difuzia convectivsa

33 .. DD II FF UU ZZ II AA CC OO NN VV EE CC TT II VV ĂĂ

Transferul de particule convectiv, respectiv prin difuzie turbulentă, implică

transportul de substanţă (masă) între o suprafaţă şi un fluid în mişcare sau, în general, între două fluide nemiscibile, aflate in mişcare relativă.

Mecanismul transferului de masă convectiv implică atât un transfer de masă prin difuzie moleculară prin stratul de fluid stagnant, cât şi un transfer de masă prin stratul de fluid în mişcare. Dacă curgerea este turbulentă, există o deplasare a unor particule transversal pe liniile de curent, care accelerează transferul de substanţă.

Difuzia convectivă are loc în sensul reducerii diferenţei de concentraţie. Depunerea particulelor pe suprafeţe prin difuzie convectivă este de o

importanţă fundamentală pentru funcţionarea echipamentelor de curăţare a gazelor, precum scrubere sau filtre, cât şi pentru sistemele de măsurare a aerosolilor, ca bateriile de difuzie şi anumite filtre. Difuzia convectivă contribuie la curăţarea din atmosferă a particulelor fine cu ajutorul picăturilor de ploaie, cât şi la îndepărtarea acestora prin depunerea pe suprafeţele vegetaţiei. Are însă şi un efect nociv, fiind un important mecanism de depunere a particulelor în plămâni. Dimensiunile particulelor pentru care difuzia convectivă este eficace depind de câmpul vitezei şi al forţelor exterioare. În general, dimensiunile acestor particule sunt mai mici de un micron.

Mişcarea brownină este cu atât mai rapidă, cu cât vâscozitatea fluidului este mai mică şi temperatura mai înaltă, nedepinzând de natura substanţei din care sunt alcătuite particulele, [1]. După cum s-a aratat, intensitatea mişcării browniene creşte pe măsura descreşterii dimensiunilor particulelor. Ca rezultat, eficienţa colectării prin difuzie, pentru particule mai mici de 0.5 µm, creşte cu descreşterea mărimii particulelor, fenomen ce stă la baza unor dispozitive de curăţare a gazelor, mai eficiente pentru îndepărtarea particulelor de dimensiuni foarte mici.

Pentru deducerea ecuaţiei difuziei convective se porneşte de la ecuaţia difuziei deduse anterior şi se ia în considerare efectul curgerii. Pentru particule punctiforme ( 0=pd ), rata difuziei convective poate reieşi din teorie sau din

experimente, deoarece, conform criteriului Schmidt, au acelaşi ordin de mărime. De menţionat că, numărul sau criteriul Schmidt (Sc) reprezintă raportul dintre difuzivitatea moleculară a impulsului şi difuzivitatea moleculară a masei. Criteriul Schmidt este analog criteriului Prandtl din transferul de căldură prin convecţie, [2].

Pentru difuzia particulelor, se face o distincţie de teoria obişnuită a difuziei convective, datorită condiţiilor la limită, care impun concentraţii nule la o distanţă de o rază a unei particule, faţă de suprafaţă. Acest lucru are un efect important

Difuzia convectivă 87

asupra gradului de depunere a particulelor şi cauzează greutăţi considerabile în teoria matematică. Formularea matematică poate fi simplificată prin includerea razei particulei în condiţiile la limită ale difuziei.

Coeficienţii de difuzie ai particulelor sunt mici în comparaţie cu vâscozitatea cinematică a unui gaz (numere Schmidt mari), deci regiunea de curgere a gazului aproape de suprafaţă, de la care fiecare particulă este încetinită este, de obicei, foarte îngustă. În această regiune îngustă, concentraţia stratului limită este foarte importantă pentru transportul particulelor şi este analizată în detaliu în continuare.

Prezenţa unui câmp de forţe exterioare are un efect major asupra transportului particulelor. Exemple practice importante implică termodifuzia şi transportul electric, combinate cu curgerea şi difuzia.

3.1. Ecuaţia difuziei convective

Uneori este posibil de prevăzut rata de depunere prin difuzie, prin analiza ecuaţiei difuziei convective. Ecuaţia difuziei convective se deduce asemănător cu ecuaţia difuziei staţionare, pornind de la un volum elementar de fluid, fixat în spaţiu (figura 2.2). Prin acest volum curge gaz, transportând mici particule aflate în mişcare browniană.

Viteza de variaţie a numărului de particule transportate prin curgere, din interiorul volumului elementar ce intră prin suprafaţa ABCD este, [3]:

( )

∂

∂⋅

δ−⋅δδ

x

nuxnuzy

2

(3. 1)

unde n este concentraţia particulelor (numărul pe unitatea de volum) şi u este viteza pe direcţia x .

Viteza de variaţie a numărului de particule transportate prin curgere, din interiorul volumului elementar, ca urmare a parăsirii volumului prin suprafaţa opusă este:

( )

∂

∂⋅

δ+δδ

x

nuxnuzy

2

(3. 2)

Viteza de variaţie a numărului de particule din interiorul volumului elementar, ca urmare a curgerii pe direcţia x este:

x

nuzyx

∂

∂⋅δδδ−

(3. 3)

Analog, se obţin expresiile şi pentru celelalte patru feţe. Însumând pentru toate cele trei direcţii, acumularea netă de particule în

volumul elementar este:

DISPERSIA PARTICULELOR POLUANTE 88

vr

nzyxz

nw

y

nv

x

nuzyx ⋅∇δδδ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂⋅δδδ−

(3. 4)

Acumularea netă de particule în volumul elementar zyx δ⋅δ⋅δ ,luând în considerare curgerea, difuzia şi câmpul de forţe extern, este obţinută prin însumarea celor trei efecte:

( )nnDzyxnzyxt

zyxncvrr

−∇⋅⋅∇δδδ+⋅∇δδδ−=∂

δδδ∂

(3. 5)

unde D este coeficientul de difuzie şi c este viteza de deplasare a particulei, rezultată din câmpul forţelor exterioare.

Împărţind ambele părţi prin δxδyδz şi ţinând seama că 0=⋅∇ vr

, pentru un fluid incompresibil, ecuaţia devine:

nnDnt

ncvrr

⋅∇−∇=∇⋅+∂

∂ 2

(3. 6)

atunci când coeficientul de difuzie este constant. Acest rezultat este valabil pentru aerosolii monodispersaţi şi polidispersaţi. În

cazul polidispersiei, n este mărimea funcţiei de distribuţie, iar D şi cr

depind de mărimea particulei. Aglomerarea şi creşterea sau evaporarea nu sunt luate în considerare; acestea sunt prezentate într-un capitol următor.

Valorile lui D şi cr

sunt determinate de maniera prezentată în capitolul anterior. Viteza de curgere a gazului, v

r, este determinată de regimul hidrodinamic

al fluidului. De fapt, dacă cr

este viteza particulei, vr

este viteza relativă a particulei urmărite în deplasare, în raport cu celelalte molecule. În unele cazuri, v

r

este obţinut prin rezolvarea ecuaţiilor pentru mişcarea fluidului (ecuaţiile Navier – Stokes), [4,5] În multe cazuri, cum ar fi transportul în atmosferă şi în dispozitive complexe de curăţare a gazelor, pot fi necesare date experimentale pentru distribuţia vitezei gazului. În acest capitol, distribuţiile de viteză sunt introduse fără a fi determinate, dar cu referire la literatură. În toate cazurile se presupune că, concentraţia particulei nu influenţează distribuţia de viteză. Acest lucru este adevărat pentru concentraţii mici ale aerosolilor.

Soluţionarea ecuaţiei (3.6) în cazul general este practic imposibilă. În cazuri particulare, de regimuri de curgere şi forme geometrice, au fost deduse soluţii particulare, [5, 6].

Rezultate ale transferului de căldură sunt aplicate pentru transfer de masă sau de difuzie, dacă coeficientul de difuzie D este substituit de coeficientul

difuzivităţii termice, pC

k

ρ, unde k este conductivitatea termică, ρ este densitatea


gazului, iar pC este căldura specifică a gazului. Rezultatele sunt direct aplicabile

aerosolilor pentru particule “punctiforme”, adică cu 0=pd .

3.2. Consideraţii de similitudine pentru difuzia

aerosolilor

3.2.1. Similitudinea modelelor

Proprietatea fundamentală a unui model este adecvarea lui, respectiv gradul de reflectare al procesului sau sistemului original. Cu cât gradul este mai adecvat, cu atât corespondenţa lui cu originalul este mai bună, [7].

În literatura de specialitate, proprietatea de abordare a unui model se numeşte similitudine şi ea poate fi de natură structurală sau funcţională. În primul caz accentul se pune pe asemănarea geometrică dintre model şi prototip, urmărindu-se o realizare la scară cât mai exactă a modelului în raport cu originalul. În cel de-al doilea caz, accentul se pune pe realizarea unei corespondenţe între ecuaţiile care descriu procesul original şi cele care descriu procesul aferent modelului, din punctul de vedere al desfăşurării proceselor în timp, precum şi a tuturor mărimilor fizice sau chimice care intervin în fenomenul cercetat.

Cea mai simplă şi intuitivă formă de similitudine este cea geometrică. Între model şi prototip există o similitudine geometrică dacă este asigurată proporţionalitatea lungimilor omoloage şi egalitatea unghiurilor. Astfel, unui punct al modelului îi corespunde un singur punct al prototipului şi reciproc. Punctele aflate in corespondenţă se numesc puncte omoloage şi ele pot determina drepte omoloage, suprafeţe omoloage şi volume omoloage. Modelul şi originalul constituie astfel două sisteme amorfe.

Pentru fenomenele variabile în timp este necesară introducerea noţiunii de timpi omologi. Timpii omologi sunt timpii în care se produc aceleaşi fracţiuni din fenomenul cercetat, atât pe model cât şi pe prototip, [8]. În cazul proceselor care au loc în timpul difuziei convective este necesară realizarea unei similitudini de transfer de proprietate (cinematice, dinamice, termohidrodinamice, etc). Aceasta înseamnă că, la fiecare pereche de puncte omoloage, la timpi omologi, fiecare mărime fizică trebuie să determine un raport constant între valoarea ei pe model şi valoarea corespunzătoare din procesul real. Aceste rapoarte constante se numesc scările mărimilor fizice sau rapoarte de similitudine sau coeficienţi de trecere, de la original la model şi invers, [2,7,8].

În general, pentru mărimile din sistemul fundamental (lungime, masă, timp, intensitatea curentului electric, temperatură termodinamică, intensitate luminoasă, cantitate de substanţă) şi suplimentare (unghi plan, unghi solid) scările definite se numesc fundamentale şi se notează, de regulă, cu litera k, însoţită de un indice care precizează mărimea fizică fundamentală. Scările fundamentale sunt raportul dintre


mărimile omoloage de pe model şi procesul real. Scările mărimilor derivate se numesc scări derivate şi se notează tot cu litera k, însoţită de un indice care precizează mărimea fizică corespunzătoare. Scările derivate pot fi stabilite uşor, în funcţie de scările fundamentale.

3.2.2. Teoreme fundamentale

Teoria similitudinii a ajuns astăzi la un stadiu de elaborare foarte avansat, îndeosebi în cazul cerinţelor impuse de unele tehnologii de vârf, precum ingineria aerospaţială şi ingineria nucleară. În continuare, se prezintă două teoreme fundamentale ale teoriei similitudinii, cu implicaţii directe în analiza experimentală.

Prima teoremă se referă la definirea proprietăţilor de similitudine dintre două fenomene sau procese. Două femomene sau prosese sunt similare dacă, fac parte din aceeaşi clasă şi dacă, între mărimile omoloage cu care se descriu aceste fenomene există relaţii de corespondenţă, sub forma unor relaţii de proporţionalitate,

x

x

iN

iM Sx

x

α==

1

(3. 7)

unde: x este o mărime oarecare, cu ajutorul căreia se descrie fenomenul; indicele M se referă la model, iar indicele N la natură; indicele i arată locul, momentul şi modul de definire a mărimii x , în raport cu punctul i considerat; xS este scara

mărimilor x ; xα este coeficientul de similitudine pentru mărimile x .

