presstern subiecte bacalaureat matematica 1 geometrie si analiza matematica

19

Upload: bella-sorina

Post on 16-Feb-2015

111 views

Category:

Documents


11 download

DESCRIPTION

Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica matee

TRANSCRIPT

Page 1: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica
Page 2: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

Cuprins

GEOMETRIE1. Vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Segmente orientate. Vectori în plan . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Operaţii cu vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Vectori coliniari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Vectori de poziţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Drepte paralele, concurente. Colinearitate . . . . . . . . . . . . 71.6. Produsul scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Geometrie analitică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1. Elementele trigonometriei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Ecuaţii trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie . . . . . . . . . . . . . 28

ANALIZĂ MATEMATICĂ1. Numere reale, mulţimi reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Şiruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1. Şiruri reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Operaţii cu şiruri reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. Inegalităţi şi limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Convergenţă, monotonie, mărginire . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5. Subşiruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.7. Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Limite de funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1. Limita unei funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2. Operaţii cu limite de funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3. Proprietăţile limitelor de funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Page 3: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

3.4. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444. Funcţii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1. Continuitatea funcţiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2. Operaţii cu funcţii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Continuitate şi proprietatea lui Darboux . . . . . . . . . . . . . 49

5. Funcţii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1. Definiţia derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2. Interpretarea geometrică a derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3. Operaţii cu funcţii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4. Derivatele funcţiilor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.5. Deriatele funcţiilor compuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.6. Derivate de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.7. Teoreme de medii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.7.1. Teorema lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.7.2. Teorema lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.7.3. Teorema lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.7.4. Regula lui L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.8. Reprezentarea grafică a funcţiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.8.1. Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.8.2. Convexitate, concavitate . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.8.3. Reprezentarea grafică a funcţiilor . . . . . . . . . . . 65

6. Integrala nedefinită . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1. Primitive. Integrala nedefinită . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2. Funcţii primitivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3. Integrarea prin părţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.4. Prima metodă de schimbare de variabilă . . . . . . . . . . . . . 726.5. A doua metodă de schimbare de variabilă . . . . . . . . . . . . . 746.6. Integrarea funcţiilor raţionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.6.1. Substituţiile lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6.2. Integrarea unor funcţii trigonometrice . . . . . . . . . 80

7. Integrala definită . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.1. Funcţii integrabile Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2. Proprietăţile funcţiilor integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3. Integrarea prin părţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.4. Prima metodă de schimbare de variabilă . . . . . . . . . . . . . 867.5. A doua metodă de schimbare de variabilă . . . . . . . . . . . . . 877.6. Formula de medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.7. Teorema fundamentală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.8. Aplicaţii ale integralei definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Page 4: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

Glosar

a douametodă de schimbare de variabilă,74, 87

abscisă, 13asimptotă

oblică, 63orizontală, 63verticală, 63

cerc trigonometric, 19corp de rotaţie, 91

volumul, 91

derivata, 50de ordin superior, 56laterală, 50

discontinuitate, 47de prima speţă, 47de speţă a doua, 47

diviziune, 81echidistantă, 81norma, 81puncte de diviziune, 81

dreaptaecuaţia explicită, 16ecuaţia generală, 16panta, 15

dreapta lui Euler, 8

e, 36

formulafundamentală a trigonometriei, 21

formula de medie, 88

formula lui Heron, 29funcţie

primitivabilă, 67funcţie continuă

într-un punct, 46la dreapta, 46la stânga, 46pe o mulţime, 46

funcţie derivabilă, 50funcţie discontinuă, 47funcţie integrabilă, 82funcţii trigonometrice

cosinus, 19cotangenta, 20sinus, 19tangenta, 20

inegalitatea Bernoulli, 58integrala definită, 82integrala nedefinită, 67integrarea prin părţi, 71, 85

limita laterală unei funcţii, 41limita unei funcţii, 40limita unui şir, 32lungimea

