1

Universitatea Tehnică “Ghe. Asachi” Iaşi Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii Catedra de Electronică Aplicată Curs: Sisteme Fuzzy şi Reţele Neuronale

CURSURILE NR.1,2 (SF)

SISTEME FUZZY. NOTIUNI GENERALE

Teoria sistemelor fuzzy s-a dezvoltat o dată cu introducerea teoriei nuanţate de

către Grigore Moisil [Moisil, 1966] şi Lofti Zadeh [Zadeh, 1965], începând cu deceniul al VII-

lea al acestui secol. Sistemele fuzzy reprezintă o alternativă naturală pentru modelarea

proceselor complexe printr-o reprezentare lingvistică faţă de o reprezentare matematică

clasică (deterministă).

Teoria mulţimilor şi a sistemelor fuzzy a permis o nouă abordare în multe probleme

ştiinţifice si tehnice, legate în special de inteligenţă artificială, permiţându-se o înţelegere

dintr-o perspectiva mai largă a proceselor de cunoaştere umană.

Teoria mulţimilor fuzzy împreună cu logica fuzzy formalizează un mod de gândire în

care noţiunile cu care se operează conţin o anume nedeterminare şi în care propoziţiile şi

raţionamentele au un anumit grad de imprecizie, putând fi nici perfect adevarate, nici cu

totul false, comparativ cu logica deterministă, uzuală (de tip crisp). Această teorie încearcă

să modeleze mai aproape de realitate indeterminismul gândirii aproximative, intuitiv umane

[Negoiţă, 1975].

Subordonarea teoriei probabilitaţii (de exemplu) este evidentă în cazul în care

realizarea unei statistici este imposibilă practic sau principial de realizat. Multe evenimente

reale sunt unice, irepetabile sau din motive practice nu pot fi repetate. În acest caz este mai

corect să se vorbească de posibilitatea de realizare a respectivului eveniment, ori de

încrederea noastră ca evenimentul să se producă, decât de probabilitatea de realizare ce

reprezintă o extrapolare de la o populaţie de evenimente ce se consideră că au aceleaşi

condiţii.

Se propune o analiză selectivă a aspectelor dinamice a două mari clase de sisteme

fuzzy – sistemele fuzzy de tip Mamdani şi sistemele fuzzy de tip Sugeno, precum şi a

2

posibilităţilor de aplicare a acestora în ingineria biomedicală. Punerea în evidenţă a

fenomenelor de auto-organizare la nivelul reţelelor de sisteme fuzzy deschide direcţia

aplicaţiilor de modelare a sistemelor biologice a căror principală caracteristică este tocmai

adaptarea şi auto-organizarea. Aplicaţiile sistemelor fuzzy în ingineria biomedicală sunt

concretizate prin realizarea de modele fuzzy de tip predictiv pentru generarea unor clase de

semnale biologice şi prin realizarea de filtre cu sisteme fuzzy cu caracteristici performante.

1. MULŢIMI FUZZY

Raţionamentele clasice operează cu mărimi precis determinate (de exemplu în

limbajul ştiintific - numere), iar rezultatul operatiilor sunt propoziţii ale căror valori de adevăr

pot fi doar "adevărat" sau "fals".

Modul de gândire uman este nuanţat, inferenţele (rezultatele) realizându-se pe

baza unor mărimi cunoscute doar aproximativ, sau care au un sens vag, imprecis.

Deşi la prima vedere acest mod de inferenţă cu mărimi vagi, imprecise ar trebui să

determine o imprecizie mare în rezultate, s-a constatat că, de cele mai multe ori este mai

eficient decât modul clasic (determinist) de inferenţă, în special în aplicaţiile de

complexitate ridicată.

Reprezentarea mărimilor fuzzy ca mulţimi fuzzy

O mărime fizică oarecare ce poate fi descrisă calitativ prin noţiuni vagi cum ar fi mic,

mediu, mare etc., se numeşte variabilã lingvistică în teoria mulţimilor fuzzy. Atributele

utilizate pentru descrierea unei variabile lingvistice se numesc valori (grade) lingvistice. De

exemplu mic, mediu, mare sunt grade lingvistice pentru variabila lingvistică temperatura

unei camere. O mãrime fizică măsurabilă, cu valori într-un interval real cunoscut, se poate

transforma într-o variabilă lingvistică prin definirea unor submulţimi fuzzy care să joace rolul

valorilor lingvistice.

