Absorbţia, difuzia şi dispersia luminii – tratare fenomenologică

Absorbţia luminii

Lumina este absorbită la trecerea prin medii optice, în sensul că unda luminoasă

pierde energie la parcurgerea mediului respectiv.

Absorbţia are un caracter selectiv, ea depinzând de natura mediului absorbant şi de

lungimea de undă a undei luminoase, astfel, sticla nu absoarbe radiaţiile vizibile, dar

absoarbe radiaţiile infraroşii şi ultraviolete, atmosfera prezintă câteva ferestre de

transparenţă – în vizibil, domeniul radio şi o parte a domeniului infraroşu – pentru

observaţii astronomice în domeniile de absorbţie receptorii trebuind să fie situaţi în

spaţiul extraatmosferic.

Absorbţia explică culoarea corpurilor: astfel, corpurile transparente (filtre) absorb

radiaţiile de toate lungimile de undă cu excepţia celor care determină culoarea filtrului, în

timp ce corpurile opace absorb toate lungimile de undă cu excepţia celor refleflectate şi

care determină culoarea corpului.

Scăderea dI a intensităţii luminii la străbaterea unui strat absorbant elementar de

grosime dx este proporţională cu grosimea stratului absorbant, cu intensitatea iniţială a

fasciculului şi depinde de natura mediului şi de lungimea de undă a luminii (figura 7.1).

dI ~ I , dI ~ dx dI = – kIdx

(7. )

Relaţia (7.1) reprezintă legea Bouguer-Lambert, unde Il şi I0 sunt intensităţile

fasciculului incident, respectiv emergent din mediul absorbant de grosime x şi k

coeficientul de absorbţie care depinde de lungimea de

undă şi de natura mediului absorbant. Această relaţie,

Figura 7. 1

dedusă aici din considerente experimentale, este echivalentă cu relaţia (5.40), dedusă pe

cale teoretică.

În cazul soluţiilor, trebuie să se ţină seama şi de concentraţia acestora, având în

vedere faptul că absorbţia depinde şi de acest factor. Dacă se neglijează efectul

solventului, intensitatea luminii după parcurgerea unui strat de grosime x dintr-o soluţie

de concentraţie c, este:

(7. )

unde este coeficientul de extincţie natural iar c concentraţia soluţiei.

Relaţia (7.2) reprezintă legea lui Beer, care se aplică la absorbţia luminii de către

soluţii.

Raportul:

(7. )

se numeşte coeficient de transmisie, iar mărimea:

(7. )

se numeşte extincţie. Aceste două mărimi sunt folosite la studiul experimental al

absorbţiei.

Analizele prin absorbţie se folosesc pentru determinarea concentraţiilor soluţiilor

sau pentru studiul structurii mediilor absorbante, care absorb anumite lungimi de undă

caracteristice.

Difuzia (împrăştierea) luminii

Difuzia este fenomenul datorită căruia rezele de lumină care sunt invizibile într-un

mediu transparent, devin vizibile dacă în mediu se află impurităţi microscopice (praf,

fum, suspensii).

Fenomenul se explică prin producerea undelor secundare în mediul difuzant, a

căror direcţie este diferită de a undei primare. Când frecvenţa undelor secundare este

aceeaşi cu a undei primare, difuzia se numeşte difuzia elastică (difuzie Rayleigh), iar când

frecvenţa undelor secundare este diferită de a undelor primare, difuzia se numeşte difuzie

inelastică.

Difuzia este produsă de neomogenităţi sau fluctuaţii de densitate care apar în

medii, având întinderi de ordinul 0,1 ÷ 10 . Datorită transferului de energie către undele

secundare, intensitatea undei primare scade. Notând cu k’ coeficientul de extincţie datorat

difuziei şi considerând şi absorbţia undei, legea de atenuare a undei luminoase se scrie:

(7. )

Difuzia în medii tulburi

Mediile tulburi conţin particule fine în suspensie

(fum, praf, ceaţă, emulsii).

Dacă dimensiunile particulelor în suspensie sunt de

dimensiuni sub , se constată următoarele:

când lumina incidentă este liniar polarizată,

lumina difuzată este de asemenea liniar

polarizată

când lumina incidentă este nepolarizată, lumina difuzată pe direcţia luminii

incidente este nepolarizată; lumina difuzată la 90 este liniar polarizată cu

vectorul luminos într-un plan perpendicular pe planul determinat de direcţia

undei incidente şi cea a undei difuzate; pentru unghiuri de difuzie între 0 şi 90,

lumina difuzată este parţial polarizată în acelaşi plan (figura 7.2)

intensitatea luminii difuzate depinde de unghiul de difuzie, aşa cum se poate

vedea în figura 7.3; ea este

maximă pe direcţia razei incidente

şi minimă pe direcţia

perpendiculară pe aceasta,

conform relaţiei:

(7. )

intensitatea luminii difuzate la 90 este invers proporţională cu puterea a patra a

lungimii de undă (intensitatea undelor secundare este proporţională cu

acceleraţia sarcinilor puse în mişcare de oscilaţie de unda incidentă, a ~ 2 , I

~ a2 ~ 2 ~ )

Figura 7. 3

Figura 7. 2

când diametrul particulelor difuzante este mai mare sau egal cu lungimea de

undă, intensitatea luminii difuzate este invers proporţională cu puterea a doua a

lungimii de undă (difuzie Mie) şi scade cu dimensiunea particulelor difuzante.

Difuzia moleculară

Acest tip de difuzie se produce în medii omogene (fără farticule în suspensie), în

special în lichide şi gaze. Acestea difuzează lumina mult mai puţin decât mediile tulburi

(este difuzată 10-6 ÷ 10-7 din intensitatea luminii incidente) Cauza acestui tip de difuzie o

reprezintă fluctuaţiile de densitate care determină variaţii ale permitivităţii şi

neregularităţi în orientarea moleculelor.

Culoarea albastră a cerului este datorată difuziei luminii solare, cauzată de

fluctuaţiile de densitate ale aerului atmosferic, explicaţia fiind următoarea: cum

intensitatea luminii difuzate este invers proporţională cu puterea a patra a lungimii de

undă (difuzie Rayleigh) şi cum lungimea de undă a radiaţiei albastre este mai mică decât

cea a radiaţiei roşii, rezultă că intensitatea radiaţiei difuzate în domeniul albastru este mai

mare decât cea radiaţiei difuzate în domeniul roşu. Dacă în atmosferă există particule în

suspensie (praf, picături de apă), predomină difuzia Mie.

Fenomenul de difuzie este folosit, printre altele, pentru determinarea temperaturii

critice, ştiut fiind faptul că atunci când temperatura se apropie de cea critică, fluctuaţiile

de densitate a lichidelor cresc, iar vaporii din apropierea lichidului devin tulburi

(opalescenţă critică).

VII.1.1. Dispersia luminii

Dispersia este fenomenul de dependenţă a vitezei de propagare (şi deci a indicelui

de refracţie) a luminii de lungimea de undă (frecvenţa) acesteia.

Fenomenul a fost pus în evidenţă de către Newton, prin descompunerea luminii

albe la trecerea printr-o prismă optică; în acest caz, unghiul de emergenţă al razei de

lumină şi unghiul de deviere a acesteia faţă de direcţia iniţială sunt dependente de

indicele de refracţie al materialului din care este confecţionată prisma şi, deci, de

lungimea de undă a radiaţiei luminoase.

Conform unei relaţii a lui Cauchy, dispersia se exprimă prin:

(7. )

unde A, B, C, … sunt constante care depind de natura mediului.

Se defineşte dispersia mediului ca fiind:

(7. )

Se mai folosesc mărimile:

- dispersia medie:

n = nF – nC (7. )

- coeficientul de dispersie (numărul lui Abbé):

(7. )

- dispersia relativă (puterea de dispersie):

(7. )

unde nD este indicele de refracţie al mediului pentru radiaţia galbenă a sodiului (5890 Å),

nF este indicele de refracţie al mediului pentru radiaţia albastră a H (4860 Å) şi nC este

indicele de refracţie al mediului pentru radiaţia roşie a H (6560 Å).

Sticla Crown are o dispersie relativă mică (0,02) iar sticla Flint o dispersie relativă

mai mare (0,033)

În domeniul vizibil, majoritatea substanţelor prezintă o scădere continuă a

indicelui de refracţie odată cu creşterea lungimii de undă (creştere a indicelui de refracţie

odată cu creşterea frecvenţei); în acest caz avem de-a face cu aşa-numita dispersie

normală (figura 7.4.a), la care sau .

Unele substanţe (soluţie de iod, fuxină, cianină) prezintă însă o discontinuitate în

variaţia indicelui de refrcţie cu lungimea de undă (sau cu frecvenţa), apărând un salt brusc

al lui n, într-o regiune în care , respectiv , fenomenul fiind cunoscut sub

numele de dispersie anormală (figura 7.4.b).

Regiunea de dispersie anormală este situată în domeniul roşu pentru fuxină,

albastru pentru cianină, etc. În figura 7.4 este reprezentată variaţia cu lungimea de undă a

indicelui de

refracţie, n şi a

indicelui de atenuare, , pentru materiale cu dispersie normală (a) şi dispersie anormală

(b).

În domeniul de dispersie anormală, substanţele prezintă o absorbţie intensă de

energie de la unda luminoasă, datorată unui proces de rezonanţă între oscilaţiile

vectorului al undei şi oscilaţiile proprii ale sistemelor de sarcini electrice din atomi şi

molecule.

Dispersia luminii, prin descompunerea acesteia în radiaţii cu lungimi de undă diferite, se

foloseşte pentru analiza spectrală a surselor de radiaţii.

Figura 7. 4

Compunerea a două oscilaţii armonice perpendiculare de frecvenţe diferite

Când cele două oscilaţii perpendiculare au frecvenţe (pulsaţii) diferite, adică

(sau ), putând fi descrise de ecuaţiile

,

traiectoria a particulei supuse acţiunii simultane a celor două oscilaţii este o

curbă relativ complicată, astfel de traiectorii purtând denumirea de figuri Lissajous.

Traiectoria va fi deci o curbă a cărei formă depinde de raportul celor două pulsaţii

, precum şi de diferenţa de fază .

;  

;  

;  

OSCILAŢII AMORTIZATE

Vom considera un sistem oscilator asupra căruia acţionează forţa elastică şi o

forţă de amortizare vâscoasă direct proporţională cu viteza corpului şi

îndreptată în sens opus acesteia, în expresia sa, C purtând numele de coeficient de

amortizare.

Pentru acest sistem, ecuaţia de mişcare se scrie sub forma

sau,

în final, având

.

Efectuăm notaţiile

  şi   ,

unde este pulsaţia proprie a sistemului, iar ecuaţia mişcării amortizate se scrie sub

forma:

,

aceasta fiind o ecuaţie diferenţială omogenă, de ordinul al doilea, cu coeficienţi constanţi,

a cărei soluţie particulară este

C

k

x

m

şi deci

  şi   .

Substituind, vom obţine ecuaţia caracteristică

,

care admite soluţiile

.

Distingem următoarele cazuri:

a.)  , rădăcini complexe: ;

b.)  , rădăcini reale egale: ;

c.)  , rădăcini reale distincte: .

Valoarea coeficientului de amortizare pentru care se numeşte coeficient de

amortizare critică ,

,

de unde

.

Raportul adimensional va purta numele de factor de amortizare.

Considerăm cazul în care , efectuăm notaţia

,

rădăcinile ecuaţiei caracteristice fiind

,

iar soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale va fi de forma

sau, prelucrând,

.

Cum amplitudinea mişcării este o funcţie de timp

,

putem scrie

.

Diagrama mişcării este o sinusoidă delimitată de curbele .

O mărime ce caracterizează amortizarea oscilaţiilor este logaritmul natural al

raportului elongaţiilor la interval de o perioadă sau al raportului dintre două maxime

succesive:

,

care poartă numele de decrement logaritmic al amortizării, iar T reprezintă

pseudoperioada, adică perioada mişcării amortizate, cu

,

fiind pseudopulsaţia.

Dacă , rezultă , deci , rădăcinile ecuaţiei caracteristice

sunt reale,

0A

0A

t

x

O

  şi   ,

iar soluţia este de forma

.

Dacă , atunci , caz în care rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt egale

,

iar soluţia se scrie

.

OSCILAŢIIle SISTEMULUI NEAMORTIZAT

ACŢIONAT DE O FORŢĂ periodică

Fie sistemul mecanic prezentat în figură, asupra căruia acţionează o forţă armonică

, cu .

Scriem ecuaţia diferenţială a mişcării corpului

sau

,

după care

,

iar notând

  şi   ,

va rezulta ecuaţia diferenţială

.

k

x

mF

Soluţia unei astfel de ecuaţii se scrie sub forma

,

unde

.

Înlocuind soluţia particulară în ecuaţia diferenţială, obţinem

,

deci

.

Soluţia generală va fi

.

Constantele şi se determină din condiţiile iniţiale, adică dacă , atunci

, respectiv şi rezultă sistemul de ecuaţii

,

din care găsim

  şi   .

Prin urmare, soluţia ecuaţiei de mişcare se va scrie

.

Comparând pulsaţia

proprie a sistemului cu

pulsaţia forţei perturbatoare

pot fi studiate următoarele

cazuri:

a.) dacă , iar cu şi

respectiv , deci , reprezentând

grafic termenii soluţiei

şi

,

imaginea soluţiei va fi

obţinută compunând prin

suprapunere imaginile

anterioare;

2x

t

1x

t

1

1

f x( )

400 x

b.) dacă , apare fenomenul de bătăi şi rezultă

t

x

0

t

x

0

;

c.) dacă , va apărea condiţia de rezonanţă, caz în care soluţia ecuaţiei de mişcare

se scrie sub forma

,

40

40

f x( )

a1 x( )

a2 x( )

400 x

Amplitudinea oscilaţiilor forţate neamortizate este funcţie de pulsaţia forţei

perturbatoare conform relaţiei:

,

unde este săgeata statică.

Definim factorul de amplificare

,

numeric egal cu raportul dintre amplitudine şi săgeata statică, şi avem

iar pentru a înlătura

nedeterminarea se aplică

teorema lui lHospital,

şi astfel soluţia ecuaţiei de

mişcare se va da sub forma

finală

.

x

 t

.

Realizăm reprezentarea

grafică a factorului de amplifi-

care în funcţie de raportul

şi se constată că

-  pentru , atunci

;

-  pentru , atunci

.

a

0 12

0

Ecuaţiile Poisson şi Laplace.

Aplicând relaţiei (I.49) operatorul divergenţă, rezultă:

Operatorul se numeşte laplacean şi are formula:

Ecuaţia:

(I.50)

se numeşte ecuaţia Poisson.

Dacă ρ = 0 ecuaţia (I.50) devine:

(I.51)

numită ecuaţia Laplace.

Cu ajutorul ecuaţiei Poisson se poate cunoaşte potenţialul electric dacă se dă

distribuţia surselor sale.

Legea lui Coulomb, legea lui Gauss precum şi ecuaţia lui Poisson sunt forme

diferite de descriere matematică ale aceluiaşi grup de fenomene: fenomenele

electrostatice. Aceste legi au fost determinate în cadrul sistemelor de sarcini electrice

aflate în repaus şi nu există nici un motiv teoretic să admitem că ele sunt valabile şi

pentru sarcinile electrice aflate în mişcare. Pentru a verifica acest lucru este necesar să se

facă apel la noi experienţe în care sarcinile electrice să fie în mişcare.

3. g. Aplicaţii

Problema 3. 1.

Să se determine potenţialul câmpului electric în cazul unei sfere de rază a uniform

încărcată cu densitatea volumică ρs a sarcinii electrice, sfera având permitivitatea ε0.

Dacă punctul în care calculăm potenţialul este în exteriorul sferei folosim formula:

În coordonate sferice:

cu

Fig. 38 Referitor la problema 3. 1.

Se obţine:

Făcând calculele se obţine:

În consecinţă, pentru punctele exterioare sferei, potenţialul electric este acelaşi ca

în cazul în care toată sarcina sferei ar fi concentrată în centrul ei.

În cazul în care punctul în care calculăm potenţialul este în interiorul sferei rezultă:

Integrala în raport cu ρ de la 0 până la a trebuie despărţită în două integrale: prima

de la 0 la R pentru care R > ρ şi este valabilă soluţia integralei:

iar a doua de la R până la a, pentru care R < ρ şi este valabilă soluţia:

Potenţialul va fi dat de expresia:

Datorită simetriei sferice problema poate fi rezolvată şi cu ajutorul legii lui Gauss.

Pentru un punct exterior sferei, putem scrie:

Sarcina q din interiorul suprafeţei:

şi deci:

Pentru un punct din interiorul sferei, sarcina electrică din interiorul suprafeţei S,

este dată de expresia:

şi, deci:

Potenţialul dintr-un punct exterior este:

Potenţialul dintr-un punct interior este:

ELEMENTE DE TEORIA RELATIVITĂŢII RESTRÂNSE

1 Limitele fizicii clasice

La sfârşitul secolului trecut şi începutul secolului a XX-lea s-a produs o dezvoltare

rapidă a unor ramuri ale fizicii clasice cum ar fi termodinamica, electrodinamica, fizica

atomică etc. Adepţii mecanicismului au căutat să reducă orice lege a naturii la legile

mecanicii, dar acest lucru a dus la apariţia unor importante contradicţii. În cele ce

urmează vom încerca pe scurt să prezentăm o mică parte dintre ele, cu scopul de a arăta

că fizica clasică are limitele sale.

a) Transmiterea interacţiunilor În mecanica clasică ca o consecinţă a universalităţii timpului (timpul se scurge la fel în orice sistem de referinţă) transmiterea interacţiunii se face instantaneu . În electrodinamica clasică s-a demonstrat că transmiterea interacţiunilor se face prin contiguitate cu viteza finită de propagare a câmpului electromagnetic.

b) Propagarea undelor prin medii elasticeExistenţa unei unde mecanice presupune o sursă de perturbaţii şi un mediu elastic.

Unda mecanică se defineşte ca fiind propagarea unei perturbaţii într-un mediu elastic.

Unda electromagnetică , spre deosebire de cea elastică se propagă în

medii elastice şi în vid.Pentru a pune în concordanţă cu mecanica

clasică , pentru propagarea undelor electromagnetice se consideră ca

suport elastic eterul substanţă care umple tot universul ( se găseşte in tot

spaţiul cosmic precum şi în interiorul corpurilor.

Acest eter era considerat de Hertz ca fiind în repaus absolut şi el ar fi

putut constitui sistemul de referinţă absolut.

Experienţa lui Fizeau prin rezultatele sale pune în evidenţă că eterul este

parţial antrenat ( ipoteza lui Fizeau),iar coeficientul de antrenare este:

unde n este indicele de refracţie al mediului în care se află eterul.

Experienţa lui Michelson- Morley cunoscută şi sub numele de

“experienţa negativă” ne duce la concluzia generală că eterul nu există şi

înlătură ipoteza mişcării absolute.

c) Legea de compunere a vitezelor.

