algebr a liniar a, geometrie analitic a, ˘si elemente de ... · liniar a, geometrie analitic a...

Algebra Liniara, Geometrie Analitica,

si Elemente de Geometrie Diferentiala

Vladimir BALAN

= Bucuresti 2020 =

Prefata

Acest material include notiunile, rezultatele teoretice de baza, precum si probleme de algebraliniara, geometrie analitica si elemente de geometrie diferentiala (teoria curbelor si suprafetelor).

In lucrare sunt expuse clar si cu multe exemple instructive, elemente de algebra liniara (structurialgebrice, spatii vectoriale, transformari liniare, forme patratice), de geometrie analitica (vectori liberi,dreapta si planul ın spatiu, conice, cuadrice) si de geometrie diferentiala (curbe si suprafete).

Desi cartea are un pronuntat caracter teoretic, atat exemplificarile ce ınsotesc definitiile si rezul-tatele, precum si exercitiile propuse la sfarsit de capitol urmate de raspunsuri sau rezolvari succinte,fac din acest curs un instrument util de seminarizare.

In plus, volumul include un index de notiuni, deci poate fi utilizat si ca breviar de orientare rapida,iar referintele bibliografice reprezinta un punct de plecare pentru un studiu extins al materialului.

Lucrarea este utila ın special studentilor de la facultatile tehnice, inginerilor, cercetatorilor sicadrelor didactice din ınvatamantul superior si mediu, putand fi consultata si de elevii de liceu dinanii terminali. Parcurgerea cartii presupune cunoasterea notiunilor si rezultatelor de algebra, analizamatematica si geometrie predate ın ınvatamantul liceal.

Bucuresti, 6 ianuarie 2020. Autorul.

Cuprins

I ALGEBRA LINIARA 6

1 Spatii vectoriale 61 Structuri algebrice: grupuri si corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Spatii si subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Dependenta si independenta liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Baza si dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Spatii vectoriale euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Ortogonalitate. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 257 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Transformari liniare 391 Transformari liniare. Definitii, exemple, proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Nucleul si imaginea unei transformari liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Matricea unei transformari liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 Endomorfisme particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 Transformari liniare pe spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 Izometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Vectori si valori proprii 611 Spectru. Subspatii proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 Polinom caracteristic al unui endomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 Forma diagonala a unui endomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 Forma canonica Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 Spectrul endomorfismelor ın spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 Polinoame de matrice. Functii de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Forme biliniare si patratice 841 Forme biliniare. Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 Expresia canonica a unei forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 Signatura unei forme patratice reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3

4

II GEOMETRIE ANALITICA 99

1 Vectori liberi 991 Spatiul vectorial al vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 Coliniaritate si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023 Proiectii ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034 Produs scalar ın V 3 si ın V 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055 Produs vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076 Produs mixt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2 Dreapta si planul ın spatiu 1131 Reper cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132 Dreapta ın spatiu. Reprezentare analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143 Planul ın spatiu. Reprezentare analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164 Unghiuri ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215 Distante ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3 Schimbari de repere ın spatiu 1301 Translatia si rotatia reperului cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302 Trecerea de la reperul cartezian la reperul polar ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343 Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . 1354 Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . 1375 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4 Conice 1391 Ecuatie redusa. Invarianti afini. Clasificare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402 Reducerea ecuatiei unei conice la forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493 Intersectia dintre o dreapta si o conica. Probleme de tangenta . . . . . . . . . . . . . . 1554 Asimptotele unei conice de gen hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565 Pol si polara. Probleme de tangenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576 Diametru conjugat cu o directie data. Axe de simetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5 Cuadrice 1621 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663 Hiperboloizii. Conul asimptot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674 Paraboloizii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695 Cilindri. Alte tipuri de cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716 Cuadrice riglate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727 Cuadrice descrise prin ecuatia generala. Invarianti afini . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738 Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769 Intersectia unei cuadrice cu o dreapta sau cu un plan. Probleme de tangenta . . . . . 17710 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5

III ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENTIALA 183

1 Curbe 1831 Preliminarii. Aplicatii diferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832 Curbe ın Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833 Curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

3.1 Curbe plane date prin ecuatie carteziana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843.2 Curbe plane date prin ecuatii parametrice. Reperul si ecuatiile Frenet . . . . . 1853.3 Curbe plane date prin ecuatie polara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4 Curbe ın R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.1 Curbe ın R3 date prin ecuatii carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.2 Curbe ın R3 date prin ecuatii parametrice. Reperul si ecuatiile Frenet . . . . . 188

5 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

2 Suprafete 1921 Suprafete ın R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

1.1 Suprafete date prin ecuatie carteziana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1921.2 Suprafete date prin ecuatii parametrice (panze parametrizate). Reperul Gauss 1921.3 Panze parametrizate. Forme fundamentale. Curburi . . . . . . . . . . . . . . . 1931.4 Curbe speciale ale panzelor parametrizate. Reperul Darboux . . . . . . . . . . 194

2 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Bibliografie 199

Index de notiuni 205

Partea I - ALGEBRA LINIARA

Capitolul 1. Spatii vectoriale

1 Structuri algebrice: grupuri si corpuri

Vom reaminti ıntai notiunile de monoid, grup si corp comutativ.

Definitii. a) Un monoid (M, ∗) reprezinta o multime M ımpreuna cu o operatie binara interna∗ : (g1, g2) ∈M ×M → g1 ∗ g2 ∈M , care satisface urmatoarele conditii:

∀g1, g2, g3 ∈M , g1 ∗ (g2 ∗ g3) = (g1 ∗ g2) ∗ g3 (asociativitate) (1)

∃e ∈M, ∀g ∈M, e ∗ g = g ∗ e = g (element neutru) (2)

b) Un grup (G, ∗) este dat de o multime G ımpreuna cu o operatie binara interna ∗ : (g1, g2) ∈ G×G→g1 ∗ g2 ∈ G, care satisface urmatoarele conditii:

∀g1, g2, g3 ∈ G , g1 ∗ (g2 ∗ g3) = (g1 ∗ g2) ∗ g3 (asociativitate) (1)

∃e ∈ G, ∀g ∈ G, e ∗ g = g ∗ e = g (element neutru) (2)

∀g ∈ G,∃g′ ∈ G, g ∗ g′ = g′ ∗ g = e (element simetric). (3)

Daca operatia ∗ satisface conditia suplimentara ∀g1, g2 ∈ G, g1 ∗ g2 = g2 ∗ g1 (comutativitate), atuncigrupul G se numeste grup comutativ (sau em grup abelian).

Observatii. 1. Elementul e din axioma (2) este unic determinat de proprietatea data (tema,verificati!) si se numeste element neutru; elementul g′ care satisface axioma (3) este unic determi-nat de g si se numeste simetricul lui g.

2. In grupurile uzuale, operatia de grup se noteaza fie aditiv, fie multiplicativ. In fiecare din cele douacazuri apar urmatoarele notatii si denumiri:

⋄ Intr-un grup aditiv, notat prin (G,+), elementul neutru e se noteaza cu 0 si se numeste zero(vectorul nul), iar elementul simetric g′ al unui element g se noteaza cu −g si se numeste opusullui g; diferenta g1 − g2 se defineste ca fiind suma g1 + (−g2).

⋄ Intr-un grup multiplicativ, notat prin (G, · ), elementul neutru e se noteaza cu 1 si se numesteunitate, iar g′ se noteaza cu g−1 si se numeste inversul lui g.

Exemple de grupuri.

a) Grupurile aditive (C,+), (R,+), (Q,+), (Z,+).

b) Grupurile multiplicative (C∗ = C \{0}, · ), (R∗ = R \{0}, · ), (Q∗ = Q \{0}, · ).

c) (G, ∗), unde G =

{(1 00 1

),

(0 −11 0

),

(−1 00 −1

),

(0 1−1 0

)}, iar ∗ este ınmultirea

matricelor.

d) Grupurile (G = {1, i,−1,−i} ⊂ C∗, · ); (Z4,+).

e) Multimea bijectiilor definite pe o multime A si cu valori ın A formeaza grup relativ la compunereafunctiilor.

Spatii vectoriale 7

Definitie. Fie (G, ∗) un grup. Se numeste subgrup al grupului G o submultime nevida H ⊂ G caresatisface proprietatea

∀g1, g2 ∈ H, g1 ∗ g′2 ∈ H. (1)

In acest caz notam (H, ∗) ⊂ (G, ∗).

Observatii. 1. H este un subgrup al grupului (G, ∗) daca si numai daca H este grup ın raport cuoperatia indusa de ∗.

2. Conditia (1) este echivalenta cu conditiile

∀g1, g2 ∈ H, g1 ∗ g2 ∈ H; ∀g ∈ H, g′ ∈ H.

Exemple de subgrupuri.

a) (Z,+) ⊂ (Q,+) ⊂ (R,+) ⊂ (C,+);

b) (Q∗, · ) ⊂ (R∗, · ) ⊂ (C∗, · );c) (Q∗

+, · ) ⊂ (R∗+, · ) ⊂ (C∗

+, · );d) Grupul permutarilor de n obiecte (n ∈ N∗);

e) ({e}, ∗) ⊂ (G, ∗); (G, ∗) ⊂ (G, ∗), unde e este elementul neutru al grupului G. Aceste subgrupurise numesc subgrupuri improprii ale grupului G.

Definitii. a) Fie (G, ∗) si (G′, ◦) doua grupuri. Se numeste morfism de grupuri o functie φ : G→ G′

care satisface relatia φ(g1 ∗ g2) = φ(g1) ◦ φ(g2), ∀g1, g2 ∈ G.b) Un morfism injectiv se numeste monomorfism. Un morfism surjectiv se numeste epimorfism.

c) Un morfism bijectiv se numeste izomorfism.

d) Daca G ≡ G′ si ∗ ≡ ◦, morfismul se mai numeste de endomorfism, iar izomorfismul, se numesteautomorfism.

Exemple de grupuri izomorfe.

a) Grupurile din exemplele 1 c) si d) de mai sus sunt izomorfe;

b) Grupurile (Zn,+) si (Un = {z ∈ C | zn = 1}, · ) sunt izomorfe prin aplicatia

φ : Zn → Un , φ(m) = cosmπ

n+ i sin

mπ

n, m = 0, n− 1.

Definitii. a) Se numeste corp un triplet (K ,+, · ) format dintr-o multime K ımpreuna cu douaaplicatii binare notate prin + , · ale lui K ×K ın K (numite respectiv adunare si ınmultire), caresatisfac conditiile:

⋄ adunarea determina pe K o structura de grup comutativ,

⋄ ınmultirea determina pe K \{0} o structura de grup,

⋄ ınmultirea este distributiva fata de adunare.

b) Se numeste camp (sau corp comutativ), un corp pentru care si ınmultirea este comutativa.

In cele ce urmeaza, vom nota un corp (K , +, ·) prin K , iar corpurile utilizate vor fi campurile(R, +, ·) si (C, +, ·).

Exemple de corpuri.

a) Tripletele (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) sunt corpuri comutative, unde operatiile de adunare siınmultire sunt cele uzuale.

b) Tripletul (Zp, +, ·), unde p este un numar prim, este corp comutativ.

8 Spatii si subspatii vectoriale


Pe langa diverse structuri algebrice precum cele de monoid, grup, inel, sau corp, ın studiul disciplineloraplicate intervine cu prioritate structura de spatiu vectorial. Aceasta structura consta dintr-un grupaditiv comutativ V , si o operatie de ınmultire externa definita pe K ×V cu valori ın V care satisfacepatru axiome, unde K este un camp. Vom nota elementele spatiului vectorial V (numite vectori) prinu, v, w, . . . , iar cele ale corpului K (numite scalari), prin a, b, c, . . . ; k, l, . . . sau α, β, . . . .

Definitii. Se numeste spatiu vectorial peste corpul K un triplet (V ,+, ·k = f), ın care:

a) V este o multime, ale carei elemente se numesc vectori;

b) operatia ”+” (numita de adunare a vectorilor) determina o structura de grup comutativ pe V ,notata aditiv, (v, w) ∈ V × V → v + w ∈ V ;

c) operatia ”·k” (numita de ınmultire cu scalari)1, data de o functie f

f : K × V → V , f(k, v) = kv,

ce satisface proprietatile

k(lv) = (kl)v, ∀k, l ∈ K , ∀v ∈ V (asoc. ınmultirii cu scalari) (1)

(k + l)v = kv + lv, ∀k, l ∈ K , ∀v ∈ V (distrib. fata de adunarea din K ) (2)

k(v + w) = kv + kw, ∀k ∈ K , ∀v, w ∈ V (distrib. fata de adunarea din V ) (3)

1 · v = v, ∀v ∈ V (4)

Elementele lui K se numesc scalari, iar aplicatia f se numeste ınmultirea cu scalari.

In cazulK = R, spatiul vectorial se numeste spatiu vectorial real, iar dacaK = C, spatiul vectorialse numeste spatiu vectorial complex.

Un spatiu vectorial (V ,+, ·k), se va nota uneori, pe scurt, prin V . In cele ce urmeaza, prin corpulK vom ıntelege unul din campurile R sau C.

Teorema. Daca V este un spatiu vectorial peste corpul K , atunci ∀u, v, w ∈ V si ∀k, l ∈ K , au locurmatoarele proprietati:

a) 0v = 0,

b) k0 = 0,

c) (−1)v = −v,d) v + w = v + u⇒ w = u,

e) kv = lv si v = 0⇒ k = l,

unde elementul 0 din stanga egalitatii a) reprezinta elementul neutru 0K ∈ K fata de adunare alcorpului K , iar elementul 0 din membrul drept reprezinta vectorul nul 0V ∈ V , elementul neutru algrupului abelian (V ,+).

Demonstratie. a) Avem: 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v ⇒ 0 = 0v.b) k · 0 = k · (0 + 0) = k · 0 + k · 0 ⇒ 0 = k · 0.c) v + (−1)v = 1v + (−1)v = (1 + (−1)v = 0v = 0⇒ (−1)v = −v.d) v + w = v + u⇒ −v + v + w = −v + v + u⇒ 0 + w = 0 + u⇒ w = u.e) kv = lv ⇒ (k− l)v = 0 ⇒ k = l (ın caz contrar, ınmultind cu (k− l)−1, rezulta v = 0, contradictie).�

1Uneori vom nota simbolul ·k prin ·, sau - acolo unde nu este pericol de confuzie - ıl vom omite.

Spatii vectoriale 9

Consecinta. In orice spatiu vectorial V peste corpul K , pentru ∀k, l ∈ K , ∀v, w ∈ V au loc relatiile:

a) −(kv) = (−k)v = k(−v),b) (k − l)v = kv + (−l)v = kv + (−lv) = kv − lv,c) k(v − w) = k[v + (−1)w] = kv + (−k)w = kv + (−kw) = kv − kw.

Demonstratie. Aratam, spre exemplu, ca egalitatea de la punctul a) are loc. Pe de o parte, avem

(−k)v = k(−1) · v = k · (−1)vc)= k · (−v).

Pe de alta parte, din egalitatile (−k)v+kvc)=(−k+k)v = 0 ·v = −(kv)+kv rezulta, folosind implicatia

d), egalitatea (−k)v = −(kv). �Exemple de spatii vectoriale.

In fiecare din exemplele urmatoare, vom preciza multimile V si K , precum si operatiile de adunaredin V si de ınmultire a vectorilor din V cu scalari din K .

a) Spatiul vectorial K peste corpul K . In acest caz, V = K =corp, iar adunarea si ınmultirea cuscalari sunt respectiv adunarea si ınmultirea din corpul K .

b) Spatiul vectorial C peste corpul R. In acest caz, V = C (multimea numerelor complexe), K = R(multimea numerelor reale), adunarea este cea din C, ınmultirea cu scalari este cea uzuala dintre unnumar real si un numar complex.

c) Spatiul vectorial aritmetic cu n dimensiuni V = K n, unde K =corp comutativ; adunarea siınmultirea cu scalari definite prin:{

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)kx = (kx1, kx2, . . . , kxn), ∀x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ K n,∀k ∈ K .

d) Spatiul vectorial al vectorilor liberi din spatiu. V = V 3, K = R, adunarea vectorilor liberi estedata de regula paralelogramului, iar ınmultirea dintre un numar real si un vector liber este descrisa lapag. 101.

e) Spatiul vectorial al matricelor de ordin m × n. V = Mm×n(K ), K ∈ {R,C}, cu adunareamatricelor si ınmultirea dintre un scalar si o matrice.

f) Spatiul vectorial al solutiilor unui sistem algebric liniar omogen. V =multimea solutiilor unuisistem liniar omogen de m ecuatii cu n necunoscute privite ca elemente din K n (n-uple), cu coeficientidin K , K ∈ {R,C}, unde adunarea este cea din K n, iar ınmultirea cu scalari este cea descrisa pentruspatiul vectorial K n.

Spre exemplu, familia V a solutiilor sistemului

{x+ y − z = 02x+ z = 0

este familia tripletelor de numere

reale de forma (x, y, z) = (λ,−3λ,−2λ), λ ∈ R. Se observa ca V formeaza spatiu vectorial cu operatiiledefinite ın exemplul c).

g) Spatiul vectorial al functiilor cu valori ıntr-un spatiu vectorial dat. In acest caz avem V ={f |f : S →W }, unde S multime nevida iar W este un spatiu vectorial peste campul K ∈ {R,C},iar operatiile sunt cele de adunare a functiilor si ınmultire a acestora cu scalari din corpul K .

h) Spatiul vectorial al solutiilor unei ecuatii diferentiale liniare si omogene. In acest caz, V =multimea solutiilor unei ecuatii diferentiale ordinare, liniare si omogene, K = R, adunarea functiilor,ınmultirea unei functii cu un scalar. Spre exemplu, pentru λ ∈ R,

V = {f | f : R→ R, y not= f, y′ − λy = 0} = {f | f(x) = aeλx, a ∈ R}

formeaza un asemenea spatiu vectorial.


i) Spatiul vectorial al tuturor sirurilor reale sau complexe. In acest caz, V =multimea tuturorsirurilor reale sau complexe, K ∈ {R,C}, iar operatiile sunt:{

x+ y = {x1 + y1, . . . , xn + yn, . . . }kx = {kx1, . . . , kxn, . . . }, ∀x = {x1, . . . , xn, . . . }, y = {y1, . . . , yn, . . . } ∈ V , ∀k ∈ K .

Dat fiind un K −spatiu vectorial (spatiu vectorial peste corpul K ), vom studia ın cele ce urmeazasubspatiile vectoriale ale spatiului vectorial V , submultimile acestuia care sunt ele ınsele spatii vecto-riale relativ la operatiile induse din V .

Definitie. Se numeste subspatiu vectorial al lui V o submultime nevida W a lui V , astfel ıncat auloc proprietatile

∀u, v ∈W , u+ v ∈W ;(1)

∀k ∈ K , ∀u ∈W , ku ∈W .(2)

Observatii. 1. Aceste conditii sunt echivalente cu proprietatea

∀u, v ∈W , ∀k, l ∈ K , ku+ lv ∈W .

2. Adunarea si ınmultirea cu scalari pe W sunt restrictiile la W ale operatiilor de pe V ; de aceeaurmatoarele afirmatii sunt echivalente:

• W este un subspatiu vectorial al lui V ;

• W este un spatiu vectorial peste K ın raport cu operatiile induse din V .

Exemple de subspatii vectoriale

a) Fie V un spatiu vectorial peste campul K . Multimile {0} si V sunt subspatii vectoriale ale lui V .Acestea se numesc subspatii improprii; oricare alt subspatiu al lui V se numeste subspatiu propriu.

b) Multimea W a n-uplelor de forma (0, x2, . . . , xn), ∀x2, . . . , xn ∈ K este un subspatiu vectorial allui K n. Se observa ca are loc egalitatea

W = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ K n | x1 = 0}

si ca W formeaza un subspatiu vectorial ın K n, de tipul spatiilor vectoriale descrise ın paragrafulurmator.

c) Multimea functiilor impare si multimea functiilor pare sunt respectiv subspatii ale spatiului vec-torial real al functiilor reale definite pe (−a, a), unde a ∈ (0,∞).

d) Fie V = C0[a, b] = {f | f : [a, b] → R, f continua pe [a, b]}. Submultimea W = {f ∈C0[a, b] | f(a) = f(b)} este un subspatiu vectorial ın V .

e) Fie V = R3. Dreptele si planele care contin originea sunt subspatii vectoriale ale lui R3. Coor-donatele punctelor lor (triplete din R3) sunt familii de solutii ale unor sisteme liniare si omogene deecuatii cu trei necunoscute.

Definitie. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si S o submultime nevida a lui V . Se numestecombinatie liniara finita de elemente din S un vector v ∈ V de forma

v =

p∑i=1

kivi, unde vi ∈ S, ki ∈ K , i = 1, p.

Spatii vectoriale 11

Teorema. Daca S este o submultime nevida a lui V , atunci multimea tuturor combinatiilor liniarefinite formate cu vectori din S, este un subspatiu vectorial al lui V .

Acest subspatiu se numeste subspatiul generat de submultimea S sau acoperirea liniara a lui S sise noteaza cu Span(S). Daca S este multimea vida, atunci prin definitie Span(S) = {0}.

Observatie. Diferite submultimi de vectori din V pot sa genereze acelasi subspatiu vectorial. Deexemplu, pentru a, b ∈ K , a = 0, oricare din multimile

{1, t, t2, . . . , tn},{1,t

1!,t2

2!, . . . ,

tn

n!

}, {1, (at+ b), (at+ b)2, . . . , (at+ b)n}

genereaza spatiul vectorial al functiilor polinomiale ın nedeterminata t care au cel mult gradul n, notatın cele ce urmeaza cu K n[t], iar oricare din multimile

{1, t, t2, . . . , tn, . . . },{1,t

1!,t2

2!, . . . ,

tn

n!, . . .

}, {1, (at+ b), (at+ b)2, . . . , (at+ b)n, . . . }

genereaza spatiul vectorial al tuturor functiilor polinomiale ın nedeterminata t, notat cu K [t]. Ob-servam ca W = K n[t] este subspatiu vectorial al spatiului vectorial V = K [t].

Teorema. Daca U si W sunt doua subspatii ale spatiului vectorial V , atunci

a) suma dintre U si W , multimea

U +W = {v = v1 + v2 | v1 ∈ U , v2 ∈W } ⊂ V

este un subspatiu vectorial al lui V ;b) intersectia U ∩W este un subspatiu vectorial al lui V ; mai mult, intersectia unui numar arbitrarde subspatii vectoriale ale lui V este tot un subspatiu vectorial.c) reuniunea U ∪W este un subspatiu vectorial al lui V daca si numai daca U ⊆ W sau W ⊆ U(deci U ∪W nu este ın general subspatiu vectorial al lui V ).

Demonstratie. a) Adunarea este o operatie interna; ıntr-adevar, avem (1), deoarece

v, v′ ∈ U +W ⇔ v = u+ w, v′ = u′ + w′,

cu u, u′ ∈ U , w,w′ ∈W ; atunci rezulta u+ u′ ∈ U , w + w′ ∈W , si deci

v + v′ = (u+ u′) + (w + w′) ∈ U +W .

Pentru proprietatea (2), consideram k ∈ K , si v = u+ w ∈ V , unde u ∈ U si w ∈W . Atunci

ku ∈ U , kw ∈W ⇒ kv = (ku) + (kw) ∈ U +W .

b) Din v, v′ ∈U ∩W , rezulta v, v′ ∈ U , v, v′ ∈ W . Cum U si W sunt subspatii vectoriale, rezulta capentru orice k, l ∈ K , avem

kv + lv′ ∈ U , kv + lv′ ∈W ,⇒ kv + lv′ ∈ U ∩W .

c) Presupunem ca nu are loc nici una dintre incluziunile U ⊆ W ,W ⊆ U . Fie deci u ∈ U \W ,w ∈ W \U . Rezulta u + w /∈ U (altfel u + v ∈ U si u ∈ U ⇒ v ∈ U , contradictie) si analogu + w /∈ V . Prin urmare u + w /∈U ∪W , deci U ∪ V nu este subspatiu vectorial. Daca U ⊆ W ,


atunci U ∪W =W , si deci W ⊆W este subspatiu vectorial (subspatiul total) al spatiului vectorialV =W . Cazul W ⊆ U se demonstreaza analog. �Exercitii. a) Daca U si W sunt doua subspatii ale spatiului vectorial V , atunci acoperirea liniaraSpan(U ∪W ) a multimii U ∪W este exact subspatiul vectorial U +W (tema, verificati!) .b) Fie U = Span(v1 = (1, 0)) ⊂ R2, W = Span(v2 = (0, 1)) ⊂ R2. Atunci U ∩W ={0}, U +W =R2 ⊂ R2 (deci suma este ıntregul spatiu vectorial) iar reuniunea U ∪W nu este subspatiu vectorialın R2, deoarece

v1 ∈ U , v2 ∈W , v1 + v2 /∈ U ∪W = {(x, y)|xy = 0}.c) Fie subspatiile U ,W ⊂ R2 generate respectiv de familiile de vectori

{u1 = (1, 4), u2 = (−1, 2), u3 = (2, 0)} si {w1 = (1, 5), w2 = (−2,−10), w3 = (3, 15)} ⊂ R2.

R: Determinam baze ın subspatiile U +W si U ∩W . Subspatiul suma U +W este acoperirea liniaraa reuniunii familiilor de generatori, deci a multimii de vectori {u1, u2, u3, w1, w2, w3},

U +W = Span({u1, u2, u3, w1, w2, w3}),

adica orice vector v ∈ U +W este de forma

v = k1w1 + k2w2 + k3w3 + k4u1 + k5u2 + k6u3; k1, k2, k3, k4, k5, k6 ∈ K .

Subspatiul U ∩W contine acei vectori care admit scrierea simultana

(v =) α1w1 + α2w2 + α3w3 = β1u1 + β2u2 + β3u3.

Folosind operatiile cu vectori din R2 obtinem prin ınlocuire si identificare pe componente, sistemul{α1 − 2α2 + 3α3 = β1 − β2 + 2β35α1 − 10α2 + 15α3 = 4β1 + 2β2,

ın necunoscutele α1, α2, α3 ∈ R. Rangul matricei sistemului este unu, iar compatibilitatea este asigu-

rata de anularea determinantului caracteristic,∣∣∣ 1 β1−β2+2β3

5 4β1+2β2

∣∣∣ = 0⇔ β1−7β2+10β3 = 0. Considerand

β2 si β3 ca necunoscute secundare, obtinem

β1 = 7λ− 10µ, β2 = λ, β3 = µ, λ, µ ∈ R.

Atunci, ınlocuind ın expresia lui v expresiile obtinute pentru coeficientii β1, β2 si β3, rezulta ca vectoriispatiului U ∩W sunt de forma

v = (7λ− 10µ)u1 + λu2 + µu3 = (6λ− 8µ, 30λ− 40µ) = (6λ− 8µ)(1, 5), λ, µ ∈ R,

si deci U ∩W = Span({v′ = (1, 5)}).

Teorema. Fie U ,W subspatii vectoriale. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) pentru orice vector v ∈ U +W , exista o unica descompunere

v = v1 + v2, v1 ∈ U , v2 ∈W ;

b) U ∩W = {0}.

Demonstratie. b) ⇒ a). Fie v = v1 + v2 = v′1 + v′2. v1, v′1 ∈ U , v2, v

′2 ∈ W ⇒ u = v1 − v′1 =

v′2−v2 ∈U ∩W = {0} ⇒ v1 = v′1, v2 = v′2. Reciproc, prin absurd, daca are loc a), dar U ∩W = {0},fie w ∈ U ∩W \{0} = g� . Atunci w = 0+w = w+0 ∈ U +W reprezinta doua descompuneri simultaneale lui w, ın care 0, w ∈ U ; 0, w ∈W . Din unicitatea descompunerii, rezulta w=0, contradictie. �


Definitii. Fie U si W doua subspatii vectoriale ale lui V .

a) Daca U ∩W = {0}, atunci suma U +W se numeste suma directa si se noteaza

U ⊕W = U +W .

b) Daca suma U +W este directa si avem ın plus U +W = V , atunci U si W se numesc subspatiisuplementare. Notiunile de suma si suma directa se pot extinde ın mod natural la cazul unui numarfinit de subspatii vectoriale.

Exemple. a) Subspatiile U = {(x, 0)|x ∈ R},W = {(0 , y)| y ∈ R} au suma U + W = R2 siintersectia U ∩ W = {(0, 0)} = {0R2}, deci sunt suplementare ın R2. Atunci, conform teoremei,descompunerea unui vector din R2 dupa cele doua subspatii este unica; ıntr-adevar,

∀(x, y) ∈ R2, (x, y) = (x, 0) + (0, y) ∈ U +W .

b) Fie I = (−a, a) un interval simetric real. Atunci subspatiul functiilor pare, respectiv subspatiulfunctiilor impare {

U = {f : I → R| f(x) = f(−x), ∀x ∈ I}W = {f : I → R| f(x) = −f(−x), ∀x ∈ I},

sunt suplementare ın spatiul vectorial real V al functiilor reale definite pe I, ıntrucat intersectiacontine numai functia constanta nula si are loc descompunerea

f(x) =f(x) + f(−x)

2+f(x)− f(−x)

2, ∀x ∈ I,

deci orice functie f : (−a, a) → R este suma dintre o functie para si una impara, ceea ce probeazaincluziunea nebanala V ⊂ U +W .

3 Dependenta si independenta liniara

Definitii. Fie S o submultime de vectori din K -spatiul vectorial V , unde K ∈ {R,C}.a) Spunem ca multimea S este liniar dependenta daca exista o familie finita de vectori distincti din S,spre exemplu v1, v2, . . . , vp ∈ S si scalarii k1, k2, . . . , kp ∈ K , a.t.n. (cu cel putin unul nenul, aproapetoti nuli), astfel ıncat sa aiba loc relatia (numita relatie de dependenta liniara):

k1v1 + k2v2 + · · ·+ kpvp = 0.

b) Spunem ca multimea S este liniar independenta daca nu este liniar dependenta, adica daca∀vi ∈ S, i = 1, p (unde p arbitrar, p ≥ 1), ∀ki ∈ K , i = 1, p, are loc implicatia

k1v1 + k2v2 + · · ·+ kpvp = 0 ⇒ ki = 0, i = 1, p.

Notatii. In cazul dependentei liniare a familiei S, vom nota dep(S); ın caz contrar, vom nota ind(S).

Observatie. a) Multimea S din definitie poate fi o multime finita sau infinita.

b) Desi liniar dependenta si liniar independenta sunt proprietati specifice unei multimi de vectori,vom spune despre vectorii acestei multimi ca sunt vectori liniar dependenti, respectiv vectori liniarindependenti.

14 Baza si dimensiune

Exemple.a) Multimea S = {v}, pentru v ∈ V \{0} arbitrar fixat, liniar independenta.b) Multimea S = {λ v|λ ∈ K }, pentru v ∈ V \{0} arbitrar fixat, liniar dependenta.c) Multimea S = {0} liniar dependenta, caci are loc relatia 1 · 0 = 0, (relatie de dependenta ın careintervine coeficientul nenul 1).

d) Daca 0 ∈ S, atunci multimea S este liniar dependenta.

e) Daca in S exista un vector care se poate exprima ca un multiplu scalar al unui alt vector, atunciS este liniar dependenta.

f) Fie S = {v1, v2, v3} ⊂ C∞(R), unde

v1(t) = et, v2(t) = ch t ≡ et + e−t

2, v3(t) = sh t ≡ et − e−t

2.

Deoarece 1 · et − 1 · ch t− 1 · sh t = 0, multimea {v1, v2, v3} este liniar dependenta.

g) Multimea S = {X1, X3, X5, . . . , X2k+1, . . . } ⊂ R[X] este liniar independenta.

Lema. Fie Span(S) acoperirea liniara a multimii finite liniar independente S = {v1, v2, . . . , vp} ⊂ V ,unde p ∈ N, p ≥ 1. Atunci orice familie de p+ 1 vectori din Span(S) este liniar dependenta.

Demonstratie. Fie p+1 vectori arbitrari din Span(S), a caror descompunere dupa familia de generatori{v1, . . . vp} este

wi =

p∑j=1

aijvj , i = 1, p+ 1.

Consideram relatiak1w1 + k2w2 + · · ·+ kp+1wp+1 = 0.

Inlocuind expresiile date de descompunerile vectorilor w1, w2, . . . wp+1 relativ la vectorii din S ın relatie,obtinem

p+1∑i=1

ki

p∑j=1

aijvj

= 0⇔p∑

j=1

(p+1∑i=1

kiaij

)vj = 0;

Dar vectorii vj , j = 1, p sunt din ipoteza liniar independenti, deci rezulta anularea tuturor coeficientilorcombinatiei liniare nule, de unde obtinem relatiile

k1a1j + k2a2j + · · ·+ kp+1ap+1j = 0, j = 1, p.

Acestea formeaza un sistem liniar omogen cu p ecuatii si p + 1 necunoscute, deci admite si solutiinebanale k1, k2, . . . , kp+1 ∈ K , care ınlocuite ın relatia initiala, o transforma ıntr-o relatie de dependentaliniara, si deci vectorii wi, i = 1, p+ 1 sunt liniar dependenti. �


Definitii. Fie V un K -spatiu vectorial, unde K ∈ {R,C}.a) O submultime de vectori B ⊂ V se numeste baza pentru V daca B este liniar independenta sigenereaza pe V - deci, pe scurt, B satisface conditiile ind(B ) si Span(B ) = V .b) Spatiul vectorial V se numeste finit dimensional daca admite o baza finita sau daca V = {0}. Incaz contrar, V se numeste infinit dimensional.

Observatie. Utilizand axioma alegerii se poate demonstra ca orice spatiu vectorial diferit de spatiulvectorial nul {0} admite o baza.


Teorema. Fie V un spatiu vectorial finit dimensional. Oricare doua baze B ,B ′ ale lui V au acelasinumar de elemente.

Demonstratie. Fie n numarul de vectori din B si n′ numarul de vectori din B ′. Dar B este liniarindependenta si genereaza spatiul V = Span(B ′). Daca prin absurd B ar avea mai multe elementedecat B ′, deci daca n > n′, atunci conform Lemei din sectiunea anterioara ar rezulta liniar dependentafamiliei B -contradictie, deoarece B este o baza. In concluzie n ≤ n′. Un rationament similar aplicatmultimii liniar independente B ′ ⊂ V = Span(B ) conduce la n′ ≤ n; deci n = n′. �Definitii. a) Se numeste dimensiunea spatiului vectorial finit-dimensional V , numarul

dimV =

{n, daca V admite o baza formata din n vectori (deci V = {0}),

0, daca V = {0}.

b) Un spatiu vectorial de dimensiune n finita spunem ca este n-dimensional si ıl notam cu Vn .

Exemple. a) Fie K n spatiul vectorial aritmetic n-dimensional. Vectorii

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ K n

determina o baza B = {e1, e2, . . . , en} a spatiului K n. Intr-adevar, B este liniar independenta,deoarece

k1e1 + k2e2 + · · ·+ knen = 0⇔ (k1, k2, . . . , kn) = (0, 0, . . . , 0),

de unde rezulta k1 = k2 = · · · = kn = 0. Pe de alta parte ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ K n, avem

x = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen ∈ Span(B ),

deci K n ⊂ Span(B ); incluziunea inversa este banala, deci B genereaza pe V = K n.

b) Spatiul vectorial K n[X] = {p ∈ K [X]| grad p ≤ n} al tuturor polinoamelor de grad cel mult(inclusiv) n, are dimensiunea n+1. Intr-adevar, observam ca familia de polinoame B = {1 ≡X0, X1, X2, . . . , Xn} este liniar independenta, deoarece

k0 + k1X + k2X2 + · · ·+ knX

n = 0 ⇒ k0 = k1 = k2 = · · · = kn = 0

si orice polinom de grad mai mic sau egal cu n este o combinatie liniara finita de monoamele multimiiB .

c) Spatiul vectorial K [X] al tuturor polinoamelor ın nedeterminata X este infinit dimensional siadmite baza {1, X,X2, . . . , Xn, . . . }.d) Spatiul vectorial Mm×n(K ) al matricelor dreptunghiulare cu m linii si n coloane si coeficienti ıncorpul K are dimensiunea mn, admitand baza

B = {Eij | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n},

unde Eij este matricea care are coeficientul 1 la intersectia liniei i cu coloana j, iar ceilalti coeficientisunt nuli.

e) Daca V este un C-spatiu vectorial, atunci spatiul vectorial real RV care coincide cu V ca grupaditiv si cu ınmultirea cu numere reale definita exact ca ın V , se numeste trecerea ın real a spatiuluiV . In particular, trecand ın real spatiul vectorial complex n-dimensional V = Cn, se obtine R-spatiulvectorial RCn ≡ R2n, de dimensiune 2n. O baza a acestuia este {e1, e2, . . . , en, ie1, ie2, . . . , ien} ⊂ RCn,obtinuta prin trecerea ın real a bazei {e1, e2, . . . , en} ⊂ Cn.


Teorema. Fie Vn un spatiu vectorial n-dimensional. Atunci au loc afirmatiile:

a) O multime liniar independenta din Vn este o submultime a unei baze din Vn .b) Fie S = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ Vn o multime formata din n vectori din Vn .

Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) S este baza ın Vn ;(ii) S este familie liniar independenta (ind(S));(iii) S este sistem de generatori pentru Vn (Span(S) = Vn ).

Demonstratie. a) Data fiind o multime liniar independenta S = {v1, v2, . . . , vp} din Vn , avemurmatoarele situatii: fie Span(S) = Vn si deci S este o baza, fie Span(S) este o submultime pro-prie a lui Vn . In al doilea caz exista macar un vector v ∈ Vn \Span(S), si atunci S′ = S ∪ {v} esteliniar independenta (tema, verificati!) . Daca Span(S′) = Vn , atunci S

′ este o baza ce contine peS (deci baza cautata), iar daca Span(S′) este o submultime proprie a lui Vn , atunci se reia acelasirationament pentru S := S′. Dupa un numar finit de pasi (caci numarul de vectori dintr-o familieliniar independenta nu poate fi mai mare decat n), obtinem o baza B⊂ Vn ce contine familia S. Inconcluzie, orice familie liniar independenta S poate fi prelungita sau completata pana la o baza aspatiului vectorial Vn .b) Implicatiile (i)⇒(ii), (i)⇒(iii) sunt evidente. Demonstram implicatia (ii)⇒(i). Avem ind(S) ⇒ Sbaza ın Span(S) ⇒ dim Span(S) = n = dimVn . Dar Span(S) ⊆ Vn , deci Span(S) = Vn ; rezulta Sbaza ın Vn .

Demonstram implicatia (iii)⇒(i). Fie Span(S) = Vn ; daca avem prin absurd dep(S), atunci arrezulta ca orice baza a spatiului Span(S) are < n vectori, deci n = dimVn = dimSpan(S) < n,contradictie. �Exemplu. Familia de vectori S = {v1 = (1, 1), v2 = (1,−1)} ⊂ R2 este liniar independenta. Cum Sare doi vectori, iar dimR2 = 2, rezulta conform teoremei ca S este baza ın R2.

Teorema. Fie Vn un spatiu vectorial n-dimensional si fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza ın acest spatiu.Atunci orice vector x ∈ Vn admite o exprimare unica de forma

x =n∑

i=1

xiei, xi ∈ K , i = 1, n (1)

(numita descompunerea lui x dupa vectorii bazei B ).

Demonstratie. Deoarece V = Span(B ), orice vector x ∈ V poate fi scris ca o combinatie liniara de

vectorii bazei, adica x =n∑

i=1xiei, iar aceasta descompunere este unica. Intr-adevar, daca vectorul

x ar admite si descompunerea x =n∑

i=1x′iei, atunci prin scadere ar rezulta combinatia liniara nula

0 =n∑

i=1(xi − x′i)ei. Dar B fiind baza, este formata din vectori liniar independenti, deci rezulta

anularea coeficientilor combinatiei,

xi − x′i = 0, i = 1, n ⇒ xi = x′i, i = 1, n,

deci descompunerea este unica. �Definitii. a) Se numesc componentele vectorului x ın raport cu baza B , numerele x1, . . . , xn, asociate

vectorului x ∈ Vn prin descompunerea (1). Scriem [x]B =

x1...xn

.


b) Se numeste sistem de coordonate pe Vn asociat bazei B , bijectia

f : Vn → K n, f(x) = (x1, x2, . . . , xn) ∈ K n.

In cele ce urmeaza vom identifica un vector x cu coordonatele sale (x1, x2, . . . , xn) relativ la o bazafixata. Atunci, pentru x ≡ t(x1, x2, . . . , xn), y ≡ t(y1, y2, . . . , yn) ∈ Vn ≡ K n, operatiile spatiuluivectorial se rescriu pe componente{

x+ y ≡ (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)t

kx ≡ (kx1, kx2, . . . , kxn)t, ∀k ∈ K .

Exemplu. Aflam coordonatele vectorului v = (1, 0) ∈ R2 relativ la baza din exemplul de mai sus,

B = {v1 = (1, 1), v2 = (1,−1)} ⊂ R2.

Relatia v = αv1 + βv2 conduce la α = β = 1/2, deci coordonatele vectorului v relativ la baza B sunt(1/2; 1/2)t.

In ceea ce priveste posibilitatea de a completa o familie de vectori liniar independenti la o bazafolosind pentru completare un sistem prescris de generatori, avem urmatoarele rezultate

Teorema (teorema ınlocuirii, Steinitz). Fie Vn un K -spatiu vectorial si fie S0 = {w1, . . . , wr} ⊂Vn , (r ≥ 0) un sistem de vectori liniar independenti iar

S = {v1, . . . , vn} ⊂ Vn

un sistem de generatori ai spatiului Vn . Atunci are loc inegalitatea r ≤ n si exista familia de vectoriS+ ⊂ S care contine n− r vectori astfel ıncat S0 ∪ S+ sa fie sistem de generatori pentru Vn .

Un rezultat deosebit de util ın cazul unui spatiu vectorial de dimensiune finita arbitrara, care faceposibila completarea a unei familii liniar independente la o baza, folosind vectorii unei baze cunoscute,este

Teorema completarii. Daca S0 ⊂ V este un sistem liniar independent ın K -spatiul vectorialV , atunci S0 se poate completa la o baza a lui V .

In cazul finit-dimensional, rezulta urmatoarea

Consecinta. Fie S = B = {e1, . . . , en} ⊂ Vn o baza ın K -spatiul vectorial Vn , si fie

S0 = {w1, . . . , wr} ⊂ Vn , (r ≥ 0)

un sistem liniar independent de vectori din Vn . Atunci r ≤ n si S0 se poate completa cu n− r vectoriai unei subfamilii S+ ⊂ B la o alta baza B ′ = S0 ∪ S+ a spatiului Vn .

Exercitiu. Completati la o baza a spatiului vectorial V = R4 familia de vectori

S0 = {w1 = (1, 1, 1, 1), w2 = (1,−1, 1,−1)}.

Familia S0 este liniar independenta (tema, verificati!) . Consideram baza canonica

S = B = {e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)} ⊂ R4,

si observam ca din cele A24 = 4 ·3 = 12 selectii ordonate de 2 vectori din B putem alege, spre exemplu,

vectorii S+ = {e1, e2}, iar vectorii familiei

B ′ = S0 ∪ S+ = {w1, e1, w2, e2}


sunt liniar independenti, si sunt ın numar de 4 ın spatiul R4 (a carui dimensiune este tot 4), deciconform teoremei 4.3 rezulta ca B ′ este o baza. In plus, prin constructie, baza B ′ contine atat familiaS0, cat si o parte din vectorii familiei S.

Teorema (Grassmann). Daca U si W sunt doua subspatii de dimensiuni finite ale spatiuluivectorial V , atunci are loc relatia

dimU + dimW = dim(U ∩W ) + dim(U +W ).

Consecinta. Daca U si W sunt doua subspatii suplementare de dimensiuni finite ale spatiului vec-torial V , atunci are loc relatia

dimU + dimW = dimV .

Matricea asociata unei familii de vectori relativ la o baza data.Fie Vn un K -spatiu vectorial si B = {e1, e2, . . . , en} o baza ın Vn . Considerand un sistem de p

vectori v1, v2, . . . , vp ∈ Vn , atunci acestia se descompun relativ la baza B , dupa cum urmeaza

v1 =n∑

i=1

ai1ei, v2 =n∑

i=1

ai2ei , . . . , vp =n∑

i=1

aipei.

Vectorilor v1, v2, . . . , vp li se ataseaza matricea formata din coeficientii celor p descompuneri, asezatisuccesiv pe coloane:

A =

a11 a12 . . . a1pa21 a22 . . . a2p...

.... . .

...an1 an2 . . . anp

,

numita matricea asociata familiei de vectori S relativ la o baza B . Vectorii v1, v2, . . . , vp pot fiidentificati cu coloanele matricei A si notam aceasta matrice cu

A = [S]B = [v1, v2, . . . , vp]B .

Teorema. Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza a lui Vn , S = {v1, v2, . . . , vp} o familie de p vectori din Vnsi A = [S]B matricea asociata acestei familii. Fie rangA = m ≤ min(p, n), si fie 1 ≤ i1 < i2 < · · · <im ≤ p indicii coloanelor unui minor care da rangul matricei A. Atunci au loc urmatoarele afirmatii:

a) familia de vectori S′ = {vi1 , . . . , vim} este baza a subspatiului Span(S).2

b) vj ∈ Span(S′), pentru orice j ∈ 1, p \{i1, i2, . . . , im}.

Exemplu. Pentru subspatiile date ın exemplul anterior, dimensiunea subspatiului U +W coincidecu rangul matricei

[w1, w2, w3, u1, u2, u3] =

(1 −2 3 1 −1 25 −10 15 4 2 0

),

deci dim(U +W ) = 2. Un vector oarecare din subspatiul U ∩W este de forma

(6λ− 8µ, 30λ− 40µ) = (6λ− 8µ)v′, λ, µ ∈ R, v′ = (1, 5),

astfel ıncat (dim U ∩V ) = 1. Se observa ca avem relatiile

W = U ∩W ⊂ U = U +W = R2.

Intrucat dimW = 1, dimU = 2, teorema Grassmann se verifica, avand loc egalitatea

dimU + dimW = 2 + 1 = 1 + 2 = dim(U ∩W ) + dim(U +W ).2Deci rezulta ind(S′) si Span(S) = Span(S′); ın particular, rangA = dimSpan(S).


Consecinta. Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza a lui Vn si fie

S =

{e′j =

n∑i=1

cijei, j = 1, n

}(2)

o familie de n vectori din Vn . Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) S este baza a lui Vn ;

b) detC = 0, unde C = (cij)i,j=1,n este data de relatiile (2).

Rezulta ca o familie S ⊂ Vn reprezinta o baza a spatiului Vn daca matricea [S]B = (cij) a familiei Srelativ la o baza B oarecare a spatiului este patratica si nesingulara.

Exemplu. Vectorii B ′ = {u = (1, 1), v = (1,−1)} determina o baza a spatiului vectorial V 2 = R2 =Span(B ), B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}, deoarece

det[u, v] ≡∣∣∣∣ 1 11 −1

∣∣∣∣ = −2 = 0.

Schimbarea bazei ıntr-un spatiu vectorial Vn .

Fie B = {e1, e2, . . . , en} si B ′ = {e′1, e′2, . . . , e′n} doua baze distincte ın spatiul vectorial Vn . Atuncivectorii bazei B ′ se pot exprima relativ la baza B prin relatiile:

e′j =n∑

i=1

cijei, j = 1, n. (3)

Fie (x1, . . . , xn) respectiv (x′1, . . . , x′n) coordonatele unui vector arbitrar x ∈ Vn ın raport cu baza B

respectiv B ′, deci au loc descompunerile x =n∑

i=1xiei respectiv x =

n∑j=1

x′je′j . Folosind relatiile (3)

dintre vectorii celor doua baze, obtinem succesiv

x =n∑

j=1

x′j

(n∑

i=1

cijei

)=

n∑i=1

n∑j=1

cijx′j

ei.Din unicitatea descompunerii vectorului x =

n∑i=1

xiei ın raport cu bazaB , prin identificarea coeficientilor,

rezulta relatiile

xi =

n∑j=1

cijx′j , i = 1, n. (4)

Notand coordonatele vectorului x relativ la cele doua baze respectiv prin X = (x1, x2, . . . , xn)t, X ′ =

(x′1, x′2, . . . , x

′n)

t, relatiile (4) se scriu condensat sub forma matriceala

X = CX ′. (5)

Definitii. a) Matricea patratica C = [B ′]B = (cij)i,j=1,n, unic determinata de relatiile (3), are dreptcoloane coordonatele vectorilor bazei B ′ ın raport cu baza B ; aceasta matrice se numeste matriceade trecere de la baza B la baza B ′.

b) Relatiile (4) descriu transformarea coordonatelor vectorului x la o schimbare a bazei B ın bazaB ′.


Exercitii. a) Sa se determine coeficientii polinomului p = 1 − t2 ∈ R2[t] relativ la baza B ′ ={t, 1 + t2,−1}.Solutie. Coeficientii polinomului p relativ la baza naturala B = {1, t, t2} a spatiului vectorial R2[t]sunt dati de vectorul coloana X = (1, 0,−1)t. De asemenea, matricea coeficientilor vectorilor noii

baze B ′ relativ la baza B este (tema, verificati!) , C = [B ′]B =

0 1 −11 0 00 1 0

. Coordonatele lui

p relativ la B ′ formeaza vectorul X ′ ce satisface relatia (5), deci prin calcul direct rezulta coeficientiiX ′ = (0,−1,−2)t, adica p admite relativ la B ′ descompunerea:

p = 0 · t+ (−1) · (1 + t2) + (−2) · (−1).

b) Aflati coordonatele vectorului v = (−1, 2) ∈ R2 relativ la baza

B ′ = {v1 = (1, 2), v2 = (3,−4)}.

Solutie. Matricea de trecere de la baza canonica B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} a spatiului vectorial

R2 la baza B ′ este C =

(1 32 −4

), iar coordonatele X ′ ale vectorului v = (−1, 2) relativ la baza B ′

sunt X ′ = C−1X = (1/5;−2/5)t, unde X = v.

Altfel. Inlocuind v1, v2 si v3 ın relatia v = α v1 + βv2, prin rezolvarea sistemului liniar obtinut rezultacoeficientii α = 1/5, β = −2/5 ai vectorului v relativ la baza B ′.

Spatii vectoriale izomorfe.

Definitii. a) Fie V si W doua K -spatii vectoriale. Se numeste transformare liniara de la V la W ,o aplicatie T : V →W care satisface conditiile{

T (x+ y) = T (x) + T (y), ∀x, y ∈ V

T (kx) = kT (x), ∀x ∈ V , ∀k ∈ K .

b) O transformare liniara bijectiva se numeste izomorfism.

Exemplu. Un sistem de coordonate pe Vn reprezinta un izomorfism canonic ıntre Vn si K n.

Teorema. Doua K -spatii vectoriale de dimensiuni finite V si W sunt izomorfe daca si numai dacadimensiunile lor coincid.

Demonstratie. ” ⇒ ”. Fie V = Vn si W = Wm sunt izomorfe, deci exista o transformare liniarabijectiva T : Vn →Wm . Avem

T (0) = T (0 + 0) = 2T (0)⇒ T (0) = 0.

Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza a lui Vn . Multimea

T (B ) = {T (e1), T (e2), . . . , T (en)} ⊂Wm

este liniar independenta, deoarece:

k1T (e1) + k2T (e2) + · · ·+ knT (en) = 0⇒ T (k1e1 + k2e2 + · · ·+ knen) = T (0);

dar T injectiva si B baza, deci rezulta

k1e1 + k2e2 + · · ·+ knen = 0⇒ k1 = k2 = · · · = kn = 0.


Insa Span(T (B )) ⊂ Wm si dim Span(T (B )) = cardT (B ) = n, deci n ≤ m. Pe de alta parte, T (B )

genereaza Wm , caci T fiind surjectiva, rezulta ca pentru orice w ∈Wm , exista v =n∑

i=1viei ∈ Vn astfel

ıncat T (v) = w. Dar T este aplicatie liniara, deci w =n∑

i=1viT (ei) ∈ T (B ), de unde avem Wm ⊂ T (B )

si deci m =dimWm ≤cardT (B ) = n. In concluzie n = dimT (B ) = dimWm = m.”⇐”. Fie V = Vn siW =Wn . Fixand doua sisteme de coordonate f : Vn → K n si g :Wn → K n,

asociate unor baze arbitrar fixate ın Vn , respectiv Wm , construim izomorfismul

T = g−1 ◦ f : Vn →Wn ,

deci cele doua spatii vectoriale sunt izomorfe. �Exemplu. Spatiile vectoriale M2×3(R), R5[X] si R6 sunt izomorfe, deoarece toate cele trei spatiivectoriale reale au dimensiunea 6.

5 Spatii vectoriale euclidiene

In cele ce urmeaza, vom adauga la structura de spatiu vectorial o noua operatie cu vectori - cea deprodus scalar, cu ajutorul careia vom putea defini:

• lungimea unui vector,

• unghiul format de doi vectori,

• ortogonalitatea a doi vectori,

• proiectia unui vector pe un alt vector sau pe un subspatiu vectorial, etc.

Definitii. a) Fie V un C-spatiu vectorial. Se numeste produs scalar complex, sau ınca, produs scalarhermitic pe V , o functie ⟨·, ·⟩ : V × V → C care, pentru ∀u, v, w ∈ V , ∀k ∈ C, are proprietatile

⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩ (hermiticitate) (1)⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩+ ⟨u,w⟩ (aditivitate/distributivitate) (2)k⟨v, w⟩ = ⟨kv, w⟩ (omogenitate ın primul argument) (3)⟨v, v⟩ ≥ 0; ⟨v, v⟩ = 0⇔ v = 0. (pozitivitate) (4)

b) Un spatiu vectorial complex pe care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu vectorialeuclidian complex.

Observatie. Din aceste proprietati decurg relatiile (tema, verificati!)

⋄ ⟨v, kw⟩ = k⟨v, w⟩ ,

⋄ ⟨u+ v, w⟩ = ⟨u,w⟩+ ⟨v, w⟩ ,

⋄ ⟨v, v⟩ ∈ R ,

⋄ ⟨0, 0⟩ = ⟨0, u⟩ = ⟨u, 0⟩ = 0, ∀u, v, w ∈ V , ∀k ∈ C,deci un produs scalar hermitic este aditiv ın ambele argumente dar nu este ın general omogen ın aldoilea argument.

Teorema. In orice spatiu euclidian complex V este satisfacuta inegalitatea Cauchy-Schwartz

|⟨v, w⟩|2 ≤ ⟨v, v⟩ · ⟨w,w⟩, ∀v, w ∈ V ;

relatia devine egalitate daca si numai daca v si w sunt liniar dependenti.


Demonstratie. Daca v = 0 sau w = 0, relatia este evidenta (cu egalitate). Pentru v, w ∈ V \{0} siα ∈ C scalar arbitrar, folosind pozitivitatea produsului scalar, avem

0 ≤ E(α) := ⟨v − αw, v − αw⟩ ,

iar E(α) = 0 ⇔ v = αw. In particular, alegand α = α∗, unde α∗ = ⟨v,w⟩⟨w,w⟩ (deci pentru v = prwv),

rezulta

0 ≤ E(α∗) = ⟨v, v⟩ −|⟨v, w⟩|2

⟨w,w⟩,

de unde inegalitatea din enunt. A doua afirmatie din enunt rezulta din echivalenta

|⟨v, w⟩|2 = ⟨v, v⟩⟨w,w⟩ ⇔ E(α∗) = 0⇔ v = α∗w.

�Vom considera ın continuare cazul cand V este un spatiu vectorial real.

Definitii. a) Fie V un spatiu vectorial real. Se numeste produs scalar real pe V , o functie

⟨·, ·⟩ : V × V → R

care pentru ∀u, v, w ∈ V , ∀k ∈ R, are proprietatile

⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩ (simetrie) (1)⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩+ ⟨u,w⟩ (aditivitate/distributivitate) (2)k⟨v, w⟩ = ⟨kv, w⟩ (omogenitate ın primul argument) (3)⟨v, v⟩ ≥ 0; ⟨v, v⟩ = 0⇔ v = 0. (pozitivitate) (4)

b) Un spatiu vectorial real pe care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu euclidian real.

Observatie. Din aceste proprietati decurg relatiile (tema, verificati!) :

⋄ ⟨v, kw⟩ = k⟨v, w⟩⋄ ⟨u+ v, w⟩ = ⟨u,w⟩+ ⟨v, w⟩⋄ ⟨0, 0⟩ = ⟨0, u⟩ = ⟨u, 0⟩ = 0 , ∀u, v, w ∈ V , ∀k ∈ R,

deci un produs scalar real este omogen si aditiv ın ambele argumente.

Teorema. In orice spatiu euclidian real V este satisfacuta inegalitatea Cauchy-Schwartz

⟨v, w⟩2 ≤ ⟨v, v⟩⟨w,w⟩, ∀v, w ∈ V .

Relatia devine egalitate daca si numai daca v si w sunt liniar dependenti.

Exemple de spatii vectoriale euclidiene.

a) Functia cu valori reale definita pe spatiul vectorial V = Rn prin

⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn, ∀x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn

este un produs scalar pe Rn, determinand o structura de spatiu euclidian real pe Rn.

b) Spatiul vectorial complex V =Cn este un spatiu vectorial euclidian complex ın raport cu produsulscalar

⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn, ∀x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Cn


c) Spatiul euclidian real V = C0[a, b] al tuturor functiilor cu valori reale, continue pe un interval[a, b], cu produsul scalar dat de

⟨f, g⟩ =∫ b

af(x)g(x)dx.

d) Spatiul euclidian complex V = C0([a, b],C) al tuturor functiilor cu valori complexe, continue peun interval [a, b], cu produsul scalar dat de

⟨f, g⟩ =∫ b

af(x)g(x)dx.

e) Spatiul euclidian real V al sirurilor reale x = {x1, . . . , xn, . . . } ⊂ R cu proprietatea ca∞∑i=1

x2i este

serie convergenta, cu produsul scalar

⟨x, y⟩ =∞∑i=1

xiyi, ∀x, y ∈ V .

f) Spatiul euclidian complex V al sirurilor complexe x = {x1, . . . , xn, . . . } ⊂ C cu proprietatea ca∞∑i=1|xi|2 este serie convergenta, cu produsul scalar

⟨x, y⟩ =∞∑i=1

xiyi, ∀x, y ∈ V .

g) Spatiul euclidian real V al matricelor patratice Mn×n(R), cu produsul scalar

⟨A,B⟩ = Tr(AtB), ∀A,B ∈Mn×n(R),

unde am notat prin Tr(C) urma unei matrice patratice C:

Tr(C) = c11 + c22 + · · ·+ cnn, ∀C = (cij)i,j=1,n ∈Mn×n(R).

Definitie. Fie V un K -spatiu vectorial euclidian. Se numeste norma pe V , o aplicatie || · || : V →R+, care satisface relatiile

||v|| ≥ 0, ∀v ∈ V si ||v|| = 0⇔ v = 0 (pozitivitate) (1)||kv|| = |k| · ||v||, ∀v ∈ V , ∀k ∈ K (omogenitate) (2)||v + w|| ≤ ||v||+ ||w||, ∀v, w ∈ V (inegalitatea triunghiului) (3)

Inegalitatea triunghiului devine egalitate doar daca v si w sunt coliniari si de acelasi sens.

Teorema. Fie V un K -spatiu vectorial euclidian. Functia || · || : V → R+, definita prin

||v|| =√⟨v, v⟩, ∀v ∈ V

este o norma pe V .

Norma definita ın teorema se numeste norma euclidiana. Astfel, orice spatiu vectorial euclidianeste ın particular spatiu vectorial normat.


Demonstratie. Presupunem ca V este un spatiu vectorial complex. Inegalitatea ⟨v, v⟩ ≥ 0 implica||v|| ≥ 0, cu egalitate daca si numai daca v este vectorul nul. Avem, de asemenea, pentru ∀v ∈V , ∀k ∈ C:

||kv|| =√⟨kv, kv⟩ =

√kk⟨v, v⟩ =

√|k|2 ⟨v, v⟩ = |k|

√⟨v, v⟩ = |k| ||v||.

Inegalitatea triunghiului se demonstreaza astfel:

||v + w||2 = ⟨v + w, v + w⟩ = ⟨v, v⟩+ ⟨v, w⟩+ ⟨v, w⟩+ ⟨w,w⟩ ≤

≤ ||v||2 + 2||v||||w||+ ||w||2 = (||v||+ ||w||)2, ∀v, w ∈ V ,

unde am tinut seama de inegalitatea Cauchy-Schwarz |⟨v, w⟩| ≤ ||v||||w||, si de inegalitatea

⟨v, w⟩+ ⟨v, w⟩ = 2Re⟨v, w⟩ ≤ 2 |⟨v, w⟩| , ∀v, w ∈ V .

�Exemplu. Norma euclidiana canonica a spatiului R3 este data de

||v|| =√⟨v, v⟩ =

√x2 + y2 + z2, ∀v = (x, y, z) ∈ V .

Definitii. a) Un spatiu vectorial normat ın care norma provine dintr-un produs scalar se numestespatiu prehilbertian.b) Un spatiu prehilbertian complet (ın sensul ca orice sir Cauchy format din vectori ai spatiului esteun sir convergent) se numeste spatiu Hilbert.

Observatii. 1. Primele doua proprietati ale normei asigura ca orice element v din V \{0} poatefi scris ın forma v = ||v||e, unde e = 1

||v||v are proprietatea ||e|| =1 si se numeste versorul asociat

vectorului nenul v. In general, un vector e cu proprietatea ||e|| = 1 se numeste versor.

2. Fie V un spatiu vectorial euclidian real. Pentru v, w ∈ V \{0}, inegalitatea Cauchy-Schwarz,|⟨v, w⟩| ≤ ||v||||w||, se poate rescrie sub forma

−1 ≤ ⟨v, w⟩||v||||w||

≤ 1,

dubla inegalitate care justifica urmatoarea definitie a unghiului format de doi vectori.

Definitie. Fie V un spatiu vectorial euclidian real, si v, w doi vectori nenuli din V . Se numesteunghiul dintre vectorii v si w, numarul θ ∈ [0, π] definit de egalitatea

cos θ =⟨v, w⟩||v||||w||

.

Se observa ca ın definitie este esential sa avem K = R.

Definitie. FieM o multime nevida. Se numeste distanta (metrica) peM , o aplicatie d(·, ·) :M×M →R+, care pentru ∀u, v, w ∈M satisface relatiile:

d(u, v) ≥ 0; d(u, v) = 0⇔ u = v (pozitivitate) (1)d(u, v) = d(v, u) (simetrie) (2)d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v) (inegalitatea triunghiului) (3)

In acest caz spunem ca multimea M are o structura de spatiu metric.


Teorema. Fie V un spatiu vectorial normat. Atunci functia reala d(·, ·) : V ×V → R+ definita prin

d(u, v) = ||u− v||, ∀u, v ∈ V

este o distanta pe V .

Deci orice spatiu vectorial normat este un spatiu metric. Daca norma este norma euclidiana, atuncidistanta definita cu ajutorul ei se numeste distanta euclidiana.

Exercitiu. Fie P2 spatiul euclidian real al functiilor polinomiale reale de grad cel mult doi ınzestratcu produsul scalar ⟨·, ·⟩ : P2 × P2 → R,

⟨p, q⟩ = a0b0 + 2a1b1 + 2a2b2, ∀p, q ∈ P2,

pentru p(x) = a0 + a1x+ a2x2, q(x) = b0 + b1x+ b2x

2. Fie vectorii

p1(x) = 3 + x2, p2(x) = 1− x, p3(x) = 1 + x− x2, p4(x) = 2x2 ∈ P2.

Aflati un vector p0 echidistant fata de cei patru vectori si calculati distanta comuna.

Solutie. Fie p0(x) = a+bx+cx2; aflam coeficientii a, b, c din conditia ca distantele de la acest polinomla celelalte patru, sa coincida,

||p1 − p0|| = ||p2 − p0|| = ||p3 − p0|| = ||p4 − p0||;

obtinem (tema, verificati!)a = 15/26, b = 14/26, c = 23/26,

deci p0 = (15 + 14x+ 23x2)/26. Distanta ceruta este prin urmare

d = ||p3 − p0|| =√⟨p3 − p0, p3 − p0⟩ =

√(−15

26

)2

+

(−14

26

)2

+

(29

26

)2

=

√1262

26.

6 Ortogonalitate. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt

Definitii. Fie V un spatiu vectorial euclidian.

a) Doi vectori din V se numesc ortogonali daca produsul lor scalar este nul.b) O submultime S ⊂V se numeste ortogonala daca vectorii sai sunt ortogonali doi cate doi, adica⟨v, w⟩ = 0, ∀v, w ∈ S, v = w.c) O multime ortogonala se numeste ortonormata daca fiecare element al sau are norma egala cuunitatea.

Teorema. Fie V un K -spatiu euclidian si S ⊂ V \{0}. Atunci au loc urmatoarele afirmatii:

a) Daca S este multime ortogonala, atunci este liniar independenta.b) Daca S este multime ortogonala si card (S) = dimV <∞, atunci S este o baza ortogonala a luiV .

Demonstratie. a) Daca S ⊂ V \{0} este multime ortogonala, iar

k1v1 + k2v2 + · · ·+ kpvp = 0,

o combinatie liniara finita nula de elemente din S. Aplicand acestei egalitati de vectori produsul scalarcu vj , rezulta

k1⟨v1, vj⟩+ k2⟨v2, vj⟩+ · · ·+ kp⟨vp, vj⟩ = 0, j ∈ 1, p.


S fiind ortogonala, cele p relatii obtinute devin egalitatile kj⟨vj , vj⟩ = 0, j ∈ 1, p. Dar vectorii vj , j ∈1, p sunt nenuli, deci

⟨vj , vj⟩ = ||vj ||2 = 0, ∀j ∈ 1, p,

de unde rezulta kj = 0, j ∈ 1, p, si deci multimea S este liniar independenta.

b) rezulta imediat din prima afirmatie si din egalitatea n = p. �

Observatie. In spatiile vectoriale euclidiene este comod sa se exprime vectorii ın raport cu bazeortonormate. Faptul ca o baza B = {e1, e2, . . . , en} ⊂ Vn este ortonormata se poate rescrie

⟨ei, ej⟩ = δij =

{1, pentru i = j

0, pentru i = j, ∀i, j = 1, n,

unde simbolul δij se numeste simbolul lui Kronecker.

Exemplu. In spatiul vectorial euclidian real V = C0[0, π] al functiilor reale, continue, definite peintervalul [0, π] ınzestrat cu produsul scalar

⟨f, g⟩ =∫ π

0f(x)g(x)dx,

consideram urmatoarea submultime de functii trigonometrice S = {f0, f1, f2, . . . }, cu

S = {f0(x) = 1} ∪ {f2n−1(x) = cos 2nx, f2n(x) = sin 2nx | n ≥ 1} .

Multimea S este ortogonala, caci ⟨fi, fj⟩ = 0, ∀i = j, i, j ∈ N (tema, verificati!) . Deoarece S nucontine elementul nul al spatiului C0[0, π] (functia identic nula), rezulta conform teoremei de mai susca S este liniar independenta. Insa S nu este ortonormata, caci normele vectorilor sai nu sunt toateegale cu 1, anume:

||f0|| =√⟨f0, f0⟩ =

√∫ π0 dx =

√π,

||f2n−1|| =√∫ π

0 cos2 2nxdx =√π/2,

||f2n|| =√∫ π

0 sin2 2nxdx =√π/2, n ∈ N∗.

Impartind fiecare functie prin norma sa, obtinem multimea ortonormata {g0, g1, g2, . . . } de mai jos:

g0(x) =1√π, g2n−1(x) =

√2

πcos 2nx, g2n(x) =

√2

πsin 2nx, n ∈ N∗.

Definitie. Fie V un spatiu vectorial euclidian si un vector w ∈ V \{0}.a) Se numeste proiectia vectorului v ∈ V pe w, vectorul

prwv =⟨v, w⟩⟨w,w⟩

w.

b) Se numeste marimea algebrica a proiectiei lui v ∈ V pe w, numarul real

prwv =⟨v, w⟩||w||

,

unde norma este cea euclidiana asociata produsului scalar considerat.


Teorema. Fie spatiul vectorial euclidian V = Vn . Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza pentru V si

x =n∑

i=1xiei ∈ V . Au loc urmatoarele afirmatii:

a) Daca B este baza ortogonala atunci xi =⟨x,ei⟩⟨ei,ei⟩ , i = 1, n.

b) Daca B este baza ortonormata, atunci xi = ⟨x, ei⟩, i = 1, n.

Demonstratie. a) Orice vector x ∈ Vn se descompune relativ la baza B , deci x =n∑

j=1xjej . Inmultind

scalar aceasta relatie cu vectorul ei, i = 1, n, obtinem

⟨x, ei⟩ =n∑

j=1

xj⟨ej , ei⟩ = xi⟨ei, ei⟩ ⇒ xi =⟨x, ei⟩⟨ei, ei⟩

, i = 1, n.

b) Daca baza {ei}i=1,n este ortonormata, atunci ⟨ei, ei⟩ = 1⇒ xi = ⟨x, ei⟩, i = 1, n. �

Observatie. In cazul al doilea din teorema, orice vector x ∈ Vn admite reprezentarea unica x =n∑

i=1⟨x, ei⟩ei. Coordonatele xi = ⟨x, ei⟩, i = 1, n ale vectorului x reprezinta exact marimile algebrice

ale proiectiilor vectorului x (pe scurt, proiectii) pe versorii ei si se numesc coordonate euclidiene.

Teorema. Fie Vn un spatiu vectorial euclidian complex si B = {e1, e2, . . . , en} o baza ortonormataın Vn ; atunci

a) produsul scalar a doi vectori x, y ∈ Vn are expresia

⟨x, y⟩ =n∑

j=1

xjyj , unde xj = ⟨x, ej⟩, yj = ⟨y, ej⟩, j = 1, n;

b) norma satisface relatia ||x||2 =n∑

j=1|xj |2.

Demonstratie. a) Baza fiind ortonormata, avem ⟨ei, ej⟩ = δij ; fie

x =

n∑j=1

xjej , y =

n∑j=1

yjej ∈ Vn .

Folosind proprietatile produsului scalar, obtinem

⟨x, y⟩ =

⟨n∑

j=1

xjej ,

n∑k=1

ykek

⟩=

n∑j=1

n∑k=1

xjyk⟨ej , ek⟩ =n∑

j=1

n∑k=1

xjykδjk =

n∑j=1

xjyj .

b) Inlocuind y = x ın expresia produsului scalar, rezulta relatia. �

Definitii. Fie V un spatiu vectorial euclidian si S o submultime a sa.

a) Un vector din V se numeste ortogonal lui S daca este ortogonal pe fiecare element din S.b) Multimea tuturor vectorilor ortogonali relativ la submultimea S se numeste ”S-ortogonal” si senoteaza cu S⊥. Se observa ca S⊥ este un subspatiu vectorial al lui V , indiferent daca S este sau nuun subspatiu al lui V .c) In cazul cand S este un subspatiu vectorial, subspatiul vectorial S⊥ se numeste complementulortogonal al lui S.


Teorema. Fie V un spatiu vectorial euclidian si W = Wn un subspatiu vectorial n-dimensional allui V ; atunci:

a) Are loc descompunerea ın suma directa V =W ⊕W ⊥.b) Fie v ∈ V , v = w + w⊥ ∈ V =W ⊕W ⊥. Atunci vectorul v satisface relatia (numita si teoremaPitagora):

||v||2 = ||w||2 + ||w⊥||2.

Vectorul w din descompunerea de mai sus se numeste proiectia vectorului v ∈ V pe subspatiul Wal lui V . In cazul cand subspatiul W este finit-dimensional, acesta este dat de suma proiectiilor salepe vectorii unei baze ortogonale a subspatiului.

Demonstratie. a) Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza ortonormata a lui Wn si fie

w =n∑

i=1

⟨v, ei⟩ei

proiectia vectorului v ∈V pe subspatiul Wn . Notand w⊥ = v − w, rezulta

⟨w⊥, w⟩ = ⟨v, w⟩ − ⟨w,w⟩ =

=

⟨v,

n∑i=1⟨v, ei⟩ei

⟩−

⟨n∑

i=1⟨v, ei⟩ei

n∑j=1⟨v, ej⟩ej

⟩=

=n∑

i=1⟨v, ei⟩2 −

n∑i=1

n∑j=1⟨v, ei⟩⟨v, ei⟩⟨ei, ej⟩ =

=n∑

i=1⟨v, ei⟩2 −

n∑i=1

n∑j=1⟨v, ei⟩⟨v, ej⟩δij = 0

si deci w⊥ ∈W ⊥. Exprimarea unica v = w+w⊥ arata ca V =W ⊕W ⊥. 2) Teorema Pitagora rezultadin urmatoarele egalitati:

||v||2 = ⟨v, v⟩ = ⟨w + w⊥, w + w⊥⟩ == ⟨w,w⟩+ 2⟨w,w⊥⟩+ ⟨w⊥, w⊥⟩ = ||w||2 + ||w⊥||2.

�Fie ın continuare V un spatiu vectorial euclidian. Vom arata ca din orice multime liniar independentade vectori S din V se poate construi o multime ortonormata S′ (multime ortogonala ai carei vectoriau norma egala cu 1) care sa genereze Span(S). Aceasta multime ortonormata rezulta prin normareavectorilor unei multimi ortogonale S ”. Modul de obtinere al multimii ortogonale S”, cunoscut subnumele de procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt, este descris ın cele ce urmeaza.

Teorema. Fie V un spatiu vectorial euclidian de dimensiune n, iar B = {v1, v2, . . . , vn} o baza a luiV . Atunci exista o baza B ′ = {e1, e2, . . . , en} care are urmatoarele proprietati:

a) baza B ′ este ortonormata;b) multimile {v1, v2, . . . , vk} si {e1, e2, . . . , ek} genereaza acelasi subspatiu vectorial,

W k = Span({v1, v2, . . . , vk}) = Span({e1, e2, . . . , ek}) ⊂ V

pentru fiecare k ∈ 1, n.

Demonstratie. Mai ıntai construim o multime ortogonala B ′′ = {w1, w2, . . . , wn} ce satisface propri-etatea b), si apoi ıi normam elementele. Multimea ortogonala {w1, w2, . . . , wn} se construieste din{v1, v2, . . . , vn} ın felul urmator:


⋄ Se considera w1 = v1.

⋄ Se alege w2 = v2 + kw1. Vectorul w2 nu este zero deoarece ind(B ) ⇒ ind{v1, v2}. Se determina kdin conditia ca w2 sa fie ortogonal lui w1, adica

0 = ⟨w2, w1⟩ = ⟨v2 + kw1, w1⟩ ⇒ k = − ⟨v2, w1⟩⟨w1, w1⟩

,

de unde rezultaw2 = v2 − prw1

v2.

⋄ Vectorul w3 este luat de forma w3 = v3+k1w1+k2w2; el este nenul deoarece ind(B )⇒ ind{v1, v2, v3}.Scalarii k1, k2 sunt determinati din conditiile ca w3 sa fie ortogonal lui w1 si lui w2,{

0 = ⟨w3, w1⟩ = ⟨v3, w1⟩+ k1⟨w1, w1⟩0 = ⟨w3, w2⟩ = (v3, w2⟩+ k2⟨w2, w2⟩

⇒

{k1 = − ⟨v3,w1⟩

⟨w1,w1⟩k2 = − ⟨v3,w2⟩

⟨w2,w2⟩

si deci w3 = v3 − ⟨v3,w1⟩⟨w1,w1⟩w1 − ⟨v3,w2⟩

⟨w2,w2⟩w2, adica w3 = v3 − prw1v3 − prw2

v3.Repetam procedeul pana obtinem o multime de n vectori ortogonali

B ′′ = {w1, w2, . . . , wn}.

Se observa ca procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt descris mai sus poate fi sintetizat astfel:

w1 = v1,

w2 = v2 − prw1v2

w3 = v3 − prw1v3 − prw2

v3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

wn = vn − prw1vn − prw2

vn − ...− prwn−1vn

deci fiecare vector wk se construieste scazand din omologul sau vk proiectiile acestuia pe vectorii{w1, . . . , wk−1} anterior determinati. Multimea ortonormata B ′ = {e1, e2, . . . , en} se obtine prinnormarea vectorilor bazei B ′′,

ei =wi

||wi||, i = 1, n.

Din modul de obtinere a noii baze B ′ din baza B , rezulta relatiile

W k = L{v1, v2, . . . , vk} = L{e1, e2, . . . , ek}, k ∈ 1, n.

�Observatie. Teorema se poate aplica si pentru cazul cand B este o familie liniar independenta S dinV . Cum S este baza pentru Span(S), procedeul Gram-Schmidt produce o noua baza (ortogonala !)B ′ = S′ a subspatiului vectorial Span(S).

Exercitiu. Determinati baza ortonormata B ′ asociata bazei B a spatiului canonic cu trei dimensiuniR3, unde

B = {v1 = (−1, 0, 1), v2 = (1, 1, 2), v3 = (0, 1,−1)} ⊂ R3.

