TrainingSubiect: Evaluarea abilităţilor şi capacităţilor intelectuale de analiză şi sinteză la elevi prin rezolvarea problemelor de tip cascadă, rezolvarea de probleme integrate.

ETAPA I – partea teoretică (45 minute)Parteneri – lot de copii în număr de 5, cîte un reprezentant di fiecare clasă a V-a – a IX-aGrupul de elevi în componenţa:

1. Zbîrnea Alina2. Spatari Mihai3. Enachi Carolina4. Cazac Efrosenia5. Enachi Ana

Obiectiv de bază – să demonstreze importanţa problemelor de matematică în viaţa cotidiană şi competenţa de angajare a elevilor într-un demers instructiv.Argument:Modernizarea învăţămîntului obligă profesorul să depăşească practica desfăşurării tradiţionale a lecţiei, pentru ca orele să capete forme şi conţinuturi mai variate şi mai flexibile.Viziune:Necesitate personală de aplicare a unor tipuri de lecţii netradiţionale ca formă, structură, conţinut, lecţii care constituie un act de creaţie a profesorului, dar care, deseori implică şi o doză de risc didactic.

Planificarea activităţii:1. Importanţa problemelor de matematică şi rolul lor în dezvoltarea

gîndirii critice a elevilor. Responsabil Enachi Carolina, clasa a V-a.(anexa 1)

2. Metode practice şi utile de rezolvare a problemelor de matematică.Responsabil Spatari Mihai, clasa a VI-a, va comunica despre metodile arimetice de rezolvare a problemelor de matematică şi metoda ecuaţiei, prezentarea unei probleme rezolvate.(anexa 2)

3. Cum să rezolvăm o problemă?Responsabil Zbîrnea Alina, clasa a VII-a, va comunica care sînt etapele rezolvării unei probleme şi paşii pe care trebuie să-i întreprindă.(anexa 3)

4. Importanţa educativă a problemelor de matematică. Responsabil Cazac Efosenia, clasa a IX-a, (anexa 4).

5. Problemele de matematică de tip cascadă şi rolul lor din perspectiva şcolii reformate de azi.

Responsabil Enachi Ana, clasa a IX-a, (anexa 5).

Eu:

1

Societatea prezentului, dar mai ales a viitorului, se circumscrie unui timp al informaţiei, al complexităţii. De aceea, investiţia în inteligenţa, creativitatea şi capacitatea de inovare a indivizilor, a grupurilor, va fi extrem de rentabilă în viitor.Copilul este un proiect “aruncat” în lume, aflat într-o stare de “facere”, pentru ca apoi, devenit adult, să se formeze continuu de-a lungul vieţii.Rolul învăţătorului în procesul de modelare a omului este poate cel mai important. Punându-şi elevii în situaţii variate de instruire, el transformă şcoala “într-un templu şi un laborator” (M. Eliade ).Matematica este obiectul care generează la marea majoritate a elevilor eşecul şcolar. De aceea profesorul de matematică trebuie să creeze un climat instituţional favorabil folosind diverse metode moderne care să-l determine pe elev să se implice activ în procesul instructiv - educativ. "Achiziţia unei formaţii matematice - spunea academician Nicolae Teodorescu - trebuie să fie, în mod integral un rezultat al activităţii elevilor. Este nepedagogic confruntarea dintre elev şi o matematică gata făcută şi trebuie aplaudată ideea fundamentării învăţământului matematicii pe activitatea spontană a elevului. Dar, pentru aceasta, elevul trebuie învăţat să analizeze situaţii reale şi să construiască modele care derivă din acestea, pentru a le matematiza. Plecând de la realitate şi străbătând el însuşi, ca explorator, toate etapele, elevul poate ajunge să aplice matematica la realitate."

"Tot ce este gândire corectă este sau matematică, sau susceptibilă de matematizare." 

( Grigore Moisil )Şi astăzi, în cadrul întrunirii metodice trainig vom discuta, analiza şi rezolva un subiect eficient al orelor de matematică: rezolvarea problemelor de tip cascadă şi integrative. Literatura didactică oferită şi cunoscută de noi ne-a făcut să stabilim că trainigul nu este o activitate unitară, dar este constituită di 3 părţi componente. La moment sîntem la prima parte a trainigului – partea teoretică.

