Capitolul 22.1.Spaii metriceDefiniie. Fie X omulimenevid. Funcia : d X X+ R senumetedistansaumetricpe X dac verific proprietiile:1.( , ) 0 dxy , egalitatea avnd loc dac i numai dacx y ;2.( , ) ( , ) , ( ) , dxy dyx xy X ;3.( , ) ( , ) ( , ) , ( ) , , ; dxy dxz dzy xyz X + Perechea ) , ( d X , format dinmulimea X i distana d senumetespaiumetric. Axioma 2(axioma simetriei) arat simetria distanei ntre punctele spauluiX , iar axioma 3 se mai numete, pentru motive lesne de neles, axioma triunghiului.Dac 1 2, ,...,nx x x X , atunci aplicnd axioma 3 obinem1 1 2 2 3 1( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )n n ndx x dx x dx x dx x + + + . (2.1.1)Vom da cteva exemple de spatii metrice uzuale.Exemplul1. Mulimea R anumerelorrealedevinespaiumetricdacdefinimdistanaeuclidian(nmod natural) prin relaia( , ) , ( ) , dxy x y xy R. (2.1.2)Exemplul 2. Pe mulimeaRa numerelor reale putem introduce urmtoarea distan, notat cu ,( , ) , ( ) ,1x yxy xyx y + R. (2.1.3)Exemplul 3. Dac( , ) Xdeste un spaiu metric atunci aplicaiile urmtoare 1( , )( , )1 ( , )dxyd xydxy+ i 2( , ) min{1, ( , )}, ( ) , d xy dxy xy X , (2.1.4)sunt distane peX .Indicaie. Oricare ar fi, , 0 a b c >ia b c < +atunci1 1 1a b ca b c< ++ + +. ntr-adevr, din(1 ) ( ) ( )) (1 )( ) a b c a a b c b c a b c a b c + + + + < + + + + + , deducem1 1 1 1a b c b ca b c b c+< < ++ + + + +.Cu ajutorul acestei inegaliti se arat uor c 1dverific axioma triunghiului.Exemplul 4. Orice mulimeXnzestrat cu distana {0,( , )1, .x ydxyx y poate fi organizat ca spaiu metric (!).Exemplul 5.Spaiul euclidianreal n-dimensionalnR. nnR,spaiunumericrealcundimensiuni, fie ,nxy R cu 1 2( , ,..., )nx x x x i 1 2( , ,..., )ny y y y ,, ,i ix yR 1, 2,..., i n . Definim distana122 2 2 21 1 2 21( , ) ( , ) ( ) ( ) ... ( ) ( )nn n i iixy dxy x y x y x y x y _ + + + ,a. (2.1.5)Primele dou axiome din definiia distanei se verific uor.Pentru a verifica axioma triunghiului, vom folosi inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski1:1 V. Ya. Buniakovski, (1804-1889), distins matematician rus. A dedus inegalitatea care i poart numele n 1859.1122 21 1 1( )n n nk k k kk k kab a b _ , , oricare ar fi , , 1,k ka b k n R.Avem,( )2 2 2 21 1 1122 2 2 21 1 1 1 1 1 122 2 21 1( , ) ( ) [( ) ( ) ( )2 2( , ) ( , ) ,n n nk k k k k k k kk k kn n n n n n nk k k k k k k kk k k k k k kn nk kk kd xz z x z y y x a ba ab b a a b ba b dxy dyz + + _ + + + + , _ + + , .unde s-a notat cu k k ka y x i k k kb z y . Spaiul nR astfel metrizat se numete spaiu euclidian real cu n dimensiuni.Exemplul 6. n acelai spaiu numeric nR definim distanele:1,( , ) ( , ) maxk kk nxy d xy x y a i 11( , ) ( , )nk kkxy d xy x y a (2.1.6)Definiie.Fie) , ( d Xun spaiu metric. O submulimeX A se numete mrginit, dac exist un element X x 0 i0 r >astfel nct0( , ) , ( ) dxx r x A . (2.1.7)Alegerea elementuluiX x 0 este oarecare. ntr-adevr fie 1 0x x , 1xun element oarecare dar fixat, atunci1 1 0 0 1 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( ) dx x dx x dx x dx x r x A + + .Numrul 1 0( , ) dx x r +fiind pozitiv rezult c alegerea lui 0x X poate fi oarecare.Fie( , ) Xdun spaiu metric. O funcieX A f :este mrginit dac mulimea imagine) ( A feste mulime marginit n spaiul metricX( adic este submulime a unei sfere dinX ).n spaiul metric( , ) Xd , mulimile( ; ) { / ( , ) } B a r x X dax r Na..( , ) , ( ) ( )ndx x n n < > .Facem precizarea, dac mai este nevoie, c limita unui ir convergent din spaiul metric( , ) Xdeste un element tot dinX .Teorema 1. Fie( , ) Xdspaiu metric. Dacirul( )nnx XN este convergent atunci limita sa este unic.Demonstraie. Presupunemcexist , , xy X x y inx x inx y . Fie 0 > oarecare, exist 1 2( ), ( ) n n a..1( , ) , ( ) ( )2ndx x n n < > i2( , ) , ( ) ( )2ndx y n n < > . Atunci pentru 1 2( ) max { ( ), ( )} n n n i pentruorice ( ) n n avem( , ) ( , ) ( , )n ndxy dxx dx y + < . Cum , xysunt fixai i0 >oarecare, rezult c( , ) 0 dxy . Atunci, din axioma nti a distanei, avem( , ) 0 dxy x y .Teorema2. Fie ( , ) Xd unspaiumetric. Dacirul ( )nnx XNesteconvergentctrepunctul x X atunci orice subir ( )kn kxNal irului dat converge la x.Demonstraie. Fie0 > , oarecare, dar fixat. Atunci exist 0( ) n Na. . putem scrie( , ) ( , ) ( , )2 2k kn n n ndx x dx x dx x + < + ,oricare ar fi0, ( )kn n n > .Altfel spus, dac nx x , n afara oricrei vecinti a lui x se afl un numr finit de termeni ai irului( )nxi atunci, cu att mai mult, un numr finit de termeni ai oricrui subir al su.13Propoziia1.Fie( , ) Xd unspaiumetric. Dacirul( )n nx XNesteconvergentla x X , atunci numerele( , )ndx asunt mrginite pentru orice element fixata X .Demonstraie.irul ( )nx fiindconvergent la x X atunci mulimea ( , )ndx x estemrginitdeunnumr 0 M > . Aadar, putem scrie ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( )n ndx a dx x dx a M dx a r n + + N .Definiie. irul( )nnx XN se numete ir Cauchy2 (sau ir fundamental) dac verific proprietatea( ) 0 ( ) ( ) n > Na.. ( , ) , ( ) ( )n p ndx x n n +< > i oricare ar fipN .Teorema3. Dacirul ( )nnx XNesteconvergentctrepunctul x X atunci el esteunirCauchy (reciproca, n general nu este adevrat).Demonstraie. Fie limnnx x0 > ,( ) n Na. .( , )2ndx x< ,( ) ( ) n n > .Din inegalitatea triunghiului putem scrie( , ) ( , ) ( , )2 2n n p n n pdx x dx x dxx + + + < + ,( ) ( ) n n >i oricare ar fipN ,deci, irul este Cauchy.Nu orice ir Cauchy ntr-un spaiu metric este convergent ( !). Fie spaiul metric( , ) d Q , cu distanaddefinit prin 1 2 1 2( , ) dr r r r ,1 2, r r Q.Considerm irul de numere raionale11nnx en _ + ,, cnd n . Deci, este un ir Cauchy de numere raionale, ns nu este convergent nQdeoarece limnnx e Q.2.3. Siruri de numere realeDacX R, atunci irul este de numere reale. Un ir de numere reale poate fi definit prin termenul general ,nx nN(de exemplu, irul1 , 1nx n n ) sau, cu ajutorul relaiilor de recuren (lineare sau nelineare), ca n exemplele urmtoare:(a). progresia aritmetic (un ir pentru care diferena a oricror doi termeni consecutivi esteconstant):1 1,n nx ax x r+ + ,( ) 1 n , 0 r (constant), numit raia progresiei aritmetice).