Legea de compunere a vitezei în mecanica clasică este o consecinţă a grupului de

transformări Galilei şi se scrie sub forma:

V=V1+ U

Iar aplicată vitezei luminii ecuaţia devine:

C’=C+ U

In electrodinamica clasică viteza luminii este independentă de mişcarea sursei şi este

aceeaşi în orice sistem de referinţă.

d) Forţa Lorentz

Forţa Lorentz care este o forţă caracteristică electrodinamicii clasice nu poate

fi încadrată în rândul forţelor din mecanica clasică, derivată dintr-un potenţial.De

asemenea este dependentă de viteză conform relaţiei :

e) Masa corpurilor

In mecanica clasică masa corpurilor este o mărime constantă , independentă de

viteza corpului ,de timp sau de alte mărimi cinematice.

Experienţele lui Bertozzi de accelerare a electronilor în câmpuri magnetice

puternice ,arată că viteza electronilor acceleraţi nu poate depăşi viteza luminii şi că

masa lor este funcţie de viteză m=m(v)

2 Principiile relativităţii restrânse

Plecând de la contradicţiile constatate până în acel moment , Einstein a

introdus în fizică ideea propagării din aproape în aproape a interacţiunilor, cu

viteză finită, postulând existenţa unei viteze limitată în univers, egală cu viteza de

propagare a luminii în vid.

Principiul relativităţii clasice a fost înlocuit cu următoarele două principii:

a) Principiul relativităţii restrânseÎn aceleaşi condiţii, toate fenomenele fizice au loc la fel în toate sistemele de

referinţă inerţiale.

b) Principiul vitezei maxime de transmitere a interacţiunilorViteza maximă de transmitere a interacţiunilor este egală cu viteza luminii în

vid şi este invariantă în raport cu orice sistem de referinţă inerţial şi cu orice

direcţie de măsurare.

Observaţii:

În cadrul teoriei relativităţii restrânse trebuie să rămână valabil principiul ce corespondenţă, conform căruia legile unui fenomen exprimate în cadrul unei teorii generale ,trebuie să coincidă cu legile aceluiaşi fenomen exprimate în cadrul unei teorii cu grad mai restrâns de generalitate.

Conform acestui principiu rezultatele teoriei relativităţii restrânse trebuie să cuprindă rezultatele fizicii clasice drept cazuri particulare limită pentru (v<<c ) viteze mult mai mici decât viteza luminii.

3 Relaţiile de transformare Lorentz – Einstein

Deoarece al doilea principiu al teoriei relativităţii restrânse este în dezacord cu

regula de compunere a vitezelor din relativitatea clasică se impune găsirea unor noi

relaţii de transformare care să permită trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul,

în conformitate cu principiile teoriei relativităţii restrânse .

Pentru deducerea acestor relaţii de transformare, vom considera două sisteme de referinţă

inerţiale, care au axele paralele, unul fix S( oxyzt) şi unul mobil S(o’x’y’z’t’), care se

deplasează cu viteza v faţă de sistemul fix în direcţia pozitivă a axei ox . În acest caz

coordonatele spaţiale au aceeaşi valoare de-a lungul axelor oy şi oz adică

y=y’

z=z’

Presupunem că la momentul iniţial originea axelor celor două sisteme coincide, lucru

care duce la faptul că relaţiile de transformare în teoria relativităţii restrânse diferă faţă de

relaţiile de transformare din mecanica clasică printr-o constantă α şi se poate scrie:

x’=α (x-vt)

x=α (x’+vt’)

Pentru determinarea valorii constantei α considerăm că la momentul t=t’=0 . sistemele au

origine comună O≡O’ şi din acel punct se lansează un semnal luminos. Conform

principiului invarianţei vitezei luminii , viteza luminii în ambele sisteme este aceeaşi ,iar

distanţele x şi x' străbătute de semnal în cele două sisteme de referinţă sunt:

x=ct

x'=ct'

înlocuind în expresiile anterioare rezultă:

ct'=α(c-v)t

ct=α(c+v)t'

din aceste ultime relaţii se calculează expresia lui α:

α=

Înlocuind în expresiile lui x şi x', obţinem relaţiile:

Eliminăm variabila x din aceste ultime două relaţii şi rezultă relaţia pentru timp

Analog, eliminând variabila x' din relaţiile anterioare rezultă relaţia care exprimă pe t'

după cum urmează:

Am obţinut în final relaţiile de transformare Lorentz –Einstein care se scriu sub forma:

Observaţie:

Relaţiile obţinute satisfac principiul de corespondenţă, în cazul vitezelor mici faţă de viteza luminii în vid (v<< c) grupul de transformări Lorentz- Einstein se transformă în relaţiile lui Galilei din mecanica clasică.

Consecinţe ale transformărilor Lorentz- Einstein

Contracţia lungimilor

Considerăm două sisteme de referinţă inerţiele ,sistemul S fix şi sistemul S' mobil

care se deplasează de-a lungul axei ox cu viteza v faţă de sistemul fix. Fie o bară

legată solidar cu sistemul de referinţă mobil S' aşezată în lungul axei o'x'.

Lungimea barei lo numită şi lungime proprie ,este măsurată în sistemul de

referinţă propriu S' şi are valoarea:

lo=x'2 - x'1

unde x'2 şi x'1 sunt coordonatele capetelor barei în sistemul mobil S' măsurate la

momentele de timp t'2=t'1

În sistemul fix S capetele barei au coordonatele x2 şi x1 şi sunt măsurate în

acelaşi moment de timp t2=t1. Lungimea barei numită şi lungime cinematică ,este:

l=x2 - x1

Utilizând transformările Lorentz- Einstein vom avea:

Calculăm lungimea proprie:

Această relaţie arată că l < lo, adică lungimea cinematică este mai mică decât

lungimea proprie . Sau, lungimea barei are valoarea cea mai mare in sistemul

propriu. Sau, lungimea barei măsurată de un observator aflat în mişcare faţă de

bară este mai mică decât lungimea aceleiaşi bare măsurată de un observator aflat

în repaus faţă de bară.

Fenomenul este cunoscut sub numele de contracţia lungimilor.

Observaţii:

Contracţia lungimilor trebuie considerată ca un fapt real şi obiectiv, ne fiind legată de vreo iluzie a observatorului.

Contracţia lungimii apare numai de-a lungul direcţiei de mişcare , dimensiunile transversale ale unui corp mobil rămân neschimbate ( y =y',z=z')

Dacă notăm cu dVo=dxodyodzo elementul de volum în sistemul propriu S', atunci elementul de volum în sistemul de referinţă S este: dV= dx dy dz

Deoarece contracţia lungimilor are loc numai de-a lungul direcţiei Ox, rezultă:

Rezultatul negativ al experimentului lui Michelson poate fi explicat prin faptul că braţul interferometrului plasat pe direcţia de mişcare a Pământului suferă o contracţie.

Dilatarea timpului

O altă consecinţă a transformărilor Lorentz-Eistein este aceea că timpul ca şi

spaţiul este o mărime relativă.

Considerăm două evenimente care au loc în acelaşi loc în sistemul de referinţă

mobil S' (x'1=x'2), dar la momente diferite. Intervalul de timp ce separă cele două

evenimente este:

şi reprezintă durata proprie .

Aceleaşi evenimente, pentru un observator solidar cu sistemul fix S, se produc la

momentele t1 şi t2 în acelaşi loc x1=x2. Intervalul de producere al lor este:

şi reprezintă timpul (durata) cinematic.

Ţinând seamă de relaţiile de transformare Lorentz-Einstein scriem relaţiile:

rezultă: τ > τo

Durata unui fenomen măsurată de on observator aflat în sistemul fix S este mai

mare decât durata aceluiaşi fenomen măsurată în sistemul S'. Pentru un observator

aflat în sistemul S ,timpul se scurge mai încet decât in sistemul propriu S'. acest

fenomen este cunoscut sub numele de dilatarea timpului .

Observaţii:

O verificare experimentală a acestui fenomen s-a realizat cu ajutorul dezintegrării mezonilor μ: Pentru un observator legat solidar de particulă, timpul de viaţă mediu al mezonului are aproximativ valoarea Δt'=2 ·10-6 s. S-a constatat că aceste particule se formează în atmosferă , la o înălţime de aproximativ 10 km faţă de Pământ. Dacă durata medie de viaţă a mezonilor μ ar avea aceeaşi valoare şi pentru observatorul de pe Pământ către care mezonii se deplasează cu viteza de v=2,9·108m/s. atunci distanţa parcursă de ei ar fi de 0,6 km insuficientă pentru a ajunge la suprafaţa Pământului. Experimental s-a ajuns la concluzia că mezonii μ ajung pe Pământ. Acest lucru se explică pe baza consecinţei conform căreia timpul de viaţă mediu al mezonilor pentru observatorul de pe Pământ se dilată şi are valoarea 31,7·10-6s. În acest timp mezonii parcurg distanţa de 9,5 km , ceea ce justifică posibilitatea ajungerii lor pe Pământ.

Dilatarea timpului din teoria relativităţii restrânse este o consecinţă directă a sincronizării sistemelor inerţiale. Nu este vorba de o dilatare spontană pe care ar produce-o natura, ci de o dilatare produsă de observatori, prin sincronizarea ceasornicelor.

Pentru v<<c timpul se scurge la fel în orice sistem de referinţă, în conformitate cu principiile mecanicii clasice.

Dacă ( x1y1z1t1) şi (x2y2z2t2) sunt coordonatele a două evenimente în spaţiul cvadridimensional, mărimea:

se numeşte interval spaţio- temporal Această mărime este invariantă la

schimbarea sistemului de referinţă.

În cadrul teoriei relativităţii restrânse durata dt şi distanţa dx nu mai au un caracter

absolut , în schimb intervalul spaţio- temporal este un invariant, mărimea sa fiind

aceeaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale.

Definim un element de volum în spaţiul Minkovschi, determinat în raport cu referenţialul propriu S'

dΩ=dx0dyodzoicdτo

unde ict este coordonata temporală. În raport cu referenţialul S elementul de volum

cvadridimensional este:

dΩ= dxdydzicdτ

Datorită contracţiei lungimilor de-a lungul axei ox şi dilatării timpului rezultă că

volumul cvadridimensional este invariant relativist.

dΩ0=dΩ

Relativitatea simultaneităţii

O nouă consecinţă a relaţiilor de transformare Lorentz –Einstein este legată de

caracterul de relativitate al simultaneităţii .

Presupunem că avem două evenimente simultane t1=t2 în două puncte diferite x1 şi

x2 ale unui sistem de referinţă inerţial S aflat în repaus. Se pune problema dacă

aceste evenimente vor fi simultane pentru un observator situat în sistemul de

referinţă S' care se află în mişcare rectilinie uniformă faţă de sistemul S.

Folosind relaţiile de transformare calculăm momentele la care se produc cele două

evenimente în sistemul mobil S' :

intervalul de timp dintre cele două evenimente măsurat în sistemul S’ este:

Evenimentele nu mai sunt simultane în sistemul de referinţă inerţial mobil. Două

evenimente simultane dar distanţate în spaţiu ce se produc în sisteme de referinţă inerţiale

nu mai sunt simultane în raport cu orice alt sistem inerţial aflat în mişcare.

Observaţie:

Condiţia de simultaneitate a două evenimente atât în sistemul inerţial fix cât şi în sistemul

inerţial mobil S’ este satisfăcută dacă pe lângă coincidenţa temporală t2=t1 este îndeplinită şi

coincidenţa spaţială x2=x1 a celor două evenimente . În acest ca se spune că evenimentele se

găsesc în coincidenţă absolută.

Legea de compunere a vitezelor

Într-un sistem de referinţă S' care se mişcă rectiliniu şi uniform cu viteza

v ,faţă de un sistem de referinţă S fix, de-a lungul axei Ox ,o particulă are viteza u'

faţă de sistemul propriu S' .Componentele vitezei u' după axele de coordonate vor

fi :

viteza particulei faţă de sistemul S este u având componentele:

Pentru a stabili o relaţie de legătură între componentele vitezelor în cele două

sisteme de referinţă S şi S' diferenţiem sistemul de relaţii Lorentz-Einstein.

rezultă:

Observaţii:

Se constată că este îndeplinit principiul de corespondenţă, adică pentru viteze mult mai mici decât viteza luminii, se obţine legea clasică de compunere a vitezelor.

Legea de compunere a vitezelor verifică principiul al doilea al relativităţii dacă u'x=c

Formalismul Hamiltonian

a)Variabile canonice; Spaţiul fazelor.

Mecanica analitică se dezvoltă continuu şi mai ales pe măsură ce aplicaţiile

devin tot mai numeroase, dovedindu-se o excelentă metodă de studiu a mişcării

mecanice. Apare un nou formalism, denumit de Hamilton, alternativă deosebit de

interesantă la formalismul lagrangian. William Rowan Hamilton porneşte de la

ideea extrem de profundă că adevăraţii parametrii de stare dinamică ai unui punct

material liber nu sunt coordonatele x,y,z şi vitezele vx,vy,vz, ci coordonatele x,y,z şi

proiecţiile px, py, pz ale impulsului. Includerea masei particulei în parametrii de

stare nu este un simplu artificiu matematic, teoria relativităţii şi mecanica cuantică

vor arăta că nu viteza ci impulsul este adevărata mărime de stare dinamică. Această

idee se extinde imediat în cazul sistemelor cu (s) grade de libertate, specificând

starea prin cele (s) coordonate generalizate qi şi cele (s) impulsuri generalizate pi

(i=l,2,3..s). Ansamblul format din cele (s) coordonate generalizate şi cele (s)

impulsuri generalizate constituie variabilele canonice ale sistemului mecanic

considerat; fiecare pereche de variabile (pi, qi) fiind denumite canonic conjugate.

Ansamblul coordonatelor generalizate (pi, qi) determină faza caracteristică

stării dinamice a sistemului. Cei 2s parametrii (pi, qi) sunt coordonatele unui punct

din spaţiul cu 2s dimensiuni, numit spaţiul fazelor.

b) Funcţia HAMILTON

Hamilton introduce o nouă funcţie de stare, dependentă de variabilele

canonice, denumită, hamiltoniana sistemului H=H(pi,qit) şi definită prin relaţia:

Această relaţie arată un fapt important, acela că funcţia H se conservă, adică

rămâne constantă în raport cu un referenţial inerţial, adică sistemul de puncte este

izolat, fie situat într-un câmp de forţe conservative. Adevărata semnificaţie a

hamiltonianei este pusă în evidenţă de termodinamică, dar până atunci vom încerca

să vedem ce semnificaţie are aceasta pentru un punct material care se deplasează

liber pe direcţia Ox într-un câmp de forţe de potenţial U(x) dar cEx xp mx

& &

2 2c c c cH mxx L E L sau H E E U E U && În acest caz

hamiltoniana se identifică cu funcţia de stare numită energie totală, de altfel

identificarea este valabilă pentru condiţiile în care sistemul este conservativ şi

schimbarea de variabile este independentă de timp ( axa fixe). În cazul în care

schimbarea de variabile este dependentă de timp ( axe mobile) mărimile energie

totală E şi funcţia Hamilton H pot fi ambele constante ale mişcări fără a fi identice.

c) Ecuaţiile canonice ale mişcării (Ecuaţiile lui Hamilton)

Ecuaţiile canonice se pot obţine din principiile variaţionale prezentate

anterior, ca şi ecuaţiile lui Lagrange sau prin alte metode intuitive. În cele ce

urmează vom deduce aceste ecuaţii pentru un caz particular şi anume pentru un

punct material de masă m care se deplasează pe direcţia Ox într-un câmp

conservativ de potenţial U(x). Pentru acest sistem, am arătat că hamiltoniana H este

energia totală a sa. Conform legii a doua a dinamicii avem:U

x x

Hx x

p

p

&

&

de asemenea se poate scrie

c

x

x

Ep

Hp

x

x

&

&

Ecuaţiile canonice ale lui Hamilton se vor scrie sub forma:

x

Hx x

Hp

p

x

&

&

Deşi reprezintă un caz particular, putem scrie în general, relaţii

asemănătoare pentru orice sistem fizic izolat sau conservativ.

x xH p q L &

ii

ii

Hp

q

Hq

p

&

&

Cele 2s ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi constituie sistemul ecuaţiilor

canonice sau ecuaţiilor de mişcare ale lui Hamilton.

d) Soluţiile ecuaţiilor canonice

Ecuaţiile canonice fiind ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de prunul

ordin cu 2s funcţii necunoscute pi(t); qi(t), soluţia generală a unui astfel de sistem

va conţine 2s constante arbitrare. Prin urmare, pentru a determina complet starea

sistemului mecanic la un moment dat şi pentru a-i defini mişcarea, este necesar să

cunoaştem condiţiile iniţiale care caracterizează sistemul la un moment dat, adică:

00

00

i i

i i

p t p

q t q

Soluţiile ecuaţiilor prezentate va avea forma:

1 2 2

1 2 2

, , ,....

, , ,....

i i s

i i s

p p t c c c

q q t c c c

unde, cele 2s constante, se determină cu ajutorul condiţiilor iniţiale.

Schema de studiu a mişcării unui sistem de n puncte materiale cu s grade de

libertate, se prezintă astfel:

1.5.3 FORMALISMUL HAMILTON – JACOBI

a) Transformări canonice

Starea fialăStarea iniţiala ,i iH H p q

00

00

i i

i i

q t q

p t p

i

i

q t

p tEcuaţiile canonice

ele lui Hamilton

Folosind transformările canonice se poate ajunge la ecuaţia Hamilton –

Jacobi. Aspectul formal al ecuaţiilor Lagrange nu depinde de alegerea

coordonatelor. Astfel, pot fi alese alte s mărimi oarecare 1iq care nu trebuie decât să

definească într-o formă univocă poziţia sistemului în spaţiu. În acest sens, se poate

spune că ecuaţiile lui Lagrange sunt invariante în raport cu transformarea care face

să treacă coordonatele qi, în alte mărimi independente 1iq . Ca urmare, pot exista

transformări de tipul

1 1 ,i i iq q q t

timpul t apărând în formă explicită. Asemenea transformări se numesc transformări

punctuale. Examinând ecuaţiile canonice ale iui Hamilton observăm o simetrie

între variabilele canonice qi şi pi. Înlocuind pe qi cu 1ip şi pe pi cu 1

iq , ecuaţiile

canonice devin

i

ii

Hq

p

Hp

q

&

&

''

''

ii

ii

Hp

q

Hq

p

&

&

Acest paradox aparent conduce la introducerea transformărilor canonice:

' '

' '

, ,

, ,

i i i i

i i i i

q q q p t

p p q p t

Noile variabile trebuie să satisfacă relaţiile:

'

'

' '

' '

' '' '

i

i

Hi p

Hi q

i i

q

p

H p q L

&

Spre deosebire de transformările punctuale, când noua funcţie Lagrange se

obţine prin substituirea directă a formulelor de transformare în funcţia veche, în

cazul transformărilor canonice nu este implicată o legătură directă între cele două

funcţii Lagrange.

Ipotezele făcute cu privire la invarianţa ecuaţiilor canonice conduc la

următoarele ecuaţii care exprimă principiul lui Hamilton în fiecare sistem de

variabile.

