variante pentru bacalaureat, mt1, 2008 · pdf file2 variante pentru bacalaureat, mt1, 2008...

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, MT1, 2008

VARIANTA 001

SUBIECTUL I.

1. Să se determine numărul natural n din egalitatea 1 + 5 + 9 + · · ·+ n = 231.2. Să se rezolve inecuat,ia 2x2 − 5x+ 3 ≤ 0.3. Să se determine inversa funct, iei bijective f : (0,+∞) → (1,+∞), f(x) = x2 + 1.4. Se consideră mult,imea A = {1; 2; 3; . . . ; 10}. Să se determine numărul submult,imilor cu trei

elemente ale mult, imii A.5. Să se determine m ∈ R, astfel încât distant,a dintre punctele A(2;m) s, i B(m;−2) să fie egală cu

4.6. Să se calculeze cos

23π

12.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră matricea A =

(a bb a

), cu a, b ∈ R s, i b 6= 0.

a) Să se arate că dacă matricea X ∈ M2(R) verifică relat,ia AX = XA, atunci există u, v ∈ R,

astfel încât X =

(u vv u

).

b) Să se arate că pentru orice n ∈ N∗, An =

(xn ynyn xn

), unde xn =

(a+ b)n + (a− b)n

2,

yn =(a+ b)n − (a− b)n

2.

c) Să se rezolve în mult,imea M2(R) ecuat,ia X3 =

(2 11 2

).

2. Se consideră a ∈ Z7 s, i polinomul f = X6 + aX + 5̂ ∈ Z7[X ].a) Să se verifice că pentru orice b ∈ Z7, b 6= 0̂, are loc relat,ia b6 = 1̂.b) Să se arate că x6 + 5̂ = (x3 − 4̂)(x3 + 4̂), pentru orice x ∈ Z7.c) Să se demonstreze că pentru orice a ∈ Z7, polinomul f este reductibil în Z7[X ].

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = ex − ax, unde a ∈ R, a > 0.a) Să se determine asimptota oblică la graficul funct, iei f către −∞.b) Să se determine punctele de extrem local ale funct, iei f .c) Să se determine a ∈ (0,∞) s,tiind că f(x) ≥ 1, pentru orice x ∈ R.

2. Se consideră funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) =lnx√x

.

a) Să se arate că funct, ia F : (0,∞) → R, F (x) = 2√x(lnx− 2) este o primitivă pentru funct, ia

f .b) Să se arate că orice primitivă G a funct, iei f este crescătoare pe [1,∞).c) Să se calculeze aria suprafet,ei plane cuprinse între graficul funct,iei f , axa Ox s, i dreptele de

ecuat,ii x =1

es, i x = e.

1

2 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, MT1, 2008

VARIANTA 002

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze(1− i√

2

)24

.

2. Să se rezolve în R ecuat,ia3x− 1

x+ 1+

x+ 1

2x− 1= 3.

3. Să se determine inversa funct, iei bijective f : R → R, f(x) = 2x− 1.4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr ab din mult,imea numerelor de două cifre,

să avem a 6= b.5. Să se calculeze lungimea medianei din A a triunghiului ABC, unde A(−2;−1), B(2; 0), C(0; 6).6. Fie vectorii #»u = m #»ı + 3 #» s, i #»v = (m− 2) #»ı − #» . Să se determine m > 0 astfel încât #»u ⊥ #»v .

SUBIECTUL II.

1. Se consideră matricea A ∈ M2(R), A =

(2 21 1

).

a) Să se arate că există a ∈ R astfel încât A2 = aA.b) Să se determine rang(A10).c) Să se calculeze (A− tA)2008.

2. Pentru a, b din mult,imea M = [0,+∞) se defines,te operat,ia a ⋆ b = ln(ea + eb − 1).a) Să se arate că pentru orice a, b ∈ M , rezultă că a ⋆ b ∈ M .b) Să se arate că legea de compozit,ie „⋆” este asociativă.c) Pentru n ∈ N, n ≥ 2, să se determine a ∈ M astfel încât a ⋆ a ⋆ . . . ⋆ a︸︷︷︸

de n ori a

= 2a.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră s, irul (an)n∈N∗ dat de a1 ∈ (0; 1) s, i an+1 = an(1 −√an ), (∀) n ∈ N∗.

a) Să se arate că an ∈ (0; 1), (∀) n ∈ N∗.b) Să se demonstreze că s, irul (an)n∈N∗ este strict descrescător.c) Să se arate că s, irul (bn)n∈N∗ , dat de bn = a21 + a22 + · · · + a2n, (∀) n ∈ N∗, este mărginit

superior de a1.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =1

x2 + x+ 1.

a) Să se arate că funct,ia F : R → R, F (x) =2√3

3arctan

2x+ 1√3

, x ∈ R, este o primitivă pentru

funct,ia f .b) Să se calculeze aria suprafet,ei delimitate de dreptele x = 0, x = 1, Ox s, i graficul funct, iei

g : R → R, g(x) = (2x+ 1)f(x).

c) Să se calculeze limn→+∞

∫ n

−n

f(x) dx, unde n ∈ N∗.

VARIANTA 003 3

VARIANTA 003

SUBIECTUL I.

1. Să se ordoneze crescător numerele√2, 3

√4, 4

√5.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 4x2− 8x+1. Să se determine valoarea minimă a funct, ieif .

3. Să se rezolve în mult,imea numerelor reale ecuat,ia lg(x− 1) + lg(6x− 5) = 2.4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mult,imea numerelor naturale de două

cifre, acesta să fie pătrat perfect.5. Să se determine ecuat,ia dreptei care trece prin punctul A(6; 4) s, i este perpendiculară pe dreapta

d : 2x− 3y + 1 = 0.

6. S, tiind că sinα =1

3, să se calculeze cos 2α.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră matricele A =

(0 2

−2 0

)s,i B =

(2 11 2

).

a) Să se calculeze det(A2 +B2).b) Să se justifice că, (∀) X , Y ∈ M2(C), det(X · Y ) = det(X) · det(Y ).c) Să se arate că, dacă X , Y ∈ M2(R) s,i X · Y = Y ·X , atunci det(X2 + Y 2) ≥ 0.

2. Se consideră cunoscut că (Z, ⋆, ◦) este un inel comutativ, unde x ⋆ y = x+ y − 3 s, ix ◦ y = xy − 3x− 3y + 12, (∀) x, y ∈ Z.a) Să se arate că elementul neutru al legii de compozit,ie „◦” este 4.b) Să se determine a, b ∈ Z astfel încât între inelele (Z, ⋆, ◦) s, i (Z,+, ·) să existe un izomorfism

de forma f : Z → Z, f(x) = ax+ b.c) Să se rezolve în mult,imea Z ecuat,ia x ◦ x ◦ . . . ◦ x︸︷︷︸

de 2008 ori x

= 22008 + 3.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = 18x2 − lnx.a) Să se determine intervalele de monotonie ale funct, iei f .b) Să se determine a ∈ R pentru care f(x) ≥ a, (∀) x ∈ (0,+∞).c) Să se determine numărul de rădăcini reale ale ecuat,iei f(x) = m, unde m este un parametru

real.2. Se consideră funct, iile fa : R → R, fa(x) =

1

|x− a|+ 3, unde a ∈ R.

a) Să se arate că, pentru orice a ∈ R, funct, ia fa are primitive strict crescătoare pe R.

b) Să se calculeze∫ 3

0

f2(x) dx.

c) Să se calculeze lima→+∞

∫ 3

0

fa(x) dx.


VARIANTA 004

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze(

1

1− i− 1

1 + i

)2

.

2. Să se arate că vârful parabolei y = x2 + 5x+ 1 este situat în cadranul III.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 9x − 3x+1 +8

9= 0.

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mult,imea numerelor naturale de treicifre, acesta să aibă exact două cifre egale.

5. Să se determine a ∈ R pentru care vectorii #»u = (3− 2a) #»ı + (a+ 1) #» s,i #»v = (2a+ 1) #»ı + 2 #» .6. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascut,itunghic ABC s,tiind că AB = 6, AC = 10

s, i că aria triunghiului ABC este egală cu 15√3.

SUBIECTUL II.


(−1 2 22 2 −1

).

a) Să se calculeze rangul matricei A.b) Să se demonstreze că det(tA · A) = 0.c) Să se calculeze det(A · tA).

2. Pe mult,imea Z definim legea de compozit,ie x ⋆ y = 5xy + 6x+ 6y + 6.a) Să se arate că legea „⋆” este asociativă.b) Să se determine elementele simetrizabile ale mult,imii Z în raport cu legea „⋆”.c) Să se rezolve ecuat,ia x ⋆ x ⋆ x ⋆ . . . ⋆ x︸︷︷︸

de 2008 ori x

= −1.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R \ {−1; 0} → R, f(x) =2x+ 1

x2(x + 1)2.

a) Să se determine asimptotele graficului funct, iei f .b) Să se demonstreze că funct, ia f nu are puncte de extrem local.c) Să se calculeze lim

n→+∞( f(1) + f(2) + f(3) + · · ·+ f(n) )n

2

, unde n ∈ N∗.

2. Se consideră s, irul (In)n∈N∗ , In =

∫ 2

0

xn

xn + 1dx, n ∈ N∗.

a) Să se calculeze I1.

b) Să se arate că In ≤ 1 +1

n+ 1, (∀) n ∈ N∗.


In.

VARIANTA 005 5

VARIANTA 005

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze1

1 + 2i+

1

1− 2i.

2. Să se rezolve în Z inecuat,ia x2 − 10x+ 12 ≤ 0.3. Să se determine inversa funct, iei bijective f : (1,∞) → (0,∞), f(x) = x− 1.4. Să se determine numărul funct,iilor f : {1; 2; 3; 4} → {1; 2; 3; 4} cu proprietatea că f(1) = f(4).5. Să se determine coordonatele vârfului D al paralelogramului ABCD dacă A(−2; 9), B(7;−4),

C(8;−3).

6. Triunghiul ABC are B =π

3s, i lungimea razei cercului circumscris egală cu 1. Să se calculeze

lungimea laturii AC.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră punctele A(0; 6), B(1; 4), C(−1; 8) s,i matricea M =

1 1 1 10 1 −1 a6 4 8 b

, unde a,

b ∈ R.a) Să se arate că punctele A, B, C sunt coliniare.b) Să se determine rangul matricei M în cazul a = 3, b = 0.c) Să se arate că dacă unul dintre minorii de ordin trei ai lui M , care cont,in ultima coloană,

este nul, atunci rang(M) = 2.2. Se s,tie că (G, ◦) este grup, unde G = (3,+∞) s, i x ◦ y = (x− 3)(y− 3) + 3. Se consideră funct, ia

f : (0,+∞) → G, f(x) = x+ 3.a) Să se calculeze 4 ◦ 5 ◦ 6.b) Să se demonstreze că funct, ia f este un izomorfism de grupuri, de la ((0,+∞), ·) la (G, ◦).c) Să se demonstreze că dacă H este un subgrup al lui G care cont,ine toate numerele naturale

k ≥ 4, atunci H cont,ine toate numerele rat,ionale q > 3.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = lnx− 2(x− 1)

x+ 1.

a) Să se calculeze derivata funct, iei f .b) Să se determine punctele graficului funct, iei f în care tangenta la grafic este paralelă cu

dreapta de ecuat,ie 9y = 2x.

c) Să se arate că, dacă x > 1, atunci lnx ≥ 2(x− 1)

x+ 1.

2. Se consideră funct,ia f : (0,+∞) → R, f(x) =1

x2s, i s, irul (an)n≥1, an = f(1)+ f(2)+ · · ·+ f(n).

a) Să se arate că f(k + 1) ≤∫ k+1

k

f(x) dx ≤ f(k), (∀) k ∈ (0,+∞).

b) Să se calculeze limn→+∞

∫ n

1

f(x) dx, n ∈ N.

c) Să se arate că s,irul (an)n≥1 este convergent.


VARIANTA 006

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze suma tuturor numerelor naturale de două cifre care se divid cu 11.2. Să se determine funct,ia f de gradul al doilea dacă f(−1) = 1, f(0) = 1, f(1) = 3.3. Să se rezolve în mult,imea (0;π) ecuat,ia sin 3x = sinx.4. Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 2, 4, 6 sau 8?5. Se consideră triunghiul ABC cu vârfurile în A(1; 2), B(2;−2) s,i C(4; 6). Să se calculeze cosB.

6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC s,tiind că AB = 6, C =π

6.

SUBIECTUL II.

1. Fie n ∈ N∗, mult,imea Sn a permutărilor de n elemente s, i permutarea identică e =

(1 2 . . . n1 2 . . . n

).

a) Pentru n = 4 s,i σ =

(1 2 3 41 2 3 4

)∈ S4, să se calculeze σ4.

b) Să se demonstreze că pentru orice σ ∈ Sn, există p ∈ N∗, astfel încât σp = e.c) Să se determine o permutare τ ∈ S5, τ 6= e astfel încât τ5 = τ .

2. Se consideră a ∈ C, x1, x2, x3 ∈ C rădăcinile ecuat,iei x3 − 2x2 + 2x − a = 0 s, i determinantul

∆ =

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3

x3 x1 x2

x2 x3 x1

∣∣∣∣∣∣.

a) Pentru a = 1, să se rezolve ecuat,ia în mult,imea numerelor complexe.b) Să se arate că, pentru orice a ∈ R, ecuat,ia are o singură rădăcină reală.c) Să se arate că valoarea determinantului ∆ nu depinde de a.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = ex ln x.a) Să se arate că f ′(x) = f(x)(1 + lnx), (∀) x > 0.b) Să se determine valoarea minimă a funct, iei f .c) Să se arate că funct,ia f este convexă pe (0,+∞).

2. Se consideră funct, iile fn, gn : (−1,+∞) → R, fn(x) =x2n

1 + x,

gn(x) = 1− x+ x2 − x3 + · · · − x2n−1 + fn(x) cu n ∈ N∗.

a) Să se calculeze∫ 1

0

g2(x) dx.

b) Să se arate că 0 ≤∫ 1

0

fn(x) dx ≤ 1

2n+ 1, (∀) n ∈ N∗.


(1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·+ 1

2n− 1− 1

2n

), n ∈ N∗.

VARIANTA 007 7

VARIANTA 007

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze modulul numărului complex z =8 + i

7− 4i.

2. Să se determine valoarea maximă a funct, iei f : R → R, f(x) = −x2 + 6x− 9.

3. Să se rezolve în mult,imea [0; 2π) ecuat,ia sinx = −1

2.

4. Să se determine n ∈ N∗ pentru care mult,imea {1; 2; . . . ;n} are exact 120 de submult,imi cu douăelemente.

5. Se s,tie că în triunghiul ABC vectorii# »

AB+# »

AC s, i# »

AB− # »

AC au acelas,i modul. Să se demonstrezecă triunghiul ABC este dreptunghic.

6. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC care are lungimile laturiloregale cu 3, 4 s, i 5.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră matriceleA =

1 2 3 40 1 2 30 0 1 2

, B =

(0 0 0 1

)s,i sistemul

x+ 2y + 3z + 4t = 3

y + 2z + 3t = 2

z + 2t = 1

.

a) Să se determine rangul matricei A.b) Să se determine mult,imea solut,iilor sistemului.c) Să se demonstreze că ecuat,ia XA = B nu are solut,ii X ∈ M1, 3(C).

2. Pentru fiecare t, n ∈ Z, se consideră matricea A(n) =

(2n 2n

2n 2n

)s, i mult,imile G = {A(k) | k ∈ Z},

Ht = {A(k · t − 1) | k ∈ Z}. Se admite faptul că (G, ·) este un grup, unde „ ·” este înmult,ireamatricelor.a) Să se arate că (∀) n, p ∈ Z, A(n) · A(p) = A(n+ p+ 1).b) Să se demonstreze că, pentru orice t ∈ Z, Ht este un subgrup al grupului (G, ·).c) Să se demonstreze că grupurile (G, ·) s, i (Z,+) sunt izomorfe.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = lnx s,i s, irul (xn)n∈N∗ , xn = 1+1

2+1

3+· · ·+ 1

n−lnn,

(∀) n ∈ N∗.a) Să se determine asimptotele graficului funct,iei f .

b) Să se arate că, pentru orice k > 0,1

k + 1< f(k + 1)− f(k) <

1

k.

c) Să se arate că s,irul (xn)n∈N∗ este descrescător s, i are termenii pozitivi.2. Se consideră funct, iile F : (−1,+∞) → R, F (x) = a ln(x + 1) + b ln(x2 + 1) + c arctanx s, i

f : (−1,+∞) → R, f(x) =2x

(x+ 1)(x2 + 1).

a) Să se determine a, b, c ∈ R, astfel încât F să fie o primitivă a funct, iei f .


0

f(x) dx.

c) Să se studieze monotonia funct, iei F , în cazul în care ea este primitivă a funct, iei f .


VARIANTA 008

SUBIECTUL I.

1. S, tiind că z ∈ C s, i că z2 + z + 1 = 0, să se calculeze z4 +1

z4.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = ax2 + x+ c. S, tiind că punctele A(1; 2) s, i B(0; 3) apart,ingraficului funct, iei f , să se determine numerele reale a s, i c.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 3√7x+ 1− x = 1.

4. Câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu cifre din mult,imea {1; 3; 5; 7; 9}?5. Se consideră paralelogramul ABCD s, i punctele E s,i F astfel încât

# »

AE =# »

EB,# »

DF = 2# »

FE. Săse demonstreze că punctele A, F s, i C sunt coliniare.

6. Fie triunghiul ABC. Să se calculeze lungimea înălt,imii corespunzătoare laturii BC s,tiind căAB = 13, AC = 14 s, i BC = 15.

SUBIECTUL II.


1 −1 −1−1 1 −1−1 −1 1

∈ M3(R)

a) Să se calculeze det(A).b) Să se demonstreze că A2 −A− 2I3 = O3.c) Să se determine A−1.

2. Se consideră a ∈ R s, i ecuat,ia x3 − x+ a = 0, cu rădăcinile complexe x1, x2, x3.a) Să se calculeze (x1 + 1)(x2 + 1)(x3 + 1).b) Să se calculeze x2, x3, dacă x1 = 2.c) Să se determine a ∈ R pentru care x1, x2, x3 sunt numere întregi.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x+ cosx s, i s, irul (xn)n∈N, xn+1 = f(xn), (∀) n ∈ N.a) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare pe R.

b) Să se arate că xn ∈(0,

π

2

), (∀) n ∈ N.


xn.

2. Se consideră s, irul de numere reale (In)n∈N, definit de I0 =π

2s, i In =

∫ π

2

0

cosn xdx, n ∈ N∗.

a) Să se calculeze I1.b) Să se arate că s, irul (In)n∈N este descrescător.

c) Să se arate că nInIn−1 =π

2, (∀) n ∈ N∗.

VARIANTA 009 9

VARIANTA 009

SUBIECTUL I.

1. Să se rezolve în mult,imea numerelor complexe ecuat,ia z2 = −9.2. Să se determine a ∈ R∗ pentru care ecuat,ia ax2 + (3a− 1)x+ a+ 3 = 0 are solut,ii reale.3. Să se rezolve în mult,imea [0; 2π] ecuat,ia cos 4x = 1.4. Să se determine numărul funct,iilor f : {1; 2; 3; 4; 5} → {1; 2; 3; 4; 5} cu proprietatea că

f(1) = f(2).5. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris într-un triunghi care are lungimile laturilor 13, 14,

15.

6. Triunghiul ABC are B =π

6, C =

π

4. Să se demonstreze că

AB

AC=

√2.

SUBIECTUL II.


(1 1

−1 1

), E1 =

(1 01 1

), E2 =

(1 10 1

)s, i n ∈ N∗.

a) Să se calculeze A4.b) S, tiind că matricea B ∈ M2(R) verifică relat,iile B · E1 = E1 · B s, i B · E2 = E2 · B, să se

demonstreze că există a ∈ R, astfel încât B =

(a 00 a

).

c) Să se demonstreze că dacă pentru orice X ∈ M2(R), An ·X = X ·An, atunci există k ∈ N∗

astfel încât n = 4k.2. Se consideră polinomul f = 2X4+ aX3+3X2+ bX+ c ∈ R[X ], cu rădăcinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Să se afle rădăcinile polinomului f s,tiind că a = b = 0, c = −5.b) Să se verifice că

(x1 − x2)2 + (x1 − x3)

2 + (x1 − x4)2 + (x2 − x3)

2 + (x2 − x4)2 + (x3 − x4)

2 =3

4(a2 − 16).

c) Pentru a = 4, să se determine b, c ∈ R astfel încât polinomul f să aibă toate rădăcinile reale.

SUBIECTUL III.

1. Pentru fiecare n ∈ N∗ se consideră funct, ia fn : R → R, fn(x) = x− sinx− n.a) Să se arate că funct,ia fn este strict crescătoare.b) Să se arate că, dacă se notează xn unica solut,ie a ecuat,iei fn(x) = 0, atunci s, irul (xn)n∈N∗

este nemărginit.c) Să se calculeze lim

n→+∞xn

n, unde s,irul (xn)n∈N∗ a fost definit la b).

2. Fie funct, iile f , gn : [0; 1) → R, f(x) =1

1− x, gn(x) =

xn

1− x, unde n ∈ N∗.


2

0

( f(x)− g2(x) ) dx.

b) Să se arate că 0 ≤∫ 1

2

0

gn(x) dx ≤ 1

2n, (∀) n ∈ N∗.

c) Să se arate că limn→+∞

(1

1 · 2 +1

2 · 22 +1

3 · 23 + · · ·+ 1

n · 2n)

= ln 2.


VARIANTA 010

SUBIECTUL I.

1. Să se rezolve în mult,imea numerelor complexe ecuat,ia z2 = −4.2. Să se determine funct, ia f de gradul întâi, pentru care f( f(x) ) = 2f(x) + 1, oricare ar fi x ∈ R.3. Să se rezolve în R ecuat,ia lg(x+ 1)− lg 9 = 1− lg x.

4. Să se determine numărul termenilor irat,ionali din dezvoltarea(3 + 3

√3)10

.5. Să se determine a ∈ R pentru care vectorii #»u = (a − 2) #»ı + 3 #» s, i #»v = 8 #»ı − (20 − 2a) #» sunt

coliniari.6. Să se arate că vectorii #»u = 5 #»ı − 4 #» s, i #»v = 2 #»ı + 3 #» formează un unghi obtuz.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră permutările e, α ∈ S3, e =(1 2 31 2 3

), α =

(1 2 33 1 2

).

a) Să se calculeze α3.b) Să se rezolve ecuat,ia α2008 · x = e, x ∈ S3.c) Să se demonstreze că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din S3

este permutare impară.

2. Pentru fiecare a ∈ Z5 se consideră matricea A(a) ∈ M2(Z5), A(a) =(a 2̂

2̂ a

).

a) Să se verifice că (∀) x ∈ Z5, x5 = x.b) Să se demonstreze că (∀) a ∈ Z5, (A(a) )5 = A(a).c) Să se determine valorile lui a ∈ Z5 pentru care (A(a) )2008 = A(a).

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x arctanx− ln(1 + x2).a) Să se arate că funct,ia f este convexă pe R.b) Să se arate că funct,ia f ′ este mărginită.c) Să se demonstreze că f(x) ≥ 0, (∀) x ∈ R.

2. Se consideră s, irul (In)n≥1, In =

∫ 1

0

xn

1 + x2ndx, (∀) n ∈ N∗.


b) Să se arate că In ≤ 1

n+ 1, (∀) n ∈ N∗.


In.

VARIANTA 011 11

VARIANTA 011

SUBIECTUL I.

1. Să se determine a, b ∈ R s,tiind că numerele 2, a, b sunt în progresie geometrică s, i 2, 17, a suntîn progresie aritmetică.

2. Să se rezolve ecuat,ia f( f(x) ) = 0 s,tiind că f : R → R, f(x) = −3x+ 2.3. Să se rezolve în mult,imea [0; 2π) ecuat,ia tan(−x) = 1− 2 tanx.4. Să se determine numărul funct,iilor f : {0; 1; 2} → {0; 1; 2} care verifică relat,ia f(2) = 2.5. Se consideră triunghiul ABC s, i punctele D, E astfel încât

# »

AD = 2# »

DB,# »

AE = 2# »

EC. Să se aratecă dreptele DE s, i BC sunt paralele.

6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, dacă A =π

4, B =

π

6s, i

AB = 6.

SUBIECTUL II.

1. Pentru a, b, c, d ∈ R, se consideră matricea A =

a b c d−b a −d c−c d a −b−d −c b a

s, i matricea transpusă

tA.a) Pentru a = c = 1 s,i b = d = 0, să se calculeze det(A).b) Să se arate că A · tA = α · I4, unde α = a2 + b2 + c2 + d2.c) Să se demonstreze că dacă A 6= O4, atunci A este inversabilă.

2. Se consideră a, b, c ∈ R s,i polinomul f = X3+ aX2+ bX+ c, cu rădăcinile x1, x2, x3 ∈ C, astfelîncât |x1| ≤ 1, |x2| ≤ 1, |x3| ≤ 1.a) Să se demonstreze că |a| ≤ 3.b) Să se arate că, dacă c < 0, polinomul are cel put,in o rădăcină reală în intervalul (0,+∞).c) Să se arate că, dacă a = 1, c = −1, atunci b = −1.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R \ {−2} → R, f(x) =1

x+ 2e|x|.

a) Să se studieze derivabilitatea funct,iei f în punctul x0 = 0.b) Să se determine punctele de extrem local ale funct, iei f .c) Să se determine numărul de rădăcini reale ale ecuat,iei f(x) = m, cu m ∈ R.

2. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) = sinx − x +x3

6s, i g : (0; 1] → R, g(x) =

∫ 1

x

sin t

tdt. Se

admite cunoscut faptul că f(x) ≥ 0, (∀) x ≥ 0.

a) Să se calculeze∫ π

2

0

f(x) dx.

b) Să se arate că funct,ia g este strict descrescătoare.c) Să se arate că lim

x→0x>0

g(x) > 0, 9.


VARIANTA 012

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1, s,tiind că a4−a2 = 4s, i a1 + a3 + a5 + a6 = 30.

2. Să se rezolve în R ecuat,iax+ 1

x+ 2+

x+ 2

x+ 3=

7

6.

3. Să se rezolve în mult,imea [0; 2π) ecuat,ia cos 2x =1

2.

4. Să se determine a > 0 s,tiind că termenul din mijloc al dezvoltării(

3√a+

14√a

)12

este egal cu

1848.5. Să se determine ecuat,ia simetricei dreptei d : 2x− 3y + 1 = 0 fat,ă de punctul A(−3; 4).6. S, tiind că cotx = 3, să se calculeze cot 2x.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră polinoamele f , g ∈ R[X ], f = X2+X+1, cu rădă cinile x1, x2 s, i g = aX2+bX+c,

cu a 6= 0. Fie matricele A, V ∈ M3(C), A =

c b aa c bb a c

s, i V =

1 1 11 x1 x2

1 x21 x2

2

.

a) Să se arate că det(V ) = 3(x2 − x1).

b) Să se arate că A · V =

g(1) g(x1) g(x2)g(1) x1g(x1) x2g(x2)g(1) x2

1g(x1) x22g(x2)

.

c) Să se arate că det(A) = 0 dacă s, i numai dacă a+ b+ c = 0 sau a = b = c.2. Se consideră funct, ia f : Z5 → Z5, f(x) = x4 + 4̂x.

a) Să se calculeze f(0̂) s, i f(1̂).b) Să se arate că funct,ia f nu este surjectivă.c) Să se descompună polinomul X4 + 4̂X ∈ Z5[X ] în factori ireductibili peste Z5.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = (x + 1)1x .

a) Să se arate că x− (x + 1) ln(x + 1) < 0, (∀) x > 0.b) Să se calculeze lim

x→+∞f(x).

c) Să se arate că funct,ia f este descrescătoare.

2. Se consideră funct, ia f : [1,+∞) → R, f(x) =∫ 1

0

e−ttx−1 dt, (∀) x > 1 s, i f(1) = 1− 1

e.

a) Să se calculeze f(2).

b) Să se demonstreze relat,ia f(x) ≤ 1

x, (∀) x ≥ 1.

c) Să se demonstreze relat,ia f(x+ 1) = xf(x) − 1

e, (∀) x > 1.