În continuare vom aplica Metoda Snow cardParticipanţii primesc câte o foiţă mică (cca 1/6 din foia A4), pe care notează ideile referitoare la un acest subiect: Evaluarea abilităţilor şi capacităţilor intelectuale de analiză şi sinteză la elevi prin rezolvarea problemelor de tip cascadă, rezolvarea de probleme integrate.Apoi, tot în grup, acestia sunt prinse pe perete, la a III-a parte a activităţii vor fi citite, analizate şi grupate.Aş vrea să continui cu moto –ul: „Dezvăluindu-i copilului un adevăr, noi îl facem înţelept pe o zi, învăţîndu-l să-l descopere singur, îl ajutăm să devină înţelept pentru o viaţă.”(A.Silvestru)

Ofer cuvîntul elevilor încadraţi în acest trainig.

2

În concluzie, pe marginea la toate prezentările discipolilor mei voi veni cu următoarea remarcă:Cu adevărat, întroducerea în şcoala reformată a unui tip de probleme de matematică de tip cascadă este o dovadă elocventă că matematica ca disciplină academică progresează.Şi anume prin intermediul itemilor de tip cascadă şi a problemelor integrate, noi profesorii urmărim un scop:

Evaluarea abilităţilor şi capacităţilor intelectuale care în ultima instanţă fac ca orice copil să ia de la aceste ore ceva util şi important pentru sine.

În rezultatul activităţii revenim la obietivul de bază pe care ni l-am propus: Obiectiv de bază – să demonstrăm importanţa problemelor de matematică în viaţa cotidiană şi competenţa de angajare a elevilor într-un demers instructiv.

S-a demonstrat importanţa matematicii şi a problemelor de matematică , mai mult, am avut scopul de a demonstra competenţa de angajare a elevilor în discutarea unor subiecte serioase. Oferim cuvîntul observatorului (anexa 6).Cu aceasta prima etapă a trainigului a finalizat, vă propun o pauză de 10 minute, pauză de cafea.

Anexa 1. Clasa a V-aMatematica se învaţă nu pentru a se şti, ci pentru a se folosi, pentru a se aplica în practică în rezolvarea diferitelor probleme, fiind ştiinţa care a pătruns aproape în toate domeniile de cercetare şi care îşi aduce o importantă contribuţie la dezvoltarea tuturor ştiinţelor. 

„E drept că matematica pare uneori să ne îndrume spre ţinuturi ce nu au nici o legătură cu lumea faptelor, în mijlocul căreia respirăm … De atâtea

ori însă, tocmai aceste născociri … îşi găsesc ulterior aplicarea cea mai surprinzătoare”(Lucian Blaga).

Termenul „problemă” nu este suficient delimitat şi precizat. Etimologic, în limba germană, „pro-ballein” înseamnă „înaintea unei bariere”, „obstacol care stă în cale”, ce mai poate fi interpretat ca o dificultate teoretică sau practică, a cărei înlăturare nu se poate face prin aplicarea directă a unor cunoştinţe şi metode cunoscute, ci acţiunea comportă investigare, căutare.Prin rezolvarea de probleme se dezvoltă deprinderi eficiente de munca intelectuale, avînd un rol important şi în studiul altor discipline, se cultivă şi se educă voinţa, perseverenţa, spiritul de răspundere fată de îndeplinirea sarcinilor, formarea unei atitudini constiente şi corecte fată de muncă.Pe baza gîndirii, omul intervine asupra mediului înconjurator şi-l transformă în folosul său. Intregul progres pe care l-a realizat omenirea de la apariţia omului şi

3

pînă la marea aventură a călătoriilor extraterestre se datorează acestui „instrument” cu care este înzestrata speţa umană şi pe care-l numim gîndire.Voi finaliza cu motto-ul: Matematica este o lecţie de viaţî în care fiecare reuşeşte să adune, să scadă, să înmulţească şă să împartă. De altfel matematica oglindeşte trecerea prin viaţă a fiecăruia dintre noi.

