lectia vi - math.uaic.rooanacon/depozit/cursvi_structuradespatiuafin.pdf · vse numeste spatiul...

Structura de spatiu a�n E3

Subspatii a�ne

Lectia VI

Structura de spatiu a�n E 3. Dreapta si planul casubspatii a�ne

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Lectia VI


Subspatii a�ne

Table of Contents

1 Structura de spatiu a�n E 3

2 Subspatii a�ne



Subspatii a�ne

Structura de spatiu a�n E 3

In cursurile anterioare s-a demonstrat ca multimea V a vectorilor

liberi, impreuna cu operatiile de adunare a vectorilor liberi si de

inmultire a acestora cu scalari, are o structura de spatiu liniar real.

In continuare, vrem sa punem in evidenta o legatura subtila intre

multimea punctelor spatiului si spatiul liniar al vectorilor liberi.

Sa consideram functia

Φ : S × S → V,

Φ(A,B) =−→AB.



Din proprietatile vectorilor liberi observam ca aceasta veri�ca:

1 ∀A ∈ S, ΦA : S → V, ΦA(B) =−→AB este o bijectie;

2 Φ(A,B) + Φ(B,C ) = Φ(A,C ), ∀A,B,C ∈ S; (rescrierearelatiei lui Chasles)

3 ∀A ∈ S si ∀u ∈ V, ∃!B ∈ S a.i .ΦA(B) = u.

Observatie: Φ−1

A(u) este punctul B unic determinat de conditia

−→AB = u.


De�nition

Spunem ca E 3 = (S,V,Φ) este un spatiu a�n real. Observam ca el

este format din multimea nevida S a punctelor din spatiu, din

spatiul liniar real V al vectorilor liberi si dintr-o aplicatie care

realizeaza o legatura stransa (o a�nitate) intre cele doua multimi.

V se numeste spatiul vectorial director al spatiului a�n E 3.Deoarece V este un spatiu liniar euclidian (inzestrat cu produs

scalar), spunem ca spatiul a�n E 3 este spatiu a�n real euclidian.

Dimensiunea spatiului a�n este, prin de�nitie, dimensiunea spatiului

sau liniar director.


Vom vedea in continuare cum aceasta functie Φ permite inducerea

unei structuri de spatiu liniar pe S, structura ce depinde insa de

�xarea unui punct in S.Intr-adevar, �xand P ∈ S arbitrar, putem de�ni

A + B = C , unde C e unic determinat de−→PA +

−→PB =

−→PC ,

αA = D, unde D e unic determinat de α−→PA =

−→PD,


Folosind functia Φ de�nitiile anterioare se rescriu:

A + B = Φ−1

P(−→PA +

−→PB), ∀A,B ∈ S,

αA = Φ−1

P(α−→PA), ∀α ∈ R, ∀A ∈ S.


Theorem

Multimea S, impreuna cu operatiile de adunare a punctelor si de

inmultire a punctelor cu scalari reali este un spatiu liniar real, ce

depinde de punctul �xat P . (Deci aceasta structura de spatiu

vectorial nu este canonica.) El se numeste vectorializatul lui S in P

(sau spatiul liniar tangent in P la S) si se noteaza cu TPS.

Astfel ΦP : TPS → V devine un izomor�sm de spatii liniare.


De�nition

Dat spatiul a�n real (S,V,Φ), �e legea de compozitie

+ : S × V → S,

A + u = B ⇔ u =−→AB, ∀A ∈ S, u ∈ V

O vom numi adunarea punctelor cu vectori si o vom nota simplu

prin �+� fara a exista pericolul de confuzie cu adunarea vectorilor, a

punctelor ori a numerelor reale.

Deci

A +−→AB = B,

−−−−−−→A(A + u) = u si A + u = Φ−1

A(u).


Theorem

Operatia de adunare a punctelor cu vectori veri�ca proprietatile

urmatoare:

1) A + (u + v) = (A + u) + v , ∀A ∈ S, u, v ∈ V;2) A + 0 = A ∀A ∈ S;3) ∀A,B ∈ S ∃!v ∈ V a.i . B = A + v .


De�nition

Se numeste combinatie a�na de puncte o expresie de tipul

α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn, cu

n∑i=1

αi = 1.