VARIANTA 013 13

VARIANTA 013

SUBIECTUL I.

1. Să se verifice egalitatea (1 + i√3)2 + (1− i

√3)2 = −4.

2. Să se rezolve în R× R sistemul de ecuat,ii

{x+ y = 4

xy = 3.

3. Să se rezolve în mult,imea numerelor reale ecuat,ia x = 6(√x− 2− 1 ).

4. Să se determine termenul care nu cont,ine pe x din dezvoltarea(x2 +

1

x

)9

.

5. Să se calculeze distant,a de la punctul A(3; 0) la dreapta d : 3x− 4y + 1 = 0.6. Triunghiul ABC are AB = 4, BC = 5 s, i CA = 6. Să se arate că B = 2C.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră sistemul de ecuat,ii

x− y + z = 1

x+ y + z = 3

mx+ y + z = 3m

, unde m ∈ R. Pentru fiecare m ∈ R, notăm

cu Sm mult,imea solut,iilor reale ale sistemului.a) Să se determine m ∈ R pentru care sistemul are solut,ie unică.b) Să se arate că pentru orice m ∈ R sistemul este compatibil.c) Să se determine min{x2 + y2 + z2 | (x, y, z) ∈ S1}.


(0 1

−1 0

), B =

(0 1

−1 1

), I2 =

(1 00 1

), C = A · B s, i mult,imea

G = {X ∈ M2(C) | det(X) = 1}.a) Să se verifice că A4 = B6 = I2.b) Să se arate că (G, ·) este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile de

ordin doi, cu elemente numere complexe.c) Să se demonstreze că Cn 6= I2, pentru orice n ∈ N∗.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 3√x3 + 3x2 − 4.

a) Să se determine asimptota oblică a graficului funct, iei f spre +∞.

b) Să se arate că f(x)f ′(x) = x 3

√x+ 2

x+ 3, (∀) x ∈ R \ {−2;−1}.

c) Să se determine derivatele laterale ale funct, iei f în punctul x0 = −2.

2. Pentru n ∈ N∗ se consideră funct, ia Fn : (0,+∞) → R, Fn(x) =

∫ x

0

tne−t dt, x > 0.

a) Să se calculeze F1(x), x > 0.b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funct, iei Fn.c) Să se calculeze lim

x→+∞F2(x).


VARIANTA 014

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze lg1

2+ lg

2

3+ lg

3

4+ · · ·+ lg

99

100.

2. Să se determine a ∈ R∗ pentru care inecuat,ia ax2 + 2(a + 1)x + 2a − 1 ≥ 0 nu are solut,ii înmult, imea numerelor reale.

3. Să se rezolve în mult,imea numerelor reale ecuat,ia 3√8− x = 3

√9− 4x.

4. Să se determine numărul elementelor unei mult, imi s,tiind că aceasta are exact 45 de submult, imicu două elemente.

5. Să se determine ecuat,ia dreptei AB s,tiind că A(2; 3) s, i B(−5; 4).6. Triunghiul ascut,itunghic ABC are AC = 2

√3 s,i lungimea razei cercului circumscris egală cu 2.

Să se calculeze m(B̂).

SUBIECTUL II.


a b c2a 2b 2c3a 3b 3c

, unde a, b, c ∈ R∗.

a) Să se calculeze rangul matricei A.b) Să se arate că există d ∈ R astfel încât A2 = dA.c) Să se arate că există matricele K ∈ M3, 1(R) s,i L ∈ M1, 3(R) astfel încât A = K · L.

2. Se consideră numărul a =√3− i ∈ C s, i polinomul f ∈ Q[X ], f = X4 − 4X2 + 16.

a) Să se arate că f(a) = 0.b) Să se determine rădăcinile polinomului f .c) Să se arate că polinomul f este ireductibil în Q[X ].

SUBIECTUL III.

1. Pentru n ∈ N∗, n ≥ 3 se consideră funct,ia fn : R → R, fn(x) = sinn x s, i se notează cu xn abscisa

punctului de inflexiune a graficului funct, iei din intervalul(0,

π

2

).

a) Să se arate că f ′′n (x) = n(n− 1) sinn−2 x− n2 sinn x, (∀) n ∈ N∗, n ≥ 3 s, i x ∈ R.

b) Să se arate că sinxn =

√n− 1

n, n ≥ 3.


fn(xn).

2. Se consideră a ∈ R s, i funct, iile f , F : R → R, f(x) =x3 − 3x+ a

(x2 + 1)√x2 + 1

,

F (x) =x2 + ax+ 5√

x2 + 1, (∀) x ∈ R.

a) Să se arate că funct,ia F este o primitivă pentru funct, ia f .b) Pentru a = 2, să se determine aria suprafet,ei plane cuprinsă între graficul funct, iei f , axa

Ox s, i dreptele x = 1 s, i x = 2.

c) Să se determine a astfel încât∫ 2

0

F (x) dx −∫ 0

−2

F (x) dx = 2.

VARIANTA 015 15

VARIANTA 015

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze log3(5 −√7) + log3(5 +

√7)− log3 2.

2. Să se determine funct,ia de gradul al doilea al cărei grafic este tangent la axa Ox în punctul (1; 0)s,i trece prin punctul (0; 2).

3. Să se rezolve în mult,imea [0; 2π) ecuat,ia sinx+ cosx = 0.4. Câte numere de patru cifre, nu neapărat distincte, se pot forma cu cifre din mult, imea {1; 3; 5; 7; 9}?5. Să se determine ecuat,ia dreptei care cont,ine punctul A(−2; 2) s, i este paralelă cu dreapta deter-

minată de punctele C(2; 1), D(−1;−3).

6. Fie α ∈(π,

3π

2

)astfel încât cosα = − 5

13. Să se calculeze sinα.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră sistemul

ax+ by + cz = 1

cx+ ay + bz = 1

bx+ cy + az = 1

, unde a, b, c ∈ R.

a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului.b) Să se arate că dacă a3 + b3 + c3 6= 3abc, atunci sistemul are solut,ie unică.c) Să se arate că dacă a+ b+ c = 0, atunci sistemul este incompatibil.

2. Se consideră polinomul f ∈ R[X ], f = X4 − 5X2, cu rădăcinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Să se calculeze1

x1+

1

x2+

1

x3+

1

x4.

b) Să se arate că polinomul f are toate rădăcinile reale.c) Să se arate că dacă g este un polinom cu coeficient,i reali care are proprietatea că pentru

orice x real |g(x)| ≤ |f(x)|, atunci există a ∈ [−1; 1] astfel încât g = af .

SUBIECTUL III.

1. Pentru fiecare n ∈ N, n ≥ 3, se consideră funct,ia fn : [0,+∞) → R, fn(x) = xn − nx+ 1.a) Să se arate că fn este strict descrescătoare pe (0; 1] s,i strict crescătoare pe [1,+∞).b) Să se arate că ecuat,ia fn(x) = 0, x > 0 are exact două rădăcini an ∈ (0; 1) s, i bn ∈ (1,+∞).c) Să se calculeze lim

n→+∞an, unde s, irul an a fost definit la punctul b).

2. Se consideră s, irul (In)n∈N, unde I0 =

∫ 1

0

1

x2 + 1dx s, i In =

∫ 1

0

xn

x2 + 1dx, n ∈ N∗.

a) Să se arate că I0 =π

4.

b) Să se arate că I2n =1

2n− 1− I2n−2, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.


(1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · ·+ (−1)n

1

2n− 1

)= I0.


VARIANTA 016

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze modulul numărului complex z =2− i

2 + i.

2. Să se determine a ∈ R pentru carex2 + ax+ 2

x2 + 1≥ 0, pentru orice x ∈ R.

3. Să se rezolve ecuat,ia arcsin1

2+ arcsinx =

π

3.

4. Să se rezolve ecuat,ia C8n = C10

n .5. Să se afle măsura celui mai mare unghi al triunghiului ABC s,tiind că A(2;−2), B(2; 3), C(−2; 3).

6. Fie α ∈(π2, π)

astfel încât sinα =3

5. Să se calculeze sin 2α.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră mult,imea G =

{X =

(a b0 1

) ∣∣∣∣ a, b ∈ R, a > 0

}.

a) Să se arate că dacă A, B ∈ G, atunci AB ∈ G.b) Să se găsească două matrice C, D ∈ G pentru care CD 6= DC.c) Să se arate că dacă A ∈ G, atunci I2 −A+A2 ∈ G.

2. Se consideră a, b, c ∈ Q s,i polinomul f = X3 + aX2 + bX + c.a) Să se determine a, b, c astfel încât polinomul f să aibă rădăcinile x1 = x2 = 1 s, i x3 = −2.b) Să se arate că dacă f are rădă dăcina

√2, atunci f are o rădăcină rat,ională.

c) Să se arate că dacă a, b, c ∈ Z, iar numerele f(0) s, i f(1) sunt impare, atunci polinomul fnu are rădăcini întregi.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =

x2 sin

1

x2, x ∈ R \ {0}

0, x = 0.

a) Să se arate că funct,ia f este derivabilă pe R.b) Să se calculeze lim

x→+∞f ′(x).

c) Să se demonstreze că funct, ia f este mărginită pe R.2. Pentru fiecare n ∈ N∗ se consideră funct,ia fn : [0; 1] → R, fn(x) = (1− x)n.


0

f2(x) dx.

b) Să se arate că∫ 1

0

xfn(x) dx =1

(n+ 1)(n+ 2), oricare ar fi n ∈ N∗.


∫ 1

0

fn

(xn

)dx.

VARIANTA 017 17

VARIANTA 017

SUBIECTUL I.

1. Să se determine partea imaginară a numărului (1 + i√3)3.

2. Să se determine imaginea funct, iei f : R → R, f(x) = x2 − x+ 2.3. Să se rezolve în R ecuat,ia

√−2x+ 1 = 5.

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr ab din mult,imea numerelor de două cifre,să avem a+ b = 4.

5. Să se determine ecuat,ia dreptei care trece prin punctul A(−1; 1) s, i este perpendiculară pe dreaptad : 5x− 4y + 1 = 0.

6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC s,tiind că AB = 6, B =π

4s, i C =

π

6.

SUBIECTUL II.


(1 30 −1

)s,i A =

(−3 −81 3

).

a) Să se calculeze A2 −B2.b) Să se calculeze det(I2 +A+A2 +A3 +A4).c) Să se arate că ecuat,ia X2 = I2 are o infinitate de solut,ii în M2(Z).

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ Q[X ], f = X4 + X3 + X2 + X + 1, cu rădăcinile x1, x2, x3,x4 ∈ C s, i g = X2 − 1.a) Să se determine restul împărt,irii polinomului f la polinomul g.b) Să se calculeze (1− x1)(1 − x2)(1 − x3)(1− x4).c) Să se calculeze g(x1) · g(x2) · g(x3) · g(x4).

SUBIECTUL III.

1. Se consideră s, irul (xn)n∈N∗ , unde x1 ∈ (0; 1) s, i xn+1 =x5n + 3xn

4, (∀) n ∈ N∗.

a) Să se arate că xn ∈ (0; 1), (∀) n ∈ N∗.b) Să se arate că s,irul (xn)n∈N∗ este convergent.


xn+2

xn

=9

16.

2. Se consideră funct, iile fn : R → R, fn(x) =1

n2 + x2, n ∈ N∗.

a) Să se calculeze aria suprafet,ei cuprinse între graficul funct, iei f1, axele de coordonate s, idreapta x = 1.


0

x( f1(x) )2 dx


n ( fn(1) + fn(2) + fn(3) + · · ·+ fn(n) ) =π

4.


VARIANTA 018

SUBIECTUL I.

1. Să se rezolve în mult,imea numerelor complexe ecuat,ia x2 − 2x+ 4 = 0.2. Se consideră funct, ia f : [−2; 2] → R, f(x) = x2− 3x+2. Să se afle valoarea minimă a funct, iei f .

3. Să se rezolve ecuat,ia arcsinx+ arccos1√2=

π

2.

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând două numere din mult,imea {0; 1; 2; . . . ; 9}, cel put, inun număr să fie prim.

5. Să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC, dacă A(−1; 0), B(0; 2),C(2;−1).

6. Să se calculeze# »

AB · ( # »

AC +# »

BC), s,tiind că A(−3; 4), B(4;−3) s, i C(1; 2).

SUBIECTUL II.


0 0 01 0 01 1 0

∈ M3(R).

a) Să se calculeze A3.b) Să se afle rangul matricei I3 +A+ tA.c) Să se determine inversa matricei I3 +A.

2. Se consideră a, b ∈ R s, i polinomul f = X3 + 4aX2 + 20X + b, cu rădăcinile x1, x2, x3 ∈ C.a) Să se determine x1, x2, x3 în cazul a = 2, b = 0.b) Să se demonstreze că (x1 − x2)

2 + (x1 − x3)2 + (x2 − x3)

2 = 8(4a2 − 15).c) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină dublă egală cu −a.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct,ia f : [0,+∞) → [0,+∞), f(x) =2x+ 1

x+ 2s, i s, irul (xn)n∈N dat de x0 = 2,

xn+1 = f(xn), (∀) n ∈ N.a) Să se determine asimptotele graficului funct, iei f .b) Să se arate că s, irul (xn)n∈N are limita 1.c) Să se arate că s, irul (yn)n∈N dat de yn = x0 + x1 + x2 + · · ·+ xn − n, este convergent.

2. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) = 1 + cosx s, i F : R → R, F (x) = x ·∫ x

0

f(t) dt.


2

0

f(x) dx.

b) Să se arate că F este funct,ie pară.c) Să se determine intervalele de monotonie ale funct, iei F .

VARIANTA 019 19

VARIANTA 019

SUBIECTUL I.

1. Să se ordoneze crescător numerele√3, 3

√5, 4

√8.

2. Să se determine funct, ia f : R → R s,tiind că graficul său s, i graficul funct,iei g : R → R,g(x) = −3x+ 3 sunt simetrice fat,ă de dreapta x = 1.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 32x+1 − 10 · 3x+1 + 27 = 0.4. Să se determine probabilitatea ca, alegând trei cifre din mult, imea {0; 1; 2; . . . ; 9}, toate acestea

să fie pare.5. Să se determine ecuat,ia medianei duse din vârful A al triunghiului ABC, unde A(1; 2), B(2; 3)

s,i C(2;−5).

6. S, tiind că x ∈(0,

π

4

), să se arate că cotx =

cotx− tanx

2.

SUBIECTUL II.


x+ y + z + t = 1

x− y + z + t = 0

x+ y − z + t = 0

x+ y + z − t = 0

s, i A matricea sistemului.

a) Să se calculeze det(A).b) Să se rezolve sistemul.c) Să se determine A−1.

2. Fie polinomul f = X4 + 2X3 + aX2 − 2x+ 1 ∈ R[X ] s, i x1, x2, x3, x4 ∈ C rădăcinile sale.


x1+

1

x2+

1

x3+

1

x4.

b) Să se arate că f(x) = x2

[(x− 1

x

)2

+ 2

(x− 1

x

)+ a+ 2

], (∀) x ∈ R∗.

c) Să se determine a ∈ R pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (−2; 2) → R, f(x) = ln2 + x

2− x.

a) Să se determine asimptotele graficului funct,iei f .b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funct, iei f .

c) Să se calculeze limx→+∞

xaf

(1

x

), a ∈ R.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =−x3 + 2x2 − 5x+ 8

x2 + 4.


0

f(x) dx.


1

(x + f(x)− 2)2 dx.

c) S, tiind că funct, ia f este bijectivă, să se calculeze∫ 2

45

f−1(x) dx.


VARIANTA 020

SUBIECTUL I.

1. Să se verifice dacă 2 ∈ (log3 4,√5).

2. Să se rezolve în mult,imea numerelor complexe ecuat,ia x2 − 2x+ 2 = 0.3. Să se rezolve în [0; 2π) ecuat,ia sinx+ cosx = −1.4. Să se calculeze C4

4 +C45 +C4

6.5. Pe laturile AB s, i AC ale triunghiului ABC se consideră punctele M , respectiv N astfel încât

# »

AM = 4# »

MB s, i MN ‖ BC. Să se determine m ∈ R astfel încât# »

CN = m# »

AC.6. Să se calculeze perimetrul triunghiului OAB, s,tiind că O(0; 0), A(−1; 2) s,i B(−2; 3).

SUBIECTUL II.

1. Se consideră triunghiul ABC, cu laturile AB = c, BC = a, CA = b s, i sistemul

bx+ ay = c

cx + az = b

cy + bz = a

.

a) Să se rezolve sistemul în cazul a = 3, b = 4, c = 5.b) Să se demonstreze că, pentru orice triunghi, sistemul are solut,ie unică.c) S, tiind că solut,ia sistemului este (x0, y0, z0), să se demonstreze că x0, y0, z0 ∈ (−1; 1).


{(a bb a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Z3

}.

a) Să se determine numărul elementelor mult, imii G.b) Să se arate că dacă A, B ∈ G, atunci AB ∈ G.c) Să se determine numărul matricelor din mult,imea G care au determinantul nul.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 2ex + 3x2 − 2x+ 5.a) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare pe [0,+∞).b) Să se arate că funct,ia f nu este surjectivă.


f ′(x)

f(x).

2. Se consideră funct, ia f : [0,+∞) → R, f(t) =1

(1 + t2)(1 + t3).


0

(t3 + 1)f(t) dt.


1x

f(t) dt =

∫ x

1

t3f(t) dt, (∀) x > 0.


∫ x

1x

f(t) dt.

VARIANTA 021 21

VARIANTA 021

SUBIECTUL I.

1. Să se rezolve în mult,imea numerelor complexe ecuat,ia x2 − 8x+ 25 = 0.2. Să se determine a ∈ R, pentru care graficul funct, iei f : R → R,

f(x) = (a+ 1)x2 + 3(a− 1)x+ a− 1, intersectează axa Ox în două puncte distincte.3. Să se rezolve în R ecuat,ia

√x+ 8− 6

√x− 1 = 1.

4. Să se calculeze C48 − C4

7 − C37.

5. Să se determine ecuat,ia perpendicularei duse din punctul A(1; 2) pe dreapta d : x+ y − 1 = 0.

6. S, tiind că sinx =1

3, să se calculeze cos 2x.

SUBIECTUL II.

1. Pentru a, b, c ∈ R∗, se consideră sistemul

ax+ by + cz = b

cx+ ay + bz = a

bx+ cy + az = c

, x, y, z ∈ R.

a) Să se arate că determinantul sistemului este ∆ = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− ac− bc).b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat.c) S, tiind că a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc = 0, să se arate că sistemul are o infinitate de solut,ii

(x, y, z), astfel încât x2 + y2 = z − 1.

2. Se consideră mult, imea G =

{X =

(a b0 c

) ∣∣∣∣ a, b, c ∈ Z4

}.

a) Să se determine numărul elementelor mult, imii G.b) Să se dea un exemplu de matrice A ∈ G cu proprietatea că det(A) 6= 0̂ s, i det(A2) = 0̂.

c) Să se determine numărul solut,iilor ecuat,iei X2 =

(1̂ 0̂

0̂ 0̂

), X ∈ G.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = (x− 1)(x− 3)(x− 5)(x− 7).

a) Să se calculeze limx→1

f(x)

x4.

b) Să se arate că ecuat,ia f ′(x) = 0 are exact trei rădăcini reale.c) Să se determine valoarea minimă a funct, iei f .

2. Se consideră o funct, ie f : R → R, cu proprietatea că xf(x) = sinx, (∀) x ∈ R.


0

x2f(x) dx.

b) Să se arate că funct,ia f este integrabilă pe intervalul[0,

π

2

].

c) Să se arate că∫ π

2

1

f(x) dx ≤ cos 1.


VARIANTA 022

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze 1 + i + i2 + · · ·+ i10.2. Se consideră funct, iile f , g : R → R, f(x) = x2 − 3x + 2, g(x) = 2x − 1. Să se rezolve ecuat,ia

(f ◦ g)(x) = 0.3. Să se rezolve în R ecuat,ia lg(8x+ 9) + lg x = 1 + lg(x2 − 1).4. Să se rezolve inecuat,ia C2

n < 10, n ∈ N, n ≥ 2.5. Se consideră dreptele de ecuat,ii d1 : x− 2y = 0 s, i d2 : 2x− 4y − 1 = 0. Să se calculeze distant,a

dintre cele două drepte.6. Să se calculeze sin 75◦ + sin 15◦.

SUBIECTUL II.

1. Fie sistemul

x+ y + z = 0

ax+ by + cz = 0

a3x+ b3y + c3z = 1

, cu a, b, c ∈ R, distincte două câte două s,i A matricea

sistemului.a) Să se arate că det(A) = (a+ b+ c)(c− b)(c− a)(b− a).b) Să se rezolve sistemul în cazul a+ b+ c 6= 0.c) Să se demonstreze că dacă a+ b+ c = 0, atunci sistemul este incompatibil.

2. Se consideră s, irul de numere reale (an)n∈N, cu a0 = 0 s,i an+1 = a2n + 1, (∀) n ∈ N s, i polinomulf ∈ R[X ], cu f(0) = 0 s,i cu proprietatea că f(x2 + 1) = ( f(x) )2 + 1, (∀) x ∈ R.a) Să se calculeze f(5).b) Să se arate că (∀) n ∈ N, f(an) = an.c) Să se arate că f = X .

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =x

x4 + 3.

a) Să se calculeze f ′(x), x ∈ R.b) Să se determine mult,imea valorilor funct, iei f .c) Să se arate că |f(x)− f(y)| ≤ |x− y|, (∀) x, y ∈ R.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x3 − 3x+ 2.


2

f(x)

x− 1dx.


−1

x2 + 4

f(x)dx.

c) Să se determine punctele de extrem ale funct,iei g : R → R, g(x) =∫ x2

0

f(t)et dt.

VARIANTA 023 23

VARIANTA 023

SUBIECTUL I.


1 + i+

1

1− i.

2. Să se rezolve în R ecuat,ia2x+ 3

x+ 2=

x− 1

x− 2.

3. Să se calculeze tan

(π

2− arctan

1

2

).

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din primele 40 de numere naturale, acestasă aibă cifrele diferite de 7.

5. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC, dacă A(5;−3), B(2;−1),C(0; 9).

6. S, tiind că tanα = 4, să se calculeze tan 2α.

SUBIECTUL II.


(0 51 0

)s,i mult,imea C(A) =

{X =

(a 5bb a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ C

}.

a) Să se arate că (∀) X ∈ C(A), XA = AX .b) Să se arate că dacă Y ∈ C(A) s, i Y 2 = O2, atunci Y = O2.c) Să se arate că dacă Z ∈ C(A), Z 6= O2 s, i Z are toate elementele rat,ionale, atunci det(Z) 6= 0.

2. Se consideră a ∈ Z3 s, i polinomul f = X3 + 2̂X2 + a ∈ Z3[X ].a) Să se calculeze f(0̂) + f(1̂) + f(2̂).b) Pentru a = 2̂, să se determine rădăcinile din Z3 ale polinomului f .c) Să se determine a ∈ Z3 pentru care polinomul f este ireductibil în Z3[X ].

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x2 + x+ 1.

a) Să se arate că, pentru orice n ∈ N, ecuat,ia f(x) = 3 +1

n+ 1are o unică solut,ie xn ∈ R.

b) Să se arate că limn→+∞

xn = 1, unde xn este precizat la a).

c) Să se determine limn→+∞

n(xn − 1), unde xn este precizat la a).

2. Se consideră funct, ia f : [0,+∞) → R, f(x) =∫ x

0

sin t

1 + tdt.

a) Să se arate că∫ a

0

1

1 + tdt = ln(1 + a), (∀) a > −1.

b) Să se arate că f(x) < ln(1 + x), (∀) x > 0.c) Să se arate că f(π) > f(2π).


VARIANTA 024

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze z +1

zpentru z =

−1 + i√3

2.

2. Să se determine funct, ia de gradul al doilea f : R → R pentru care f(−1) = 4, f(1) = 2, f(2) = 7.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia log2 x+ log4 x+ log8 x =11

6.

4. Să se demonstreze că dacă x ∈ R s, i |x| ≥ 1, atunci (1 + x)2 + (1− x)2 ≥ 4.5. Să se determine ecuat,ia înălt,imii duse din B în triunghiul ABC, s,tiind că A(0; 9), B(2;−1) s, i

C(5;−3).6. Să se calculeze (2 #»ı + 5 #» ) · (3 #»ı − 4 #» )− (5 #»ı − 3 #» ) · (2 #»ı + 4 #» ).

SUBIECTUL II.

1. Se consideră o matrice A ∈ M3(C). Se notează cu tA transpusa matricei A.a) Să se demonstreze că (∀) z ∈ C, (∀) X ∈ M3(C), det(zX) = z3 det(X).b) Să se demonstreze că det(A− tA) = 0.c) S, tiind că A 6= tA, să se demonstreze că rang(A− t

(A)) = 2.2. Se consideră polinomul f ∈ Q[X ], cu f = X4 − 5X2 + 4.

a) Să se determine rădăcinile polinomului f .b) Să se determine polinomul h ∈ Q[X ], pentru care h(0) = 1 s, i care are ca rădăcini inversele

rădăcinilor polinomului f .c) S, tiind că g este un polinom cu coeficient,i întregi, astfel încât

g(−2) = g(−1) = g(1) = g(2) = 2, să se arate că ecuat,ia g(x) = 0 nu are solut,ii întregi.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x− sinx.a) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare.b) Să se arate că graficul funct, iei nu are asimptote.c) Să se arate că funct,ia g : R → R, g(x) = 3

√f(x) este derivabilă pe R.

2. Se consideră funct, ia f : [0,+∞) → R, f(x) =

e−x − e−2x

x, x > 0

1, x = 0.

a) Să se arate că funct,ia f are primitive pe [0,+∞).


0

xf(x) dx.

c) Folosind eventual inegalitatea ex ≥ x+ 1, (∀) x ∈ R, să se arate că 0 ≤∫ x

0

f(t) dt < 1,

(∀) x > 0.

VARIANTA 025 25

VARIANTA 025

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze (1− i)(1 + 2i)− 3(2− i).2. Să se determine a ∈ R pentru care parabola y = (a+1)x2 + ax+3 s, i dreapta y = x+1 au două

puncte distincte comune.3. Să se rezolve în mult,imea numerelor reale ecuat,ia 22x − 3 · 2x+1 + 8 = 0.4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mult, imea {1; 2; 3; . . . ; 30}, acesta să

aibă cel put,in o cifră egală cu 1.5. Se consideră un triunghi ABC s, i punctele M , N , P astfel încât

# »

AM =# »

MB,# »

BN =# »

NC,# »

CP =# »

PA. Fie H ortocentrul triunghiului MNP . Să se demonstreze că AH = BH = CH .

6. Să se calculeze sin7π

4.

SUBIECTUL II.

1. În mult, imea S3 a permutărilor de 3 elemente, se consideră permutarea σ =

(1 2 33 1 2

).

a) Să se verifice că permutarea σ este pară.b) Să se determine toate permutările x ∈ S3, astfel încât xσ = σx.c) Să se rezolve ecuat,ia x2 = σ cu x ∈ S3.


(2 2

−1 −1

)s,i mult, imea G = {X(a) = I2 + aA | a ∈ R \ {−1}}.

a) Să se arate că (∀) a, b ∈ R \ {−1}, X(a)X(b) = X(ab+ a+ b).b) Să se arate că (G, ·) este un grup abelian, unde „ ·” reprezintă înmult,irea matricelor.c) Să se determine t ∈ R astfel încât X(1)X(2) . . .X(2007) = X(t− 1).

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) =1

2ln2 x.

a) Să se arate că funct,ia este convexă pe intervalul (0; e].b) Să se determine asimptotele graficului funct,iei.

c) Să se arate că s, irul (an)n≥3, dat de an =ln 3

3+ln 4

4+ln 5

5+· · ·+ lnn

n−f(n), este convergent.

2. Se consideră funct, ia f :[0,

π

2

]→ R, f(x) = cosx.

a) Să se calculeze aria suprafet,ei cuprinse între graficul funct, iei f s, i axele de coordonate.b) Să se calculeze volumul corpului obt,inut prin rotirea graficului funct, iei f în jurul axei Ox.


