Proiect

Titlu: Aplicatii ale determinanatilor in geometrie Profesor: Fetea Liuta Disciplina: Matematica Unitatea: Determinanti Scoala: Grup Scolar Liviu Rebreanu , Hida Clasa: a XI-a MI XI-

GRUPA 1

Boldor Raluca Clitan Diana Fetea Paula Mastan Cornel Morar Andreea Muresan Andrei

APLICA II ALE DETERMINAN ILOR N GEOMETRIEECUA IA DREPTEI

Aplicatiile determinantilor1.ecuatia unei drepte 2.coliniaritatea a trei puncte 3. calculul ariei unui triunghi

Ecuatiile unei drepte

Forma general a ecua iei unei drepte este: este: ax+ by+ c = 0

Determinarea pantei unei drepte pornind de la ecuatia generala m = -a / b -

Paralelismul unor drepte doua drepte d1 i d2 sunt paralele dac m1 = m2 .

Perpendicularitatea unor drepte -Dou drepte d1 i d2 sunt perpendiculare dac m1*m2 = -1 .

Ecua ia dreptei determinat de punct i pant . Consider m dreapta d determinat de un punct

A (x1 , y1) i panta ei m= tg E Ecua ia dreptei n acest caz este: Y - y1 = m (x - x1 )

Ecua ia dreptei determinat de dou puncte distincte.Consider m dreapta d determinat de punctele A (x1 , y1) i B (x2 , y2). Ecua ia dreptei este :

y y1 x x1 ! y 2 y1 x 2 x1

Pornind de la ecua ia dreptei determinat de dou puncte distincte vom g si o alt form a ecua iei determinat de dou puncte distincte i anume o ecua ie sub form de determinant:

Fie punctele A (x1 , y1) i B (x2 , y2) i ecua ia dreptei determinat de cele dou puncte

y y1 x x1 ! y 2 y1 x 2 x1Aducnd la numitor comun ob inem o form echivalent a ecua iei:

y y1x2 x1 y 2 y1x x1! 0

Aceast scriere sugereaz utilizarea determinantuluiAB : x x1 x 2 x1 y y1 y 2 y1 !0

Scriere care provine din determinantul de ordin 3 , n care se scade L2 din celelalte i se dezvolt dup C3 x AB : x1 x2 y y1 y2 1 1!0 1

Se dau punctele B(-1,1), C(3,5) B(Scrieti, ecuatia dreptei BC:

x -1 3

y 1 4

1 1 = x + 3y 5 3 5 x + y = 5 = - 4x+4y=5

Rezolvare: BC:4y-4x-5=0 BC:4y-4x-

TEOREM Fie punctele A (x1 , y1) i B (x2 , y2). Atunci ecua ia dreptei AB sub form de determinant este:

x AB : x1 x2

y y1 y2

1 1!0 1

Un punct M (x ,, y) apar ine unei drepte dac coordonatele lui verific ecua ia dreptei. Consecin : Trei puncte A (x1 , y1) , B (x2 , y2) i C (x3, y3) sunt coliniare dac i numai dac : x1 x2 x3 y1 y2 y3 1 1!0 1

Coliniaritatea punctelorSe dau 3 puncte: A(-2, 5); A(B(2, -3); C(-1, 4);. Sa se C(determine daca sunt coliniare. Intai, trecem coordonatele lor intr-un determinant: intrxa ya 1 xb yb 1 acesta trebuie sa fie =0 pt xc yc 1 ca punctele sa fie coliniare -2 5 1 2 -3 1 = 0 -2+(-3)+1+2 4 1+5 1 (-1) 1) (-3) 12+(((- 1-1 4 1 -4 1 (-2)-2 5 1=0? (-2)= 6+8-5-3+8-10= 4 6+8- 3+84 0 A,B,C-nu sunt coliniare A,B,C-

Aria unui triunghi

Sa se afle aria triunghiului care are coordonatele varfurilor: A (6,5); B(2,2);C(5,6).