Între mărimile de tip lingvistic şi mărimi de aceeaşi natură fizică dar deterministe se

stabileşte o corespondenţă prin intermediul unei funcţii specifice. Corespondenţa este

realizată în sensul că unui grad lingvistic (de exemplu înalt) i se asociază un interval dat de

valori. Mărimea fuzzy determinată de gradul lingvistic “mare” poate lua orice valoare din

3

intervalul specificat cu observaţia că unele dintre valori sunt "mai justificate" decât celelalte

sau au un grad de adevăr mai mare [Negoiţă, 1987].

Justificarea "mai mare", sau "mai mică" a unor seturi de valori din intervalul

specificat poate fi de orice natură, uzual bazându-se pe experienţa celui care asociază

gradul de justificare.

În aceeasi idee se convine ca justificării maxime a valorii mărimii fuzzy să i se

ataşeze valoarea 1. În acest caz, oricarui grad de justificare i se ataşează un număr în

intervalul [0; 1].

Realizăm astfel asocierea următoare:

]1,0[:)(;)( AxAxx (1)

unde A reprezintă mulţimea valorilor:

- posibile: μ(x) > 0,

- nejustificate: μ(x) = 0.

Gradul nostru de justificare, de a ne gândi la o anumită valoare numerică “x” a

gradului lingvistic, variază cu “x” după o anumită “alură”, care poate fi exprimată printr-o

funcţie specifică.

Imprecizia din limbajul nostru este modelată de gradul de adevăr pe care îl

stabileşte funcţia ce caracterizează “alura” corespondenţei mărimii fuzzy cu valorile

deterministe. Acest tip de funcţie poartă denumirea de funcţie de apartenenţă.

Evident, funcţia μ(x) generalizează funcţia caracteristică a unei mulţimi clasice, în

acest sens mulţimea fuzzy extinzând sensul clasic de mulţime deterministă. Reuniunea

intervalelor funcţiilor de apartenenţă ataşate gradelor lingvistice ale unei aceleaşi variabile

lingvistice determină universul de discurs caracteristic.

Referitor la funcţiile de apartenenţă acestea sunt de mai multe tipuri, utilizatorul

având libertatea de alegere funcţie de aplicaţia dată. Forma funcţiei de apartenenţă cel mai

des utilizată este cea triunghiulară, dar întâlnim în practică şi alte tipuri (trapezoidal,

sigmoidal, gaussian, "mai mare", etc..)

4

Operaţii cu mulţimi fuzzy

Atât operaţiile cu mulţimi fuzzy, cât şi raţionamentele în care intervin mărimi fuzzy

se pot reprezenta prin operaţii corespunzatoare mulţimilor fuzzy, respectiv cu funcţiile lor de

apartenenţă. Această afirmaţie este justificată de reprezentarea mărimilor fuzzy prin mulţimi

fuzzy. Se sistematizează aceste operaţii, exprimate prin intermediul funcţiilor de

apartenenţă.

Se extind în primul rând operaţiile şi relaţiile cunoscute în cadrul teoriei mulţimilor

uzuale. Se notează cu U mulţimea totală, deterministă, precizată anterior şi sub denumirea

de univers de discurs, la care se raportează toate mulţimile fuzzy considerate.

Exemplificăm operaţia de reuniune a două mulţimi fuzzy A şi B, care este o mulţime fuzzy

notată A B, definită prin:

μA B(x) = max ( μA(x) ; μB(x) ), x U

pentru cazul operaţiilor fuzzy obţinute prin extrapolarea celor clasice şi operaţia de sumă

algebrică, notată A + B, definită prin:

μA+B(x) = μA(x) + μB(x) -μA(x) * μB(x), x U

pentru cazul operaţiilor strict caracteristice operaţiilor cu mulţimi fuzzy.

Un set extins al operaţiilor cu mulţimi fuzzy este descris în [Teodorescu, 1991-1].

Implicaţie şi inferenţă fuzzy

Există un număr mare de definiţii ale implicaţiei fuzzy, fiecare în parte fiind utilă în

aplicaţii specifice.

