CURS: UTILIZAREA SOFT-UTILOR MAPLE SI ADAMS IN MODELAREA

MECANISMELOR

A. Prezentare generala MAPLE

Maple este un software specializat în calcule matematice. A fost creat de University of Waterloo şi Waterloo Maple Software (http://www.maplesoft.com).

În funcţie de versiune, programul are nevoie de 20 - 60 MB spaţiu pe disc şi poate rula pe un procesor Pentium, nefiind foarte pretenţios din punct de vedere al resurselor de care are nevoie. Este un produs interactiv şi conţine un număr mare de rutine compilate care efectueazã calcule matematice variate. Toate operaţiile sunt implementate astfel încât să permită lucrul şi cu numere foarte mari.

Este un sistem care permite efectuarea de calcule simbolice si numerice, vizualizarea rezultatelor şi toate prelucrările necesare simulării şi modelării specifice diferitelor domenii (ştiinţă, inginerie, finanţe etc.).

Posibilităţile lui cuprind aproape toate compartimentile matematicii contemporane. Sistemul Maple se foloseşte în regim de dialog interactiv, precum şi prin scrierea programelor cu ajutorul limbajului său propriu (limbajul Maple), orientat spre calcule matematice de orice natură.

Spre deosebire de limbajele de programare de nivel înalt (Fortran, Basic, C, Pascal etc.), Maple rezolvă multe probleme matematice doar prin apelare la comenzi, fără a fi nevoie să se compună programe aparte. Baza sistemului Maple o constituie nucleul principal – programul transformărilor simbolice. În plus, Maple conţine câteva mii (peste 3000) de funcţii şi proceduri speciale, care formează aşa-numitele biblioteci, orientate spre transformările simbolice şi calcule numerice din diverse compartimente ale matematicii.

Maple mai dispune de o grafică puternică şi foarte uşor de utilizat, de o arhitectură modulară, care permite adăugarea de noi proceduri şi funcţii.

Programul Maple operează deopotrivă cu numere întregi, fracţionare şi aproximative, ceea ce-i permite sistemului să returneze rezultatele rezolvării problemei cu o exactitate ideală (exactitate infinită). Cu Maple soluţia multor probleme poate fi obţinută nu numai numeric, ci şi sub formă analitică, adică cu ajutorul unor formule. Din această cauză se mai spune că Maple este un program de matematici simbolice.

Maple execută transformări şi simplificări algebrice complexe; calculează sume şi produse finite şi infinite, limite şi integrale; rezolvă numeric şi analitic sisteme algebrice (şi transcendente) de ecuaţii şi inecuaţii; calculează determinanţii matricelor cu elemente simboluri matematice; determină toate rădăcinile unui polinom; determină numeric şi analitic soluţia sistemului de ecuaţii diferenţiale ordinare, precum şi a unor clase de ecuaţii cu derivate parţiale etc.

Meniul de bază al programului constă din: •File – comenzi standard pentru operare cu fişiere; •Edit – comenzi standard pentru redactarea unui text; •View – comenzi standard de gestionare cu structura ferestrei Maple; •Insert – inserarea diverselor texte, grafice 2- şi 3-dimensionale; •Options – stabilirea diverşilor parametri;

•Windows – comenzi pentru a trece de la o foaie de lucru la alta; •Help – conţine informaţie despre sistemul Maple.

Sub bara meniului de bază se află Panoul instrumentelor de bază cu butoane ce repetă cele mai des utilizate comenzi ale meniului de bază.

Ca orice alt limbaj algoritmic de programare Maple constă din caractere, expresii, sintaxă.

Caracterele limbajului Maple sunt literele mari şi mici ale alfabetului latin,cifrele arabe şi încă 32 de caractere speciale, dintre care menţionăm: _ , ;, :, -, *, /, ^, !,=, <, >, (, ), [, ], {, }, « , %, #, ? etc.

Expresiile sunt noţiunile de bază cu care operează Maple. O expresie constă dintr-un nume, formule şi diverse tipuri de date. Ordinea executării operaţiilor în expresie este cea cunoscută în matematica elementară: operaţiile din paranteze, apoi ridicarea la putere, pe urmă înmulţirea şi împărţirea şi, în sfârşit, adunarea şi scăderea. În cazul când pentru determinarea ordinii operaţiilor unei expresii există mai multe sensuri se folosesc parantezele rotunde „(, )”. Maple operează cu numere şi nume unite între ele cu operatori matematici: + (adunare), - (scădere), * (înmulţire), / (împărţire), ^(ridicare la putere), @ (compoziţie) etc.