Solutie. Utilizand procedeul Gram-Schmidt, construim o baza ortogonala B ′′ = {w1, w2, w3} formatadin vectorii

w1 = v1 = (−1, 0, 1)

w2 = v2 − ⟨v2,w1⟩⟨w1,w1⟩w1 = (1, 1, 2)− 1

2(−1, 0, 1) = (3/2; 1; 3/2) ||(3, 2, 3)

w3 = v3 − ⟨v3,w1⟩⟨w1,w1⟩w1 − ⟨v3,w2⟩

⟨w2,w2⟩w2 =

= (0, 1,−1)− (−1)2 (−1, 0, 1)− −1

11 (3, 2, 3) = (−4/11; 12/11;−4/11) ||(1,−3, 1).


Impartim fiecare vector din baza ortogonala prin norma sa si obtinem o baza ortonormata B ′ ={e′1, e′2, e′3} formata din vectorii

e′1 =1

||w1||w1 =(−1√2, 0, 1√

2

),

e′2 =1

||w2||w2 =(

3√22, 2√

22, 3√

22

),

e′3 =1

||w3||w3 =(

1√11, −3√

11, 1√

11

).

Observatie. O simplificare considerabila a calculului, care conduce la o baza ortogonala B ′′ cuproprietati similare, si ın final la baza ortonormata B ′, este urmatoarea: dupa ortogonalizare, decidupa determinarea celor trei vectori ai bazei B ′′, acestia pot fi ınlocuiti prin multipli convenabili ailor. Acest fapt nu influenteaza rezultatul, deoarece au loc urmatoarele proprietati:

a) ⟨u, v⟩ = 0⇒ ⟨u, kv⟩ = 0, ∀u, v ∈ Vn , ∀k ∈ K = R;

b) kl prvu = prlv ku, ∀u, v ∈ Vn , ∀k, l ∈ K = R,adica, pe scurt, pentru un sistem ortogonal dat, orice alt sistem format din multipli nenuli ai vectoriloracestuia este tot ortogonal. In cazul nostru putem ınlocui, spre exemplu, prin amplificarile indicate:

w1 = (−1, 0, 1) →·(−1)

w1 = (1, 0,−1)

w2 = (3/2; 1; 3/2)→·2w2 = (3, 2, 3)

w3 = (−4/11; 12/11;−4/11) −→·(−11/4)

w3 = (1,−3, 1)

Observam ca sistemul B ′′ = {w1, w2, w3} conduce la baza ortonormata B ′ = {−e1, e2,−e3}, cesatisface proprietatile teoremei 6.5. Considerand cazul infinit dimensional, generalizam teorema astfel:

Teorema. Fie B={v1, v2, . . . } ⊂ V o multime finita sau infinita ın spatiul vectorial euclidian V sifie Span(v1, . . . , vk) subspatiul generat de primii k vectori ai acestei multimi. Atunci exista o multimeB ′ = {w1, w2, . . . } ⊂ V astfel ıncat:

a) vectorul wk este ortogonal pe Span(v1, v2, . . . , vk−1), ∀k ∈ Nb) Span(w1, . . . , wk) = Span(v1, . . . , vk), ∀k ∈ N;c) vectorii w1, w2, . . . cu proprietatile 1) si 2) sunt unic determinati, abstractie facand de sens (de oposibila amplificare cu −1).

Demonstratie. Vectorii w1, w2, . . . , din teorema sunt determinati recursiv prin relatiile:

w1 = v1, wk+1 = vk+1 −k∑

i=1

prwivk+1, k ∈ N.

Din multimea ortogonala {w1, w2, . . . } se poate obtine multimea ortonormata{1

||w1||w1,

1

||w2||w2, . . .

},

ai carei vectori au proprietatile a) si b) din teorema si sunt unic determinati, abstractie facand desemn. �Exercitiu. Fie V spatiul vectorial euclidian al functiilor polinomiale reale definite pe intervalul [−1, 1],cu produsul scalar dat de

⟨v, w⟩ =∫ 1

−1v(t)w(t)dt, ∀v, w ∈ V .


Aplicati procedeul Gram-Schmidt bazei canonice B = {vn}n∈N ⊂ V , vn(t) = tn, n ∈ N.

R: Aplicand acestei baze procedeul Gram-Schmidt, obtinem baza ortogonala B ′ = {wn}n∈N formatadin polinoamele Legendre,

w0(t) = 1, w1(t) = t, w2(t) = t2 − 1

3, w3(t) = t3 − 3

5t, . . . , wn(t) =

n!

(2n)!

dn

dtn(t2 − 1)n, . . .

7 Probleme propuse

1. Fie multimea R3 pe care definim operatiile

(i) x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), ∀x, y ∈ R3,

(ii) x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 − y3), ∀x, y ∈ R3,

(iii) kx = (kx1, 0, kx3), ∀k ∈ R, ∀x ∈ R3,

(iv) kx = (kx1, kx2, kx3), ∀k ∈ R, ∀x ∈ R3.

Sa se determine urmatoarele:

a) Formeaza R3 un spatiu vectorial real fata de operatiile (i) si (iii) ?b) Dar fata de (i) si (iv) ?c) Dar fata de (ii) si (iv) ?

R: a) nu; b) da; c) nu.

2. Determinati daca multimile de mai jos reprezinta spatii vectoriale cu operatiile de adunare avectorilor si ınmultire cu scalari descrise alaturat

a) (V = R2,⊕,⊗),{

(x1, x2)⊕ (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + |y2|)λ⊗ (x1, x2) = (λ · x1, 0), ∀(x1, x2), (y1, y2) ∈ R2,∀λ ∈ R.

b) (V = {p ∈ R[X ]| grad p = 4},+, ·R).c) (V = R2[X] ≡ {p ∈ R[X] |grad p ≤ 2},+, ·R).d) (V = C2(a, b) = {f |f : (a, b)→ R, f derivabila de 2 ori, f ′′continua },+, ·R),{

(f + g)(x) = f(x) + g(x)(λf)(x) = λf(x), ∀x ∈ (a, b), ∀f, g ∈ V , ∀λ ∈ R

R: a) si b) - nu; c) si d) - da.

3. a) Sa se arate ca multimea tuturor sirurilor convergente cu termeni din K (K ∈ {R,C}) formeazaun spatiu vectorial peste K relativ la adunarea a doua siruri si ınmultirea dintre un numar si un sir.b) Sa se stabileasca daca multimea V a tuturor functiilor reale de clasa Ck definite pe o submultimedeschisa U ⊂ Rn, este spatiu vectorial real ın raport cu adunarea functiilor si ınmultirea dintre unnumar si o functie, descrise prin

(f + g)(x) = f(x) + g(x)(kf)(x) = kf(x), ∀k ∈ R, ∀f, g ∈ V , ∀x ∈ U.

c) Aratati ca multimea V a functiilor integrabile pe [a, b], (a < b ∈ R), este un spatiu vectorial realın raport cu operatiile descrise mai sus.

R: b) da.

4. Fie V un spatiu vectorial real. Pe V × V definim operatiile{(u, v) + (x, y) = (u+ x, v + y)

(a+ ib)(u, v) = (au− bv, bu+ av), ∀a+ ib ∈ C, ∀u, v, x, y ∈ V .

32 Probleme propuse

Sa se arate ca V ×V este un spatiu vectorial peste C (acest spatiu se numeste complexificatul lui Vsi ıl notam cu CV ).

5. Sa se verifice care dintre urmatoarele submultimi W reprezinta subspatii vectoriale ın spatiilevectoriale specificate:

a) W = {(x1, x2) ∈ R2 | x1 + x2 − a = 0} ⊂ R2, unde a ∈ R,b) W = R2[X] ⊂ R4[X],

c) W = R3[X] ⊂ R[X],

d) W = {p ∈ R[X] |p(1) + p(−1) = 0} ⊂ R[X],

e) W = {p ∈ R[X] |p(0) = 1} ⊂ R[X].

R: a) da ⇔ a = 0, b) da, c) da, d) da, e) nu.

6. Sa se stabileasca daca multimile

A = {p ∈ Rn[X] | ∃q ∈ Rn[X], a.ı. p(x) = q(2x+ 1)− q(2), ∀x ∈ R}

B = {p ∈ Rn[X] | p(x) = p(3x2) + 7, ∀x ∈ R}

sunt subspatii vectoriale ale spatiului vectorial Rn[X] al polinoamelor cu coeficienti reali, de grad celmult n.

R: a) da, b) B = g� , nu.

7. Consideram subspatiile vectoriale V i, i ∈ Λ (unde Λ este o familie arbitrara de indici) ale spatiuluivectorial V . Sa se arate ca ∩

i∈ΛV i este subspatiu vectorial al lui V .

8. Fie I = (a, b) ⊂ R un interval real si multimile:

i) Multimea functiilor continue pe I, C0(I) = {f : I → R | f continua pe I },ii) Multimea functiilor diferentiabile de clasa Ck pe I (k ∈ N∗), Ck(I) = {f : I → R| f derivabila

de k ori pe I, cu f (k) continua pe I},iii) Multimea functiilor diferentiabile de clasa C∞ pe I, C∞(I) = {f : I → R| f derivabila de k

ori pe I, ∀ k ∈ N}.Aratati ca:

a) C0(I), Ck(I) si C∞(I) formeaza spatii vectoriale reale cu operatiile

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x), ∀x ∈ I.

b) C∞(I) este subspatiu vectorial ın Ck(I), ∀k ∈ N;c) Ck(I) este subspatiu vectorial ın C l(I), ∀k ≥ l ∈ N;d) C∞(I) = ∩

k∈NCk(I).

9. Fie S, S′ ⊂ V doua familii nevide de vectori. Aratati ca:

a) S ⊂ Span(S);b) S ⊂ Span(S′)⇒ Span(S) ⊂ Span(S′);

c) Daca S este subspatiu vectorial al lui V , atunci Span(S) = S;

d) Span(S) =∩

S ⊂W ⊂ VW subspatiu vectorial

W ;

e) Span(S ∪ S′) = Span(S) + Span(S′);

f) Daca S ⊂ S′, atunci ind (S′)⇒ ind (S);

g) Daca S ⊂ S′, atunci dep (S)⇒ dep (S′).


10. Sa se cerceteze daca vectorul v = (1,−2, 0, 3) ∈ R4 este o combinatie liniara a vectorilor u1 =(3, 9,−4,−2), u2 = (2, 3, 0,−1), u3 = (2,−1, 2, 1).

R: da, v = u1 − 3u2 + 2u3.

11. Sa se determine daca urmatoarele familii de vectori sunt dependente sau independente liniar. Incazul dependentei liniare indicati o relatie de dependenta.

a) v1 = (1, 2, 0), v2 = (1, 1, 1), v3 = (−1, 0,−2) ∈ R3,

b) p1 = 1 + x, p2 = 1− x+ x2, p3 = 3 + x+ x2 ∈ R2[X] ⊂ R[X],

c) f1 = ch, f2 = sh, f3 = exp ∈ C∞(R), unde C∞(R) ≡ {f |f : R→ R, f derivabila de oricate ori pe R},

d) m1 =

(1 00 2

),m2 =

(1 10 1

),m3 =

(0 00 0

),m4 =

(1 11 1

)∈M2(R),

e) S = {fn|fn(x) = cosn x, n ∈ N} ⊂ C∞(R).

R: a) dep {v1, v2, v3}, v1 = 2v2+ v3, b) dep {p1, p2, p3}, p3 = 2p1+ p2, c) dep {f1, f2, f3}, f3 = f1+ f2,d) dep {m1,m2,m3,m4}, 0 ·m1 + 0 ·m2 + 1 ·m3 + 0 ·m4 = 0, e) ind S.

12. Sa se stabileasca care dintre urmatoarele submultimi ale spatiului vectorial C∞(R) sunt liniardependente, respectiv liniar independente:

S = {1, cos 2x, cos2 x}, S′ = {ex, e−x, chx}, S′′ = {ex, xex, . . . , xn−1ex}.

R: dep(S): −1 · 1− 1 · cos 2x+ 2 · cos2 x = 0; dep(S′): 1 · ex + 1 · e−x − 2 · chx = 0; ind(S′′).

13. Sa se arate ca familia de polinoame S = {1, X,X2, . . . , Xn, . . . } ⊂ K [X] este o multime liniarindependenta, unde K [X] este spatiul tuturor polinoamelor ın nedeterminata X, cu coeficienti ıncorpul K .

14. Sa se determine daca urmatoarele familii de vectori reprezinta sau nu baze ın spatiile vectorialeindicate:

a) {ek | ek ≡ (0, 0, . . . , 0, 1k, 0, . . . , 0), k = 1, n} ⊂ Rn,

b) {eij | eij ≡ (δikδjl)k=1,m;l=1,n, i = 1,m; j = 1, n} ⊂Mm×n(R),c) {Xk|k = 0, n} ⊂ Rn[X],

d) {cos at, sin at} ⊂ {y = f(t)|y′′ + a2y = 0}, unde a ∈ R∗.

R: a) da, b) da, c) da, d) da.

15. Determinati daca urmatoarele familii de vectori S = {v1, v2, v3, v4} din R4 determina baze. Incaz afirmativ, determinati descompunerea vectorului v relativ la baza respectiva.

a) v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (1,−1, 0, 1), v3 = (0, 2, 0, 0), v4 = (0, 0, 1, 1), v = (5, 1, 2, 5),b) v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1), v3 = (1,−1, 1,−1), v4 = (1,−1,−1, 1); v = (1, 2, 1, 1),c) v1 = (1, 1, 0, 1), v2 = (2, 1, 3, 1), v3 = (1, 1, 0, 0), v4 = (0, 1,−1,−1); v = (0, 0, 0, 1).

R: In toate cele trei cazuri, det[v1, v2, v3, v4] = 0, deci cei 4 vectori sunt liniar independenti ın spatiulvectorial de dimensiune 4, R4; prin urmare formeaza baze.

a) Coeficientii vectorului v relativ la noua baza sunt [v]S = (2, 3, 1, 2)t. b) (5/4, 1/4,−1/4,−1/4)t. c)(1, 0,−1, 0)t.

16. Aflati cate o baza a subspatiului W , si dimensiunea acestuia, unde:

a) W = Span({u = (2, 1, 3, 1), v = (1, 2, 0, 1), w = (−1, 1,−3, 0)}) ⊂ R4;

b) W = Span({v1 = (2, 0, 1, 3,−1), v2 = (1, 1, 0, 1,−1), v3 = (4, 2, 1, 5,−3), v4 = (1,−3, 2, 9,−5)}) ⊂R5,

34 Probleme propuse

c) W = Span({a = (2, 1, 3,−1), b = (−1, 1,−3, 1), c = (4, 5, 3,−1), d = (1, 5,−3, 1)}) ⊂ R4,

d) W =

{A|A =

(x 0 yu v 0

), y = u− 3v; x, y, u, v ∈ R

}⊂M2×3(R).

R: In cazurile a), b), c), minorul care da rangul matricei formate din coeficientii vectorilor generatori(asezati pe coloane, spre exemplu), determina o familie liniar independenta de generatori ai spatiuluiW , deci o baza. a) BW = {u, v}. b)BW = {v1, v2}. c)BW = {a, b}. d) Rezolvam sistemul (formatdintr-o singura ecuatie) iar generatorii solutiilor sistemului sunt vectori liniar independenti; acestiaformeaza deci baza

BW =

{(1 0 00 0 0

),

(0 0 11 0 0

),

(0 0 −30 1 0

)}.

17. Dandu-se subspatiile W si U generate respectiv de vectorii

{w1 = (2, 3, 11, 5), w2 = (1, 1, 5, 2), w3 = (0, 1, 1, 1)}; {u1 = (2, 1, 3, 2), u2 = (1, 1, 3, 4), u3 = (5, 2, 6, 2)},

sa se arate ca aceste subspatii sunt suplementare si sa se gaseasca descompunerea vectorului v =(2, 0, 0, 3) pe aceste subspatii.

R: v = (u1 + u2) + (−w1 + w2) ∈ U +W .

18. Fie S = {f1, f2, . . . , fn} ⊂ C∞(R) o multime de functii. Se numeste wronskianul functiilorf1, f2, . . . , fn, determinantul

w(S) = det[f(i−1)j ]i,j∈1,n,

unde am notat f(0)j = fj , ∀j = 1, n. Sa se arate ca:

a) daca dep(S) atunci w(S)=0 (echivalent, w(S) = 0⇒ indS);

b) reciproca proprietatii a) nu este adevarata;

19. Se dau subspatiile vectoriale U si W ale lui R3. In situatiile de mai jos, sa se determine cate obaza ın subspatiile U , W , U +W , U ∩W si sa se verifice egalitatea

dimU + dimW = dim(U +W ) + dim(U ∩W ),

a) U = Span({f1 = (1, 2,−1,−2), f2 = (3, 1, 1, 1), f3 = (−1, 0, 1,−1)}),W = Span({g1 = (2, 5,−6,−5), g2 = (−1, 2,−7,−3)}) ⊂ R4,

b) U = Span({f1 = (1, 2, 1, 0), f2 = (−1, 1, 1, 1)}),W = Span({g1 = (2,−1, 0,−1), g2 = (1,−1, 3, 1)}) ⊂ R4,

c) U = Span({f1 = (1, 1, 0, 0), f2 = (1, 0, 1, 1)}),W = Span({g1 = (0, 0, 1, 1), g2 = (0, 1, 1, 0)}) ⊂ R4,

d) U = {(x, y, z )|x+ y − 2z = 0},W = Span({w1 = (1, 1, 1), w2 = (1, 0, 0), w3 = (3, 2, 2)}) ⊂ R3.

R: a) U ∩W =W ,BW = {g1, g2}, B U = B U+W = {g1, g2, f1}, 3 + 2 = 3 + 2.b) B U∩W = {u = (5,−2,−3,−4)}, B U = {u, f1}, BW = {u, g1}, B U+W = {u, f1, g1}, 2+2=1+3.c) U ∩W = {0}, B U = {f1, f2}, BW = {g1, g2}, U +W = R4; subspatiile U siW sunt suplementare;2+2=0+4.d) B U = {v1 = (2, 0, 1), v2 = (−1, 1, 0)}, B V = {w1, w2},

B U+W = {v2, w1, w2}, U +W = R3;B U∩W = {w = (1, 1, 1)}, 2 + 2 = 3 + 1.


20. Sa se gaseasca o baza a sumei si o baza a intersectiei subspatiilor vectoriale U = Span({u1, u2, u3})si W = Span({w1, w2, w3}), unde

u1 = (2,−1, 1), u2 = (1, 1, 1), u3 = (1,−2, 0);w1 = (3,−3, 1), w2 = (0, 1, 0), w3 = (6, 0, 2).

R: B U = {u1, u2}, BW = {w1, w2}, B U∩W = {w1}; B U+W = {u1, u2, w2}, (U +W = R3).

21. Sa se completeze familia F de mai jos la o baza a spatiului vectorial corespunzator. Verificati ınprealabil liniar independenta sistemului F .

a) F = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1,−1)} ⊂ R3;b) F = {p1 = x− x2, p2 = 1− x3} ⊂ R3[X].

R: a) B R3 = {v1, v2, v3 = (1, 0, 0)}, b) B R3[X] = {p1, p2, p3 = x3, p4 = x2}.

22. Sa se arate ca daca U 1, U 2, U 3 ⊂ V sunt subspatii vectoriale ın V , atunci are loc relatiaU 1 + (U 2 ∩ U 3) = (U 1 + U 2) ∩ U 3.

23. Aratati ca C0[0, 1] = ( ⊕a∈R

U a)⊕ U b, unde b ∈ [0, 1] este arbitrar fixat, iar

U a = {f ∈ C0[0, 1] | f(x) = a, ∀x ∈ [0, 1]}, U b = {f ∈ C0[0, 1] | f(b) = 0}.

24. Fie p0 ∈ R[X] \{0} un polinom fixat. Aratati ca

R[X] = {p ∈ R[X] | grad p ≤ n} ⊕ {p ∈ R[X] | p0 divide p}.

25. Fie V 5 spatiul vectorial real al polinoamelor ın cosx care au cel mult gradul 4. Sa se scrietransformarea de coordonate care permite trecerea de la baza B =

{1, cosx, cos2 x, cos3 x, cos4 x

}la

baza B ′ = {1, cosx, cos 2x, cos 3x, cos 4x} si sa se gaseasca inversa acestei transformari.

R: X = CX ′, unde C =

1 0 −1 0 10 1 0 −3 00 0 2 0 −80 0 0 4 00 0 0 0 8

; matricea transformarii inverse este C−1 iar

X ′ = C−1X.

26. Sa se arate ca urmatoarele familii de vectori B ′ si B ′′ sunt baze ın spatiul vectorial specificat sisa se determine matricea de trecere de la baza B ′ la B ′′ (notata CB′B′′) si coordonatele vectorului v(exprimat ın baza canonica) relativ la baza B ′.

a) B ′ = {f1 = (1, 0, 1), f2 = (1, 0,−1), f3 = (1, 1, 0)} ⊂ R3, B ′′ = {g1 = (1, 1, 1), g2 = (1, 1, 0), g3 =(1, 0, 0)} ⊂ R3; v = (−1, 3, 7);b) B ′ = {q1 = 1 + x, q2 = 1 − x2, q3 = 1} ⊂ R2[X], B ′′ = {r1 = 1 + x + x2, r2 = x2, r3 = 1 + x2} ⊂R2[X]; v = 1− x+ x2.

R: a) CB′B′′ = C ′−1C ′′, C ′ = [f1, f2, f3], C′′ = [g1, g2, g3]; [v]B′ = C ′−1 · (−1, 3, 7)t. b) CB′B′′ =

C ′−1C ′′, C ′ =

1 1 11 0 00 −1 0

, C ′′ =

1 0 11 0 01 1 1

; [v]B′ = C ′−1 · (1,−1, 1)t.

27. Fie spatiul vectorial complex n-dimensional Cn si fie RCn trecerea ın real a lui Cn. Stiind caoricarui vector z = (a1+ib1, a2+ib2, . . . , an+ibn) ∈ Cn ıi corespunde vectorul (a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn) ∈RCn, sa se stabileasca vectorul din RCn care este asociat lui i · z.

36 Probleme propuse

R: (−b1,−b2, . . . ,−bn, a1, a2, . . . , an).

28. Sa se arate ca aplicatiile ⟨ · , · ⟩ : Rn[X]× Rn[X]→ R definite prin formulele

a) ⟨p, q⟩ =n∑

k=0

akbk,

b) ⟨p, q⟩ =n∑

k=0

1k!akbk, ∀p =

n∑k=0

akXk, q =

n∑k=0

bkXk ∈ Rn[X], sunt respectiv produse scalare. Pentru

n ≥ 2, sa se calculeze unghiul dintre polinoamele p si q fata de produsul scalar a), respectiv b), undep = −3 + 4X2, q = 2− 3X + 3X2 ∈ Rn[X].

R: a) ⟨p, q⟩ = 6, b) ⟨p, q⟩ = 0.

29. Determinati daca urmatoarele operatii reprezinta produse scalare:

a) ⟨x, y⟩ = x1y1 + ax2y2, ∀x, y ∈ R2;

b) ⟨u, v⟩ = u1v2, ∀u, v ∈ C2.

R: a) da ⇔ a > 0; b) nu.

30. Sa se verifice ca urmatoarele operatii determina produse scalare pe spatiile vectoriale specificate:

a) ⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + x3y3, ∀x, y ∈ R3;

b) ⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2, ∀x, y ∈ C2;

c) ⟨f, g⟩ =∫ ba f(t)g(t)dt, ∀f, g ∈ C

0[a, b] = {f |f : [a, b]→ R, f continua};

d) ⟨p, q⟩ =∫ 1−1 p(t)q(t)dt, ∀p, q ∈ R2[X] ≡ P2 ⊂ C0[−1, 1];

e) ⟨p, q⟩ = p0q0 + p1q1 + p2q2, ∀p = p0 + p1x+ p2x2, q = q0 + q1x+ q2x

2 ∈ R2[X];

f) ⟨A,B ⟩ = Tr(AtB ), ∀A,B ∈M2(R), unde

Tr(C) = c11 + · · ·+ cnn, ∀C = (cij)i,j=1,n ∈Mn(R).

31. Folosind produsele scalare canonice din exercitiul precedent, pentru fiecare din cazurile urmatoaresa se calculeze:

⋄ normele celor doi vectori;

⋄ pentru punctele a, c, d, e, f , unghiul celor doi vectori;

⋄ determinati daca cei doi vectori sunt ortogonali;

⋄ aflati proiectia celui de-al doilea vector pe primul.

Se dau vectorii corespunzatori:

a) u = (1, 2,−1), v = (−1, 3, 1) ∈ R3.

b) u = (1 + i, i), v = (1, i− 2) ∈ C2.

c) f(x) = ex, g(x) = e−x; f, g ∈ C0[0, 1].

d) p = 1 + x, q = 1− x2 ∈ P2.

e) p = 1 + x, q = 1− x2 ∈ R2[X].

f) A =

(1 01 1

), B =

(1 0−1 1

)∈M2(R).

R: Tema: b, c, d, e, f. a) ||u|| =√6, ||v|| =

√11, ⟨u, v⟩ = 4, deci u nu este ortogonal pe v;

φ ≡ ∠(u, v) = arccos4√66∈ [0, π] ; pruv =

(2

3,4

3,−2

3

).


32. Ortonormati urmatoarele familii de vectori folosind produsele scalare canonice (sau cele indicate,dupa caz) ale spatiilor vectoriale considerate:

a) F = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 0, 1)} ⊂ R3,b) F = {p1 = 1 + x, p2 = 1− x2, p3 = x+ x2 } ⊂ R2[x], unde

⟨p, q⟩ =∫ 1

−1p(t)q(t)dt, ∀p, q ∈ R2[x] ⊂ C0[−1, 1];

c) F = {v1 = (1 + i, 0, 1), v2 = (1, 1,−i), v3 = (0, i, i)} ⊂ C3.

R: Tema. b, c). a) In urma ortogonalizarii (Gram-Schmidt) si apoi a normarii familiei F , rezultabaza ortonormata:

g1 =

(1√2,1√2, 0

), g2 =

(1√6,− 1√

6,2√6

), g3 =

(− 1√

3,1√3,1√3

).

33. Aflati o familie ortonormata de solutii ale sistemului liniar{3x− y − z + v = 0x+ 2y − z − v = 0.

R: Se rezolva sistemul, se afla o baza ın spatiul solutiilor, se ortogonalizeaza si apoi se normeazaaceasta baza. Spre exemplu, o asemenea baza ortonormata este

v1 =1√6(1, 0, 2,−1), v2 =

1√498

(1, 12, 8, 17).

34. Completati urmatorul sistem de vectori la o baza ortogonala, verificand ın prealabil ca aceastaeste formata din vectori ortogonali

F = {v1 = (2, 1,−1), v2 = (−1, 1,−1) } ⊂ R3.

R: B ′ = {v1, v2, v3}, ∀v3 ∈ Span(v = (0, 1, 1)) \{0}.

35. Fie spatiul vectorial euclidian real V = C0[0, 4] cu produsul scalar dat de

⟨f, g⟩ =∫ 4

0f(x)g(x)dx, ∀f, g ∈ V .

a) Sa se scrie inegalitatea lui Cauchy-Schwarz pentru acest produs scalar.

b) Sa se calculeze d(f, g) si ||g||, unde f(x) = 1, g(x) =

{x, x ∈ [0, 2]2− x, x ∈ (2, 4].

R: a)

(∫ 4

0f(x)g(x)dx

)2

≤(∫ 4

0f2(x )dx

)(∫ 4

0g2(x )dx

);

b) d(f, g) = 2√

13/3;||g|| = 4/√3.

36. Determinati proiectia ortogonala v′ = −→prW v a vectorului v pe subspatiul W precum si compo-nenta sa ortogonala v⊥ relativ la subspatiul W , ın fiecare din urmatoarele cazuri:

a) v = (1, 0, 2),W = Span({w1 = (0, 1, 0), w2 = (0, 1, 1)} ⊂ R3;b) v = (1,−1, 1),W = Span(S),

S = {w1 = (1, 0,−2), w2 = (1, 1, 0), w3 = (3, 2,−2)} ⊂ R3;

38 Probleme propuse

c) vnot= 1 + x,W = Span({p1 = 1− x, p2 = 1− x2}) ⊂ R2[x];

d) v = (1, 1,−1),W = {(x, y, z) |x+ y − z = 0} ⊂ R3;e) v = (5, 2,−2, 2),W = Span({w1 = (2, 1, 1,−1), w2 = (1, 1, 3, 0)} ⊂ R4.

R: Tema: a, c. b) v′ = prW v = (−23/45; 5/45; 56/45), v⊥ = v − v′ = (68/45;−10/9;−11/45). d)W = Span({(1, 0, 1), (−1, 1, 0)}, B ortog,W = {w1 = (1, 0, 1), w2 = (1,−2,−1)} v′ = prw1v + prw2v =

(0, 0, 0), deci v⊥W , v⊥ = v = (1, 1,−1).e) v′ = prW v = (3, 1,-1,-2), v⊥ = (2, 1,−1, 4).

37. Determinati complementul ortogonal W ⊥ al subspatiului vectorial W , unde W = Span({w1 =(1, 1, 0, 0), w2 = (1,−1, 1, 1)} ⊂ R4.

R: W ⊥ = Span({(−1, 1, 2, 0), (0, 0,−1, 1)}.

38. Se da familia de vectori B={v1, v2, v3} din spatiul vectorial euclidian canonic cu trei dimensiuniR3, unde v1 = (1, 0, 2), v2 = (0, 1,−1), v3 = (−1, 1, 0).a) Aratati ca B este o baza a spatiului R3.

b) Sa se ortonormeze baza B .

R: b) Se obtine baza ortonormata

B ′ = {e′1, e′2, e′3}, e′1 =(

1√2,1√2, 0

), e′2 =

(1√11,−1√11,

3√11

), e′3 =

(−3√22,

3√22,

√2√11

).

39. Fie spatiul vectorial euclidian V al functiilor polinomiale definite pe intervalul [−1, 1], cu produsulscalar definit prin aplicatia

⟨p, q⟩ =∫ 1

−1p(x)q(x) dx.

Ortogonalizand multimea S = {1, x, x2, . . . , xn, . . . } se obtine familia S′ a polinoamelor Legendre. Sase afle primele cinci polinoame ale acestei familii.

R:{1, x, x2 − 1

3 , x3 − 3

5x, x4 − 6

7x2 + 3

35 , x5 − 10

9 x3 + 5

21x}⊂ S′.

40. Fie V un spatiu vectorial euclidian real si doi vectori x, y ∈ V . Sa se verifice urmatoareleproprietati:

a) x⊥y ⇔ ∥x+ y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2,b) ∥x∥ = ∥y∥ ⇒ (x+ y)⊥(x− y).c) ||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2

(||x||2 + ||y||2

).

41. Fie V un spatiu vectorial euclidian complex si doi vectori x, y ∈ V . Sa se verifice urmatoareleproprietati:

a) x⊥y ⇔ ||ax+ by||2 = ||ax||2 + ||by||2, ∀a, b ∈ C,b) 4⟨x, y⟩ = ||x+ y||2 − ||x− y||2 + i||x+ iy||2 − i||x− iy||2, ∀x, y ∈ V .

42.Fie V un spatiu vectorial euclidian real si {v1, . . . vn} ⊂ V o familie de vectori. Sa se arate ca:

a) Daca {w1, . . . wn} ⊂ V reprezinta familia obtinuta din {v1, . . . vn} ın urma aplicarii procesului deortogonalizare Gram-Schmidt, atunci au loc relatiile

||vi|| ≥ ||wi|| , ∀i = 1, n;

b) Au loc relatiile G(v1, . . . vn) = G(w1, . . . wn) si G(v1, . . . vn) ≤ ||v1||2 · · · · · ||vn||2, unde prinG(v1, . . . vn) = det(⟨vi, vj⟩)i,j=1,n am notat determinantul Gram al familiei de vectori {v1, . . . vn}.

Transformari liniare 39

R: a) Pentru i = 1, avem v1 = w1 ⇒ ||v1|| = ||w1||. Pentru i ≥ 2, se aplica teorema lui Pitagoravectorului suma vi = wi + prW vi, unde W = Span(w1, . . . wi−1).

b) Pentru prima relatie, se demonstreaza succesiv egalitatile

G(v1, v2, v3, . . . vn) = G(w1, v2, v3, . . . vn) = G(w1, w2, v3, . . . vn) = · · · = G(w1, . . . wn),

folosind operatii cu determinanti si expresiile care leaga cele doua familii de vectori. Pentru a douarelatie, aplicam punctul a) si prima relatie, observand ca

G(w1, . . . wn) = det(diag(⟨w1, w1⟩, . . . , ⟨wn, wn⟩)) = ||w1||2 · . . . · ||wn||2.

Capitolul 2. Transformari liniare

1 Transformari liniare. Definitii, exemple, proprietati

Definitii. Fie V si W doua spatii vectoriale peste corpul K .

a) Se numeste transformare liniara de la V la W (sau ınca, operator liniar sau morfism de spatiivectoriale), o functie T : V →W care satisface proprietatile

T (x+ y) = T (x) + T (y), ∀x, y ∈ V ,(1)

T (kx) = kT (x), ∀k ∈ K , ∀x ∈ V .(2)

b) Se numeste izomorfism de spatii vectoriale, orice transformare liniara bijectiva.

c) Se numeste endomorfism al spatiului vectorial V , orice aplicatie liniara T : V → V .

d) Se numeste automorfism al spatiului vectorial V , orice endomorfism bijectiv.

e) Se numeste forma liniara, o transformare liniara T : V → K (unde K = K 1 este considerat caspatiu vectorial 1-dimensional peste K ).

Observatie. Cele doua conditii (1) si (2) din definitia unei transformari liniare sunt echivalente cuconditia

T (kx+ ly) = kT (x) + lT (y), ∀k, l ∈ K , ∀ x, y ∈ V . (3)

Intr-adevar, daca T : V →W este liniara, atunci conform definitiei avem

T (kx+ ly) = T (kx) + T (ly) = kT (x) + lT (y), ∀k, l ∈ K , ∀ x, y ∈ V .

Reciproc, conditia (3), pentru k = l = 1 implica (1), iar pentru l = 0, implica (2).

Notatii.

⋄ Vom nota prin L(V ,W ) multimea tuturor transformarilor liniare definite pe V cu valori ın W .

⋄ Vom nota prin End(V ) multimea endomorfismelor spatiului vectorial V .

⋄ Vom nota prin Aut(V ) multimea automorfismelor spatiului vectorial V .

⋄ Uneori ın loc de T (x) vom scrie, pe scurt, Tx.

40 Transformari liniare. Definitii, exemple, proprietati

Exemple de transformari liniare

1. Aplicatia T ∈ L(R,R), T (x) = ax, unde a ∈ R, este liniara.

2. Aplicatia nula, T ∈ L(V ,W ), T (x) = 0, ∀x ∈ V este transformare liniara.

3. Aplicatia de incluziune T ∈ L(U , V ), T (x) = x, ∀x ∈ U , unde U este subspatiu vectorial ın V(privit ca spatiu vectorial cu structura indusa din V ), este aplicatie liniara. Ca un caz particular,aplicatia identitate

Id ∈ End(V ), Id(x) = x,∀x ∈ V ,

este aplicatie liniara.

4. Aplicatia T ∈ L(Rn,Rm), T (x) = Ax, ∀x = (x1, . . . , xn)t ∈ Rn, unde matricea A ∈Mm×n(R) este

data, este o transformare liniara. Spre exemplu, pentru m=2, n=3, aplicatia T ∈ L(R2,R3),

T (x) = (2x1,−x2, 3x1 + x2), ∀x = (x1, x2) ∈ R2

este de aceasta forma, deoarece

T (x) =

2 00 −13 1

( x1x2

)=

x1x2x3

= (2x1,−x2, 3x1 + x2)t.

Se observa ca T este transformare liniara, deoarece avem

T ((x1, x2) + (y1, y2)) = T (x1 + y1, x2 + y2) == (2(x1 + y1),−(x2 + y2), 3(x1 + y1) + x2 + y2) == (2x1,−x2, 3x1 + x2) + (2y1,−y2, 3y1 + y2) == T (x1, x2) + T (y1, y2), ∀(x1, x2), (y1, y2) ∈ R2

T (k(x1, x2)) = T (kx1, kx2) == (2kx1,−kx2, 3kx1 + kx2) == k(2x1,−x2, 3x1 + x2) == kT (x1, x2), ∀k ∈ R, ∀(x1, x2) ∈ R2.

5. Operatorul de derivare T ∈ L(C1(a, b), C0(a, b)), T (f) = f ′, ∀f ∈ C1(a, b), este transformareliniara.

6. Operatorul de integrare definita T ∈ L(C0[a, b],R), T (f) =∫ ba f(t)dt, ∀f ∈ C

0[a, b], este transfor-mare liniara.

7. Operatorul de transpunere T ∈ L(Mm×n(K ),Mn×m(K )), T (A) = At, ∀A ∈ Mm×n(K ), estetransformare liniara.

Teorema. Orice transformare liniara T ∈ L(V ,W ) are urmatoarele proprietati:

a) T (0) = 0.

b) Daca U este un subspatiu vectorial al lui V , atunci T (U ) este un subspatiu vectorial al lui W .

c) Daca vectorii x1, x2, . . . , xn ∈ V sunt liniar dependenti, atunci si vectorii T (x1), T (x2), . . . , T (xn) ∈W sunt de asemenea liniar dependenti.

d) Dati fiind vectorii x1, x2, . . . , xn ∈ V , daca vectorii T (x1), T (x2), . . . , T (xn) ∈ W sunt liniarindependenti, atunci si vectorii x1, x2, . . . , xn sunt liniar independenti.


Demonstratie. a) Avem T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) ⇒ T (0) = 0. b) Fie u = T (x), v = T (y) ∈T (U ), cu x, y ∈ V si k, l ∈ K . Atunci avem:

ku+ lv = kT (x) + lT (y) = T (kx+ ly) ∈ T (U ),

deci T (U ) este un subspatiu vectorial al lui W . c) Aplicand transformarea T unei relatii dedependenta k1x1 + k2x2 + · · · + knxn = 0V si folosind proprietatea de liniaritate (3) a transformariiT , rezulta relatia de dependenta

k1T (x1) + k2T (x2) + · · ·+ knT (xn) = 0W .

d) Procedand ca ın cazul 3), rezulta anularea coeficientilor k1, k2, . . . , kn, deci independenta vectorilorx1, x2, . . . , xn. �Observatie. Daca V si W sunt doua spatii vectoriale peste corpul K , putem defini adunarea siınmultirea cu scalari pe multimea de transformari liniare L(V ,W ), ca si ın cazul spatiilor vectorialecare au functii drept vectori. Mai exact, pentru S, T ∈ L(V ,W ), definim{

(S + T )(x) = S(x) + T (x),(kS)(x) = kS(x), ∀x ∈ V , ∀k ∈ K .

In raport cu aceste operatii multimea L(V ,W ) este un spatiu vectorial peste corpul K . Spatiulvectorial L(V ,K ) se numeste dualul lui V , iar vectorii sai se numesc forme liniare definite pe V cuvalori ın corpul K .

Teorema. Fie Vn si W doua spatii vectoriale peste corpul K , fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza a luiVn , iar w1, w2, . . . , wn o familie de vectori din W .

a) Exista o unica transformare T ∈ L(Vn ,W ) astfel ıncat T (ei) = wi, i = 1, n.

b) Daca avem ind{w1, w2, . . . , wn}, atunci aceasta transformare este injectiva.

Demonstratie. a) Fie x =n∑

i=1xiei ∈ Vn . Asocierea x ∈ V → T (x) =

n∑i=1

xiwi ∈ W defineste o functie

T : Vn → W , cu proprietatea T (ei) = wi, i = 1, n. Asocierea T este o transformare liniara, deoarecepentru

x =

n∑i=1

xiei, y =

n∑i=1

yiei ∈ Vn , k, l ∈ K , kx+ ly =

n∑i=1

(kxi + lyi)ei ∈ Vn ,

obtinem T (kx + ly) =n∑

i=1(kxi + lyi)wi = k

n∑i=1

xiwi + ln∑

i=1yiwi = kT (x) + lT (y). Pentru a verifica

unicitatea transformarii liniare T astfel determinate, fie S ∈ L(Vn ,W ) satisfacand de asemenea

relatiile S(ei) = wi, i = 1, n. Atunci, pentru orice x =n∑

i=1xiei ∈ Vn , avem

S(x) = S

(n∑

i=1

xiei

)=

n∑i=1

xiS(ei) =

n∑i=1

xiT (ei) = T

(n∑

i=1

xiei

)= T (x).

b) Fie x =n∑

i=1xiei, y =

n∑i=1

yiei ∈ Vn . Folosind relatiile T (ei) = wi, i = 1, n si liniar independenta

vectorilor w1, w2, . . . , wn, avem

T (x) = T (y)⇒n∑

i=1(xi − yi)wi = 0⇒ xi = yi, i = 1, n⇒ x = y. �

42 Nucleul si imaginea unei transformari liniare

Observatii. 1. Compunerea a doua transformari liniare, definita ca si ın cazul functiilor obisnuite,se numeste ınmultire (produs) si produce tot o transformare liniara. Evident compunerea nu este ıngeneral comutativa, dar este asociativa.

2. Fie A,B,C transformari liniare. Daca au sens A+B, AC si BC, atunci

(kA+ lB)C = kAC + lBC, ∀k, l ∈ K ,

iar daca au sens A+B, CA si CB, atunci

C(kA+ lB) = kCA+ lCB, ∀k, l ∈ K .

3. Fie T ∈ End(V ). Puterile naturale ale lui T se definesc inductiv:

T 0 = Id, Tn = TTn−1, n ≥ 1,

unde Id este transformarea identica.

4. Fie T ∈ L(U , V ) o transformare liniara bijectiva (inversabila). Atunci inversa T−1 ∈ L(V ,U )este tot o transformare liniara. Intr-adevar, pentru w1 = Tv1, w2 = Tv2, obtinem

T−1(kw1 + lw2) = T−1(kTv1 + lT v2) = T−1T (kv1 + lv2) = kv1 + lv2 = kT−1(w1) + lT−1(w2).

5. Daca T ∈ L(U , V ) si S ∈ L(V ,W ) sunt transformari liniare bijective, atunci

⋄ S ◦ T ∈ L(U ,W ) este o transformare liniara bijectiva;

⋄ are loc relatia (S ◦ T )−1 = T−1 ◦ S−1.


Fie V si W doua K -spatii vectoriale si T ∈ L(V ,W ). Vom studia ın cele ce urmeaza

• multimea solutiilor ecuatiei T (x) = 0, x ∈ V si• multimea valorilor transformarii, {y ∈W | ∃x ∈ V , y = T (x)}.

Fig. 1. Nucleul si imaginea unei transformari liniare

Definitii. a) Se numeste nucleul transformarii liniare T ∈ L(V ,W ), multimea

KerT = {x |x ∈ V , T (x) = 0} ⊂ V .

b) Se numeste imaginea transformarii liniare T , multimea ImT = T (V ) ⊂W .


Teorema. Fie T ∈ L(V ,W ) o transformare liniara.

a) Nucleul transformarii T este un subspatiu vectorial al lui V .b) Imaginea lui V prin T este un subspatiu vectorial al lui W .c) Solutia generala a ecuatiei T (v) = w (pentru w arbitrar fixat ın ImT ⊂ W ), este suma dintresolutia generala a ecuatiei T (v) = 0 si o solutie particulara a ecuatiei T (v) = w.

Demonstratie. a) Avem x, y ∈ KerT ⇒ T (x) = T (y) = 0. Liniaritatea lui T implica

T (kx+ ly) = 0, ∀k, l ∈ K ⇒ kx+ ly ∈ KerT, ∀k, l ∈ K .

b) Se foloseste liniaritatea lui T pentru verificarea proprietatilor de subspatiu. c) Se arata prin dublaincluziune ca T−1(w)= KerT+{v0}, unde v0 este o solutie arbitrara fixata a ecuatiei T (v) = w. �Exemplu. Pentru T : R2 → R3, T (x1, x2) = (2x1,−x2, 3x1 + x2) obtinem

KerT = {(x1, x2) ∈ R2|(2x1,−x2, 3x1 + x2) = (0, 0, 0)} = {(0, 0)},ImT = {(y1, y2, y3) ∈ R3|∃(x1, x2). ∈ R2, (2x1,−x2, 3x1 + x2) = (y1, y2, y3)} =

= {(y1, y2, y3) ∈ R3 | 3y1 − 2y2 − 2y3 = 0} ={(

2y2+2y33 , y2, y3

)∣∣∣ y2, y3 ∈ R}=

= {y2(2/3; 1, 0) + y3(2/3; 0, 1) | y2, y3 ∈ R} = L ({(2/3; 1, 0), (2/3; 0, 1)}) ⊂ R3.

Se observa ca T este injectiva (tema, verificati!) , dar nu este surjectiva.

Teorema. Daca T ∈ L(V ,W ) este o transformare liniara, atunci urmatoarele afirmatii sunt echiva-lente.

(i) T este injectiva.(ii) Aplicatia T supusa restrictiei de codomeniu T : V → T (V ) este inversabila.(iii) KerT = {0}.

Demonstratie. Echivalenta dintre (i) si (ii) este evidenta. Aratam ca (i) este echivalenta cu (iii). FieKerT = {0}. Avem

T (x) = T (y) ⇒ T (x)− T (y) = 0⇒ T (x− y) = 0⇒

⇒ x− y ∈ Ker T = {0} ⇒ x− y = 0⇒ x = y,

deci T este injectiva, si astfel (iii) ⇒ (i). Reciproc, presupunem (i), deci ca T este injectiva. Atuncix ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 ⇔ T (x) = T (0) ⇒

T injx = 0 ceea ce implica KerT ⊂ {0}. Cum T (0) = 0 ⇒

0 ∈ KerT , deci incluziunea inversa are loc, rezulta proprietatea (iii). �Observatie. Nucleul si imaginea unei transformari liniare nu determina transformarea liniara. Spreexemplu, orice automorfism T ∈ Aut(V ) are nucleul nul, KerT = {0} (fiind injectiv) iar imaginea saeste ıntregul spatiu vectorial ImT = V (fiind surjectiv).

Definitii. a) Dimensiunea nucleului lui T se numeste defectul lui T .

b) Dimensiunea imaginii lui V prin transformarea liniara T se numeste rangul lui T .

Teorema (teorema rangului pentru transformari liniare). Daca V , W sunt spatii vectoriale,cu spatiul vectorial V finit dimensional si daca T ∈ L(V ,W ), atunci si spatiul vectorial ImT estefinit dimensional si are loc relatia (teorema dimensiunii)

dim KerT + dim ImT = dimV .

Deci suma dintre defectul si rangul transformarii T este egala cu dimensiunea domeniului.


Demonstratie. Fie n = dimV si p = dim KerT ≤ n. Daca p = 0, atunci dim KerT = 0 ⇒ KerT ={0}, deci T injectiva ⇒ aplicatia T : V → T (V ) este inversabila, deci izomorfism de spatii vectoriale⇒ dim ImT = dimV , care este exact relatia dorita, caci dim KerT = 0. Daca p ≥ 1, alegem obaza {e1, . . . , ep} ın KerT , pe care o extindem la o baza B={e1, . . . , ep, ep+1, . . . , en} a ıntregului

spatiu vectorial V . Pentru orice y ∈ ImT exista un x =n∑

i=1xiei ∈ V astfel ıncat y = T (x); cum ınsa

T (e1) = · · · = T (ep) = 0, rezulta

y = T (x) = T

(n∑

i=1

xiei

)=

n∑i=1

xiT (ei) = xp+1T (ep+1) + · · ·+ xnT (en).

Deci T (ep+1), . . . , T (en) genereaza pe ImT . Acesti vectori sunt liniar independenti, deoarece avem

kp+1T (ep+1) + · · ·+ knT (en) = 0⇒ T (kp+1ep+1 + · · ·+ knen) = 0,

de unde kp+1ep+1 + · · ·+ knen ∈ KerT ; deci

kp+1ep+1 + · · ·+ knen = k1e1 + · · ·+ kpep ⇒ kp+1ep+1 + · · ·+ knen − k1e1 − · · · − kpep = 0.

Folosind liniar independenta bazei din V rezulta k1 = · · · = kp = kp+1 = · · · = kn = 0. Deci{T (ep+1), . . . , T (en)} este baza ın ImT , spatiul vectorial ImT este finit dimensional (cu dimensiunean− p) si avem relatia: dim ImT = dimV − dim KerT . �Exercitiu. Determinati nucleul si imaginea endomorfismului T : R3 → R3,

T (x) = (x1 + 2x2 − x3, 2x1 + 4x2 − 2x3, 3x1 + 6x2 − 3x3), x = (x1, x2, x3).

Solutie. Pentru a determina nucleul, rezolvam sistemul liniar T (x) = 0; aceasta se reduce la ecuatiax1 + 2x2 − x3 = 0, si deci vectorii x ∈ KerT sunt de forma

x = (x1, x2, x1 + 2x2) = x1(1, 0, 1) + x2(0, 1, 2).

Vectorii e1 = (1, 0, 1) si e2 = (0, 1, 2) sunt liniar independenti si genereaza pe Ker T , deci acestiadetermina o baza ın Ker T ⇒ dim Ker T = 2. Spatiul ImT este generat de vectorii {T (e1) =(1, 2, 3), T (e2) = (2, 4, 6), T (e3) = (−1,−2,−3)}, liniar dependenti, din care extragem-folosind teoremaprivind rangul matricei unui sistem de vectori, baza B ImT = {w = T (e1) = (1, 2, 3)}, si deci dimImT=1. Dimensiunile nucleului si imaginii satisfac relatia din teorema: dim Ker T + dim Im T =dim R3 (2 + 1 = 3).

Teorema. Fie T ∈ L(V ,W ), dimV = n. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente.

a) T este injectiva.b) Daca e1, . . . , ep ∈ V (p ≤ n) este o familie de vectori liniar independenta, atunci si familia devectori T (e1), . . . , T (ep) ∈ T (V ) ⊂W este liniar independenta.c) dimT (V ) = n.d) Daca {e1, . . . , en} este baza pentru V , atunci {T (e1), . . . , T (en)} este baza pentru T (V ).

Demonstratie. Demonstram echivalentele ciclic: a) ⇒ b) ⇒ c) ⇒ d) ⇒ a). a) ⇒ b). Fie T injectivasi S = {e1, . . . , ep} ⊂ V astfel ıncat sa avem ind(S). Atunci

k1T (e1) + · · ·+ kpT (ep) = 0, ki ∈ K , i = 1, p ⇒ T (k1e1 + · · ·+ kpep) = 0,

deci,k1e1 + · · ·+ kpep ∈ KerT = {0} ⇒ k1e1 + · · ·+ kpep = 0⇒ k1 = · · · = kp = 0.


b) ⇒ c). Fie (ii) adevarata ∀p ≤ n si fie B={e1, . . . , en} o baza ın V ; deoarece ind{B }, pentrup = n rezulta ind{T (e1), . . . , T (en)}, deci dimT (V ) ≥ n; pe de alta parte avem dimT (V ) ≤ n, decidimT (V ) = n, deci c).

c) ⇒ d). Fie c) si B = {e1, . . . , en} o baza ın V . Pentru orice y ∈ T (V ) exista x =n∑

i=1xiei ∈ V

astfel ıncat y = T (x) =n∑

i=1xiT (ei); deci T (V ) = Span({T (e1), . . . , T (en)}). Cum ınsa dimT (V ) = n,

rezulta ca {T (e1), . . . , T (en)} este o baza a lui T (V ), deci d). d) ⇒ a). Fie d), deci dim ImT =dimV = n; folosind teorema dimensiunii, rezulta dim KerT = 0, deci conform teoremei anterioare, Teste injectiva, deci a). �

Observatie. Coloanele matricei [T (e1), . . . , T (en)] sunt formate din coeficientii vectorilor care genereazasubspatiul ImT.

Teorema. Fie transformarea liniara T : V n → W n, ıntre spatii vectoriale de aceeasi dimensiune.Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) T este injectiva;

b) T este surjectiva;

c) T este bijectiva.

Demonstratie. Evident c) ⇒ a), c) ⇒ b). Aratam a) ⇒ c). T este injectiva ⇒ KerT = {0} ⇒dim KerT = 0; cu teorema dimensiunii, rezulta ImT = n. Dar ImT ⊂ Wn , deci ImT = Wn , adicaT este si surjectiva. Aratam b) ⇒ c). T este surjectiva ⇒ ImT =Wn , deci dim ImT = n = dimVn ;cu dimensiunii, rezulta dim KerT = 0⇒ KerT = {0}, deci T este si injectiva. �

Observatie. Teorema este aplicabila si ın cazul particular al endomorfismelor pe spatii vectorialefinit dimensionale. In acest caz, se observa ca un endomorfism este bijectiv (deci este automorfism,deci inversabil) daca si numai daca matricea sa relativ la o baza a spatiului Vn este patratica (deciWn = Vn ) si nesingulara.

Exemplu. Fie transformarea liniara T : R3 → R3,

T (x) = (x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1), x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

Vom arata ca aceasta transformare este bijectiva, si ıi vom calcula inversa. Intr-adevar, T fiindendomorfism iar spatiul vectorial R3 fiind finit-dimensional, este suficient sa aratam ca T este injectiva.Ecuatia T (x) = 0 este echivalenta cu sistemul liniar si omogen

x1 + x2 = 0x2 + x3 = 0x3 + x1 = 0

⇔

x1 = 0x2 = 0x3 = 0

⇔ x = (0, 0, 0) = 0R3 .

Deci KerT = {0}, T injectiva. Dar T este endomorfism pe spatiu de dimensiune finita, deci aplicatiebijectiva si deci inversabila. Putem determina acest lucru altfel, folosind observatia de mai sus, siconstatarea (tema, verificati!) ca matricea transformarii este nesingulara,

A = [T ]B =

1 1 00 1 11 0 1

, det A = 2 = 0.

Se observa ca surjectivitatea transformarii T asigura existenta unei solutii pentru sistemul T (x) = y,iar injectivitatea asigura unicitatea acestei solutii. Pentru a determina transformarea inversa rezolvam

46 Matricea unei transformari liniare

ecuatia T (x) = y, unde y = (y1, y2, y3) ∈ R3, echivalenta cu sistemul liniarx1 + x2 = y1x2 + x3 = y2x3 + x1 = y3

⇔

x1 = (y1 − y2 + y3)/2x2 = (y1 + y2 − y3)/2x3 = (−y1 + y2 + y3)/2,

deci T−1(y) = ((y1 − y2 + y3)/2, (y1 + y2 − y3)/2, (−y1 + y2 + y3)/2).


Fie Vn si Wm doua K -spatii vectoriale de dimensiune n respectiv m, si fie T ∈ L(Vn ,Wm ) o trans-formare liniara. Daca B={e1, e2, . . . , en} este o baza fixata a lui Vn , iar B

′ = {f1, f2, . . . , fm} este obaza fixata a lui Wm , atunci avem descompunerile

T (ej) =m∑i=1

tijfi, j = 1, n. (1)

Coeficientii (tij)i=1,m,j=1,n definesc o matrice unica A = (tij)i=1,m,j=1,n ∈Mm×n(K ) cu elemente dinK . Vectorii imagine T (ej) ∈Wm determina unic transformarea liniara T , si prin urmare, considerandfixate bazele B si B ′, matricea A determina unic transformarea liniara T .

Definitie. Matricea A ai carei coeficienti sunt dati de relatia 1 se numeste matricea asociata trans-formarii liniare T ın raport cu perechea de baze considerate.

Notatii. Vom scrie A = [T ]B,B′ sau, atunci cand bazele B si B ′ se subınteleg, A = [T ]. Daca T

este endomorfism al spatiului Vn si B ′ =B , notam A = [T ]B sau, atunci cand baza B se subıntelege,A = [T ].

Teorema. Daca x =n∑

j=1xjej are imaginea T (x) = y =

m∑i=1

yifi, atunci au loc urmatoarele relatii

dintre coeficientii vectorului x si cei ai vectorului imagine y = T (x) :

yi =

n∑i=1

tijxj , i = 1,m. (2)

Notand X = (x1, x2, . . . , xn)t, Y = (y1, y2, . . . , ym)t, relatiile (2)) se rescriu matriceal

Y = AX. (3)

Demonstratie. Fie x =n∑

j=1xjej ∈ V . Aplicand acestei egalitati transformarea T si folosind relatiile

(1), rezulta

T (x) =

n∑j=1

xjT (ej) =

n∑j=1

xj

(m∑i=1

tijfi

)=

m∑i=1

n∑j=1

tijxj

fi.

Cu notatiile din enunt avem T (x) =m∑i=1

yifi, deci, din unicitatea descompunerii relativ la baza B ′,

obtinem yi =n∑

j=1tijxj , i = 1,m. �

Observatii. 1. Fie L(Vn ,Wm ) multimea tuturor transformarilor liniare de la Vn laWm siMm×n(K )multimea tuturor matricelor de tipul m × n cu elemente din K . Fixam bazele B ın Vn si B ′


ın Wm . Functia care asociaza fiecarei transformari liniare T matricea sa relativ la bazele fixate,µB,B′ : L(Vn ,Wm ) → Mm×n(K ), definita prin µB,B′(T ) = A = [T ]B,B′ este un izomorfism de

spatii vectoriale. Drept consecinta, spatiul vectorial L(Vn ,Wm ) are dimensiunea mn, egala cu cea aspatiului vectorial Mm×n(K ).

2. Izomorfismul µ are proprietatile:

⋄ [ST ] = [S][T ],daca compunerea ST are sens;

⋄ endomorfismul S : Vn → Vn este inversabil daca si numai daca matricea [S] este matrice inversabila;ın acest caz, avem [S−1] = [S]−1.

Fie ın cele ce urmeaza Vn un K -spatiu vectorial n-dimensional si T ∈ End(Vn ) un endomorfism.Fixand baze diferite ın Vn , endomorfismului T i se asociaza matrice patratice diferite. Relatia dintreaceste matrice este data de urmatoarea

Teorema. Matricele A si A′, patratice de ordinul n, cu elemente din K , reprezinta aceeasi trans-formare liniara T ∈ End(Vn ) relativ la bazele B ,B ′ ⊂ Vn daca si numai daca exista o matricenesingulara C astfel ıncat are loc relatia

A′ = C−1AC. (4)

In acest caz, matricea C este exact matricea de trecere de la baza veche B la baza noua B ′ undeA = [T ]B, A′ = [T ]B′.

Demonstratie. Fie B={e1, e2, . . . , en} si B ′ = {e′1, e′2, . . . , e′3} doua baze ın Vn , iar C = [cij ] matricea

de trecere de la prima baza la a doua, adica e′j =n∑

i=1cijei, j = 1, n. Fie T : Vn → Vn o transformare

liniara. Fie A = [aij ] matricea lui T relativ la prima baza B , adica au loc relatiile

T (ej) =n∑

i=1

aijei, j = 1, n,

si A′ = [a′ij ] matricea lui T relativ la a doua baza B ′, adica

T (e′j) =

n∑i=1

A′ije

′i, j = 1, n.

Tinand cont de relatiile de mai sus, imaginile vectorilor din a doua baza admit urmatoarele expresiiT (e′j) =

n∑i=1

A′ije

′i =

n∑i=1

A′ij

(n∑

k=1

ckiek

)=

n∑k=1

(n∑

i=1ckiA

′ij

)ek,

T (e′j) = T

(n∑

i=1cijei

)=

n∑i=1

cijT (ei) =n∑

i=1cij

(n∑

k=1

akiek

)=

n∑k=1

(n∑

i=1akicij

)ek,

din care, prin egalarea coeficientilor descompunerilor relativ la baza B , obtinem

n∑i=1

ckia′ij =

n∑i=1

akicij ,

sau, ın scriere matriceala, CA′ = AC, de unde rezulta A′ = C−1AC. �


Exercitiu. Se dau endomorfismele T1, T2 ∈ End(R3),

T1(x) = (5x1 − x2 − 5x3, 20x1 − 15x2 + 8x3, 3x1 − 2x2 + x3),

T2(x) = (10x1 − 10x2 + 10x3, 0, 5x1 − 5x2 + 5x3), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

Sa se afle matricea sumei celor doua endomorfisme T = T1 + T2 relativ la baza

B ′ = {v1 = (2, 3, 1), v2 = (3, 4, 1), v3 = (1, 2, 2)} ⊂ R3.

Solutie. Prin sumarea celor doua expresii analitice, obtinem

T (x) = (T1 + T2)(x) = T1(x) + T2(x) == (15x1 − 11x2 + 5x3, 20x1 − 15x2 + 8x3, 8x1 − 7x2 + 6x3).

Rezulta ca imaginea bazei canonice B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), } a spatiuluivectorial R3 prin T este

T (e1) = (15, 20, 8), T (e2) = (−11,−15,−7), T (e3) = (5, 8, 6),

deci matricea lui T = T1 + T2 relativ la aceasta baza este

A = [T ]B = [T (e1), T (e2), T (e3)]B =

15 −11 520 −15 88 −7 6

.

Matricea de trecere de la baza canonica B la baza B ′ = {vi, i = 1, 3} este

C = [B ′]B = [v1, v2, v3]B =

2 3 13 4 21 1 2

,

deci rezulta conform teoremei 3. 2 ca matricea transformarii T = T1 + T2, relativ la baza B ′ este

A′ = [T ]B′ = C−1AC =

0 0 00 2 00 0 3

.

Se poate testa usor (tema, verificati!) ca avem A′ = A′1 +A′

2, unde A′1 = [T1]B′ , A′

2 = [T2]B′ .

Definitie. Doua matrice A,B ∈ Mn×n(K ) se numesc asemenea daca exista o matrice nesingularaC ∈Mn×n(K ) astfel ıncat sa aiba loc relatia B = C−1AC.

Observatii. 1. Asemanarea matricelor este o relatie de echivalenta pe spatiul vectorial Mn×n(K ).Fiecare clasa de echivalenta corespunde unui endomorfism T ∈ End(Vn ) si contine toate matriceleasociate endomorfismului T relativ la bazele spatiului vectorial Vn .

2. Matricile asemenea au urmatoarele proprietati:

⋄ Deoarece C este nesingulara, matricele B = C−1AC si A au acelasi rang; acest numar se mainumeste rangul endomorfismului T si este asociat clasei de asemanare a matricei A.

⋄ Deoarece detB = det(C−1) · detA · det(C) = detA, toate matricele unei clase de echivalenta auacelasi determinant. Astfel, putem defini determinantul unui endomorfism al spatiului Vn , cafiind determinantul matricei asociate endomorfismului relativ la o baza data.


4 Endomorfisme particulare

Fie V un K -spatiu vectorial si End(V ) multimea endomorfismelor lui V . Observam ca multimeaEnd(V ) se poate structura simultan ca:

⋄ spatiu vectorial peste corpul K , relativ la adunarea endomorfismelor si ınmultirea dintre un scalarsi un endomorfism;

⋄ inel, relativ la adunarea si compunerea endomorfismelor.

Definitii. Fie V un K -spatiu vectorial. Endomorfismul T ∈ End(V ) se numeste

a) automorfism, daca este bijectiv;b) proiectie, daca satisface relatia T 2 = T ;c) involutie (sau structura produs) daca T 2 = J , unde J ∈ End(V ) este transformarea identitate;d) structura complexa, daca T 2 = −J ;e) endomorfism nilpotent de indice p, daca T p = O (p ≥ 2), unde O este morfismul nul;f) structura tangenta, daca T este un endomorfism nilpotent de indice doi si de rang maxim.

Observatie. Automorfismele Aut(V ) ale spatiului vectorial V formeaza o submultime ın End(V ),notata si prin GL(V ). Aceasta submultime nu reprezinta un subspatiu al spatiului vectorial End(V ),deoarece adunarea nu este operatie interna, dar formeaza grup relativ la compunerea automorfismelor,numit grupul liniar general.

Exemplu. Orice structura aproape produs T ∈ End(V ) este automorfism. Intr-adevar fixand o bazaın V , matricea asociata transformarii T este nesingulara:

T 2 = J ⇒ [T 2] = [J ]⇒ [T ]2 = [J ]⇒ det[T ]2 = det[J ]⇒ (det[T ])2 = 1⇒ det[T ] = 0,

deci T inversabila, deci automorfism.

Teorema. Pentru orice proiectie T ∈ End(V ), are loc descompunerea

V = KerT ⊕ ImT.

Demonstratie. Fie v ∈ V , T (v) ∈ ImT . Notand w = v − T (v) ∈ V , avem

T (w) = T (v − T (v)) = T (v)− T 2(v) = 0,

adica w ∈ KerT . Deci V = KerT + ImT . Pe de alta parte, pentru u ∈ KerT ∩ ImT , rezulta

u ∈ ImT ⇒ ∃v ∈ V , u = T (v);

dar u ∈ KerT ⇒ 0 = T (u) = T (T (v)) = T (v) = u, deci KerT ∩ ImT = {0}. �

Fig. 2. Proiectori ortogonali

Observatii. 1. Numele de proiectie provine din interpretareageometrica a relatiei V = KerT ⊕ ImT . Dat fiind vectorulv ∈ V , sunt unic determinati termenii descompunerii v = w+u:w ∈ KerT este vectorul de-a lungul caruia se face proiectia sisatisface relatia T (w) = 0, iar u ∈ ImT este rezultatul proiectieisi satisface relatia T (v) = u, deci (vezi figura), T proiecteazavectorul v ∈ V pe subspatiul ImT de-a lungul subspatiuluiKerT .

2. Daca T este o proiectie, atunci si Id − T este o proiectie,unde Id este transformarea identica a spatiului vectorial V . Inplus au loc relatiile Ker (Id− T ) = ImT, Im(Id− T ) = KerT ,de unde rezulta T | ImT = Id ImT , (Id− T )|KerT = IdKerT .

50 Endomorfisme particulare

Consecinta. Daca Ti : V → V , i = 1, p sunt proiectii astfel ıncat au loc relatiile

p∑i=1

Ti = Id si TiTj = 0, ∀i = j, i, j = 1, p,

atunci are loc descompunerea V = ImT1 ⊕ · · · ⊕ ImTp.

Exemplu. In spatiul V = R3, proiectiile

T1(x) = (x1, 0, 0), T2(x) = (0, x2, 0), T3(x) = (0, 0, x3), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3

conduc la descompunerea ın suma directa

R3 = Span({(1, 0, 0)})⊕ Span({(0, 1, 0)})⊕ Span({(0, 0, 1)}).

Teorema. Daca T ∈ End(V ) este un endomorfism nilpotent de indice p si x0 ∈ V \{0} astfel ıncatT p−1 (x0) = 0, atunci vectorii {x0, T (x0), . . . , T p−1(x0)} sunt liniar independenti.

Demonstratie. Consideram relatiap−1∑i=1

kiTi(x0) = 0, ki ∈ K , i = 0, p− 1. Aplicand succesiv acestei

egalitati endomorfismul T de p− 1 ori si folosind proprietatile T p = O, T p−1(x0) = O, rezulta k0 = 0;folosind din nou relatiile obtinute, rezulta k1 = · · · = kp−1 = 0, deci vectorii x0, T (x0), . . . , T

p−1(x0)sunt liniar independenti. �Observatie. Fie x0 ∈ V \{0} cu proprietatile din teorema si Span(S) acoperirea liniara a multimiiS = {x0, T (x0), . . . , T p−1(x0)}. Atunci se poate arata ca exista un subspatiu U ⊂ V , invariant fatade T , astfel ıncat are loc descompunerea ın suma directa V = U ⊕ Span(S).

Teorema. Pentru orice endomorfism T ∈ End(Vn ), exista doua subspatii vectoriale U ,W ⊂ Vn ,invariante fata de T astfel ıncat

a) Vn =U ⊕W ,b) restrictia TU este nilpotenta,c) restrictia TU este inversabila, daca W = {0}.

Exemple. 1. Endomorfismul T ∈ End(R3) definit prin matricea

[T ] =

−4 −7 −52 3 31 2 1

este un endomorfism nilpotent de indice 3, deoarece [T ]3 = O (tema, verificati!) .

2. Endomorfismul dat de derivarea functiilor polinomiale de grad cel mult n,

D ∈ End(Rn[X]), D(p) = p′, ∀p ∈ Rn[X],

unde p′ este derivata polinomului p, este un endomorfism nilpotent de indice n+ 1, deoarece derivatade ordinul n+ 1 a unui polinom p (care are gradul cel mult n) este polinomul nul.

Teorema. Un spatiu vectorial real finit dimensional V admite o structura complexa daca si numaidaca dimensiunea sa este para.

Exemplu. Spatiul vectorial real R2n admite structura complexa

T ∈ End(R2n), T (x) = (xn+1, . . . , x2n,−x1, . . . ,−xn), ∀x = (x1, . . . , x2n) ∈ R2n.

Se constata usor ca are loc relatia (tema, verificati!) [T ]2 = −I2n.


5 Transformari liniare pe spatii euclidiene

Definitii. Fie V si W doua spatii vectoriale euclidiene complexe. Vom nota ın acelasi mod produselescalare (si normele induse de acestea) ale celor doua spatii.

a) Fie T : V →W o transformare liniara. Transformarea liniara T ∗ :W → V , definita prin relatia

⟨x, Ty⟩ = ⟨T ∗x, y⟩, ∀x ∈W , ∀y ∈ V

se numeste adjuncta transformarii liniare T ;

b) Un endomorfism T ∈ End(V ) se numeste hermitic daca T = T ∗.

c) Un endomorfism T ∈ End(V ) se numeste antihermitic daca T = −T ∗.

Teorema. Endomorfismul T ∈ End(V ) este hermitic daca si numai daca produsul scalar ⟨x, Tx⟩ estereal ∀x ∈ V .

Demonstratie. Daca T = T ∗, atunci ⟨x, Tx⟩ = ⟨Tx, x⟩ = ⟨x, Tx⟩ (bara ınsemnand conjugare com-plexa), deci ⟨x, Tx⟩ ∈ R, ∀x ∈ V . Reciproc, daca ⟨x, Tx⟩ este real, atunci ⟨x, Tx⟩ = ⟨x, Tx⟩ =⟨T ∗x, x⟩ = ⟨x, T ∗x⟩ ⇒ ⟨x, (T − T ∗)x⟩ = 0, ∀x ∈ V .

Notand S = T −T ∗ si ınlocuind pe x cu x+αy, (α ∈ C, y ∈ V arbitrare), rezulta 2Re(α⟨x, Sy⟩) =0, ∀α ∈ C. Inlocuind α = 1 si α = i ın relatia obtinuta, obtinem ⟨y, Sx⟩ = 0, ∀x, y ∈ V . Punandy = Sx rezulta Sx = 0, ∀x ∈V ⇔ S = 0⇔ T = T ∗. �

Exemplu. Aratam ca urmatorul endomorfism T ∈ End(C2) este hermitic

T (x) = (2x1 + (1 + i)x2, (1− i)x1 + 3x2), ∀x = (x1, x2) ∈ C2.

Intr-adevar, folosind proprietatile produsului scalar complex, obtinem

⟨Tx, x⟩ = (2x1 + (1 + i)x2)x1 + ((1− i)x1 + 3x2)x2 =

= 2 |x1|2 + (1 + i)x2x1 + (1− i)x1x2 + 3 |x2|2 =

= 2 |x1|2 + (1 + i)x2x1 + ((1 + i)x2x1) + 3 |x2|2 .

Deoarece ∀z ∈ C avem z + z ∈ R, rezulta ⟨Tx, x⟩ ∈ R, ∀x ∈ C2.

Teorema. Fie endomorfismele hermitice T, S ∈ End(V ) si scalarul k ∈ R.a) Endomorfismul kT + S este hermitic.

b) Daca T este inversabil, atunci si endomorfismul T−1 este hermitic.

c) Endomorfismul TS este hermitic daca si numai daca TS = ST.

Demonstratie. Prima afirmatie rezulta din proprietatile (T + S)∗ = T ∗ + S∗ si (kT )∗ = kT ∗, iar adoua rezulta din (T−1)∗ = (T ∗)−1. Folosind relatia (TS)∗ = S∗T ∗ = ST , au loc echivalentele: TSeste hermitic ⇔ (TS)∗ = TS ⇔ TS = ST . �

Definitie. Se numeste transformare (liniara) unitara, o transformare liniara T ∈ L(V ,W ) carepastreaza produsul scalar, adica

⟨Tx, Ty⟩ = ⟨x, y⟩, ∀x, y ∈ V .

52 Transformari liniare pe spatii euclidiene

Teorema. a) O transformare liniara T ∈ L(V ,W ) este unitara daca si numai daca pastreazanorma, adica

||Tx|| = ||x||, ∀x ∈ V .b) Orice transformare unitara T : V →W este injectiva.

Demonstratie. a) Daca T este unitara, atunci ⟨Tx, Ty⟩ = ⟨x, y⟩, ∀x, y ∈ V ; ın particular pentru y = xavem ⟨Tx, Tx⟩ = ⟨x, x⟩, adica ||Tx||2 = ||x||2 si deci ||Tx|| = ||x||. Reciproc, daca presupunem ca areloc relatia ||Tx|| = ||x||, ∀x ∈ V , folosind egalitatea

⟨x, y⟩ = { ||x+ y||2 − ||x− y||2 + i||x+ iy||2 − i||x− iy||2 } / 4

rezulta

⟨Tx, Ty⟩ =[||T (x+ y)||2 − ||T (x− y)||2 + i||T (x+ iy)||2 − i||T (x− iy)||2

]/4 = ⟨x, y⟩.

b) Fie T transformare unitara. Folosind proprietatile normei euclidiene si proprietatea de la punctulanterior, avem x ∈ KerT ⇔ Tx = 0 ⇔ 0 = ||Tx|| = ||x|| ⇔ x = 0; rezulta KerT = {0}, deci T esteinjectiva. �Observatii. 1. Din teorema rezulta usor faptul ca orice endomorfism unitar T ∈ End(Vn ) pe unspatiu euclidian complex finit dimensional, este izomorfism.

2. Conditia ca un endomorfism T sa fie unitar, ⟨Tx, Ty⟩ = ⟨x, y⟩, ∀x, y ∈ V , este echivalenta cuTT ∗ = T ∗T = Id, unde Id este transformarea identica pe Vn .

Definitii. Presupunem ca V si W sunt spatii euclidiene complexe n-dimensionale si ca ın fiecare s-afixat o baza ortonormata. Relativ la aceste baze, atasam transformarii liniare T ∈ L(V ,W ) matriceaasociata A.

a) Matricea A∗ = At atasata lui T ∗ se numeste adjuncta matricei A.

b) Daca A = At, atunci matricea patratica A se numeste hermitica.

c) Daca A = −At, atunci matricea patratica A se numeste antihermitica.

d) Daca AAt = I, (I fiind matricea unitate), atunci matricea A se numeste unitara.

Teorema. Un endomorfism T ∈ End(Vn ) este hermitic daca si numai daca matricea sa relativ la obaza ortonormata este hermitica.

Demonstratie. Fie B={e1, . . . , en} ⊂ Vn o baza ortonormata si A = [T ]B = (tij)i,j=1,n matricea

endomorfismului T relativ la aceasta. ” ⇒ ”. Fie T hermitic. Inmultind scalar cu ei relatia Tej =n∑

k=1

tkjek, care da descompunerea vectorilor din imaginea bazei, obtinem

⟨Tej , ei⟩ =n∑

k=1

tkj⟨ek, ei⟩ = tij .

Analog rezulta (tema, verificati!) ⟨T ∗ej , ei⟩ = t∗ij . Deci avem

t∗ij = ⟨T ∗ej , ei⟩ = ⟨ej , T ei⟩ = ⟨Tei, ej⟩ = tji,

si cum A∗ = A rezulta tij = tji adica A = At. ”⇐ ”. Fie A = At; atunci

⟨x, Tx⟩ = ⟨n∑

j=1xjej ,

n∑k=1

xkek⟩ =n∑

j,k=1

xjxk⟨ej , T (ek)⟩ =n∑

j,k=1

xjxk⟨T (ek), ej⟩ =

=n∑

j,k=1

xjxk · tjk =n∑

j,k=1

xjxk · tkj = ⟨x, Tx⟩.


adica ⟨x, Tx⟩ ∈ R si deci T este hermitic. �In continuare prezentam un exemplu care arata ca pentru verificarea hermiticitatii folosind matriceaasociata transformarii relativ la o baza, este esential ca baza sa fie ortonormata.

Exemplu. Fie endomorfismul T ∈ End(C2), a carui matrice relativ la baza B ′ = {v1 = (1, 0), v2 =

(1, 1)} ⊂ C2 este A′ =

(−1 02 3

). Deoarece A′t =

(−1 20 3

)= A′ matricea A′ nu este hermitica

si totusi endomorfismul T este hermitic. Aratam ca matricea lui T relativ la baza canonica a spatiuluiB = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} ⊂ C2 (baza ortonormata relativ la produsul scalar canonic al spatiuluivectorial C2 !) este hermitica. Din relatiile v1 = e1, v2 = e1 + e2, obtinem matricea de trecere

C =

(1 10 1

)−1

de la baza B ′ la B . Rezulta ca matricea lui T relativ la baza canonica va fi

A = C−1A′C =

(1 22 1

)= At (deci matrice hermitica), ceea ce probeaza afirmatia.

