Inducția matematică

ALGEBRĂ

Inducția matematică O metodă de raționament , în care concluzia

rezultă pe baza cercetării tuturor cazurilor se numește inducție completă .

Inducția completă are un domeniu restrâns de aplicabilitate în matematică

De regulă , propozițiile matematice se referă la o mulțime infinită de elemente și nu este posibil de considerat , pe rând toate aceste elemente !

Inducția matematicăExistă însă o metodă de a

raționa , care înlocuiește analiza unei mulțimi infinite de cazuri cu demonstrarea faptului că , dacă o propoziție este adevărată într-un caz , atunci ea se dovedește adevărată și în cazul care succede acestuia .

O astfel de metodă de raționament se numește inducție matematică .

Inducția matematică Pentru înțelegere considerăm propoziția : Pentru orice număr natural are loc

egalitatea :

Notăm cu această egalitate , fiind o propoziție care depinde de numărul natural

1n

21 3 5 ... (2 1)n n

( )P n

1n

Inducția matematicăPentru convingere verificăm dacă această

propoziție este adevărată pentru câteva valori date lui n

De exemplu , pentru obținem propoziția adică

Efectuând calculele obținem atunci :

4n ( )4P

21 3 5 ... ( 4 42 1)

21 3 5 .. 4. 7

Inducția matematică Observăm că în această sumă termenii sunt

din 2 în 2 ! Din acest motiv între 5 și 7 nu mai există și

alți termeni , deci spațiile punctate dispar !

Efectuând calculele obținem că 16=16 deci este o propoziție adevărată .

241 3 5 7

(4)P

Inducția matematicăDeci când calculăm o sumă cu spații punctate

vom înlocui valoarea lui n în ultimul termen al sumei pentru a determina termenul la care suma se termină .

Deoarece ultimul termen este 1 și primul termen este tot 1 termenii dintre ei dispar și suma nu are decât un termen

.

2( ) :1 3 5 ... (21 1)1 1P 2( ) :1 3 5 ...1 1 1P

Inducția matematică2( ) :1 1 1P Obținem astfel ceea ce este

adevărat .Faptul că propoziția este adevărată pentru

câteva valori date lui n nu demonstrează însă că ea este adevărată pentru orice număr natural n

O demonstrație pentru acest lucru este dată de metoda inducției matematice .

Inducția matematică Aplicarea metodei inducției matematice

pentru a demonstra o propoziție constă în parcurgerea a două etape :

I. Verificarea : Pentru sau cea mai mică valoare pe care i-o putem da , verificăm dacă propoziția este adevărată .

II. Demonstrația : . Presupunem

și demonstrăm că Concluzia :

( ) , P n n

0n (0)P

( ) ( 1)P k P k

( ) ( )P k A ( 1) ( )P k A

( ) ( ) ( )P n A n

Inducția matematică Să demonstrăm atunci :

I. Verificarea : ⇔ ⇔ (A)II. Demonstrația :Presupunem că propoziția este (A)

21 3 5 ... (2 1) , ( ) 1n n n

2( ) :1 3 5 ... (21 1)1 1P

( ) :1 3 5 ...1P 21 1 2( ) :1 1 1P

( ) ( 1)P k P k

2( ) :1 3 5 ... (2 1) P k k k

Inducția matematică Demonstrăm că propoziția

este (A)Dacă ultimul termen din propoziția l-

am obținut pentru atunci penultimul îl obținem pentru deci :

⇔

2( ) :1 3 5 ... (2( )1 1 11) ( ) k k kP

( 1)P k 1n k

n k

2

( 1) :1 3 5 ... (2 1)

(2 2 1) ( 1)

P k k

k k

2

( 1) :1 3 5 ... (2 1)

(2 1) ( 1)

P k k

k k

Inducția matematică

Se observă că în propoziția suma subliniată cu roșu este de fapt suma din propoziția care a fost presupusă adevărată și atunci poate fi

înlocuită cu ⇨ Această propoziție este adevărată deoarece

2( 1) :1 3 5 ... (2 1) (2 1) ( 1) P k k k k

( )P k( 1)P k

( )P k

2k2 2( 1) : 2 1 ( 1) P k k k k

2 2 22 ( )a ab b a b

Inducția matematică Concluzia este atunci că :

∎Metoda inducției matematice are o largă

utilizare în matematică . Ea poate fi folosită la calcularea de sume și produse , la demonstrarea unor egalități și inegalități , în probleme de divizibilitate a numerelor .

( ) , ( ) ( ) 1P n A n

Inducția matematică Iată câteva exemple în care puteți folosi

această metodă :

1)

2)

3)

( 1)1 2 3 ... , ( ) 1

2n n

n n

2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ... , ( ) 1

6n n n

n n

2

3 3 3 3 ( 1)1 2 3 ... , ( ) 1

2n n

n n

Inducția matematică 4) Calculați suma

și demonstrați rezultatul obținut prin inducție matematică pentru

5) Fie suma

a) Să se arate că , b) Să se calculeze suma folosind a)c) Demonstrați prin metoda inducției matematice rezultatul de la b)

1 2 2 3 3 4 ... ( 1)nS n n

( ) 1n 1 1 1 1

...1 2 2 3 3 4 ( 1)nS n n

1 1 1( 1) 1k k k k

k

nS

Inducția matematică Aici lecția noastră se termină ! Spor la lucru ! Lecție realizată de prof. CURT MARIUSLiceul Tehnologic De Industrie Alimentara

fetesti