examenul de bacalaureat – 2009 probă scrisă...

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Proba scrisă la MATEMATICĂ Proba D – TM1

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. • Minden feladat kötelező. Munkaidő 3 óra. Megjelenés 10 pont. • Minden feladat teljes megoldását írd a vizsgalapra.

I. FELADAT (30p) – 001. változat 5p 1. Határozd meg az 1 5 9 ... 231x+ + + + = egyenlőségből az x természetes számot! 5p

2. Oldd meg a valós számok halmazán a 22 5 3 0x x− + ≤ egyenlőtlenséget!

5p 3. Határozd meg az 2: (0, ) (1, ), ( ) 1f f x x∞ → ∞ = + bijektív függvény inverzét!

5p 4. Adott az { }1,2,3,...,10A = halmaz. Határozd meg az A halmaz azon háromelemű részhalmazainak

számát amelyek tartalmazzák az 1 elemet! 5p

5. Határozd meg az m ∈ számot úgy, hogy az (2, )A m és ( , 2)B m − pontok közötti távolság 4 legyen!

5p 6. Számítsd ki 23

cos sin12 12

π π⋅ szorzatot!



1EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. • Minden feladat kötelező. Munkaidő 3 óra. Megjelenés 10 pont. • Minden feladat teljes megoldását írd a vizsgalapra!

I. FELADAT (30p) – 002. változat

5p 1. Igazold, hogy az ( )241 i− valós szám!

5p 2. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 1 1

31 2 1

x x

x x

− ++ =+ −

egyenletet!

5p 3. Határozd meg az ( ): 1,f → ∞ , ( ) 1xf x e= + bijektív függvény inverzét!

5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy a kétjegyű természetes számok halmazából kiválasztott ab szám esetén a b≠ legyen!

5p 5. Az háromszögben ( 2, 1)A − − , (2,0)B , (0,6)C . Számítsd ki a háromszög A csúcsához tartozó oldalfelezőjének hosszát!

5p 6. Az 3u mi j= + és ( )2v m i j= − − vektorok esetén határozd meg az 0m > értékét úgy, hogy az u

és v vektorok merőlegesek legyenek egymásra!






5p 1. Rendezd növekvő sorrendbe a 32, 4 és 4 5 számokat!

5p 2. Határozd meg az :f →R R , ( ) 24 8 1f x x x= − + függvény minimumát!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a lg( 1) lg(6 5) 2x x− + − = egyenletet!

5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy a kétjegyű természetes számok halmazából kiválasztott szám teljes négyzet legyen!

5p 5. Határozd meg az (6,4)A ponton átmenő, a : 2 3 1 0d x y− + = egyenesre merőleges egyenes egyenletét!

5p 6. Ha 1

sin3

α = , számítsd ki cos 2α értékét!



17EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008

Varianta 4 EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D



5p 1. Igazold, hogy az 2

1 1

1 1i i − − +

valós szám!

5p 2. Igazold, hogy az 2 5 1y x x= + + egyenletű parabola csúcsa a koordinátasík III. negyedében helyezkedik el!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 19 10 3 1 0x x−− ⋅ + = egyenletet! 5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy a háromjegyű természetes számok halmazából kiválasztott

számnak pontosan két egyenlő számjegye legyen! 5p 5. Határozd meg az a ∈ azon értékeit, amelyekre az ( 1)u ai a j= + + és (5 1) 2v a i j= − − + vektorok

merőlegesek egymásra! 5p 6. Számítsd ki az ABC hegyesszögű háromszög BC oldalának hosszát, ha 6AB = , 10AC = és az ABC

háromszög területe 15 3 .






5p 1. Számítsd ki az 1 1

1 2 1 2i i+

+ − komplex számot!

5p 2. Oldd meg az egész számok halmazán az 2 10 12 0x x− + ≤ egyenlőtlenséget!

5p 3. Határozd meg az ( ) ( ): 1. 0,f ∞ → ∞ , 2( ) 3logf x x= bijektív függvény inverz függvényét!

5p 4. Határozd meg azon { } { }: 1,2,3,4 1,2,3,4f → függvények számát, amelyekre (1) (4)f f= .

5p 5. Határozd meg az ABCD paralelogramma D csúcsának koordinátáit, ha ( 2,9), (7, 4), (8, 3)A B C− − − .

5p 6. Az ABC háromszögben 3

Bπ= és a háromszög köré írt kör sugara 1. Számítsd ki az AC oldal

hosszát!





I. FELADAT (30p) – 006. változat 5p 1. Számítsd ki az összes kétjegyű 11-gyel osztható természetes szám összegét! 5p 2. Határozd meg azt a másodfokú f függvényt, amelyre ( 1) 1, (0) 1, (1) 3f f f− = = = .

5p 3. Oldd meg a ( )0,π halmazon a sin3 sinx x= egyenletet!

5p 4. Hány különböző számjegyekből álló háromjegyű természetes szám képezhető a 2,4,6 , 8 számjegyekkel?

5p 5. Az ABC háromszögben (1,2)A , (2, 2)B − és (4,6)C . Számítsd ki cos B értékét!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarát, ha 6AB = és 6

Cπ= .






5p 1. Számítsd ki a 8

7 4

iz

i

+=−

komplex szám moduluszát!

5p 2. Határozd meg az :f →R R , ( ) 2 6 9f x x x= − + − függvény maximumát!

5p 3. Oldd meg a [ )0,2π halmazon a 1

sin2

x = − egyenletet!

5p 4. Határozd meg azt az n ∗∈ számot, amelyre az { }1,2,...,n halmaznak pontosan 120 kételemű

részhalmaza van! 5p 5. Az ABC háromszögben az AB AC+ és AB AC− vektorok modulusza egyenlő. Bizonyítsd be, hogy

az ABC háromszög derékszögű! 5p 6. Számítsd ki az ABC háromszögbe írt kör sugarát, ha a háromszög oldalainak hossza 3, 4 és 5.






5p 1. Oldd meg a komplex számok halmazán a 2 4z = − egyenletet!

5p 2. Adott az :f →R R , ( ) 2f x ax x c= + + függvény. Határozd meg az a és c valós számokat, ha az

( )1,2A és ( )0,3B pontok rajta vannak az f függvény grafikus képén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 7 1 1x x+ − = egyenletet!

5p 4. Hány különböző számjegyekből álló négyjegyű természetes szám képezhető az { }1,3,5,7,9 halmazbeli

számjegyekkel?

5p 5. Tekintsük az ABCD paralelogrammát és az ,E F pontokat úgy, hogy , 2AE EB DF FE= = . Bizonyítsd be, hogy az ,A F , C pontok kollineárisak!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög BC oldalához tartozó magasságának hosszát, ha 13AB = , 14AC = és 15BC = .





I. FELADAT (30p) – 009. változat 5p 1. Határozd meg az x természetes számot, ha 1 3 5 225x+ + + + =… .

5p 2. Határozd meg az m valós paramétert, ha az : ,f → ( ) 2 2f x x mx m= + − függvény grafikus képe

az Ox tengelyt két, egymástól 3 egység távolságra lévő pontban metszi! 5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a ( )1

2log 2 1x x− + + = egyenletet!

5p 4. Igazold, hogy 3 1517 17C C> .

5p 5. Legyen ABCDEF egy 4 oldalhosszúságú szabályos hatszög. Számítsd ki az AC BD+ vektor moduluszát!

5p 6. Igazold, hogy 2 2 2 91sin 1 sin 2 ... sin 90

2+ + + = .






5p 1. A z komplex szám esetén 2 1 0z z+ + = . Számítsd ki a 44

1z

z+ komplex számot!

5p 2. Határozd meg azt az elsőfokú f függvényt, amelyre ( ) ( )( ) 2 1f f x f x= + , minden x ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a ( )lg 1 lg9 1 lgx x+ − = − egyenletet!

5p 4. Határozd meg a 103(3 3)+ kifejtésében szereplő racionális tagok számát!

5p 5. Az ABC háromszögben ( 1,0), (0,2), (2, 1)A B C− − . Határozd meg a háromszög súlypontjának koordinátáit!

5p 6. Igazold, hogy az 5 4u i j= − és 2 3v i j= + vektorok tompaszöget zárnak be!





I. FELADAT (30p) – 011. változat 5p 1. Határozd meg az ,a b ∈ számokat, ha a 2, ,a b számok mértani haladványban, a 2,17,a számok

pedig számtani haladványban vannak! 5p

2. Adott az : , ( ) 3 2f f x x→ = − + függvény. Oldd meg az ( )( ) 0f f x = egyenletet!

5p 3. Oldd meg a [ )0,2π halmazon a tg( ) 1 2 tgx x− = − egyenletet!

5p 4. Határozd meg azon { } { }: 0,1,2 0,1,2f → függvények számát, amelyekre (2) 2f = .

5p 5. Tekintsük az ABC háromszöget és a ,D E pontokat, amelyekre 2 , 2AD DB AE EC= = . Bizonyítsd be, hogy a DE és BC egyenesek párhuzamosak!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarát, ha ,

4A

π=6

Bπ= és 6.AB =





I. FELADAT (30p) – 012. változat 5p

1. Számítsd ki az 1 1

1 1i i+

+ − összeget!

5p 2. Oldd meg a valós számok halmazán az

1 2 7

2 3 6

x x

x x

+ ++ =+ +

egyenletet!

5p 3. Oldd meg a [ )0,2π halmazban a

1cos 2

2x = egyenletet!

5p 4. Határozd meg az 0a > számot, ha a

123

4

1a

a

+

kifejtésében a középső tag 1848.

5p 5. Határozd meg a : 2 3 1 0d x y− + = egyenes ( 3,4)A − pont szerinti szimmetrikusának egyenletét!

