2.1. SIRURI. LIMITE DE SIRURI. CRITERII DE CONVERGENTA.

2.1.1. NOTUNEA DE SIR. PROPRIETATI. BREVIAR TEORETIC Definitie: Fie .},1,..1,0{\ NppNN p ∈−= Functia pnnRanfRNf np ≥∀∈=→ ,,)(,: se numeste sir de numere reale si se noteaza prin . Indicele n al termenilor sirului se numeste rangul termenului.

pnna ≥)(

Definitie: Fie o functie strict crescatoare, pNNg →: pk Nnkg ∈=)( . Atunci functia se numeste subsir al sirului si se noteaza prin

.

RakgfRNgfkn ∈=→ ))((,: oo pnna ≥)(

0)( ≥knka

Exemplu:. !)(,)( 1 naRa n

nnn −=⊂≥ Atunci subsiruri ale siruluidat sunt, spre exemplu: )!2(,)( 212 naa nnn =≥ adica subsirul termenilor de rang par ;

)!12(,)( 12112 −−=−≥− naa nnn adica subsirul termenilor de rang impar. Studiul sirurilor comporta urmattoarele patru aspecte majore: • Monotonie; • Marginire; • Convergenta; • Limita; Intre acestea exista relatii de dependenta si subordonare . 2.1.2. DEFINIREA SI STUDIUL MONOTONIEI SIRURILOR. Fie Ra nn ⊂≥0)(

Spunem ca este . 0)( ≥nna0,,

tan 1

1

1

1

1

≥∀

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=≤<⇔≥>

+

+

+

+

+

nn

aatconsaaordescrescatmonotonaaordescrescatstrictaacrescatormonotonaacrescatorstrict

nn

nn

nn

nn

nn

In aplicatii, utilizam, de obicei , doua criterii:

Criteriul diferentei: .

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=↓≤↓⇒≥∀<↑≥↑>

−+

.00

0,000

1

ctmsnnms

aa nn

Criteriul raportului:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=↓≤↓⇒≥∀<↑≥↑>

+

.11

0,111

1

ctmsnnms

aa

n

n(numai in cazul sirurilor strict pozitive)

2.1.3. DEFINIREA SI STUDIUL MARGINIRII SIRURILOR. Fie Ra nn ⊂≥0)( .

Atunci este 0)( ≥nna⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≥∀≥∃≤≥∀∈∃⇔≥≥∀∈∃

αα n

n

n

aninitmManRMeriorinitmmanRmeriorinitm

0,0arg0,suparg0,infarg

.

Fata de studiul monotoniei, studiul marginirii nu se bazeaza pe o modaltate generala de abordare ci difera de la caz la caz. Totusi, este de preferat ca studiul marginirii sa se faca dupa stabilirea monotoniei, dupa cum se observa in exemplele urmatoare:

• 0,1

1,)( 0 ≥∀+

=⊂≥ nn

aRa nnn . Evident 0,0 ≥∀> nan , deci sir strict pozitiv si, in

consecinta, marginit inferior. Utilizand criteriul raportului pentru stabilirea

monotoniei, obtinem: 121

11

211 <

++

=+

⋅+

=+

nnn

naa

n

n , deci sirul este strict

descrescator, de unde avem: 0,10 0 ≥∀=≤< naan , deci alegand 1=α avem indeplinita conditia marginirii sirului.

• 1,1)1(,)( 1 ≥∀−=⊂≥ nn

aRb nnnn .se poate remarca usor ca sirul dat contine doua

subsiruri: 1,21

2 ≥∀= nn

b n si 1,12

112 ≥∀

−−=− n

nb n , cu proprietatile:

φ=∩ ≥−≥ 11212 )()( nnnn bb si 111212 )()()( ≥≥−≥ =∪ nnnnnn bbb . Se verifica usor ca este un subsir strict descrescator, strict pozitiv, deci marginit, )( 2nb

1,210 22 ≥∀=≤< nbb n , iar sirul )1( 2 −nb este un subsir strict crescator, strict negativ,

deci marginit, . 01 121 <≤=− −nbb

In concluzie, nu este monoton, dar este marginit, )( nb 1,211 ≥∀≤≤− nbn .

Observatii: • In stabilirea marginirii putem utiliza ingalitati algebrice, prelucrari ale formulei

generale ce defineste sirul sau proprietati de marginire ale unor functii; • Orice sir periodic este marginit si nemonoton. 2.1.4. DEFINIREA LIMITEI DE SIR. Fie . Reamintim ca Ra nn ⊂≥0)( }{±∞∪= RR semnifica dreapta reala incheiata.