(1− f

(1√n

))(f

(1

n

)+ f

(2

n

)+ f

(3

n

)+ · · ·+ f

(nn

)).


VARIANTA 026

SUBIECTUL I.

1. Să se determine partea întreagă a numărului N =1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + · · ·+ 1

2007 · 2008 .

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 1− 2x. Să se calculeze suma

f( f(1) ) + f( f(2) ) + f( f(3) ) + · · ·+ f( f(10) ).

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 3x + 9x = 2.4. Fie mult,imea A = {−2;−1; 0; 1; 2} s,i o funct, ie bijectivă f : A → A. Să se calculeze

f(−2) + f(−1) + f(0) + f(1) + f(2).5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(−1; 3) s, i B(1;−1). Să se

determine ecuat,ia mediatoarei segmentului AB.

6. Fie α ∈(π2, π)

cu sinα =1

3. Să se calculeze tanα.

SUBIECTUL II.


(0 −11 0

)s, i B =

(cos t − sin tsin t cos t

), cu t ∈ R.

a) Să se arate că dacă matricea X ∈ M2(R) verifică relat,ia AX = XA, atunci există a, b ∈ R,

astfel încât X =

(a −bb a

).

b) Să se demonstreze că (∀) n ∈ N∗, Bn =

(cosnt − sinntsinnt cosnt

).

c) Să se calculeze A2008.2. Se consideră a ∈ R s, i polinomul f = 3X4 − 2X3 +X2 + aX − 1 ∈ R[X ].


x1+

1

x2+

1

x3+

1

x4, unde x1, x2, x3, x4 ∈ C sunt rădăcinile polinomului f .

b) Să se determine restul împărt,irii polinomului f la (X − 1)2.c) Să se demonstreze că f nu are toate rădăcinile reale.

SUBIECTUL III.

1. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = arctanx− arccotx.a) Să se determine asimptota la graficul funct, iei f spre +∞.b) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare pe R.c) Să se arate că s, irul (xn)n≥1, dat de xn+1 = f(xn), (∀) n ∈ N∗ s, i x1 = 0, este convergent.

2. Fie funct, ia f : [−1; 1] → R, f(x) = arcsinx.a) Să se arate că funct, ia g : [−1; 1] → R, g(x) = xf(x) are primitive, iar acestea sunt strict

crescătoare.


2

0

f(x) dx.

c) Să se arate că∫ 1

0

f(x) dx <π

4.

VARIANTA 027 27

VARIANTA 027

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze modulul numărului complex 1 + i + i2 + i3 + · · ·+ i6.2. Să se determine valoarea maximă a funct, iei f : R → R, f(x) = −2x2 + x.3. Să se rezolve în intervalul (0,+∞) ecuat,ia lg2 x+ 5 lg x− 6 = 0.4. Să se determine numărul funct,iilor f : {0; 1; 2; 3} → {0; 1; 2; 3} care au proprietatea

f(0) = f(1) = 2.5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele O(0; 0), A(1; 2) s,i B(3; 1). Să se

determine măsura în radiani a unghiului AOB.

6. S, tiind că α ∈ R s,i că sinα+ cosα =1

3, să se calculeze sin 2α.

SUBIECTUL II.

1. În mult, imea M2(C), se consideră matricele A =

(0 01 0

)s, i I2 =

(1 00 1

).

a) Să se determine rangul matricei A+ I2.b) Să se demonstreze că dacă X ∈ M2(C) astfel încât AX = XA, atunci există x, y ∈ C astfel

încât X =

(x 0y x

).

c) Să se demonstreze că ecuat,ia Y 2 = A nu are nicio solut,ie în mult,imea M2(C).2. Pe mult, imea R se defines,te legea de compozit,ie x ⋆ y = x+ y + xy.

a) Să se arate că legea „⋆” este asociativă.b) Fie funct,ia f : R → R, f(x) = x+ 1. Să se verifice relat,ia

f(x ⋆ y) = f(x) · f(y), (∀) x, y ∈ R.

c) Să se calculeze 1 ⋆1

2⋆1

3⋆ . . . ⋆

1

2008.

SUBIECTUL III.

1. Fie funct, ia f : [−1; 1] → R, f(x) = (x− 1) arcsinx.


f(x)

x2 − x.

b) Să se determine punctele în care funct, ia f nu este derivabilă.c) Să se arate că funct,ia f este convexă.

2. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) = 1 + x+ x2 + x3 + x4 s, i F : R → R, F (x) =

∫ x

0

f(t) dt.

a) Să se arate că funct,ia F este strict crescătoare pe R.b) Să se arate că funct,ia F este bijectivă.

c) Să se calculeze∫ a

0

F−1(x) dx, unde F−1 este inversa funct, iei F s, i a = 1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5.


VARIANTA 028

SUBIECTUL I.

1. Să se determine partea imaginară a numărului (1 + i)10 + (1− i)10.2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = 6x− 3x2. Să se ordoneze crescător f(

√2), f(

√3) s,i f(2).

3. Să se rezolve în R ecuat,ia√2x− 1 = 3.

4. Să se determine numărul funct,iilor f : {0; 1; 2; 3} → {0; 1; 2; 3} care au proprietatea că f(0) = 0.

5. Fie triunghiul ABC s, i M ∈ (BC) astfel încâtBM

MC=

1

2. Să se demonstreze că

# »

AM =2

3

# »

AB +1

3

# »

AC.

6. S, tiind că α ∈(π2, π)

s, i că sinα =3

5, să se calculeze tanα.

SUBIECTUL II.


(1 00 4

)∈ M2(R).

a) Să se rezolve ecuat,ia det(A− xI2) = 0.b) Să se arate că dacă matricea X ∈ M2(R) verifică relat,ia AX = XA, atunci există a, b ∈ R

astfel încât X =

(a 00 b

).

c) Să se arate că ecuat,ia X2 = A are patru solut,ii în mult,imea M2(R).2. Se consideră mult,imea de funct, ii G = {fa, b : R → R | fa, b(x) = ax+ b, a ∈ R∗, b ∈ R}.

a) Să se calculeze f−1, 2 ◦ f−1, 2, unde „◦” este compunerea funct, iilor.b) Să se demonstreze că (G, ◦) este un grup.c) Să se calculeze f1, 1 ◦ f1, 1 ◦ . . . ◦ f1, 1︸︷︷︸

de 2008 ori f1, 1

.

SUBIECTUL III.

1. Fie funct, ia f : [0; 3] → R, f(x) = {x}(1−{x} ), unde {x} este partea fract,ionară a numărului x.a) Să se calculeze lim

x→1x<1

f(x).

b) Să se determine domeniul de continuitate al funct, iei f .c) Să se determine toate punctele în care funct, ia f nu este derivabilă.

2. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) =1

2− sinxs, i F : [0,+∞) → R, F (x) =

∫ x

0

f(t) dt.


2

0

f(x) cosxdx.

b) Să se demonstreze că funct, ia F este strict crescătoare.c) Să se determine lim

x→+∞F (x).

VARIANTA 029 29

VARIANTA 029

SUBIECTUL I.

1. Să se demonstreze că numărul√7− 4

√3 +

√4− 2

√3 este număr natural.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 2x2 − 5x+ 2. Să se rezolve în R inecuat,ia f(x) ≤ 0.3. Să se rezolve în R ecuat,ia x =

√2− x.

4. Se consideră mult,imea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Alegem la întâmplare o submult,ime dintre submult,imilenevide ale lui A. Să se calculeze probabilitatea ca submult,imea aleasă să aibă toate elementeleimpare.

5. Fie punctele A(2; 0), B(1; 1) s, i C(3;−2). Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

6. S, tiind că α ∈(0,

π

2

)s, i că tanα+ cotα = 2, să se calculeze sin 2α.

SUBIECTUL II.


x+ y + z = 0

mx+ y + z = m− 1

x+my + 2z = −1

, m ∈ R s, i matricea A =

1 1 1m 1 11 m 2

.

a) Să se determine m ∈ R pentru care det(A) = 0.b) Să se arate că sistemul are solut,ie pentru orice m ∈ R.c) Să se determine m ∈ R pentru care sistemul are o solut,ie de forma (a; b;−1).

2. Se consideră mult,imea M2(Z3), submult, imea G =

{X ∈ M2(Z3)

∣∣∣∣X =

(a 2̂bb a

)}s, i matricele

O2 =

(0̂ 0̂

0̂ 0̂

)s, i I2 =

(1̂ 0̂

0̂ 1̂

).

a) Să se verifice că dacă x, y ∈ Z3, atunci x2 + y2 = 0̂ dacă s, i numai dacă x = y = 0̂.b) Să se arate că mult,imea H = G\{O2} este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor

inversabile din M2(Z3).c) Să se rezolve ecuat,ia X2 = I2, X ∈ G.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră n ∈ N∗ s,i funct, iile fn, gn : R → R, fn(x) = 1 − x + x2 − x3 + · · · − x2n−1 + x2n,gn(x) = x2n+1 + 1.

a) Să se verifice că f ′n(x) =

g′n(x)

x + 1− gn(x)

(x+ 1)2, (∀) x ∈ R \ {−1}.

b) Să se calculeze limn→+∞

f ′n

(1

2

).

c) Să se demonstreze că fn are exact un punct de extrem local.

2. Fie s, irul (In)n∈N∗ dat de In =

∫ 2

0

(2x− x2)n dx, (∀) n ∈ N∗.

a) Să se calculeze I2.b) Să se demonstreze că (2n+ 1)In = 2nIn−1, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.c) Să se determine lim

n→+∞In.


VARIANTA 030

SUBIECTUL I.

1. Să se demonstreze că numărul1√

1 +√2+

1√2 +

√3+

1√3 +

√4+ · · ·+ 1√

99 +√100

este natural.2. Se consideră funct,ia f : R → R, f(x) = x2 − mx + 2. Să se determine mult,imea valorilor

parametrului real m pentru care graficul funct, iei f intersectează axa Ox în două puncte distincte.3. Să se rezolve în R ecuat,ia log3(x+ 1) + log3(x+ 3) = 1.4. Se consideră mult, imea A = {1; 2; 3; 4; 5}. Alegem la întâmplare o submult, ime a mult,imii A. Să

se calculeze probabilitatea ca submult,imea aleasă să aibă trei elemente.5. Se consideră punctele A(0; 2), B(1;−1) s, i C(3; 4). Să se calculeze coordonatele centrului de

greutate al triunghiului ABC.

6. Să se demonstreze că sinπ

8=

2−√2

2.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră numerele reale a, b, c, funct, ia f : R → R, f(x) = x3 + 2x + 3 s, i determinant,ii

A =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b ca3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣s,i B =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b c

f(a) f(b) f(c)

∣∣∣∣∣∣.

a) Să se arate că A = (a− b)(b− c)(c− a)(a+ b+ c).b) Să se arate că A = B.c) Să se arate că, pentru orice trei puncte distincte, cu coordonate naturale, situate pe repre-

zentarea grafică a funct,iei f , aria triunghiului cu vârfurile în aceste puncte este un numărnatural divizibil cu 3.


(−1 33 −9

)s, i mult,imea G = {X(a) = I2 + aA | a ∈ R}.

a) Să se arate că (∀) a, b ∈ R, X(a)X(0) = X(a) s, i X(a)X(b) = X(a+ b− 10ab).

b) Să se arate că mult, imea H =

{X(a)

∣∣∣∣ a ∈ R \{

1

10

} }este parte stabilă a lui M2(R) în

raport cu înmult,irea matricelor.c) Să se rezolve ecuat,ia X2 = I2, X ∈ G.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x− x3

6− sinx.

a) Să se determine limx→−∞

f(x).

b) Să se calculeze derivata a doua f ′′(x), x ∈ R.c) Să se demonstreze că f(x) ≤ 0, (∀) x ≥ 0.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = cosx− 1 +x2

2.


2

0

f(x) dx.

b) Să se determine limx→+∞

1

x2

∫ x

0

f(t) dt.

c) Să se demonstreze că∫ 1

0

cos(x2) dx ≥ 9

10.

VARIANTA 031 31

VARIANTA 031

SUBIECTUL I.

1. S, tiind că log3 2 = a, să se demonstreze că log16 24 =1 + 3a

4a.

2. Să se determine două numere reale care au suma 1 s, i produsul −1.3. Să se rezolve în R ecuat,ia 22x+1 + 2x+2 = 160.4. Într-o clasă sunt 22 de elevi, din care 12 sunt fete. Să se determine în câte moduri se poate alege

un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete s, i 2 băiet,i.5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2;−1), B(−1; 1) s, i C(1; 3). Să

se determine ecuat,ia dreptei care trece prin punctul C s, i este paralelă cu dreapta AB.6. Să se demonstreze că sin 6 < 0.

SUBIECTUL II.

1. Pentru x ∈ C se consideră matricea A(x) =

(x+ 1 x2 − 11 x− 1

)∈ M2(C).

a) Să se verifice că (A(x) )2 = 2xA(x).b) Să se determine toate numerele complexe x pentru care (A(x) )4 + (A(x) )2 = O2.c) Să se arate că ecuat,ia X2 = A(0), X ∈ M2(C) nu are solut,ii.

2. Se consideră polinomul f ∈ C[X ], f = (X + i)2008 + (X − i)2008, care are forma algebricăf = a2008X

2008 + a2007X2007 + · · ·+ a1X + a0.

a) Să se calculeze a2008 + a2007.b) Să se determine restul împărt,irii polinomului f la X2 − 1.c) Să se demonstreze că polinomul f are toate rădăcinile reale.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =√|x2 − x|.

a) Să se arate că graficul funct, iei f admite o asimptotă spre −∞.b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funct,iei f .c) Să se determine punctele de extrem local ale funct, iei f .


∫ 1

0

xn

1 + x2dx, (∀) n ∈ N∗.


b) Să se verifice că In+2 + In =1

n+ 1, (∀) n ∈ N∗.


nIn.


VARIANTA 032

SUBIECTUL I.

1. Se consideră numărul real s = 1 +1

2+

1

22+

1

23+ · · ·+ 1

22008. Să se demonstreze că s ∈ (1; 2).

2. Se consideră funct,iile f , g : R → R, f(x) = 2x−1 s,i g(x) = −4x+1. Să se determine coordonatelepunctului de intersect,ie a graficelor celor două funct, ii.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia sinx = 1 + cos2 x.4. Fie mult,imea A = {−2;−1; 0; 1; 2}. Să se determine numărul funct, iilor bijective f : A → A.5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2;−1), B(−1; 1) s, i C(1; 3). Să

se determine coordonatele punctului D s,tiind că patrulaterul ABCD este paralelogram.

6. S, tiind că x ∈(π2, π)

s, i că sinx =3

5, să se calculeze sin

x

2.

SUBIECTUL II.


ax+ y + z = 1

x+ ay + z = 1

x+ y + az = a

, a ∈ R s, i ecuat,ia (C) : x2 + y2 = z2.

a) Să se arate că determinantul sistemului are valoarea (a+ 2)(a− 1)2.b) Să se arate că pentru niciun a ∈ R \ {−2; 1}, solut,ia sistemului nu verifică ecuat,ia (C).c) Să se determine a, pentru care exact două dintre solut,iile sistemului sunt solut,ii ale ecuat,iei

(C).

2. Se consideră mult,imea G ⊂ M2(Q), G =

{X =

(a 10bb a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Q, a2 − 10b2 = 1

}.

a) Să se verifice că A =

(19 606 19

)∈ G.

b) Să se arate că X · Y ∈ G, (∀) X , Y ∈ G.c) Să se demonstreze că mult,imea G este infinită.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = arctan(x+ 2)− arctanx.a) Să se calculeze f ′(x), x ∈ R.

b) Să se demonstreze că 0 < f(x) ≤ π

2, (∀) x ∈ R.

c) Să se demonstreze că funct, ia g : R → R, g(x) = f(x) + arctan(x + 1)2

2este constantă.

2. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) =x3

3− x+ arctanx s, i g : R → R, g(x) = arctanx.


1

f ′(x)

xdx.

b) Să se determine limx→+∞

1

x3

∫ x

0

f(t) dt.

c) Să se calculeze aria suprafet,ei cuprinse între graficele celor două funct, ii s, i dreptele x = 0 s, ix = 1.

VARIANTA 033 33

VARIANTA 033

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze log4 x+ log3 9 +3√27.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 3x2+4x+2. Să se determine valoarea minimă a funct, ieif .

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 16x + 3 · 4x = 4.4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element din mult,imea {√n | n ∈ N, n < 100},

acesta să fie număr rat,ional.5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2;−1), B(−1; 1), C(1; 3) s, i

D(a, 4), unde a ∈ R. Să se determine valorile lui a astfel încât dreptele AB s, i CD să fie paralele.

6. S, tiind că x ∈ R s,i că tanx =1

2, să se calculeze tan

(x+

π

3

).

SUBIECTUL II.

1. Se consideră matricele I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, B =

0 1 00 0 11 0 0

s, i A = aI3 + bB + cB2, a, b, c ∈ R.

a) Să se calculeze B3.b) Să se calculeze B−1.c) Să se demonstreze că (∀) a, b, c ∈ R, (a+ b+ c) det(A) ≥ 0.

2. Se consideră corpul (Z7,+, ·) s, i H = {x2 | x ∈ Z7}.a) Să se arate că H = {0̂; 1̂; 2̂; 4̂}.b) Să se arate că, pentru orice a ∈ Z7 există x, y ∈ Z7 astfel încât a = x2 + y2.c) Să se arate că {x2000 | x ∈ Z7} = H .

SUBIECTUL III.

1. Fie funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) =1√x

s,i s,irul (an)n≥1, an =1√1+

1

2√2+

1

3√3+ · · ·+ 1

n√n

,

(∀) n ∈ N∗.a) Să se arate că funct,ia f ′ este strict crescătoare pe intervalul (0,+∞).

b) Să se demonstreze că1

2(k + 1)√k + 1

<1√k− 1√

k + 1<

1

2k√k

, (∀) k ∈ N∗.

c) Să se arate că s,irul (an)n≥1 este convergent.

2. Se consideră funct, iile fn : [0,+∞) → R, fn(x) =∫ x

0

tn arctan t dt, (∀) n ∈ N∗.

a) Să se determine f1(x), x ∈ [0,+∞).

b) Să se arate că fn(1) ≥π

4· 1

n+ 1, (∀) n ≥ 1.


nfn(1).


VARIANTA 034

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze modulul numărului complex z = (3 + 4i)4.2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 2x2 + 2x + 1. Să se demonstreze că vârful parabolei

asociate funct,iei f se găses,te pe dreapta de ecuat,ie x+ y = 0.3. Să se determine numărul solut,iilor ecuat,iei sinx = sin 2x din intervalul [0; 2π).4. Fie mult,imea A = {1; 2; 3; 4; 5}. Să se determine numărul funct, iilor bijective f : A → A.5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2;−1), B(−1; 1), C(1; 3) s, i

D(a; 4), a ∈ R. Să se determine a ∈ R pentru care dreptele AB s, i CD sunt perpendiculare.6. Se consideră triunghiul ascut,itunghic ABC în care are loc relat,ia sinB + cosB = sinC + cosC.

Să se demonstreze că triunghiul ABC este isoscel.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră matricele K =(1 2 3

)∈ M1, 3(R), L =

456

∈ M3, 1(R) s, i A = LK.

a) Să se calculeze suma elementelor matricei A.b) Să se arate că A2 = 32A.c) Să se arate că rangul matricei An este 1, (∀) n ∈ N∗.

2. Pe mult,imea R se consideră legea de compozit,ie x ⋆ y = axy − x − y + 6, (∀) x, y ∈ R, unde aeste o constantă reală.a) Pentru a =

1

3, să se demonstreze că legea „⋆” este asociativă.

b) Să se arate că legea „⋆” admite element neutru dacă s, i numai dacă a =1

3.

c) Să se arate că dacă intervalul [0; 6] este parte stabilă a lui R în raport cu legea „⋆”, atunci

a ∈[1

6,1

3

].

SUBIECTUL III.


x+ 1−ln

(x+

3

2

)+ln

(x+

1

2

)s,i s, irul (an)n∈N∗ ,

an = 1 +1

2+ · · ·+ 1

n− ln

(n+

1

2

), (∀) n ∈ N∗.

a) Să se demonstreze că funct, ia f este strict crescătoare pe intervalul (0,+∞).b) Să se arate că f(x) < 0, (∀) x ∈ (0,+∞).c) Să se demonstreze că s, irul (an)n∈N∗ este strict descrescător.

2. Se consideră funct, iile fn : [0; 1] → R, fn(x) =∫ x

0

tn arcsin t dt, (∀) n ∈ N∗.

a) Să se calculeze derivata funct,iei f3.

b) Să se calculeze f1

(1

2

).

c) Să se determine limx→1x<1

f2(x).

VARIANTA 035 35

VARIANTA 035

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze (2 + i)3 + (2 − i)3.2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x+ 2. Să se rezolve ecuat,ia f( f(x) ) = f2(x).3. Să se rezolve în R ecuat,ia 3 · 4x − 6x = 2 · 9x.4. Se consideră mult, imea A = {0; 1; 2; . . . ; 1000}. Să se determine probabilitatea ca, alegând la

întâmplare un element din mult,imea A, acesta să fie divizibil cu 5.5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(0;−3) s, i B(4; 0). Să se calculeze

distant,a de la punctul O la dreapta AB.6. Să se calculeze aria unui paralelogram ABCD cu AB = 6, AD = 8 s, i m(∢ADC) = 135◦.

SUBIECTUL II.


1 2 −12 2 01 4 −3

s, i B =

215

.

a) Să se arate că ecuat,ia AX = B are o infinitate de solut,ii X ∈ M3, 1(C).b) Să se verifice că A3 = 10A.c) Să se determine rangul matricei A∗, adjuncta matricei A.

2. Se consideră mult, imea Z[√2 ] = {a+ b

√2 | a, b ∈ Z}, funct, ia f : Z[

√2 ] → Z,

f( a+ b√2 ) = a2 − 2b2 s, i mult,imea A =

{x ∈ Z[

√2 ] | f(x) = −1

}.

a) Să se verifice dacă 7 + 5√2 ∈ A.

b) Să se arate că pentru orice x, y ∈ Z[√2 ], f(xy) = f(x)f(y).

c) Să se arate că mult,imea A este infinită.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x− ln(ex + 1).a) Să se arate că funct,ia f ′ este strict descrescătoare pe R.b) Să se arate că lim

x→+∞xaf(x) = 0, (∀) a ∈ R.

c) Să se determine asimptotele graficului funct,iei f .

2. Fie s, irul (In)n∈N∗ definit prin In =

∫ 1

0

xn

1 + x3dx, (∀) n ∈ N∗.

a) Să se calculeze I2.b) Să se arate că s,irul (In)n∈N∗ este strict descrescător.c) Să se calculeze lim

n→+∞In.


VARIANTA 036

SUBIECTUL I.

1. Se consideră numărul rat,ional1

7scris sub formă de fract,ie zecimală infinită

1

7= 0, a1a2a3 · · · .

Să se calculeze a60.2. Fie funct, iile f , g : R → R, f(x) = 2− x, g(x) = 3x+ 2. Să se calculeze (f ◦ g)(x)− (g ◦ f)(x).3. Să se demonstreze că funct,ia f : R → R, f(x) = 3x+ 1 este injectivă.4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr natural de trei cifre, acesta să fie divizibil

cu 50.5. Să se determine a ∈ R pentru care punctele A(1;−2), B(4; 1) s, i C(−1; a) sunt coliniare.6. Fie ABC un triunghi care are AB = 3, AC = 5 s,i BC = 7. Să se calculeze cosA.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră matricele O2 =

(0 00 0

)s, i A =

(a bc d

)∈ M2(R), cu proprietatea că A2 = O2.

a) Să se arate că a+ d = 0.b) Să se arate că matricea I2 +A este inversabilă.c) Să se arate că ecuat,ia AX = O2 are o infinitate de solut,ii în mult,imea M2(R).

2. Se consideră polinomul f = X4 − 2X2 +9, cu rădăcinile x1, x2, x3, x4 ∈ C, numărul a =√2 + i

s, i mult,imile A = {g(a) | g ∈ Q[X ]} s, i B = {h(a) | h ∈ Q[X ], grad(h) ≤ 3}.a) Să se calculeze f(a).b) Să se calculeze |x1|+ |x2|+ |x3|+ |x4|.c) Să se arate că A = B.

SUBIECTUL III.

1. Fie funct,ia f : R\{√3 } → R, f(x) =

x√3 + 1√3− x

s, i s, irul (an)n≥1 definit prin a1 = 2, an+1 = f(an),

(∀) n ∈ N∗.a) Să se demonstreze că funct, ia f este strict crescătoare pe (−∞,

√3 ) s, i pe (

√3,+∞).

b) Să se determine asimptotele graficului funct, iei f .c) Să se demonstreze că s, irul (an)n∈N∗ este periodic.

2. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) = e−x2

s, i F : R → R, F (x) =

∫ x

1

f(t) dt.

a) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funct, iei F .


0

xf(x) dx.

c) Să se calculeze∫ 1

0

F (x) dx.

VARIANTA 037 37

VARIANTA 037

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze suma 1 + 4 + 7 + · · ·+ 31.2. Să se determine imaginea funct, iei f : R → R, f(x) = x2 + x+ 1.

3. Să se calculeze valoarea expresiei E = sin

(arcsin

1

2

)+ sin

(arccos

√3

2

).

4. Să se determine numărul termenilor rat,ionali din dezvoltarea binomului (√2 + 1)5.

5. Fie ABCD un pătrat de latură 1. Să se calculeze lungimea vectorului# »

AB +# »

AC +# »

AD.

6. Să se demonstreze că sin 75◦ =

√6 +

√2

4.

SUBIECTUL II.


a a+ 1 a+ 2b b+ 1 b+ 21 1 a

, cu a, b ∈ R.

a) Să se arate că det(A) = (a− b)(a− 1).b) Să se calculeze det(A− tA).c) Să se arate că rang(A) ≥ 2, (∀) a, b ∈ R.

2. Se consideră polinomul f ∈ R[X ], f = X3 + pX2 + qX + r, cu p, q, r ∈ (0,+∞) s,i cu rădăcinilex1, x2, x3 ∈ C.a) Să se demonstreze că f nu are rădăcini în intervalul [0,+∞).b) Să se calculeze x3

1 + x32 + x3

3 în funct,ie de p, q s, i r.c) Să se demonstreze că dacă a, b, c sunt trei numere reale astfel încât a+ b+ c < 0,

ab+ bc+ ca > 0 s, i abc < 0, atunci a, b, c ∈ (−∞, 0).

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x3 − 3x+ 3 arctanx.a) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare pe R.b) Să se arate că funct,ia f este bijectivă.

c) Să se determine a ∈ R pentru care limx→+∞

f(x)

xaexistă, este finită s, i nenulă.

2. Fie s, irul (In)n≥1 definit prin In =

∫ 1

0

xnex dx, (∀) n ∈ N∗.

a) Să se calculeze I1.b) Să se demonstreze că s, irul (In)n≥1 este convergent.c) Să se calculeze lim

n→+∞nIn.


VARIANTA 038

SUBIECTUL I.

1. Să se arate că log2 3 ∈ (1, 2).2. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care x2 + 3x+m > 0, oricare ar fi x ∈ R.3. Să se rezolve ecuat,ia sinx+ cosx = 1.4. Să se demonstreze egalitatea C2

n +C3n = C3

n+1, (∀) n ≥ 3.5. Se consideră dreptele de ecuat,ii d1 : 2x+ 3y + 1 = 0, d2 : 3x+ y − 2 = 0 s,i d3 : x+ y + a = 0.

Să se determine a ∈ R pentru care cele trei drepte sunt concurente.6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, s,tiind că AB = 4, AC = 3 s, i m(∢BAC = 60◦).

SUBIECTUL II.


0 0 01 0 01 1 0

s, i mult, imea de matrice M =

a 0 0b a 0c b a

∣∣∣∣∣∣a, b, c ∈ C

.

a) Să se calculeze A3.b) Să se arate că dacă X ∈ M3(C) s, i AX = XA, atunci X ∈ M .c) Să se arate că ecuat,ia X2 = A nu are solut,ii în M3(C).

