matem financiare actuariale - curs

MATEMATICI FINANCIARE I ACTUARIALE

ANUL I Semestrul 2

Cluj-Napoca 2014

UNIVERSITATEA BABES-BOLYAI CLUJ-NAPOCAFACULTATEA DE STIINTE ECONOMICE SI GESTIUNEAAFACERILORTRUNCHI COMUN ANUL I IDANUL UNIVERSITAR 2014/2015SEMESTRUL II

SUPORT DE CURS

Anul I

Semestrul 2

Intocmit de:Anton S. Muresan

Diana Andrada FilipPaula Curt

Rodica Ioana Lung

Cluj Napoca,2014

Cuprins

1 MODULUL I. ALGEBRA LINIARA 71.1 UNITATEA 1. Aplicatii economice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 UNITATEA 2. Sisteme de ecuatii liniare. Solutii admisibile de baza . . . . . . . . . . . 81.3 UNITATEA 3. Programare liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 UNITATEA 4. Problema de repartitie (de transport) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Teme de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 MODULUL II. MATEMATICI FINANCIARE 442.1 UNITATEA 1. Dobanzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.1 Dobanda simpla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.2 Factor de fructificare. Factor de actualizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.3 Dobanda compusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.4 Echivalenta sistemelor de mprumuturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2 UNITATEA 2. Imprumuturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.1 Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.2 Anuitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.3 Amortizarea mprumuturilor indivizibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4 Teme de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 MODULUL III. MATEMATICI ACTUARIALE 773.1 UNITATEA 1. Functii biometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2 UNITATEA 2. Plati viagere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3 UNITATEA 3. Plati n caz de deces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.4 UNITATEA 4. Asigurari de persoane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.4.1 Principiul echilibrului financiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4.2 Asigurarea de viata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4.3 Asigurarea de pensii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.4 Asigurare de deces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.4.5 Asigurare mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.5 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.6 Teme de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2

Informatii generaleDate de contact ale titularilor de curs:

1. Muresan Anton S., Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel0264 418 652/int.5809.

2. Curt Paula, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418652/int.5809.

3. Filip Diana Andrada, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel0264 418 652/int.5809.

4. Lung Rodica Ioana, Cabinetul 230, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418652/int.5810.

5. Rosca Alin, Cabinetul 231, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418 652/int.5857.

6. Radu Voichita, Cabinetul 230, Etajul II, E-mail: [email protected]; tel 0264 418652/int.5810.

Fax: 0264-412570

Contact tutori:

1. Muresan Anton, [email protected]

2. Filip Diana Andrada, [email protected]

3. Curt Paula, [email protected]

4. Lung Rodica Ioana, [email protected]

5. Rosca Alin, [email protected]

6. Radu Voichita, [email protected]

7. Filip Darius, [email protected]

8. Coconet Tiberiu, [email protected]

9. Pop Flaviu, [email protected]

3

Obiective

Sa familiarizeze studentii cu tehnicile si metodele matematice utilizate in economie.

Formarea capacitatii de a recunoaste, de a pune n forma matematica si a rezolva probleme deprogramare liniara de transport (de repartitie).

Deprinderea de a lucra cu notiunile de baza ale matematicii financiare, cum sunt operatiunilede dobnda precum si rambursarile de credite si mprumuturi.

Fundamentarea unor notiuni de matematici actuariale care sa constituie pentru studenti in-strumente pentru tratarea unor probleme ce privesc diverse tipuri de plati viagere si de decesprecum si asigurari de persoane.

Competente profesionale

Sa si nsuseasca conceptele de baza si sa-si creeze deprinderea de a le utiliza.

Capacitatea de a culege, analiza si interpreta date si informatii referitoare la problemele economico-financiare.

Studentul trebuie sa fie capabil sa aplice n practica notiunile studiate pentru analiza unorsituatii concrete din economie, cum ar fi: programarea productiei, transportul cu costul totalminim, sisteme de mprumuturi echivalente si rambursari de credite si mprumuturi, respectivprincipalele tipuri de asigurari de persoane.