(b). progresia geometric (un ir pentru care raportul oricror doi termeni consecutivi este constant):1 1,n nx bx qx+ ,( ) 1 n , 0,1 q (constant) numit raia progresiei geometrice.irul( )nnxN, nx Reste convergent dac exist l R astfel nct n orice vecintate a punctului l R se afl toi termenii irului ncepnd de la un anumit rang.(i). Dac limitalexist i este finit spunem c irul este convergent ctreli scriem:existl R astfel nct( ) 0 >exist( ) n Na.. nx l < , pentru orice( ) n n .(ii). irurile care nu au limit sau au limital t se numesc divergente; n cazul cnd irul nx scriem: ( ) 0 > exist ( ) n N a.. nx >, pentru orice ( ) n n i ( , ] +sunt vecintile punctului de la infinit. n cazul cnd irul nx scriem, ( ) 0 > exist ( ) n N a.. nx < , pentru orice ( ) n n i[ , ) sunt vecintile punctului de la minus infinit.Propoziia 1. Dac irul de numere( )nnxN, este convergent i are limitalatunci limita este unic.Demonstraie. Vezi teorema 1.2Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matematician i mecanician francez, care mpreun cu Gauss a dominat matematica din prima jumtate a secolului al XIX-lea. A publicat peste 789 de memorii cu subiecte din matematic, mecanic, astronomie,fizic. A fost unul din fondatorii analizei matematice; Membru al Academiei Franceze de tiine, profesor la Paris i Torino. 14Propoziia 2. Orice ir convergent de numere reale este mrginit.Criterii suficiente de convergen (pentru iruri de numere reale):(1). Fie( )nnxN un ir de numere reale i existl R. Dac exist irul( ) , 0nn nb b>N i lim 0nnb a.. n nx l b < , pentru orice1 n , atunci limnnx l.(2). Dac ( ) ( )nnbN a.. limnnb i n nx b >0( ) n n > , 0nfixat, atunci limnnx .(3). Orice ir monoton (cresctor sau descresctor) i mrginit este convergent.(4). Lema lui Cesar, (1859-1906). Orice ir de numere reale mrginit conine un subir convergent (altfel spus, orice ir de numere reale mrginit are cel puin un punct limit, vezi definiia de la pag. 9).Demonstraie. Vom admite c irul are un numr infinit de termeni distinci. Fie( )nnxN un astfel de ir i fie intervalul0 0[ , ] a b a..0 0[ , ], ( )nx a b n N (esteposibil deoareceirul estemrginit). Vommpri intervalul 0 0[ , ] a bn dou pri egale. Atunci cel puin una din aceste pri conine o infinitate de termeni ai irului. Notm cu 1 1 1[ , ] I ab aceapartecareconineoinfinitatedetermeni ai irului ( )nnxN. Repetndacelai procedeucu intervalul1 1[ , ] ab atunci obinemintervalul2 2 2[ , ] I a b caredesigur, conineoinfinitatedetermeni ai irului ( )nnxN. Continund procedeul, obinem prin inducie irul de intervale nchise descendente 1( )nnI,0 0 1 1[ , ] [ , ] ... [ , ] ...n na b ab a b ,a. . fiecare interval conine o infinitate de termeni ai irului. Atunci exist 00 0[ , ]nx a b , 11 1[ , ]nx ab cu 1 0n n >, 22 2[ , ]nx a b cu 2 1n n >, etc. Aadar, am construit subirul 1( )k kn nx. Fie 0 0l b a lungimea intervalului 0 0[ , ] a b . Atunci lungimeaintervalului [ , ]n na b esteegalcu2nl. Dinlemalui Cantor rezultcexisti esteunic 0{ }kkx II. Deoarece ( , )2kknnld x x , deducem c limknkx x.2.4. Operaii cu iruri de numere reale Dac irurile de numere reale ( )nnxNi ( )nnyNsunt convergente. Atunci irurile ( )n nnx y+N i( )n nnx yN sunt convergente i avemlim ( ) lim limn n n nn n nx y x y + +i lim ( ) ( lim ) ( lim )n n n nn n nx y x y . Dac nx i ny l (cnd n ),atunci ( )n nx y + i n nx y t. Dac, 0nx l l , atunci 00, ( )nx n n > i 1 1nx l(cnd n ). Dac 0, 0n nx x >, atunci 1nx (cnd n ). Dac1,nx l i2 ny l i 20 l , atunci irul nnxy este convergent i avem 12lim lim limnn nn n nnx lx yy l . Cazurile 1 10;0 tt t.Criteriul Cesar - O. Stolz. Fie irul nnnaxb ,1 n . Dac se verific proprietile(1) irul 1( )nnb este monoton i nemrginit (nb Zsau nb ], cnd n ).(2) Exist 11lim ,n nnn na al lb b++ R (limitaleste finit sau infinit).15Atunci irul 1( )nnx este convergenti limnnx l.Demonstraie. Vom analiza cazul cnd nb Z(cazul cnd nb ] se obine din cazul anterior schimbnd irul( )nbn( )nb ).Presupunemclimita l estefinit. Fie 0 > , oarecare, darfixat. Potrivit ipotezei, existnumrul natural 0 0( ) n n a..0nb >i 11n nn na alb b++ . Atunci avem11 1 11( )( ) ( ) ( )( )n nn n n n n nn na al l l b b a a l b bb b ++ + ++ < < + < < + , 0( ) ( ) n n > .Scriind aceste inegaliti pentru 0 0 0, 1,..., n n n n p + +i apoi adunm aceste relaii, avem:0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 001 1 12 1 2 1 2 1( )( ) ( ) ( )( );( )( ) ( ) ( )( );.............................................................................................( )(n n n n n nn n n n n nnl b b a a l b bl b b a a l b bl b + + ++ + + + + + < < + < < + 0 0 0 0 01 1 1) ( ) ( )( ).p n p n p n p n p n pb a a l b b + + + + + + < < + _______________________________________________________________0 0 0 0 0 0( )( ) ( ) ( )( )n p n n p n n p nl b b a a l b b + + + < < + .mprind relaia gsit cu 00n pb+>, putem scrie0 0 0 0 00 0 0 0 0( ) 1 ( ) 1 , ( ) 1n n n p n nn p n p n p n p n pa b a a bl l pb b b b b ++ + + + + _ _+ < < + + , ,.Prin trecere la limit, cnd p , din ultima relaie, gsim 00( ) lim ( )n ppn pal lb ++ +(deoarece n pb+,cnd p , iar 0neste fixat). Aadar, pentrupsuficient de mare, putemscrie00( ; )n pn pal lb ++ + . Deci, exist1 1( ) n n a.. 1 1( ; ), ( ) , ( )n nn na al l n n l n nb b + > < > . Aceste relaii arat c irul nnalb .Cazul limitei infinite, l . Atunci pentru orice0 > , exist ( ) n N a.. 11n nn na ab b++>,( ) ( ) n n > . Aadar, avem 1 1( )n n n nb b a a + + < , ( ) ( ) n n > . Procednd ca mai sus, gsim ( )( ), ( ) 1n pn papb++> >i