Sintaxa cuprinde regulile de înscriere a cuvintelor în propoziţii şi determină sensul dat de Maple când primeşte o comandă. B. Prezentare generala ADAMS

ADAMS (acronimul de la “Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems”) este un pachet de programe destinat analizei şi optimizării dinamice a sistemelor mecanice multicorp, realizat de firma Mechanical Dynamics - Michigan, preluată din anul 2002 de renumita companie MSC Software Corporation. Prima versiune ADAMS a apărut acum aproximativ 30 de ani, „părintele” acestui program fiind profesorul american de origine română Nicolae Orlandea. Produsul original a fost ADAMS/Solver, o aplicaţie pentru rezolvarea sistemelor neliniare de ecuaţii.

La începutul deceniului trecut a fost lansat modulul ADAMS/View, care permite modelarea, simularea şi examinarea rezultatelor într-un singur mediu. În prezent, ADAMS este cel mai performant soft de analiză automată a sistemelor mecanice, fiind considerat numărul unu în lume în prototipare virtuală.

Printre programele (modulele) incluse în pachetul ADAMS se pot puncta: ADAMS/View – modelarea şi simularea sistemelor mecanice (modulul general); ADAMS/Exchange – importul şi exportul de modele - fişiere; ADAMS/Solver – formularea şi rezolvarea automată a sistemelor de ecuaţii care descriu mişcarea modelului; ADAMS/AutoFlex – modelarea corpurilor flexibile; ADAMS/Controls – adăugarea sistemelor de control la modele; ADAMS/PostProcessor – postprocesarea rezultatelor analizei - simulării; ADAMS/Animation – animarea grafică a mecanismului; ADAMS/Car – modelarea suspensiei automobilelor, pe punţi şi în ansamblu; ADAMS/Tire – modelarea pneurilor de automobil; ADAMS/Rail – modelarea sistemelor specifice căilor ferate ş.a.

Baza de date în care ADAMS păstrează operaţiile din sesiunea de lucru este de tip ierarhic (fig. 1). În acest sens, fiecare obiect din baza de date are un obiect căruia îi aparţine, denumit părinte (parent), şi o serie de obiecte care îi aparţin, denumite copii (children).

Fig. 1 Structura bazei de date ADAMS

Într-o bază de date, care din punct de vedere fizic este de fapt fişierul, se pot

construi – stoca unul sau mai multe modele, care pot reprezenta de exemplu multiple versiuni ale aceluiaşi sistem mecanic, ceea ce permite compararea facilă a rezultatelor între modele.

Modelele dintr-o bază de date pot fi şi subsisteme ale unui sistem complex, existând posibilitatea conectării ulterioare a subsistemelor în ansamblul sistemului. Cuplarea se poate realiza prin crearea unui model nou, în aceeaşi bază de date, sau prin utilizarea ca model destinaţie a unuia dintre modelele (subsistemele) existente.

Sistemul mecanic este tratat în ADAMS ca un ansamblu de corpuri (denumite părţi – parts) conectate prin legături mecanice (cuple), elemente elastice şi de amortizare.

Etapele pentru modelarea şi simularea sistemelor mecanice cu programul ADAMS sunt prezentate în schema din figura 2.

Tipurile de părţi incluse în ADAMS sunt: corpuri rigide, corpuri elastice şi corpuri fără masă. Corpurile rigide sunt definite de masă şi proprietăţi inerţiale. ADAMS conţine o bibliotecă de solide elementare (sferă, cilindru, tor ş.a.), din care se pot crea corpuri complexe (solide compozite) prin aplicarea de operaţii booleene (reunire, extragere, intersecţie). Corpuri rigide se pot crea şi pornind de la suprafeţe plane închise prin adăugarea grosimii (extruziune), respectiv prin rotirea în jurul unor axe centrale (suprafeţe de rotaţie). Totodată, ADAMS permite importul de solide create cu un program CAD (de ex. ProENGINNER, EUCLID, CATIA, AutoCAD), utilizând programul de import - export ADAMS/Exchange şi diverse formate specifice de fişier (ex. STEP, IGES ş.a.).