5p 6. Ha ctg 3x = , számítsd ki ctg 2x értékét!






5p 1. Igazold, hogy az 22(1 3) (1 3)i i+ + − szám egész!

5p 2. Oldd meg az × halmazon az

4

3

x y

xy

+ = =

egyenletrendszert!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az ( )6 2 1x x= − − egyenletet!

5p 4. Határozd meg az

92 1

xx

+

kifejtésének azt a tagját, amely nem tartalmazza x -et!

5p 5. Számítsd ki az (3,0)A pont távolságát a : 3 4 1 0d x y− + = egyenestől!

5p 6. Az ABC háromszögben 4AB = , 5BC = és 6CA = . Igazold, hogy ( ) ( )2 .m B m C=






5p 1. Számítsd ki a 1 2 3 99

lg lg lg ... lg2 3 4 100

+ + + + összeget!

5p

2. Határozd meg az *a ∈ azon értékeit, amelyekre ( ) 23 0a x ax a− − − < bármely x ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 38 9 4x x− = − egyenletet! 5p 4. Határozd meg egy halmaz elemeinek számát, ha pontosan 45 kételemű részhalmaza van! 5p 5. Határozd meg az AB egyenes egyenletét, ha (2,3)A és ( 5,4)B − .

5p

6. Az ABC hegyesszögű háromszögben 2 3AC = , és a háromszög köré írt kör sugara 2. Számítsd ki a B szög mértékét!






5p 1. Számítsd ki ( ) ( )3 3 3log 5 7 log 5 7 log 2− + + − értékét!

5p

2. Határozd meg azt a másodfokú függvényt, amelynek grafikus képe az (1,0) pontban érinti az Ox tengelyt, és átmegy a (0,2) ponton!

5p 3. Oldd meg a [ )0,2π halmazon a sin cos 0x x+ = egyenletet! 5p 4. Hány négyjegyű természetes szám képezhető az { }1,3,5,7,9 halmaz elemeivel?

5p 5. Határozd meg az ( 2,2)A − ponton átmenő, és a (2,1)C és ( 1, 3)D − − pontok által meghatározott egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét!

5p 6. Ha 3

,2

πα π ∈

úgy, hogy 5

cos13

α = − , számítsd ki sinα értékét!







2

iz

i

−=+

komplex szám moduluszát!

5p

2. Határozd meg az a ∈ azon értékeit, amelyekre 2 2 0x ax+ + ≥ , bármely x valós szám esetén!

5p 3. Oldd meg a [ ]1,1− intervallumon az 1

arcsin arcsin2 3

x+ = π egyenletet!

5p 4. Oldd meg a 8 10n nC C= , , 10n n∈ ≥ egyenletet!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( ) ( ) ( )2, 2 , 2,3 , 2,3A B C− − pontok. Határozd meg az

ABC háromszög legnagyobb szögének mértékét!

5p 6. Ha ,2

πα π ∈

úgy, hogy 3

sin5

α = , számítsd ki sin 2α értékét!






1. Igazold, hogy az ( )31 3i+ szám egész!

5p

2. Határozd meg az 2: , ( ) 2f f x x x→ = − + függvény képét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 1 5x− + = egyenletet!

5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy a kétjegyű természetes számok halmazából kiválasztott ab szám esetén 4a b+ = legyen!

5p 5. Határozd meg az ( 1,1)A − ponton átmenő, és a : 5 4 1 0d x y− + = egyenesre merőleges egyenes egyenletét!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha 6AB = ,4

Bπ= és

6C

π= .





I. FELADAT (30p) – 018. változat 5p 1. Oldd meg a komplex számok halmazán az 2 2 4 0x x− + = egyenletet!

5p

2. Határozd meg az :f → , 2( ) 3 2f x x x= − + függvény minimumát!

5p 3. Oldd meg a [ ]1,1− intervallumon az 1

arcsin arccos22

xπ+ = egyenletet!

5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy a { }0,1,2,...,7 halmazból kiválasztott k szám esetén 7kC

prímszám legyen! 5p 5. Határozd meg az a ∈ értékét úgy, hogy az 3u ai j= + és ( )4 4v i a j= + + vektorok kollineárisak

legyenek!

5p 6. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( 3,4)A − , (4, 3)B − és (1,2)C pontok. Számítsd ki az

( )AB AC BC⋅ + szorzatot!





I. FELADAT (30p) – 019. változat 5p 1. Rendezd növekvő sorrendbe a 3 , 3 5 és 4 8 számokat! 5p

2. Határozd meg az f függvényt, ha az f és :g → , ( ) 3 3g x x= − + függvények grafikus képei szimmetrikusak az 1x = egyenesre nézve!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 1 13 10 3 27 0x x+ +− ⋅ + = egyenletet! 5p 4. Mi a valószínűsége annak, hogy egy háromjegyű természetes szám minden számjegye páros legyen? 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az (1,2)A , (2,3)B és (2, 5)C − pontok. Határozd meg az

ABC háromszög A csúcsához tartozó oldalfelezőjének egyenletét!

5p 6. Igazold, hogy ctg1 tg1

ctg 22

−= .





I. FELADAT (30p) – 020. változat 5p 1. Igazold, hogy 32 (log 4, 5)∈ .

5p 2. Oldd meg a komplex számok halmazán az 2 2 2 0x x− + = egyenletet!

5p 3. Oldd meg a [0,2 )π halmazon a sin cos 1x x+ = − egyenletet!

5p 4. Számítsd ki a 4 4 44 5 6C C C+ + összeget!

5p 5. Az ABC háromszög AB és AC oldalain felvesszük az M illetve N pontokat úgy, hogy 4AM MB=

és MN BC . Határozd meg az m ∈ R számot, ha CN mAC= .

5p 6. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az (0,0)O , ( 1,2)A − és ( 2,3)B − pontok. Számítsd ki az

OAB háromszög területét!






5p 1. Oldd meg a komplex számok halmazán az 2 8 25 0x x− + = egyenletet! 5p

2. Határozd meg az a ∈ azon értékeit, amelyekre az :f → , ( ) ( )2( ) 1 3 1 1f x a x a x a= + + − + −

függvény grafikus képe két különböző pontban metszi az Ox tengelyt!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 8 6 1 1x x+ − − = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki: 4 4 38 7 7C C C− − .

5p 5. Határozd meg az (1,2)A pontból a : 1 0d x y+ − = egyenesre állított merőleges egyenes egyenletét!

5p 6. Ha 1

sin3

x = , számítsd ki cos 2x értékét!






5p 1. Számítsd ki az 2 101 ...i i i+ + + + összeget!

5p 2. Adottak az 2, : , ( ) 3 2, ( ) 2 1f g f x x x g x x→ = − + = − függvények. Oldd meg a valós számok

halmazán az ( )( ) 0f g x = egyenletet!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a ( ) 2lg( 9) lg 7 3 1 lg( 9)x x x+ + + = + + egyenletet!

5p 4. Oldd meg a 2 10nC < egyenlőtlenséget, ha 2n ≥ természetes szám!

5p 5. Számítsd ki a 1 : 2 0d x y− = és 2 : 2 4 1 0d x y− − = párhuzamos egyenesek közötti távolságot!

5p 6. Számítsd ki a sin 75 sin15+ összeget!





I. FELADAT (30p) – 023. változat 5p 1. Az ( ) 1n n

a ≥ számtani haladvány esetén 4 2 4a a− = és 1 3 5 6 30a a a a+ + + = . Számítsd ki a

haladvány első 20 tagjának az összegét!

5p

2. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 3 1

2 2

x x

x x

+ −=+ −

egyenletet!

5p 3. Számítsd ki: 1

tg arctg2 2

π −

.

5p 4. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy az { }1,2,3,...,40 halmazból kiválasztott n elem esetén a 22 6n n+ ⋅ szám teljes négyzet legyen!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az (5, 3)A − , (2, 1)B − és (0,9)C pontok. Határozd meg az ABC háromszög súlypontjának koordinátáit!

5p 6. Ha tg 2α = , számítsd ki sin4α értékét!







zz

+ komplex számot 1 3

2

iz

− += esetén!

5p 2. Határozd meg azt az :f → másodfokú függvényt, amelyre ( 1) (1) 0, (2) 6f f f− = = = .

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 4 811

log log log6

x x x+ + = egyenletet!

5p 4. Igazold, hogy ha x ∈ és 1x ≥ , akkor 2 2(1 ) (1 ) 4x x+ + − ≥ .

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az (0, 9)A , (2, 1)B − és (5, 3)C − pontok. Határozd meg az ABC háromszög B csúcsából húzott magasságának egyenletét!

5p 6. Számítsd ki: ( ) ( )2 5 3 4i j i j+ ⋅ − .





I. FELADAT (30p) – 025. változat 5p 1. Számítsd ki: ( )( ) ( )1 1 2 3 2i i i− + − − .

5p 2. Igazold, hogy bármely a ∗∈ esetén az 4y x= + egyenletű egyenes metszi az ( )2 2 1y ax a x= + − +

parabolát!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 12 3 2 8 0x x+− ⋅ + = egyenletet! 5p 4. Mi a valószínűsége annak, hogy a { }10,11,12,...,40 halmazból kiválasztott szám számjegyeinek

összege osztható legyen 3-mal?

5p 5. Az ABC háromszögben az M , N , P pontok az oldalak felező pontjai, H az MNP háromszög magasságpontja. Igazold, hogy .AH BH CH= =

5p 6. Számítsd ki sin sin

6 4 6 4

π π π π + + −

értékét!