Observatii. Analog cu teorema de mai sus, putem arata ca:

1. Un endomorfism T ∈ End(Vn ) este unitar daca si numai daca matricea lui ın raport cu o bazaortonormata a spatiului este unitara.

2. Un endomorfism T ∈ End(Vn ) este antihermitic daca si numai daca matricea lui ın raport cu obaza ortonormata a spatiului este antihermitica.

Exercitiu. Aratati ca endomorfismul T : C2 → C2,

T (x) = (x1 cosα− x2 sinα, x1 sinα+ x2 cosα), x = (x1, x2), α ∈ [0, 2π]

este un endomorfism unitar.

Solutie. Matricea endomorfismului T relativ la baza canonica ortonormata B={e1 = (1, 0), e2 =

(0, 1)} esteA = [T ]B =

(cosα − sinαsinα cosα

). Aceasta matrice este unitara, caciA∗ =

(cosα sinα− sinα cosα

)si deci AA∗ =

(1 00 1

)= I2.

In cele ce urmeaza, presupunem ca V si W sunt doua spatii vectoriale euclidiene reale, ale carorproduse scalare (respectiv norme asociate) le notam la fel. Fie T ∈ L(V ,W ) o transformare liniara.

Definitii. a) Transformarea liniara T ∗ :W → V definita prin relatia

⟨x, Ty⟩ = ⟨T ∗y, x⟩, ∀x ∈W , ∀y ∈ V

se numeste transpusa transformarii liniare T .

b) Un endomorfism T ∈ End(V ) se numeste simetric daca T = T ∗.

c) Un endomorfism T ∈ End(V ) se numeste antisimetric daca T = −T ∗.

d) Transformarea liniara T ∈ L(V ,W ) se numeste ortogonala daca pastreaza produsul scalar, decidaca satisface relatia ⟨Tx, Ty⟩ = ⟨x, y⟩, ∀x, y ∈ V .

Observatii. 1. Pastrarea produsului scalar este echivalenta cu conservarea normei, adica T ∈ End(V )este transformare ortogonala daca si numai daca satisface relatia (tema, verificati!) : ||Tx|| =||x||, ∀x ∈ V .

2. Daca spatiile vectoriale V si W sunt finit dimensionale si daca ın fiecare s-a fixat o baza ortonor-mata, atunci transformarii T : V →W i se ataseaza matricea A, iar transpusei T ∗, matricea At. Prinurmare, relativ la o baza ortonormata

⋄ unui endomorfism simetric ıi corespunde o matrice simetrica,

54 Izometrii

⋄ unui endomorfism antisimetric ıi corespunde o matrice antisimetrica,

⋄ unui endomorfism ortogonal ıi corespunde o matrice ortogonala.

3. Transformarile simetrice/antisimetrice/ortogonale au proprietati analoage proprietatilor trans-formarilor hermitice /antihermitice /unitare.

6 Izometrii

S-a vazut ca transformarile ortogonale ale unui spatiu vectorial euclidian real V pastreaza distantaeuclidiana si au drept punct fix originea (duc vectorul nul ın vectorul nul, fiind transformari liniare).Vom introduce o alta functie pe V care pastreaza distanta euclidiana, dar nu este liniara.

Definitie. Functia Ta : V → V definita prin

Ta(x) = x+ a, ∀x ∈ V ,

unde a ∈ V este un vector arbitrar fixat, se numeste translatia de vector a.

Teorema. Au loc urmatoarele proprietati:

a) Ta ◦ Tb = Tb ◦ Ta = Ta+b, ∀a, b ∈ V ;

b) T0 = IdV ;

c) ∀a ∈ V , Ta este transformare inversabila, si avem (Ta)−1 = T−a, ∀a ∈ V , unde prin IdV am

notat transformarea identica a spatiului vectorial V .

Demonstratie. a) Translatiile comuta; ıntr-adevar, avem

Ta ◦ Tb(x) = Ta(x+ b) = x+ a+ b = Ta+b(x) = b+ x+ a = Tb(x+ a) = Tb ◦ Ta(x),

∀a, b ∈ V . 2) T0(x) = x+ 0 = x = J(x). Prin calcul direct se obtine: c) Ta ◦ T−a(x) = (x− a) + a =x = J(x) = (x+ a)− a = T−a ◦ Ta(x), ∀x ∈ V . �Observatie. Rezulta ca produsul (compunerea) defineste pe multimea Tr (V ) a tuturor translatiilorlui V o structura de grup comutativ (Tr (V ), ◦) numit grupul translatiilor. Acest grup este izomorfcu grupul abelian aditiv (V ,+), prin izomorfismul φ : V → Tr (V ), φ(a) = Ta, ∀a ∈ V .

Teorema. Orice translatie T = Ta, a ∈ V pastreaza distanta euclidiana, adica satisface relatia:

d(T (x), T (y)) = d(x, y), ∀x, y ∈ V .

Demonstratie. d(T (x), T (y)) = ||(y + a)− (x+ a)|| = ||y − x|| = d(x, y), ∀x, y ∈ V . �Definitie. O functie surjectiva F : V → V care pastreaza distanta euclidiana, adica

d(F (x), F (y)) = d(x, y), ∀x, y ∈ V ,

se numeste izometrie. Notam multimea izometriilor spatiului vectorial V prin Iz (V ).

Observatii. 1. Orice izometrie este injectiva (tema, verificati!) si deci bijectiva.

2. Transformarile ortogonale si translatiile sunt izometrii.

3. Compunerea a doua izometrii este o izometrie.

4. Izometriile unui spatiu vectorial V formeaza grup cu compunerea, ( Iz (V ), ◦). 5. Grupul trans-formarilor ortogonale (O(V ), ◦) ale spatiului vectorial V si grupul translatiilor (Tr (V ), ◦) sunt sub-grupuri ale grupului izometriilor ( Iz (V ), ◦).


Teorema. O izometrie R : V → V cu proprietatea R(0) = 0 este o transformare ortogonala.

Deci izometriile care pastreaza originea sunt exact transformarile ortogonale.

Demonstratie. Izometria R pastreaza norma, deoarece avem:

||x|| = ||x− 0|| = d(0, x) = d(R(0), R(x)) = d(0, R(x)) = ||R(x)− 0|| = ||R(x)||, ∀x ∈ V .

Utilizand acest rezultat rezulta ca R pastreaza produsul scalar:

d(R(x), R(y)) = d(x, y)⇔ ||R(y)−R(x)|| = ||y − x|| ⇔

⟨R(y)−R(x), R(y)−R(x)⟩ = ⟨y − x, y − x⟩ ⇔

⟨R(x), R(y)⟩ = ⟨x, y⟩, ∀x, y ∈ V

si deci este o transformare liniara, deoarece

⟨R(x), R(y)⟩ = ⟨x, y⟩ ⇒ ⟨R(kx), R(y)⟩ = ⟨kx, y⟩ = k⟨x, y⟩ = k⟨R(x), R(y)⟩ =

= ⟨kR(x), R(y)⟩ ⇒ ⟨R(kx)− kR(x), R(y)⟩ = 0, ∀R(y) ∈ V , ∀k ∈ R.

Inlocuind R(y) = R(kx)−kR(x) si folosind pozitivitatea produsului scalar, rezulta R(kx)−kR(x) = 0,deci R este omogena. Pe de alta parte avem

⟨R(x+ y), R(z)⟩ = ⟨x+ y, z⟩ = ⟨x, z⟩+ ⟨y, z⟩ =

= ⟨R(x), R(z)⟩+ ⟨R(y), R(z)⟩ =

= ⟨R(x) +R(y), R(z)⟩,

deci⟨R(x+ y)−R(x)−R(y), R(z)⟩ = 0, ∀R(z) = u ∈ R(V ) = V .

Rezulta R(x+ y)−R(x)−R(y) = 0, deci R este aditiva. Fiind liniara si pastrand produsul scalar, Reste ortogonala. �

Teorema. Daca J este o izometrie, atunci exista o translatie T = Ta, a ∈ V si o transformareortogonala O astfel ıncat J = Ta ◦O.

Deci orice izometrie este compunere dintre o transformare ortogonala si o translatie.

Demonstratie. Fie T = Ta, a ∈ V translatia prin vectorul p(x) → T (p(x)) = x∫ 10 tp(t)dt, ∀x ∈ R si

T−1 translatia prin −a = −J(0). Functia T−1 ◦J este o izometrie care pastreaza originea 0. Conformteoremei anterioare, izometria T (x) = (x1 + 2x2 − 3x3, 3x1 − x2 + 3x3, 4x1 + 7x2 + 8x3) este otransformare ortogonala O. Deci T−1 ◦ J = O sau J = T ◦O. �Observatii. 1. Presupunem dimV = n. Daca B = {e1, . . . , en} este o baza ortonormata si O este otransformare ortogonala pe V , atunci si B ′ = {O(e1), . . . , O(en)} este o baza ortonormata. Reciproc,daca ın V sunt date doua baze ortonormate B si B ′, atunci exista o singura transformare ortogonalaO care duce B ın B ′; matricea acesteia relativ la baza B este KerT .

2. Fie KerT = Span({a)}, Im(T ) = { v | ⟨v, a⟩ = 0} o izometrie pe spatiul n-dimensional V .Avem [O]t[O] = [I] ⇒ det[O] = ±1. Daca det [O] = +1, atunci J se numeste izometrie pozitiva(congruenta), iar daca det[O] = −1, atunci J se numeste izometrie negativa.

Exemplu. Fie locul geometric al punctelor din plan M(x, y, z) care raportate la reperul cartezianOxyz verifica ecuatia

g(x, y, z) = 2x2 + y2 − 4z2 − 8x+ 2y − 16z + 1 = 0.

56 Probleme propuse

Determinam ecuatia verificata de coordonatele (x′, y′, z′) ale acestor puncte fata de reperul O′x′y′z′

obtinut din cel initial printr-o translatie ce duce originea O(0, 0, 0) ın punctul O′(2,−1,−2), deciavand vectorul de translatie

a = (xO′ − xO, yO′ − yO, zO′ − zO) = (2,−1,−2).

Deoarece formulele care dau translatia sunt x = x′ + 2, y = y′ − 1, z = z′ − 2, ınlocuind ın ecuatiadata gasim ecuatia locului geometric relativ la reperul translatat, 2x′2 + y′2 − 4z′2 + 8 = 0.

7 Probleme propuse

1. Sa se studieze care din functiile T : R3 → R3 definite prin

a) T (x) = a, a ∈ R3, fixatb) T (x) = x+ ac) T (x) = λ x, λ ∈ Rd) T (x) = (x1, x2, x

23), x = (x1, x2, x3) ∈ R3

e) T (x) = (x3, x1, x2),f) T (x) = (x3, x1, x2 + k), k ∈ R, k = 0g) T (x) = (x1 + 2x2 − 3x3, 3x1 − x2 + 3x3, 4x1 + 7x2 + 8x3)

sunt transformari liniare.

R: a) da ⇔ a = 0, b) da ⇔ a = 0, c) da, d) nu, e) da, f) nu, g) da.

2. Sa se determine daca urmatoarele aplicatii sunt sau nu transformari liniare:

a) T : R2 → R2, T (v) = (x22, x1 + x2), ∀v = (x1, x2) ∈ R2

b) T : R2[x]→ R3[x], T (p) = xp− p+ x∫ 10 p(t)dt, ∀p ∈ R2[x].

R: nu (T nu este nici aditiva, nici omogena); b) da.

3. a) Fie Rn[X] spatiul vectorial real al polinoamelor de grad ≤ n. Sa se arate ca functia T : Rn[X]→Rn[X],

T p(x) = p(2x+ 3)− 2p′(x)− p(10), ∀p ∈ Rn[X], ∀x ∈ R

este o transformare liniara.

b) Fie spatiul vectorial al functiilor continue pe intervalul [a, b], V = C0[a, b] = {f | f : [a, b] →R; f continua}. Sa se arate ca transformarea P : V → V ce asociaza fiecarei functii primitivaacesteia,

P (f) = g, g(x) =

∫ x

af(t)dt, ∀x ∈ [a, b], ∀f ∈ V

este o transformare liniara.

4.Pe spatiul vectorial real Pn = Rn[X] al functiilor polinomiale de grad cel mult n, se defineste functiaT : Pn → Pn,

T (p(x)) = x

∫ 1

0tp(t)dt, ∀p ∈ Pn, ∀x ∈ R.

Sa se arate ca T este o transformare liniara si sa se determine KerT si ImT .

R: KerT =

{p =

∑k=0,n

akxk

∣∣∣∣∣ ∑k=0,n

akk+2 = 0

}, ImT = Span({x}).

5. In R3 se considera vectorii v1 = (3, 2,−1), v2 = (1,−2, 1), v3 = (1, 0, 2).


a) Sa se arate ca exista o singura forma liniara T : R3 → R astfel ıncat

T (v1) = −8, T (v2) = 0, T (v3) = 6.

b) Sa se determine o baza a subspatiului KerT .

R: a) T (v) = ⟨v, a⟩, a = (−2, 1, 4), b) Ker T = L{(1, 2, 0), (0,−4, 1)}.

6. Fie functia T : V 3 → V 3, T (v) = v × a, a = vector fixat, nenul.

a) Sa se arate ca T este o transformare liniara.b) Sa se gaseasca KerT si ImT si sa se arate ca KerT ⊕ ImT = V 3.

R: b) KerT = Span({a)}, ImT = {v| ⟨v, a⟩ = 0}.

7. Se dau urmatoarele transformari:

a) T ∈ End(R3), T (x) = (x1 − 3x2, 0, 6x2 − 2x1),∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

b) T : R2[x]→ R1[x], T (p) = 2p′ − x∫ 10 p(t)dt,∀p ∈ R2[x].

c) T : R3 → R2, T (x) = (x1 − x2 + x3, x1 + x3), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

d) T : R2[x]→ R3[x], T (p) = x3∫ 10 p(t)dt− x

2p′ + p(0), ∀p ∈ R2[x].

In fiecare din cele patru cazuri sa se determine urmatoarele chestiuni:

1. Verificati ca transformarea T este liniara;

2. Determinati nucleul transformarii liniare T (KerT );

3. Determinati imaginea transformarii liniare T (Im T );

4. Aflati matricea transformarii liniare 3 relativ la bazele canonice ale domeniului DomT sicodomeniului CodomT ;

5. Determinati daca transformarea T este injectiva sau surjectiva;

6. Verificati relatia: dim KerT+dim Im T=dimDomT.

R: Tema: b, c, d. a) KerT = Span({v1 = (3, 1, 0), v2 = (0, 0, 1)}), ImT = Span({v = (1, 0,−2)}), T

nu este injectiva (KerT = 0), nici surjectiva ( ImT = R3); [T ] =

1 −3 00 0 0−2 6 0

, 2+1=3.

b) KerT = Span({3x2+11}); ImT = Span({−x, 2−(x/2)}); [T ]{1,x,x2},{1,x} =

(0 2 0−1 −1/2 11/3

).

T nu este injectiva, dar este surjectiva ( ImT = R1[x]); 1+2=3.

8. Se dau transformarile liniare:

a) T ∈ End(R3), T (x) = (x1 − 2x3, x1 − x2, x2 − 2x3), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

b) T ∈ End(R3), T (x) = (x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

Pentru fiecare dintre cele doua transformari, determinati:

⋄ KerT si ImT . Sunt KerT si ImT subspatii suplementare ın R3 ?

⋄ Este T injectiva ? Dar surjectiva ? Daca T este inversabila, determinati inversa acesteia.

R: Tema b). a) KerT = Span({v1 = (2, 2, 1)}), ImT = Span({(1, 1, 0), (0,−1, 1)}); nucleul siimaginea formeaza subspatii suplementare ın R3, deoarece KerT ∩ ImT = {0}, KerT + ImT = R3;T nu este nici injectiva, nici surjectiva (deci nu este inversabila).

9. Sa se determine matricea asociata transformarii liniare, ın raport cu bazele canonice ale spatiilor,ın cazurile

58 Probleme propuse

a) T : C→M2×2(C), T (x) =(

ix −x−ix x

), ∀x ∈ C;

b) T : R3 → C3, T (x) = (ix1, x2 − (1 + i)x1,−ix3), x = (x1, x2, x3) ∈ R3;

c) T :M2×2(K )→M2×2(K ), T (A) = At;

R: a) BM2×2(C) = {e11, e12, e21, e22}, unde eij = (δkiδlj)k,l=1,2; [T ] = (i,−1,−i, 1)t.

b) [T ] =

i 0 0−1− i 1 0

0 0 −i

; c) BM2×2(R) = {e11, e12, e21, e22}, [T ] =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

.

10. Aratati ca ın spatiul vectorial real V al functiilor reale, fiecare dintre multimile

S = {cosx, sinx}, S′ = {e2x sin 5x, e2x cos 5x}, S′′ = {3, 1− x, 1− 2x+ ex}

este liniar independenta si genereaza un subspatiu W finit dimensional. Utilizand multimile date cabaze pentru subspatiul W , sa se gaseasca ın fiecare caz matricea atasata operatorului de derivareD : W →W .

R: [D]S =

(0 1−1 0

), [D]S′ =

(2 −55 2

)[D]S′′ =

0 −1/3 −1/30 0 −20 0 1

.

11. Sa se determine matricele transformarilor liniare T : R3 → R3 ın raport cu baza formata dinvectorii v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 1, 3), v3 = (1, 1, 1) cunoscand ca matricele acestora ın raport cu bazacanonica a spatiului R3 sunt respectiv

a) A1 =

3 2 0−1 0 00 0 0

; b) A2 =

−1 2 −3−2 2 −6−2 2 −6

; c) A3 =

1 −1 23 −3 62 −2 4

.

R: A′ = C−1AC, unde C = [v1, v2, v3], A ∈ {A1, A2, A3}.

12. Fie V un spatiu vectorial real, CV complexificatul sau si T : V → V un endomorfism. FunctiaCT : CV → CV definita prin CT (u, v) = (Tu, Tv) sau altfel scris, CT (u+ iv) = Tu+ iTv, se numestecomplexificatul endomorfismului T .

a) Sa se arate ca CT este o transformare liniara care satisface proprietatile:

C(S + T ) = CS + CT ; C(ST ) = CS CT ;

C(kT ) = kCT, ∀k ∈ R; (CT )−1 = C(T )−1, daca T este inversabila.

b) Fie T : Cn → Cm o transformare liniara. Prin reprezentarea reala a transformarii T ıntelegemtransformarea liniara reala RT : RCn → RCm care coincide punctual cu T , unde RCn, RCm sunttrecerile ın real ale spatiilor Cn respectiv Cm. Se da transformarea liniara

T : C3 → C3, T (x) = (x1 + ix2, x1 + x3, ix3), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ C3.

Sa se determine matricea reprezentarii reale a lui T ın baza {v1, v2, v3}, unde

v1 = (0, i, 1), v2 = (0, 0, i), v3 = (1,−2, 2).

R: b) Trecerea ın real a spatiului vectorial complex este data de identificarea

(x1 + iy1, x2 + iy2, x3 + iy3) ∈ C3 ≡ (x1, y1, x2, y2, x3, y3) ∈ RC3 ≡ R6.


Matricea A a reprezentarii reale a lui T relativ la baza canonica (vechea baza) a lui RC3 ≡ R6, este A =

1 0 0 −1 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 1 00 1 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 −1 0

. Noua baza esteB ′ = {v1 ≡ (0, 0, 0, 1, 1, 0)t, iv1 ≡ (0, 0,−1, 0, 0, 1)t, v2 ≡

(0, 0, 0, 0, 0, 1)t, iv2 ≡ (0, 0, 0, 0,−1, 0)t, v3 ≡ (1, 0,−2, 0, 2, 0)t, iv3 ≡ (0, 1, 0,−2, 0, 2)t}.Matricea A a reprezentarii reale a lui T relativ la noua baza B ′ din RC3 ≡ R6 este data de relatia

A′ = C−1AC, cu matricea de trecere C = [v1, iv1, v2, iv2, v3, iv3] ∈M6(R),

13. Fie T : R3 → R3 endomorfismul care transforma vectorii v1 = (0, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 =(1, 1, 1) ın vectorii w1 = (1, 2, 1), w2 = (3, 1, 2), w3 = (7,−1, 4).

Sa se determine matricea lui T ∗ (transpusa lui T ), ın baza ortonormata

e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).

R: [T ][v1, v2, v3] = [w1, w2, w3]⇒ [T ] = [w1, w2, w3][v1, v2, v3]−1; [T ∗] = [T ]t.

14. Sa se determine adjuncta (transpusa) T ∗a transformarii liniare

T : R3 → R2, T (x) = (x1 − 2x3, 3x2), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

R: T ∗(y) = (y1, 3y2,−2y1), ∀y = (y1, y2) ∈ R2; [T∗] =

1 00 3−2 0

= [T ]t.

15. Sa se arate ca transformarile liniare asociate matricelor A1 =

27 18 27−21 −14 −21−12 −8 −12

si A2 = 1 0 00 0 00 0 1

sunt proiectii.

R: Se verifica faptul ca patratul fiecarei matrice asociate este ea ınsasi.

16. Fie V 2 spatiul vectorial al vectorilor legati ın originea O, identificat cu multimea punctelor dinplan E2, si fie T : V 2 → V 2 transformarea liniara definita prin T (a) = b, T (b) = c, unde puncteleA(a), B(b), O(0) sunt necoliniare, iar C(c) este un punct oarecare din plan. Sa se determine punctulC astfel ıncat

a) T sa fie o proiectie;

b) T sa fie o structura complexa.

R: a)

{T 2(a) = T (a)

T 2(b) = T (b)⇔ T (c) = c = b, deci C = B. b)

{T 2(a) = −aT 2(b) = −b ⇔

{c = −aT (c) = −b , care are

loc doar daca−−→OC = −−→OA.

17. Aratati ca matricele urmatoare sunt nilpotente de ordinele doi (ın cazul a) si respectiv trei (ıncazurile b, c):

a) A =

(0 10 0

); b) A =

0 1 00 0 10 0 0

; c) A =

0 −2 00 0 30 0 0

.

60 Probleme propuse

R: a) A2 = O2; b), c) A3 = O3.

18. Fie T : C2 → C2 endomorfismul definit prin matricea [T ] =

(1 + i i1 3− i

)ın baza canonica

a spatiului vectorial C2. Sa se gaseasca matricele hermitice T1, T2 ∈ End(C2) astfel ıncat sa aiba locrelatia T = T1 + iT2.

R: [T1] =

(1 (1 + i)/2

(1− i)/2 3

), [T2] =

(1 (1 + i)/2

(1− i)/2 −1

).

19. Sa se arate ca endomorfismul T : R3 → R3 definit prin matricea A =

− sin θ 0 cos θ0 1 0

cos θ 0 sin θ

(considerata relativ la baza canonica a lui R3) este ortogonal.

R: AtA = I3.

20. Sa se arate ca transformarile liniare de mai jos au proprietatile specificate (spatiile euclidieneconsiderate sunt ınzestrate cu produsele scalare canonice).

a) T ∈ End(M2(R)), T (A) = At, ∀A ∈ M2(R), (⟨A,B⟩ = Tr(At · B)) este involutie (T 2 = Id)simetrica (⟨T (A), B⟩ = ⟨A, T (B)⟩).b) T ∈ End(V ), unde T (f) = f ′, ∀f ∈ V . V = {f : [a, b] → R| f ∈ C∞(a, b), f continua pe [a, b],

f(k)d (a) = f

(k)s (b),∀k ∈ N}, este antisimetrica (⟨T (f), g⟩ = −⟨f, T (g)⟩), unde ⟨f, g⟩ =

∫ ba f(t)g(t)dt.

c) T ∈ End(R2), [T ] =

(cosα − sinαsinα cosα

), α ∈ R, este transformare liniara ortogonala (⟨T (x), T (y)⟩ =

⟨x, y⟩, ∀x, y ∈ R2).

d) Transformarea T ∈ End(C2), [T ] =

(4 3− i

3 + i 2

)este transformare liniara hermitica (⟨T (u), v⟩ =

⟨u, T (v)⟩).

21. Fie matricea A =

(1 i+ 1−i i+ 1

)∈ M2×2(C). Sa se determine o matrice unitara U astfel ıncat

matricea U−1AU sa fie triunghiulara.

R: Daca U =

(a bc d

), din conditia UU t = I2 (deci U−1 = U t) si anularea coeficientului din stanga

jos al matricei U tAU =

(x y0 z

), rezulta sistemul:

|a|2 + |b|2 = 1, |c|2 + |d|2 = 1, ac+ bd = 0; a(b− id) + c(b+ d)(1 + i) = 0;

obtinem U = 1√2

(1 ii 1

), care produce U−1AU =

(i 10 2

).

22. Sa se determine izometria J : R2 → R2 stiind ca duce punctele A1 = (1, 0), A2 = (2, 0), A3 = (2, 1)respectiv ın punctele B1 = (1,−2), B2 = (1,−3), B3 = (0,−3).

R: Relatia formala J

(xy

)=

(ab

)+

(α βχ δ

)(xy

), α2 + χ2 = β2 + δ2 = 1, αβ + χδ = 0 si

conditiile impuse J(Ai) = Bi, ∀i = 1, 3, conduc la expresia analitica a transformarii,

J

(xy

)=

(1−1

)+

(0 −1−1 0

)(xy

).

Vectori si valori proprii 61

Capitolul 3. Vectori si valori proprii

1 Spectru. Subspatii proprii

Definitii. Fie V un K -spatiu vectorial si T ∈ End(V ) un endomorfism.

a) Se numeste vector propriu al endomorfismului T un vector nenul x ∈ V \{0}, astfel ıncat existaλ ∈ K cu proprietatea

Tx = λx.

Scalarul λ se numeste ın acest caz valoarea proprie a lui T corespunzatoare vectorului propriu x.b) Se numeste spectrul endomorfismului T , si se noteaza cu σ(T ), multimea tuturor valorilor propriiale endomorfismului.

Observatii. 1. Ecuatia Tx = λx, x = 0 este echivalenta cu x ∈ Ker (T − λId), x = 0, unde Id esteendomorfismul identitate.

2. In particular pentru o transformare liniara neinjectiva, vectorii nenuli din KerT sunt vectoriproprii ai lui T atasati valorii proprii zero.

3. Daca un vector x ∈ V \{0} este vector propriu al lui T , atunci pentru fiecare k ∈ K \{0}, vectorulkx este propriu.

Teorema. Daca V este un K -spatiu vectorial si T ∈ End(V ), atunci

a) Fiecarui vector propriu al lui T ıi corespunde o singura valoare proprie λ ∈ σ(T ).b) Vectorii proprii ce corespund la valori proprii distincte sunt liniar independenti.c) Fie λ o valoare proprie a endomorfismului T. Multimea

Sλ = {x | Tx = λx, x ∈ V } (1)

este un subspatiu vectorial al lui V , invariant fata de T , adica are loc incluziunea

T (Sλ) ⊆ Sλ.

Subspatiul Sλ poate fi finit sau infinit dimensional si se numeste subspatiul propriu atasat valoriiproprii λ.

Demonstratie. a) Fie x un vector propriu asociat valorii proprii λ, deci Tx = λx, x = 0. Dacaar exista o alta valoare proprie λ′ ∈ K astfel ıncat Tx = λ′x, x = 0, atunci am avea λx = λ′x ⇔(λ−λ′)x = 0, dar, deoarece x = 0, rezulta λ = λ′. b) Fie x1, . . . , xp vectorii proprii ai endomorfismuluiT , corespunzatori valorilor proprii distincte λ1, . . . , λp ∈ σ(T ). Efectuam dupa p ∈ N . Pentru p = 1,vectorul propriu este diferit de vectorul nul, deci se constituie ıntr-un sistem (de un singur vector)liniar independent. Fie proprietatea adevarata pentru p− 1 vectori. Aplicand T relatiei

k1x1 + k2x2 + · · ·+ kp−1xp−1 + kpxp = 0 (2)

rezulta T (k1x1 + · · ·+ kpxp) = 0 si deci, folosind liniaritatea endomorfismului T si faptul ca x1, . . . , xpsunt vectori proprii ai lui T , obtinem k1λ1x1 + · · · + kpλpxp = 0. Scazand relatia (2) amplificata cuλp, avem

k1(λ1 − λp)x1 + · · ·+ kp−1(λp−1 − λp)xp−1 = 0

62 Polinom caracteristic al unui endomorfism

care, folosind ipoteza de inductie, implica k1 = k2 = · · · = kp−1 = 0. Din (2) rezulta kpxp = 0 si, cumxp = 0 rezulta si kp = 0, deci ind{x1, . . . , xp}. c) Pentru orice x, y ∈ Sλ si k, l ∈ K avem

T (kx+ ly) = kT (x) + lT (y) = kλx+ lλy = λ(kx+ ly)⇒ kx+ ly ∈ Sλ,

deci Sλ este subspatiu vectorial ın V . Daca x ∈ Sλ, atunci Tx = λx ∈ Sλ, adica T (Sλ) ⊆ Sλ. �

Teorema. Subspatiile proprii Sλ1 , Sλ2 corespunzatoare la valori proprii distincte λ1, λ2 ∈ σ(A), λ1 =λ2, au ın comun doar vectorul nul.

Demonstratie. Fie λ1, λ2 ∈ σ(A), λ1 = λ2. Daca prin absurd ar exista x ∈ Sλ1 ∩ Sλ2\{0}, ar rezultaTx = λ1x si Tx = λ2x, deci (λ1 − λ2)x = 0⇒ λ1 = λ2, absurd. Rezulta Sλ1 ∩ Sλ2 = {0}. �


Definitie. Fie A =

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

∈ Mn×n(K ) o matrice patratica de ordinul n si fie X =

x1...xn

∈ Mn×1(K )\{0} un vector coloana cu coeficienti ın corpul K ∈ {R,C}. Daca exista un

scalar λ ∈ K astfel ıncat sa aiba loc relatia

AX = λX, (1)

atunci X se numeste vector propriu al matricei A, iar λ se numeste valoare proprie a matricei A sinotam λ ∈ σ(A). Ecuatia matriceala (1) se rescrie (A−λI)X = 0 si este echivalenta cu sistemul liniar(numit sistem caracteristic al matricei A)

(a11 − λ)x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + (a22 − λ)x2 + · · ·+ a2nxn = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · ·+ (ann − λ)xn = 0.

(2)

Fiind un sistem omogen, acesta are solutii nebanale doar ın cazul ın care scalarul λ satisface ecuatiaalgebrica

PA(λ)not= det(A− λI) = 0 ⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 . . . a1na12 a22 − λ . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (3)

Definitii. a) Se numeste polinomul caracteristic al matricei A, polinomul

PA(λ) = det(A− λI).

b) Ecuatia (3) este o ecuatie algebrica de grad n ın necunoscuta λ, si se numeste ecuatia caracteristicaa matricei A.


Observatii. 1. Valorile proprii ale matricei A sunt solutiile din K ale ecuatiei caracteristice (3);multimea acestora formeaza spectrul matricei A, care se va nota prin σ(A). Daca notam prin ρ(A)multimea radacinilor complexe ale polinomului caracteristic al matricei A, se observa ca avem σ(A) =ρ(A) ∩K .

2. Fie A o matrice patratica reala de ordinul n si det(A− λI) = 0 ecuatia ei caracteristica. Deoarecenu orice ecuatie algebrica admite solutii ın R, dar admite solutii ın C, uneori valorile proprii ale lui A sedefinesc ca fiind elemente din C. In acest caz vectorii proprii corespunzatori apartin complexificatuluilui Rn notat CRn.

Teorema. a) Fie A = (aij)i,j=1,n ∈Mn×n(K ). Polinomul caracteristic al matricei A are expresia

P (λ) = (−1)n(λn − δ1λn−1 + δ2λn−2 − · · ·+ (−1)nδn),

unde

⋄ δ1 = Tr A, δ2 =∑

1≤j⟨k≤n

(ajjakk − akjajk) , . . . , δn−1 =∑

1≤j≤nm(ajj), δn = detA;

⋄ Tr(aij) = a11 + a22 + · · ·+ ann se numeste urma matricei A;

⋄ m(ajj) este minorul obtinut din matricea A prin eliminarea liniei si coloanei a j-a;

⋄ δk, k = 1, n reprezinta suma minorilor principali de ordinul k ai matricei A− λI.

b) Matricele A si At au acelasi polinom caracteristic.

c) Doua matrice asemenea au acelasi polinom caracteristic.

Demonstratie. a) Vom da demonstratia pentru matricele de ordinul doi sau trei; obtinem prin calculdirect

P (λ) =

∣∣∣∣ a11 − λ a12a21 a22 − λ

∣∣∣∣ = λ2 − λ( TrA) + detA, TrA = a11 + a22;

iar pentru ordinul trei

P (λ) =

∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 a13a21 a22 − λ a23a31 a32 a33 − λ

∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + λ2( TrA)− λJ + detA,

unde am folosit notatiile

TrA = a11 + a22 + a33, J =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ .b) PA(λ) = det(A− λI) = det(A− λI)t = det(At − λI) = PAt(λ).c) Fie A si A′ doua matrice asemenea, adica A′ = C−1AC, unde C este o matrice nesingulara. Atunci

PA′(λ) = det(A′ − λI) = det(C−1AC − λI) = det[C−1(A− λI)C] =

= det(C−1) det(A− λI) detC = det(A− λI) = PA(λ)θ.

�Pentru o matrice A reala (deci A coincide cu conjugata ei A) si simetrica (A = At) putem daurmatoarea

Teorema. Valorile proprii ale unei matrice reale si simetrice sunt reale.


Demonstratie. Conjugand relatia (1), rezulta

AX = λX. (4)

In (1) ınmultim la stanga cu Xt, iar ın 4 ınmultim la stanga cu Xt. Relatia A = At implica XtAX =XtAX si deci obtinem (λλ)XtX = 0. Cum vectorul X este nenul, avem XtX = 0⇒ λ = λ⇒ λ ∈ R.�Exercitii. 1. Aflati valorile si vectorii proprii pentru matricea

A =

2 0 2 −10 2 4 −22 −1 1 12 −1 −1 3

∈M4×4(R).

R: Polinomul caracteristic PA(λ) = det(A − λI) = (λ − 2)4 are drept radacini valorile proprii alematricei A, λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 2 ∈ R. Sistemul caracteristic (1) se scrie AX = 2X undeX = (x1, x2, x3, x4)

t, si este echivalent cu sistemul (2) care are forma{2x3 − x4 = 02x1 − x2 − x3 + x4 = 0.

Obtinem x2 = 2x1 + x3, x4 = 2x3. si notand x1 = a si x3 = b solutia se scrie

x1 = a, x2 = 2a+ b, x3 = b, x4 = 2b, a, b ∈ R.

Rezulta solutiile sistemului caracteristic, X = (a, 2a+ b, b, 2b)t = a(1, 2, 0, 0)t + b(0, 1, 1, 2)t (a, b ∈ R),deci valorii proprii λ = 2 ıi corespund doi vectori proprii liniar independenti v1 = (1, 2, 0, 0)t si v2 =(0, 1, 1, 2)t, baza a subspatiului propriu Sλ1 = Span(v1, v2). Se observa ca dimSλ1 = 2 < 4 = dimR4.

2. Aflati valorile si vectorii proprii pentru matricea A =

6 6 0−3 −3 0−3 −6 3

.

R: Polinomul caracteristic este P (λ) = −λ(λ − 3)2. Din ecuatia caracteristica (4) rezulta valorileproprii λ1 = λ2 = 3, λ3 = 0, iar din sistemul caracteristic (2), vectorii proprii liniar independenti

v1 = (−2, 1, 0)t, v2 = (0, 0, 1)t, v3 = (1,−1,−1)t.

Observatii. 1. Fie Vn un spatiu vectorial finit dimensional peste corpul K si T : Vn → Vn unendomorfism. Fie x un vector propriu al lui T si λ valoarea proprie asociata. Atunci x si λ satisfacrelatia Tx = λx. Fixam o baza ın Vn si notam cu A matricea atasata endomorfismului T si cu Xmatricea coloana atasata vectorului x. Relatia Tx = λx este echivalenta cu ecuatia matriceala

AX = λX.

2. Fie PA(λ) = det(A − λI) polinomul caracteristic al matricei A. Din cele de mai sus se vede ca,daca exista, valorile proprii ale endomorfismului T sunt radacinile lui PA(λ) care apartin corpului K ,iar vectorii proprii ai lui T sunt solutiile ecuatiei matriceale

(A− λI)X = 0.

De asemenea, teorema 2.2 arata ca polinomul

PA(λ) = det(A− λI)


este invariant fata de o schimbare a bazei din Vn , adica coeficientii lui PA(λ) depind de endomorfismulT si nu de reprezentarea matriceala particulara A a lui T . In consecinta, nedepinzand efectiv de A,numarul detA se numeste determinantul endomorfismului T , numarul Tr A se numeste urma lui T ,etc; putem ın concluzie da urmatoarea

Definitie. Fie T ∈ End(Vn ) un endomorfism si A matricea asociata acestuia ın raport cu o bazafixata a spatiului vectorial Vn . Atunci polinomul

P (λ) = PA(λ) ≡ det(A− λI) (5)

se numeste polinomul caracteristic al endomorfismului T.

Observatii. 1. Endomorfismul T : Vn → Vn are cel mult n valori proprii distincte. Daca T areexact n valori proprii distincte, atunci vectorii corespunzatori determina o baza a lui Vn si matriceaA atasata lui T ın raport cu aceasta baza este o matrice diagonala avand pe diagonala valorile propriiale lui T .

2. Fie Vn un spatiu vectorial real n-dimensional si T : Vn → Vn un endomorfism. Notam cu CVncomplexificatul spatiului vectorial Vn si cu CT complexificatul endomorfismului T . Cum T si CT auaceeasi reprezentare matriceala, valorile proprii ale lui CT sunt exact valorile proprii complexe ρ(A)ale matricei reale asociata lui T , privita ca matrice complexa.

Avand ın vedere acest lucru, se observa ca valorile proprii ale unui endomorfism real T (careformeaza spectrul σ(T ) al lui T ) sunt valorile proprii reale σ(T ) = ρ(T ) ∩ R, unde ρ(T ) este spectrulendomorfismului complexificat CT .

Exercitiu. Aflati valorile si vectorii proprii ai endomorfismului T ∈ End(R3) descris de matricea

A =

2 0 00 −2 10 −1 0

.

Solutie. Polinomul caracteristic al endomorfismului T este

P (λ) = −(λ+ 1)2(λ− 2),

valorile proprii sunt λ1 = 2, λ2 = λ3 = −1 ∈ R; doi vectori proprii asociati sunt (tema, verificati!) :

v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1).

3 Forma diagonala a unui endomorfism

Dat fiind un endomorfism T ∈ End(Vn ), s-a vazut ca matricea A = [T ]B depinde de alegerea bazeiB ⊂ Vn . Apare natural ıntrebarea daca exista o baza ın Vn relativ la care matricea endomorfismuluisa aiba o forma cat mai simpla (canonica), spre exemplu cu un numar cat mai mare de coeficientinuli exceptand diagonala. Cu ajutorul valorilor si vectorilor proprii ai endomorfismului T vom realizaacest lucru ın cele ce urmeaza.

Definitie. Un endomorfism T ∈ End(Vn ) se numeste diagonalizabil daca exista o bazaB = {e1, . . . , en}astfel ıncat matricea lui A = [T ]B relativ la aceasta baza sa fie o matrice diagonala (cu toti coeficientiidin afara diagonalei, nuli).

Matricele din clasa de asemanare a matricei A - care corespunde endomorfismului diagonalizabilT relativ la baza B ⊂ Vn , se numesc matrice diagonalizabile (asociate endomorfismului T ).

Teorema. Un endomorfism T ∈ End(Vn ) este diagonalizabil daca si numai daca exista o baza aspatiului Vn formata din vectori proprii ai endomorfismului.


Demonstratie. Daca T este diagonalizabil, atunci exista o baza B = {e1, . . . , en} a spatiului fata decare matricea lui T este diagonala, deci este de forma

A =

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . ann

.

Deci au loc relatiile Tei = aiiei, i = 1, n, adica vectorii ei, i = 1, n sunt vectori proprii ai endomor-fismului T , asociati respectiv valorilor proprii aii, i = 1, n. Reciproc, daca B ′ = {v1, v2, . . . , vn} esteo baza ın Vn , formata din vectori proprii ai lui T , adica au loc relatiile Tvi = λivi, i = 1, n, atuncimatricea lui T relativ la aceasta baza este

D = [T ]B′ =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . λn

,

unde scalarii λi nu sunt neaparat distincti. �

Definitii. Fie λ ∈ σ(T ) o valoare proprie a endomorfismului T .

a) Se numeste multiplicitate algebrica a valorii proprii λ si o notam prin ma(λ), ordinul de multi-plicitate al valorii proprii λ ca radacina a polinomului caracteristic (5) asociat endomorfismului T .

b) Se numeste multiplicitate geometrica a valorii proprii λ si o notam prin mg(λ), dimensiuneasubspatiului vectorial Sλ (1) asociat valorii proprii λ.

Teorema. Fie λ0 ∈ σ(T ), unde T ∈ End(Vn ). Atunci dimensiunea subspatiului propriu Sλ0 este celmult egala cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ0 ∈ σ(A) corespunzatoare subspatiului Sλ0,adica mg(λ0) ≤ ma(λ0).

Deci multiplicitatea geometrica a unei valori proprii este totdeauna cel mult egala cu cea algebrica.

Demonstratie. Fie λ0 o valoare proprie multipla de ordinul m si Sλ0 subspatiul propriu corespunzator.Avem dimSλ0 = p ≤ n; fie B = {e1, e2, . . . , ep} o baza ın subspatiul propriuSλ0 . Distingemurmatoarele cazuri:

⋄ Daca p = n, atunci ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ0 este n, caci relativ la aceasta bazamatricea transformarii liniare este diagonala

A = [T ]B =

λ0 0 . . . 00 λ0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . λ0

⇒ P (λ) = (−1)n(λ− λ0)n.

⋄ Daca p < n, completam aceasta baza pana la o baza ın Vn de forma

B = {e1, . . . , ep; ep+1, . . . , en}.

Tinand cont ca vectorii ei, i = 1, p sunt vectori proprii asociati valorii proprii λ0, au loc descompunerile

T (ei) = λ0ei, i = 1, p; T (ej) =

n∑k=1

akjek, j = p+ 1, n,


deci

[T (ei)] = λ0[ei], i = 1, p; [T (ej)] = (a1j , . . . , akj)t, j = p+ 1, n

si deci matricea lui T fata de baza B este

A = [T ]B =

λ0 0 . . . 0 a1p+1 . . . a1n0 λ0 . . . 0 a2p+1 . . . a2n...

.... . . 0

......

...0 0 . . . λ0 app+1 . . . apn...

.... . . 0

.... . .

...0 0 . . . 0 anp+1 . . . ann

,

si deci polinomul caracteristic al lui T are forma

P (λ) = det(A− λI) = (λ0 − λ)pQ(λ), Q(λ) =

∣∣∣∣∣∣∣app+1 − λ . . . apn

.... . .

...anp+1 . . . ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣ .�

Teorema. Fie endomorfismul T ∈ End(Vn ). Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) T este diagonalizabil;

(ii) polinomul caracteristic al endomorfismului T are cele n radacini ın corpul K si dimensiuneafiecarui subspatiu propriu este egala cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzatoare (pescurt, ρ(T ) ⊂ K (deci σ(T ) = ρ(T )) si ∀λ ∈ σ(T ), ma(λ) = mg(λ)).

Demonstratie. Fie T ∈ End(Vn ) diagonalizabil, deci exista o baza B = {e1, . . . , en} ın Vn , formatadin vectori proprii pentru T , fata de care matricea lui T este diagonala. Descompunem polinomulcaracteristic P (λ) = (λ− λ1)m1(λ− λ2)m2 . . . (λ− λp)mp , deci λi, i = 1, p sunt valorile proprii ale lui

T de multiplicitati mi care satisfac relatiap∑

i=1mi = n. Fara a afecta generalitatea, admitem ca primii

m1 vectori din baza {e1, . . . , en} corespund lui λ1, urmatorii m2 lui λ2 etc. In concluzie, vectoriie1, . . . , em1 apartin subspatiului propriu Sλ1 corespunzator valorii proprii λ1, ceea ce ınseamna canumarul lor m1 este cel mult egal cu dimSλ1 . Pe de alta parte, conform teoremei anterioare, avemdimSλ1 ≤ m1. In concluzie m1 = dimSλ1 . Analog, rezulta

dimSλi= mi, i = 2, p.

Reciproc, fie dimSλi= mi, i = 1, p. Consideram familia de vectori din Vn

B = {e1, . . . , em1 , em1+1, . . . , em2 , . . . , emp−1+1, . . . , emp},n∑

i=1

mi = n,

aleasa astfel ıncat primii m1 vectori sa constituie o baza ın Sλ1 , urmatorii m2 sa constituie o baza ınSλ2 , etc. Prin inductie dupa p, se poate arata ca B este baza ınVn . Relativ la aceasta baza, matricea


endomorfismului T : Vn → Vn are forma urmatoare

A = [T ]B =

λ1 0 . . . 0 0

0 λ1 . . . 0...

. . . . . . . . . . . .... O

0 0 . . . λ1 0

0 . . . . . . 0. . . 0 . . . . . . 00 λp 0 . . . 0... 0 λp . . . 0

O... . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . λp

deci o matrice diagonala. Prin urmare endomorfismul T este diagonalizabil. �

Consecinta. Daca T ∈ End(Vn ) este diagonalizabil, atunci are loc descompunerea

Vn = Sλ1 ⊕ Sλ2 ⊕ · · · ⊕ Sλp .

Fie Vn un K -spatiu vectorial, iar T ∈ End(Vn ) un endomorfism al acestuia. Pentru a obtineforma diagonala a lui T , putem da urmatorul algoritm.

Algoritm de diagonalizare.

1. Fixam o baza oarecare B⊂ Vn si determinam matricea A = [T ]B = (aij)i,j=1,n a endomorfismuluiT ın aceasta baza.

2. Aflam valorile proprii ale endomorfismului, solutiile ın corpul K ale ecuatiei PA(λ) = 0. Dacaσ(T ) ⊂ K , atunci algoritmul stopeaza, iar endomorfismul T nu este diagonalizabil.

3. Daca σ(T ) ⊂ K si este format din p (p ≤ n) valori proprii distincte λ1, . . . , λp cu ordinelede multiplicitate respectiv m1, . . . ,mp, calculam rangul fiecarei matrice A − λjI, j = 1, p. Dacaavem rang(A − λjI) = n − mj , j = 1, p , adica spatiul vectorial al solutiilor sistemului omogen(A− λjI)X = 0 satisface conditia

dimSλj= mj , j = 1, p

atunci (cf. teoremei 3.4) endomorfismul T este diagonalizabil si se trece la pasul 4; altfel T nu estediagonalizabil, si algoritmul stopeaza.

4. Se rezolva cele p sisteme omogene

(A− λjI)X = 0, j = 1, p,

ale caror solutii formeaza subspatiile proprii Sλj, j = 1, p. Astfel obtinem practic cate o baza B j

formata din mj vectori proprii, pentru fiecare subspatiu propriu Sλj, j = 1, p.

5. Reunim cele p baze ale subspatiilor proprii, formand o baza B ′ = B 1 ∪B 2 ∪ · · · ∪B p a spatiuluivectorial Vn .

6. Relativ la aceasta baza B ′ matricea D = A′ = [T ]B′ este matrice diagonala, si are pe diagonalavalorile proprii λ1, . . . , λ1; . . . ;λp, . . . , λp, fiecare dintre acestea aparand de un numar de ori egal cuordinul sau de multiplicitate.

7. Construim matricea diagonalizatoare (matricea modala) C, matricea de trecere de la baza B laB ′, C = [B ′]B .


8. Verificam corectitudinea calculelor, testand relatia D = C−1AC sub forma echivalenta CD = AC.

Exercitii. 1. Determinati daca endomorfismul T ∈ End(R3), definit prin matricea asociata relativla baza canonica

A =

−2 −7 −52 5 31 2 3

este diagonalizabil sau nu.

Solutie. Obtinem prin calcul polinomul caracteristic, P (λ) = (λ − 2)3; o singura valoare propriedistincta, λ1 = 2 ∈ R, radacina tripla a polinomului caracteristic (mg(2) = ma(2) = 3). Avem

rang (A− 2I) = rang

−4 −7 −52 3 31 2 1

= 2 = n−m1 = 3− 3 = 0⇒ dimSλ1 = 1 = m1 = 3.

Deci endomorfismul T nu este diagonalizabil.

2. Diagonalizati endomorfismul T ∈ End(R4) a carui expresie analitica este

T (x) = (−x1 + x4, −x2,−x3 − 2x4, x1 − 2x3 + 3x4), ∀x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4.

Solutie. In raport cu baza canonica a lui R4, matricea lui T este

A =

−1 0 0 10 −1 0 00 0 −1 −21 0 −2 3

.

Obtinem polinomul caracteristic

P (λ) = det(A− λI) = (λ+ 2)(λ+ 1)2(λ− 4)

si valorile proprii λ1 = −2, λ2 = λ3 = −1, λ4 = 4 ∈ R. Ordinele de multiplicitate ale valorilor propriisunt respectiv m1 = 1, m2 = 2, m3 = 1. Deoarece rang (A − λ1I) = 3 = n −m1 = 4 − 1 = 3, prinrezolvarea sistemului omogen (A + 2I)X = 0, obtinem vectorul propriu generator v1 = (−1, 0, 2, 1)t.Analog, rang (A − λ2I) = 2 = n −m2 = 4 − 2 deci dim Sλ2 = 2, iar vectorii proprii corespunzatorisunt v2 = (0, 1, 0, 0)t, v3 = (2, 0, 1, 0)t. Obtinem rang (A− λ4I) = 3 = n−m3, deci vectorul propriucorespunzator valorii proprii λ4 = 6 este v4 = (1, 0,−2, 5)t. Deci baza B ′ a spatiului R4 relativ la carematricea endomorfismului T este diagonala, este B ′ = {v1, v2, v3, v4}. In concluzie endomorfismul Teste diagonalizabil, cu matricea diagonalizatoare C si matricea diagonala D date respectiv de

C = [v1, v2, v3, v4] =

−1 0 2 10 1 0 02 0 1 −21 0 0 5

, D = C−1AC =

−2 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 4

.

4 Forma canonica Jordan

Fie Vn un K -spatiu vectorial si T ∈ End(Vn ) un endomorfism al acestuia. Matricea A a lui T depindede alegerea bazei ınVn . Conditiile ın care matricea A se poate diagonaliza au fost date ın teoremele3.2 si 3.4. In cazul ın care aceste conditii nu sunt toate satisfacute, deci cand diagonalizarea nu esteposibila, se poate testa daca endomorfismul admite o forma canonica mai generala, numita formaJordan.


Definitii. a) Fie λ ∈ K . Se numeste celula Jordan de ordinul m atasata scalarului λ, si se noteazaprin Jm, matricea

Jm(λ) =

λ 1 . . . . . . 00 λ 1 . . . 0...

...0 0 . . . . . . 10 0 . . . . . . λ

∈Mm×m(K )

Dam drept exemplu urmatoarele celule Jordan:

J3(1 + i) =

1 + i 1 00 1 + i 10 0 1 + i

∈M3×3(C),

J2(3) =

(3 10 3

)∈M2×2(R), si J1(7) = (7) ∈M1×1(R).

b) Endomorfismul T ∈ End(Vn ) se numeste jordanizabil daca exista o baza ınVn fata de care matriceaendomorfismului sa fie de forma

J =

J1 0 . . . 00 J2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . Jp

(forma canonica Jordan), unde Ji sunt celule Jordan atasate valorilor proprii λi, i = 1, p ale endomor-fismului T .

O celula Jordan de ordinul s atasata unei valori proprii λ ∈ σ(T ) multipla de ordinul m ≥ scorespunde vectorilor liniar independenti e1, e2, . . . , es care satisfac urmatoarele relatii

Te1 = λe1,T e2 = λe2 + e1. . .T es = λes + es−1

⇔

(T − λId)e1 = 0(T − λId)e2 = e1. . .(T − λId)es = es−1.

Dupa cum se observa din prima ecuatie, vectorul e1 este propriu; vectorii e2, . . . , es se numesc vectoriprincipali.

Observatii. 1. Exista endomorfisme ale spatiilor vectoriale reale care nu admit forma Jordan, sianume acelea pentru care corpul K este R (deci K nu este corp algebric ınchis) iar ecuatia caracteris-tica nu are toate cele n radacini ın R (σ(T ) ⊂ K = R). Spre exemplu, endomorfismul T ∈ End(R2),

T (x) = (−x2, x1), ∀x = (x1, x2) ∈ R2,

are drept valori proprii numerele complexe imaginare ±i /∈ R.

2. Endomorfismele spatiilor complexe admit totdeauna la forma Jordan, deoarece orice ecuatie alge-brica de gradul n cu coeficienti complecsi are toate cele n radacini ın corpul K = C.

3. Forma diagonala a unui endomorfism diagonalizabil este un caz particular de forma canonicaJordan, anume cazul cand toate celulele Jordan sunt de ordinul unu.

4. Forma canonica Jordan asociata unui endomorfism dat nu este unic determinata. Doar numarulcelulelor Jordan (care este egal cu numarul maximal de vectori proprii liniar independenti ai lui T )precum si structura interna a celulelor Jordan sunt unice. Ceea ce nu este unic determinat este


ordinea celulelor Jordan pe ”diagonala” matricei canonice Jordan. Aceasta ordine depinde de ordineavectorilor din baza B ′ - formata din vectori proprii si principali ai endomorfismului T .

5. Se poate arata ca pentru un endomorfism T ∈ End(Vn ) al K -spatiului vectorial Vn , ce are valorile

proprii distincte λ1, . . . , λp de multiplicitati respectiv m1,m2, . . . ,mp (p∑

k=1

mk = n), exista p subspatii

vectoriale V j ⊂ V , j = 1, p, astfel ıncat sunt satisfacute urmatoarele proprietati:

⋄ dimV j = mj , j = 1, p;

⋄ subspatiile V j sunt invariante fata de T;

⋄ TV j= Nj + λjImj , j = 1, p, cu Nj endomorfism nilpotent de ordin cel mult mj ;

⋄ are loc descompunerea ın suma directa

Vn = V 1 ⊕ V 2 ⊕ · · · ⊕ V p.

Pe baza acestui rezultat, se poate demonstra urmatoarea teorema:

Teorema Jordan. Fie Vn un K -spatiu vectorial n-dimensional. Daca endomorfismul T ∈End(Vn ) are valorile proprii ın corpul K , atunci exista o baza ın Vn (numita baza Jordan) fata decare matricea lui T are forma Jordan.

Algoritm pentru gasirea unei baze Jordan

1. Se fixeaza o baza ın Vn si se determina matricea A atasata endomorfismului T ∈ End(Vn ).

2. Prin rezolvarea ecuatiei caracteristice PA(λ) ≡ det(A − λI) = 0; se determina valorile propriidistincte λj , multiple de ordinul respectiv mj , j = 1, p. Algoritmul continua doar daca λj ∈ K , ∀j ∈

1, p (sau, echivalent,p∑

j=1mj = n), altfel endomorfismul nu este jordanizabil.

3. Se afla vectorii proprii liniar independenti corespunzatori fiecarei valori proprii λj .

4. Se calculeaza numarul de celule Jordan, pentru fiecare valoare proprie distincta λj ın parte, numaregal cu dimSλj

= dimVn − rang (A− λjI).

5. Se rezolva sistemul (A−λjI)mjX = 0, pentru fiecare j = 1, p. Pentru j ∈ 1, p fixat, solutiile vectorinenuli genereaza subspatiul Sλj

. Practic, se determina ıntai forma vectorilor proprii v ce genereazaSλj

prin rezolvarea sistemului

(A− λjI)v = 0.

Distingem cazurile:

⋄ dimSλj= mj ,caz ın care se determina o baza B j a subspatiului Sλj

= V j formata din mj vectoriproprii (solutiile fundamentale ale sistemului de mai sus).

⋄ dimSλj≤ mj ,caz ın care avem Sλj

⊂ V j , Sλj= V j . In acest caz se determina forma generala va

vectorilor proprii din Sλj, se calculeaza numarul mj − dimSλj

de vectori principali asociati, sise afla acesti vectori, rezolvand succesiv sistemele liniare

(A− λI)w2 = v, . . . , (A− λI)ws = ws−1.

La fiecare sistem ın parte se verifica compatibilitatea acestuia, si tinand cont si de conditiilesistemelor anterioare se obtin informatii relativ la vectorul propriu generic v caruia i se asociazaacesti vectori principali; apoi, ın caz ca acesta sistemul este compatibil, se rezolva.


Se determina ın acest mod un numar de nj = dimSλjseturi de vectori, ce contin fiecare cate un vector

propriu v din baza spatiului Sλjsi vectori principali asociati acestuia (ın cazul ın care sistemele ce

produc vectori principali asociati lui v sunt compatibile).Familia ordonata a acestor nj seturi corespunde la o familie de nj celule Jordan asezate pe diagonala

matricei formei canonice Jordan, si determina o baza B j ın subspatiul invariantV j asociat valoriiproprii λj .

6. Se reunesc cele p baze ale subspatiilor invariante V j , formand o baza

B ′ = B 1 ∪B 2 ∪ · · · ∪B p

a spatiului vectorial Vn .

7. Relativ la aceasta baza B ′ matricea J = A′ = [T ]B′ este matrice ın forma canonica Jordan, si arepe diagonala celulele Jordan asociate valorilor proprii λ1, . . . , λp, dispuse ın ordinea ın care apar ınbaza B ′ seturile de vectori, formate din cate un vector propriu urmat, eventual, de vectorii principaliasociati (daca acestia exista).

Celulele Jordan au ordinul egal cu numarul de vectori din setul corespunzator, si contin valoareaproprie atasata setului de vectori.

8. Se construieste matricea jordanizatoare C, adica matricea C = [B ′]B de trecere de la baza B laB ′.

9. Se verifica corectitudinea calculelor, testand relatia

J = C−1AC

sub forma echivalenta CJ = AC.

Exercitiu. Sa se afle forma canonica Jordan a endomorfismului T ∈ End(R4),

T (x) = (2x1 + x2,−4x1 − 2x2, 7x1 + x2 + x3 + x4, −17x1 − 6x2 − x3 − x4),

∀x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4.

Solutia I. Matricea endomorfismului T relativ la baza canonica a spatiului vectorial R4 este

A =

2 1 0 0−4 −2 0 07 1 1 1−17 −6 −1 −1

.

Ecuatia caracteristica λ4 = 0 are solutia λ1 = 0 = λ multipla de ordin m1 = 4. Avem rang (A−λI) =2, deci numarul celulelor Jordan este egal cu

n− rang (A− λI) = dimSλ = 4− 2 = 2.

Ordinele celor doua celule Jordan pot fi: ambele de ordin 2, sau una de ordin 3 si cealalta de ordin 1.Determinam situatia ın care ne aflam, folosind indicele de nilpotenta al restrictiei N1 = T |V 1

−λId|V 1

; pentru aceasta aflam subspatiul V 1 = Ker (T − λId)4. Deoarece

(A− λI)2 =

2 1 0 0−4 −2 0 07 1 1 1−17 −6 −1 −1

2

= O4x4,


obtinem,Sλ = Ker (T − λ Id) ⊂ Ker (T − λ Id)2 = Ker (T − λ Id)3 =

= Ker (T − λ Id)4 = V 1 = V = R4

unde am notat prin Id transformarea identica a spatiului vectorial R4. Rezulta ca indicele de nilpotentah al restrictiei N1 este egal cu 2. Deoarece dim Ker (T − λI)2 = 4 si dim Ker (T − λI) = dimSλ = 2,rezulta ca numarul celulelor Jordan de tip h× h = 2× 2 este egal cu

dim Ker (T − λJ)2 − dim Ker (T − λJ) = 4− 2 = 2.

Prin urmare forma Jordan este J =

(J1 00 J2

), unde J1 = J2 =

(λ 10 λ

)=

(0 10 0

).

Solutia II. Deoarece rang (A − λI) = 2 ⇒ dimSλ = 2, rezulta ca valorii proprii λ = 0 ıi core-spund doi vectori proprii liniar independenti pe care-i determinam rezolvand sistemul omogen dublunedeterminat

(A− λI)v = 0, v = (x1, x2, x3, x4)t ⇔

2x1 + x2 = 0−4x1 − 2x2 = 07x1 + x2 + x3 + x4 = 0−17x1 − 6x2 − x3 − x4 = 0.

Notand x3 = a, x4 = b obtinem x1 = −(a+ b)/5, x2 = 2(a+ b)/5, deci solutia generala a sistemuluiare forma v = (−(a+ b)/5, 2(a+ b)/5, a, b)t, a = −bsau b = 0. Deci exista maximum doi vectoriproprii liniar independenti. Deoarece diferenta dintre multiplicitatea algebrica si cea geometrica avalorii proprii este 4 − 2 = 2, vom determina 2 vectori principali, precum si vectorii proprii caroraacestia le corespund. Fie w2 = (u1, u2, u3, u4)

t un vector principal; acesta satisface sistemul neomogen

(A− λI)w2 = v ⇔

2u1 + u2 = −(a+ b)/5−4u1 − 2u2 = 2(a+ b)/57u1 + u2 + u3 + u4 = a−17u1 − 6u2 − u3 − u4 = b.

Notand u3 = c, u4 = d obtinem solutia sistemului, care este compatibil nedeterminat ∀a, b ∈ R (tema,verificati!) ,

w2 =

(6a+ b− 5c− 5d

25,−17a− 7b+ 10c+ 10d

25, c, d

)t

.

Deoarece conditiile de compatibilitate Rouche sunt identic satisfacute, rezulta ca fiecaruia dintre vec-torii proprii liniar independenti ai unei baze a subspatiului Sλ, i se ataseaza un vector principal.Alegand a = 7, b = −17 obtinem vectorul propriu v1 = (2,−4, 7,−17), si alegand a = 7, b = −17, c =d = 0 se obtine vectorul principal w1 = (1, 0, 0, 0) atasat vectorului propriu v1. Alegand a = 1, b = −6se gaseste vectorul propriu v2 = (1,−2, 1,−6); pentru a = 1, b = −6, c = d = 0, gasim vectorulprincipal w2 = (0, 1, 0, 0) care se ataseaza lui v2.

S-au obtinut seturile de vectori {v1, w1} si {v2, w2}, care prin reuniune determina baza JordanB ′ = {v1, w1, v2, w2} ⊂ R4. Corespunzator celor doua seturi, avem doua celule Jordan de ordin 2fiecare (numarul de vectori din fiecare set). Relativ la baza B ′ matricea Jordan a endomorfismului Tsi matricea de trecere la noua baza sunt respectiv

J = [T ]B′ =

0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0

, C = [v1, w1; v2, w2] =

2 1 1 0−4 0 −2 17 0 1 0−17 0 −6 0

;

acestea satisfac relatia C−1AC = J (CJ=AC) (tema, verificati!) .

74 Spectrul endomorfismelor ın spatii euclidiene

5 Spectrul endomorfismelor ın spatii euclidiene

Fie V un K -spatiu vectorial euclidian si T ∈ End(V ) un endomorfism al acestuia. Daca λ ∈ σ(T )iar x este un vector propriu atasat lui λ, atunci are loc relatia

λ =⟨Tx, x⟩⟨x, x⟩

.

Teorema. Daca T ∈ End(V ) este un endomorfism hermitic al spatiului euclidian complex V , atunci:

a) Valorile proprii ale lui T sunt reale.b) La valori proprii distincte ale lui T corespund vectori proprii ortogonali.c) Daca dimV = n, atunci T admite exact n vectori proprii ortogonali doi cate doi (deci estediagonalizabil).

Demonstratie. a) Din ipoteza T este hermitic, deci ⟨x, Ty⟩ = ⟨Tx, y⟩, ∀x, y ∈ V . Vom demonstraproprietatile a) si b). a) Prin calcul direct obtinem

λ =⟨Tx, x⟩⟨x, x⟩

=⟨x, Tx⟩⟨x, x⟩

=⟨Tx, x⟩⟨x, x⟩

= λ ⇒ λ ∈ R.

b) Fie λ1 = λ2 valori proprii ale lui T si v1, v2 ∈ V vectori proprii corespunzatori. Atunci avem

⟨Tv1, v2⟩ = ⟨λ1v1, v2⟩ = λ1⟨v1, v2⟩,

⟨Tv1, v2⟩ = ⟨v1, T v2⟩ = ⟨v1, λ2v2⟩ = λ2⟨v1, v2⟩ = λ2⟨v1, v2⟩.

Prin scadere rezulta (λ1−λ2)⟨v1, v2⟩ = 0, dar ıntrucat ⟨Av1, v2⟩ = ⟨v1, Av2⟩ = ⟨v1, λ2v2⟩ = λ2⟨v1, v2⟩ =λ2⟨v1, v2⟩, avem ⟨v1, v2⟩ = 0, deci cei doi vectori proprii sunt ortogonali. �Observatii. 1. Pentru un endomorfism antihermitic valorile proprii sunt pur imaginare sau nule, iarvectorii proprii corespunzatori au aceleasi proprietati ca si ın cazul hermitic.

2. Pe spatiile euclidiene reale, toate radacinile complexe ale polinomului caracteristic ale unui endo-morfism simetric sunt reale. Valorile proprii reale ale unui endomorfism antisimetric (ın caz ca acesteaexista) sunt nule. Daca Vn este un spatiu euclidian real n−dimensional, iar T ∈ End(V ) este simetric,atunci T poseda n vectori proprii care constituie o baza ortogonala a lui Vn . Aceasta proprietate nueste adevarata pentru un endomorfism antisimetric.

Consecinta. Fie Vn un K -spatiu vectorial n-dimensional, iar T ∈ End(Vn ) un endomorfism simetric(pentru cazul K =R), sau hermitic (pentru cazul K =C). Atunci exista o baza ortonormata B ′ ⊂Vn astfel ıncat matricea [T ]B′ a endomorfismului T relativ la baza B ′ este matrice diagonala (deciendomorfismul T este diagonalizabil).

Exercitiu. Aratati ca endomorfismul T ∈ End(C3) al spatiului vectorial euclidian complex C3 datprin matricea A este hermitic, apoi diagonalizati, unde

A =

3 −i 0i 3 00 0 4

∈M3(C).

Solutie. T este endomorfism hermitic, deoarece baza canonica

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} ⊂ C3


este ortonormata, iar matricea asociata endomorfismului relativ la aceasta baza A = [T ]B este matricehermitica (satisface relatia A = At). Determinam o baza B ′ ⊂ C3 fata de care matricea endomorfis-mului sa aiba forma diagonala. Valorile proprii sunt reale: λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4, iar vectorii propriicorespunzatori sunt v1 = (1, i, 0), v2 = (0, 0, 1) pentru λ = 4 si v3 = (i, 1, 0), pentru λ = 2, si suntortogonali doi cate doi. Normand vectorii proprii obtinem baza ortonormata

B ′ =

{u1 =

v1||v1||

=

(1√2,i√2, 0

), u2 =

v3||v3||

=

(i√2,1√2, 0

), u3 = v2

}.

Matricea de trecere de la baza canonica la baza B ′ si matricea diagonala asociata sunt deci

C =

1/√2 i/

√2 0

i/√2 1/

√2 0

0 0 1

, D = [A]B′ = C−1AC =

4 0 00 2 00 0 4

.

Teorema. Fie V un spatiu euclidian complex/real si T ∈ End(V ) un endomorfism unitar (pentruK =C), sau ortogonal (pentru K =R). Atunci:

a) Valorile proprii ale endomorfismului T au modulul 1.b) La valori proprii distincte ale lui T corespund vectori proprii ortogonali.c) Daca V este spatiu vectorial complex n-dimensional, atunci T poseda n vectori proprii ortogonalidoi cate doi.

Demonstratie. Demonstram proprietatile a) si b). 1) Fie T un morfism unitar, λ ∈ C o valoare propriea acestuia, si x ∈ V \{0} un vector propriu corespunzator lui λ. Rezulta relatiile

⟨Tx, Tx⟩ = ⟨λx, λx⟩ = λλ⟨x, x⟩,⟨Tx, Tx⟩ = ⟨x, x⟩,

unde λ este conjugatul complex al lui λ. Prin scadere rezulta (λλ− 1)⟨x, x⟩ = 0. Deoarece ⟨x, x⟩ = 0,rezulta λλ− 1 = 0 sau |λ|2 =1, adica |λ| =1.b) Fie valorile proprii λ1 = λ2 si x1, x2 vectori proprii asociati respectiv celor doua valori proprii.Atunci ⟨Tx1, Tx2⟩ = ⟨x1, x2⟩si ⟨Tx1, Tx2⟩ = ⟨λ1x1, λ2x2⟩ = λ1λ2⟨x1, x2⟩. Prin scaderea acestor relatii,rezulta

(λ1λ2 − 1)⟨x1, x2⟩ = 0.

Deoarece valorile proprii au modulul unu si sunt distincte, rezulta λ1λ2 − 1 = 0, deci⟨x1, x2⟩ = 0, sideci vectorii x1 si x2 sunt ortogonali. �Exercitiu. Sa se aplice teorema de mai sus endomorfismului T ∈ End(R3) dat prin matricea

A =

cos t 0 − sin t0 −1 0

sin t 0 cos t

, t ∈ R \∪k∈Z{(2k + 1)π}.

Solutie. Matricea A a endomorfismului relativ la baza canonica este matrice ortogonala (AtA = I),iar baza canonica este ortonormata relativ la produsul scalar canonic (tema, verificati!) ; deci endo-morfismul T este ortogonal. Verificam ca valorile proprii ale endommorfismului CT : CR3 → CR3 aumodulul egal cu unitatea si ca vectorii proprii (cu coeficienti complecsi) corespunzatori sunt ortogonali.Valorile proprii ale lui CT , adica solutiile ecuatiei det(A− λI) = 0, sunt

λ1 = −1, λ2 = cos t+ i sin t, λ3 = cos t− i sin t.

76 Polinoame de matrice. Functii de matrice

Se observa ca |λ1| = |λ2| = |λ3| = 1. Vectorii proprii corespunzatori sunt, dupa normare

v1 = (0, 1, 0), v2 =1√2(−i, 0, 1), v3 =

1√2(i, 0, 1) ∈ C3.

Se verifica usor relatiile de ortogonalitate ın C3

⟨v1, v2⟩ = 0, ⟨v2, v3⟩ = 0, ⟨v3, v1⟩ = 0,

deci B ′ = {v1, v2, v3} ⊂ C3 este o baza ortonormata (tema, verificati!) complexa, relativ la caretransformarea liniara CT ∈ End(CR3) este diagonalizabila, cu matricea diagonala asociata

D = [CT ]B′ =

−1 0 00 cos t+ i sin t 00 0 cos t− i sin t

.

Se mai observa ca desi T nu este diagonalizabila ca endomorfism al spatiului R3 (deoarece σ(T ) ⊂ R),putem atasa vectorilor v2 si v3 vectorii reali (care nu sunt vectori proprii pentru endomorfismul T ):

u2 = Re (v2) = Re (v3) =1√2(0, 0, 1); u3 = Im (v2) = − Im (v3) =

1√2(−1, 0, 0),

iar acestia verifica conditiile de ortogonalitate

⟨v1, u2⟩ = 0, ⟨v1, u3⟩ = 0, ⟨u2, u3⟩ = 0,

deci am obtinut baza ortogonala B ′′ = {v1, u2, u3} ⊂ R3 care nu este formata din vectori proprii,produsa de baza ortogonala B ′ = {v1, v2, v3} din C3.


Fie T ∈ End(Vn ) un endomorfism al K -spatiului vectorial n-dimensional Vn si A = (aij)i,j=1,n ∈Mn×n(K ) matricea acestuia relativ la o baza a lui Vn .

Definitie. Oricarui polinom cu coeficienti din corpul K ,

Q(t) = amtm + am−1t

m−1 + · · ·+ a1t+ a0 ∈ K [t],

ıi putem asocia polinomul de endomorfisme

Q(T ) = amTm + am−1T

m−1 + · · ·+ a1T + a0 Id ∈ End(Vn ),

si polinomul de matrice

Q(A) = amAm + am−1A

m−1 + · · ·+ a1A+ a0 I ∈Mn×n(K ),

unde Id ∈ End(Vn ) este endomorfismul identic, iar I ∈Mn×n(K ) este matricea identitate de ordinuln.

Observatie. Studiul polinoamelor de endomorfisme se reduce la studiul polinoamelor de matrice;puterile de matrice se pot calcula relativ usor, facand uz de forma canonica a matricelor respective,dupa cum urmeaza:

⋄ daca matricea A este similara cu o matrice diagonala D, atunci

A = CDC−1, A2 = CD2C−1, . . . , Am = CDmC−1;


⋄ daca matricea A este similara cu o matrice Jordan J , atunci

A = CJC−1, A2 = CJ2C−1, . . . , Am = CJmC−1.

Teorema Cayley-Hamilton. Fie A ∈Mn×n(K ) o matrice si PA polinomul caracteristic al matriceiA. Atunci are loc relatia P (A) = On, unde On este matricea nula de ordinul n.

Demonstratie. Pentru o matrice arbitrara C ∈Mn×n(K ), are loc relatia

C · C+ = (detC)I, (1)

unde C+ este reciproca matricei C. Fie A ∈ Mn×n(K ) si P (λ) = det(A − λI) polinomul sau carac-teristic. Considerand C = A− λI, unde I este matricea unitate de ordinul n, egalitatea (1) devine

(A− λI)(A− λI)+ = P (λ)I. (2)

Prin constructie (A− λI)+ este o matrice de polinoame de grad n− 1, deci are forma

(A− λI)+ = B n−1λn−1 +B n−2λ

n−2 + · · ·+B 0,

unde B i ∈Mn×n(K ), i = 0, n− 1. Fie polinomul caracteristic al matricei A:

P (λ) = anλn + an−1λ

n−1 + · · ·+ a0, ak ∈ K ,∀k ∈ 0, n;

atunci egalitatea (2) se rescrie

(A− λI)(B n−1λn−1 +B n−2λ

n−2 + · · ·+B 1λ+B 0) = (anλn + an−1λ

n−1 + · · ·+ a0)I,

sau, grupand dupa puterile lui λ,

(−B n−1)λn +(ABn−1 −B n−2)λ

n−1 + · · ·+ (AB1 −B 0)λ+AB0 =

= (anI)λn + · · ·+ (a1I)λ+ a0I

Prin identificare obtinem relatiile

−B n−1 = a0I, ABn−1 −B n−2 = an−1I, . . . , AB1 −B 0 = a1I, AB0 = a0I.

Amplificand aceste relatii la stanga respectiv cu An, An−1, . . . , A, I si apoi adunandu-le membru cumembru, obtinem

P (A) = a0An + a1A

n−1 + · · ·+ an−1A+ anI == −AnB n−1 +AnB n−1 −An−1B n−2 +An−1B n−2 − · · ·+AB0 +AB0 = 0.

�

Consecinta. Daca T ∈ End(Vn ) este un endomorfism, iar P (λ) este polinomul sau caracteristic,atunci are loc egalitatea de polinoame de endomorfisme P (T ) = O.

Exercitii. 1. Calculati polinomul de matrice Q(A), unde

Q(t) = t3 − 6t2 + 9t− 4, A =

2 1 11 2 11 1 2

∈M3×3(R).


Solutie. Polinomul caracteristic al matricei A este PA(λ) = det(A − λI) = (λ − 1)2(λ − 4) = −(λ3 −6λ2 + 9λ− 4) si deci, ın baza teoremei Cayley-Hamilton avem PA(A) = O; facand uz de aceasta, princalcul direct rezulta Q(A) = −PA(A) = O.

2. Se da matricea A =

2 1 00 2 10 0 2

. Calculati matricea inversa A−1 folosind teorema Cayley-

Hamilton.

Solutie. Polinomul caracteristic al matricei este PA(λ) = (2 − λ)3. Se observa ca termenul liber alpolinomului (care este egal cu determinantul matricei) este 8, deci nenul, si prin urmare matricea Aeste inversabila. Aplicand teorema Cayley-Hamilton, avem PA(A) = 0, adica

(A− 2I)3 = 0⇔ A3 − 6A2 + 12A− 8I = 0,

sau ınca,A · (A2 − 6A+ 12I)/8 ≡ (A2 − 6A+ 12I)/8 ·A = I

de unde, prin amplificare cu A−1, rezulta

A−1 = (A2 − 6A+ 12I)/8 =

1/2 −1/4 1/80 1/2 −1/40 0 1/2

.

Teorema. Fie A ∈ Mn×n(K ) o matrice de ordin n. Atunci orice polinom ın A de grad cel putin n,poate fi exprimat printr-un polinom de gradul n− 1.

Demonstratie. Polinomul caracteristic atasat matricei A este

P (λ) = (−1)n(λn − δ1λn−1 + · · ·+ (−1)nδn);

aplicand teorema Cayley-Hamilton, rezulta ca puterea maxima An a matricei Aın P (A) are expresia

An = δ1An−1 − · · ·+ (−1)n+1 δnI.

�Observatii. 1. Se observa ca prin recurenta toate puterile An+p, p ∈ N ale matricei A de ordin n seexprima cu ajutorul puterilor An−1, . . . , A, I.