2. Se consideră polinomul f = aX4 + bX + c, cu a, b, c ∈ Z.a) Să se arate că numărul f(3)− f(1) este număr par.b) Să se arate că, pentru orice x, y ∈ Z, numărul f(x)− f(y) este divizibil cu x− y.c) Să se demonstreze că dacă a 6= 0, f(1) = 4 s, i f(4) = 1, atunci |f(2)| ≥ 67.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 2x+ ln(x2 + x+ 1).a) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare.b) Să se arate că funct,ia f este bijectivă.c) Să se arate că graficul funct, iei f nu are asimptotă oblică spre +∞.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = {x}(1 − {x} ), unde {x} este partea fract,ionară anumărului real x.


0

f(x) dx.

b) Să se demonstreze că funct, ia f admite primitive pe R.

c) Să se arate că valoarea integralei∫ a+1

a

f(x) dx nu depinde de numărul real a.

VARIANTA 039 39

VARIANTA 039

SUBIECTUL I.

1. Se consideră numărul complex z =−1 + i

√3

2. Să se demonstreze că z2 = z.

2. Să se rezolve în R inecuat,ia −x2 + 4x− 3 ≥ 0.

3. Să se demonstreze că funct, ia f : (1,+∞) → R, f(x) = x+1

xeste injectivă.

4. Să se determine numărul funct,iilor f : {1; 2; 3} → {0; 1; 2; 3} pentru care f(1) este număr par.5. Fie ABC un triunghi care are AB = 2, AC = 3 s, i BC = 2

√2. Să se calculeze

# »

AB · # »

AC.


√6−

√2

4.

SUBIECTUL II.


x+ y + z = 0

ax+ by + cz = 0

bcx+ acy + abz = 0

, cu a, b, c ∈ R∗ s, i A matricea sistemului.

a) Să se calculeze det(A).b) Să se rezolve sistemul, în cazul în care a, b, c sunt distincte două câte două.c) Să se determine mult,imea solut,iilor sistemului, în cazul în care a = b 6= c.

2. Se consideră mult, imea M = {a+ b√5 | a, b ∈ Z, a2 − 5b2 = 1}.

a) Să se arate că x = 9 + 4√5 ∈ M .

b) Să se demonstreze că (M, ·) este un subgrup al grupului multiplicativ (R∗, ·).c) Să se demonstreze că mult,imea M are o infinitate de elemente.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = x lnx.a) Să se studieze monotonia funct, iei f .b) Să se determine asimptotele graficului funct,iei f .c) Să se demonstreze că orice s, ir (xn)n∈N cu proprietatea x0 ∈ (0; 1), xn+1 = ef(xn) este

convergent.


∫ 1

0

xn

4x+ 5dx, (∀) n ∈ N∗.


b) Să se arate că s,irul (In)n∈N∗ verifică relat,ia 4In+1 + 5In =1

n+ 1, (∀) n ∈ N∗.


nIn.


VARIANTA 040

SUBIECTUL I.

1. Se consideră a ∈ R s, i numărul complex z =a+ 2i

2 + ai. Să se determine a pentru care z ∈ R.

2. Să se demonstreze că dreapta de ecuat,ie y = 2x+ 3 este tangentă la parabola de ecuat,iey = x2 − 4x+ 12.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia√2x− 1 = x.

4. Se consideră mult,imea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Să se determine probabilitatea ca, alegând o pereche(a, b) din produsul cartezian A×A, să avem egalitatea a+ b = 6.

5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele M(2;−1), A(1; 2) s, i B(4; 1). Săse determine lungimea vectorului

# »

MA+# »

MB.6. Să se demonstreze egalitatea sin(a+ b) · sin(a− b) = sin2 a− sin2 b, (∀) a, b ∈ R.

SUBIECTUL II.


1 0 00 1 00 0 1

, A =

1 3 23 9 62 6 4

, X =

132

, Y =

(1 3 2

),

B = I3 +A, C = I3 + aA, cu a ∈ R.a) Să se calculeze S = A−XY .b) Să se determine a ∈ R astfel încât BC = I3.c) Să se arate că An+1 = 14An, (∀) n ∈ N∗.

2. Se consideră polinomul f = X3 − 1 ∈ R[X ] s,i numărul ε ∈ C \ R, astfel încât f(ε) = 0.a) Să se demonstreze că ε2 + ε+ 1 = 0.

b) Să se rezolve în mult,imea numerelor complexe sistemul

x+ y + z = 0

x+ εy + ε2z = 0

x+ ε2y + εz = 0

.

c) Să se arate că, dacă f divide f1(X3)+Xf2(X

3)+X2f3(X3), unde f1, f2, f3 sunt polinoame

cu coeficient,i complecs,i, atunci fiecare dintre polinoamele f1, f2, f3 este divizibil cu X − 1.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =√x2 + 2−

√x2 + 1.

a) Să se demonstreze că funct, ia f este strict crescătoare pe intervalul (−∞, 0].b) Să se arate că graficul funct, iei f are exact două puncte de inflexiune.c) Să se determine ecuat,ia asimptotei la graficul funct, iei f spre −∞.

2. Se consideră funct, iile Fn : R → R, Fn(x) =

∫ x

0

t sinn t dt, (∀) n ∈ N∗.

a) Să se calculeze F1(π).b) Să se demonstreze că Fn+1(1) < Fn(1), (∀) n ∈ N∗.c) Să se calculeze lim

n→+∞Fn(1).

VARIANTA 041 41

VARIANTA 041

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze 100lg 2 + 3√−27.

2. Să se determine imaginea funct, iei f : R → R, f(x) =2x

x2 + 1.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 3x+1 = −3x + 8.4. Să se determine numărul funct,iilor f : {1; 2; 3; 4} → {1; 2; 3; 4} care au proprietatea că

f(1) = f(3).5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2;−1) s, i B(−1; 1). Să se

determine ecuat,ia dreptei ce trece prin originea axelor s, i este paralelă cu dreapta AB.

6. Fie a s, i b numere reale astfel încât sin a+sin b = 1 s, i cos a+cos b =1

2. Să se calculeze cos(a− b).

SUBIECTUL II.

1. Pentru p, q, r ∈ C, se consideră sistemul

x+ py + p2z = p3

x+ qy + q2z = q3

x+ ry + r2z = r3.

a) Să se arate că determinantul sistemului este ∆ = (p− q)(q − r)(r − p).b) Dacă p, q, r sunt distincte, să se rezolve sistemul.c) Să se arate că, dacă sistemul are solut,ia (−1; 1; 1), atunci cel put,in două dintre numerele p,

q, r sunt egale.


0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0

s,i mult,imea G = {An | n ∈ N∗}.

a) Să se calculeze A4.b) Să se arate că (G, ·) este un grup comutativ, unde „ ·” este înmult,irea matricelor.c) Să se rezolve ecuat,ia X3 = I4, X ∈ G.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → (−∞, 0), f(x) = ln(1 + x)− x.a) Să se demonstreze că funct, ia f este strict descrescătoare pe intervalul (0,+∞).b) Să se arate că funct,ia f este surjectivă.c) Să se arate că graficul funct, iei f nu admite asimptote.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = arctanx.


0

f(x) dx.

b) Să se arate că limx→+∞

1

x

∫ x

1

f(ln t) dt =π

2.


1

n

(f

(1

n

)+ f

(2

n

)+ f

(3

n

)+ · · ·+ f

(nn

)).


VARIANTA 042

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze partea întreagă a numărului 1− 1

3+

1

32− 1

33.

2. Să se rezolve în R× R sistemul

{y = x2 − 3x+ 1

y = 2x2 + x+ 4.

3. Să se rezolve ecuat,ia arctanx+ arctan1

3=

π

2.

4. Să se determine numărul termenilor rat,ionali ai dezvoltării (√2 + 1 )100.

5. Să se arate că punctele A(−1; 5), B(1; 1) s,i C(3;−3) sunt coliniare.6. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul care are lungimile laturilor 4, 5 s, i 7.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră matricele A0, B0, A, B ∈ M2(C), A0 =

(0 10 0

), B0 =

(1 00 2

), A =

(a bc d

),

astfel încât AB −BA = A.a) Să se determine rangul matricei A0.b) Să se arate că A0B0 −B0A0 = A0.c) Să se demonstreze că AnB −BAn = nAn, pentru orice n ∈ N, n ≥ 2.

2. Se consideră polinomul f ∈ R[X ], f = 4X3 − 12X2 + aX + b.a) Să se determine a, b ∈ R, astfel încât polinomul f să se dividă cu polinomul X2 − 1.b) Să se determine a, b ∈ R, astfel încât ecuat,ia f(x) = 0 să aibă solut,ia x = i ∈ C.c) Să se determine a, b ∈ R, astfel încât polinomul f să aibă rădăcinile x1, x2, x3 în progresie

aritmetică s, i, în plus, x21 + x2

2 + x23 = 11.

SUBIECTUL III.

1. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = x arctanx s, i s,irul (xn)n∈N∗ definit de x1 = 1, xn+1 = f(xn),(∀) n ∈ N∗.a) Să se demonstreze că funct, ia f ′ este strict crescătoare pe R.b) Să se determine ecuat,ia asimptotei la graficul funct, iei f spre −∞.c) Să se arate că s, irul (xn)n∈N∗ este convergent.

2. Fie s, irul (In)n∈N∗ definit prin In =

∫ 1

0

(x− x2)n dx, (∀) n ∈ N∗.


b) Să se verifice că In =n

4n+ 2In−1, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.


In.

VARIANTA 043 43

VARIANTA 043

SUBIECTUL I.

1. Să se determine valoarea de adevăr a afirmat,iei: „Suma oricăror două numere irat,ionale este

număr irat,ional.”

2. Graficul unei funct, ii de gradul al doilea este o parabolă care trece prin punctele A(1;−3),B(−1; 3), C(0; 1). Să se determine coordonatele vârfului acestei parabole.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 4x − 2x = 12.4. Fie mult, imea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o pereche (a, b) din

produsul cartezian A×A, produsul numerelor a s,i b să fie impar.5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(1; 3) s,i C(−1; 1). Să se deter-

mine coordonatele punctelor B s, i D astfel încât patrulaterul ABCD să fie pătrat.


√4 +

√2

4.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră mult, imea M =

{X =

(a bc d

) ∣∣∣∣ a, b, c, d ∈ N

}s, i matricea A =

(1 21 3

)∈ M .

a) Câte matrice din mult,imea M au suma elementelor egală cu 1?b) Să se arate că A−1 /∈ M .c) Să se determine toate matricele inversabile B ∈ M care au proprietatea B−1 ∈ M .

2. Se consideră ecuat,ia x4 − 8x3 + ax2 + 8x+ b = 0, cu a, b ∈ R s, i cu solut,iile x1, x2, x3, x4 ∈ C.a) Să se arate că (x1 + x4)(x2 + x3) + x1x4 + x2x3 + (x1 + x4)x2x3 + (x2 + x3)x1x4 = a− 8.b) Să se determine a ∈ R astfel încât x1 + x4 = x2 + x3.c) Să se determine a, b ∈ R, astfel încât x1, x2, x3, x4 să fie în progresie aritmetică.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x+ e−x.a) Să se demonstreze că funct, ia f este strict crescătoare pe intervalul [0,+∞).b) Să se arate că funct,ia f admite exact un punct de extrem local.c) Să se determine numărul de solut,ii reale ale ecuat,iei f(x) = m, unde m este un număr real

oarecare.

2. Fie funct, iile f :(0,

π

2

)→ R, f(x) =

∫ tan x

1

t

1 + t2dt s, i g :

(0,

π

2

)→ R, g(x) =

∫ cotx

1

1

t(1 + t2)dt.

a) Să se calculeze f(π3

).

b) Să se calculeze f ′(x), x ∈(0,

π

2

).

c) Să se arate că f(x) + g(x) = 0, (∀) x ∈(0,

π

2

).


VARIANTA 044

SUBIECTUL I.

1. Să se determine partea imaginară a numărului complex z =1− i

1 + 1 + i.

2. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care x2 +mx ≥ −1, oricare ar fi x ∈ R.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia arcsin 2x = −1

2.

4. Se consideră mult,imea A = {0; 1; 2; 3; . . . ; 9}. Să se determine numărul submult,imilor mult, imiiA care au 5 elemente dintre care exact două sunt numere pare.

5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele B(−1; 2) s, i C(2;−2). Să sedetermine distant,a de la punctul O la dreapta BC.

6. S, tiind că α ∈(π2, π)

s, i că sinα =3

5, să se calculeze cotα.

SUBIECTUL II.


1 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 1

s, i B =

0 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 0

.

a) Să se calculeze AB +BA.b) Să se arate că rang(A+B) = rang(A) + rang(B).c) Să se demonstreze că (A+B)n = An +Bn, (∀) n ∈ N∗.

2. Se consideră polinomul f = X4 + aX3 + 4X2 + 1 ∈ C[X ] cu rădă cinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.a) Să se determine a ∈ C astfel încât polinomul f să se dividă cu X + 1.

b) Să se arate că polinomul g = X4 + 4X2 + aX + 1 are rădăcinile1

x1,1

x2,1

x3,1

x4.

c) Să se arate că, pentru orice a ∈ C, polinomul f nu are toate rădăcinile reale.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =ax+ b√x2 + x+ 1

, a, b ∈ R.

a) Să se calculeze f ′(x), x ∈ R.b) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare pe R dacă s,i numai dacă a = 2b > 0.c) Pentru a = 2 s,i b = 1, să se determine mult,imea valorilor funct,iei f .

2. Fie funct, ia f : [−1; 1] → R, f(x) =∫ x

0

earcsin t dt.

a) Să se arate că funct,ia f este strict monotonă.

b) Să se arate că f(x) =

∫ arcsinx

0

et cos t dt, (∀) x ∈ [−1; 1].

c) Să se determine f(1).

VARIANTA 045 45

VARIANTA 045

SUBIECTUL I.

1. Să se determine partea întreagă a numărului7

5√2− 1

.

2. Fie x1 s,i x2 solut,iile reale ale ecuat,iei x2 + x− 1 = 0. Să se demonstreze căx1

x2+

x2

x1∈ Z.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 2 · 3x + 31−x = 7.4. Se consideră mult,imile A = {1; 2; 3; 4} s, i B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Să se determine numărul funct, iilor

strict crescătoare f : A → B.5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(1; 3), B(−2; 1) s, i C(−3;−1).

Să se calculeze lungimea înălt,imii duse din vârful A în triunghiul ABC.6. Să se arate că 2(sin 75◦ − sin 15◦) =

√2.

SUBIECTUL II.


(2 03 2

), B =

(1 01 1

)s, i mult, imea

C(A) = {X ∈ M2(R) | XA = AX}.a) Să se arate că B ∈ C(A).

b) Să se arate că dacă X ∈ C(A), atunci există x, y ∈ R, astfel încât X =

(x 0y x

).

c) Să se rezolve ecuat,ia X +X2 = A.

2. Se consideră mult, imea G = (−1; 1), funct,ia f : G → R, f(x) =1− x

1 + xs,i corespondent,a

(x, y) → x ⋆ y, unde x ⋆ y =x+ y

1 + xy, (∀) x, y ∈ G.

a) Să se arate că această corespondent,ă defines,te o lege de compozit,ie pe G.b) Să se arate că (∀) x, y ∈ G, f(x ⋆ y) = f(x)f(y).

c) Să se calculeze1

2⋆1

3⋆ . . . ⋆

1

9.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =x2 + ax+ 5√

x2 + 1, a ∈ R.

a) Să se calculeze f ′(x), (∀) x ∈ R.b) Să se determine toate numerele reale a astfel încât funct, ia f să aibă trei puncte de extrem

local.c) S, tiind că a = 0, să se determine ecuat,ia asimptotei spre +∞ la graficul funct,iei f .

2. Fie funct, ia f : [−1; 1] → R, f(x) =√1− x2.


−1

xf(x) dx.

b) Să se determine volumul corpului obt,inut prin rotirea graficului funct, iei f în jurul axei Ox.


∫ 1

0

xnf(x) dx.


VARIANTA 046

SUBIECTUL I.

1. Fie (an)n≥1 o progresie aritmetică. S, tind că a3 + a19 = 10, să se calculeze a6 + a16.2. Să se determine valorile parametrului real m pentru care ecuat,ia x2 −mx+ 1−m = 0 are două

rădăcini reale distincte.3. Să se rezolve în R ecuat,ia lg2 x+ lg x = 6.4. Se consideră mult,imile A = {1; 2; 3} s,i B = {1; 2; 3; 4; 5}. Să se determine numărul funct, iilor

strict descrescătoare f : A → B.5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele M(2;−1), N(−1; 1) s, i P (0; 3).

Să se determine coordonatele punctului Q astfel încât MNPQ să fie paralelogram6. Să se calculeze lungimea medianei duse din A în triunghiul ABC, s,tiind că AB = 2, AC = 3 s, i

BC = 4.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră matricele O2, I2, A ∈ M2(R), O2 =

(0 00 0

), I2 =

(1 00 1

), A =

(a bc d

).

a) Să se demonstreze că (∀) x ∈ R, det(A− xI2) = x2 − (a+ d)x+ ad− bc.b) Dacă A2 = O2, să se demonstreze că a+ d = 0.c) S, tiind că A2 = O2, să se calculeze det(A+ 2I2).

2. Se consideră mult,imea G = {(a, b) ∈ Z× Z | a2 − 3b2 = 1} s, i operat,ia(a, b) ⋆ (c, d) = (ac+ 3bd, ad+ bc).a) Să se determine a ∈ Z pentru care (a, 15) ∈ G.b) Să se arate că, pentru orice (a, b), (c, d) ∈ G, (a, b) ⋆ (c, d) ∈ G.c) Să se arate că (G, ⋆) este grup.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) =| lnx|√

x.

a) Să se arate că f nu este derivabilă în punctul x0 = 1.b) Să se determine numărul solut,iilor reale ale ecuat,iei f(x) = m, unde m este un parametru

real.c) Să se arate că 3

√5 < 5

√3.

2. Fie funct, iile f : R → R, f(x) =∫ x

0

t sin t dt s, i g :[0,

π

2

]→ R, g(x) =

∫ cos2 x

0

arccos√t dt.


).

b) Să se arate că g′(x) = −x sinx, (∀) x ∈[0,

π

2

].

c) Să se demonstreze că f(x) + g(x) =π

4, (∀) x ∈

[0,

π

2

].

VARIANTA 047 47

VARIANTA 047

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze (2 + i)4 + (2 − i)4.2. Să se determine coordonatele punctelor de intersect,ie dintre dreapta de ecuat,ie y = 2x + 1 s, i

parabola de ecuat,ie y = x2 + x+ 1.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 3x + 9x =4

9.

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr natural de patru cifre, acesta să fie divizibilcu 9.

5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(−1; 1), B(1; 3) s, i C(3; 2). FieG centrul de greutate al triunghiului ABC. Să se determine ecuat,ia dreptei OG.

6. Să se verifice egalitatea cos 75◦ + cos 15◦ =

√6

2.

SUBIECTUL II.


(1 23 4

), B =

(1 10 1

)s, i funct, ia f : M2(R) → M2(R),

f(X) = AX −XA.a) Să se determine rangul matricei A.b) Să se calculeze f(B).c) Să se arate că f(C +D) = f(C) + f(D), (∀) C, D ∈ M2(R).

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ R[X ], f = X3 + a2X − a, g = aX3 − a2X2 − 1, cu a ∈ R∗ s,i x1,x2, x3 ∈ C rădăcinile polinomului f .a) Să se calculeze x2

1 + x22 + x2

3.b) Să se arate că rădăcinile polinomului g sunt inversele rădăcinilor polinomului f .c) Să se arate că polinoamele f s, i g nu au rădăcini reale comune.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R \ {1;−1} → R, f(x) = arctan1

x2 − 1.

a) Să se calculeze limx→1x>1

.

b) Să se arate că graficul funct, iei f admite asimptotă spre +∞.c) Să se demonstreze că funct, ia f admite un singur punct de extrem local.

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) =1 + x

1 + x2.

a) Să se arate că funct, ia F : R → R, F (x) = arctanx+1

2ln(x2 + 1) este o primitivă a funct, iei

f .


0

f(x) dx.

c) Să se arate că s,irul (an)n∈N∗ , definit de an =

n∑

k=1

n+ k

n2 + k2, (∀) n ∈ N∗, este convergent.


VARIANTA 048

SUBIECTUL I.

1. Să se determine partea reală a numărului complex (√6 + i)6.

2. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) =13√x

. Să se calculeze (f ◦ f)(512).3. Să se rezolve în mult,imea R ecuat,ia cos 2x+ sinx = 0.4. Se consideră mult, imea M = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24}. Să se determine numărul tripletelor (a, b, c)

cu proprietatea că a, b, c ∈ M s, i a < b < c.5. Să se calculeze distant,a dintre dreptele paralele de ecuat,ii x+ 2y = 6 s, i 2x+ 4y = 11.6. În paralelogramul ABCD se cunosc AB = 1, BC = 2 s,i m(∢BAD) = 60◦. Să se calculeze

produsul scalar# »

AC · # »

AD.

SUBIECTUL II.


x+ 2y + z = 1

2x− y + z = 1

7x− y + az = b

, unde a s, i b sunt parametri reali.

a) Să se determine a ∈ R, pentru care determinantul sistemului este egal cu zero.b) Să se determine valorile parametrilor a, b ∈ R pentru care sistemul este incompatibil.c) Să se arate că există o infinitate de valori ale numerelor a s, i b pentru care sistemul admite

o solut,ie (x, y, z), cu x, y, z în progresie aritmetică.


(0 a

−a 0

), a ∈ R, s, i mult, imea G =

{X =

(cos t sin t

− sin t cos t

) ∣∣∣∣ t ∈ R

}.

a) Să se determine a ∈ R pentru care A ∈ G.b) Să se arate că X(t) ·X(u) = X(t+ u), (∀) t, u ∈ R.c) Să se arate că mult,imea G formează grup abelian în raport cu înmult, irea matricelor.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = arcsin2x

1 + x2.

a) Să se calculeze limx→+∞

f(x).

b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funct, iei f .c) Să se demonstreze că funct, ia f are două puncte de extrem.

2. Fie funct, ia f : [0; 1] → R, f(x) =√1− x2 s,i s, irul (an)n∈N∗ , an =

1

n2

n∑

k=1

√n2 − k2, (∀) n ∈ N∗.


0

xf(x) dx.

b) Să se determine volumul corpului obt,inut prin rotirea graficului funct, iei f în jurul axei Ox.c) Să se demonstreze că s, irul (an)n∈N∗ este convergent.

VARIANTA 049 49

VARIANTA 049

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze numărul log9 3 + log4 2.2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = (m + 2)x2 − (m − 1)x +m − 1, m ∈ R \ {−2}. Să se

determine valorile parametrului real m astfel încât f(x) ≤ 0 pentru orice x ∈ R.3. Să se rezolve în R ecuat,ia 2x + 2x+1 + 2x−1 = 56.4. Fie mult,imea A = {1; 2; . . . ; 1000}. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element din

mult,imea { 3√n | n ∈ A}, acesta să fie număr rat,ional.

5. Fie triunghiul ABC s, i M ∈ (BC) astfel încât# »

MC = −3# »

MB. Să se demonstreze că# »

AM =3

4

# »

AB +1

4

# »

AC.

6. S, tiind că x ∈(0,

π

2

)s, i că tanx = 3, să se calculeze sin 2x.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră a ∈ R, sistemul

x+ ay = 1

y + az = a

x + z = 1

s, i A matricea sa.

a) Să se arate că det(A) 6= 0.b) Să se arate că solut,ia sistemului este formată din trei numere în progresie geometrică.c) Să se determine inversa matricei A.

2. Se consideră pe R legea de compozit,ie dată de relat,ia x ⋆ y = xy − 5x− 5y + 30, (∀) x, y ∈ R s, imult,imea G = (5,+∞).a) Să se determine e ∈ R astfel încât (∀) x ∈ R, x ⋆ e = e ⋆ x = x.b) Să se arate că (G, ⋆) este un grup comutativ.

c) Să se rezolve în grupul (G, ⋆) sistemul

x ⋆ y = z

y ⋆ z = x .

z ⋆ x = y

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : [1,+∞) → R, f(x) =4− 3x2

x3.

a) Să se demonstreze că graficul funct, iei f admite o asimptotă spre +∞.b) Să se determine mult,imea valorilor funct, iei f .c) Să se determine domeniul de derivabilitate al funct,iei g : [2,+∞) → R, g(x) = arccos f(x).

2. Se consideră funct, ia f : [1; 2] → R, f(x) =1

x√x2 + 1

.

a) Să se arate că funct,ia F : [1; 2] → R, F (x) = ln

√x2 + 1− 1

xeste o primitivă a funct, iei f .

b) Să se calculeze volumul corpului obt,inut prin rotirea graficului funct, iei f în jurul axei Ox.


n∑

k=1

n

(n+ k)√n2 + (n+ k)2

.


VARIANTA 050

SUBIECTUL I.

1. Fie fract,ia zecimală periodică 0, (769230) = 0, a1a2a3 · · · . Să se calculeze a1+a2+a3+· · ·+a2008.2. Să se arate că dreapta de ecuat,ie y = 2x− 1 nu intersectează parabola de ecuat,ie y = x2+x+1.3. Să se rezolve în R ecuat,ia log2 x+ log4 x

2 = 6.4. Într-o clasă sunt 25 de elevi dintre care 13 sunt fete. Să se determine numărul de moduri în care

se poate alege un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete s, i 2 băiet,i.5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2;−1), B(−1; 1), C(1; 3) s, i

D(a; 4), a ∈ R. Să se determine a pentru care dreptele AB s,i CD sunt perpendiculare.

6. S, tiind că α ∈(π,

3π

2

)s,i că sinα = −4

5, să se calculeze tan

α

2.

SUBIECTUL II.


(a1 a2 a3b1 b2 b3

)∈ M2, 3(R), transpusa tA ∈ M3, 2(R), B = AtA s, i

punctele Pk(ak, bk), unde k ∈ {1; 2; 3}.a) Să se calculeze B s,tiind că P1(1; 2), P2(2; 4), P3(−3;−6).b) Să se arate că det(B) ≥ 0, oricare ar fi punctele P1, P2, P3.c) Să se arate că det(B) = 0 dacă s, i numai dacă punctele P1, P2, P3 sunt coliniare pe o dreaptă

care trece prin originea axelor.

2. Se consideră mult,imea M =

1̂ a b

0̂ 1̂ 0̂

0̂ 0̂ 1̂

∣∣∣∣∣∣a, b ∈ Z3

.

a) Să se determine numărul elementelor mult, imii M .b) Să se arate că dacă A, B ∈ M , atunci AB ∈ M .c) Să se arate că (M, ·) este un grup, unde „ ·” este înmult, irea matricelor.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R∗ → R, f(x) = x sin1

x.


f(x).

b) Să se calculeze f ′(x), x ∈ R∗.c) Să se determine ecuat,ia asimptotei la graficul funct, iei f către +∞.

2. Fie s, irul (In)n∈N∗ , In =

∫ 1

−1

(1− x2)n dx, (∀) n ∈ N∗.


b) Să se demonstreze că In+1 =2n+ 2

2n+ 3In, (∀) n ∈ N∗.

c) Să se demonstreze că s,irul (an)n∈N∗ , definit prin an =

n∑

k=0

(−1)kCkn

2k + 1, (∀) n ∈ N∗, are limita

0.

VARIANTA 051 51

VARIANTA 051

SUBIECTUL I.

1. Să se determine numărul elementelor mult, imii (A \B) ∩ Z, s,tiind că A = (−3; 4] s, i B = (1; 5].2. Să se determine punctele de intersect,ie dintre dreapta 2x+ 1 = y s, i parabola y = x2 − x+ 3.3. Să se rezolve în R ecuat,ia

√x− 1 +

√2− x = 1.

4. Să se determine numărul solut,iilor sistemului de inecuat,ii

{x! < 7

y! < 25, unde x, y ∈ N.

5. Să se calculeze distant,a de la punctul A(1; 1) la dreapta d : 5x+ 12y − 4 = 0.6. Să se calculeze tan(a+ b) s,tiind că cot a = 2 s, i cot b = 5.

SUBIECTUL II.