APLICA II

1. Scrie i ecua ia dreptei determinat de punctele A(2 ,1) i B(-4,-2). B(-4,2. Stabili i care din punctele C,D,E se afl pe dreapta

AB pentru

A(1, 3) , B(-1, 9), C(1/3, 5), D(0, 5), E(0, 6). B(3.Determina i m astfel ncat punctele s fie coliniare astfel A(1A(1-m, 2), B(m, 0), C(1, 2m).

Rezolvare exercitii de la Aplicatii 1. X y 1 2 1 1 = x 1 1 + 2 (-2) 1 +y 1 (-4) ((-4 -2 1 (-4) 1 1 (-2) 1 x 2 y 1= =x- 4y+4+2x=x-4-4y+4+2x-2y= -6y+3x

Ec dr. AB -6y+3x=0

Rezolvarea exercitiului 2 de la Aplicatii:

3. 1-m 2 1 m 0 1 = (1-m) 0 1+m 2m 1+2 1 1-1 0 1-2m 1 (1-m)(111(1-m)1 2m 1 m 2 1= =1-m +2+2m2 -0- 2m(1-m) -2m =12m(1= 1-m+2+2m2 [2m-2m2]-2m= 1[2m-2m2]=3+4m2 -5m Determinantul, pentru ca punctele sa fie coliniare, trebuie sa fie egal cu 0 (zero) Asadar, 4m2-5m+3=0. avem o ecuatie de gradul II, ale 4m2carei solutii sunt: m1= (-b+ )/2a ( m2= -b- /2a

Alte exemple

1.a)Se considera dreptele de ecuatii : d1: 2x+5y-7=0 2x+5ysi d2: 4x+10y+9=0. Sa se arate ca dreptele sunt paralele. d1 // d2 daca m1 // m2 => => d1: 5y= -2x+7 d2: 10y= -4x-9 4xb)Se considera dreptele de ecuatii : d1: 2x+5y-7=0 b)Se 2x+5ysi d2: 4x+10y+9=0. Sa se arate ca dreptele sunt paralele. d1 // d2 daca m1 // m2 => d1: 5y= -2x+7 d2: 10y= -4x-9 4x-

2. Se dau punctele A(-8, -2) B(-10, 32) C(2, 2) a)Calculati distanta de la A la B

d(A, B)

3. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider triunghiul ABC determinat de dreptele de ecua ii: (AB): x + 2y 4 = 0; (BC): 3x + y 2 = 0; (AC): x 3y 4 = 0. S se calculeze perimetrul triunghiului ABC. Rezolvare: Pentru a calcula perimetrul triunghiului format de cele trei puncte trebuie mai nti s le aflm coordonatele, apoi distan ele dintre ele pe care le vom aduna. Pentru aceasta vom alctui trei sisteme de cte dou ecua ii.

x + 2y 4 = 0 x 3y 4 =0

x + 2y = 4 x 3y = 4 (-1)

x + 2y = 4 - x + 3y = -4 5y = 0 y=0

x + 2y = 4 x+2 0=4 x=4

A( 4 ,0 )

3x + y x 3y

2=0 4=0

3x + y = 2 x 3y = 4

(3) x

9x + 3y = 6 3y = 4

10x 10x = 10 x= 1

3x + y = 2 3+y=2 y=2 3 y = -1

C ( 1 , -1 )

x + 2y 4 = 0 3x + y 2 = 0

x + 2y = 4 3x + y = 2

(-1) (+2)

-x - 2y = -4 6x +2y = 4 5x = 0 x=0

x + 2y = 4 0 + 2y = 4 2y = 4 y= 4/2 y=2

B(0,2)

Pentru a calcula distan a dintre fiecare dou puncte utilizm formula:

d(AB)= (xb - xa)2 + (yb-ya)2 A ( 4 , 0 ); B ( 0 , 2 ); C ( 1 , -1 ) d(AB)= = 4,47 d(BC)= = 3,16 d(AC)= = 3,16 PABC = 4,47 + 3,16 + 3,16 = 10,79 (xc xa)2 + (yc ya )2 = ( 1 4)2 + (1 0)2 = 9 + 1 = 10 (xb - xa)2 + (yb-ya)2 = (0 - 4)2 + (2 - 0)2 = 16 +4 = 20

(xc - xb)2 + (yc - yb )2 = (1 - 0)2 + (-1 - 2)2 = 1 + 9 =

10