SERIIFOURIER Funciile periodice constituie una din clasele de funcii care datorit proprietilor lor intervin n diverse probleme teoretice i practice.Un exemplude reprezentri i studiu al acestor funcii l constituie dezvoltarea n serie Fourier.n mai multe cazuri dezvoltarea unei funcii n serie Fourier este mai convenabil dect dezvoltarea n serie Taylor.Aceasta evident i din considerente c pentru dezvoltarea n serie Taylor a unei funcii se cere ca funciasfieindefinit derivabil lucrucarenusecerencazul seriilor Fourier.Pe de alt parte termenii unei serii Fourier sunt funcii periodice cu careputemdescriefenomeneleoscilatorii. OaltcalitteaseriilorFourier este i aceea c termenii si au proprietatea de ortogonalitate . ntre dificultilecesentlnescnstudiul seriilor Fourier esteaceeacseria Fourier asociat unei funcii periodice nu converge ntotdeauna ctre funcia periodic respectiv.Definiie.Coeficieni Fourier.Definiia 1Se numete serie trigonometrica, o serie de forma:11[2k akcoskx+bksinkx](II 1)unde a0,ak,bk sunt numere reale, independente de valorile variabilei x.Fie f(x) o funcie integrabil de perioad 2.S presupunem c:1. funcia f(x) poate fi reprezentat printr-o serie trigonometric f(x)=11[2 k akcoskx+bksin kx](II 2)2. seria(II-2) poate fi integrat termen cu termen dup nmulirea ei cucosnx i sinx, atunci, deoarece:2 20 00, dac n kcos cos = sin kx sin nx dx=,kx nxdxdac n k ' (II 3) i20cos sin =0 kx nxdx (II 4)avem:

2 2 2 210 0 0 01( ) = 0 cos sin2k kkf x dx a dx kxdx kxdxa b 1+ + 1 ] BDeasemeni, deoarece 2 20 0sin = cos kx dx=0 kxdx (II 5)rezult2001= ( )afx dx (II 6)Analog 2 2 2 2010 0 0 01( ) cos cos cos cos sin cos2k kkfx nxdx a nxdx a kx nxdx b kx nxdx 1 + + 1 ] BDar conform relatiilor (II 3), (II 4), (II 5), avem:20cos 0 nxdx, 20sin cos 0 kx nxdx. 210cos cosk nka kx nxdx aBdeci: 201( ) cosna fx nxdx(II 6`)De asemenea, nmulind dezvoltarea(II-2) cu sin nx dx i integrnd ntre 0 i 2, obinem analog201( )sinnb fx nxdx(II 7)Definiia 2Coeficienii ani bn sau aki bkse numesc coeficieni Fourier, iar dezvoltarea (II-2) serie FourierOBSERVAIEDeoareceintegralaunei funcii periodicedeperioad2esteaceeai pe orice interval de lungime 2, ntre integralele care dau a0,aki bk, pot fi scrise:0-1f(x) dx a-1f(x) cos kx dxka(II 8)-1( ) sinkb fx kxdx Seriile Fourier a unei funcii pare i a unei impare1. Fief(x) ofunciedevariabilreal, par, periodic deperioad 2. Avem :f(-x)=f(x) (II 9)Dar 00- 01 1 1f(x)dx= ( ) ( ) a fx dx fx dx + facem n prima integral x=-u i obinem0 0 -f(x) dx= ( -u) ( -du) f deoarece limita de integrare se schimb.Deci 0 0 0 - 0f(x) dx= ( -u)( -du)= - f( -u) du = f( -u)d u f sau00 0( ) f( - x) dx= ( ) f u du fx dx Deci0- 2( ) a fx dx(II 10)Avem ns 0--01 1 1f(x) cosnx dx= f(x) cos nx dx+ ( ) coska fx nxdx Facem n prima integral x=-u i obinem 0 0 0-01 f(x) cos nx dx= f(- u) cos (- nu)d(- u)=-f(- u)cos(- nu)du= (- u) cos(- nu)du f Cum cos u este de asemeni o funcie par, atunci10( ) cos I fx nxdxdeci: 02( ) cosna fx nxdx(II 11)De asemeni, innd seama de formula (II-7) avem: --1 1f(x)sinx dx= f(-u) sin(-nu) d(-u)nb =-1- f(-u)(-sin ) nu du=-1f(u) sin nu du =n-1- f(x) sin nx dx=-b (pentru c sinusul este o funcie