Anexa 2.Clasa a VI-aUnele probleme se rezolvă prin mai multe căi sau metode (moduri). Se compară şi se optează pentru calea cea mai rapidă şi mai simplă. Fiecare problemă este concepută astfel încât să îl pună în dificultate pe rezolvitor. Dacă acesta pătrunde înţelesul problemei, stabileşte corect relaţiile dintre datele din enunţ, „flacăra înţelegerii“ se aprinde şi luminează drumul spre depăşirea obstacolelor; dacă nu, efortul trebuie continuat, pentru că „gustul fructului dulce“ nu se lasã prea mult timp nedescoperit în faţa unui şcolar cu voinţă. Orice problemã rezolvată produce anumite impresii, care trebuie sã ducă la concluzii mobilizatoare. Metodele studiate de noi în clasele primare şi în clasele a V-a – a VI-a sînt:

metoda grafică (metoda figurativă); metoda reducerii la unitate; metoda mersului invers; metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie sau metoda comparaţiei; metoda falsei ipoteze; regula de trei simplă, numite metode aritmetice de rezolvare a

problemelor cu text, metoda ecuaţiei.

Pentru a putea memoriza mai uşor a putea rezolva probleme, trebuie de ţinut cont de nişte sfaturi:

1. Problema a fost uşoară → totdeauna o voi rezolva corect.2. Am întâmpinat o micã dificultate → mai rezolv probleme

asemănătoare, pentru a stăpîni bine acest tip. 3. Nu am înţeles rezolvarea problemei → o reiau în totalitate (de la enunţ

la verificare) pânã la înþelegerea deplinã; sunt hotãrât; nu renunţ!

Înarmează-te cu voinţă pentru a ieşi învingător!

În cele ce urmează voi prezenta rezolvarea unei probleme prin metoda comparaţiei sau metoda aducerii la acelaşi termen de comparaţie. În aceste probleme apar două mărimi, care pot fi comparate în acelaşi mod şi sunt caracterizate de câte două valori. Metoda constă în a aduce una dintre mărimi la aceeaşi valoare, având apoi de aflat o singură mărime. Aşezarea datelor

4

problemei trebuie urmărită cu stricteţe. Voi prezenta rezolvarea unei probleme prin aceasta metodă.

Se dă următoarea problemă:4 metri de stofă şi 3 metri de postav costă 1250 de lei, iar 2 metri de stofă şi 6 metri de postav costă 1300 de lei. Cât costă metrul de stofă şi cât costă metrul de postav?Datele problemei le aşezăm astfel:

4 m stofă …………….

3 m postav …………..

1250 lei

(1)

2 m stofă …………..

6 m postav …………

1300 lei

(2)

Rezolvare:Dacă luăm cantităţi duble, adică înmulţim cu 2 cantităţile celui de al doilea rând (2), preţul se dublează, şi vom scrie:

4 m stofă ……………….

3 m postav ……………..

1250 lei

4 m stofă ……………….

12 m postav …………….

2600 lei

Cum cantitatea de stofă este aceeaşi, înseamnă că diferenţa de preţ apare datorită diferenţei cantităţilor de postav, aşadar:12m-3m= 9 m de postav, care costă 2600 lei-1250 lei=1350 lei. Un metru de postav va costa 1350 lei : 9 = 150 lei.Vom continua astfel:3 metri de postav costă 3×150 lei=450 leiatunci4 metri de stofă vor costa 1250 lei – 450 lei=800 lei. Un metru de stofă va costa 800 lei : 4 = 200 lei.Răspunsul este:1 m stofă costă 200 lei, iar 1 m postav 150 lei.

Observaţie: Întâmplarea a făcut ca de fiecare dată să dublăm cantităţile. Le putem înmulţi cu 3, cu 4, etc.

Dacă uşa nu se deschide , încercaţi toate cheile, dar intraţi!

5

Anexa 3.Clasa a VII-aUna din principalele întrebări privind studiul problemelor de matematică este întrebarea Cum se rezolvă o problemă de matematică? Savantul Tartakovski, răspunzînd la această întrebare compară procesul de rezolvare cu procesul prinderii unui şoarece care s-a ascuns într-o movilă de pietre:„Există două căi de a prinde şoarecele care s-a ascuns într-o movilă de pietre, povestea el. Se poate lua din movilă pe rînd piatră cu piatră pînă cînd se va arăta şoarecele. Atunci aruncaţi-vă şi prindeţi-l... Dar se poate şi altfel. Trebuie să vă mişcaţi şi să vă tot mişcaţi în jurul movilei şi să observaţi, dacă nu se arată de undeva codiţa şoarecului. Cum observaţi codiţa – puneţi mîna şi trageţi şoarecele din movilă.”În caz general rezolvarea oricărei probleme parcurge următoarele etape:

CUM SE REZOLVĂ O PROBLEMĂ?