5p 1. Legyenek 1z és 2z komplex számok a 22 50 0z z+ + = egyenlet gyökei. Számítsd ki a 1 2z z+

összeget! 5p

2. Adott az :f → , ( ) 1 2f x x= − függvény. Igazold, hogy az f f f függvény szigorúan

csökkenő! 5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 9 2x x+ = egyenletet! 5p 4. Ha { }2, 1, 0, 1, 2A = − − , és :f A A→ egy bijektív függvény, számítsd ki az

( 2) ( 1) (0) (1) (2)f f f f f− + − + + + összeget!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )1, 3A − és ( )1, 1B − pontok. Határozd meg az [ ]AB

szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!

5p 6. Ha ;2

πα π ∈

és 1

sin3

α = , számítsd ki tgα értékét!






5p 1. Számítsd ki az 2 3 61 i i i i+ + + + +… komplex szám moduluszát!

5p

2. Határozd meg az :f → , ( ) 22f x x x= − + függvény maximumát!

5p 3. Oldd meg a ( )0,∞ intervallumon a 2lg 5lg 6 0x x+ − = egyenletet!

5p 4. Határozd meg azon { } { }: 0,1,2,3 0,1,2,3f → függvények számát, amelyekre ( ) ( )0 1 2f f= = .

5p 5. Az xOy koordinátarendszerben adottak az ( )0, 0O , ( )1, 2A és ( )3, 1B pontok. Határozd meg az

AOB szög mértékét!

5p 6. Ha α ∈ és 1

sin cos3

α α+ = , számítsd ki sin 2α értékét!






5p 1. Számítsd ki az ( ) ( )10 101 1i i+ + − összeget!

5p 2. Az :f → , ( ) 26 3f x x x= − függvény esetén rendezd növekvő sorrendbe az ( )2f , ( )3f és

( )2f számokat!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 1 3x − = egyenletet! 5p 4. Határozd meg azon { } { }: 0,1,2,3 0,1,2,3f → függvények számát, amelyekre ( )0f páratlan szám!

5p 5. Az ABC háromszögben ( )M BC∈ úgy, hogy

1

3

BM

BC= . Igazold, hogy

2 1

3 3AM AB AC= + .

5p 6. Ha ,2

πα π ∈

és 3

sin5







5p 1. Igazold, hogy az 7 4 3 7 2 3a = + + − szám természetes szám! 5p 2. Az :f → , 2( ) 2 5 2f x x x= − + függvény esetén oldd meg az ( )2 0f x ≤ egyenlőtlenséget!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 2x x= − egyenletet! 5p 4. Az { }1, 2, 3, 4, 5, 6A = halmaz nem üres részhalmazai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mi a

valószínűsége annak, hogy a kiválasztott részhalmaz minden eleme páratlan szám? 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( ) ( )2,0 , 1,1A B és ( )3, 2C − pontok. Számítsd ki sinC -t!

5p 6. Ha 0,2

πα ∈

és tg ctg 2α α+ = , számítsd ki sin 2α értékét!






5p 1. Igazold, hogy az 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 99 100+ + + +

+ + + +… szám természetes szám!

5p

2. Határozd meg az m valós paraméter azon értékeit, amelyekre az :f → , ( ) 2 2f x x mx= − +

függvény grafikus képe az Ox tengelyt két különböző pontban metszi!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a ( ) ( )3 3log 1 log 3 1x x+ + + = egyenletet! 5p 4. Az { }1, 2, 3, 4, 5A = halmaz részhalmazai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mi a

valószínűsége annak, hogy a kiválasztott részhalmaz elemeinek a szorzata 120? 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( ) ( )0,2 , 1, 1A B − és ( )3,4C pontok. Határozd meg az

ABC háromszög súlypontjának koordinátáit!

5p 6. Igazold, hogy 2 2

sin8 2

π −= .






5p 1. Ha 3log 2 a= , bizonyítsd be, hogy 161 3

log 244

a

a

+= .

5p 2. Határozz meg két valós számot, melyek összege 1 és szorzata 1− .

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 1 22 2 160x x+ ++ = egyenletet! 5p 4. Egy osztályban 22 tanuló van, ebből 12 lány. Határozd meg hányféleképpen választhatunk ki egy 3

lányból és 2 fiúból álló bizottságot ebből az osztályból! 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )2, 1A − , ( )1, 1B − és ( )1, 3C pontok. Határozd meg a

C ponton átmenő és az AB egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét! 5p 6. Igazold, hogy sin 6 0< .

.






5p 1. Adott az 2 3 2009

1 1 1 11

2 2 2 2s = + + + + +… valós szám. Bizonyítsd be,. hogy ( )1,2s ∈ .

5p 2. Határozd meg az f és :g → , ( ) 2 1f x x= − , ( ) 4 1g x x= − + függvények grafikus képe

metszéspontjának koordinátáit!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2sin 1 cosx x= + egyenletet! 5p 4. Ha { }2, 1, 0, 1, 2A = − − , határozd meg az :f A A→ páros függvények számát!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )2, 1A − , ( )1, 1B − és ( )1, 3C pontok. Határozd meg

azon D pont koordinátáit, amelyre az ABCD négyszög paralelogramma!

5p 6. Ha ;2

xπ π ∈

és

3sin

5x = , számítsd ki sin

2

x értékét!





SUBIECTUL I (30p) – 033. változat 5p 1. Igazold, hogy 3

4 3log 16 log 9 27+ + természetes szám!

5p 2. Határozd meg az :f → , 2( ) 3 4 2f x x x= + + függvény minimumát!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 16 3 4 4x x+ ⋅ = egyenletet! 5p 4. Számítsd ki annak valószínűségét, hogy a { | , 100}n n n∈ < halmaz véletlenszerűen

kiválasztott eleme racionális szám legyen! 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )2, 1A − , ( )1, 1B − , ( )1, 3C és ( ), 4D a pontok, ahol

.a ∈ Határozd meg az a számot úgy, hogy az AB és CD egyenesek párhuzamosak legyenek! 5p

6. Ha x ∈ és 1

tg2

x = , számítsd ki tg +3

xπ

értékét!





I. FELADAT (30p) – 034. változat 5p 1. Számítsd ki a 4(3 4 )z i= + komplex szám moduluszát!

5p 2. Bizonyítsd be, hogy az :f → , 2( ) 2 2 1f x x x= + + függvényhez rendelt parabola csúcsa az 0x y+ = egyenletű egyenesen helyezkedik el!

5p 3. Határozd meg a sin sin 2x x= egyenlet [0, 2 )π intervallumbeli megoldásainak számát!

5p 4. Ha {1,2,3,4,5}A = , határozd meg azon :f A A→ bijektív függvények számát, amelyekre ( )1 2f = !

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )2, 1A − , ( )1, 1B − , ( )1, 3C és ( ), 4D a pontok, ahol

.a ∈ . Határozd meg az a számot úgy, hogy az AB és CD egyenesek merőlegesek legyenek egymásra! 5p 6. Az ABC hegyesszögű háromszögben sin cos sin cosB B C C+ = + .

Bizonyítsd be, hogy az ABC háromszög egyenlőszárú!





I. FELADAT (30p) – 035. változat 5p 1. Számítsd ki a ( ) ( )3 3

2 2i i+ + − komplex számot moduluszát!

5p 2. Egy másodfokú függvény grafikus képe az (1, 3),A − ( 1,3)B − , (0,1)C pontokon átmenő parabola. Számítsd ki a függvény értékét az 2x = pontban!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 4 6 2 9x x x⋅ − = ⋅ egyenletet! 5p 4. Mi a valószínűsége annak, hogy az { }0,1,2,..., 2009A = halmazból véletlenszerűen kiválasztott elem

osztható legyen 5 -tel! 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )0, 3A − és ( )4, 0B pontok. Számítsd ki az O pont

távolságát az AB egyenestől! 5p 6. Az ABCD paralelogrammában 6AB = , 8AD = és ( ) 135m ADC = . Számítsd ki a

paralelogramma területét!






5p 1. Ha az 1

7 végtelen tizedes tört alakja 1 2 3

10, ....

7a a a= , határozd meg az 60a számjegyet!

5p 2. Az f és :g → , ( ) 2f x x= − , ( ) 3 2g x x= + függvények esetén számítsd ki:

( )( ) ( )( ).f g x g f x−

5p 3. Bizonyítsd be, hogy az :f → , ( ) 33 1f x x= + függvény injektív!

5p 4. Számítsd ki annak valószínűégét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott háromjegyű természetes szám osztható legyen 50-nel!

5p 5. Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy az (1, 2)A − , (4,1)B és ( 1, )C a− pontok kollineárisak legyenek!

5p 6. Az ABC háromszögben 3AB = , 5AC = és 7BC = . Számítsd ki cos A értékét!





I. FELADAT (30p) – 037. változat 5p 1. Számítsd ki az 1 4 7 ... 100+ + + + összeget!

5p 2. Határozd meg az ( ) 2: , 1f f x x x→ = + + függvény képét!

5p 3. Mutasd ki, hogy a 1 3

sin arcsin sin arccos2 2

+ szám természetes szám!

5p 4. Határozd meg a ( )52 1+ kifejtésében szereplő racionális tagok számát!

5p 5. Az ABCD négyzet oldalának hossza 1. Számítsd ki az AB AC AD+ + vektor hosszát!


sin1054

+= .





I. FELADAT (30p) – 038. változat 5p 1. Igazold, hogy ( )2log 3 1,2∈ .

5p 2. Határozd meg az m valós paraméter azon értékeit, amelyekre 2 3 0x x m+ + > minden x ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a ( )sin cos 1x x+ − = egyenletet!