2. FieV un K -spatiu vectorial si o serie de puteri f(t) =∑mamt

m, am ∈ K . Aceasta serie are sens

pentru t ∈ V (spre exemplu numere reale, numere complexe, matrice patratice, functii, polinoame,endomorfisme etc.) daca putem defini puterea tm. In cele ce urmeaza vom presupune cunoscuterezultatele din analiza matematica privind convergenta seriilor de puteri.

Definitii. Fie T ∈ End(Vn ) un endomorfism arbitrar si A matricea patratica de ordinul n asociatalui T relativ la o baza din Vn .

a) Se numeste serie de matrice, iar suma acesteia se numeste functie de matrice, o serie de forma

∞∑m=0

amAm, unde am ∈ K ,∀m ∈ N.

b) Se numeste serie de endomorfism, iar suma acesteia se numeste functie de endomorfism, o seriede forma

∞∑m=0

amTm, unde am ∈ K , ∀m ∈ N.


Observatii. 1. Pe spatiile finit dimensionale, studiul seriilor de endomorfisme se reduce la studiulseriilor de matrice.

2. Conform consecintei teoremei Cayley-Hamilton, functia de matrice f(A) =∑m∈N

amAm se reduce

la un polinom Q(A) de gradul n − 1 ın A, unde n este ordinul matricei A. Daca∑m∈N

amAm este

convergenta, atunci coeficientii polinomului Q(A) sunt serii convergente.

3. In cazul cand A admite valorile proprii distincte, λ1, . . . , λn, polinomul de gradul n−1 atasat seriei∑m∈N

amAm se poate scrie ın forma Lagrange

f(A) =

n∑j=1

(A− λ1I) . . . (A− λj−1I)(A− λj+1I) . . . (A− λnI)(λj − λ1) . . . (λj − λj−1)(λj − λj+1) . . . (λj − λn)

f(λj),

sau sub forma

f(A) =

n∑j=1

Zjf(λj), (3)

unde Zj ∈ Mn×n(K ) nu depind de functia f si deci pot fi determinate prin particularizarea functieif . In cazul valorilor proprii multiple se arata ca

f(A) =

p∑k=1

mk−1∑j=0

Zkjf(j)(λk),

unde f (j)(.) sunt valorile derivatei de ordinul j a lui f , iar Zkj ∈Mn×n(K ) sunt matrice independentede functia f .

4. In particular putem defini urmatoarele functii de matrice

eA =

∞∑m=0

Am

m!, sinA =

∞∑m=0

(−1)m A2m+1

(2m+ 1)!, cosA =

∞∑m=0

(−1)m A2m

(2m)!,

seriile din membrul drept avand raza de convergenta ∞. Functia de matrice eA se numeste matriceaexponentiala. Deseori, ın loc de eA vom utiliza functia de matrice eAt, t ∈ R (de exemplu, ın teoriasistemelor diferentiale liniare cu coeficienti constanti).

Exercitiu. Calculati functia de matrice eAt, unde A =

2 2 30 3 −10 0 4

.

Solutie. Valorile proprii distincte ale matricei A sunt

λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 4 ∈ R.

Prin ınlocuire ın relatia (3) obtinem

f(A) = f(2)Z1 + f(3)Z2 + f(4)Z3. (4)

Se stie ca matricele Zj , j = 1, 2, 3 nu depind de f ; le aflam particularizand functia f succesiv:

f(z) = z − 1 ⇒ f(A) ≡ A− I = 1 · Z1 + 2 · Z2 + 3 · Z3

f(z) = z + 1 ⇒ f(A) ≡ A+ I = 3Z1 + 4Z2 + 5Z3

f(z) = z2 ⇒ f(A) ≡ A2 = 4Z1 + 9Z2 + 16Z3

80 Probleme propuse

de unde obtinem sistemul matricealZ1 + 2Z2 + 3Z3 = A− I

3Z1 + 4Z2 + 5Z3 = A+ I4Z1 + 9Z2 + 16Z3 = A2,

care admite solutia

Z1 =1

2(A2 − 7A+ 12I), Z2 = −A2 + 6A− 8I, Z3 =

1

2(A2 − 5A+ 6I).

Pentru f(A) = eAt, prin ınlocuirea functiei f si a solutiei Z1, Z2, Z3 ın relatia (4), obtinem

eAt =1

2[(A2 − 7A+ 12I)e2t + 2(−A2 + 6A− 8I)e3t + (A2 − 5A+ 6I)e4t].

7 Probleme propuse

1. Fie V spatiul vectorial al functiilor reale de clasa C∞ pe intervalul deschis (0, 1). Aflati valorileproprii si vectorii proprii ai endomorfismului

T : V → V , T (f) = g, unde g(x) = xf ′(x), ∀x ∈ (0, 1).

R: σ(T ) = R; ∀λ ∈ σ(T ), Sλ ={f ∈ V | f(x) = cxλ, ∀x ∈ (0, 1), c ∈ R

}.

2. Diagonalizati matricea A. Formulari echivalente:

⋄ sa se determine o baza formata din vectori proprii ai transformarii liniare T a carei matrice asociatarelativ la baza canonica este A, T ∈ End(R3), [T ]B = A;

⋄ sa se determine o baza ın care transformarea T are matricea asociata diagonala;

⋄ sa se afle valorile proprii si vectorii proprii ai transformarii liniare T ai matricei A.

a) A =

7 4 −14 7 −1−4 −4 4

, b) A =

4 6 0−3 −5 0−3 −6 1

, c) A =

3 2 02 0 00 0 −1

,

d) A =

1 −1 23 −3 62 −2 4

, e) A =

1 2 00 2 0−2 −2 −1

, f) A =

−3 −7 −52 4 31 2 2

R: a) σ(A)={3, 3, 12}, b) σ (A)={1, 1,-2}, c) σ (A)={-1,-1, 4}, d) σ (A)={2, 0, 0}, e) σ (A)={-1,1, 2}. Vectorii proprii-tema a, c, d, f. b) B ′ = {v1 = (−2, 1, 0)t, v2 = (0, 0, 1)t, v3 = (−1, 1, 1)t},

C = [B ′]B =

−2 0 −11 0 10 1 1

, D = [T ]B′ =

1 0 00 1 00 0 −2

. e) B ′ = {v1 = (0, 0, 1)t, v2 =

(1, 0,−1)t, v3 = (2, 1,−2)t}, C =

0 1 20 0 11 −1 −2

, D =

−1 0 00 1 00 0 2

.

3. Sa se determine polinomul caracteristic al matricei Frobenius A =

p1 p2 . . . pn−1 pn1 0 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 0 00 0 . . . 1 0

,

unde p1, . . . pn ∈ R.


R: PA(λ) = (−λ)n + (−1)n−1(p1λn−1 + p2λ

n−2 + · · ·+ pn−2λ2 + pn−1λ+ pn).

4. Fie V = C0[0, 1] spatiul vectorial al functiilor reale continue pe intervalul [0, 1]. Aflati valorileproprii si vectorii proprii pentru endomorfismul T : V → V ,

T (f) = g, unde g(x) = x

∫ 1

0f(t)dt, ∀x ∈ [0, 1].

R: σ(T ) ={0, 12}; Sλ=0 =

{f ∈ V

∣∣∣ ∫ 10 f(t)dt = 0

}, Sλ= 1

2= {f ∈ V | f(x) = cx, c ∈ R}.

5. Sa se studieze daca matricea A =

2 0 0 10 2 0 00 0 2 −21 0 −2 6

poate fi diagonalizata. In caz afirmativ

aflati matricea modala (diagonalizatoare) C.

R: Da. σ(A) = {λ1,2 = 2, λ3 = 1, λ4 = 7} ⊂ R, D =

2 0 0 00 2 0 00 0 1 00 0 0 7

, C =

2 0 −1 10 1 0 01 0 2 −20 0 1 5

.

6. Date fiind matricele A,B ∈Mn×n(R) care satisfac relatia B = A− bIn pentru un scalar b ∈ R, sase arate ca polinoamele caracteristice ale acestora satisfac relatia

PB(λ) = PA(λ+ b).

7. Data fiind matricea inversabila A ∈ Mn×n(R), sa se arate ca ıntre polinomul caracteristic almatricei A si cel al matricei inverse A−1 exista relatia

PA−1(λ) = (−λ)n · 1

detAPA

(1

λ

).

8. Aratati ca daca v este vector propriu al matricei A asociat valorii proprii λ iar C este o ma-trice nesingulara, atunci vectorul C−1v este vector propriu pentru matricea similara C−1AC, asociataceleiasi valori proprii.

9. Se da matricea A = [T ]B a transformarii T ∈ End(R3) relativ la baza canonica B . Sa se determineforma canonica Jordan a matricei A ın fiecare din cazurile urmatoare. Formulari echivalente:

⋄ sa se determine forma canonica Jordan a transformarii liniare T a carei matrice relativ la bazacanonica este A;

⋄ sa se determine o baza formata din vectori proprii si eventual principali ai endomorfismului T ,relativ la care matricea asociata lui T are forma canonica Jordan.

a) A =

1 3 3−1 9 62 −14 −9

, b) A =

0 1 0−4 4 00 0 2

, c) A =

2 −1 25 −3 3−1 0 −2

,

d) A =

5 1 −1 −11 5 −1 −11 1 3 −11 1 −1 3

, e) A =

−4 −7 −52 3 31 2 1

.

82 Probleme propuse

R: Tema: c), d), e). a) σ(A) = {0, 0, 1}, C = [v1, p, v2] =

9 3 29 0 1−12 2 −1

, J =

0 1 00 0 00 0 1

; b)

σ(A) = {2, 2, 2}, C = [v1, p, v2] =

1 0 02 1 00 0 1

; J =

2 1 00 2 00 0 2

.

10. Aflati o baza ortonormata ın R3 fata de care matricea endomorfismului T sa fie diagonala, undeT ∈ End(R3). Justificati de ce este posibil acest lucru.

a) T (x) = (−x1 + 2x2 − 4x3, 2x1 − 4x2 − 2x3, −4x1 − 2x2 − x3), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

b) [T ] = A =

3 2 02 0 00 0 −1

.

R: a) A = [T ] =

−1 2 −42 −4 −2−4 −2 −1

, D =

−5 0 00 −5 00 0 4

, C =

1/√5 4/3

√5 2/3

−2/√5 2/3

√5 1/3

0 5/3√5 −2/3

;

deoarece A este matrice simetrica, transformarea T este diagonalizabila; vectorii bazei ortonormatecautate sunt coloanele matricei modale C.b) A este matrice simetrica, deci diagonalizabila; se obtine:

σ(A) = {−1,−1, 4}, B ′ =

{(1√5,−2√5, 0

), (0, 0, 1),

(2√5,1√5, 0

)}.

11. Sa se verifice urmatoarele afirmatii:

a) Matricea A =

3 −i 0i 3 00 0 4

este hermitica (A = At). Transformarea liniara asociata T ∈

End(C3) este diagonalizabila; determinati o baza ortonormata ın C3 formata din vectori proprii aitransformarii T .

b) Matricea A =

0 −1 01 0 00 0 −1

este unitara (AtA = I ⇔ A−1 = At), iar transformarea liniara

asociata T ∈ End(C3) este unitara si orice valoare proprie a sa are modulul egal cu unu.

12. a) Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii si apoi sa se diagonalizeze matricea ortogonala

A =

− cos θ 0 sin θ0 1 0

sin θ 0 cos θ

∈M3×3(C);

b) matricea simetrica A =

0 0 −10 0 −2−1 −2 0

∈M3×3(R).

R: a) Matricea transformarii este diagonala, D =

1 0 00 1 00 0 −1

, relativ la baza diagonalizatoare

B ′ = {v1 = (sin θ, 0, cos θ + 1), v2 = (0, 1, 0), v3 = (sin θ, 0, cos θ − 1)}; b) B ′ = {v1 = (−2, 1, 0), v2 =

(−1,−2,√5), v3 = (−1,−2,−

√5)}, D =

0 0 0

0√5 0

0 0 −√5

.

13. Fie V un spatiu euclidian complex si T : V → V un endomorfism hermitic. Sa se arate caeiT , i2 = −1, reprezinta un endomorfism unitar.


R: Notand A = [T ], B = [eiT ]si folosind relatiile B = eiA, A = At, rezulta

BtB = (e−iA)teiA = e−iAteiA = e−iAt+iA = ei(A−At) = eO = I.

14. Se dau urmatoarele matrice diagonalizabile

a) A =

4 6 0−3 −5 0−3 −6 1

, b) A =

1 -1 23 -3 62 -2 4

, c) A =

1 0 −20 0 0−2 0 4

.

Sa se calculeze A1999 si eA, folosind relatia existenta ıntre matricea A si forma sa canonica diagonalaD, D = C−1AC, unde C este matricea de trecere de la baza canonica la noua baza, relativ la care serealizeaza forma diagonala.

R: Tema b, c. a) C =

−2 0 11 0 −10 1 −1

, D =

1 0 00 1 00 0 -2

, A = CDC−1, de unde rezulta

A1999 = CD1999C−1 = C

1 0 00 1 00 0 −21999

C−1; eA = C

e1 0 00 e1 00 0 e−2

C−1.

15. Folosind teorema Cayley–Hamilton pentru matricele urmatoare

a) A =

(1 −20 2

); b) A =

1 2 −1−2 1 00 1 1

, sa se determine:

⋄ polinomul de matrice Q(A), unde Q(t) = t4 − t2 + 2;

⋄ daca matricea A este inversabila; ın caz afirmativ sa se calculeze inversa acesteia.

R: Tema b). a) Polinomul caracteristic al matricei a este

PA(λ) = λ2 − 3λ+ 2⇒ A2 − 3A+ 2I2 = 0 ⇒ Q(A) = 12A− 10I2 =

(2 −240 14

).

Cum PA are termenul liber nenul, A este inversabila; din relatia data de teorema, rezulta

A

(−1

2A+

3

2I2

)= I2 ⇒ A−1 = −1

2A+

3

2I2 =

(1 10 1/2

).

16. Folosind teorema Cayley–Hamilton aflati A−1 si An pentru matricele

a) A =

(−1 01 −1

); b) A =

3 0 00 2 00 1 2

.

R: a) A−1 = −A− 2I2 =

(−1 0−1 −1

); An = xnA+ ynI2 conduce la

{xn+1 = −2xn + ynyn+1 = −xn

, de unde

xn+1 = −2xn − xn−1 ⇒ xn+1 + 2xn + xn−1 = 0⇒ xn = (−1)na+ (−1)nnb.{x1 = 1, y1 = 0x2 = −2, y2 = −1

⇒{a = 0b = −1 ⇒

{xn = (−1)n+1

yn = −xn−1 = −(−1)n(n− 1)⇒ An = (−1)n+1nA + (−1)n(1 − n)I2 si deci An =(

(−1)n 0n(−1)n−1 (−1)n

). b) A−1 = 1

12(A2 − 7A+ 16I3), A

n =

3n 0 00 2n 00 n2n−1 2n

, n ≥ 0.

84 Forme biliniare. Forme patratice

Capitolul 4. Forme biliniare si patratice


Definitii. Fie V un K -spatiu vectorial, unde K ∈ {R,C}.a) Se numeste forma liniara, o functie liniara ω : V → K .b) Se numeste forma biliniara sau tensor covariant de ordinul doi pe spatiul vectorial V o functieA : V × V → K liniara ın fiecare variabila, adica satisfacand urmatoarele proprietati

A(kx+ ly, z) = kA(x, z) + lA(y, z),

A(x, ky + lz) = kA(x, y) + lA(x, z), ∀x, y, z ∈ V , ∀k, l ∈ K .

Notam prin B(V ,K ) multimea tuturor formelor biliniare definite pe V . Adunarea formelor biliniaresi ınmultirea acestora cu scalari pot fi definite ca ın cazul functiilor, determinand pe B(V ,K ) ostructura de spatiu vectorial peste corpul K .

Exemplu. Produsul scalar definit pe un spatiu vectorial real este o forma biliniara. Spre deosebirede acesta, produsul scalar definit pe un spatiu vectorial complex, nu este o forma biliniara deoarece,ın general putem determina x, y, z ∈ V , k, l ∈ C, astfel ıncat sa avem

⟨x, ky + lz⟩ = ⟨x, ky⟩+ ⟨x, lz⟩ = k⟨x, y⟩+ l⟨x, z⟩ = k⟨x, y⟩+ l⟨x, z⟩.

Definitii. a) Forma biliniara A se numeste simetrica daca

A(x, y) = A(y, x), ∀x, y ∈ V .

b) Forma biliniara A se numeste antisimetrica daca

A(x, y) = −A(y, x), ∀x, y ∈ V .

Fie Vn un spatiu vectorial n-dimensional peste corpul K ; fie B = {e1, . . . , en} o baza ın acestspatiu si A ∈ B(V ,K ) o forma biliniara pe Vn . Expresia formei biliniare calculata pe vectorii

x =n∑

i=1xiei , y =

n∑j=1

yjej ∈ Vn este

A(x, y) = A

n∑i=1

xiei,

n∑j=1

yjej

=

n∑i=1

n∑j=1

xiyjA(ei, ej), (1)

deci forma biliniara A pe Vn este unic determinata daca se cunosc cele n2 valori ale ei A(ei, ej), i, j =1, n pe vectorii bazei B = {e1, . . . , en}. Relatia (1) se poate rescrie, notand aij = A(ei, ej), i, j = 1, n,

A(x, y) =n∑

i=1

n∑j=1

aijxiyj . (2)

Expresia din membrul drept se numeste expresia analitica a formei biliniare fata de baza considerataB .

Forme biliniare si patratice 85

Matricea A = (aij)i,j=1,n ∈ Mn×n(K ) de elemente aij = A(ei, ej) se numeste matricea formeibiliniare A ın raport cu baza B . Notam A = [A]B . Daca introducem matricele coloana X =(x1, . . . , xn)

t ∈ Mn×1(K ), Y = (y1, . . . , yn)t ∈ Mn×1(K ), formate din coeficientii vectorilor x si y,

atunci expresia analitica (2) a formei biliniare poate fi scrisa sub forma matriceala

A(x, y) = XtAY. (3)

Observatie. Aplicatia care asociaza fiecarei forme biliniare A : Vn × Vn → K matricea ei ın raportcu o baza data a spatiului Vn este un izomorfism ıntre spatiul vectorial B(Vn ,K ) si spatiul vectorialMn×n(K ). Drept urmare

dimB(Vn ,K ) = dimMn×n(K ) = n2.

Teorema. O forma biliniara A ∈ B(Vn ,K ) este simetrica/antisimetrica daca si numai daca matriceaformei ıntr-o baza arbitrara fixata a spatiului Vn este simetrica/antisimetrica.

Demonstratie. Admitem ca A este o forma simetrica; daca A = (aij)i,j=1,n este matricea formei ıntr-obaza B = {e1, . . . , en} ⊂ Vn , avem

aij = A(ei, ej) = A(ej , ei) = aji

deci A = At. Reciproc, admitem ca exista o baza B = {e1, . . . , en} ⊂ Vn a spatiului astfel ıncatmatricea A = (aij)i,j=1,...,n este simetrica. Atunci ∀x, y ∈ V avem

A(y, x) = (Y tAX)t = XtAtY = XtAY = A(x, y). �

Teorema. Daca C = [B ′]B = (cij)i,j=1,n ∈ Mn×n(K ) este matricea de trecere de la baza B ={e1, . . . , en} ⊂ Vn la baza B′ = {e′1, . . . , e′n} din Vn , iar

A = [A]B = (aij)i,j=1,n, A′ = [A]B′ = (a′ij)i,j=1,n

sunt respectiv matricele unei forme biliniare A ∈ B(Vn ,K ) fata de cele doua baze, atunci are locrelatia

A′ = CtAC.

Demonstratie. Fie x =n∑

i=1x′ie

′i y =

n∑j=1

y′je′j , x, y ∈ Vn descompunerile a doi vectori arbitrari relativ

la baza B ′ = {e′1, . . . , e′n}. Notand X ′ = (x′1, . . . , x′n)

t, Y ′ = (y1, . . . , yn)t si A′ = (a′ij)i,j=1,n, unde

a′ij = A(e′i, e′j), i, j = 1, n este matricea formei biliniare A fata de baza B ′, atunci A(x, y) = X ′tA′Y ′.Pe de alta parte, matricele coloana X,Y si X ′, Y ′ ale lui x si y relativ la cele doua baze satisfac relatiileX = CX ′, Y = CY ′, deci avem A(x, y) = XtAY = (CX ′)A(CY ′)t = X ′t(CtAC)Y ′. Rezulta

X ′tA′Y ′ = X ′t(CtAC)Y ′, ∀X ′, Y ′ ∈Mn×1(R) ≡ Rn,

de unde, prin identificare obtinem A′ = CtAC. �

Definitii. Fie A ∈ B(Vn ,K ) si A = [A]B matricea formei biliniare A relativ la o baza B⊂ Vn .a) Daca A este nesingulara/singulara, atunci forma biliniara A se numeste nedegenerata / degenerata.Rangul matricei A se numeste rangul formei biliniare A.b) Fie A ∈ B(V ,K ) o forma biliniara simetrica. Multimea

KerA = {x ∈ V | A(x, y) = 0, ∀y ∈ V }


se numeste nucleul formei biliniare A.Observatie. KerA este un subspatiu vectorial al lui V . Intr-adevar, pentru u, v ∈ KerA avemA(u,w) = 0, A(v, w) = 0, ∀w ∈ V . Pentru k, l ∈ K , rezulta kA(u,w) + lA(v, w) = 0 ⇔ A(ku +lv, w) = 0⇒ ku+ lv ∈ KerA.

Teorema (teorema rangului). Fie A ∈ B(Vn ,K ) o forma biliniara. Atunci are loc relatia

rangA = n− dim(KerA).

Definitie. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si A ∈ B (V ,K ) o forma biliniara simetrica.Functia A determina unic functia Q : V → K ,

Q(x) = A(x, x), ∀x ∈ V ,

care se numeste forma patratica (asociata formei biliniare A).

Observatie. Cunoasterea formei patratice Q permite recuperarea formei biliniare simetrice A. Intr-adevar, relatiile

Q(x+ y) = A(x+ y, x+ y) = A(x, x) +A(x, y) +A(y, x) +A(y, y) =

= A(x, x) + 2A(x, y) +A(y, y), ∀x, y ∈ V

si proprietatea de simetrie A(x, y) = A(y, x), ∀x, y ∈ V implica

A(x, y) = 1

2(Q(x+ y)−Q(x)−Q(y)), ∀x, y ∈ V .

Forma biliniara simetrica A asociata formei patratice Q se numeste forma polara sau forma dedublataa formei patratice Q.

Exemplu. Forma patratica corespunzatoare produsului scalar real (care este o forma biliniara simet-rica) este patratul normei euclidiene:

Q(x) = ⟨x, x⟩ = ||x||2, ∀x ∈ V .

Fie Vn un spatiu vectorial n-dimensional. B = {e1, e2, . . . , en} este o baza ın Vn , atunci pentru orice

vector x =n∑

i=1xiei ∈ Vn , forma patratica Q are expresia analitica

Q(x) = A(x, x) =n∑

i=1

n∑j=1

aijxixj = XtAX,

unde aij = A(ei, ej), i, j = 1, n, X = (x1, x2, . . . , xn)t. Deducem ca matricea si rangul formei patratice

Q coincid respectiv cu cele ale formei biliniare simetrice A asociate lui Q. Putem deci scrie

[Q]B = [A]B = A; rangQ = rangA = rangA.

Definitii. Fie A ∈ B(V ,K ) o forma biliniara simetrica si Q forma patratica asociata.

a) Vectorii x, y ∈ V se numesc ortogonali ın raport cu A (sau ın raport cu forma patratica Q) dacaA(x, y) = 0.b) Fie U ⊂ V un subspatiu vectorial al lui V . Multimea

U ⊥ = {y ∈ V |A(x, y) = 0, ∀x ∈ U }

se numeste complementul ortogonal al lui U ın V fata de A.


Teorema. Fie A ∈ B(V ,K ) o forma biliniara simetrica. Atunci:

a) U ⊥ este subspatiu vectorial al lui V ;b) daca {u1, u2, . . . , up} este o baza ın U , atunci y ∈ U ⊥ daca si numai daca

A(u1, y) = A(u2, y) = · · · = A(up, y) = 0;

c)) daca dimV = n, avem inegalitatea

dimU + dimU ⊥ ≥ dimV .

Aceasta devine egalitate d.n.d. forma biliniara A este nedegenerata.d) pentru orice subspatiu U al spatiului vectorial V , daca A|U este restrictia formei biliniare A la Usi V este finit-dimensional, atunci are loc descompunerea ın suma directa V =U ⊕U ⊥ daca si numaidaca A|U este nedegenerata.

Demonstratie. Demonstram proprietatile a), b) si d). a) Fie y1, y2 ∈ U ⊥ , adica acesti vectori satisfacrelatiile A(x1, y1) = 0, A(x2, y2) = 0. Pentru k, l ∈ R avem kA(x, y1) + lA(x, y2) = 0 sau A(x, ky1 +ly2) = 0. Deci ky1 + ly2 ∈ U ⊥ .b) Fie y ∈ U ⊥ ; atunci A(x, y) = 0, ∀x ∈ U ; ın particular A(ui, y) = 0, i = 1, p deoarece

ui ∈ U , i = 1, p . Reciproc, din cele p relatii si faptul ca x =p∑

i=1xiui ∈ U , folosind biliniaritatea

formei A rezulta A(x, y) =p∑

i=1xiA(ui, y) = 0, adica y ∈ U ⊥. d) Fie restrictia A|U este nedegenerata,

deci singurul vector din U ortogonal pe toti vectorii din U este vectorul nul, deci U ∩U ⊥ = {0}.Cum A este nedegenerata, avem dimU + dimU ⊥ = dimV ; deci U ⊕U ⊥ = V . Reciproc, dacaU ⊕ U ⊥ = V , rezulta U ∩ U ⊥ = {0} asa ıncat A|U este nedegenerata. �Exercitiu. Aratati ca forma patratica

Q(x) = x21 − 4x22 + x23

este nedegenerata pe spatiul V = R3, dar restrictia acesteia la subspatiul

U = {x ∈ R3 | x1 − 2x2 = 0} ⊂ R3

este degenerata avand rangul egal cu unitatea. Aflati complementul ortogonal U ⊥ relativ la Q alsubspatiului vectorial U .

Solutie. Efectuam schimbarea de coordonate sugerata de ecuatia subspatiului U ,

y1 = x1 − 2x2, y2 = x2, y3 = x3.

In noile coordonate, forma patratica devine Q(y) = y21 +4y1y2+ y23, iar subspatiul U este descris prinU = {y ∈ R3 | y1 = 0} . Se observa ca restrictia formei patratice la acest subspatiu, Q|U (y) = y23 arerangul unu.

Pentru a obtine complementul ortogonal U ⊥, consideram o baza ın U formata din vectorii u1 =(0, 0, 1), u2 = (2, 1, 0) si impunem conditiile

A(u1, y) = 0, A(u2, y) = 0,

care determina forma vectorilor y din subspatiul U ⊥, unde forma polara A asociata lui Q, obtinutaprin dedublare are expresia

A(x, y) = x1y1 − 4x2y2 + x3y3, ∀x, y ∈ R3.

88 Expresia canonica a unei forme patratice

Rezulta y3 = 0, 2y1 − y2 = 0 cu solutia generala y1 = a, y2 = 2a, y3 = 0, a ∈ R, deci

U ⊥ = {(a, 2a, 0)| a ∈ R} = Span({(1, 2, 0)}) ⊂ R3.

Definitie. Un vector x ∈ V se numeste izotrop ın raport cu o forma biliniara simetrica A ∈ B(V ,K )(sau ın raport cu forma patratica asociata Q) daca Q(x) = A(x, x) = 0. Observam ca vectorul nul 0al spatiului este totdeauna izotrop.

Exemplu. Se da forma biliniara

A ∈ B(C3,C), A(x, y) = x1y1 + x3y3, ∀x, y ∈ C3.

Forma patratica asociata este Q(x) = x21 + x23. Din Q(x) = 0 rezulta x3 = ±ix1, deci vectorii izotropiai formei sunt (x1, x2, ix1) si (x1, x2,−ix1) cu x1, x2 ∈ C.

Definitie. Fie A ∈ B(Vn ,K ) o forma biliniara simetrica. Se numeste baza ortogonala ın raport cuforma biliniara A (sau ın raport cu forma patratica asociata Q), o baza B = {e1, e2, . . . , en} ⊂ Vn cuproprietatea

A(ei, ej) = 0, ∀i = j, i, j = 1, n,

adica vectorii acesteia sunt ortogonali doi cate doi relativ la forma A.

Observatie. In raport cu o baza ortogonala matricea formei este diagonala (tema, verificati!) ,

A = [A]B =

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . . 0

0 0 . . . ann

.

Atunci, notand aii = ai, i = 1, n, expresiile analitice ale formei biliniare A si ale formei patraticeasociate Q devin expresii canonice, fiind de forma

A(x, y) =n∑

i=1

aixiyi, Q(x) =

n∑i=1

aix2i .


Fie Vn un K -spatiu vectorial, K ∈ {R,C} si fie o forma patratica pe Vn exprimata prin matriceasimetrica A = [Q]B relativ la o baza fixata B = {e1, . . . , en} a spatiului Vn , si avand expresia analitica

Q(v) = XtAX, ∀v = x1e1 + · · ·+ xnen ∈ Vn , X = (x1, . . . , xn)t.

O schimbare a bazei B 7→ B ′ ın Vn induce schimbarea de coordonate

X 7→ X ′, X = CX ′,

unde C = [B ′]B este matricea de schimbare de baza. Deci relativ la noile coordonate expresia analiticaa formei patratice Q este Q(v) = X ′tA′X ′, iar matricea asociata

A′ = [Q]B′ = CtAC,

este tot o matrice simetrica (!). Prin urmare matricea unei forme patratice relativ la o baza poate fiın particular matrice diagonala, dar nu poate fi niciodata matrice Jordan cu celule de ordin mai maredecat 1.


In cele ce urmeaza, vom prezenta trei metode de obtinere a unei baze B ′ relativ la care matriceaA′ a formei patratice Q este diagonala, deci relativ la care forma patratica Q are o expresie canonica.

Teorema (metoda Gauss). Daca Q : Vn → K este o forma patratica, atunci exista o baza ın Vncare este ortogonala ın raport cu Q (deci relativ la care Q are o expresie canonica).

Demonstratie. Inductie dupa dimensiunea n a spatiului vectorial. Fie B = {e1, . . . , en} o baza aspatiului Vn si expresia analitica asociata formei Q relativ la aceasta baza,

Q(v) =n∑

i=1

n∑j=1

aijxixj , ∀v = x1e1 + · · ·+ xnen ∈ Vn

Daca aii = 0, i = 1, n iar Q nu este identic nula, atunci exista cel putin un element aij = 0 cu i = j;atunci, prin transformarea de coordonate

xi = x′i + x′jxj = x′i − x′jxk = x′k, k ∈ 1, n\{i, j}

expresia formei patratice devine Q(v) =n∑

i,j=1a′ijx

′ix

′j , ın care cel putin unul din elementele diagonale

a′ii, i = 1, n este nenul, caci xixj = x′i2 − x′j2.

Notam cu F1 = {f ′1, . . . , f ′n} baza luiVn fata de care coordonatele lui x sunt x′i, i = 1, . . . , n.Admitand ca i < j, matricea de trecere de la baza B la F1 este

C1 =

1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 00 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0...

.... . .

... · · ·... · · ·

...0 0 · · · 1 · · · 1 · · · 0...

... · · ·...

. . .... · · ·

...0 0 · · · 1 · · · −1 · · · 0...

... · · ·... · · ·

.... . .

...0 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1

i←−

j←−

↑ ↑i j

Fara a micsora generalitatea, putem admite ca a′11 = 0; atunci putem scrie

Q(v) = a′11x′12 + 2

∑k=2

a′1kx′1x

′k +

n∑i,j =1

a′ijx′ix

′j .

Adaugam si scadem termenii necesari pentru a obtine patratul formei liniare

a′11x′1 + a′12x

′2 + · · ·+ a′1nx

′n,

ın expresia formei patratice Q; rezulta

Q(v) =1

a′11(a′11x

′1 + a′12x

′2 + · · ·+ a′1nx

′n)

2 +

n∑i,j=2

a′′ijx′ix

′j ,


unden∑

i,j=2a′′ijx

′ix

′j , nu contine pe x′1. Fie F2 = {f ′′1, f ′′2, . . . , f ′′n} baza din Vn fata de care coordonatele

x′ si x′′ ale vectorului v sa satisfaca egalitatile{x′′1 = a′11x

′1 + a′12x

′2 + · · ·+ a′12x

′n

x′′j = x′j , j = 2, n.

Matricea de trecere de la baza F1 la noua baza F2 este C2 =

− 1

a′11−a′12

a′11. . . −a′1n

a′110 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

. In raport

cu baza F2, expresia formei patratice devine

Q(v) =1

a′11x′′1

2 +

n∑i,j=2

a′′ijx′′i x

′′j .

Suma Q(x) =n∑

i,j=2a′′ijx

′′i x

′′j din membrul drept al expresiei este o forma patratica ın n − 1 variabile,

deci poate fi tratata prin procedeul de mai sus, analog cu forma Q. In concluzie, dupa ınca cel multn − 1 pasi obtinem o baza B ′ = {e′1, . . . , e′n} ın Vn , ortogonala fata de Q. Relativ la aceasta baza,forma patratica Q se reduce la expresia canonica: o suma de patrate de p = rangQ ≤ n formeliniare independente ın coordonatele (x1, . . . , xn), iar relativ la coordonatele asociate bazei B ′, o sumaalgebrica de patrate. �

Exercitii. 1. Folosind metoda Gauss, aflati expresia canonica si baza ın care se realizeaza aceasta,pentru forma patratica

Q : R3 → R, Q(v) = x1x2 + 2x1x3, v ≡ (x1, x2, x3) ∈ R3,

Solutie. Se observa ca avem aii = 0, i = 1, 3 si a12 = 1 = 0, deci efectuam schimbarea de coordonatex1 = x′1 + x′2, x2 = x′1 − x′2, x3 = x′3, careia ıi este asociata (prin relatia X = C1X

′) matricea de

trecere C1 =

1 1 01 −1 00 0 1

. Vectorii noii baze F1 = {e′1 = e1 + e2, e′2 = e1 − e2, e′3 = e3} au

coeficientii dati de coloanele acestei matrice; relativ la F1 expresia formei patratice Q este,

Q(v) = x′12 − x′22 + 2x′1x

′3 + 2x′2x

′3 =

(x′1 + x′3

)2 − x′22 + 2x′2x′3 − x′32.

Tinand cont de expresia din paranteza, efectuam schimbarea de coordonate

x′′1 = x′1 + x′3, x′′2 = x′2, x′′3 = x′3.

Trecerea la noile coordonate (x′′1, x′′2, x

′′3) se realizeaza prin intermediul relatiei X ′ = C2X

′′, cu matriceade trecere

C2 =

1 0 10 1 00 0 1

−1

=

1 0 −10 1 00 0 1

;

aceste coordonate corespund noii baze F2 = {e′′1 = e′1, e′′2 = e′2, e′′3 = −e′1 + e′3}; relativ la F2, formaQ are expresia analitica Q(v) = x′′1

2 − x′′22 + 2x′′2x′′3 − x′′32 = x′′1

2 − (x′′2 − x′′3)2.


x′′′1 = x′′1, x′′′2 = x′′2 − x′′3, x′′′3 = x′′3 ⇔ X ′′ = C3X′′′

de unde obtinem matricea de trecere C3 atasata acestei schimbari,

C3 =

1 0 00 1 −10 0 1

−1

=

1 0 00 1 10 0 1

Coloanele acesteia furnizeaza noua baza, B ′ = F3 = {e′′′1 = e′′1, e′′′2 = e′′2, e′′′3 = e′′2 + e′′3}, relativla care obtinem prin ınlocuire expresia formei Q, Q(v) = x′′′1

2 − x′′′2 2. Aceasta expresie reprezinta oexpresie canonica a formei patratice Q, fiind o suma algebrica de patrate. Matriceal, are loc relatiaX = C1C2C3X

′′′ ≡ CX ′′′ de unde rezulta matricea C = [B ′]B = C1C2C3 de trecere de la bazanaturala (initiala) a spatiului R3

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}

la baza B ′ = F3 descrisa mai sus, relativ la care Q are o expresie canonica.

2. Folosind metoda Gauss, aflati expresia canonica si baza ın care se realizeaza aceasta, pentru formapatratica

Q : R3 → R, Q(v) = 4x23 + 6x22 + 9x21 + 12x1x2 − 10x1x3 − 2x2x3 , ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3,

exprimata analitic ın baza canonica a lui R3.

Solutie. Fie v = x1e1+x2e2+x3e3 ∈ R3. Restrangand succesiv patratele ce contin variabilele x1, x2, x3ın expresia lui Q, obtinem

Q(x) = 19(9x1 + 6x2 − 5x3)

2 − 369 x

22 − 25

9 x23 +

203 x2x3 + 6x22 + 4x23 − 2x2x3 =

= 19(9x1 + 6x2 − 5x3)

2 + 2x22 +143 x2x3 +

119 x

23 =

= 19(9x1 + 6x2 − 5x3)

2 + 12

(2x2 +

73x3)2 − 49

18x23 +

119 x

23 =

= 19(9x1 + 6x2 − 5x3)

2 + 12

(2x2 +

73x3)2 − 3

2x23 =

19y

21 +

12y

22 − 3

2y23,

unde am notat y1 = 9x1 + 6x2 − 5x3, y2 = 2x2 + 73x3, y3 = x3, iar (y1, y2, y3) sunt coordonatele

vectorului v relativ la baza B ′ = {e′1, e′2, e′3} ortogonala relativ la forma patratica Q, ın careexpresia formei este canonica. Tinand cont de formulele de schimbare de coordonate de mai sus,obtinem matricea de trecere de la baza canonica B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} labaza B ′,

C ≡ [B ′]B =

9 6 −50 2 7/30 0 1

−1

=

1/9 −1/3 4/30 1/2 −7/60 0 1

.

Examinand coloanele acestei matrice, rezulta ca baza B ′ este formata din vectorii

B ′ =

{e′1 =

1

9e1, e′2 = −

1

3e1 +

1

2e2, e′3 =

4

3e1 −

7

6e2 + e3

},

iar matricea formei Q relativ la aceasta baza este A′ = [Q]B′ =

1/9 0 00 1/2 00 0 −3/2

.


Teorema (Metoda Jacobi). Fie Q : Vn → K o forma patratica si A = (aij)1,j=1,n matricea eirelativ la baza B = {e1, . . . , en} a lui Vn . Daca determinantii

∆1 = a11, ∆2 =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ , . . . , ∆n = detA

sunt toti nenuli, atunci exista o baza B ′ = {e′1, . . . , e′n} ⊂ Vn fata de care expresia formei patratice Qdevine

Q(v) =

n∑i=1

∆i−1

∆ix′i

2, (1)

unde (x′1 . . . , x′n) sunt coordonatele lui x ın baza B ′ si am notat ∆0 = 1.

Demonstratie. Cautam vectorii e′1, . . . , e′n de forma

e′1 = c11e1e′2 = c21e1 + c22e2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .e′n = cn1e1 + cn2e2 + · · ·+ cnnen

asa ıncat sa avemA(e′i, ej) = 0, 1 ≤ j < i ≤ n,

A(e′i, ei) = 1, i = 1, n

unde A este polara formei patratice Q. Scrise dezvoltat, aceste conditii devin

A(e′i, e1) ≡ ci1a11 + ci2a12 + · · ·+ ciia1i = 0

A(e′i, e2) ≡ ci1a21 + ci2a22 + · · ·+ ciia2i = 0

. . .

A(e′i, ei−1) ≡ ci1ai−1,1 + ci2ai−1,2 + · · ·+ ciiai−1i = 0

A(e′i, ei) ≡ ci1ai1 + ci2ai2 + · · ·+ ciiaii = 1.

Pentru i ∈ {1, . . . , n} fixat, sistemul liniar neomogen obtinut consta din i ecuatii cu i necunoscute{ci1, . . . , cii}; acest sistem are solutie unica, deoarece prin ipoteza determinantul sistemului este chiar∆i = 0. Regula lui Cramer produce solutiile sistemului deci baza {e′1, . . . , e′n} este perfect determinatade relatiile

e′k =1

∆i

∣∣∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 · · · eka11 a12 · · · a1k

· · ·...

. . ....

ak−1,1 ak−1,2 · · · ak−1,k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , k = 1, n.

Pentru a afla expresia formei patratice ın aceasta baza, constatam ıntai ca matricea lui Q ın baza B ′

este matricea A′ ai carei coeficienti sunt

a′ij = A(e′i, e′j) = A(e′i, cj1e1 + · · ·+ cjjej) =

= cj1A(e′i, e1) + cj2A(e′i, e2) + · · ·+ cjjA(e′i, ej), i, j = 1, n

Dar, prin constructie, A(e′i, ej) = 0 pentru j < i, deci a′ij = 0 pentru j < i. De asemenea, datoritasimetriei formei biliniare A rezulta a′ij = 0 si pentru j > i. Deci a′ij = 0 pentru i = j, iar pentru j = iavem

a′ii = A(e′i, e′i) = A(e′i, ci1e1 + · · ·+ ciiei) =

= ci1A(e′i, e1) + · · ·+ ci,i−1A(e′i, ei−1) + ciiA(e′i, ei) = cii =∆i−1

∆i, i = 1, n.


Deci ın baza B ′ forma patratica are o expresie canonica,

Q(x) =n∑

i,j=1

a′ijx′ix

′j =

n∑i=1

∆i−1

∆ix′i

2,

iar matricea asociata acesteia este A′ = [Q]B′ = (a′ij)i,j=1,n =

∆0/∆1 . . . 0...

. . ....

0 . . . ∆n−1/∆n

. �

Exercitiu. Folosind metoda Jacobi, aflati expresia canonica si baza ın care se realizeaza aceasta,pentru forma patratica

Q(x) = x21 + 7x22 + x23 − 8x1x2 − 8x2x3 − 16x1x3, x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

Solutie. Matricea formei patratice relativ la baza canonica a spatiului R3 este

A =

1 −4 −8−4 7 −4−8 −4 1

.

Minorii principali {∆i}i=1,2,3 ai acesteia sunt

∆1 = a11 = 1, ∆2 =

∣∣∣∣ 1 −4−4 7

∣∣∣∣ = −9, ∆3 = detA = −729 .

Folosind formula (1), rezulta expresia canonica a formei patratice,

Q(x) = x′12 − 1

9x′2

2 +1

81x′3

2,

Prin dedublare obtinem forma biliniara asociata

A(x, y) = x′1y′1 −

1

9x′2y

′2 +

1

81x′3y

′3.

Noua baza B ′ = {e′1, e′2, e′3} se obtine rezolvand succesiv sistemele ce furnizeaza coeficientii descom-punerii vectorilor e′1, e

′2, e

′3 relativ la baza initiala, dupa cum urmeaza:

e′1 = a · e1; A(e′1, e1) = 1 · a = 1 ⇒ e′1 = e1;

e′2 = a · e1 + b · e2;

{A(e′2, e1) = 1 · a− 4b = 0

A(e′2, e2) = −4a+ 7b = 1⇒ e′2 = −4

9e1 +19e2;

e′3 = a · e1 + b · e2 + c · e3;

A(e′3, e1) = 1 · a− 4b− 8c = 0

A(e′3, e2) = −4a+ 7b− 4c = 0

A(e′3, e3) = −8a− 4b+ c = 1

⇒ e′3 = − 881e1 −

481e2 +

181e3

deci ın final obtinem

B ′ = {e′1 = e1, e′2 = −4

9e1 +

1

9e2, e′3 = −

8

81e1 −

4

81e2 +

1

81e3},

cu matricea de trecere de la baza canonica la noua baza B ′ de coeficienti

C =

1 −4/9 −8/810 1/9 −4/810 0 1/81

.


Teorema (Metoda valorilor proprii). Fie Vn un spatiu vectorial real euclidian si Q : Vn → R oforma patratica reala. Atunci exista o baza ortonormata B ′ = {e′1, e′2, . . . , e′n} a spatiului vectorial Vnrelativ la care expresia canonica a formei este

Q(v) =n∑

i=1

λi · x′i2,

unde λ1, λ2, . . . , λn sunt valorile proprii ale matricei formei patratice relativ la o baza ortonormata B(fiecare valoare proprie fiind inclusa ın suma de atatea ori cat multiplicitatea sa), iar (x′1, . . . , x

′n)

sunt coordonatele vectorului v relativ la baza B ′.

Demonstratie. Fie A matricea asociata lui Q ıntr-o baza initiala B a lui Vn . Ca matrice reala sisimetrica, matricea A = [Q]B are n valori proprii reale λ1, . . . , λn (unele pot fi egale) si se poatediagonaliza. Baza B ′ = {e′1, . . . , e′n} formata din vectori proprii ortonormati ai matricei A determinamatricea diagonalizatoare C care este ortogonala (Ct = C−1). Q are relativ la aceasta baza o expresiecanonica deoarece matricea ei relativ la aceasta baza este

D = [Q]B′ = C−1AC = CtAC =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . λn

.

�

Exercitiu. Folosind metoda valorilor proprii, aflati expresia canonica si baza ın care se realizeazaaceasta, pentru forma patratica din exemplul anterior,

Q(v) = x21 + 7x22 + x23 − 8x1x2 − 16x1x3 − 8x2x3, v ≡ (x1, x2, x3) ∈ R3,

exprimata relativ la baza canonica a lui R3.

Solutie. Matricea asociata formei patratice relativ la baza canonica

B = { e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)},

este ortonormata fata de produsul scalar canonic, si are coeficientii

A =

1 −4 −8−4 7 −4−8 −4 1

.

Valorile proprii ale acestei matrice sunt λ1 = −9, λ2 = λ3 = 9 (tema, verificati!) , iar vectorii propriiortonormati corespunzatori valorilor proprii sunt

e′1 =

(2

3,1

3,2

3

), e′2 =

(0,− 2√

5,1√5

), e′3 =

(−53√5,

2

3√5,

4

3√5

),

deci matricea de trecere la noua baza B ′ = {e′1, e′2, e′3} este

C = [e′1, e′2, e

′3] = 3

√5 ·

2√5 0 −5√5 −6 2

2√5 3 4


Efectuand schimbarea de coordonate X = CX ′ asociata schimbarii de baza, rezulta expresia canonicaa formei patratice Q,

Q(v) = −9x′12 + 9x′22 + 9x′3

2.

Comparatia celor trei metode.

1) Metoda Gauss reprezinta un algoritm elementar de aducere la forma canonica, dar nu furnizeazadirect noua baza, ci schimbarea de coordonate pe baza careia se determina noua baza.

2) Metoda Jacobi este utila cand se cere determinarea rapida a formei canonice (de exempluın aprecierea naturii punctelor de extrem ale unei functii reale), fara a fi interesati si de baza core-spunzatoare (care se obtine printr-un calcul mai laborios). Metoda prezinta dezavantajul ca presupuneneanularea tuturor minorilor {∆i}i=1,n.

3) Metoda vectorilor proprii este eficace, producand o forma canonica si o baza canonica ortonor-mata fata de produsul scalar preexistent. Dezavantajul acestei metode este ca include calcululradacinilor polinomului caracteristic al matricei asociate formei patratice, radacini care pot fi irationale(si deci aflarea lor necesitand tehnici de calcul de analiza numerica).

3 Signatura unei forme patratice reale

Exista formele patratice reale care iau totdeauna valori pozitive (cum ar fi, spre exemplu, patratulunei norme ce provine dintr-un produs scalar); ın cele ce urmeaza vom detalia notiunile ce conduc lastabilirea semnului valorilor pe care le poate lua o forma patratica.

Definitii. a) O forma patratica Q : V → R se numeste pozitiv / negativ semidefinita daca Q(v) ≥ 0/ Q(v) ≤ 0, pentru orice v ∈ V .

b) Forma patratica Q se numeste pozitiv / negativ definita daca Q(v) > 0 / Q(v) < 0, pentru oricev ∈ V \{0}.c) Daca exista v ∈ V asa ıncat Q(v)⟩0 si w ∈ V asa ıncat Q(w)⟨0 spunem ca forma patratica Q estenedefinita.

d) O forma biliniara simetrica A ∈ B (V ,R) se numeste pozitiv definita (respectiv negativ definita,pozitiv semidefinita, negativ semidefinita) daca forma patratica asociata Q are proprietatea core-spunzatoare.

Exemplu. Produsul scalar definit pe un spatiu vectorial real este o forma biliniara simetrica si pozitivdefinita.

Reducerea la expresia canonica prin metoda lui Jacobi permite obtinerea unei conditii necesare sisuficiente pentru ca o forma patratica Q : Vn → R sa fie pozitiv definita (respectiv, negativ definita),dupa cum rezulta din urmatoarea

Teorema (Criteriul lui Sylvester, teorema inertiei). Se da forma patratica Q : Vn → R. Daca suntındeplinite conditiile teoremei Jacobi, atunci au loc urmatoarele afirmatii:

a) Q este pozitiv definita daca si numai daca ∆i > 0, i = 1, n;

b) Q este negativ definita daca si numai daca (−1)k∆k > 0, k = 1, n.

Definitie. Fie Q(v) =n∑

i=1aix

2i o expresie canonica a formei patratice Q : Vn → R. Se numeste

signatura formei patratice Q tripletul de numere reale (p, q, d), ın care:

p = numarul de coeficienti din setul {a1, . . . , an} care sunt strict pozitivi, numit indicele pozitiv deinertie al lui Q;

96 Probleme propuse

q = numarul de coeficienti strict negativi, numit indicele negativ de inertie al lui Q;

d = n− (p+ q) = numarul de coeficienti nuli.

Teorema (legea de inertie, Sylvester). Signatura unei forme patratice Q este aceeasi ın oriceexpresie canonica a lui Q.

Observatii. 1. Legea de inertie arata ca urmand oricare din cele 3 metode de obtinere a expresieicanonice (care poate sa difere), signatura formei patratice (dedusa din expresia canonica obtinuta)este totdeauna aceeasi.

2. Data fiind o forma patratica Q : Vn → R si matricea A asociata acesteia relativ la o baza a spatiuluiVn , Q este pozitiv definita daca si numai daca oricare din urmatoarele conditii este ındeplinita.

• forma patratica Q are signatura (n, 0, 0),• determinantii ∆i, i = 1, n calculati conform metodei Jacobi sunt strict pozitivi,• valorile proprii ale matricei A sunt strict pozitive.

4 Probleme propuse

1. Se da aplicatia A ∈ B(R3,R),

A(x, y) = 2x1y2 + 2x2y1 − 3x3y3, ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ R3.

Sa se determine urmatoarele:

a) Aratati ca A este forma biliniara.

b) Aratati ca A este forma biliniara simetrica.

c) Determinati matricea A = [A]B relativ la baza canonica B .

d) Aflati forma patratica Q asociata formei biliniare simetrice A.e) Verificati relatiile A(x, y) = XtAY, Q(x) = XtAX, ∀X = [x]B , Y = [y]B , ∀x, y ∈ R3.

f) Determinati matricea A′ = [A]B′ , relativ la baza

B ′ = {e′1 = (1, 1, 0), e′2 = (1, 0, 1), e′3 = (0, 1, 1)}.

R: Matricea formei patratice date este A =

0 2 02 0 00 0 −3

, expresia analitica este Q(x) = 4x1x2 −

3x23, cu matricea de schimbare la noua baza C, iar matricea A′ a formei patratice relativ la baza B ′,

unde C = [B ′]B =

1 1 01 0 10 1 1

, si A′ = CtAC =

4 2 22 −3 −12 −1 −3

.

2. Se da functia A ∈ B(R4,R),

A(x, y) = x1y2 − x2y1 + x1y3 − x3y1 + x1y4 − x4y1+

+x2y3 − x3y2 + x2y4 − x4y2 + x3y4 − x4y3, ∀x, y ∈ R4.

a) Sa se arate ca A este o forma biliniara antisimetrica.b) Sa se determine matricea corespunzatoare formei biliniare A relativ la baza

B ′ = {e′1 = (1, 1, 1, 0), e′2 = (0, 1, 1, 1), e′3 = (1, 1, 0, 1), e′4 = (1, 0, 1, 1)}.


R: A = [A]B =

0 1 1 1−1 0 1 1−1 −1 0 1−1 −1 −1 0

, A′ = [A]B ′ =t CAC, C =

1 0 1 11 1 1 01 1 0 10 1 1 1

.

3. Fie P2 spatiul vectorial al functiilor polinomiale reale de grad cel mult doi si fie produsul scalar

A : P2 × P2 → R, A(v, w) =∫ 1

0

∫ 1

0v(t)w(s)dtds, ∀v, w ∈P2 ≡ R2[x].

a) Sa se arate ca A este o forma biliniara simetrica pozitiv semidefinita, dar nu este pozitiv definita.

b) Sa se determine matricea formei biliniare A relativ la baza canonica a spatiului P2, B = {1, t, t2}si relativ la baza B ′ = {1, t− 1, t2 − t}.

R: A = [A]B =

1 1/2 1/31/2 1/4 1/61/3 1/6 1/9

, A′ = [A]B ′ = CtAC,C =

1 −1 00 1 −10 0 1

.

4. Determinati valoarea parametrului λ ∈ R astfel ca vectorii x = (−1, 1) si y = (2, λ) sa fie ortogonaliın raport cu forma patratica

Q : R2 → R, Q(x) = x21 − 2x1x2 + x22.

R: (−1, 1)(

1 −1−1 1

)(2λ

)= 0⇒ λ = 2.

5. Se dau urmatoarele forme patratice:

a) Q(v) = ac− 2bc+ 3c2, ∀v = (a, b, c) ∈ R3;

b) Q(w) = xy − zv + 2v2 + 3xv,∀w = (x, y, z, v) ∈ R4.

1) Determinati forma polara A asociata formei patratice Q prin dedublare.

2) Aflati matricea formei patratice Q relativ la baza naturala.

R: . Tema a). Solutia la punctul b):

A(x, y) = 1

2(x1y2 + x2y1)−

1

2(x3y4 + x4y3) + 2x4y4 +

3

2(x1y4 + x4y1), ∀x, y ∈ R4,

[Q] = [A] =

0 1/2 0 3/21/2 0 0 00 0 0 −1/23/2 0 −1/2 2

.

6. Se dau urmatoarele forme patratice

a) Q : R3 → R, Q(v) = 12x

2 − 8xy − 16xz + 7y2 − 8yz + z2, ∀v = (x, y, z) ∈ R3;

b) Q : R3 → R, [Q] =

3 −2 −4−2 6 −2−4 −2 3

;

c) Q(x) = −x21 + 6x1x3 + x22 + 4x2x3 − 5x23, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3;

d) Q(v) = xy + 2y2 − yz − z2, ∀v = (x, y, z) ∈ R3.

Determinati expresia canonica a acestor forme patratice folosind metoda Gauss.

98 Probleme propuse

R: Tema a, b, c. d) Q(v) = 13x

′2 − 3y′2z′2, ∀v ∈ R3, [v]B′ = (x′, y′, z′),

C = [B ′]B =

1 1 01 −1 00 0 1

3 −2 −1/20 1 00 0 1

−1 1 0 00 −1/3 1/60 0 1

−1

.

7. Determinati expresia canonica a formelor patratice din exercitiul precedent folosind metoda Jacobisi metoda valorilor proprii.

R: Tema a, c, d. Solutie la punctul b) Prin metoda Jacobi, [Q]B′ =

1/3 0 00 3/14 00 0 −1/7

. Prin

metoda valorilor proprii, [B ′]B = [e′1, e′2, e

′3]B =

1/√5 −4/3

√5 2/3

−2/√5 −2/3

√5 1/3

0 5/3 2/3

, [Q]B′ =

7 0 00 7 00 0 −2

.

8. Utilizand metoda Gauss, metoda lui Jacobi si respectiv metoda valorilor proprii, sa se aduca laexpresii canonice forma patratica Q : R3 → R,

Q(v) = 5x21 + 6x22 + 4x23 − 4x1x2 − 4x1x3, ∀v ≡ (x1, x2, x3) ∈ R3

si sa se verifice teorema de inertie, determinand ın fiecare caz signatura formei patratice.

R: Matricile asociate expresiei canonice ın urma aplicarii celor trei metode sunt, respectiv: 1/5 0 00 5/26 00 0 40/13

,

1/5 0 00 5/26 00 0 13/40

,

2 0 00 5 00 0 8

;

signatura este (3, 0, 0), deci forma patratica este pozitiv definita.

9. Sa se scrie forma patratica corespunzatoare matricei A =

1 1 0 −11 1 −1 00 −1 1 1−1 0 1 1

, sa se gaseasca

expresia canonica si sa se verifice teorema de inertie.

R: Expresia analitica a formei patratice este

Q(v) = x21 + x22 + x23 + x24 + 2x1x2 − 2x1x4 − 2x2x3 + 2x3x4, ∀v ≡ (x1, x2, x3, x4) ∈ R4;

obtinem expresiile canonice, dupa cum urmeaza: prin metoda Gauss,

Q(v) = x′12 − 1

2x′2

2 + 2x′32 + 8x′4

2;

prin metoda valorilor proprii, Q(v) = x′12 + x′2

2 + 3x′32 − x′4

2. Metoda Jacobi nu se poate aplica(deoarece ∆2 = 0); signatura formei Q este (3, 1, 0).

10. Sa se arate ca daca (gij)i,j∈1,n, (hij)i,j=∈1,n sunt matrice pozitiv definite, atunci matricea (fij(t))i,j∈1,n,fij(t) = (1− t)gij + thij , t ∈ [0, 1] este pozitiv definita.

Partea II - GEOMETRIE ANALITICA

Capitolul 1. Vectori liberi

1 Spatiul vectorial al vectorilor liberi

Fie E 3 spatiul tridimensional al geometriei elementare.

Definitii. Pentru oricare doua puncte A,B ∈ E 3 consideram segmentul orientat−−→AB.

Fig. 3. a) Vector legat; b) Relatia de echipolenta

⋄ Punctul A se numeste originea, iar B se numeste extremitatea (varful) segmentului orientat. Dacaoriginea si extremitatea coincid, se obtine segmentul orientat nul.

⋄ Dreapta determinata de A si B se numeste dreapta suport a lui−−→AB si se noteaza cu AB. Aceasta

dreapta este unic determinata doar daca A = B; pentru segmentul orientat nul, dreapta suporteste nedeterminata. Doua segmente orientate se numesc coliniare daca dreptele suport coincid;se numesc paralele daca dreptele suport sunt paralele.

⋄ Se numeste lungimea (norma, modulul) unui segment orientat−−→AB, lungimea segmentului neorientat

[AB], deci distanta de la punctul A la punctul B. Un segment orientat are lungime nula doardaca el este segmentul nul. Doua segmente neorientate de aceeasi lungime se numesc segmentecongruente.

⋄ Doua segmente orientate nenule se numesc echipolente daca au aceeasi directie, sens si lungime.Doua segmente nule vor fi considerate totdeauna echipolente.Daca

−−→AB este echipolent cu

−−→CD, atunci vom scrie

−−→AB ∼

−−→CD. Se poate arata usor ca

−−→AB ∼−−→

CD ⇔ −→AC ∼ −−→BD (vezi figura).

Doi vectori care au acelasi sens au automat aceeasi directie; deci doi vectori sunt echipolenti d.n.d.au sensul si lungimea identice.

Teorema. Relatia de echipolenta definita pe multimea segmentelor orientate este o relatie de echivalenta.

Demonstratie. Relatia de echipolenta este reflexiva, simetrica si tranzitiva (tema, verificati!) . �Definitie. Clasele de echivalenta ale segmentelor orientate ale relatiei de echipolenta se numesc vectoriliberi. Directia, sensul si lungimea care coincid pentru segmentele orientate echipolente ce definesc unvector liber se vor numi directia, sensul si respectiv lungimea vectorului liber.

Notatii. Vectorii liberi vor fi notati cu litere mici supraliniate a, b, c, . . . , iar ın desen vor fi reprezentatiprintr-unul dintre segmentele orientate echipolente ce reprezinta clasa lor. Din acest motiv, vectoriiliberi se vor nota si prin AB,CD, . . . .

Definitii. Un segment orientat determina un vector liber (o clasa de echipolenta), si spunem ca este

un reprezentant al vectorului liber determinat, si scriem−−→AB ∈ AB.

100 Spatiul vectorial al vectorilor liberi

⋄ Definim lungimea (norma) unui vector liber a (sau AB), ca fiind lungimea unui reprezentant al sau,si vom nota aceasta norma prin ||a||, ||AB|| sau d(A,B).Un vector liber de lungime unu se numeste versor sau vector unitate. Vectorul liber de lungimea

zero se numeste vectorul nul si se noteaza cu 0, reprezentat de segmentul orientat−→AA,∀A ∈ E 3;

directia si sensul lui sunt nedeterminate.

⋄ Doi vectori liberi a si b sunt egali si scriem a = b, daca reprezentantii lor sunt echipolenti (deci dacaau aceeasi directie, sens si lungime).

⋄ Vectorii liberi a si b care au aceeasi directie se numesc vectori coliniari; scriem a || b (vezi Fig. a).Doi vectori coliniari de aceeasi lungime dar cu sensuri opuse, se numesc vectori opusi; vom notaopusul unui vector liber a, prin −a (vezi Fig. b).

⋄ Trei vectori liberi se numesc coplanari d.n.d. admit reprezentanti coplanari (vezi Fig. c)

⋄ In cele ce urmeaza, notam cu V multimea tuturor vectorilor liberi din spatiul E 3. Fixam ın E 3

un punct O numit origine. Oricarui punct M ∈ E 3 ıi corespunde un vector liber si numai

unul r ∈ V de reprezentant−−→OM . Reciproc, oricarui vector liber r ∈ V , ıi corespunde un unic

punct M ∈ E 3, astfel ıncat−−→OM ∈ r. Vectorul liber r = OM se numeste vectorul de pozitie al

punctului M fata de originea O.Astfel, multimile E 3 si V sunt ın corespondenta biunivoca, bijectia fiind unic determinata prinfixarea originii O.

Fig. 4. Vectori coliniari; vectori opusi; vectori coplanari

Multimea V a vectorilor liberi din spatiul E 3 se poate organiza ca un grup aditiv comutativ,definind adunarea acestora prin regula triunghiului (regula paralelogramului).

Fig. 5. a) Regula triunghiului; b) Regula paralelogramului

Definitie. Fie a, b ∈ V doi vectori liberi si O ∈ E 3 un punct arbitrar fixat. Construim punctele

A,B ∈ E 3 astfel ıncat−→OA ∈ a si

−−→AB ∈ b. Vectorul liber c reprezentat de segmentul orientat

−−→OB se

numeste suma vectorilor a si b si se noteaza c = a+ b sau OB = OA+AB (vezi figura). Vectorii liberia, b si c = a + b sunt vectori coplanari. Regula de determinare a sumei a 2 vectori liberi se numesteregula triunghiului.

Adunarea vectorilor liberi + : (a, b) ∈ V × V → a + b ∈ V este o lege de compozitie internabine definita: vectorul liber c = a + b nu depinde de alegerea punctului O, originea reprezentantului−−→OB ∈ OB = c (tema, verificati!) .

Vectori liberi 101

Teorema. Adunarea vectorilor liberi are urmatoarele proprietati, care determina o structura de grupabelian (V ,+) pe multimea vectorilor liberi:

a) asociativitate: a+ (b+ c) = (a+ b) + c, ∀a, b, c ∈ V ;b) 0 este element neutru: ∀a ∈ V , a+ 0 = 0 + a = a;c) opusul lui a este simetricul lui a : ∀a ∈ V , a+ (−a) = (−a) + a = 0;d) comutativitate: ∀a, b,∈ V , a+ b = b+ a.

Observatii. 1. Comutativitatea adunarii justifica determinarea sumei a doi vectori necoliniari prin

regula paralelogramului: se deseneaza−→OA ∈ a, −−→OB ∈ b si se fixeaza punctul C ca intersectia dintre

paralela la OA dusa prin B si paralela la OB dusa prin A; segmentul orientat−−→OC este reprezentantul

lui a+ b (vezi figura).

Fig. 6. Diferenta a doi vectori

2. Asociativitatea adunarii permite generalizarea regulii tri-unghiului, obtinand suma a mai mult de doi vectori prin reg-ula poligonului.

3. In grupul abelian V ecuatia b + x = a are o solutie unica

x = a + (−b) not= a − b, numita diferenta dintre vectorul a si

vectorul b (vezi figura). Daca−→OA ∈ a, si

−−→OB ∈ b, atunci

−−→BA ∈ a− b.Fie corpul scalarilor R (corpul numerelor reale) si fie V grupuladitiv abelian al vectorilor liberi. Definim o lege de compozitieexterna, care permite ınmultirea unui vector liber cu unscalar, dupa cum urmeaza:

Definitie. Se numeste produsul dintre vectorul liber a ∈ V si scalarul t ∈ R, vectorul ta, definit astfel:

a) daca a = 0 si t = 0, atunci ta este vectorul care are aceeasi directie cu a, lungimea egala cu |t| ||a||si sensul dat de cel al lui a sau contrar lui a, dupa cum t > 0 sau t < 0;b) daca t = 0 sau a = 0, atunci ta = 0.

Se observa ca vectorii liberi ta si a sunt coliniari.

Teorema. Inmultirea vectorilor liberi cu scalari are urmatoarele proprietati:

a) 1 · a = a, ∀a ∈ V ;b) s(ta) = (st)a, ∀s, t ∈ R, ∀a ∈ V ;c) distributivitate fata de adunarea scalarilor

(s+ t)a = sa+ ta, ∀s, t ∈ R, ∀a ∈ V ;

d) distributivitate fata de adunarea vectorilor

t(a+ b) = ta+ tb, ∀t ∈ R, ∀a, b ∈ V .

Demonstratie. a)-c) tema. d) Fie−→OA ∈ a si−−→AB ∈ b. Atunci−−→OB ∈ a+b. Fara a restrange generalitatea,

presupunem t > 0 si fie A′, B′ ∈ E 3 astfel ıncat−−→OA′ ∈ ta si

−−→OB′ ∈ t(a + b). Din asemanarea

∆OAB ∼ ∆OA′B′, (latura-unghi-latura) rezulta AB || A′B′ si A′B′ = tAB, deci−−→A′B′ ∈ tb si

−−→OB′ ∈ ta+ tb. In final avem t(a+ b) = ta+ tb. Cazul t < 0 se trateaza analog. �Observatie. Proprietatile adunarii vectorilor liberi (structura de grup abelian) si proprietatile ınmultiriivectorilor liberi cu scalari arata ca V este un spatiu vectorial peste corpul R al numerelor reale.

102 Coliniaritate si coplanaritate

2 Coliniaritate si coplanaritate

Fie V spatiul vectorial real al vectorilor liberi. Presupunem cunoscute notiunile de subspatiu vectorial,dependenta si independenta liniara, baza si dimensiune, coordonate si izomorfism de spatii vectoriale.

Definitie. Dat fiind un vector nenul a ∈ V \{0}, se numeste versorul asociat lui a vectorul unicdeterminat de lungime 1 (tema, verificati!) , a0 =

1|| a || a.

Stim ca doi vectori din V se numesc coliniari daca dreptele lor suport sunt paralele. Cu ajutorulnotiunii introduse mai sus, putem da o formulare echivalenta a notiunii de coliniaritate:

Teorema. Daca vectorii a si b sunt coliniari si a = 0, atunci exista un unic numar real t astfel ıncatb = ta.

Demonstratie. Daca b = 0, alegem t = 0. Daca a = b, alegem t = 1. Deci presupunem a = b = 0 siputem scrie a = ||a|| a0, b = ||b|| b0. Vectorii a si b sunt coliniari, deci versorii a0, b0 sunt fie egali,fie opusi. Daca a0 = b0 avem b = ||b|| b0 = ||b||a0 = ||b||||a||−1 a si deci t = ||b|| ||a||−1, iar pentrua0 = −b0, rezulta t = −||b|| ||a||−1. �

Consecinta. Dat fiind un vector nenul a ∈ V \{0}, multimea

V 1 = {b ∈ V | ∃t ∈ R, b = ta}

a tuturor vectorilor coliniari cu a, formeaza cu adunarea si ınmultirea cu scalari reali a vectorilor liberiun spatiu vectorial unidimensional.

Deci, doi vectori liberi sunt coliniari doar daca sunt dependanti liniar; doi vectori liberi necoliniarisunt totdeauna liniar independenti.

Demonstratie. Se verifica usor ca V 1 este un subspatiu vectorial al lui V ; fiind nenul, a este un vectorliniar independent; folosind teorema, a genereaza peV 1. �Stim ca trei vectori din V se numesc coplanari daca admit reprezentanti paraleli cu un plan dat.Putem da o formulare echivalenta a notiunii de coplanaritate:

Teorema. Vectorii a, b, c ∈ V sunt coplanari daca si numai daca ei sunt liniar dependenti.

Demonstratie. Presupunem ca a, b, c sunt liniar dependenti, adica ∃r, s, t ∈ V nu toti nuli cu propri-etatea ra+ sb+ tc = 0.

Fig. 7. Descompunere ın plan

Fara a restrange generalitatea, fie t = 0; ımpartind relatiaprin t, aceasta devine c = ka + lb, unde k = −r/t, l = −s/t.Deci reprezentantii

−→OA ∈ a,

−−→OB ∈ b,

−−→OC ∈ c satisfac relatia

−−→OC = k

−→OA+ l

−−→OB,

adica−−→OC se afla ın planul determinat de

−→OA si

−−→OB.

Reciproc, descompunand reprezentantul−−→OC ∈ c, coplanar

cu reprezentantii−→OA ∈ a,−−→OB ∈ b, obtinem −−→OC =

−−→OE +

−−→OF

(vezi figura) unde ∃k, l ∈ R astfel ıncat−−→OE = k

−→OA,

−−→OF =

l−−→OB; rezulta relatia c = ka+ lb, deci cei trei vectori liberi suntliniar dependenti. �

Consecinta. Dati fiind vectorii liberi necoliniari a, b ∈ V , multimea

V 2 = {c ∈ V | ∃ r, s ∈ R, c = ra+ sb}

a tuturor vectorilor coplanari cu a si cu b, formeaza cu adunarea si ınmultirea cu scalari reali avectorilor liberi un spatiu vectorial bidimensional.

Vectori liberi 103

Demonstratie. V 2 este un subspatiu vectorial al lui V (tema, verificati!) , iar {a, b} este o multimeliniar independenta care genereaza pe V 2. �

Deoarece dependenta liniara a trei vectori liberi este echivalenta cu coplanaritatea, rezulta ca orice treivectori liberi necoplanari sunt liniar independenti. Un asemenea sistem determina o baza a spatiuluiV , deci putem formula urmatoarea

Teorema. Spatiul vectorial real V al vectorilor liberi din E 3 are dimensiunea 3.

In cele ce urmeaza, vom nota acest spatiu prin V 3.

Demonstratie. In V exista trei vectori liniar independenti: oricare trei vectori necoplanari a, b, c.Acestia genereaza pe V , deoarece pentru un vector arbitrar d ∈ V , considerand reprezentantii−→OA ∈ a,

−−→OB ∈ b,

−−→OC ∈ c,

−−→OD ∈ d si proiectand vectorul

−−→OD pe vectorii

−−→OA′,

−−→OB′,

−−→OC ′, are loc de-

scompunerea−−→OD =

−−→OA′ +

−−→OB′ +

−−→OC ′ unde

−−→OA′ = k =

−→OA,

−−→OB′ = l

−−→OB,

−−→OC ′ = m

−−→OC, k, l,m ∈ R,

deci rezulta d = ka+ lb+mc. �Fie {a, b, c} o baza fixata ın V 3 si r, s, t coordonatele unui vector d ∈ V 3 ın raport cu aceasta baza;atunci vom scrie d(r, s, t) si identificam d ≡ (r, s, t).

Putem caracteriza ın functie de coordonate operatiile cu vectori liberi si proprietatile acestora:pentru di = (ri, si, ti) ∈ V 3, i = 1, 3, avem

1) d1 + d2 = (r1 + r2, s1 + s2, t1 + t2);

2) kd1 = (kr1, ks1, kt1);

3) d1 = d2 ⇔ r1 = r2, s1 = s2, t1 = t2;

4) vectorii d1, d2 sunt coliniari d.n.d. coordonatele lor sunt proportionale;

5) vectorii d1, d2, d3 sunt coplanari d.n.d. coordonatele unuia sunt combinatii liniare de coordonatelecelorlalti doi; spre exemplu, pentru d3 = kd1 + ld2, au loc relatiile:

r3 = kr1 + lr2, s3 = ks1 + ls2, t3 = kt1 + lt2, k, l ∈ R.

3 Proiectii ortogonale

Fig. 8. a) Proiectia pe o dreapta b) Proiectia pe un vector liber

Fie ∆ o dreapta, a ∈ V un vector liber si−−→AB ∈ a un reprezentant al acestuia. Planele π1 si

π2 duse prin A si B si perpendiculare pe ∆ intersecteaza dreapta ∆ respectiv ın punctele {A′} =∆ ∩ π1, {B′} = ∆ ∩ π2 (vezi figura). Se poate arata prin consideratii de geometrie sintetica faptul

ca vectorul liber A′B′ nu depinde de alegerea reprezentantului−−→AB ∈ a, deci depinde efectiv doar de

vectorul liber a (tema, verificati!) . Acest lucru conduce la urmatoarea

Definitie. Vectorul liber A′B′ determinat prin constructia de mai sus, se numeste proiectie ortogonalaa vectorului a = AB pe dreapta ∆ si se noteaza pr∆a.

104 Proiectii ortogonale

Observatii. 1. Vectorul proiectie ortogonala pr∆a a vectorului a pe dreapta ∆ nu depinde decatde vectorul liber a si de directia dreptei ∆, deci daca ∆1 si ∆2 sunt doua drepte paralele, atuncipr∆1

a = pr∆2a.

Daca u este un vector nenul care da directia dreptei ∆, atunci putem vorbi de proiectia ortogonalaa lui a pe vectorul liber u, pe care o notam cu prua. Deci pentru un vector nenul u ∈ V 3\{0} fixat,s-a definit practic o transformare

pru : V 3 → V 3, a→ pru(a) , ∀a ∈ V 3.

Aceasta este o transformare liniara (tema, verificati!) .

2. Fie u ∈ V 3\{0} si u0 versorul sau, (u = ||u|| · u0, ||u0|| = 1). Pentru orice a ∈ V 3, vectorul pruaeste coliniar cu u0 si deci exista un numar real prua definit de relatia:

prua = prua · u0.

Acest numar se numeste marimea algebrica a proiectiei ortogonale prua a vectorului liber a pe u (vezifigura). Deci pentru un vector nenul u ∈ V 3\{0} fixat, am definit astfel o transformare

pru : V 3 → R, pru(a) = prua, ∀a ∈ V 3.

Aceasta este o transformare liniara (tema, verificati!) definita pe spatiul vectorilor liberi V 3 cu valoriın corpul numerelor reale R considerat ca spatiu vectorial peste el ınsusi.

Definitii. Fie a, b ∈ V 3\{0}, O ∈ E 3 si reprezentantii−→OA ∈ a, −−→OB ∈ b.

Fig. 9. a) Unghiul format de doi vectori; b) Unghiul dintre un vector si o directie data

⋄ Se numeste unghiul dintre vectorii a si b ∈ V \{0}, unghiul φ ∈ [0, π] determinat de segmentele

orientate (reprezentantii)−→OA si

−−→OB; (vezi Fig. a). Se observa ca definitia unghiului format de

vectorii liberi a si b nu depinde de alegerea punctului O, deci definitia data este corecta.

⋄ In cazul ın care unul dintre cei doi vectori este nul, unghiul φ ∈ [0, π] dintre a si b este nedeterminat.

⋄ Doi vectori nenuli a si b se numesc ortogonali daca unghiul dintre ei este π/2. Prin definitie, vectorulliber nul 0 va fi considerat ortogonal pe orice vector.Cu ajutorul notiunii de unghi a doi vectori liberi putem exprima numarul prua ın functie delungimea ||a|| a vectorului liber a si de unghiul φ dintre a si b (vezi Fig. b),

prua = ||a|| cosφ.

Definitie. Fie π un plan, a ∈ V 3\{0} si−−→AB ∈ a. Prin punctele A si B ducem drepte perpendiculare

pe planul π si notam cu A′ si B′ punctele ın care acestea ıntersecteaza planul π. Vectorul liber A′B′

nu depinde de segmentul−−→AB ci numai de vectorul liber a. Din acest motiv vectorul liber A′B′ se

numeste proiectia ortogonala a vectorului a pe planul π, si se noteaza prπa.

Vectori liberi 105

Observatii. Ca si ın cazul proiectiei pe o dreapta, proiectia ortogonala a vectorului a pe planul πcoincide cu proiectia sa pe orice alt plan paralel cu acesta. In plus, dat fiind un plan π, procedeul demai sus defineste un endomorfism al spatiului vectorilor liberi V 3,

prπ : V 3 → V 3, prπ(a) = prπ a, ∀a ∈ V 3,

a carui imagine este spatiul vectorial bidimensional atasat planului π.

4 Produs scalar ın V 3 si ın V 2

Pentru doi vectori liberi arbitrari nenuli a, b ∈ V 3\{0}, vom nota unghiul format de acestia prinφ ∈ [0, π].