Simularea sistemului mecanic, după conceperea modelului, are ca obiectiv identificarea caracteristicilor de performanţă şi a răspunsului la un set de condiţii de operare; aceasta se face cu ajutorul modulului ADAMS/Solver, care formulează şi rezolvă automat ecuaţiile de mişcare ale modelului. După rezolvare se realizează animarea modelului şi se pot afişa diagrame de variaţie a unor mărimi de interes. Se poate rerula animaţia, se poate opri pe un cadru din animare, respectiv se poate modifica unghiul “camerei” de vizualizare.

Validarea modelului teoretic se poate face prin compararea rezultatelor obţinute cu datele măsurate pe cale experimentală pe sistemul mecanic real. În situaţia în care apar

diferenţe între rezultate, se poate ajusta (finisa) modelul teoretic, prin adăugarea frecărilor din model, schimbarea corpurilor rigide cu echivalentele deformabile sau a articulaţiilor rigide cu legături flexibile (operaţia este complexă şi necesită date experimentale sigure).

Fig. 2 Etapele modelării cu softul ADAMS

Parametrizarea modelului permite simplificarea operaţiilor de modificare a

obiectelor (corpuri, restricţii) din sistem, deoarece ajută la repoziţionarea – reorientarea – redimensionarea automată a obiectelor. Prin parametrizare, în model se creează relaţii între obiecte, astfel încât atunci când se modifică un obiect, programul corelează (adaptează) automat celelalte obiecte care depind de acesta.

Pentru parametrizarea sistemelor mecanice, în ADAMS, există trei modalităţi: prin ataşarea geometriei corpurilor şi a altor locaţii importante din sistemul mecanic (pentru definirea cuplelor, forţelor ş.a.) la puncte anterior modelate; prin utilizarea expresiilor; prin utilizarea variabilelor de proiectare. Punctele reprezintă cea mai simplă modalitate de a

parametriza modelul. Prin intermediul punctelor se pot defini localizări importante în model, pe care se construiesc apoi diverse obiecte (ex. corpuri, articulaţii). Atunci când poziţia unui punct este modificată, obiectele legate de acel punct sunt corectate (corelate) automat.

Studiul de proiectare, denumit şi proiectare parametrică, descrie abilitatea de a selecta o variabilă de proiectare (de exemplu, lungimea unei bare sau coordonatele unei articulaţii), care este apoi "întinsă" într-un domeniu (rang) de valori; în final se simulează comportamentul sistemului mecanic pentru diverse variante. Aceasta permite identificarea sensibilităţilor de proiectare, cu stabilirea variabilelor care au influenţă mare asupra comportamentului sistemului. Studiul de optimizare propriu-zisă defineşte capacitatea de a defini obiectivele de proiectare, variabilele şi restricţiile, pe baza cărora ADAMS caută, în mod iterativ, configuraţia optimă a sistemului mecanic.

In concluzie, procesul de modelare – simulare în ADAMS presupune crearea modelului virtual (părţi, constrângeri, elemente elastice şi de amortizare, forţe & momente aplicate), utilizând ADAMS/View şi, după caz, ADAMS/Exchange /Flex /AutoFlex /Controls ş.a., analiza propriu-zisă, realizată automat de către modulul ADAMS/Solver, şi prelucrarea rezultatelor analizei, prin ADAMS/PostProcessor /Animation.

Documentaţia produsului Adams/View are în compunerea sa următoarele capitole: a) Getitng Stardted (view_gs) b) Bulilding models (view_bld) c) Controls toolkit (view_con.pdf) d) Customize and automate(view_cus.pd) e) Exchanging Data (view_ex) f) Function Builder (view_fn.pdf) g) Help (view_hlp) h) Refining Model Designs (view_ref) i) Simulating Models (view_sim.pdf)

C. Aplicatie: mecanismul biela-manivela

Fig.1 Mecanismul bielă manivelă

Se dau: r - raza manivelei; l – lungimea bielei; se considera: C1 – centrul de masă al manivelei; C2 –centrul de masă al bielei. a. Condiţii cinematice (legături olonome):