bisectoarei, 12medianei, 12

mulţimefinită, 30mărginită inferior, 30

Page 5: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

mărginită superior, 30majorant, 30minorant, 30punct de acumulare, 31punct izolat, 31

ordonată, 13

π, 19primametodă de schimbare de variabilă,

72, 86primitiv a unei funcţii, 67produs scalar, 10proprietatea lui Darboux, 49punct de întoarcere, 51punct de inflexiune, 64punct de maxim local, 57punct de minim local, 57punct unghiular, 51puncte critice, 57puncte de extrem, 57puncte intermediare, 81

radian, 19reper

cartezian, 13originea reperului, 13ortonormat, 13vector unitate, 13

segment orientat, 1echipolenţă, 1

semiaxa pozitivă, negativă, 13sens trigonometric, 19subşir, 37subgrafic, 91

aria, 91substituţia universală, 80substituţiile lui Euler, 79suma Riemann, 81şir, 32

câtul a două şiruri, 33convergent, 32crescător, 32descrescător, 32divergent, 32limita câtului, 33limita produsului, 33limita sumei, 33mărginit, 32periodic, 32produsul a două şiruri, 33suma a două şiruri, 33

şirul lui Rolle, 59

teoremalui Pappus, 6bisectoarei, 7cosinusului, 12, 29lui Cesaro, 37lui Ceva, 9lui Fermat, 57lui Lagrange, 60lui Menelaus, 9lui Rolle, 58lui Stewart, 12lui Sylvester, 8lui Thales, 7

reciproca, 7lui Weierstrass, 36sinusurilor, 29tangentelor, 29

vecinătate, 31vector, 1

de poziţie, 6lungimea, 1modulul, 1nul, 1opus, 3reprezentant, 1

vector de poziţie

Page 6: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

centrul cercului înscris, 7centrul de greutate, 6mijlocul unui segment, 6

vectoricoliniari, 5diferenţa, 3perpendiculari, 10suma, 2unghiul a doi vectori, 10vectori egali, 2

Page 7: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

1. Vectori

1.1. Segmente orientate. Vectori în plan

..

Definiţie. Perechea ordonată de puncte (A,B) se numeşte segment orientat şise notează cu AB.Definiţie. Segmentele orientate AB şi CD sunt echipolente (se notează cuAB ∼ CD), dacă mijlocul segmentului [AD] coincide cu mijlocul lui [BC].Observaţie. Dacă AB ∼ CD, atunci există o translaţie care transformă seg-mentul AB în segmentul CD.Proprietăţi. Pe mulţimea segmentelor orientate relaţia de echipolenţă este orelaţie de echivalenţă:

.. AB ∼ AB (∼ este reflexivă),

.. dacă AB ∼ CD, atunci CD ∼ AB (∼ este simetrică),

.. dacă AB ∼ CD şi CD ∼ EF , atunci AB ∼ EF (∼ este tranzitivă).

.Segmente orientate

..A .

B

.

D

.C

AB şi CD sunt echipolente dacă şi numaidacă ABDC este paralelogram sau puncteleA,B,C,D sunt coliniare şi mijlocul lui [AD] co-incide cu mijlocul lui [BC].

..A

.

B

.C

.

D

..

Definiţie. Se numeşte vector mulţimea tuturor segmentelor orientate echipo-lente cu un segment dat.Notaţie. Vectorul determinat de segmentul orientatAB se notează cu

−→AB (sau

cu litere mici):−→AB =

{CD| CD ∼ AB

}.

Observaţie. Dacă AB ∼ CD, atunci−→AB =

−−→CD. Dacă −→u =

−→AB =

−−→CD, atunci

spunem că segmentul AB (sau CD) este un reprezentant al vectorului−→u .Definiţie. Lungimea (sau modulul) unui vector este lungimea oricărui repre-zentant al său şi se notează cu |−→u |.Definiţie. Vectorul de lungime nulă

−→AA se numeşte vectorul nul şi se notează

0.

.Vectori

1

Page 8: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

..

