ∈ Bv}. Un astfel de Tv există, şi este unic determinat deîntregii gv şi ev, cf. teorema 3.2.18. Notăm proiecţiile cu πv : Tv → Bv.

Să observăm, că frontiera FrTv al lui Tv este tocmai S1-fibratul orientatasociat peste Bv, cu numărul Euler ev, în particular, este o 3-varietate orien-tată.

Acum, dorim să lipim aceste piese. Dacă w este capăt al δv arce în Γ,atunci fixăm δv discuri mici {Dv,w}w∈Vv în Bv cu trivializare fixată πv pesteDv,w (aici Vv desemnează nodurile adiacente cu v). Aceste trivializări identificăπ−1

v (Dv,w) = Dv,w ×D, unde notăm D = {λ ∈ C : |λ| ≤ 1}.Pentru orice arc (v, w), considerăm perechea de multi-discuri Dv,w ×D şi

Dw,v ×D, şi prin construcţie le identificăm prin (x, y) = (y, x).

c[g]

e

Figura 3.10: Schiţă pentru Exemplul3.9.1

Spaţiul cât este notat cu P (Γ).Acesta prin construcţie este o 4-varietate orientată cu frontieră. Princonstrucţie, frontiera lui P (Γ) este o3-varietate cu colţuri, dar nu este di-ficil de demonstrat că de fapt aceastăfrontieră poate fi netezită.

Exemplul 3.9.1. Dacă Γ este graful din figura 3.10, atunci P (Γ) este unfibrat de discuri peste o suprafaţă de genul g şi numărul Euler e, FrP (Γ) esteun S1-fibat peste o suprafaţă cu genul g, şi numărul Euler e. Fibrarea estetrivială (i.e. FrP (Γ) = S1 ×B), dacă şi numai dacă e = 0.

Acum, ne întoarcem la o rezoluţie bună ϕ : Y → X, unde X este unreprezentant mic al germenelui (X,x). Dacă Ei ⊂ Y este un divizor netedireductibil excepţional, atunci topologia scufundării lui Ei ⊂ Y este dată deauto-intersecţia E2

i . Într-adevăr, fibratul normal NEi|Y este un fibrat complexde drepte peste Ei şi din capitolul 3.2, aceste fibrate de drepte sunt clasificateprin numărul lui Euler.

Aceasta arată că din genul g(Ei) şi din auto-intersecţia E2i , putem recon-

stitui topologia unei vecinătăţi tubulare a lui Ei în Y. Întrucât intersecţiiledivizorilor ireductibili excepţionali sunt transversali, rezultă că o vecinătatemică tubulară a lui ∪Ei (care este în fapt Y) poate fi reprezentată ca o tubu-larizare a grafului de rezoluţie. Aceasta dovedeşte prin urmare următoareateoremă:Teorema 3.9.2. Pentru orice rezoluţie bună ϕ : Y → X, avem P (Γϕ) ∼= Y.

În particular, nodul LX poate fi recuperat din graful ΓX al oricărei rezoluţiibune a lui (X,x) prin

LX = FrY = FrP (Γϕ).

Page 160: Interior Alg Comp III

160 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

Observaţia 3.9.3. Reciproca teoremei anterioare 3.9.2 este de asemenea ade-vărată.

W. Neumann în [71] a demostrat că LX determină graful de rezoluţie bunminimal ΓX .

Reamintim aici definiţia rezoluţiei minimale bune.

Definiţia 3.9.4. Graful Γ este o rezoluţie minimală bună dacă nu există nodv cu proprietăţile: gv = 0, ev = −1, δv ≤ 2.

Întrucât nodul LX codifică topologia lui (X,x), rezultatul de mai sus aratăcă orice graf dual de rezoluţie codifică toţi invarianţii topologici ai lui (X,x).

3.9.2 Invarianţi topologici ai lui LX via graful de rezoluţie

Acum, este o întrebare naturală, cum putem calcula invarianţii omo-logici/omotopici ai lui P (Γ) şi FrP (Γ) din Γ?

Analogul teoremei 3.5.3 este:

Teorema 3.9.5. Clasele de omologie întreagă ale lui P (Γ) sunt:

Hi(P (Γ),Z) =

Z, pentru i = 0Z2g+c, pentru i = 1Z♯V , pentru i = 20, pentru i ≥ 3,

unde g =∑

v∈V gv, şi c = numărul de cicluri independente din Γ =rankH1(|Γ|,Z).

Topologia lui FrP (Γ) este puţin mai complicată.

Teorema 3.9.6. Pentru orice plumbing P (Γ) avem:

H1(FrP (Γ),Z) = Z2g+c ⊕ coker(Ei · Ej)i,j .

Dacă (Ei · Ej)i,j este nedegenerată, atunci coker(Ei · Ej)i,j este un grup finitşi |coker(Ei · Ej)i,j | = |det(Ei · Ej)i,j |.

Corolarul 3.9.7. Întrucât FrP (Γ) este o 3-varietate orientată, avem

Hi(P (Γ),Z) =

Z, pentru i = 0 sau i = 3Z2g+c ⊕ coker(Ej · Ek), pentru i = 1Z2g+c, pentru i = 2 by Poincaré duality.

Page 161: Interior Alg Comp III

3.9. CONSTRUCŢIA TUBULARĂ 161

Observaţia 3.9.8. Să observăm, că

Hi(S3,Z) ={

0, pentru i = 0 sau i = 3Z, pentru i = 0 sau i = 3.

Definiţia 3.9.9. Spunem că FrP (Γ) este o sferă omologică raţională, dacăHi(FrP (Γ),Q) = Hi(S3,Q) def= Hi(S3,Z)⊗Q, pentru orice i ∈ N.

Spunem că FrP (Γ) este o sferă omologică întraegă, dacă Hi(FrP (Γ),Z) =Hi(S3,Z), pentru orice i ∈ N.

Observaţia 3.9.10. Din corolarul 3.9.7 putem citi, că FrP (Γ) este o sferăomologică raţională exact atunci când 2g + c = 0, i.e. dacă gi = 0 pentru toţii, şi graful Γ este arbore.

Similarly, putem conclude că FrP (Γ) este o sferă omologică întreagă exactatunci când 2g + c = 0 şi det(Ei · Ej) = ±1. 2

3.9.3 Exemple

În acest paragraf vom da unele exemple de grafuri şi de invarianţi topologicicorespunzători acestora.

Exemplul 3.9.11. Fie Γ graful An.

Notaţia utilizată pentru graful Γ = An este aceaşi cu cea utilizată pentrumatricea Cartan al unei algebre Lie semisimple de tip An (cu semn negativ).