5p 4. Igazold, hogy bármely n, 3n ≥ természetes szám esetén 2 3 31n n nC C C ++ = !

5p 5. Határozd meg az a ∈ paramétert úgy, hogy a 1 : 2 3 1 0d x y+ + = , 2 : 3 2 0d x y+ − = és

3 : 0d x y a+ + = egyenesek összefutók legyenek!

5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha 4AB = , 3AC = és ( ) 60m BAC = .






5p 1. A 1 3

2

iz

− += komplex szám esetén igazold, hogy 2z z= .

5p 2. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 4 3 0x x− + − ≥ egyenlőtlenséget!

5p 3. Igazold, hogy az ( ) ( ) 1: 1, ,f f x x

x∞ → = + függvény injektív!

5p 4. Határozd meg azon { } { }: 1,2,3 0,1,2,3f → függvények számát, amelyekre ( )1f páros szám!

5p 5. Az ABC háromszögben 2AB = , 3AC = és 2 2BC = . Számítsd ki az AB AC⋅ szorzatot!


sin154

−= .






5p 1. Az a ∈ esetén adott a 2

2

a iz

ai

+=+

komplex szám. Határozd meg az a azon értékét, amelyre z ∈ .

5p 2. Bizonyítsd be, hogy az 2 3y x= + egyenletű egyenes az 2 4 12y x x= − + egyenletű parabolát egy és csak egy pontban metszi!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 1x x− = egyenletet! 5p 4. Adott az {1,2,3,4,5,6}A = halmaz. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy az. A A× Descartes-

szorzat egy véletlenszerűen kiválasztott ( ),a b eleme esetén 6a b+ = .

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )2, 1M − , ( )1, 2A és ( )4, 1B pontok. Határozd meg az

MA MB+ vektor hosszát! 5p 6. Igazold, hogy ( ) ( ) 2 2sin sin sin sina b a b a b+ ⋅ − = − , bármely ,a b ∈ esetén!





I. FELADAT (30p) – 041. változat 5p 1. Igazold, hogy lg 2 3100 27+ − természetes szám.

5p 2. Határozd meg az ( )2

2: ,

1

xf f x

x→ =

+ függvény képét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 13 3 8x x+ = − + egyenletet! 5p 4. Határozd meg azon { } { }: 1,2,3,4 1,2,3,4f → függvények számát, amelyekre ( ) ( )1 3 7f f+ = .

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )2, 1A − és ( )1, 1B − pontok. Határozd meg az O

ponton átmenő és az AB egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét!

5p 6. Ha az a és b valós számok esetén sin sin 1a b+ = és

1cos cos

2a b+ = , számítsd ki a ( )cos a b−

értékét!







1 1 11

3 3 3− + − szám egészrészét!

5p 2. Oldd meg az × halmazon az 2

2

3 1

2 4

y x x

y x x

= − +

= + + egyenletrendszert!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 1

arctg arctg3 2

xπ+ = egyenletet!

5p 4. Határozd meg a 1004( 5 1)+ kifejtésében szereplő racionális tagok számát!

5p 5. Bizonyítsd be, hogy az ( 1, 5)A − , (1,1)B és (3, 3)C − pontok kollineárisak!

5p 6. Számítsd ki a háromszögbe írt kör sugarának hosszát, ha oldalainak hossza 4, 5 és 7.





I. FELADAT (30p) – 043. változat 5p 1. Állapítsd meg a következő állítás igazságértékét: „Bármely két irracionális szám összege irracionális.” 5p 2. Adott az : , ( ) 2f f x x→ = + függvény. Oldd meg az 2( ( )) ( )f f x f x= egyenletet!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 4 2 12x x =− egyenletet! 5p 4. Adott az {1,2,3,4,5,6}A = halmaz. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy az. A A× Descartes-

szorzat egy véletlenszerűen kiválasztott ( ),a b eleme esetén az a és b számok szorzata páratlan legyen!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )1, 3A és ( )1, 1C − pontok. Számitsd ki az AC átlójú

négyzet területét! 5p

6. Bizonyítsd be, hogy 6 2

sin105 sin 752

++ = .






5p 1. Határozd meg a 1

1

iz

i

−=+

komplex szám valós részét!

5p 2. Határozd meg az m valós paraméter azon értékeit, amelyekre 2 1 0x mx+ + ≥ bármely x ∈ esetén!


arcsin 22

x = − egyenletet!

5p 4. Határozd meg az { }0,1, 2,3, ,9A = … halmaz azon 5 elemű részhalmazainak számát, amelyek

pontosan két páros számot tartalmaznak! 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak a ( )1, 2B − és ( )2, 2C − pontok. Számítsd ki az O pont

BC egyenestől mért távolságát! 5p

6. Ha ,2

πα π ∈

és 3

sin5

α = , számítsd ki ctgα értékét!






5p 1. Határozd meg az 7

5 2 1− szám egészrészét!

5p 2. Ha 1x és 2x az 2 1 0x x+ − = egyenlet valós megoldásai, bizonyítsd be, hogy 1 2

2 1

x x

x x+ ∈ .

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 12 3 3 7x x−⋅ + = egyenletet! 5p 4. Az { }1, 2,3, 4A = és { }1, 2,3, 4,5, 6B = halmazok esetén határozd meg a szigorúan növekvő :f A B→

függvények számát! 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )1, 3A , ( )2, 1B − és ( )3, 1C − − pontok. Számítsd ki az

ABC háromszög A csúcsából húzott magasságának hosszát! 5p 6. Bizonyítsd be, hogy 2(sin 75 sin15 ) 2.− =





I. FELADAT (30p) – 046. változat 5p 1. Az 1( )n na ≥ számtani haladvány esetén 3 19 10a a+ = . Számítsd ki az 6 16a a+ összeget!

5p 2. Határozd meg az m valós paraméter azon értékeit, amelyekre az 2 1 0x mx m− + − = egyenletnek két különböző valós megoldása van!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2lg lg 6x x+ = egyenletet!

5p 4. Az { }1, 2,3A = és { }1, 2,3, 4,5B = halmazok esetén határozd meg azon szigorúan csökkenő

:f A B→ függvények számát, amelyekre ( )3 1f = .

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )2, 1M − , ( )1, 1N − és ( )0, 3P pontok. Határozd meg a

Q pont koordinátáit, úgy, hogy az MNPQ négyszög paralelogramma legyen!

5p 6. Az ABC háromszögben 2, 3AB AC= = şi 4BC = . Számítsd ki az A csúcshoz tartozó oldalfelező hosszát!






5p 1. Igazold, hogy ( ) ( )4 42 2i i+ + − egész szám!

5p 2. Határozd meg az 2 1y x= + egyenletű egyenes és az 2 1y x x= + + egyenletű parabola metszéspontjainak koordinátáit!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 22 16 11x x+ + = egyenletet! 5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott négyjegyű természetes

szám osztható legyen 9 -cel! 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )1, 1A − , ( )1, 3B és ( )3, 2C pontok és G az ABC

háromszög súlypontja. Határozd meg az OG egyenes egyenletét! 5p 6. Igazold, hogy ( )2 cos75 cos15 6⋅ + = .






5p 1. Határozd meg a ( )63 i+ komplex szám valós részét!

5p 2. Az : (0, )f ∞ → , ( ) 3

1f x

x= függvény esetén számítsd ki az ( ) ( )512f f értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a cos2 sin 0x x+ = egyenletet! 5p 4. Adott az {0,1,2,3,4,5}M = halmaz. Határozd meg azon ( , , )a b c számhármasok számát, amelyekre

, ,a b c M∈ és a b c< < . 5p 5. Számítsd ki az 2 6x y+ = és 2 4 11x y+ = egyenletű párhuzamos egyenesek közötti távolságot!

5p 6. Az ABCD paralelogrammában 1AB = , 2BC = és ( ) 60m BAD = . Számítsd ki az AC AD⋅

skaláris szorzatot!





I. FELADAT (30p) – 049. változat 5p 1. Igazold, hogy 3

9 4log 3 log 2+ racionális szám!

5p 2. Adott az ( ) 2: , 2 1,f f x mx mx m m ∗→ = − + − ∈ függvény. Határozd meg az m ∗∈ valós

paraméter azon értékeit, amelyekre ( ) 0f x ≤ minden x ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 1 12 2 2 56x x x+ −+ + = egyenletet! 5p 4. Adott az { }1, 2, ... , 1000A = halmaz. Számítsd ki annak valószínűségét, hogy a { }3 |n n A∈ halmaz

véletlenszerűen kiválasztott eleme racionális legyen!

5p 5. Az ABC háromszögben ( )M BC∈ úgy, hogy 3

4MC CB= − . Igazold, hogy

3 1

4 4AM AB CA= − .

5p 6. Ha 0,2

xπ ∈

és tg 3x = , számítsd ki sin 2x értékét!





SUBIECTUL I (30p) – 050. változat

5p 1. Határozd meg az a ∈ értékét úgy, hogy a 1 2 12 , 2 1, 2 1a a a− − + ++ + számok számtani haladványban legyenek!

5p 2. Igazold, hogy az ( )2 22 1 ,y x a x a a= + − + ∈ egyenletű parabola csúcsa a 4 4 1x y+ = egyenletű

egyenesen van!

5p 3. Bizonyítsd be, hogy ha z a 2 2 4 0z z+ + = egyenlet gyöke, akkor 2 80z

z− = !

5p 4. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy véletlenszerűen kiválasztva egy számot a { }11,12, ,50…

halmazból, az osztható legyen 2-vel és 5-tel! 5p 5. Az ABCD egyenlő szárú trapéz alapjai [ ]AB és [ ]CD , magassága 4. Számítsd ki: AC BD+ .