Spunem ca are limita 0)( ≥nna Rl∈ daca NnVV Vl ∈∃∈∀ , astfel incat avem . (definitia cu vecinatati).

Vnn ≥∀Van ∈

In cazul in care (deci in cazul limitelor finite) avem conditia echivalenta: Rl∈0)( ≥nna are limita 0,0 ≥∃>∀⇔∈ εε nRl astfel incat εnn ≥∀ avem ε<− lan .

In cazul existentei limitei , utilizam scrierea: lan =lim Asupra limitei de sir se pot face doua tipuri de analize:

analiza calitativa, ce consta in stabilirea existentei limitei de sir; analiza cantitativa, ce consta in determinarea valorii limitei, atunci cand exista.

In fapt, analiza calitativa a limitei se intrepatrunde cu studiul convergentei sirurilor. Observatie: • Pentru a arata ca un sir nu are limita, este suficient sa demonstram ca exista

doua subsiruri distincte ale sirului dat care au limite diferite; 0)( ≥nna

• Orice sir periodic neconstant nu are limita. Exemplu:

0)( ≥nna , . Se pot identifica subsirurile: 0,)1( ≥∀−= nna nn +∞⎯⎯ →⎯= ∞→

≥n

nnn naa 2,)( 202

si , deci sirul nu are limita. −∞⎯⎯ →⎯−−= ∞→−≥−

nnnn naa )12(,)( 12012 0)( ≥nna

2.1.5. DEFINIREA CONVERGENTEI SIRURILOR. Spunem ca este un sir convergent daca admite limita finita. Ra nn ⊂≥0)(Un sir care nu are limita finita spunem ca este divergent, avand doua tipuri de divergenta:

divergent cu limita (infinita); divergent fara limita (nu exista limita).

2.1.6. STUDIUL LIMITEI DE SIR. In aplicatii, stabilirea existentei si valorii limitei unui sir apeleaza mai rar la definitiile cu vecinatati sau cu ε , deoarece, plecand de la definitii, au fost stabilite urmatoarele directii: A) Criterii de comparatie si alte criterii;

Criteriul majorarii: Fie doua siruri de numere reale, nn yx , 0≥∀n si . Daca astfel incat

Nk ∈Rl∈∃ kn ≥∀ avem nn ylx ≤− si , atunci . 0⎯⎯ →⎯ ∞→n

ny lx nn ⎯⎯ →⎯ ∞→

Criteriul clestelui: Fie trei siruri de numere reale, nnn zyx ,, 0≥∀n si . Daca Nk ∈

Rl∈∃ astfel incat kn ≥∀ avem nnn zyx ≤≤ si , atunci .

lzlx nn

nn ⎯⎯ →⎯⎯⎯ →⎯ ∞→∞→ ,

ly nn ⎯⎯ →⎯ ∞→

Criteriul raportului: Fie sir de numere strict pozitive. Daca *0)( +≥ ⊂ Rx nn Rl∈∃

astfel incat lx

x

n

n =+1lim , atunci:

• Daca atunci ; )1,0[∈l 0lim =nx

• Daca atunci ),1( ∞∈l +∞=nxlim ; • Daca l=1 nu putem afirma nimic despre natura limitei.

Criteriul Stolz-Cesaro: Fie siruri de numere reale astfel incat este

strict monoton si nemarginit (de la un rang incolo) si exista

00 )(,)( ≥≥ nnnn ba )( nb

Rlbbaa

nn

nn ∈=−−

+

+

1

1lim . Atunci

exista lba

n

n =lim .

Criteriul D’Alembert (radical): Fie sir de numere strict pozitive. Daca *0)( +≥ ⊂ Rx nn

Rl∈∃ astfel incat lx

x

n

n =+1lim , atunci exista lxnn =lim .

Exemple:

• Calculati .1

!sinlim+

+n

nn Bazandu-ne pe marginirea functiei sinus, avem o aplicatie

la criteriul clestelui, astfel:

.0,111

1!sin

111!sin1 ≥∀=

++

≤+

+≤

+−

⇒≤≤− nnn

nnn

nnn Cum 1

11lim =

+−

nn , rezulta

ca .11

!sinlim =+

+n

nn

• Calculati .!

2limn

n

Utilizand criteriul raportului pentru sirul !

2,)( 0 naa

n

nnn =≥ , cum

sirul este strict pozitiv si ⇒=+

=+ 01

2limlim 1

naa

n

n .0!

2lim =n

n

• Calculati )1...2

11(1limnn

+++ . Notam 1,1...2

11 ≥+++= nn

an si

, avem o aplicatie la criteriul Stolz-Cesaro, deoarece este strict

crescator si nemarginit, iar

1, ≥= nnbn )( nb

01

1limlim1

1 =+

=−−

+

+

nbbaa

nn

nn . In concluzie,

0)1...2

11(1lim =+++nn

.