Considerăm graful arătat în figura 3.11.

d d d d. . .

−2 −2 −2 −2

n-vertices

d−2

Figura 3.11: Graful An, Exemplul 3.9.11

Toategenurile suntgi = 0, în con-secinţă acesteasunt omise dingraf, şi c =0, deoarece nusunt cicluri îngraf.

Primul grup de omologie este

H1(FrP (An),Z) = Z2g+c ⊕ coker(Ei · Ej) = coker(Ei · Ej) = Zn+1.

Exemplul 3.9.12. Fie Γ graful Dn.

Imaginea grafului este arătată în figura 3.12.

Page 162: Interior Alg Comp III

162 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

d d d. . .

−2−2 −2 −2

n-vertices

dd

−2

d−2

Figura 3.12: Graful Dn, Exemplul 3.9.12

Întrucâtgenurile sunt gi =0, ele sunt omisedin graf. Similar,c = 0 deoarecenu există cicluri îngraf.

Acum, coker(Ei · Ej) este coker pentru matricea Cartan asociată algebreiLie semisimple de tipul Dn. Avem:

H1(FrP (Dn),Z) = Z2g+c ⊕ coker(Ei · Ej) = coker(Ei · Ej) =

={

Z2 × Z2 pentru n par,Z4 pentru n impar.

Exemplul 3.9.13. Fie Γ graful E6.

Imaginea grafului este dată în figura 3.13.

d d d d dd

−2 −2 −2 −2 −2

−2

Figura 3.13: Graful E6, Exemplul 3.9.13

Genurilesunt gi = 0, şiele sunt omisedin graf, şi c =0 de asemenea,întrucât ciclurinusunt prezente îngraf.

Avem pentru primul grup de omologie:

H1(FrP (E6),Z) = Z2g+c ⊕ coker(Ei · Ej) = coker(Ei · Ej) = Z3.

Exemplul 3.9.14. Fie Γ graful E7.

Imaginea grafului este dată în figura 3.14.

Page 163: Interior Alg Comp III

3.10. GRAFUL LUI (F (X,Y )− ZN = 0, 0) 163

d d d d d dd

−2 −2 −2 −2 −2 −2

−2

Figura 3.14: Graful E7, Exemplul 3.9.14

Genurilesunt iarăşi gi =0, în consecinţăomise din graf.Similar, c =0, deoarece nuavem cicluri îngraf.

Primul grup de omologie:

H1(FrP (E7),Z) = Z2g+c ⊕ coker(Ei · Ej) = coker(Ei · Ej) = Z2.

Exemplul 3.9.15. Fie Γ graful E8.

Imaginea grafului este dată în figura 3.15.

d d d d d dd

−2 −2 −2 −2 −2 −2

−2

d−2

Figura 3.15: Graful E8, Exemplul 3.9.15

Aici iarăşitoate genurilesunt gi = 0, decinu le mai punempe graf, şi c = 0,întrucât nu avemnici cicluri.

H1(FrP (E8),Z) = Z2g+c ⊕ coker(Ei · Ej) = coker(Ei · Ej) = {0}.

În consecinţă, partea de torsiune a primului grup de omologie este nul, decitoate grupurile de omologie sunt identice cu cele corespunzătoare sferei S3. Seobservă, că tubularizarea P (E8) este o sferă Poincaré.

Remarcăm de asemenea că în cazul grafurilor ADE, ordinul grupului detorsiune al primului grup de omologie este exact determinantul matricii core-spunzătoare Cartan (de fapt această matrice este −(Ei ·Ej)). Determinantuleste 1, doar în cazul grafului E8. Astfel graful E8 joacă un rol special înclasificarea formelor pătratice unimodulare.

3.10 Graful de rezoluţie al lui (f(x, y)− zn = 0, 0)În această secţiune vom prezenta un algoritm care va asigura rezoluţia unorsingularităţi de hipersuprafaţă speciale.

Page 164: Interior Alg Comp III

164 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

Fie f : (C2, 0) → (C, 0) o singularitate izolată de curbă plană. Atunci(X,x) = ({f(x, y)− zn = 0}, 0) este o singularitate izolată de hipersuprafaţă.Din teoria generală (vezi [54], [81]) (X,x) este automat normală. Algoritmulasigură un graf de rezoluţie pentru (X,x) în termenii unei rezoluţii specialescufundate bune a lui ({f = 0}, 0) ⊂ (C2, 0) şi a numărului n. Vom consideranumai cazul n = 2 şi n = 3.

3.10.1 Proprietăţi ale grafului de rezoluţie al lui(f(x, y)− zn = 0, 0)

Reamintim că în secţiunea 3.4 am prezentat — cu mai multe exemple —noţiunea de rezoluţie bună scufundată pentru ({f = 0}, 0) ⊂ (C2, 0).

Următoarele notaţii vor fi folositoare în cele ce urmează. Fie W(Γ)mulţimea nodurile grafului Γ, A(Γ) mulţimea de arce, şi notăm V(Γ) =W(Γ) ∪ A(Γ).

Să observăm că pentru orice v ∈ V(Γ), graful asigură o multiplicitatemv ∈ Z. Dacă w ∈ W(Γ), punem Vw = {v ∈ V(Γ) : (w, v) este un arc} şidefinim

Mw = gcd(mw, {mv}v∈Vw). (3.6)

Punem δw = ♯Vw.

În cazul unui graf de rezoluţie scufundat, V este mulţimea de indici ai di-vizorilor ireductibili excepţionali, A este mulţimea de indici ai componentelorireductibile al transformatei stricte, şi V este mulţimea de indici ai compo-nentelor ireductibile ai (f ◦ ϕ)−1(0). Fie {Sv}v∈V mulţimea acestor divizoriireductibili (compacţi şi non-compacţi).

Lema 3.10.1. Presupunem că f este o singularitate izolată de curbă plană, şin = 2, 3. Atunci există o rezoluţie scufundată bună a lui (f−1(0), 0) ⊂ (C2, 0),astfel încât dacă (v1, v2) ∈ E, pentru v1, v2 ∈ V atunci mv1 ·mv2 ≡ 0 (mod n),sau echivalent, dacă Si ∩ Sj = ∅, atunci mv1 ·mv2 ≡ 0 (mod n).

Definiţia 3.10.2. Dacă o rezoluţie bună satisface proprietatea (i.e. mi ·mj ≡0 (mod n) pentru orice Ei ∩Ej = ∅) atunci o numim rezoluţie bună specială.