5p 6. Ha 0,

2

πα ∈

és 12

sin13

α = , számítsd ki tg 2α értékét!





I. FELADAT (30p) – 051. változat 5p 1. Határozd meg a ( )\A B ∩ Z halmaz elemeinek számát, ha ( ]3,4A = − és ( ] 1,5B = .

5p

2. Határozd meg a 2 1x y+ = egyenletű egyenes és az 2 3y x x= − + egyenletű parabola metszéspontjainak koordinátáit!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 1 2 1x x− + − = egyenletet!

5p 4. Oldd meg a természetes számok halmazán a !2 2048x ≤ egyenletet! 5p 5. Számítsd ki az ( )1,1A pont távolságát a : 5 12 4 0d x y+ − = egyenletű egyenestől!

5p 6. Ha ctg 2a = és ctg 5b = , számítsd ki ( )tg a b+ értékét!





I. FELADAT (30p) – 052. változat 5p 1. Igazold, hogy az :f → , ( ) | 4 8 | 2 | 4 2 |f x x x= − − − függvény állandó!

5p 2. Határozd meg az a ∈ paraméter azon értékeit, amelyekre az 2 2 1y x x a= − + − egyenletű parabolának és az 2 3y x= + egyenletű egyenesnek két különböző metszéspontja van!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 1 1x x− + = egyenletet!

5p 4. Határozd meg az ( )93 1+ kifejtése irracionális tagjainak számát!

5p 5. Határozd meg az m ∈ R értékét úgy, hogy az ( )1 8u m i j= + + és ( )1 4v m i j= − − vektorok

kollineárisak legyenek! 5p 6. Az ABC háromszög oldalainak hossza: 5AB = , 7BC = és 8AC = . Számítsd ki az A szög mértékét!






1. Számítsd ki az 1

2009 33

+ ⋅ − összeget, ahol [ ]x az x egészrészét, { }x az x törtrészét jelöli!

5p

2. Határozd meg a [2,3] intervallum :f →R R , 2( ) 4 3f x x x= − + függvény általi képét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 8 2x x+ − = egyenletet! 5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy az 56 természetes szám osztóinak halmazából kiválasztott

szám osztható 4 -gyel! 5p 5. Adottak az a i j= + , b i j= − és 6 2u i j= + vektorok. Határozd meg a p , r ∈ R számokat úgy, hogy

fennálljon az u pa rb= + egyenlőség!

5p 6. Számítsd ki az 5 , 7 és 8 oldalhosszúságú háromszög köré írt kör sugarát!






5p 1. Számítsd ki a 2( 3 7)+ szám egészrészét!

5p 2. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 1 3 2

1 1 2

x x

x x

− +≥− −

egyenlőtlenséget!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 2 2x x− + = egyenletet!

5p 4. Határozd meg a 3 2 49( )x y+ kifejtésben azt a tagot, amelyben az x és y hatványa megegyezik!

5p 5. Az ABC háromszög csúcsainak helyzetvektorai 2Ar i j= + , 3Br i j= + és 3 2Cr i j= + . Határozd meg az ABC háromszög súlypontjának helyzetvektorát!

5p 6. Az ABC háromszögben 3BC = és 1

cos2

A = . Számítsd ki a háromszög köré írt kör sugarának

hosszát!





I. FELADAT (30p) – 055. változat 5p 1. Számítsd ki az [ 8] { 2,8}− − − számot, ahol [ ]x az x egészrészét, { }x az x törtrészét jelöli!

5p 2. Oldd meg az × halmazon az 2 2 13

5

x y

x y

+ =

+ = egyenletrendszert!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 14 5 2 16 0x x+− ⋅ + = egyenletet! 5p 4. Határozd meg az x ∈ N , 2x ≥ számot úgy, hogy fennálljon a 2 2 30x xC V+ = egyenlőség!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )0,0O , ( )2,1A és ( )2,1B − pontok. Határozd meg az

OA és OB vektorok által bezárt szög koszinuszát! 5p 6. Ha ctg 3x = , számítsd ki tg 2x értékét!





I. FELADAT (30p) – 056. változat 5p 1. Oldd meg a komplex számok halmazán a 2 3 4z z i+ = + egyenletet!

5p

2. Számítsd ki az 3 31 2x x+ összeget, ha 1x és 2x az 2 3 1 0x x+ + = egyenlet megoldásai!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 1 5 2 25 0x x+ − ⋅ = egyenletet!

5p 4. Az 9

23

1a

a

+

, 0a ≠ kifejtés hányadik tagja tartalmazza az 4a hatványt?

5p 5. Számítsd ki az ( ) ( )2 2u v− különbséget, ha 3 2u v i j− = + és 2 3u v i j+ = + .

5p 6. Számítsd ki az 5 és 12 befogójú derékszögű háromszög köré írt kör sugarát!






5p 1. Mutasd ki, hogy 7 4 3 3+ − természetes szám!

5p

2. Igazold, hogy ( )( )2 24 5 2 2 1x x x x+ + + + ≥ bármely x ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a ( )22 2log log 4 4x x+ = egyenletet!

5p 4. Határozd meg a 200

3 2x

x

+

, 0x > kifejtésének x -et nem tartalmazó tagját!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adott a : 4 8 1 0d x y− + = egyenes és az ( )2, 1A pont. Határozd meg

az A ponton átmenő, d egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét! 5p 6. Az ABC háromszögben 2AB = , 4AC = és ( ) 60m A = . Számítsd ki a háromszög A csúcsából

húzott oldalfelező hosszát!







4 7

i

i

++

szám valós részét!

5p

2. Határozd meg az :f →R R , ( ) 23 6 1f x x x= − + függvény grafikus képének szimmetriatengelyét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 1 13 3 10x x+ −+ = egyenletet! 5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy az { }1,3,5,...,2009A = halmazból kiválasztott elem a 3

többszöröse legyen! 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adott a : 2 1 0d x y+ − = egyenes és az ( )3, 2A pont. Határozd meg

az A ponton átmenő, d egyenesre merőleges egyenes egyenletét! 5p 6. Az ABC háromszögben 5AB AC= = és 6BC = . Számítsd ki az ABC háromszög súlypontjának a

BC egyenestől mért távolságát!






5p 1. Igazold, hogy 1 1 1 1

lg 1 lg 1 lg 1 ... lg 12 3 4 100

− + − + − + + −

egész szám!


5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 33

1 5log

log 2x

x+ = egyenletet!

5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy az { }2,4,6,...,2010A = halmazból kiválasztott elem

osztható legyen 4 -gyel, de ne legyen osztható 8 -cal!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )2,A m és ( ), 2B m − pontok. Határozd meg az m ∈ R

paraméter értékét, ha 4AB = .

5p 6. Ha ctg 6x = , számítsd ki 2sin x értékét!






5p 1. Igazold, hogy 2 8 92(1 3 3 ... 3 ) 3 .+ + + + <

5p 2. Az 2 5 7 0x x+ − = egyenlet megoldásai 1x és 2x . Igazold, hogy 3 31 2x x+ egész szám!


log log 52xx + = egyenletet!

5p 4. Határozd meg az , 3x x∈ ≥ számot, ha 22 3 3xC − = .

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )2,3A és ( )3, 2B − − pontok. Határozd meg az AB

szakasz felező merőlegesének az egyenletét!

5p 6. Legyen u és v két vektor. Ha 5u v⋅ = , 2u = és 3v = , számítsd ki a ( )( )cos ,u v értékét!





I. FELADAT (30p) – 061. változat 5p 1. Határozd meg az x valós számot, ha az 1, 1x x+ − és 4 számok számtani haladványban vannak!

5p 2. Határozd meg az 2 5 6y x x= + − egyenletű parabola koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak koordinátáit!

5p 3. Oldd meg a [ ]0,2π halmazon a 2sin 1 0x + = egyenletet!

5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy az { }1,2,3,4,5,6M = halmaz valamely véletlenszerűen

kiválasztott részhalmazának két eleme legyen! 5p 5. Legyen G az ABC háromszög súlypontja. Az A , B és G helyzetvektorai 4 7Ar i j= + , 2Br i j= −

és 4 4Gr i j= + . Határozd meg a C pont helyzetvektorát!

5p 6. Legyen u és v két vektor. Ha 1u = , 2v = és ( )( ),

3m u v

π= , számítsd ki a ( )( )2 2u v v u+ −

szorzatot!





I. FELADAT (30p) – 062. változat 5p 1. Határozd meg az 0x > számot, ha az x , 6 és 5x − számok mértani haladványban vannak!

5p 2. Adott az :f →R R , ( ) 2 2f x x x= + − függvény. Számítsd ki ( )( )( )2 1f f⋅ − értékét!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a cos 2 cos2 2

x xπ π + = −

egyenletet!

5p 4. Igazold, hogy az ( )2!n szám osztja a ( )2 !n számot, bármely n természetes szám esetén!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )3,2A és ( )6,5B pontok. Az M és N pontok az [ ]AB

szakaszt három kongruens szakaszra osztják. A pontok sorrendje: , , ,A M N B . Határozd meg az M és N pontok koordinátáit!

5p 6. Határozd meg azokat az a természetes számokat, amelyekre az a , 1a + és 2a + számok egy tompaszögű háromszög oldalainak hosszai!





I. FELADAT (30p) 063. változat

5p 1. Igazold, hogy az ( )n na ∈ ,

4

3nn

an

=+

általános tagú sorozat növekvő!

5p

2. Határozd meg az 2 1y x x= + + és 2 2 6y x x= − − + egyenletű parabolák metszéspontjainak koordinátáit!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a sin sin 34 4

x xπ π − = +

egyenletet!