2

1

2

1

' '

0

' 0i i

t

i i

t

t

t

p q H dt

p q H dt

&

&

Combinând ambele relaţii se obţine expresia:

2

1

' ' ' 0i i

t

i i

t

p q H p q H dt & &

al cărui integrant este:

' ' 'i ii i

dFp q H p q H

dt & &

Prima paranteză depinde de variabilele pi, qi şi t iar a doua paranteză depinde

de variabilele ' ', ,i i

p q t& , deci funcţia F depinde de (4s+1) variabile ' ', , , ,i ii ip q p q t& .

Aceste variabile sunt legate între ele prin 2s formule, rezultă că funcţia F

depinde de fapt de (2s+1) variabile luate din tot ansamblul de variabile.

Dacă vom considera cazul particular

', ,iiF F q q t

rezultă

'' i

i

ii

dF F F Fdq dq

dt q q t

Comparând cu ecuaţia de mai sus avem ecuaţiile:

''

'i

i

ii

F F Fp p H H

q q t

Aceste ecuaţii arată că se pot obţine formulele de transformare plecând de la

cunoaşterea funcţiei F care se numeşte funcţia generatoare a transformării.

Cu ajutorul ei se exprimă hamiltoniana în cele doua sisteme de variabile

precum şi noile variabile canonice.

Se observa că dacă funcţia generatoare nu depinde explicit de timp,

hamiltoniana sistemului nu se modifică prin transformare.

b) ECUAŢIA HAMILTON – JACOBI

Deducerea ecuaţiei lui Hamilton – Jacobi se poate face folosind principiul

minimei acţiuni. În cele ce urmează vom deduce expresia ecuaţiei folosind

transformările canonice. Pentru aceasta se pune problemă găsirii explicite a unei

funcţii generatoare, astfel ca noile ecuaţii canonice să fie rezolvabile. În acest caz

cele 2s variabile nu mai trebuie să fie toate constante ale mişcării.

Să presupunem că o astfel de transformare există şi este specificata prin

funcţia

'1

'

'

, ,

constant

constant

i i

i i

i

F S q q t

q

p

rezultă:

'S=S , ,i iq q t

Având o transformare canonică este necesar să fie satisfăcute relaţiile

'

'

0

0

i

i

p

q

&

&

'

'

'0

'0

i

i

H

p

H

q

Se pune condiţia suplimentară ca '

0; IHH

t

este egal cu o constantă care

poate fi lată egală cu zero.

Cu aceste consideraţii făcute putem scrie:

, , 0i i

ii

SH q p t

tS

pq

adică se obţine ecuaţia Hamilton – Jacobi.

c) Soluţia ecuaţiei Hamilton – Jacobi

Ecuaţia obţinută .cu derivate parţiale conţine (s+l) variabile independente.

Soluţia sau integrala completă a ecuaţiei Hamilton – Jacobi trebuie să conţină (s+l)

constante arbitrare independente care se determină din condiţiile iniţiale.

Pentru integrarea ecuaţiei lui Hamilton – Jacobi se recurge la metoda

separării variabilelor. Pentru aplicarea acestei metode este necesară alegerea

convenabilă a coordonatelor generalizate q. Importanţa acestei alegeri o putem

ilustra prin următorul exemplu:

Fie un punct material de coordonate q1=x, q2=y, q3=z, aflat într-un câmp de

forţe conservative de potenţial V=V(x,y,z).

Energia cinetică a punctului material este

2 2 2 2 2 21

2 2c x y z

mE x y z p p p & & &

Hamiltoniana mişcării este:

2 2 21| , ,

2c x y zH E V p p p V x y zm

Ecuaţia lui Hamilton – Jacobi a punctului material se va scrie în acest caz

sub forma.

22 21

( , , ) 02

S S S SV x y z

t m x y z

După cum se vede hamiltonianul nu conţine explicit timpul şi deci vom

putea scrie:

, ,S W x y z Et

De asemenea ecuaţia devine:

22 2

1, ,

2

W W WV x y z E

m x y z

iar ecuaţiile mişcării punctului material se vor scrie.

1 2 31 2 3

W W W

unde 1 2 0, şi t sunt constante arbitrare care se determină din condiţiile iniţiale

folosind relaţiile:

x y z

W W Wp p p

x z z

Specificarea formei concrete a potenţialului V(x,y,z) se face pe cazuri

particulare ceea ce duce la obţinerea concretă a formei finale a ecuaţiei de mişcare

a particulei, fie liberă, în câmp gravitaţional sau într-un câmp de forţe elastice.

Formalismul Lagrange

A) Funcţia Lagrange

Principiul lui Hamilton introduce o funcţie de stare ,i iL q q& numită funcţia

lui Lagrange, care depinde de coordonate generalizate, viteze generalizate şi timp.

Pentru a înţelege semnificaţia fizică a funcţiei L considerăm un corp care se

deplasează liber în câmpul gravitaţional al pământului, între punctele A şi B pe

două drumuri posibile 1a2 şi 1b2. Dacă se calculează în fiecare moment diferenţa

dintre energia cinetică şi cea potenţială a corpului şi se integrează în funcţie de

timp între momentele t1 şi t2 se constată că aceasta are valoarea mai mare pe

drumul al doilea decât pe primul.

2

1

211

2

t

t

my mgy dt pentru a b &

2

1

2 212

2

t

t

m x y mgy dt pentru a b & &

Deoarece corpul lăsat liber în punctul a traiectoria sa reală este a1b, pentru

care integrala are valoarea cea mai mică. Notăm cu S expresia integrală şi o numim

acţiune:

2

1

t

c

t

S E U dt

comparând cu principiul minimei acţiuni

2

1

,t

i i

t

S L q q dt &

putem spune că funcţia lui Lagrange este definită prin relaţia

L=Ec-U

B) Proprietăţile funcţiei Lagrange

Proprietăţile funcţiei Lagrange sunt următoarele:

În cazul unui sistem mecanic format din două părţi (A) şi (B) având

funcţiile Lagrange LA şi LB suficient de îndepărtate încât interacţiunea dintre

ele să fie neglijabilă, funcţia Lagrange a sistemului A+B va tinde către

L= LA+LB

Ecuaţiile de mişcare ale lui Lagrange ale fiecăruia din părţile sistemului nu

interacţionează cu celelalte, neputând să conţină mărimi care se raportează la

celelalte părţi ale sistemului.

Multiplicarea funcţiei Lagrange a unui sistem mecanic printr-o

constantă arbitrară nu influenţează asupra ecuaţiilor de mişcare, dar introduce o

nedeterminare. Proprietatea de aditivitate a funcţiei Lagrange elimină această

nedeterminare, ea neadmiţând decât multiplicarea simultană a funcţiilor Lagrange

ale tuturor sistemelor prin aceeaşi constantă, ceea ce nu introduce decât un

arbitrarul în alegerea unităţilor de măsură ale acestei mărimi fizice.

Considerând două funcţii Lagrange, L şi L1 alese astfel încât:

2 2 2

1 1 1

1

12 2 1 1

,

, ,

, ,

didt

t t tdf

i i i i dtt t t

L L f q t

S L q q t dt L q q t dt dt

S S f q t f q t

& &

adică, cele două acţiuni diferă una de alta printr-un termen suplimentar, care

dispare când acestea variază 1S S . Cu alte cuvinte forma ecuaţiilor de mişcare

rămâne neschimbată, deci, funcţia Lagrange nu este determinată decât până la

derivata totală a unei funcţii oarecare de coordonate şi de timp.

C) Ecuaţiile de mişcare ale lui Lagrange

Din principiul lui Hamilton se deduc ecuaţiile lui Lagrange, pornind de la

relaţia:

2

1

,t

i i

t

S L q q dt &

Calculând această variaţie în funcţie de coordonatele generalizate şi ţinând

seamă că toate traiectoriile au aceleaşi poziţii extreme, deci variaţiile izocrone ale

coordonatelor generalizate la momentele t1 şi t2 sunt nule.

Pentru condiţia 0S , oricare ar fi valoarea lui iq şi 0t rezultă

0i i

L d L

q dt q

&

unde i =1,2,3,...s

Observaţii

1. Principiul lui Hamilton este echivalent cu s ecuaţii diferenţiale de

ordinul al doilea care în mecanica analitică poartă numele de ecuaţiile lui

Lagrange.

2. Ecuaţiile lui Lagrange se pot obţine din oricare dintre principiile

variaţionale pe care le-am enunţat anterior.

3. Deoarece nu am prezentat nici o demonstraţie prin care să se obţină

ecuaţiile lui Lagrange, vom face totuşi o demonstraţie mai puţin riguroasă, alegând

ca sistem fizic un punct material care se deplasează liber într-un câmp de forţe

centrale de potenţial U( x,y,z,). Pentru a scrie aceste ecuaţii trebuie definită funcţia

de stare ,L L r rr& numită funcţia lui Lagrange prin relaţia:

L= Ec- U

Unde: Ec= Ec(v), energia cinetică iar U=U(r), este energia potenţială

Deoarece mişcarea se desfăşoară într-un câmp de forţe centrale se poate

scrie relaţia:

U U Up gradU i j k

x y z

r r&

identificând rezultă pe componente:

x

y

z

Up

xU

py

Up

z

&

&

&

Pornind de la relaţia de definiţie a impulsului generalizat scriem:

c cdx x dt

c cdy y dt

c cdz z dt

E Ep p

x x

E Ep p

y y

E Ep p

z z

&& &

&& &

&& &

Se obţin ecuaţiile,

cd ddt dt

cd ddt dt

cd ddt dt

E U L L

x x x x

E U L L

y y y y

E U L L

z z z z

& &

& &

& &

În general pentru un sistem fizic cu s grade de libertate, în locul

coordonatelor carteziene se scriu coordonatele şi vitezele generalizate.

D) Soluţiile ecuaţiilor de mişcare Lagrange.

Ecuaţiile Lagrange fiind ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea cu s

necunoscute qs(t), soluţia generală a unui asemenea sistem va conţine 2s constante

arbitrare. Ca atare pentru a determina complet starea sistemului mecanic la un

moment dat şi pentru a-i defini mişcarea, este necesar să cunoaştem condiţiile

iniţiale care caracterizează sistemul la un moment dat, de exemplu, valorile iniţiale

ale coordonatelor generalizate şi ale vitezelor generalizate.

Soluţia ecuaţiilor va avea forma:

1 1 1 2 2, , ,... sq q t c c c unde i=l,2,3,....s

cele 2s constante, 1 2 2, ,... sc c c se determină din condiţiile iniţiale

Astfel spus, cunoscând starea iniţială a sistemului la un moment dat t0 se

poate face predicţia exactă a stării sistemului la oricare moment ulterior t>t0, cât şi

predicţia exactă a stării sistemului la orice moment anterior t<t0,

Schema de studiu a mişcării unui sistem de puncte materiale eu s grade de

libertate se prezintă conform schemei

Observaţii

O astfel de cauzalitate, în care efectul este legat de cauză printr-o conexiune

rigidă este o cauzalitate de tip dinamic. Matematicianul P. S: Laplace, inspirându-

se din tipul de relaţie cauzală de mai sus, a elaborat o întreagă concepţie

deterministă, cunoscută sub numele de determinism dinamic sau laplacian.

Ideea care se află la baza acestei concepţii este următoarea. întregul univers

poate fi împărţit într-un număr imens de particule elementare, care pot fi asimilate

unor puncte materiale între acestea exercitându-se interacţiuni instantanee la

distanţă. Deplasarea acestor părticele elementare, este descrisă de un număr imens

de ecuaţii de tip Lagrange, ale căror soluţii la momentul t devine univoc, de

valorile parametrilor de stare la un moment iniţial t0. Bazat pe aceste consideraţii,

Laplace afirmă că o fiinţă care ar cunoaşte la un moment dat poziţiile şi

impulsurile tuturor particulelor din univers, ar putea să prevadă cu precizie

absolută toate evenimentele ulterioare cosmice, chiar destinul istoric al omenirii.

Starea fialăStarea iniţiala ,i IL L q q

0

0 0;i i t tq q

& ;i i t

q t q t&Ecuaţia lui

Lagrange

La prima vedere, determinismul de tip laplacian pare a fi o concepţie

optimistă care dă încredere în ştiinţă a cărui dezvoltare nu ar exclude ca în viitor să

fim în stare să ştim cum s-a născut lumea şi care va fi viitorul ei.

O primă critică a acestui determinism este adusă de Voltaire care reproşează

acestui determinism absenţa întâmplării. Fizica secolului XX arată că la nivelul

microscopic, singurele afirmaţii care se pot face sunt cele de tip statistic, care lasă

loc pentru întâmplare, pentru realitate dar şi pentru vis, aşa cum afirma George C.

Moisil.

Integrala curbilinie a câmpului electric

Să considerăm, într-o regiune din spaţiu în care există câmp electric, două puncte

P1 şi P2 unite printr-o curbă Γ. În orice punct de pe curba Γ câmpul electric este

caracterizat de un anumit vector intensitate a câmpului.

Fig. 30 Referitor la circulaţia câmpului electric între două puncte

Produsul scalar: se numeşte circulaţia infinitezimală a câmpului electric

pe curba Γ. „Suma” circulaţiilor elementare ale vectorului intensitate a câmpului electric

pe curba Γ,

(I. 30)

se numeşte integrală curbilinie a vectorului pe curba Γ sau circulaţia vectorului între

punctele P1 şi P2 pe curba Γ.

Aşa cum se ştie de la analiza matematică, integrala curbilinie între două puncte

depinde în general, de curba pe care se efectuează integrala. Vrem să vedem dacă

integrala curbilinie a vectorului intensitate a câmpului electric depinde sau nu de drumul

parcurs între cele două puncte.

Pentru început, să studiem circulaţia câmpului electric, între două puncte, produs

de o sarcină punctiformă.

P1

P2

E

ldΓ

Fig. 31 Circulaţia câmpului electric produs de o sarcină punctiformă

Intensitatea câmpului electric în punctul M este

unde este vectorul versor al vectorului . Circulaţia elementară pe curba Γ, a

vectorului este:

cum:

rezultă:

(I. 31)

Relaţia (I.31) arată că circulaţia infinitezimală a câmpului electric produs de o

sarcină punctiformă este o diferenţială totală exactă.

În analiza matematică se demonstrează că integrala curbilinie între două puncte

pentru astfel de funcţii nu depinde de curba aleasă. Valoarea integralei curbilinii depinde

doar de poziţia punctelor iniţial şi final.

Circulaţia între punctele P1 şi P2 ale câmpului produs de o sarcină punctiformă

este:

q

BM’

NMPα

A

u E

dl

r

Ar

Brrdr

Pentru un sistem de sarcini electrice punctiforme q1,q2,…,qn, aplicând principiul

superpoziţiei câmpurilor electrice, circulaţia elementară a intensităţii câmpului electric

este:

Fig. 32 Circulaţia câmpului electric produs de un sistem de sarcini electrice

Dacă sarcinile electrice sunt punctiforme, rezultă că, în conformitate cu formula de

mai sus, circulaţia câmpului electric este o diferenţială totală exactă.

În cazul distribuţiilor continue de sarcină, suma din relaţia precedentă se

transformă în integrală. Şi în acest caz, rezultă că, circulaţia infinitezimală este o

diferenţială totală exactă.

Dacă curba pe care se face integrala este o curbă închisă (punctul P1 coincide cu

punctul P2) atunci:

(I.32)

Un câmp vectorial - cum este câmpul electrostatic - care satisface relaţia (I.32), se

numeşte “câmp cu circulaţie conservativă”.

qi

P1

qn

q2 P2

1E 2E

iE

nE

ldΓ

q1

Fie curba închisă Γ într-o regiune din spaţiu în care există câmp electric. În

conformitate cu teorema lui Green, oricare ar fi suprafaţa S ce se sprijină pe curba Γ, este

valabilă relaţia:

Fig. 33 Referitor la teorema lui Green aplicată circulaţiei câmpului electric

Deoarece membrul stâng al relaţiei de mai sus este nul şi suprafaţa este arbitrară,

rezultă că:

(I.33)

Vectorul se numeşte „rotorul vectorului ” şi reprezintă produsul vectorial

dintre operatorul şi vectorul :

Legile experimentale ale radiatiei termice le vom prezenta in mod

cronologic

Γ

Σ

ESd

Legea lui Definitie Formule

Kirchoff 1859

In cazul rediatii termice

raportul dintre puterea

spectrala de emisie E si

puterea spectrala de

absortie a A , depinde

numai de frecventa si de

temperatura T si nu

depinde de natura corpului

=f( , T)=α

Stefan B.

Energia totala a radiatiei

emise in unitatea de arie a

corpului negru in unitatea

de timp, este proportionala

cu temp T a suprafetei

corpului la puterea a

patra .

W=

=5,67*10

Wien(legea deplasari

maximului de

distributie ρ spre

frecvente mari

La o anumita temp T,

maximul curbelor de

distributie a densitatii

spectrale ce corespunde la

o anumita lungime de unda

care este cu atat mai mica

cu cat temp este mai

ridicata

*T=b

b=0,28978*10 *m*k

WC. Wien(1896)

Premiul nobel in 1911

pt studiul radiatiei

termice

ρ

Curba teoretica se

suprapune peste curba

experimentala in domeniul

fregventelor mari

ρ =C * *C

Rayleigh-Jeans

ρ

Curba teoretica reproduce

corect curba de distributie

a densitati spectrale in

domeniul fracventelor

mici.

ρ = * KT

Concluzie: -Toate legile radiatiei termice deduse experimental si teoretic in special

relatiile lui Rayleigh-Jeans si Wien nu satisfac fiecare in parte decat un domeniu

limitat al frecventelor radiatiilor emise de un corp negru.

-Trebuie cautata o teorie unitara(lege) care sa explice toate legile

determinate experimental in domeniile lor de valabilitate.

Ipoteza cuantelor: Legea lui Planck

Fizicianul german Max Karl Ludvig Planck a considerat ca formula pentru

densitatea spectrala de energie este:

unde E este energia medie a atomilor din perechile incintei, aflate la temperatura T.

Dar formula energiei folosite de Rayleigh nu este corecta, considerand ca aceasta

este mult mai generala.

Asadar, Planck pune sub semnul intrebarii legea echipartitiei energiei pe

grade de libertate enuntand “neobisnuita” ipoteza a existentei unor cuante finite,

discrete de energie , enunt facut in anul 1900.

Dupa Planck, atomii din perechile incintei, aflati in echilibu cu radiatia din

incinta, pot fi asimilati ca oscilatori armonici liniari, dar energia acestora poate fi

numai un muliplu intreg dee , adica; unde:

h

H=6,63 , considerate constanta lui Planck.

Calculand energia medie aceasta se obtine:

1

kT

h

C

hE

Cu aceasta Planck elaboreaza relatia care exprma densitatea spectrala de

energie care este verificata de curba experimentala pe tot spectrul de frecvente al

radiatiei termice

Formula dedusa de Planck contine drept cazuri particulare toate legile

clasice ale radiatiei termice.

In anul 1918 Max Planck a primit premiul Nobel pentru “descoperorea

cuantelor”. Descoperirea facuta de Planck a avut o importanta fundamentala nu

numai in dezvoltarea ulterioara a fizicii, ci si din punct de vedere fiziologic. Legile

naturii, formulate anterior, cum ar fi cele din mecanica newtoniana sau din

termodinamica, contineau asa-numitele constante referitoare la proprietatile

corpurilor la care trebuiau sa fie aplicate, neexistand constante care sa aiba

caracterul unei masuri universale.