1. Fie s,irul (Fn)n≥0, dat de Fn+1 = Fn+Fn−1, (∀) n ∈ N∗, F0 = 0, F1 = 1 s, i matricea A =

(1 11 0

).

a) Să se verifice relat,ia A2 = A+ I2.b) Să se arate că, dacă X ∈ M2(Q), X 6= O2 s, i AX = XA, atunci X este inversabilă.

c) Să se arate că An =

(Fn+1 Fn

Fn Fn−1

), (∀) n ≥ 1.

2. Fie σ, π ∈ S5, σ =

(1 2 3 4 53 2 1 5 4

), π =

(1 2 3 4 52 3 1 4 5

).

a) Să se demonstreze că σπ 6= πσ.b) Să se determine numărul elementelor mult, imii H = {πn | n ∈ N∗}.c) Să se arate că H = {πn | n ∈ N∗} este un subgrup al grupului (S5, ·).

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : [1,+∞) → [1,+∞), f(x) =x2 − x+ 1

x.


(x− f(x) )x.

b) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare.c) Să se arate că funct,ia f este bijectivă.

2. Fie a, b ∈ R s,i funct, ia F : R → R, F (x) =

{ax+ b, x < 1

ln2 x+ 1, x ≥ 1.

a) Să se determine numerele reale a s, i b astfel încât funct,ia F să fie primitiva unei funct, ii f .

b) Să se calculeze∫ e

1

1

xF (x)dx.

c) Să se arate că, pentru funct, ia h : [1;π] → R, h(x) = (F (x) − 1) sinx, are loc relat,ia∫ π

1

h(x)h′′(x) dx ≤ 0.


VARIANTA 052

SUBIECTUL I.

1. Să se arate că funct, ia f : R → R, f(x) = |4x− 8| − 2|4− 2x| este constantă.2. Săse determine a ∈ R pentru care parabola y = x2 − 2x+ a− 1 s, i dreapta y = 2x + 3 au două

puncte distincte comune.3. Să se rezolve în R ecuat,ia 3

√x− 1 + 1 = x.

4. Se consideră dezvoltarea (√3+1 )9. Să se determine numărul termenilor irat,ionali ai dezvoltării.

5. Să se determine m ∈ R astfel încât vectorii #»u = (m + 1) #»ı + 8 #» s,i #»v = (m − 1) #»ı − 4 #» să fiecoliniari.

6. Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB = 5, BC = 7 s, i AC = 8. Să se calculeze m(∢A).

SUBIECTUL II.

1. Se consideră permutarea σ ∈ S6, σ =

(1 2 3 4 5 62 4 5 3 6 1

).

a) Să se determine σ−1.b) Să se arate că permutările σ s, i σ−1 au acelas,i număr de inversiuni.c) Să se arate că ecuat,ia x4 = σ nu are solut,ii în grupul (S6, ·).

2. Fie legea de compozit,ie „◦”, definită pe R prin x ◦ y = xy − x − y + 2, (∀) x, y ∈ R, s, i funct,iaf : R → R, f(x) = x+ 1.a) Să se arate că (1,+∞) este parte stabilă în raport cu „◦”.b) Să se demonstreze că f(xy) = f(x) ◦ f(y) pentru orice x, y ∈ R.c) Să se rezolve în R ecuat,ia x ◦ x ◦ . . . ◦ x︸︷︷︸

de 10 ori x

= 1025.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : [0; 1] → R, f(x) =

{x sin

π

x, x ∈ (0; 1]

0, x = 0.

a) Să se arate că funct,ia f este continuă pe [0; 1].b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funct, iei f .

c) Să se arate că, dacă n ∈ N∗, atunci ecuat,ia f(x) = cosπ

xare cel put,in o solut,ie în intervalul

(1

n+ 1,1

n

).

2. Fie funct, iile f : [0; 1] → R, f(x) = ln(x2 + 1) s,i g : [0; 1] → R, fg(x) = x arctanx.


0

f(√x ) dx.


0

g(x) dx.

c) Să se calculeze aria suprafet,ei plane mărginită de graficele funct, iilor f s, i g s, i de dreptele deecuat,ii x = 0 s, i x = 1.

VARIANTA 053 53

VARIANTA 053

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze ⌊√2008 ⌋+3 ·

{−1

3

}, unde ⌊x⌋ reprezintă partea întreagă a lui x s, i {x} reprezintă

partea fract,ionară a lui x.2. Să se determine imaginea intervalului [1; 3] prin funct,ia f : R → R, f(x) = x2 − 4x+ 3.3. Să se rezolve în R ecuat,ia

√x+ 8−√

x = 2.4. Să se determine probabilitatea ca alegând un element al mult,imii divizorilor naturali ai numărului

56, acesta să fie divizibil cu 4.5. Fie vectorii #»a = #»ı + #» ,

#»

b = #»ı − #» s, i #»u = 6 #»ı + 2 #» . Să se determine p, r ∈ R astfel încât#»u = p #»a + r

#»

b .6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi care are lungimile laturilor 5, 7

s,i 8.

SUBIECTUL II.

1. Pentru orice matrice A ∈ M2(C), se notează C(A) = {X ∈ M2(C) | AX = XA}. Se consideră

matricele E1 =

(0 10 0

), E2 =

(0 01 0

), E3 =

(1 00 0

), E4 =

(0 00 1

).

a) Să se arate că dacă X , Y ∈ C(A), atunci X + Y ∈ C(A).b) Să se arate că dacă E1, E2 ∈ C(A), atunci există α ∈ C astfel încât A = αI2.c) Să se arate că dacă C(A) cont,ine trei dintre matricele E1, E2, E3, E4, atunci o cont,ine s, i

pe a patra.

2. Fie a =

(1 2 3 4 53 2 1 4 5

), b =

(1 2 3 4 52 1 4 5 3

)două permutări din grupul (S5, ·).

a) Să se rezolve în S5 ecuat,ia ax = b.b) Să se determine ordinul elementului ab în grupul (S5, ·).c) Fie k ∈ Z cu bk = e. Să se arate că 6 divide k.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x3 − 3x s, i un număr real m din intervalul (−2,+∞).a) Să se determine punctele de extrem ale funct, iei f .b) Să se demonstreze că ecuat,ia x3 − 3x = m are solut,ie unică în mult, imea (1,+∞).c) Să se determine numărul punctelor de inflexiune ale graficului funct, iei g : R → R,

g(x) = f2(x).

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) =

{xex, x ≤ 0

sinx, x > 0.

a) Să se arate că funct,ia f admite primitive pe R.b) Să se determine o primitivă a funct, iei f pe R.

c) Să se calculeze limx→0x>0

∫ x

0

f(t) dt

x2.


VARIANTA 054

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze partea întreagă a numărului (√3 +

√7 )2.

2. Să se rezolve în R inecuat,ia2x− 1

1− x≥ 3x+ 2

1− 2x.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 3√2− x+ x = 2.

4. Se consideră dezvoltarea(

3√x2 +

√y)49

. Să se determine termenul care îi cont,ine pe x s, i y laaceeas,i putere.

5. Fie #»r A = 2 #»ı + #» , #»r B = #»ı +3 #» s, i #»r +C = 3 #»ı +2 #» vectorii de pozit,ie ai vârfurilor triunghiuluiABC. Să se determine vectorul de pozit,ie al centrului de greutate al triunghiului ABC.

6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, s,tiind că BC = 3 s, i

cosA =1

2.

SUBIECTUL II.


(0 −11 0

)s, i B =

(0 1

−1 1

).

a) Să se verifice că AB 6= BA.b) Să se arate că A4 +B6 = 2I2.c) Să se arate că, pentru orice n ∈ N∗, (AB)n 6= I2.

2. Se consideră s, irul (Fn)n∈N, F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1, (∀) n ≥ 1 s, i polinoamelep, qn ∈ Z[X ], p = X2 −X − 1, qn = Xn − FnX − Fn−1, (∀) n ≥ 2.a) Să se arate că polinomul X3 − 2X − 1 este divizibil cu p.b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului q3.c) Să se arate că, pentru orice n ≥ 2, polinomul qn este divizibil cu p.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră mult,imea A a funct, iilor g : R → R, care sunt continue pe [−1; 1], derivabile înpunctele −1 s, i 1, iar g′(−1) < 0 s, i g′(1) > 0.

a) Să se arate că funct,ia f : R → R, f(x) =|x|

x2 + 4este un element al mult,imii A.

b) Să se arate că funct,ia f de la punctul a) nu este derivabilă în 0.c) Să se arate că, dacă g ∈ A, atunci g are un punct de minim x0 ∈ (−1; 1).

2. Se consideră funct, ia f : [0; 1] → R, f(x) = x(x − 1)ex.a) Să se arate că există a, b, c ∈ R astfel încât funct, ia F : R → R, F (x) = (ax2 + bx+ c)ex să

fie o primitivă a lui f .b) Să se calculeze aria suprafet,ei plane cuprinse între graficul funct, iei f s, i axa Ox.c) Să se calculeze volumul corpului obt,inut prin rotirea graficului funct,iei f în jurul axei Ox.

VARIANTA 055 55

VARIANTA 055

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze ⌊−√8⌋ − {−2, 8}, unde ⌊x⌋ reprezintă partea întreagă a lui x s,i {x} reprezintă

partea fract,ionară a lui x.

2. Să se rezolve în mult,imea R sistemul

{x2 + y2 = 13

x+ y = 5.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 4x − 5 · 2x+1 + 16 = 0.4. Să se determine x ∈ N astfel încât C2

x + A2x = 30.

5. Fie punctele O(0; 0), A(2; 1) s,i B(−2; 1). Să se determine cosinusul unghiului format de vectorii# »

OA s, i# »

OB.6. Să se calculeze tan 2x, s,tiind că cotx = 3.

SUBIECTUL II.

1. Matricea A =

(a −bb a

)∈ M2(R) s, i s, irurile (xn)n∈N, (yn)n∈N verifică

(xn+1

yn+1

)= A

(xn

yn

), (∀) n ∈ N.

a) Să se arate că x2n+1 + y2n+1 = (a2 + b2)(x2

n + y2n), (∀) n ∈ N.b) Să se arate că, dacă a2 + b2 ≤ 1, atunci s, irurile (xn)n∈N s, i (yn)n∈N sunt mărginite.c) Să se arate că, dacă a = 1 s, i b =

√3, atunci xn+6 = 64xn, (∀) n ≥ 0.


0 0 −10 1 01 0 0

∈ M3(R).

a) Fie n ∈ N∗. Să se arate că An = I3 dacă s, i numai dacă 4 divide n.b) Fie G = {An | n ∈ N∗}. Să se arate că G, împreună cu operat,ia de înmult,ire a matricelor,

formează un grup comutativ cu patru elemente.c) Să se calculeze det(I3 +A+A2 + · · ·+A2008).

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 3√x3 − 3x+ 2.

a) Să se calculeze limx→1x<1

f(x)

x− 1.

b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funct,iei f .c) Să se determine punctele de extrem ale funct, iei f .

2. Fie funct, ia f : (1,+∞) → R, f(x) =1

x(x+ 1)(x+ 2).

a) Să se determine o primitivă a funct, iei f .

b) Să se demonstreze că∫ x

1

f(t) dt ≤ x− 1

6, (∀) x ∈ [1,+∞).


0

x2

1 + x6dx.


VARIANTA 056

SUBIECTUL I.

1. Să se rezolve în C ecuat,ia 2z + z = 3 + 4i.2. S, tiind că x1 s, i x2 sunt ră dăcinile ecuat,iei x2 + 3x+ 1 = 0, să se calculeze x3

1 + x32.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 1 + 5x − 2 · 25x = 0.

4. Se consideră dezvoltarea(a2 +

13√a

)9

, a 6= 0. Să se determine rangul termenului care-l cont,ine

pe a4.5. Să se calculeze #»u 2 − #»v 2 s,tiind că #»u − #»v = 3 #»ı + 2 #» s, i #»u + #»v = 2 #»ı + 3 #» .6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic care are catetele

de lungimi 5 s, i 12.

SUBIECTUL II.


(2 −31 −2

)∈ M2(R) s, i funct, ia f : M2(R) → M2(R), f(X) = AX .

a) Să se arate că f(A) = I2.b) Să se arate că f(X + f(X)) = X + f(X), (∀) X ∈ M2(R).c) Să se arate că funct,ia f este bijectivă.


(1 01 1

)s, i mult,imea M = {X ∈ M2(R) | AX = XA}.

a) Să se arate că dacă A, B ∈ M , atunci AB ∈ M .b) Să se arate că G = {X ∈ M | det(X) 6= 0} este grup în raport cu înmult, irea matricelor.c) Să se determine elementele de ordin doi din grupul G, definit la punctul b).

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R \{−4

3

}→ R, f(x) =

2x+ 5

3x+ 4.

a) Să se determine asimptota la graficul funct, iei f spre +∞.b) Să determine limita s, irului (an)n≥1, an = f(1)f(2) . . . f(n).c) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funct, iei g : R → R, g(x) = f(ex).

2. Fie funct, ia f : [1; e] → R, f(x) =√lnx.


0

f(ex) dx.

b) Să se calculeze volumul corpului obt,inut prin rotirea graficului funct,iei f în jurul axei Ox.


0

ex2

dx+

∫ e

1

f(x) dx = e.

VARIANTA 057 57

VARIANTA 057

SUBIECTUL I.

1. Fie a =2

3. Să se calculeze

⌊10

a+ 10a

⌋, unde ⌊x⌋ reprezintă partea întreagă a lui x.

2. Să se arate că (x2 + 4x+ 5)(x2 + 2x+ 2) ≥ 1, oricare ar fi x ∈ R.3. Să se rezolve în R ecuat,ia log22 x+ log2(4x) = 4.

4. Se consideră dezvoltarea(

3√x+

2√x

)200

, x > 0. Să se determine termenul care nu-l cont,ine pe

x.5. Se consideră dreapta d : 4x− 8y+1 = 0 s,i punctul A(2; 1). Să se determine ecuat,ia dreptei care

trece prin punctul A s, i este paralelă cu dreapta d.6. Triunghiul ABC are AB = 2, AC = 4 s, i m(∢A) = 60◦. Să se calculeze lungimea medianei duse

din A.

SUBIECTUL II.

1. Fie matricele A =

(3 42 3

)∈ M2(R) s, i

(xn

yn

)∈ M2, 1(R), cu x0 = 1, y0 = 0 s, i

(xn+1

yn+1

)= A

(xn

yn

), (∀) n ∈ N.

a) Să se determine x1, x2, y1 s, i y2.b) Să se arate că xn + yn

√2 = (3 + 2

√2 )n, (∀) n ∈ N.

c) Să se arate că xn+2 − 6xn+1 + xn = 0, (∀) n ≥ 0.2. Se consideră mult, imile de clase de resturi Z7 = {0̂; 1̂; 2̂; 3̂; 4̂; 5̂; 6̂} s, i Z6 = {0̄; 1̄; 2̄; 3̄; 4̄; 5̄}.

a) Să se rezolve în corpul (Z7,+, ·) ecuat,ia 3̂x2 + 4̂ = 0̂.b) Să se determine ordinul elementului 3̂ în grupul (Z∗

7, ·).c) Să se arate că nu există niciun morfism de grupuri f : (Z6,+) → (Z∗

7, ·) cu f(2̄) = 3̂.

SUBIECTUL III.

1. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = x2 + 1.

a) Să se arate că s,irul (xn)n≥1 definit prin x1 =1

2s, i xn+1 = f(xn), (∀) n ≥ 1 are limită.

b) Să se arate că funct,ia g : R → R, g(x) =

{xf(x), x ≤ 0

arctanx, x > 0este derivabilă pe R.

c) Să se determine cel mai mare număr real a care are proprietatea f(x) ≥ a+ 2 lnx,(∀) x ∈ (0,+∞).

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = e−x2

s, i F o primitivă a sa.


0

xf(x) dx.

b) Să se calculeze limx→0

F (cosx)− F (1)

x2.

c) Să se arate că g : R → R, g(x) = F (x) + f(x) are exact un punct de extrem local.


VARIANTA 058

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze1 + 4i

4 + 7i+

1− 4i

4− 7i.

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 3x2−6x+1. Să se determine axa de simetrie a graficuluifunct, iei f .

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 3x+1 + 31−x = 10.4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mult,imii A = {1; 3; 5; . . . ; 2007}, acesta

să fie multiplu de 3.5. Se consideră dreapta d : 2x+ y − 1 = 0 s,i punctul A(3; 2). Să se determine ecuat,ia dreptei care

trece prin punctul A s, i este perpendiculară pe dreapta d.6. Fie triunghiul ABC care are AB = AC = 5 s,i BC = 6. Să se calculeze distant,a de la centrul de

greutate al triunghiului ABC la dreapta BC.

SUBIECTUL II.

1. Fie a, b, c, d > 0, matricea A =

(a bc d

)s, i funct,ia f : (0,+∞) → (0,+∞), f(x) =

ax+ b

cx+ d. Se

notează An =

(an bncn dn

), unde n ∈ N∗.

a) Să se arate că, dacă det(A) = 0, atunci f este funct,ie constantă.b) Să se arate că, dacă det(A) 6= 0, atunci f este funct,ie injectivă.

c) Să se arate că ( f ◦ f ◦ f ◦ . . . ◦ f︸︷︷︸de n ori f

)(x) =anx+ bncnx+ dn

, (∀) n ∈ N∗.


(1 00 0

), B =

(0 10 0

)s,i mult,imea

G = {I2 + aA+ bB | a, b ∈ R, a 6= −1}.a) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă.b) Să se arate că G este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din

M2(R).c) Să se arate că ecuat,ia X2 = I2 are o infinitate de solut,ii în G.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) =x

1 + x2s,i g : R → R, g(x) = arctanx.


( f(x)g(x) ).

b) Să se determine punctele de extrem local ale funct,iei f .

c) Să se arate căx

1 + x2< arctanx, pentru orice x ∈ (0.+∞).

2. Fie m ∈ R s, i funct,ia f : [0; 2] → R, f(x) =

{x−m, x ∈ [0; 1]

x ln x, x ∈ (1; 2].

a) Să se arate că, pentru orice m ∈ R, funct, ia f este integrabilă.

b) Să se calculeze limx→1x>1

∫ x

1

t ln t dt

x− 1.

c) Pentru m = 1, să se demonstreze că, pentru orice t ∈ (0; 2) există a, b ∈ [0; 2], a 6= b, astfel

încât∫ b

a

f(x) dx = (b− a)f(t).

VARIANTA 059 59

VARIANTA 059

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze suma 1 + 4 + 7 + · · ·+ 31.2. Să se rezolve în R ecuat,ia |x− 3|+ |4− x| = 1.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia log3 x+1

log3 x=

5

2.

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mult,imii A = {2; 4; 6; . . . ; 2008}, acestasă fie divizibil cu 4, dar să nu fie divizibil cu 8.

5. Se consideră punctele A(2;m) s, i B(m;−2). Să se determine m ∈ R astfel încât AB = 4.6. Să se calculeze sin2 x, s,tiind că cotx = 6.

SUBIECTUL II.


mx+ y + z = 0

x+ 3y + 2z = 0

−x− y + 4z = 0

, cu m ∈ R.

a) Să se determine m ∈ R pentru care matricea sistemului are determinantul nenul.b) Să se determine m ∈ R astfel încât sistemul să admită cel put,in două solut,ii.c) Să se determine m ∈ R pentru care dreptele d1 : mx + y + 1 = 0, d2 : x + 3y + 2 = 0,

d3 : −x− y + 4 = 0 sunt concurente.

2. Se consideră mult, imea H =

{(m n

0̂ 1̂

) ∣∣∣∣ m, n ∈ Z5, m = ±1̂

}.

a) Să se verifice că dacă A =

(1̂ 1̂

0̂ 1̂

)s, i B =

(4̂ 0̂

0̂ 1̂

), atunci B ·A = A−1 · B.

b) Să se arate că (H, ·) este un grup cu 10 elemente.c) Să se determine numărul elementelor de ordinul 2 din grupul H .

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x3 + x.


f(x)

f(x+ 1).

b) Să se demonstreze că funct, ia f este inversabilă.


f−1(x)3√x

.

2. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) = x2 sinx s, i F o primitivă a lui f .


−π

f(x) dx.

b) Să se determine c ∈ (1; 3) astfel încât∫ 3

1

f(x)

sinxdx = 2c2.

c) Să se arate că funct,ia F nu are limită la +∞.


VARIANTA 060

SUBIECTUL I.

1. Să se arate că 2(1 + 3 + 32 + · · ·+ 38

)< 39.

2. Fie x1, x2 solut,iile ecuat,iei x2 + 5x− 7 = 0. Să se arate că x31 + x3

2 ∈ Z.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia log5 x+ logx 5 =5

2.

4. Să se determine x ∈ N astfel încât C22x−3 = 3.

5. Se consideră punctele A(2; 3) s, i B(−3;−2). Să se determine ecuat,ia dreptei AB.6. Fie vectorii #»u s, i #»v . S, tiind că #»u #»v = 5, | #»u | = 2 s, i | #»v | = 3, să se calculeze cos (∢ ( #»u, #»v ) ).

SUBIECTUL II.


(2 1

−4 −2

)s, i funct, ia f : M2(R) → M2(R), f(X) = AX .

a) Să se calculeze f(A).b) Să se arate că ( f ◦ f )(X) = O2, (∀) X ∈ M2(R).c) Să se arate că f(X) + f(Y ) 6= I2, (∀) X , Y ∈ M2(R).

2. Se consideră mult,imea P = {A ∈ M2(R) | A · tA = I2}, unde tA este transpusa matricei A.

a) Să se verifice dacă matricea(0 11 0

)apart,ine mult, imii P .

b) Să se arate că înmult,irea matricelor determină pe mult,imea P o structură de grup necomu-tativ.

c) Să se arate că, dacă A, B ∈ P , X ∈ M2(R) s, i AX = B, atunci X ∈ P .

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) = ln(1 +√1 + x2 ) s, i g(x) = ln(x +

√1 + x2 ).

a) Să se demonstreze că ln 2 este cea mai mică valoare a funct, iei f .b) Să se arate că, pentru orice x > 0, este verificată relat,ia

(ef(x) − 1

)g′(x) = 1.

c) Să se demonstreze că g(x) < x, pentru orice x > 0.

2. Fie mult,imea M =

{f : R → R

∣∣∣∣ f este derivabilă s,i∫ 1

0

f(x) dx = f(0) = f(1)

}.

a) Să se arate că funct,ia f : R → R, f(x) = 2x3 − 3x2 + x face parte din mult,imea M .b) Să se arate că dacă f este o funct,ie polinomială de grad trei, care apart,ine lui M , atunci

f

(1

2

)= f(0).

c) Să se arate că, pentru orice f ∈ M , ecuat,ia f ′(x) = 0 are cel put,in două solut,ii în intervalul(0; 1).

VARIANTA 061 61

VARIANTA 061

SUBIECTUL I.

1. Să se determine x real s,tiind că numerele x+ 1, 1− x s, i 4 sunt în progresie aritmetică.2. Să se determine punctele de intersect,ie a parabolei y = x2 + 5x− 6 cu axele de coordonate.3. Să se rezolve în [0; 2π] ecuat,ia 2 sinx+ 1.4. Fie mult,imea M = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Să se determine probabilitatea ca, alegând o submult,ime a

mult,imii M , aceasta să aibă 2 elemente.5. Punctele A, B s, i G au vectorii de pozit,ie #»r A = 4 #»ı + 7 #» , #»r B = 2 #»ı − #» , #»r G = 4 #»ı +4 #» . Să se

determine vectorul de pozit,ie a punctului C astfel încât punctul G să fie centrul de greutate altriunghiului ABC.

6. Fie vectorii #»u s, i #»v . Dacă | #»u | = 1, | #»v | = 2 s, i m (∢ ( #»u , #»v ) ) =π

3, să se calculeze (2 #»u+ #»v )(2 #»v− #»u ).

SUBIECTUL II.

1. Se consideră mult, imea G =

Ma, b

∣∣∣∣∣∣Ma, b =

1 a b0 1 00 0 1

, a, b ∈ R

⊂ M3(R).

a) Să se arate că Ma, b ·Mc, d = Ma+c, b+d, (∀) a, b, c, d ∈ R.b) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă.c) Să se calculeze, în funct, ie de a s, i b, rangul matricei Ma, b − tMa, b (tMa, b este transpusa lui

Ma, b).2. Se consideră un grup (K, ·), unde K = {e; a; b; c}, e este elementul neutru s, i a2 = b2 = c2 = e.

a) Să se rezolve în K ecuat,ia x3 = e.b) Să se arate că ab = c.c) Să se arate că grupul (K, ·) nu este izomorf cu grupul (Z4,+).

SUBIECTUL III.

1. Fie funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) =

lnx

x− 1, x 6= 1

1, x = 1.

a) Să se demonstreze că funct, ia f este continuă.


f(x)− f(1)

x− 1.

c) Să se arate că funct,ia f este strict descrescătoare.2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = ln(1 + sin2 x).

a) Să se arate că orice primitivă a funct, iei f este crescătoare pe R.

b) Să se calculeze∫ π

0

f(x) cos xdx.

c) Să se calculeze derivata funct, iei g : (−1; 1) → R, g(x) =∫ arcsin x

π

4

f(t) dt.


VARIANTA 062

SUBIECTUL I.

1. Să se determine x > 0 s,tiind că numerele x, 6 s, i x− 5 sunt în progresie geometrică.2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x2 + x− 2. Să se calculeze f ( 2 · f(−1) ).

3. Să se rezolve în R ecuat,ia cos(2x+

π

2

)= cos

(x− π

2

).

4. Să se determine k ∈ R astfel încât C4k48 = C20

48.5. Se consideră punctele A(3; 2) s, i B(6; 5). Să se determine coordonatele punctelor M s, i N s,tiind

că acestea împart segmentul [AB] în trei segmente congruente, iar ordinea punctelor este A, M ,N , B.

6. Să se determine valorile parametrului a ∈ N∗ pentru care numerele a, a+1 s, i a+2 sunt lungimilelaturilor unui triunghi obtuzunghic.

SUBIECTUL II.

1. Fie matricea A =

(a bc d

)∈ M2(R) cu proprietatea că A2 = 2A.

a) Să se arate că matricea B =

(3 1

−3 −1

)verifică relat,ia B2 = 2B.

b) Să se arate că, dacă a+ d 6= 2, atunci A = O2 sau A = 2I2.c) Să se arate că, dacă a+ d = 2, atunci det(A) = 0.

2. Se consideră polinoamele f , g ∈ Q[X ], f = X4 − 1, g = X6 − 1.a) Să se arate că un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f s, i g este X2 − 1.b) Să se determine numărul solut,iilor complexe distincte ale ecuat,iei f(x)g(x) = 0.c) Să se descompună polinomul f în factori ireductibili în Q[X ].

SUBIECTUL III.

1. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră funct,ia fn : (0,+∞) → R, fn(x) = xn + lnx.a) Să se arate că funct,ia f2 este strict crescătoare pe intervalul (0,+∞).

b) S ă se arate că ecuat,ia fn(x) = 0 are exact o rădăcină reală, situată în intervalul(1

e, 1

).

c) Să se calculeze limx→1

(3

f2(x)− 1− 1

x− 1

).

2. Fie a ∈ R s, i funct,ia f : R → R, f(x) =

{x3, x ∈ (−∞, 0]

1 + sinx, x ∈ (0,+∞).

a) Să se arate că funct,ia f este integrabilă pe intervalul [−2π; 2π].

b) Să se calculeze∫ π

−1

f(x) dx.

c) Să se arate că, pentru orice n ∈ N∗,∫ 2π

0

fn(x) dx ≤ 2nπ.

VARIANTA 063 63

VARIANTA 063

SUBIECTUL I.

1. Să se arate că s,irul (an)n∈N∗ , de termen general an =4n

n+ 3, este crescător.

2. Să se determine punctele de intersect,ie ale parabolelor y = x2 + x+ 1 s, i y = −x2 − 2x+ 6.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia sin(x+

π

4

)= sin

(3x+

π

4

).

4. Suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării (2x2−5y)n este egală cu 32. Să se determine termenulde rang patru.

5. Să se determine m, n ∈ R astfel încât dreptele d1 : mx+ 3y + 2 = 0 s,i d2 : 2x+ ny − 8 = 0 săcoincidă.

6. Fie ABCD un patrulater. Să se arate că dacă# »

AC · # »

BD = 0, atunci AB2 +CD2 = AD2 +BC2.