Definiţie. Vectorii−→AB şi

−−→CD sunt egali (

−→AB =

−−→CD), dacă segmentele orien-

tate AB şi CD sunt echipolente.Observaţie. Doi vectori sunt egali dacă au acelaşi modul, aceeaşi direcţie şisens.Teoremă. (Existenţa reprezentantului cu origine dată) Pentru orice vector−→u şi orice punct M , există un unic segment orientat MM ′ pentru care −→u =−−−→MM ′.Consecinţă. Dacă

−−→MA =

−−→MB, atunci A = B.

..

Mulţimea segmentelor orientate

.

A

.

B

.

C

.

D

.

−→u

.

=

.

F

.

E

.

H

.

G

.

−→v

.

=

−→u =−→AB =

−−→CD = . . .,

−→v =−−→EF =

−−→GH = . . .,

CD este un reprezentant al vecto-rului−→u ,EF este un reprezentant al lui −→v ,−→AB =

−−→CD.

1.2. Operaţii cu vectori

..

Suma vectorilor−→u şi−→v se defineşte în felul următor... (Regula triunghiului): fie M un punct oarecare, atunci există puncteleN şi P astfel încât

−−→MN = −→u ,

−−→NP = −→v . Suma vectorilor −→u şi −→v este

vectorul u+ v =−−→MP .

.. (Regula paralelogramului): dacă u şi v nu sunt coliniare, fieM unpunctoarecare; atunci există puncteleN şiP astfel încât

−−→MN = −→u ,

−−→NP = −→v ;

se construieşte paralelogramul MNQP . Suma vectorilor −→u şi −→v estevectorul u+ v =

−−→MQ.

.Suma a doi vectori

..u

.

v

.u

.

v

. u+ v.M

.

N

.

P

.

Regula triunghiului

.u

.v

.u+ v

.M

.

N

.P

.

Q

.

Regula paralelogramului

2

Page 9: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

..

Definiţie. Opusul vectorului−→AB este vectorul −

−→AB =

−→BA.

Proprietăţi. Pentru orice vectori a, b, c:.. asociativitate: (a+ b) + c = a+ (b+ c);.. comutativitate: a+ b = b+ a;.. există element neutru

(0): a+ 0 = 0 + a = a;

.. orice vector a are un opus (−a): a+ (−a) = (−a) + a = 0.

.Proprietăţile adunării vectorilor

Problemă. FieM un punct oarecare situat în planul paralelogramuluiABCD. Săse demonstreze că

−−→MA+

−−→MC =

−−→MB +

−−→MD.

S. În paralelogramul ABCD−→AB =

−−→DC = −

−−→CD és

−−→AD =

−−→BC = −

−−→CB.

..

M

.A.

B

.

C

.D

−−→MA+

−−→MC =

= (−−→MB +

−→BA) + (

−−→MD +

−−→DC) =

=−−→MB +

−−→MD +

−→BA+

−−→DC =

=−−→MB +

−−→MD.

..

Diferenţa a doi vectori −→u şi −→v se defineşte prin relaţia u− v = u+ (−v) şi seconstruieşte în felul următor: fieM un punct oarecare; există puncteleN şi Pastfel încât

−−→MN = −→u şi

−−→MP = −→v . Atunci u− v =

−−→PN .

.Scăderea vectorilor

..u

.

v

.u

.v

.

u−v

.M

.

N

.P

Pentru orice puncteM,N,P−−→MN −

−−→MP =

−−→MN +

−−→PM =

−−→PN .

Problemă. În triunghiul ABC modulul vectorului−→AB +

−→AC este egal cu modulul

vectorului−→AB −

−→AC. Să se demonstreze că triunghiul ABC este dreptunghic!

S. Se construieşte paralelogramul ABCD:−→AB +

−→AC =

−−→AD, deci |

−→AB +

−→AC| =

|−−→AD| = AD.

..B.

A

.

C

.D

−→AB −

−→AC =

−→AB +

−→CA =

−→CA +

−→AB =

−−→CB, deci

|−→AB −

−→CA| = |

−−→CB| = CB.

|−→AB +

−→AC| = |

−→AB −

−→AC| ⇒ AD = BC, deci

paralelogramul ABCD este un dreptunghi; astfel,m(BAC) = 90◦.