Considerăm implicaţia definită în modul următor:

0

,,

xx

micesteyAtuncimareestexDaca (2)

5

Considerăm gradul lingvistic "mare" al variabilei lingvistice x cu funcţia de

apartenenţă μA(u) : A → [0,1], iar gradul lingvistic "mic" având funcţia de apartenenţă μB(v) :

B → [0,1]. Concluzia rezultată din cele două antecedente enunţate este:

y este mic cu μy(v) = μmare -> mic(xo;v)

In acest caz x = xo va corespunde unei valori de adevăr μA(u = xo) a premizei "x

este mare", iar gradul de adevăr al concluziei "y este mic" va fi o funcţie de μA(u = xo) şi

μB(v).

Definirea implicaţiei revine la precizarea următoarei funcţii:

f : [0,1] x [0,1] → [0,1]; μA -> B(u = xo,v) = f(μA(u = xo); μB(v)),

Folosind implicaţie in sensul lui Mamdani relaţia de definiţie este:

μA -> B(u = xo,v) = μA(u = xo) μB(v) ,

unde operatorul " " este folosit în sens de minim. Obţinem:

μA -> B(u = xo,v) = min (xo ; μB(v))

Folosind implicaţie în sens Boolean relaţia de definiţie este următoarea:

μA -> B(u,v) = (1 - μA(u = xo)) μB(v) = μ A(u = xo) μB(v)

unde operatorul " " este utilizat în sens de maxim. În cazul acestui tip de implicaţie

obţinem:

μA -> B(u = xo,v) = max (1 - xo; μB(v))

Se observa diferenţa rezultatului implicaţiei fuzzy funcţie de tipul de implicaţie folosit

ceea ce explică adoptarea unui anume tip de implicaţie funcţie de aplicaţie.

Cazul uzual de inferenţă fuzzy este cel în care intervin mai multe implicaţii, numite

reguli elementare, legate între ele prin conectivul De Asemenea.

6

Sensul acestui conectiv se defineşte pentru fiecare aplicaţie în parte. Nu putem

vorbi de un criteriu global de alegere al conectivului, alegerea sa justificându-se numai

experimental, prin utilitatea sa în aplicaţia respectivă.

Facem observaţia că o alegere a unui anume conectiv defineşte automat si o

anume logică fuzzy, ceea ce implică căutarea unui conectiv optim pentru fiecare aplicaţie în

parte.

Considerăm cazul unei inferenţe cu două reguli elementare:

22

11

,:2

,,:1

CesteyAtunciAestexDacaR

asemeneaDe

CesteyAtunciAestexDacaR

(3)

Notam cu X, respectiv Y universul de discurs pentru variabilele x, respectiv y.

Funcţiile de apartenenţă corespunzătoare sunt:

μ1(x) : A1 → [0,1]; μ2(x) : A2 → [0,1]; μ3(y) : C1 → [0,1]; μ4(y) : C2 → [0,1]

Gradul de adevăr al regulilor R1, R2 sunt date respectiv de relaţiile următoare:

ψ1(x,y): X x Y → [0,1]; ψ2(x,y): X x Y → [0,1];

Notăm prin " " operaţia definită de conectivul “De asemenea”, iar rezultatul

inferenţei este caracterizat de funcţia de apartenenţă μr(x,y) dată de:

μr(x,y) = ψ1(x,y) ψ2(x,y)

care ne precizează gradul de adevăr al rezultatului.

Definiţiile uzuale ale operatorului " " sunt:

- intersecţie: μr(x,y) = (ψ1 ψ2)(x,y) = MIN (ψ1(x,y) ; ψ2(x,y))

- reuniune: μr(x,y) = (ψ1 ψ2)(x,y) = MAX (ψ1(x,y) ; ψ2(x,y))

- produs algebric: μr(x,y) = ψ1(x,y) * ψ2(x,y)

7

- sumă algebrică: μr(x,y) = ψ1(x,y) + ψ2(x,y) - ψ1(x,y) * ψ2(x,y)

- produs legat: μr(x,y) = MAX (0 ; ψ1(x,y) + ψ2(x,y) - 1)

- sumă legată: μr(x,y) = MIN (1 ; ψ1(x,y) + ψ2(x,y))

Rezultatul inferenţei diferă funcţie de tipul conectivului ales.

