Funcia exponenial i funcia logaritmic

Funcia exponenial i funcia logaritmic

1. Funcia exponenial1) Puteri cu exponent natural nenul;

2) Semnul puterii cu exponent natural;

3) Puterea produsului i a ctului a dou numere reale;

4) nmulirea puterilor care au aceai baz;

5) Ridicarea unei puteri la alt putere;

6) mprirea puterilor cu aceeai baz;

7) Compararea puterilor;

8) Funcia putere.9) Puteri cu exponent negativ;

10) Funcia putere de exponent negativ.

2. Logaritmi

1) Radicalul unui numr pozitiv;

2) Funcia radical;

3) Radicalul de ordin impar al unui numr negativ;

4) Proprietile radicalilor;

5) Operaii cu radicali;

6) Ecuaii iraionale.3. Ecuaii i inecuaii exponeniale i logaritmice

1) Puteri cu exponent raional pozitiv;

2) Puteri cu exponent raional negativ;

3) Funcia putere de exponent raional4. Sisteme inecuaii exponeniale i logaritmice. Inecuaii.5. aplicatii

Funcia exponenial

1). Puteri cu exponent reala). Puteri cu exponent real pozitiv

Fie a > 1. Se numete puterea x a lui a un numr real y care, pentru orice numr natural n , satisface inegalitile:

,

unde numrul real x>0 are reprezentrile zecimale i prin lips i repectiv prin adaos cu o eroare mai mic dect .

Numrul y dat de definiia precedent se noteaz i se citete a la puterea x.

Fie 0 < a < 1 i x un numr real pozitiv. Se numete puterea x a lui a un numr real y care, pentru orice numr natural n , satisface inegalitile: .

Atenie! Oricare ar fi a > 0 i x > 0 are loc > 0.

b). Puteri cu exponent real negativ

Dac a > 0 i x > 0 este un numr real negative, atunci prin definiie are loc: .

Prin convenie se scrie .

c). Proprieti ale puterilor cu exponent real

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .2). Funcia exponenialDefiniie. Funcia f:R((0,+(), f(x) = , unde a > 0, a ( 1 se numete funcia exponenial de baz a.

Proprieti

1) a). Dac a >1, atunci pentru x > 0 avem >1 ar loc > 1, iar pentru x < 0 are loc < 1.

b). Dac 0 0 are loc

3) Pentru a > 1, funcia exponenial f:R((0,+(), f(x) = este strict cresctoare, iar pentru 0 1, atunci i deci .

2). Dac 01, atunci i deci .

Analog, rezult pentru .

Deci f este injectiv.

Surjectivitatea nu se poate demonstra n clasa a X-a. Dar, dac se folosete graficul, se observ c orice paralel dus prin puncte ale codomeniului (0, +() graficul funciei este interesectat n cel puin un punct. La nivel de clasa a XI-a se stie ca f. exponentiala este continu pe domeniul ei de definiie, iar imaginea ei este codomeniul, deci e surjectiv.5). Funcia exponenial f:R((0,+(), f(x) =, a > 0, a ( 1 este inversabil. Inversa funciei exponeniale se numete funcie logaritmic.

3). Graficu funciei exponeniale

Graficul funciei exponeniale se construiete prin puncte.

Exemplu.

S se construiasc graficul funciei f:R((0,+(), f(x) =, pentru .

Se ntocmete un tablou de valori pentu cele dou cazuri:

x(( (3 (2 (1 0 1 2 3 +(

f(x) 1 2 4 8

x(( (3 (2 (1 0 1 2 3 +(

f(x)

Graficele celor dou funcii sunt reprezentate mai jos:

Analiznd cele dou grafice, constatm c ele au urmtoarele proprieti:

1. Graficele se gsesc deasupra axei Ox;

2. Trec prin punctul de coordonate (0, 1);

3. Graficul fiecrei funcii este construit dintr-o singur ramur care ,,urc

4. Graficul se apropie din ce n ce mai mult de axa Ox pozitiv dac dac 01 este un numr real, atunci dintre dou puteri cu exponent raional pozitivale ale acestui numr, este mai mare acela al crei exponent este mai mare.

3. Dac 0 < a 0 astfel nct . Atunci i deoarece u > 0 dup proprietatea funciei exponenialerezult c . Aadar, de unde . nseamn c (f strict cresctoare.

E3. S se aduc la forma cea mai simpl .

Rezolvare. Avem succesiv:

==========.

E4.S se compare m i n dac este adevrat inegaitatea:

.

Rezolvare. Baza fiind subunitar , pentru adevrul inegalitii rezult m ( n.

E5.. S se afle mulimea valorilor lui x pentru care:

.

Rezolvare. Avem succesiv:

(((((((.

E6Sunt echivalente inegalitile i ?

S1.S se afle care numr din perechile de numere este mai mare:

a). i ; b). i ; c). i .

S2.S se afle mulimea valorilor lui x pentru care este adevrat inegalitatea:

a). b). ; c). .

S3. S se compare m i n dac este adevrat inegalitatea:

a). b). ; c). .

S4. Comparai numerele cu 1:

a). b). ; c). ; d. .

S5. S se afle x astfel nct , unde a >0 este un numr real pozitiv.