3

Page 10: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

..

Definiţie. Produsul dintre vectorul u = 0 şi numărul real α ∈ R∗ este vectorulnotat αu care

.. are aceiaşi direcţie cu vectorul deînmulţit u;

.. dacă α > 0, atunci are acelaşi sens, dacă α < 0, are sens opus cu u;

.. are modululul egal cu |α| · |u|.Dacău = 0 sau α = 0, atunci α · u = 0.

.Înmulţirea unui vector cu un scalar

..

Proprietăţi. Fie u, v vectori şi α, β numere reale oarecare, atunci.. (α+ β)u = αu+ βu;.. α(u+ v) = αu+ αv;.. α(βu) = (αβ)u;.. 1 · u = u;.. (−α)u = α(−u) = −(αu).

.Proprietăţi

Problemă. În triunghiulABC fieM mijlocul segmentului [BC]. Să se demonstreze

că−−→AM =

1

2

(−→AB +

−→AC).

S. Conform regulei triunghiului,{ −−→AM =

−→AB +

−−→BM

−−→AM =

−→AC +

−−→CM

⊕⇒ 2−−→AM =

−→AB +

−→AC +

−−→BM +

−−→CM︸ ︷︷ ︸

=0

=−→AB +

−→AC, deci

−−→AM =

1

2

(−→AB +

−→AC).

Problemă. Fie ABCD un patrulater şi fie E, F , G, H mijloacele laturilor [BC],[DA], [AB], [CD]. Să se demonstreze că

−−→EF +

−−→HG =

−→CA.

S. G este mijlocul lui [AB], deci−→AG =

−−→GB =

1

2

−→AB. Analog,

−−→BE =

−−→EC =

1

2

−−→BC,

−−→CH =

−−→HD =

1

2

−−→CD,

−−→DF =

−→FA =

1

2

−−→DA.

..A .

B

.

C

.

D

.

E

.

F

.

G

.

H

−−→EF +

−−→HG =

(−−→EC+

−−→CD+

−−→DF )+(

−−→HD+

−−→DA+

−→AG) =

(−−→CD+

−−→DA)+(

−−→EC+

−−→HD+

−−→DF +

−→AG) =

−→CA +

1

2

−−→BC +

1

2

−−→CD +

1

2

−−→DA +

1

2

−→AB =

−→CA +

1

2

(−−→BC +

−−→CD +

−−→DA+

−→AB)

=

−→CA+

1

2· 0 =

−→CA.

4

Page 11: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

3. Trigonometrie

3.1. Elementele trigonometriei

..

Definiţie. Raportul dintre semiperimetrul şi raza unui cerc este constant şi senotează prin π (valoarea aproximativă este π ≈ 3,1415).Definiţie. Măsura unui unghi la centrul unui cerc cuprinzând un arc de cerc acărui lungime este egală cu raza cercului este de 1 radian.Observaţie. Dacă α este măsura unui unghi în grade iar xr este măsura un-ghiului în radiani, atunci este adevărată relaţia

α

xr=

180

π.

.Măsura unghiurilor în radiani

..O

. A.P0

.

Pπ/6

.

Pπ/3

.

Pπ/2

.

P2π/3

.

P5π/6

.Pπ

.

P7π/6

.

P4π/3

.

P3π/2

.

P5π/3

.

P11π/6

.

I.

.

II.

.

III.

.

IV.

..

Definiţie. Fie xOy un reper cartezian. Cerculcu centrul în O şi cu raza egală cu 1 pe careeste indicat sensul trigonometric direct (in-vers acelor ceasornicului) se numeşte cercultrigonometric.Notaţie. Fie t ∈ R un număr real. Atunciexistă un unic punct Pt pe cercul trigonome-tric pentru carem(AOPt) = t.

.Cercul trigonometric

..