Odata cu teoria lui Planck, care contine constanta denumita “cuantade

actiune Planck h” s-a introdus o anumita unitate de masura in natura.

Fenomenele fizice in care actiunile sunt mai mari decat constanta “h” se

desfasoara in mod fundamental astfel decat acolo unde actiunile sunt compatibile

cu cuanta de actiune.

La numai cinci ani dupa aceasta 1905, Enistein introduce in teoria

relativitatii restranse a noua constanta si anume viteza luminii in vid C. Desi viteza

luminii a fost cunoscuta cu mult inainte, rolul ei fundamental de masura in legile

naturii, a fost inteleasa abia odata cu teoria relativista a lui Enistein.

EFECTUL FOTOELECTRIC

Acest fenomen a fost descoperit experimental in anul 1888 de catre Heinrich

Rudolf Hertz, care a constatat ca suprafetele metalice iradiante cu radiatia

luminoasa ultravioleta, raze X sau radiatie (gama) emit particule cu sarcina

negative.

Fizicianul rus Stoletov (1890) a stability experimental legile efectului

fotoelectric. Instalatia experimentala folosita este cea prezentata in figura:

Printr-o fereastra de cuart unde electromagnetice cad pe suprafata cotodului

k. Electronii emisi de suprafata catodului k in urma efectului fotoelectric extern,

ajunge la anodul A si prin circuitul exterior apare un current “i” masurat cu

galvanometrul G. Cu ajutorul bateriei B si a reostatului R se stabileste diferenta de

potential.

Pentru o radiatie data dependenta curentului din circuitul exterior in functie

de diferenta de potential aplicata este data in figura:

Cercetarile experimentale au condus la urmatoarele concluzii:

Daca conditiile experimentale raman neschimbate (radiatia incidenta, materialul catodului, presiunea gazului din tub) atunci intensitateaa curentului electric prin circuit este proportionala cu intensitatea a radiatiei incidente.

Pentru un fotocatod dat, efectul fotoelectric are loc numai daca lungimea de unda a radiatiei incidente este mai mica decat o valoare numita “prag rosu” al efectului fotoelectric pentru catodul considerat.

sau

Raportul dintre intensitatea fotocurentului (i) si a fluxului de radiatie incidenta , in cazul unei incidente normale, este cu atat mai mare cu cat este mai

mare frecventa radiatiei care a produs efectul fotoelectric. Dependenta raportului

de frecventa pentru un catod dat se numeste spectrala a fotocatodului. Distributia fotoelectronilor dupa energie pentru un ftocatod dat si pentru o

compozitie spectrala data nu depinde de fluxul radiatiei incidente . Valoarea maxima a energiei cinetice a electronilor emisi de catod creste

liniar cu frecventa a radiatiei electromagnetice incidente pe catod.

Efectul fotoelectric apare practic instantaneu, odata cu inceperea iradierii cotodului, nu apare o intarziere mai mare de .

OBSERVATIE:

Teoria clasica a interactiunii undelor elecromagnetice (teoria ondulatorie a

radiatiei) cu substanta nu poate explica aceste legi obtinute experimental.

Pentru explicarea legilor experimentale ale efectului fotoelectric Albert

Einstein a emis in anul 1915, ipoteza ca lumina reprezinta un flux de “porti” de

energie , numite cuante de lumina sau fotoni care se emit si se absorb de catre

microsisteme ca un intreg (teoria fotonica a undelor electromagnetice).

Mecanismul de producere a efectului fotoelectric, dupa teoria fotonica este

urmatorul: electronul situate in interiorul metalului, absorbind fotonul intr-un

singur act de interactiune, energia sa cinetica creste cu cantitatea si devine

. Deplasandu-se spre suprafata cotodului electronul poate pierde pe drum

o parte din energia sa cinetica , prin diferite procese de interactie cu ceilalti

electroni ai catodului, si se apropie de suprafata acestuia cu energia

. Daca energia cinetica ramane suficient de mare, atunci electronul

poate parasii catodul cu energia cinetica unde

reprezinta lucrul de extractie

are valoare mica si se neglijeaza in comparatie cu ceilalti termini

Energia cinetica maxima pe care o au electronii se obtine pentru

extLhm 2

2

1 formula lui Einstein pentru efectul fotoelctric

Teoria fotonica da o explicatie calitative a efectului fotoelectric si legile sale

fundamentale, si anume:

Conformteoriei fotonice, fluxul de energie este unde N este numarul de fotonice cad pe unitatea de suprafata in unitatea de timp. Cresterea fluxului

deenergie, duce la cresterea numerica a densitatii fluxului de fotoni N si deci vor fi excitati mai multi fotoelectroni care parasesc fotocatodul ducand la cresterea curentului exterior ( )

Pentru ca fotonii sa poata comunica electronilor interiori, energie suficienta astfel incat acestia sa poata parasi suprafata fotocadului, energia nu trebuie sa fie mai mica decat energia minima , egala cu lucrul mecanic de extractie.

.

ceea ce explica constatarea ca .

Daca intre catod si anod se aplica o tensiune de franare o parte dintre electronii emisi de catod cu o energie cinetica mai mica, nu vor ajunge la anod si deci intensitatea curentului din circuit scade cu tensiunea de franare . Pentru o anumita valoare a tensiunii de franare nici un electron nu mai ajunge la anod si current i este zero.

este potentialul de iesire din catodul utilizat

Măsurând dependenţa tensiunii maxime de frânare US de frecvenţă υ a radiaţiei

monocromatice cu care este iluminat fotocatodul se obţine o dreaptă cu panta h/e.

US

Catod 1

Catod 2

α

υ

Robert Millikan efectuează în 1915 astfel de măsurători, obţinând concordanţe

perfecte cu teoria lui Einstein

Teoria unitară a câmpului electromagnetic

Ecuaţiile lui Maxwell

Câmpul electromagnetic ca existenţă a materiei, constă din câmpul electric şi

câmpul magnetic, care se condiţionează reciproc. Acţiunea câmpului

electromagnetic asupra sarcinilor electrice şi a curenţilor electrici ne permite

stabilirea mărimilor fizice care caracterizează câmpul electromagnetic.

Maxwell sintetizează noţiunile legate de fenomenele electrice şi de cele

magnetice şi pe baza unor ipoteze emite teoria unitară a câmpului electromagnetic.

Această teorie priveşte reprezentarea clasică a câmpului electromagnetic în cazul

mediilor aflate în repaus şi se exprimă riguros sub forma unui grup de ecuaţii

numite ecuaţiile lui Maxwell. Deoarece aceste ecuaţii cuprind toate legile de bază

ale câmpului electric şi magnetic ele se numesc ecuaţiile lui Maxwell. În cele ce

urmează vom analiza legile clasice ale câmpului electric şi ale câmpului magnetic ,

de la care s-a plecat în deducerea teoriei unitare.

5.1 Legile clasice ale câmpului electric

5.1.1. Legea lui Coulomb

Această lege dedusă pe cale experimentală ,de către Charles Augustin Coulomb , exprimă

interacţiunea dintre două sarcini electrice punctiforme aflate la o distanţă r una de alta. Expresia

matematică a acestei legi este:

unde: εo=8,86 10-12 F /m este o constantă universală reprezentând permitivitatea vidului;

εr este permitivitatea relativă a mediului în care se află sarcinile electrice; această

mărime ne arată de câte ori forţa dintre cele două sarcini este mai mică în mediu decât în vid.

Observaţii:

În calcule este mai comod să se folosească valoarea:

Forţa electrostatică este o forţă de tip central, deci lucrul mecanic efectuat de această forţă nu depinde de drumul urmat:

Dacă există un sistem finit de sarcini electrice punctiforme , forţa care acţionează asupra unei sarcini punctiforme de probă este suma vectorială a forţelor exercitate de fiecare sarcină în parte asupra sarcini probă.

Pentru un sistem de sarcini electrice uniform distribuite, pentru a calcula forţa ce acţionează asupra unei sarcini de probă se defineşte mai întâi densitatea de sarcină după cum urmează:

densitatea volumică de sarcină

densitatea superficială de sarcină

densitatea liniară de sarcină

înlocuind pe q2 pe rând cu expresiile sarcinilor totale se obţin relaţiile:

5.1.2. Intensitatea câmpului electric

Orice sarcină electrică creează în jurul său un câmp electric prin intermediul

căruia acţionează asupra altor sarcini vecine. Dacă o sarcină electrică de probă q 0

se află în vid ,distanţa r de sarcina punctiformă q , asupra sarcinii electrice de probă

acţionează forţa:

Pentru orice valoare a sarcinii de probă q0 raportul dintre forţă şi sarcina de probă

este un vector determinat de sarcina electrică q şi de distanţa r.

Raportul definit mai sus reprezintă intensitatea câmpului electric:

Observaţii:

Intensitatea câmpului electric se defineşte în fiecare punct din spaţiu şi este o mărime vectorială, deci câmpul electric este un câmp vectorial de intensităţii.

Intensitatea câmpului creat de o sarcină punctiformă într-un punct dat este:

Intensitatea câmpului electric produs de un sistem de sarcini punctiforme într-un punct este egală cu suma vectorială a intensităţilor elementare produse de fiecare sarcină în acel punct

Pentru un sistem uniform distribuit de sarcini , intensitatea câmpului produs într-un punct este:

5.1.3. Lucrul mecanic al forţelor electrice;

Potenţialul câmpului electrostatic.

Din expresia forţei electrostatice rezultă că aceasta este de tip central, forţă

conservativă , adică forţă care derivă dintr-un potenţial. Calculul lucrului mecanic

efectuat la deplasarea unei sarcini electrice q într-un câmp produs de o sarcină Q ,

din punctul 1 în punctul 2 pe o traiectorie oarecare este:

Calculăm raportul dintre lucrul mecanic efectuat şi sarcina electrică de probă

şi constatăm că acesta nu depinde decât de sarcina care produce câmpul ,de poziţia

iniţială şi poziţia finală a sarcini de probă

Notăm şi se numeşte potenţial electrostatic, cu aceste

notaţii obţinem:

sau

Dacă potenţialul punctului final 2 este zero, atunci potenţialul în punctul 1 este:

Adică, potenţialul într-un punct oarecare se determină ca lucrul mecanic efectuat

de forţele câmpului electric pentru deplasarea sarcinii electrice pozitive , egală cu

unitatea , din punctul respectiv în punctul în care potenţialul este zero. Punctul în

care potenţialul este zero este ales arbitrar şi de regulă se consideră că punctul de

potenţial zero se află la infinit.

Observaţie: În câmpul electrostatic lucrul mecanic nu depinde de forma

traiectoriei pe care se deplasează sarcina electrică q ,ci numai de poziţia punctului

iniţial 1 şi poziţia finală a punctului 2.

L1a2= L1b2

sau,

exprimând forţa cu ajutorul vectorului electric, relaţia devine:

această ultimă relaţie se poate transforma într-o integrală de suprafaţă folosind

teorema lui Stockes

rezultă deci , care arată că circulaţia vectorului electric de-a lungul

unei curbe închise este nulă. Câmpul electric este un câmp irotaţional.

Din analiza vectorială se ştie că dacă rotorul unei funcţii vectoriale este zero

atunci această funcţie se exprimă prin relaţia:

unde V este funcţia de potenţial sau potenţialul electrostatic.

Observaţie:

Conform acestei relaţii în fiecare punct al câmpului se poate defini un potenţial ; câmpul electrostatic este un câmp scalar de potenţiale.

Potenţialul creat de o sarcină punctiformă este.

Pentru un sistem finit de sarcini punctiforme potenţialul creat de acest sistem într-un punct este suma algebrică a potenţialelor elementare:

V= V1+V2+…Vk

Potenţialul produs intr-un punct de o distribuţie continuă de sarcină electrică se calculează cu relaţiile :

5.1.4. Fluxul electrostatic; Legea lui Gauss.

Se defineşte fluxul elementar al câmpului electrostatic ca fiind egal cu

produsul scalar dintre intensitatea câmpului electric şi un element de arie normat.

dS

unde: este normala la suprafaţă dS

suprafaţa elementară

vectorul electric

Modulul fluxului elementar se va scrie:

Fluxul total printr-o suprafaţă închisă se va scrie:

Pe baza definiţiei fluxului unui vector putem calcula fluxul vectorului prin

suprafaţa unei sfere de rază r , oarecare, în centrul căreia se află o sarcină electrică

punctiformă q.

Se poate demonstra că această concluzie obţinută pentru o suprafaţă sferică este

valabilă pentru suprafeţe de orice formă.

Fluxul vectorului printr-o suprafaţă închisă ,de orice formă este egal cu

suma algebrică a sarcinilor electrice din interiorul volumului limitat de suprafaţa

respectivă, împărţită la permitivitatea vidului.

Această, formulă reprezintă teorema lui Gauss, sub formă integrală.

Dacă în interiorul sferei închise S sarcinile electrice sunt distribuite

continuu, cu o densitate volumică de sarcină electrică ρ putem înlocui suma prin

integrală,

unde V este volumul limitat de suprafaţa închisă S. Pe baza formulei Gauss-

Ostrogradski putem scrie:

de unde rezultă:

această formulă reprezintă teorema lui Gauss sub formă diferenţială .

Observaţie:

dacă vom ţine seamă de următoarele relaţii.

rezultă:

relaţie cunoscută sub numele de ecuaţie Poisson. Rezolvarea acestei ecuaţii

diferenţiale permite calcularea potenţialului electrostatic al câmpului.

Dacă densitatea volumică de sarcină electrică este nulă în volumul considerat ecuaţia diferenţială devine:

cunoscută sub numele de ecuaţia lui Laplace.

Concluzie:

În cazul câmpului electrostatic se definesc două teoreme principale:

teorema circulaţiei vectorului electric şi teorema fluxului electrostatic, la care se

adaugă alte două relaţii ,una exprimă legătura dintre vectorul electric şi

potenţialul electrostatic ,cealaltă este ecuaţia lui Poisson:

Lucrul forţelor electrice; energia unui câmp electric

După cum se cunoaşte din mecanică, unui sistem de corpuri ce interacţionează prin

forţe conservative i se poate asocia o energie potenţială prin relaţia:

(I.40)

unde W este energia potenţială iar L este lucrul forţelor conservative. Evident, energia

potenţială este definită până la o constantă aditivă. Pentru a fixa această constantă

impunem condiţia: energia potenţială a unui sistem de sarcini electrice ce se află

depărtate între ele la distanţă foarte mare este 0. În aceste condiţii, energia potenţială a

unei configuraţii de sarcini este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele electrice

pentru a duce sistemul din configuraţia dată într-o configuraţie în care toate particulele se

află la distanţe foarte mari una de alta.

Fie un sistem de două sarcini electrice punctiforme. Ţinând cont de convenţia de mai sus

şi de formula:

rezultă:

Această relaţie se mai poate scrie şi astfel:

(I.41)

unde V1 este potenţialul creat de sarcina q2 în punctul în care se află sarcina q1 iar V2 este

potenţialul creat de sarcina q1 în punctul în care se află sarcina q2.

Formula (I.41) poate fi generalizată pentru un sistem de sarcini punctiforme,

rezultând:

(I.42)

Dacă sarcina electrică este distribuită în mod continuu, energia potenţială a

sistemului de sarcini va fi:

(I.43)

Fie o sarcină distribuită uniform pe o suprafaţă sferică de rază a şi o suprafaţă

gaussiană, Σi, de formă sferică, concentrică cu distribuţia de sarcină electrică, de rază r <

a. Datorită simetriei sferice, intensitatea câmpului electric, pe suprafaţa gaussiană, se

poate calcula cu ajutorul legii lui Gauss integrală (vezi formula (I.25)):

Din relaţia de mai sus rezultă:

Pentru a afla intensitatea câmpului într-un punct exterior distribuţiei de sarcină, se

alege o suprafaţă gaussiană de rază r > a. În conformitate cu legea lui Gauss, rezultă:

deci:

Fig. 34 Strat sferic de sarcină electrică

După cum se observă, intensitatea câmpului electric, la suprafaţa distribuţiei de sarcină,

suferă o discontinuitate.

Fig. 35 Câmpul electric al unei sarcini superficiale sferice

Este deosebit de important să se cunoască valoarea câmpului electric chiar pe

suprafaţa sferei de rază a.

Pentru a afla valoarea câmpului pe suprafaţa distribuţiei de sarcină, se porneşte de

la observaţia fizică conform căreia sarcina electrică nu poate să fie perfect superficială.

Să admitem că sarcina electrică este distribuită în mod uniform într-un strat de grosime r

<< a.

a

eE

0iEΣe

Γ

Σi

a

E(r)

r

Fig. 36 Strat sferic, de grosime r << a, încărcat cu sarcină electrică

Pe suprafaţa Σ, câmpul electric poate fi calculat cu legea lui Gauss:

Din condiţia r, x << a, rezultă:

Se constată că intensitatea câmpului electric, în interiorul stratului de sarcină

electrică, este o funcţie liniară de x. Valoarea medie a câmpului electric ce acţionează în

strat va fi:

Sarcina electrică ce se află pe unitatea de suprafaţă a sferei de rază a este .

Formula precedentă se scrie deci astfel:

(I.44)

Datorită existenţei câmpului de intensitate ES pe suprafaţa sferei, asupra sarcinii de

pe elementul de suprafaţă acţionează forţa:

Σ

x

a-r

a

x0

ρ

E

Această forţă tinde să mărească raza sferei. Pentru a micşora raza sferei de sarcină

cu dr, trebuie efectuat un lucru mecanic împotriva forţei electrice, de valoare:

Singurul efect al comprimării sferei este crearea, în stratul de grosime dr, a unui

câmp electric; în restul spaţiului câmpul rămâne nemodificat.

Lucrul mecanic poate fi exprimat, în funcţie de noul volum dV ocupat de câmp,

prin formula:

unde E este intensitatea câmpului electric în volumul de grosime dr.

Este firesc să admitem că energia mecanică, cheltuită prin efectuarea lucrului

mecanic dW, să fie înmagazinată în zona de câmp nou creată şi deci mărimea:

(I.45)

să reprezinte densitatea de energie a câmpului electric.

În cazul în care câmpul electric ocupă domeniul D, energia înmagazinată în câmp

va fi:

(I.46)

OPTICA GEOMETRICA

I. PRINCIPIILE ŞI LEGILE OPTICII GEOMETRICE

1.1. Noţiuni fundamentale

Tratarea riguroasă a propagării luminii este dată de modelul

ondulatoriu, bazat pe ecuaţiile lui Maxwell şi pe proprietăţile

undelor electromagnetice.

Multe probleme practice pot fi însă rezolvate mai simplu,

pe baza noţiunii de rază de lumină şi a legilor opticii

geometrice.