Teorema. Functia ⟨· , ·⟩ : V 3 × V 3 → R definita prin

⟨a, b⟩ ={||a|| · ||b|| · cosφ, pentru a, b ∈ V 3\{0}0, pentru a = 0 sau b = 0

este un produs scalar pe spatiul vectorilor liberi V 3.

Demonstratie. Sunt de verificat pentru functia ⟨· , ·⟩ proprietatile unui produs scalar: comutativitatea,omogenitatea, distributivitatea fata de adunare si pozitivitatea. Demonstram omogenitatea, lasandcelelalte proprietati drept exercitiu. Fie t ∈ R. Daca a = 0, sau b = 0, sau t = 0, atunci are loc relatia⟨ta, b⟩ = t⟨a, b⟩ (ambii membri ai egalitatii fiind nuli). Daca t > 0, atunci unghiurile formate de b cuvectorii a si ta coincid, |t| = t si avem ⟨ta, b⟩ = ||ta|| · ||b|| cosφ = t||a|| · ||b|| cosφ = t⟨a, b⟩.

Pentru t < 0, unghiurile formate de b cu vectorii a si ta sunt suplementare, deci cosinusurile lorsunt opuse; folosind |t| = −t, rezulta relatia. �Observatii. 1. Teorema arata ca V 3 este spatiu vectorial euclidian.

2. Are loc relatia ⟨a, a⟩ = ||a||2, deci putem calcula lungimea unui vector liber a ∈ V 3 folosindprodusul scalar, prin relatia ||a|| =

√⟨a, a⟩.

3. Relatia |cosφ| ≤ 1 implica inegalitatea Cauchy-Schwarz∣∣⟨a, b⟩∣∣ ≤ ||a|| ||b||.

4. Doi vectori liberi sunt ortogonali d.n.d. produsul lor scalar este nul.

Fie {e1, e2, e3} ⊂ V 3 o baza ın spatiul vectorilor liberi, si fie a, b ∈ V 3 doi vectori arbitrari. Exprimandın coordonate acesti doi vectori,

a = a1e1 + a2e2 + a3e3, b = b1e1 + b2e2 + b3e3,

putem determina o formula comoda de calcul a produsului scalar, ın ipoteza ca valorile acestuia pevectorii bazei sunt cunoscute:

⟨ a, b⟩ = ⟨a1e1 + a2e2 + a3e3, b1e1 + b2e2 + b3e3⟩ =

= a1b1⟨e1, e1⟩+ a1b2⟨e1, e2⟩+ a1b3⟨e1, e3⟩+

+a2b1⟨e2, e1⟩+ a2b2⟨e2, e2⟩+ a2b3⟨e2, e3⟩+

+a3b1⟨e3, e1⟩+ a3b2⟨e3, e2⟩+ a3b3⟨e3, e3⟩ =

= (a1, a2, a3)

⟨e1, e1⟩ ⟨e1, e2⟩ ⟨e1, e3⟩⟨e2, e1⟩ ⟨e2, e2⟩ ⟨e2, e3⟩⟨e3, e1⟩ ⟨e3, e2⟩ ⟨e3, e3⟩

b1b2b3

.

106 Produs scalar ın V 3 si ın V 2

Matricea patrata din membrul drept poarta numele de matrice Gram a familiei de vectori {e1, e2, e3}.Relatia de mai sus arata ca daca se cunosc matricea Gram a bazei si coordonatele a doi vectori, produsulscalar al acestora este perfect determinat. Se observa ca ın cazul unei baze ortogonale, matricea Grameste matrice diagonala, deci are o forma extrem de convenabila pentru calcule. Considerand o bazaortonormata {i, j, k} ⊂ V 3 (o baza formata din versori reciproc ortogonali), matricea Gram devinematricea unitate ⟨i, i⟩ ⟨i, j⟩ ⟨i, k⟩

⟨j, i⟩ ⟨j, j⟩ ⟨j, k⟩⟨k, i⟩ ⟨k, j⟩ ⟨k, k⟩

=

1 0 00 1 00 0 1

.

Coordonatele unui vector ın raport cu o asemenea baza se numesc coordonate euclidiene. Baza ortonor-mata {i, j, k} este caracterizata prin egalitatea de sus, care poate fi rescrisa sub forma tabelului cuvalorile produsului scalar pe aceasta baza:

⟨·, ·⟩ i j k

i 1 0 0j 0 1 0k 0 0 1

In acest caz, expresia de mai sus a produsului scalar al vectorilor

a = a1i+ a2j + a3k, b = b1i+ b2j + b3k ∈ V 3

devine extrem de simpla, fiind numita si expresia canonica a produsului scalar:

⟨a, b⟩ = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Observatii. 1. Coordonatele euclidiene ale unui vector a reprezinta exact proiectiile ortogonale alelui a = a1i+a2j+a3k pe cele trei axe de coordonate (considerate cu directia si sensul date de versorii{i, j, k} respectiv), adica au loc relatiile

a1 = pria ≡ ⟨a, i⟩, a2 = prj a ≡ ⟨a, j⟩, a3 = prka ≡ ⟨a, k⟩.

2. Tot ın cazul bazei ortonormate, norma euclidiana a vectorului a are expresia mult simplificata(tema, verificati!) :

a = ||a || =√⟨a, a⟩ =

√a21 + a22 + a23.

3. Unghiul dintre vectorii nenuli

a = a1i+ a2j + a3k, b = b1i+ b2j + b3k ∈ V 3\{0}

este dat de formula

cosφ =⟨a, b⟩||a||||b||

=a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a22 + a23√b21 + b22 + b23

, φ ∈ [0, π].

Se observa ca vectorii a si b sunt perpendiculari (ortogonali) daca si numai daca are loc relatiaa1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.

Vectori liberi 107

5 Produs vectorial

Fig. 10. Produsul vectorial

Fie a, b ∈ V 3 doi vectori arbitrari ın spatiul vectorilor liberi. Pentrua, b ∈ V 3\{0} vom nota cu φ ∈ [0, π] unghiul dintre a si b.

Definitie. Se numeste produsul vectorial dintre vectorii a si b, vectorulliber

a× b ={||a|| · ||b|| · sinφ · e, pentru a, b necoliniari0, pentru a, b coliniari

unde e este un versor perpendicular pe a si b, care are sensul dat deregula mainii drepte pentru tripletul ordonat {a, b, e}, (vezi figura).Produsul vectorial dintre doi vectori liberi determina o aplicatie

biliniara antisimetrica definita pe V 3 × V 3 cu valori ın V 3.

Teorema. Produsul vectorial are urmatoarele proprietati:

1) a× b = −b× a (anticomutativitate),

2) t(a× b) = (ta)× b = a× (tb), t ∈ R (omogenitate),

3) a× (b+ c) = a× b+ a× c (distributivitate),

4) ||a× b||2 = ||a||2||b||2 − ⟨a, b⟩2 (identitatea Lagrange),

5) a× 0 = 0, a× a = 0,

6) a× b = 0⇔ a si b sunt coliniari,

7) daca a si b nu sunt coliniari, atunci ||a×b|| este aria paralelogramului construit pe doi reprezentanticu origine comuna ai vectorilor a si b (vezi figura).

Demonstratie. Proprietatile 1), 2), 3), 5), 6), 7) le lasam ca tema. Pentru a obtine identitatea Lagrange,ınmultim cu ||a||2||b||2 identitatea sin2 φ = 1− cos2 φ. Apoi tinand cont de definitia produselor scalarsi vectorial, rezulta relatia dorita. �Fie {i, j, k} o baza ortonormata ın V 3. Se observa ca versorul k al bazei ortonormate poate fi ales ındoua moduri (care difera prin sens, k = ± i×j). Fixam sensul versorului k, convenind i×j = k; atunci,folosind definitia produsului vectorial si proprietatile din teorema, obtinem tabelul (unde produsul serealizeaza ın ordinea ”linie × coloana”)

× i j k

i 0 k −jj −k 0 ik j −i 0

De asemenea, relativ la aceasta baza ortonormata, doi vectori arbitrari a si b se descompun a =a1i + a2j + a3k, b = b1i + b2j + b3k ∈ V 3, si efectuand calculele corespunzatoare, obtinem expresiacanonica a produsului vectorial,

a× b = (a2b3 − a3b2)i+ (a3b1 − a1b3)j + (a1b2 − a2b1)k

sau ınca, simbolic,

a× b =

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ .

108 Produs vectorial

Dublu produs vectorial.

Fig. 11. Dublu produs vectorial

Se numeste dublu produs vectorial al vectorilor a, b, c ∈ V 3,vectorul w = a× (b× c).

Exprimand vectorii a, b, c ın baza ortonormata{i, j, k

}si

folosind expresiile canonice ale produselor scalar si vectorial,rezulta (tema, verificati!) , relatia

a× (b× c) = ⟨a, c⟩b− ⟨a, b⟩c.

Din relatie se poate observa ca vectorul dublu produs vectorialw este coplanar cu vectorii b si c (ceea ce implica w⊥ b × c),si perpendicularitatea vectorului dublu produs vectorial w pevectorul a (vezi figura).

Observatii. 1. Ordinea parantezelor este esentiala ın calcululdublului produs vectorial: produsul vectorial nu este asociativ,deci ın general

a× (b× c) = (a× b)× c.

2. Dublul produs vectorial se poate calcula folosind expresia simbolica:

a× (b× c) =∣∣∣∣ b c⟨a, b⟩ ⟨a, c⟩

∣∣∣∣ .Exercitii. 1. Se dau vectorii AO = k − 3i, CA = i+ j, CB = 2i− 3j + 5k. Sa se gaseasca vectoriide pozitie ai punctelor A,B,C si sa se calculeze lungimea hA a ınaltimii din A a triunghiului ABC.

Solutie. Verificam ın prealabil ca punctele A,B,C nu sunt coliniare (!). Cum vectorii CA si CB nuau coordonatele proportionale, deci nu sunt vectori coliniari, rezulta afirmatia. Obtinem coordonatelevectorilor de pozitie ale varfurilor triunghiului:

OA = −AO = 3i− k ⇒ A(3, 0,−1)

OB = OA− CA+ CB = 4i− 4j + 4k ⇒ B(4,−4, 4)

OC = OB − CB = 2i− j − k ⇒ C(2,−1,−1).

Inaltimea AD a triunghiului ABC coincide cu ınaltimea paralelogramului construit pe reprezentantiivectorilor BA si BC. Obtinem succesiv

BA = −OB +OA ≡ (−1, 4,−5), BC = −OB +OC ≡ (−2, 3,−5);

BA×BC =

∣∣∣∣∣∣i j k−1 4 −5−2 3 −5

∣∣∣∣∣∣ ≡ (−5, 5, 5) = 5(−1, 1, 1),

||BA×BC|| = 5√3, ||BC|| =

√38, AD = ||BA×BC||

||BC|| = 5√3√

38.

2. Se dau vectorii: u = i+ j − k, v = k − i, w = i− j ∈ V 3.

a) Sa se determine dublul produs vectorial al vectorilor u, v, w.b) Sa se calculeze acelasi dublu produs vectorial folosind formula

u× (v × w) = ⟨u, w⟩v − ⟨u, v⟩w.

Vectori liberi 109

c) Sa se determine un vector a care este perpendicular pe u si este coplanar cu v si w (adica apartinespatiului liniar generat de v si w).

Solutie. a) Identificam vectorii liberi cu tripletele coordonatelor lor relativ la baza canonica ortonor-mata {i, j, k} : u ≡ (1, 1,−1), v ≡ (−1, 0, 1), w ≡ (1,−1, 0). Prin calcul direct, obtinem

v × w =

∣∣∣∣∣∣i j k−1 0 11 −1 0

∣∣∣∣∣∣ = i+ j + k ≡ (1, 1, 1),

si apoi dublul produs vectorial, u× (v × w) =

∣∣∣∣∣∣i j k1 1 −11 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2i− 2j ≡ (2,−2, 0).

b) Aplicand formula u× (v × w) = ⟨u, w⟩v − ⟨u, v⟩w, avem

u× (v × w) = 0 · (−1, 0, 1)− (−2) · (1,−1, 0) = (2,−2, 0) = 2i− 2j

c) Se observa ca dublul produs vectorial

a ≡ u× (v × w) = ⟨u, w⟩v − ⟨u, v⟩w

are exact proprietatile cerute ın enunt, fapt confirmat de egalitatea de mai sus: membrul stang alegalitatii este ortogonal atat pe u, cat si pe v × w (fiind produsul vectorial al acestor vectori), iar celdrept apartine subspatiului Span(v, w), fiind combinatie liniara de generatorii subspatiului. Multimeatuturor solutiilor problemei este subspatiul generat de a, Span({a ≡ 2i− 2j}).

6 Produs mixt

Definitie. Fie a, b, c ∈ V 3 trei vectori liberi. Se numeste produsul mixt al acestor vectori, numarulreal ⟨a, b× c⟩.

Teorema. Produsul mixt are urmatoarele proprietati:

1) ⟨a, b× c⟩ = ⟨c, a× b⟩ = ⟨b, c× a⟩;2) ⟨a, b× c⟩ = −⟨a, c× b⟩;3) ⟨ta, b× c⟩ = ⟨a, tb× c⟩ = ⟨a, b× tc⟩, ∀t ∈ R;4) ⟨a+ b, c× d⟩ = ⟨a, c× d⟩+ ⟨b, c× d⟩;

5) ⟨a× b, c× d⟩ =∣∣∣∣ ⟨a, c⟩ ⟨a, d⟩⟨b, c⟩ ⟨b, d⟩

∣∣∣∣ (identitatea lui Lagrange);

6) ⟨a, b × c⟩ = 0 daca si numai daca cei trei vectori sunt liniar dependenti, adica are loc una dinurmatoarele situatii:

(i) cel putin unul din vectorii a, b, c este nul;(ii) doi dintre vectori sunt coliniari;(iii) vectorii a, b, c sunt coplanari.

Demonstratie. Tema 1 − 5. 6) Fie ⟨a, b × c⟩ = 0. Daca a = 0 sau b × c = 0, rezulta b = 0 sau c = 0sau vectorii b, c coliniari, deci (i) sau (ii). Admitem deci a, b× c ∈ V 3\{0}, si ⟨a, b× c⟩ = 0. Folosindproprietatea 1), rezulta ın mod analog ca fie unul din vectori este nul (i), fie doi din vectori suntcoliniari (ii), fie

a⊥b× c⇔ a ∈ Span({b, c}),

110 Produs mixt

deci vectorii sunt coplanari (iii). Afirmatia reciproca este imediata ın cazul (i), usor de demonstratfolosind 1) ın cazul (ii), iar ın cazul (iii) folosim echivalentele

a ∈ Span({b, c})⇔ a⊥b× c⇔ ⟨a, b× c⟩ = 0.

�Observatie. Daca vectorii liberi a, b, c ∈ V 3\{0} sunt necoplanari, atunci modulul produsului mixtreprezinta volumul paralelipipedului ce se poate construi pe reprezentanti cu origine comuna ai celortrei vectori (vezi figura). Intr-adevar, notand θ = ∠(b, c), φ = ∠(a, b× c), putem scrie

Fig. 12. Interpretarea geometrica a produsului mixt

⟨a, b× c⟩ = ||a|| · ||b× c|| cosφ = ||b× c|| · ||a|| cosφ = ±(||b|| · ||c|| sin θ) · (||a|| cosφ) =

= ± Abaza paralelogram · hparalelipiped = ± V paralelipiped.

Fie {i, j, k} o baza ortonormata. Descompunand trei vectori liberi relativ la aceasta baza,

a = a1i+ a2j + a3k, b = b1i+ b2j + b3k, c = c1i+ c2j + c3k ∈ V 3,

produsul lor mixt are expresia canonica

⟨a, b× c⟩ =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ .Pe baza acestei formule, majoritatea proprietatilor produsului mixt se pot demonstra facand uz deproprietatile determinantilor de ordinul trei (tema, verificati!) .

Se observa ca ordinea celor trei vectori ın calculul produsului lor mixt este esentiala; ın cazul ın careacestia sunt necoplanari (deci produsul lor mixt este nenul), ei determina o baza ın V 3; cum ın acestcaz produsul lor mixt poate fi sau pozitiv, sau negativ, putem da urmatoarea

Definitie. Spunem ca o baza {a, b, c} ⊂ V 3 este orientata pozitiv/negativ daca produsul mixt ⟨a, b×c⟩este pozitiv/negativ.

Spre exemplu, identificand vectorii bazei ortonormate canonice {i, j, k} ⊂ V 3 ce au cordonateleasociate i ≡ (1, 0, 0), j ≡ (0, 1, 0), k ≡ (0, 0, 1), remarcam ca ⟨i, j × k⟩ = 1, deci {i, j, k}este o bazaorientata pozitiv.

Exemplu. Trei vectori a, b, c ∈ V 3 sunt coplanari daca si numai daca determinantul matricei Gramal acestor vectori este identic nul. Intr-adevar, cei trei vectori sunt coplanari (liniar dependenti) doardaca volumul paralelipipedului determinat de acestia este nul,

Vparalelipiped = ±⟨a, b× c⟩ = 0⇔ V 2paralelipiped = ⟨a, b× c⟩2 = 0.

Vectori liberi 111

Dar, exprimand vectorii relativ la baza canonica,

a = a1i+ a2j + a3k, b = b1i+ b2j + b3k, c = c1i+ c2j + c3k

si considerand matricea transpusa a acestora si matricea lor Gram

A = [a, b, c]t =

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

, G =

⟨a, a⟩ ⟨a, b⟩ ⟨a, c⟩⟨b, a⟩ ⟨b, b⟩ ⟨b, c⟩⟨c, a⟩ ⟨c, b⟩ ⟨c, c⟩

avem

V 2paralelipiped = ⟨a, b× c⟩2 = (detA)2 = detA · detA

= detA · detAt = det(A ·At) = detG.

In concluzie, coplanaritatea celor trei vectori revine la anularea determinantului Gram.

7 Probleme propuse

1. Se dau vectorii u = j + 2k, v = k − i.a) Calculati produsul vectorial w = u× v al vectorilor u si v.b) Determinati daca vectorii u si v sunt coliniari (liniar dependenti) sau nu. In cazul cand cei doivectori sunt liniar independenti completati familia {u, v} la o baza a spatiului V 3.c) Determinati ariile paralelogramului si triunghiului determinate de reprezentanti adiacenti ai vec-torilor liberi u si v.

R: a) u ≡ (0, 1, 2), v ≡ (−1, 0, 1), w = u × v =

∣∣∣∣∣∣i j k0 1 2−1 0 1

∣∣∣∣∣∣ = i − 2j + k. b) Nu, fiindca u × v = 0.

Familia {u, v, w} reprezinta o noua baza, deoarece ⟨u, v× w⟩ = 6 = 0. c) Aparalelogram = ||u× v|| =√6, Atriunghi = Aparalelogram/2 =

√6/2 =

√3/2.

2. Se dau vectorii u = i+ k, v = k − j, w = −i+ 2j,

a) Calculati produsul mixt ⟨u, v × w⟩.b) Determinati daca vectorii u, v, w sunt coplanari (liniar dependenti) sau nu. Formeaza cei treivectori o baza ın V 3? Este aceasta baza pozitiv orientata ?c) Sa se determine volumele paralelipipedului, prismei triunghiulare si tetraedrului ce au reprezentantiai vectorilor u, v, w ca muchii adiacente.

R: a) u ≡ (1, 0, 1), v ≡ (0,−1, 1), w ≡ (−1, 2, 0), ⟨u, v × w⟩ =

∣∣∣∣∣∣1 0 10 −1 1−1 2 0

∣∣∣∣∣∣ = −3. b) Nu sunt

coplanari, deoarece ⟨u, v × w⟩ = −3 = 0; fiind trei vectori liniar independenti ın spatiul tridimen-sional V 3, acestia determina o baza, care este negativ orientata, deoarece ⟨u, v × w⟩ = −3 < 0. c)Vparalelipiped = |⟨u, v × w⟩| = 3, Vprisma = Vparalelipiped/2 = 3/2, Vtetraedru = Vprisma/3 = 1/2.

3. Se dau punctele A(2,−1,−1), B(1,−2, 1), C(1, 1,−2), D(0, 1,−1).a) Aratati ca punctele date sunt coplanare.b) Calculati aria paralelogramului ce are drept laturi adiacente reprezentanti ai vectorilor liberi ABsi AC, ca norma de produs vectorial. Verificati ca se obtine acelasi rezultat, folosind identitatea luiLagrange.

R: a) A,B,C,D coplanare ⇔ ⟨AB,AC ×AD⟩ = 0, iar ultima egalitate are loc.

112 Probleme propuse

b) Notand a = AB, b = AC, aria ceruta este ||a× b|| = ||−3i− 3j − 3k|| = 3√3. Altfel, folosind

identitatea lui Lagrange (de la produse vectoriale), obtinem

||a× b|| =√||a||2||b||2 − ⟨a, b⟩2 = 3

√3.

4. Se dau vectorii a = 2i+ k, b = λi− j, c = i+ j + k ∈ V 3, unde λ ∈ R.a) Aflati valoarea parametrului λ astfel ıncat vectorii a, b, c sa fie coplanari.b) Aflati valoarea parametrului λ astfel ıncat vectorii b si c sa fie ortogonali.c) Pentru λ = −1 aflati proiectia prba a vectorului a pe vectorul b, precum si marimea algebrica prbaa acestei proiectii.d) Pentru λ = 0, determinati ınaltimea paralelipipedului construit pe reprezentantii vectorilor a, b, c,perpendiculara pe baza formata de reprezentantii vectorilor a, b.e) Pentru λ = 2, determinati un vector d perpendicular pe a si coplanar cu vectorii b, c.

R: a) a, b, c coplanari ⇔ ⟨a, b × c⟩ = 0 ⇔ λ = 1; b) b⊥c ⇔ ⟨b, c⟩ = 0 ⇔ λ = 1. c) Identificanda ≡ (2, 0, 1), b ≡ (−1,−1, 0), obtinem

prba =⟨a, b⟩⟨b, b⟩

b ≡ −22(−1,−1, 0) ≡ i+ j; prba =

⟨a, b⟩||b||

=−2√2= −√2.

d) h = V paralelipiped/Aparalelogram baza =∣∣⟨a, b× c⟩∣∣ /||a× b|| = 1/

√5. e) Un asemenea vector

este dublul produs vectorial a× (b× c) = 2i− 7j − 4k.

5. Sa se verifice proprietatile:

a) identitatea lui Jacobi: a× (b× c) + b× (c× a) + c× (a× b) = 0, ∀a, b, c ∈ V 3.b) identitatea vectoriala a lui Lagrange:∣∣⟨a, b⟩∣∣2 + ||a× b||2 = ||a||2 · ||b||2, ∀a, b ∈ V 3.

c) ⟨a− b, c− d⟩+ ⟨b− c, a− d⟩+ ⟨c− a, b− d⟩ = 0, ∀a, b, c, d ∈ V 3.

6. Se dau trei vectori a, b, c ∈ V 3. Sa se verifice ca urmatoarele proprietati sunt echivalente:

a) a, b, c admit reprezentanti ce formeaza laturile unui triunghi;b) au loc relatiile a× b = b× c = c× a.

7. Se dau trei vectori a, b, c ∈ V 3. Sa se verifice ca urmatoarele proprietati sunt echivalente:

a) vectorii b− a si b− c sunt coliniari;b) are loc relatia a× b+ b× c+ c× a = 0.

Aratati ca daca vectorii satisfac oricare din cele doua proprietati, atunci ei sunt coplanari.

8. Consideram o baza a spatiului vectorilor liberi, {a, b, c} ⊂ V 3 si cu ajutorul acesteia construimfamilia de vectori

a′ =b× c⟨a, b× c⟩

, b′ =c× a⟨a, b× c⟩

, c′ =a× b⟨a, b× c⟩

.

a) Aratati ca acesti vectori determina o noua baza ın V 3 (numita baza reciproca asociata bazei{a, b, c}).b) Determinati produsele scalare dintre vectorii celor doua baze.c) Aflati reciproca bazei canonice ortonormate {i, j, k} ⊂ V 3.d) Verificati ca are loc relatia ⟨a, b× c⟩ · ⟨a′, b′ × c′⟩ = 1.e) Orice vector v ∈ V 3 admite descompunerea

v = ⟨v, a′⟩a+ ⟨v, b′⟩b+ ⟨v, c′⟩c.

Dreapta si planul ın spatiu 113

f) Baza {a, b, c} este reciproca bazei {a′, b′, c′}, adica au loc relatiile

a =b′ × c′

⟨a′, b′ × c′⟩, b =

c′ × a′

⟨a′, b′ × c′⟩, c =

a′ × b′

⟨a′, b′ × c′⟩.

g) Verificati ca au loc relatiile

⟨a+ b+ c, a′ + b′ + c′⟩ = 3, a× b′ + b× c′ + c× a′ = 0.

R: a) {a, b, c} baza ⇔ ⟨a, b× c⟩ = 0. Obtinem ⟨a′, b′ × c′⟩ = ⟨a, b× c⟩−1 = 0, deci {a′, b′, c′} baza. b)Prin calcul, rezulta relatiile

⟨a, a′⟩ = ⟨b, b′⟩ = ⟨c, c′⟩ = 1,

⟨a, b′⟩ = ⟨a, c′⟩ = ⟨b, a′⟩ = ⟨b, c′⟩ = ⟨c, a′⟩ = ⟨c, b′⟩ = 0.

Aceste relatii determina unic vectorii {a′, b′, c′}: doar tripletul de vectori {a′, b′, c′} definit ın enuntsatisface aceste proprietati (tema, verificati!) . c) Baza duala bazei canonice este chiar ea ınsasi,deci {i, j, k}. d) Prin calcul direct, folosind proprietatile operatiilor cu vectori. e) Se determinacoeficientii descompunerii v = la +mb + nc prin ınmultirea relatiei respectiv cu a′, b′, c′ si folosindrelatiile de la punctul b). f) Prin calcul direct, folosind punctul b) si definitia bazei reciproce.

Capitolul 2. Dreapta si planul ın spatiu

1 Reper cartezian

In cele ce urmeaza vom considera spatiul tridimensional format din puncte E 3 al geometriei ele-mentare, si spatiul vectorial V 3 de dimensiune trei al vectorilor liberi din spatiu. Fixand un punctO ∈ E 3, putem stabili corespondenta bijectiva ıntre cele doua multimi:

φO : E 3 → V 3, φO(M) = OM, ∀M ∈ E 3.

Astfel fiecarui punctM din E 3 ıi corespunde ın mod unic un vector r = OM ∈ V 3, numit vectorul saude pozitie. De asemenea, fixand o baza ortonormata B = {i, j, k} ⊂ V 3, putem stabili izomorfismuldintre spatiile vectoriale V 3 si R3

ψB : V 3 → R3, ψB(r) = (x, y, z), ∀r = xi+ yj + zk ∈ V 3,

care asociaza fiecarui vector liber, coordonatele sale relativ la baza B .Compunand cele doua aplicatii, se observa ca prin fixarea punctului O ın E 3, si a bazei ortonormate

B = {i, j, k} ın V 3, deci a unui reper cartezian R = {O; i, j, k}, fiecarui punctM din E 3 ıi corespundeın mod unic tripletul (x, y, z) ∈ R3. In cele ce urmeaza coeficientii x, y, z atasati punctului M ,determinati prin relatia

OM = xi+ yj + zk,

se vor numi coordonatele carteziene ale punctuluiM relativ la reperul R = {O; i, j, k}. Vom identificaE 3 ≡ R3 prin bijectia ψB ◦φO : E3 → R3 si punctulM ∈ E 3 cu imaginea sa ψB(φO(M)) = (x, y, z) ∈R3, notand: M(x, y, z).

Definitii. a) Dat fiind un reper cartezian R = {O; i, j, k}, punctul O se va numi originea reperului,baza B = {i, j, k}, baza reperului, iar bijectia ψB ◦ φO : E3 → R3 se va numi sistem de coordonatecartezian.

114 Dreapta ın spatiu. Reprezentare analitica

b) Dreptele orientate de versorii i, j, k ce contin originea O se vor numi axe de coordonate, si se vornota respectiv cu Ox,Oy,Oz.

c) Planele determinate de cate doua axe diferite de coordonate se numesc plane de coordonate si sevor nota cu xOy, yOz, zOx.

Observatii. 1. Coordonatele carteziene (x, y, z) ale punctului M reprezinta marimile algebrice aleproiectiilor ortogonale ale vectorului OM pe cele trei axe de coordonate, adica x = prOxOM, y =prOyOM, z = prOzOM .

2. Ca multimi de puncte ın E3 ≡ R3, axele de coordonate sunt caracterizate respectiv prin ecuatiile

Ox :

{y = 0z = 0

, Oy :

{z = 0x = 0

, Oz :

{x = 0y = 0

.

3. Cele trei plane de coordonate sunt caracterizate respectiv prin ecuatiile

xOy : z = 0, yOz : x = 0, zOx : y = 0.

4. Cum un reper cartezian R = {O; i, j, k} determina ın mod unic axele de coordonate Ox,Oy,Oz sireciproc, vom nota uneori reperul prin Oxyz. In cele ce urmeaza consideram spatiul E 3 ınzestrat cuun reper cartezian fixat R = {O; i, j, k}.

2 Dreapta ın spatiu. Reprezentare analitica

In spatiul euclidian E 3, o dreapta poate fi determinata de:

(i) un punct si un vector liber nenul;

(ii) doua puncte distincte;

(iii) intersectia a doua plane.

Dreapta determinata de un punct si un vector nenul. Consideram

⋄ punctul M0(x0, y0, z0), unde r0not= OM0 = x0i+ yoj + z0k,

⋄ vectorul liber nenul v = ai+ bj + ck ∈ V 3\{0}.

Fig. 13. a) ∆(M0, v); b) ∆(M1,M2)

Acestea determina dreapta ∆ care trece prin punctul M0 si are directia data de vectorul v (vezi

Fig. a). Fie M(x, y, z) ∈ E 3 si rnot= OM . Atunci punctul M(x, y, z) apartine dreptei ∆ daca si numai

daca vectorii M0M si v sunt coliniari, conditie care se rescrie

(r − r0)× v = 0.


Aceasta ecuatie ın V 3 se numeste ecuatia vectoriala a dreptei ∆ definita de un punct M0 si o directie(vector liber) v, date. Vectorul v se numeste vector director al dreptei.

Observatii. 1. Orice vector w ∈ Span({v})\{0} este de asemenea vector director al dreptei.

2. Coliniaritatea vectorilor r − r0 si v se rescrie r − r0 ∈ Span({v})⇔ ∃t ∈ R, r − r0 = tv, deci seobtine o alta forma a ecuatiei vectoriale a dreptei ∆,

r = r0 + t v, t ∈ R. (1)

La randul ei, ın coordonate, aceasta este echivalenta cu urmatoarele trei ecuatii ın R3,x = x0 + tay = y0 + tbz = z0 + tc

, t ∈ R, (2)

numite ecuatiile parametrice ale dreptei ∆. Eliminand variabila t din aceste ecuatii, se obtineurmatorul sir de rapoarte egale, numit ecuatiile carteziene ale dreptei ∆ ın R3,

x− x0a

=y − y0b

=z − z0c

. (3)

Convenim ca anularea unui numitor atrage dupa sine anularea numaratorului corespunzator, si caecuatiile sunt date efectiv de egalarea produsului mezilor cu extremii ın proportiile formate. Spreexemplu, daca a = 0, ecuatiile carteziene devin ecuatiile unei drepte paralele cu planul yOz:{

x = x0c(y − y0)− b(z − z0) = 0

iar daca a = b = 0, ecuatiile carteziene devin ecuatiile unei drepte paralele cu axa Oz:{x = x0y = y0.

Dreapta determinata de doua puncte distincte. Doua puncte distincte

M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) ∈ E 3, M1 =M2,

determina ın mod unic o dreapta ∆ care le contine. Aflam ecuatiile acesteia folosind ecuatiile (3),alegand, spre exemplu, M0 =M1 si (vezi Fig. b)

v =M1M2 ≡ (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1);

obtinem ecuatiile carteziene ale dreptei ∆ ce trece prin punctele M1, M2:

x− x1x2 − x1

=y − y1y2 − y1

=z − z1z2 − z1

. (4)

In ceea ce priveste dreapta ca intersectie a doua plane, punctele acesteia vor satisface sistemul dedoua ecuatii ale celor doua plane (descrise ın sectiunea urmatoare) care au drept intersectie dreapta.Asemenea sisteme au fost deja prezentate mai sus (ecuatiile (3), (4) si exemplele particulare).

Dreapta orientata. Data fiind o dreapta ∆ ın spatiu, putem stabili pe aceasta doua sensuri deparcurgere-notate cu (+) si (–). Numim dreapta orientata o dreapta ∆ ımpreuna un sens de parcurgereal acesteia (care va fi sensul pozitiv pe dreapta).

116 Planul ın spatiu. Reprezentare analitica

Daca este precizat un vector director v al dreptei (1), sensul pozitiv al dreptei va fi indicat de acestvector, iar dreapta orientata va fi data de cuplul (∆, v).

Definitii. a) Daca pe o dreapta orientata (∆, v) consideram un punct arbitrar M0 ∈ ∆, numimpartea pozitiva a dreptei ∆, multimea de puncte

∆+ = {M ∈ ∆ | ∃t > 0,M0M = tv},

iar cea negativa, ∆− = {M ∈ ∆ | ∃t < 0,M0M = tv}.b) Se numeste versor director (sau directie orientata) al dreptei orientate (∆, v), versorul

e = ||v||−1v

asociat vectorului director v al acesteia.

c) Se numesc unghiurile directoare ale dreptei orientate (∆, v), unghiurile α, β, γ formate de versoruldirector e respectiv cu axele de coordonate Ox,Oy,Oz.

d) Se numesc cosinusurile directoare ale dreptei orientate (∆, v), coordonatele

cosα = ⟨e, i⟩, cosβ = ⟨e, j⟩, cos γ = ⟨e, k⟩

ale versorului director e relativ la baza {i, j, k}.Observatii. 1. Axele de coordonate sunt exemple de drepte orientate pe care exista ca punct distinsoriginea O; spre exemplu, (Ox, i) are drept semiaxa pozitiva multimea de puncte Ox+ = {M |OM =ti, t > 0}.

2. Cosinusurile directoare α, β, γ ale unei drepte orientate (∆, v) satisfac relatia

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.

Acest lucru rezulta folosind descompunerea versorului e relativ la baza ortonormata {i, j, k}, dupacum urmeaza

e = ⟨e, i⟩i+ ⟨e, j⟩j + ⟨e, k⟩k =

= ||e||||i|| cosαi+ ||e||||j|| cosβj + ||e||||k|| cos γk = cosαi+ cosβj + cos γk,

si exprimand faptul ca norma euclidiana a versorului e ≡ (cosα, cosβ, cos γ) este 1.


In spatiul euclidian E 3, un plan poate fi determinat de:

(i) un punct continut ın plan si un vector liber nenul normal la plan;

(ii) trei puncte necoliniare;

(iii) un punct continut ın plan si doi vectori liberi necoliniari ce admit reprezentanti inclusi ın plan;

(iv) o dreapta si un punct exterior dreptei, incluse ın plan;

(v) doua drepte concurente incluse ın plan;

(vi) doua drepte paralele incluse ın plan.

Vom determina ın fiecare caz ecuatia planului respectiv.

Planul determinat de un punct si un vector liber nenul normal la plan.


Fig. 14. π(M0, n)

In cele ce urmeaza, consideram:

⋄ un punct M0(x0, y0, z0) ∈ E 3, continut ın planul π;

⋄ vectorul liber nenul n = ai + bj + ck ∈ V 3\{0} normal laplanul π.

Dreapta ∆ care trece prin punctul M0 si care are directia vec-torului n se numeste normala la planul π prin M0, iar vectorulnenul n se numeste vector normal al planului π. Se observa caplanul π este unic determinat de conditiile M0 ∈ π, ∆⊥π (vezifigura).

Un punctM(x, y, z) ∈ E 3 apartine planului π daca si numaidaca M0M ⊥ n, sau echivalent

⟨M0M , n⟩ = 0, (1)

conditie numita ecuatia vectoriala a planului π. Tinand cont ca

M0M = (x− x0)i+ (y − y0)j + (z − z0)k,

aceasta ecuatie, rescrisa ın coordonate carteziene conduce la ecuatia carteziana a planului π ce treceprin M0 si este perpendicular pe directia n:

a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0. (2)

Observatii. 1. Notand ın ecuatia (2) d = −(ax0 + by0 + cz0), aceasta se rescrie

ax+ by + cz + d = 0, (3)

numita ecuatia carteziana generala a unui plan. Se observa ca v = 0 conduce la faptul ca nu toticoeficientii a, b, c sunt nuli. Reciproc, ecuatia (3) cu aceasta conditie satisfacuta are cel putin o solutie(x0, y0, z0), care satisface deci relatia

d = −ax0 − by0 − cz0.

Inlocuind ın (3), rezulta ecuatia planului sub forma (2).

2. Remarcam ca ın ecuatia (3) coeficientii celor trei variabile sunt exact coeficientii vectorului normal,n ≡ (a, b, c). De asemenea, observam ca ınmultind ecuatia (3) cu un scalar real nenul, ecuatia obtinutadescrie acelasi plan; de aceea cei patru coeficienti a, b, c, d ai ecuatiei poarta numele de parametrineesentiali ai acesteia, si ca ecuatia unui plan este unica facand abstractie de un factor multiplicativ.

3. Satisfacand o ecuatie de forma (3), orice plan este format din puncteleM(x, y, z) ∈ E 3 ce formeazamultimea de nivel constant π = f−1({0}) a functiei

f : R3 → R, f(x, y, z) = ax+ by + cz + d, ∀(x, y, z) ∈ R3.

4. Planele de coordonate se obtin usor folosind ecuatia (2). Spre exemplu, pentru planul xOy alegemM0 = O(0, 0, 0), n = k si obtinem ecuatia z = 0. Folosind ecuatia (3) se observa ca orice plan paralelcu xOy are o ecuatie de forma z =constant. Analog se pot obtine ecuatiile planelor yOz, zOx si aleplanelor paralele cu acestea (tema, verificati!) .

5. Folosind (3) si forma vectorului normal la plan, planele perpendiculare pe planele xOy, yOz, xOzau ecuatiile (tema, verificati!) respectiv de forma

ax+ by + d = 0, by + cz + d = 0, ax+ cz + d = 0.


6. Folosind observatia anterioara si conditia O ∈ π ⇒ d = 0, se obtin ecuatiile planelor care continaxele de coordonate Ox,Oy,Oz care au respectiv forma

by + cz = 0, ax+ cz = 0, ax+ by = 0.

7. Folosind conditia O ∈ π ⇒ d = 0 ın (3), obtinem ecuatia unui plan care trece prin origine, deforma

ax+ by + cz = 0.

Planul determinat de trei puncte necoliniare.

Fig. 15. π(M1,M2,M3)

Fie punctele necoliniare Mi(xi, yi, zi) ∈ E 3, i = 1, 3.Planul π ce contine aceste puncte are drept vector normaln =M1M2 ×M1M3 = 0, care este vector nenul, fapt ce rezultadin necoliniaritatea celor trei puncte. Alegand ın formula (1)spre exemplu M0 = M1, obtinem ecuatia vectoriala a plan-ului prin trei puncte date ce reprezinta conditia ca un punctM(x, y, z) ∈ E 3 sa apartina planului - deci conditia de copla-naritate a punctelor M,M1,M2,M3, echivalenta cu coplanari-tatea vectorilor M1M,M1M2,M1M3 (vezi figura):

⟨M1M,M1M2 ×M1M3⟩ = 0 (4)

sau, rescriind produsul mixt din relatia (4) ın coordonate, obtinem ecuatia planului prin trei punctedate sub forma de determinant, ∣∣∣∣∣∣

x− x1 y − y1 z − z1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣ = 0. (5)

Se poate arata ca ecuatia este echivalenta cu cea obtinuta prin anularea urmatorului determinant deordinul 4 (preferata uneori din motive mnemotehnice):∣∣∣∣∣∣∣∣

x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (6)

Observatie. Daca se cunosc marimile algebrice ale segmentelor determinate de plan pe axele decoordonate, segmente care au un capat ın originea O iar celalalt respectiv ın punctele de intersectiecu axele-taieturile, (vezi Fig. a),

M1(a, 0, 0), M2(0, b, 0), M3(0, 0, c)

ale planului respectiv cu axele de coordonate Ox,Oy,Oz, folosind formula (6) rezulta ecuatia planuluiprin taieturi x

a + yb +

zc − 1 = 0.

Fig. 16. a) Planul dat prin taieturi; b) π(M0, u, v)


Planul determinat de un punct si doi vectori necoliniari. Consideram ın cele ce urmeaza:

⋄ punctul M0(x0, y0, z0) ∈ E 3 continut ın planul π;

⋄ vectorii liberi necoliniari u = a1i+ b1j + c1k, v = a2i+ b2j + c2k ∈ V 3\{0}, ce admit reprezentanticontinuti ın planul π.

Aplicam formula (6), cu M1 = M0(x0, y0, z0), iar punctele M2(x2, y2, z2) si M3(x3, y3, z3) sunt alese

astfel ıncat−−−−→M1M2 ∈ u,

−−−−→M1M3 ∈ v (vezi Fig. b). Evident cele doua segmente orientate

−−−−→M1M2,

−−−−→M1M3

sunt continute ın planul π (tema, verificati!) , iar

(a1, b1, c1) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1), (a2, b2, c2) = (x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1).

Atunci formula (5) produce ecuatia carteziana a planului π ce contine punctul M0 si reprezentanti aivectorilor liberi necoliniari u, v: ∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0a1 b1 c1a2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣ = 0 (7)

Se observa ca anularea determinantului din formula (7) revine la a exprima prima linie a sa ca ocombinatie liniara de urmatoarele doua linii (M0M ∈ Span({u, v})), deci ecuatia planului se poaterescrie sub forma parametrica

x = x0 + sa1 + ta2y = y0 + sb1 + tb2z = z0 + sc1 + tc2

, s, t ∈ R (8)

Numerele reale s, t se numesc parametri. Cand s, t parcurg multimea numerelor reale, punctulM(x, y, z) parcurge toate punctele planului π.

Observatii. 1. Cazul cand planul π este dat de o dreapta ∆ si un punct M0 exterior dreptei, ambelecontinute ın plan se reduce la cazul 3.3, considerand u vectorul director al dreptei, iar v = M0M1,unde M1 ∈ ∆ este un punct oarecare al dreptei (ale carui coordonate satisfac ecuatiile acesteia).

2. Cazul cand planul π este dat de doua drepte concurente continute ın acesta, se reduce la cazul3.3, considerand un punct M0 aflat pe una din drepte, iar drept vectori liberi u, v, vectorii directoriai celor doua drepte.

3. Cazul cand planul π este dat de doua drepte paralele ∆1,∆2 continute ın π, se reduce la cazul3.3, considerand un punct M0 ∈ ∆1 aflat pe una din drepte, u vectorul director al uneia dintre drepte(vector care da directia ambelor drepte !), iar v = M0N , unde N ∈ ∆2 este un punct oarecare alceleilalte drepte.

Plan orientat. Se observa ca urmatoarele alegeri produc aceeasi orientare:

⋄ alegerea uneia dintre cele doua fete ale planului;

⋄ alegerea unui sens pe (o dreapta) normala la plan;

⋄ alegerea unui sens de rotatie ın plan, urmat de aplicarea regulii mainii drepte!

Definitie. Se numeste plan orientat un plan π considerat ımpreuna cu o alegere a sensului pe normala,sens fixat printr-un vector liber n; pe scurt, un plan orientat este un cuplu (π, n), unde vectorul neste normal la plan.


Fig. 17. Planul orientat

Observatii. 1. Notam fata ce corespunde sensului ales (pozitiv) cu ”(+)”, iar cea opusa cu ”(–)”.

2. Planele xOy, yOz, zOx sunt orientate respectiv de versorii k, i, j.

3. Daca planul π este dat prin ecuatia f(x, y, z) ≡ ax+ by+ cz+ d = 0, acesta separa spatiul ın douasubmultimi convexe, numite subspatii:

π− = {(x, y, z) |f(x, y, z) ≤ 0}π+ = {(x, y, z) |f(x, y, z) ≥ 0}.

Se observa ca aceste multimi sunt ınchise si convexe, si ca avem

π = π− ∩ π+; π− ∪ π+ = E3.

4. Fie π1 si π2 doua plane avand ecuatiile generale respectiv a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 si

a2x+ b2y + c2z + d2 = 0.

Reuniunea planelor π1 si π2 este multimea (ınchisa) de puncte

π1 ∪ π2 = {(x, y, z) |(a1x+ b1y + c1z + d1 )(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0}.

5. In cazul ın care π1 si π2 nu sunt nici paralele, nici confundate (deci vectorii lor normali n1 =(a1, b1, c1), n2 = (a2, b2, c2) sunt necoliniari, n1 × n2 = 0), intersectia planelor π1 si π2 este o dreapta∆ ale carei puncte M(x, y, z) satisfac sistemul liniar{

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0a2x+ b2y + c2z + d2 = 0.

Conditia n1 × n2 = 0 conduce la faptul ca sistemul este compatibil 1-nedeterminat. Vectorul nenul

v = n1 × n2 =

∣∣∣∣∣∣i j ka1 b1 c1a2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣ ≡(∣∣∣∣ b1 c1

b2 c2

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ c1 a1c2 a2

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ a1 b1a2 b2

∣∣∣∣)

produce directia dreptei ∆ (deci este vector director al acesteia). Ecuatiile carteziene canonice aleperpendicularei comune ∆ rezulta acum usor, avand drept date un punct M0 al dreptei (un punct alecarui coordonate satisfac sistemul), si vectorul director v al acesteia.

6. Pentru a afla pozitia relativa a unor drepte si/sau plane se rezolva sistemul format de ecuatiileacestora, si se interpreteaza geometric rezultatul. Dupa cum sistemul este incompatibil, compati-bil determinat, compatibil simplu sau dublu nedeterminat, intersectia este multimea vida (ın cazulparalelismului), punct, dreapta sau plan.


Fascicule de plane.

Fig. 18. Fascicul π∆

a) Data fiind o dreapta ∆, se numeste fascicul de plane concurentemultimea planelor ce contin aceasta dreapta; dreapta ∆ se numeste axafasciculului. Daca avem

∆ = π1 ∩ π2,

{π1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0,

π2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0,

atunci un plan arbitrar din fascicul are ecuatia

s(a1x+ b1y + c1z + d1) + t(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0,

unde coeficientii reali s, t nu se anuleaza simultan. Presupunand spre exemplu s = 0, prin ımpartire las, se obtine ecuatia fasciculului redus (numit astfel deoarece din fascicul lipseste planul π2), de forma

(a1x+ b1y + c1z + d1) + r(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0, r ∈ R.

b) Data fiind o directie furnizata de un vector nenul n ≡ (a, b, c), se numeste fascicul de plane paralele,multimea planelor ce au ecuatia de forma

ax+ by + cz + λ = 0, λ ∈ R.

Se observa ca aceste plane au acelasi vector normal n, deci sunt efectiv paralele.

4 Unghiuri ın spatiu

Vom determina ın cele ce urmeaza formule de calcul ale unghiurilor:

⋄ dintre doua drepte orientate,

⋄ dintre doua plane orientate,

⋄ dintre o dreapta orientata si un plan orientat.

Unghiul dintre doua drepte orientate. Fie (∆1, u), (∆2, v) doua drepte orientate avand vectorii directoriu = a1i+ b1j + c1k, v = a2i+ b2j + c2k.

Fig. 19. a) Unghiul a doua drepte; b) Unghiul a doua plane

Se va numi unghiul dintre dreptele orientate (∆1, u), (∆2, v), unghiul α dintre vectorii lor directoriu si v (vezi Fig. a). Acesta este deci dat de relatia

cosα =⟨u, v⟩||u|| · ||v||

=a1a2 + b1b2 + c1c2√

a21 + b21 + c21√a22 + b22 + c22

, α ∈ [0, π] .

Putem verifica (tema, verificati!) urmatoarele caracterizari analitice ale perpendicularitatii si par-alelismului a doua drepte:

122 Unghiuri ın spatiu

1) ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ ⟨u, v⟩ = 0⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0.

2) ∆1 || ∆2 ⇔ u× v = 0⇔ a1a2

= b1b2

= c1c2.

Unghiul dintre doua plane orientate. Fie planele π1, π2 avand respectiv ecuatiile

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0, a2x+ b2y + c2z + d2 = 0,

orientate implicit de vectorii normali n1 = (a1, b1, c1) respectiv n2 = (a2, b2, c2) (vezi Fig. b).Planele π1 si π2 sunt paralele sau confundate daca si numai daca vectorii lor normali sunt coliniari,

adica n1 × n2 = 0, deci au coeficientii proportionali.Ele nu sunt confundate, daca ecuatiile lor nu difera printr-un factor multiplicativ nenul. Prin

urmare, π1 si π2 sunt paralele, daca exista un numar real k ∈ R\{0} astfel ıncat sa avem relatiile

(a1, b1, c1) = k(a2, b2, c2), d1 = kd2.

Planele π1 si π2 coincid daca ∃k ∈ R\{0} astfel ıncat

(a1, b1, c1, d1) = k(a2, b2, c2, d2).

Daca planele π1 si π2 nu sunt paralele sau confundate, fie ∆ dreapta dupa care acestea se intersecteaza.Un plan π perpendicular pe ∆ taie cele doua plane dupa laturile unui unghi α, unghiul diedru alplanelor π1 si π2. Constatam ca putem determina relativ usor unghiul θ dintre vectorii n1 si n2,unghiul format de normalele celor doua plane, (suplementar sau egal cu unghiul α), deci obtinemcosα = ± cos θ, unde

cos θ =⟨n1, n2⟩||n1||||n2||

=a1a2 + b1b2 + c1c2√

a21 + b21 + c21√a22 + b22 + c22

, θ ∈ [0, π],

ın functie de sensul vectorilor normali. Daca planele sunt orientate de vectorii normali n1 si n2, atuncispunem ca unghiul θ determinat mai sus este unghiul celor doua plane orientate. In particular, avem

π1⊥π2 ⇔ ⟨n1, n2⟩ = 0 ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0.

Unghiul dintre o dreapta orientata si un plan orientat.

Fig. 20. Unghiul (∆, π)

Consideram dreapta orientata (∆, v), si planul orientat(π, n), unde v ≡ (v1 , v2, v3), n ≡ (n1 , n2, n3). Prin definitieunghiul α ∈

[−π

2 ,π2

]format ıntre dreapta ∆ si planul π, este

unghiul dintre dreapta si proiectia ∆′ a acesteia pe plan. Incazul ∆ || π, consideram α = 0, altminteri dreapta intersecteazaplanul ıntr-un punct (continut ın proiectia ∆′). Constatam caputem determina relativ usor unghiul θ ∈ [0, π] dintre vectoriiv si n (dintre dreapta ∆ si normala la planul π), unghi comple-mentar unghiului α, deci obtinem sinα = cos θ, unde

cos θ =v1n1 + v2n2 + v3n3√

v21 + v22 + v23√n21 + n22 + n23

, θ ∈ [0, π].

Observatii. 1. Se observa ca α > 0 d.n.d. unghiul dintre v si n este ascutit.

2. Daca dreapta ∆ este paralela cu planul π sau continuta ın plan, constatam ca:

∆||π sau ∆ ⊂ π ⇔ ⟨v, n⟩ ≡ v1n1 + v2n2 + v3n3 = 0.

3. Daca dreapta ∆ este perpendiculara pe planul π, avem:

∆⊥π ⇔ α = 0 ⇔ θ ∈ {0, π} ⇔ v × n = 0 ⇔ v1n1

=v2n2

=v3n3.


5 Distante ın spatiu

Vom determina ın cele ce urmeaza formule de calcul ale distantei:

⋄ de la un punct la o dreapta sau de la un punct la un plan,

⋄ dintre doua drepte.

Distanta de la un punct la o dreapta. Se dau punctul A si dreapta ∆, ale carei ecuatii cartezienesunt

x− x0a

=y − y0b

=z − z0c

. (1)

Fig. 21. Distanta d(A,∆)

Ne propunem sa determinam distanta d(A,∆) de la punct ladreapta. Pentru aceasta, observam ca din ecuatiile dreptei ies ınrelief vectorul director al acesteia v = (a, b, c) si un punct al dreptei,B(x0, y0, z0) ∈ ∆ (ale carui coordonate satisfac sistemul de ecuatii(1)).

Daca A ∈ ∆ (coordonatele sale satisfac ecuatiile (1)), atuncievident d(A,∆) = 0.

Daca A /∈ ∆, atunci d(A,∆) este marimea ınaltimii AA′ (vezifigura) a paralelogramului de baza BC determinat de segmentele

orientate−−→BA si

−−→BC ∈ v, deci d(A,∆) este raportul dintre aria

paralelogramului si lungimea bazei. Aplicand formulele de calcul cunoscute, rezulta formula de calcula distantei de la punctul A la dreapta ∆,

d(A;∆) =||BA× v||||v||

.

Observatii. 1. Formula are loc si ın cazul A ∈ ∆.

2. Are loc relatia d(A;∆) = infM∈∆

d(A,M), deci distanta d(A;∆)este cea mai mica distanta de la

punctul A la punctele dreptei ∆.

Distanta de la un punct la un plan.

Fig. 22. Distanta d(A, π)

Se dau punctul A(x0, y0, z0) si planul π de ecuatie ax+ by+cz + d = 0. Ne propunem sa determinam distanta d(A, π)dela punct la plan. Daca A ∈ π, atunci evident d(A;π) = 0.Daca A /∈ π, fie A′(x′, y′, z′) proiectia punctului A pe planul π(vezi figura), obtinut prin intersectia unicei drepte ∆ de vectordirector v ≡ (a, b, c) ce contine punctul A (perpendiculara prinA pe plan), cu planul π. Atunci distanta de la punctul A la

planul π este d(A, π) = ||−−→AA′||. Prin calcul se obtine (tema,

verificati!) :

d(A;π) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2. (2)

Observatii. 1. Formula (2) are loc si ın cazul A ∈ π.

2. Distanta d(A;π) este cea mai mica distanta de la punctul A la punctele planului π, adica are locrelatia

d(A;π) = infM∈π

d(A,M).

124 Distante ın spatiu

Distanta dintre doua drepte. Perpendiculara comuna a doua drepte oarecare din spatiu.Se dau doua drepte ∆1,∆2 cu vectorii directori respectiv v1, v2 ∈ V 3\{0}. Ne propunem sa deter-minam distanta d(∆1,∆2) dintre cele doua drepte.

Daca dreptele sunt confundate (sistemul reunit al ecuatiilor lor este compatibil nedeterminat) sauconcurente (sistem unic determinat), atunci evident d(∆1,∆2) = 0.

Daca dreptele sunt paralele (sistem incompatibil, cu rangul matricei coeficientilor = 1), atunci,alegand un punct A1 ∈ ∆1 de pe prima dreapta, aplicand 5.1, putem calcula distanta d(∆1,∆2) =d(A1,∆2).

Daca dreptele sunt oarecare (sistem incompatibil, cu rangul matricei coeficientilor egal cu 2) sauconcurente, atunci vectorii v1, v2 sunt necoliniari, si deci

n = v1 × v2 = 0

este un vector normal la ambele drepte, ce determina directia normala comuna unica a celor douadrepte. Aceasta este directia perpendicularei comune a celor doua drepte, unica dreapta ∆⊥ ce sesprijina pe ambele drepte si este ortogonala pe acestea.

Fig. 23. a) Perpendiculara comuna a doua drepte; b) Distanta d(∆1,∆2)

Ecuatiile perpendicularei comune ∆⊥ sunt furnizate de sistemul de doua ecuatii al urmatoarelordoua plane π1 si π2, la intersectia carora aceasta se afla dreapta cautata:

⋄ planul π1 ce contine un punct A1 ∈ ∆1 al primei drepte si reprezentanti ai vectorilor liberi v1 si n;

⋄ planul π2 ce contine un punct A2 ∈ ∆2 al celei de-a doua drepte si reprezentanti ai vectorilor liberiv2 si n (vezi figura).

Deci un punct M(x, y, z) ∈ E 3 apartine perpendicularei comune ∆⊥ daca si numai daca coordonatele

sale satisfac sistemul de ecuatii

{⟨A1M, v1 × n⟩ = 0

⟨A2M, v2 × n⟩ = 0.Apoi, intersectand ∆⊥ cu dreptele ∆1 si ∆2,

se obtin respectiv punctele B1, B2, numite picioarele perpendicularei comune, iar distanta dintre ∆1

si ∆2 este d(∆1,∆2) = ||−−−→B1B2||.

Observatii. 1. Distanta dintre cele doua drepte ∆1 si ∆2 se poate calcula si direct, fara a fi necesaradeterminarea ın prealabil a perpendicularei comune ∆⊥ si a intersectiei acesteia cu cele doua drepte.

Fixand doua puncte, A1 ∈ ∆1, A2 ∈ ∆2, distanta d(∆1,∆2) dintre dreptele ∆1 si ∆2 este distantadintre planele π′ si π′′ determinate respectiv de A1, v1, v2 si A2, v1, v2. Remarcam ca prin constructieavem ∆1 ⊂ π′, ∆2 ⊂ π′′, ∆1,2||π1,2.

Atunci pararalelipipedul ce are drept muchii adiacente−−−→A1A2 si reprezentanti de origine A1 ai

vectorilor liberi v1, v2 (paraleli cu bazele, vezi figura), are bazele continute ın cele doua plane paralele,iar ınaltimea sa are lungimea

d(∆1,∆2) = d(π′, π′′) = hparalelipiped = V paralelipiped/Abaza.


Folosind formulele de calcul ale volumului si ariei, obtinem

d(∆1,∆2) =

∣∣⟨A1A2, v1 × v2⟩∣∣

||v1 × v2||.

2. Putem determina picioarele B1, B2 ale perpendicularei comune- si de aici distanta dintre cele doua

drepte d(∆1,∆2) = ||−−−→B1B2|| si perpendiculara comuna ∆⊥ ca dreapta determinata de punctele B1, B2,

astfel:

Fig. 24. Perpendiculara comuna

Folosind ecuatiile vectoriale ale celor doua drepte, consideramdoua puncte arbitrare fixate A1 ∈ ∆1, A2 ∈ ∆2 si punctele mobile{

C1(t) ∈ ∆1, OC1(t) = OA1 + tv1, t ∈ R

C2(s) ∈ ∆2, OC2(s) = OA2 + sv2, s ∈ R.

Cand parametrii t si s parcurg dreapta reala, cele doua puncteC1(t), C2(s) parcurg respectiv dreptele ∆1,∆2. Cele douapuncte coincid respectiv cu picioarele perpendicularei comunedoar atunci cand vectorul liber determinat de segmentul orientat−−−−−−−→C1(t)C2(s) satisface conditiile de ortogonalitate pe cei doi vectoridirectori (vezi figura){⟨C1(t)C2(s), v1⟩ = 0

⟨C1(t)C2(s), v2⟩ = 0,

sistem liniar de doua ecuatii ın necunoscutele t si s. Solutiile t0, s0 sunt parametrii corespunzatoripunctelor cautate si avem C1(t0) = B1, C2(s0) = B2. Atunci ∆⊥ are ecuatia vectoriala OM =

OB1 + tB1B2, t ∈ R, iar distanta dintre drepte este d(∆1,∆2) = ||−−−→B1B2||.

3. Are loc relatia

d(∆1;∆2) = infA ∈ ∆1

B ∈ ∆2

d(A,B),

deci distanta d(∆1;∆2) este cea mai mica distanta dintre doua puncte aflate respectiv pe cele douadrepte.

6 Probleme propuse

1. Determinati dreapta ∆ ın urmatoarele cazuri, stiind ca:

a) trece prin punctele A(1, 0, 2), B(1,−1, 0).b) contine punctul C(1, 0, 1) si are vectorul director v = k − 2i. Scrieti ecuatiile parametrice aledreptei.

c) este normala la planul π : x− 3y = 0 si contine punctul D(1, 0, 3).

d) se afla la intersectia planelor π1 : x− y = 0; π2 : x− 3z − 1 = 0.

R: a) Folosim ecuatia dreptei prin 2 puncte date,

x− xAxB − xA

=y − yAyB − yA

=z − zAzB − zA

⇔ x− 1

0=y − 0

−1=z − 2

−2⇔{x− 1 = 02y − z + 2 = 0.


b) Folosim ecuatia dreptei ce trece printr-un punct C dat si are directia data de vectorul director v:

∆ :x− xCa

=y − yCb

=z − zCc

⇔ x− 1

−2=y − 0

0=z − 1

1(= t).

Pentru a afla ecuatiile parametrice egalam cu t sirul de rapoarte; obtinem

∆ : (x, y, z) = (−2t+ 1, 0, t+ 1), t ∈ R.

c) Datorita perpendicularitatii, drept vector director al dreptei putem considera vectorul n normal laplanul π, n ≡ (1,−3, 0), si folosim ecuatia dreptei ce trece printr-un punct D dat si are directia datade vectorul director n; obtinem

∆ :x− 1

1=y − 0

−3=z − 3

0.

d) Pentru a afla ecuatiile canonice ale dreptei ∆ = π1 ∩ π2 rezolvam sistemul{x− y = 0x− 3z − 1 = 0

⇔ (x, y, z) = (3t+ 1, 3t+ 1, t), t ∈ R.

Extragand t din fiecare relatie, rezulta x−13 = y−1

3 = z−01 (= t).

2. Sa se determine planul π ın urmatoarele cazuri, stiind ca:

a) contine punctele necoliniare A(1, 0, 1), B(0, 1, 0), C(0, 1, 1).b) contine punctul D(1, 0,−1) si reprezentanti ai vectorilor u = k − i, v = j + 2i.c) contine punctul E(0, 1, 2) si are vectorul normal n = i− 2j + k.d) este perpendicular pe dreapta ∆ : 3x = y − 1 = −z si contine punctul F (1,−2, 3).

e) contine dreapta ∆ :

{x = yz + x = 1

si punctul G(0, 1,−1).

R: a) Folosim ecuatia planului prin 3 puncte A,B,C

π :

∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1xA yA zA 1xB yB zB 1xC yC zC 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 11 0 1 10 1 0 10 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

b) Folosim ecuatia planului ce trece printr-un punct D dat si contine reprezentanti a doua directiiu, v date.

π :

∣∣∣∣∣∣x− xD y − yD z − zDux uy uzvx vy vz

∣∣∣∣∣∣ = 0⇔

∣∣∣∣∣∣x− 1 y − 0 z + 1−1 0 12 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 0

c) Folosim ecuatia planului ce trece prin punctul dat E(0, 1, 2) si are vectorul normal n = i−2j+ k ≡(n1, n2, n3) dat,

π : n1(x− xE) + n2(y − yE) + n3(z − zE) = 0⇔ x− 2y + z = 0.

d) Planul contine punctul F si are drept vector normal exact vectorul director al dreptei ∆; ecuatiiledreptei se rescriu ∆ : 3x = y − 1 = −z ⇔ x−0

1/3 = y−11 = z−0

−1 , deci vectorul normal la plan este

n ≡ (1/3, 1,−1). Folosind ecuatia unui plan ce contine un punct (F ) dat, de vector normal dat(folosim multiplul 3n, mai comod ın calcul), obtinem π : x+3y−3z+14 = 0. e) Planul π determinatde punctul G si vectorii w = u × v si GH, unde u ≡ (1,−1, 0), v ≡ (1, 0, 1) sunt vectorii normali aiplanelor din sistemul de ecuatii al dreptei, iar H este un punct al dreptei, spre exemplu H(0, 0, 1). Seobtine π : x− 2y − z + 1 = 0.


Varianta. Acel plan din fasciculul

πλ : (x− y) + λ(x+ z − 1) = 0

ce contine dreapta, care trece prin punctul G; conditia G ∈ πλ, conduce la λ = −1/2, si ınlocuind ınecuatia fasciculului, rezulta π : x− 2y − z + 1 = 0.

3. Sa se determine planul π ın urmatoarele cazuri, stiind ca:

a) contine axa Oz si punctul A(1, 2,−3);b) este perpendicular pe axa Oz si contine punctul B(0, 1, 2);c) determina pe axele Ox, Oy, Oz segmente de marime algebrica respectiv a = −1, b = 2, c = 3.

R: a) Continand axa Oz, planul are o ecuatie de forma π : lx +my = 0; conditia A ∈ π conduce lal = −2m; alegem m = −1 si rezulta π : 2x− y = 0. b) Fiind perpendicular pe axa Oy, planul are oecuatie de forma π : z − c = 0; conditia B ∈ π conduce la c = 2 ⇒ π : z = 2. c) folosind ecuatiaplanului prin taieturi, obtinem π : x

−1 + y2 + z

3 − 1 = 0⇔ 6x− 3y − 2z + 6 = 0.

4. Sa se determine planul π care contine dreptele ∆1 : x = y = z; ∆2 : x = −y = z.

R: Cele 2 drepte determina un plan doar daca sunt ori concurente, ori paralele. Vectorii directoriai celor doua drepte v1 ≡ (1, 1, 1), v2 ≡ (1,−1, 1) au produsul vectorial nenul, deci dreptele nu suntparalele. Intersectia lor, obtinuta din sistemul de 4 ecuatii{

x = y = zx = −y = z

este punctul A(0, 0, 0), deci dreptele sunt concurente si determina un plan π care le contine. Astfel, πeste determinat de punctul A si vectorii v1, v2:

π :

∣∣∣∣∣∣x− 0 y − 0 z − 01 1 11 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x = z.

5. Determinati planul π care contine dreptele

∆1 : x = −y = z + 1; ∆2 :x− 1

2=−y − 2

2=z

2.

R: Verificam daca dreptele sunt paralele, confundate sau concurente. Vectorii directori ai celor douadrepte sunt v1 ≡ (1,−1, 1), v2 ≡ (2,−2, 2) (!) si au produsul vectorial nul, iar sistemul format din cele4 ecuatii ale celor doua drepte este incompatibil (nu exista puncte comune celor doua drepte, acesteanefiind deci confundate), deci dreptele sunt paralele si determina un plan. Alegem A1(0, 0,−1) ∈∆1, A2(1,−2, 0) ∈ ∆2, si atunci π este determinat de punctul A1 si vectorii A1A2 si v1; obtinemπ : x− z = 1.

6. Determinati planul π stiind ca acesta contine dreapta ∆ :

{x = yx− z = 1

si este perpendicular pe

planul π′ : x− 2y = 1.

R: Planul contine dreapta, deci apartine fasciculului πλ : (x− y) + λ(x− z − 1) = 0 si este ortogonalpe planul π′ doar daca se anuleaza produsul scalar dintre vectorul sau normal n ≡ (1 + λ,−1,−λ) sivectorul normal n′ ≡ (1,−2, 0) al planului π′. Obtinem

λ = −3⇒ π : 2x+ y − 3z − 3 = 0.


7. Se dau punctele A(1, 0,−1), B(0, 1, 2), planele π : x − y = 1, π′ : x + y + 1 = 0 si dreapta∆ : x = y = −z. Sa se determine urmatoarele proiectii si simetrice indicate mai jos:

a) D = simBA (simetricul punctului A fata de punctul B);b) A′ = prπ′A, A′′ = simπ′A.c) C ′ = pr∆A,C

′′ = sim∆A.d) ∆′ = prπ∆, ∆

′′ = simπ∆.

R: a) Punctul B se afla la mijlocul segmentului determinat de punctele A,D, deci avem relatiile

xB =xA + xD

2, yB =

yA + yD2

, zB =zA + zD

2⇔ xD = −1, yD = 2, zD = 5 ⇒ D(−1, 2, 5).

b) Proiectia A′ a punctului A pe planul π′ se afla la intersectia dintre plan si dreapta prin A devector director egal cu vectorul normal la plan, n′ ≡ (1, 1, 0); obtinem A′(0,−1,−1). Simetriculcautat este de fapt simetricul punctului A fata de proiectia A′. Procedand ca la punctul a), rezultaA′′(−1,−2,−1). c) Proiectia C ′ a punctului A pe dreapta ∆ se afla la intersectia dintre dreapta siplanul ce contine punctul A si are vectorul normal egal cu vectorul director al dreptei ∆; obtinemC ′(2, 2,−2). A′(0,−1,−1). Simetricul cautat este de fapt simetricul punctului A fata de proiectiaC ′. Procedand ca la punctul a), rezulta C ′′(3, 4,−3). d) Alegem doua puncte distincte E si Fpe dreapta ∆, spre exemplu E(0, 0, 0), F (1, 1,−1); procedand ca la punctul b) determinam proiectiileE′(1/2,−1/2, 0), F ′(3/2, 1/2,−1) ale acestora pe planul π, si apoi simetricele E′′(1,−1, 0), F ′′(2, 0,−1)ale acestora fata de planul π. Atunci ∆′ este dreapta E′F ′ de ecuatii:

x− 1/2

1=y + 1/2

1=z − 0

−1⇔ x− 1/2 = y + 1/2 = −z,

iar dreapta ∆′′ este dreapta E′′F ′′ de ecuatii

x− 1

1=y + 1

1=z − 0

−1⇔ x− 1 = y + 1 = −z.

8. Se dau punctele A(1, 0,−1), B(0, 1, 2), planul π : x− y = 2 si dreapta ∆ : x− 1 = 2− 3y = −z.Sa se afle urmatoarele distante:

a) distanta d(A,B) dintre cele doua puncte;b) distanta d(A, π) dintre punctul A si planul π;c) distanta d(A,∆) dintre punctul A si dreapta ∆.

R: a) Distanta ıntre cele doua puncte este

d(A,B) =√(0− 1)2 + (1− 0)2 + (2− (−1))2 =

√11;

b) vectorul normal la planul π este n ≡ (1,−1, 0); aplicand formula distantei de la un punct la un

plan, rezulta d(A, π) = |1−0−2|√12+(−1)2+02

=√22 . Tema: aflati aceeasi distanta, ca distanta dintre punctul

A si proiectia sa pe plan. c) Vectorul director al dreptei este v ≡ (1,−1/3,−1); alegem un punct alacesteia C(1, 2/3, 0); distanta d(A,∆) este ınaltimea paralelipipedului de baza paralela cu v si muchiiparalele cu vectorii CA si v, raportul dintre aria paralelipipedului si lungimea bazei. Avem deci

d(A;∆) =||CA× v||||v||

=

√14/3√19/3

=

√14

19.

Tema: aflati aceeasi distanta, ca distanta dintre punctul A si proiectia sa pe dreapta.

9. Se dau punctele A(3,−1,−1), B(−1, 3,−1), C(−1,−1, 3), D(α, 2, 2). Aflati parametrul α astfelıncat acestea sa fie coplanare, apoi aflati planul π care contine cele patru puncte.


R: Conditia de coplanaritate a punctelor revine la coplanaritatea vectorilor AB,AC,AD, data deanularea produsului lor mixt; rezulta α = −3, π : x+ y + z = 1.

10. Calculati urmatoarele unghiuri:

a) unghiul α dintre dreptele ∆1 : x− 1 = y = z, ∆2 : x = 1− y = z0 ;

b) unghiul β dintre planele π1 : y = z, π2 : x = 1− y + 2z;c) unghiul γ dintre dreapta ∆0 :

1−2x−1 = y

0 = z si planul π0 : x = 2.

R: a) Vectorii directori sunt v1 ≡ (1, 1, 1), v2 ≡ (1,−1, 0), iar α este unghiul dintre acestia; aplicandformula, rezulta α = arccos 0 = π/2, deci dreptele au directii perpendiculare. b) Vectorii normali laplane sunt respectiv n1 ≡ (0, 1,−1), n2 ≡ (1, 1,−2); aplicand formula, rezulta β = π− arccos (

√3/2).

c) Un vector director al dreptei este v ≡ (1/2, 0, 1), iar un vector normal al planului este n ≡ (1, 0, 0);aplicand formula, rezulta γ = arcsin(1/

√5).

11. Determinati ecuatiile parametrice ale dreptei ∆ care trece prin punctul A(2, 3, 0)si este perpen-diculara pe dreptele ∆1,∆2, stiind ca acestea au directiile date respectiv de vectorii u1 ≡ (1, 0, 1) siu2 ≡ (−1, 1, 2).

R: Dreapta de directie u1 × u2 ≡ (−1,−3, 1) ce trece prin A, de ecuatii

∆ :x− 2

−1=y − 3

−3=z

1(= t)⇔ (x, y, z) = (−t+ 2,−3t+ 3, t), t ∈ R.

12. Se dau dreptele ∆1 : x − 1 = y = z; ∆2 : x = −y = z. Aflati perpendiculara comuna ∆⊥aacestora si distanta d(∆1,∆2) dintre ele.

R: Directiile celor doua drepte sunt respectiv v1 ≡ (1, 1, 1), v2 ≡ (1,−1, 1), deci directia normalei va fidata de vectorul n = v1 × v2 ≡ (2, 0,−2). Alegand punctele A1(1, 0, 0) ∈ ∆1, A2(0, 0, 0) ∈ ∆2, planeledeterminate de A1, v1, n si A2, v2, n furnizeaza ecuatiile perpendicularei comune

∆⊥ :

{x− 2y + z = 1x+ 2y + z = 0

⇔{y = −1/4x+ z − 1/2 = 0.

Distanta d(∆1,∆2) este ınaltimea paralelipipedului format cu muchii paralele cu A1A2, v1, v2 si bazaparalelogramul cu muchiile paralele cu v1, v2, deci

d(∆1,∆2) = hparalelipiped = Vparalelipiped/Abaza =

∣∣⟨A1A2, v1 × v2⟩∣∣

||v1 × v2||=

2

2√2=

√2

2.

Altfel. Folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte, consideram punctele C1(t) = (t+1, t, t) ∈∆1si C2(s) = (s,−s, s) ∈ ∆2. Segmentul C1(t)C2(s) este inclus ın perpendiculara comuna ∆⊥ doardaca vectorul C1(t)C2(s) ≡ (s − t − 1,−s − t, s − t) este ortogonal pe cei doi vectori directori; dinanularea celor doua produse scalare, rezulta sistemul{

s− 3t− 1 = 03s− t− 1 = 0

⇔{t = −1/4s = 1/4,

iar punctele corespunzatoare B1 = C1(−1/4) = (3/4,−1/4,−1/4) si B2 = C2(1/4) = (1/4,−1/4, 1/4)sunt picioarele perpendicularei comune ∆⊥. Dreapta B1B2 este exact perpendiculara comuna, deciobtinem

∆⊥ :x− 1/4

1/2=y + 1/4

0=z − 1/4

−1/2⇔{y = −1/4x+ z − 1/2 = 0.

Distanta d(∆1,∆2) este atunci distanta dintre punctele B1, B2, deci d(∆1,∆2) = d(B1, B2) =√2/2.

130 Translatia si rotatia reperului cartezian

Capitolul 3. Schimbari de repere ın spatiuMultimea izometriilor (transformarilor ce pastreaza distanta) spatiului E 3 formeaza un grup, pe

care ıl vom nota cu Iz . Cu ajutorul acestui grup, se introduce notiunea de grup de congruenta afigurilor din spatiul punctual E 3, doua figuri fiind congruente, daca una se obtine din cealalta printr-oizometrie a grupului.

Rotatiile ın jurul dreptelor ce trec prin origine si simetriile fata de planele ce contin originea sunttransformari ortogonale (care pastreaza produsul scalar); ele pastreaza originea, induc transformariliniare ale spatiului V 3, iar matricele lor relativ la orice baza ortonormata a spatiului V 3 sunt matriceortogonale.

Orice izometrie J a spatiului euclidian este de forma J = T ◦ S, unde T este o translatie, iar Seste o asemenea transformare ortogonala.

Vom considera ın cele ce urmeaza izometrii care actioneaza doar asupra reperelor carteziene (iden-tificate cu sistemul de axe de coordonate pe care ıl determina), si lasa pe loc punctele spatiului E 3.

Definitie. Fie J = T ◦ S o izometrie ce transforma reperul cartezian R = {O; i, j, k} ın noul reper

R′ = J(R) = {O′ = T (O); i′ = S(i), j′ = S(j), k′ = S(k)}.

Izometria J se numeste deplasare (sau izometrie pozitiva) daca baza {i′, j′, k′} este orientata pozitivsi antideplasare (sau izometrie negativa) ın caz contrar.

Exemple. Izometrii pozitive sunt translatiile, rotatiile ın jurul unei drepte si simetria ın raport cu odreapta; izometrii negative sunt simetria ın raport cu un plan si simetria ın raport cu un punct.

Observatii. 1. Grupul Iz este necomutativ. Spre exemplu, T ◦ S = S ◦ T , pentru aplicatiile

T (x, y, z) = (x+ 1, y, z), S(x, y, z) = (−y, x, z),

caci (de exemplu) aplicate punctului (1, 0, 0) produc imaginile diferite (1, 1, 0) = (0, 2, 0).

2. Izometriile elementare, generatoare ale grupului Iz , sunt simetria ın raport cu un plan oarecare sitranslatia; prin compunerea acestora se obtin:

⋄ rotatia ın jurul unei drepte-compunere de simetrii relative la doua plane ce contin dreapta si formeazaun unghi egal cu jumatate din unghiul de rotatie;

⋄ simetria relativa la o dreapta-compunere de simetrii relative la doua plane ce contin dreapta siformeaza un unghi drept;

⋄ simetria relativa la un punct-compunere de simetrii relative la trei plane reciproc ortogonale ce seintersecteaza ın acel punct.