Fie t un număr real şi Pt punctul pentru carem(AOPt) = t.Definiţie. Ordinata punctului Pt se numeşte sinusul numărului real t şi se no-tează prin sin t.Definiţie. Abscisa punctului Pt se numeşte cosinusul numărului real t şi senotează prin cos t.

.Sinusul şi cosinusul

19

Page 12: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

..O

.A

.

Pt

. t.cos t

.sin t

..O

.A

.

Pt

. t.tg t

.

T

.

ctg t

.

T ′

..

Definiţie. Fie dtg dreapta verticală de ecuaţiex = 1 şi fie dctg dreapta orizontalăde ecuaţie y = 1.Definiţie. Fie t ∈ R \

{π2+ kπ| k ∈ Z

}şi T intersecţia dreptelor OPt şi dtg .

Ordinata punctului T se numeşte tangenta numărului t şi se notează prin tg t.Definiţie. Fie t ∈ R \ {kπ| k ∈ Z} şi fie T ′ intersecţia dreptelor OPt şi dctg .Abscisa punctului T ′ se numeşte cotangenta numărului real t şi se notează princtg t.

.Tangenta şi cotangenta

..

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

3

4

sinx 0 12

√2

2

√3

21

√3

2

√2

212

0

cosx 1√3

2

√2

212

0 − 12

−√

22

−√

32

−1

tgx 0√3

31

√3 | −

√3 −1 −

√3

30

ctgx |√3 1

√3

30 −

√33

−1 −√3 |

.Valori remarcabile

..

x ∈ C2 x ∈ C3 x ∈ C4

sinx = sin(π − x) sinx = − sin(x− π) sinx = − sin(2π − x)

cosx = − cos(π − x) cosx = − cos(x− π) cosx = cos(2π − x)

tgx = −tg (π − x) tgx = tg (x− π) tgx = −tg (2π − x)

ctgx = −ctg (π − x) ctgx = ctg (x− π) ctgx = −ctg (2π − x)

.Reducerea la primul cadran

20

Page 13: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

..

x 0 C1π

2C2 π C3

2C4 2π

sinx 0 + 1 + 0 − −1 − 0

cosx 1 + 0 − −1 − 0 + 1

tgx 0 + +|− − 0 + +|− − 0

ctgx |+ + 0 − −|+ + 0 − −|

.Semnul funcţiilor trigonometrice

..

x 0 C1π

2C2 π C3

2C4 2π

sinx 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0

cosx 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0 ↗ 1

tgx 0 ↗ +∞|−∞ ↗ 0 ↗ +∞|−∞ ↗ 0

ctgx |+∞ ↘ 0 ↘ −∞|+∞ ↘ 0 ↘ −∞|

.Monotonia funcţiilor trigonometrice

..

sin2 x+ cos2 x = 1 (formula fundamentală) tgx =sinx

cosx=

1

ctgxsin(π2− x

)= cosx sin(−x) = − sinx sin(x+ 2π) = sinx

cos(π2− x

)= sinx cos(−x) = cosx cos(x+ 2π) = cosx

tg(π2− x

)= ctgx tg (−x) = −tgx tg (x+ π) = tgx

ctg(π2− x

)= tgx ctg (−x) = −ctgx ctg (x+ π) = ctgx

.Formule trigonometrice fundamentale

21

Page 14: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

..

sin(x+ y) = sinx · cos y + cosx · sin y

sin(x− y) = sinx · cos y − cosx · sin y

cos(x+ y) = cosx · cos y − sinx · sin y

cos(x− y) = cosx · cos y + sinx · sin y

tg (x+ y) =tgx+ tg y

1− tgx · tg y tg (x− y) =tgx− tg y

1 + tgx · tg y

ctg (x+ y) =ctgx · ctg y − 1

ctgx+ ctg yctg (x− y) =

−ctgx · ctg y − 1

ctgx− ctg y

.Formule trigonometrice pentru sumă şi diferenţă

..

