unitatea de Învatare nr. 2

Spatii vectoriale. Operatori liniari

Unitatea de învăţare Nr. 2 Spatii vectoriale. Operatori liniari Cuprins Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 2 2.1.Notiunile de spatii vectoriale si baze in spatii vectoriale 2.2.Operatori liniari 2.3.Proprietatile operatorilor liniari in spatii vectoriale Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2

Pagina

12 13 14 15 15 17 10

Matematici aplicate în economie 1


OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 2 Principalele obiective ale unităţii de învăţare Nr. 2 sunt:

• Sa cunoasca notiunile de multime liniar independenta, sistem de generatori • Sa cunoasca notiunea de operator liniar • Sa cunoasca notiunile de imagine si nucleu pentru un operator liniar • Sa aplice proprietatile operatorului liniar

2.1 Notiunile de spatii vectoriale si baze in spatii vectoriale Spatiu vectorial, vectori scalari



Multime liniar independenta, sistem de generatori,baza

Test de autoevaluare 2.1. 1. Fie { } ( ) ( )1 2 1 2, , 1,1 , 1,0B e e e e= = = −

Sa se arate ca B este baza in 2

2. Fie ( ) ( ) ( )1 2 31, 1 , 1, 2 , 1,3e e e= − = = −

Sa se calculeze 1 22 3 5e e e3+ +

Răspunsul se va da în spaţiul gol de mai sus. Răspunsul la test se găseşte la pagina xx.



2.2. Operatori liniari Definitii echivalente ale operatorilor liniari

Test de autoevaluare 2.2. 1.Fie T x ( )1 2 1 2, 3 2 ,

x x x= + 2:T →

1 2 1 2 1 2, ,x x x x x= − + 2:T → Sa se arate ca T este operator liniar. 2. T x ( ) ( ) , Sa se arate ca T este operator injectiv Răspunsul se va da în spaţiul gol de mai sus. Răspunsul la test se găseşte la pagina xx.



2.3. Proprietatile operatorilor liniari in spatii vectoriale Imaginea unui operator, nucleul unui operator

Test de autoevaluare 2.3. 1. ( ) (1 2 3 1 2 2 3, , ,T x x x x x x x= − − )

3 2:T → a) Sa se arate ca T operator liniar b) ?erK T =

?mI T =

2. 1: m mT P P −→

( ) 'T f f=

Sa se afle erK T Răspunsul se va da în spaţiul gol de mai sus. Răspunsul la test se găseşte la pagina xx.

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul unităţii de învăţare nr. 1. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare nr. 1 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.



Lucrare de verificare unitate de învăţare nr. 2

1. Fie ( ) ( ) ( )1 2 31,1,1 , 1,1,0 , 0, 2,1e e e= − = =

Sa se arate ca B={ }1 2 3, ,e e e nu este baza

2. Fie T ( )1 2 3 1 1 2 2 3 3, ,x x x x e x e x e= + + unde sunt vectorii de la punctul (1) 1, 2 3,e e e

a) Sa se arate ca T este operator liniar b) Sa se calculeze Im T si Ker T Pentru răspunsurile studenţilor lăsaţi spaţii adecvate între întrebări.

Răspunsurile testelor de autoevaluare

Răspuns 2.1.

1 2e e e= + 3 rezulta liniar dependenti deci nu este baza. 1 2 3, ,e e e Răspuns 2.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 1 3, , , , , ,0 0, 2 , , 2 ,T x x x x x x x x x x x x x x x x x= − + + = − + + + +

a) T operator liniar b) KerT = ( ){ }, , |x α α α α= − − ∈

Bibliografie unitate de învăţare nr. 2

[1] - P.Anghel, S. Fulina, Matematici superioare Ed. Muntenia, 2006 [2] - V. Brînzănescu, O. Stănăşilă, Matematici Speciale (teorie, exemple, aplicaţii), Ed. All, Bucureşti, 1998. [3] - G. Cenuşă, A. Filip, D. Baz, B. Ieftimie, C. Raischi, M. Toma, L. Badin, A, Agapia, Matematici pentru economişti, Culegere de probleme, Editura Cison, Bucureşti, 2002. [4] - I. Colojoară, Analiză Matematică, Editura Didactică şi Pedagocică, Bucureşti, 1983. Romane, 1991, Bucureşti, 2001. [5] - C. Mortici, Analiză Matematică. Culegere de probleme. Ed. Plus, Bucureşti, 2001. [6] - S. Rădulescu, M. Rădulescu, Teoreme şi Probleme de Analiză Matematică, Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1982.


unitatea de Învatare nr. 2

Documents