atunci rezult c, ( ) ( )nnan nb > > , ceea ce arat climnnnab .Reciproca criteriului lui Cesar-O. Stolz, n general, nu este adevrat.De exemplu,irul( 1), 0, 2( 1)nnnanx aan + t , dei este convergent i are limita egal cu 1, nu verific condiia a doua din criteriul Cesar-O.Stolz. ntr-adevr, avem16( 1)( 1)lim lim lim 1( 1) ( 1)nnnnnn n nn ananxann an _ + + , _ ,.Dac alegem( 1)nna an +i( 1)nnb an atunci irul1( )nnbeste nemrginit i deci irul 1( )nnx verific prima condiie. A doua condiie conduce la112, . 22( 1)2lim lim22( 1) , . 2 12nn nnn nn napt n ka a aaa b ba pt n ka+ + + '+ + + ,care arat c limita nu este unic ceea ce justific faptul c reciproca criteriului Cesar-O. Stolz nu este, n general, adevrat. Consecina 1. Fie 1( )nna un ir de numere reale pozitive. Dac irul este convergent i are limita egal cul(limnna l), l R, atunci:(1).irul mediilor aritmetice 1 2...nna a ax ln+ + + ;(2).irul mediilor geometrice 1 2...nn ny a a a l ;(3).irul mediilor armonice 1 21 1 1...nnnz la a a + + +, cnd n .Consecina 2. Fie1( )nnuun ir cu termeni strict pozitivi. Dac exist (finit sau infinit) limita 1limnnnulu+atunci limnnnu l.Reciproca, n general, nu este adevrat. De exemplu, fie , 2, 2 1nnna n kuba n k ' +, unde, 0 a b > ,1 b i irul nn nx u . Atunci, exist lim limnn nn nx u a , iar 1, 2lim, 2 1nnnab n kuan k ub+ ' + nu exist unic. Exerciiul 2. S se arate, folosind criteriul lui Cesar-O.Stolz, c 1 1 211 11 1 1 1 1( ) lim ln ; ( ) lim ln 0; ( ) lim 0;ln1 1 1 1( ) lim 2; ( ) lim ( ) , 0.n n nn n nk k kn nnn nk ki k ii k iiin n k n kiv v a k an an k + _ + > , Propoziia 3. Fie 1( )nna un ir de numere reale pozitive. Presupunem c exist 1limnnnala+ .1). Dac[0,1) l atunci lim 0nna.2). Dac1 l > atunci limnna .17Demonstraie. 1). Vom observa c putem s alegem(0,1) aastfel nct0 1 l a < +.Aadar, potrivit Propoziiei 3, obinem lim!nnnn.Altfel. Definim irul !nnnnbn,1 n . Atunci, din Consecina 2 la criteriul lui Stolz, obinem lim 1!nnnnen > i, potrivit Propoziiei 4, rezult c lim!nnnn.18Exemplul 2. Artai c irul 2( !)nnnan, 1 n , este convergent i calculai limita sa.Soluie. irul este descresctor i mrginit. Scriind raportul a doi termeni consecutivi,( ) ( )1 212( 1) ( !)1 1 1 1 31 11 1 1[( 1)!]n n nnnnan nna n n n n nn n++++ + < Na.., ( ) ( )n p nx x n n + < >i oricare ar fipN .Altfel spus, de la un anumit rang care depinde de , diferena a doi termeni ai irului este mai mic dect , orict de ndeprtai ar fi cei doi termeni unul de cellalt.Propoziia 5. Orice ir Cauchy de numere reale este mrginit .Demonstraie. Alegem 1 i fie ( )nnxN, nx R un ir Cauchy. Atunci exist0(1) n n N a.. 01, ( )n p nx x n n+ i( ) 1 p , deci putem scrie0 0 001 , ( )n n n n nx x x x x n n + + .Notm0 01 2max{ , ,..., ,1 }n nM x x x x + . Atunci , ( ) 1nx M n , carearat cirul1( )nnxeste mrginit.19Propoziia6. Fie1( )nnxunirCauchydenumererealecareposedunsubirconvergent 1( )kn kx . Atunci irul 