sin(2x) = 2 · sinx · cosx sin(3x) = 3 sinx− 4 sin3 x

cos(2x) = cos2 x− sin2 x cos(3x) = −3 cosx+ 4 cos3 x

tg (2x) =2 · tgx1− tg 2x

tg (3x) =3 · tgx− tg 3x

1− 3 · tg 2x

ctg (2x) =ctg 2x− 1

2 · ctgx ctg (3x) =ctg 3x− 3 · ctgx3 · ctg 2x− 1

.Formule pentru unghi dublu, unghi triplu

..

sin2 x

2=

1− cosx2

cos2x

2=

1 + cosx2

tg 2 x

2=

1− cosx1 + cosx

ctg 2 x

2=

1 + cosx1− cosx

.Formula unghiului pe jumătate

22

Page 15: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

= arctg tg (α−β) = α−β = arctg1

k−arctg

1

k + 1, astfel lim

n→∞

n∑k=1

arctg1

k2 + k + 1=

= limn→∞

(arctg 1− arctg

1

2+ arctg

1

2− arctg

1

3+ . . .+ arctg

1

n− 1

n+ 1

)=

= limn→∞

4− arctg

1

n+ 1

)=

π

4− 0 =

π

4.

2.3. Inegalităţi şi limite

..

Fie (an), (bn), (cn) şiruri, α ∈ R.Teoremă. Dacă lim

n→∞bn = 0 şi |an − α| ≤ bn, ∀n ∈ N, atunci ∃ lim

n→∞an = α.

Teoremă. Dacă limn→∞

bn = +∞ şi an ≥ bn, ∀n ∈ N, atunci ∃ limn→∞

an = +∞.

Teoremă. Dacă limn→∞

bn = −∞ şi an ≤ bn, ∀n ∈ N, atunci ∃ limn→∞

an = −∞.

Teoremă. Dacă (an), (bn) sunt convergente şi an ≤ bn, ∀n ∈ N, atuncilim

n→∞an ≤ lim

n→∞bn.

Teoremă. Dacă an ≤ bn ≤ cn, ∀n ∈ N şi limn→∞

an = limn→∞

cn = l, atunci

limn→∞

bn = l.

Problemă. Să se calculeze: limn→∞

sin 1

n2 + 1+

sin 2

n2 + 2+ . . .+

sinn

n2 + n.

S. Pentru orice k ∈ N∗,sin k

n2 + k≤ 1

n2 + k<

1

n2, astfel

0 ≤ sin 1

n2 + 1+

sin 2

n2 + 2+ . . .+

sinn

n2 + n< n · 1

n2=

1

n,

de unde 0 ≤ limn→∞

sin 1

n2 + 1+

sin 2

n2 + 2+ . . .+

sinn

n2 + n≤ lim

n→∞

1

n= 0 ⇒

limn→∞

sin 1

n2 + 1+

sin 2

n2 + 2+ . . .+

sinn

n2 + n= 0.

Problemă. Să se calculeze: limn→∞

1 +1√2+ . . .+

1√n.

S. Demonstrăm (prin metoda inducţiei matematice) că

an = 1 +1√2+ . . .+

1√n

>√n, ∀n ≥ 2.

I. n = 2: 1 +1√2>

√2 ⇔ 1 >

√2

2⇔ 2 >

√2.

II. Presupunând că inegalitatea este adevărată pentru k, demonstrăm că este adevă-rată şi pentru k + 1:

1 +1√2+ . . .+

1√k+

1√k + 1

>√k +

1√k + 1

=

√k(k + 1) + 1√

k + 1>

√k + 1.

Din limn→∞

√n = ∞ şi an >

√n, ∀n ≥ 2, rezultă că lim

n→∞an = ∞.

35

Page 16: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

2.4. Convergenţă, monotonie, mărginire

..Teoremă. Dacă şirul (an) este convergent, atunci (an) este mărginit.Teoremă. Dacă şirul (an) estemărginit şi lim

n→∞bn = 0, atunci ∃ lim

n→∞anbn = 0.