Lema 3.10.1 arată, că pentru n = 2 şi n = 3 o rezoluţie bună specialăîntotdeauna există. Se poate arăta că pentru n ≥ 4, acesta nu mai esteadevărat. Aceasta justifică restricţia valorilor lui n.

Teorema următoare dă graful de rezoluţie al lui (X,x) în termenii uneirezoluţii speciale scufundate bune ai lui ({f = 0}, 0) ⊂ (C2, 0). De fapt vomconstrui rezoluţia scufundată Γz a germenelui z : (X,x)→ (C, 0), unde z esterestricţia celei de a treia proiecţii (x, y, z)→ z.

Page 165: Interior Alg Comp III

3.10. GRAFUL LUI (F (X,Y )− ZN = 0, 0) 165

Teorema 3.10.3. Fixăm graful de rezoluţie dual Γf al unei rezoluţii specialescufundate bune al lui ({f = 0}, 0) ⊂ (C2, 0). Graful de rezoluţie scufundat Γz

este o acoperire a grafului Γz → Γf cu următoarele proprietăţi:

(a) Deasupra unui nod w al lui Γf punem (Mw, n) noduri pentru Γz (vezi(3.6) pe pagina 164 pentru definiţia lui Mw),

(i) multiplicitatea fiecărui nod este mw/(mw, n), (i.e. acest număruleste ordinul de anulare al lui z dealungul divizorului ireductibil ex-cepţional)

(ii) genul g al fiecărui nod este dat de formula

2− 2g =(2− δw)(mw, n) +

∑v∈Vw

(mw,mv, n)(Mw, n)

. (3.7)

(b) Deasupra unui arc (w1, w2) of Γf punem (mw1 ,mw2 , n) arce.

(c) O săgeată (arc special cu o săgeată) este acoperit de exact o săgeatăcu multiplicitate (1).

(d) În acest mod, obţinem graful cu unele decoraţii: toate numerele degen ale divizorilor excepţionali şi toate multiplicităţile ale funcţiei z, darnu şi toate numerele Euler.Pentru a determina numerele Euler folosim formula:

mwew +∑

v∈Vw

mv = 0, pentru toate w ∈ W. (3.8)

Observaţia 3.10.4. Ecuaţia 3.8 este echivalentă cu (z) · Ew = 0, ceea ce sedemonstrează uşor. Presupunem că (z) =

∑v∈Vw

mvSv. Avem (z) · Ew = 0(cf. 3.5.4), deci (

∑v∈Vw

mvSv) · Ew = 0, sau mwE2w +

∑v∈Vw

mvSv · Ew = 0.Să observăm că E2

w = ew şi Sv · Ew = 1. 2Observaţia 3.10.5. În general, obţinem un graf de rezoluţie non-minimal.Cu toate acestea curbele raţionale −1 pot fi eliminate.

3.10.2 Exemple

Exemplul 3.10.6. Fie (X,x) singularitatea ({xn+1 + y2 + z2 = 0}, 0) ⊂(C3, 0). Notăm aceasta singularitate cu An, din raţiuni, care vor fi clare încele ce urmează.

Fie f(x, y) = xn+1 + y2. Avem două cazuri, în funcţie de paritatea lui n.(a) Presupunem că n este impar, adică n+1 = 2l. Atunci f este reductibil,

f(x, y) = (xl + iy)(xl − iy). Câteva "blowing up"-uri, şi/sau un argument deinducţie arată, că graful de rezoluţie bun scufundat al lui f arată ca în figura3.16.

Page 166: Interior Alg Comp III

166 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

d d d. . .

−2 −2 −1d−2 *

j

d−2

(2) (4) (2l − 4) (2l − 2) (2l)(1)

(1)

Figura 3.16: Graful de rezoluţie scufundat pt. x2l + y2

Acum avem de verificat că graful este special. Aceasta înseamnă, că dacădoi divizori Si şi Sj se intersectează, atunci mi ·mj ≡ 0 (mod 2), – ceea ceeste adevărat în acest caz.

În consecinţă, graful de rezoluţie scufundat al lui z este cel prezentat înfigura 3.17. El este o acoperire a precedentului graf 3.16.

d−2 *

j(l)

(1)

(1)d d . . .

−2 −2 d−2d−2

d d . . .

−2 −2 d−2d−2

(1) (2) (l − 2) (l − 1)

(1) (2) (l − 2) (l − 1)

Figura 3.17: Graful lui z, în cazul An, n impar

Este uşor de verificat folosind 3.7 că toate genurile g sunt 0. Să observăm,că dacă ştergem arcele şi multiplicităţile atunci regăsim exact graful, An dinfigura 3.11.

(b) Presupunem acum că n este par, sau n = 2l. Atunci f este ireductibil,f(x, y) = x2l+1 + y2, deci vom avea numai o săgeată în graful lui f. Similar cucazul (a), câteva "blowing up"-uri arată, că graful de rezoluţie scufundat bunal lui f este cel din figura 3.18.

Page 167: Interior Alg Comp III

3.10. GRAFUL LUI (F (X,Y )− ZN = 0, 0) 167

d d d. . .

−2 −2 −1d−3d−2

(2) (4) (2l − 2) (2l) (4l + 2)

- (1)

d−2

(2l + 1)

Figura 3.18: Graful de rezoluţie scufundat pt. x2l+1 + y2

Se verifică şi că graful este special. În consecinţă, graful de rezoluţie scu-fundat al lui z este cel prezentat în figura 3.19. Se verifică uşor (folosind 3.7)că toate genurile g sunt 0.

d dd

. . .

−2 −2

−2

d−3d−2

(1) (2) (l − 1) (l)

(2l + 1)

- (1)

d−2

(2l + 1)

d d . . .

−2 −2 d−3d−2

(1) (2) (l − 1) (l)

Figura 3.19: Graful lui z, în cazul An, n par

Page 168: Interior Alg Comp III

168 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

d d d. . .

−2 −2 −3d−2d−3 d−2d−2

d −1

. . .

l-points l-points

d d d. . .

−2 −2 −3d−1d−3 d−2d−2

. . .

d d d. . .

−2 −2 −2d−2 d−2d−2

. . .

*

*

� ��

� ��⇓

Figura 3.20: Graful intermediar în cazul An, n par

Avem de făcut încă un pas, avem de făcut un "blow down" în punctele(∗), cu număr Euler −1 şi vom obţine graful lui An. Numărul nodurile este♯W = 2l + 2− 2 = 2l = n.