Pentru mărimile de aceeaşi dimensiune, scara xS este constantă în timp şi în spaţiu. De aici decurge şi prima teoremă a similitudinii: la două fenomene similare,

toate complexele sau grupurile adimensionale omoloage sunt identice. Cea de-a doua teoremă se referă la condiţiile necesare şi suficiente pentru a

avea o corespondenţă de similitudine între două fenomene sau procese şi se enunţă astfel: pentru ca un fenomen M, să fie similar cu un fenomen determinant N,

trebuie ca ambele să fie de aceeaşi natură, să aibă criterii determinante identice,

precum şi condiţii iniţiale si la limită identice. Această teoremă exprimă deci, necesitatea ca fenomenele sau procesele similare să poată fi exprimate din punct de vedere funcţional prin aceleaşi ecuaţii matematice.

Cele două teoreme prezentate, împreună cu consecinţele lor directe în practica cercetării experimentale, fac posibilă studierea în laborator a fenomenelor complexe din naturăşi precizează circumstanţele în care rezultatele obţinute pot fi extinse la o întreagă clasă de fenomene asemănătoare.

În teoria similitudinii se folosesc mărimi complexe adimensionale, formate din mărimile fizice care intervin în desfăşurarea fenomenului studiat. Aceste mărimi complexe adimensionale se numesc criterii de similitudine sau invarianţi


de similitudine. Pentru prezentarea dependenţei funcţionale, sub formă adimensională, se

utilizează analiza dimensională, care are la bază principiul că, între mărimile care determină un fenomen fizic există relaţia funcţională:

( ) 021 =pA,,A,AF L

(3. 8)

unde pA,,A,A L21 sunt toate mărimi fizice care determină procesul.

Aplicarea analizei dimensionale necesită transcrierea mărimilor fizice în formula dimensională a acesteia, care este expresia unităţii de masură a acelei mărimi fizice, în funcţie de unitaţile de măsură fundamentale. Dimensiunea unei mărimi fizice A, în raport cu o unitate fundamentală de măsură, este puterea acelei unitaţi de măsură fundamentală, în formula dimensională a lui A. Dacă mărimile fundamentale se găsesc toate la puterea „0”, atunci mărimea este adimensională, altfel fiind dimensională.

Analiza dimensională se bazează, între altele, pe principiul omogenităţii dimensionale şi teorema produselor.

Enunţul principiului omogenităţii dimensionale este: o relaţie între mărimi fizice are sens fizic numai dacă termenii săi sunt omogeni în raport cu unitaţile de masură fundamentale, oricare ar fi sistemul de unităţi de măsură utilizat, adică toţi termenii trebuie să aibă aceeaşi formulă dimensională, respectiv aceleaşi dimensiuni.

Acest principiu poate fi utilizat, în primul rând, pentru verificarea oricǎrei relaţii stabilite între mărimile fizice. Pentru ca o astfel de relaţie sǎ fie corectǎ, este necesar, dar nu şi suficient, ca ea sǎ fie dimensional omogenǎ. Pe de altă pate, dacǎ o relaţie între mǎrimi fizice conţine constante experimentale, acestea sunt, în general, mărimi dimensionale. Dimensiunile unei constante experimentale se determinǎ din condiţia ca, termenul în care intervine constanta respectivă sǎ aibă aceleaşi dimensiuni ca ceilalţi termeni ai relaţiei considerate. Totodatǎ, principiul omogenitǎţii dimensionale poate fi utilizat pentru stabilirea unor relaţii între mǎrimile fizice care caracterizează un fenomen fizic.

Relaţie (3.8), între mărimile care determină un fenomen fizic, va fi numitǎ completǎ dacǎ este dimensional omogenǎ şi dacǎ pA,,A,A L21 sunt toate mărimile

fizice (variabile sau constante) care determinăfenomenul. A doua teoremǎ este cunoscutǎ sub denumirea de teorema produselor sau

teorema Π, ori teorema lui Buckingham. Această teoremă ne indică numǎrul de grupuri adimensionale care sunt necesare pentru exprimarea relaţiei funcţionale de descriere a unui fenomen, cu ajutorul datelor experimentale.

O relaţie completǎ ( ) 021 =pA,,A,AF L , între mărimile fizice pA,,A,A L21

care determinǎ un fenomen fizic poate fi scrisǎ sub forma,


( ) ( )qpkkqp ,,,,,, −− ΠΠΠϕ=Π⇔=ΠΠΠϕ LL 2121 0

(3. 9)

unde qp−ΠΠΠ ,,, 21 L sunt produse adimensionale, independente între ele, formate cu

mǎrimile pA,,A,A L21 ; q este rangul matricei dimensionale a acestor mărimi, iar

qpk −= ,,2,1 L . Relaţiile funcţionale dintre aceste grupuri adimensionale independente, urmeazǎ a fi stabilite pe cale experimentalǎ.

Realizarea unei analize dimensionale necesitǎ parcurgerea a trei etape, [7]: • selectarea parametrilor care să descrie cât mai bine fenomenul cercetat

experimental: • folosirea teoremei Π pentru obţinerea numǎrului de grupuri

adimensionale independente, care sǎ caracterizeze fenomenul respectiv; • determinarea, pe cale experimentalǎ, a relaţiilor funcţionale dintre

grupurile adimensionale stabilite.

3.2.3. Criterii de similitudine (adimensionale)

Deşi obţinerea grupurilor adimensionale are la bază o serie de procedee matematice, fiecare dintre ele are o anumită semnificaţie fizică. Aceasta rezultǎ prin combinarea semnificaţiilor fizice ale mărimilor grupate, care descriu procesul analizat. Se prezintǎ, în continuare, semnificaţia fizică pentru cele mai importante grupuri adimensionale, sau criterii utilizate în dispersia particulelor poluante.

Criteriul Reynolds (Re), caracterizeazǎ regimul de curgere al fluidului şi se defineşte ca raportul dintre forţele de inerţie şi forţele de vâscozitate, pentru unitatea de volum,

η

ρ

ν

⋅⋅=

⋅=

LULURe

(3.10)

unde:

s

mU - viteza particulei sau a fluidului în care este antrenatǎ; [ ]mL - lungimea

caracteristică a curgerii;

s

m 2

ν - vâscozitatea cinematicǎ;

3m

kgρ - densitatea ;

⋅

2m

sNη - vâscozitatea dinamicǎ. Criteriul de similitudine Reynols trebuie respectat

atunci când efectul vâscozităţii fluidelor nu poate fi neglijat, în mişcările sub presiune. Criteriul Peclet (Pe), se defineşte ca raportul dintre fluxurile prin convecţie,

respectiv conducţie, la acelaşi gradient. De meţionat cǎ, sunt utilizate un numǎr Peclet pentru transferul de caldurǎ,


a

LU ⋅=Pe

(3.11)

şi un numǎr Peclet pentru transferul de masǎ,

D

LU ⋅=Pe

(3.11a)

unde:

s

m 2

a - coeficient de difuzivitate termicǎ;

s

m 2

D - coeficient de

difuzivitate al masei. Criteriul Prandtl (Pr), caracterizează proprietăţile fizice ale fluidului şi

reprezintă raportul dintre difuzivitatea moleculară a impulsului şi difuzivitatea moleculară a căldurii, respectiv raportul dintre distribuţia vitezei şi distribuţia de temperaturǎ,

λ

ην pc

a

⋅==Pr

(3.12)

unde

⋅ Ckg

J0pc - căldura specifică la presiune constantǎ;

⋅ Cm

W0

λ -

conductivitatea termicǎ. Criteriul Schmidt (Sc), reprezintǎ raportul dintre difuzivitatea molecularǎ a

impulsului şi difuzivitatea molecularǎ a masei,

DD ⋅==

ρ

ηνSc

(3.13)

Criteriul Lewis (Le), reprezintǎ raportul dintre difuzivitatea molecularǎ a cǎldurii şi difuzivitatea molecularǎ a masei,

DcD

a

p ⋅⋅==

ρ

λLe

(3.14)

Criteriul Grashof (Gr), se foloseşte în procesele de convecţie liberǎ şi caracterizeazǎ acţiunea reciprocă a forţelor ascensionale şi a forţelor de vâscozitate. Se defineşte un numǎr Grashof pentru transferul termic,

( )2

3

Grν

β ∞−⋅⋅⋅=

TTLg

(3.15)

şi un numǎr Grahof pentru transferul de masǎ,


( )2

*

2

3

Grν

β

νρ

ρ ∞−⋅⋅=

⋅

∆⋅⋅=

CCgLg

(3.15a)

unde:

K

1β - coeficient de dilatare volumicǎ;

pTC ,

* 1

K

1

∂

∂−=

ρ

ρβ - coeficient

de dilatare masicǎ;

2s

mg - acceleraţia gravitaţionalǎ; [ ]KT - temperatura; [ ]K∞T -

temperatura la distanţǎ foarte mare de particulǎ; C - concentraţia; ∞C - concentraţia la distanţǎ foarte mare de particulǎ.

Criteriul Knudsen (Kn) este utilizat în transferul de moment şi masǎ la presiune redusǎ,

L

l=Kn

(3.16)

unde [ ]ml - lungimea drumului liber al particulei. Criteriul Weber (We) este util pentru analiza curgerii în film şi formarea

picăturilor şi bulelor, fiind raportul dintre forţele de inerţie şi de tensiune superficialǎ,

σ

ρ LU ⋅⋅=

2

We

(3.17)

unde

2s

kgσ - tensiunea superficialǎ.

Criteriul Nusselt (Nu) este raportul dintre transferul termic convectiv şi conductiv,

λ

α L⋅=Nu

(3.18)

unde

⋅ Cm

W02

α este coeficientul de convecţie.

Criteriul Sherwood (Sh) este analog cu criteriul Nusselt (Nu), din convecţia termică şi reprezintă raportul dintre rezistenţa la transferul de masă convectiv şi rezistenţa la transferul de masǎ molecular sau raportul dintre lungimea caracteristică şi stratul limitǎ difuziv,

D

Lk ⋅=Sh

(3.19)


unde

s

mk - coeficientul de transfer de masǎ.

Numǎrul Stokes (Stk), caracterizeazǎ mişcarea particulelor suspendate şi este raportul dintre distanţa de oprire a particulei şi dimensiunea caracteristică a obstacolului,

cd

U 0Stk⋅

=τ

(3.20)

unde [ ]sτ - timp de relaxare al particulei

s

m0U - viteza fluidului înaintea

obstacolului; [ ]mcd - dimensiunea caracteristicǎ a obstacolului.

3.2.4. Consideraţii privind difuzia aerosolilor

Se consideră curgerea unui gaz incompresibil, de proporţii infinite, peste un corp cu o formă dată, orientat pe direcţia curgerii, ceea ce constituie o aşa numitǎ curgere exterioară. Corpuri cu forme date se presupun a fi asemănătoare din punct de vedere geometric atunci când pot fi obţinute unul din celălalt, schimbând dimensiunile liniare în acelaşi procent. Aşadar, este suficient să fixăm o lungime caracteristică, L, pentru a specifica dimensiunile corpului. Aceasta, ar putea fi în mod convenabil, diametrul unui cilindru sau sferă, dar orice dimensiune ar fi la fel de bună pentru corpul de formă arbitrară. Considerente similare se aplică pentru curgeri interioare prin conducte sau ţevi.

Pentru o curgere exterioară se presupune că fluidul are o viteză uniformă U, mai puţin în regiunea perturbată de corp. Dacă concentraţia în interiorul jetului de fluid este ∞n , putem defini o concentraţie adimensională,

∞

=n

nn1

(3.21)

În condiţii statice, ecuaţia difuziei convective, în absenţa unui câmp de forţe exterioare, poate fi exprimată în formă adimensională astfel:

12

1111 Pe

1nn ∇=∇⋅v

(3.22)

unde U

vv =1 şi ∇=∇ L1 , iar Pe este numărul Peclet (Pe) pentru transfer de masă.

În multe cazuri, câmpul de viteze poate fi considerat independent de câmpul difuzional. Curgerea izotermă, stabilă, a unui fluid vâscos (aer, de exemplu) într-un sistem cu o geometrie dată, depinde doar de numărul Reynolds, Re, când viteza este mică în comparaţie cu viteza sunetului.