Raza de lumină, considerată ca un fir pe direcţia de propagare a luminii, este o

abstractizare ce rezultă prin neglijarea

volumului îngust prin care se propagă

lumina. Pentru obţinerea unui fascicul

cât mai îngust, care, la limită, când

Figura 1. 2

Figura 1. 1

fascicul divergent fascicul convergent

fascicul paralel

dimensiunea transversală a acestuia tinde spre zero, se apropie de noţiunea teoretică de

rază de lumină, se poate utiliza o diafragmă. În practică însă, utilizarea noţiunii este

limitată de fenomenul de difracţie, ce se produce la diafragmare; astfel, propagarea

luminii printr-o diafragmă de diametru D prezintă o abatere de la propagarea rectilinie

(figura 1.1), descrisă de unghiul ( este lungimea de undă a luminii). Noţiunea de

rază de lumină este corectă când 0, deci << D, sau la propagarea luminii în situaţii

în care se poate considera că 0.

Fasciculul de raze este mulţimea razelor de lumină care suferă acelaşi fenomen.

Un fascicul este omocentric (izogen, conic) când toate razele lui trec printr-un punct

(vârful fasciculului). Fasciculul este cilindric (paralel, telecentric) dacă vârful său se află

la infinit (figura 1.2).

Imagini

Problema majoră a opticii geometrice este cea a formării imaginilor unor obiecte

prin intermediul sistemelor optice. Să

considerăm situaţia din figura 1.3. Orice

corp (obiect) este alcătuit dintr-o

mulţime de puncte, care aparţin aşa-

numitului spaţiu obiect. Imaginea

obiectului, dată de sistemul optic este reprezentată de mulţimea punctelor

corespunzătoare celor care formează obiectul şi care fac parte din spaţiul imagine. Pentru

ca imaginea să reproducă exact obiectul, trebuie ca sistemul optic să realizeze o aplicaţie

biunivocă între punctele spaţiului obiect şi cele ale spaţiului imagine, adică fiecărui

punct din spaţiul obiect să-i corespundă unul şi numai unul din spaţiul imagine. Această

condiţie este numită stigmatism riguros. Punctul obiect şi imaginea sa se numesc puncte

conjugate. Deci, imaginea unui obiect este stigmatică dacă sistemul optic respectă

condiţia de stigmatism riguros, în caz contrar ea fiind o imagine astigmatică. Din punct

de vedere fizic, pentru ca un sistem optic să formeze imagini stigmatice, este necesar ca

Figura 1. 3

SISTEM OPTIC O I

spaţiu obiect spaţiu imagine

toate razele de lumină care pleacă dintr-un punct obiect şi trec prin acesta să se

întâlnească în acelaşi punct din spaţiul imagine, care este punctul imagine. În practică se

constată că nu există sisteme optice care să realizeze condiţia de stigmatism riguros dar se

acceptă un stigmatism aproximativ, în care imaginea unui punct obiect este nu un punct ci

un volum (deci mai multe puncte) din spaţiul imagine, cu condiţia ca dimensiunea acestui

volum să fie suficient de mică, în funcţie de tipul receptorului. Acest lucru este posibil

întrucât receptoruii optici (retina, emulsii fotografice, etc.) au o distribuţie discontinuă a

elementelor fotosensibile. Astfel, celulele fotosensibile din retină – conuri şi bastonaşe –

sunt dispuse la distanţe de ordinul a 5 m, iar cristalele fotosensibile din emulsii au între

ele distanţe ale căror valori determină rezoluţia emulsiei, exprimată prin numărul

elementelor fotosensibile pe unitatea de lungime.

Se demonstrează că se poate asigura condiţia

unui stigmatism aproximativ (cu aberaţii neglijabile)

în cazul aproximaţiei Gauss a fasciculelor paraxiale

(fascicule înguste, apropiate faţă de axa optică a

sistemului şi foarte puţin înclinate faţă de aceasta). În

continuare, cu excepţia cazurilor în care se va

specifica altfel, vom considera că lucrăm în condiţia

de stigmatism.

Imaginea unui punct este reală dacă ea se formează la intersecţia razelor propriu-

zise care pornesc de la punct; ea este virtuală dacă se formează la intersecţia prelungirilor

razelor care pornesc de la punctul respectiv (figura 1.4). O imagine reală este dată de un

fascicul convergent şi poate fi localizată pe un ecran, iar o imagine virtuală este produsă

de un fascicul divergent şi nu poate fi localizată pe un ecran.

1.2. Principiile fundamentale ale opticii geometrice

a) Principiul lui Fermat

Figura 1. 4

O I imagine reală

O I

imagine virtuală

Denumit şi principiul timpului minim, acesta este un principiu variaţional care

poate fi considerat postulat fundamental al opticii geometrice, din el rezultând celelalte

principii ale domeniului.

Fie un mediu omogen de indice de refracţie n şi două puncte A şi B aflate la

distanţa d pe direcţia unei raze de lumină. Prin definiţie, drumul optic L, de la A la B este

dat de produsul dintre lungimea d a drumului geometric şi indicele de refracţie n ( ,

unde c este viteza luminii în vid iar v este viteza luminii în mediul respectiv):

L = (AB) = nd (1. )

Drumul optic străbătut de lumină printr-un mediu într-un interval de timp dat este

egal cu drumul geometric străbătut de lumină în vid, în acelaşi interval de timp.

Dacă între A şi B o rază reală parcurge mai multe medii omogene diferite, atunci:

Pentru o rază infinit vecină,

Diferenţiala (variaţia) drumului optic între cele două drumuri optice este:

(1. )

Rezultatul de mai sus se poate generaliza pentru cazul unui mediu optic eterogen

(cu indice de refracţie variabil în mod continuu de la un punct la altul al mediului). În

acest caz, drumul optic între două puncte A şi B, situate la o distanţă geometrică d, se

calculează cu relaţia:

Considerând că variaţia indicelui de refracţie are loc chiar pe direcţia AB, relaţia

de mai sus se scrie sub forma: iar diferenţiala drumului optic pentru

traiectorii infinit apropiate are expresia:

(1. )

Timpul în care este parcursă distanţa d între punctele A şi B este:

(1. ) Principiul lui

Fermat se enunţă astfel:

Traiectoria reală a razei de lumină reprezintă o extremală a drumului optic, deci

drumul optic al razei de lumină este staţionar.

Matematic, acest lucru se exprimă prin condiţia ca, pentru traiectoria reală, L să

fie nul:

(1. )

sau

(1. )

Din principiul lui Fermat rezultă şi alte principii care stau la baza opticii

geometrice şi anume:

b) Principiul propagării rectilinii în medii omogene

Într-un mediu omogen, o rază de lumină se propagă în linie dreaptă.

Acest lucru derivă din principiul lui Fermat, deoarece drumul cel mai scurt, pe

care se va propaga o rază de lumină între două puncte, este segmentul de dreaptă ce le

uneşte.

c) Principiul reversibilităţii propagării luminii

O rază de lumină se propagă între două puncte pe aceeaşi traiectorie, indiferent de sensul de propagare.

Acest lucru derivă din faptul că extremala drumului optic este aceeaşi pentru

ambele sensuri de propagare.

d) Principiul independenţei propagării razelor de lumină

Razele de lumină provenite de la surse diferite sau de la puncte diferite ale

aceleiaşi surse nu se influenţează reciproc atunci când trec prin acelaşi punct.

Dacă razele s-ar influenţa, acest lucru ar duce la modificarea traiectoriei extremale

şi deci a timpului minim de propagare.

e) Legile fenomenelor de reflexie şi refracţie a luminii

La suprafaţa de separare dintre două medii optice diferite, o rază de lumină (raza

incidentă) suferă un proces de schimbare a direcţiei de propagare, întorcându-se în

mediul din care a venit (raza reflectată) sau trecând în cel de-al doilea mediu (raza

refractată).

Reflexia luminii este fenomenul de schimbare a direcţiei unei raze de lumină la

suprafaţa de separare dintre două medii optice diferite şi întoarcerea acesteia în mediul

din care a venit.

Să considerăm (figura 1.5) o rază de lumină care se propagă de la punctul P 1(0, 0,

z1) la punctul P2(0, y2, z2), reflectându-se

în punctul oarecare M(x, y, 0), aflat pe

suprafaţa de separare (xOy) dintre două

medii optice diferite.

Drumul optic parcurs de raza de

lumină este:

L = (P1MP2) = n1 P1MP2 = n1 (P1M + MP2) =

(1. )

Principiul lui Fermat cere ca: , deci:

Figura 1. 5

P1(0, 0, z1)

P1(0, y2, z2)

M(x, y, 0)

x

z

y O

Din relaţia de mai sus rezultă că x = 0, ceea ce înseamnă că punctul M se află în

planul (yOz), al razelor incidentă şi reflectată. Aceasta exprimă prima lege a reflexiei:

Raza incidentă, raza reflectată şi normala la suprafaţa de separare dintre cele

două medii, dusă în punctul de incidenţă, sunt în acelaşi plan (plan de incidenţă).

În condiţia x = 0, figura 1.5 se simplifică (figura 1.6). Atunci, drumul optic este:

iar principiul lui Fermat

duce la:

Deci sin i = sin r i = r , care reprezintă

a doua lege a reflexiei, enunţată astfel:

Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie.

Refracţia luminii este fenomenul de schimbare a direcţiei unei raze de lumină la

suprafaţa de separare dintre două medii optice diferite şi trecerea acesteia în cel de-al

doilea mediu.

Analog cazului reflexiei, să considerăm acum cazul refracţiei (figura 1.7), când

raza de lumină ce se propagă de la punctul

P1(0, 0, z1) la punctul P2(0, y2, z2) se refractă în

punctul M(x, y, 0), de pe suprafaţa de separare

dintre cele două medii optice diferite (punctele

P1 şi P2 se găsesc amândouă în planul yOz) .

Drumul optic este:

(1. )

Figura 1. 7

P1(0, 0, z1) P2(0, y2, z2)

M(x, y, 0)

z

y O

i r

Figura 1. 6

P1(0, 0, z1)

P2(0, y2, z2)

M(x, y, 0)

x

z

y O

Din condiţia , rezultă x = 0, ceea ce exprimă prima lege a refracţiei:

Raza incidentă, raza refractată şi normala la suprafaţa de separare dintre cele

două medii, dusă în punctul de incidenţă, sunt în acelaşi plan.

Din condiţia , rezultă:

n1sin i = n2sin r (1. )

ceea ce exprimă prima lege a refracţiei, care se mai poate scrie şi sub forma:

Raportul dintre sinusul unghiului de incidenţă şi cel al unghiului de refracţie este

egal cu raportul dintre indicele de refracţie al celui de-al doilea mediu şi cel al primului

mediu.

n21 se numeşte indice de refracţie relativ al primului mediu faţă de al doilea.

f) Reflexia totală (internă)

Să considerăm situaţia refracţiei la trecerea unei raze de lumină dintr-un mediu în

altul, când n2 < n1. Acest fapt implică r > i , Adică raza refractată se depărtează faţă de

normală (figura 1.8). Ca urmare, pe măsură

ce unghiul de incidenţă creşte, creşte şi

unghiul de refracţie, dar mai repede

decât unghiul de incidenţă, astfel încât,

pentru o anumită valoare a unghiului

de incidenţă, mai mică decât 90, se obţine r

= 90.

Unghiul limită este unghiul de incidenţă pentru care r = 90.

Figura 1. 8

i

r

i i n1

l

90 n2 < n1

(1. )

Pentru unghiuri de incidenţă mai mari decât unghiul limită (i > l), raza incidentă nu se

mai refractă ci revine în primul mediu, procesul care are loc fiind o reflexie fără pierderi

prin transmisie în cel de-al doilea mediu. Acest fenomen se numeşte reflexie totală

(internă).

g) Teorema Malus-Dupin

Această teoremă, numită şi principiul egalităţii drumurilor optice, afirmă că:

Indiferent de mediile optice străbătute, drumul optic dintre două suprafeţe de undă este acelaşi pentru toate razele unui fascicul.

(A1A2…An) = A’1A’2 …A’n)

Figura 1. 9

A’1 A’2 A’3 A’n-1

A’n

A1 A2 A3

An-1 An

II. SISTEME OPTICE REFLECTĂTOARE ŞI REFRACTANTE

II.1. Notaţii şi convenţii

Numim centru optic al unui sistem optic, punctul prin care orice rază de lumină

trece nedeviată. Orice dreaptă care trece prin punctul optic se numeşte axă optică.

Să considerăm o axă optică pe

direcţia şi în sensul de propagare a

luminii, având originea în centrul

optic al sistemului optic considerat

(figura 2.1).

Prin convenţie, pe axa optică Ox, spaţiul negativ este zona de unde vin razele de

lumină, de obicei în stânga desenului: xA < 0, R1 < 0; spaţiul pozitiv este zona unde

trec razele de lumină (sau prelungirile lor): xB > 0, R2 > 0.

Pe axa optică Oy Ox, se consideră pozitive segmentele care au sensul axei şi

negative cele care au sens opus.

Pentru unghiuri se ia semnul pozitiv pentru sensul direct trigonometric (faţă de axa

Ox) şi cel negativ pentru sensul invers trigonometric (orar) faţă de axa Ox (1 < 0, 2 < 0,

3 > 0).

II.2. Suprafeţe reflectătoare stigmatice

Fie A şi B două puncte conjugate, aflate în mediile cu indici de refracţie n1,

respectiv n2, separate de o suprafaţă oarecare, (S). (figura 2.2). Conform teoremei Malus-

Dupin, drumul optic

n1AI + n2IB = constant (2. )

oricare ar fi punctul I. Considerăm cazul când suprafaţa (S) este reflectătoare (numită în

mod obişnuit oglindă). La reflexie, raza AI revine în mediul iniţial (n2 = – n1), deci:

AI – IB = constant sau AI + IB = constant (2. )

după cum AI şi IB au acelaşi semn, respectiv semne contrare.

Figura 2. 1

2 3

y

R1

R2

1 x B O A

Cazul AI + IB = ct.

defineşte un elipsoid de

rotaţie cu focarele în

punctele A şi B (figura

2.3.a). Dacă unul din

focare se află la infinit,

elipsoidul degenerează

într-un paraboloid de

rotaţie (figura 2.3.b).

Cazul AI – IB = ct. defineşte un hiperboloid de rotaţie cu două pânze, dintre care

una corespunde unei oglinzi reale, cu focarele A şi B (figura 2.4).

Cazuri particulare:

- dacă focarele A şi B ale elipsoidului coincid, se obţine o oglindă sferică.

- Dacă AI – IB = 0, hiperboloidul degenerează într-un plan perpendicular pe axa AB,

plasat la distanţă egală de punctele A şi B (oglindă plană, figura 2.5).

Figura 2. 3

Figura 2. 2

I

A

a)

B

I

A

b)

B

I

A

a) - oglinda eliptică

B

I

A

b) - oglinda parabolică

(B) I

I

I

A B

Figura 2. 4

I

A B

Figura 2. 5

II.3. Suprafeţe refractante stigmatice. Dioptrul sferic

Condiţia (2.1) rezultată din teorema Malus-Dupin, cu semnele determinate de

convenţiile stabilite, defineţte locul geometric al punctelor I de forma unor suprafeţe de

revoluţie, numite ovalele lui Descartes.

Cazul n1AI + n2IB = 0 se reduce la o sferă (locul geometric al punctelor I pentru

care raportul distanţelor la două puncte fixe A şi B este

constant: ). Aceasta poartă denumirea de

dioptru sferic, element fundamental al sistemelor

stigmatice. În figura 2.6 sunt reprezentate elementele

dioptrului sferic. Astfel, V este vârful dioptrului, C –

centrul dioptrului, R – raza de curbură a dioptrului, CV

– axa optică principală a dioptrului; orice dreaptă care trece prin C este o axă optică

secundară a dioptrului.

II.3.1. Formula punctelor conjugate pentru dioptrul sferic

Să considerăm un dioptru sferic şi fie A şi B două puncte conjugate (obiect,

respectiv imagine), aflate pe axa

optică principală a dioptrului

(figura 2.7). Aplicând teorema

sinusurilor pentru triunghiurile

AIC şi BIC, se obţine:

Figura 2. 6

R V

C n1 n2

Figura 2. 7

h D

n1 n2

I

A(-x1, 0) B(x2, 0) V(0, 0) C(R, 0)

1 2

i

r

(2. )

În condiţia aproximaţiei gaussiene (AI AV = – x1, IB = VB = x2), rezultă:

(2. )

Prin împărţirea celor două relaţii, rezultă:

(2. )

sau . Înmulţind această relaţie cu , rezultă:

(2. )

Q se numeşte invariantul lui Abbé. Relaţia (2.6) se mai scrie:

(2. )

Relaţia (2.7) reprezintă prima formulă fundamentală a dioptrului sferic, numită şi

formula punctelor conjugate, unde se numeşte puterea de refracţie a

dioptrului.

II.3.2. Puncte şi plane focale ale dioptrului sferic

Focarele principale sunt punctele de pe axa optică principală în care converg

razele unui fascicul paraxial, paralel cu axa optică principală (focar real) sau

prelungirile acestor raze (focar virtual). Distanţa de la vârful dioptrului la focar se

numeşte distanţă focală.

Conform definiţiei de mai sus, rezultă că focarul reprezintă punctul a cărui

imagine se formează la infinit (focar obiect) sau imaginea unui punct situat la infinit

(focar imagine). De aici, rezultă că putem găsi distanţa focală a unui dioptru folosind

formula punctelor conjugate.

Astfel, pentru x1 – , rezultă:

(2. )

relaţie care exprimă distanţa focală a focarului imagine. Considerând R > 0, x2 este

pozitiv (focar real, figura 2.8.a) dacă n2 > n1 (dioptrul fiind, în acest caz un dioptru

convergent) şi, respectiv negativ (focar virtual, figura 2.8.b) dacă n2 < n1 (dioptrul fiind,

în acest caz un dioptru divergent).

Analog, pentru x2 , rezultă:

(2. )

relaţie care exprimă distanţa focală a focarului obiect. Cu aceeaşi condiţie ca mai sus, R >

0, x1 este negativ (focar real, figura 2.8.c) dacă n2 > n1 (dioptrul fiind, în acest caz un

dioptru convergent) şi, respectiv pozitiv (focar virtual, figura 2.8.d) dacă n2 < n1 (dioptrul

fiind, în acest caz un dioptru divergent).

Folosind expresiile distanţelor focale, formula punctelor conjugate se scrie:

(2. )

Figura 2. 8

a

F2

b

F2

c

F1

d

F1

Fasciculele paralele cu o axă optică secundară (sau prelungirile acestora) converg,

după trecerea printr-un dioptru, într-un focar secundar, situat pe axa optică secundară.

Locul geometric al focarelor secundare este în general o suprafaţă sferică concentrică cu

dioptrul; în cazul aproximaţiei gaussiene aceasta se reduce la un plan, perpendicular pe

axa optică principală, numit plan focal (figura 2.9). Evident, focarul principal se găseşte

la intersecţia dintre acest plan şi axa optică principală.

II.3.3. A doua formulă fundamentală a dioptrului sferic (formula măririi liniare

transversale)

Mărirea liniară transversală se defineşte

ca fiind raportul dintre dimensiunea transveraslă

y2 a imaginii şi dimensiunea transversală y1 a

obiectului.