Exemplu. limn→∞

2n

4n+ 3sin

1

n= 0, pentru că an =

2n

4n+ 3<

1

2⇒ (an) este mărginit

şi limn→∞

sin1

n= sin 0 = 0.

..

Teoremă. Orice şir care este monoton şi mărginit este convergent.

.Teorema lui Weierstrass

Problemă. Să se demonstreze că şirul a1 = 2, an+1 =√an + 12, ∀n ≥ 1 este

convergent şi să se determine limita şirului.S. Din primele câţiva termeni se pare că şirul este crescător.

an+1 > an ⇔√an + 12 > an ⇔ −a2

n + an + 12 > 0 ⇔ an ∈ (−3, 4),deci pentru a arăta monotonia şirului, mai întâi trebuie demonstrat că an < 4, ∀n ≥1- demonstraţia o facem cu metoda inducţiei matematice:I. n = 1: a1 = 2 < 4.II. Pesupunând că ak < 4, demonstrăm că ak+1 < 4:

ak+1 =√ak + 12 <

√4 + 12 = 4.

Astfel, an < 4 şi de aici (an) este strict crescător.Conform teormei lui Weierstrass şirul (an) este convergent- fie lim

n→∞an = l ∈ R,

atuncilim

n→∞an+1 = lim

n→∞

√an + 12 ⇒ l =

√l + 12 ⇒ l1 = −3, l2 = 4.

Deoarece an > 0, limita nu poate fi l1 = −3, deci limn→∞

an = l2 = 4.

..

Teoremă. Şirul (en)n∈N∗ , en =

(1 +

1

n

)n

este convergent şi limita şirului este

numărul e .Teoremă. Şirul (an)n∈N cu termenul general an =

1

0!+

1

1!+

1

2!+ . . .+

1

n!este

convergent şi limn→∞

= e.

.Numărul e

36

Page 17: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

3. Limite de funcţii

3.1. Limita unei funcţii

..

Definiţie. Funcţia f : D → R,D ⊆ R are limita l ∈ R în punctul de acumularex0 ∈ R dacă şi numai dacă pentru oricare vecinătateVl a lui l există o vecinătateUx0 a lui x0 astfel încât, ∀x ∈ U∗

x0∩D ⇒ f(x) ∈ Vl.

Notaţie. Dacă func tia f : D → R are limita l în x0 ∈ R, l ∈ R, atunci se scrielim

x→x0

f(x) = l.

Teoremă. (Definiţia limitei după Heine) Fie f : D → R, x0 ∈ R, l ∈ R.Afirmaţiile următoare sunt echivalente:

.. limx→x0

f(x) = l,

.. ∀(xn)n≥1, xn ∈ D, xn = x0 cu limn→∞

xn = x0, avem limn→∞

f(xn) = l.

Problemă. Să se arate că funcţia f : R∗ → R, f(x) = sin1

xnu are limită în

punctul x0 = 0!

S. Fie şirurile (xn)n≥1 şi (x′n)n≥1, unde xn =

1

nπ, x′

n =2

(4n+ 1)π.

Atunci limn→∞

xn = limn→∞

x′n = 0 és

limn→∞

f(xn) = limn→∞

sin1

xn= lim

n→∞sinnπ = 0,

limn→∞

f(x′n) = lim

n→∞sin

1

x′n

= limn→∞

sin(4n+ 1)π

2= 1,

deci (din definiţia după Heine) f nu are limită în punctul x0.

..

Definiţie. limx→x0

f(x) = l ∈ R ⇔∀ε > 0,∃δ(ε) > 0 a. î. dacă |x− x0| < δ(ε), x = x0 atunci |f(x)− l| < ε.

Definiţie. limx→x0

f(x) = +∞ ⇔∀ε > 0,∃δ(ε) > 0 a. î. dacă |x− x0| < δ(ε), x = x0 atunci f(x) > ε.

Definiţie. limx→x0

f(x) = −∞ ⇔∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 a. î. dacă |x− x0| < δ(ε), x = x0 atunci f(x) < −ε.