Condiţiile la limită pentru difuzia particulelor diferă de cele ale difuziei moleculare, datorită diametrului finit al particulei. Pentru anumite clase de probleme, cum ar fi curgeri peste cilindrii şi sfere, concentraţia particulelor se presupune a fi „0”, la distanţa de o rază a particulei faţă de suprafaţă:

0=n la RL

a

L

l p==

(3.23)

unde l este coordonata măsurată de la suprafaţa corpului, L

aR

p= este cunoscut ca

parametru sau numǎr al intercepţiei; particulele aflate la distanţa ap, faţă de suprafaţă va fi interceptată chiar şi în absenţa efectelor difuziei.

Astfel, distribuţia concentraţiei adimensionale poate fi exprimată astfel:

= R

L

rfn ,PeRe,,11

(3.24)

Două regimuri de difuzie convectivă sunt similare dacă numerele Re, Pe şi de intercepţie R, sunt la fel.

Fluxul local (rata locală) de transfer a particulelor prin difuzie la suprafaţa corpului este,

Rtp

n

L

DnnDJ

=

∞

=

∂

∂−=

∂

∂−=

1

1

ααα αα

(3.25)

Notând coeficientul local de transfer de masă ∞

=n

Jk şi rearanjând, rezultǎ:

( )RPefD

Lk,Re,Sh 2=

⋅=

(3.26)

Coeficientul de transfer al particulei k, are dimensiunile vitezei şi este denumit, de obicei, viteză de depunere, fǎcând parte din criteriul Sherwood. Numǎrul Sherwood este o funcţie de numerele Re, Pe şi R, de intercepţie. Vitezele (ratele) de depunere a particulelor, măsurate într-un fluid, pentru un domeniu de valori al Pe, Re şi R, pot fi folosite pentru a prezice rata de depunere de la un alt fluid, la aceleaşi valori ale grupurilor adimensionale. În unele cazuri este mai bine

să se lucreze cu numărul Schmidt, Re

Pe==

DSc

ν, deoarece numǎrul Sc, depinde

numai de natura fluidului şi de particulele în suspensie. Pentru 0→R (particule “punctiforme”) se poate aplica fie teoria difuziei

particulelor, fie teoria difuziei moleculelor, acestea fiind echivalente. Numerele Sc,


pentru difuzia particulelor sunt mult mai mari decât unitatea, deseori de acelaşi ordin de mărime ca şi pentru difuzia moleculară în lichide. Principiul similitudinii dimensionale ne spune că, rezultatele experimentelor difuziei în lichide pot fi folosite pentru a prezice ratele difuziei particulelor punctiforme în gaze, pentru acelaşi nnumăr Re.

Pentru anumite regimuri este posibil să se reducă numărul grupurilor adimensionale, necesare pentru a caracteriza un sistem prin combinarea corectă a lor. Mai mult, aceasta simplifică colectarea de date şi interpretarea în unele cazuri, de o importanţă practică considerabilă.

3.3. Stratul limită difuziv

Curgerea normală la un cilindru circular drept reprezintă modelul de bază pentru teoria filtrării aerosolilor prin filtre cu fibre sau filtre tip sac şi colectarea particulelor cu ajutorul conductelor şi a tuburilor într-o curgere.

Concentraţia aerosolilor la distanţe mari faţă de suprafaţă este uniformă, iar la distanţa de o rază a unei particule faţă de suprafaţă, concentraţia devine practic nulǎ. Pornind de la ecuaţia difuziei convective (3.22), se observǎ cǎ este interesant sǎ se analizeze importanţa relativǎ a difuziei comparativ cu convecţia.

Numărul Pe, pentru curgerea în jurul unui cilindru de diametru d este o măsură a importanţei relative a celor doi termeni. Pentru Pe << 1, transportul realizat de curgere poate fi neglijat şi rata de depunere poate fi determinată aproximativ, prin rezolvarea ecuaţiei de difuzie într-un fluid staţionar cu condiţiile la limită, [9,10].

Când numărul Pe este mai mare, situaţia fizică este destul de diferită. Curgerea jetului de fluid transportă majoritatea particulelor peste cilindru. În imediata vecinătate a cilindrului, procesul difuzional este important, din moment ce cilindrul se comportă ca un canal de scurgere pentru particule.

Totuşi, la numere Pe mari, există două regiuni de transport diferite: a) la distanţǎ de vecinătatea cilindrului, transportul convectiv de către jetul de fluid predomină şi conduce particulele mai departe în aval; b) aproape de suprafaţă, concentraţia scade rapid de la valoarea iniţială la 0, la distanţa de o rază a particulei de suprafaţă (figura 3.1). Coordonata curbilinie x, luată paralel la suprafaţă, este măsurată de la punctul de stagnare A. Concentraţia particulelor creşte de la 0, la

paar += , aproape de concentraţia fluidului (spre exemplu, până la 99 %), în

vârful stratului limită. Regiunea peste care concentraţia particulelor scade de la valoarea ei la zero,

lângă suprafaţă, este cunoscută sub numele de strat limită. Fenomenul de transfer prin difizie, în această regiune, este similar cu cel al curgerii unui fluid pe lângă un cilindru, curgere la numere Re mari. Pentru difuzia în stratul limită, se utilzează criteriul Pe, servind ca un criteriu similar cu numărul Re. Rolul concentraţiei stratului limită este fundamental pentru înţelegerea şi prezicerea ratei de transport a


particulelor browniene la suprafaţă. Folosirea acestui concept nu este limitată pentru curgerea în jurul cilindrilor. Se aplică şi la curgeri în jurul altor corpuri, cum ar fi sfere şi pene, curgeri în interiorul canalelor în anumite condiţii asemănătoare. Concentraţia stratului limită se poate dezvolta în curgeri cu viteze mici sau mari, în jurul obiectelor de colectare. Ambele cazuri sunt discutate în paragrafele ce urmează.

Fig. 3.1. Stratul limită difuziv care înconjoară un cilindru (sau sferă) aşezat într-o curgere care transportă prin difuzie particule mici.

3.4. Difuzia peste cilindrii la numere Re mici

3.4.1. Ecuaţia concentraţiei stratului limită

Pentru început, considerăm cazul unui singur cilindru, corespunzător unei curgeri la Re mic. Această configuraţie este de importanţă majoră pentru funcţionarea cu eficienţă maximă a filtrelor cu fibre, pentru echipamente de curăţare a gazelor. Filtrele cu fibre sunt alcătuite din fibre fine, poroase şi mate, de obicei conţinând mai puţin de 10 % material solid. Spaţiul dintre fibrele individuale este mult mai mare decât diametrul particulelor filtrate. În absenţa efectelor electrice, particulele fine sunt colectate prin difuzie de către fibre. Particulele grosiere sunt îndepărtate prin depunere inerţială. Când diametrul fibrelor este mult mai mare decât principala direcţie de curgere, se aplică teoria pentru curgerea gazului peste fibre, care pot fi considerate cilindrice. Ecuaţia difuziei convective, pentru starea staţionară, are următoarea formă, în coordonale cilindrice:


θ∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂=

∂

∂⋅+

θ∂

∂θ 2

2

22

2 11 n

rr

n

rr

nD

r

nv

r

nv r

(3.27)

unde θv şi rv , reprezintă componentele tangenţiale şi radiale ale vitezei.

Pentru particule de rază pa , ce difuzează în cilindrul de rază a , condiţiile la

limită sunt:

∞=⇒∞=

=⇒+=

nnr

naar p

0

(3.28)

Pentru fibre cu diametre mai mici de 10 µm şi viteze ale aerului mai mici de

s

m 0.1 , numărul Re este mult mai mic decât unitatea. Pentru cilindrii izolaţi,

funcţia de curent (principală pentru curgere) poate fi aproximată prin:

+

−θ⋅⋅⋅=ψ

r

a

a

rln

a

rsinaUA 12

(3.29)

unde constanta A, se poate aproxima cu ( )( )[ ] 1Reln22 −−⋅=A , [11]. În cazul

considerării a mai multor fibre, se dezvoltă corelaţii care ţin seama de interacţiunea dintre acestea, prin relaţii de aproximare de tip “model celule”.

Cu toate că numărul Re este mic, există multe situaţii practice în care ScRePe ⋅= este mai mare, deoarece numărul Schmidt, Sc, pentru aerosoli este

foarte mare. Concentraţia stratului limită care se dezvoltă peste suprafaţa cilindrului are cea mai îngustă porţiune în apropierea următorului punct de stagnare.

Pentru Pe >> 1, pot fi făcute două mari simplificări în ecuaţia difuziei convective:

• difuzia pe direcţie tangenţială poate fi neglijată, în comparaţie cu transportul convectiv,

θ∂

∂<<

θ∂

∂ θ n

r

v

r

nD

22

2

(3.30)

• atunci când grosimea concentraţiei stratului limită este mai mică decât raza cilindrului, ecuaţia difuziei convective este simplificată la o formă cunoscută, pentru coordonate ortogonale, [5]:

2

2

y

nD

y

nv

x

nu

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

(3.31)


unde x şi y, sunt coordonatele curbilinii ortogonale. Axa x este dusă paralelă la suprafaţa cilindrului şi măsurată de la punctul de stagnare. Axa y este perpendiculară la x şi se măsoară de la suprafaţă. Componentele vitezei u şi v, corespund coordonatelor x şi y (figura 3.1).

Când concentraţia stratului limită este redusă, cele mai multe dintre componentele vitezei cad într-o regiune unde funcţia (3.28) poate fi aproximată prin primul său termen, în extinderea sa, funcţie de y:

⋅⋅⋅=ψ

a

xsin

a

yUaA

2

2

(3.32)

Componentele vitezei se pot calcula cu expresiile:

yu

∂

ψ∂= ,

xv

∂

ψ∂−= (3.33)

Substituind ψ din (3.32) obţinem:

⋅⋅−=

⋅⋅=

a

xcos

a

yUAv

a

xsin

a

yUAu

2

2

4

(3.34)

3.4.2. Difuzia în cazul particulelor punctiforme

Pentru difuzia particulelor punctiforme ( 0→R ), cea mai potrivită condiţie la limită pentru (3.40) este:

∞=⇒∞=

=⇒=

nny

ny

0 0

(3.35)

Condiţia la limită pentru concentraţie, ∞= nn se aplică la ∞=y , chiar dacă expresia stratului limită din ecuaţia difuziei convective este valabilă doar în apropierea suprafeţei cilindrului. Aceasta se justifică prin faptul că, nimic în afară de concentraţie nu aproximează ∞n foarte aproape de suprafaţă, pentru numere Pe mari.

Dacă x şi ψ sunt considerate variabile independente, în locul lui x şi y, atunci:

x

nuD

x

n

ψ∂

∂

ψ∂

∂⋅=

∂

∂

ψ

(3.36)

Componenta pe direcţia x a vitezei este:


ψ⋅

⋅⋅=

∂

ψ∂= 2

1

12

12

1

8xsin

a

UA

yu

(3.37)

unde a

xx =1 .

Înlocuind în (3.45) obţinem:

ψ∂

∂ψ

ψ∂

∂

⋅⋅=

∂

∂

1

2

1

11

n

UAa

D

X

n

(3.38)

unde:

∫ ⋅=χ 112

1

dxxsin şi UaA ⋅⋅⋅

ψ=ψ

21 (3.39)

Condiţiile la limită în coordonatele transformate devin:

∞=⇒∞=ψ

=⇒=ψ

nn

n

0 i)cilindrulu (suprafata 0 la

1

1

(3.40)

Prin verificare în (3.38), obţinem o soluţie triplă în care n, depinde numai de

variabila 3

21

χ

ψ=ξ . Pentru aceasta se înlocuisc expresiile:

ξχ

ξ−=

χ∂

∂

d

dnn

3

2 (3.41)

şi

ξχ

=ψ∂

∂

d

dnn

3

21

1

(3.42)

în (3.38). Rezultă o ecuaţie diferenţială ordinară:

ξξ

ξ=

ξξ

⋅⋅−

d

dn

d

d

d

dnePA 2

1

3

(3.43)

cu condiţiile la limită 0=n la 0=ξ şi ∞= nn la ∞→ξ . Aceasta sprijină

presupunerea că n este dependent doar de variabila ξ . Integrând ecuaţia (3.43) obţinem:


∫

∫∞

ξ

∞

⋅⋅−

⋅⋅−⋅

=

0

3

21

0

3

Pe9

2

Pe9

2

dzzAexp

dzzAexpn

n

(3.44)

unde D

Ud ⋅=Pe cu d - diametrul cilindrului.