Nr. crt.

Etapele rezolvării problemei

Procedee de lucruProverbele

ce ne vor ajuta

Etapa I

Înţelegerea şi însuşirea condiţiei

problemei

Studiaţi condiţia problemei şi însuşiţi-o;

Răspunde la întrebările: 1) Ce este dat în problemă (ce

mărimi)?2) Ce trebuie de aflat (ce este

necunoscut)?- Reprezentaţi figura şi faceţi

notaţiile respective;- Determinaţi sistemul de relaţii

dintre datele problemei, dintre datele ei şi întrebarea problemei.

Întîi chibzuieşte, apoi vorbeşte

Etapa II

Elaborarea planului de rezolvare a problemei

- Determinaţi dacă există problema la care se reduce rezolvarea problemei date;

- Ţineţi cont de relaţiile dintre mărimile problemei;

- Introduceţi notaţiile respective pebtru mărimile necunoscute;

- Divizaţi rezolvarea pe porţiuni – paşi; încercaţi să rezolvaţi o parte a problemei;

Dacă uşa nu se deschide,

încercaţi toate cheile.

Omul vrednic se face luntre şi

punte şi iese la mal.

6

- Determinaţi consecutivitatea alcătuirii expresiilor respective ale problemei;

- Stabiliţi care dintre mărimi se pot egala;

- Verificaţi dacă toate mărimile şi datele problemei au fost folosite la rezolvarea problemei.

Nu bate apa în piuă.

Etapa III

Realizarea planului elaborat

- Ţineţi cont de scopul final al rezolvării problemei;

- Treceţi la următorul pas numai după ce vă convingeţi de justeţea celui precedent;

- Utilizaţi proprietăţile obiectivelor evidenţiate în condiţia problemei;

- Verificaţi corelaţia dintre dimensiunile prezente în expresiile alcătuite;

- Căutaţi o altă cale de rezolvare.

Încetul cu încetul se face

oţetul.

Cu răbdarea treci şi marea.

Etapa IV

Verificarea rezolvării efectuate

- Verificaţi justeţea rezolvării problemei;

- Verificaţi procesul rezolvării;- Verificaţi corespondenţa dintre

dimensiunile mărimilor obţinute la răspuns;

- Evaluaţi modul de rezolvare a problemei;

- Rezolvaţi problema prin altă metodă;

- Verificaţi dacă răspunsul corespunde condiţiei problemei.

De şapte ori măsoară şi o

dată taie.

Cred că proverbul Omul se face luntre şi punte şi iese la mal este binevenit aici.

Anexa 4. Clasa a IX-aProblemele de matematică au o importanţă majoră în studierea matematicii şi nu numai.Importanţa instructivă – prin intermediul problemelor de matematică se însuşesc noţiuni, proprietăţi, metode, algoritmi, teoreme etc. Astfel elevii dobîndesc cunoştinţe matematice şi îşi formează capacităţile respective. Importanţa practică – prin intermediul problemelor de matematică se realizează corelarea matematicii cu practica cotidiană. Rezolvînd probleme cu aspect practic elevii învaţă a aplica matematica în viaţă, intensificîndu-se astfel motivaţia studierii matematicii. Şi invers, procesele reale din cotidian se ,

7

regulă, prin modele matematice, care fiind studiate şi conştientizate duc la o înţelegere mai bună a celor ce ne înconjoară în viaţa de zi cu zi. Importanţa formativă – prin intermediul problemelor de matematică se formează şi se dezvoltă gîndirea logică, absolut necesară tutror şi în orice activitate. În procesur rezolvării problemelor se formează şi se dezvoltă capacităţile/competenţele fixate în curricula la matematică, inclusiv, un limbaj specific, laconic, concret, cu prezentarea argumentelor respective.Importanţa educativă – aspectul educativ al problemelor de matematică are ca scop major atingerea obiectivelor, fixate în curriculum, privind formaraea atitudinilor în cadrul studierii matematicii.Prin intermediul problemelor pot fi atinse diverse obiective:

1. Recapitularea şi sistematizarea materiei studiate;2. Consolidarea materiei studiate;3. Ilustrarea celor studiate în cadrul lecţiei;4. Formarea priceperilor şi deprinderilor, a capacităţilor;5. Sistematizarea, clasificarea şi generalizarea materiei studiate;6. Evaluarea rezultatelor şcolare a elevului.