SUBIECTUL II.

1. Se notează tX transpusa matricei X s,i se consideră mult,imile P = {S ∈ M2(R) | tS = S}(mult,imea matricelor simetrice) s,i Q = {A ∈ M2(R) | tA = −A} (mult,imea matricelor antisime-trice).

a) Să se arate că(1 33 1

)∈ P s, i

(0 2

−2 0

)∈ Q.

b) Să se arate că dacă A, B ∈ Q, atunci AB ∈ P .c) Să se arate că det(X) ≥ 0, oricare ar fi X ∈ Q.

2. Se consideră polinoamele f = X3 + 2X2 + 3X + 45 ∈ Z[X ] s, i f̂ = X3 +X + 1̂ ∈ Z2[X ].a) Să se arate că rădăcinile din C ale polinomului f nu sunt toate reale.b) Să se arate că polinomul f̂ nu are rădăcini în Z2.c) Să se demonstreze că polinomul f nu poate fi scris ca produs de două polinoame neconstante,

cu coeficient,i întregi.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =

{x, x ∈ Q

x3, x ∈ R \Q .

a) Să se arate că |f(x)| ≤ |x|, (∀) x ∈ [−1; 1].b) Să arate că funct, ia f este continuă în origine.c) Să se arate că funct,ia f nu este derivabilă în origine.

2. Se consideră a, b ∈ R s,i funct, ia f : R → R, f(x) =

{axex − x, x ≤ 0

a cosx+ b, x > 0.

a) Să se determine a s, i b s,tiind că funct, ia f este primitivă pe R a unei funct, ii.

b) S, tiind că a = 0 s, i b = 0, să se calculeze∫ π

−1

f(x) dx.

c) Să se arate că, dacă b = 0, atunci limn→+∞

∫ π

0

xnf(x) dx = −∞.


VARIANTA 064

SUBIECTUL I.

1. Să se arate că s, irul (an)n≥1, de termen general an = n2 − n, este strict monoton.2. Se consideră funct, iile f : R → R s, i g : R → R, definite prin f(x) = x2+2x+1 s, i g(x) = x−2008.

Să se demonstreze că, pentru orice x ∈ R, (f ◦ g)(x) ≥ 0.

3. Să se rezolve în (0;π) ecuat,ia tan(x+

π

3

)= tan

(π2− x).

4. Să se determine x ∈ N s,tiind că Cx−1x +Cx−3

x−1 ≤ 9.5. Să se determine m ∈ R s,tiind că dreptele d1 : mx+(m+2)y−1 = 0 s, i d2 : (m+2)x+4my−8 = 0

sunt paralele.6. Fie ABC un triunghi cu tanA = 2, tanB = 3. Să se determine măsura unghiului C.

SUBIECTUL II.

1. Fie mult,imea M =

{(x 3yy x

) ∣∣∣∣ x, y ∈ Z

}s, i matricea A =

(2 31 2

).

a) Să se arate că dacă Y ∈ M2(Z) s, i AY = Y A, atunci Y ∈ M .b) Să se arate că dacă X ∈ M s, i det(X) = 0, atunci X = O2.c) Să se arate că An ∈ M , (∀) n ∈ N∗.

2. Se consideră polinomul f = X5 −X4 + 3X3 −X2 − 2 ∈ C[X ].a) Să se determine o rădăcină întreagă a polinomului f .b) Să se calculeze x2

1 + x22 + · · ·+ x2

5, unde x1, x2, . . . , x5 sunt rădăcinile polinomului f .c) Să se arate că f are o singură rădăcină reală.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (−∞,−2) ∪ (0,+∞) → R, f(x) = ln

(1 +

2

x

).

a) Să se arate că funct,ia f este concavă pe intervalul (−∞,−2).

b) Să se calculeze limita s,irului (an)n≥1, an = f(1) + f(2) + · · ·+ f(n)− lnn(n+ 1)

2.

c) Să se arate că există un punct c ∈ (1; 2) astfel încât (c− 1)f ′(c) + f(c) = f(2).

2. Fie funct, ia f : [0; 1] → R, f(x) =1

1 + x4.


0

xf(x) dx.

b) Să se arate căπ

4≤∫ 1

0

f(x) dx ≤ 1.


0

g(x) dx, unde g : R → R, g(x) =∫ x

0

f(t)f ′′(t)− ( f ′(t) )2

( f(t) )2dt.

VARIANTA 065 65

VARIANTA 065

SUBIECTUL I.

1. Să se determine primul termen al progresiei aritmetice a1, a2, 13, 17, · · · .2. Să se arate că funct,ia f : R → R, f(x) = x3 + 2 sinx este impară.3. Să se rezolve în R ecuat,ia 3 sinx+

√3 cosx = 0.

4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mult,imea numerelor naturale de treicifre, acesta să aibă suma cifelor egală cu 4.

5. Să se determine m ∈ R s,tiind că dreptele d1 : mx + 3y − 2 = 0 s, i d2 : 12x + 2y + 1 = 0 suntperpendiculare.

6. S, tiind că tanα

2=

1√3, să se calculeze sinα.

SUBIECTUL II.


ax+ y + z = 4

x+ 2y + 3z = 6

3x− y − 2z = b

, cu a, b ∈ R.

a) Să se determine a, b pentru care sistemul are solut,ia (1; 1; 1).b) Să se determine a, b astfel încât sistemul să fie incompatibil.c) Să se arate că pentru orice a ∈ Z există b ∈ Z astfel încât sistemul să admită solut,ii cu toate

componentele numere întregi.

2. Se consideră mult, imea de matrice A =

a 0̂ 0̂

0̂ a 0̂b c a

∣∣∣∣∣∣a, b, c ∈ Z2

.

a) Să se determine numărul elementelor mult, imii A.b) Să se arate că, pentru orice X ∈ A, X2 = I3 sau X2 = O3.c) Să se determine numărul matricelor X din mult,imea A care au proprietatea X2 = O3.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x+ ex.a) Să se arate că funct,ia f este bijectivă.b) Să se arate că f(x) ≥ 2x+ 1, (∀) x ∈ R.c) Să se demonstreze că, dacă f(x) ≥ mx+ 1, (∀) x ∈ R, atunci m = 2.

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = sin3 x cos x s,i F o primitivă a funct,iei f pe R.a) Să se arate că există c ∈ R astfel încât 4F (x) = sin4 x+ c.

b) Să se calculeze aria subgraficului restrict,iei funct,iei f la intervalul[0,

π

2

].


0

f2n+1(x) dx = 0, pentru orice n ∈ N.


VARIANTA 066

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze (2 + i)(3 − 2i)− (1− 2i)(2− i).

2. Să se arate că1

3este o perioadă a funct, iei f : R → R, f(x) = {3x}, unde {·} este funct, ia parte

întreagă.3. Să se rezolve în [0; 2π] ecuat,ia

√3 sinx− cosx = 1.

4. Să se calculezeC10

20

C920

.

5. Se consideră punctele A(2; 3), B(4; 5), C(2; 2) s, i D(m;n). Să se determine m, n ∈ R astfel încâtpatrulaterul ABCD să fie paralelogram.

6. Să se calculeze cos2 x, s,tiind că tanx = 4.

SUBIECTUL II.

1. Fie dreptele d1 : x+ 2y = 3, d2 : 3x− 4y = −1, d3 : 4x+ 3y = m, unde m ∈ R.a) Să se determine m astfel încât dreptele să fie concurente.b) Să se demonstreze că există o infinitate de valori ale lui m pentru care vârfurile triunghiului

determinat de cele trei drepte au toate coordonatele întregi.c) Să se calculeze valorile lui m pentru care triunghiul determinat de cele trei drepte are aria

1.2. Fie polinomul f = 2X3 − aX2 − aX + 2, cu a ∈ R s,i cu rădăcinile complexe x1, x2, x3.

a) Să se calculeze f(−1).b) Să se determine a pentru care polinomul are trei rădăcini reale.c) Să se determine a astfel încât |x1|+ |x2|+ |x3| = 3.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 1−√|1− x2|.

a) Să se calculeze derivata funct,iei f pe intervalul (−1; 1).b) Să se determine ecuat,ia asimptotei spre +∞ la graficul funct,iei f .c) Să se arate că funct,ia g : (0,+∞) → R, g(x) = x−2f(x) este mărginită.

2. Fie funct, ia f : [0; 1] → [1; 3], f(x) = x4 + x2 + 1. Se admite că funct, ia f are inversa g.


4

0

2t+ 1

f(√t )

dt.


0

f(x) dx+

∫ 3

1

g(x) dx = 3.

c) Să se demonstreze că, dacă α ∈ [1; 3], atunci are loc inegalitatea∫ 1

0

f(x) dx+

∫ α

1

g(x) dx ≥ α.

VARIANTA 067 67

VARIANTA 067

SUBIECTUL I.

1. Să se determine primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi b1, 6, b3, 24, · · · .2. Să se determine m ∈ R astfel încât funct, ia f : R → R, f(x) = (3 − m2)x + 3, să fie strict

crescătoare.3. Să se calculeze sin

π

3+ sin

2π

3+ sin

3π

3+ sin

4π

3.

4. Se consideră mult, imea M a tuturor funct, iilor definite pe A = {1; 2; 3} cu valori în B = {5; 6; 7}.Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o funct, ie din mult,imea M , aceasta să fie injectivă.

5. Se consideră punctul G, centrul de greutate al triunghiului ABC. Prin punctul G se duceparalela la AB care intersectează dreapta BC în punctul P . Să se determine m ∈ R astfel încât# »

GP = m# »

AB.6. Să se calculeze cos 2α, dacă se cunoas,te cosα =

1

3.

SUBIECTUL II.

1. Fie sistemul

x+ y + z = 1

x+my + z = 1

x+my +mz = −2

, cu m ∈ R s, i matricea A =

1 1 11 m 11 m m

.

a) Să se calculeze det(A).b) Să se demonstreze că rangul matricei A nu poate fi doi, pentru nicio valoare a lui m.c) Să se determine valorile întregi ale lui m 6= 1, pentru care sistemul are solut,ie cu componente

întregi.

2. Fie permutările α =

(1 2 3 42 3 4 1

), β =

(1 2 3 43 1 4 2

), γ =

(1 2 3 44 3 1 2

), elemente ale

grupului (S4, ·).a) Să se verifice că γ este solut,ie a ecuat,iei αx = xβ.b) Să se arate că α4 = β4.c) Să se determine o solut,ie a ecuat,iei xβ3 = α3x în S4.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră o funct, ie de două ori derivabilă f : [−1; 1] → R, astfel încât f(0) = 0 s, i f ′(0) = 1.a) Să se arate că ipoteza este verificată în cazul în care f(x) = ex sinx, (∀) x ∈ [−1; 1].b) Să se arate că lim

x→0(1 + f(x) )

1x = ef

′(0).

c) Să se demonstreze că, dacă n ∈ N∗, atunci limx→0

fn(x) − xn

xn+1=

nf ′′(0)

2.

2. Fie funct, iile f : [0; 1] → R, f(x) =1

x+ 1s, i g : [0,+∞) → R, g(x) =

∫ x

0

f(t) dt.

a) Să se arate că g(x) = ln(1 + x).


0

f2(x)g(x) dx.

c) Să se demonstreze că f

(1

n

)+ f

(2

n

)+ f

(3

n

)+ · · ·+ f

(nn

)≤ n ln 2, (∀) n ∈ N∗.


VARIANTA 068

SUBIECTUL I.


4 + 3i+

25

4− 3i.

2. Să se determine m ∈ R astfel încât funct, ia f : R → R, f(x) = (m2 − 2)x − 3 să fie strictdescrescătoare.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia arctanx

3+ arctan

1√3=

π

3.

4. Să se determine probabilitatea ca alegând un număr din mult,imea numerelor naturale pare dedouă cifre, acesta să fie divizibil cu 4.

5. Pe laturile AB s, i AC ale triunghiului ABC se consideră punctele M s, i respectiv N astfel încât# »

AM = 3# »

MB s, i# »

AN =3

4

# »

AC. Să se demonstreze că vectorii# »

MN s,i# »

BC sunt coliniari.

6. Să se calculeze sin11π

12.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră matricele A ∈ M3(C) s, i B = A− tA, unde tA este transpusa matricei A.a) Să se arate că B + tB = O3.b) Să se demonstreze că det(B) = 0.c) Să se demonstreze că, dacă x, y ∈ C s, i matricea xA+ ytA este inversabilă, atunci x+ y 6= 0.

2. Se consideră ecuat,ia x3 + px+ q = 0, p, q ∈ R, s, i x1, x2, x3 solut,iile complexe ale acesteia.a) S, tiind că p = 1 s,i q = 0, să se determine x1, x2, x3.b) Să se determine p s, i q s,tiind că x1 = 1 + i.c) Să se arate că 12(x7

1 + x72 + x7

3) = 7(x31 + x3

2 + x23)(x

21 + x2

2 + x23)

2.

SUBIECTUL III.


x+ 1+ ln

2x+ 1

2x+ 3.

a) Să se calculeze f ′(x), x ∈ (0,+∞).b) Să se arate că f(x) < 0, (∀) x ∈ (0,+∞).

c) Să se demonstreze că s, irul (xn)n≥1, xn = 1+1

2+· · ·+ 1

n−ln

(n+

1

2

)este strict descrescător.

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) =∫ x

0

et2

dt.

a) Să se arate că funct,ia f este impară.b) Să se arate că lim

x→+∞f(x) = +∞.


0

f(x) dx ≤ e− 2.

VARIANTA 069 69

VARIANTA 069

SUBIECTUL I.

1. Să se determine z ∈ C s,tiind căz + 7i

z= 6.

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = 2x+ 1. Să se calculeze f(1) + f(2) + f(3) + · · ·+ f(50).3. Se consideră funct, ia f : N → N, f(x) = 3x+1. Să se demonstreze că funct, ia f nu este inversabilă.4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o cifră x, aceasta să verifice inegalitatea

(x+ 1)!− x! ≤ 100.5. Să se arate că dreptele de ecuat,ii d1 : 2x− y + 1 = 0 s, i d2 : 2x+ y − 1 = 0 sunt simetrice fat,ă

de axa Oy.

6. Să se calculeze cos7π

12.

SUBIECTUL II.

1. Fie matricea A =

1 1 00 0 10 1 0

∈ M3(R).

a) Să se verifice relat,ia A3 −A = A2 − I2.b) Să se arate că An −An−2 = A2 − I3, (∀) n ∈ N, n ≥ 3.c) Să se arate că, pentru orice n ∈ N∗, suma elementelor matricei An este n+ 3.

2. Pentru fiecare n ∈ N∗ se defines,te polinomul pn = Xn − 1 ∈ C[X ].a) Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului p4.b) Să se descompună polinomul p3 în factori ireductibili în C[X ].c) Să se descompună polinomul p12 în factori ireductibili în C[X ].

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =3

23√x2.

a) Să se studieze derivabilitatea funct,iei f în origine.

b) Să arate că, pentru orice k ∈ (0,+∞), există c ∈ (k, k+1), astfel încât f(k+1)−f(k) =13√c.

c) Să se demonstreze că s, irul (an)n≥1, an =13√1+

13√2+· · ·+ 1

3√n−f(n), este strict descrescător.

2. Fie funct, ia f : (−1,+∞) → R, f(x) = x− x2

2+

x3

3− ln(x+ 1).


0

f(x) dx.


F (x)

x5unde F (x) =

∫ x

0

f(t) dt, x ∈ [0,+∞).


0

ln(1 + x) dx ≤ 5

12.


VARIANTA 070

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze (1 + i)20.

2. Se consideră funct, ia f : R∗ → R, f(x) =1

x. Să se calculeze suma

S = f( f(−10) ) + f( f(−9) ) + · · ·+ f( f(−1) ) + f( f(1) ) + · · ·+ f( f(9) ) + f( f(10) ).

3. Să se arate că funct, ia f : R → R, f(x) = x3 + 1 este injectivă.4. Să se calculeze A3

5 − 6C35.

5. Să se determine m ∈ R s,tiind că distant,a de la punctul A(m,m+1) la dreapta d : 3x−4y−1 = 0este 1.

6. Să se calculeze cos 75◦ − cos 15◦.

SUBIECTUL II.

1. Pentru orice două matrice A, B ∈ M2(R) se defines,te matricea [A, B] = AB −BA.a) Pentru A ∈ M2(R), să se calculeze [A, A2].b) Să se arate că, pentru orice A ∈ M2(R), [A, A∗] = O2, unde A∗ este adjuncta matricei A.c) Să se arate că, pentru orice A, B, C ∈ M2(R), [A, [B, C] ]+ [B, [C, A] ]+ [C, [A, B] ] = O2.

2. Se consideră grupul multiplicativ (R∗+, ·) s, i mult,imea de numere reale H = (0; 1).

a) Să se arate că relat,ia a ◦ b = ab

ab+ (1− a)(1− b)defines,te o lege de compozit,ie pe H .

b) Să se arate că funct, ia f : R∗+ → (0; 1), f(x) =

x

x+ 1are proprietatea f(xy) = f(x) ◦ f(y),

(∀) x, y > 0.

c) Să se rezolve în mult,imea (H, ◦) ecuaţia x ◦ x ◦ x =1

2.

SUBIECTUL III.

1. Se defines,te funct,ia f0 : R → R, f0(x) = e2x s,i, pentru fiecare n ∈ N∗, se defines,te funct,iafn : R → R prin fn(x) = f ′

n−1(x).a) Să se arate că f3(x) = 8e2x, (∀) x ∈ R.b) Să determine asimptotele graficului funct, iei fn.


f1(a) + f2(a) + · · ·+ fn−1(a)

fn(a), unde a este un număr real.

2. Fie funct, ia f : [0,+∞) → R, f(x) =

{x ln2 x, x 6= 0

0, x = 0.

a) Să se arate că funct,ia f este integrabilă pe intervalul [0; 1].


0

f(x) dx.

c) Să se calculeze∫ e

1

f

(1

x

)dx.

VARIANTA 071 71

VARIANTA 071

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze log2 2008− log2 251− 3.

2. Se consideră funct, ia f : R∗ → R, f(x) = x2 − 1

x2. Să se arate că funct, ia f este pară.

3. Să se arate că valoarea maximă a funct, iei f : R → R, f(x) = 3− x4 este f(0).4. Să se determine n ∈ N astfel încât 3C1

n + 2C2n = 8.

5. Se consideră triunghiul ABC s, i punctele A′, B′, C′ astfel încât# »

A′C = 2# »

BA′,# »

B′C =2

5

# »

AC,# »

C′A = 3# »

BC′. Să se arate că dreptele AA′, BB′ s, i CC′ sunt concurente.6. Să se determine ecuat,ia medianei corespunzătoare laturii BC a triunghiului ABC, s,tiind că

A(2; 2) s, i că ecuat,iile medianelor duse din B s,i C sunt 2x+ y − 2 = 0, respectiv x− y + 2 = 0.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră determinantul de ordinul n ≥ 2, Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 0 0 . . . 0 01 2 1 0 . . . 0 00 1 2 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . 1 00 0 0 0 . . . 2 12 1 0 0 . . . 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

a) Să se calculeze D3 =

∣∣∣∣∣∣

2 1 01 2 10 1 2

∣∣∣∣∣∣.

b) Să se verifice că Dn = 2Dn−1 −Dn−2, (∀) n ≥ 4.c) Să se arate că Dn = n+ 1, (∀) n ≥ 2.

2. Un grup (G, ·), cu elementul neutru e, are proprietatea (p) dacă x2 = e, (∀) x ∈ G.a) Să se verifice că mult,imea Z2 × Z2, împreună cu legea de compozit,ie dată de

(a, b) · (c, d) = (a+ c, b+ d), (∀) a, b, c, d ∈ Z2

este un grup care are proprietatea (p).b) Să se arate că dacă un grup G are proprietatea (p), atunci (xy)2 = x2y2, (∀) x, y ∈ G.c) Să se arate că orice grup care are proprietatea (p) este comutativ.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = x− ln(1 + x).a) Să se calculeze f ′(x), x ∈ (0,+∞).b) Să se arate că f(x) > 0, (∀) x ∈ (0,+∞).c) Să se calculeze lim

x→+∞f(x).

2. Se consideră funct, ia F : R → R, F (x) =

∫ 2

1

tx dt.

a) Să se verifice că 1 + (x+ 1)F (x) = 2x+1, (∀) x ∈ R.b) Să se calculeze lim

x→−1F (x).

c) Să se arate că există o funct, ie continuă f : (−1,+∞) → R, astfel încât F (x) = 1+

∫ x

0

f(y) dy,

(∀) x ∈ (−1,+∞).


VARIANTA 072

SUBIECTUL I.

1. Să se arate că numărul(cos

π

4+ i sin

π

4

)2008este real.

2. Se consideră funct, ia f : R∗ → R, f(x) = x3 − 1

x. Să se arate că funct, ia f este impară.

3. Să se determine mult,imea A, s,tiind că relat,ia f : [1; 4] → A, f(x) = x2 − x defines,te o funct, iesurjectivă.

4. Să se calculeze C02008 · 52008 − C1

2008 · 52007 · 4 + C22008 · 52006 · 42 − · · ·+C2008

2008 · 42008.5. Se consideră punctul A(1; 2) s,i dreapta de ecuat,ie d : 4x− 2y + 5 = 0. Să se determine ecuat,ia

perpendicularei duse din punctul A pe dreapta d.6. Să se calculeze sin 75◦ · cos 15◦.

SUBIECTUL II.


1 1 11 1 11 1 1

∈ M3(R).

a) Să se rezolve ecuat,ia det(I3 + xA2) = 0, x ∈ R.b) Să se determine o matrice B cu proprietatea B2 = A.c) Să se arate că (∀) C ∈ M3(R), (∀) x ∈ R, det(C + xA) · det(C − xA) ≤ (det(C) )2.

2. Se consideră polinomul p = X3 −X +m cu m ∈ R s, i cu rădăcinile x1, x2, x3 ∈ C.a) S, tiind că m = −6, să se determine x1, x2, x3.b) Să se calculeze x4

1 + x42 + x4

3.c) Să se determine m ∈ R pentru care polinomul p are toate rădăcinile întregi.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R \ {−1} → R, f(x) =x2 + x+ 1

x+ 1.

a) Să se determine ecuat,ia asimptotei spre +∞ la graficul funct,iei f .b) Să se calculeze f ′(x), x ∈ R \ {−1}.c) Să se demonstreze că funct, ia f este concavă pe intervalul (−∞,−1).

2. Pentru orice n ∈ N∗ se consideră funct,ia fn : R → R, fn(x) = | sinnx| s,i numărul

In =

∫ 2π

π

fn(x)

xdx.


0

f2(x) dx.

b) Să se arate că In ≤ ln 2, (∀) n ∈ N∗.

c) Să se arate că In =

∫ 2nπ

nπ

| sin t|t

dt, (∀) n ∈ N∗.

VARIANTA 073 73

VARIANTA 073

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze |5− 12i| − |12 + 5i|.2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = x2 − x4. Să se calculeze (f ◦ f ◦ f ◦ f)(1).3. Să se rezolve în R ecuat,ia 2x + 4x = 20.4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mult,imii A = {0; 5; 10; . . . ; 2005}, acesta

să fie divizibil cu 25.5. Se consideră un triunghi ABC, cu lungimile laturilor AB = c, AC = b s, i un punct D astfel încât

# »

AD = b# »

AB + c# »

AC. Să se arate că semidreapta [AD este bisectoarea unghiului BAC.

6. Fie α ∈(π2, π), astfel încât cos 2α =

1

2. Să se calculeze cosα.

SUBIECTUL II.

1. Fie matricea M =

(a bc d

)∈ M2(R). Se asociază fiecărui punct A(x; y) punctul AM (x′; y′),

unde(x′

y′

)=

(a bc d

)(xy

).

a) S, tiind că a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 s,i că A(−1; 1), să se determine coordonatele punctuluiAM .

b) S, tiind că a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, să se arate că toate punctele AM se află pe dreaptay = 2x.

c) Fie A, B, C trei puncte în plan. Dacă se notează cu S s, i SM ariile triunghiurilor ABC,respectiv AMBMCM , atunci SM = S · | det(M)|.

2. Se consideră mult, imea A =

a b c

0̂ a d

0̂ 0̂ a

∣∣∣∣∣∣a, b, c, d ∈ Z2

.

a) Să se determine numărul elementelor mult, imii A.b) Să se arate că A este parte stabilă în raport cu înmult,irea matricelor din M2(Z2).c) Să se rezolve ecuat,ia X2 = X , cu X ∈ A.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = arctanx s, i g : R → R, g(x) =x

1 + x2.


[ f(x)g(x) ].

b) Să se scrie ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei h : R → R, h(x) = g(x) − f(x) în punctul(1;h(1) ).

c) Să se arate că f(x) > g(x), (∀) x ∈ (0,+∞).2. Se consideră funct,ia f0 : R → R, f0(x) = 1 s, i, pentru orice n ∈ N∗, se defines,te funct, ia

fn : R → R, fn(x) =∫ x

0

fn−1(t) dt.

a) Să se arate că f21 (x) = 2f2(x), (∀) x ∈ R.

b) Să se calculeze limx→+∞

xfn(x) + 1

fn+1(x) + 2.

c) Să se calculeze volumul corpului obt,inut prin rotirea graficului funct, iei g : [0;π] → [0;π],g(x) = f1(x) sin x în jurul axei Ox.


VARIANTA 074

SUBIECTUL I.

1. Să se rezolve în C ecuat,ia z2 + 3z + 4 = 0.2. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = x − 2m+ 2. Să se determine m ∈ R astfel încât

graficul funct,iei f să nu intersecteze axa Ox.3. Să se rezolve în R ecuat,ia

√2− x− 3

√x− 2 = 0.

4. Să se arate că Caa+b = Cb

a+b, (∀) a, b ∈ N∗.5. Să se determine m ∈ R astfel încât punctele A(3; 3), B(2; 4) s, i C(2m; 1−m) să fie coliniare.

6. Fie α ∈(π2, π), astfel încât cos 2α = −1

2. Să se calculeze sinα.

SUBIECTUL II.


0 1 −1−1 0 21 −2 0

.

a) Să se calculeze det(A).b) Să se verifice relat,ia A(A2 + 6I3) = O3.c) Să se arate că det(I3 + xA2) ≥ 0, (∀) x ∈ R.

2. Se consideră a, b ∈ Z s,i polinomul p = X3 + aX2 +X + b, cu rădăcinile x1, x2, x3 ∈ C.a) S, tiind că a = b = 1, să se afle rădăcinile polinomului p.b) Să se afle a s, i b, s,tiind că polinomul p are rădăcina dublă 1.c) S, tiind că b = 1 s, i că p are o rădăcină rat,ională, să se determine valorile lui a.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (−2; 2) → R, f(x) = ln2 + x

2− x.

a) Să se determine ecuat,iile asimptotelor la graficul funct, iei f .b) Să se studieze monotonia funct, iei f .


xf

(1

x

).

2. Fie funct, ia f : R → R, f(t) =∫ 2

1

(t

x− ex

)2

dx s,i numerele A =

∫ 2

1

1

x2dx, B =

∫ 2

1

ex

xdx.

a) Să se arate că f(t) = At2 − 2Bt+e4 − e2

2, (∀) t ∈ R.

b) Să se arate că f(2B − t) = f(2B + t), (∀) t ∈ R.

c) Să se demonstreze că(∫ 2

1

ex

xdx

)2

≤(∫ 2

1

e2x dx

)·(∫ 2

1

1

x2dx

).

VARIANTA 075 75

VARIANTA 075

SUBIECTUL I.

1. Să se determine x, y ∈ R s,tiind că x(1 + 2i) + y(2− i) = 4 + 3i.2. Să se determine m ∈ R astfel încât punctul A(m− 1;m2 − 3m) să se afle în cadranul II.3. Să se rezolve în R ecuat,ia log3

(log4(x

2 − 17))= 1.

4. Se consideră dezvoltarea(2√x+

3

x

)6

, x > 0. Să se determine termenul independent de x.

5. Fie, în sistemul de coordonate xOy, punctele A(4;−2), B(2; 4) s, i C(m;n). Să se determine m,n ∈ R astfel încât punctul C să fie centrul cercului circumscris triunghiului AOB.

6. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A cu AB = 5 s, i BC = 13. Să se calculeze lungimeasegmentului (BM), unde M este mijlocul segmentului (AC).

SUBIECTUL II.


2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

, B =

1 1 11 1 11 1 1

s, i Mx =

x

3A+

1

3x2B, x ∈ R∗.

a) Să se calculeze produsul AB.b) Să se arate că MxMy = Mxy, (∀) x, y ∈ R∗.c) Să se arate că, pentru orice x real nenul, det(Mx) 6= 0.

2. Se consideră polinomul p = X4 − aX3 − aX + 1, cu a ∈ R s, i cu rădăcinile x1, x2, x3, x4 ∈ C.

a) Să se verifice că x1 + x2 + x3 + x4 =1

x1+

1

x2+

1

x3+

1

x4.

b) Să se arate că polinomul p nu este divizibil cu X2 − 1 pentru nicio valoare a lui a.

c) Să se arate că dacă a =1

2, atunci toate rădăcinile polinomului p au modulul 1.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră α ∈ R, α > 1 s, i funct,ia f : (−1,+∞) → R, f(x) = (1 + x)α − αx.a) Să se studieze monotonia funct, iei f .b) Să se demonstreze că (1 + x)α > 1 + αx, (∀) x ∈ (−1,+∞) \ {0}, (∀) α ∈ (1,+∞).c) Să se demonstreze că 2f(x+ y) ≤ f(2x) + f(2y), (∀) x, y ∈ [0,+∞).

2. Fie funct, ia f : (−1,+∞) → R, f(x) =x

1 + x.


0

f(x) dx.


1

f2(x)⌊x⌋ dx, unde ⌊x⌋ reprezintă partea întreagă a numărului real x.

c) Să se arate că s, irul (an)n≥1, dat de an = f(1)+f(2)+f(3)+· · ·+∫ n

0

f(x) dx, este convergent.


VARIANTA 076

SUBIECTUL I.

1. Să se verifice dacă numărul√3− 2

√2 apart,ine mult,imii {a+ b

√2 | a, b ∈ Z}.

2. Se consideră ecuat,ia x2 − 3x+ 1 = 0, cu rădăcinile x1 s, i x2. Să se arate că x21 + x2

2 ∈ N.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia arctan√3 + arctanx =

π

2.

4. Să se arate că oricare ar fi n natural, n ≥ 1, are loc egalitatea Cn2n = 2 · Cn

2n−1.5. Se consideră vectorii #»u = #»ı − #» s,i #»v = 2 #»ı + 4 #» . Să se calculeze modulul vectorului #»u + #»v .

6. Fie α ∈(π2, π), astfel încât sinα =

3


α

2.

SUBIECTUL II.


1 + a2 ab acba 1 + b2 bcca cb 1 + c2

, cu a, b, c ∈ R s,i A∗ adjuncta sa.

a) Să se calculeze determinantul matricei A.b) Să se verifice că det(A∗) = (det(A) )2.c) Să se arate că matricea A− I3 are rangul cel mult 1.

2. Fie (G, ·) un grup. Pentru fiecare element a ∈ G se defines,te funct,ia fa : G → G, fa(x) = ax,(∀) x ∈ G.a) Să se arate că fa este bijectivă, pentru orice a ∈ G.b) Să se arate că fa ◦ fb = fab, (∀) a, b ∈ G.c) Fie F (G) = {fa : G → G | a ∈ G}. Să se arate că F (G) împreună cu operat,ia de compunere

a funct,iilor formează un grup.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =√x2 + x+ 1−

√x2 − x+ 1.

a) Să se arate că graficul funct, iei f admite asimptotă orizontală spre +∞.b) Să se studieze monotonia funct, iei f .


(f(1) + f(2) + · · ·+ f(n)

n

)n

.


∫ 1

0

xn√1− x2 dx.

a) Să se calculeze I1.b) Să se arate că (n+ 2)In = (n− 1)In−2, (∀) n ∈ N, n ≥ 3.c) Să se calculeze lim

n→+∞In.

VARIANTA 077 77

VARIANTA 077

SUBIECTUL I.

1. Se consideră progresia aritmetică de rat,ie 2 cu a3 + a4 = 8. Să se determine a1.2. Fie f : R → R, f(x) = 1 + x. Să se calculeze f(−1) + f(−2) + f(−3) + · · ·+ f(−10).3. Să se rezolve în R ecuat,ia 4x − 2x = 56.4. Să se calculeze A3

4 −A23 − C2

4.5. Fie ABC un triunghi s, i G centrul său de greutate. Se consideră punctul M definit prin

# »

MB = −2# »

MC. Să se arate că dreptele GM s, i AC sunt paralele.

6. Fie α ∈(0,

π

2

), astfel încât sinα =

3

4. Să se calculeze tanα.

SUBIECTUL II.


x− y −mz = 1

mx+ y +mz = 1−m

mx+ 3y + 3z = −1

, m ∈ R.

a) Să se calculeze determinatul matricei sistemului.b) Să se arate că, pentru orice m ∈ R, matricea sistemului are rangul cel put,in egal cu 2.c) Să se determine m ∈ R pentru care sistemul este incompatibil.

2. Se consideră α > 0 un număr real s, i mult, imea Gα = (α,+∞). Pe R se defines,te legea decompozit,ie (x, y) → x ⋆ y = 3xy − 6(x+ y) + 7α, (∀) x, y ∈ R.a) Să se arate că pentru α = 2, cuplul (G2, ⋆) este grup abelian.b) Să se arate că grupurile (G2, ⋆) s, i (R∗

+, ·) sunt izomorfe, prin funct, ia f : G2 → R∗+,

f(x) = 3x− 6.c) Să se arate că, pentru orice α ≥ 2, mult,imea Gα este parte stabilă a lui R în raport cu

operat,ia „⋆”.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră o funct, ie f : R → R, astfel încât xf(x) = ex − 1, (∀) x ∈ R.a) Să se determine ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei f în punctul de abscisă x = 1.b) Să se arate că funct,ia f este continuă în x = 0 dacă s, i numai dacă f(0) = 1.c) Să se arate că dacă funct, ia f este continuă în x = 0, atunci ea este derivabilă pe R.

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) =1

3 + cosx.

a) Să se determine o primitivă a restrict,iei funct,iei f la intervalul [0;π).b) Să se demonstreze că orice primitivă a funct, iei f este strict crescătoare.


1

x2

∫ x

0

f(t) dt.


VARIANTA 078

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze 10lg 7 − 3√343.

2. Să se rezolve în R inecuat,ia 2x2 − 3x+ 1 ≤ 0.3. Să se arate că funct, ia f : R → R, f(x) = log3 2

x − x este injectivă.4. Să se calculeze numărul diagonalelor unui poligon convex cu 8 laturi.5. Fie ABCD un paralelogram s, i P un punct astfel ca

# »

BP = 2# »

PD. Să se arate că# »

BP =2

3

(# »

BA+# »

BC).

6. Fie a, b ∈(−π

2,π

2

), astfel încât a+ b =

π

4. Să se arate că tana tan b+ tan a+ tan b = 1.

SUBIECTUL II.


2x− 3y + 4z − 5t = −1

x+ 9y + mz + t = 3

5x− 6y + 10z + nt = p

, m, n, p ∈ R.

a) Să se determine p astfel încât sistemul să admită o solut,ie (x0, y0, z0, t0) cu z0 = t0 = 0.b) Să se arate că, pentru orice m, n ∈ R, rangul matricei sistemului este mai mare sau egal cu

2.c) Să se determine m, n, p ∈ R pentru care sistemul este compatibil, iar matricea sistemului

are rangul 2.

2. Fie mult,imea Q0 ={m

n

∣∣∣ m, n ∈ Z, m s, i n sunt impare}

s, i G = Q0×Z. Pe G se defines,te legea

de compozit,ie (q1, k1) ⋆ (q2, k2) = (q1q2, k1 + k2), (∀) q1, q2 ∈ Q0, (∀) k1, k2 ∈ Z.a) Să se arate că (G, ⋆) este grup abelian.b) Să se calculeze (1, 1) ⋆ (1, 2) ⋆ . . . ⋆ (1, 2008).c) Să se arate că funct, ia f : G → Q∗, f( (q, k) ) = q2k este un izomorfism între grupurile (G, ⋆)

s,i (Q∗, ·).SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 3√x3 − 3x+ 2.

a) Să se arate că graficul funct, iei f admite asimptotă spre +∞.b) Să se determine punctele de extrem local ale funct,iei f .c) Să se calculeze lim

x→+∞x(2 arctan f(x)− π).


∫ 2

1

[(x− 1)(2− x)]n dx.

a) Să se calculeze I1.b) Să se arate că 2(2n+ 1)In = nIn−1, (∀) n ∈ N, n ≥ 2.c) Să se calculeze lim

n→+∞In.

VARIANTA 079 79

VARIANTA 079

SUBIECTUL I.

1. Să se arate că (−∞,√2 ) ∩ (log2 3,+∞) = ∅.

2. Se consideră funct,ia f : R → R, f(x) = x2 − 4x + 3. Să se determine abscisele punctelor deintersect,ie a graficului funct, iei f cu axa Ox.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia√x+

√1− x = 1.

4. Să se determine suma termenilor rat,ionali ai dezvoltării (1 +√2 )5.

5. Fie punctele A(1; 2), B(−1; 3) s, i C(0; 4). Să se calculeze lungimea înălt,imii duse din vârful A altriunghiului ABC.

6. Fie x ∈ R, astfel încât tan2 x = 6. Să se calculeze cos2 x.

SUBIECTUL II.


x+ my + 2z = 1

x+ (2m− 1)y + 3z = 1

x+ my + (m− 3)z = 2m− 1

, m ∈ R.

a) Să se determine m ∈ R pentru care sistemul are solut,ie unică.b) Să se determine m ∈ R pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.c) Pentru m = 1 să se determine solut,iile reale (x0, y0, z0) ale sistemului pentru care

2x20 − y20 + 3z20 = 14.

2. Pe mult, imea G = [0; 1) se defines,te legea de compozit,ie x ⋆ y = {x + y}, unde {a} este parteafract,ionară a numărului real a.


3⋆3

4.

b) Să se arate că (G, ⋆) este grup abelian.

c) Să se rezolve ecuat,ia x ⋆ x ⋆ x =1

2, x ∈ G.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = e3x + 2x+ 1.a) Să se scrie ecuat,ia tangentei la graficul funct,iei f în punctul de abscisă x = 0.b) Să se arate că funct,ia f este inversabilă.c) Să se calculeze lim

n→+∞

(f(−1) + f(−2) + f(−3) + · · ·+ f(−n) + n2

).

2. Se consideră s, irul (an)n≥0 definit prin a0 = 1 s,i an+1 =

∫ an

0

sinπxdx.

a) Să se calculeze a1.b) Să se arate că s,irul (an)n≥0 este convergent.c) Să se calculeze lim

n→+∞an.


VARIANTA 080

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze (1− i)(1 − i2)(1− i3) . . . (1− i2008).2. Se consideră funct, iile f : R → R, f(x) = 1−x s,i g : R → R, g(x) = 2x−1. Să se arate că funct,ia

f ◦ g este descrescătoare.3. Să se rezolve în R inecuat,ia

3√2− x2 ≥ 1.

4. Să se calculeze numărul funct,iilor injective f : {1; 2; 3} → {1; 2; 3; 4; 5}.5. Se consideră dreapta d de ecuat,ie x− 2y+1 = 0. Să se determine ecuat,ia dreptei care trece prin

punctul P (4;−1) s, i este paralelă cu dreapta d.

6. Fie x ∈ R astfel încât sinx =1

2+ cosx. Să se calculeze sin 2x.

SUBIECTUL II.

1. Fie permutarea σ =

(1 2 3 4 52 3 4 5 1

)∈ S5 s,i mult,imea A = {σn | n ∈ N∗}.

a) Să se determine numărul inversiunilor lui σ.b) Să se determine numărul elementelor mult, imii A.c) Să se arate că toate elementele mult,imii A sunt permutări pare.

2. Fie f : R → R o funct, ie s, i mult,imea H = {T ∈ R | f(x+ T ) = f(x), (∀)x ∈ R}.a) Să se arate că, dacă T ∈ H , atunci −T ∈ H .b) Să se demonstreze că H este subgrup al grupului (R,+).

c) Să se determine mult,imea H pentru funct, ia f : R → R, f(x) =

{1, x ∈ Q

0, x ∈ R \Q .

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =√x2 + 1.

a) Să se studieze monotonia funct, iei f .b) Să se arate că (x2 + 1)f ′′(x) + xf ′(x) =

√x2 + 1, pentru orice x ∈ R.

c) Să se arate că graficul funct, iei f admite asimptotă spre −∞.


∫ 1

0

nxn

xn + 1dx.


b) Să se arate că In = ln 2−∫ 1

0

ln(1 + xn) dx, (∀) n ∈ N∗.


In.

VARIANTA 081 81

VARIANTA 081

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze partea întreagă a numărului log2 500.2. Se consideră ecuat,ia x2−2x+m = 0, m ∈ R, care are rădăcinile x1 s, i x2. S, tiind că |x1−x2| = 1,

să se determine m.3. Să se rezolve ecuat,ia 3

√1− x = 1 + x, unde x ∈ R.

4. Să se calculeze C016 +C2

16 +C416 + · · ·+C16

16.5. Să se determine a ∈ R s,tiind că dreptele de ecuat,ii x+ y = 1 s, i 3x− ay = 2 sunt paralele.

6. Fie a, b ∈ R, astfel încât a+ b =π

2. Să se arate că sin 2a+ sin 2b = 2 cos(a− b).

SUBIECTUL II.

1. Se consideră sistemul de ecuat,ii liniare cu coeficient,i în Z7:

2̂x+my + 3̂z = 4̂

x+ 3̂y + 2̂z = 3̂

x+ 3̂y + z = 1̂

.

a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului.b) Să se arate că pentru orice m ∈ Z7 sistemul admite solut,ia x = 6̂, y = 0̂, z = 2̂.c) Să se arate că dacă m = 6̂, atunci sistemul are cel put, in două solut,ii.

2. Se consideră a, b ∈ Q s, i polinomul f = X3 +X2 + aX + b.a) Să se determine a s, i b s,tiind că 1 + i este rădăcină a polinomului f .b) Să se determine a s, i b s,tiind că 1−

√2 este rădăcină a polinomului f .

c) Să se determine a s, i b s,tiind că polinomul f are o rădăcină triplă.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R∗ → R, f(x) = (x− 1)e−1x .

a) Să se scrie ecuat,ia tangentei la graficul funct,iei f în punctul de abscisă x = 1.b) Să se arate că funct,ia f admite două puncte de extrem.c) Să se determine ecuat,ia asimptotei la graficul funct,iei f spre +∞.

2. Pentru fiecare n ∈ N∗ se consideră funct, ia fn : [0,+∞) → R, fn(x) =∫ x

0

tn√t2 + 1dt.

a) Să se calculeze f1(1).b) Să se arate că funct,ia fn este strict crescătoare pentru orice n ∈ N∗.


fn(x)

xn+2.


VARIANTA 082

SUBIECTUL I.

1. Să se verifice că numărul 1 + i este rădăcină a ecuat,iei z4 + 4 = 0.2. Se consideră funct,ia f : R → R, f(x) = x2 − 4x + 9. Să se arate că vârful parabolei asociate

funct, iei f se află pe dreapta de ecuat,ie x+ y = 7.3. Să se justifice de ce, dacă f : {1; 2; 3} → {4; 5; 6} este o funct, ie injectivă, atunci

f(1) + f(2) + f(3) = 15.4. Fie M mult,imea numerelor naturale de două cifre. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un

număr din mult,imea M , acesta să aibă ambele cifre impare.5. Se consideră punctele A(1; 0), B(2; 3) s, i C(−1; 4). Să se calculeze

# »

AB · # »

AC.

6. Fie a ∈ R, astfel încât sin a =1

4. Să se calculeze sin 3a.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră sistemul de ecuat,ii liniare cu coeficient,i reali

x+ ay + (b + c)z = 0

x+ by + (c+ a)z = 0

x+ cy + (a+ b)z = 0

.

a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului.b) Să se arate că, pentru orice a, b, c ∈ R, sistemul admite solut,ii nenule.c) Să se rezolve sistemul, s,tiind că a 6= b s, i că (1; 1; 1) este solut,ie a sistemului.


{(x iyiy x

) ∣∣∣∣ x, x ∈ R, x2 + y2 6= 0

}.

a) Să se demonstreze că G este parte stabilă în raport cu înmult,irea matricelor din M2(C).b) Să se arate că (G, ·) este grup abelian.

c) Să se arate că funct,ia f : (C∗, ·) → (G, ·) cu f(x + iy) =

(x iyiy x

), (∀) x, y ∈ R este

izomorfism de grupuri.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră s, irul (an)n≥0, definit prin a0 =√3, an+1 =

√2 + an, (∀) n ∈ N.

a) Să se arate că s, irul (an)n≥0 este strict crescător.b) Să se arate că s, irul (an)n≥0 este convergent.


n2(1− cos

π

n

).

2. Fie funct, ia f :(0,

π

2

)→ (0,+∞), f(x) =

∫ x

0

(sin t+ cos t) sin t

cos2 tdt.


).

b) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare.

c) Să se calculeze limx→0x>0

f(x)

x2.

VARIANTA 083 83

VARIANTA 083

SUBIECTUL I.

1. Să se arate că numărul 3√3 apart,ine intervalului (

√2, log2 5 ).

2. Să se afle valorile reale ale lui m s,tiind că x2 + 3x+m ≥ 0, oricare ar fi x ∈ R.

3. Să se rezolve ecuat,ia cos 2x =1

2, x ∈ R.

4. Într-o urnă sunt 49 de bile, inscript,ionate cu numerele de la 1 la 49. Să se calculeze probabilitateaca, extrăgând o bilă din urnă, aceasta să aibă scris pe ea un pătrat perfect.

5. Se consideră vectorii #»u = 2 #»ı − 3 #» s, i #»v = m #»ı + 4 #» , m ∈ R. Să se determine m s,tiind căvectorii sunt perpendiculari.

6. Să se calculeze produsul P = tan 1◦ · tan 2◦ · tan 3◦ · . . . · tan 89◦.SUBIECTUL II.

1. Fie sistemul de ecuat,ii liniare

x− y + z = 1

x+ (m2 −m− 1)y + (m+ 1)z = 2

2x+ (m2 −m− 2)y + 2(m+ 1)z = 3

, unde m ∈ R.

a) Să se demonstreze că sistemul are solut,ie unică dacă s, i numai dacă m ∈ R \ {0; 1}.b) Să se arate că pentru m ∈ {0; 1} sistemul este incompatibil.c) Să se arate că dacă (x0, y0, z0) ∈ R3 este solut,ie a sistemului, atunci x0 − y0 + 2008 · z0 = 1.

2. Se consideră mult, imile H = {a2 | a ∈ Z7} s, i G =

{(a −bb a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ Z7, a 6= 0̂ sau b 6= 0̂

}.

a) Să se determine elementele mult, imii H .b) Fie x, y ∈ H astfel încât x+ y = 0̂. Să se arate că x = y = 0̂.c) Să se arate că G este grup abelian în raport cu operat,ia de înmult, ire a matricelor.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R \ {1} → R, f(x) = x

√∣∣∣∣x+ 1

x− 1

∣∣∣∣.

a) Să se arate că dreapta de ecuat,ie x = 1 este asimptotă verticală la graficul funct, iei f .b) Să se arate că graficul funct, iei f admite asimptotă spre +∞.c) Să se studieze derivabilitatea funct,iei f .

2. Se consideră funct, iile fn :[0,

π

2

]→ R, fn(x) =

1

cosn x+ sinn x, n ∈ N∗.


2

0

1

f1(x)dx.

b) Să se arate că, dacă F este o primitivă a funct, iei f4, atunci F ′′(x) = ( f4(x) )2 sin 4x,

(∀) x ∈[0,

π

2

].


2

0

f4(x) sin4 xdx =

π

4.


VARIANTA 084

SUBIECTUL I.

1. Fie z ∈ C. Să se arate că dacă 2z + 3z ∈ R, atunci z ∈ R.2. Să se determine funct,ia de gradul al doilea al cărei grafic cont,ine punctele (0; 4), (1;−2) s, i (−1; 1).

3. Să se arate că funct, ia f : (0,+∞) → (1; 3), f(x) =x+ 3

x+ 1este bijectivă.

4. Să se determine numerele naturale n astfel încât C3n = C5

n.5. Se consideră punctele A, B, C, D astfel încât

# »

AB =# »

CD. Să se arate că# »

AC +# »

DB =#»

0 .6. Fie a, b ∈ R, astfel încât a− b = π. Să se arate că are loc relat,ia cos a · cos b ≤ 0.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră sistemul de ecuat,ii liniare

x+ 2y − 3z = 3

2x− y + z = m

nx+ y − 2z = 4

, unde m, n ∈ R.

a) Să se determine m s, i n pentru care sistemul admite solut,ia x0 = 2, y0 = 2, z0 = 1.b) Să se afle n ∈ R pentru care sistemul are solut,ie unică.c) Să se determine m s, i n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.


1̂ a b

0̂ 1̂ 0̂

0̂ 0̂ 1̂

∣∣∣∣∣∣a, b ∈ Z3

.

a) Să se determine numărul de elemente ale mult,imii G.b) Să se arate că G este grup în raport cu operat,ia de înmult,ire a matricelor din M3(Z3).c) Să se arate că X3 = I3, oricare ar fi x ∈ G.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R∗ → R, f(x) =ex

x.

a) Să se studieze monotonia funct, iei f .b) Să se determine asimptotele graficului funct, iei f .c) Să se calculeze lim

n→+∞n2( f(n)− f(n+ 1) ).

2. Se consideră funct, ia f : R∗ → R, f(x) =∫ x

0

e−t(t2 − 3t+ 2) dt.

a) Să se arate că f(1) > 0.b) Să se arate că funct,ia f admite două puncte de extrem.


f(x) + f(−x)

x2.

VARIANTA 085 85

VARIANTA 085

SUBIECTUL I.

1. Fie z ∈ C. Să se arate că i(z − z) ∈ R.2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = x2 + (m+ 1)x+m, unde m ∈ R. Să se determine m pentru care

parabola asociată funct, iei f este tangentă la axa Ox.3. Să se rezolve în R ecuat,ia

√x+ 1 = 5− x.

4. Cât,i termeni ai dezvoltării (1 + 2)7 sunt divizibili cu 14?5. Fie ABC un triunghi echilateral de arie

√3. Să se calculeze

# »

AB · # »

AC.

6. Fie a, b ∈ R, astfel încât a+ b =3π

2. Să se arate că sin 2a− sin 2b = 0.

SUBIECTUL II.

1. Fie A matricea coeficient,ilor sistemului

2x+ y + z = 0

3x− y +mz = 0

−x+ 2y + z = 0

, unde m ∈ R.

a) Să se calculeze det(A).b) Să se determine m ∈ R astfel încât sistemul să admită solut,ii nenule.

c) Să se arate că, dacă m = 0, atunci expresiaz20 + y20 + x2

0

z20 − y20 − x20

are aceeas,i valoare, pentru orice

solut,ie nenulă (x0, y0, z0) a sistemului.2. Se consideră a, b ∈ R s, i polinomul f = X4 − 4X3 + 6X2 + aX + b, care are rădăcinile complexe

x1, x2, x3, x4.a) Să se determine a s, i b s,tiind că f are rădăcina i.b) Să se calculeze (x1 − 1)2 + (x2 − 1)2 + (x3 − 1)2 + (x4 − 1)2.c) Să se determine valorile reale ale numerelor a s, i b s,tiind că toate rădăcinile polinomului f

sunt reale.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R∗ → R, f(x) = e1x .

a) Să se determine asimptotele la graficul funct,iei f .b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funct, iei f .


x2(e

1x+1 − e

1x

).


∫ π

4

0

tan2n t dt, n ∈ N∗.

a) Să se calculeze I1.b) Să se arate că s,irul (In)n≥1 este convergent.c) Să se calculeze lim

n→+∞In.


VARIANTA 086

SUBIECTUL I.

1. Să se arate că numărul1 + 3i

1− 3i+

1− 3i

1 + 3ieste real.

2. Numere reale a s, i b au suma 5 s, i produsul 2. Să se calculeze valoarea sumeia

b+

b

a.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia sinx = cosx.4. Câte elemente ale mult, imii A = {x | x = Ck

7 , k ∈ N, k ≤ 7} sunt divizibile cu 7?5. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 3 s, i AD = 6. Să se calculeze modulul vectorului

# »

AB +# »

AC +# »

AD.6. Să se calculeze suma cos 1◦ + cos 2◦ + cos 3◦ + · · ·+ cos 179◦.

SUBIECTUL II.


x+ ay + (a+ b)z = a+ b

x+ a2y + (a2 + b2)z = a2 + b2

x+ a3y + (a3 + b3)z = a3 + b3, unde a, b ∈ R.

a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului.b) Să se determine a, b ∈ R astfel încât sistemul să fie compatibil determinat.c) Să se arate că, pentru orice valori rele ale parametrilor a s, i b sistemul are solut,ie.

2. Se consideră polinomul f = 2̂X + 1̂ ∈ Z4[X ].a) Să se determine gradul polinomului f2.b) Să se arate că polinomul f este element inversabil al inelului (Z4[X ],+, ·).c) Să se determine toate polinoamele g ∈ Z4[X ] de gradul 1 cu proprietatea că g2 = 1̂.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R \ {−1} → R, f(x) =x3 − 1

x3 + 1.

a) Să se scrie ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei f în punctul de abscisă x = 0.b) Să se determine asimptotele graficului funct, iei f .


(3

2f(2)f(3) . . . f(n)

)n2

.


∫ π

2

0

sinn xdx.

a) Să se calculeze I2.b) Să se arate că nIn = (n− 1)In−2, (∀) n ≥ 3.


∫ π

3

0

sinn xdx.

VARIANTA 087 87

VARIANTA 087

SUBIECTUL I.

1. Fie z ∈ C o rădăcină de ordin 3 a unităt,ii, diferită de 1. Să se calculeze 1 + z + z2.2. Să se determine solut,iile întregi ale inecuat,iei x2 + x− 6 ≤ 0.3. Fie funct, ia f : (1,+∞) → (2,+∞), f(x) = x2 + 1. Să se arate că funct, ia f este bijectivă.4. Câte numere naturale de la 1 la 100 sunt divizibile cu 6 s, i cu 8?5. Se consideră vectorii #»v 1 = a #»ı + (a+ 1) #» s, i #»v 2 = 3 #»ı + 5 #» , cu a ∈ R. Să se determine valorile

lui a pentru care vectorii #»v 1 s,i #»v 2 sunt coliniari.6. Triunghiul ABC are laturile AB = 3, BC = 5 s,i AC = 7. Să se calculeze lungimea razei cercului

înscris în triunghiul ABC.

SUBIECTUL II.

1. Fie matricea A ∈ M3(R), care are toate elementele egale cu 1.a) Să se demonstreze că A2 = 3A.b) Să se calculeze det(I3 +A3).c) Să se demonstreze că dacă B ∈ M3(R) este o matrice cu proprietatea AB = BA, atunci

suma elementelor de pe fiecare linie s, i de pe fiecare coloană ale lui B este aceeas,i.2. Fie Z21 = {0̂; 1̂; . . . ; 2̂0} inelul claselor de resturi modulo 21.

a) Să se arate că suma elementelor inelului este 0̂.b) Să se calculeze 1̂ · 2̂ · . . . · 2̂0.c) Să se determine numărul elementelor neinversabile ale inelului.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (0,+∞) → R, f(x) = ax − xa, a > 0.a) Să se calculeze f ′(1).b) Să se scrie ecuat,ia tangentei la graficul funct,iei f în punctul de abscisă x = a.c) Să se arate că, dacă f(x) ≥ 0, (∀) x > 0, atunci a = e.


∫ e

1

lnn xdx.

a) Să se calculeze I1.b) Să se arate că In = e− nIn−1, (∀) n ≥ 2.c) Să se arate că s,irul (In)n≥1 este convergent.