1( )nnx este convergent i are aceeai limit cu a subirului1( )kn kx .Demonstraie. Fie limknkl x. Vom arta c irul fundamental 1( )nnx este de asemenea convergent i are limita egal cu l . Fie 0 > oarecare, dar fixat. Cum1( )nnxeste ir Cauchy, exist ( ) n N a.. , ( ) ( )2n p nx x n n+ i ( ) 1 p . Deoarecesubirul( )knxesteconvergent ctre l , atunci putem scrie, ( ) ( )2kn kx l n n .Aadar, avem , ( ) , ( )2 2 k kn n n n kx l x l x x n n n + + ,de unde rezult c irul 1( )nnx este convergent i are limita egal cul .Propoziia 7. Orice ir Cauchy de numere reale 1( )nnx este convergent (spunem c spaiul( , ) d R este spaiu metric complet). Demonstraie. Fie 1( )nnxun ir Cauchy de numere reale. Atunci, din Propoziia 5 rezult c irul1( )nnx estemrginit iconformculemaluiCesaroconineunsubirconvergent i dinPropoziia6, rezultcirul Cauchy este convergent.Observaie. Importana propoziiei 7 const n aceea c putem s precizm dac un ir este convergent fr a-i cunoate limita2.6. Limita inferioar i limita superioar a unui irDeoarecemulimeanumerelor realeestemulimeordonat(total ordonat), ausens noiuniledemargine inferioar i margine superioar a unei mulimi dinR . Aadar, orice ir de numere reale are o limit inferioar i o limit superioar, dei nu orice ir de numere reale are o limit.Fie irul( )nnxN, nx R(eventual nx R ). Numrul real R definit prin relaiile1inf { } inf{ , ,...};n k n nk na x x x+ 0 1 20sup{ } sup{ , , ,....}nna a a a , (2.6.1)se numete limita inferioar a irului( )nnxN n R i vom scrielim ( inf ) limk nn k nnx x . (2.6.2)Observaie. Adesea, vom nota cu { / },n kA x k n n N i atunci, i nfn nna A , iar 0sup{ }nna .De asemenea, observmcirul0( )nnaestecresctor i mrginit superior. Dacirul ( )nnxNeste nemrginit inferior atunci punem limnnx .Numrul real R , definit prin relaiile1sup{ } sup{ , ,...};n k n nk nb x x x+ 0 1 20inf { } inf { , , ,....}nnb b b b , (2.6.3)se numete limita superioar a irului( )nnxN n R i vom scrielim (sup ) limk nn nk nx x . (2.6.4)Observaie. Adesea, vom nota cu { / },n kA x k n n N i atunci, supn nnb A , iar 0inf { }nnb .20Rezult c irul 0( )nnb este descresctor i mrginit inferior. Dac irul( )nnxN este nemrginit superior atunci punem limnnx +.n mod evident, segmentele[ , ], 1n na b nsunt n relaia de incluziune 1 1[ , ] [ , ]n n n na b a b+ +i, conform cu principiul lui Cantor, avem i 1[ , ] [ , ]n nna b . (2.6.5)Din (2.6.5), deducem c pentru orice0 > , exist( ) n Na..11inf { , ,...} , ( ) ( );sup{ , ,...} , ( ) ( ).n n nn n na x x n nb x x n n ++ + (2.6.6)ReamintimcnumrullRsenumesepunct limital irului ( )nnxN,nx R , dacexistunsubir 1( )nk nxal irului( )nnxN a.. limnknl x. Vom nota cu LR mulimea tuturor punctelor limit ale irului ( )nnxN. Atunci aveminf sup L L .De exemplu, irul( 1) , 1nnx n nu are limit, ns ubirurile21, 1nx n i 1, 12n+1x n sunt convergente i au respectiv limitele: 2lim 1nnx i2 1lim 1nnx+. Deci,1 +i1 sunt puncte