;sinlsinr

;yy

y

;xx

x

;y;coslxx

;yy

y

;xx

x

;sinry;cosrx

ABC

ABC

B

AB

AO

C

AO

C

A

A

21

2

1

1

2

2

0

2

2

2

2

1

1

1

1

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

+=

+=

=

+=

+=

+=

=

=

b. Program MAPLE: > restart;

> > r:=0.07;l:=0.3;xo1:=0;yo1:=0;

> phi1:=20*t;

> plot(phi1,t=0..5);

> xa:=r*cos(phi1);ya:=r*sin(phi1);

> plot(xa,t=0..5);plot(ya,t=0..5);

> omega1:=diff(phi1,t);

> plot(omega1,t=0..5);

> vxa:=-r*omega1*sin(phi1);vya:=r*omega1*cos(phi1);

> plot({vxa,vya},t=0..5);

> xc1:=simplify((xo1+xa)/2);yc1:=simplify((yo1+ya)/2);

> eps1:=diff(omega1,t);

ϕ1

O1

A

B

Element cinematic elastic/v`scoelastic

Element cinematic rigid

ϕ2

> axa:=-r*(eps1*sin(phi1)+omega1^2*cos(phi1));aya:=r*(eps1*cos(phi1)-

omega1^2*sin(phi1));

> plot({axa,aya},t=0..5);

> axc1:=axa/2;ayc1:=aya/2;

> cos(phi2):=sqrt(1-r^2/l^2*(sin(phi1))^2);

> xb:=xa+l*cos(phi2);yb:=0;

> phi2:=arccos(sqrt(1-r^2/l^2*(sin(phi1))^2));

> plot(phi2,t=0..5);

> plot(xb,t=0..5);plot(yb,t=0..5);

> omega2:=diff(phi2,t);

> plot(omega2,t=0..5);

> eps2:=diff(omega2,t);

> plot(eps2,t=0..5);

> xc2:=simplify((xb+xa)/2);yc2:=simplify((yb+ya)/2);

> vxb:=-r*omega1*sin(phi1)-l*omega2*sin(phi2);vyb:=0;

> plot({vxb,vyb},t=0..5);

> axb:=-r*(eps1*sin(phi1)+omega1^2*cos(phi1))-

l*(eps2*sin(phi2)+omega2^2*cos(phi2));ayb:=0;

> plot({axb,ayb},t=0..5);

> axc2:=(axb+axa)/2;ayc2:=(ayb+aya)/2;

c. Modelare in ADAMS Lansarea MSC.ADAMS din WINDOWS:

Crearea unui model nou a. se introduce denumirea modelului: mecanism_biela_manivela

b. se selecteaza OK; apare interfata de lucru a programului

Interfata de lucru in ADAMS

Setarea mediului de lucru: - setarea unitatilor de masura;

- setarea retelei de puncte de lucru In campurile Size introduceti “500”, iar în campurile Spacing introduceti “20”.

- setarea marimii iconitelor de identificare

Crearea manivelei a. Click pe suprafata de lucru. b. Apasati tasta F4. Apare fereastra Coordinates

c. Selectati Link din Main

Toolbox. d. Selectati Length, apoi Width

si Depth. e. In campul Length introduceti 70, in campul Width si Depth introduceti 10. f. Pozitionati cursorul in pozitia (0,0,0) si dati click. g. Mutati cursorul si, cand vedeti ca apare elementul cinematic, dati click. Este creata manivela denumita automat PART_2. Redenumirea piesei: a. Click-dreapta pe manivela (PART_2). b. Selectati Part:PART_2/Rename c. In campul New Name

introduceti “Manivela”. d. Selectati OK.

Crearea bielei: a. Selectati Link in Main

Toolbox. b. Selectati Length, in campul Length introduceti 300. Selectati Width, in campul Width

introduceti 10. Selectati Depth, in campul Depth introduceti 10. c. Mutati cursorul in punctul ”Manivela.Marker2” si dati click. d. Mutati cursorul pe abscisa pana cand elementul cinematic care a aparut a atins punctul cu ordonata 0 (340,0,0) si dati click. e. Este creata biela, denumita automat PART_3. f. Redenumiti PART_3 ca “Biela”.