Integrala pe domeniul de definiţie poate fi exprimată în termeni ai funcţiei Γ:

( ) ( ) 3

1

3

13

1

Pe451Pe3

1

3

1

2

9 −−

⋅⋅=⋅

Γ⋅

A.A

(3.45)

Viteza (rata) depunerii difuzionale pe unitatea de lungime a cilindrului este:

∞

=

π

⋅⋅π⋅=

∂

∂⋅ ∫ ndkdx

y

nD av

y

1

010 1

2

(3.46)

care defineşte coeficientul global mediu de transfer de masă, avk , pentru cilindru. Gradientul concentraţiei pe suprafaţă se obţine prin diferenţierea (3.44), în

funcţie de y:

( )

3

11

2

1

3

1

011451

Pe

χ⋅

⋅⋅⋅=

∂

∂ ∞

= .

xsinnA

y

n

y

(3.47)

Înlocuind în (3.46) şi rezolvând integrala în funcţie de x1, obţinem:

( )3

1

Pe171 ⋅⋅=⋅

A.D

dkav

(3.48)

Gradientul concentraţiei la suprafaţă poate fi exprimat la limită, prin grosimea stratului limită, cδ , astfel:

cy

n

y

n

δ=

∂

∂ ∞

=0

(3.49)

Înlocuind în (3.24), rezultă:

( ) 3

1

Pe−

⋅≅δ

Ad

c

(3.50)


cu o constantă de proporţionalitate de ordinul unităţii, aproape de următorul punct de

stagnare. Deci, grosimea stratului limită este invers proporţională cu 3

1

Pe ; numerele Peclet mari duc la concentraţii ale stratului limită mici, aşa cum s-a discutat în capitolul precedent.

Expresia teoretică (3.48) este în deplin acord cu datele despre difuzia în soluţii apoase, până la numere Pe mari, intrând în domeniul de interes al depunerii aerosolilor. Ţinând cont că ReScPe ⋅= , (3.48) poate fi rearanjată pentru a obţine:

( )3

1

3

1Re171 ⋅⋅=

⋅

A.

D

v

D

dkav

(3.51)

pentru cazul numerelor Re mici. Pentru numere Re mari, este o formă diferită a funcţiei pentru dependenţa de

numărul Re, având expresia generală:

( )Re3

1f

D

v

D

dkav

=

⋅

(3.52)

care trece peste domeniul extins al numerelor Reynolds. Forma funcţiei este prezentată în figura 3.2, atât pentru numere Re mici, cât

şi pentru numere Re mari.

Fig. 3.2 Difuzia unei particule punctiforme peste un cilindru, pe direcţia de curgere.


Curba teoretică pentru numere Re mici este în deplină concordanţă cu datele obţinute experimental, pentru difuzia în soluţii apoase, [5]. Curba pentru numere Re mari se bazează pe datele transferului de căldură pentru aer, [5], corectate prin

împărţirea numărul Nusselt la 3

1

D

v. Acesta este echivalent cu presupunerea

aplicabilităţii teoriei stratului limită laminar. Eficienţa îndepărtării particulelor, ηR, este definită ca fracţia particulelor

colectate dintr-un volum de fluid:

3

-2

3

1

Pe683 ⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅π⋅=η

∞

∞ A.dUn

ndkavR

(3.53)

Deoarece A variază relativ puţin în funcţie de numărul Re, eficienţa variază

aproximativ cu 3

-2

d , ceea ce înseamnă că fibrele fine sunt mai eficiente colectoare de aerosoli decât cele grosiere.

Deoarece D

Ud ⋅=Pe , 3

2−

≈η pR d şi 3

4−

pd pentru domeniul continuu şi pentru

domeniul moleculelor libere. Deci, particulele mici sunt mai eficient puse în

mişcare prin difuzie, decât particulele mari, în domeniul pd < 0.5 µm. Eficienţa

folosirii unui singur filtru de fibre pentru colectare, pentru a demonstra această teorie ,este prezentată într-un paragraf următor.

3.4.3. Legea similitudinii pentru particule de diametre finite

Pentru particule cu diametru finit, efectele intercepţiei devin importante. O utilitate a legii similitudinii care ia în considerare atât difuzia, cât şi intercepţia, poate fi demonstrată prin concentraţia stratului limită, atunci când funcţia de distribuţie este dată de (3.34), [12].

Înlocuind (3.34) în (3.31) obţinem următoarea ecuaţie, pentru difuzia convectivă:

2

22

24y

n

UA

D

y

n

a

xcos

a

y

x

n

a

xsin

a

y

∂

∂

⋅=

∂

∂

−

∂

∂

(3.54)

Vom introduce următoarele variabile adimensionale:

,n

nn

∞

=1

,a

yy

p

=1

a

xx =1

(3.55)

unde pa este raza particulei şi a este raza cilindrului.


Aceste coordonate curbilinii normale şi paralele la suprafaţa cilindrului sunt adimensionalizate prin diferite caracteristici de lungime. Atunci (3.54) devine:

21

12

3

2

1

11

21

1

111 24

y

n

aUA

aD

y

nxcosy

x

nxsiny

p ∂

∂

⋅⋅

⋅=

∂

∂⋅⋅⋅−

∂

∂⋅⋅⋅

(3.56)

cu condiţiile la limită:

1

0 1 la

11

11

=⇒∞=

=⇒=

ny

ny

(3.57)

Luând a

aR

p= , apare numai un grup adimensional pe care-l considerăm, prin

convenţie, ca fiind:

( )3

1

3

2

3

1

Pe

−

⋅⋅

⋅≅⋅⋅=Π

paUA

aDAR

(3.58)

ce apare în (3.56) şi are condiţii la limită pur numerice. Deci, distribuţia de concentraţie este:

),y,x(fn Π= 111

(3.59)

În aproximarea stratului limită, rata depunerii de particule pe unitatea de lungime a cilindrului este:

Udndxy

nn

a

aD R

yp

⋅⋅⋅η=

∂

∂⋅⋅

⋅⋅ ∞

=

π

∞ ∫ 1

110 1

12

(3.60)

Introducând (3.59) în (3.60) obţinem relaţia funcţională:

( )Π=⋅⋅

=⋅⋅ 2Pe fD

dkR

pav

R

πη

(3.61)

Aceasta este legea similitudinii pentru difuzia particulelor cu diametre finite, dar cu 1<R în curgere laminară. Pentru numere Re fixate, expresia Pe⋅⋅ RRη

trebuie să aibă o singură valoare, în funcţie de 3

1

Pe⋅R , în afara domeniului în care această teorie este aplicabilă (Pe >> 1, Re < 1, R << 1). Datele experimentale obţinute pentru diferite particule şi diametre ale cilindrului şi viteza şi vâscozitatea gazului trebuie să se afle pe aceeaşi curbă, atunci când sunt reprezentate grafic diversele curbe date de (3.61).


În cazul limită, 0→R , Rη este independentă de parametrul R. Prin

verificarea în (3.61), acest rezultat este obţinut dacă funcţia 2f variază liniar în

funcţie de argument, Π≈2f :

3

2

3

1

1

−

⋅⋅⋅= PeACR πη

(3.62)

Constanta 68.31 =⋅πC , în acord cu ecuaţia (3.48). În cazul limită, ∞→Pe , particulele urmează fluidul şi se depun când liniile de curent trec cu mai puţin de o rază la suprafaţă. Acest efect se numeşte intercepţie directă. Eficienţa se obţine prin integrarea ecuaţiei (3.34), pentru componenta perpendiculară a vitezei, jumătatea superioară a suprafeţei cilindrului:

2

2

0 2 RAaU

dxvpay

R ⋅=⋅

⋅

=∫ =

π

η

(3.63)

Un rezultat al acestei forme poate fi obţinut din (3.61), prin rezolvarea pentru ∞→Pe şi Rη ,independentă de Pe. Atunci funcţia 2f trebuie să fie proporţională

cu cubul argumentului său, Π (3.58). Ecuaţiile (3.62) şi (3.63) sunt valorile limitǎ rezultate din aplicarea legii

pentru domeniile fiecărei difuzii şi respectiv domeniul de control al intercepţiei directe. Ele arată că, pentru viteze şi diametre ale fibrelor fixate, eficienţa mai întâi scade cu scăderea lui pd , creşte odată cu creşterea coeficientului de difuzie (3.62),

apoi creşterea lui pd conduce la creşterea lui Rη , deoarece d

dR

p= creşte în

conformitate cu (3.63). Rezultatul este minim în domeniul eficienţei, deaorece este funcţie doar de diametrul particulei. În domeniul mărimii particulei, aproape de minim, eventual intercepţia ne dă modul de impact şi/sau sedimentare, ca mecanism dominant al depunerii particulelor. Grupul adimensional

( )3

1

Pe AR ⋅⋅=Π este proporţional cu ordinul de mărime al diametrului particulei din stratul limită, a cărui grosime este dată de (3.50), respectiv,

( )3

1

Pe ARd

c

p⋅⋅=

δ

(3.64)

Atâta timp cât ordinul de mărime este mic, depunerea este controlată de difuzie. Pentru particule mari, în comparaţie cu grosimea stratului limită difuzional, depunerea este controlată de intercepţie. O soluţie analitică la relaţia (3.56) nu pare a fi posibilă, dar se poate obţine o soluţie pentru regiunea din apropierea


următorului punct de stagnare (figura 3.1). Aproape de linia continuă, în planul de simetrie care conduce la punctul de stagnare, 1sin x dispare şi 1cos 1 ≅x ,

( )0 Pe 121

12

1

121

3 →=⋅⋅⋅⋅− xdy

nd

dy

dnyRA

(3.65)

cu următoarele condiţii la limită:

1

0 1 la

11

11

=⇒∞=

=⇒=

ny

ny

(3.65a)

Soluţia pentru ecuaţia (3.65), cu aceste condiţii la limită dă, pentru coeficientul de transfer de masă, în punctul de stagnare, următoarea expresie:

∫∞

−

∞

=

⋅

⋅⋅⋅−

⋅

=

⋅−

=

1

33

3

Pe3

110

3Peexp dz

zRA

ea

D

n

dy

dnD

k

AR

py

(3.66)

Cu toate că acest rezultat corespunde lui 01 =x , viteza depunerilor este mai mare în acest punct şi ilustrează dependenţa generală de numerele Pe şi Re, pe tot cilindrul.

3.4.4. Compararea teoriei cu datele experimentale

În figura 3.3 se prezintǎ depunerile particulelor de diametre 1.305 µm pe fibre de sticlǎ cu diametru 8.7 µm, în funcţie de timp, [11]. Fibrele de sticlǎ sunt aşezate normal pe direcţia curgerii aerosolilor şi expuse la perioade de timp diferite. Viteza de curgere a aerului, conţinând aerosoli, a fost de 0.138 m/s,iar concentraţia de particule de aproximativ 1000 cm-3. Pe măsură ce particulele se depun apar structuri fracţionare.

Procesul de depunere a fost, probabil, dominat de procesul de intercepţie directă. Cu toate că aceste poze sunt instructive, experimentele directe ale teoriei depunerii particulelor, pentru o curgere a aerosolilor în jurul unui singur cilindru, sunt dificile. Oricum, teoria fusese folosită pentru a corela date privind eficienţa îndepărtării unei singure fibre, date ce pot fi determinate, măsurând o fracţiune a particulelor, colectate într-un pat de fibre.

Legătura între teorie şi experimente poate fi făcută după cum urmează. Într-o secţiune regulată de fibre, cu diametrul uniform d şi o fracţie a solidelor α , cu o concentraţie medie N , la distanţa z, faţă de intrarea în filtru a particulelor de diametru pd (figura 3.4), pentru o singură fibră, eficienţa de îndepărtare este:


d

bR =η

(3.67)

unde: b este lăţimea corespunzătoare regiunii în care a avut loc curgerea totală a particulelor, peste cilindrul.