limit ale irului dat. Avem 1sup 1nna i 1inf 1nnb i scriem lim 1nnx ilim 1nnx.Are loc relaialim ( inf ) lim {sup( )}k nn k n nk nx x .Vom reine c dac irul( )nnxN este convergent (exist limnnl x n R) atuncilim lim limn n nn nnx x x . (2.6.7)Exerciii.1. Artai c irul cu termenul general( 1)nnx ,nNare dou puncte limit.Rspuns. Punctele limit sunt elementele mulimii { 1,1} .2. Artai c irul cu termenul general 1 ( 1),3nnx n+ N are punctele limit 2{0, }3.Soluie. Termenii irului au forma: 1 2 3 4 2 1 22 2 20, , 0, ,. . . . , 0, ,. . . .3 3 3n nx x x x x x Fie mulimile { / }n kA x k n ,1, 2,. . . n .Atunci, avem1 2 32 2 2 2{0, , 0,. . . }; { , 0, ,. . . }; {0, , 0,. . . },. . .3 3 3 3A A A ,1, 2,. . . n i fieirul1( )nna, definit prin(2.6.1), cutermenii1i nf 0n nna A i atunci1sup{ } 0nna . Vomscrie lim 0nnx .Considerm irul 1( )nnb, definit prin (2.6.3), avnd termenii 12sup3n nnb A . Atunci12i nf{ }3nnb . Vom scrie2lim3nnx .213. Punctele limit ale irului cu termenul generalsin ,6nnx n N , aparin mulimii3 1 1 3{ 1, , , 0, , ,1}2 2 2 2 .4. irul , 1nx nn , este convergent avnd limita egal cu+ i, potrivit relaiilor (2.6.7), avemlim lim limn n nn nnx x x +.5. Determinai termenul general al irului 1( )nnx care verific relaia de recuren:1 12 0, 1n n nx x x n+ + ,unde 0 12, 5 x x .Rspuns. Relaia dat se poate scrie sub forma echivalent 1 1, ( ) 1, 2, 3,...k k k kx x x x k+ Scriind relaiile pentru1, k n i adunnd egalitile parte de parte gsim 1 1 1 0( )nx x n x x+ . Dac se ine seama de valorile cunoscute ale primilor doi termeni ai irului obinem 15 3 , 1nx nn+ + .2.7. Spaiul funciilor continue cu metrica lui CebevFie multimea[0,1] { / :[0,1] , C f f R ffuncie continu }. (2.7.1)Peaceastmulimeconsiderm operaiile obinuite deadunare i nmulirea funciilor ( , f g f g + ),ct i nmulirea funciilor cu scalari ( , f R). Definim distana (artai c este o metric pe[0,1] C )[0,1]( , ) max ( ) ( )td f g f t g t . (2.7.2)Spaiul metric( ) [0,1], C d se numete spaiul funciilor continuecumetrica Cebev3(n acest spaiu distana dintre funcii este dat cu abaterea lui Cebev).n continuare, analizm convergena n spaiul funciilor [0,1] C .Fie irul de funcii0( ( )) [0,1]n n nf f t C care converge la funcia( ) f f t ,[0,1] t , adic,( ) [0,1] t ( )[ ] 0,1, max ( ) ( ) 0n nt nd f f f t f t , (2.7.3)echivalent cu ( ) [0,1] t ,0( ) 0 ( ) ( ) n > Na.. [ ])0,1max ( ) ( ) , ( ( )ntf t f t n n < >. (2.7.3)Aceast relaie arat c irul de funcii continue0( )nnfconverge uniformla funcia continu ( ), [0,1] f f t t , (vezi, fig. 1).3 Cebev PafnutiLvovici (1821-1894), matematician rus. Membru al Academiilor din Petersburg, Berlin, Paris i n Royal Society dinLondra. Creatorul teoriei celei mai bune aproximri afunciilor. Are lucrri nteoria numerelor, nteoria interpolrii (polinoame ortogonale), n teoria probabilitilor a demonstrat celebra inegalitate care i poart numele. 