Corolarul 3.10.7. Spaţiul lenticular L(n+ 1, n) are un reprezentant tubularFrP (Γ), cu Γ graful An (vezi figura 3.11 pe pagina 161).

Exemplul 3.10.8. Fie (X,x) singularitatea ({xn−1 + xy2 + z2 = 0}, 0) ⊂(C3, 0), şi n ≥ 4. Notăm această singularitate cu Dn, pentru motive, care vorfi clare în cele ce urmează.

Notăm f(x, y) = xn−1 + xy2. Avem două cazuri, conform cu paritatea luin.

(a) Presupunem că n este impar, sau n+ 1 = 2l. Atunci f este reductibil,f(x, y) = x(x2l−3 +y2). Cum avem doi factori ireductibili, vom avea două arcepe graf. Câteva "blowing up"-uri, şi/sau un argument de inducţie arată, căgraful de rezoluţie scufundat bun al lui f este cel din figura 3.21.

Page 169: Interior Alg Comp III

3.10. GRAFUL LUI (F (X,Y )− ZN = 0, 0) 169

(1) d d d d d d−2 −2 −2 −2 −1 −2

(3) (5) (7) (2l − 3) (4l − 4) (2l − 2)

?(1)

· · ·

l vertices

Figura 3.21: Graful de rezoluţie scufundat pt. x2l−2 + xy2

Acum avem de verificat că graful este special. Aceasta înseamnă, că dacădoi divizori Si şi Sj se intersectează, atunci mi ·mj ≡ 0 (mod 2); ceea ce nueste adevărat în acest caz.

În consecinţă, mai facem câteva "blowing up"-uri, în punctele necesarepentru a avea graful de rezoluţie special. Acesta este dat în figura 3.22.

(1) d d d d d d(4) (3) (6) (2l − 3) (4l − 4) (2l − 2)

?(1)

· · ·

2l − 2 vertices

Figura 3.22: Graful de rezoluţie scufundat special pt. x2l−2 + xy2

Vom calcula numerele Euler din multiplicităţile cunoscute, ca şi în exem-plul precedent, conform cu teorema 3.10.3.

În consecinţă, graful de rezoluţie scufundat al lui z este cel prezentat înfigura 3.23. El este o acoperire a grafului 3.22.

(1) d d d d dd−2 −2 −2 −2 −2

−2

(2) (3) (4) (2l − 3) (2l − 2)

(l − 1)

d−2

(l − 1)

� · · ·

?(1)2l − 1 vertices

Figura 3.23: Graful lui z, în cazul Dn, n ≥ 4 impar

Este uşor de verificat folosind 3.7 că toate genurile g sunt 0. Să observăm,

Page 170: Interior Alg Comp III

170 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

că dacă ştergem arcele şi multiplicităţile atunci regăsim exact graful, notat Dn

în figura 3.12.(b) Presupunem acum că n este par, sau n = 2l. Atunci f este reductibil:

are trei factori ireductibili, f(x, y) = x(xl−1 + iy)(xl−1 − iy), deci vom aveatrei arce în graful lui f. Ca şi în cazul (a), câteva "blowing up"-uri arată, căgraful de rezoluţie scufundat bun al lui f este cel din figura 3.24.

(1)

d d d d d−2 −2 −2 −2 −1

(3) (5) (7) (2l − 3) (2l − 1)

(1)

(1)

>

~

· · ·

l − 1 vertices

Figura 3.24: Graful de rezoluţie scufundat pt. x2l−1 + xy2

Acum avem de verificat că graful este special (fals). În consecinţă facemcâteva "blowing up"-uri, în punctele potrivite pentru a avea graful arătat înfigura 3.25.

(1)

d d d dd

(4) (3) (4l − 4) (2l − 1)

(l)

d(l)

� · · ·

n = 2l vertices

-

-

(1)

(1)

Figura 3.25: Graful de rezoluţie scufundat special pt. x2l−1 + xy2

Graful de rezoluţie scufundat al lui z este cel prezentat în figura 3.26.

Page 171: Interior Alg Comp III

3.10. GRAFUL LUI (F (X,Y )− ZN = 0, 0) 171

(1)

d d d dd

−2 −2 −2 −2

−2

(2) (3) (2l − 2) (2l − 1)

(l)

d−2

(l)

� · · ·

n = 2l vertices

-

-

(1)

(1)

Figura 3.26: Graful lui z, în cazul Dn, n ≥ 4 par

Este uşor de verificat folosind formula 3.7 că toate genurile g sunt 0.

Exemplul 3.10.9. Fie (X,x) singularitatea ({x4 +y3 +z2 = 0}, 0) ⊂ (C3, 0).Notăm această singularitate cu E6, din raţiuni care vor fi clare în cele ceurmează.

Definim f(x, y) = x4 + y3. Singularitatea de curbă plană ({f(x, y) =0}, 0) ⊂ (C2, 0) are un graf de rezoluţie minimal bun special, care poate ficalculat ca mai sus.

Acum dacă aplicăm algoritmul nostru (vezi teorema 3.10.3) vom obţinegraful lui z, din figura 3.27. Aceeaşi teoremă dă şi genurile: acestea sunt toateg = 0.

d dd

?(1)

−2

(3)

−2

−2(6)

(4)

d−2

(2)

d−2

(4)

d−2

(2)

Figura 3.27: Graful de rezoluţie scufundat z pe singularitatea x4 + y3 + z2 = 0

Dacă ştergem săgeata (şi multiplicităţile), obţinem E6 figura 3.13.

Exemplul 3.10.10. Fie (X,x) singularitatea ({x3 + xy3 + z2 = 0}, 0) ⊂(C3, 0). Notăm această singularitate cu E7, pentru motive, care vor fi claremai jos.

Page 172: Interior Alg Comp III

172 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

Definim f(x, y) = x3 + xy3. Fie singularitatea de curbă plană ({f(x, y) =0}, 0) ⊂ (C2, 0) şi graful ei. Acesta este un graf de rezoluţie minimal bun.Dar această rezoluţie nu este specială. Graful de rezoluţie bun şi special esteobţinut prin alte "blowing up"-uri (figura 3.28).

c cc

(1) (6) (9)

(10)

(3)c cc c

(5) (14) (12)

(1)

cc

?

Figura 3.28: Graful de rezoluţie bun special pt. f = x3 + xy3

Acum dacă aplicăm algoritmul nostru (vezi teorema 3.10.3) vom obţinegraful lui z, arătat în figura 3.29. Aceeaşi teoremă dă şi genurile: acestea sunttoate g = 0.

c cc

−2

−2

(1) (3) (9)

(5)

(3)c cc c−2 −2−2 −2

(5) (7) (6)

(1)

cc−2

?