Conditia∑

n

i=1αi = 1 este esentiala pentru ca expresia

α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn sa nu depinda de spatiul liniar TPS in

care s-a de�nit.

Intr-adevar, �e P,Q ∈ S �xate arbitrar. Atunci

α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn = P + (α1−−→PA1 + α2

−−→PA2 + · · ·αn

−−→PAn)

= Q +−→QP + [α1(

−→PQ +

−−→QA1) + · · ·+ αn(

−→PQ +

−−→QAn)]

= Q +−→QP + (

∑n

i=1αi )−→PQ + +(α1

−−→QA1 + · · ·αn

−−→QAn)

= Q + (α1−−→QA1 + α2

−−→QA2 + · · ·αn

−−−→PQAn).


Subspatii a�ne

Subspatii a�ne

De�nition

O submultime nevida X ⊂ S se numeste subspatiu a�n al lui E 3

daca exista un subspatiu liniar−→X al lui V astfel incat

(X ,−→X ,Φ/X×X ) este un spatiu a�n.


Subspatii a�ne

Example

Fie d o dreapta arbitrara. Consideram−→d dreapta vectoriala

asociata lui d. Stim ca−→d este un subspatiu liniar al lui V. Cand

restrictionam functia Φ la multimea punctelor dreptei d ,

Φ : d × d →−→d , proprietatile ei din de�nitia spatiului a�n se

pastreaza. Astfel, (d ,−→d ,Φ/d×d ) este un subspatiu a�n al lui E 3,

pe care il vom nota simplu cu d si il vom numi dreapta a�na.

Spatiul liniar−→d se numeste spatiul liniar director al dreptei d .

Example

Analog, dat un plan π, tripletul (π,−→π ,Φ/π×π) este un subspatiu

a�n al lui E 3, notat prin π si numit plan a�n. (−→π este planul

vectorial asociat lui π si se numeste spatiul liniar director al planului

π.)

Dreapta a�na

Fie o dreapta d , A un punct oarecare al ei si a ∈−→d un vector

arbitrar, nenul, ce da directia dreptei (numit vector director al

dreptei).

Pentru orice alt punct P ∈ S, P ∈ d ⇔−→AP ∈

−→d . Dar

P = A +−→AP. Deci P apartine dreptei d daca si numai daca se

poate scrie ca suma dintre un punct �xat al dreptei si un vector

director al acesteia.

Dreapta a�na

Am demonstrat astfel ca

d = A +−→d = A + [a],

unde [a] este subspatiul liniar generat de vectorul director a ∈−→d si

am notat cu A +−→d = {A + u/u ∈

−→d }.

Planul a�n

Fie un plan π, A ∈ π arbitrar �xat si a, b ∈ −→π doi vectori

necoliniari. Deci a, b formeaza o baza in −→π , spatiul liniar director

al planului: −→π = [a, b].Orice alt punct P ∈ S apartine planului π daca si numai daca

P = A +−→AP ∈ A +−→π .

Deci

π = A +−→π = A + [a, b].


Subspatii a�ne

Repere a�ne

De�nition

Punctele Ai ∈ S, i ∈ 1, 4 se numesc a�n independente daca vectorii

liberi−−−→A1A2,

−−−→A1A3,

−−−→A1A4 sunt liniar independenti.

Evident, numarul maxim de puncte a�n independente este 4

deoarece dimV = 3.Se poate veri�ca faptul ca de�nitia de mai sus nu depinde de

alegerea lui A1.

De�nition

Se numeste reper a�n in E 3 o multime formata din patru puncte

a�n independente.


Repere a�ne

Evident, oricarui reper a�n Ra = {A,B,C ,D} i se poate asocia

reperul cartezian Rc = {A;−→AB,−→AC ,−→AD}.

Reciproc, dat reperul cartezian Rc = {O; u, v ,w}, se considera

punctele A,B,C cu proprietatea ca u =−→OA, v =

−→OB, w =

−→OC .

Atunci Ra = {O,A,B,C} este un reper a�n.

De aceea vom prefera sa lucram in continuare cu repere carteziene.

In cursurile viitoare vom determina toate tipurile de ecuatii ale

dreptei si planului in spatiu in raport cu un reper cartezian �xat.

lectia vi - math.uaic.rooanacon/depozit/cursvi_structuradespatiuafin.pdf · vse numeste spatiul...

Documents