3. Translatia este de asemenea compunere a doua simetrii fata de plane paralele, ambele normale pevectorul de translatie v = OA, unul din plane trecand prin A, iar celalalt prin A′, unde OA = 2OA′.


Definitie. Se numeste translatie a reperului cartezian Oxyz de vector liber v, deplasarea J = T areperului R = Oxyz astfel ca axele noului reper R′ = O′x′y′z′ sa fie paralele si de acelasi sens cu celeale reperului Oxyz, iar v = OO′.

Schimbari de repere ın spatiu 131

Observatii. 1. Folosind notatiile din capitolul anterior, observam ca translatia T de vector OO′,duce reperul R = Oxyz = {O; i, j, k} ın R′ = O′x′y′z′ = {O′; i′, j′, k′}, unde

R′ = T (R) = {O′ = T (O); i′ = T (i) = i, j′ = T (j) = j, k′ = T (k) = k}.

Fig. 25. Translatia de reper cartezian

2. Fie (a, b, c) coordonatele originii O′ a noului reper R′ = O′x′y′z′ = T (R) relativ la R = Oxyz.Fie M ∈ E 3 un punct care are coordonatele (x, y, z) relativ la R si (x′, y′, z′) relativ la R′. Acestecoordonate satisfac relatiile (datorita egalitatii evidente OM = OO′ + O′M exprimate ın coordonatefata de R, vezi figura de mai sus),

T :

x = x′ + ay = y′ + bz = z′ + c

⇔

x′ = x− ay′ = y − bz′ = z − c

rescrise vectorial

T :

xyz

=

x′

y′

z′

+

abc

⇔

x′

y′

z′

=

xyz

− a

bc

numite ecuatiile translatiei T de repere carteziene de vector v = OO′ ≡ (a, b, c)t. Aceste ecuatii admitscrierea matriceala:

T :

xyz

=

1 0 00 1 00 0 1

x′

y′

z′

+

abc

⇔ x′

y′

z′

=

1 0 00 1 00 0 1

xyz

− a

bc

,

de unde se vede clar ca translatiile sunt izometrii pozitive J = S ◦T , unde S = Id iar detS = det I3 =1 > 0.

Definitie. Se numeste rotatie a reperului cartezian R = Oxyz, deplasarea J = S a reperului R astfelca O′ = O, iar versorii directori ai noului reper R′ = O′x′y′z′ sa se obtina din cei ai reperului initialR prin intermediul unei transformari liniare ortogonale pozitive.

Observatii. 1. Printr-o rotatie S, reperul R = {O; i, j, k} este dus ın reperul R′ = {O′; i′, j′, k′}, datde

R′ = {O′ = S(O) = O; i′ = S(i), j′ = S(j), k′ = S(k)},

unde transformarea asociata S : V 3 → V 3, este un endomorfism ortogonal de determinant pozitiv; deciS produce practic trecerea de la baza ortonormata B = {i, j, k} ın baza ortonormata B ′ = {i′, j′, k′}


din spatiul V 3. Descompunand noua baza B ′ relativ la baza initiala B , avemi′ ≡ S(i) = ⟨i′, i⟩i+ ⟨i′, j⟩j + ⟨i′, k⟩k

j′ ≡ S(j) = ⟨j′, i⟩i+ ⟨j′, j⟩j + ⟨j′, k⟩k

k′ ≡ S(k) = ⟨k′, i⟩i+ ⟨k′, j⟩j + ⟨k′, k⟩k

adica, formal, (i, j, k)C = (i′, j′, k′), unde C =

⟨i′, i⟩ ⟨j′, i⟩ ⟨k′, i⟩⟨i′, j⟩ ⟨j′, j⟩ ⟨k′, j⟩⟨i′, k⟩ ⟨j′, k⟩ ⟨k′, k⟩

este matricea transformarii

ortogonale a izometriei S.Conditia ca baza B ′ sa fie ortonormata, asemeni bazei B , este echivalenta cu relatiile AAt =

AtA = I3 ⇔ A−1 = At, deci matricea A este o matrice ortogonala; S avand determinant pozitiv, avemdetA = 1.

2. Daca un punct M ∈ E 3 are coordonatele (x, y, z) relativ la reperul R = Oxyz si (x′, y′, z′) relativla R′ = O′x′y′z′ = S(R), atunci conditia O′ = O satisfacuta de rotatia S si exprimarea vectorului OMrelativ la cele doua baze conduce (tinand cont de relatia dintre baze) la legatura dintre coeficientiipunctului M :

S :

xyz

= C

x′

y′

z′

⇔

x′

y′

z′

= Ct

xyz

(1)

numite si S.

3. Daca S ∈ End(V 3) este o transformare ortogonala de matrice A, aceasta induce prin formula (1) oschimbare de reper ce pastreaza originea, o izometrie pozitiva ın cazul detA = 1 (rotatie) si negativa,daca detA = −1 (rotatie compusa cu o simetrie fata de un plan ce contine originea).

4. O izometrie J = T ◦S formata dintr-o rotatie S de matrice asociata A urmata de o translatie T devector v′ = OO′ ≡ (a′, b′, c′)t = [OO′]B′ poarta numele de roto-translatie. O astfel de transformareduce reperul R = Oxyz = {O; i, j, k} ın reperul

R′ = O′x′y′z′ = J(R) = {O′ = T (O); i′ = S(i), j′ = S(j), k′ = S(k)}.

Daca un punct M ∈ E 3 are coordonatele (x, y, z) relativ la reperul R = Oxyz si (x′, y′, z′) relativ laR′ = O′x′y′z′ = J(R) atunci acestea satisfac J :

J = T ◦ S :

xyz

= C

x′ + a′

y′ + b′

z′ + c′

⇔

x′

y′

z′

= Ct

xyz

− a′

b′

c′

.

5. O izometrie J = S ◦ T formata dintr-o translatie T de vector v = OO′ ≡ (a, b, c)t = [OO′]Burmata de o rotatie S de matrice asociata A se va numi de asemenea roto-translatie; aceasta ducereperul R = Oxyz = {O; i, j, k} ın reperul

R′ = O′x′y′z′ = J(R) = {O′ = T (O); i′ = S(i), j′ = S(j), k′ = S(k)}.

Daca un punct M ∈ E 3 are coordonatele (x, y, z) relativ la reperul R = Oxyz si (x′, y′, z′) relativ laR′ = O′x′y′z′ = J(R) atunci acestea satisfac ecuatiile roto-translatiei J :

J = S ◦ T :

xyz

= C

x′

y′

z′

+

abc

⇔

x′

y′

z′

= Ct

x− ay − bz − c

.


Prima observatie din preambulul capitolului arata ca ın general avem T ◦ S = S ◦ T , deci ordineacompunerii rotatiei cu translatia de reper cartezian este esentiala.

Exemple. 1. Rotatia de unghi α a reperului Oxyz ın jurul axei Oy, respectiv ın jurul axei Ox, areecuatiile x

yz

=

cosα 0 sinα0 1 0

− sinα 0 cosα

x′

y′

z′

,

respectiv xyz

=

1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα

x′

y′

z′

,

unde (x, y, z) si (x′, y′, z′) sunt coordonatele unui punct arbitrarM relativ la reperul Oxyz si respectivrelativ la reperul rotit Ox′y′z′. Cum transformarea este ortogonala si detA = 1, aceasta este oizometrie pozitiva.

2. Rotatia de unghi α a reperului Oxyz ın jurul axei Oz are ecuatiile xyz

=

cosα − sinα 0sinα cosα 00 0 1

x′

y′

z′

,

adica, detaliind pe componente, {x = x′ cosα− y′ sinαy = x′ sinα+ y′ cosα, z = z′.

Izometria data de rotatia de unghi α a reperului Oxyz ın jurul axei Oz (ın planul xOy) urmata detranslatia de vector v = a′i+ b′j are ecuatiile{

x = a′ + x′ cosα− y′ sinαy = b′ + x′ sinα+ y′ cosα, z = z′.

3. Simetria S a reperului Oxyz fata de planul determinat de originea O si vectorii i, j (planul xOy),are ecuatiile

x = x′, y = y′, z = −z′;

se constata ca A = diag(I2,−I1), detA = −1, deci S este o izometrie negativa.

4. Drept cazuri particulare, obtinem ın planul E2 ≡ xOy ⊂ E 3, urmatoarele transformari de reperecarteziene care duc reperul R = xOy = {O; B = {i, j}} ın reperul

R′ = x′O′y′ = J(R) = {O′ = T (O); B ′ = {i′ = S(i), j′ = S(j)}}.

Roto-translatia reperului canonic ın plan, J = T ◦S, formata dintr-o rotatie S de unghi θ = ∠(Ox,Ox′),deci de matrice asociata

C =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

),

urmata de o translatie T de vector v′ = OO′ ≡ (a′, b′)t = [OO′]B′ .Daca un punct M ∈ E 2 are coordonatele (x, y) relativ la reperul R = xOy si (x′, y′) relativ la

R′ = x′O′y′ = J(R) atunci acestea satisfac ecuatiile roto-translatiei J :

J = T ◦ S :

(xy

)= C

(x′ + a′

y′ + b′

)⇔(x′

y′

)= Ct

(xy

)−(a′

b′

).

134 Trecerea de la reperul cartezian la reperul polar ın plan

Drept cazuri particulare de roto-translatii ın plan, avem

• rotatia de unghi θ = ∠(Ox,Ox′), pentru T = Id, v′ ≡ (a′, b′)t = (0, 0), de ecuatii

J = S :

(xy

)= C

(x′

y′

)⇔

(x′

y′

)= Ct

(xy

);

• translatia T de vector v′ = OO′ ≡ (a′, b′)t = [OO′]B ′ , care se obtine pentru S = Id, θ = 0, A =I2, si are ecuatiile

J = T :

(xy

)=

(x′

y′

)+

(a′

b′

)⇔

(x′

y′

)=

(xy

)−(a′

b′

)Roto-translatia reperului canonic ın plan, J = S ◦T , formata dintr-o translatie T de vector v = OO′ ≡(a, b)t = [OO′]B urmata de o rotatie S de unghi θ = ∠(Ox,Ox′) a reperului R, deci de matrice

asociata A =


). Daca un punct M ∈ E 2 are coordonatele (x, y) relativ la reperul

R = xOy si (x′, y′) relativ la R′ = x′O′y′ = J(R) atunci acestea satisfac J :

J = S ◦ T :

(xy

)= C

(x′

y′

)+

(ab

)⇔

(x′

y′

)= Ct

(x− ay − b

).

Se constata (vezi observatia din preambulul capitolului) ca si ın acest caz avem ın general T ◦S = S◦T ,deci ordinea compunerii rotatiei cu translatia de reper cartezian este esentiala.

2 Trecerea de la reperul cartezian la reperul polar ın plan

Considerand z = 0 (deci excluzand punctele din E3 care nu fac parte din planul xOy si identificandxOy ≡ E 2) obtinem reperul polar ın E2. Orice punctM(x, y) ∈ E 2\{O} poate fi localizat prin cuplulordonat (ρ, θ), unde (vezi figura):

⋄ ρ este distanta de la origine punctul M ;

⋄ θ este masura unghiului dintre semidreptele Ox si OM .

Fig. 26. a) Coordonate polare; b) Reperul polar

Definitie. Numerele reale (ρ, θ) se numesc coordonate polare ale punctului M ın plan. Relatia dintrecoordonatele polare si cele carteziene este data de urmatoarele formule de trecere de la reperul cartezianla cel polar: {

x = ρ cos θy = ρ sin θ.

(1)

Observatii. 1. Daca (ρ, θ) ∈ (0,∞)× [0, 2π), atunci ecuatiile de trecere de la reperul cartezian la celpolar (1) asigura o corespondenta biunivoca

(ρ, θ) ∈ (0,∞)× [0, 2π)→ (x, y) ∈ E 2\{O},


ıntre multimile (0,∞) × [0, 2π) si multimea de puncte E 3\{O}. Transformarea inversa, care aleasociaza unui punct M de coordonate carteziene (x, y) coordonatele sale polare

(x, y) ∈ E 2\{O} → (ρ, θ) ∈ (0,∞)× [0, 2π)

este data de relatia

ρ =√x2 + y2 (2)

cu unghiul θ dat de relatiile (3) sau (4).

2. Fixand una din cele doua coordonate polare ale unui punct si lasand cealalta sa varieze, obtinemo curba ın spatiul E 2 (numita curba de coordonate), dupa cum urmeaza:

⋄ pentru θ = θ0, o semidreapta deschisa cu extremitatea ın O;

⋄ pentru ρ = ρ0: un cerc de raza ρ0 cu centrul ın O.

3. Curbele de coordonate ale reperului polar sunt reciproc ortogonale.

Consideram punctul M(ρ, θ) din E 2\{O} si versorii eρ, eθ care sunt tangenti la curbele de coor-donate ce trec prin punctul M ; acestia sunt ortogonali, deci formeaza o baza ortonormata orientatapozitiv ın V 2. Deci {M(ρ, θ); {eρ, eθ}} este un reper ortonormat mobil, numit ın cele ce urmeazareper polar. Trecerea de la reperul cartezian{O; {i, j}}la reperul polar {M(ρ, θ); {eρ, eθ}} este datade formulele {

eρ = cos θ i+ sin θ jeθ = − sin θ i+ cos θ j

Tema: folosind ca bazele celor doua repere (cartezian si polar) sunt ortonormate, deci coeficientiivectorilor noii baze sunt cosinusurile unghiurilor formate de acestia cu vechea baza, deduceti relatiilede mai sus.

3 Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric ın spatiu

Fig. 27. a) Coordonate cilindrice; b) Reperul cilindric

Dintre schimbarile de reper din spatiul E 3 care nu se realizeaza prin intermediul unei izometrii, vom de-scrie trecerea la reperul cilindric si la cel sferic.Fie spatiul E 3 raportat la un reper cartezian Oxyz. Orice punct M(x, y, z) ∈ E 3\Oz este deter-minat de tripletul ordonat (ρ, θ, z), unde (vezi figura):

⋄ ρ este distanta de la origine la proiectia M ′ a punctului M pe planul xOy;

⋄ θ este masura unghiului dintre semidreptele Ox si OM ′.

⋄ z este distanta algebrica (cu semn) de la M ′ la M .

136 Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric ın spatiu

Definitie. Numerele reale (ρ, θ, z) se numesc coordonate cilindrice ale punctului M ın spatiu. Relatiadintre coordonatele cilindrice si cele carteziene este data de urmatoarele formule de trecere de la reperulcartezian la cel cilindric:

x = ρ cos θy = ρ sin θz = z.

(1)

Observatii. 1. Daca (ρ, θ, z) ∈ (0,∞)× [0, 2π)×R, atunci ecuatiile de trecere de la reperul cartezianla cel cilindric (1) asigura o corespondenta biunivoca

(ρ, θ, z) ∈ (0,∞)× [0, 2π)× R→ (x, y, z) ∈ E 3\Oz,

ıntre multimile (0,∞) × [0, 2π) × R si multimea de puncte E 3\Oz. Transformarea inversa, care aleasociaza unui punct M de coordonate carteziene (x, y, z) coordonatele sale cilindrice (ρ, θ, z),

(x, y, z) ∈ E 3\Oz → (ρ, θ, z) ∈ (0,∞)× [0, 2π)× R

este data de relatiile {ρ =

√x2 + y2

z = z(2)

cu unghiul θ dat de relatiile cos θ = x√x2+y2

sin θ = y√x2+y2

(3)

sau, echivalent,

θ =

kπ + arctg (y/x), x = 0

π/2, x = 0, y > 0

3π/2, x = 0, y < 0,

(4)

unde k = 0 pentru M ın cadranul I, k = 1 pentru M ın cadranele II sau III, si k = 2 pentru M ıncadranul IV.

2. Fixand una din cele trei coordonate cilindrice ale unui punct si lasand celelalte doua sa varieze,obtinem o suprafata ın spatiul E 3 (numita suprafata de coordonate), dupa cum urmeaza:

⋄ pentru ρ = ρ0: cilindru circular drept de raza ρ0 cu generatoarele paralele cu Oz.

⋄ pentru θ = θ0: semiplan deschis marginit de Oz, ce formeaza cu xOz unghiul θ0.

⋄ pentru z = z0: planul paralel cu xOy aflat la cota z = z0, mai putin punctul (0, 0, z0).

3. Fixand doua din cele trei coordonate cilindrice ale unui punct si lasand cealalta coordonata savarieze, obtinem o curba ın spatiul E 3 (numita curba de coordonate), dupa cum urmeaza:

⋄ pentru θ = θ0, z = z0: o semidreapta deschisa paralela cu xOy cu marginea pe Oz.

⋄ pentru z = z0, ρ = ρ0: un cerc de raza ρ0 cu centrul dispus pe axa Oz, aflat ıntr-un plan paralel cuxOy.

⋄ pentru ρ = ρ0, θ = θ0: o dreapta perpendiculara pe planul xOy.

4. Curbele de coordonate si suprafetele de coordonate sunt reciproc ortogonale.Consideram punctulM(ρ, θ, z) din E 3\Oz si versorii eρ, eθ, ez care sunt tangenti la liniile (curbele)

de coordonate ce trec prin punctul M (vezi figura). Acesti versori sunt doi cate doi ortogonali,


deci formeaza o baza ortonormata orientata pozitiv ın V 3. Deci {M(ρ, θ, z); eρ, eθ, ez} este unreper ortonormat mobil, numit ın cele ce urmeaza reper cilindric. Trecerea de la reperul cartezian{O; {i, j, k}} la reperul cilindric {M(ρ, θ, z); {eρ, eθ, ez}} este data de formulele

eρ = cos θ i+ sin θ jeθ = − sin θ i+ cos θ jez = k.

Tema: folosind ca bazele celor doua repere (cartezian si cilindric) sunt ortonormate, deci coeficientiivectorilor noii baze sunt cosinusurile unghiurilor formate de acestia cu vechea baza, deduceti relatiilede mai sus.

4 Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic ın spatiu

Fie un punct M ∈ E 3\Oz, avand coordonatele carteziene (x, y, z). Un alt set de coordonate carecaracterizeaza pozitia punctului M ın spatiu, este tripletul ordonat de numere reale (r, φ, θ), unde(vezi figura):

⋄ r reprezinta distanta d(O,M)dintre origine si punctul M ;

⋄ θ este unghiul dintre semidreptele Ox si OM ′, unde M ′ este proiectia punctului M pe planul xOy;

⋄ φ este unghiul dintre semidreptele Oz si OM.

Fig. 28. a) Coordonate sferice; b) Reperul sferic

Definitie. Numerele reale (r, φ, θ) se numesc coordonatele sferice ale punctului M ın spatiu. Relatiadintre coordonatele sferice si cele carteziene ale punctului este data de urmatoarele formule de trecerede la reperul cartezian la cel sferic:

x = r sinφ cos θy = r sinφ sin θz = r cosφ.

(1)

Considerand (r, φ, θ) ∈ (0,∞)×(0, π)× [0, 2π), aceste formule asigura o corespondenta biunivoca ıntredomeniul specificat si multimea de puncte E 3\Oz.Observatii. 1. Daca (r, φ, θ) ∈ (0,∞) × (0, π) × [0, 2π), atunci ecuatiile de trecere (1) de la reperulcartezian la cel sferic asigura o corespondenta biunivoca ıntre multimile (0,∞) × (0, π) × [0, 2π) simultimea de puncte E3\Oz prin asocierea

(r, φ, θ) ∈ (0,∞)× (0, π)× [0, 2π)→ (x, y, z) ∈ E 3\Oz.


Transformarea inversa, care ale asociaza unui punct M de coordonate carteziene (x, y, z) coordonatelesale sferice (r, φ, θ),

(x, y, z) ∈ E 3\Oz → (r, φ, θ) ∈ (0,∞)× (0, π)× [0, 2π)

este data de relatiile {r =

√x2 + y2 + z2

φ = arccos (z/r)(2)

si unghiul θ dat de relatiile (3) sau (4).

2. Fixand una din cele trei coordonate sferice ale unui punct si lasand celelalte doua sa varieze,obtinem o suprafata ın spatiul E 3 (numita suprafata de coordonate), dupa cum urmeaza:

⋄ pentru r = r0: o sfera cu centrul ın origine din care au fost scosi polii;

⋄ pentru θ = θ0: un semiplan deschis, marginit de axa Oz, ce formeaza cu xOz unghiul θ0;

⋄ pentru φ = φ0: semicon cu axa de simetrie Oz, din care s-a scos punctul O (varful sau).

3. Fixand doua din cele trei coordonate sferice ale unui punct si lasand cealalta coordonata sa varieze,obtinem o curba ın spatiul E 3 (numita curba de coordonate), dupa cum urmeaza:

⋄ pentru θ = θ0, φ = φ0: o semidreapta deschisa cu marginea O;

⋄ pentru z = z0, r = r0: un cerc cu centrul pe axa Oz, aflat ıntr-un plan paralel cu xOy;

⋄ pentru r = r0, θ = θ0: un semicerc deschis, cu capetele pe axa Oz simetrice fata de origine.

4. Curbele de coordonate (deci si suprafetele de coordonate) sunt reciproc ortogonale.Consideram punctul M(r, φ, θ) din E3\Oz si versorii er, eφ, eθ care sunt tangenti la liniile de coor-

donate ce trec prin punctul M ; acestia sunt doi cate doi ortogonali, deci formeaza o baza ortonormataorientata pozitiv ın V 3.

Se constata ca {M(r, φ, θ); {er, eφ, eθ}} este un reper ortonormat mobil, numit ın cele ce urmeazareper sferic. Trecerea de la reperul cartezian {O; {i, j, k}} la reperul sferic {M(r, φ, θ); {er, eφ, eθ}}este data de formulele

er = sinφ cos θ i+ sinφ sin θj + cosφ keφ = cosφ cos θ i+ cosφ sin θj − sinφ keθ = − sin θ i+ cos θ j.

5 Probleme propuse

1. Fie punctele A(1, 0, 0), B (0, 2, 0), C(0, 0, 3), raportate la reperul cartezian Oxyz. Rotim acestreper, obtinand sistemul rotit Ox′y′z′, cu axele precizate dupa cum urmeaza:

⋄ Oz′ are directia si sensul ınaltimii OO′ a tetraedrului OABC;

⋄ Oy′este paralela cu O′A′, unde A′ este piciorul ınaltimii duse din A ın triunghiul ABC;

⋄ Ox′este aleasa astfel ıncat sistemul Ox′y′z′ sa fie orientat pozitiv.

Determinati matricea rotatiei si directia care este invarianta fata de aceasta rotatie (subspatiul propriureal de dimensiune 1 al rotatiei, privita ca transformare liniara).

R: Versorul k′ asociat axei Oz′ este normal la planul ABC; ecuatia acestuia este 6x+3y+2z−6 = 0 siobtinem k′ ≡ (6/7, 3/7, 2/7). Versorul j′ este coliniar si de acelasi sens cu vectorul AA′; acesta din urmaeste ortogonal pe k′ si pe vectorul BC; tinand cont de sens, j′ rezulta prin normarea vectorului BC×k′;rezulta j′ ≡ 1

637(−13, 18, 12). Ultimul versor este i′ = j′ × k′ ≡ 1√31213

(0, 98,−147). Matricea de


schimbare de baza (care coincide cu matricea rotatiei) este C =

6/7 −13/637 0

3/7 18/637 98/√31213

2/7 12/637 −147/√31213

,

iar directia invarianta (directia axei de rotatie) este cea asociata vectorului propriu ce corespundevalorii proprii λ = 1 a matricei C (tema, determinati aceasta directie).

2. Relativ la reperul cartezian Oxyz consideram dreapta ∆ : x = y−2 = z

2 . Un nou reper Ox′y′z′ aredrept versor i′ versorul director al dreptei ∆, versorul j′ este perpendicular pe ∆ si apartine planuluiyOz, iar versorul k′ este ales a.ı. {i′, j′, k′} sa fie o baza ortonormata pozitiv orientata. Aflati formulelede schimbare de reper.

R: Normand vectorul director al dreptei, obtinem i′ ≡ (1/3,−2/3, 2/3)t; versorul j′ fiind ın planulyOz, este de forma j′ ≡ (0, b, c)t, b2 + c2 = 1, iar din ortogonalitatea pe ∆, rezulta b = c, deci alegemj′ ≡ (0,

√2/2,√2/2)t; rezulta al treilea versor k′ = i′× j′ ≡ 1

3√2(−4,−1, 1)t, iar matricea de schimbare

de baza este C = [i′, j′, k′] iar formulele de schimbare de reper sunt (x, y, z)t = C(x′, y′, z′)t.

3. a) Se da punctul A(√

3; 5π/3; 4)ın coordonate cilindrice. Aflati coordonatele carteziene ale

acestuia.b) Se da punctul B (−2, 3,−5) ın coordonate carteziene. Aflati coordonatele cilindrice ale acestuia.c) Se da punctul C

(√3; 2π/3; 7π/4

)ın coordonate sferice. Aflati coordonatele carteziene ale acestuia.

d) Se da punctul D(−3, 4,−5) ın coordonate carteziene. Aflati coordonatele sferice ale acestuia.e) Se da punctul E(2; 7π/6) ın coordonate polare. Aflati coordonatele carteziene ale acestuia.f) Se da punctul F (−4, 3) ın coordonate carteziene. Aflati coordonatele polare ale acestuia.

R: a) Avem ρ =√3, θ = 5π/3, z = 4. Atunci rezulta

x = ρ cos θ =√3/2, y = ρ sin θ = −3/2, z = 4.

b) Avem x = −2, y = 3, z = −5. Deci ρ =√x2 + y2 =

√13; proiectia punctului pe planul xOy

aflandu-se ın cadranul II, rezulta θ = π − arctg yx = arctg3

2 , iar z = −5.c) Avem r =

√3, φ = 2π/3, θ = 7π/4, si prin urmare

x = r sinφ cos θ = 3√2/4, y = r sinφ sin θ = −3

√2/4, z = r cosφ = −

√3/2.

d) Avem x = −3, y = 4, z = −5, de unde obtinem r =√x2 + y2 + z2 = 5

√2 si φ = arccos (z/r) =

3π/4. Rezolvand sistemul{x = r sinφ cos θy = r sinφ sin θ

⇔{−3 = 5

√2 ·√2/2 · cos θ

4 = 5√2 · (√2/2) · sin θ,

rezulta θ = π − arcsin 45 .

e) Obtinem x = 2 ·(−√3/2) = −

√3 si y = 2 ·(−1/2) = −1, deci coordonatele carteziene ale punctului

E sunt (x, y) = (−√3,−1).

f) Coordonatele polare ale punctului F sunt r = 5, θ = π − arcsin(3/5) = arccos (−4/5).

4. Sa se rescrie urmatoarele ecuatii ın coordonate cilindrice si sferice:

a) (x2 + y2 − z2)2 = a2(x2 + y2);b) (x2 + y2 + z2)2(x2 + y2) = 8b2x2y2.

R: a) In coordonate cilindrice: (ρ2 − z2)2 = a2ρ2; ın coordonate sferice: r2 cos2 2φ = a2 sin2 φ.

b) In coordonate cilindrice (ρ2 + z2)2 = 2b2ρ2 sin2 2θ; ın coordonate sferice, r2 = 2b2 sin2 φ sin2 2θ.

Capitolul 4. Conice

140 Ecuatie redusa. Invarianti afini. Clasificare


Conicele sunt curbe plane ce se pot obtine prin intersectia unui con (cu doua panze) cu un plan.Studiem aceste curbe plane ın spatiul punctual bidimensional E 2, pe care ıl consideram raportat laun reper cartezian {O; i, j} ≡ xOy; prin fixarea acestuia, la fel ca ın cazul identificarii E3 ≡ R3, vomface identificarea E 2 ≡ R2. Astfel vom putea descrie figuri geometrice (ın particular conicele) prinecuatii si inecuatii carteziene.

In cele ce urmeaza consideram o functie polinomiala oarecare de gradul 2 ın necunoscutele x, y(numita si forma patratica afina) g : R2 → R,

g(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x+ 2a20y + a00, unde a211 + a212 + a222 = 0.

Definitie. Se numeste conica sau curba algebrica de ordinul al doilea, multimea de puncte din planale caror coordonate anuleaza forma g,

Γ = {M(x, y)∣∣(x, y) ∈ R2, g(x, y) = 0} (1)

Vom nota conica prin Γ : g(x, y) = 0; deci punctele conicei satisfac o ecuatie de tipul

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x+ 2a20y + a00 = 0. (2)

Observatii. 1. Ecuatia (2) se rescrie matriceal

(x, y, 1)

a11 a12 a10a21 a22 a20a01 a02 a00

xy1

= 0, (3)

unde notam a12 = a21, a10 = a01, a20 = a02.

2. Cei sase coeficienti a11, a12, a22, a10, a20, a00 din ecuatia generala a unei conice se numesc parametrineesentiali. Impartind ecuatia prin unul dintre acestia (nenul), raman cinci coeficienti, numiti parametriesentiali. Din acest motiv pentru a afla ecuatia unei conice sunt suficiente cinci conditii (spre exemplu,conica sa treaca prin cinci puncte distincte date).

Date fiind punctele Mi(xi, yi), i = 1, 5, acestea determina o unica conica Γ de ecuatie carteziana(2), ın cazul ın care cele cinci puncte satisfac conditia de ”independenta conica”∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1y1 y21 x1 y1 1x2y2 y22 x2 y2 1x3y3 y23 x3 y3 1x4y4 y24 x4 y4 1x5y5 y25 x5 y5 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1y1 x21 x1 y1 1x2y2 x22 x2 y2 1x3y3 x23 x3 y3 1x4y4 x24 x4 y4 1x5y5 x25 x5 y5 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x21 y21 x1 y1 1x22 y22 x2 y2 1x23 y23 x3 y3 1x24 y24 x4 y4 1x25 y25 x5 y5 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2

= 0

Conica Γ care trece prin cele cinci puncte are ecuatia (sub forma de determinant):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x2 xy y2 x y 1x21 x1y1 y21 x1 y1 1x22 x2y2 y22 x2 y2 1x23 x3y3 y23 x3 y3 1x24 x4y4 y24 x4 y4 1x25 x5y5 y25 x5 y5 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0,

numita si ecuatia unei conice prin cinci puncte date.

Conice 141

3. Topologic, conicele sunt multimi ınchise ın R2 deoarece Γ = g−1(0) este preimaginea multimiiınchise {0} ⊂ R prin functia continua g : R2 → R.Exercitiu. Aflati conica Γ care trece prin punctele A,B,C,D,E, unde A(1, 1), B(−1, 1), C(−1,−1),D(1,−1) si punctul E se afla ın unul din urmatoarele cazuri:

a) E(25/81; 25/256), b) E(0,√2), c) E(0, 0), d) E(0, 1), e) E(1/2, 0), f) E(0,−1/2).

Solutie. a) Γ : x2

(5/3)2+ y2

(5/4)2= 1 (elipsa), b) Γ : x2 + y2 = 2 (cerc), c) Γ : x2 − y2 = 0 (pereche de

drepte concurente), d) Γ : y2 − 1 = 0 (pereche de drepte paralele), e) Γ : 4x2 − 3y2 = 1 (hiperbola), f)Γ : −3x2 + 4y2 = 1 (hiperbola conjugata).

Fascicul de conice.

Definitie. Fie Γi : gi(x, y) = 0, i = 1,m o familie finita de conice. Atunci multimea conicelor careau ecuatia de forma

Γ : a1g1(x, y) + · · ·+ amgm(x, y) = 0,

unde a1, . . . , am ∈ R, se numeste fascicul de conice determinat de familia de conice Γi : gi(x, y) =0, i = 1,m.

Observatii. 1. Pentru k ∈ 1,m si ak = 1, al = 0, ∀l ∈ 1,m\{k}, avem Γ = Γk, deci conicele dinfamilia data fac parte din fasciculul determinat de acestea.

2. Nu totdeauna Γ reprezinta o conica. Spre exemplu, pentru familia de conice Γ1 : y2+x = 0, Γ1 :

−y2 + x = 0, obiectul geometric descris de ecuatia

Γ : 1 · (y2 + x) + 1 · (−y2 + x) = 0 ⇔ x = 0

reprezinta o dreapta (simpla), deci nu este conica.

Exercitiu. Aflati fasciculul de conice care este generat de conicele Γ1 : x2 − 1 = 0 (pereche de drepte

paralele) si Γ2 : y2 = 0 (axa Ox).

Solutie. Fasciculul cautat are ecuatia:

Γ : a(x2 − 1) + by2 = 0, a, b ∈ R, a2 + b2 > 0.

Se observa ca acest fascicul contine ın plus elipse, cercuri si hiperbole.

Teorema. a) Fasciculul de conice circumscrise unui patrulater ABCD are ecuatia

Γ : a1(AB)(CD) + a2(AC)(BD) = 0, a1, a2 ∈ R,

unde pentru M,N ∈ E 2, s-a notat prin (MN) membrul ıntai din ecuatia generala a dreptei MN.

b) Fasciculul de conice circumscrise unui triunghi ABC are ecuatia

Γ : a1(AB)(AC) + a2(BA)(BC) + a3(CA)(CB) = 0, a1, a2, a3 ∈ R,

c) Fie conica Γ : g(x, y) = 0 si fie ∆ : ax+ by + c = 0 o dreapta care taie conica Γ ın punctele Asi B. Atunci conicele care taie Γ ın punctele A si B, si sunt tangente la Γ ın aceste puncte (deci sunt”bitangente” la Γ), formeaza fasciculul:

Γ : a1g(x, y) + a2(ax+ by + c)2 = 0, a1, a2 ∈ R.


Exercitiu. a) Aflati fasciculul de conice care trec prin punctele A(1, 1), B(−1,−1), C(1,−1), D(1, 1).b) Aflati fasciculul de conice circumscrise triunghiului ABD, unde A(−1, 1), B(−1,−1), D(0, 0).c) Determinati conicele bitangente la cercul Γ : x2 + y2 = 2 ın punctele B(−1,−1), C(1,−1).Solutie. a) Obtinem ecuatiile AB : x+1 = 0; AC : x+y = 0, CD : x−1 = 0, BD : x−y = 0. Atuncifasciculul cautat are ecuatia:

Γ : a1(x2 − 1) + a2(x

2 − y2) = 0, a1, a2 ∈ R.

b) Ecuatiile laturilor triunghiului sunt: AB : x+1 = 0; AD : x+ y = 0, BD : x− y = 0, deci ecuatiafasciculului este:

Γ : a1(x− y)(x+ 1) + a2(x+ 1)(x− y) + a3(x2 − y2) = 0, a1, a2, a3 ∈ R.

c) Avem BC : y + 1 = 0, deci ecuatia fasciculului conicelor bitangente la Γ ın B si C este Γ :a1(x

2 + y2 − 2) + a2(y + 1)2 = 0, a1, a2 ∈ R. Se observa ca pentru a1 = −a2 obtinem o parabola,Γp : y = (x2 − 3)/2.

Conice date prin ecuatie carteziana canonica. Orice conica se poate ıncadra ın unul dinurmatoarele tipuri de multimi (ınsotite de exemple de conice din acestea date prin ecuatii carteziene):

Elipsa. Conica data printr-o ecuatie canonica de forma

ΓE :x2

a2+y2

b2= 1, (a > b > 0) (4)

Fig. 29. Elipsa

este o elipsa. Introducem urmatoarele notiuni asociate elipsei ΓE (vezi figura):

• a - semiaxa mare iar b - semiaxa mica ale elipsei (4);• d(F1, F2) = 2c - distanta focala a elipsei, unde c =

√a2 − b2;

• e = ca⟨1 - excentricitatea elipsei;

• A,B,C,D - varfurile elipsei, A(a, 0), B(−a, 0), C(0, b), D(0,−b);• F1, F2 - focarele elipsei, de coordonate (±c, 0);• ∆1,∆2 - dreptele directoare ale elipsei, de ecuatii x = ±a2

c ;• Ox, Oy - axele de simetrie ale elipsei ΓE ;• p = b2/c - produsul dintre excentricitate si distanta de la un focar la dreapta directoare cea mai

apropiata.

Observatii. 1. Punctele M(x, y) ∈ ΓE pot fi descrise de ecuatiile parametrice ale elipsei:

ΓE :

{x = a cos θy = b sin θ

, unde θ ∈ [0, 2π).

Conice 143

2. Elipsa E data de ecuatia (4) este locul geometric al punctelor M(x, y) ∈ E 2, care satisfac relatiaMF1 +MF2 = 2a(=const.)

3. Elipsa E data de ecuatia (4) este locul geometric al punctelor M(x, y) ∈ E 2, care satisfac una dinrelatiile

MF1

d(M,∆1)= e sau

MF2

d(M,∆2)= e.

4. Atasand unui punct M(x, y) ∈ ΓE coordonatele sale polare (ρ, θ) ∈ R∗+ × [0, 2π) relative la reperul

polar cu polul ın focarul F1(c, 0) si semiaxa polara semidreapta F1x, au loc formulele de trecere de lacoordonatele carteziene la aceste coordonate polare{

x = c+ ρ cos θy = ρ sin θ

, θ ∈ [0, 2π).

Inlocuind ın ecuatia (4) a elipsei, sau tinand cont de proprietatea din Obs. 3, rezulta ecuatia polaraa elipsei

ρ =p

1 + e cos θ, θ ∈ [0, 2π).

5. In cazul b > a > 0, ecuatia (4) descrie tot o elipsa, cu semiaxa mare b, semiaxa mica a, distantafocala c =

√b2 − a2, focarele F1,2 (0,±c), si dreptele directoare ∆1,2 : y = ±b2/c.

6. In cazul particular a = b = r > 0, ecuatia (4) devine

x2 + y2 = r2, (5)

si reprezinta ecuatia redusa a unui cerc-a cercului de centru O si raza r. Se observa usor ca, ın acestcaz, distanta focala devine c = 0 si focarele coincid cu originea F1 = F2 = O; observatia 2 are loc,punctele cercului satisfac relatia 2MO = 2r, deci MO = r(=const.). Acest lucru reflecta faptul cacercul descris de ecuatia (5) este locul geometric al punctelor egal departate (la distanta r > 0) fatade originea O(0, 0).

Exemple. Urmatoarele ecuatii reprezinta elipse date prin ecuatie carteziana canonica:

x2

4+ y2 = 1, x2 +

y2

9= 1,

x2

2+y2

16= 1;

iar cele de mai jos, cercuri (privite ca elipse particulare, de semiaxe egale):

x2 + y2 = 1; x2 + y2 = 2√3.

Hiperbola. Se numeste hiperbola, conica data printr-o ecuatie canonica de forma

ΓH :x2

a2− y2

b2= 1, (a > 0, b > 0) (6)


Fig. 30. Hiperbola

Introducem urmatoarele notiuni asociate hiperbolei ΓH (vezi figura):

• a - semiaxa mare a hiperbolei;• b - semiaxa mica a hiperbolei;• d(F1, F2) = 2c - distanta focala a hiperbolei, unde c =

√a2 + b2;

• e = ca⟩1 - excentricitatea!hiperbolei;

• A,B - varfurile hiperbolei, A(a, 0), B(−a, 0);• F1, F2 - focarele hiperbolei, de coordonate (±c, 0);• D1,2 : y = ± b

ax, asimptotele hiperbolei;

• ∆1,∆2 - dreptele directoare ale hiperbolei, de ecuatii x = ±a2

c ;• Ox, Oy - axele de simetrie ale hiperbolei ΓH , unde Ox este axa transversa iar Oy este axa

netransversa a hiperbolei (6);• p = b2/c - produsul dintre excentricitate si distanta de la un focar la dreapta directoare cea mai

apropiata.

Observatii. 1. Punctele M(x, y) ∈ ΓE pot fi descrise de ecuatiile parametrice ale hiperbolei:

ΓH :

{x = ± a ch ty = b sh t

, t ∈ R .

2. Hiperbola H data de ecuatia (6) este locul geometric al punctelor M(x, y) ∈ E 2, care satisfacrelatia |MF1 −MF2| = 2a(=const.)

3. Hiperbola H data de ecuatia (6) este locul geometric al punctelor M(x, y) ∈ E 2, care satisfac unadin relatiile MF1

d(M,∆1)= e sau MF2

d(M,∆2)= e.

4. Atasand unui punct M(x, y) ∈ ΓH coordonatele sale polare (ρ, θ) ∈ R∗+× [0, 2π) relative la reperul

polar ce are polul ın focarul F1(c, 0) si semiaxa polara semidreapta F1x, au loc formulele de trecere

de la coordonatele carteziene la aceste coordonate polare

{x = c+ ρ cos θy = ρ sin θ

, unde θ ∈ [0, 2π).

Inlocuind ın ecuatia (6) a hiperbolei, sau tinand cont de proprietatea din Observatia 3, rezultaecuatiile polare ale hiperbolei

ρ =

{ p1−e cos θ , pentru cos θ ∈

[−1, 1e

)−p

1+e cos θ , pentru cos θ ∈[−1,−1

e

)5. Ecuatia

ΓH′ : −x2

a2+y2

b2= 1, (a > 0, b > 0) (7)

descrie tot o hiperbola, numita hiperbola conjugata hiperbolei (6). Aceasta are semiaxele b si a, focareleF1,2 (0,±c), varfurile C(0, b), D(0,−b), aceleasi asimptote cu ale hiperbolei (6), axa transversa Oy,axa netransversa Ox si dreptele directoare ∆1,2 : y = ±b2/c.6. In cazul particular a = b > 0, ecuatiile (6) si (7) devin

ΓH,H′ : ±x2 ∓ y2 = a2, (8)

iar hiperbola se spune ca este echilatera.

7. Prezentam o serie de exemple de hiperbole date prin ecuatie carteziana canonica:

x2

4− y2 = 1;

x2

3− y2

7= 1; −x2 + y2

9= 1; −x2 + y2 = 16; x2 − y2 =

√6.

Remarcam ca ultimele doua hiperbole sunt echilatere iar a treia si a patra hiperbola sunt hiperboleconjugate.

Conice 145

Parabola. Conica data printr-o ecuatie canonica de forma

ΓP : y2 = 2px, (p > 0) (9)

Fig. 31. Parabola

este o parabola. Definim urmatoarele notiuni asociate paraboleiΓP (vezi figura):

• p/2- distanta focala a parabolei (9);• e = 1- excentricitatea parabolei (9);• O(0, 0)- varful parabolei;• F

(p2 ; 0)-focarul parabolei;

• Ox-axa transversa a parabolei (9), axa de simetrie a parabolei;

• Oy-axa tangenta la parabola (9);• ∆- dreapta directoare a parabolei, de ecuatie x = −p

2 .

Observatii. 1. Punctele M(x, y) ∈ ΓP pot fi descrise de ecuatiileparametrice ale parabolei:

ΓP :

{x = t2/2py = t

, t ∈ R.

2. Parabola P data de ecuatia (9) este locul geometric al punctelorM(x, y) ∈ E 2, care satisfac relatiaMF = d(M,∆).

3. Atasand unui punct M(x, y) ∈ ΓP coordonatele sale polare (ρ, θ) ∈ R∗+ × [0, 2π) relative la reperul

polar cu polul ın focarul F1(c, 0) si semiaxa polara semidreapta F1x, au loc formulele de trecere de lacoordonatele carteziene la aceste coordonate polare{

x = c+ ρ cos θy = ρ sin θ

, unde θ ∈ [0, 2π).

Inlocuind ın ecuatia (9) a parabolei, sau tinand cont de proprietatea din Observatia 2, rezulta ecuatiapolara a parabolei

ρ =p

1− cos θ, θ ∈ [0, 2π).

4. Ecuatia redusaΓP ′ : y2 = −2px, (p > 0) (10)

descrie tot o parabola, simetrica parabolei (9) relativ la axa Oy. Aceasta are aceeasi axa de simetriecu parabola (9) si focarul F ′(−p/2; 0).

5. Ecuatia redusaΓP” : y = ax2, (a = 0) (11)

descrie tot o parabola, ce are axa de simetrie Oy, focarul ın punctul F (0; a/4) si dreapta directoarede ecuatie ∆ : y = −a/4.

6. Prezentam o serie de exemple de parabole date prin ecuatie carteziana canonica:

y2 = 7x; y2 = −5x; y = 3x2; y = −4x2.

Pereche de drepte (paralele, concurente sau confundate), care au ecuatia carteziana redusaavand una din formele

Γ : x2

a2− y2

b2= 0, (a > 0, b > 0)

Γ : x2 = a2, (a ≥ 0)Γ : y2 = a2, (a ≥ 0).


Prezentam o serie de exemple de conice-perechi de drepte date prin ecuatie carteziana canonica:

x2

3− y2

7= 0; x2 = 1; y2 = 16; x2 = 0; y2 = 0.

Se observa ca prima pereche este de drepte concurente, urmatoarele doua perechi sunt de drepteparalele, iar ultimele doua perechi, de drepte confundate.

Punct dublu, care are ecuatia carteziana redusa de forma

x2

a2+y2

b2= 0; (a > 0, b > 0).

Se observa ca ecuatia canonica de mai sus descrie originea O(0, 0).

Exemple. Urmatoarele ecuatii reduse descriu originea:

x2

4+y2

6= 0; x2 + y2 = 0.

Multimea vida are ecuatia carteziana redusa avand una din formele

x2

a2+y2

b2+ 1 = 0; x2 + a2 = 0; y2 + b2 = 0; (a⟩0, b⟩0).

Exemple. Urmatoarele ecuatii reduse descriu multimea vida (privita ca tip de conica):

x2

12+y2

2+ 1 = 0; x2 + 1 = 0; y2 + 5 = 0.

Prima conica este o elipsa imaginara, ultimele doua, perechi de drepte imaginare paralele.

In cele ce urmeaza vom descrie procedura urmata pentru a ıncadra o conica data prin ecuatiecarteziana generala de forma (2), ıntr-unul dintre tipurile descrise mai sus, deci pentru a determinatipul conicei.

In acest scop se aplica o rototranslatie de reper cartezian, care realizeaza trecerea de la reperulcartezian xOy la un reper x′O′y′ orientat pozitiv (numit reper canonic). Relativ la acest nou reper,ecuatia g′(x′, y′) = 0 asociata conicei va avea forma canonica, fiind una din ecuatiile reduse, tipurireprezentate (cu exceptia multimii vide) si ın tabelul urmator.

Conice 147

Fig. 32. Tipuri de conice

Se observa prin calcul direct ca prin trecerea de la reperul originar {O; {i, j}} ≡ xOy la cel canonic{O′; {i′, j′}} ≡ x′O′y′, polinomul g(x, y) asociat conicei se schimba ın g′(x′, y′), unde g′ este tot oforma patratica afina.

Se poate verifica prin calcul direct ca ın urma acestei schimbari de reper cartezian, raman neschim-bate urmatoarele numere atasate polinomului g(x, y),

∆ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a10a21 a22 a20a01 a02 a00

∣∣∣∣∣∣ , δ =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ , I = a11 + a22. (12)

Acestea se numesc invariatii metrici ai conicei, deoarece recalcularea lor pentru polinomul g′(x′, y′)conduce la numerele ∆′, δ′, I ′ egale respectiv cu ∆, δ, I, deci neafectate de schimbarea de coordonate.

Exemplu. Consideram schimbarea de reper J = S ◦ T : xOy → x′O′y′ compusa din translatia T devector v = [OO′]B ≡ (−

√2/2,−

√2/2)t, urmata de rotatia S de matrice

A =

(cosπ/4 − sinπ/4sinπ/4 cosπ/4

)=

( √2/2 −

√2/2√

2/2√2/2

),

ce induce schimbarea de coordonate (x, y) 7→ (x′, y′) descrisa de relatia(xy

)=

( √2/2 −

√2/2√

2/2√2/2

)(x′

y′

)+

(−√2/2

−√2/2

).

Aplicand aceasta transformare de coordonate, polinomul

g(x, y) = x2 − 2xy + y2 − 2(x+ y +√2)


devine g′(x′, y′) = 2(y′2 −√2x′); se observa ca acelasi rezultat se obtine aplicand ıntai rotatia S, si

apoi translatia de vector v = [OO′]B′ ≡ (−1, 0)t. Invariantii conicei date

Γ : g(x, y) = 0⇔ g′(x′, y′) = 0,

deci ai parabolei Γ : y′2 =√2x′ se obtin prin calcul direct, folosind formulele (12) aplicate functiilor

g si g′:

∆ =

∣∣∣∣∣∣1 −1 −1−1 1 −1−1 −1 −2

√2

∣∣∣∣∣∣ = −4, δ =

∣∣∣∣ 1 −1−1 1

∣∣∣∣ = 0, I = 1 + 1 = 2;

∆′ =

∣∣∣∣∣∣0 0 −

√2

0 2 0

−√2 0 0

∣∣∣∣∣∣ = −4, δ′ =

∣∣∣∣ 0 00 2

∣∣∣∣ = 0, I ′ = 0 + 2 = 2,

deci avem ∆ = ∆′, δ = δ′, I = I ′.

Definitie. Se numeste centru de simetrie al unei conice Γ (ın cazul ın care acesta exista), un punctdin plan fata de care conica, privita ca o multime de puncte, este o figura geometrica simetrica. Inacest caz conica se numeste (pe scurt) conica cu centru.

Exemplu. Conica Γ : x2 + y2 − 2x + 6y = 0 admite drept centru de simetrie punctul C(1,−3).Intr-adevar, daca M(x, y) ∈ Γ, atunci si M ′(2−x,−6− y), simetricul sau fata de punctul C, satisfacede asemenea ecuatia conicei (tema, verificati!) . Deci o data cu un punct arbitrar, pe conica se aflasi simetricul acestuia fata de centrul de simetrie C.

Putem determina usor daca o conica admite sau nu centru de simetrie, iar ın caz afirmativ putemcalcula coordonatele acestuia, pe baza urmatorului rezultat:

Teorema. Conica Γ : g(x, y) = 0 admite centru de simetrie C(x0, y0) daca si numai daca invariantul

δ =

∣∣∣∣ a11 a12a12 a22

∣∣∣∣ al acesteia este nenul; ın acest caz, acesta este unicul punct critic al functiei g, iar

coordonatele sale sunt solutiile sistemului liniar{ 12∂g∂x ≡ a11x+ a12y + a10 = 0

12∂g∂y ≡ a12x+ a22y + a20 = 0.

(13)

Demonstratie. Determinantul acestui sistemului liniar este exact δ, deci sistemul admite solutie unica(x0, y0) doar daca δ = 0. Ramane de aratat ca punctul C(x0, y0) este centru de simetrie al conicei.Intr-adevar, efectuand translatia x = x0 + x′, y = y0 + y′, ecuatia conicei devine (tema, verificati!) :

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + x′gx0 + y′gy0 + g(x0, y0) = 0, (14)

unde am notat gx0 = ∂g∂x(x0, y0), gy0 = ∂g

∂y (x0, y0). Simetria fata de punctul C (devenit origine ın

noul sistem de coordonate !) revine la a verifica faptul ca, o data cu un punct M(x′2, y′2) al conicei,aceasta contine si simetricul M ′(−x′,−y′) al punctului M fata de punctul C (ale carui coordonate ınnoul sistem sunt (0, 0)). Insa conditia M ′ ∈ Γ se rescrie

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 − x′gx0 − y′gy0 + g(x0, y0) = 0, (15)

iar (14) si (15) au loc simultan doar daca este satisfacuta relatia

x′gx0 + y′gy0 = 0, ∀M(x′, y′) ∈ Γ.

Conice 149

Deoarece punctul M a fost ales arbitrar pe conica, aceasta ultima relatie are loc doar daca punctulC(x0, y0) satisface sistemul de ecuatii din enunt. �Observatii. 1. Conice cu centru sunt: cercul, elipsa, hiperbola, perechea de drepte concurente, unpunct si multimea vida. Ecuatia unei asemenea conice redusa la centru este de forma

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + g(x0, y0) = 0,

unde termenul liber este legat de invariantii conicei prin relatia

g(x0, y0) =∆

δ.

2. In cazul δ = 0, ∆ = 0, functia g nu are punct critic, deci conica Γ (o parabola) nu admite centrude simetrie.

3. In cazul δ = 0, ∆ = 0, functia g are o dreapta de puncte critice, deci conica Γ are o dreapta decentre. Conicele cu o dreapta de centre sunt perechile de drepte paralele sau confundate si multimeavida.

Definitie. Fie Γ : g(x, y) = 0 o conica si ∆, δ invariantii calculati cu formula (12). Avem urmatoarelesituatii:

⋄ daca δ > 0 (elipsa, multime vida), spunem ca Γ are gen eliptic;

⋄ daca δ < 0 (hiperbola, pereche de drepte concurente), spunem ca Γ are gen hiperbolic;

⋄ daca δ = 0 (parabola, drepte paralele sau confundate, multime vida), spunem ca Γ are gen parabolic;

⋄ daca ∆ = 0, spunem ca Γ este conica nedegenerata;

⋄ daca ∆ = 0, spunem ca Γ este conica degenerata.

Exemplu. Fie conica Γ : g(x, y) = 0, ai carei coeficienti satisfac relatiile a12 = 0, a11 = a22 = a = 0.

Notam ρ =(a10a

)2+(a20a

)2− a00a . Evident, δ = a2 > 0, deci conica este de gen eliptic si admite centru

de simetrie C. Distingem urmatoarele cazuri:

a) Daca ρ > 0, atunci Γ este un cerc cu centrul C(−a10

a ,−a20a

)si de raza

√ρ. In acest caz avem

∆ ≡ −ρa4 = 0 (tema, verificati!) , deci Γ este nedegenerata;b) Daca ρ = 0, atunci Γ este degenerata (∆ = 0) si se reduce la centrul de simetrie C;c) Daca ρ < 0, atunci Γ = Φ, ∆ = 0, conica este nedegenerata (cerc imaginar).

2 Reducerea ecuatiei unei conice la forma canonica

Consideram o conica Γ ⊂ E 2 descrisa de ecuatia generala

Γ : g(x, y) ≡ a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x+ 2a20y + a00 = 0. (1)

Ne propunem ca printr-o schimbare de reper ce consta dintr-o rotatie compusa cu o translatie (miscarerigida, rototranslatie), sa obtinem reperul canonic al conicei Γ. Vom descrie ın continuare modul ıncare se afla ecuatiile schimbarii de reper (de coordonate), determinate de matricea rotatiei si vectorulde translatie.

Examinand ecuatia (1) distingem urmatoarele situatii:

1) Daca a12 = 0, atunci se face mai ıntai o rotatie, folosind unul din procedeele 2.1 si 2.2 descrisemai jos.


2) Daca a12 = 0, atunci se face o translatie. Aceasta se determina diferit, dupa cum conica este cucentru sau nu. In primul caz, originea se muta ın centrul C al conicei (deci translatie de vector OC);ın al doilea caz, ecuatiile translatiei se determina efectuand restrangeri de patrate si/sau grupari determeni liniari.

Metoda valorilor proprii. Descriem algoritmic aceasta metoda. Fie conica Γ data de ecuatia (1).

1. Atasam ecuatiei (1) forma patratica

Q(v) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2 ≡ (x, y)

(a11 a12a21 a22

)(xy

), ∀v = (x, y) ∈ R2,

unde notam a12 = a21. Coeficientii formei Q determina invariantul δ si genul conicei.

2. Matricei A =

(a11 a12a21 a22

)a formei Q ıi atasam polinomul caracteristic

PA(λ) =

∣∣∣∣ a11 − λ a12a21 a22 − λ

∣∣∣∣ = λ2 − Iλ+ δ

si ıi aflam radacinile (valorile proprii ale matricei A) λ1 si λ2. Deoarece matricea A este simetrica,acestea sunt reale.

3. Distingem urmatoarele situatii disjuncte:

⋄ λ1 si λ2 au semne contrare ⇒ λ1λ2 ≡ δ < 0⇒ conica este de gen hiperbolic;

⋄ λ1 si λ2 au acelasi semn ⇒ δ > 0⇒ conica este de gen eliptic;

⋄ una din radacini este zero ⇒ δ = 0⇒ conica este de gen parabolic.

4. Rezolvam sistemele de ecuatii liniare{(a11 − λi)ai + a12bi = 0a21ai + (a22 − λi)bi = 0

pentru i = 1, 2, afland coordonatele vectorilor proprii v1 = (a1, b1) si v2 = (a2, b2), care ın cazulvalorilor proprii distincte sunt (datorita simetriei matricei A) ortogonali. In cazul cand avem valoareproprie dubla, ortogonalizam, folosind procedeul Gram-Schmidt familia celor doi vectori.

5. Normam familia ortogonala v1, v2, si obtinem astfel baza ortonormata {e1, e2}. In cazul δ = 0,acestia reprezinta versorii axelor de simetrie ale conicei.

6. Construim matricea R = [e1, e2] a rotatiei, formata din coordonatele versorilor {e1, e2} asezatepe coloane, cu rezerva ca daca determinantul acesteia este negativ (-1), vom ınlocui ın matrice primacoloana prin opusul ei (obtinand astfel detR = 1 pentru matricea ortogonala R, deci matrice derotatie). Ecuatiile rotatiei (ecuatiile schimbarii de reper cartezian data de rotatie) exprima legaturaıntre coordonatele (x, y) atasate vechiului reper xOy si cele ale reperului rotit x′Oy′ (O = O′):(

xy

)= R

(x′

y′

). (2)

7. Pe baza acestor relatii ınlocuim ın forma patratica Q coordonatele (x, y) cu expresiile acestorarelativ la coordonatele noi. Expresia formei Q devine canonica,

Q(v) = λ1x′2 + λ2y

′2, ∀v = x′e1 + y′e2 ∈ R2,

Conice 151

iar versorii noii baze {e1, e2} dau directiile noilor axe Ox′, respectiv Oy′. De asemenea, ınlocuim ınecuatia conicei coordonatele (x, y) date de relatiile (2) si obtinem ecuatia conicei relativ la sistemulrotit x′Oy′:

λ1x′2 + λ2y

′2 + 2a′10x′ + 2a′20y

′ + a′00 = 0. (3)

Observatii. 1. In cazul cand ambele valori proprii sunt nenule (δ = 0, conica cu centru), putemrestrange patratele ın ecuatia (1), fortand ın prealabil factorii comuni λ1, λ2, grupam termenii subforma

λ1(x′ − x′0)2 + λ2(y

′ − y′0)2 + a = 0. (4)

Se constata ca (x′0, y′0) sunt exact coordonatele centrului C de simetrie al conicei relativ la reperul rotit

(tema, verificati!) . Se observa, examinand ecuatia (4), ca prin efectuarea translatiei x′Oy′ 7→ x′′Cy′′

de vector OC = (x′0, y′0), data de relatiile(

x′

y′

)=

(x′′

y′′

)+

(x′0y′0

)⇔{x′′ = x′ − x′0y′′ = y′ − y′0,

obtinem ecuatia canonica a conicei,

λ1x′′2 + λ2y

′′2 + a = 0. (5)

2. In expresia canonica (5) termenul liber satisface relatia a = ∆/δ (tema, verificati!) . Atunci,tinand cont de faptul ca λ1, λ2 sunt radacinile ecuatiei

λ2 − Iλ+ δ = 0,

rezulta ca ın cazul conicelor cu centru, ecuatia canonica se poate determina cunoscand doar invariantiiacesteia ∆, δ, I, fara a mai fi necesara aflarea rototranslatiei xOy 7→ x′Oy′ 7→ x′′Cy′′.

3. Tot ın cazul conicelor cu centru, pentru a obtine expresia canonica (5), putem efectua ıntaitranslatia xOy 7→ x′Cy′ de vector OC, cu coordonatele centrului C date de solutia unica a sistemului(13), si apoi aplicand rotatia x′Cy′ 7→ x′′Cy′′ data de metoda valorilor proprii.

4. Observam ca ın cazul unei conice fara centru (avand δ = λ1λ2 = 0), doar una dintre cele douavalori proprii poate fi nula, deoarece g fiind polinom de grad 2, forma patratica Q asociata coniceieste nenula. In acest caz, dupa aplicarea metodei valorilor proprii si efectuarea rotatiei, putem grupatermenii din ecuatia (3) a conicei astfel: formam un patrat perfect (ca mai sus, fortand valoarea proprienenula factor ın prealabil), iar continutul parantezei va fi o noua coordonata si grupam termenul liniarramas fortand coeficientul monomului de grad I factor, iar continutul parantezei va fi cealalta nouacoordonata. Egalitatile obtinute reprezinta exact ecuatiile translatiei sistemului rotit avand ca rezultatsistemul canonic.

Exemplul 1. Determinati ecuatia canonica a conicei

Γ : x2 − 2xy + y2 + 4√2x− 6 = 0,

si formulele rototranslatiei ce deplaseaza reperul initial ın cel canonic.

Solutie. Conica data este nedegenerata (∆ = −2 = 0) si fara centru (δ = 0). Deoarece monomul −2xyeste prezent ın ecuatia conicei, este necesar sa aplicam o rotatie asupra reperului xOy; ın acest scopaplicam metoda valorilor proprii. Obtinem valorile proprii λ1 = 0, λ2 = 2 si vectorii proprii (versoriibazei ortonormate ce produc directiile noilor axe de coordonate)

e1 =

√2

2(1, 1), e2 =

√2

2(−1, 1),


deci matricea de rotatie este

R = [e1, e2] =

( √2/2 −

√2/2√

2/2√2/2

)=

(cos(π/4) − sin(π/4)sin(π/4) cos(π/4)

),

iar trecerea de la sistemul de coordonate xOy la cel nou, rotit x′Oy′ este descrisa de relatiile(xy

)= R

(x′

y′

)⇔{x = (x′ − y′)/

√2

y = (x′ + y′)/√2.

Inlocuind ın ecuatia conicei relativ la xOy, obtinem ecuatia relativ la noul reper,

Γ : y′2 + 2x′ − 2y′ − 3 = 0,

care se rescrie, restrangand patratul si grupand termenii liniari ramasi,

Γ : (y′ − 1)2 = −2(x′ − 2).

Cele doua paranteze din ecuatie sunt exact expresiile noilor coordonate, respectiv y′′ = y′ − 1, x′′ =x′ − 2, de unde rezulta ecuatiile translatiei x′Oy′ 7→ x′′O′′y′′:{

x′′ = x′ − 2y′′ = y′ − 1

⇔(x′

y′

)=

(x′′

y′′

)+

(21

),

de vector OO′′ ≡ (2, 1), coeficientii fiind exprimati relativ la baza ortonormata {e1, e2}. In final,ecuatia canonica a conicei (relativ la reperul x′′O′′y′′) este

Γ : y′′2 = −2x′′,

ecuatia unei parabole aflata ın semiplanul din stanga al axei O′′y′′, cu axa de simetrie O′′x′′ si cu varfulın O′′. Folosind formulele rotatiei si translatiei si relatia R−1 = Rt (matricea R fiind ortogonala),ecuatiile rototranslatiei xOy 7→ x′′O′′y′′ ce deplaseaza reperul initial ın reperul canonic, sunt(

x′′

y′′

)=

( √2/2

√2/2

−√2/2

√2/2

)(xy

)−(

21

).

Exemplul 2. Determinati ecuatia canonica a conicei

Γ : 3x2 − 4xy − 4x+ 6y − 1 = 0,

si formulele rototranslatiei ce deplaseaza reperul initial ın cel canonic.

Solutie. Conica Γ este nedegenerata (∆ = 1 = 0), admite centru de simetrie (δ = −4 = 0) si este degen hiperbolic (δ = −4⟨0). Forma patratica

Q(v) = 3x2 − 4xy, ∀v = (x, y) ∈ R2

asociata conicei are matricea A =

(3 −2−2 0

), cu valorile proprii λ1 = −1, λ2 = 4 si vectorii proprii

ortonormati e1 =(

1√5, 2√

5

), e2 =

(2√5,− 1√

5

), deci matricea de rotatie este

R = [−e1, e2] =

(− 1√

52√5

− 2√5− 1√

5

),

Conice 153

unde am opus primul versor pentru a avea satisfacuta conditia detR = 1 (o alta posibilitate ar fi fostsa consideram R = [e2, e1]). Atunci ecuatiile rotatiei xOy 7→ x′Oy′ sunt(

xy

)= R

(x′

y′

)⇔{x = (−1/

√5) (2x′ + y′)

y = (1/√5) (x′ − 2y′)

iar ın sistemul x′Oy′ ecuatia conicei devine 4x′2 − y′2 + 14√5x′ − 8√

5y′ − 1 = 0.

Restrangand patratele dupa fortarea factorilor comuni 4 respectiv-1, ecuatia se rescrie

4

(x′ +

7

4√5

)2

−(y′ +

8√5

)2

+93

10= 0.

Expresiile din paranteze fiind noile coordonate, efectuam translatia reperului x′Oy′{x′′ = x′ + 7/(4

√5)

y′′ = y′ + 8/√5

⇔(x′

y′

)=

(x′′

y′′

)+

(−7/(4

√5)

−8/√5

)ın punctul C (centrul conicei) ale carui coordonate relativ la reperul x′Oy′ sunt (−7/(4

√5),−8/

√5);

ecuatia conicei relativ la noul reper x′′Cy′′ este

− x′′2

5/186+

y′′2

10/93− 1 = 0,

deci conica este o hiperbola (conjugata) avand Cy′′ drept axa transversa, si semiaxele b =√

10/93, a =√5/186. Formulele rototranslatiei xOy 7→ x′′Cy′′ sunt(

x′′

y′′

)= Rt

(xy

)−(−7/(4

√5)

−8/√5

).

Metoda roto-translatiei. Putem determina rotatia sistemului de coordonate, si ın alt mod, aflandunghiul θ cu care se roteste reperul dat. Matricea R a schimbarii de baza (ce duce versorii reperuluiinitial ın cei ai reperului rotit) este ortogonala, de determinant+1, avand pe coloane coordonateleversorilor rotiti relativ la baza initiala. Remarcam ca bazele fiind ortonormate, coeficientii noilorversori sunt exact cosinusii directori ai directiilor lor, deci

R =


).

Folosind acest fapt, urmatoarea teorema permite determinarea matricei de rotatie prin intermediulunghiului de rotatie θ.

Teorema. Fie conica cu centru Γ : g(x, y) = 0 astfel ıncat ın ecuatia conicei avem a12 = 0 (deciapare monomul xy. Atunci efectuand rotatia reperului initial xOy 7→ x′Oy′ cu unghiul θ ce satisfaceecuatia

(a11 − a22) sin 2θ = 2a12 cos 2θ, (6)

ecuatia conicei ın sistemul rotit Γ : g′(x′, y′) = 0 nu mai contine monomul x′y′.

Demonstratie. Dupa efectuarea rotatiei de unghi θ descrisa de relatiile{x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

,


forma patratica afina g′(x′, y′) are drept coeficient pentru monomul xy expresia (tema, verificati!) 2a′12 =(a22 − a11) sin 2θ + 2a12 cos 2θ, identic nula, avand ın vedere relatia din ipoteza. �Observatie. Din teorema rezulta prin calcul direct (tema, verificati!) , ca pentru o conica cu centruunghiul de rotatie θ poate fi obtinut de asemenea folosind relatia

tg 2θ =2a12

a11 − a22.

Folosind apoi relatia tg 2θ = 2t1−t2

, unde t = tg θ, si relatiile

sin θ =t

±√1 + t2

, cos θ =1

±√1 + t2

,

rezulta matricea de rotatie R.

Teorema. Fie conica fara centru Γ : g(x, y) = 0, astfel ıncat ın ecuatia conicei avem a12 = 0.Atunci efectuand rotatia xOy 7→ x′Oy′ cu unghiul θ ce satisface ecuatia

tg θ = −a11/a12, (7)

ecuatia conicei ın sistemul rotit nu va mai contine monomul x′y′.

Demonstratie. Folosind δ ≡ a11a22− a212 = 0, se verifica (tema, verificati!) ca formulele (6) si (7) suntechivalente. �Observatii. 1. Dupa aplicarea rotatiei, reperul canonic se obtine printr-o translatie, fie restrangandpatratele si/sau grupand termenii liniari ramasi, ori translatand originea O ın centrul conicei (solutiaa sistemului liniar (3) din 1.10, derivat din ecuatia conicei relativ la reperul rotit).

2. Putem determina natura unei conice doar din studiul invariantilor acestora, pe baza tabeluluiurmator:

Conditii satisfacute de invarianti Conica Γ

δ > 0 Punct dublu

∆ = 0 δ = 0 Reuniune de drepte (paralele sau confundate),sau multimea vida

δ < 0 Reuniune de drepte concurenteDaca ın plus I= 0, drepte perpendiculare

∆ = 0 δ > 0I∆ < 0 ElipsaI∆ > 0 Multimea vida

δ = 0 Parabola

δ < 0 HiperbolaDaca ın plus I=0, hiperbola echilatera

Exercitiu. Determinati natura si genul conicei

Γ : x2 − 6xy + 9y2 + 10√10y = 0,

apoi reduceti ecuatia conicei la forma canonica folosind metoda roto-translatiei.

Conice 155

Solutie. Invariantii conicei sunt

∆ =

∣∣∣∣∣∣1 −3 0

−3 9 5√10

0 5√10 0

∣∣∣∣∣∣ = −250, δ =

∣∣∣∣ 1 −3−3 9

∣∣∣∣ = 0,

deci conica este o parabola. Deoarece a12 = 0, efectuam o rotatie al carei unghi θ este solutia ecuatieitg θ = −a11/a12 ⇔ tg θ = 1/3; rezulta cos θ = 3/

√10, sin θ = 1/

√10, deci matricea de rotatie este

R =

(3/√10 −1/

√10

1/√10 3/

√10

),

iar formulele rotatiei sunt(xy

)= R

(x′

y′

)⇔{x = (1/

√10) (3x′ − y′)

y = (1/√10) (x′ + 3y′)

.

Ecuatia conicei relativ la sistemul rotit x′Oy′ este y′2 + x′ + 3y′ = 0. Regrupand termenii, obtinemecuatia echivalenta Γ :

(y′ + 3

2

)2= −

(x′ − 9

4

).

Deci coordonatele noi, asociate sistemului translatat x′′O′′y′′ sunt date de relatiile acestora cu celeale sistemului vechi: y′′ = y′ + 3

2 , x′′ = x′ − 9

4 , de unde rezulta ecuatiile translatiei x′Oy′ 7→ x′′O′′y′′(x′

y′

)=

(x′′

y′′

)+

(9/4−3/2

).

Originea O′′ este exact varful parabolei, care are coordonatele (x′′, y′′) = (0, 0) si (x′, y′) = (9/4,−3/2).Fata de reperul x′′O′′y′′ ecuatia conicei este canonica,

Γ : y′′2 = −x′′,

si deoarece x′′ ≤ 0, conica se afla ın semiplanul stang al sistemului de coordonate.

3 Intersectia dintre o dreapta si o conica. Probleme de tangenta

Ne propunem sa determinam intersectia ∆∩Γ dintre conica Γ : g(x, y) = 0 si o dreapta data parametric,∆ : (x, y) = (x0+lt, y0+mt), t ∈ R. Inlocuind coordonatele punctului de pe dreapta ın ecuatia conicei,rezulta ecuatia ın necunoscuta t (variabila care fixeaza pozitia punctului pe dreapta ∆):

t2Q(l,m) + t(lgx0 +mgy0) + g(x0, y0) = 0, (1)

unde Q este forma patratica asociata formei afine g, si am notat

gx0 =∂g

∂x(x0, y0), gy0 =

∂g

∂y(x0, y0).

Distingem urmatoarele cazuri:

1. Daca Q(l,m) = 0, atunci ecuatia (1) este de gradul doi si discriminantul acestei ecuatii este

τnot=(l gx0 +m gy0)

2 − 4Q(l,m) · g(x0, y0).

⋄ Daca τ > 0, atunci ecuatia (*) are doua radacini reale t1 = t2 si dreapta taie conica ın douapuncteA1 = A2.

156 Asimptotele unei conice de gen hiperbolic

⋄ Daca τ = 0, atunci ecuatia (1) are radacinile confundate si dreapta intersecteaza conica ın douapuncte confundate A1 = A2 si se numeste tangenta la conica ın A1.

⋄ Daca τ < 0, atunci ecuatia (1) nu are solutii reale, deci ∆ nu intersecteaza conica.

2. Daca Q(l,m) = 0, atunci ecuatia (1) are gradul ıntai. Distingem subcazurile:

⋄ Daca l · gx0 +m · gy0 = 0 atunci (1) are o solutie unica t0, deci ∆ taie conica ıntr-un singur punct.

⋄ Daca l · gx0 + m · gy0 = 0 si g(x0, y0) = 0, atunci ecuatia (1) nu are solutii, deci dreapta nu taieconica.

⋄ Daca l · gx0 +m · gy0 = 0 si g(x0, y0) = 0, ecuatia (1) este identic satisfacuta, deci ∆ ⊆ Γ, si deciconica reprezinta o pereche de drepte.

Observatii. 1. Din orice punct exterior conicei Γ se pot duce cel mult doua tangente la Γ.

2. DacaA0(x0, y0) ∈ Γ si gx0 , gy0 nu sunt simultan nule, tangenta la conica ın punctul A0 are ecuatia(tema, verificati!)

(x− x0)gx0 + (y − y0)gy0 = 0.

Aceasta ecuatie se poate obtine si prin dedublarea ecuatiei conicei Γ : g(x, y) = 0 cu coordonatelepunctului A0(x0, y0) ∈ Γ, deci efectuand urmatoarele substitutii ın ecuatia conicei:{

x2 → xx0y2 → yy0

{x→ (x+ x0)/2y → (y + y0)/2

{xy → (xy0 + x0y)/2k ∈ R→ k.

Se numeste normala la conica ın punctul A0, dreapta care trece prin A0 si este perpendiculara petangenta; aceasta dreapta are ecuatia

x− x0gx0

=y − y0gy0

.

4 Asimptotele unei conice de gen hiperbolic

Definitie. Fie Γ o conica nedegenerata si fie o directie ın planul conicei data de vectorul nenulv ≡ (l,m). Directia v ≡ (l,m) se numeste directie asimptotica pentru conica Γ daca satisface relatia

Q(l,m) ≡ a11l2 + 2a12lm+ a22m2 = 0.

O dreapta a carei directie este directie asimptotica taie conica ın cel mult un punct.

Observatii. Privind existenta directiilor asimptotice ale unei conice nedegenerate date, examinandecuatia Q(l,m) = 0 ale carei solutii sunt acestea, distingem urmatoarele cazuri:

⋄ δ < 0 (hiperbola) ⇒ exista doua directii asimptotice distincte (l1,m1), (l2,m2);

⋄ δ > 0 (elipsa) ⇒ nu exista directii asimptotice;

⋄ δ = 0 (parabola) ⇒ directie asimptotica dubla (l,m), cea a axei de simetrie.

Definitie. Se numeste asimptota a unei conice nedegenerate Γ, o dreapta ∆ care nu taie conica si acarei directie este asimptotica.

Teorema. Daca v ≡ (l,m) este o directie asimptotica a conicei nedegenerate Γ : g(x, y) = 0, atunciecuatia carteziana a asimptotei asociate este

lgx +mgy = 0, (1)

unde am notat gx = ∂g∂x , gy = ∂g

∂y .

Conice 157

Observatii.

⋄ hiperbola are doua asimptote care trec prin centrul conicei;

⋄ elipsa nu are directie asimptotica, deci nu are asimptota;

⋄ parabola admite o directie asimptotica v ≡ (l,m) pentru care ecuatia (1) reprezinta o identitate,deci parabola nu are asimptota.

5 Pol si polara. Probleme de tangenta

Se dau punctul A(x0, y0) ∈ E 2 si conica

Γ : g(x, y) ≡ a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x+ 2a20y + a00 = 0 (1)

Definitii. a) Se numeste dedublare, grupul de substitutii

x2 → xx0y2 → yy0xy → (xy0 + x0y)/2

si

x→ (x+ x0)/2y → (y + y0)/2k ∈ R→ k

b) Se numeste dedublata ecuatiei de gradul doi g(x, y) = 0 ın punctul A(x0, y0), ecuatia

a11xx0 + a12(xy0 + x0y) + a22yy0 + a10(x+ x0) + a20(y + y0) + a00 = 0⇔

(x− x0)gx0 + (y − y0)gy0 + 2g(x0, y0) = 0. (2)

c) In cazul cand coeficientii gx0 si gy0 nu sunt simultan nuli ecuatia (2) este cea a unei drepte ∆.Aceasta dreapta se numeste polara lui A ın raport cu conica Γ, iar punctul A se numeste polul dreptei∆.

Observatie. Polara unui punct A ın raport cu o conica Γ nu depinde de sistemul de coordonatecartezian ales, relativ la care raportam cele doua figuri.

Teorema. Daca ∆ este polara punctului A(x0, y0) fata de conica Γ : g(x, y) = 0, atunci:

a) Punctul A apartine conicei d.n.d. se afla pe polara sa ∆ relativ la conica. In acest caz, polarapunctului A este tangenta la conica dusa prin A.b) Daca B(x, y) ∈ ∆ si ∆ este polara lui B fata de conica, atunci A ∈ ∆.