• Calculati n

nn

521lim

2

++ . Notam 1,

5212

≥++

= nn

nx nn . Utilizam criteriul radical si cum

132322652lim

112

321)1(limlim 23

23

2

21 =

++++++

=++

⋅+++

=+

nnnnnn

nn

nn

xx

n

n (limita rationala, grade

egale, raportul coeficientilor dominanti este 1), rezulta .1521lim

2

=++

n

nn

B) Operatii cu limite de siruri; In cele mai multe cazuri, avand data o operatie intre doua siruri de numere reale, operatie ce poate fi adunarea, inmultirea, impartirea, ridicarea la putere, calculul limitei rezultatului operarii da acelasi rezultat ca si rezultatul operatiei dintre limitele celor doua siruri. Pe scurt notand “*” operatia la care facem referire, in anumite ipoteze care se modifica de la caz la caz , avem )(lim*)(lim)*lim( nnnn baba = . Pentru fiecare tip de operatie in parte, avem cazuri de nedeterminare:

∞−∞ (pentru adunare); (pentru inmultire); ∞⋅0∞∞,

00 (pentru impartire);

(pentru ridicarea la putere).

00 0,,1 ∞∞

Considerand in cele ce urmeaza ca literele sau numerele utilizate reprezinta limite de siruri,reamintim cateva rezultate de operatii cu limite de siruri: ADUNARE INMULTIRE IMPARTIRE PUTERI

.;;

−∞=∞−∞−∞=∞+∞±∞=∞±a

;))((;))((

;sgn)(

−∞=∞±∞+∞=±∞±∞

±=±∞⋅

m

aa

⋅∞

existanu

bb

existanuaa

b

b

a

a

ab

+−∞

∞±±∞±

∞±

∞±

+−

±

−∞=+∞=

≠∞⋅±=

=

≠∞⋅±=

= ≠

0

00

0

0

0

;;0,sgn

;0

;0,sgn;0,0

m

+∞−

∞+

∞−−

∞−+

∞−

∞+

=+∞

+∞=+∞

−∞=

+∞=⎩⎨⎧

<<∞+>

=

⎩⎨⎧

<<>∞+

=

0)(;)(

;)0(

;)0(

10,1,0

10,01,

aa

a

aa

a

C) Siruri tip si formule;

1. ⎩⎨⎧

<∞−>∞+

==++++ −− ;0,

;0,lim)...lim( 01

11

k

kkk

kk

kk a

anaananaana

2. ;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−≤−∈=>∞+

=

1,)1,1(,0

1,11,

lim

aexistanua

aa

an

3.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>∞⋅

<=

=⋅=++++++++

−−

−−

pkba

pkpk

nn

ba

bnbnbnbananana

p

k

ba

p

k

p

kp

pp

p

kk

kk

p

k

,)sgn(

,0,

lim......

lim01

11

011

1 ;

4. en

n =+ )11lim( ; )(,)11lim( ∞→=+ nnn

aeaa

; )0(,)1lim(1

→=+ nn aea na ;

5. ),0(,)1lim( lim ∞→→=+ nnbab

n baea nnn ;

6. )0(,ln1lim →=−

nn

x

xax

a n

; )0(,11lim →=−

nn

x

xx

e n

;

7. )0(,1)1ln(

lim →=+

nn

n aa

a;

8. )0(,1limarcsin

limlimsin

lim →==== nn

n

n

n

n

n

n

n aa

arctgaa

aa

tgaa

a;

9. )0(,1)1(

lim →=−+

nn

rn ar

aa

;

10. 1lim =n n ; 11. 0lnlim =nn ; 12. 0lim =ne

n ; 13. )0(,!lim >+∞= aan

n ;

14. +∞=++++ )1...31

211lim(

n;

15. ...57721,0,)ln1...31

211lim( ≈=−++++ ccn

nconstanta lui Euler;

16. en

=++++ )!

1...!2

1!1

11lim( ;

D) Metode de eliminare a nedeterminarilor. Unele dintre cele mai folosite metode de eliminare a nedeterminarilor sunt:

scoaterea de factor comun fortat (pentru cazul ∞−∞ ) Exemplu:

∞=∞⋅∞=−⋅=− )1lim(lim)lim( nnnn ; amplificarea cu expresii conjugate (pentru cazul ∞−∞ , cand contine radicali)

Exemplu:

01

1lim1

1lim)1lim(22

222 =

++=

++

−+=−+

nnnnnnnn ;

prelucrarea termenilor generali in siruri definite ca suma/produs: Exemplu:

21)

121

11(

21lim

]12

112

1[21lim

)12)(12(1lim)

)12)(12(1...