S6. S se demonstreze c funcia f:R((0,+(), f(x) = este strict cresctoare.

S7. S se studieze monotnia funciiei f:R((0,+(), f(x) =

S7. S se traseze graficul funciilor :

a). ; b). ; c). ;

d). ; e). ; c). .

S7. S se traseze graficul funciilor :

a). ; b). ; c). ;

d). ; e). ; c). .Logaritmi

1). LogaritmiFie a>0 un numr reali a(1. Ecuaia de forma (1) are o soluie unic determinat notat prin: (2).

se numete logaritmul numrului pozitiv N n baza a.

Din (1) i (2) se obine , care ne arat c logaritmul unui numr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicat baza a pentru a obine numrul dat.

De exemplu, a calcula ,nseamn a gsi un numr real x aa nct s avem x2 = 32. rezult x = 5.

a). n practic se folosesc logaritmii n baza zece care se mai numesc logaritmi zecimali. Se noteaz cu n loc de

a). n matematic se folosesc logaritmii n baza care se numesc logaritmi naturali i se noteaz cu n loc de .

2). Proprietile logaritmilor1. Dac A i B sunt dou numere positive, atunci are loc:

.

Proprietatea se poate extinde pentru n numere pozitive i avem:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 .

2. .3. Dac A este un numr pozitiv i m un numr real arbitrar, atunci are loc: .

4. Dac A este un numr pozitiv i n ( 2 un numr natural, atunci are loc: . Proprietatea 4 poate fi privit ca un caz particularal proprietii 3.

3). Schimbarea bazei logaritmului aceluiai numrDac a i b sunt dou numere pozitivediferite de 1, iar A un numr pozitiv oarecare, are loc egalitatea

Numit formula de schimbare a bazei unui logaritm.

Dac n egalitatea de mai sus, A = a, atunci formula devineaaa;

.

4). Operaia de logaritmare a unei expresii

Operaia de logaritmare are scopul de a transforma operaii complicate de nmulire, mprire i ridicare la putere n operaii de adunare, scdere i mprire la numere naturae.

S se logaritmeze expresia: E =

Se logaritmeaz expresia ntr-o baz oarecare a:

=

=.

n general, dac E este o expresie algebric n care apar produse de puteri i radicali, putem s-i asociem o expresie, notat logE , n care apar sume, diferene de logaritmi nmulite cu anumite numere raionale.

5). Funcia logaritmicPrin definiie, se numete funcie logaritmic funcia , unde a > 0, a ( 1.Proprieti:

1. , ceea ce nseamn c .

2. Funcia logaritmic este monoton i anume dac a>1, funcia este strictcresctoare, iar dac 01 i apoi

17.S se determine valorile reale ale lui a, pentru care inegalitatea este adevrat pentru orice x real.

18.Se consider funcia cu

a. S se studieze monotonia funciei f.

b. S se rezolve ecuaia:

EMBED Equation.3 19.Sa se rezolve ecuaia:

20. S se gseasc perechile de numere reale (x,y) care verific inegalitatea

21. Dac atunci dac i numai dac

22. S se rezolve inecuaia

23. S se arate c nu exist numere reale astfel nct, dac a i b sunt numere prime ntre ele, i s fie amndou raionale.

24. S se rezolve ecuaia:

25. S se rezolve ecuaia

26. S se verifice identitatea:

27.S se rezolve inecuaia :

28. Se consider ecuaia este un parametru,, iar a constanta real, cu a >0 si a S se determine m, astfel nct :

a). ambele rdcini s fie in [0,3]; b). una din rdcini s fie in [0,3].

29. S se reprezinte grafic unde a>0, a

30. S se rezolve ecuaia: unde A,p,q sunt constante: A>0, px>0, , p>0, ,q>0, , pq>0, .

31. S se arate c 40,.a. S se arate c f este descresctoare pe i cresctoare pe .

b. S se arate c pentru orice x[0,1] avem .

35.Fie funcia f(x)=, unde a>0, m.S se determine m, astfel ca domeniul de definiie al funciei f s fie R. S se determine minimul sau maximul lui f(x).

36.a. Se d i N>0, . S se exprime i n funcie de a i b.b. S se arate c unde A>0, x,y>0, iar m,n

37.Fie . S se arate c dac i numai dac .

38.S se rezolve ecuaia .

39.S se arate c funcia , are un minim. S se arate c , oricare ar fi .

40.a). S se arate c: .

b). S se rezolve ecuaia: .

41.a). S se arate c dac i , atunci .

b). innd seama de rezultatul de la punctul a. i inegalitatea s se arate c dac i i , atunci .

42.S se demonstreze inegalitatea , unde sunt termenii unei progresii aritmetice cu raia , dac este cea mai mare valoare a funciei .

43.S se rezolve ecuaia .(1

(2

(3

1 2 3 x

C

B

D

E

F

y

27

4

2

1

O

(1

(2

(3

1 2 3 x

27

4

2

1

O

C

B

D

E

y

f(x)= EMBED Equation.3 f(x)= EMBED Equation.3

y

EMBED Equation.3

x

y= x

1

Gf

f(x)= EMBED Equation.3 f(x)= EMBED Equation.3

1 2 3 x

y

1 2 3 x

y

Gg

O

1

a>1 0