2. SISTEME FUZZY

Un sistem fuzzy logic cu o intrare şi o ieşire - SISO (single input / single output) este

un triplet (I, R, O) în care:

- I reprezintă clasa mulţimilor fuzzy corespunzătoare intrării (caracterizate de

asemenea de etichete lingvistice);

- O reprezintă clasa mulţimilor fuzzy corespunzătoare ieşirii (caracterizate şi

de etichete lingvistice);

- R reprezintă mulţimea regulilor fuzzy care descriu în termeni lingvistici

dependenţele intrare - ieşire.

Regulile fuzzy au la bază o implicaţie fuzzy, de tipul Dacă-Atunci (IF-THEN), legate

între ele prin conectivul De asemenea:

Rk: Dacă intrarea x este Ii, Atunci ieşirea y este Oj i {1..N}, j {1…M}, k {1…L} (4)

unde N reprezintă numărul mulţimilor fuzzy (etichetelor lingvistice) corespunzătoare intrării,

M corespunde numărului mulţimilor fuzzy a ieşirii iar L este numărul de reguli fuzzy. Se

precizează că intrări diferite (grade lingvistice), pot corespunde la aceaşi ieşire (grad

lingvistic). Această definiţie poate fi uşor extinsă şi pentru sisteme fuzzy cu intrări şi ieşiri

multiple.

Pentru a face utilă în aplicaţii o astfel de reprezentare se impune corelarea gradelor

lingvistice cu numere sau mulţimi de numere, astfel noţiunea de mulţime fuzzy

reprezentând o generalizare a conceptului clasic de mulţime.

Un sistem fuzzy este complet determinat când cunoaştem tabelul de reguli care îl

descrie, semnificaţia valorilor lingvistice pentru variabilele care intervin în tabel (mai exact

8

funcţiile de apartenenţă ataşate respectiv gradelor lingvistice), tipul de implicaţie fuzzy

folosit precum şi valoarea particulară a conectivului De Asemenea folosit pentru

compunerea regulilor.

Sistemul fuzzy, privit ca sistem ce lucrează cu variabile lingvistice nu este

compatibil cu sistemele deterministe, fiind imposibil să primească mărimi de intrare uzuale

(deterministe) şi în acelaşi timp să genereze semnale deterministe, necesare conectării

sistemului fuzzy cu alte sisteme obişnuite.

Interfaţarea sistemului fuzzy cu variabilele deterministe se relizează prin

"fuzzificare" pentru variabilele de intrare şi prin "defuzzificare" pentru variabilele de ieşire.

Fuzzificarea unei mărimi deterministe reprezintă atribuirea valorilor funcţiilor de apartenenţă

ale mărimii respective la unul sau mai multe grade lingvistice. Defuzzificarea reprezintă

atribuirea (în mod convenţional) unei valori deterministe mulţimii fuzzy rezultată în urma

operaţiilor fuzzy. Ca observaţie, nu se poate defini o aplicaţie bijectivă între clasele de

mulţimi fuzzy şi clase de numere reale. Un sistem fuzzy, asemanător unui sistem

determinist este descris de mărimi de intrare în sistem, de mărimi de ieşire, precum şi de

dependenţele existente între aceste mărimi.

Caracteristic unui sistem fuzzy este faptul că mărimile de intrare şi de ieşire sunt

variabile de tip lingvistic iar dependenţa intrare - ieşire este descrisă de un set de reguli -

corespondentul funcţiei de transfer a sistemelor deterministe.

Sisteme fuzzy Mamdani

Considerând un sistem fuzzy cu două variabile de intrare x1 şi x2 şi cu variabila de

ieşire y (variabile de tip lingvistic) setul de reguli ce caracterizează sistemul fiind de forma:

jpik CesteyAtunciBestexsiAestexDacaR

asemeneaDe

CesteyAtunciBestexsiAestexDacaR

asemeneaDe

CesteyAtunciBestexsiAestexDacaR

,21:

,21:

,21:

2222

1111

(5)

în care simbolurile au următoarea semnificaţie:

9

- Ai, i = 1…N sunt gradele lingvistivtice ale intrării “x1”;

- Bp, p = 1…P sunt gradele lingvistivtice ale intrării “x2”;

- Cj, j = 1…M sunt gradele lingvistivtice ale ieşirii “y”;

- Rk, k = 1…L sunt regulile lingvistice.

