Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Proba scrisă la MATEMATICĂ Proba D – TM1

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Varianta 048

ЗАВДАННЯ I (30б)

5б 1. Визначити дійсну частину комплексного числа ( )63 i+ .

5б 2. Задана функція : (0, )f ∞ → , ( ) 3

1f x

x= . Обчислити ( ) ( )512f f .

5б 3. Розв’язати у множині дійсних чисел рівняння cos 2 sin 0.x x+ = 5б 4. Задано множину {0,1,2,3,4,5}M = . Визначити кількість трійок ( , , )a b c які задовільняють умови

, ,a b c M i a b c∈ < < .

5б 5. Обчислити відстань між паралельними прямими, заданими рівняннями 2 6x y+ = i 2 4 11.x y+ =

5б 6. У паралелограмі ABCD відомо, що ( )1, 2 i 60AB BC m BAD= = = . Обчислити скалярний

добуток AC AD⋅ .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

Varianta 021 ЗАВДАННЯ II (30б)

1. Для , ,a b c ∈ дано систему ax by cz b

cx ay bz a

bx cy az c

+ + = + + = + + =

.

5б a) Доказати, що визначником системи є 2 2 2( )( ).a b c a b c ab ac bc∆ = + + + + − − −

5б b) Розв’язати систему, якщо вона сумісно визначена. 5б

c) Якщо 2 2 2 0a b c ab ac bc+ + − − − = доказати, що система має нескінчену кількість розв’язків

( ), ,x y z , так щоб 2 2 1x y z+ = − .

2. Дано множину 4, ,

0a b

G a b cc

= ∈

.

5б a) Визначити число елементів множини G.

5б b) Навести приклад матриці A G∈ з властивістю, що ˆdet 0A ≠ i 2 ˆdet 0A = .

5б c) Визначити скільки коренів має рівняння 2ˆ ˆ1 0ˆ ˆ0 0

X

=

, X G∈ .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

Varianta 072 ЗАВДАННЯ III (30б)

1. Дано функцію { }: \ 1f − → , ( )2 1

1

x xf x

x

+ +=+

5б a) Визначити рівняння асимптоти, прямуючої до +∞ , графіка функції f. 5б b) Обчислити ( ) { }, \ 1f x x′ ∈ − .

5б c) Доказати, що функція f – увігнута на інтервалі ( ), 1−∞ − .

2. Для будь-якого *n ∈ дано функцію : , ( ) | sin |n nf f x nx→ = i число 2 ( )n

nf x

I dxx

π

π= ∫ .

5б a) Обчислити ( )20f x dx

π∫

5б b) Доказати, що ln 2nI ≤ .

5б c) Доказати, що 2 1 1 1

...1 2 2nI

n n n ≥ + + + π + +