(2. )

Figura 2. 9

plan focal imagine

F2

plan focal obiect

F1

C C

Figura 2. 10

A

y1 B -y2 V

x2

r

-x1

i

n1

B1

n2 A1

Să considerăm un obiect a cărui dimensiune transversală este y1, situat la distanţa –

x1; imaginea sa se formează în poziţia x2 şi are dimensiunea transversală – y2 (figura

2.10). Din desenul respectiv, rezultă:

de unde:

(2. )

Aceasta reprezintă a doua formulă fundamentală a dioptrului sferic (formula

măririi liniare transversale).

Folosind relaţiile (2.8), (2.9) şi (2.10), relaţia (2.12) se poate scrie sub forma:

(2. )

II.3.4. Invariantul Lagrange-Helmholtz

Se defineşte mărirea unghiulară a dioptrului ca fiind raportul dintre unghiurile de

înclinare 2 şi 1 faţă de axa optică ale razelor BI, respectiv AI (figura 2.7).

(2. )

Din figura 2.7 rezultă:

de unde: şi înlocuind în relaţia (2.12), rezultă: sau:

y2n22 = y1n11 = const. (2. )

Expresia yn const. La refracţie, în aproximaţia gaussiană, defineşte

invariantul Lagrange-Helmholtz.

II.4. Cazuri particulare de sisteme refractante

2.4.1. Dioptrul plan

Acesta este un caz particular de dioptru sferic, cu R . În această situaţie,

formula punctelor conjugate devine:

(2. )

iar formula măririi liniare transverale devine:

= 1 (2. )

ceea ce semnifică faptul că imaginea este dreaptă şi egală cu obiectul.

Observaţie: Pentru dioptrul sferic (şi plan), natura imaginii rezultă din condiţia:

x2 > 0 - imagine reală

x2 < 0 - imagine virtuală

În cazul dioptrului plan, pentru x1 < 0 (obiect real) rezultă x2 < 0 (imagine

virtuală) şi pentru x1 > 0 (obiect virtual), rezultă x2 > 0 (imagine reală), aşa cum se poate

vedea în figura 2.11.

Figura 2. 11

n1 n2

A B

imagine virtuală

n1 n2

A

B

imagine reală

2.4.2. Lama cu feţe plan-paralele

Lama cu feţe plan-paralele este formată din doi dioptri plani şi paraleli care separă

un mediu optic de alte două mediii optice exterioare (figura 2.12). Dacă n1 = n3, din legea

refracţiei, aplicată în punctele M şi N, adică ,

respectiv , rezultă că i = i’ (raza emergentă

din lamă este paralelă cu raza incidentă). Deplasarea

razei emergente faţă de cea incidentă este:

Deci:

(2. )

Se observă că deplasarea este proporţională cu grosimea e a lamei şi creşte odată

cu creşterea unghiului de incidenţă. = 0 pentru i = 0 şi = e pentru i = 90.

Dacă B este imaginea sursei A, distanţa obiect-imagine este dată de

, deci:

(2. )

În cazul incidenţei apropiate de cea normală (i r 0), se obţine:

(2. )

Figura 2. 12

n1

n2

A

B

i n3

i-r

i

D

i’

M

P

S

N

R r

D

e

2.4.3. Prisma optică

Prisma optică este un mediu transparent limitat de doi dioptri plani care formează

un unghi A (numit unghiul prismei). Dreapta de intersecţie a celor doi dioptri (feţele

prismei) se numeşte muchia prismei; orice plan perpendicular pe muchie determină o

secţiune principală a prismei (figura 2.13).

a) Refracţia luminii prin prisma optică

Legea refracţiei aplicată la intrarea şi respectiv ieşirea razei de lumină din prisma

aflată în aer are expresiile:

(2. )

Unghiul prismei se exprimă ca unghi exterior triunghiului DMN:

A = r1 + r2 (2. )

Unghiul de deviaţie, făcut de direcţia razei emergente, RE, cu direcţia razei

incidente, RI, este:

= (i1 – r1) + (i2 – r2) = i1 + i2 – A (2. )

În cazul propagării simetrice a razelor prin prismă (perpendicular pe bisectoarea

unghiului prismei), unghiul de incidenţă, i1 este

egal cu unghiul de emergenţă, i2.

i1 = i2 = i r1 = r2 = şi

min = 2i – A (2. )

Deci relaţia 2.8 exprimă valoarea

unghiului de deviaţie minimă. Demonstraţia

acestui rezultat se face punând condiţia .

; sin i2 = nsin r2

;

Figura 2. 13

n

i1

A

B

i2

D

M A

N

RI

r1 r2

RE

C

r1 + r2 = A

sin i1 = nsin r1 cos i1 = , deci

dacă i1 = i2 , r1 = r2.

La deviaţie minimă,

(2. )

Relaţia de mai sus permite determinarea practică a indicelui de refracţie al prismei

cunoscând unghiul prismei şi unghiul de deviaţie minimă. Pentru fascicule înguste, la

deviaţie minimă, prisma prezintă stigmatism şi, de aceea, toate aparatele cu prisme sunt

folosite la minimul de deviaţie sau cât mai aproape de acesta.

Pentru unghiuri mici ale prismei, i1 nr1 ; i2 nr2 şi = (n – 1)A deci

unghiul de deviaţie este proporţional cu unghiul prismei.

Condiţia de emergenţă a razelor din prismă este:

sin r2 < sin l = r2 < l

Din r2 = A – r1 rezultă r1 > A – l sin r1 > nsin (A – l) = sin i0, deci

sin (A – r1) < sin l . Din rezultă, în funcţie de unghiul de incidenţă, condiţia:

> i1 > i0 , sau:

1 > sin i1 > nsin(A – l) (2. )

Pentru i = i0, unde sin i0 = n(sinAcosl – sinlcosA) =

= , unghiul de deviaţie al prismei are o

valoare maximă dată de:

max =(i0 –r1) + (90 – l) = 90 + i0 – A (2. )

deoarece A = r1 + l.

Din (A – r1) < l , rezultă r1 > A – l şi sin i1 = nsin r1 > nsin(A – l)

La incidenţă razantă, i1 = , deci = sin l > sin (A – l) , deci condiţia de

emergenţă devine l > A – l , sau

A < 2l (2. )

b) Prisme speciale folosite în optică

Prisma cu reflexie totală înlătură pierderile de energie prin transmisie la reflexia totală

pe feţele prismei. Secţiunea principală a unei astfel de prisme este un triunghi

dreptunghic isoscel; pe feţele prismei, razele de lumină cad (figura 2.14) fie la incidenţă

normală, fie sub un unghi de incidenţă i > l

(având în vedere că unghiul limită la trecerea

din sticlă în aer este de 41).

Prismele cu viziune directă sunt formate

dintr-o combinaţie de prisme, astfel încât raza

mijlocie a spectrului vizibil să treacă nedeviată

prin sistem (figura 2.15). În cazul din figura

2.15.a, condiţia este 1 = 2 şi, pentru unghiuri mici, A1(n1 – 1) = A2(n2 – 1) , sau:

(2. )

Figura 2. 14

= 90 = 180

Figura 2. 15

n1

n2 n1

n2

a) b) A1

A2

n1

A1 A1

A2

Prismele cu deviaţie constantă se folosesc în construcţia monocromatoarelor şi a

spectrografelor cu prismă. Deviaţia este constantă pentru raza mijlocie a spectrului

vizibil. În figura 2.16 este prezentată prisma Abbé, prismă cu deviaţie constantă de 90.

Ea poate fi considerată ca o asociere de trei prisme cu

secţiunea principală triunghiuri dreptunghice, prima şi

ultima producând dispersii inverse şi a doua producând

numai o deviaţie a razelor prin reflexie totală.

În spectroscopie se foloseşte o mare diversitate de

prisme cu deviaţie constantă.

Figura 2. 16

30 90

30 45

II.5. Lentile subţiri. Sisteme de lentile

Lentila optică este un mediu transparent separat de exterior prin doi dioptri

neparaleli. După forma şi poziţia celor doi dioptri, lentilele se clasifică în două categorii:

- lentile convergente, care

transformă un fascicul paralel într-

unul convergent (constructiv,

letilele convergente sunt mai

groase la mijloc şi mai subţiri la

margini şi pot fi de trei feluri:

biconvexe, planconvexe,

meniscuri convergente)

- lentile divergente, care transformă

un fascicul paralel într-unul

divergent (constructiv, letilele

divergente sunt mai subţiri la mijloc şi mai groase la margini şi pot fi de trei

feluri: biconcave, planconcave, meniscuri divergente)

Figura 2.17 prezintă diferitele tipuri constructive din cele două categorii de lentile.

II.5.1. Formulele fundamentale ale lentilelor subţiri

Considerăm o lentilă dintr-un material cu indice de refracţie n, plasată în aer (naer =

1), ai cărei dioptri sferici au razele R1 şi R2 (figura 2.18). Distanţa dintre vârfurile celor

doi dioptri este d. Dacă această distanţă este mult mai mică decât razele de curbură ale

celor doi dioptri (d <<R1; d <<R2), lentila este o lentilă subţire.

Considerăm că este satisfăcută

condiţia ca lentila să fie subţire.

Aplicând formula punctelor

conjugate pentru cei doi dioptri,

rezultă:

Figura 2. 17

d

x1

x’2

x2

x’1

A B A’

(2. )

(2. )

Cum lentila este subţire, putem considera că d 0 şi atunci:

Ţinând cont de relaţia de mai sus şi adunând relaţiile (2.30) şi (2.31), rezultă:

(2. )

Relaţia (2.32) reprezintă formula punctelor conjugte a lentilelor subţiri. Pentru o

lentilă aflată într-un mediu cu indice de refracţie n’, ea devine:

(2. )

se numeşte convergenţa lentilei, ea reprezentând inversul distanţei focale, f, a

acesteia, obţinută din condiţia şi . C şi f sunt pozitive pentru

lentilele convergente şi negative pentru cele divergente.

Figura 2. 18

Pentru lentilele subţiri, focarele principale sunt plasate simetric faţă de lentilă şi, în

aproximaţia gaussiană, se află împreună cu focarele secundare în acelaşi plan (figura

2.19)

Aplicând formula măririi liniare transversale a dioptrului sferic pentru cei doi

dioptri ai lentilei, , în condiţia în care de o parte şi de alta a lentilei se

găseşte acelaşi mediu:

(2. )

Relaţia de mai sus reprezintă formula măririi liniare transversale a lentilelor

subţiri.

- dacă > 0, imaginea este dreaptă, iar dacă < 0 imaginea este răsturnată (faţă

de obiect);

- dacă > 1 , imaginea este mai mare decât obiectul, iar dacă < 1,

imaginea este mai mică decât obiectul.

Figura 2. 19

C F

F’

plan focal

a) lentilă convergentă - focare reale

C F

F’

plan focal

b) lentilă divergentă - focare virtuale

II.5.2. Construcţia imaginilor în lentile subţiri

De obicei, construcţia imaginilor se face folosind două raze particulare, al căror

drum este cunoscut, alese dintre următoarele:

- o rază provenind de la obiect, pe direcţia centrului optic al lentilei; şi care,

după trecerea prin lentilă, nu este deviată de la direcţia iniţială;

- o rază provenind de la obiect, paralelă cu axa optică principală şi a cărei

direcţie, după trecerea prin lentilă, trece prin focarul principal imagine;

- o rază provenind de la obiect, pe direcţia focarului obiect şi care, după trecerea

prin lentilă, are direcţia paralelă cu axa optică principală;

- o rază provenind de la obiect, paralelă cu o axă optică secundară şi a cărei

direcţie, după trecerea prin lentilă, trece printr-un focar secundar, aflat la

intersecţia axei optice secundare respective cu planul focal imagine.

Imagini în lentile convergente

Construcţia acestor imagini se poate vedea în figura 2.20, iar în tabelul 2.1 sunt

date caracteristicile imaginilor în funcţie de poziţia obiectului.

Tabel 2.1

Obiect Imagine

A1 real B1 reală răsturnată mai mică decât obiectul

Figura 2. 20

A4

B4

F’

A3

B1

A1

B3

A2

B2

F

F’

A2 real B2 reală răsturnată mai mare decât obiectul

A3 real B3 virtuală dreaptă mai mare decât obiectul

A4 virtual B4 reală dreaptă mai mică decât obiectul

Imagini în lentile divergente

Construcţia acestor imagini se poate vedea în figura 2.21, iar în tabelul 2.2 sunt

date caracteristicile imaginilor în funcţie de poziţia obiectului.

Tabel 2.2

Obiect Imagine

A1 real B1 virtuală dreaptă mai mică decât obiectul

A2 virtual B2 reală dreaptă mai mare decât obiectul

A3 virtual B3 virtuală răsturnată

II.5.3. Asociaţii de lentile subţiri

Lentile acolate (alipite)

Considerăm două lentile centrate

(cu axa optică principală comună), ca în figura

2.22.

Aplicând formula lentilelor pentru lentilele

(1) şi (2), rezultă:

Figura 2. 21

A3 B1

A1

B3

A2 B2

F F’ F

F’

- y’2

y1

-x’1 x’2 x2 -x1

A

A’

(2) B y2

(1)

d

d = x’2 – x’1 = 0 x’2 = x’1 . Rezultă:

(2. )

Relaţia de mai sus se poate generaliza pentru un sistem de mai multe lentile,

convergenţa echivalentă a sistemului fiind , adică:

Convergenţa echivalentă (inversul distanţei focale echivalente) a unui sistem de

lentile subţiri alipite este egală cu suma convergenţelor (inverselor distanţelor focale) ale

lentilelor sistemului.

Mărirea liniară transversală a sistemului rezultă astfel:

(2. ) În general, pentru

un sistem de mai multe lentile, mărirea liniară transversală a sistemului este ,

adică:

Mărirea liniară transversală a unui sistem de lentile subţiri alipite este egală cu

produsul măririlor liniare transversale ale lentilelor sistemului.

Sisteme afocale de lentile

Sistemele afocale sunt acele sisteme optice la care un fascicul paralel incident,

după traversarea sistemului rămâne paralel şi are aceeaşi direcţie.

Condiţia ca un sistem de două lentile, L1 şi L2 să fie afocal (telescopic) este ca

distanţa d dintre lentile să îndeplinească condiţia:

d = f1 + f2 - pentru un sistem format din două lentile convergente

d = fconv – fdiv - pentru sistem dintr-o lentilă convergentă şi una

divergentă

Figura 2. 22

Mersul razelor printr-un sistem afocal este reprezentat în figura 2.23.

Pentru un sistem afocal, mărirea este dată de relaţia:

(2. )

care rezultă din asemănarea triunghiurilor haşurate în figura 2.23.

II.6. Oglinzi sferice. Oglinzi plane

2.6.1. Formulele fundamentale ale oglinzilor sferice. Focare, plane focale

Oglinzile sferice sunt dioptri sferici

reflectători; dacă faţa reflectătoare este

concavă (R < 0), oglinda se numeşte concavă,

iar dacă faţa reflectătoare este convexă

oglinda se numeşte convexă (R > 0).

Figura 2. 24

Figura 2. 23

L1

y1

y2

L2

F1

F2

a)

F1

L1

y1 y2

L2

F2

b)

F1

L1

y1 y2

L2

F2

c)

F1

- R

R

C

C

F

F

V

V

oglindă concavă (R < 0)

oglindă convexă (R > 0)

Formulele oglinzilor sferice rezultă din cele ale dioptrului sferic, în condiţia n2 = –

n1 , datorată faptului că razele de lumină revin prin reflexie în mediul iniţial. Astfel, se

obţine:

(2. )

Relaţia (2.38) reprezintă formula punctelor conjugate, unde este distanţa

focală, inversul convergenţei (oglinzile au un singur focar principal). De asemenea, se

obţine:

(2. )

relaţia reprezentând formula măririi liniare transversale.

Formulele oglinzilor sferice sunt valabile cu o

aproximaţie suficient de bună, în cazul

aproximaţiei gaussiene.

Oglinzile concave au focare reale, focarul

principal şi focarele secundare aflându-se într-un

plan focal aflat la jumătatea distanţei dintre

centrul şi vârful oglinzii (figura 2.25), în

condiţiile aproximaţiei gaussiene.

Oglinzile convexe au focare virtuale,

focarul principal şi focarele secundare aflându-se

într-un plan focal aflat la jumătatea distanţei

dintre centrul şi vârful oglinzii (figura 2.26), în

condiţiile aproximaţiei gaussiene.

2.6.2. Construcţia imaginilor în oglinzi

sferice

La construcţia imaginilor în oglinzi sferice se folosesc cel puţin două din

următoarele raze particulare:

- o rază având direcţia ce trece prin centrul oglinzii (incidentă normală pe

oglindă), care se reflectă pe direcţia iniţială;

- o rază paralelă cu axa optică principală care, după reflexie are o direcţie care

trece prin focarul principal;

- o rază incidentă a cărei direcţie trece prin focarul principal şi care, după

reflexie are o direcţie paralelă cu axa optică principală;

- o rază paralelă cu o axă optică secundară care, după reflexie are o direcţie care

trece prin focarul secundar al axei respective (situat la intersecţia acesteia cu

planul focal);

Figura 2. 26

Figura 2. 25

C

a.o.s.

F’

F

V

a.o.p

plan focal

C

a.o.s.

F’

F

V a.o.p

plan focal

Construcţia imaginilor în oglinzi concave se poate vedea în figura 2.27, iar în

tabelul 2.3 sunt date caracteristicile imaginilor în funcţie de poziţia obiectului.

Tabel 2.3

Obiect Imagine

A1 Real B1 reală răsturnată

A2 Real B2 virtuală dreaptă

A3 Virtual B3 reală dreaptă

Construcţia imaginilor în oglinzi convexe se poate vedea în figura 2.28, iar în

tabelul 2.4 sunt date caracteristicile imaginilor în funcţie de poziţia obiectului.

Tabel 2.4

Obiect Imagine

A1 real B1 virtuală dreaptă mai mică decât obiectul

A2 virtual B2 reală dreaptă mai mare decât obiectul

A3 virtual B3 virtuală răsturnată

Figura 2. 27

C

F

V

A1

A2

B1

B2

F

V

A3 B3

C

F

V

A1

A2 B1

B2

F

V

A3

B3

Figura 2. 28

2.6.2. Oglinzi plane

Acest tip de oglidă reprezintă un caz particular de oglindă sferică, a cărei rază de

curbură tinde spre infinit (R ).

Formulele oglinzilor plane au atunci expresiile:

x2 = – x1 ; = + 1 (2. )

Din analiza acestor formule, rezultă că imaginea unui obiect, formată într-o oglindă plană

este simetrica obiectului faţă de planul oglinzii şi deci ea este dreaptă şi egală cu obiectul.

Oglinda plană dă imagini virtuale (x2 > 0) pentru obiecte reale (x1 < 0, figura 2.29.a) şi

imagini reale (x2 < 0) pentru obiecte virtuale (x1 > 0, figura 2.29.b)., aşa cum se poate

vedea în figura 2.29.

Figura 2. 29

b) a)

A1

B1

A’1

B’1

A2

B2

A’2

B’2

Principiile mecanicii clasice

Menţionate în parte de către Galileo Galilei, principiile mecanicii clasice au

fost formulate pentru prima oară de Issac Newton, care le-a numit "Axiomele" sau

"Legile mişcării" în celebra sa carte „Phylosophiae naturalis principia

mathematica”. De la început ţinem să menţionăm că denumirea de corp utilizată în

formularea acestor principii trebuie înţeleasă în sensul de punct material.