Conectivul “De asemenea” folosit are sens general, valoarea lui concretă fiind

stabilită funcţie de aplicaţie. Uzual setul de reguli caracteristice unui sistem fuzzy se

exprimă sub forma unui tabel de reguli.

Dacă intrarea “x1” a sistemului este caracterizată de N valori lingvistice, iar intrarea

x2 este caracterizată de P valori lingvistice, sistemul poate avea N x P reguli, de forma din

relaţiei (5). Valorilor lingvistice Ai, Bp, Cj ale intrărilor şi ieşirii le corespund funcţii de

apartenenţă notate cu μAi, μBp şi respectiv μCj.

Într-o implementare clasică a unui sistem logic fuzzy cu reguli de forma (5) se

efectuează următoarele operaţii:

- calcularea gradului de adevăr al afirmaţiilor (x1 este Ai), (x2 este Bp), proces

denumit fuzzificarea intrărilor x1, x2, şi care constă în calcularea valorilor funcţiilor de

apartenenţã ale valorilor lingvistice Ai, respectiv Bp, pentru oricare două valori de intrare x1,

respectiv x2; pentru fiecare regulă se obţin valorile funcţiilor de apartenenţă μAi(x1) şi

respectiv, μBp(x2).

- calcularea gradului de adevăr al condiţiei regulii, adică a gradului de adevăr tr al

premizei regulii, cu relaţia:

))2(),1(( xBp

xAi

MINr

t (6)

unde MIN denotă funcţia de minim dintre numerele μAi(x1) μBp(x2)..

- calcularea implicaţiei regulilor care constă în determinarea, pentru fiecare regulă,

a unui set fuzzy descris de funcţia de apartenenţă:

rty

rty

rty

CkMINy

r)());(),(()( (7)

- cuplarea tuturor regulilor sistemului fuzzy, care constă în calcularea unei mulţimi

fuzzy de ieşire cu funcţia de apartenenţă:

10

))(()( yr

r

MAXyY

(8)

unde operaţia de maximum, notată prin MAX, se realizează după indexul r al regulilor.

- calcularea ieşirii y ca fiind centrul de greutate al poligonului descris de funcţia de

apartenenţã a ieşirii μY(y).

Operaţia de calculare a valorii crisp a ieşirii, din funcţia de apartenenţă a setului

fuzzy de la ieşire, se numeşte defuzzificare. Referitor la operaţia de defuzzificare, aceasta

este mai puţin naturală decât operaţia de fuzzificare, în acest caz (al defuzzificării)

modalitatea de ataşare a unei valori deterministe pentru un rezultat de tip fuzzy este

convenţională. Existînd câteva metode aşa-zise clasice de defuzzificare, alegerea uneia

sau a alteia în aplicaţii se bazează strinct pe criterii empirice, ţânând de aprecierea

rezultatelor obţinute în fiecare aplicaţie dată, în acelaşi timp posibilitatea implementării unor

noi metode de defuzzificare rămânând deschisă. Prezentăm câteva dintre metodele mai

des utilizate:

- metoda centrului de greutate;

- metoda mediei maximelor;

- metoda punctului mediu;

- metoda înălţimii;

- metoda ariei maxime.

Cea mai utilizată metodă de defuzzificare este aceea a centrului de greutate care

generează ca valoare crisp centrul de greutate a suprafeţei funcţiei de apartenenţă a ieşirii,

rezultată în urma operaţiunilor fuzzy, relaţia de calcul a centrului de greutate (în variantă

discretă) fiind:

)(

)(

y

yy

y (9)

în care μ(y) reprezintă valoarea funcţiei de apartenţă corepsunzătoare unei valori y.

11

Pentru cazul sistemelor fuzzy care utilizează funcţii de apartenenţă triunghiulare şi

centru de greutate ca metodă de defuzzificare, funcţia caracteristică a sistemului este

descrisă pe intervale de funcţii raţionale [Teodorescu, 1990] între un polinom de grad trei

P(y) şi un polinom de grad doi Q(y):

)(

)(

yQ

yPy (10)

Acest tip de sistem fuzzy, numit şi sistem fuzzy de tip Mamdani, este utilizat pe larg în

aceasta teză.