22f x n , ( )x1 n2x2 +: l x ( ) 0 : 120: g x ( ) l x ( ) : h x ( ) l x ( ) + : x 2 2 0.001 + , 3 .. :2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.20.170.130.10.0670.0330.0330.0670.10.130.170.2g x ( )h x ( )f x 3 , ( )f x 7 , ( )f x 11 , ( )f x 13 , ( )f x 15 , ( )f x 25 , ( )f x 40 , ( )xFigura 1. irul de funcii 2 2( )1nxf xnx+ converge uniform pe[ 2,3] ctre funcia( ) 0 l x .Reciproc, dac irul0( ) [0,1]nnf C converge uniform la funcia continu [0,1] f C , atunci ( , ) 0nnd f f. Aadar, n spaiul( ) [0,1], C dconvergena este cea uniform. Mai mult, orice funcie continu [0,1] f C poate fi uniform aproximat printr-un ir de funcii continue.Spaiul( ) [0,1], C deste un spaiu metric complet (!).Observaie.Fie, , a b a b < R . Aplicaia:[ , ] [0,1] a b , definit prin relaia) ( ) , ( [ , ]x ax x a bb a . (2.7.4)este bijectiv i continu i funcia invers este continu.Fie [0,1] t . Dacpunem( ) x t ( ) (1 ) x t t a tb + estefunciainversalui ( ) x i spunemc mulimile[ , ] a b i[0,1]sunt omeomorfe i funcia realizeaz un omeomorfism.Prin urmare, funcia compusg f oeste continu i atunci[ , ] g C a b . Deci, putem extinde consideraiile de mai nainte la orice interval nchis [ , ] a bobinnd spaiul funciilor continue[ , ] C a bcu convergena uniform.Lem. Fie( , ) Xdun spaiu metric,A X ia X . Proprietile urmtoare sunt echivalente:i).a A (s-a notat cu A mulimea punctelor aderente mulimiiA).ii). Exist un ir( )nnx AN astfel nct limnnx a.Demonstraie. Artm implicaia) ) i ii . Fiea X . Cum a A rezult c punctul aeste punct aderent mulimiiA i deci orice vecintate a lui a conine un punct dinA. Aadar,( ,1 ) A B a n ,( ) n N. Dac punem ( )1, , 1, 2,...nx A Ba nn atunci avemlimnnx a.Implicaia) ) ii i este evident.Definiia 3. Fie( , ) Xdun spaiu metric,A X . Dac a A se spune c elementul a este aproximabil prin elemente dinA. n cazul cnd([0,1]) X C nzestrat cu metrica lui Cebev i ([0,1]) A C atunci elementul f A se numete uniform aproximabil prin elemente dinA.23Observatie. Pe spaiul funciilor continue[ , ] C a bse pot defini i alte distane fa de care acest spaiu nu este complet. De exemplu, metrica: [ , ] [ , ] C a b C a b R, definit prin1 22( , ) ( ) ( )baf g f t g t dt _ ,. (2.7.5)Fie 0{ } [ , ]n nf C a bun ir Cauchy n medie, altfel spus2 2( , ) ( ) ( ) 0bn m n maf f f t f t dt ,cnd , n m . (2.6.6)Acest ir are limit n sensul metricii (2.6.5) ns funcia limit poate fi orice funcie din clasa funciilor reale de ptrat integrabile pe intervalul[ , ] a b , notat cu 2[ , ] L a b, deoarece spaiul funciilor continue[ , ] C a beste peste tot dens n 2[ , ] L a b. Dac funcia limit nu este echivalent cu o funcie continu, un astfel de ir fundamental n [ , ] C a b nu are limit n[ , ] C a b . Aadar, spaiul funciilor continue[ , ] C a b nu este complet i completarea lui conduce la spaiul 2[ , ] L a b.De exemplu, irul 1( ) ([ 1,1])nnf C , definit prin1, 1 1 ,( ) , 1 1 ,1, 1 1nx nf x n x n x nn x