Pe distanţa diferenţială, dz , în direcţia curgerii sunt

4

2d

dz

⋅

⋅

π

αfibre pe unitatea

de lăţime, iar îndepărtarea de pe distanţa dz a fiecărei fibre este:

( ) NdbN

d

dz

dNR ⋅⋅==

⋅

⋅

−η

π

α

4

2 (3.68)

Fig. 3.3 Depunerea unor particule de pe fibre de sticlă dispuse normal pe direcţia curgerii.

Fig. 3.4. Diagrama schematică a filtrului de fibre.


Rearanjând şi integrând de la 0=z la Lz = , grosimea filtrului este dată de,

2

1ln4 N

N

L

dR

⋅⋅

⋅=

α

πη

(3.69)

Deoarece diametrele fibrelor nu sunt, în general, egale şi fibrele sunt aranjate într-un mod mai mult sau mai puţin întâmplător, rezultă că Rη ar trebui interpretat ca un randament efectiv al fibrelor, care poate fi calculat din ecuaţia (3.69) şi care are la bază un diamteru mediu, d , luat de regulǎ ca media aritmetică. Într-o determinare experimentală a lui Rη , trebuie măsurate N1, respectiv N2, concentraţia la intrare, respectiv concentraţia la ieşire a aerosolilor monodispersaţi, care au trecut prin filtru. Diametrul mediu al fibrelor d , poate fi determinat printr-o examinare microscopică.

Datele mǎsurate pentru randamentul depunerii, [12,13], au fost extrapolate pe

domeniile: 4108.2Pe62 ⋅<< ; 29.006.0 << R ; 23 107.7Re104.1 −− ⋅<<⋅ ;

37.0Stk102.5 4 <<⋅ − şi prezentate în figura 3.5.

Fig. 3.5 Comparaţia observaţiilor experimentale ale depunerilor de particule.


Numărul Stokes, fa

Um

⋅

⋅=Stk Stk = mU/af, unde m este masa particulei, este o

măsură a efectelor inerţiei şi trebuie să fie mic pentru aplicarea teoriei difuziei – intercepţiei. Pentru setul de date de mai sus, analiza a fost satisfăcătoare pentru

37.0Stk < . Majoritatea datelor au aparţinut domeniului 13 10Re10 −− << ;curbele teoretice pentru punctul de stagnare sunt reprezentate pentru valorile limită ale numărului Re. Există un dezacord evident între experiment şi teorie. Trebuie ca datele experimentale, bazate pe depunerea medie pe suprafaţa fibrelor, să cadă undeva sub curbele teoretice ale punctului de stagnare. În ultimele studii, [14,15 ], pentru aerosoli cu dimensiuni 3.1035.0 << pd µm (numite DOP), la viteza

particulelor 1 < U < 30 cm/s şi filtre din fibre cu diametre ale fibrelor de la 11 la 12.9 µm, a fost studiatǎ dependenţa lui ηR de α , iar datele au fost corelate, folosind similitudinea transformării (3.61). După cum ne aşteptam de la teorie, ηR trece printr-un minim, cu o creştere a diametrului particulei, corespunzătoare tranziţiei de la regimul difuzional (3.62), la îndepărtarea particulelor prin intercepţie directă (3.63), după cum se prezintă şi în figura 3.6. Curbele teoretice pentru Re = 10-1

şi Re = 10-3, au fost calculate din (3.66). Particulele foarte mici sunt controlate de

fenomenul de difuzie, conform relaţiei 3.38 şi relaţiei 32

DR ≈η . Curbele din figură rezultă din efectul vitezei. În şirul de puncte datorate intercepţiei, conform

relaţiei (3.63), 2

pR d≈η , şi este practic independent de viteza gazului.

Fig. 3.6 Randamentul de reţinere a unei singure fibre pentru particule de diametru finit.


S-a propus următoarea corelaţie petru eficienţa de colectare a unei singure fibre:

( )( )RK

R

K

R+

+

⋅−

=

−

16,0

1

Pe6.1

2

3

1

3

2

3

2

α

η

(3.70)

unde: ( ) 2

4

1

4

3ln

2

1αααα −+−−=K , iar α este fracţia solidelor.

Acestea sunt limitele pentru dependenţa de Pe şi R, date de (3.38) şi (3.39). Succesul analizei, corelată cu datele experimentale pentru filtrele curate, oferă un suport convingător pentru teoria difuziei convective la suprafeţe ale particulelor cu diametru finit. În funcţie de acumularea particulelor în filtru, atât eficienţa îndepărtării, cât şi presiunea de cădere cresc şi analiza nu mai este valabilă. Câteva date rezultate din acest experiment se găsesc în literatura de specialitate. În aplicaţiile practice trebuie să se aibă în vedere aceste rezultate, datorită pierderilor prin orificiile filtrelor şi pierderilor pe suprafaţa cilindrului.

Pentru toate punctele, numărul Stk a fost mai mic decât 0.5. Din teorie, punctul de stagnare ar trebui să cadă mai sus decât cel provenit din experimente (acesta este deasupra suprafeţei fibrelor). Figura foloseşte similitudinea transformării (3.61). Porţiunea de jos a curbei corespunde procesului de difuzie, porţiunea de sus corespunde procesului de intercepţie directă.

3.5. Difuzia şi intercepţia la numere Re mari

3.5.1. Captarea particulei de către un singur element

O analiză similară cu cea a depunerilor de particule într-o curgere cu viteză mică, poate fi făcută pentru curgeri în jurul unor obiecte teşite, cum ar fi cilindrii sau sfere, [15,16], curgeri caracterizate de numere Re mari. În acest caz, stratul limită se dezvoltă în jurul obiectului. Nu mai departe de limita aerodinamică, o mică parte a concentraţiei se află aproape de suprafaţă. Analiza ia în calcul atât difuzia cât şi intercepţia directă – deci, şi diamterul finit al particulelor. Rezultatele sunt importante pentru depunerea particulelor în cazul: a) cilindrilor cu diametre mult mai mari decât cele pentru care filtrele au un randament ridicat (filtre cu sârmă groasă sau plasă) sau în cazul b) tuburilor schimbătoare de căldură, perpendiculare pe curgerea aerosolilor. O altă aplicaţie importantă este depunerea din atmosferă, depunerea uscată pe suprafaţa pământului, care este considerată aerodinamic rugoasă, [18]. Asprimea elementelor, precum frunzele de iarbă ascuţite şi pietrişul, pot fi tratate ca şi colectarea şi intercepţia.

Pentru simplificare, s-a ales o geometrie bidimensională, corespunzând curgerii normale pe un corp abrupt, de o formă arbitrară. Originea coordonatelor


este luată în punctul de stagnare, axa y este normală la suprafaţă în fiecare punct, punctul y este 0 la suprafaţă. Generalizarea la geometria tridimensională este realizată şi lasă principala concluzie neschimbată.

Cîmpul vitezelor cu numere Re mari, într-o regiune fără vâscozitate, apropiată punctului de stagnare, este dat de, [5]:

( ) ( )yxv,u ω−ω=

(3.71)

şi cu limita de vâscozitate,

( );fxu η′⋅⋅ω=

( ) ( )η⋅ω⋅−= fvv 2

1

(3.72)

unde ω este o constantă, a cărei valoare depinde de forma obiectului (bandă sau cilindru), ν - vâscozitatea cinematică, η este coordonata stratului limită,

2

1

ν

ω=η y

(3.73)

Comportarea funcţiei f ,în apropierea peretelui, pentru η << 1 este:

( ) ;f2

2

1η⋅β=η

( ) ;'f η⋅β=η

( ) 232610 ."f =β=

(3.74)

Aşadar, suficient de aproape de punctul de stagnare:

;xu η⋅β⋅⋅ω=

( ) 22

1

2

1η⋅β⋅ω⋅ν−=v

(3.75)

În regiunea din apropierea peretelui, curgerea nu are separat regimul de tranziţie de cel turbulent, şi, prin urmare, relaţiile de mai sus pot fi generalizate, departe de punctul de stagnare, prin:

( ) ;xKau η⋅⋅⋅ω= 1

( ) ( ) 212

1

2

1η⋅⋅ω⋅ν−= x'Kv

(3.76)

unde 1x este adimensionalizat, prin împărţirea la lungimea caracteristică a obstacolului,

a

xx =1

(3.77)

iar K, rezultă din,


1dx

dKK ='

(3.78)

Pentru numere Re mari, funcţia K, depinde de forma particulară a obstacolului şi poate fi calculată după metodele standard ale teoriei stratului limită, [5]. În acest caz, ecuaţia difuziei convective în stratul limită este:

( ) 02

12

1

12

2

=∂

∂⋅ω⋅ν−

∂

∂⋅η⋅⋅ω+

∂

∂−

y

n'K

x

nK

y

nD

(3.79)

Cînd definim distanţa (adimensională) de la suprafaţă în acelaşi fel ca pentru curgerea la viteze mici:

pa

yy =1

(3.80)

ecuaţia (3.79) devine,

023 1

21

11

1

23

=∂

∂⋅⋅+

∂

∂⋅⋅⋅−

∂

∂Π −

y

ny'K

x

nyK

y

n

(3.81)

unde Π este un grup adimensional pentru depunerea particulelor pentru curgeri caracterizate de numere Re mari,

2

3

33

6

1

ω⋅⋅

ν⋅=Π

va

Dp

(3.82)

Această ecuaţie trebuie rezolvată cu condiţiile la limită ale teoriei difuziei – intercepţiei:

1 la 0

pentru

1

1

==

∞→= ∞

yn

ynn

(3.83)

Soluţia pentru orice obstacol dat, respectiv pentru ( )1xK fixat, este:

( )Π=∞

,y,xFn

n11

(3.84)

şi ţinând seama de ecuaţiile (3.60)şi (3.61) rezultă,

( )Π=⋅

=⋅⋅η 2Pe FD

akR

pav

R

(3.85)

unde Rη este randamentul îndepărtării particulelor pentru un singur cilindru, iar


numărul Re este dat de,

v

a2

Re ⋅ω≈

(3.86)

După înlocuirea în (3.82) rezultă:

6

1

3

1

RePe ⋅⋅≈Π R

(3.87)

undea

aR

p= .

Parametrul Π este legat de corespondenţa cu numerele Re mici:

( )3

1

1 Pe ARRe ⋅=Π <

(3.88)

Datorită variaţiei slabe funcţiei mărimii A

6

1

Re se poate considera,

ARe

Re6

1

1

1 Re≈

Π

Π

<

>>

(3.89)

Ca şi în cazul curgerii caracterizate de numere Re mici (3.58), corespondenţa Π de numerele Re mari, la care apare stratul limită, este legată de raportul dintre diametrul particulei şi grosimea statului limită al concentraţiei:

6

1

3

1

RePe ⋅⋅≈δ

Rd

c

p

(3.90)

Pentru 1<<δc

pd depunerea este controlată de difuzie; pentru 1>>

δc

pd

depunerea este controlată de intercepţie. Expresia aproximativă pentru ηR , pentru un singur cilindru şi o singură sferă

este, [19]: - pentru cilindrii:

2

123

2

6

1

Re800PeRe881 ⋅⋅+⋅⋅=η−

R..R

(3.91)

- şi pentru sfere:

2

123

2

6

1

Re101PeRe402 ⋅⋅+⋅⋅=η−

R..R

(3.92)


Domeniul recomandat pentru aplicare este 42 10Re10 << şi numere Stokes mai mici decât valorile critice pentru impact, de 1/8 pentru cilindii şi respectiv 1/12 pentru sfere.

3.5.2. Aplicaţii la depunerea pe suprafeţe rugoase

Rezultatele analizei pentru numere Re mari, discutate în paragraful precedent, nu au fost testate direct pentru curgerea peste un singur cilindru. Oricum, au fost aplicate unui grup substanţial de date experimentale, provenite de la experimente din conducte de aerisire, pentru depunerea particulelor de gaz pe suprafeţe rugoase alcătuite din iarbă ascuţită, pietriş şi alte elemente rugoase similare. Datele au fost colectate pentru aplicaţii în depunerea uscată în atmosferă.