Schematic operaţiile unui sistem fuzzy pot fi reprezentate ca în Figura 1.

Figura 1. Reprezentarea operaţiilor unui sistem fuzzy

Există numeroase posibilităţi de implementare a regulilor unui sistem fuzzy

carcaterizate din o relaţie de tipul cei descrise de ecuaţia (5). O tratare generală a relaţiilor

(6) - (10) se poate face prin intermediul normelor triunghiulare t-norme şi co-normelor s-

norme [Negoiţă, 1987].

Sisteme fuzzy Sugeno

Ca alternativă la sistemele fuzzy de tip Mamdani sunt utilizate în această teză şi

sisteme fuzzy de tip Sugeno. Acest tip de sistem fuzzy (Sugeno) este caracterizat de reguli

care prezintă valori deterministe (numere) în partea de ieşire, în locul variabilelor fuzzy

(gradelor lingvistice) utilizate în consecventul regulilor care caracterizează un sistem de tip

Mamdani. Un sistem fuzzy de tip Sugeno este caracterizat după cum urmează:

Rk: Dacă x1 esteAki1, x2 este Ak

i2, xN este AkiN , Atunci yk = fk(x1, x2,…,xN)

12

i1 {1..N1}, i2 {1..N2},…, iN {1..NN}, k {1…L}

reductibilă în cazul unui dependeţe funcţionale polinomială la expresia următoare:

Rk: Dacă x1 esteAki1, x2 este Ak

i2 ,…., xN este AkiN , .

Atunci yk = ak0 + ak

1 * x1 + …+ akN * xN) (11)

i1 {1..N1}, i2 {1..N2},…, iN {1..NN}, k {1…L} .

în care x1, x2, …, xN sunt intrările, Akij sunt gradele lingvistice cu funcţiile de apartentenţă

ataşate respectiv fiecarei intrări, iar yk reprezintă ieşirea pentru fiecare regulă “k” în parte.

Considerând intrarea (x1, x2, …, xN) ieşirea unui sistem fuzzy de tip Sugeno se calculează

cu următoarea relaţie:

L

k

k

L

k

kk

w

yw

y

1

1 (12)

unde yk reprezintă ieşirea calculată utilizând dependenţa funcţională a consecventului

regulei “k”. Valoarea wk reprezintă gradul de încredere al premisei regulei “k” pentru

intrarea dată, calculat cu expresia:

N

i

iAk xw kij

1

)( (13)

unde operatorul " " poate fi folosit în sens de minim sau în sens de produs.

Considerând cazul cel mai simplu al unui sistem fuzzy Sugeno, cu 1 intrare – 1 ieşire,

regulile sistemului Sugeno se reduc la expresia:

Rk: Daca x este Ak, Atunci y = k : k = 1. ..L, k R (14)

iar ieşirea se calculează cu relaţia:

13

L

k

k

L

k

kk

w

w

y

1

1 (15)

unde gradul de încredere wk este calculat ca valoarea fuzzificată a intrării x: wk = μAk(x).

Sinteza unui sistem fuzzy Sugeno se face prin definirea funcţiilor de apartenenţă a

valorilor lingvistice ale intrărilor şi a coeficienţilor consecventului regulilor.

Acest tip de sistem fuzzy prezintă avantajul unui calcul mai simplu şi mai rapid al

ieşirii, precum şi eliminarea operaţiei de defuzzificare în sensul descris pentru metoda

centrului de greutate, de exemplu. Sistemele fuzzy de tip Sugeno sunt utilizate în această

teză în studiul reţelelelor de sisteme fuzzy cu topologie complexă, ca urmare a reducerii

timpului de calcul necesar unei defuzzificări prin metoda centrului de greutate şi pentru

studiul sistemelor fuzzy adaptive. Din punct de vedere al teoriei sistemelor neliniare

diferenţele între sistemele fuzzy de tip Mandani şi sistemele fuzzy de tip Sugeno sunt

nesemnificative, ambele tipuri de sisteme având funcţii caracteristice exprimabile prin funcţii

raţionale pe porţiuni (pentru cazul utilizării de funcţii de apartenenţă de tip triunghiular). Faţă

de cazul sistemelor Mamdani, sistemele Sugeno nu mai permit introducerea în ieşire a

informaţiei de tip lingvistic, extrasă de la experţi umani.