531

311lim(

1 1

=+

−=

=+

−−

=+−

=+−

++⋅

+⋅ ∑ ∑

= =

n

kkkknn

n

k

n

k

prelucrarea nedeterminarilor si aducerea lor la cazurile ∞∞,

00 :

))(

1(,00

0100

11gg

ffgf =⋅=⋅=⋅=∞⋅ ; ))(

1(,1011ff

gggf ==⋅∞∞

=∞⋅∞

=∞⋅ ;

Utilizand formula algebrica )/1(ln

ln gf

fgg eef == ⋅ avem ; ; . 01 ⋅∞∞ = e )(000 −∞⋅= e ∞⋅=∞ 00 eAceste transformari sunt indicate pentru utilizarea rezultatelor obtinute cu ajutorul Regulii L’Hospital, in cazul limitelor de functii. Exemple: • ; +∞==+− 33 2lim)152lim( nnn• ; +∞=−∞⋅−=−=−+− )(4)4lim()124lim( 55 nnn

• )12

(,)2

lim( >+∞=ππ n ;

• 0)65lim(

]1)31[(6

]1)54()

53[(5

lim62

543lim ==+

++=

+++ n

nn

nnn

nn

nnn

;

• +∞=−− n)

2312lim( , verficandu-se ca 2312 −>− prin ridicari succesive la

patrat;

• 43

1413lim =

+−

nn ; (raport de polinoame de acelasi grad, raportul coefcientilor dominanti

fiind ¾);

• +∞=+−1413lim

2

nn ; (grad numarator>grad numitor, ¾>0);

• −∞=−

−12

31lim2

nn ; (grad numarator>grad numitor, -3/2<0);

• 0)3)(52)(3)(1(

)2)(1(lim =−++−

++nnnn

nnn ; (grad numarator<grad numitor);

•

eeee

nnn

nnn

nnn

nnn

nn

nnn

nn

nn

nn

/1

11lim1

111lim

11lim

112lim

21

lim

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

222

=====

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+

−++

+−

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−

+++

• 3ln13lim)13(lim1

1

=−

=−n

nnn ;

• 1)1(

11

)1

11ln(lim

1ln)1lim( −=−⋅

+−

+−

+=

++

n

nn

nn ;

• 011

2lim)11lim( =−++

=−−+nn

nn ; (amplficare cu conjugata);

• −∞=−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=−−+ )21(lim1211lim)121lim( n

nnnnn ;

• ( ) ( )000

213lim

22lim21lim2lim

)221lim()841lim(

=+=

=−++

+−+

=−−++−−=

=−−++=−−++

nnnnnnnn

nnnnnn

Aplicatii: 1. Studiati monotonia, marginirea si convergenta sirurilor:

a) 3

2,)( 21 +=≥ n

naa nnn ; b) n

aan

nnn)1(1,)( 1

−+=≥ ; c) 5,12,)( 1

11 =+=

−≥ c

caa

nnnn ;

2. Utilizand criterii de comparatie, calculati limitele:

a) n

n++++++

...21sin...2sin1sinlim ; b) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

++

+ nnnn 222

1...2

11

1lim ;

3. Utilizand criteriul raportului, calculati Ranan

∈,!

lim ; discutie dupa parametrul a.

4. Utilizand criteriile Stolz-Cesaro si D’Alembert, calculati limitele:

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ 2

1...211lim

nnn; b)

)2)(1(...33221lim

222

++++++

nnnnn ; c) n n!lim ;

d) nnlnlim ;

5. Calculati limitele:

a) 14342lim ++

+nn

nn

; b) ; c) ne)lim( −π ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++ n2

1...21

211lim 2 ; d)

nnn

sin1lim 2

2

+− ;

e) )7)...(2)(1()7)...(2)(1(lim

−−−+++

nnnnnnn ; f)

nn

nn

1

1

lim−

+; g)

2

11lim

n

nn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ ; h)

n

nn

1

11lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ ;

i) 2

13limn

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ; j)

n

n

1

13lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − ; k) *,

523lim +∈

++ Raa

nn

nn

; l) 11

2lim++−

−+nn

nn ;

m) ( )11lim 22 −−+ nnn ; n) ( )[ ]nnnn 11lim 22 −−+ ; o) ( )nnn −−+3 3 13lim ; p) ( ) Nknnnk ∈−−+ ,11lim , (discutie dupa parametrul k);

r) n

nn

nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

4332lim ; s) n

nnnnnn ))...(2)(1(lim +++ ; t) n n

nnn CCC ...lim 21 .