Demonstratie. a) Avem A(x0, y0) ∈ Γ ⇔ g(x0, y0) = 0. Atunci ecuatia (2) a polarei punctului Adevine ecuatia tangentei ın A la conica, (x − x0)gx0 + (y − y0)gy0 = 0. b) Ecuatia (2) a polarei ∆ apunctului A fata de conica este simetrica relativ la coordonatele punctelor A(x0, y0) si B(x, y) ∈ ∆,de unde afirmatia din enunt. �

Observatii privind dreptele polare relativ la conicele nedegenerate.Se da conica nedegenerata (∆ = 0) de ecuatie carteziana implicita Γ : g(x, y) = 0.

1. Ecuatia (2) a polarei ∆ punctului A(x0, y0) fata de conica Γ se rescrie:

∆ : x(a11x0 + a12y0 + a10) + y(a12x0 + a22y0 + a20) + a10x0 + a20y0 + a00 = 0. (3)

Atunci, data fiind o dreapta ∆ : ax + by + c = 0 din plan, polul A(x0, y0) asociat acesteia relativ laconica Γ se determina din sistemul de doua ecuatii (care reflecta faptul ca polara ∆ a punctului Acoincide cu dreapta ∆):

a11x0 + a12y0 + a10a

=a12x0 + a22y0 + a20

b=a10x0 + a20y0 + a00

c.

2. Corespondenta A → ∆ care asociaza unui punct polara sa relativ la conica este biunivoca ıntreurmatoarele multimi:

158 Diametru conjugat cu o directie data. Axe de simetrie

⋄ daca δ = 0 si C este centrul conicei, ıntre punctele din E 2\{C} si familia dreptelor din plan cuexceptia celor care trec prin C;

⋄ daca δ = 0, ıntre E2\{punctele de pe axa parabolei} si {dreptele din plan}\{axa parabolei}.

3. Fie A,B doua puncte din plan astfel ıncat dreapta AB satisface urmatoarele proprietati:

⋄ nu contine centrul conicei, ın cazul cand avem δ = 0;

⋄ nu are directia axei parabolei, daca δ = 0.

Fig. 33. Pol si polara relativ la o conica data

Atunci polarele celor doua puncte A respectiv Bse intersecteaza ın polul dreptei AB. In particular,daca A,B sunt doua puncte ale conicei, atunci tan-gentele duse la conica prin cele doua puncte A,B seintersecteaza ın polul dreptei AB (vezi figura).

Reciproc, daca dintr-un punct exterior unei con-ice se duc tangente la conica, punctele de tangentadetermina polara acestuia.

4. Daca trei puncte A,B,C sunt coliniare sidetermina dreapta ∆ care satisface conditiile din

observatia precedenta, atunci polarele punctelor A,B,C sunt concurente si se intersecteaza ın poluldreptei ∆.

5. Fie B′, B′′ punctele de intersectie ale unei drepte variabile ce trece prin punctul fix A, cu conica Γ.Atunci locul geometric al punctelor M = A cu proprietatea AB′/AB′′ =MB′/MB′′ este un segmentde dreapta continut ın polara ∆ a punctului A fata de conica.

Observatii privind dreptele polare relativ la conicele degenerate (care satisfac conditia∆ = 0. Se da conica degenerata Γ : g(x, y) = 0. Privind pozitia polarelor fata de conica, distingemcazurile:

⋄ daca δ = 0, atunci polara oricarui punct trece prin centrul conicei;

⋄ daca δ = 0, atunci toate polarele sunt paralele.


Definitie. Fie conica Γ : g(x, y) = 0 si o directie ın plan data de vectorul nenul v ≡ (l,m). Se numestediametrul conicei Γ conjugat directiei v ≡ (l,m) dreapta

∆ : l gx +m gy = 0, (1)

unde am notat prin gx, gy derivatele partiale ale functiei g.

Teorema. Daca directia v ≡ (l,m) nu este asimptotica relativ la conica Γ : g(x, y) = 0, atunci loculgeometric al mijloacelor corzilor conicei Γ care au directia v este inclus ın diametrul conjugat acesteidirectii dat de ecuatia (1) (vezi figura).

Conice 159

Fig. 34. Diametrul conjugat

Demonstratie. Directia v nefiind asimptotica, fascicululde drepte paralele de directie v intersecteaza conica (un-ele ın doua puncte), deci locul geometric are sens. Oasemenea dreapta, ce trece pritr-un punct P (x0, y0) areecuatiile parametrice

(x, y) = (x0 + lt, y0 +mt), t ∈ R.

Punctele de intersectie P1, P2 ale dreptei cu conica core-spund valorilor t1 si t2 ale parametrului care satisfacecuatia

t2Q(l,m) + t(lgx0 +mgy0) + g(x0, y0) = 0.

Pentru comoditatea calculului impunem ca punctul P (x0, y0) sa coincida cu mijlocul

M

(x1 + x2

2,

y1 + y22

)≡(x0 + l

t1 + t22

, y0 +mt1 + t2

2

)al segmentului P1P2, ceea ce revine la conditia t1+ t2 = 0; dar t1,2 fiind radacinile ecuatiei de gradul 2de mai sus, iar punctul M un mijloc de coarda arbitrara de directie v, rezulta anularea coeficientuluitermenului de gradul 1 al ecuatiei, deci lgx0+mgy0 = 0. Mijlocul P =M fiind arbitrar, acesta satisfaceecuatia lgx +mgy = 0. �Observatii privind diametrii conjugati.

1. In particular, daca A,B sunt punctele de intersectie ale diametrului conjugat unei directii vfata de conica, atunci tangentele duse la conica prin cele doua puncteA,B au directia v (vezi figuraanterioara). Reciproc, daca ducem tangentele de directie v la conica, atunci punctele de tangentadetermina diametrul conjugat directiei v relativ la conica.

2. Data fiind conica Γ : g(x, y) = 0, privitor la pozitia diametrilor conjugati fata de Γ, distingemcazurile:

⋄ daca δ = 0, diametrii conjugati cu directii arbitrare formeaza un fascicul concurent de drepte varfulın centrul conicei;

⋄ daca δ = 0, ∆ = 0 (parabola), deoarece exista numerele α, β ∈ R cu proprietatea βgy = gx + α(tema, verificati!) , diametrii conjugati cu directii arbitrare formeaza un fascicul de drepte paralelede ecuatii

gx + µ = 0, µ ∈ R ⇔ a11x+ a12y + µ = 0, µ ∈ R ⇔

a12x+ a22y + µ = 0, µ ∈ R.⋄ Examinand coeficientii variabilelor x, y din ecuatie, observam ca acest fascicul paralel are directia

fixa w0 ≡ (a12,−a11) sau, echivalent, w0 ≡ (a22,−a12).⋄ Evident axa de simetrie a parabolei este un diametru (caci punctele sale ınjumatatesc coardele

perpendiculare pe aceasta) si, fiind una din dreptele fasciculului, are tot directia w0; ea este

diametrul conjugat directiei (perpendiculare pe axa) v = w⊥0 ≡ (a11, a12).

⋄ Remarcam ca directiei axei de simetrie v = w0 nu-i corespunde nici un diametru conjugat, caciecuatia a12gx − a11gy = 0 reprezinta multimea vida (tema, verificati!) .

Diametri conjugati unul altuia. Fie ∆ : l gx +m gy = 0 diametrul conjugat directiei v ≡ (l,m)relativ la conica cu centru Γ : g(x, y) = 0. Observam ca directia acestuia este data de vectorul

w ≡ (ma12 + la22, −(la11 +ma12)).


Un vector w′ ≡ (l′,m′) determina aceeasi directie ca si vectorul w, daca w′ si w au coeficientiiproportionali,

l′

la12 +ma22=

m′

−(la11 +ma12)⇔ a11l

′ + a12(lm′ + l′m) + a22mm

′ = 0.

Din simetria acestei relatii relativ la v ≡ (l,m) si w′ ≡ (l′,m′), rezulta ca diametrul conjugat directieivectorului w′ ≡ (l′,m′) are directia v ≡ (l,m). Deci conjugarea induce pentru conicele cu centru orelatie simetrica relativ la directii. In acest sens se poate formula urmatoarea

Definitie. Doi diametri ale caror directii v ≡ (l,m), v′ ≡ (l′,m′) satisfac relatia

a11l′ + a12(lm

′ + l′m) + a22mm′ = 0 (2)

se numesc diametri conjugati unul altuia.

Observatie. Ecuatia (2) este dedublata ecuatiei care determina directiile asimptotice v ≡ (l,m) aleconicei,

Q(l,m) ≡ a11l2 + 2a12lm+ a22m2 = 0,

prin urmare orice asimptota are drept directie conjugata propria sa directie.

Definitie. Se numeste axa de simetrie a conicei Γ o dreapta ∆ care are proprietatea ca simetriculoricarui punct de pe conica ın raport cu ∆, se afla tot pe conica. daca simetricul ın raport cu D alfiecarui punct din Γ apartine tot lui Γ.

Vom determina ın continuare directiile axelor de simetrie ale unei conice cu centru Γ : g(x, y) = 0.

Fie w ≡ (l,m) o directie ortogonala pe axa de simetrie. Axa de simetrie reprezinta exact diametrulconjugat directiei w, deoarece contine mijloacele corzilor de directie w. Prin urmare, axa de simetrieare ecuatia l gx +m gy = 0 si directia data de vectorul de componente (−la12 −ma22, la11 +ma12).Acest vector este ortogonal pe w daca si numai daca produsul scalar al celor doi vectori este nul.Aceasta conditie conduce la ecuatia ce determina directiile axelor de simetrie ale conicei Γ,

(a11 − a22)lm+ a12(m2 − l2) = 0. (3)

Desi aparent ecuatia determina directia normala la axa, numele dat ecuatiei este justificat. Anume,se observa ca o data cu o solutie w ≡ (l,m), ecuatia accepta si solutia v ≡ (−m, l), ortogonala pe w.Rezulta ca vectorii v si w determina cele doua directii ale axelor de simetrie ortogonale.

Ecuatiile axelor de simetrie. Se da conica Γ : g(x, y) = 0. In vederea obtinerii ecuatiilor axelor desimetrie, distingem cazurile:

1. Daca δ = 0, atunci Γ are un centru de simetrie C(x0, y0) ale carui coordonate sunt solutiilesistemului liniar {

gx = 0gy = 0,

si doua axe de simetrie de directii vi ≡ (li,mi), i = 1, 2 ce satisfac ecuatia (3). Deoarece cele douadirectii sunt ortogonale, ecuatiile axelor de simetrie sunt produse fie ca ecuatii ale unor diametrireciproc conjugati, deci de forma li gx +mi gy = 0, fie ca drepte ce trec prin centru si au directiiledate de cei doi vectori, deci de forma

x− x0li

=y − y0mi

.

Punctele de intersectie dintre conica si axele de simetrie se numesc varfurile conicei.

Conice 161

2. Daca δ = 0 si ∆ = 0, (deci conica Γ este parabola), stim ca directia axei parabolei este (a12,−a11)(sau (a22,−a12)). Cum axa de simetrie este diametrul conjugat directiei perpendiculare (a11, a12) (sau(a21, a22)), obtinem ecuatia axei parabolei

a11gx + a12gy = 0

care admite forma echivalentaa21gx + a22gy = 0.

Intersectia dintre axa de simetrie si parabola se numeste varful parabolei.

7 Probleme propuse

1. Sub influenta unei forte, punctul material M se misca pe cercul

x2 + y2 + 4x− 2y − 20 = 0.

Actiunea fortei ınceteaza cand M ajunge ın pozitia (−6, 4). Aflati traiectoria urmata mai departe depunctul material.

R: Traiectoria este inclusa ın tangenta ∆ prin M la cerc; prin dedublare, ∆ : 4x− 3y + 36 = 0.

2. Pentru fiecare din conicele urmatoare, sa se calculeze invariantii metrici si coordonatele centrului.Sa se afle ecuatia conicei redusa la centru.

a) Γ1 : x2 − 2xy + 2y2 − 4x− 6y + 3 = 0;

b) Γ2 : x2 − 2xy − y2 − 4x− 6y + 3 = 0;

c) Γ3 : x2 + 2xy + y2 + 2x+ 2y − 4 = 0.

R: a) ∆ = −26, δ = 1, I = 3; elipsa x′′2

52/(3+√5)

+ y′′2

52/(3−√5)

= 1; b) ∆ = −23, δ = −2, I = 0; hiperbola

x′′2

23/(2√2)− y′′2

23/(2√2)

= 1; c) ∆ = δ = 0, I = 2; perechea de drepte paralele x′′2 = 4.

3. Sa se reduca ecuatiile urmatoarelor conice la forma canonica si sa se construiasca conicelecorespunzatoare:

a) Γ1 : 5x2 − 4xy + 2y2 − 16x+ 4y − 22 = 0;

b) Γ2 : 11x2 − 24xy + 4y2 + 2x+ 16y + 11 = 0;

c) Γ3 : x2 − 2xy + y2 − 4y + 6 = 0.

R: a) Elipsa x′′2

6 + y′′2

36 = 1; b) Hiperbola x′′2

4 − y′′2 = 1; c) Parabola y′′2 =

√2x′′.

4. Sa se stabileasca pozitia dreptei ∆ fata de conica Γ ın urmatoarele cazuri:

a) ∆ : x− y − 7 = 0; Γ : x2 − 2xy − 3y2 − 4x− 6y + 3 = 0;b) ∆ : (x, y) = (2 + t, −1 + t); Γ : x2 − 2xy − 2y2 + 7x+ 6y − 45 = 0;c) ∆ : (x, y) = (1 + 2t, 1− t); Γ : x2 + 2xy + y2 + x− 2y + 13 = 0.

R: a) Secanta; b) Exterioara; c) Tangenta.

5. Sa se afle polul axei Oy si polara punctului A(1,−2) fata de conica

Γ : x2 − 2y2 − 3x− 7y + 1 = 0.

R: Coeficientii ecuatiei dreptei polare, obtinute prin dedublarea ecuatie conicei cu coordonatele poluluiM(x0, y0), trebuie sa fie proportionali cu ai ecuatiei axei Oy : x = 0; rezulta M(19/4,−7/4)). b) Prindedublare cu A, rezulta polara ∆ : x− y − 13 = 0.

162 Sfera

6. Aflati ecuatia axei de simetrie a conicei x2 + 2xy + y2 − 2x + 4y − 16 = 0 si ecuatia diametruluiconjugat:

a) directiei axei Ox;

b) directiei v ≡ (1,−3).

R: a11gx + a12gy = 0⇔ 2x+ 2y + 1 = 0; a) vOx ≡ (1, 0); ∆ : x+ y = 1; b) ∆ : 2x+ 2y + 7 = 0.

7. Sa se determine centrul, axele si varfurile conicei

Γ : 16x2 + 4xy + 19y2 + 104x− 212y − 356 = 0.

R: C(−4, 6), ∆1 : 2x− y + 14 = 0; ∆2 : x+ 2y − 8 = 0;elipsa, 4 varfuri:

(−4± 2√3, 6± 4

√3), (−12, 10), (4, 2).

8. Sa se demonstreze ca:

a) polara oricarui punct de pe o dreapta fata de o conica, contine polul acelei drepte;

b) polul oricarei drepte care trece printr-un punct dat este situat pe o dreapta fixa, care este exactpolara punctului dat.

R: Se foloseste relatia dintre coordonatele polului si cele ale unui punct de pe polara asociata, furnizatade ecuatia polarei.

9. Sa se discute ın functie de parametrii a, b ∈ R natura conicelor

Γ : (a− 1)x2 + 2bxy − (a+ 1)y2 + 2ax+ 2by − a− 1 = 0, a ∈ R.

R: Invariantii conicelor au expresiile:

∆ = (a+ 1)(2a2 + 2b2 − 1), δ = 1− a2 − b2, I = −2.

Pentru ∆ = 0 distingem cazurile degenerate:

⋄ pentru a = −1, b = 0, doua drepte concurente;

⋄ pentru a = −1, b = 0, pereche de drepte paralele;

⋄ pentru a = −1, 2a2 + 2b2 = 1, un punct.

Pentru ∆ = 0 (cazul nedegenerat) avem elipsa, parabola sau hiperbola, dupa cum respectiv δ > 0,δ = 0 sau δ < 0.

Capitolul 5. Cuadrice

1 Sfera

Reamintim ca date fiind doua puncte Ai(xi, yi, zi), i = 1, 2 ın spatiul E 3 raportat la reperul cartezian{O; {i, j, k}}, distanta dintre acestea este data de formula

d(A1, A2) =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

Cuadrice 163

Fig. 35. a) Sfera b) Parametrizarea sferei

Definitie. Fie punctul C(x0, y0, z0) ∈ E 3 si r > 0. Se numeste sfera de centru C si raza r multimeapunctelor M ∈ E 3 cu proprietatea d(C,M) = r.

Observatii. 1. PunctulM(x, y, z) ∈ E 3 apartine sferei de centru C(x0, y0, z0) si raza r daca si numaidaca distanta de la M la centrul C al sferei este r (vezi figura), deci daca coordonatele sale satisfacrelatia

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2. (1)

Intr-adevar, punctul M apartine sferei daca si numai daca au loc relatiile echivalente d(C,M) = r ⇔√(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r ⇔ (1). Astfel, aceasta sfera este descrisa analitic prin

Σ = {M(x, y, z) ∈ R3∣∣(x, y, z) ∈ R3, (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2}

sau, pe scurt,Σ : (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2.

Ecuatia de mai sus se numeste ecuatia carteziana implicita a sferei Σ de centru (x0, y0, z0) si raza r.Putem rescrie aceasta ecuatie sub forma parametrica

x = x0 + r sinu cos vy = y0 + r sinu sin vz = z0 + r cosu

(2)

cu u ∈ [0, π], v ∈ [0, 2π] drept parametri (vezi figura). Ecuatia (2) se poate rescrie sub forma vectoriala

r = r0 + r(sinu cos v i+ sinu sin v j + cosu k) (3)

unde am notatr = OM ≡ (x, y, z), r0 = OC ≡ (x0, y0, z0).

2. Dezvoltand polinomul de gradul doi din ecuatia (1), observam ca acesta este de forma:

x2 + y2 + z2 + 2ax+ 2by + 2cz + d = 0, (4)

cu a, b, c, d parametri reali. Reciproc, ecuatia (4) se rescrie

(x+ a)2 + (y + b)2 + (z + c)2 = ρ, ρ = a2 + b2 + c2 − d ,

si, notand cu Σ multimea de puncte descrise de ecuatia (4), distingem cazurile:

⋄ daca ρ > 0, atunci Σ este o sfera de centru C(x0, y0, z0) = (−a,−b,−c), raza r = √ρ;⋄ daca ρ = 0, atunci Σ = {(−a,−b,−c)};⋄ daca ρ < 0, atunci Σ este multimea vida.

In primul caz, deci pentru a2 + b2 + c2 − d⟩0, ecuatia

x2 + y2 + z2 + 2ax+ 2by + 2cz + d = 0 (5)

se numeste ecuatia carteziana generala a sferei.

164 Sfera

Fig. 36. Sfera: interior/exterior

3. Din punct de vedere topologic, o sfera Σ este o multimemarginita si ınchisa, deci compacta. Ea separa spatiul E 3 ındoua submultimi disjuncte: interiorul sferei Σ notat int (Σ) siexteriorul sferei Σ notat ext (Σ) (vezi figura). Remarcam cadaca sfera are centrul C(x0, y0, z0) si raza r > 0, avem

int Σ = {(x, y, z) |f(x, y, z)⟨0}ext Σ = {(x, y, z) |f(x, y, z)⟩0}

unde f : R3 → R, f(x, y, z) = (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2−r2.Sfera Σ ca multime de puncte ın spatiul topologic R3 este

ınchisa si marginita (deci compacta) si conexa, int Σ si extΣsunt deschise si conexe, int Σ este convexa, int Σ si Σ sunt simplu conexe, iar un segment ce arecapetele ın int Σ si extΣ respectiv intersecteaza ın mod necesar sfera (tema, verificati!) .

4. O sfera este determinata de patru puncte necoplanare Ai(xi, yi, zi), i = 1, 4 (care satisfac deciconditia ⟨A1A2, A1A3 × overlineA1A4⟩ = 0), astfel: un punct A(x, y, z) apartine sferei daca satisface(spre exemplu) ecuatia sferei ın forma normala

Σ : x2 + y2 + z2 +mx+ ny + pz = q,

unde parametrii m,n, p, q sunt nedeterminati; deoarece cele 4 puncte apartin sferei, avem satisfacuteconditiile

Σ : x2i + y2i + z2i +mxi + nyi + pzi = q, i = 1, 4.

Conditia de compatibilitate a sistemului reunit de 5 ecuatii (determinantul caracteristic nul, conformteoremei Rouche), conduce la ecuatia sferei prin 4 puncte necoplanare (denumita si ecuatia sferei subforma de determinant)

Σ :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x2 + y2 + z2 x y z 1

x21 + y21 + z21 x1 y1 z1 1

x22 + y22 + z22 x2 y2 z2 1

x23 + y23 + z23 x3 y3 z3 1

x24 + y24 + z24 x4 y4 z4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0. (6)

5. Ecuatiile parametrice (2) ale sferei de centru C(x0, y0, z0) si raza r se pot rescrie, pentru u =φ− π/2, v = θ:

x = x0 + r cosφ cos θ

y = y0 + r cosφ sin θ

z = z0 + r sinφ

, θ ∈ [0, 2π), φ ∈ [−π/2, π/2],

ecuatii folosite ın geodezie (φ =unghi de ascensie, altitudine). Substituind ın (2) p = tg u2 , q = tg v

2 , seobtin ecuatiile parametrice rationale ale sferei

x = x0 +2rp(1−q2)

(1+p2)(1+q2)

y = y0 +4rpq

(1+p2)(1+q2)

z = z0 +r(1−p2)1+p2

, p, q ∈ R.

Dreapta tangenta la sfera; plan tangent la sfera.

Cuadrice 165

Definitii. Fie sfera Σ de centru C(x0, y0, z0) si raza r > 0.

a) O dreapta ∆ se spune ca este tangenta unei sfere daca aceasta intersecteaza sfera ıntr-un punctdublu (doua puncte confundate).

b) Se numeste plan tangent la sfera S ın punctul A(x′, y′, z′) al acesteia, locul geometric al tuturordreptelor tangente la sfera ın punctul A.

Ecuatia planului π tangent la sfera rezulta prin dedublarea ecuatiei (1) a sferei cu coordonatelepunctului A(x′, y′, z′); ın urma dedublarii, se obtine

π : (x− x0)(x′ − x0) + (y − y0)(y′ − y0) + (z − z0)(z′ − z0)− r2 = 0

sau echivalent, prin dedublarea ecuatiei carteziene generale (5) a sferei,

π : xx′ + yy′ + zz′ + a(x+ x′) + b(y + y′) + c(z + z′) + d = 0.

Observatii. 1. Dat fiind un plan oarecare π si sfera Σ de centru C si raza r, pozitia relativa a planuluifata de sfera se determina ın functie de distanta d = d(C, π) de la centrul sferei la planul π, dupa cumurmeaza:

⋄ daca d⟨r, atunci planul este secant sferei, si taie sfera dupa un cerc; ın particular, daca d = 0, cerculde sectiune este un cerc mare al sferei;

⋄ daca d = r, atunci planul este tangent sferei, si taie sfera dupa un punct dublu, punctul de tangenta;

⋄ daca d⟩r, atunci planul este exterior sferei si nu o intersecteaza.

2. Data fiind dreapta ∆ si sfera Σ de centru C si raza r, pozitia relativa a dreptei fata de sfera sedetermina ın functie de distanta d = d(C, ∆) de la centrul sferei la dreapta, astfel:

⋄ daca d < r, dreapta este secanta sferei, si taie sfera dupa doua puncte; ın particular, daca d = 0,punctele de intersectie sunt diametral opuse;

⋄ daca d = r, dreapta este tangenta sferei, si taie sfera dupa un punct dublu, punct de tangenta;

⋄ daca d > r, dreapta este exterioara sferei si nu o intersecteaza.

Exercitiu. Aflati planul π tangent sferei Σ : x2 + y2 + z2 = 3 ın punctul acesteia A′(1, 1, 1) sideterminati pozitia dreptei ∆ : x = y = 3

2 − z fata de sfera.

Solutie. Prin dedublarea ecuatiei sferei cu coordonatele punctului A′, rezulta ecuatia planului tangentın A′ la sfera, π : x+ y + z = 3.

Aducand ecuatia sferei la forma (1), obtinem centrul sferei C(0, 0, 0) si raza r =√3. Cum distanta

de la C la dreapta ∆ este exact√3 (tema, verificati!) , rezulta ca dreapta este tangenta sferei.

Altfel. Intersectam dreapta cu sfera: coordonatele intersectiei satisfac simultan ecuatiile dreptei siecuatia sferei, deci sistemul algebric de gradul doi{

x = y = 32 − z

x2 + y2 + z2 = 3

cu solutia unica (tema, verificati!) punctul dublu A′(1, 1, 1). Deci dreapta este tangenta sferei ın A′

si ın particular este continuta ın planul π, care este tangent sferei ın A′.

166 Elipsoidul

2 Elipsoidul

In cele ce urmeaza, vom studia o serie de suprafete particulare descrise de ecuatii algebrice de graduldoi ın necunoscutele (x, y, z), numite generic cuadrice. In raport cu un sistem de coordonate privilegiat(convenabil ales), ecuatiile cuadricelor au o forma simpla, numita ın cele ce urmeaza ecuatie redusasau ecuatie canonica. Un exemplu de cuadrica, sfera, a fost deja prezentat ın Sectiunea 1.

Definitie. Se numeste elipsoid, cuadrica Σ ⊂ E 3 cu ecuatia redusa de forma

x2

a2+y2

b2+z2

c2− 1 = 0, (1)

unde a, b, c sunt numere reale strict pozitive, numite semiaxele elipsoidului Σ.

Fig. 37. Elipsoidul

Observatii. 1. Putem deduce forma elipsoidului, studiindu-i simetriile si intersectiile cu axele si planele de coordonate.Deoarece ecuatia (1) ramane neschimbata ın urma aplicariisimetriilor

(x, y, z)→ (−x,−y,−z),(x, y, z)→ (x, y,−z),(x, y, z)→ (−x, y, z),(x, y, z)→ (x,−y, z)

rezulta ca elipsoidul este simetric respectiv fata de origineaO (numita si centrul elipsoidului) si planele de coordonatexOy, yOz, zOx (care din acest motiv se numesc plane princi-pale ale elipsoidului). Ecuatia (1) ramane neschimbata si ınurma aplicarii simetriilor

(x, y, z)→ (x,−y,−z), (x, y, z)→ (−x, y,−z), (x, y, z)→ (−x,−y, z),

deci elipsoidul este simetric respectiv fata de axele de coordonate Ox,Oy,Oz (care din acest motiv senumesc axele elipsoidului).

2. Intersectiile dintre elipsoid si planele de coordonate sunt elipsele{x2

a2+ y2

b2− 1 = 0

z = 0

{x2

a2+ z2

c2− 1 = 0

y = 0

{y2

b2+ z2

c2− 1 = 0

x = 0.

De asemenea, intersectiile dintre elipsoid si plane paralele cu planele de coordonate sunt elipse; spreexemplu, intersectia cu planul z = h (unde h ∈ [−c, c]) este elipsa{

x2

a2(c2−h2)/c2+ y2

b2(c2−h2)/c2− 1 = 0

z = h, h ∈ [−c, c].

3. Ecuatiile parametrice ale elipsoidului (1) suntx = a sinu cos vy = b sinu sin vz = c cosu

, u ∈ [0, π], v ∈ [0, 2π].

4. Elipsoidul intervine ın mecanica (spre exemplu, elipsoidul de inertie), geodezie si topografie (pentrumasuratori terestre), etc.

Cuadrice 167

Teorema. Elipsoidul este o multime compacta ın E 3.

Demonstratie. Din ecuatia (1) obtinem inegalitatile x2

a2= 1 − y2

b2− z2

c2≤ 1 si analog, conditiile

y2

b2≤ 1, z2

c2≤ 1. Deci un punct oarecare al elipsoidului se afla inclus ın paralelipipedul [−a, a] ×

[−b, b] × [−c, c] ⊂ E 3, si prin urmare elipsoidul este o multime marginita ın E 3. El este si multimeınchisa, fiind preimaginea f−1({0}) a multimii ınchise {0} ⊂ R prin functia polinomiala (deci continua)

f : R3 → R, f(x, y, z) = x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1. Deci elipsoidul este multime compacta ın E 3. �

Teorema. Intersectia dintre un elipsoid si un plan poate fi o elipsa, un punct sau multimea vida.

Demonstratie. O asemenea intersectie este o curba data de ecuatii de gradul doi, deci o conica. Elip-soidul fiind multime compacta, si intersectia sa cu un plan (submultime ınchisa a elipsoidului) estetot compacta, deci aceasta conica este compacta, ın particular marginita. Singurele conice marginitefiind elipsa, un punct si multimea vida, rezulta afirmatia. �

3 Hiperboloizii. Conul asimptot

Definitie. Se numeste hiperboloid cu o panza, cuadrica Σ ⊂ E 3 cu ecuatia redusa de forma

Σ :x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1, (1)

unde a, b, c sunt numere reale strict pozitive, numite semiaxele hiperboloidului cu o panza Σ.

Fig. 38. a) Hiperboloidul cu o panza; b) Hiperboloidul cu doua panze

Observatii. 1. Hiperboloidul cu o panza are aceleasi simetrii ca si elipsoidul si are patru varfuri.Intersectiile sale cu planele zOy si zOx sunt respectiv hiperbolele{

y2

b2− z2

c2= 1

x = 0

{x2

a2− z2

c2= 1

y = 0

iar intersectiile sale cu planele z = h, h ∈ R (paralele cu xOy) sunt elipse.2. Din punct de vedere topologic, hiperboloidul cu o panza este o multime nemarginita (deci necom-pacta) si ınchisa, conexa, neconvexa, ne-simplu conexa ın spatiul E 3.

3. Hiperboloidul cu o panza este o suprafata dublu riglata; prin fiecare punct al sau trece un plancare taie hiperboloidul dupa doua drepte distincte. Aceasta proprietate face ca hiperboloidul cu opanza sa fie folosit ın constructii industriale-ca model pentru turnuri de racire, cosuri de fum, etc, siın realizarea arborilor necoliniari (roti dintate hiperbolice)-ın transmisia rotatiilor.

168 Hiperboloizii. Conul asimptot

4. Hiperboloidul cu o panza (1) admite ecuatiile parametricex = achu cos vy = bchu sin vz = c shu

, u ∈ R, v ∈ [0, 2π].

Inlocuind p = thu2 ≡

ch(u/2)sh(u/2) , q = tg v

2 , folosind chudef= eu+e−u

2 , shudef= eu−e−u

2 si relatiile derivate

ch 2u− sh 2u = 1,

ch 2u

2=

1 + chu

2=

1

1− th2(u/2), sh 2u

2=

chu− 1

2

chu =th2(u/2) + 1

1-th2(u/2), shu =

2th2(u/2)

1-th2(u/2),

obtinem ecuatiile parametrice rationale ale hiperboloidului cu o panza,x = a (1+p2)(1−q2)

(1−p2)(1+q2)

y = b 2(1+p2)q(1−p2)(1+q2)

z = c 2p1−p2

, p ∈ R\{±1}, q ∈ R.

Definitie. Se numeste con, cuadrica Σ ⊂ E 3 data de o ecuatie redusa de forma

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0, (a, b, c > 0). (2)

Observatii. 1. Conul descris de ecuatia (2) se mai numeste si conul asimptot al hiperboloidului cuo panza (1). Denumirea acestei cuadrice decurge din calitatea panzelor celor doua suprafete de a seapropia una fata de cealalta la infinit.

2. Ca utilizari, conul este folosit, spre exemplu, pentru transmiterea miscarii de rotatie ıntre doiarbori necoliniari prin intermediul a doua roti dintate conice.

3. Din punct de vedere topologic, conul are aceleasi proprietati cu ale hiperboloidului cu o panza, cuexceptia faptului ca un con este simplu conex.

Definitie. Se numeste hiperboloid cu doua panze, cuadrica Σ ⊂ E 3 ce admite o ecuatie redusa deforma

− x2

a2− y2

b2+z2

c2= 1, (3)

unde a, b, c sunt numere reale strict pozitive, numite semiaxele hiperboloidului Σ.

Observatii. 1. Hiperboloidul cu doua panze are aceleasi simetrii ca si hiperboloidul cu o panza siare doua varfuri care sunt situate pe axa Oz. Intersectiile sale cu planele zOy si zOx sunt respectivhiperbolele {

−y2

b2+ z2

c2= 1

x = 0

{−x2

a2+ z2

c2= 1

y = 0.

Privind intersectiile sale cu planele z = h, h ∈ R (paralele cu xOy) distingem cazurile:

⋄ daca h ∈ (−c, c), intersectia este multimea vida;

⋄ daca h ∈ {−c, c}, se obtin cele doua varfuri ale hiperboloidului cu doua panze;

Cuadrice 169

⋄ daca |h| > c, intersectiile sunt elipsele{x2

a2(h2−c2)/c2+ y2

b2(h2−c2)/c2= 1

z = h.

2. Din punct de vedere topologic, hiperboloidul cu doua panze este multime nemarginita si ınchisa,neconvexa, neconexa, simplu conexa ın spatiul E3.

3. Hiperboloidul cu doua panze admite ecuatiile parametricex = ashu cos vy = bshu sin vz = ± c chu

, u ∈ R, v ∈ [0, 2π]

sau, ınlocuind p = thu2 ≡

ch(u/2)sh(u/2) , q = tg v

2 , se obtin ecuatiile parametrice rationale{x = a 2p(1−q2)

(1−p2)(1+q2)

y = b 4pq(1−p2)(1+q2)

, z = c 1+q2

1−p2

, p ∈ R\{±1}, q ∈ R.

4. Conul dat de ecuatia (2) se mai numeste si conul asimptot al hiperboloidului cu doua panze (3).

4 Paraboloizii

Definitie. Se numeste paraboloid eliptic, cuadrica Σ ⊂ E 3 ce admite o ecuatie redusa de forma

z =x2

a2+y2

b2, (a, b > 0). (1)

Observatii. 1. Paraboloidul eliptic admite drept plane de simetrie planele de coordonate zOx si zOy,numite si plane principale. De asemenea, acesta admite axa Oz drept axa de simetrie (numita axaprincipala a paraboloidului) si este tangenta la planul xOy ın originea O a sistemului de coordonate(numit varful paraboloidului).

Fig. 39. a) Paraboloidul eliptic; b) Paraboloidul hiperbolic

2. Paraboloidul eliptic intersecteaza planele de coordonate zOx si zOy respectiv dupa parabolele{z = x2

a2

y = 0

{z = y2

b2

x = 0.

Privind intersectiile sale cu planele paralele cu xOy z = h, h ∈ R, distingem cazurile:

170 Paraboloizii

⋄ daca h < 0, intersectia este multimea vida;

⋄ daca h = 0 (planul xOy), se obtine varful paraboloidului eliptic;

⋄ daca h > 0, intersectia este elipsa

{x2

a2+ y2

b2= h

z = h.

3. Topologic, paraboloidul eliptic este multime nemarginita si ınchisa, neconvexa, conexa si simpluconexa ın E 3.

4. Paraboloidul eliptic admite ecuatiile parametricex = au cos vy = bu sin vz = u2

, u ∈ R, v ∈ [0, 2π],

sau, ınlocuind p = u, q = tg v2 , se obtin ecuatiile parametrice rationale{

x = ap1−q2

1+q2

y = b 2pq1+q2

, z = p2, p, q ∈ R.

5. Paraboloidul eliptic este folosit ın industria confectiilor, astrofizica (ın proiectarea antenelor tele-scopice), etc.

Definitie. Se numeste paraboloid hiperbolic sau sa, cuadrica Σ ⊂ E 3 ce admite o ecuatie redusa deforma

2z =x2

a2− y2

b2, (a, b > 0). (2)

Observatii. 1. Paraboloidul hiperbolic are aceleasi plane si axe de simetrie ca si paraboloidul eliptic.2. Paraboloidul hiperbolic intersecteaza planele de coordonate zOx si zOy respectiv dupa parabolele{

z = x2

a2

y = 0

{z = −y2

b2

x = 0

si se observa ca acestea au concavitatea orientata diferit (prima ın sensul axei Oz, caci de-a lungul eiavem z ≥ 0), iar cealalta ın sens opus sensului axei Oz). Privind intersectiile sale cu planele paralelecu xOy date de ecuatii carteziene de forma z = h, h ∈ R, distingem cazurile:

⋄ daca h = 0, intersectia este hiperbola

{x2

a2− y2

b2= h

z = h, care are axa transversa paralela cu Ox sau

cu Oy, dupa cum h > 0 sau h < 0.

⋄ daca h = 0 (planul xOy), se obtine perechea de drepte concurente ın O,{ (xa + y

b

) (xa −

yb

)= 0.

z = 0

3. Topologic, saua are aceleasi calitati ca ale paraboloidului eliptic.

4. Paraboloidul hiperbolic admite ecuatiile parametricex = au ch vy = b u sh vz = u2

,

x = au sh vy = b u ch vz = −u2

, u > 0, v ∈ R,

Cuadrice 171

sau, ınlocuind p = u, q = thv2 , se obtin ecuatiile parametrice rationale ale paraboloidului hiperbolic{

x = ap1+q2

1−q2

y = b 2pq1−q2

, z = p2,

{x = a 2pq

1−q2

y = bp1+q2

1−q2, z = p2

, p > 0, q ∈ R\{±1}

5. Paraboloidul hiperbolic este o suprafata dublu riglata, motiv pentru care este folosit ın constructiiindustriale ca model pentru acoperisuri.

5 Cilindri. Alte tipuri de cuadrice

In paragrafele anterioare am trecut ın revista principalele tipuri de cuadrice nedegenerate. Vomprezenta ın continuare celelalte tipuri de cuadrice, indicand ın fiecare caz forma ecuatiei canoniceaferente.

Definitii. a) Se numeste cilindru circular, cuadrica Σ ⊂ E 3 data de o ecuatie de forma

x2 + y2 = a2, (1)

unde a este un numar real strict pozitiv, numit raza cilindrului Σ.

b) Se numeste cilindru eliptic, cuadrica Σ ⊂ E 3 data de o ecuatie de forma

x2

a2+y2

b2− 1 = 0, (2)

unde a, b sunt numere reale strict pozitive, numite semiaxele cilindrului eliptic Σ.

Σ :x2

a2+y2

b2= 1

c) Se numeste cilindru hiperbolic, cuadrica Σ ⊂ E 3 data de o ecuatie de forma

Σ :x2

a2− y2

b2− 1 = 0, (3)

unde a, b sunt numere reale strict pozitive, numite semiaxele cilindrului hiperbolic Σ.

Fig. 40. Cilindrul eliptic si cilindrul hiperbolic

d) Se numeste cilindru parabolic, cuadrica Σ ⊂ E 3 data de o ecuatie de forma

y2 = 2px, (4)

unde p este un numar real nenul.

Observatii. Celelalte cuadrice (majoritatea degenerate) sunt:

172 Cuadrice riglate

⋄ pereche de plane concurente, x2

a2− y2

b2= 0;

⋄ pereche de plane paralele, x2 − a2 = 0;

⋄ pereche de plane confundate, x2 = 0;

⋄ dreapta, x2

a2+ y2

b2= 0;

⋄ punct, x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 0;

⋄ multime vida, x2

a2+ y2

b2+ z2

c2+1 = 0 (elipsoid imaginar) sau x2

a2+ y2

b2+1 = 0 (cilindru eliptic imaginar)

sau x2 + a2 = 0 (pereche de plane imaginare).

6 Cuadrice riglate

Exista cuadrice Σ ⊂ E 3 al caror plan tangent ıntr-un punct al acestora, contine cel putin o dreaptainclusa ın Σ. Exemple remarcabile sunt: cilindrii (circular, eliptic, hiperbolic, si parabolic), conul,hiperboloidul cu o panza si paraboloidul hiperbolic. Acestea pot fi generate prin miscarea unei dreptece se sprijina pe o curba data.

Pe de alta parte, elipsoidul si hiperboloizii pot fi generati prin miscarea unei elipse, iar paraboloiziia unei parabole ce se sprijina pe o curba data. Relativ la prima categorie de cuadrice, putem formulaurmatoarele

Definitii. a) Se numeste suprafata riglata, o suprafata Σ ⊂ E 3 care poate fi generata prin miscareaunei drepte ∆ care se sprijina pe o curba Γ. In acest caz, dreapta ∆ se numeste generatoarea rectiliniea suprafetei riglate, iar curba Γ se numeste curba directoare a suprafetei Σ.b) O cuadrica se numeste dublu riglata daca prin fiecare punct al sau trec doua drepte distinctecontinute ın cuadrica.

Se poate arata ca orice cuadrica, care are proprietatea ca o data cu un punct al ei contine o ıntreagadreapta ce trece prin acel punct, este cuadrica riglata, si reciproc.

Teorema. Hiperboloidul cu o panza si paraboloidul hiperbolic sunt cuadrice dublu riglate.

Fig. 41. Cuadricele dublu riglate: hiperboloidul cu o panza si paraboloidul hiperbolic

Demonstratie. Folosind una dintre ecuatiile canonice ale hiperboloidului cu o panza,

x2

a2+y2

b2− z2

c2− 1 = 0⇔

(xa− z

c

) (xa+z

c

)=(1− y

b

) (1 +

y

b

),

rezulta clar ca familiile de drepte FH = {∆λ | λ ∈ R} ∪ {∆∞} si {∆µ | µ ∈ R} ∪ {∆′∞} sunt continute

ın hiperboloid, dreptele avand respectiv ecuatiile

∆λ : xa + z

c − λ(1 + y

b

)= λ

(xa −

zc

)−(1− y

b

)= 0, ∆∞ : x

a −zc = 1 + y

b = 0

∆µ : xa + z

c − µ(1− y

b

)= µ

(xa −

zc

)−(1 + y

b

)= 0, ∆′

∞ : xa −

zc = 1− y

b = 0

Cuadrice 173

si mai mult, ca reuniunea fiecarei familii de drepte (ca multime de puncte) acopera ıntreg hiperboloidulcu o panza. Numim aceste familii generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o panza. In ceea cepriveste paraboloidul hiperbolic dat prin ecuatia canonica

z =x2

a2− y2

b2⇔ z =

(xa− y

b

) (xa+y

b

)observam ca ecuatia acestuia este satisfacuta de familiile de drepte FP = {∆λ | λ ∈ R} ∪ {∆∞} si{∆µ | µ ∈ R} ∪ {∆′

∞}, care deci sunt continute ın paraboloid,

∆λ : xa + y

b − λz = λ(xa −

yb

)− 1 = 0; ∆∞ : z = x

a −yb = 0

∆µ : xa −

yb − µz = µ

(xa + y

b

)− 1 = 0; ∆′

∞ : z = xa + y

b = 0

si care, ca si ın cazul hiperboloidului cu o panza, genereaza cuadrica. �

Observatii. 1. Translatand ın origine oricare din cele doua familii de generatoare ale hiperboloiduluicu o panza obtinem o singura familie de generatoare ale conului asimptot al acestuia. Astfel conulapare ca o suprafata (simplu) riglata.

2. Se poate arata ca suprafetele dublu riglate pot fi doar un plan, un hiperboloid cu o panza sau unparaboloid hiperbolic.

3. Familiile de generatoare au o serie de proprietati deosebit de utile ın aplicatii. Iata cateva dintreacestea. Au loc urmatoarele proprietati ale celor doua familii de generatoare ale hiperboloidului cu opanza sau ale paraboloidului hiperbolic:

⋄ oricare doua drepte ce apartin aceleiasi familii sunt necoplanare;

⋄ oricare doua drepte ce apartin la familii diferite sunt coplanare (ın cazul paraboloidului hiperbolic,ın mod necesar concurente);

⋄ directiile a trei drepte din aceeasi familie sunt necoplanare.

7 Cuadrice descrise prin ecuatia generala. Invarianti afini

Identificand spatiul punctual tridimensional E 3 cu spatiul vectorial tridimensional format din tripletede numere reale R3 prin fixarea unui reper cartezian {O; i, j, k}, putem descrie cuadricele prin ecuatiialgebrice de gradul doi, de forma

g(x, y, z) ≡ a11x2 + a22y2 + a33z

2++2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a10x+ 2a20y + 2a30z + a00 = 0

(1)

unde presupunem a211 + a222 + a233 + a212 + a213 + a223 = 0, adica macar un coeficient al termenilor degrad doi este nenul.

Definitii. a) Fuctia g : R3 → R din membrul stang al ecuatiei (1) se mai numeste forma patraticaafina.

b) Se numeste cuadrica sau suprafata algebrica de ordinul al doilea multimea de nivel constant

Σ = {M(x, y, z)∣∣(x, y, z) ∈ R3, g(x, y, z) = 0} ,

In cele ce urmeaza, vom nota cuadrica Σ data prin ecuatia carteziana (1) pe scurt, prin Σ : g(x, y, z) =0.

Exemple. x2 + y2

2 − z2 − 1 = 0, x2 − y2 − 1 = 0, z2 + z − 2 = 0.

174 Cuadrice descrise prin ecuatia generala. Invarianti afini

Observatie. Din punct de vedere topologic, orice cuadrica Σ = g−1(0) este multime ınchisa ın E3 ≡R3, deoarece este preimaginea prin functia continua g : R3 → R a multimii ınchise {0} ⊂ R.

In continuare vom determina o miscare rigida ın spatiu (o roto-translatie; o izometrie pozitiva),care sa transporte reperul cartezian natural {O; i, j, k} ≡ Oxyz relativ la care cuadrica are ecuatia(1), ın reperul {O; i′, j′, k′} ≡ O′x′y′z′ relativ la care ecuatia cuadricii sa fie cat mai simpla posibil.Astfel putem ıncadra cuadrica ıntr-unul din tipurile descrise anterior prin ecuatii carteziene:

⋄ sfera,

⋄ elipsoid,

⋄ hiperboloid (cu o panza sau cu doua panze),

⋄ paraboloid (eliptic sau hiperbolic),

⋄ con,

⋄ cilindru (circular, eliptic, hiperbolic sau parabolic),

⋄ pereche de plane (secante, paralele sau confundate),

⋄ dreapta,

⋄ multime formata dintr-un singur punct,

⋄ multimea vida.

Noul reper O′x′y′z′ se va numi reper canonic, iar ecuatia simplificata a cuadricii fata de acesta (careeste de tipul celor descrise anterior, ecuatia canonica (sau ecuatia redusa). In cele ce urmeaza vom de-termina rototranslatiile Oxyz 7→ O′x′y′z′ care deplaseaza reperul originar (natural) ın reperul canonic.

Invariantii unei cuadrice. Asociem ecuatiei (1) a cuadricei Σ, matricele

A =

a11 a12 a13 a10a21 a22 a23 a20a31 a32 a33 a30a01 a02 a03 a00

, A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

,

unde aij = aji, i, j = 0, 3.Se poate verifica faptul ca numerele urmatoare sunt invariante la rototranslatiile de reper Oxyz 7→

O′x′y′z′:

∆ = detA, δ = detA, J =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ , I = TrA.

Aceste numere se numesc invarianti ai cuadricei Σ, depind doar de cuadrica Σ si sunt utile ın clasificareaacesteia ın unul din tipurile enumerate mai sus. Determinantul ∆ descrie natura cuadricei. Anume,cuadrica se numeste:

⋄ degenerata, daca ∆ = 0;

⋄ nedegenerata, daca ∆ = 0.

Excluzand multimea vida, cuadricele se pot clasifica dupa natura lor ın:

⋄ cuadrice nedegenerate: sfera, elipsoidul, hiperboloizii si paraboloizii;

⋄ cuadrice degenerate: conul, cilindrii, perechile de plane, dreapta si punctul.

Exemplu. In cazul sferei, ın ecuatia (1) avem coeficienti de o forma particulara, anume:

a11 = a22 = a33 = m = 0, a12 = a13 = a23 = 0

ρ ≡ (a10/m)2 + (a20/m)2 + (a30/m)2 − (a00/m) > 0,

Cuadrice 175

iar invariantii acesteia rezulta prin calcul:

∆ = −ρm4 = 0, δ = m3, J = 3m2, I = 3m+ a00.

Centrul sferei este punctul C(−a10/m, −a20/m, −a30/m), iar raza r =√ρ. Se poate verifica (tema,

verificati!) ca punctul C este centru de simetrie al sferei. Ne propunem sa aflam cuadricele care admitcentru de simetrie, pe scurt, cuadricele cu centru.

Cuadrice cu centru de simetrie. Ca si ın cazul conicelor, centrul de simetrie al unei cuadriceΣ : g(x, y, z) = 0, este punct critic al functiei g, deci solutia sistemului liniar

gx = 0gy = 0gz = 0

⇔

a11x+ a12y + a13z + a10 = 0a12x+ a22y + a23z + a20 = 0a13x+ a23y + a33z + a30 = 0

(2)

unde am notat gx = ∂g∂x , gy = ∂g

∂y , gz =∂g∂z .

Examinand compatibilitatea acestui sistem, distingem cazurile:

⋄ detA = δ = 0⇒ sistemul liniar este compatibil unic determinat. Solutia este data de coordonatelecentrului de simetrie al cuadricei, care poate fi sfera, elipsoid, con sau hiperboloid cu o panzasau cu doua panze;

⋄ δ = 0, κdef=

∣∣∣∣ a11 a12a12 a22

∣∣∣∣ = 0 si unicul determinant caracteristic al sistemului este nenul⇒ sistemul

liniar este incompatibil (cele trei plane ale caror ecuatii formeaza sistemul se intersecteaza doarcate doua, dupa trei drepte paralele). Cuadrica este ın acest caz paraboloid eliptic sau hiperbolic;

⋄ δ = 0, κ = 0 si unicul determinant caracteristic al sistemului este nul ⇒ sistemul liniar este com-patibil simplu nedeterminat (cele trei plane ale caror ecuatii formeaza sistemul se intersecteazadupa o dreapta, numita dreapta de centre). Cuadrica este ın acest caz un cilindru circular, elipticsau hiperbolic, sau plane concurente;

⋄ δ = 0, sistemul are cei doi determinanti caracteristici nenuli si este de rangul ıntai⇒ sistemul liniareste incompatibil (cele trei plane ale caror ecuatii formeaza sistemul sunt paralele). Cuadricaeste ın acest caz un cilindru parabolic;

⋄ δ = 0,sistemul are cei doi determinanti caracteristici nuli si este de rangul ıntai ⇒ sistemul liniareste compatibil dublu nedeterminat (cele trei plane ale caror ecuatii formeaza sistemul suntconfundate). Cuadrica are un plan de centre si este formata din doua plane paralele distinctesau confundate.

Exercitiu. Se da cercul Γ care este tangent axei Oz si are centrul ın punctul D(1, 0, 0). Aflati ecuatia,invariantii si centrul cuadricei Σ care contine punctele A(−1, 1, 0), B(0, 1, 1), cercul Γ si axa Oy.

Solutie. Avand centrul pe axa Ox si fiind tangent axei Oz, cercul Γ se afla ın planul xOz, la intersectiadintre planul xOz : y = 0 si cilindrul circular drept de ecuatie

(x− 1)2 + z2 − 1 = 0.

Deoarece intersectia cuadricei cu planul xOz este cercul Γ, ecuatia cuadricei are forma

((x− 1)2 + z2 − 1) + y(αx+ βy + γz + δ) = 0

Cum dreapta Oy : x = z = 0 este continuta ın cuadrica, rezulta y(βy + δ) = 0 ⇒ β = δ = 0, iardin conditia A,B ∈ Σ rezulta α = 3, γ = −1. Prin ınlocuirea parametrilor α, β, γ, δ rezulta ecuatiacuadricei Σ : x2 + 3xy − yz + z2 − 2x = 0. Invariantii cuadricei sunt I = 1, J = −5/2 si

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3/2 0 −13/2 0 −1/2 00 −1/2 1 0−1 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

4, δ =

∣∣∣∣∣∣1 3/2 03/2 0 −1/20 −1/2 0

∣∣∣∣∣∣ = −1

4,

176 Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica

deci cuadrica este nedegenerata (∆ = 0) cu centru (δ = 0). Sistemul (2) care furnizeaza centrulcuadricei este ın acest caz

2x+ 3y − 2 = 03x− z = 0−y + 2z = 0

⇔

x = 1/10y = 3/5z = 3/10

deci centrul cuadricei este C(1/10; 3/5; 10/5).

8 Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica

Prezentam ın continuare etapele ce trebuiesc parcurse pentru determinarea ecuatiei canonice a uneicuadrice data prin ecuatia carteziana

Σ : g(x, y, z) ≡ a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+

+2a10x+ 2a20y + 2a30z + a00 = 0.

Daca cel putin unul din numerele a12, a13, a23 este nenul, atunci se efectueaza o rotatie a sistemuluide coordonate Oxyz 7→ Ox′y′z′ determinata de forma patratica

Q(v) = a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz, ∀v = (x, y, z) ∈ R3,

folosind coeficientii acesteia, dupa cum urmeaza:

1. Se construieste matricea simetrica atasata acestei forme patratice,

A =

a11 a12 a13a13 a22 a23a13 a23 a33

.

2. Se determina valorile proprii λ1, λ2, λ3 ale matricei (care sunt reale) si vectorii proprii core-spunzatori; bazele subspatiilor proprii de dimensiune cel putin doi se ortogonalizeaza folosind procedeulGram-Schmidt. Se obtine o baza ortogonala a spatiului vectorial R3.

3. Prin normarea acestei baze rezulta baza ortonormata B ′ = {e1, e2, e3}. Matricea R care continecoordonatele versorilor noii baze, asezate pe coloane este ortogonala, deci detR = ±1; pentru a fimatrice de rotatie, daca detR = −1 fie se schimba ordinea a doi din vectorii bazei, fie se considera ınlocul unuia din vectori, opusul sau; ın final, detR = 1.

4. Folosind formulele de schimbare de coordonate Oxyz 7→ Ox′y′z′ de la sistemul initial la cel rotit xyz

= R

x′

y′

z′,

aflam prin ınlocuire ın ecuatia cuadricei Σ : g(x, y, z) = 0, ecuatia acesteia ın sistemul rotit, Σ :g′(x′, y′, z′) = 0. Se observa ca rotatia a redus forma patratica Q la expresia canonica

Q(v) = λ1x′2 + λ2y

′2 + λ3z′2,

iar directiile axelor sistemului rotit Ox′y′z′ sunt date exact de versorii e1, e2, e3.

II. Daca a12 = a13 = a23 = 0, se face o translatie (prin restrangerea patratelor si grupareatermenilor liniari ramasi) si eventual o rotatie (daca dupa acest proces mai raman doi termeni degradul ıntai). In sistemul de coordonate obtinut ecuatia cuadricei are forma canonica.

Cuadrice 177

Exercitiu. Sa se obtina ecuatia canonica a cuadricei

Σ : x2 + y2 + z2 − 2xy + 2xz − 2yz − 2x+ 6y − 4z + 14 = 0.

Solutie. Forma patratica asociata Q(v) = x2 + y2 + z2 − 2xy + 2xz − 2yz are matricea

A =

1 −1 1−1 1 −11 −1 1

,

si are valorile proprii reale λ1 = 0, λ2 = 3, prima valoare proprie fiind dubla. Ortogonalizambaza (1, 1, 0), (0, 1, 1) a subspatiului primei valori proprii, obtinand familia de vectori ortogonali(1, 1, 0), (−1/2; 1/2; 1); a doua valoare proprie are subspatiul propriu generat de vectorul (1,−1, 1).

Normam sistemul ortogonal obtinut si apoi, prin reunirea celor doua baze de subspatii proprii,rezulta baza ortonormata B ′ = {e1, e2, e3} a carei matrice asociata R relativ la vechea baza aredeterminantul 1, deci este matricea de rotatie,

R =

1/√2 −1/

√6 1/

√3

1/√2 1/

√6 −1/

√3

0 2/√6 1/

√3

.

Relatiile de trecere la noul sistem de coordonate sunt xyz

= R

x′

y′

z′

⇔

x = 1√

2x′ − 1√

6y′ + 1√

3z′

y = 1√2x′ + 1√

6y′ − 1√

3z′

z = 2√6y′ + 1√

3z′

.

Ecuatia cuadricei relativ la noul sistem de coordonate va fi

3z′2 + 2√2x′ − 4

√3z′ + 14 = 0⇔ 3(z′ − 2/

√3)2 = −2

√2(x′ + 5/

√2)

Tinand cont de expresiile din paranteze, efectuam translatia Ox′y′z′ 7→ O′′x′′y′′z′′ data de formulele

(x′′, y′′, z′′) =

(x′ − 2√

3, y′, z′ +

5√2

)⇔

x′

y′

z′

=

x′′

y′′

z′′

+

2/√3

0

−5/√2

.

Prin ınlocuire ın ecuatia cuadricei relativ la sistemul de coordonate Ox′y′z′, rezulta ecuatia relativ laO′′x′′y′′z′′, 3z′′2 = −2

√2x′′, de unde rezulta forma canonica

z′′2 = −2√2

3x′′.

Deci cuadrica este un cilindru parabolic, cu generatoarele paralele cu axa O′′y′′.

9 Intersectia unei cuadrice cu o dreapta sau cu un plan. Problemede tangenta

Consideram o cuadrica Σ : g(x, y, z) = 0 si o dreapta oarecare

∆ : (x, y, z) = (x0 + lt, y0 +mt, z0 + nt), t ∈ R.

178 Intersectia unei cuadrice cu o dreapta sau cu un plan. Probleme de tangenta

Intersectand cele doua figuri geometrice, din sistemul de ecuatii format rezulta ecuatia algebrica ınnecunoscuta t,

t2Q(l,m, n) + t(l gx0 +m gy0 + ngz0) + g(x0, y0, z0) = 0, (1)

unde s-au folosit notatiile

Q(l,m, n) = a11l2 + a22m

2 + a33n2 + 2a12lm+ 2a13ln+ 2a23mn,

gx0 = gx(x0, y0, z0), gy0 = gy(x0, y0, z0), gz0 = gz(x0, y0, z0).

Observatii. Privitor la solutiile t1,2 ale acestei ecuatii, distingem cazurile:

1. Q(l,m, n) = 0 ⇒ ecuatia (1) este o ecuatie de gradul doi.

⋄ Daca q ≡ (l gx0+m gy0+ngz0)2−4 ·Q(l,m, n) ·g(x0, y0, z0)⟩0, atunci exista radacinile reale distincte

t1 = t2 ce corespund punctelor distincte A1 = A2 ın care dreapta intersecteaza cuadrica.

⋄ Daca q = 0, atunci exista doua solutii confundate t1 = t2 care corespund unui punct dublu detangenta A = A1 = A2 ın care dreapta intersecteaza cuadrica. In acest caz dreapta se numestetangenta la cuadrica. Se observa ca exista o familie ıntreaga de tangente ın A la cuadrica, iardreapta este una dintre acestea.

⋄ Daca q⟨0, atunci ecuatia (1) nu are radacini reale, deci dreapta nu intersecteaza cuadrica.

2. Q(l,m, n) = 0 ⇒ ecuatia (1) este o ecuatie de gradul ıntai. Distingem subcazurile:

⋄ Daca l gx0 +m gy0 + ngz0 = 0, atunci ecuatia admite solutie unica, deci exista un unic punct deintersectie dintre dreapta si cuadrica.

⋄ Daca l gx0 + m gy0 + ngz0 = 0 si g(x0, y0, z0) = 0, atunci ecuatia nu are solutii, deci dreapta nuintersecteaza cuadrica.

⋄ Daca l gx0 + m gy0 + ngz0 = 0 si g(x0, y0, z0) = 0, atunci ecuatia (16) devine o identitate, decidreapta este continuta integral ın cuadrica.

In continuare consideram un punct A(x0, y0, z0) ∈ Σ astfel ıncat cel putin unul dintre numerelegx0 , gy0 , gz0 sa fie nenul.

Teorema. O dreapta ∆ de directie v ≡ (l,m, n) este tangenta la cuadrica Σ : g(x, y, z) = 0 ın punctulA(x0, y0, z0) ∈ Σ ∩ ∆ daca si numai daca are loc relatia

l gx0 +m gy0 + ngz0 = 0. (2)

Demonstratie. Dreapta ∆ trece prin punctul A si are directia v, deci ecuatiile sale parametrice sunt∆ : (x, y, z) = (x0 + lt, y0 + mt, z0 + nt), t ∈ R; intersectia dreptei cu cuadrica Σ, determinata deecuatia (16) produce un punct de tangenta (radacina dubla t = 0) doar daca are loc relatia (2). �Observatie. Notand grad g|A = (gx0 , gy0 , gz0), conditia (2) revine la ortogonalitatea vectorilorgrad g|A si v, adica ⟨ grad g, v⟩ = 0, de unde se vede ca vectorul grad g|A este ıntotdeauna per-pendicular pe suprafata Σ ın punctul corespunzator A ∈ Σ.

Exemplu. Calculand Σ ∩ ∆, constatam ca dreapta ∆ : x − y = z − 1 = 0 este tangenta la sferaΣ : x2 + y2 + z2 = 1 ın punctul A(0, 0, 1). Dar ∆ are vectorul director v ≡ (l,m, n) || (1, 1, 0), iargrad g|A = (0, 0, 2), si se constata usor ca relatia (2) are loc.

Plan tangent la o cuadrica.

Teorema. Locul geometric al tuturor dreptelor tangente la cuadrica Σ ın punctul acesteia A(x0, y0, z0) ∈Σeste un plan de ecuatie carteziana

(x− x0)gx0 + (y − y0)gy0 + (z − z0)gz0 = 0. (3)

Cuadrice 179

Acest plan se numeste planul tangent la cuadrica Σ ın punctul A.

Demonstratie. Eliminand parametrii l,m, n, t din sistemul format din ecuatiile dreptei ∆ : (x, y, z) =(x0 + lt, y0 +mt, z0 + nt), t ∈ R si conditia (2), rezulta (3). �Observatie. Ecuatia (3) poate fi obtinuta si prin dedublarea ecuatiei cuadricei Σ : g(x, y, z) = 0 cucoordonatele punctului A(x0, y0, z0) ∈ Σ; deci ecuatia planului tangent se poate rescrie

a11xx0 +a22yy0 + a33zz0 + a12(x0y + xy0) + a13(x0z + xz0) + a23(y0z + yz0)+

+a10(x+ x0) + a20(y + y0) + a30(z + z0) + a00 = 0.(4)

Ecuatiile (3) si (4) sunt echivalente (tema, verificati!) .

Exemplu. Planul tangent la cuadrica Σ : xy + z2 − 2 = 0 ın punctul acesteia A(−1,−1, 1) ∈ Σ seobtine din ecuatia (3): avem grad g|A = (−1,−1, 2) si rezulta

π : (x+ 1) · (−1) + (y + 1) · (−1) + (z − 1) · 2 = 0 ⇔ x+ y − 2z + 4 = 0.

Altfel. Folosim ecuatia (4), si prin dedublare avem:

π :1

2[(−1) · y + x · (−1)] + z · 1− 2 = 0 ⇔ x+ y − 2z + 4 = 0.

Definitii. a) Spunem ca o cuadrica Σ este neteda, daca putem construi ın fiecare punct A(x0, y0, z0) ∈Σ al acesteia, planul tangent.

b) Se numeste normala la cuadrica ın punctul A(x0, y0, z0) ∈ Σ al acesteia, dreapta ce contine punctulA si este perpendiculara pe planul tangent ın A.

Observatii. 1. Netezimea cuadricii Σ ın punctul A(x0, y0, z0) ∈ Σ revine la ne-anularea vectoruluigrad g = (gx0 , gy0 , gz0) ın punctul A.

2. Ecuatiile normalei la cuadrica ın punctul A(x0, y0, z0) ∈ Σ sunt (tema, verificati!) :

x− x0gx0

=y − y0gy0

=z − z0gz0

. (5)

3. Un plan π : ax+ by+ cz+d = 0 intersecteaza o cuadrica∑

:g(x, y, z) = 0 dupa punctele M(x, y, z)

ale caror coordonate satisfac sistemul algebric de ordinul doi:

{ax+ by + cz + d = 0g(x, y, z) = 0.

. Substituim

(spre exemplu, presupunand c = 0) necunoscuta z = αx + βy + γ, α = −a/c, β = −b/c, γ = −d/c ın

ecuatia a doua. Rezulta sistemul echivalent

{z = αx+ βy + γg(x, y, αx+ βy + γ) = 0

, deci intersectia dintre plan

si cuadrica reprezinta de fapt intersectia dintre planul dat si un cilindru cu generatoarele paralele cuaxa Oz, deci o conica, o dreapta sau multimea vida.

10 Probleme propuse

1. Se da sfera Σ : x2 + y2 + z2 + 2x− 6y + 4z − 11 = 0.

a) Aflati centrul si raza cercului Γ aflat la intersectia planului π : 2x− y+2z+21 = 0 cu cuadrica Σ.b) Aflati sfera Σ′ care este simetrica sferei Σ fata de planul π.c) Determinati planul π′ care este tangent sferei Σ, stiind ca acesta contine dreapta

∆ : x− y − 3 = x− z − 6 = 0.


R: a) Restrangand patratele ın ecuatia sferei, obtinem centrul C(−1, 3,−2) si raza r = 5. Distantade la C la planul π este

d = d(C, π) = |−2− 3− 4 + 21| /√

22 + (−1)2 + (−2)2 = 4 < 5,

deci planul este secant sferei; notand cu CΓ centrul cercului de intersectie, cu A un punct al cercului,si prin rΓ raza acestuia, aplicand teorema lui Pitagora ın triunghiul dreptunghic CCΓA, rezulta razacercului de sectiune rΓ =

√r2 − d2 = 3.

Centrul CΓ al cercului se afla la intersectia planului π cu dreapta prin C care este perpendicularape π (deci C este proiectia lui C pe π); se obtine CΓ(−11/3; 13/3;−14/3); ecuatiile cercului Γ suntdate de sfera de centru CΓ, raza rΓ, si planul π, la intersectia carora acesta se afla. b) Raza sfereisimetrice coincide cu cea a sferei Σ, dar centrul ei este simetricul C ′ al punctului C fata de planulπ, deci fata de CΓ; prin calcul rezulta C ′(−19/3; 17/3;−22/3), deci ecuatia sferei simetrice relativ laplanul π este Σ′ : (x + 19/3)2 + (y − 17/3)2 + (z + 22/3)2 = 25. c) π′ face parte din fasciculul deplane ce contin dreapta data, deci are ecuatia de forma π′ : x − y − 3 + λ(x − z − 6) = 0; conditiade tangenta este echivalenta cu conditia d(C, π′) = r ⇔ λ ∈ {(2±

√3)/5}; ınlocuind valorile obtinute

pentru λ rezulta doua solutii posibile pentru ecuatia planului π′.

2. Aflati sfera Σ tangenta ın punctele A1(1, 0,−1), A2(−1, 0, 1) respectiv la dreptele ∆1 : x− 1 = y0 =

z + 1, ∆2 :x+10 = y = z−1

0 .

R: Centrul C al sferei se afla la intersectia planelor π1 ce trece prin A1 normal pe ∆1, π2 ce trece prinA2 normal pe ∆2 si planul π3 mediator al segmentului A1A2 (plan ce trece prin mijlocul segmentuluiA1A2, perpendicular pe directia A1A2). Obtinem C(0, 0, 0), iar raza r = d(C,A1) =

√2, deci ecuatia

sferei este Σ : x2 + y2 + z2 = 2.

3. Determinati sfera Σ ın fiecare din urmatoarele cazuri, cunoscand ca:

a) este tangenta la planul π : x+ z = 0 si are centrul C(2, 0,−3).b) contine punctele O(0, 0, 0), A(0, 0, 1), B(0, 1, 0), D(1, 0, 0).

c) este tangenta la planul π′ : x + y + 1 = 0 ın punctul E(−1, 0, 0) si este tangenta la planulπ′′ : x+ y + z = 0.

R: a) Raza este r = d(C, π) = 1/√2, deci ecuatia sferei este

Σ : (x− 2)2 + y2 + (z + 3)2 = 1/2.

b) Folosim ecuatia sferei sub forma de determinant; rezulta Σ : x2 + y2 + z2 − x− y − z = 0. c) Dinprima conditie, rezulta ca centrul C al sferei se afla pe dreapta ce trece prin E si este perpendicularape planul π′, deci are forma C(−1 + t, 0 + t, 0 + 0t) = (t − 1, t, 0). Pozitia punctului C pe aceastadreapta este data de conditia d(C,E) = d(C, π′′) de unde rezulta t ∈ {(−2±

√6)/2}. Inlocuind aceste

valori ale lui t ın coordonatele lui C, rezulta doua solutii: C1,2( (−4 ±√6)/2, (−2 ±

√6)/2); razele

sunt distantele de la centrele respective la punctul E, deci rezulta r1,2 =√3 ±√2; ın final, ecuatiile

celor doua sfere-solutii sunt:

Σ1,2 : (x− (−4±√6)/2)2 + (y − (−2±

√6)/2)2 + z2 = (

√3±√2)2.

4. Aflati cercul Γ de centru CΓ(1, 1, 1) ce determina pe dreapta ∆ : x = y + 2 = z + 4 un segment delungime l = 4.

R: Cercul se afla (ın calitate de cerc mare) la intersectia sferei Σ de centru CΓ si raza egala cu raza rΓ a

cercului, si planul π ce contine centrul CΓ si dreapta ∆. Raza cercului este rΓ =√d(CΓ, ∆)2 + (l/2)2 =

Cuadrice 181√(2√2)2 + 22 = 2

√3. Deci ecuatiile cercului Γ sunt π : x−2y+z = 0, Σ : (x−1)2+(y−1)2+(z−1)2 =

12.

5. In fiecare din cazurile urmatoare, aflati tipul, centrul si forma canonica a cuadricei:

a) Σ : x2 − y2 + z2 − 2xy − 2yz − 2zx− 5x− 1 = 0;b) Σ : 2y2 − 7z2 + 112x− 16y − 14z − 87 = 0;c) Σ : 2y2 + 4xy − 8xz − 4yz + 6x− 5 = 0d) Σ : xy + z2 − 2 = 0e) Σ : x2 + y2 + 5z2 − 6xy − 2yz + 2zx− 4x+ 8y − 12z + 14 = 0.

R: a) hiperboloid cu o panza, C(5/4;−5/4; 0), Σ : x′′2

33/8 −y′′2

33/16 +z′′2

33/16 = 1; b) paraboloid hiperbolic,

fara centru, Σ : −y′′2

28 + z′′2

8 = 2x′′; e) hiperboloid cu doua panze, C(1, 0, 1), Σ : x′′2

3 −y′′2

2 − z′′2 = 1.

6. Aflati planul π de directie normala v ≡ (1, 0,−1) care este tangent la cuadrica

Σ :x2

9+ y2 = 2z.

R: Ecuatia planului este de forma π : x − z + d = 0. Intersectia cu cuadrica este data de sistemulformat din ecuatia planului si cea a cuadricei; din conditia de solutie unica (radacina dubla) rezultad = −9/2, deci planul π : x− z − 9/2 = 0.

7. Se da paraboloidul hiperbolic Σ : x2

9 −z2

4 = y.

a) Aflati generatoarele cuadricei ce trec prin punctul A(3, 1, 0) si unghiul acestora.b) Aflati prin dedublare planul tangent π′ la cuadrica ın punctul A.c) Determinati normala ∆′ la cuadrica ın punctul A.d) Verificati daca planul π′ intersecteaza cuadrica dupa generatoarele de la punctul a).

R: a) Generatoarele sunt drepte cu ecuatiile de forma

∆ : (x, y, z) = (at+ 3, bt+ 1, ct), t ∈ R;

intersectand cu Σ rezulta relatia(a2

9− c2

4

)t2 +

(2a

3− b)t = 0, ∀t ∈ R,

Din anularea coeficientilor polinomului ın t, rezulta b = 2a/3; c = ±2a/3, deci se obtin doua directii,date de vectorii (3, 2,±2); rezulta ecuatiile parametrice ale generatoarelor, ∆ : (x, y, z) = (3t+3, 2t+1,±2t), t ∈ R. Unghiul dintre acestea este cel format de vectorii directori, deci arccos (9/17). b) Prindedublare, rezulta planul tangent π′ : 2x − 3y = 3. c) Directia normalei este data de normala la π′,de directie n ≡ (2,−3, 0), deci

∆′ : (x, y, z) = (2t+ 3,−3t+ 1, 0), t ∈ R.

8. Determinati ecuatia suprafetei generate de elipsa mobila

E :

{y2

25 + z2

16 = ax = b

, a, b ∈ R

care se deplaseaza paralel cu ea ınsasi si se deformeaza, sprijinindu-se pe hiperbola fixa

H :

{−y2

25 + x2

9 = 1z = 0.


R: Faptul ca elipsa se sprijina pe hiperbola, revine la compatibilitatea sistemului{y2

25 + z2

16 = a, x = b

−y2

25 + x2

9 = 1, z = 0.

Conditia de compatibilitate se obtine eliminand x, y, z din sistem, si este data de relatia b2 = 9(a+1).Folosind ecuatiile elipsei, rezulta prin ınlocuirea parametrilor ın relatie ecuatia suprafetei cautate:

Σ :x2

9− y2

25− z2

16= 1,

care descrie un hiperboloid cu doua panze.

Partea III - ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENTIALA

Capitolul 1. Curbe

1 Preliminarii. Aplicatii diferentiabile

Definitie. a) O functie f : D ⊂ Rn → Rm se numeste:

(i) imersie, daca rang[J(f)] = n, (n ≤ m),(ii) submersie, daca rang[J(f)] = m, (m ≤ n), unde am notat prin [J(f)] matricea Jacobiana a functieif :

[J(f)] =

(∂fi∂xj

)i=1,m,j=1,n

b) O aplicatie f : D ⊂ Rn → D′ ⊂ Rn se numeste difeomorfism daca satisface urmatoarele proprietati:

1) f este diferentiabila,2) f este bijectiva,3) f−1 este diferentiabila.

Teorema functiei inverse. Daca functia f : D ⊂ Rn → D′ ⊂ Rm satisface conditiile:

1) f diferentiabila,2) matricea [J(f)] este inversabila ın x0 ∈ D, atunci exista o vecinatate V a punctului x0 ∈ D

astfel ıncat restrictia lui f la V este difeomorfism si are loc relatia

[J(f−1)] = [J(f)]−1.

Teorema functiilor implicite. Fie f = (f1, f2, . . . , fm) : D ⊂ Rm+n → Rm o functie diferentiabila,si un punct (x, y) = (x1, x2, . . . , xm; ym+1, . . . , ym+n) ∈ D ⊂ Rm+n ≡ Rm × Rn ın care f(x, y) = 0 siD(f1,...,fm)D(x1,...,xm)(x, y) = 0.

Atunci exista o vecinatate D′ ×D′′ ⊂ D,x ∈ D′, y ∈ D′′, si o functie diferentiabila unica g : D′ →Rm, astfel ıncat: g(x) = y si f(u, g(u)) = 0, ∀u = (u1, . . . , um) ∈ D′ ⊂ Rm.

2 Curbe ın Rn

Definitii. a) Se numeste curba parametrizata o aplicatie diferentiabila α : I ⊂ R → Rn; vom folosiuneori acelasi termen pentru a desemna multimea punctelor curbei, Imα = α(I) ⊂ Rn.b) Se numeste punct regulat al curbei α, un punct A = α(t0) ∈ Imα, (t0 ∈ I) ın care viteza nu seanuleaza, α′(t0) = 0. Curba parametrizata α se spune ca este regulata daca toate punctele sale suntregulate. Un punct care nu este regulat se numeste punct singular al curbei.c) Curba α : I → Rn se numeste periodica daca ∃T > 0 a.ı. α(t) = α(t+ T ),∀t ∈ I cu proprietateat+ T ∈ I.

Definitii. a) Se numeste abscisa curbilinie a curbei regulate α : I ⊂ R→ Rn, aplicatia s : I → J =s(I), s(t) =

∫ tt0||α′(τ)||dτ , unde t0 ∈ I este un punct din domeniul curbei.

b) Se numeste reparametrizare a curbei regulate α : I ⊂ R→ Rn, o curba β : J ⊂ R→ Rn (unde I siJ sunt intervale deschise ale dreptei reale), cu proprietatea ca exista un difeomorfism φ : J → I astfel

184 Curbe plane date prin ecuatie carteziana

ıncat β = α ◦φ. In acest caz, curbele α si β se numesc echivalente. Daca ın plus ||β′(s)|| = 1, ∀s ∈ J ,reparametrizarea β se numeste reparametrizare normala a curbei α. Aceasta curba este data de relatia

β(s) = α(t(s)), ∀s ∈ J,

deci β = α ◦ s−1 : J → Rn, unde aplicatia t : s ∈ J → t(s) ∈ I este inversa abscisei curbilinii a curbeiα.c) Fie data curba α : I = [a, b]→ Rn; atunci lungimea curbei α este

lα([a,b]) =

∫ b

a||α′(t)||dt.