Figura 3.29: Graful de rezoluţie scufundat z pe singularitatea x3 +xy3 +z2 = 0

Ştergând săgeata (şi multiplicităţile), obţinem graful notat deja cu E7 (vezifigura 3.14 pe pagina 163).

Exemplul 3.10.11. Fie (X,x) singularitatea ({x3+y5+z2 = 0}, 0) ⊂ (C3, 0).Notăm această singularitate cu E8, pentru raţiuni, care vor fi clare în cele ceurmează.

Definim f(x, y) = x3 + y5. Singularitatea de curbă plană ({f(x, y) =0}, 0) ⊂ (C2, 0) are graful arătat în figura 3.30.

Page 173: Interior Alg Comp III

3.10. GRAFUL LUI (F (X,Y )− ZN = 0, 0) 173

c c cc

-−3 −2 −1

−3

(3) (9) (15)

(5)

(1)

Figura 3.30: Graful de rezoluţie bun minimal pt.x3 + y5

Aceasta este gra-ful de rezoluţie minimalbun al lui ({f(x, y) =0}, 0) ⊂ (C2, 0).

Dar aceastărezoluţie nu este spe-cială, precum se vede,din multiplicităţi. Ungraf de rezoluţie bun şispecial se obţine prinalte "blowing up"-uri. Acesta este dat în figura 3.31.

c c cc

-−4 −1

−1

(3) (12) (15)

(20)

(1)c cc c−4 −4−1 −1

(9) (24) (16)

c −4(5)

Figura 3.31: Graful de rezoluţie bun special pt. f = x3 + y5

Acum dacă aplicăm algoritmul (vezi teorema 3.10.3) vom obţine graful luiz, dat în figura 3.32.

Aceeaşi teoremă dă şi genurile: acestea sunt toate g = 0, precum rezultăuşor.

c c cc

-−2

−2

(3) (6) (15)

(10)

(1)c cc c

(9) (12) (8)

c −2(5)

−2 −2 −2 −2 −2

Figura 3.32: Graful de rezoluţie scufundat z pe singularitatea x3 + y5 + z2 = 0

Ştergând săgeata (şi multiplicităţile), obţinem graful notat deja prin E8(vezi figura 3.15 de pe pagina 163).

Page 174: Interior Alg Comp III

174 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

3.11 Aplicaţii

A ceastă secţiune încearcă să ilustreze foarte succint posibilităţile com-putaţionale existente pentru studiul singularităţilor. La ora actuală dez-

voltarea unor instrumente software pentru suportul studiilor pur teoretice aajuns la o dimensiune, care cu greu poate fi cuprins în paginile chiar a unuiîntreg volum. Mă refer aici nu la pachetele matematice comerciale de uz gen-eral, cum este Magma, Mathematica, Maple, sau Matlab. Mă refer la pachetespeciale incomparabil mai detaliat elaborate pentru scopuri limitate – poateun singur domeniu al matematicii.

Un asemenea pachet este Singular, pe care l-am şi utilizat întrucâtva învolumul I, [89]. Singular este dezvoltat sub îndrumarea lui Wolfram Decker,Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister, şi Hans Schönemann, în cadrul Depar-tamentului de Matematică al Universităţii din Kaiserslautern, în Germania.Pagina web1 a pachetului ne informează că Singular este un sistem de algebrăcomputaţională, dezvoltat pentru calcule cu polinoame, cu accent pe algebrăcomutativă şi necomutativă geometrie algebrică şi teoria singularităţilor. Esteun software gratuit, şi open source sub "GNU General Public Licence".

La ora actuală Singular dispune de peste 90 de colecţii de programe, cat-aloage scrise în principal chiar în Singular, care fac posibile calcule efectiveprintre altele în D-module algebrice, teoria deformaţiei, algebră omologică, şiclasificarea respectiv rezoluţia singularităţilor.

Voi spicui din capabilităţilor catalogului de Rezoluţie a singularităţilordintr-o prezentare a lui Anne Frühbis-Krüger, din 2005, intitulată "The SIN-GULAR Resolution of Singularities: Getting started".

După lansarea Singular, se încarcă cataloagele:

LIB"resolve.lib"; // load the resolution algorithmLIB"reszeta.lib"; // load its application algorithmsLIB "resgraph.lib"; // load the graphical output routines

Se defineşte inelul de polinoame R = Q[x, y, z] (sau peste C practic, 0înseamnă caracteristica corpului, 0) prin comanda:

ring R=0,(x,y,z),dp; // define the ring Q[x,y,z]

Se va studia singularitatea x7 +y2− z2. Aceasta este o singularitate de tipA6.

ideal I=x7+y2-z2; // an A6 surface singularity

1http://www.singular.uni-kl.de

Page 175: Interior Alg Comp III

3.11. APLICAŢII 175

Rezoluţia singularităţii se face cu o singură comandă:

list L=resolve(I); // compute the resolution

Această comandă crează o listă cu toate datele calculate, care pot fi prelu-crate ulterior, inclusiv în forma reprezentărilor grafice (pe sisteme de operarede tip Unix). Se calculează matricea de intersecţie, şi genul tuturor curbelordivizori excepţionali pe suprafeţele obţinute prin "blowing up".

list iD=intersectionDiv(L);// compute intersection propertiesiD; // show the output==> [1]:==> -2,0,1,0,0,0, // intersection matrix==> 0,-2,0,1,0,0,==> 1,0,-2,0,1,0,==> 0,1,0,-2,0,1,==> 0,0,1,0,-2,1,==> 0,0,0,1,1,-2==> [2]:==> 0,0,0,0,0,0 // genul curbelor, toate au gen 0==> [3]:==> [1]: // primul divizor exceptional==> [1]: // găsit în==> 2,1,1 // harta 2: BO[4][1], componenta 1==> [2]:==> 4,1,1 // harta 4: BO[4][1], componenta 1==> [2]: // al doilea divizor exceptional==> [1]: // găsit în==> 2,1,2 // harta 2: BO[4][1], componenta 2==> [2]:==> 4,1,2 // harta 2: BO[4][1], componenta 2==> [3]: // ...==> [1]:==> 4,2,1==> [2]:==> 6,2,1==> [4]:==> [1]:==> 4,2,2==> [2]:==> 6,2,2==> [5]:

Page 176: Interior Alg Comp III

176 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

==> [1]:==> 6,3,1==> [2]:==> 7,3,1==> [6]:==> [1]:==> 6,3,2==> [2]:==> 7,3,2==> [4]:==> 1,1,1,1,1,1// The output is a list whose first entry contains// the intersection matrix of the exceptional divisors.// The second entry is the list of genera of these divisors.// The third and fourth entry contain the information// how to find the corresponding divisors// in the respective charts.

interDiv(iD[1]); // draw dual graph of resolution

Page 177: Interior Alg Comp III

3.12. PROBLEME PROPUSE 177

3.12 Probleme propuse1. Să se studieze singularităţile complexe de mai jos, cu ajutorul Singular :

1-1. (x2 + y2 + z2 = 0, 0).1-2. (x3 + y2 + z2 = 0, 0).1-3. (x6 + y2 + z2 = 0, 0).1-4. (x3 + xy2 + z2 = 0, 0).1-5. (x4 + xy2 + z2 = 0, 0).1-6. (x4 + y3 + z2 = 0, 0).1-7. (x3y + y3 + z2 = 0, 0).1-8. (x5 + y3 + z2 = 0, 0).

2. Să se construiască graful de rezoluţie pentru aceste singularităţi (cu aju-torul Singular).

Page 178: Interior Alg Comp III
Page 179: Interior Alg Comp III

Bibliografie

Capitolului 1

[1] Eric Bach and Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, Volume I: Ef-ficient Algorithms, MIT Press, 1996

[2] Peter Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory,CMS Books, 2002

[3] Jonathan Borwein, David Baily, Roland Girgensohn, Experimentation inMathematics, Computational Path to Discovery, A.K.Peters, 2004

[4] Jonathan Borwein, David Bailey, Mathematics by Experiment: PlausibleReasoning in the 21st Century, A.K.Peters, 2004

[5] David M. Bressoud, Factorization and Primality Testing, Springer, 1989

[6] Buell D. (ed.), Algorithmic number theory Proc. Burlington, Springer,2004

[7] Buhler J.P. (ed.), Algorithmic Number Theory, Third International Sym-posium, ANTS-III Portland, Oregon, USA, June 21-25, 1998 Proceedings,Springer, 1998

[8] J. P. Buhler, P. Stevenhagen, Algorithmic Number Theory: Lattices, Num-ber Fields, Curves and Cryptography, Cambridge University Press, 2008

[9] Joel S. Cohen, Computer Algebra and Symbolic Computation MathematicalMethods, A.K.Peters, 2003

[10] Henri Cohen (Ed.), Algorithmic Number Theory, Second InternatinalSymposium, ANTS-II Talence, France, May 18-23, 1996 Proceedings,Springer, 1996

179

Page 180: Interior Alg Comp III

180 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

[11] Henri Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory,Third Corrected Printing, Springer, 1996

[12] Henri Cohen (Ed.), Advanced Topics in Computational Number Theory,Springer, 2000

[13] Richard Crandall, Carl Pomerance, Prime Numbers A ComputationalPerspective, Second Edition, Springer, 2005

[14] Helaman R. P. Ferguson, David H. Bailey, A Polynomial Time, Numeri-cally Stable Integer Relation Algorithm, RNR Technical Report, 1992

[15] Darrel Hankerson, Alfred Menezes, Scott Vanstone, Guide to EllipticCurve Cryptography, Springer, 2004

[16] Hua Loo Keng, Introduction to Number Theory, Springer, 1982

[17] Rudolf Lidl, Gunter Pilz, Applied Abstract Algebra, Second Edition,Springer, 1998

[18] Michael E. Pohst, Computational Algebraic Number Theory, BirkhauserVerlag Basel Boston Berlin, 1993

[19] M. Pohst, H. Zassenhaus, Algorithmic algebraic number theory, Cam-bridge University Press, 1993

[20] Massimiliano Sala, Teo Mora, Ludovic Perret, Shojiro Sakata, CarloTraverso, (Ed.), Gröbner Bases, Coding, and Cryptography, Springer, 2009

[21] Susanne Schmitt, Horst G. Zimmer, Elliptic Curves A ComputationalApproach With an Appendix by Attila Pethö, Walter de Gruyter, 2003

[22] Manfred R. Schroeder, Number Theory in Science and Communication,With Applications in Cryptography, Physics, Digital Information, Com-puting, and Self-Similarity, Springer, 2008

[23] Victor Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Al-gebra, (Version 2.2), Cambridge University Press, 2007

[24] Nigel P. Smart, The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations,Cambridge University Press, 1998

[25] Fernando Rodriguez Villegas, Experimental Number Theory, Oxford Uni-versity Press, 2007

Page 181: Interior Alg Comp III

3.12. PROBLEME PROPUSE 181

Capitolului 2

[26] S. Crivei, A. Mărcuş, Ch. Săcărea, Cs. Szántó, Computational Algebrawith Applications to Coding Theory and Criptography, Editura Fundaţieipentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 2006

[27] Joachim von zur Gathen, Jürgen Gerhard, Algorithmische Mathematik,Skript Computeralgebra I-II, Universität-GH Paderborn, 1996

[28] Joachim von zur Gathen, Modern Computer Algebra, Second Edition,Cambridge University Press, 2003

[29] Neal Koblitz, Algebraic aspects of cryptography, Algorithms and Compu-tation in Mathematics, Springer, 1998

[30] Song Y. Yan, M.E. Hellmann, Number Theory for Computing, Springer,2010

[31] William Stein, Elementary Number Theory: Primes, Congruences, andSecrets, A Computational Approach, Springer, 2009

Capitolului 3

[32] M. Artin, On Isolated Rational Singularities of Surfaces, Amer. Jour. ofMath., 88 (1966), pp. 129-136

[33] E. Bierston, P. D. Milman, Resolution of Singularities, e-print, alg-geom/9709028, (1997)

[34] E. Brieskorn, H. Knörrer, Plane Algebraic Curves, Birkhäuser Verlag,Basel, 1986

[35] R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag, New-York, Berlin, 1982

[36] Alexander L. Chistov, Polynomial-Time Computation, of Dimensionof Algebraic Varieties in Zero-Characteristic, J. Symbolic Computation(1996) 22, 1-25

[37] S. D. Cutkosky, Resolution of Singularities Graduate Studies in Mathe-matics Vol 63, AMS, 2004

Page 182: Interior Alg Comp III

182 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

[38] W. Decker, Ch. Lossen, Computing in Algebraic Geometry A Quick Startusing SINGULAR, Springer, 2006

[39] A. Dimca, Topics on Real and Complex Singularities, Friedr. Vieweg &Sons, Braunschweig/Wiesbaden, 1987