5p 4. A ( )22 5

nx y− kifejtés binomiális együtthatóinak összege 32. Határozd meg a kifejtés negyedik tagját!

5p 5. Határozd meg az m ∈ R paraméter értékeit úgy, hogy a 1: 3 2 0d mx y+ + = és 2: 2 8 0d x y+ − = egyenesek metsszék egymást!

5p 6. Az ABCD négyszögben 0AC BD⋅ = . Igazold, hogy 2 2 2 2AB CD AD BC+ = + .





I. FELADAT(30p) – 064. változat

5p 1. Igazold, hogy az ( ) 1n na ≥ , 2

na n n= − általános tagú sorozat szigorúan monoton!

5p

2. Adottak az :f →R R és :g →R R , ( ) 2 2 1f x x x= + + és ( ) 2009g x x= − függvények. Igazold,

hogy ( )( ) 0f g x ≥ bármely x ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a ( )0, π halmazon a tg tg3 2

x xπ π + = −

egyenletet!

5p 4. Határozd meg az x ∈ N , 3x ≥ számot, ha 1 31 9x x

x xC C− −−+ ≤ .

5p 5. Határozd meg az m ∈ R értékét úgy, hogy a ( )1 : 2 1 0d mx m y+ + − = és ( )2 : +2 4 8 0d m x my+ − =

egyenletű egyenesek párhuzamosak legyenek! 5p 6. Az ABC háromszögben tg 2A = és tg 3B = . Határozd meg a C szög mértékét!





I. FELADAT (30p) – 065. változat 5p 1. Határozd meg az 1 2, ,13,17,...a a számtani haladvány első tagját!

5p 2. Igazold, hogy az :f →R R , ( ) 3 2sinf x x x= + függvény páratlan!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3sin 3 cos 0x x+ = egyenletet! 5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy a háromjegyű természetes számok halmazából kiválasztott

szám számjegyeinek összege 2 legyen. 5p 5. Határozd meg az m ∈ R értékét úgy, hogy a 1: 3 2 0d mx y+ − = és 2: 12 2 1 0d x y+ + = egyenesek

merőlegesek legyenek egymásra!

5p 6. Számítsd ki sinα értékét, ha 1

tg2 3

α = .





I. FELADAT (30p) – 066. változat 5p 1. Számítsd ki: ( )( ) ( )( )2 3 2 1 2 2i i i i+ − − − − .

5p 2. Igazold, hogy

1

3 az :f →R R , ( ) {3 }f x x= függvénynek egy periódusa , ahol { }a az a szám

törtrészét jelöli.

5p 3. Oldd meg a [ ]0, 2π halmazon a 3 sin cos 1x x− = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki: 1020920

C

C.

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )2,3A , ( )4,B n , ( )2,2C és ( ),5D m pontok. Határozd

meg az ,m n ∈ R paraméterek értékét úgy, hogy az ABCD négyszög paralelogramma legyen!

5p 6. Ha tg 4x = , számítsd ki 2cos x értékét!





I. FELADAT (30p) – 067. változat 5p 1. Határozd meg a 1 3, 6, , 24, ...b b pozitív tagú mértani haladvány első tagját!

5p 2. Határozd meg az m ∈ R értékét úgy, hogy az :f →R R , 2( ) (3 ) 3f x m x= − + függvény szigorúan növekvő legyen!

5p 3. Számítsd ki: 2 3 4

sin sin sin sin3 3 3 3

π π π π+ + + .

5p 4. Legyen M az { }1,2,3A = halmazt { }5,6,7B = halmazra leképező függvények halmaza. Számítsd ki

annak valószínűségét, hogy az M halmazból kiválasztott függvény injektív! 5p 5. Az ABC háromszög G súlypontján át az AB egyeneshez húzott párhuzamos a BC egyenest a P

pontban metszi. Határozd meg az m ∈ R értékét, ha GP mAB= .

5p 6. Számítsd ki cos2α értékét, ha 1

cos3

α = .







4 3 4 3i i+

+ − egész szám!

5p 2. Határozd meg az m ∈ R értékét úgy, hogy az :f →R R , 2( ) ( 2) 3f x m x= − − függvény szigorúan csökkenő legyen!


arctg arctg3 33

x π+ = egyenletet!

5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy a páros kétjegyű számok halmazából kiválasztott szám osztható 4-gyel!

5p 5. Az ABC háromszög AB és AC oldalán felvesszük az M illetve N pontokat úgy, hogy

fennálljanak az 3AM MB= és 3

4AN AC= egyenlőségek. Bizonyítsd be, hogy az MN és BC

vektorok kollineárisak!


sin12

π értékét!






5p 1. Határozd meg a z komplex számot, ha z 7

6i

z

+ = .

5p 2. Az :f → , ( ) 2 1f x x= + függvény esetén számítsd ki az ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ... 50f f f f+ + + +

összeget!

5p 3. Igazold, hogy az :f →N N , ( ) 3 1f x x= + függvény nem invertálható!

5p 4. Számítsd ki annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott x számjegyre fennálljon az

( )1 ! ! 100x x+ − ≤ egyenlőtlenség!

5p 5. Igazold, hogy a 1 : 2 1 0d x y− + = és 2 : 2 1 0d x y+ − = egyenletű egyenesek szimmetrikusak az Oy tengelyre nézve!


cos12

π értékét!






5p 1. Számítsd ki: ( )201 i+ .

5p

2. Adott az :f ∗ →R R , ( ) 1f x

x= függvény. Számítsd ki az

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 10) ( 9) ( 1) (1) (9) (10)S f f f f f f f f f f f f= − + − + + − + + + +… … összeget!

5p 3. Igazold, hogy az :f →R R , ( )2( ) log 13xf x = + függvény injektív!

5p 4. Számítsd ki: 3 35 56V C−

5p 5. Határozd meg az m ∈ R értékét, ha az ( ), 1A m m + pont : 3 4 1 0d x y− − = egyenestől mért távolsága 1.

5p 6. Számítsd ki cos75 cos15− értékét!





I. FELADAT (30p) – 071. változat 5p 1. Számítsd ki: 7 7log 2009 log 287 1− − .

5p

2. Igazold, hogy az :f ∗ →R R , ( ) 22

1f x x

x= − függvény páros!

5p 3. Igazold, hogy az :f →R R , ( ) 43f x x= − függvény maximuma ( )0f .

5p 4. Határozd meg az n ∈ N , 2n ≥ számot, ha 1 23 2 8n nC C+ = .

5p 5. Adott az ABC háromszög és az , ,A B C′ ′ ′ pontok úgy, hogy 2 ,A C BA′ ′= 2

5B C AC′ = és 3C A BC′ ′= .

Igazold, hogy az ,AA BB′ ′ és CC ′ egyenesek összefutók!

5p 6. Határozd meg az ABC háromszög BC oldalához tartozó oldalfelező egyenletét, ha A csúcsának koordinátái (2,2)A , és a B illetve C csúcsokból húzott oldalfelezők egyenletei 2 2 0x y+ − = , illetve

2 0x y− + = .






5p 1. Igazold, hogy 100

cos sin4 4

iπ π +

valós szám!

5p

2. Igazold, hogy az :f ∗ →R R , ( ) 3 1f x x

x= − függvény páratlan!

5p 3. Határozd meg az 2:[1, 4] , ( )f f x x x→ = − függvény képét!

5p 4. Számítsd ki: 0 2009 1 2008 2 2007 2 2009 20092009 2009 2009 20095 5 4 5 4 ... 4C C C C⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ .

5p 5. Adott az ( )1, 2A pont és a : 4 2 5 0d x y− + = egyenletű egyenes. Határozd meg az A pontból a d

egyenesre húzott merőleges egyenes egyenletét!

5p 6. Számítsd ki: sin 75 cos15⋅ .





I. FELADAT (30p) – 073. változat 5p 1. Számítsd ki: 5 12 12 5i i− − + .

5p 2. Adott az :f →R R , ( ) 2 4f x x x= − függvény. Számítsd ki: ( )(1)f f f f .

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 4 20x x+ = egyenletet!

5p 4. Határozd meg annak valószínűségét, hogy az { }0,5,10,...,2010A = halmazból kiválasztott elem

osztható legyen 25 -tel!

5p 5. Az ABC háromszögben AB c= , AC b= és D egy pont, amelyre .AD bAB cAC= + Igazold, hogy az [AD félegyenes a BAC szög szögfelezője!

5p 6. Ha ,2

πα π ∈

és 1

cos 22

α = , számítsd ki cosα értékét!





I. FELADAT (30p) – 074. változat 5p 1. Oldd meg a komplex számok halmazán a 2 3 4 0z z+ + = egyenletet!

5p 2. Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az ( ): 0,f ∞ →R , ( ) 2 2f x x m= − + függvény grafikus

képe ne metssze az Ox koordinátatengelyt!


5p 4. Igazold, hogy a ba b a bC C+ += , bármely ,a b ∗∈ esetén!

5p 5. Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az ( )3, 3A , ( )2, 4B és ( )2 , 1C m m− pontok

kollineárisak legyenek!

5p 6. Ha ,2

πα π ∈

és 1

cos 22

α = − , számítsd ki sinα értékét!






5p 1. Rendezd növekvő sorrendbe az 32

127, log

16a b= − = és 2c = − számokat!

5p 2. Határozd meg az m paraméter értékét, ha az :f → , ( ) 2 2f x x mx m= + − függvényhez rendelt

parabola az Ox tengely fölött van!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a ( )22log 2 1x x+ − = egyenletet!

5p 4. Adottak a 1d , 2d párhuzamos egyenesek és az 1, ,A B C d∈ , 2, , ,M N P Q d∈ egymástól különböző pontok. Hány háromszöget határoz meg az adott hét pont?