O mare parte din aria disponibilă pentru transportul masic, către pereţi acoperiţi cu elemente rugoase, compactate, nu este aproape de fundul suprafeţei care ancorează elementele rugoase, dar ele însele ies în afară. Deoarece mişcarea convectivă este mult mai intensă în jurul lor, mai adânc în stratul rugos, o mare parte (fracţie) din transferul de materie (molecule sau particule de gaz) se aşteaptă să ocupe elementele rugoase. Ca atare, pot fi vizualizate ca o masă “scufundată”, distribuită volumetric în câmpul curgerii, iar procesul de transport poate fi modelat ca şi în cazul filtrării gazelor, discutat în paragraful anterior. Pornind de la această ipoteză, corelată cu rezultatele asupra depunerii particulelor, din curgerea peste suprafeţe ascuţite, s-a realizat, [17,20], un strat artificial de iarbă, folosind (3.85) şi

comparând D

ak pav ⋅ versus 3

1

6

1

PeRe ⋅⋅R , aşa cum este prezentat în figura 3.7.

Rezultatele au fost corectate pentru sedimentarea gravitaţională. Două linii frânte (---) cu pantele 3 şi 1 (corespunzând regiunilor asimptotice de intercepţie şi difuzie) sunt reprezentate prin puncte. Linia continuă () arată eficienţa colectării unui singur element în punctul de stagnare al unui strat infinit, la nivelul curgerii potenţiale. Datele sunt de mai mică importanţă decât teoria pentru un singur element, probabil datorită efectelor corpurilor ascuţite învecinate, prezente în măsurătorile conductelor de aerisire.

Această figură a fost trasată în ipoteza că, depunerea pe suprafeţele rugoase (incluzând depunerea uscată) este un proces de tip filtrare, în care elementele rugoase servesc drept colectoare de particule. Măsurătorile au fost făcute cu elementele rugoase, alcătuite din iarbă tăioasă, creată artificial (teflon), cu aceeaşi formă şi mărime. Date pentru elementele rugoase de alte tipuri, inclusiv pietriş, pot fi corelate într-un stil asemănător, [21]. În pregătirea corelaţiei, viteza caracteristică

∞U , a fost considerată ca fiind *u. ⋅32 , valoare măsurată în vârful tăişului simulat,

unde *u este viteza de frecare. Lungimea caracteristică, aleasă pentru colector, a fost dimensiunea transversală a liniilor formate din elementele tăioase artificiale, a = 0.5 cm. Figura 3.7 arată cum pot fi reprezentate datele printr-o curbă cu două


linii, una corespunzând domeniului de difuzie şi alta domeniului intercepţiei. Reprezentarea cuprinde 6 particule de diametre diferite (32, 19, 5, 2, 1 şi 0.08 µm) şi două specii de molecule.

Fig. 3.7. Viteza de depunere a particulelor adimensionale pe iarba artificială.

Viteza de depunere măsurată vd , a fost folosită în locul lui kav. În aplicarea analizei din paragraful anterior a fost necesară presupunerea unei valori pentru coeficientul ω , care apare în (3.71) pentru curgerea fără vâscozitate pe un element rugos:

a

Ub ∞⋅=ω

(3.93)

unde b este o constantă care depinde de geometria corpului, U∞ este viteza în curent liber, iar a este lungimea caracteristică a colectorului. În figura 3.7, b = 2, cea ce corespunde unei suprafeţe plane normală la raza incidentă, cu toate că orice ordin de mărime ar fi rezonabil.

De asemenea, pentru comparaţie, este prezentată curba teoretică corespunzătoare depunerii la punctul de stagnare, unde funcţia ( )1xK este:

( ) 11 xxK ⋅β=

(3.94)

şi x1 este aproape 0. Cu acestea, funcţia F2 din (3.85) poate fi obţinută analitic:


( )

( )∫∞

ξξ⋅Π−

Π−==

⋅

1

33

3

2

exp

exp

d

FD

ak pav

(3.95)

Comportarea asimptotică a lui F2 este dată de: 0→Π , Π→2F (limita difuziei);

∞→Π , 32 Π→F (limita intercepţiei)

(3.96)

Comportarea asimptotică a lui Π necesită o pantă logaritmică în concordanţă cu datele. Panta rezultă pentru valori mici ale lui Π , pâna la 1. Corelarea funcţionează sub limitele de validare aşteptate, deoarece la particule de dimensiuni mai mari sunt foarte probabile efecte inerţiale semnificative. La fel ca în cazul curgerilor la numere Re mici, eficienţa de îndepărtare a elementului atinge un minim pe măsură ce dimensiunea particulei creşte de la domeniul submicronilor la dimensiuni de ordinul micronilor. Totuşi, pentru depuneri uscate din atmosferă, obiectele de colectare (iarbă tăioasă, altă vegetaţie, pietre, etc.) au forme şi dimensiuni variate; acest lucru , probabil, rezultă dintr-o vagă aluzie cu privire la dimensiunile particulei, în comparaţie cu cazul colectorilor uniformi.

3.6. Difuzia în curgerea laminară într-o conductă Se consideră că diametrul particulei este mult mai mic decât al conductei (sau

grosimea substratului vâscos pentru curgerea turbulentă), astfel încât parametrul de intercepţie, care a fost important în paragraful anterior, nu mai are nici un rol.

Când un gaz intră într-o conductă netedă, dintr-un rezervor de dimensiuni mari, printr-o secţiune de control, se formează un strat limită laminar de-a lungul pereţilor. Profilul vitezei în secţiunea principală a curgerii rămâne uniform distribuit. Viteza stratului limită creşte cu distanţa în aval de intrare, până ce conducta se umple. Dacă numărul Re corespunzător diametrului conductei este mai mic de 2 100, stratul limită al conductei rămâne laminar. Curgerea este considerată dezvoltată complet, atunci când profilul vitezei nu mai variază cu distanţa în direcţia curgerii. Profilul devine aproape total dezvoltat la o distanţă de la intrare de

aproximativ ( )Re040 d. ⋅ . De exemplu, pentru Re = 1000, lungimea de intrare în conductă creşte cu peste 40 de diametre de conductă.

Particulele mici, prezente în curentul de gaz, difuzează către pereţi ca un rezultat al mişcării lor browniene. Deoarece numărul Schmidt, ν/D, este mai mare decât 1, difuzia stratului limită este mai mică decât viteza stratului limită, iar profilul concentraţiei tinde să rămână în totalitate perpendicular pe distanţe mai mari, în aval de intrare, decât profilul vitezei. Ca o aproximare rezonabilă pentru analiza matematică, se presupune că la intrarea în conductă, profilul concentraţiei este plat, în timp ce profilul vitezei este deja dezvoltat – adică parabolic.


Problema difuziei către pereţii unui canal (conductă), a unei curgeri laminare, este formal identică cu problema transferului de căldură, [2], când dimensiunile particulelor sunt mici în comparaţie cu dimensiunile canalului ( 0→R ). Pentru un profil al vitezei paraboliccomplet dezvoltat, în condiţii staţionare, ecuaţia difuziei convective ia următoarea formă, în coordonate cilindrice:

∂

∂+

∂⋅

∂

∂∂

=∂

∂2

2

x

n

rr

r

nr

Dx

nu

(3.97)

unde

−⋅⋅=

2

12a

rUu av şi avU este viteza medie.

Pentru condiţiile la limită, se presupune concentraţia constantă de-a lungul conductei şi 0 pe pereţi, la r = a:

0 la

pentru 0 la

1

1

==

<==

nar

arnnx

(3.98)

Când Pe > 100, difuzia pe direcţia axială poate fi neglijată. Pentru distanţe mici de la intrarea în conductă, se dezvoltă o concentraţie a stratului limită pentru distribuţia particulelor.

O soluţie analitică pentru ecuaţia difuziei convective dă următoarea expresie pentru fracţia de particule care trece prin conducta de lungime L , fără să se depună:

......n

nP +Π⋅+Π⋅+Π⋅−== 3

4

3

2

1

2 17670215621

(3.99)

cu 020.Q

LD<

⋅⋅π=Π unde Q este debitul volumetric de aer care trece prin

conductă. La distanţă mare de la intrarea în conductă, fracţia de particule este obţinută

rezolvând (3.97) şi folosind metoda separării variabilelor:

( ) ( )

( ) .....

....n

nP

+Π⋅−⋅+

+Π⋅⋅+Π⋅−⋅==

057exp03250

322exp09750663exp81901

2

(3.100)

pentru 020.>Π , [22]. Aceste rezultate pot fi aplicate în cazul depunerilor în conducte tip, pentru


proiectarea bateriei de difuzie, ca dispozitiv pentru măsurarea dimensiunilor mai mici de 1 micron ale particulelor de aerosoli.

Bateria poate fi alcătuită dintr-un mănunchi de tuburi capilare sau dintr-un set de plăci plane, paralele şi aşezate apropiat, prin care aerosolul trece în curgere laminară. Concentraţiile de particule care intră şi părăsesc bateria de difuziune sunt măsurate cu un contor de particule condensate. Pentru valori măsurate ale concentraţiei reduse, valoarea lui Π poate fi determinată din (3.99) sau (3.100) sau echivalentul lor pentru plăci plane. Valoarea lui D , din care rezultă dp, poate fi calculată, deoarece x, a şi U sunt cunoscute în sistem. Pentru aerosoli polidispersaţi, metoda oferă un diametru mediu al particulei, care depinde de distribuţia mărimii particulei. Teoria are, de asemenea, aplicabilitate în calculele de eficienţă pentru anumite tipuri de filtre, [23], alcătuite din foi de material polimeric, penetrat de către o mulţime de pori cilindrici mici.

3.7. Difuzia în curgerea turbulentă într-o conductă Atunci când numărul Reynolds, corespunzător conductei, este mai mare de

aproximativ 2100, viteza stratului limită ce se formează la intrarea în conductă devine turbulentă, pe măsură ce gazul traversează conducta. Profilul vitezei se dezvoltă complet, adică, forma distribuţiei încetează să se mai schimbe la aproximativ 25 – 50 diametre ale conductei, faţă de intrare. Particulele fine, antrenate într-o astfel de curgere, sunt transportate de mişcarea turbulentă şi de cea browniană către perete. Într-un volum de aer atmosferic ce trece prin conducte lungi, peretele îşi pierde efectele datorate difuziei turbulente. Straturile de particule acumulate vor afecta transferul de căldură între gaz şi pereţii conductei.

În analiza transportului turbulent, este de dorit să se împartă curgerea în conductă în trei zone diferite, pe o distanţă perpendiculară pe perete (figura 3.8).

Curgerea este împărţită în trei regiuni. Cea mai mare parte a conductei este plină de miez turbulent, unde viteza creşte rapid deasupra substratului vâscos. Concentraţia scade mai rapid decât viteza, deoarece D este mult mai mic decât v şi difuzia turbulentă aduce particulele mai aproape de perete, înainte ca mişcarea browniană să poată să acţioneze efectiv.

Mijlocul conductei este o regiune cu o turbulenţă ridicată, în care difuzia moleculară este neglijabilă, în comparaţie cu transportul de către vârtejuri turbulente. Aproape de perete este o zonă de tranziţie, unde atât difuzia moleculară cât şi cea prin vârtejuri sunt importante. Lângă peretele propriu-zis există un substrat subţire, în care transferul momentului mecanic este dominat de către forţe vâscoase, iar efectul fluctuaţiilor turbulente slabe poate fi neglijat. Acest lucru se aplică şi în cazul transferului de căldură şi de masă pentru gaze; numerele Schmidt şi Prandtl sunt aproape unitare, ceea ce înseamnă că masa şi căldura sunt transportate la aceleaşi rate ca şi momentul mecanic. Conform teoriei Prandtl, se consideră că lungimea de amestec este, respectiv, distanţa parcursă de particulă


pâna când diferenţa dintre viteza în punctul iniţial şi final al acestei distanţe este egală cu viteza de agitaţie din mişcarea turbulentă, [17]. De asemenea, se consideră că lungimea de amestec este proporţională cu constanta universală a turbulenţei, introdusă de Prandtl.

Situaţia este complet diferită în cazul difuziei particulelor. În acest caz,

1>>D

v şi chiar fluctuaţiile slabe din substratul vâscos contribuie semnificativ la

transport.