Clase derivate de sisteme fuzzy

Sistemele fuzzy care utilizează defuzzificare prin metoda centrului de greutate şi

inferenţă de tip produs pot fi descrise în forma următoare [Wang, 1994], [Klement, 1991]:

M

1=l

n

1=iF

M

1=l

n

1=iF

l

))((

))((y

)(

li

li

i

i

x

x

xf (16)

unde yl este ieşirea sistemului datorată regulii Rl , l = 1... M, iar Fil(xi), i=1..n, reprezintă

funcţiile de apartenenţă corepsunzătoare regulii Rl.

Sistemele fuzzy care utilizează defuzzificare prin metoda centrului de greutate şi

inferenţă de tip MIN, pot fi descrise în forma următoare:

14

f x( )

(

y (MIN( (x ),..., (x )))

(MIN( (x ),..., (x )))

l

F 1 F n

l=1

M

F 1 F n

l=1

M

1

l

n

l

1

l

n

l

(17)

Sisteme fuzzy care uitilizează defuzzificare prin metoda centrului de greutate,

inferenţă de tip produs şi funcţii de apartenenţă de tip Gaussian pot fi descrise în forma

următoare:

f x

x x

x x

i i

l

i

l

i i

l

i

l

( )

exp( ( ) )

( exp( ( ) ))

y ( a )

a

l

i

l

i=1

n

l=1

M

i

l

i=1

n

l=1

M

2

2

(18)

unde funcţiile de apartenenţă de tip gaussian au parametri ail, xi

l, il.

In acelaşi mod în care este descris sistemul fuzzy cu funcţii de apartenenţă de tip

gaussian din (18), pot fi utilizate şi funcţii de apartenenţă triunghiulare descrise de:

restin

bcbcxb

cx

xl

i

l

i

l

i

l

iil

i

l

ii

i

,0

];[,1)(l

iF

(19)

unde cil şi bi

l reprezintă parametri ajustabili.

Formalizările precizate anterior pentru diferite tipuri de sisteme fuzzy sunt necesare

pentru utilizarea lor în procese de adaptare.

O descriere exhaustivă a altor tipuri de sisteme fuzzy este prezentată în [Zadeh,

1988], [Pedrycz, 1989], [Kosko, 1992], [Cox, 1994], [Wang, 1994] în această secţiune fiind

prezentate doar clasele de sisteme fuzzy de tip Mamdani şi Sugeno utilizate în această

teză.

15

Sisteme fuzzy - aproximatori universali

Teorema prezentată arată că sistemele fuzzy descrise de relaţii de tipul (16) sunt

capabile să aproximeze uniform orice funcţie neliniară pe spaţiul de intrare U, la orice grad

de precizie impus, în condiţia în care spaţiul de intrare U este compact.

Teorema aproximatorului universal [Wang, 1994]

Pentru orice funcţie reală g definită pe un spaţiu compact U Rn şi orice valoare

>0, există un sistem fuzzy f, descris de relaţia (16) pentru care supx U f(x) - g(x) < .

C1: Această teoremă justifică aplicarea sistemelor fuzzy în problemele de modelare

de funcţii neliniare.

C2: Deoarece sistemele fuzzy descrise de (17), (18) reprezintă cazuri particulare

ale sistemelor fuzzy descrise de (16), rezultă că şi acestea sunt aproximatori universali.

C3: Teorema descrisă este o teoremă de existenţă şi nu una constructivă, ceea ce

înseamnă că este asigurată existenţa unui sistem fuzzy care să aproximeze uniform cu o

precizie dată o funcţie neliniară, teorema nu spune nimic despre cum poate fi determinat

(construit) sistemul fuzzy respectiv.

C4: Importanţa acestei teoreme nu trebuie văzută numai în proprietatea de

aproximator universal a sistemlor fuzzy - aceeaşi proprietate fiind caracteristică reţelelor

neuronale, funcţiilor B-spline, [Brown, 1994], cât în aceea că această proprietate este

valabilă în condiţiile în care sistemul fuzzy poate încorpora informaţie lingvistică, aspect

suplimentar faţă de celelalte cazuri de aproximatori universali.