5p 5. Adottak az ( )3;2A − , ( )1; 4B − és ( )5, 1C − − pontok. Határozd meg az A pontnak a [ ]BC szakasz

felezőpontjára vonatkozó szimmetrikusának a koordinátáit! 5p 6. Az ABC háromszög ( )BC oldalának felezőpontja M , ( ) 150m AMC = és 4AM BC= = .

Számítsd ki az ABC háromszög területét!






5p 1. Eleme-e a 3 2 2− szám az { }2 ,a b a b+ ∈ Z halmaznak? Indokold meg válaszodat!

5p 2. Az 2 3 1 0x x− + = egyenlet megoldásai 1x és 2x . Igazold, hogy 2 21 2 .x x+ ∈

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az arctg 3 arctg2

xπ+ = egyenletet!

5p 4. Igazold, hogy 2 2 12n nn nC C −= ⋅ minden 1n ≥ természetes szám esetén!

5p 5. Adottak az u i j= − és 2 4v i j= + vektorok. Számítsd ki az u v+ vektor moduluszát!

5p 6. Ha ,2

πα π ∈

és 3

sin5

α = , számítsd ki tg2

α értékét!






5p 1. Az ( ) 1n na ≥ számtani haladvány állandó különbsége 2 és 3 4 8a a+ = . Számítsd ki 1a értékét!

5p 2. Az : ,f → ( ) 1f x x= + függvény esetén számítsd ki az ( 1) ( 2) ( 3) ( 10)f f f f− + − + − + + −… összeget!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 4 2 56x x− = egyenletet!

5p 4. Számítsd ki: 3 2 24 3 4 .V V C− −

5p 5. Legyen G az ABC háromszög súlypontja, és M egy pont, amelyre 2 .MB MC= − Igazold, hogy a GM és AC egyenesek párhuzamosak!

5p 6. Ha 0,2

πα ∈

és 3

sin4






I. FELADAT (30p) – 078. változat 5p 1. Számítsd ki: lg 7 310 343.−

5p 2. Oldd meg a valós számok halmazán a 22 3 1 0x x− + ≤ egyenlőtlenséget!

5p 3. Igazold, hogy az 3: , ( ) log 2xf f x x→ = − függvény injektív!

5p 4. Számítsd ki a 8 oldalú konvex sokszög átlóinak számát!

5p 5. Adott az ABCD paralelogramma és a P pont úgy, hogy 2 .BP PD= Igazold, hogy ( )2.

3BP BA BC= +

5p 6. Adottak az , ,2 2

a bπ π ∈ −

számok úgy, hogy .

4a b

π+ = Igazold, hogy tg tg tg tg 1.a b a b⋅ + + =






5p 1. Igazold, hogy ( ) ( )2, 2 log 3, .−∞ ∩ ∞ = ∅

5p

2. Határozd meg az :f → , 2( ) 4 3f x x x= − + függvény grafikus képe és az Ox koordinátatengely metszéspontjainak abszcisszáját!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 1 1x x+ − = egyenletet!

5p 4. Határozd meg az n ∈ , 3n ≥ számot úgy, hogy a 31nC + szám osztható legyen a 3

nC számmal!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( ) ( )1,2 , 1,3A B − és ( )0,4C pontok. Számítsd ki az

ABC háromszög A csúcsából húzott magaságának hosszát! 5p 6. Legyen x ∈ úgy, hogy 2tg 6.x = Számítsd ki 2cos x értékét!






5p 1. Számítsd ki: ( )( )( ) ( )2 3 20091 1 1 ... 1i i i i− − − −

5p

2. Adottak az :f → , ( ) 1f x x= − és :g → , ( ) 2 1g x x= − függvények. Igazold, hogy az f g függvény csökkenő!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 22 1x− ≥ egyenlőtlenséget!

5p 4. Határozd meg azon { } { }: 1,2,3 1,2,3,4,5f → injektív függvények számát, amelyekre ( )1 1f ≠ .

5p 5. Határozd meg a ( )4, 1P − ponton átmenő és az 2 1 0x y− + = egyenletű egyenessel párhuzamos

egyenes egyenletét!

5p 6. Az x ∈ szám esetén 1

sin cos .2

x x= + Számítsd ki sin 2x értékét!





I. FELADAT (30p) – 081. változat 5p 1. Számítsd ki a 2log 500 szám egészrészét!

5p

2. Az 2 2 0x x m− + = , m ∈ egyenlet valós gyökei 1x és 2x . Határozd meg az m értékét, ha

1 2 1x x− = .

5p 3. Oldd meg a való számok halmazán a 3 1 1x x− = + egyenletet! 5p 4. Számítsd ki: 0 2 4 16

16 16 16 16 .C C C C+ + + +…

5p 5. Határozd meg az a ∈ paraméter értékét, ha az 1x y+ = és 3 2x ay− = egyenletű egyenesek párhuzamosak!

5p 6. Adottak az ,a b ∈ számok úgy, hogy .2

a bπ+ = Igazold, hogy ( )sin 2 sin 2 2cos .a b a b+ = −





I. FELADAT (30p) – 082. változat 5p 1. Igazold, hogy az 1 i+ szám megoldása a 4 4 0z + = egyenletnek!

5p

2. Igazold, hogy az :f → , ( ) 2 4 9f x x x= − + függvényhez rendelt parabola csúcsa az 7x y+ =

egyenletű egyenesen van!

5p 3. Adott egy { } { }: 1,2,3 4,5,6f → injektív függvény. Igazold, hogy ( ) ( ) ( )1 2 3 15.f f f+ + =

5p 4. Számítsd ki annak valószínűségét, hogy a kétjegyű természetes számok halmazából kiválasztott szám mindkét számjegye páratlan legyen!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )1,0A , ( )2,3B és ( )1,4C − pontok. Számítsd ki az

AB AC⋅ szorzatot!

5p 6. Adott az a ∈ szám úgy, hogy 1

sin .4

a = Számítsd ki sin 3a értékét!






5p 1. Igazold, hogy 3 3 eleme a ( )22, log 5 intervallumnak!

5p 2. Milyen m ∈ értékekre igaz az 2 3 0x x m+ + ≥ egyenlőtlenség bármely x ∈ esetén?

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a sin cos 16 3

x xπ π + + − =

egyenletet!

5p 4. Egy dobozban 49 golyó van. A golyók sorszámozva vannak 1-től 49-ig. Számítsd ki annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kihúzott golyón lévő szám teljes négyzet!

5p 5. Határozd meg az m ∈ értékét, ha az 2 3u i j= − és 4v mi j= + vektorok merőlegesek egymásra!

5p 6. Igazold, hogy tg1 tg 2 tg3 ... tg89 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .





I. FELADAT (30p) – 084. változat 5p 1. A z komplex szám esetén 2 3z z+ ∈ . Igazold, hogy .z ∈

5p 2. Határozd meg azt a másodfokú függvényt, amelynek grafikus képe tartalmazza a ( )0,4 , ( )1, 2− és

( )1,1− pontokat!

5p 3. Igazold, hogy az ( ) ( ): 0, 1,3f ∞ → , ( ) 3

1

xf x

x

+=+

függvény bijektív!

5p 4. Határozd meg azon n , 5n ≥ természetes számokat, amelyekre fennáll a 3 5n nC C= egyenlőség!

5p 5. Adottak az , , ,A B C D pontok úgy, hogy .AB CD= Igazold, hogy 0.AC DB+ = 5p 6. Adottak az ,a b ∈ számok úgy, hogy .a b π− = Igazold, hogy cos cos 0.a b⋅ ≤






5p 1. Igazold, hogy a z komplex szám esetén ( )i z z− valós szám!

5p

2. Határozd meg az m ∈ számot, ha az ( ) ( )2: , 1f f x x m x m→ = + + + függvényhez rendelt

parabola érinti az Ox koordinátatengelyt!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 1 5x x+ = − egyenletet!

5p 4. Az ( )71 2+ kifejtés hány tagja osztható 14-gyel?

5p 5. Az ABC egyenlő oldalú háromszög területe 3. Számítsd ki az AB AC⋅ szorzatot!

5p 6. Adottak az ,a b ∈ számok úgy, hogy 3

.2

a bπ+ = Igazold, hogy sin 2 sin 2 0.a b− =







1 3 1 3

i i

i i

+ −+− +

valós szám!

5p

2. Az a és b valós számok összege 5 és szorzata 2. Számítsd ki az a b

b a+ összeget!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a sin cos3 6

x xπ π + = −

egyenletet!

5p 4. Az { }7, , 7kA x x C k k= = ∈ ≤ halmaz hány eleme osztható 7-tel?

5p 5. Az ABCD téglalapban 3AB = és 6AD = . Számítsd ki az AB AC AD+ + vektor moduluszát! 5p 6. Számítsd ki a cos1 cos2 cos3 ... cos179+ + + + összeget!





I. FELADAT (30p) – 087. változat 5p 1. Legyen z ∈ egy 1-től különböző harmadrendű egységgyök. Számítsd ki az 21 z z+ + összeget! 5p

2. Határozd meg az 2 6 0x x+ − ≤ egyenlőtlenség egész megoldásait!

5p 3. Igazold, hogy az ( ) ( ): 1, 2,f ∞ → ∞ , ( ) 2 1f x x= + függvény bijektív!

5p 4. 1-től 100-ig hány természetes szám osztható 6-tal és 8-cal? 5p 5. Határozd meg az a ∈ értékét úgy, hogy a ( )1 1v ai a j= + + és 2 3 5v i j= + vektorok kollineárisak

legyenek! 5p 6. Az ABC háromszögben 3AB = , 5BC = és 7AC = . Számítsd ki az ABC háromszögbe írt kör sugarát!