1.3.1 PRINCIPIUL INERŢIEI

Are următorul conţinut:

„Un corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă

atât timp cât nu intervine o forţă care să-i modifice această stare”.

Observaţie:

1. Principiul inerţiei conduce la definirea forţei: numai pe seama interacţiunii

sistemelor materiale se poate transmite mişcarea de la un corp la altul. În mecanica

clasică, mărimea fizică vectorială care măsoară interacţiunea sistemelor materiale

se numeşte forţă.

2. Principiul inerţiei serveşte la definirea reperului (sistemul de referinţă) inerţial.

Ca o consecinţă a principiului inerţiei, starea de mişcare rectilinie şi uniformă a

punctului material, împreună cu cazul său particular - starea de repaus relativ se

numesc stări inerţiale.

Reperul în care orice punct material se găseşte în mişcare rectilinie şi

uniformă sau în repaus este un reper inerţial.

1.3.2. PRINCIPIUL ACŢIUNII FORŢEI

Al doilea principiu al mecanicii cunoscut sub numele de principiul

fundamental se enunţă astfel:

„Variaţia mişcării este proporţională cu forţa motoare imprimată şi este

dirijată după linia dreaptă în lungul căreia este imprimată forţa”. Având în vedere

că mişcarea mecanică este măsurată prin intermediul impulsului

variaţia mişcării se va măsura prin variaţia impulsului în timp.

Ca urmare expresia matematică a legii a doua se va scrie:

Observaţii:

1. Această lege mu este o relaţie de definiţie a forţei, ci o axiomă, de altfel forţa

este definită de principiul întâi al mecanicii.

2. Considerând masa constantă în timp relaţia de mai sus se scrie: , aceasta

este considerată „ecuaţia fundamentală a mecanicii"

Folosind definiţia acceleraţiei

relaţia devine

sau faţă de un sistem de referinţă cartezian putem scrie trei relaţii scalare de forma:

Acest sistem de trei ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea permite calcularea

coordonatelor şi componentelor vitezei prin integrare.

Sistemul are soluţie unică dacă sunt date condiţiile iniţiale (dacă este

cunoscută starea mecanică iniţială a corpului)

avem sau

sau

Soluţia generală a sistemului se obţine prin integrarea ecuaţiilor diferenţiale cu

coeficienţi constanţi

unde constantele sunt constante de integrare care se determină din

condiţiile iniţiale ale problemei.

Determinarea stării mecanice a punctului material la un moment dat se face

conform schemei ce reprezintă determinismul mecanicii clasice; arată în fiecare

moment modul cum s-a desfăşurat mişcarea anterior momentului şi cum se

desfăşoară în continuare.

Starea iniţială F starea finală

ecuaţia fundamentală

În condiţii fizice date un punct material evoluează prin stări fizice compatibile cu

starea iniţială, parametrii corespunzători fiind soluţii ale ecuaţiei diferenţiale

(traiectoriile sunt unic determinate).

3. Newton a completat legea a doua prin următorul corolar „Un corp sub acţiunea

a două forţe unite descrie diagonala unui paralelogram în acelaşi timp în care

descrie laturile sub acţiunile separate ale forţelor”.

Acest corolar atestă independenţa acţiunii forţelor postulând valabilitatea

principiului suprapunerii efectelor.

Corolarul I este numit principiul independenţei acţiunilor forţelor sau principiul

paralelogramului, deoarece postulează atât independenţa acţiunii forţelor cât şi

valabilitatea regulii paralelogramului. Matematic acesta se va scrie:

4. Dacă forţele aplicate punctului material au rezultanta nulă, punctul material este

în echilibru:

sau

1.3.2.1. Aplicaţii la principiul al doilea

- mişcarea în câmp gravitaţional;

- mişcarea oscilatorie armonică amortizată forţat.

1.3.3. PRINCIPIUL ACŢIUNILOR RECIPROCE

Al treilea principiu al mecanicii are următorul conţinut:

„La orice acţiune corespunde întotdeauna o reacţiune egală şi contrară”

sau:

„acţiunile reciproce a două corpuri sunt întotdeauna egale şi dirijate în

sensuri contrare”

Observaţii:

1. Legea a treia exprimă dualismul forţelor din natură: apariţia unei acţiuni este

însoţită simultan de reacţiunea sa egală şi direct opusă.

2. Acţiunea şi reacţiunea nu se echilibrează reciproc deoarece se aplică la

puncte materiale diferite. Această ultimă formulare exprimă un echilibru formal

(fictiv) între forţele de interacţiune.

1.3.4. PRINCIPIUL RELATIVITĂŢII CLASICE

Se enunţă astfel:

„Dacă legile mecanicii newtoniene sunt valabile într-un sistem de referinţă

inerţial dat, ele vor fi valabile în orice sistem de referinţă care se mişcă

rectilinii! şi uniform faţă de primul.”

Localizarea poziţiei,respectiv, determinarea mişcării unui obiect în spaţiu, fiind

posibilă prin raportarea acestuia la un sistem de referinţă convenabil ales, se pune

problema stabilirii relaţiilor de dependenţă dintre mărimile ce caracterizează

poziţia respectiv mişcarea obiectului, într-un sistem de referinţă şi cele care

rezultă în urma trecerii la un alt sistem de referinţă.

1.4.3.PRINCIPIUL CELOR MAI MICI CONSTRÂNGERI

Considerăm un sistem dinamic olonom ale cărui puncte materiale au poziţiile

la un moment dat şi sunt solicitate de forţa rezultantă se poate defini

constrângerea prin relaţia:

K.F. Gauss enunţă acest principiu sub forma:

„Constrângerea unui sistem fizic este minimă pentru mişcarea reală a unui

sistem de puncte materiale, faţă de constrângerea la mişcările posibile din

punct de vedere cinematic al sistemului”.

Matematic această afirmaţie se postulează prin:

APLICAŢII LA PRINCIPIILE VARIAŢIONALE DIFERENŢIALE

1.4.4 PRINCIPIUL LUI HAMILTON

Acest principiu face parte din principiile integrale ale mecanicii analitice care

postulează proprietăţile unor expresii integrale, din care rezultă ecuaţiile de

mişcare. Este un principiu variaţional, adică exprimă proprietăţile de extrem ale

unei funcţii.

Principiul lui Hamilton are următorul enunţ:

„În cazul unui sistem dinamic olonom-reonom şi conservativ cu f grade de libertate,

a cărui funcţie de stare (funcţia Lagrange) conţine

explicit timpul, integrala de acţiune(acţiunea hamiltoniană)

luată între poziţia iniţială a sistemului de puncte materiale şi poziţia sa finală pe

drumul mişcării reale a sistemului, are valoarea staţionară în raport cu acţiunile

corespunzătoare unor drumuri compatibile cu legăturile care s-ar efectua de către

sistem între aceleaşi poziţii iniţială şi finală, corespunzătoare aceloraşi momente de

timp”. Formularea matematică este:

Observaţii:

1. Principiul lui Hamilton este un principiu fundamental deoarece poate fi extins,

prin alegerea adecvată a funcţiei lui Lagrange şi la mecanica relativistă şi la

mecanica cuantică.

2. Max Planck consideră principiul lui Hamilton ca prima lege a naturii.

3. Calculul acţiunii S presupune cunoaşterea funcţiei Lagrange şi de asemenea

cunoaşterea drumului de integrare.

4. Funcţia lui Lagrange se defineşte prin relaţia L=EC- U.

1.4.5. PRINCIPIUL MINIMEI ACŢIUNI( Principiul lui Maupertuis)

Acest principiu a fost stabilit de Maupertuis în anul 1745 în lucrarea "Les lois du

mouvement et du repos deduites d' un principe metaphysique". El şi-a formulat

acest principiu direct, fară alte demonstraţii ştiinţifice, afirmând că,de câte ori se

produce mişcarea unui sistem în natură, sistemul considerat trebuie să lucreze

astfel încât integrala produsului dintre masă, viteză şi spaţiu pe intervalul de spaţiu

şi de timp dintre două poziţii succesive date,să fie minimă. Cantitatea (mvs) fiind

numită acţiune a dat numele principiului. Acest principiu s-a dovedit a fi un caz

particular al principiului lui Hamilton pentru sisteme conservative(energia şi

funcţia Lagrange nu depind de timp. Din expresiile energiei totale şi a funcţiei

Lagrange rezultă:

Se exprimă funcţia Lagrange, care se introduce apoi în expresia principiului lui

Hamilton.

rezultă

Variaţia acţiunii se va scrie

sau

Observaţii:

1. Dacă se consideră un sistem de puncte materiale în echilibru, deci, la care

rezultanta foiţelor aplicate Fk, a foiţelor de legătură exterioare Nk şi a forţelor de

legătură interioare NH este nulă, lucrul mecanic corespunzător va fi nul.

Ţinând seamă de prima formulare a principiului deplasărilor virtuale, rezultă o a

doua formulare a acestuia, şi anume:

„Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem de puncte materiale să se afle în

echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe date, este ca lucrul mecanic

virtual al acestor forţe corespunzător deplasărilor virtuale să fie nul.”

2. Un caz particular al principiului lucrului mecanic virtual este principiul lui

Toricelli, care corespunde cazului în care forţele exterioare se datorează exclusiv

greutăţii proprii a acestor puncte materiale.

Notăm cu mi masa unui punct material oarecare al sistemului şi cu zi cota sa;

principiul lucrului mecanic virtual se va scrie:

În cazul echilibrului unui sistem de puncte materiale, centrul de greutate al acestuia

ocupă o poziţie extremă.

3. O altă observaţie se referă la faptul că în unele aplicaţii principiul lucrului

mecanic virtual este înlocuit cu principiul vitezelor virtuale.

Vom prezenta în continuare aceste principii urmărindu-se aplicarea lor în

rezolvarea problemelor de mişcare şi stabilirea unor ecuaţii de mişcare.

PRINCIPIUL SUPRAPUNERII STĂRILOR

Un principiu de bază al mecanicii cuantice este principiul

suprapunerii stărilor care constă din următoarele:

Dacă un sistem cuantic se găseşte în stările cuantice 1 şi 2

cărora le corespund funcţiile de undă 𝚿1 , 𝚿2 , atunci sistemul

respectiv se poate găsi şi într-o stare cuantică descrisă de funcţia de

undă:

𝚿=C1𝚿1+C2𝚿2

unde C1 şi C2 sunt constante ce reprezintă amplitudinile undelor de Broglie

corespunzătoare acestor stări.

ECUAŢIA DE CONTINUITATE DE MECANICĂ CUANTICĂ

După cum se ştie densitatea de probabilitate este dată de:

W=|𝚿|2=𝚿𝚿*

Funcţia de undă 𝚿 şi densitatea de probabilitate variind cu

coordonatele spaţiale şi cu timpul o vom considera ca densitatea unui fluid

de probabilitate care se scurge într-un domeniu dat. Fluidul de probabilitate

satisface ecuaţia de continuitate pe care o vom stabili, folosind ecuaţia lui

Schredinger temporală, pentru funcţia de undă 𝚿 şi funcţia complex

conjugată 𝚿*.

-h2/2m𝚫𝚿+v𝚿=- |𝚿*

-h2/2m𝚫𝚿*+v𝚿*=- 𝚿* |𝚿*

Înmulţind prima ecuatie cu -𝚿* şi a doua cu 𝚿 şi adunându-le membru cu

membru obtinem:

h2/2m(𝚿*𝚫𝚿-𝚿𝚫𝚿*)= (𝚿* +𝚿𝜕𝚿*/𝜕t)= (𝚿𝚿*)

(𝚿𝚿*)=(ih/2m0)𝛻(𝚿*𝛻𝚿-𝚿𝛻𝚿*)

Introducând notaţia =h/2m0(𝚿*𝛻𝚿-𝚿𝛻𝚿*) unde este vectorul densitate

flux de probabilitate. +𝛻 =0 reprezintă ecuaţia de continuitate în

mecanica cuantică şi este analogă ecuaţiei de continuitate din mecanica

clasică. Rezultă că densitatea de probabilitate în mecanica cuantică verifică o

lege de conservare.

Dacă Wm=m0|𝚿|2=m0𝚿𝚿* şi m=m0 ; având semnificaţia de densitate

masivă şi densitate flux de masă, atunci 𝜕Wm/𝜕t+ m=0 reprezintă ecuaţia

de conservare a masei în mecanica cuantică. Dacă W0=oW=o|𝚿|2=o(𝚿𝚿*)

şi 0=o , unde W0 este densitatea de sarcină electrică , iar 0 vectorul

densitate de curent electric , obţinem ecuaţia: Generalizând principiul pentru

un sistem care se poate găsi în (n) stări cuantice, putem scrie: 𝚿=C1𝚿1+C2𝚿2+....+Cn𝚿n

REPREZENTAREA MĂRIMILOR FIZICE PRIN OPERATORI

În cazul mecanicii cuantice , fiecărei mărimi fizice îi corespunde un

operator care posedă anumite proprietăţi. Pin operator se înţelege totalitatea

operaţiilor matematice indicate de simbolul matematic respectiv şi care

aplicat asupra unei funcţii o lasă neschimbat , iar funcţia se înmulţeşte cu o

constantă. Operatorul se notează cu Ô.

PROPRIETĂŢI

1. Un operator se numeşte liniar dacă are următoarele proprietăţi:

a. Ô(𝚿1+𝚿2+....+𝚿n)=Ô𝚿1+Ô𝚿2+...+Ô𝚿n

b. Ô(C𝚿)=CÔ𝚿unde 𝚿1,𝚿2,....𝚿n sunt funcţii de undă , iar C o constantă arbitrară.

Presupunem că dacă aplicăm operatorul C asupra funcţiei de undă obţinem

funcţia 𝚿 multiplicată cu o constantă 𝜆 Ô𝚿=𝜆𝚿

Dacă funcţia 𝚿 este continuă , univocă , finită pe tot domeniu de definiţie

şi se anulează la infinit , atunci valorile parametrului 𝜆 sunt tocmai valorile

ale operatorului Ô , iar funcţiile corespunzătoare sunt funcţii proprii.

Totalitatea valorilor proprii ale operatorului Ô formează spectrul

operatorului respectiv, care poate fi discret sau continuu.

2. Operatorii pentru care avem satisfăcută egalitatea

(Ô𝚿)dv= (Ô𝚿*)*dv

se numesc operatori hermitici sau autoadjuncţii ; unde Ô* este operatorul

complex conjugat al lui Ô , iar dv este elementul de volum din domeniul

D.

Doi operatori hermitice Ô1 şi Ô2 care admit funcţii proprii comune

sunt comutativi sau dacă doi operatori hermitici comută între ei , admit

funcţii proprii comune.

Considerând 𝚿 funcţia proprie comună , 𝜆1 valoarea proprie a

operatorului Ô1 şi 𝜆2 valoarea proprie a operatorului Ô2 putem scrie:

Ô1𝚿=𝜆1𝚿 , Ô2𝚿=𝜆2𝚿Avem egalitatea:

Ô1Ô2𝚿=Ô1(Ô2𝚿)=𝜆2(Ô2𝚿)=𝜆2𝜆1𝚿

Ô2Ô1𝚿=Ô2(Ô1𝚿)=𝜆1(Ô2𝚿)=𝜆1𝜆2𝚿rezultă că

Ô1Ô2𝚿 =Ô2Ô1𝚿Introducând comutatorul

[Ô1Ô2]=Ô1Ô2-Ô2Ô1

putem scrie:

(Ô1Ô2𝚿-Ô2Ô1𝚿)=(Ô1Ô2-Ô2Ô1)𝚿=[Ô1Ô2]𝚿=0

EXEMPLU DE OPERATORI

a) Operatorul coordonatei spaţiale =( ; ; )

Acest comutator are semnificaţia unei înmulţiri cu cordonata spaţială

q=(x,y,z)

𝚿=q𝚿 b)Operatorul impuls ( x; y; z)

Acest operator este definit de relaţia:

= 𝛻=-ih𝛻unde 𝛻 este operatorul “nabla”.

Să demonstrăm în continuare acest lucru: să considerăm funcţia de undă:

𝚿( ,t)=Ae [(pxx+pyy+pzz)-wt]

Observăm că acţiunea operatorului -ih𝜕/ox asupra funcţiei 𝚿 o

multiplică cu px

-ih𝜕/𝜕x*𝚿( ,t)=px𝚫oi/h(pr-wt)=px𝚿( ,t)

Putem scrie că operatorul

x=-ih𝜕/𝜕x

este operatorul proiecţiei impulsului pe axa Ox şi în acelaşi mod se definesc

ceilalţi operatori corespunzători componentelor impulsului

y=-ih𝜕/𝜕z ; z=-ih𝜕/𝜕z

iar operatorul impuls este

= x y z =-[( 𝜕/𝜕x)+( 𝜕/𝜕y)+( 𝜕/𝜕z)]

=-ih𝛻Între operatorul coordonate spaţiale şi operatorul proiecţiilor impulsului există

relaţii de comutare

[ x]=( x- x )𝚿=x 𝜕𝚿/𝜕x - 𝜕/𝜕x (x𝚿)=- 𝚿.

sau - = - 𝚿analog vom avea relaţiile:

Sau in general putem scrie:

[ ]=iℏ

Această ultimă relaţie reprezentând forma operaţională a relaţiilor de

nedeterminare ale lui Heisenberg.

c) Operatorul moment cinetic

În mecanica clasică, momentul cinetic al unei particule fată de un punct O,

considerat ca origine a sistemului de referinţă se defineste prin:

Avînd componentele pe cele trei axe carteziene

În mecanica cuantică, în corespondenţă cu aceste trei relaţii, se definesc operatorul

moment cinetic şi componentele momentului cinetic pe axele de coordonate, prin

relaţiile:

pe componente

Aceşti operatori acţionează in spaţiul coordonatelor carteziene x, y, z. În cazul unor

mişcări în câmpuri cu simetrie sferică, operatorii momentului cinetic se exprimă în

funcţie de coordonatele sferice r, ϴ, φ prin relaţiile:

Aceşsti operatori definiţi mai sus se numesc operatori ai momentului cinetic orbital

deoarece sunt importanţi în descrierea mişcărilor orbitale atomice. Operatorii

momentului cinetic sunt operatori hermitici deoarece sunt definiţi prin intermediul

unor operatori hermitici.

În studiul momentului cinetic orbital sunt importanţi şi operatorul

momentului cinetic definit prin:

precum şi operatorii:

Evaluăm comutatorii momentului cinetic:

[

sau

Deci putem scrie relaţiile:

sau cu notaţia sişi folosind simbolul lui Levi-Civita:

Unde unde (p) este proprietatea permutării dacă indicii sunt egali.

În schimb, operatorii coordonatelor momentului cinetic comută cu operatorul

pătratului momentului cinetic [ ]=0

Observaţie

O stare poate fi caracterizată simultan prin toate componentele momentului

cinetic, dar este determinată de cunoasterea pătratului momentului cinetic (

d)Operatorul energie

Pornind de la relaţia de definiţie a energiei cinetice din mecanica clasică

În mecanica cuantică corespunde operatorul energie cinetică

sau

Operatorul energiei totale se poate deduce în felul următor:

Se aplică operatorul iℏ funcţiei de undă 𝚿(

iℏ

Deci operatorul energiei totale este:

Operatorul hamiltonian este dat de relaţia:

unde este operatorul energiei potenţiale care depinde de coordonatele spaţiale x,

y, z şi de timp t; V=V(x,y,z).