Definitii. a) Pentru o curba α : I → Rn regulata si t0 ∈ I fixat, abscisa curbilinie este aplicatias : J = lα([a,b]) → I, unde s(t) reprezinta lungimea arcului de curba masurata de la un punct fixat alcurbei, α(t0) (t0 arbitrar fixat ın I), la punctul curent α(t). Ea este data de relatia

s(t) =

∫ t

t0

||α′(τ)||dτ.

b) Se numeste dreapta tangenta la curba α : I → Rn ın punctul A = α(t0) = (x1(t0), . . . , xn(t0)), t0 ∈I, multimea de puncte x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn ce satisfac ecuatiile

x1 − x1(t0)x(k)1 (t0)

= · · · = xn − xn(t0)x(k)n (t0)

si se numeste hiperplan normal la aceasta curba ın A, multimea de puncte ce satisfac ecuatia:

x(k)1 (t0)(x1 − x1(t0)) + · · ·+ x(k)n (t0)(xn − xn(t0)) = 0,

unde α(k)(t0) = 0 si α(j)(t0) = 0, ∀j ∈ 0, k − 1. Daca punctul α(t0) este regulat, atunci k = 1.c) Spunem ca doua curbe α : I → Rn si β : J → Rn au contact de ordin m ın punctul lorcomun A = α(t0) = β(s0), unde t0 ∈ I, s0 ∈ J daca au loc relatiile α(k)(t0) = β(k)(s0),∀k < m siα(m)(t0) = β(m)(s0).

3 Curbe plane

3.1 Curbe plane date prin ecuatie carteziana

Definitii. a) Se numeste curba plana definita cartezian implicit, multimea Γ a punctelor din plan cesatisfac o ecuatie de forma

Γ : f(x, y) = 0,

unde f : D ⊂ R2 → R este o functie derivabila.b) Se numeste punct regulat al curbei Γ, un punct x0 ∈ Dom f , astfel ıncat rangul matricei Jacobiene[J(f)] este 1 ın acest punct. Un punct ın care rangul este 0, se numeste punct singular al curbei.c) O curba ale carei puncte sunt regulate se numeste curba regulata.

Definitii. a) Curbele plane ce au ecuatii carteziene implicite de forma

Pm(x, y) +Qm+1(x, y) = 0

unde Pm si Qm+1 sunt polinoame omogene de grad m ≥ 1 si respectiv (m+1) ın x si y sunt unicursale,trec prin origine si pot fi parametrizate folosind substitutia y = t · x.

Curbe 185

b) In punctul regulat A(x0, y0) ∈ Γ al curbei Γ, dreapta tangenta si dreapta normala la curba aurespectiv ecuatiile

∆tg ,A : (x− x0)fx0 + (y − y0)fy0 = 0;

∆nor,A : x−x0fx0

= y−y0fy0

,

unde am notat fx0 = ∂f∂x (x0, y0), fy0 = ∂f

∂y (x0, y0).

c) Punctele singulare ale curbei Γ sunt solutiile sistemuluif(x, y) = 0

∂f∂x (x, y) = 0

∂f∂y (x, y) = 0,

deci acele puncte ale curbei care anuleaza gradientul ∇f =(∂f∂x ,

∂f∂y

)al functiei f .

d) Daca f este o functie polinomiala ın variabilele x, y, atunci tipul singularitatii curbei Γ ıntr-unpunct singular B ∈ Γ al sau se studiaza cu ajutorul Hessienei functiei f ın acest punct

M = Hess (f)|B =

(∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂x∂y

∂2f∂y2

)|B.

Daca d = detM este un numar real negativ/nul/pozitiv, atunci punctul B este, respectiv, punctsingular dublu / punct singular izolat / punct de ıntoarcere al curbei Γ.

e) Daca B(x0,y0) este punct dublu sau de ıntoarcere, atunci componentele directiilor v = li+mj ≡(l,m) ale tangentelor ın B la curba ∆tg ,B : x−x0

l = y−y0m sunt date de relatia

l2∂2f

∂x2(x0, y0) + 2lm

∂2f

∂x∂y(x0, y0) +m2∂

2f

∂y2(x0, y0) = 0,

echivalenta cu ecuatia matriceala (l,m)M

(lm

)= 0.

3.2 Curbe plane date prin ecuatii parametrice. Reperul si ecuatiile Frenet

Definitii. a) Se numeste curba plana parametrizata (sau drum parametrizat), o aplicatie diferentiabilaα : I ⊂ R→ R2.

b) Punctul regulat A = α(t0) este punct de inflexiune al curbei α daca vectorii α′(t0) si α′′(t0) sunt

liniar independenti si ∃λ ∈ R a.ı. α′(t0) = λα′′(t0).

Definitii. Fie t0 ∈ I\I, unde ınchiderea I se ia ın R.a) In cazul lim

t→t0α(t) = (x0,±∞), curba admite asimptota verticala de ecuatie x = x0.

b) In cazul limt→t0

α(t) = (±∞, y0), curba admite asimptota orizontala de ecuatie y = y0.

c) In cazul cand limitele m = limt→t0

y(t)

x(t)si n = lim

t→t0(y(t) −m(t)), exista si sunt finite, curba admite

asimptota oblica de ecuatie y = mx+ n.

d) In cazul limt→t0

α(t) = (x0, y0), curba admite punctul asimptotic A(x0, y0).

e) Se numeste graficul curbei α : I → R2 multimea punctelor

Γ = Imα = α(I) ⊂ R2.

186 Curbe plane date prin ecuatii parametrice. Reperul si ecuatiile Frenet

Definitii. a) Curbura unui drum parametrizat

α : t ∈ I ⊂ R→ α(t) = (x(t), y(t)) ∈ R2

este data ın orice punct al sau de relatia

k(t) =

∣∣∣∣ x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣(√x′2 + y′2)3

, t ∈ I.

b) Se numeste cerc osculator la curba α : I → R2 ın punctul A = α(t0), t0 ∈ I, acel cerc care arecontact de ordinul 2 cu curba α ın acest punct. Ecuatia carteziana a cercului osculator la curba α ınpunctul A este data de

Γosc,A : (x− xc)2 + (y − yc)2 = r2,

unde centrul si raza cercului osculator sunt date de relatiile

xc = x− y′ x′2 + y′2∣∣∣∣ x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣ ; yc = y + x′x′2 + y′2∣∣∣∣ x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣ ; r =1

|k(t0)|,

si unde am notat

x = x(t0), y = y(t0), x′ = x′(t0), y

′ = y′(t0), x′′ = x′′(t0), y

′′ = y′′(t0).

c) Locul geometric al centrelor de curbura (centrele cercurilor osculatoare) ale curbei α, se numesteevoluta curbei. Coordonatele punctului curent al evolutei curbei parametrizate α(t) = (x(t), y(t)) suntdate de

xev = x− y′ x′2 + y′2∣∣∣∣ x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣ ; yev = y + x′x′2 + y′2∣∣∣∣ x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣ .

Fig. 42. Evoluta unei curbe

Definitii. a) Reperul Frenet asociat curbei α ın punctul curent α(t) este RF = {α(t); {T (t), N(t)}},unde T (t) = α′(t)

∥α′(t)∥ si N(t) = Rπ2T (t) sunt versorul tangent si respectiv normal la curba α ın punctul

α(t).

b) Ecuatiile Frenet asociate curbei α ın punctul curent al acesteia α(t) au forma matriceala,respectiv desfasurata: (

T ′

N ′

)= v

(0 k−k 0

)(TN

)⇔{T ′ = vkNN ′ = −vkT ,

unde prin v s-a notat viteza scalara a curbei ||α′(t)|| ın punctul curent α(t).

Curbe 187

3.3 Curbe plane date prin ecuatie polara

Definitii. Se numeste curba plana (ın coordonate polare), o curba data de ecuatia polara Γ : ρ =f(θ), θ ∈ D ⊂ R; prin abuz de limbaj, functia f se noteaza tot cu ρ.

Punctele curbei Γ au coordonatele carteziene (x, y),{x = ρ(θ) · cos θ

y = ρ(θ) · sin θ, θ ∈ D.

b) Numerele reale OT = ρ2

ρ′ si ON = ρ′ se numesc subtangenta polara si respectiv subnormalapolara ale curbei Γ : ρ = ρ(θ).

a) Valorile θ0 ∈ D ⊂ D\D ale argumentului pentru care avem limθ→θ0

ρ(θ) = ±∞, sunt cele ın care se

studiaza ramurile infinite si asimptotele (ın cazul cand curba admite asimptote).

b) Ecuatia polara a asimptotei ∆as : ρ = ρ∆(θ), pentru θ → θ0, θ0 ∈ D este data generic de∆ : ρ∆(θ) =

dsin(θ−θ0)

, unde d este distanta de la origine la asimptota, calculata cu ajutorul formulei

d = limθ→θ0

ρ(θ) sin(θ − θ0).

c) Ecuatiile tangentei si normalei la curba ın sistemul mobil XOY (vezi figura)sunt respectiv datede

∆t : Y =ρ

ρ′(X − ρ); ∆n :

ρ

ρ′Y +X − ρ = 0.

d) Punctele multiple ale curbei ρ = ρ(θ) se obtin rezolvand ecuatiile ρ(θ1) = ρ(θ2), ρ(θ1) =−ρ(θ2 + π), ın care θ1 este necunoscuta iar θ2 parametru; se cauta solutii nebanale de forma θ1 /∈{θ2 + 2kπ|k ∈ Z} pentru prima, si respectiv θ1 /∈ {θ2 + 2kπ + π|k ∈ Z} pentru a doua ecuatie.e) Convexitatea curbei se stabileste cu ajutorul semnului curburii

k =ρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′

(ρ2 + ρ′2)32

.

4 Curbe ın R3

4.1 Curbe ın R3 date prin ecuatii carteziene

Fie F = (f, g) : R3 → R2, F (x, y, z) = (f(x, y, z), g(x, y, z)) o functie diferentiabila. Punctele criticeale functiei F se afla rezolvand sistemul

D(f, g)

D(x, y)= 0;

D(f, g)

D(y, z)= 0;

D(f, g)

D(z, x)= 0,

unde, spre exemplu, D(f,g)D(x,y) =

∣∣∣∣∣ ∂f∂x

∂f∂y

∂g∂x

∂g∂y

∣∣∣∣∣. Un punct M(x, y, z) ∈ R3 care nu satisface acest sistem se

numeste punct regulat al functiei F ; pentru un punct regulat dat, exista o vecinatate a acestuia ıncare ecuatiile {

f(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0

definesc o curba simpla si regulata Γ. Cele doua ecuatii ale sistemului poarta numele de ecuatiicarteziene implicite ale curbei.

188 Curbe ın R3 date prin ecuatii parametrice. Reperul si ecuatiile Frenet

Definitii. a) Vectorul tangent ıntr-un punct al curbei Γ data cartezian implicit, este dat de produsulvectorial al vectorilor ∆f,∆g (respectiv gradientii functiilor f, g (care definesc cele doua suprafete laa caror intersectie se afla curba data). Deci

vtg = ∇f ×∇g.

b) Dreapta tangenta la curba Γ ın punctul sau A(x0, y0, z0) ∈ Γ are ecuatiile

∆tg ,A :x− x0a

=y − y0b

=z − z0c

, (1)

iar planul normal la Γ ın punctul A(x0, y0, z0) ∈ Γ are ecuatia

π tg ,A : a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0,

unde (a, b, c) ≡ ∇f ×∇g|A.

4.2 Curbe ın R3 date prin ecuatii parametrice. Reperul si ecuatiile Frenet

Dreapta tangenta la curba Γ = Imα data parametric de aplicatia α : t ∈ I ⊂ R → α(t) =(x(t), y(t), z(t)) ∈ R3, ın punctul sau regulat A = α(t0) ≡ (x0, y0, z0), (t0 ∈ I) are ecuatiile

∆tg ,A :x− x0a

=y − y0b

=z − z0c

,

iar planul normal la Γ ın punctul A are ecuatia

Πtg ,A : a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0,

unde (a, b, c) ≡ (x′(t0), y′(t0), z

′(t0)).

Daca A = α(t0) ≡ (x0, y0, z0), (t0 ∈ I) este punct singular de ordinul m al curbei α, atunci ecuatiiledreptei tangente si planului normal la curba ın punctul A sunt (1), cu deosebirea ca

(a, b, c) ≡ (x(m)(t0), y(m)(t0), z

(m)(t0)).

In cele ce urmeaza presupunem ca ın orice punct α(t), t ∈ I al curbei α : I → Rn, vectorii α′(t) siα′′(t) sunt liniar independenti.

a) Reperul mobil Frenet (campul de repere Frenet) pe curba regulata α : I → R3, notat Rα(t) ={α(t); T (t), N(t), B(t)}, este format din punctul curent α(t) al curbei, campul tangent T , campulnormalei principale N si campul binormal B.

Fig. 43. Reperul mobil Frenet pentru curbe ın R3

Cele trei campuri sunt date de formulele:

T (t) =α′(t)

||α′(t)||, B(t) =

α′(t)× α′′(t)

||α′(t)× α′′(t)||, N(t) = B(t)× T (t), t ∈ I.

Curbe 189

b) In orice punct regulat A = α(t0), t0 ∈ I al unei curbe α : I → R3 ın care α′(t0) × α′′(t0) = 0,exista un reper Frenet

Rα(t0) = {A = α(t0); T (t0), N(t0), B(t0)}

format din punctul A, versorul tangentei T (t0), versorul normalei principale N(t0) si versorul binormalB(t0).

c) Muchiile reperului Frenet ıntr-un punct curent α(t) al curbei sunt dreptele tangenta, normalaprincipala si binormala, anume dreptele ce contin punctul curent si au respectiv versorii directoriT (t), N(t), B(t).

d) Fetele reperului Frenet sunt planele osculator, normal, rectificant, anume planele ce trec prinpunctul curent si au drept versori normali B, T , N respectiv.

e) Planul osculator al curbei α : t ∈ I ⊂ R → α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 ın punctul sau A =α(t0), (t0 ∈ I) este determinat de punctul curent α(t0) si vectorii α

′(t0) si α′′(t0), deci ecuatia sa este

πosc,A=α(t0) :

∣∣∣∣∣∣x− x(t0) y − y(t0) z − z(t0)x′(t0) y′(t0) z′(t0)x′′(t0) y′′(t0) z′′(t0)

∣∣∣∣∣∣ = 0.

f) Formulele Frenet pentru o curba cu viteza arbitrara v(t) = ||α′(t)|| > 0 sunt:T ′ = kvN

N ′ = −kvT + τvB

B′ = −τvN ,

(2)

sau condensat, T ′

N ′

B′

= v

0 k 0−k 0 τ0 −τ 0

TNB

,

unde k(t) > 0, t ∈ I este curbura curbei, iar τ(t) torsiunea curbei.

g) Pentru o curba regulata α, curbura ei ıntr-un punct α(t) este data de formula

k(t) =||α′(t)× α′′(t)||||α′(t)||3

si torsiunea curbei regulate α ın punctul α(t) este data de formula

τ(t) =⟨α′(t)× α′′(t), α′′′(t)⟩||α′(t)× α′′(t)||2

.

h) O curba stramba Γ spunem ca este o curba plana daca exista un plan π ⊂ R3 astfel ıncatimaginea curbei sa fie inclusa ın planul π (Γ ⊂ π). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

⋄ α : I → R3 este curba plana;

⋄ τ(t) = 0, ∀t ∈ I;⋄ ecuatia planului osculator nu depinde de parametrul t.

In acest caz, πosc ≡ πosc,α(t),∀t ∈ I reprezinta planul ın care este continuta curba.


5 Probleme propuse

Aplicatii diferentiabile

1. Studiati daca urmatoarele aplicatii sunt injective, surjective, imersii sau submersii:

a) f : R→ R2, f(s) = (s2, s3),∀s ∈ R.b) g : Dg → R3, g(t) = (cos t, sin t, tg t), Dg = R\

{(2k+1)π

2

∣∣∣ k ∈ Z}.

c) φ : R2 → R3, φ(u, v) = (v cosu, v sinu, v).

R: a) f este injectiva, nesurjectiva, nu este nici imersie, nici submersie; b) g este neinjectiva, nesurjec-tiva, este imersie, nu este submersie; c) φ este neinjectiva, nesurjectiva, este imersie, nu este submersie.

2. Se da aplicatia f : R2 → R2 definita prin f(u, v) = (2u+ v, u− v).a) Aratati ca f este bijectiva si calculati functia inversa f−1.

b) Sa se calculeze f−1(1, 2).

c) Sa se determine multimea M = {P |f(P ) = (1,−1)}.d) Aratati ca f este difeomorfism.

R: f este bijectiva, f−1(y1, y2) =13(y1 + y2, y1 − 2y2), f

−1(1, 2) = (1,−1), M = {(0, 1)}.

Curbe ın Rn

3. Aflati ecuatia hiperplanului normal si ecuatiile tangentei la curba α : R∗ → Rn, α(t) =(t2, t, 1t , t− 1

)ın punctul acesteia A

(4, 2, 12 , 1

)∈ R4.

4. Se da curba α : R→ R2, α(t) = (t2, t3 + 3).

a) Sa se determine ecuatiile tangentei si ecuatia hiperplanului normal la curba α ın punctul A(0, 3) ∈R2.

b) Sa se determine ecuatia carteziana a curbei.

5. Ce tip de singularitate are curba definita la exercitiul anterior ın punctul A(0, 3) ?

Curbe ın R2

6. Se da cicloida α : R→ R2, α(t) = (a(t− sin t), a(1− cos t)), a > 0.

a) Sa se afle lungimea arcului de curba pentru t ∈ [0, 2π].

b) Sa se afle abscisa curbilinie a curbei α si parametrizarea normala a acesteia.

7. Sa se cerceteze daca urmatoarele curbe sunt unicursale si sa se determine o parametrizare aacestora:

a) Foliul lui Descartes

x3 + y3 − 3axy = 0, (a > 0); (1)

b) Cisoida lui Diocles

y2(a− x)− x3 = 0. (2)

8. Aflati singularitatile curbelor date cartezian implicit ın exercitiul anterior si tipul acestor singu-laritati. Sa se determine ecuatia tangentei si ecuatia normalei ın fiecare punct singular al fiecareicurbe.

9. Determinati ecuatia tangentei si ecuatia normalei ın punctul B(3a2 ,

3a2

), al foliului lui Descartes

(1).

Curbe 191

10. Sa se determine unghiul curbelor α, β : R → R2 definite prin α(t) = (t2, t − 1) si β(s) =(s+4, s2+1), ın punctul de intersectie al acestora A(4, 1). Sa se studieze tipul de contact al curbelordate.

11. Sa se determine graficul urmatoarelor curbe plane

a) α : R→ R2, α(t) =(

3at1+t3

, 3at2

1+t3

), t ∈ R\{1}, (a > 0);

b) α : R→ R2, α(t) =(

at2

1+t2, at3

1+t2

), t ∈ R, (a > 0).

12. Sa se afle ecuatiile polare ale curbelor (1) si (2). Aflati ecuatiile polare ale asimptotelor foliuluilui Descartes (1), folosind ecuatia polara a curbei.

13. Sa se reprezinte parametric spirala lui Arhimede:

ρ = aθ, θ ∈ (0,+∞), unde a > 0.

14. Se da spirala exponentiala ρ(θ) = eaθ, θ ∈ R, (a > 0).

a) Sa se afle subtangenta si subnormala polara;b) Sa se determine ecuatia tangentei si ecuatia normalei la curba;c) Sa se cerceteze daca aceasta curba are puncte multiple;d) Sa se studieze convexitatea curbei.

15. Se da curba Γ : y = x2.

a) Sa se detemine curbura curbei ın punctul A(−2, 4).b) Sa se scrie ecuatia cercului osculator ın A.c) Sa se afle evoluta parabolei Γ.

16. Sa se determine reperul Frenet ın punctul A(−2, 4) pentru curba plana

α : R→ R2, α(t) = (t, t2), t ∈ R.

Curbe ın R3

17. Se da curba α : R→ R3, α(t) = (t2, t, t3).

a) Sa se determine ecuatiile carteziene ale curbei.b) Sa se determine ecuatiile tangentei si ecuatia planului normal la curba ın punctul A(1,−1,−1).

18. Se da curba α : [0, 2π]→ R3, α(t) = (cos t, sin t, t√3).

a) Sa se determine abscisa curbilinie a curbei α.b) Sa se determine parametrizarea normala.c) Sa se calculeze lungimea arcului de curba Γ = Imα.

19. Se da eliceaα : R→ R3, α(t) = (cos 2t, sin 2t, t). (3)

a) Sa se determine curbura si torsiunea curbei α ın punctul curent.b) Sa se determine punctele de intersectie ale imaginii curbei α cu planul π : x+ y = 1.

20. Fie elicea (3). Sa se determine versorii, muchiile si fetele reperului Frenet ın punctul curent alcurbei. Sa se verifice ca ecuatiile Frenet pentru curbe cu viteza arbitrara au loc pentru curba data.

21. Se da curba α : R→ R3, α(t) = (t2 − t, t2 + 1, t).

a) Sa se cerceteze daca α este o curba plana; ın caz afirmativ sa se determine planul ın care estecontinuta.

192 Suprafete date prin ecuatii parametrice (panze parametrizate). Reperul Gauss

b) Sa se verifice ca torsiunea curbei α este nula ın orice punct al sau.

c) Sa se verifice ca ecuatia planului osculator nu depinde de parametrul t.

Capitolul 2. Suprafete

1 Suprafete ın R3

1.1 Suprafete date prin ecuatie carteziana

Observatii. a) Fiind data o functie f : Df ⊂ R3 → R si o constanta c ∈ R, daca Σ = f−1(c) estenevida si daca functia diferentiabila f este submersie regulata ın orice punct al lui Σ, atunci Σ senumeste suprafata (data cartezian implicit).

b) Planul tangent la suprafata Σ : f(x, y, z) = 0 ın punctul sau B(x0, y0, z0) are ecuatia

π tg ,B : fx0(x− x0) + fy0(y − y0) + fz0(z − z0) = 0,

iar dreapta normala la suprafata Σ ın B are ecuatiile

∆nor ,B :x− x0fx0

=y − y0fy0

=z − z0fz0

,

unde am notat

n ≡ (fx0 , fy0 , fz0) =

(∂f

∂x(x0, y0, z0),

∂f

∂y(x0, y0, z0),

∂f

∂z(x0, y0, z0)

)≡ ∇f(x0, y0, z0).

c) Campul de versori normali la suprafata este dat de n = ∇f||∇f || .

1.2 Suprafete date prin ecuatii parametrice (panze parametrizate). Reperul Gauss

Definitii. a) Aplicatia r : D ⊂ R2 → R3 se numeste harta daca si numai daca r este aplicatieinjectiva, regulata si imersie.

b) Imaginea Σ = Imr a unei harti se numeste suprafata simpla (panza parametrizata).

c) Planul tangent π tg ,A la o suprafata simpla Σ = r(D) ın punctul sau A = r(u0, v0) = (x0, y0, z0) ∈ Σare ecuatia:

π tg ,A : a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0,

iar dreapta normala la suprafata Σ ın A are ecuatiile

∆nor,A :x− x0a

=y − y0b

=z − z0c

,

unde nA = (a, b, c) ≡ ru(u0, v0)× rv(u0, v0), ru ≡ ∂r∂u , rv ≡

∂r∂v .

d) Campul de versori normali la suprafata este data de n = ru×rv||ru×rv || .

e) Reperul Gauss al unei suprafete parametrizate r : D ⊂ R2 → R3 ıntr-un punct A = r(u, v) alacesteia este

RG,A = {r(u, v); {ru(u, v), rv(u, v), n(u, v)}},

unde n(u, v) este campul de versori normali la suprafata.

Suprafete 193

1.3 Panze parametrizate. Forme fundamentale. Curburi

Definitii. a) Aplicatia diferentiabila I : (u, v) ∈ D → I(u, v) ∈ B(Tr(u,v)Σ,R), unde I(u, v) este oforma biliniara, simetrica, pozitiv definita

I(u, v) : Tr(u,v)Σ× Tr(u,v)Σ→ R,

se numeste prima forma fundamentala a suprafetei Σ, si se noteaza cu I. Matricea sa [I] relativ labaza {ru, rv} ⊂ Tr(u,v)Σ a spatiului vectorial tangent la suprafata Tr(u,v)Σ este (ın notatiile Gauss)

[I] =

(E FF G

)unde

E = ⟨ru, ru⟩

F = ⟨ru, rv⟩

G = ⟨rv, rv⟩

.

Prima forma fundamentala se mai scrie pe scurt ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2.

b) Daca vitezele partiale ru si rv sunt ortogonale ın orice punct al suprafetei Σ (deci atunci candcurbele coordonate ale suprafetei sunt ortogonale), atunci F ≡ 0 si reciproc.

c) Aplicatia II : (u, v) ∈ D → II(u, v) ∈ B(Tr(u,v)Σ,R), unde II(u, v) este o forma biliniaraII(u, v) : Tr(u,v)Σ × Tr(u,v)Σ → R, se numeste a doua forma fundamentala a suprafetei si se noteazacu II. Matricea asociata acesteia este, ın notatiile Gauss,

[II] =

(L MM N

), unde

L = ⟨ruu, n⟩

M = ⟨ruv, n⟩

N = ⟨rvv, n⟩,

si ruu = ∂2r∂u2 ; ruv = ∂2r

∂u∂v ; rvv = ∂2r∂v2

, iar n = ru×rv||ru×rv || este versorul normal la suprafata.

d) Aplicatia III : (u, v) ∈ D → III(u, v) ∈ B(Tr(u,v)Σ,R), unde II(u, v) este o forma biliniaraII(u, v) : Tr(u,v)Σ×Tr(u,v)Σ→ R, se numeste a treia forma fundamentala a suprafetei Σ, si se noteazacu III. Matricea [III] asociata acesteia este data de relatia [III] = [II][I]−1[II].

e) Operatorul Weingarten S este aplicatia

S : (u, v) ∈ D → S(u, v) ∈ End(Tr(u,v)Σ),

avand ıntr-un punct arbitrar r(u, v) al suprafetei relativ la baza {ru, rv} ⊂ Tr(u,v)Σ matricea

[S] = [I]−1[II].

Are loc relatia[III] = [S]t[I][S].

f) Curbura Gauss K si curbura medie H ale suprafetei Σ sunt determinate de [I], [II], prin relatiile

K =det[II]

det[I]=LN −M2

EG− F 2, H =

EN − 2FM +GL

2(EG− F 2).

Aceste curburi se pot calcula cu ajutorul matricei operatorului Weingarten, fiind date respectiv derelatiile

K = det[S], H =1

2Tr[S].

g) Are loc relatia Beltrami-Enneper [III] − 2H[II] + K[I] = [0], unde [0] este matricea nula deordinul doi.

194 Curbe speciale ale panzelor parametrizate. Reperul Darboux

h) Aria suprafetei Σ = r(D) (D ⊂ R2 domeniu compact) este

Ar(D) =

∫ ∫D

√EG− F 2 dudv =

∫ ∫D

√det[I] dudv,

unde [I] =

(E FF G

)este matricea primei forme fundamentale a suprafetei.

Observatii. a) Daca α este curba pe suprafata, viteza sa este vector tangent la suprafata ın fiecarepunct al curbei si ın baza canonica a spatiului tangent, aceasta se descompune

α′(t) =d

dt(r(u(t), v(t)) =

∂r

∂uu′(t) +

∂r

∂vv′(t) = u′ru + v′rv ∈ Tα(t)Σ.

b) Curbura normala asociata directiei date de un vector w ∈ Tr(u,v)Σ este

kn(w) =II(w,w)

I(w,w),

unde I, II sunt cele doua forme fundamentale ale suprafetei.

c) Fie k1 si k2 curburile principale (valorile extreme ale curburii normale, valorile proprii ale matriceioperatorului Weingarten) ale suprafetei Σ ın punctul A. Atunci avem{

H = k1+k22

K = k1 · k2⇒

{k1 + k2 = 2H

k1 · k2 = K.

Ecuatia de gradul doi ce admite solutiile k1 si k2 este λ2 − 2Hλ + K = 0, ecuatia caracteristica aendomorfismului Weingarten.

d) Fie A = r(u, v) ∈ Σ. Daca θ este unghiul format ξ ıntre e1 si w (considerat ın sens trigonometric)prin relatia e = e1 cos θ + e2 sin θ ce are loc ın TAΣ, iar e1, e2 sunt versorii principali ai suprafetei Σ(versorii proprii asociati valorilor proprii k1, k2 ale matricei operatorului Weingarten), atunci are locrelatia lui Euler:

kn(w) = k1 cos2 θ + k2 sin

2 θ.

1.4 Curbe speciale ale panzelor parametrizate. Reperul Darboux

Definitii. In cele ce urmeaza consideram o curba regulata α : I ⊂ R → Σ, α(t) = r(u(t), v(t)), t ∈ Ipe suprafata Σ.

a) Curba α este linie de curbura (curba principala), daca ın fiecare punct al ei, curbura normalaasociata vitezei este curbura principala. Ecuatia liniilor de curbura este∣∣∣∣∣∣

v′2 −u′v′ u′2

E F GL M N

∣∣∣∣∣∣ = 0,

unde E,F,G si L,M,N reprezinta respectiv coeficientii primelor doua forme fundamentale.

b) Curba α este linie asimptotica, daca viteza sa w = α′(t) produce ın fiecare punct al curbei odirectie asimptotica, deci curbura normala asociata vitezei este nula:

kn(α′(t)) = 0, ∀t ∈ I.

Suprafete 195

Ecuatia liniilor asimptotice ale suprafetei Σ este

II(α′, α′) = 0⇔ (u′, v′)[II]

(u′

v′

)= 0,

unde [II] este matricea asociata formei a doua fundamentale a suprafetei Σ.

c) Curba α este geodezica a suprafetei Σ, daca este ın parametrizare normala, iar acceleratia sa estenormala la Σ ın fiecare punct al curbei. Ecuatiile geodezicelor suprafetei Σ sunt

⟨α”(t), ru|α(t)⟩ = 0

⟨α”(t), rv|α(t)⟩ = 0

⟨α′(t), α′(t) = 1.

Definitii. a) Fiind data o curba regulata ın parametrizare normala α : I ⊂ R→ Σ, se numeste reperDarboux pa curba α (vezi figura), reperul mobil RD = {α(t); {T (t), ng(t), n(t)}t∈I , unde

⋄ T = α′ este versorul tangent la curba,

⋄ n = ru×rv||ru×rv || este versorul unitar normal la Σ restrans la curba α, iar

⋄ ng este versorul normalei geodezice, dat de relatia ng = T × n.

b) Au loc ecuatiile lui Darboux T ′

ngn

=

0 kg kn−kg 0 τg−kn −τg 0

Tngn

,

unde

⋄ kg = ⟨T ′, ng⟩ se numeste curbura geodezica,

⋄ kn = ⟨T ′, n⟩ este curbura normala a curbei α, iar

⋄ τg = ⟨ng ′, n⟩ se numeste torsiunea geodezica a curbei α.

c) Au loc urmatoarele echivalente:

⋄ curba α este geodezica d.n.d. kg(t) = 0, ∀t ∈ I;⋄ curba α este linie asimptotica d.n.d. kn(t) ≡ kn(α′(t)) = 0, ∀t ∈ I;⋄ curba α este linie de curbura d.n.d. τg(t) = 0, ∀t ∈ I.

2 Probleme propuse

1. a) Aratati ca aplicatia

r : R2 → R3, r(u, v) = (u, uv, v), (u, v) ∈ R2

este o harta. Este Σ = r(R2) suprafata simpla ?

b) Determinati ecuatia carteziana implicita a suprafetei Σ.c) Ce reprezinta aceasta suprafata ?

2. a) Sa se determine constanta c ∈ R astfel ıncat Σ = {(x, y, z) ∈ R3| z(z − 2) + xy = c} sa fie osuprafata.

b) Parametrizati suprafata Σ.


3. Fie suprafata Σ : r(u, v) = (u, v, uv), (u, v) ∈ R2.

a) Sa se determine vitezele partiale si campul unitar normal la suprafata Σ.

b) Sa se determine versorul normal la suprafata ın punctul A(−1,−1, 1).

4. Se da curba Γ : v = −u pe suprafata

Σ : r(u, v) = (v cosu, v sinu, v), (u, v) ∈ [0, 2π)× R∗.

a) Aratati ca Σ = Im r este un con.

b) Scrieti ecuatiile parametrice ale curbei Γ si determinati ecuatiile sale carteziene.

5. Calculati unghiul curbelor coordonate ıntr-un punct al suprafetei

Σ : r(u, v) = (u, v, uv)

si determinati ecuatiile carteziene ale acestora.

6. Fie suprafata

Σ : r(u, v) = (cosu, sinu, v), (u, v) ∈ [0, 2π)× R.

Sa se determine ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata ın punctul A(1, 0, 2).

7. Se da elicoidul Σ : r(u, v) = (u cos v, u sin v, v); (u, v) ∈ R2. Sa se determine matricea [S] aoperatorului Weingarten si matricele [I], [II], [III] ale celor trei forme fundamentale ale suprafetei.

8. Fie

Σ : r(u, v) = (u cos v, u sin v, v); (u, v) ∈ R2.

a) Sa se determine curbura totala K (curbura Gauss) a suprafetei. Sa se afle daca suprafata estedesfasurabila (K ≡ 0, deci K(u, v) = 0,∀(u, v) ∈ D).

b) Sa se determine curbura medie H a suprafetei. Sa se afle daca suprafata este minimala (H ≡ 0,deci H(u, v) = 0,∀(u, v) ∈ D).

9. Verificati relatia Beltami-Enneper [III]− 2H[II] +K[I] = [0] pentru suprafata

Σ : r(u, v) = (u cos v, u sin v, v), (u, v) ∈ R2.

10. Fie cilindrul

Σ = r(D) ⊂ R3, r(u, v) = (cosu, sinu, v); (u, v) ∈ [0, 2π]× R. (1)

a) Sa se afle unghiul format de curbele coordonate ale suprafetei.

b) Sa se determine ecuatia carteziana a suprafetei Σ.

c) Sa se determine ecuatiile carteziene ale curbelor coordonate.

11. a) Sa se determine formele fundamentale ale cilindrului (1).

b) Sa se determine reperul lui Gauss ın punctul A = r(π, 2) al suprafetei (1).

c) Determinati daca cilindrul (1) este suprafata desfasurabila (K ≡ 0).

d) Determinati daca cilindrul (1) este suprafata minimala (H ≡ 0).

e) Sa se determine matricea operatorului Weingarten.

f) Sa se verifice relatia Beltrami-Enneper. g) Sa se calculeze curbura Gauss K si curbura medie H acilindrului, folosind operatorul Weingarten. h) Sa se verifice ca a treia forma fundamentala [III] sepoate calcula cu ajutorul formulei: [III] = [S]t[I][S], unde [S] este matricea operatorului Weingartena cilindrului.

Suprafete 197

12. Se da suprafata

Σ : r(u, v) = (cosu, sinu, v), (u, v) ∈ D ≡ [0, 2π]× R.

a) Sa se determine ecuatiile carteziene ale curbei Γ : u = 2v.

b) Sa se determine curbura normala kn(w) corespunzatoare vitezei w a curbei Γ ın punctul sauA(1, 0, π).

c) Sa se determine curburile principale k1, k2 ale suprafetei ın punctul sau A(1, 0, π).

d) Sa se determine versorii w1, w2 ai directiilor principale asociate celor doua curburi principale alesuprafetei, ın A.

e) Sa se verifice relatia lui Euler pentru directia tangenta data de vectorul w ∈ TAΣ din exercitiul 18.

13. Sa se determine aria zonei de suprafata σ[r(D)], unde

Σ ≡ r(D), r(u, v) = (2 cosu, 2 sinu, v), (u, v) ∈ D ≡[0,π

2

]× [1, 2]

14. Fie suprafata Σ : r(u, v) = (cosu, sinu, 2v), (u, v) ∈ (0, 4π)× R.a) Sa se afle unghiul dintre curbele Γ1 si Γ2 de pe suprafata Σ, unde: Γ1 : u = 2v si Γ2 : v = u− π.b) Sa se calculeze lungimea curbei Γ1 pentru v ∈

[0, π2

].

15. Fie cilindrul

Σ : r(u, v) = (cos 2u, sin 2u, 3v); (u, v) ∈ D ≡ [0, 2π)× R.

a) Sa se determine liniile de curbura (curbele principale) ın punctul A(1, 0, 2π).

b) Sa se determine liniile asimptotice ın punctul A(1, 0, 2π).

c) Sa se determine geodezicele cilindrului.

16. Se da curba Γu=v pe suprafata Σ : r(u, v) = (cos au, sin au, bv), unde a2 + b2 = 1.

a) Verificati ca Γ este ın parametrizare normala si determinati reperul Darboux al acestei curbe.

b) Aflati curbura normala a curbei α. Este α linie asimptotica a suprafetei ?

c) Aflati torsiunea geodezica a curbei α. Este α curba principala a suprafetei ?

d) Aflati curbura geodezica a curbei α. Este α geodezica a suprafetei ?

e) Verificati formulele Darboux pentru curba α.

Suprafete generate

17. Sa se determine ecuatia suprafetei cilindrice Σ generata de dreapta ∆ ce are directia fixa v si carese sprijina pe curba Γ, ın cazurile de mai jos

a) v = i+ k si Γ :

{x2 + y2 = 1

z = 5

b) v = i+ j − k si Γ :

{x2 + y2 = 4

z = 0

c) v = k − i si Γ :

{x2 = yy2 = z

18. Sa se determine ecuatia urmatoarelor suprafete de rotatie, obtinute prin rotirea curbei Γ ın juruldreptei ∆, pentru cazurile de mai jos:

a) Γ = ∆1 :x−10 = y+2

1 = z−30 si ∆ = Oy.

b) Γ = ∆2 :x−13 = y

2 = z1 si ∆ = Oy.

c) Γ = ∆3 : x− 1 = y + 1 = z − 3 si ∆ = Oz.


19. Sa se determine ecuatia suprafetei de rotatie obtinuta prin rotirea cercului Γ :

{(x− a)2 + y2 = b2

z = 0,

(a > b > 0) ın jurul axei ∆ = Oy.

20. Sa se determine ecuatia suprafetei de rotatie obtinuta prin rotirea curbei Γ :

{y = x2

z = 0ın jurul

dreptei ∆ :

{x− y = 1z − y = 2.

21. Sa se determine ecuatia suprafetei cilindrice Σ obtinuta prin deplasarea generatoarei ∆ de vector

director v = i+ j + k de-a lungul cubei directoare Γ :

{y = sinxz = 0.

22. Sa se arate ca suprafata cilindrica Σ ce are curba directoare Γ :

{x = y2

z = 0si generatoarea de

directie v = j + k, este un cilindru parabolic.

23. Sa se determine ecuatia suprafetei conice Σ, ce are curba directoare Γ si varful V , ın cazurile demai jos.

a) Γ :

{x2 + y2 = 9z = 4

si V (0, 0, 0); b) Γ :

{y = sinxz = 4

si V (1,−2, 5).

24. a) Sa se determine ecuatia carteziana a conoidului de ecuatii parametrice

Σ :

x = u cos vy = u sin vz = v

, (u, v) ∈ R2.

b) Sa se determine ecuatiile carteziene ale elicei Γu=v ⊂ Σ.

Bibliografie

[1] E. Arghiriade, Curs de algebra superioara, Editura Didactica si Pedagogica, 1963. U: II8905. P:TIII10857.

[2] Gh. Atanasiu, Gh. Munteanu, M. Postolache, Algebra liniara, geometrie analitica, diferentialasi ecuatii diferentiale, Editura All, Bucuresti, 1994; 1996. U: II38657, 1998. U: II39368.

[3] Gh. Atanasiu, Gh. Pitis, M. Cazacu, V. Grosaru, Culegere de probleme de geometrie analiticasi diferentiala, Tipografia Universitatii din Brasov, 1980. U: III15589.

[4] Gh. Atanasiu, E. Stoica, Algebra liniara, geometrie analitica, Editura Fair Partners, Bucuresti,2003.

[5] V. Balan, Algebra liniara, geometrie analitica, Editura Fair Partners, 1999. U: 39499.

[6] V. Balan, S. Dinu, Geometrie Analitica–Elemente de teorie si probleme, Editura Printech, 2003.

[7] V. Balan, S. Dinu, Geometrie Analitica–Elemente de teorie si probleme (ed. II), Editura Bren,2004.

[8] V. Balan, Nicola I.R., Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, ecuatii diferentiale,Exercitii, probleme si aplicatii cu soft specializat, Bren Eds., Bucuresti, 2006-2009; Ed. Printech2010.

[9] M. Bercovici, S. Rimer, A. Triandaf, Culegere de probleme de geometrie analitica si diferentiala,Editura Didactica si Pedagogica, 1973. U: I20442. P: TIII20792.

[10] M. Bodnariu, Elemente de algebra, Editura Printech, 1998.

[11] N. Boja, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, ecuatii diferentiale: culegere deprobleme, Editura Politehnicii din Timisoara, 2001. U: II39565.

[12] V. Branzanescu, O. Stanasila, Matematici speciale, Editura ALL, Bucuresti, 1994.

[13] F. Bucur, Algebra liniara, geometrie analitica, Litografia Institutului de Constructii Bucuresti,1971. U: II23383.

[14] S. Chirita, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica si Pedagogica, 1989. U:II35784.P: TIII38955.

[15] N. Cioranescu, M. Rosculet, Culegere de probleme de algebra si analiza matematica, EdituraTehnica, 1959. U: II6262. T:III6747.

[16] C. Cosnita, I. Sager, I. Matei, I. Dragota, Culegere de probleme de geometrie analitica, EdituraDidactica si Pedagogica, 1963.

[17] I. Creanga, Gh. Gheorghiu, A. Haimovici, M. Haimovici, O. Mayer, Curs de geometrie analitica:pentru uzul institutelor tehnice, Editura Tehnica, 1951. U: II3632.

[18] I. Creanga, C. Reischer, Algebra liniara, Editura Didactica si Pedagogica, 1970. U: II17295. P:TIII19311.

[19] I. Crisan, A. Lare, Culegere de probleme de geometrie analitica, Editura Didactica si Pedagogica,1971. U: II18018.

[20] Gh. Dodescu, Metode numerice ın algebra, Editura Tehnica, 1979. U:II27981. P: TII20754.

[21] O. Dogaru, M. Doroftei, Algebra liniara, Geometry Balkan Press, 1998.

199

200 Bibliografie

[22] O. Dogaru, M. Doroftei, Geometrie analitica si diferentiala, Cursuri Universitare 13, GeometryBalkan Press, 2001.

[23] L. Dragusin, C. Dragusin, C. Radu, Calcul integral si ecuatii diferentiale, Editura Style, 1996.

[24] M. A. Geanau, Probleme de algebra, Editura Printech, 1997.

[25] Gh. Gheorghiev, R. Miron, D. Papuc, Geometrie analitica si diferentiala, Editura Didactica siPedagogica, 1968-1069. U: II13538.

[26] Gh. Th. Gheorghiu, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala si programare, EdituraDidactica si Pedagogica, 1977. U: II25541.

[27] Gh. Th. Gheorghiu, Elemente de algebra si geometrie analitica, Editura Didactica si Pedagogica,1961. U: II8079.

[28] Gh. Th. Gheorghiu, Geometrie analitica si diferentiala, Editura Didactica si Pedagogica, 1969.U: II14354.

[29] I. Glazman, Iu. Liubici, Algebra liniara pe spatii finit dimensionale, Editura Stiintifica si Enci-clopedica, 1980. U: II28752.

[30] A. Haimovici, Grupuri de transformari, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1968.

[31] A. Ioanoviciu, N. Mihaileanu, M. Silisteanu Milovaru, M. Neumann, I. Peterfi, L. Stanciu, P.Stanciu, Culegere de probleme de geometrie analitica si diferentiala, Editura Didactica si Peda-gogica, 1979. U: II17158.

[32] C. Ionescu-Bujor, Geometrie analitica si diferentiala, Institutul Politehnic Bucuresti, 1950. U:III7673.

[33] C. Ionescu-Bujor, O. Sacter, Exercitii si probleme de geometrie analitica si diferentiala, EdituraDidactica si Pedagogica, 1963. U: II9022.

[34] O. Kreindler, Geometrie analitica si diferentiala, Editura I. P. B., 1950. U: III8196.

[35] A. Leonte, G. Vraciu, Elemente de calcul matriceal cu aplicatii, Editura Tehnica, Bucuresti,1975. U: II22658.

[36] E. Manzatu, Probleme de geometrie analitica, Academia Militara, Bucuresti, 1979.

[37] N. Mihaileanu, Geometrie analitica, proiectiva si diferentiala, Editura Didactica si Pedagogica,1971. U: II18522.

[38] N. Mihaileanu, Geometrie analitica, proiectiva si diferentiala: complemente, Editura Didacticasi Pedagogica, 1972. U: II19686.

[39] N. Mihaileanu, Lectii complementare de geometrie, Editura Didactica si Pedagogica, 1976.

[40] R. Miron, Geometrie analitica, Editura Didactica si Pedagogica, 1976. U: II24293.

[41] P. S. Modenov, Geometrie analitica, Editura Tehnica, 1957. U: II5663.

[42] E. Murgulescu, Geometrie analitica si diferentiala, Editura Didactica si Pedagogica, 1974. U:II8904.

[43] E. Murgulescu, N. Donciu, Culegere de probleme de geometrie analitica si diferentiala, Univer-sitatea ”Politehnica” Bucuresti, 1971. U: II18509.

[44] E. Murgulescu, N. Donciu, V. Popescu, Geometrie analitica ın spatiu si geometrie diferentiala -culegere de probleme, Editura Didactica si Pedagogica, 1974. U: II21167.

[45] E. Murgulescu, S. Flexi, O. Kreindler, O. Sacter, Geometrie analitica, Editura Didactica siPedagogica, 1962. U: II8904; 1965. U: II10530.

[46] E. Murgulescu, S. Flexi, O. Kreindler, O. Sacter, M. Tarnoveanu, Geometrie analitica sidiferentiala, Editura Didactica si Pedagogica, 1965. U: II10530.

[47] Al. Myller, Curs de geometrie analitica, Editura Seminarului Matematic Iasi, 1936. U: II2171.

[48] Al. Myller, Geometrie analitica, Editura Didactica si Pedagogica, 1972. U: II19632.

[49] V. Obadeanu, Elemente de algebra liniara si geometrie analitica, Editura Facla, 1981. U: II29956.

Bibliografie 201

[50] V. Olariu, O. Olteanu, Analiza matematica, Editura Semne, 1998. U: II38622.

[51] D. Pompeiu, Geometrie analitica (curs), Editura Matac, 1938. U: III15093.

[52] I. Pop, Gh. Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica ın plan si ın spatiu, Editura Plumb,Bacau, 1996.

[53] I. Popescu, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica si Pedagogica, 1964.

[54] I. I. Popescu, G. G. Vranceanu, C. Tudor, Matematici superioare, Editura Didactica si Peda-gogica, 1964. U: II10135.

[55] T. V. Postelnicu, M. I. Stoka, G. G. Vranceanu, Culegere de probleme de geometrie analitica sidiferentiala, Editura Tehnica, 1970. U: II17159.

[56] C. Radu, Algebra liniara, geometrie analitica, Editura Fair Partners, 2004.

[57] C. Radu, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, Editura ALL, 1996. U: II38657.

[58] C. Radu, C. Dragusin, L. Dragusin, Algebra liniara, analiza matematica, geometrie analitica sidiferentiala, Editura Fair Partners, 2000.

[59] C. Radu, C. Dragusin, L. Dragusin, Aplicatii de algebra, geometrie si matematici speciale, Edi-tura Didactica si Pedagogica, 1991. U: II36960.

[60] M. Rosculet, Algebra liniara, geometrie analitica si geometrie diferentiala, Editura Tehnica,1987. U: II33881.

[61] O. Sacter, Despre conice si alte curbe, Editura Tehnica, 1955.

[62] M. Sarian, Conice: elemente geometrice, Universitatea ”Politehnica” Bucuresti, 1936. U: III8968.

[63] N. Soare, Curs de geometrie, Editura Universitatii Bucuresti, 1996. U: II38760.

[64] N. Soare, A. M. Panait, L. Preda, I. Soare, Metoda transformarilor geometrice, Editura Gimna-sium, Targoviste, 2002.

[65] St. Staicu, Aplicatii ale calculului matriceal ın mecanica solidelor, Editura Academiei, 1986. U:II33045. P: TIII36932.

[66] I. Stamate, Culegere de probleme de matematici superioare, Editura Didactica si Pedagogica,1971. U: II18621.

[67] O. Stanasila, Analiza liniara si geometrie, vol. 1, Editura ALL Educational, Bucuresti, 2000.

[68] I. D. Teodorescu, Geometrie si elemente de algebra liniara (culegere de probleme), EdituraDidactica si Pedagogica, 1965. U: II10973; 1967. U: II12858; 1971. U: II18461; 1972. U: II19190.

[69] N. Teodorescu, Metode vectoriale ın fizica matematica, Editura Tehnica, 1954. U: II4186.

[70] O. Tino, E. Murgulescu, V. Banarescu, Exercitii si probleme pentru cursul de geometrie analiticaın scolile tehnice superioare, Litografia Tip. Inv. Buc. U: II5720.

[71] A. Turtoi, Geometrie, Editura Universitatii Bucuresti, 1996. U: II38665.

[72] Gh. Titeica, Culegere de probleme de geometrie analitica, Tipogr. C. Reg. F. Gobl. Fiii S. A.1939. U: II2233.

[73] Gh. Titeica, Curs de geometrie analitica, Editura Facultatii de Stiinte Bucuresti, 1929. U: 16294;1932-1933. U: III8198; 1934-35. U: III8188.

[74] Gh. Titeica, Geometrie analitica, Litografia Stefanescu 1901. U: II12622.

[75] C. Udriste, Algebra liniara geometrie analitica, Geometry Balkan Press, 1996. U: II38947. P:III44125; Cursuri Universitare 11, Geometry Balkan Press, 2000.

[76] C. Udriste, Aplicatii de algebra, geometrie si ecuatii diferentiale, Editura Didactica si Peda-gogica, 1993. U: II3765. P: III41318

[77] C. Udriste, Probleme de algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, Editura Didactica siPedagogica, 1976.

[78] C. Udriste, O. Dogaru, Geometrie analitica, Universitatea ”Politehnica” Bucuresti, 1991, 1992.P: TIII40425.

202 Bibliografie

[79] C. Udriste, C. Radu, C. Dicu, O. Malancioiu, Algebra, geometrie analitica si si ecuatiidiferentiale, Editura Didactica si Pedagogica, 1982. U: II31252. P: TIII35426.

[80] C. Udriste, C. Radu, C. Dicu, O. Malancioiu, Probleme de algebra, geometrie analitica si ecuatiidiferentiale, Editura Didactica si Pedagogica, 1981. U: II30464. P: TIII32351, P: TIII34988.

[81] S. Vasilache, Elemente de teoria multimilor si a structurilor algebrice, Editura Academiei, 1956.U: II5352.

[82] Ge. Vraciu, Algebra liniara, Editura Universitatii din Craiova, 1994.

[83] Gh. Vranceanu, Curs de geometrie analitica si proiectiva, Tipogr. C. Reg. F. Gobl. Fiii. S. A.1944-45. U: II3361.

[84] Gh. Vranceanu, Geometrie analitica si proiectiva, Editura Tehnica, 1954. U: II4347.

[85] Gh. Vranceanu, Geometrie analitica, proiectiva si diferentiala, Editura Didactica si Pedagogica,1961. U: II7740; 1962. U: II8645; 1968. U: II13307; 1974. U: II22068.

[86] Gh. Zapan, Curs de geometrie analitica, aplicatii, Autografia Sc. de Artilerie, Geniu si Marina1919. U: II2786.

[87] ***, Cuadrice, Univ. Bucuresti 1922. U: II17971.

[88] ***, Dictionar de matematici generale, Editura Enciclopedica Romana, 1974.

[89] ***, Geometrie analitica, Univ. Bucuresti. U: II222.

[90] ***, Mica enciclopedie matematica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1980.

= Carti editate ın limbi straine.=

[91] L. Bianchi, Lezioni di geometria analitica, Pisa: Enrico Spoerri 1970. U: II139.

[92] E. Bortolotti, Lezioni di geometria analitica, Bologna, Nicola Zanichelli, 1923. U: II70.

[93] R. M. Bowen, C. C. Wang, Introduction to Vectors and Tensors, vol. 1-2, Plenum Press, NewYork, 1976.

[94] A. Burdun, Culegere de probleme de algebra si geometrie analitica (lb. rusa), Univ. Minsk, 1989.

[95] G. Castelnuovo, Lezioni di geometria analitica, Editura Societa Anonima D. Alighieri, 1938. U:II3140; 1931. U: III15025.

[96] N. Coburn, Vector and Tensor Analysis, Mc. Millan Co., 1955. U: II31239.

[97] J. Dieudonne, Linear Algebra and Geometry, Paris, Hermann, 1969.

[98] A. Dubrovin, S. P. Novikov, A. T. Fomenko, Geometrie contemporana (lb. rusa), Ed. Nauka,Moscova, 1979.

[99] C. V. Durell, A concise on geometrical conics, MacMillan, 1927. U: II1004.

[100] C. H. Edwards, D. E. Penney, Calculus and Analytic Geometry, Prentice Hall, 1982. U: II16313.

[101] N. V. Efimov, E. R. Rosendorn, Linear Algebra and Multidimensional Geometry, Mir Publ.,1975. U: II24141. P: III32360.

[102] C. W. Evans, Engineering Mathematics, Chapman & Hall Eds., 1992.

[103] M. Farkas, I. Farkas, Introduction to Linear Algebra, Ed. Kiado, Budapest, 1975. U: II35994

[104] G. Hadley, Linear Algebra, Add. Wesley, 1972. U: II36067

[105] G. Hadley, Mathematics for Engineering, Technology and Computing Sciences, Prentice Press,1970, U: II26011.

[106] J. W. Harris, H. Stocker, Handbook of Mathematics and Computational Science, Springer-Verlag,1998.

[107] G. E. Hay, Vector and Tensor Analysis, Dover Publ., 1953. U: II27976.

[108] A. Howard, Elementary Linear Algebra, J. Wiley & Sons, 1987. U: II36206.

[109] A. Howard, C. Rorres, Applications of Linear Algebra, John Wiley & Sons, 1984. U: II36159.

[110] A. Jeffrey, Mathematics for Engineering and Scientists, V. N. R. International Eds., 1989.

Bibliografie 203

[111] P. C. Kenshaft, Linear Mathematics, Inst. of I.E.E.E., 1978. U: II36195.

[112] D. V. Kletenik, Problemes de geometrie analitique, Editura Mir, 1969. U: II14574.

[113] W. Klingenberg, Lineare Algebra und Geometrie, Springer-Verlag, Berlin, 1990.

[114] E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, J. Wiley & Sons, New York, 1962. U: II37192.

[115] A. D. Myskis, Introductory Mathematics for Engineers, Mir Publ., 1975. U: II22920.

[116] P. V. O′Neill, Advanced Engineering Mathematics, Wadsworth Eds., 1991.

[117] A. V. Pogorelov, Analytic Geometry, Mir Publishers, Moscow, 1961.

[118] I. Proskurakov, Culegere de probleme de algebra liniara (lb. rusa), Editura Nauka, Moscova,1978. U: II28443. P: TII21426.

[119] P. H. Selby, Practical Algebra, John Wiley & Sons, 1974, U: II36187.

[120] L. Smith, Linear Algebra, Springer Verlag, 1978. U: II26153.

[121] M. V. Sweet, Algebra, Geometry and Trigonometry in Science, Engineering and Mathematics,Ellis Horwood Ltd., 1984. U: II36163.

[122] O. N. Tuberbiller, Probleme si exercitii de geometrie analitica (lb. rusa), Editura Nauka, 1970.

[123] C. Udriste, Problems of Linear Algebra, Analytic and Differential Geometry, Differential Equa-tions, University Lectures Series 10, Geometry Balkan Press, Bucharest 2000.

[124] C. Udriste, V. Balan, Analytic and Differential Geometry, University Lectures Series 7, GeometryBalkan Press, Bucharest 1999.

[125] C. Udriste, V. Balan, Linear Algebra and Analysis, University Lectures Series 12, GeometryBalkan Press, Bucharest 2001.

[126] C. Udriste, I. Boca, Linear Algebra, University Lectures Series 8, Geometry Balkan Press,Bucharest 1999.

[127] E. Young, Vector and Tensor Analysis, M. Dekker, 1993.

= Carti editate ın tipografia U. P. B.=

[128] I. Bacalu, G. Budianu, R. F. Constantin, Matematici, Sinteze, 1992.

[129] V. Balan, Algebra liniara si geometrie analitica, 1999.

[130] V. Balan, N. Bıla, Geometrie diferentiala, culegere de exercitii si probleme, 1998, P: TIII45014.

[131] V. Balan, A. Suciu, Algebra liniara, Culegere de probleme de algebra liniara, 1999.

[132] L. Branzanescu, Curs de algebra si geometrie, 1990. P: TIII39235.

[133] L. Branzanescu, R. Minculescu, Algebra: culegere de probleme, 1991. P: TIII40800.

[134] L. Branzanescu & al., Geometrie analitica si diferentiala: culegere de probleme, 1992.

[135] M. Carnu, Spatii vectoriale, 1991. P: TIII40940.

[136] E. Cioara, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, 1991. P:TIII40030.

[137] E. Cioara, Algebra liniara. Culegere de probleme, 1996. P: TIII44534.

[138] A. Colojoara, Algebra liniara, 1990. P: TIII39578.

[139] M. Craiu, A. M. Neagu, G. Toma, Probleme de algebra si geometrie, 1979. P: TIII33536.

[140] F. Gandac, S. Corbu, Culegere de probleme de algebra liniara si geometrie analitica, 1981.

[141] M. Geanau, Lectii de algebra liniara, 1993.

[142] E. Grecu, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala si programare liniara, 1995.

[143] E. Grecu, Culegere de probleme de algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala si progra-mare liniara, 1995.

[144] E. Grecu, Culegere de probleme de algebra liniara si programare, 1979.

[145] E. Grecu, Curs de geometrie analitica, 1997.

[146] E. Grecu, Probleme rezolvate de geometrie analitica, 1997.

204 Bibliografie

[147] E. Murgulescu, S. Flexi, O. Kreindler, O. Sacter, M. Tarnoveanu, Geometrie analitica sidiferentiala, 1961. U: II10530.

[148] E. Murgulescu, N. Donciu, Culegere de probleme de geometrie analitica si diferentiala, 1971. U:II18509.

[149] A. Nita, O. Stanasila, Seturi de probleme (algebra, geometrie, ecuatii diferentiale), 1988.

[150] C. Radu, C. Dragusin, L. Dragusin, Aplicatii de algebra, geometrie si matematici speciale, Uni-versitatea ”Politehnica” Bucuresti, 1991. U: II36960.

[151] C. Radu, A. Zlatescu, Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, 1992.

[152] C. Udriste, Linear Algebra, 1992. P: TIII42992.

[153] C. Udriste, Problems of Algebra, Geometry and Differential Equations, 1992.

[154] C. Udriste, O. Dogaru, Algebra liniara, 1991, 1993. P: TIII4024.

[155] C. Udriste, O. Dogaru, Geometrie analitica, 1991, 1992. P: TIII40425.

NOTA. La sfarsitul citarilor se afla cotele la care pot fi identificate lucrarile, la bibliotecile:

• P - Biblioteca Universitatii Politehnica Bucuresti, (Localul Polizu, CaleaGrivitei, nr. 132, corpI, etaj 2, camera 210), tel. (021)-402.39.82, 312.70.44, 650.31.32; e-mail: dr [email protected]. ro, URL http://www.library.pub.ro/ contact. htm

• U - Biblioteca Universitatii din Bucuresti, Str. Academiei 14, Facultatea de Matematica, etaj II,tel: (021)-314.35.08 / int. 206, 213, e-mail: [email protected], URL http://www.bcub.ro.

Index de notiuni

ınmultirea cu scalari, 8

a doua forma fundamentala a unei suprafete, 193

a treia forma fundamentala a unei suprafete, 193

abscisa curbilinie a unei curbe, 183, 184

acoperirea liniara a unei familii de vectori, 11

adunarea vectorilor, 8, 41

antideplasare, 130

aria unei suprafete, 194

asimptotele unei hiperbole, 144

asimptota a unei conice, 156

asociativitate, 6

automorfism, 7, 39, 49

axa netransversa a unei hiperbole, 144

axa principala a paraboloidului eliptic, 169

axa transversa

a parabolei, 145

a unei hiperbole, 144

axe de coordonate, 114

axele

de simetrie ale unei elipse, 142

de simetrie ale unei hiperbole, 144

elipsoidului, 166

axiomele

produsului scalar complex, 21

produsului scalar real, 22

axa de simetrie, 160

a parabolei, 145

baza

unui reper, 114

baza, 14

Jordan, 71

negativ orientata, 110

ortogonala, 27, 88

ortonormata, 27, 28, 105, 107

pozitiv orientata, 110

reciproca, 112

celula Jordan, 70

centru de simetrie al sferei, 175

centru de simetrie al unei conice, 148

centrul elipsoidului, 166

cerc

ecuatia redusa a unui ∼ , 143

imaginar, 149

osculator al unei curbe plane, 186

cilindru

circular, 171

eliptic, 171

hiperbolic, 171

parabolic, 171

combinatie liniara finita de vectori, 10

complement ortogonal al unui subspatiu, 27

complexificatul

unui endomorfism, 58

unui spatiu vectorial real, 32

componentele unui vector, 16

comutativitate, 6

con, 168

con asimptot, 168, 169

congruenta, 55

conica, 140

cu centru de simetrie, 148

degenerata, 149

nedegenerata, 149

tangenta la ∼ , 156

conica cu centru de simetrie, 151

contactul a doua curbe, 184

coordonate

cartezieine, 136

cilindrice, 136

euclidiene, 27, 106

polare, 134

sferice, 137

coordonatele carteziene ale unui punct, 113

coordonatele unui vector, 19

corp, 7

ınmultire ıntr-un ∼ , 7

adunare ıntr-un ∼ , 7

corp comutativ, 7

cosinusuri directoare ale unei drepte, 116

cuadrice cu centru, 175

205

206 Index de notiuni

cuadrica, 166, 173

cuadrica neteda, 179

curbe

unicursale, 184

curbe echivalente, 184

curbura

Gauss a unei suprafete, 193, 196

medie a unei suprafete, 193, 196

normala, 194, 195

totala a unei suprafete, 193, 196

unei curbe plane, 186

curburi principale ale unei suprafete, 194

curbura, 187

geodezica, 195

curba algebrica de ordinul al doilea, 140

curba de coordonate, 135, 136, 138

curba directoare a suprafetei riglate, 172

curba parametrizata, 183

curba periodica, 183

curba plana, 189

ın coordonate polare, 187

definita cartezian implicit, 184

parametrizata, 185

curba principala a unei suprafete, 194

curba regulata, 183, 184

camp, 7

campul de versori normali la o suprafata, 192

dedublare, 156, 157

dedublata ecuatiei unei conice, 157

dependenta liniara, 13

deplasare, 130

determinantul Gram, 38

determinantul unui endomorfism, 65

diametri conjugati, 160

diametrul conjugat, 158

difeomorfism, 183

diferenta, 6

diferenta dintre doi vectori liberi, 101

dimensiunea unui spatiu vectorial, 15

directia

normala comuna a doua drepte, 124

orientata a unei drepte, 116

unui vector liber, 99

distanta

de la un punct la un plan, 123

dintre doua drepte, 124

distanta focala

a parabolei, 145

a unei elipse, 142

a unei hiperbole, 144

distanta, 24

euclidiana, 25

dreapta

directoare a parabolei, 145

normala la o curba, 185

normala la o suprafata, 192

suport a unui segment orientat, 99

tangenta la o curba, 185

dreapta

orientata, 115

dreapta normala la un plan, 117

dreapta tangenta la cuadrica, 178

dreapta tangenta la o curba, 184

dreptele directoare

ale unei elipse, 142

ale unei hiperbole, 144

drum parametrizat, 185

dualul unui spatiu vectorial, 41

dublu produs vectorial a trei vectori liberi, 108

ecuatia axei parabolei, 161

ecuatia caracteristica a unei matrice, 62

ecuatia carteziana

a planului, 117

a unui plan, 119

generala a sferei, 163

generala a unui plan, 117

implicita a sferei, 163

ecuatia fasciculului redus de plane concurente, 121

ecuatia planului prin trei puncte date sub formade determinant, 118

ecuatia planului prin taieturi, 118

ecuatia polara

a asimptotei, 187

a elipsei, 143

a parabolei, 145

ecuatia redusa a unui cerc, 143

ecuatia unei conice prin cinci puncte date, 140

ecuatia vectoriala

a planului prin trei puncte date, 118

a unei drepte, 115

a unui plan, 117

ecuatie canonica a unei cuadrice, 166, 174

ecuatie redusa a unei cuadrice, 166, 174

ecuatii carteziene implicite ale unei curbe, 187

ecuatiile carteziene ale unei drepte, 115

ecuatiile lui Darboux, 195


ecuatiile parametrice

ale elipsei, 142

ale hiperbolei, 144

ale hiperboloidului cu doua panze, 169

ale hiperboloidului cu o panza, 168

ale paraboloidului eliptic, 170

ale paraboloidului hiperbolic, 170

ale sferei, 164

ale unei drepte, 115

ale unui plan, 119

rationale ale hiperboloidului cu doua panze,169

rationale ale hiperboloidului cu o panza, 168

rationale ale paraboloidului eliptic, 170

rationale ale paraboloidului hiperbolic, 171

rationale ale sferei, 164

ecuatiile perpendicularei comune a doua drepte,124

ecuatiile polare ale hiperbolei, 144

ecuatiile rotatiei, 132

ecuatiile roto-translatiei, 132, 134

ecuatiile translatiei, 131

element neutru, 6

element simetric, 6

elipsoid, 166

elipsa, 142

distanta focala a unei ∼ , 142

excentricitatea unei ∼ , 142

semiaxa mare a unei ∼ , 142

semiaxa mica a unei ∼ , 142

endomorfism, 7, 39

antihermitic, 51

antisimetric, 53

determinantul unui ∼ , 65

diagonalizabil, 65

hermitic, 51

jordanizabil, 70

nilpotent, 49

rangul unui ∼ , 48

simetric, 53

unitar, 51

urma unui ∼ , 65

endomorfismul Weingarten, 193, 194

epimorfism, 7

evoluta unei curbe plane, 186

excentricitatea

parabolei, 145

unei hiperbole, 144

excentricitatea unei elipse, 142

expresia analitica a unei forme biliniare, 84

expresia canonica

a produsului scalar, 106

a unei forme patratice, 88

exteriorul sferei, 164

extremitatea unui segment orientat, 99

familie de generatori, 17

familie de vectori

liniar dependenta, 13

liniar independenta, 13

matricea asociata unei ∼ , 18

familie liniar dependenta, 13

familie liniar independenta, 34

familie ortogonala, 28

fascicul de plane concurente, 121

axa unui ∼ , 121

fascicul de plane paralele, 121

fetele reperului Frenet, 189

focarele

unei elipse, 142

unei hiperbole, 144

focarul parabolei, 145

forma canonica

a unei conice, 146

a unui endomorfism, 65

Jordan, 69

Jordan a unui endomorfism, 70

forma normala a ecuatiei sferei, 164

formele fundamentale ale unei suprafete, 194, 196

formulele Frenet, 189

forma biliniara, 84

degenerata, 85

expresia analitica a unei ∼ , 84

matricea unei ∼ , 85

nedegenerata, 85

negativ definita, 95

negativ semidefinita, 95

nucleul unei ∼ , 86

pozitiv definita, 95

pozitiv semidefinita, 95

rangul unei ∼ , 85

simetrica, 84

forma biliniara antisimetrica, 84

forma liniara, 39, 41, 84

forma polara, 86

forma patratica, 86

afina, 140

expresie canonica a unei ∼ , 88


nedefinita, 95negativ definita, 95negativ semidefinita, 95pozitiv definita, 95pozitiv semidefinita, 95

functiede endomorfism, 78de matrice, 78impara, 13para, 13

geneliptic, 149hiperbolic, 149parabolic, 149

generatoare rectilinie a suprafetei riglate, 172generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o panza,

173geodezica a unei suprafete, 195gradientul unei functii, 185graficul unei curbe plane, 185grup, 6

abelian, 6aditiv, 6comutativ, 6element neutru al unui ∼ aditiv, 6multiplicativ, 6opusul ıntr-un ∼ , 6simetricul ıntr-un ∼ , 6unitate a unui ∼ multiplicativ, 6vectorul nul ıntr-un ∼ , 6

grupul translatiilor, 54

harta, 192Hessiana unei functii, 185hiperboloid

cu doua panze, 168cu o panza, 167

hiperbola, 143conjugata, 144echilatera, 144

hiperplan normal la o curba, 184

identitatealui Jacobi, 112vectoriala a lui Lagrange, 112

imaginea unei transformari liniare, 49

imaginea unei transformari liniare, 42imersie, 183

indicelenegativ de inertie al unei forme patratice, 96pozitiv de inertie al unei forme patratice, 95

inegalitateaCauchy-Schwartz, 22triunghiului, 23, 24

inegalitatea Cauchy-Schwartz, 21interiorul sferei, 164intersectia a doua plane, 120intersectia a doua subspatii vectoriale, 11invariantii

unei cuadrice, 174invariatii metrici ai conicei, 147invers, 6involutie, 49, 60izometrie

negativa, 55, 130pozitiva, 55, 130

izomorfism, 7, 20, 39, 47

linie asimptotica a unei suprafete, 194linie de curbura a unei suprafete, 194lungimea

unei curbe, 184unui segment orientat, 99unui vector liber, 99, 100

matriceantihermitica, 52asemenea, 48asociata unei familii de vectori, 18diagonalizabila, 65diagonalizatoare, 81Frobenius, 81hermitica, 52Jacobiana, 183modala, 81unitara, 52

matriceaadjuncta, 52asociata unei familii de vectori relativ la o

baza, 18asociata unei transformari liniare, 46de schimbare de baza, 19, 47exponentiala, 79Gram a unei familii de vectori, 105Jacobiana, 183unei forme biliniare, 85

metrica, 24modulul unui segment orientat, 99


monoid, 6monomorfism, 7morfism de grupuri, 7morfism de spatii vectoriale, 39muchiile reperului Frenet, 189multiplicitate

algebrica a unei valori proprii, 66geometrica a unei valori proprii, 66

multime ortonormata, 26marimea algebrica a proiectiei unui vector pe alt

vector, 26, 104

natura cuadricei, 174norma

euclidiana, 23unui segment orientat, 99unui vector liber, 100

normalala conica ıntr-un punct, 156la cuadrica ıntr-un punct, 179

normare, 29norma, 23nucleul

unei forme biliniare, 86unei transformari liniare, 42, 49

operator liniar, 39operatorul Weingarten, 193, 194opus, 6origine, 100originea

unui reper, 114unui segment orientat, 99

ortogonalizare, 28, 29

parabola, 145paraboloid

eliptic, 169hiperbolic, 170

parametri, 119esentiali, 140neesentiali, 117, 140

picioarele perpendicularei comune, 124plan orientat, 119plane de coordonate, 114plane principale

ale elipsoidului, 166ale paraboloidului eliptic, 169

planele de coordonate, 117planul

normal la o curba ın spatiu, 188

osculator, 189

tangent la cuadrica, 179

tangent la o suprafata, 192

pol, 157

polara, 157

polinoamele Legendre, 31, 38

polinom

caracteristic, 62

de endomorfisme, 76

de matrice, 76

prima forma fundamentala a unei suprafete, 193

procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt, 28, 29

produs scalar

complex, 21

hermitic, 21

real, 22

produsul

dintre un scalar si un vector liber, 101

mixt a trei vectori liberi, 109

vectorial a doi vectori liberi, 107

proiectia ortogonala a unui vector liber pe alt vec-tor, 104

proiectia ortogonala a unui vector liber pe un plan,104

proiectia unui vector pe alt vector, 26

proiectia unui vector pe un subspatiu vectorial, 28

proiectie, 49

punct asimptotic al unei curbe, 185

punct de inflexiune al unei curbe, 185

punct de ıntoarcere al unei curbe, 185

punct regulat

al unei curbe, 183, 184

al unei functii, 187

punct singular

al unei curbe, 183, 184

dublu al unei curbe, 185

izolat al unei curbe, 185

puncte critice ale unei functii, 187

puncte multiple ale unei curbe, 187

panza parametrizata, 192

rangul

unei forme biliniare, 85

unei transformari liniare, 43

unui endomorfism, 48

raza cilindrului circular, 171

regula

paralelogramului, 100, 101


poligonului, 101

triunghiului, 100

relatia

Beltrami-Enneper, 193

lui Euler, 194

relatie de dependenta liniara, 13

reparametrizare a unei curbe, 184

reparametrizare normala a unei curbe, 184

reper

baza unui ∼ , 114

cartezian, 113, 135–137

cilindric, 136, 137

originea unui ∼ , 114

ortonormat, 137

polar, 134, 135

reper canonic

al unei conice, 146

pentru o cuadrica, 174

reperul

Darboux al unei curbe pe suprafata, 195

Gauss al unei suprafete, 192

mobil Frenet, 188

reprezentant al unui vector liber, 99

reprezentarea reala a unui operator liniar, 58

reuniunea a doua plane, 120

rotatie de reper cartezian, 131

roto-translatie, 132

scalari, 8

segmente congruente, 99

segmente orientate

coliniare, 99

echipolente, 99

paralele, 99

segmentul orientat nul, 99

semiaxa

mare a unei elipse, 142

mare a unei hiperbole, 144

mica a unei elipse, 142

mica a unei hiperbole, 144

semiaxele

cilindrului eliptic, 171

cilindrului hiperbolic, 171

elipsoidului, 166

hiperboloidului, 168

hiperboloidului cu o panza, 167

sensul pozitiv pe o dreapta orientata, 115

sensul unui vector liber, 99

serie

de endomorfism, 78

de matrice, 78

sfera, 163

signatura unei forme patratice, 95

simbolul lui Kronecker, 26

simetric, 6

sistem de coordonate, 17

sistem de coordonate cartezian, 114

sistem de generatori, 17

spatiu

euclidian

complex, 21

real, 22

Hilbert, 24

metric, 24

prehilbertian, 24

vectorial, 8

n-dimensional, 15

complex, 8

dimensiunea unui ∼ , 15

euclidian complex, 21

euclidian real, 22

finit dimensional, 14

infinit dimensional, 14

real, 8

spectrul unui endomorfism, 61

structura

complexa, 49

produs, 49

tangenta, 49

subgrup, 7

subgrupuri improprii, 7

submersie, 183

submultime

ortogonala, 25

ortonormata, 25

subnormala polara, 187

subspatii, 120

subspatii improprii, 10

subspatii vectoriale

intersectia a doua ∼ , 11

suma a doua ∼ , 11

suma directa de ∼ , 13

suplementare, 13

subspatiu propriu, 10, 61

subspatiu vectorial

complementul ortogonal al unui ∼ , 27

generat de o familie de vectori, 11

proiectia unui vector pe un ∼ , 28


subtangenta polara, 187suma

a doi vectori liberi, 100a doua subspatii vectoriale, 11

suprafata, 192algebrica de ordinul al doilea, 173de coordonate, 138dublu riglata, 172riglata, 172simpla, 192

tangenta la conica, 156tensor covariant de ordinul doi, 84teorema

ınlocuirii, 17Cayley-Hamilton, 79completarii, 17dimensiunii, 43, 45Grassmann, 18Pitagora, 28, 39Steinitz, 17

torsiune geodezica, 195transformare

hermitica, 60injectiva, 42liniara, 20, 39ortogonala, 53, 60, 130simetrica, 60

transformareaadjuncta, 51coordonatelor unui vector, 19

translatie, 54translatie de reper cartezian, 130trecerea ın real a unui spatiu vectorial complex,

15taieturi, 118

unghi, 24unghiul

diedru a doua plane concurente, 122format de doi vectori liberi nenuli, 104

unghiuri directoare ale unei drepte, 116unitate, 6urma

unei matrice patratice, 23unui endomorfism, 65

valoare proprie, 61vector

coordonatele unui ∼ , 19

director, 120director al unei drepte, 115izotrop, 88normal la un plan, 117principal, 70propriu, 61unitate, 100versorul asociat unui ∼ nenul, 24

vector liber, 99directia unui ∼ , 99lungimea unui ∼ , 99reprezentant al unui ∼ , 99sensul unui ∼ , 99

vectori, 8liniar dependenti, 13liniar independenti, 13

vectori libericoliniari, 100, 102coplanari, 100, 102diferenta dintre doi ∼ , 101dublu produs vectorial a trei ∼ , 108egali, 100opusi, 100ortogonali, 104produsul mixt a trei ∼ , 109produsul vectorial a doi ∼ , 107suma a doi ∼ , 100

vectori ortogonali, 25vectorul de pozitie

al unui punct, 100, 113vectorul nul, 6, 100versor, 24, 100

director, 116versorii principali ai unei suprafete, 194versorul

asociat unui vector liber nenul, 102asociat unui vector nenul, 24normalei geodezice, 195

varfulparabolei, 145, 161paraboloidului eliptic, 169unui segment orientat, 99

varfurileconicei, 160unei elipse, 142unei hiperbole, 144

wronskian, 34

algebr a liniar a, geometrie analitic a, ˘si elemente de ... · liniar a, geometrie analitic a...

Documents