Fig. 3.8. Structura curgerii turbulente printr-o conductă.

Considerăm o conductă cu curgere turbulentă. În regiunile apropiate de perete, curbura poate fi neglijată, iar fluxul instantaneu de particule poate fi scris după cum urmează:

vny

nDJ y ⋅+

∂

∂⋅−=

(3.101)

unde y este distanţa măsurată normal la suprafaţă şi v este viteza pe direcţia y. Pentru descrierea matematică a mişcǎrii turbulente, aceasta se descompune

într-o mişcare medie (notată barat) şi o mişcare de pulsaţie (notatǎ cu indice prim).

0 ; ; =′+=′+= vnnnvvv

(3.102)

Valorile medii se calculeazǎ ca medii temporale într-un punct fix, pentru un interval de timp suficient de mare, pentru ca valoarea medie calculatǎ să nu depindă de timp. Timpul iniţial este ales arbitrar.

Substituind în (3.101) şi luând timpul ca valoare medie, obţinem:


vny

nDJ ′⋅+

∂

∂⋅−= '

(3.103)

Coeficientul de difuzie turbulent (al vârtejului), ε , este definit de:

y

nvvn

∂

∂⋅−=⋅ ε'

(3.104)

Pentru coeficientul de difuziune al vârtejului într-un substrat vâscos s-a propus relaţia, [16],

;5.14

3

⋅=

+y

νε

v

f

Uy

y

2

1

2

⋅

=+

(3.105)

unde U este viteza medie, f factor de frecare şi v , vâscozitatea cinematică. Expresia

pentru ε este valabilă atunci când , 5.0<+y , [18].

Ţinând seama de cele de mai sus, expresia generală pentru fluxul de difuziune este:

y

nDJ

∂

∂+−= )( ε

(3.106)

Pentru difuzia particulelor, 1>>D

ν. Comparativ cu transferul momentului

mecanic, particulele pătrund mai aproape de perete prin mişcare turbulentă, înainte ca mişcarea browniană să devină importantă.

Concentraţia particulelor, care dispare la perete, creşte rapid, practic atingând

valoarea maximă, ∞n , în interiorul substratului vâscos, în care ε este dat de formula (3.105).

Distribuţia concentraţiei şi fluxul de depuneri pot fi obţinute prin integrarea (3.106) şi, presupunând că J este funcţie numai de x şi nu de y, distanţa de la suprafaţă. Condiţiile la limită sunt:

∞=∞=== nnyny la ; 0 0 la

(3.107)

Rezultatul integrării este:

3

1

2

1

ScRe042.0 ⋅⋅⋅=⋅

fD

dk

(3.108)


unde coeficientul de transfer de masă (sau viteza de depunere a particulelor) este

definit prin relaţia 0=∞

∂

∂⋅

−=

yy

n

n

Dk .

Rezultatul este valabil pentru o conductă cu pereţi netezi. Pot apărea valori mai mari pentru suprafeţe aspre, de exemplu, când straturile de particule s-au depus deja.

3.8. Depunerea particulelor provenite din bule

Când o bulă de aer se ridică într-un lichid, particulele foarte fine difuzează la interfaţa gaz/lichid, unde se depun. Bulele mai mici de 0.01 cm se comportă ca nişte sfere rigide şi respectă legea lui Stokes, pe măsură ce se ridică, atunci când numărul Reynolds este mai mic decât 1. Bulele mai mari rămân sferice, dar rezistenţa la înaintare este mai mare decât prevede legea lui Stokes.

Pe măsură ce numărul Reynolds creşte la aproximativ 500, corespunzător diametrului bulelor de aproape 1 mm, bulele încep să se deformeze, luând forma unui elipsoid turtit. Drumul bulelor ce se ridică nu mai este liniar, ci devine spiralat. Legea de rezistenţă pentru bulele sferice ce se ridică o urmăreşte pe cea a unui solid sferic. În condiţii normale, suprafaţa bulelor este contaminată de substanţele dizolvate în lichid, care migrează la interfaţǎ, cu energie foarte mare. Prezenţa contaminatorilor are tendinţa să stabilizeze interfaţa, prevenind mişcări relative şi micşorând circulaţiile interne în bulă.

Pentru o bulă nesfericǎ, rata de depunere a aerosolilor poate fi calculată cu binecunoscutele soluţii ale ecuaţiei difuziei cu simetrie sferică:

rr

r

nrD

t

n

∂⋅

∂

∂⋅⋅∂

=∂

∂2

2

(3.109)

Concentraţia aerosolilor în bulă, la momentul 0=t este uniformă şi are valoarea ∞= nn . Pentru 0>t la suprafaţa bulei, ar = , concentraţia este 0=n , iar soluţia ecuaţiei difuziei este, [9]:

∑∞

=

+

⋅π⋅⋅

⋅⋅π⋅−⋅

−

⋅π

⋅⋅=

12

22

10 sinexp

12

p

p

a

rp

a

tDp

p

)(

r

na)t,r(n

(3.110)

Numărul total de particule din bulă, la momentul t ,se obţine integrând după r,

drrn)t(Na

⋅⋅π⋅= ∫3

04

(3.111)


în timp ce numărul iniţial din bulă este:

( )3

40 0

3na

N⋅⋅π

=

(3.112)

Când substituim (3.110) în (3.111) şi integrăm termen cu termen, ţinând seama de (3.112) proporţia din masa de aerosoli ce a rămas în bulă, la orice moment t, faţă de masa iniţială, este:

( )( ) ∑

∞

=

⋅⋅π⋅−⋅⋅

π=

12

22

22exp

16

0 p a

tDp

pN

tN

(3.113)

Timpul necesar concentraţiei să scadă la e

1, faţă de valoarea iniţială este

D

a.d

2

050 ⋅=τ . Concentraţiile medii şi centrale pentru bule sunt reprezentate în

figura 3.9, în cazul unei bule necirculare. Numărul iniţial de particule din bulă, N(0), iar concentraţia la suprafaţa bulei este 0.

Fig. 3.9 Fracţia de particule îndepărtată dintr-o bulă.

Dacă sunt luate precauţii speciale, pentru a evita contaminarea suprafeţei bulelor, depunerea de particule prin difuzie la suprafaţa apei este intensificată prin circulaţia internă. Curgerea internă poate fi calculată pentru numere Reynolds


foarte mici. O soluţie a ecuaţiei difuziei convective, pentru cazul circulaţiei interne pe

suprafeţe de concentraţie constantă, pornind de la situaţia fără curgere, este, [24]:

∑∞

=

⋅⋅⋅µ−⋅⋅=

12

2 16exp

8

3

0 p

pna

tDA

)(N

)t(N

(3.114)

unde 67811 .=µ , 8392 .=µ şi 3211 .A = , 7302 .A = . Timpul necesar concentraţiei de

aerosoli din bulă să scadă la e

1, faţă de valoarea iniţială, este

D

a.

'd

2

0220=τ adică, 40

% din valoare, în cazul unei bule necirculante.

3.9 Difuzia convectivă într-un câmp de forţe exterioare

3.9.1. Mişcarea de antrenare-drift

Să presupunem că într-un gaz neutru este dispersat un ansamblu de particule încărcate, cu densitate mică, astfel ca interacţiunile între particulele încărcate să fie neimportante în comparaţie cu interacţia cu particulele neutre, iar energia particulelor încărcate să fie isuficientă pentru producerea ciocnirilor inelastice (ionizare). Particulele neutre existente, cuprinse în spaţiul considerat, prin ciocniri reciproce, ajung la o distribuţie de echilibru a vitezelor, distribuţia Maxwell-Boltzmann, f, care nu prezintă o variaţie temporală sau spaţială, ci depinde numai de marimea nv şi nu de orientarea sa, astfel că numărul de particule

nvdN , cu

viteza cuprinsă între, v şi dvv + , este dat de :

( ) dvvvfNdN nnnv ⋅⋅⋅⋅π= 204

(3.115)

unde ( )nvfN ⋅0 este densitatea, iar funcţia f este dată de,

( ) ;v

v

v

vfn

n

n

−⋅

π⋅

=20

2

2

33

0

exp1

2

1

02

⋅⋅=

n

nm

Tkv

(3.116)

cu 0nv , viteza cea mai probabilă ;în acest caz 0=vr

. Prin introducerea unui număr mic de particule încărcate electric, de masă m şi

viteză v, în lipsa câmpului electric, se stabileşte echilibru, adică,

22

2

1

2

1nnn vmvm ⋅⋅=⋅⋅

(3.117)

Aplicarea unui câmp electric Er

, face ca după scurt timp, să apară situaţia în


care,

22

2

1

2

1nn vmvm ⋅⋅>⋅⋅

(3.118)

unde v , nu mai este distribuită după distribuţia Maxwell şi 0≠vr

. Pe lăngă fenomenul de difuzie a particulelor încărcate apare şi mişcarea de

ansamblu a acestora, centrul de masă a ansamblului mişcându-se cu viteza de antrenare sau de drift,

vurr

=

(3.119)

paralelă cu Er

. Distribuţia de viteze este modificată. În cazul cel mai simplu, se poate face

ipoteza că, componentele vitezelor după direcţia câmpului, de exemplu după axa Ox, adică vx, au crescut cu cantitea V, astfel că,

θ⋅⋅=⋅+≈ cosVvVv

vvv x

11

(3.120)

cu θ , unghiul dintre v şi vx. Pentru elementul din spaţiul vitezelor, din jurul unui punct oarecare P , avem:

( ) ( ) ( )dv

dfV

v

vvfV

v

vvfvfv,vF xx

x ⋅−≈

⋅+≈= 1

(3.121)

Numărul de particule cu viteza cuprisă între , v şi dvv + , este dat de :

( ) ( ) ( ) ( ) dvvvfNdv,vFvdvN x ⋅⋅⋅⋅π⋅=θ⋅θ⋅⋅⋅⋅π⋅ ∫π

20

0

20 4sin2

(3.122)

Valoarea medie a lui xvv =r

, pentru particule cu viteza cuprinsă între v şi

dvv + este,

dv

df

f

Vvvx ⋅⋅

⋅−=

1

3

(3.123)

Valoarea medie a lui vx , pentru întreg ansamblul, adică viteza de drift , u , este dată de integrala:

( ) ( )Vvdv

dvdv

dv

dfVvdvvvvfu x ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

π−=⋅⋅⋅⋅π⋅= −

ππ

∫∫32

0

32

03

1

3

44

(3.124)

În cazul electronilor care se ciocnesc elastic cu particule neutre din gaz se


poate lua pentru V , valoarea,

vm

eEV

⋅

λ⋅⋅=

(3.125)

unde m

eE ⋅ este acceleraţia căpătată de electron în câmpul E, λ este drumul liber

mijlociu, iar v

λ este timpul mediu între două ciociniri.

Deci, cu cele de mai sus, viteza de drift, în funcţie de drumul liber mijlociu, v, şi de viteza de agitaţie, este:

λ+

λ⋅

⋅

⋅=

dv

d

vm

eEu

2

3

(3.126)

Mişcarea unui ion în propriul său gaz, sub influenţa unui câmp electric static slab E, este o mişcare de antrenare în lungul câmpului electric, ionul ciocnindu-se elastic de moleculele de gaz şi parcurgând traiectorii succesive parabolice. În această mişcare simplă se admite că ionul, după fiecare ciocnire, are aceeaşi viteză ca şi o moleculă oarecare din gaz (nu există o persistenţă a vitezei), mişcarea de antrenare sau de drift fiind o mişcare suprapusă mişcării haotice cinetice, cu precizarea că, energia de câmp a ionului ( π⋅⋅ eE )este neglizabilă faţă de energia termică,

TkEem

m

m

m i

i

⋅<<λ⋅⋅⋅

+

(3.127)

unde m şi mi sunt masele moleculei şi ale ionului , λ , drumul liber mijlociu în direcţia câmpului şi e , sarcina electronului.

În cazul unui nor de electroni, modelul se poate aplica pentru ansamblu, obţinându-se mişcarea de drift a ansmblului.