Vreau să menţionez următorul lucru:

Experienţa celui mai bun elev în disciplinele socio-umanistice nu poate fi considerată completă, dacă el n-a avut ocazia să rezolve măcar o problemă de matematică.

Anexa 5.

Clasa a IX-a

Pe parcursul secolelor matematica a fost şi rămîne un element indispensabil al învăţămîntului general în toate ţările lumii. Aceasta se exprimă prin rolul unic al matematicii în formarea şi dezvoltarea personalităţii copilului. Mult timp calitatea învăţămîntului, iclusiv cel matematic era apreciată după calitatea „intrării” în sistem: manualele, programele şcolare, capacităţile profesorului. Abia pe la mijlocul secolului al XX-lea calitatea a început să fie apreciată după „ieşiri”, adică după rezultatele învăţării. Studierea matematicii îl învaţă pe copil să realizeze o analiză logică a unei situaţii, să tragă concluzii din anumite fapte, folosind raţionamente logice, să analizeze definiţiile existente şi să formuleze definiţii noi, să distingă cunosutul de necunoscut, să clasifice elemente de natură diferită, să formuleze ipteze, să le verifice şi să le accepte sau să le respingă, să se folosească de analogii etc.

Experienţa pe care o capătăm noi, elevii, în procesul de rezolvare a problemelor matematice contribuie nu numai la formarea capacităţii de gîndire raţională şi modul de exprimare a gîndului, dar şi la dezvoltarea intuiţiei, adică a capacităţii de a prevedea rezultatul şi calea de rezolvare.

Pentru a ne orienta şi a trăi în lumea contemporană, fiecare individ trebuie să dispună de un set de cunoştinţe şi capacităţi matematice:

- Deprinderi de calcul;8

- Elemente de geometrie practică – măsurarea dimensiunilor;- Identificarea şi reprezentarea figurilor geometrice;- Operarea cu funcţii şi grafice;- Alcătuirea şi rezolvarea proporţiilor;- Estimarea probabilităţii producerii unui eveniment etc.

Pentru a merge în ritm cu timpul în practica educaţională se introduce un nou tip de probleme de matematică – probleme de matematică de tip cascadă.

Şi dacă pînă acum colegii mei au prezentat informaţii despre rolul matematicii ca disciplină şcolară, importanţa problemelor de matematică, etapele rezolvării problemelor de matematică şi chiar rolul educativ în rezolvarea problemelor, în continuare eu voi dezvolta acest subiect, axîndu-mă pe rolul unic al matematicii în formarea şi dezvoltarea personalităţii copilului doar prin intermediul problemelor de matematică de tip cascadă după planul:

Definiţia Structurarea Eficienţa Un exemplu de problemă de tip cascadă.

Definiţia

Problema de matematică de tip cascadă este problema în care răspunsul la întrebarea următoare este în funcţie de rezultatul obţinut la pasul precedent (cascada precedentă).

Structurarea

Problemele de matematică de tip cascadă pot fi structurate în:

Cascade liniare Cascade ramificate

Problemele de tip cascadă liniară conţin întrebări dintr-un număr

mai mare de capitole, pot fi combinate - algebră + geometrie

Problemele de tip cascdă ramificată conţin întrebări dintr-o unitate de

învăţare. Pot fi doar din algebră sau doar din geometrie, de exemplu: la problema cu triunghiuri inscrise şi circumscrise - toate întrebările se

referă doar la triunghiuri.

În aspect didactic problemele de matematică de tip cascadă sînt eficiente la:

Studierea materiei şi formarea competenţelor preconizate în currriculum-ul la matematică;

Realizarea conexiunilor intra- şi interdisciplinare în cadrul studierii matematicii;

Organizarea şi realizarea recapitulării şi materiei studiate; Formarea şi dezvoltarea gîndirii logice; Dezvoltarea interesului pentru matematică;

9

Dezvoltarea capacităţii creative ale elevilor; Pregătirea către susţinerea examenelor la matematică; Realizarea unor conexiuni intradisciplinare; Evaluarea rezultatelor şcolare la matematică (cu o atenţie sporită).

Sarcinile incluse în problema de matematică de tip cascadă pot avea conexiuni cu diverse teme matematice ceea ce majorează şansele elevilor de a conştientiza esenţa materiei matematice studiate. Ele servesc ca surse importante de integrare a cunoştinţelor şi formare a competenţelor.

...

,

10