[40] D. J. Dixon, The Fundamental Divisor of Normal Double Points of Sur-faces, Pacific Jurnal of Mathematics, vol 80, no 1, (1979), pp. 105-115

[41] A. Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, Berlin, 1972

[42] A. H. Durfee, Singularities, e-print, research report math.AG/9801123,(1998)

[43] David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Ge-ometry, Springer, 1995

[44] D. Eisenbud, W. Neumann, Three Dimensional Link Theory and Invari-ants of Plane Curve Singularities, Princeton University Press, Princeton,New Jersey, 1985

[45] Frédéric Eyssette, André Galligo, (eds.) Computational Algebraic Geo-metry, Birkhäuser, 1993

[46] H. M. Farkas, I. Kra, Riemann Surfaces, Springer-Verlag, New York, 1992

[47] E. Gasparim, Holomorphic Bundles on O(−k) are Algebraic, e-print, re-search report math.AG/9608027, (1996)

[48] H. Grauert, R. Remmert, Coherent Analytic Sheaves, Springer-Verlag,Berlin, 1984

[49] Ph. Griffits, Topics in Algebraic and Analytic Geometry, Princeton Uni-versity Press, Princeton, New Jersey, 1974

[50] Ph. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wileyand Sons, New York, 1978

[51] Gert-Martin Greuel, Applications of Computer Algebra to Algebraic Geo-metry, Singularity Theory and Symbolic-Numerical Solving, University ofKaiserslautern, Department of Mathematics

[52] G.-M. Greuel, C. Lossen, E. Shustin, Introduction to Singularities andDeformations, Springer, 2007

[53] Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister, A Singular Introduction to Com-mutative Algebra, Springer, 2007

Page 183: Interior Alg Comp III

3.12. PROBLEME PROPUSE 183

[54] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York, 1977

[55] F. Hirzebruch, Topological Methods in Algebraic Geometry, Springer-Verlag, Berlin, 1966

[56] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation The-ory, Springer-Verlag, New-York, 1972

[57] D. Husemoller, Fibre Bundles, McGraw–Hill, New York, 1966

[58] Gregor Kemper, A Course in Commutative Algebra, Springer, 2011

[59] F. Kirwan, Complex Algebraic Curves, Cambridge University Press, Cam-bridge, 1992

[60] M. Kreuzer, L. Robbiano, Computational Commutative Algebra 1,Springer, 2000

[61] M. Kreuzer, L. Robbiano, Computational Commutative Algebra 2,Springer, 2005

[62] Anne Frühbis-Krüger, The SINGULAR "Resolution of Singularities"Package: Getting Started, FB Mathematik, Universität Kaiserslautern,2005

[63] K. Lamotke, Regular Solids and Isolated Singularities, Friedr. Vieweg &Sons, Braunschweig/Wiesbaden, 1986

[64] H. B. Laufer, On Normal Two-Dimensional Double Point Singularities,Israel Journal of Mathematics, vol 31, no 3-4, (1978), pp. 315-334

[65] E. J. N. Looijenga, Isolated Singular Points on Complete Intersections,Cambridge University Press, Cambridge, 1984

[66] Christoph Lossen, Gerhard Pfister, (eds.) Singularities and Computer Al-gebra London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge Uni-versity Press, 2006

[67] J. Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton Univer-sity Press, Princeton, New Jersey, 1968

[68] J. Milnor, D. Husemoller, Symmetric Bilinear Forms, Springer-Verlag,Berlin, 1973

[69] D. Mumford, Algebraic Geometry I, Complex Projective Varieties,Springer-Verlag, Berlin, 1976

Page 184: Interior Alg Comp III

184 CAPITOLUL 3. TEORIA SINGULARITĂŢILOR

[70] D. Mumford, The Topology of Normal Singularities of an Algebraic Sur-face and a Criterion for Simplicity, Publications Mathématiques no 9,Institut des Hautes Études Scientifiques, (1961), pp. 5-22

[71] W. D. Neumann, A Calculus for Plumbing Applied to the Topology ofComplex Surface Singularities and Degenerating Complex Curves, Trans-actions of the American Mathematical Society, vol 268, nr 2, (1981), pp.299-343

[72] A. Némethi, Dedekind sums and the signature of f(x, y)+zN , II., SelectaMathematica, 2002

[73] A. Némethi, The Signature of f(x, y)+zN , Proceedings of Real and Com-plex Singularities, (C.T.C Wall’s 60th birthday meeting), Liverpool (Eng-land), August 1996

[74] A. Némethi, Some topological invariants of isolated hypersurface singu-larities, in the volume: Low Dimensional Topologies, Bolyai Society Math-ematical Studies, 8, Budapest, 1999

[75] A. Némethi, The Link of Surface Singularities, Lecture held at the Sum-mer School on Low Dimensional Topology, Budapest, 1998

[76] A. Némethi, Casson invariant of cyclic coverings via eta–invariant andDedekind sums, Topology and its Applications, 2000

[77] A. Némethi, Dedekind sums and the signature of f(x, y) + zN , SelectaMathematica, 2001

[78] A. Némethi, Normal surface singularities, in the volume: Low Dimen-sional Topologies, Bolyai Society Mathematical Studies, 8, Budapest, 1999

[79] M. Reid, Chapters on Algebraic Surfaces, In: Complex Algebraic Ge-ometry, IAS/Park City Mathematical Series, Volume 3 (J. Kollár editor),3-159, (1997).

[80] J. Rafael Sendra, Franz Winkler, Sonia Pérez-Díaz, Rational AlgebraicCurves A Computer Algebra Approach, Springer, 2008

[81] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, vol I-II, Springer-Verlag,Berlin, 1994

[82] E. H. Spanier, Algebraic Topology, McGraw–Hill, New York, 1966

[83] L. D. Tráng (ed.), Introduction à la théorie des singularités, vol I-II, Her-mann, Paris, 1982

Page 185: Interior Alg Comp III

3.12. PROBLEME PROPUSE 185

[84] John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton Uni-versity Press, 1968

Suplimentară

[85] Song Y.Yan, Number Theory for Computing, Springer, 2002

[86] ***, Singular, A Computer Algebra System for Polynomial Computa-tions,HTML User Manual for Singular Version 3-1-2, Oct 2010http://www.singular.uni-kl.de/http://www.singular.uni-kl.de/Manual/latest/index.htm

[87] J. von zur Gathen, Modern Computer Algebra, second edition, CambridgeUniversity Press, 2003

[88] H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer,J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert - Numbers, With an Introduction bzK.Lamotke, Springer, 1991