Mobilitatea µ se defineşte ca fiind viteza de antrenare de drift, în direcţia câmpului electric E, egală cu unitatea. Mobilitatea este proporţională cu temperatura şi invers prporţională cu presiunea şi masa particulei.

3.9.2. Precipitare electrostatică

Precipitarea electrostatică este folosită cu mare răspândire, pentru îndepărtarea particulelor din gazele dintr-o centrală electrică. În majoritatea tipurilor de precipitatori industriali existenţi, gazul pulverulent curge printre plăcile de electrozi paraleli, care, totuşi, pot avea geometrii destul de complexe, care ajută la acapararea depozitelor de particule şi minimizează împrăştierea lor. Particulele sunt încărcate cu ioni generaţi într-o descărcare corona, care înconjoară electrozi suspendaţi între plăci. Lângă electrozi, potenţialul gradientului este foarte ridicat,


având loc o descărcare de electroni şi ionizarea gazului. La o oarecare distanţă de electrozi, potenţialul gradientului scade sub valoarea necesară menţinerii descărcării. Sistemul funcţionează , de obicei, cu o descărcare negativă a electrodului, deoarece acest lucru permite o stabilitate de operare mai mare şi un voltaj mai mare înainte de descompunere. Norul de ioni şi electroni negativi, formaţi în urma descărcării, se îndreaptă către grupul de electrozi. Particulele sunt încărcate de către câmp sau difuzie, încărcarea depinzând de mărimea lor.

Cu spaţiul între plăci de 0.15÷0.40 m şi o viteză a gazului de 1÷3 m/s, [25], corespunzând numerelor Reynolds de 104 sau chiar mai mari, curgerea devine turbulentă.

Pentru curgerea turbulentă şi Re > 104, fluxul instantaneu de particule pe direcţia normală este:

ncnvy

nDJ e ⋅−⋅+

∂

∂⋅−=

(3.128)

unde ce este o cantitate pozitivă pentru migrarea către placă. Luând timpul ca valoare medie şi substituind (3.104), obţinem:

ncy

n)D(J e ⋅−

∂

∂⋅ε+−=

(3.129)

Viteza de migrare electrică, considerată constantă pentru a simplifica calculul, variază de fapt, deoarece depinde de mărimea câmpului, care este funcţie de poziţie şi de timpul de încărcare. Vom presupune, în continuare, că n variază de la zero la suprafaţa colectorului, la ∞n . Pentru o valoare dată a lui x , în direcţia de

curgere, fluxul J poate fi considerat constant pe întreaga regiune a peretelui şi (3.129) poate fi integrată pentru a obţine:

( )

ε+⋅−−

⋅−=

∫∞

∞

0

exp1D

dyc

nc)x(J

e

e

(3.130)

Fluxul de particule este negativ pentru depunerea la suprafaţă.

Integrala ( )∫

∞

ε+=

0D

dyvd reprezintă viteza de migrare a particulei, rezultată

din combinarea mişcării browniane şi turbulente. Valoarea lui vd , poate fi calculată din (3.108), pentru o curgere turbulentă peste o suprafaţă netedă.

Pentru vd >> ce , fluxul mediu este ∞⋅= nvJ d şi, prin urmare, difuzia

controlează procesul de transport. În modelele de calcul pentru electrofiltre, se


consideră , de obicei, că migrarea electrică este mult mai rapidă decât transportul difuzional, astfel că ce >> vd.

Termenul exponenţial de la numitor poate fi neglijat şi se obţine ∞⋅= ncJ e .

Eficienţa electrofiltrului poate fi calculată în funcţie de materialele componente (figura 3.10) , urmărindu-se îndeplinirea relaţiei dxcnndbU e ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ∞∞ 2

Fig. 3.10. Balanţa de material a unui element al precipitatorului.

Rezultatul este:

⋅

⋅−−=

−

∞

∞∞

bU

Lc

n

)nn( e2exp1

1

21

(3.131)

unde L este lungimea precipitatorului, b este spaţiul dintre plăci, şi U viteza medie a gazului. Aceasta reprezintă expresia folosită , în mod curent , în calculele de proiectare ale electrofiltrului.

Viteza de migrare atinge un minim, corespunzător unui particule, cu dimensiunile în zona de tranziţie dintre difuziune şi încărcarea câmpului Prin diferenţierea relaţiei (3.131), vom observa că eficienţa trebuie să atingă, de asemenea, un minim la acelaşi diametru al particulei.

A fost observat experimental, un minim pentru eficienţa electrofiltrului, cu creşterea dimensiunilor particulei (figura 3.11). Minimul vitezei de migrare este de de aproximativ 0.5 µm şi rezultă, probabil, din forma de tranziţie a difuziei către încărcarea câmpului. Scăderea eficienţei particulelor mai mari de 3 µm poate rezulta din recirculare.

În practică, nu este posibilă efectuarea unor astfel de calcule ale lui ce, în primul rând datorită complexităţii interacţiunilor dintre particule şi descărcarea corona. Comportamentul mecanic şi electric al straturilor de praf depuse este ,de asemenea, greu de caracterizat. În acest mod, teoria oferă o orientare pentru proiectare dar în practică, experienţa şi testele îşi menţin supremaţia.


Fig. 3.11. Eficienţa ca funcţie de dimensiunea particulei pentru un precipitator electric.

3.10. Difuzia termică - termodifuzia

Când un corp încălzit cum ar fi un cilindru orizontal sau o placă verticală este plasat într-o încăpere conţinând un aerosol şi slab iluminată, în jurul corpului apare o regiune aparent fără particule, [26]. Acest spaţiu „fără praf” se dezvoltă ca rezultat al balanţei dintre curgerea de gaz care transportă particulele spre suprafaţă şi forţa termodifuziei care îndepărtează particulele.

Pentru placa verticală şi cilindrul orizontal încălzite, curgerea rezultă din convecţia naturală. Configuraţia de stagnare este o curgere forţată. În fiecare caz curgerea este de tipul strat limită. Soluţii analitice simple pot fi obţinute atunci când grosimea spaţiului fără praf este mult mai mică decât cea a stratului limită. În acest caz, viteza de distribuţie a gazului poate fi aproximată prin primul termen al distanţei normală la suprafaţă, [27,28,29].

3.10.1 Placă verticală

Se consideră că placă verticală este montată într-un volum (infinit) foarte mare de aer ca conţine particule fine. Placa este încălzită, şi un strat de aer cald se ridică la suprafaţă. Componenta vitezei aerului paralelă la suprafaţă creşte de la zero la suprafaţă, la o valoare maximă şi apoi scade la zero, valoare departe de placă. Un important parametru adimensional pentru acest tip de curgere este numărul Grashof:

∞

∞

⋅

−⋅=

Tv

)TT(LgG w

2

3

(3.132)

unde g este acceleraţia gravitaţională, L este lungimea plăcii, şi Tw şi T∞ se referă la


temperatura la perete şi respectiv, la o distanţă mai mare faţă de perete. Pentru aerul situat la un nivel de 104 < G < 108, curgerea este de tipul stratului limită laminar. La valori mai mari ale lui G curgerea devine turbulentă, iar pentru valori mai mici stratul devine prea subţire pentru a se putea aplica teoria startului limită.

Pentru stratul limită laminar a fost elaborată o soluţie matematică asupra unei plăci plate cu proprietăţile gazului independente de temperatură, şi rezultatele au fost verificate experimental, [5]. Gradientul de temperatură la perete este :

( ) 4

1

0

5080−

∞ ⋅⋅−⋅−=

∂

∂xCTT.

y

Tw

(3.133)

unde x = distanţa de la fundul plăcii, iar C este,

( ) 4

1

24

⋅

−⋅=

∞

∞

Tv

TTgC w

(3.134)

Componenta normală a vitezei la placă, fyv , este îndreptată către suprafaţă.

Lângă suprafaţă, această componentă poate fi reprezentată prin primul termen din expresia:

)y(xyCv.v/

fy

34323 03380 +⋅⋅⋅−= −

(3.135)

unde semnul minus indică faptul că, curgerea este către placă. Distanţa y este măsurată normal la suprafaţa plăcii. Neglijând difuzia şi

inerţia particulei, putem pune în ecuaţie termodifuzia ce acţionează asupra particulelor conform legii lui Stokes pentru a afla locul suprafeţei unde normala vitezei la suprafaţa particulei dispare:

( )0=

∂

∂⋅⋅−−

y

fyyy

T

T

Kfvvvf

(3.136)

unde y

T

∂

∂ este evaluată la suprafaţă. Viteza particulei dispare la finalul

spaţiului fără praf.

Când înlocuim (3.135) pentru vfy şi (3.134) pentru 0=

∂

∂

yy

T , dimensiunea

spaţiului fără praf determinat de coordonatele vy = 0 este dat de :


2

14

1

2

1

231 KC

x

T

TT.

w

wdf ⋅⋅

−⋅=δ ∞

(3.137)

Grosimea spaţiului fără praf creşte o dată cu distanţa de la capătul plăcii verticale. Valoarea lui K poate fi obţinută din capitolul anterior, (2.56).

3.10.2. Curgere staţionară

Termodifuzia poate fi folosită pentru a suprima depunerea de particule pe perete în timpul operaţiilor de curăţare în camere în industria microelectronicelor. Pentru a estima efectul unui gradient de temperatură aplicat pe o depunere de particule, curgerea sau aerul filtrat peste suprafaţa unei pecete orizontale poate fi aproximat printr-o curgere staţionară (figura 3.12). Atât pentru curgerea plană cât şi curgere staţionară axial simetrică, componenta normală la suprafaţă a vitezei gazului şi temperatura câmpurilor depind numai de distanţa faţă de suprafaţă.

Fig. 3.12. Temperatura şi distribuţia de viteză în curgerea staţionară.

În absenţa convecţiei naturale, normala la suprafaţă a vitezei gazului în vecinătatea planului curgerii staţionare este:

23

61630 yv

a.v f −=

(3.138)

Gradientul de temperatură la perete este, [5]:

( )TTv

a.

dy

dTw

y

−⋅−=

=

49500

(3.139)

în care s-a ţinut seama că pentru aer numărul Prandtl este Pr= 0.7. Pentru curgeri plane peste o bandă plată infinită, normal la curgere a = U/R, unde U este normala la suprafaţă a vitezei gazului, departe de suprafaţă, şi R este raza plăcii.


Egalând forţa de rezistenţă a aerului asupra particulelor cu forţa termodifuziei şi neglijând acceleraţia particulelor:

( ) 2

1

2

12

1

90

−⋅

⋅=δ

w

wdf

T

TTK

a

v.

(3.140)

Astfel, dfδ este proporţional cu rădăcina pătrată a coeficientului termodifuziei,

diferenţei de temperatură, şi cu rădăcina pătratică a vâscozităţii gazului şi este invers proporţional cu rădăcina pătrată a vitezei gazului.

Valorile lui dfδ bazate pe primul termen al expansiunii vitezei în apropierea

suprafeţei pot fi comparate cu valorile calculate numeric bazate pentru viteza totală şi distribuţiile de temperatură. Calculele lui dfδ pentru particule de aluminiu şi

cupru (0.5 < dp < 2 µm) indică faptul că pentru diferenţe de temperaturi de ordinul 100C spaţiul fără praf ar fi destul de subţire încât să prevină depunerea particulelor.

3.10.3 Efectele mişcării browniene asupra depunerilor

Până acum, analiza nu a luat în considerare efectele mişcării brauniene care întotdeauna permite pierderi prin dispersie difuză în „spaţiul fără praf” ale suprafeţei încălzite.

Ecuaţia pentru convecţie, difuziune, termodifuzie şi sedimentare simultane pentru o configuraţie unidimensională a curgerii staţionare este:

( )dy

nccd

dy

ndD

dy

dnv ts ⋅+⋅

+⋅=⋅2

2

(3. 141)

unde cs şi ct se referă la vitezele de sedimentare şi respectiv de termodifuzie. De notat că termodifuzia este un mecanism de control a transportului de

particule în fabricarea de fibre optice prin modificarea procesului de depunere vaporilor chimici. În această aplicaţie, particule de silice de ordinul submicronilor şi asociaţii de oxizi de aerosoli sunt depozitaţi pe interiorul unui tub de cuartz.

difuzia convectivsa

Documents