Ţinînd seamă de expresia operatorului energiei totale, ecuaţia lui

Schrodinger forma temporală se va scrie sub forma:

Iar dacă se foloseşte forma atemporală

Rezultă

Valori medii ale marimilor fizice observabile

Pornind de la caracterul probabilistic al funcţiei de undă şi de la unele

analogii cu fizica statistică se poate arăta că în mecanica cuantică sunt permise

determinarea valorilor medii ale mărimilor fizice observabile prin valorile medii

ale operatorilor corespunzători.

Notând cu mărimea fizică respectivă şi cu operatorul liniar hermitic

asociat ei, operator care acţionează asupra funcţiei de undă , prin definiţie,

valoarea medie a mărimii fizice O(<e>) este dată de relaţia:

<O>=

Dacă funcţia de undă este normată , se obţine:

<O>=

Calculăm în cele ce urmează câteva valori medii:

Valoarea medie a coordonatei de poziţie:

<q>= =

<x>= =

<y>= =

Valoarea medie a operatorului impuls

< = analog

< =

Valoarea medie a energiei cinetice T

<

Valoarea medie a energiei totale

<

Rezonanţa în circuitul RLC paralel

Fie circuitul RLC paralel din figura 204.

Din condiţia de rezonanţă se deduce că:

BL=BC

Înlocuind expresiile susceptanţelor se obţine pentru perioada de rezonanţă formula

(IV.38) care a fost obţinută şi pentru circuitul RLC serie.

Considerând expresiile tensiunii şi curentului ca la circuitul RLC serie, obţinem pentru

intensitatea efectivă următoarea expresie:

De obicei, se obişnuieşte, să se facă următoarele notaţii:

GC=C/L numită susceptanţa caracteristică şi

δ=G/GC numit factor de atenuare.

Intensitatea efectivă a curentului ce trece prin condensator este dată de relaţia:

Se constată că intensitatea efectivă prin capacitate creşte liniar cu frecvenţa.

Intensitatea efectivă prin inductanţă are expresia:

Constatăm că intensitatea efectivă prin inductanţă are o dependenţă hiperbolică de

frecvenţă.

Înlocuind în cele două intensităţi expresia frecvenţei de rezonanţă constatăm că, la

rezonanţă, cele două intensităţi sunt egale:

Reprezentarea grafică a dependenţelor celor trei intensităţi de pulsaţie este dată în figura

214.

Fig. 214. Dependenţele intensităţilor efective din circuitul RLC paralel de pulsaţie.

Defazajul dintre intensitatea curentului electric şi tensiune este dată de relaţia:

Reprezentarea grafică a dependenţei defazajului de pulsaţie este dată în figura 215.

Fig. 215. Dependenţa defazajului de pulsaţie în circuitul RLC paralel.

Constatăm că la rezonanţă defazajul dintre intensitatea curentului electric şi tensiune este

zero.

Rezonanţa în circuitul RLC paralel este cunoscută sub denumirea de rezonanţa curenţilor.

Energia înmagazinată în câmpul electric şi magnetic este o constantă la rezonanţă. Pentru

a demonstra acest lucru să considerăm circuitul serie RLC.

0 ωωr

Ic

IL

I

ω

φ2

ωr

Considerând intensitatea curentului electric dată de relaţia:

şi tensiunea pe condensator dată de relaţia:

Energia înmagazinată în interiorul câmpului magnetic este dată de relaţia:

iar energia înmagazinată în câmpul electric:

Energia totală înmagazinată în câmpul electric şi magnetic va fi:

Cum, la rezonanţă,

rezultă:W=LIL2,deci energia totală înmagazinată în câmpurile electrice şi magnetice nu depinde

de timp.

Aplicaţii

Problema 4. 1.

În apropierea circuitului oscilant 1 există circuitul scurtcircuitat 2. Rezistenţele bobinelor

se consideră neglijabile, inductivităţile L1 egală cu 3mH, L2 egală cu 2mH, M egal cu 1mH iar

capacitatea condensatorului C=0,1 μF.

Să se calculeze pulsaţia de rezonanţă a circuitului.

AI I1

Ic

I2

U C

B

M

Fig. 216. Referitor la problema 4. 1.

Pentru rezolvarea acestei probleme vom folosi metoda reprezentării complexe a

mărimilor alternative.

Aplicând teorema a II-a a lui Kirchhoff circuitului în scurtcircuit şi circuitului AL1BA se

obţine:

Rezolvând sistemul prin substituţie, se obţine:

şi

Curentul total I este:

Pentru ca să fie în fază cu trebuie ca Ir (componenta reactivă) să fie zero. Dar,

deoarece: , condiţia Ir=0, devine sau

;

unde:

Rezonanţa în circuitul RLC serie

În circuitele de curent alternativ se poate crea o stare astfel încât să nu avem un transfer

de putere reactivă. O astfel de stare se numeşte rezonanţă.

Din condiţia de rezonanţă rezultă că, la rezonanţă, reactanţa circuitului serie respectiv

susceptanţa circuitului paralel sunt zero.

Fie circuitul RLC serie din figura 206. Tensiunea de la bornele acestuia precum şi

intensitatea curentului electric ce trece prin el sunt date de relaţiile:

Din condiţia de rezonanţă rezultă că:

XL=XC

Scriind expresiile reactanţelor, putem determina pulsaţia de rezonanţă:

Din această formulă rezultă perioada semnalului de rezonanţă:

(IV.38)

După cum ştim, intensitatea curentului electric prin circuitului electric RLC serie este

dată de formula:

Reprezentarea grafică a intensităţii efective de pulsaţie este dată în figura 211.

Fig. 211. Dependenţa intensităţii efective de pulsaţie în circuitul RLC serie

Tensiunea efectivă ce cade la bornele inductanţei este dată de relaţia:

De obicei se fac următoarele notaţii:

I

ωωr

RC=L/C numită rezistenţa caracteristică şi

d=R/RC numit factor de atenuare.

Tensiunea ce cade la bornele capacităţii este dată de relaţia:

Înlocuind în ultimele două relaţii pulsaţia cu pulsaţia de rezonanţă se constată că

tensiunile efective pe inductanţă şi capacitate devin egale între ele:

UL=UC=U/d

Reprezentarea grafică a dependenţelor tensiunilor efective pe inductanţă şi capacitate de

pulsaţie sunt reprezentate în figura 212.

Fig. 212. Dependenţa tensiunilor efectivede pe inductanţă şi capacitate de pulsaţie,

în circuitul RLC serie.

Defazajul dintre tensiune şi curent în cazul circuitului RLC serie este dat de relaţia:

Reprezentând grafic dependenţa defazajului de pulsaţie obţinem graficul din figura 213.

UL

ω0

ωC ωR ωL

UCU

Fig. 213. Dependenţa defazajului de pulsaţie în circuitul RLC serie.

Se constată că, la rezonanţă, defazajul între intensitate şi tensiune este nul.

Rezonanţa din circuitul RLC serie este cunoscută sub denumirea de rezonanţă a

tensiunilor.

Sistemul de puncte materiale cu un număr foarte mare de

constituenţi

Lumea pe care o cunoaştem cu ajutorul simţurilor noastre este formată din obiecte macroscopice,

adică mari în comparaţie cu dimensiunile atomice şi care conţin foarte mulţi atomi şi molecule

în mişcare. Această lume este enorm de variată şi de complexă, cuprinzând gaze, lichide , solide

şi organisme biologice de forme şi compoziţii cele mai diverse.

În acest capitol dorim să cercetăm modul în care câteva concepte unificatoare ale teoriei

atomice pot duce la înţelegerea comportării obiective a sistemelor macroscopice, în ce fel sunt

corelate mărimile care descriu proprietăţi direct măsurabile ale acestor sisteme şi cum pot fi

deduse aceste mărimi din cunoaşterea caracteristicilor atomice.

Cunoaşterea sistemelor macroscopice compuse din foarte multe particule cere, în primul

rând ,formularea de noi concepte, capabile să rezolve această complexitate. Aceste concepte

bazate în ultimă instanţă pe cunoaşterea legilor fundamentale ale fizicii microscopice, trebuie să

urmărească următoarele scopuri :

să pună în evidenţă parametrii cei mai utili în descrierea sistemelor macroscopice;

ω

φ2

ωr

-

să ne permită să deosebim uşor caracteristicile esenţiale şi regularităţile prezentate de aceste sisteme;

să ne înarmeze cu metode relativ simple, capabile să prezinte cantitativ proprietăţile acestor sisteme.

Un sistem complicat alcătuit dintr-un număr enorm de mare de particule în mişcare dezordonată ,

reprezintă un sistem termic. Starea unui astfel de sistem nu poate fi determinată , ca starea

oricărui sistem mecanic, urmărind mişcarea fiecărei particule, căci ar trebui să integrăm un

număr enorm de mare de ecuaţii diferenţiale (≈1027 ecuaţii) ale mişcării particulelor. Chiar dacă

acest lucru ar fi posibil tehnic, tot nu ne-ar fi de folos, deoarece legile sistemelor termice se

referă la valorile medii ale parametrilor de stare.

Studiul mişcării termice a sistemelor formează domeniul Termodinamicii şi al mecanicii

statistice, deosebirea dintre cele doua discipline constă numai în metodele folosite pentru

cercetare. Termodinamica studiază proprietăţile generale ale sistemelor termice, pornind de la

două principii experimentale ,fără să ţină seama de structura moleculară. Mecanica statistică

studiază sistemele termice pornind de la structura lor moleculară şi folosind calculul statistic.

Mecanica statistică vine să completeze studiul mişcării termice a sistemelor ţinând seamă

în mod explicit de structura sa microscopică.

Cu ajutorul mecanicii statistice , avem posibilitatea să explicăm toate proprietăţile

macroscopice de echilibru ale sistemelor pe baza structurii sale microscopice, de asemenea

putem deduce atât ecuaţiile de stare cât şi dependenţa constantelor de material de parametrii

microscopici.

În mecanica statistică se consideră că orice sistem macroscopic este format dintr-un

număr foarte mare de particule N , care ocupă volumul V. Deoarece atât numărul de particule

cât şi volumul ocupat de acestea au valori foarte mari ( N≈1023 molecule, V≈1023x volumul unei

molecule), se poate trece la limită , adică

N→∞ şi V→∞

Astfel încât volumul specific

să aibă întotdeauna o valoare finită.

Vom studia în continuare , din punct de vedere statistic, numai sistemele aflate în stări de

echilibru, ca şi trecerea lor dintr-o stare de echilibru în altă stare de echilibru.

Starea macroscopică; sistem termodinamic

Prin termenul de stare macroscopică sau macrostare vom descrie aproape sistematic o

stare de echilibru termodinamic , aceasta fiind un exemplu reprezentativ de stare macroscopică.

Conceptul de stare de echilibru esre în acelaşi timp destul de general în cadrul fizicii

macroscopice deoarece în descrierea stărilor de echilibru, termodinamica foloseşte parametrii

macroscopici xI ( de exemplu volumul V, numărul de particule N, vectorul de polarizare P,

vectorul de magnetizare M, etc.) , dar şi parametrii noi cu caracter universal pentru stările de

echilibru termodinamic( energia internă U, entropia S, temperatura T) nedefiniţi la alte capitole

ale fizicii ,care crează pentru parametrii xI un nou statut, adoptându-i ca parametrii

termodinamici cu o semnificaţie distinctă, fapt ce îmbogăţeşte şi precizează semnificaţia acestora

în cadrul general al fizicii macroscopice.

Exemplu: Termodinamica face o distincţie între tensorii coeficienţilor elastici izoterm şi

adiabatic, între susceptibilitatea electrică ( magnetică) izotermă şi cea adiabatică. La o asemenea

distincţie nu se poate renunţa decât dacă efectele termice sunt neglijabile.

Starea microscopică; Formalismul lui Hamilton;

Sistemele fizice ale căror proprietăţi macroscopice sunt studiate de termodinamică au o

structură microscopică complexă fiind formate dintr-un număr mare de obiecte microscopice.

Prin termenul de stare microscopică vom descrie starea unui sistem de particule aşa cum este

definită în cadrul mecanicii clasice sau mecanicii cuantice.

În cazul unui sistem de puncte materiale, starea mecanică la un moment dat este

determinată de componentele vectorilor de poziţie şi impulsurilor la acel moment , ale tuturor

particulelor sistemului:

În cazul formulării lui Hamilton evoluţia stărilor este descrisă local (momentan sau la

momentul t) de ecuaţiile canonice ale lui Hamilton.

Cunoaşterea stării mecanice X la un moment dat permite prin integrarea ecuaţiilor

canonice să se determine starea unică X(t) la orice moment (t). Mulţimea tuturor stărilor X(t)

care satisface ecuaţiile canonice şi în acelaşi timp condiţiile iniţiale x0(t=0, X=0) se numeşte

orbita stării mecanice X şi se notează cu Ox

Fiecare stare mecanică se reprezintă în spaţiul fazelor printr-un punct, numit punct

reprezentativ , iar evoluţia stării mecanice se reprezintă prin orbita stării mecanice , care are ca

imagine în spaţiul fazelor o varietate uniparametrică de puncte, o curbă care se numeşte

traiectoria punctului reprezentativ.

Ansamblul statistic; densitatea de probabilitate

Descrierea stărilor macroscopice şi a stărilor microscopice arată că între aceste tipuri de

stări nu poate exista o corespondenţă biunivocă deoarece în timp ce cunoaşterea stării

microscopice duce în mod univoc la cunoaşterea stării macroscopice, o stare macroscopică

dată este compatibilă cu un număr dat de stări microscopice.

Să luăm ca exemplu ,presiunea ca parametru macroscopic care la echilibru are o valoare

constantă bine determinată. Din punct de vedere microscopic presiunea apare ca efect mediat al

tuturor ciocnirilor moleculelor cu pereţii vasului. Poziţiile şi vitezele moleculelor se schimbă

neîncetat, deci şi stările microscopice ale sistemului cu toate că efectul lor la scară macroscopică,

presiunea, rămâne constantă. Cunoscând însă, valoarea presiunii nu putem ştii . la un anumit

moment , care din stările microscopice se realizează, adică care sunt poziţiile şi vitezele

moleculelor la acest moment.

Stare

macroscopică

Caracterizată de

Stare microscopică,

caracterizată de

coordonate şi viteze

Concluzia este că, fixarea stării macroscopice nu permite nici pe departe determinarea unei

anumite stări microscopice. O varietate enormă de stări microscopice este compatibilă cu valorile

fixe ale parametrilor termodinamici, deci cu starea macroscopică de echilibru termodinamic.

Acceptând completitudinea descrierii separate a stărilor macroscopice şi a stărilor

microscopice, fizica statistică de echilibru abordează problema raportului dintre stările

macroscopice şi stările microscopice pe baza unei presupuneri fundamentale definitorie pentru

întreaga fizică statistică şi pe deplin confirmată: pentru o stare macroscopică de echilibru , stările

microscopice se realizează cu probabilităţi complet determinate de starea macroscopică, adică de

valoarea parametrilor de stare, corespunzătoare stării de echilibru.

Starea macroscopică nu determină separat stări microscopice ale sistemului

macroscopic, reprezentat acum ca format din constituenţi microscopici , ci probabilităţi cu care

aceste stări se realizează în cadrul stării macroscopice a sistemului.

La baza cuplării dinamicii clasice cu concepţia fizicii statistice se află conceptul

operaţional numit ansamblu statistic virtual sau colectiv virtual .Acest concept a fost sugerat

de Boltzmann şi de Einstein şi definit complet de către Gibbs.

Scopul acestui concept operaţional de ansamblu statistic virtual din fizica statistică este

definirea probabilităţilor (densităţilor de probabilitate) cu care se realizează stările microscopice

Stare microscopică,

caracterizată de

coordonate şi viteze

Stare microscopică,

caracterizată de

coordonate şi viteze

ale unui sistem aflat într-o anumită stare macroscopică; cu ajutorul acestui concept operaţional

se defineşte semnificaţia fizică , obiectivă, legică a acestor probabilităti.

Colectivul virtual reprezintă o mulţime mare de N sisteme, fiecare cu acelaşi spaţiu al

fazelor şi cu aceeaşi funcţie Hamilton corespunzătoare aceleiaşi stări macroscopice. Deoarece

sistemele sunt presupuse mecanice , colectivul de microstări este o mulţime de stări mecanice

sau echivalent o mutţime de puncte reprezentative din spaţiul fazelor corespunzătoare aceleiaşi

stări macroscopice.

Distribuţia microstărilor, a punctelor reprezentative ale acestora în spaţiul fazelor, este

complet determinată de starea macroscopică a sistemului.

Se obţine aceeaşi distribuţie a punctelor reprezentative în spaţiul fazelor, de câte

ori sistemul revine în aceeaşi stare macroscopică.

Fie D un domeniu mic din spaţiul fazelor şi fie N(D) numărul punctelor reprezentative situate în

domeniul D, din ansamblul celor N puncte reprezentativedin spaţiul fazelor corespunzătoare aceleiaşi

stări macroscopice.

Raportul N(D)/N , este cu atât mai stabil cu cât numărul N este mai mare, având

practic aceeaşi valoare, dacă starea macroscopică este aceeaşi.

Relaţia,

P(D,t)=

reprezintă probabilitatea de localizare ,la momentul considerat t, a microstărilor în domeniul D,

adică probabilitatea ca o stare microscopică la un moment dat a unui sistem microscopic ales la

întâmplare din ansamblu să fie situată într-un domeniu D.

La rândul ei limita raportului dintre această probabilitate P(D,t) şi volumul (D) al

domeniului D din spaţiul fazelor, când D devine din ce în ce mai micşi este centrat pe punctul

repreyentativ P(x), defineşte densitatea de probabilitate , în punctul reprezentativ P la momentul

t,

(P(x),t)=(x,t)

relaţia de definiţie a densităţii de probabilitate se va scrie:

Observaţii:

1. Trebuie considerată mai întâi limita şi apoi limita , deoarece în caz contrar raportul de mai sus poate deveni zero.

2. Cum densitatea de probabilitate a microstărilor inaccesibile sistemului este prin definiţie nulă, rezultă că ansamblul virtual este complet descris de densitatea de probabilitate pe spaţiul fazelor.

3. Densitatea de probabilitate pe spaţiul fazelor descrie complet un nou tip de stare şi anume starea statistică, care este starea ansamblului.

4. Prin construcţie (x,t) are proprietăţile generale ale unei densităţi de probabilitate, adică ,putem scrie:

această ultimă relaţie reprezintă condiţia de normare a densităţii de probabilitate.

5. Cu ajutorul densităţii de probabilitate (x,t) se pot construi mediile pe ansamblul statistic, la momentul t, ale funcţiilor dinamice F(x) sau F(x,t)

Aceste medii generalizează mediile aritmetice ale valorilor funcţiei F(x) identificate pe sistemele

ansamblului.