[89] A. Horváth, Introducere în algebra computaţională – Aplicaţii în geome-trie, sisteme de ecuaţii, coduri, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,2010

[90] A. Horváth, Introducere în algebra computaţională – Aplicaţii în grupuri,ecuaţii algebrice, topologie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,2011

[91] E. Kiss, Mathematical Gems from the Bolyai Chests - János Bolyai’s dis-coveries in Number Theory and Algebra..., Akadémiai Kiadó and TypoTeXLtd, Budapest, 1999

[92] M. Pohst, H. Zassenhaus, Algorithmic algebraic number theory, Cam-bridge University Press, 1989

[93] H. Schenck, Computational Algebraic Geometry, Cambridge UniversityPress, 2003

[94] J. Scherk, Algebra – A Computational Introduction, University of Toronto,2009

Page 186: Interior Alg Comp III
Page 187: Interior Alg Comp III

Listă de figuri

1.1 Curbă eliptică peste C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.2 Curbe eliptice peste C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.3 Curbe eliptice peste C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.4 Adunarea punctelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.5 Adunarea punctelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.6 Adunarea punctelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.7 Adunarea punctelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.8 Adunarea punctelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.1 Schiţă pentru Exemplul 3.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.2 Rezoluţia scufundată a unui germene . . . . . . . . . . . . . . . 1493.3 Decoraţiile unui nod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.4 Graful de rezoluţie pt. blowing up (C2, 0) . . . . . . . . . . . . 1543.5 Graful de rezoluţie scufundată x : (C2, 0)→ (C, 0) . . . . . . . 1543.6 Graful pt. exemplul 3.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.7 Graful pt. exemplul 3.4.3, reluare . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.8 Graful de rezoluţie scufundat pt. exemplul 3.6.1 . . . . . . . . 1563.9 Blowing up f(x, y) = xa + yb. Graf rezoluţie dual . . . . . . . . 1583.10 Schiţă pentru Exemplul 3.9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.11 Graful An, Exemplul 3.9.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.12 Graful Dn, Exemplul 3.9.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.13 Graful E6, Exemplul 3.9.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.14 Graful E7, Exemplul 3.9.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.15 Graful E8, Exemplul 3.9.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.16 Graful de rezoluţie scufundat pt. x2l + y2 . . . . . . . . . . . . 1663.17 Graful lui z, în cazul An, n impar . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.18 Graful de rezoluţie scufundat pt. x2l+1 + y2 . . . . . . . . . . . 1673.19 Graful lui z, în cazul An, n par . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.20 Graful intermediar în cazul An, n par . . . . . . . . . . . . . . 1683.21 Graful de rezoluţie scufundat pt. x2l−2 + xy2 . . . . . . . . . . 169

187

Page 188: Interior Alg Comp III

188 LISTĂ DE FIGURI

3.22 Graful de rezoluţie scufubdat special pt. x2l−2 + xy2 . . . . . . 1693.23 Graful lui z, în cazul Dn, n ≥ 4 impar . . . . . . . . . . . . . . 1693.24 Graful de rezoluţie scufundat pt. x2l−1 + xy2 . . . . . . . . . . 1703.25 Graful de rezoluţie scufundat special pt. x2l−1 + xy2 . . . . . . 1703.26 Graful lui z, în cazul Dn, n ≥ 4 par . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.27 Graful lui z scufundat, pe singularitatea x4 + y3 + z2 = 0 . . . 1713.28 Graful de rezoluţie bun special pt. f = x3 + xy3 . . . . . . . . 1723.29 Graful scufundat z pe singularitatea x3 + xy3 + z2 = 0 . . . . . 1723.30 Graful de rezoluţie bun minimal pt. x3 + y5 . . . . . . . . . . . 1733.31 Graful de rezoluţie bun special pt. f = x3 + y5 . . . . . . . . . 1733.32 Graful scufundat z pe singularitatea x3 + y5 + z2 = 0 . . . . . . 173

Page 189: Interior Alg Comp III

Glosar

întregal lui Gauss, 28

şiral lui Fibonacci, 35

A−D − E, 163An, 144, 145, 148, 161, 165, 168Dn, 144, 145, 148, 161, 162, 168,

170E6, 144, 145, 148, 162, 171E7, 144, 145, 148, 162, 171, 172E8, 144, 145, 148, 163, 172

algoritmal lui Euclid, 17

blow down, 155blowing up, 146

cel mai mare divizor comun, 16clase de resturi, 39cociclu, 137curbă

eliptică, 74, 75rangul ei, 90

diagrama Dynkin, 148divizibilitate, 14

ecuaţiecaracteristică, 37

exponental grupului, 60

fibrare

drepte complexe, 136formă de intersecţie, 151funcţie

a lui Euler, 55aritmetică

complet multiplicativă, 50multiplicativă, 50, 55

germenede mulţime analitică, 140

germene analiticăireductibilă, 142reductibilă, 142

grafacoperire a lui, 165de rezoluţie, 153

dual, 148, 149minimal bun, 160

hipersuprafaţă, 142

ideal, 15inel

al întregilor Gauss, 28Euclidian, 27factorial, 27

lege reciprocităţii pătratice, 69link, 134, 135

mulţimeanalitică, 140

multiplicitate, 149

număr

189

Page 190: Interior Alg Comp III

190 GLOSAR

Carmichael, 92compus, 15Euler, 138facorii lui

proprii, 15factorii lui, 15prim, 15reductibil, 15

numererelativ prime, 22

polinomcaracteristic, 35

progresiearitmetică, 34geomrtrică, 35

pseudoprim, 92în sens tare, 101, 102Euler, 97

punctregular, 142

raport de aur, 35relaţie

de congruenţă, 39de ordine, 15

compatibilă, 15rest

pătratic, 63rezoluţie, 145

a singularităţii, 145a germenelui

scufundată, 149bună, 145graf, 153

dual, 149minimal bun, 160

graf dedual, 148

minimal bun, 160specială bună, 164

specială scufundată bună, 164a grafului, 164

sferăPoincaré, 163

sferă omologicăîntreagă, 161raţională, 161

simbolal lui Jacobi, 72al lui Legendre, 65

singularitate, 140cât, 143de tip Klein, 148rezoluţia lui, 145

testde primalitate

deterministic, 91probabilistic, 92

Fermat, 93transformata

strictă, 147, 150

unităţi, 59

varietatealgebrică, 141proiectivă, 141tubulară, 134

Page 191: Interior Alg Comp III
Page 192: Interior Alg Comp III