Crearea Ghidajului: a. Selectati Link in Main

Toolbox. b. Selectati Length, in campul Length introduceti 200. Selectati Width, in campul Width

introduceti 10. Selectati Depth, in campul Depth introduceti 10. c. Mutati cursorul in punctul (200,0,0) si dati click. d. Mutati cursorul pe abscisa pana cand elementul cinematic a aparut si dati click. e. Este creat ghidajul, denumit automat PART_4. f. Redenumiti PART_4 ca “Ghidaj”. Crearea culisei a. Selectati Box in Main

Toolbox. b. Selectati Length, in campul Length introduceti 60. Selectati Width, in campul Width

introduceti 50. Selectati Depth, in campul Depth introduceti 50. c. Mutati cursorul pe abscisa pana cand elementul cinematic a aparut si dati click atunci cand acesta devine simetric fata de capatul bielei.

Crearea cuplei de translatie a. Selectati Joint: Translational din Main Toolbox. b. In campul Construction

selectati 2 Bod-1 Loc , apoi selectati biela, culisa, locatia in Marker_4 si directia de culisare.

Crearea cuplelor de rotatie: a. Pentru cupla de rotatie din O1, selectati Revolute Joint din Main

Toolbox. b. In campul Construction field, selectati 1 Location si Normal

To Grid. c. Click pe capatul din stanga al manivelei, in originea sistemului de axe. Cupla de rotatie creata este denumita automat JOINT_2 d. Redenumiti-o JOINT_O1. e. Pentru cupla de rotatie din A, selectati Revolute Joint din Main

Toolbox. f. In campul Construction field, selectati 2 Bod-1 Loc , apoi selectati manivela, biela si locatia in Marker_2. g. Cupla de rotatie creata este denumita automat JOINT_3. Redenumiti-o JOINT_A. h. Pentru cupla de rotatie din B, selectati Revolute Joint din Main

Toolbox. f. In campul Construction field, selectati 2 Bod-1 Loc , apoi selectati biela, culisa si locatia in Marker_4.

Crearea cuplei fixe dintre ghidaj si baza. a. Selectati Joint: Fixed in Main

Toolbox. b. In campul Construction field, selectati 1 Location si Normal

To Grid. c. Mutati cursorul pe abscisa si dati click pe extremitatea din dreapta a ghidajului.

Impunerea miscarii elementului conducator: a. Selectati instrumentul Rotational Joint Motion. b. In campul Speed introduceti 30. c. Click pe “JOINT_O1” pentru a-i aplica miscarea de rotatie.

Salvarea modelului: a. Selectati File/Select Directory

din bara de menu. b. Selectati un folder existent pentru a salva modelul. c. Selectati OK. d. Selectati File/Save Database

din menu. Fisierul mecanism_biela_manivela.bin

este salvat in folderul ales.

Simularea modelului; a. Click pe butonul Interactive

Simulation Controls button. b. In campul End Time

introduceti 50. c. In campul Steps introduceti 50. d. Click pe butonul Start or

continue simulation.

Animarea modelului: a. Click pe butonul Animation. b. Click pe butonul Animation:

Forward pentru a incepe animatia. c. Click pe butonul Step Forward

pentru a vedea animatia pas cu pas.

Masurarea unor marimi ale modelului: -unghiul manivelei: a. Selectati din meniu Build/Measure/Angle/New b. In campul Measure Name, in caseta de dialog Angle Measure, introduceti MEA_ANGLE_1. c. In campul First Marker

introduceti MARKER_2. d. In campul Middle Marker

introduceti MARKER_1. e. In campul Last Marker

introduceti MARKER_18. f. Selectati OK.

- viteza unghiulara a bielei:

Post-procesarea rezultatelor masuratorilor: a. Click pe butonul Plotting

din Main Toolbox. Apare fereastra ADAMS/PostProcessor. b. Selectati Measures in campul Source. c. Din partea dreapta a filei de lucru, setati Independent

Axis pe Data. Apare Independent Axis Browser. d. Din lista Measure, selectati MEA_ANGLE_1. e. Select OK. Independent

Axis Browser dispare. Selectati Add Curves f. Din lista Measure, selectati MEA_ANGLE_3. g. Selectati Add Curves. Rezultatele masuratorii MEA_ANGLE_3 apar comparativ cu MEA_ANGLE_1.

Editarea graficului: a. From the tree view, double-click page_1. b. Double-click plot_1. c. Click haxis. d. In the property editor, select the tab Format. e. Uncheck Auto Scale. f. Change 400 to 360 in Limits text field.