impar) sau 2bn=0 sau bn=0 (II 12)Deci o o funcie par are seria Fourier:11cos2ka ak kx+ (II 13)Unde a0 i ak sunt dai de formulele (II-10) i (II-11).2 Fie acum f(x) o funcie real, impar,periodic de perioad 2.Avem : f(-x)=-f(x)dar a0=-1f(x) dx cux=-ua0=- - --1 1 1 1(-u) d(-u)=- f(u) d(-u)= f(u) d(u)=- f(x) d (x) f =a0deci a0=0(II 14)analog obinem an=0 (II 15)ibn=02( ) sin fx nxdx (II 16)deci seria Fourier a unei funcii impare este 1sinkkb kx(II 16`) Seria Fourier unei funcii periodice de perioad TAmstudiat pnacumfunciilecuperioad2.naplicaii intervinadesea fenomene periodice reprezentate prin funcii periodice cu perioada oarecare T.f(x+T)=f(x)Prin schimbare de variabil 122TxT _

,; 2;xT obinem ( )2Tf F _ , unde F() este o funcie periodic 2. ntr-adevr avem( ) ( ) ( ) 2 22 2 2T T TF F f f T f 1 _ _ + + + 1 ] , ,Deci toate rezultatele obinute pentrufunciile periodice cuperioada 2 rmn adevrate pentru funciile periodice cu perioad oarecare.S stabilim forma seriei Fourier i expresia coeficienilor n cazul cnd perioada este T.innd seama de schimbare de variabil fcut pentru funcia F() putem scrie:( ) [ ]011cos sin2k kkF a a k b k + +(II 24)cua0=( )201F d ak=( )201cos F k d (II 25)bk=( )201sin F k d sau revenind la variabila x[ ]012( ) cos sin2k kkaF x fx a k x b k xT _ + + ,(II 26)unde am notat 2T Pentru acalcula coeficienii seriei nintegralele care intervin, efectum schimbarea de variabil:2xT 2dT Pentru limitele de integrare 0 0 x i 2 x T obinem:a0=0 01 2 2 2( )T TF x dx fx dxT T T _ , ak=204( ) cosTfx k xdxT (II 27)bk=02( ) sinTfx k xdxTDac f(x) este o funcie par, obinem n acelai mod 011( ) cos2kkfx a a x +cu bk=204( ) sinTfx k xdxTConvergena seriilor FourierReferitor lacondiiilencareseriaFourier aunei funcii f(t), este convergent i suma sa este f(t),vom da fr demonstraie o teorem care conine condiii suficiente, destul de cuprinztoare pentru funciile ntlnite n aplicaii.Fie f(t) o funcie definit pe un interval [a,b] exceptnd eventual un numr finit de puncte din acest interval.Definiie.Se spune c f(t) satisface condiiile lui Diriclet pe intervalul [a,b] dac:a) f(t) este mrginit i are cel mult unnumr finit de puncte de discontinuitate n [a,b].b) Intervalul [a,b] poate fi mprit ntr-un numr finit de subintervale, astfel nct pe fiecare subinterval f(t) s fie monoton.Teorem Dac funcia f(t) , periodic de perioad T, satisface condiiile lui Dirichlet pe un interval [ ,+T] seria sa Fourier este convergent pentru orice t.Suma S(t) a seriei Fourier este egal cu f(t) n toate punctelen care f(t) este continu.ntr-un punct de discontinuitate c, S(c) este egal cu media aritmetic a celor dou limite laterale ale funciei f(t) n punctul c. ( ) ( ) ( )10 02S c f c f c + +1 ] (II 55)Teorema prezentat mai susse mai numte i teorema lui Dirichlet i constituie un criteriu de o larg aplicabilitate referitoare la posibilitatea de a prezenta o funcie prin seria sa Fourier, sau cum se mai spune deseoride a dezvolta o funcie n serie Fourier.Concluzii : Consider ca prin relizarea acestui referat am reusit sa surprind cat mai multe lucruri legate de seriile furier, de dezvltarea in serie furier, de cocergenta seriior furier.