VARIANTA 088

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze4 + 3i

3− 4i− 2 + i

1− 2i.

2. Să se determine imaginea intervalului [−2; 1] prin funct, ia f : R → R, f(x) = −2x+ 1.

3. Să se rezolve ecuat,ia arcsin1

2+ arccosx =

π

2, x ∈ [−1; 1].

4. Fie mult,imea A = {1; 2; 3; 4; 5} s, i M mult,imea funct, iilor f definite pe A s, i cu valori în A. Să secalculeze probabilitatea ca, alegând o funct, ie din mult, imea M , aceasta să fie bijectivă.

5. Fie punctele M(0; 3), N(1; 1), P (−1; 2). Să se calculeze coordonatele centrului de greutate altriunghiului MNP .

6. Fie a ∈(0,

π

2

), astfel încât sin a =

4


a

2.

SUBIECTUL II.

1. Fie matricea A ∈ M2(R). Se notează cu tX transpusa unei matrice pătratice X s, i cu Tr(X)suma elementelor de pe diagonala principală a matricei X .a) Să se demonstreze că Tr(A+ tA) = 2Tr(A).b) Să se demonstreze că dacă Tr(A · tA) = 0, atunci A = O2.c) Să se demonstreze că dacă suma elementelor matricei A·tA este egală cu 0, atunci det(A) = 0.


(1 00 1

), A =

(1 23 −1

)s, i mult, imea K = {aI2 + bA | a, b ∈ Q}.

a) Să se arate că A2 ∈ K.b) Să se arate că mult, imea K este parte stabilă în raport cu înmult, irea matricelor din M2(Q).c) Să se arate că pentru orice X ∈ K, X 6= O2 există Y ∈ K astfel încât XY = I2.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = arctanx.a) Să se scrie ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei f în punctul de abscisă x = 1.


x− f(x)

x3.

c) Să se arate că g : R → R, g(x) = (x − 1)f(x) admite exact un punct de extrem.


∫ 1

0

x2n sinxdx.

a) Să se calculeze I1.b) Să se arate că s, irul (In)n≥1 este convergent.c) Să se demonstreze că In = 2n sin 1− cos 1− 2n(2n− 1)In−1,(∀) n ≥ 2.

VARIANTA 089 89

VARIANTA 089

SUBIECTUL I.

1. Să se determine numerele complexe z care verifică relat,ia z + 3i = 6z.2. Să se rezolve în R ecuat,ia |1− 2x| = |x+ 4|.3. Să se determine imaginea funct, iei f : R → R, f(x) =

x

1 + 4x2.

4. Să se determine numărul funct,iilor strict monotone f : {1; 2; 3} → {5; 6; 7; 8}.5. Să se demonstreze că pentru orice punct M din planul paralelogramului ABCD are loc egalitatea

# »

MA+# »

MC =# »

MB +# »

MD.6. Fie a s, i b numere reale, astfel încât a+ b =

π

3. Să se arate că sin 2a− sin 2b− sin(a− b) = 0.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră sistemul de ecuat,ii liniare

x1 − x2 = a

x3 − x4 = b

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

, unde a, b ∈ R.

a) Să se arate că, pentru orice valori ale lui a s, i b, sistemul este compatibil.b) Să se determine a, b ∈ R astfel încât sistemul să admită o solut,ie (x1, x2, x3, x4) cu proprie-

tatea că x1, x2, x3, x4 s,i x1 + x2 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.c) Să se demonstreze că, dacă sistemul are o solut,ie cu toate componentele strict pozitive,

atunci a+ b < 1.2. Fie polinomul f = X3 − 3X2 + 5X + 1 ∈ R[X ] s, i x1, x2, x3 ∈ C rădăcinile sale.

a) Să se calculeze (1− x1)(1 − x2)(1 − x3).b) Să se arate că polinomul f nu are nicio rădăcină întreagă.c) Să se calculeze x2

1x2 + x21x3 + x2

2x1 + x22x3 + x2

3x1 + x23x2.

SUBIECTUL III.

1. Pentru fiecare a > 0, se consideră funct,ia fa : (0,+∞) → R, fa(x) = (x + a) ln

(1 +

1

x

).

a) Să se calculeze f ′a(x), x > 0.

b) Să se determine a astfel încât funct, ia fa să fie convexă pe tot domeniul de definit, ie.c) Să se arate că graficul funct, iei fa admite asimptotă spre +∞.


∫ π

2

0

cosn xdx.

a) Să se calculeze I2.b) Să se arate că nIn = (n− 1)In−2, (∀) n ≥ 3.c) Să se arate că s,irul (In)n≥1 este convergent.


VARIANTA 090

SUBIECTUL I.

1. Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1 cu rat,ia 3. S, tiind că suma primilor 10 termeni aiprogresiei este 150, să se afle a1.

2. Să se determine toate perechile (a, b) de numere reale pentru care a2 + b2 = a+ b = 2.3. Să se rezolve în R ecuat,ia lg x+ lg(9 − 2x) = 1.4. Fie mult,imea M = {1; 2; 3; . . . ; 100}. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din

mult, imea M , acesta să nu fie divizibil cu 7.5. Se consideră punctele A(0; 2), B(1;−1) s, i C(5; 1). Să se determine ecuat,ia dreptei duse din vârful

A, perpendiculară pe dreapta BC.

6. Să se arate că 1 + cos2π

5+ cos

4π

5+ cos

6π

5+ cos

8π

5= 0.

SUBIECTUL II.


Ax =

1 2x 5x2 − 2x0 1 5x0 0 1

∣∣∣∣∣∣x ∈ R

.

a) Să se arate că Ax este inversabilă, pentru orice x ∈ R.b) Să se demonstreze că AxAy ∈ G, (∀) x, y ∈ R.c) Să se determine inversa matricei A3.

2. Se consideră polinoamele f = X3 +X + 1̂ ∈ Z3[X ] s,i g = 2̂X + 1̂ ∈ Z3[X ].a) Să se arate că f(x) = g(x), (∀) x ∈ Z3.b) Să se determine rădăcinile polinomului f din Z3.c) Să se descompună polinomul f în factori ireductibili în Z3[X ].

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, iile fn : (0,+∞) → R, fn(x) = xn + lnx, n ∈ N∗.a) Să se determine asimptotele graficului funct, iei f1.

b) Să se demonstreze că funct, iile gn : (0,+∞) → R, gn(x) = fn(x) + fn

(1

x

)sunt convexe.

c) Admitem că ecuat,ia fn(x) = 2n are solut,ie unică xn. Să se arate că s, irul (xn)n≥1 convergela 2.

2. Fie a ∈ [0; 1] s, i In =

∫ a

0

xn

x+ 1dx, n ∈ N∗.


b) Să se demonstreze că In + In−1 =an

n, (∀) n ≥ 2.


In = 0.

VARIANTA 091 91

VARIANTA 091

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze modulul numărului complex z =(√

2− 1 + i(√2 + 1 )

)2.

2. Să se determine numerele reale x s, i y s,tiind că x+ 2y = 1 s, i x2 − 6y2 = 1.3. Să se arate că funct,ia f : R → R, f(x) = x2 + x+ 1 nu este injectivă.4. Să se calculeze C3

10 − C39.

5. Fie ABCD un paralelogram. S, tiind că vectorii# »

AB +# »

AD s, i# »

AB − # »

AD au acelas,i modul, să searate că ABCD este dreptunghi.

6. Să se calculeze tan 15◦.

SUBIECTUL II.


(1 2x 4

), unde x ∈ R.

a) Să se determine x ∈ R s,tiind că A2 = 5A.b) Pentru x = 2 să se calculeze A2008.c) Să se determine x ∈ R pentru care rang(A+ tA) = 1.

2. Fie a, b, c ∈ R s, i polinomul f = 2X4 + 2(a− 1)X3 + (a2 + 3)X2 + bX + c.a) Să se afle a, b, c, dacă a = b = c, iar restul împărt,irii lui f la X + 1 este 10.b) Dacă x1, x2, x3, x4 ∈ C sunt rădăcinile lui f , să se calculeze x2

1 + x22 + x2

3 + x24.

c) Să se determine a, b, c ∈ R s, i rădăcinile polinomului f în cazul în care f are toate rădăcinilereale.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =2x3

x2 + 1.

a) Să se arate că graficul funct, iei f admite asimptotă spre +∞.b) Să se arate că funct,ia f este inversabilă.c) Să se calculeze lim

x→+∞( f(ex) )

1x .

2. Fie funct, iile F , f : R → R, f(x) = esin2 x, F (x) =

∫ x

0

f(t) dt.

a) Să se demonstreze că funct, ia F este strict crescătoare.b) Să se arate că, pentru orice x > 0, există cx ∈ (0, x) astfel încât F (x) = xf(cx).


F (x)

x.


VARIANTA 092

SUBIECTUL I.

1. Numerele reale pozitive a, b, c, d sunt în progresie geometrică. S, tiind că d− a = 7 s, i c− b = 2,să se afle rat,ia progresiei.

2. Să se determine valorile reale nenule ale lui m s,tiind că mx2 + x− 2 ≤ 0, oricare ar fi x ∈ R.

3. Să se rezolve în intervalul (0; 5) ecuat,ia sin(2x+

π

6

)= −1

2.

4. Să se determine numărul n = C010 − C2

10 + C410 − C6

10 +C810.

5. Să se determine valorile reale ale lui a pentru care vectorii #»u = (a− 1) #»ı − (2a+ 2) #» s, i#»v = (a+ 1) #»ı − #» sunt perpendiculari.

6. Fie α ∈(π,

3π

2

)astfel încât cosα = −1

3. Să se calculeze sin 2α.

SUBIECTUL II.

1. Fie matricea A =

(1 1

−1 −1

)s,i mult,imea G = {X ∈ M2(R) | A · X · tA = O2}, unde tA este

transpusa matricei A.a) Să se arate că dacă X , Y ∈ G, atunci X + Y ∈ G.b) Să se arate că, dacă X ∈ G, atunci suma elementelor lui X este egală cu 0.c) Să se arate că dacă X ∈ G s, i det(X) = 0, atunci Xn ∈ G pentru orice n ∈ N∗.

2. Se consideră polinomul f = X4 − 6X3 + 18X2 − 30X + 25 ∈ C[X ].a) Să se arate că polinomul f se divide cu X2 − 2X + 5.b) Să se arate că polinomul f nu are nicio rădăcină reală.c) Să se arate că rădăcinile polinomului f au acelas,i modul.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : (1,+∞) → R, f(x) = ln(lnx).a) Să se determine ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei f în punctul de abscisă x = e.b) Să se demonstreze că funct, ia f este concavă.


f(x+ 1)− f(x)

f ′(x).

2. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) =cosx

1 + sin2 x.


2

0

f(x) dx.

b) Să se arate că orice primitivă a funct, iei f este strict crescătoare pe intervalul[0,

π

2

].

c) Să se calculeze∫ 2π

0

xf(x) dx.

VARIANTA 093 93

VARIANTA 093

SUBIECTUL I.

1. Fie z o rădăcină a ecuat,iei z2 + 2z + 4 = 0. Să se calculeze modulul numărului complex z.2. Să se determine funct, iile de gradul întâi f : R → R, care sunt strict crescătoare s,i îndeplinesc

condit,ia f(f(x)) = 4x+ 3, (∀) x ∈ R.3. Să se rezolve în R ecuat,ia 2x + 4

x+1

2 = 12.4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr natural de la 1 la 1000, acesta să fie cub perfect?5. Se consideră punctele A(1; 2) s,i B(3; 4). Să se calculeze distant,a de la originea axelor la dreapta

AB.6. Să se determine α ∈ (0; 2π) astfel ca tanα = sinα.

SUBIECTUL II.


(1 02 1

)∈ M2(R).

a) Să se calculeze A3.b) Să se determine (A · tA)−1.c) Să se rezolve ecuat,ia X2 = A, X ∈ M2(R).

2. Fie a, b ∈ R s,i polinomul f = X30 − 3X20 + aX10 + 3X5 + aX + b ∈ R[X ].a) Să se arate că restul împărt,irii polinomului f la X + 1 nu depinde de a.b) Să se determine a s, i b astfel încât restul împărt,irii polinomului f la X2 −X să fie X .c) Să se determine a s, i b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu (X − 1)2.

SUBIECTUL III.

1. Pentru fiecare t ∈ R se consideră funct, ia ft : R → R, ft(x) = x3 + t2x.a) Să se calculeze f ′

t(x), x ∈ R.b) Să se arate că funct,ia ft este strict crescătoare.c) Să se arate că funct,ia ft este inversabilă.


0

(t2 + 1)√|t| dt.

a) Să se calculeze f(1).b) Să se arate că f este funct, ie impară.


f(x+ 1)− f(x)

x2√x

.


VARIANTA 094

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze((1− 2i)(3i− 1)

4

)4

.

2. Să se arate că funct, ia f : (−1; 1) → R, f(x) = ln1− x

1 + xeste impară.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia 5x + 5−x = 2.4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr de trei cifre, prima sa cifră să fie număr prim?5. Fie ABC un triunghi s, i O centrul cercului circumscris lui. S, tiind că

# »

BO =# »

OC, să se arate cătriunghiul ABC este dreptunghic.

6. Fie α ∈ R, astfel încât sinα+ cosα = 1. Să se calculeze tan 2α.

SUBIECTUL II.

1. Fie matricea A =

(4 8

−2 −4

)s,i mult,imea M = {X(a) | X(a) = I2 + aA, a ∈ R}.

a) Să se arate că X(a) ·X(b) = X(a+ b), (∀) a, b ∈ R.b) Să se arate că există e ∈ R astfel încât X(a) ·X(e) = X(a), pentru orice a ∈ R.c) Să se calculeze produsul X(2) ·X(3) · . . . ·X(2008).

2. Fie f ∈ R[X ] un polinom astfel încât f(X2 + 3X + 1) = f2(X) + 3f(X) + 1 s, i f(0) = 0.a) Să se determine f(−1).b) Să se determine restul împărt,irii polinomului f la X − 5.c) Să se demonstreze că f = X .

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, iile fn : [0,+∞) → R, fn(x) = xn+1 − (n+ 2)x+ n, n ∈ N∗.a) Să se arate că graficele funct,iilor fn nu admit asimptotă spre +∞.b) Să se arate că, pentru orice n ∈ N∗, ecuat,ia f ′

n(x) = 0 are o unică solut,ie în intervalul[0,+∞).


xn, unde xn este unica solut,ie a ecuat,iei f ′n(x) = 0.


∫ 1

0

x2n

1 + x2dx.


b) Să se arate că In+2 + In =1

2n+ 1, (∀) n ≥ 1.


In.

VARIANTA 095 95

VARIANTA 095

SUBIECTUL I.

1. Fie x ∈ R∗. Să se calculeze⌊

1

x2 + 1

⌋, unde ⌊a⌋ reprezintă partea întreagă a numărului a.

2. Să se rezolve în R ecuat,ia x+1

|1 + x| = 1.

3. Fie a ∈ (0,+∞), a 6= 1. Să se studieze monotonia funct,iei f : (0,+∞) → R, f(x) = ax + loga x.4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr de trei cifre, produsul cifrelor sale să fie impar?5. Să se demonstreze că vectorii #»u = 3 #»ı +a #» s, i #»v = (a+1) #»ı +a #» nu pot fi perpendiculari pentru

nicio valoare reală a numărului a.6. Să se arate că sinx+ sin 3x+ sin 5x = (1 + 2 cos 2x) · sin 3x, oricare ar fi x ∈ R.

SUBIECTUL II.

1. Se consideră n ∈ N∗ s, i matricea An ∈ Mn(R), care are elementele de pe diagonala principalăegale cu 2 s, i restul elementelor egale cu 1.a) Să se calculeze det(2A2).b) Să se determine x ∈ R pentru care det(A3 + xI3) = 0.c) Să se arate că A4 are inversă, aceasta având elementele de pe diagonala principală egale cu

4

5s, i restul elementelor egale cu −1

5.

2. Fie a, b, c ∈ R s, i polinomul f = X3 − aX2 + bX − c ∈ R[X ] cu rădăcinile x1, x2, x3 ∈ C

a) Să se determine a, b, c pentru care x1 = 2 s, i x2 = 1 + i.b) Să se arate că resturile împărt,irii polinomul f la (X − 1)2 s, i la (X − 2)2 nu pot fi egale,

pentru nicio valoare a parametrilor a, b, c.c) Să se arate că, dacă toate rădăcinile polinomului f sunt reale s, i a, b, c sunt strict pozitive,

atunci x1, x2, x3 sunt strict pozitive.

SUBIECTUL III.

1. Fie funct, iile f : R → R, f(x) = arctanx s,i g : R → R, g(x) = f(x+1)− f(x)− f

(1

1 + x+ x2

).

a) Să se arate că graficul funct, iei f admite asimptotă spre +∞.b) Să se arate că g(x) = 0, (∀) x ∈ R.c) Să se calculeze

limn→+∞

(arctan

1

1 + 1 + 12+ arctan

1

1 + 2 + 22+ arctan

1

1 + 3 + 32+ · · ·+ arctan

1

1 + n+ n2

).


∫ 1

0

e−xxn dx.


b) Să se arate că In = nIn−1 −1

e, (∀) n ≥ 2.


In.


VARIANTA 096

SUBIECTUL I.

1. Fie a, b, c numere naturale nenule în progresie geometrică. S, tiind că a + b + c este un numărpar, să se arate că numerele a, b, c sunt pare.

2. Fie funct,ia f : R → R, f(x) = x2+3x+2. Să se arate că f(a)+f(a+1) ≥ 0, oricare ar fi a ∈ R.3. Să se rezolve în R inecuat,ia log2 x+ log4 x > 3.4. Să se determine numerele naturale n pentru care C1

n +C2n = 20.

5. Se consideră vectorii #»u = 2 #»ı − a #» s,i #»v = #»ı + #» . Să se arate că unghiul format de cei doivectori este obtuz dacă s, i numai dacă a > 2.

6. Fie ABC un triunghi cu sinA =1

2, sinB = 1 s, i BC = 4. Să se calculeze aria triunghiului ABC.

SUBIECTUL II.

1. Pentru orice matrice A =

(a bc d

)∈ M2(R) se notează Tr(A) = a+ d.

a) Să se demonstreze că A2 − Tr(A) ·A+ det(A) · I2 = O2.b) Să se demonstreze că, dacă Tr(A) = 0, atunci A2B = BA2, pentru orice matrice B ∈ M2(R).c) Să se arate că dacă Tr(A) 6= 0, B ∈ M2(R) s, i A2B = BA2, atunci AB = BA.

2. Fie a, b ∈ R s, i polinomul f = X4 − 6X3 + 13X2 + aX + b ∈ R[X ].a) Să se calculeze suma pătratelor celor 4 rădăcini complexe ale polinomului f .b) Să se determine a, b ∈ R astfel încât polinomul f să fie divizibil cu (X − 1)(X − 3).c) Să se determine a, b ∈ R astfel încât polinomul f să aibă două rădăcini duble.

SUBIECTUL III.

1. Fie mult,imea A = R \ {1; 2; 3; . . . ; 2008} s,i funct, ia f : A → R,

f(x) =1

x− 1+

1

x− 2+

1

x− 3+ · · ·+ 1

x− 2008.

a) Să se determine asimptotele graficului funct, iei f .b) S, tiind că a ∈ R, să se determine numărul solut,iilor reale ale ecuat,iei f(x) = a.c) Să se determine numărul punctelor de inflexiune ale graficului funct, iei f .


0

e−t2 dt.

a) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare.b) Să se arate că funct,ia f este concavă pe intervalul [0,+∞).c) Să se arate că s, irul ( f(n) )n≥1 este convergent.

VARIANTA 097 97

VARIANTA 097

SUBIECTUL I.

1. Să se ordoneze crescător numerele 3!, 3√100, log2 32.

2. Să se arate că x2 + 3xy + 4y2 ≥ 0, oricare ar fi x, y ∈ R.3. Să se rezolve în mult,imea numerelor reale ecuat,ia sin 2x = cosx.4. Să se calculeze A3

5 − 4C26.

5. În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele A, B, C astfel încât A(1; 3), B(2; 5) s, i# »

AC = 2# »

AB. Să se determine coordonatele punctului C.

6. Fie ABC un triunghi care are BC = 8 s, i cosA =3

5. Să se calculeze lungimea razei cercului

circumscris triunghiului ABC.

SUBIECTUL II.


0 0 10 1 01 0 0

∈ M3(R).

a) Să se calculeze det(A).b) Să se determine A−1.c) Să se arate că (I3 +A)n = 2n−1(I3 +A), (∀) n ∈ N∗.

2. Pentru fiecare n ∈ N∗ considerăm polinomul fn = X3n + 2X2 − 4X − 1 ∈ C[X ].a) Să se arate că f1 nu este divizibil cu polinomul g = X − 2.b) Să se determine suma coeficient,ilor câtului împărt,irii polinomului f3 la X − 1.c) Să se arate că restul împărt,irii polinomului fn la polinomul h = X2 +X + 1 nu depinde de

n.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = arctanx.a) Să se arate că funct,ia f este concavă pe intervalul [0,+∞).b) Să se calculeze lim

x→+∞x2( f(x+ 1)− f(x) ).

c) Să se rezolve inecuat,ia f(x) < x− x3

3, x ∈ R.

2. Fie funct, ia f : R → R, f(x) =1

(1 + x2)2.


0

x(1 + x2)f(x) dx.

b) Să se arate că funct,ia F : R → R, F (x) =

∫ x

0

t4f(t) dt este strict crescătoare.

c) Să se arate că, pentru orice a ∈ R, are loc relat,ia∫ a

1

f(x) dx <1

4.


VARIANTA 098

SUBIECTUL I.

1. Fie z ∈ C astfel încât z + 2z = 3 + i. Să se calculeze modulul numărului z.2. Să se dea un exemplu de ecuat,ie de gradul al doilea cu coeficient,i reali care are o solut,ie egală

cu√3.

3. Să se rezolve în R ecuat,ia logx 2 + log√x 2 = 9.4. Fie mult, imea A = {1; 2; 3; 4; 5}. Să se determine numărul submult, imilor cu trei elemente ale

mult, imii A care cont,in cel put, in un număr par.5. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Să se determine a, b ∈ R astfel încât să aibă loc

egalitatea a# »

GA+ b# »

GB =# »

GC.

6. S, tiind că a ∈(π2, π)

s, i sin a =3

5, să se calculeze tan a.

SUBIECTUL II.

1. Fie sistemul de ecuat,ii liniare

mx+ y − z = 1

x+ y − z = 2

−x+ y + z = 0

, unde m ∈ R.

a) Să se determine m ∈ R astfel încât matricea sistemului să aibă rangul 2.b) Să se determine m ∈ R astfel încât sistemul să aibă solut,ii (x0, y0, z0) ∈ R3 care verifică

relat,ia x0 + y0 + z0 = 4.c) Să se determine m ∈ Z astfel încât sistemul să aibă o solut,ie unică (x0, y0, z0) ∈ Z3.

2. Fie p ∈ R s, i polinomul f = X4 − 4X + p ∈ R[X ].a) Să se determine p astfel încât polinomul f să fie divizibil cu X + 1.b) Să se determine p astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină reală dublă.c) Să se arate că, pentru orice p ∈ R, polinomul f nu are toate rădăcinile reale.

SUBIECTUL III.

1. Pentru fiecare n ∈ N, n ≥ 2 se defines,te funct, ia fn : [0,+∞) → R, fn(x) = xn + nx− 1.a) Să se arate că, pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, funct,ia fn este convexă.b) Să se arate că, pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, ecuat,ia fn(x) = 0 are solut,ie unică.c) Să se calculeze lim

n→+∞xn, unde xn este unica solut,ie a ecuat,iei fn(x) = 0.

2. Fie funct, iile f , g : R → R, f(x) =ex

1 + ex, g(x) =

∫ x

−x

f(t) cos t dt.


0

f(x) dx.

b) Să se calculeze g′(x), x ∈ R.

c) Să se calculeze g(π2

).

VARIANTA 099 99

VARIANTA 099

SUBIECTUL I.

1. Să se calculeze partea întreagă a numărului1√

3−√2.

2. Fie f o funct, ie de gradul întâi. Să se arate că funct, ia f ◦ f este strict crescătoare.3. Să se rezolve în R ecuat,ia 2x+

√16 + x2 = 11.

4. Câte funct,ii f : {1; 2; 3; . . . ; 10} → {0; 1} au proprietatea că f(1)+ f(2)+ f(3)+ · · ·+ f(10) = 2?5. Se consideră punctele M(1; 2), N(2; 5) s,i P (3;m), m ∈ R. Să se determine valorile reale ale lui

m astfel încât# »

MN · # »

MP = 5.6. Să se determine cel mai mare element al mult, imii {cos 1; cos 2; cos 3}.

SUBIECTUL II.

1. Fie matricele A =

(a bc d

)∈ M2(R), B =

(1 11 1

)∈ M2(R) s, i funct, ia f : R → R,

f(x) = det(A · tA+ xB).a) Să se calculeze A · tA.b) Să se arate că f(0) ≥ 0.c) Să se arate că există m, n ∈ R astfel încât f(x) = mx+ n, pentru oricare x ∈ R.

2. Se consideră mult, imea de numere complexe G = {cos qx+ i sin qx | q ∈ Q}.

a) Să se arate că1

2+ i

√3

2∈ G.

b) Să se arate că G este parte stabilă a lui C în raport cu înmult,irea numerelor complexe.c) Să se arate că polinomul f = X6 − 1 ∈ C[X ] are toate rădăcinile în G.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = 3√x3 + 3x2 + 2x+ 1− 3

√x3 − x+ 1.

a) Să se scrie ecuat,ia tangentei la graficul funct,iei f în punctul de abscisă x = 0.b) Să se arate că graficul funct, iei admite asimptotă spre +∞.


(f(1) + f(2) + · · ·+ f(n)

n

)n

.

2. Se consideră funct, iile fn : (0,+∞) → R, fn(x) =∫ x

1e

tn ln t dt, n ∈ N∗.

a) Să se calculeze f1(e).b) Să se arate că funct,iile fn sunt descrescătoare pe intervalul (0; 1).c) Să se calculeze lim

n→+∞fn(1).


VARIANTA 100

SUBIECTUL I.

1. Să se arate că√6 + 4

√2 ∈ {a+ b

√2 | a, b ∈ Z}.

2. Să se rezolve în R ecuat,ia |1 + x| = 1− x.3. Să se determine x ∈ R pentru care 6

√x2 − 2x+ 1 = 3

√3− x.

4. Să se arate că 7 divide Ck7 , oricare ar fi k ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

5. Fie ABC un triunghi s, i G centrul său de greutate. S, tiind că A(1; 1), B(5; 2) s,i G(3; 4), să secalculeze coordonatele punctului C.

6. Fie a ∈ R cu tan a =2

5. Să se calculeze | sin a|.

SUBIECTUL II.

1. Fie matricea A =

(3 −26 −4

).

a) Să se demonstreze că (I2 +A)2 = I2 +A.b) Să se demonstreze că mult,imea {An | n ∈ N∗} este finită.c) Să se calculeze det(2008I2 −A+A2 − A3 + · · ·+A2008).

2. Fie n ∈ N, n ≥ 3, a0, a1, . . . , an ∈ Z s, i polinomul f = anXn + an−1X

n−1 + · · ·+ a1X + a0.a) Să se arate că f(1) + f(−1) este număr par.b) Să se arate că, dacă f(2) s,i f(3) sunt numere impare, atunci polinomul f nu are nicio

rădăcină întreagă.c) Să se arate că polinomul g = X3 −X + 3a+ 1, a ∈ Z, nu poate fi descompus în produs de

două polinoame neconstante, cu coeficient,i întregi.

SUBIECTUL III.

1. Se consideră funct, ia f : R → R, f(x) = ex + x3 − x2 + x.a) Să se arate că funct,ia f este strict crescătoare.b) Să se arate că funct,ia f este inversabilă.


f−1(x)

lnx.


∫ 1

0

xn

x2 + 3x+ 2dx.


b) Să se arate că In+2 + 3In+1 + 2In =1

n+ 1, (∀) n ∈ N∗.


nIn.

variante pentru bacalaureat, mt1, 2008 · pdf file2 variante pentru bacalaureat, mt1, 2008...

Documents