.Limită în punctul x0 ∈ R

Problemă. Să se arate că limx→0

x− 1

x2= ∞!

40

Page 18: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

S. Trebuie arătat că ∀ε > 0 ∃δ > 0 a. î. dacă |x| < δ, x = 0, atunci f(x) > ε.

f(x) > ε ⇔ x− 1

x2> ε ⇔ εx2 − x+ 1 < 0 ⇔ x ∈

(1−

√1− 4ε

2ε,1 +

√1− 4ε

).

Dacă δ = min{∣∣∣∣1−√

1− 4ε

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣1−√1− 4ε

∣∣∣∣}, atunci |x| < δ ⇒ f(x) < ε.

..

Definiţie. limx→∞

f(x) = l ∈ R ⇔∀ε > 0,∃δ(ε) > 0 a. î. dacă x > δ(ε) atunci |f(x)− l| < ε.

Definiţie. limx→∞

f(x) = +∞ ⇔∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 a. î. dacă x > δ(ε) atunci f(x) > ε.

Definiţie. limx→∞

f(x) = −∞ ⇔∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 a. î. dacă x > δ(ε), atunci f(x) < −ε.

.Limită în+∞

..

Definiţie. limx→−∞

f(x) = l ∈ R ⇔∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 a. î. dacă x < −δ(ε) atunci |f(x)− l| < ε.

Definiţie. limx→−∞

f(x) = +∞ ⇔∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 a. î. dacă x < −δ(ε) atunci f(x) > ε.

Definiţie. limx→−∞

f(x) = −∞ ⇔∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 a. î. dacă x < −δ(ε), atunci f(x) < −ε.

.Limită în−∞

..

Definiţie. Funcţia f : D → R, D ⊆ R are limita laterală la stânga l ∈ R înpunctul de acumulare x0 ∈ R dacă şi numai dacă pentru oricare vecinătate Vl

a lui l există o vecinătate Ux0 a lui x0 astfel încât ∀x ∈ U∗x0

∩ D, x < x0 ⇒f(x) ∈ Vl.Notaţie. lim

x→x0x<x0

f(x) sau limx↗x0

f(x).

Teoremă. limx→x0x<x0

f(x) = l ⇔

∀(xn)n≥1, xn ∈ D, xn < x0, limn→∞

xn = x0 ⇒ limn→∞

f(xn) = l.

Observaţie. În mod analog se defineşte limita laterală la dreapta.Teoremă. Fie funcţia f : D → R şi x0 un punct de acumulare al mulţimii D.Funcţia f are limită în punctul x0 dacă şi numai dacă există limitele laterale lastânga şi la dreapta şi acestea sunt egale.

.Limite laterale

41

Page 19: Presstern Subiecte Bacalaureat Matematica 1 Geometrie Si Analiza Matematica

5.4. Derivatele funcţiilor elementare

..

Funcţia Derivata funcţiei Domeniul derivatei

f(x) = c, c ∈ R f ′(x) = 0 R

f(x) = xn, n ∈ N∗ f ′(x) = nxn−1 R

f(x) = xa, a ∈ R f ′(x) = axa−1 (0,∞)

f(x) =√x f ′(x) =

1

2√x

(0,∞)

f(x) = loga x,a>0,a =1 f ′(x) =

1

x ln a(0,∞)

f(x) = lnx f ′(x) =1

x(0,∞)

f(x) = ax, a>0,a =1 f ′(x) = ax ln a R

f(x) = sinx f ′(x) = cosx R

f(x) = cosx f ′(x) = sinx R

f(x) = tgx f ′(x) =1

cos2 xR \

{π2+ kπ|k ∈ Z

}f(x) = ctgx f ′(x) = − 1

sin2 xR \ {kπ|k ∈ Z}

f(x) = arcsinx f ′(x) =1√

1− x2(−1, 1)

f(x) = arccosx f ′(x) = − 1√1− x2

(−1, 1)

f(x) = arctgx f ′(x) =1

1 + x2R

f(x) = arcctgx f ′(x) = − 1

1 + x2R

54