5p 1. Rendezd növekvő sorrendbe az lg 2 lg 20a = − , 2 23 4b C C= − és 3 4 4c = − számokat!

5p 2. Határozd meg az a ∈ számot, ha az 2 2y x x a= + + egyenletű parabola csúcsának az Ox tengelytől mért távolsága 1.

5p 3. Az x és y valós számok esetén arctg arctg2

x yπ+ = . Igazold, hogy 1x y⋅ = .

5p 4. Igazold, hogy a 3, , 3nV n n∈ ≥ szám osztható 3-mal!

5p 5. Az , , ,E F G H pontok az ABCD négyszög [ ] [ ] [ ], ,BC DA AB illetve [ ]CD oldalainak a felező

pontjai. Bizonyítsd be, hogy EF HG CA+ = .

5p 6. Ha 3

,4

xπ π ∈

és

3sin 2

5x = − , számítsd ki tg x értékét!





I. FELADAT (30p) – 089. változat 5p 1. Határozd meg azokat a z komplex számokat, amelyekre fennáll a 3 6z i z+ = ⋅ egyenlőség! 5p 2. Oldd meg a valós számok halmazán a 1 2 4x x− = + egyenletet!

5p 3. Határozd meg az :f → , ( ) 21 4

xf x

x=

+ függvény képét!

5p 4. Határozd meg az { } { }: 1,2,3 5,6,7,8f → szigorúan monoton függvények számát!

5p 5. Bizonyítsd be, hogy az ABCD paralelogramma síkjának bármely M pontja esetén

MA MC MB MD+ = + . 5p

6. Adottak az a és b valós számok úgy, hogy 3

a bπ+ = . Igazold, hogy ( )sin 2 sin 2 sin 0a b a b− − − = .






5p 1. Az ( ) 1n n

a ≥ számtani haladvány állandó különbsége 3 és első 10 tagjának összege 150. Határozd meg

az 1a számot!

5p 2. Határozd meg az összes ( , )a b valós számpárt, amelyekre 2 2 2.a b a b+ = + =

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a ( )lg lg 9 2 1x x+ − = egyenletet!

5p 4. Mennyi annak valószínűsége, hogy az { }1,2,3,...,100M = halmaz véletlenszerűen kiválasztott eleme

ne legyen osztható 7-tel? 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( ) ( )0,2 , 1, 1A B − és ( )5,1C pontok. Határozd meg az A

pontból a BC egyenesre állított merőleges egyenes egyenletét!


1 cos cos cos cos 0.5 5 5 5

π π π π+ + + + =






5p 1. Számítsd ki a ( )( )22 1 2 1z i= − + + komplex szám moduluszát!

5p

2. Határozd meg az x és y valós számokat, ha 2 1x y+ = és 2 26 1.x y− =

5p 3. Igazold, hogy az ( ) 2: , 1f f x x x→ = + + függvény nem injektív!

5p 4. Számítsd ki: 3 310 9C C− .

5p 5. Az ABCD paralelogrammában az AB AD+ és AB AD− vektorok modulusza egyenlő. Igazold, hogy ABCD téglalap!

5p 6. Igazold, hogy 2sin 40 sin140 cos 130⋅ = !





I. FELADAT (30p) – 092. változat 5p 1. Az a,b,c,d pozitív valós számok mértani haladványt képeznek. Számítsd ki a haladvány állandó

hányadosát, ha 7d a− = és 2c b− = .

5p 2. Határozd meg az m valós paraméter értékét, ha 2 2 0mx x+ − ≤ , minden x ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a (0,5) intervallumon a 1

sin 26 2

xπ + = −

egyenletet!

5p 4. Számítsd ki az 0 2 4 6 810 10 10 10 10n C C C C C= − + − + számot!

5p 5. Határozd meg az a valós szám azon értékeit, amelyekre az ( ) ( )1 2 2u a i a j= − − + és ( )1v a i j= + −

vektorok merőlegesek egymásra!

5p 6. Ha 3

,2

πα π ∈

és 1

cos3

α = − , számítsd ki sin 2α értékét!





I. FELADAT (30p) – 093. változat 5p 1. Számítsd ki a 2 2 4 0z z+ + = egyenlet komplex gyökeinek moduluszát! 5p 2. Határozd meg azon :f → szigorúan növekvő elsőfokú függvényeket, amelyekre

( ( )) 4 3f f x x= + , minden x ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a

122 4 12

xx

+

+ = egyenletet! 5p 4. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy 1 és 1000 közötti természetes szám teljes köb? 5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )1,2A és ( )3,4B pontok. Számítsd ki az O pont AB

egyenestől mért távolságát! 5p 6. Határozd meg az ( )0,2α π∈ számot, ha tg sin .α α=






5p 1. Számítsd ki: ( )( ) 41 2 3 1

5

i i − −

.

5p 2. Igazold, hogy az 1

: ( 1,1) , ( ) ln1

xf f x

x

−− → =+

függvény páratlan!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán az 5 5 2x x−+ = egyenletet!

5p 4. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott háromjegyű természetes szám első számjegye prímszám legyen?

5p 5. Legyen O az ABC háromszög köré írt kör középpontja. Ha ,BO OC= igazold, hogy az ABC háromszög derékszögű!

5p 6. Ha α ∈ és sin cos 1α α+ = , számítsd ki tg 2α értékét!







2 1− szám egészrészét!


11

xx

+ =+

egyenletet!

5p 3. Vizsgáld az ( ) ( ) 2009: 0, , 2009 logxf f x x∞ → = + függvény monotonitását!

5p 4. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott háromjegyű természetes szám számjegyeinek szorzata páratlan?

5p 5. Bizonyítsd be, hogy az 3u i a j= + és ( )1v a i a j= + + vektorok egyetlen a valós szám esetén sem

merőlegesek egymásra!

5p 6. Igazold, hogy ( )sin sin 3 sin 5 1 2cos 2 sin 3 ,x x x x x+ + = + ⋅ bármely x ∈ esetén!






5p 1. Az a, b, c nullától különböző természetes számok mértani haladványt képeznek. Igazold, hogy ha a b c+ + páros szám, akkor az a, b és c számok párosak!

5p

2. Adott az ( ) 2: , 3 2f f x x x→ = + + függvény. Igazold, hogy ( ) ( )1 0,f a f a+ + ≥ bármely

a ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 4log log 3x x+ > egyenlőtlenséget!

5p 4. Határozd meg azon 2n ≥ természetes számokat, amelyekre 1 2 120.n nC C+ =

5p 5. Igazold, hogy az 2u i a j= − és v i j= + vektorok által bezárt szög akkor és csak akkor tompaszög, ha 2.a >

5p 6. Az ABC háromszögben 1

sin2

A = , sin 1B = és 4.BC = Számítsd ki a háromszög területét!






5p 1. Rendezd növekvő sorrendbe a 3!, 3 100 , 2log 32 számokat!

5p

2. Igazold, hogy 2 23 4 0,x xy y+ + ≥ minden ,x y ∈ esetén!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a sin 2 cosx x= egyenletet!

5p 4. Számítsd ki: 3 25 64 .V C−

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )1,3A és ( )2,5B pontok. Határozd meg a C pont

koordinátáit, ha 2 .AC AB=

5p 6. Az ABC háromszögben 8BC = és 3

cos .5

A = Számítsd ki a háromszög köré írt kör sugarát!





I. FELADAT (30p) – 098. változat 5p 1. A z komplex szám esetén 2 3 .z z i+ = + Számítsd ki a z szám moduluszát! 5p

2. Adj példát olyan egész együtthatós másodfokú egyenletre, amelynek egyik megoldása 3.

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a log 2 log 2 9x x+ = egyenletet!

5p 4. Hány olyan háromelemű részhalmaza van az { }1,2,3,4,5 halmaznak, amely legalább egy páros

számot tartalmaz? 5p 5. Legyen G az ABC háromszög súlypontja. Határozd meg az ,a b ∈ számokat, ha aGA bGB GC+ = .

5p 6. Ha ,2

aπ π ∈

úgy, hogy 3

sin5

a = , számítsd ki tg a értékét!






5p 1. Számítsd ki az 1

3 2− szám egészrészét!

5p

2. Legyen f egy elsőfokú függvény. Igazold, hogy f f függvény szigorúan növekvő!


3 99

x x+ = egyenletet!

5p 4. Hány { } { }: 1,2,3, ,10 0,1f →… függvényre teljesül az ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 10 2f f f f+ + + + =…

egyenlőség?

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( )1,2M , ( )2,5N és ( )3, ,P m m ∈ pontok. Határozd

meg az m valós számot úgy, hogy fennálljon az 5MN MP⋅ = egyenlőség! 5p 6. Határozd meg a { }cos1, cos 2, cos 3 halmaz legnagyobb elemét!






5p 1. Igazold, hogy { }6 4 2 2 | ,a b a b+ ∈ + ∈ Z .

5p 2. Oldd meg a valós számok halmazán a 1 1x x+ = − egyenletet!

5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 6 2 32 1 3x x x− + = − egyenletet!

5p 4. Igazold, hogy 11 osztja a 1 2 1011 11 11...C C C+ + + számot!

5p 5. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az ( ) ( )1,1 , 5,2A B és ( )3,4G pontok. Határozd meg a C

pont koordinátáit, ha G az ABC háromszög súlypontja!

5p 6. Ha a ∈ és 2

tg5

a = , számítsd ki sin a értékét!

examenul de bacalaureat – 2009 probă scrisă...

Documents