Competente transversale

Aplicarea principiilor, normelor si valorilor eticii profesionale n cadrul propriei strategii demunca riguroasa, eficienta si responsabila.

Studentul trebuie sa fie capabil sa aplice n practica notiunile studiate pentru analiza unorsituatii concrete din economie, cum ar fi de exemplu deschiderea unui cont de economii, ram-bursarea unui credit sau ncheierea diferitelor tipuri de asigurari de persoane.

Locul de desfasurare a cursului: Cladirea Campus, sali etajul II .Programarea n orar a activitatilor (la nvatamantul de zi): Saptamanal 1 ora de curs + 2 ore de

seminar, conform orarului afisat la sediul facultatii; (la nvatamatul ID): 8 ore activitati tutoriale

Conditionari si cunostinte prerechizite: - Cursul de Matematici aplicate in economie

CERINTE PENTRU EXAMEN: Nota la examen se compune din nota obtinuta pentru lucrarea scrisa(maxim 7 puncte) la care se adauga maxim 3 puncte pentru activitatea individuala.

Pentru obtinerea celor 3(trei) puncte pentru activitatea individuala la examen se vor prezenta urmatoarele:

1. Un caiet de teme cu toate problemele propuse din acest syllabus;

2. Referatul 1: Dobanda simpla; Dobanda compusa; Echivalenta sistemelor de mprumuturi

[Inapoi la Cuprins] 4

3. Referatul 2: Rezerva matematica.

Bibliografia pentru referate: Colectiv, Elemente de matematici financiare si actuariale. Teorie si probleme,Editura Mega 2013;

Organizarea temelor (partilor) in cadrul cursului: Cursul va avea urmatoarele trei parti:1. Algebra liniara2. Matematici financiare3. Matematici actuarialeOrganizarea temelor s-a facut avand in vederea ordinea fireasca si gradul de dificultate sa ur-

meze o ordine crescatoare. Informatia relevanta referitoare la fiecare tema (parte) se gaseste in listabibliografica ce va fi prezentata ulterior, iar accesul va fi realizat direct.

Formatul si tipul activitatilor implicate de curs: Formatul va fi unul clasic, permitand studentu-lui de a-si gestiona singur, fara constrangeri, parcurgerea cursului. De sigur o participare la activi-tatile planificate va usura intelegerea tematicii cursului. Tipurile de activitati ce vor fi abordate incadrul cursului vor fi atat cele clasice cat si proiecte de grup.

Materiale bibliografice obligatorii: Principalele materiale bibliografice pe care le vom utiliza, sicare se vor gasi la biblioteca facultatii, iar unele vor putea fi accesate prin internet, sunt:

1. Colectiv, Elemente de matematici financiare si actuariale. Teorie si probleme, Editura Mega2013.

2. Colectiv, Matematici aplicate n economie, Ed. Mega 2012.

Bibliografie completa 1. Muresan A.S., Matematici aplicate in finante, asigurare, banci, burse, Ed.Risoprint, Cluj-Napoca, 2000.

2. Muresan A.S., si colectiv, Matematici pentru economisti, vol. 1,2, Ed. Dacia, Cluj-Napoca,2000.

3. Muresan A.S., Lung I.R., Matematici aplicate in economie (cercetari operationale), Ed. Media-mira, Cluj-Napoca, 2005.

4. Muresan A.S., Filip D.A., Ban I.M., Hangan A., Operatiuni financiare, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2005.

5. Rosca A., si colectiv, Probleme de matematici financiare si actuariale, Ed. Mega, Cluj-Napoca,2011

Materiale si instrumente necesare pentru curs : Vom folosi: suport electronic de curs, materialemultiplicate, calculator, videoproiector.

Calendarul cursului: este prezentat in calendarul disciplinei

Politica de evaluare si notare: Evaluarea si notarea finala se va face prin rezolvarea de probleme,intocmirea unor teme de casa. Toate acestea se vor realiza pe parcursul semestrului. Intrarea in exa-menul final este conditionata de realizarea sarcinilor ce rezulta din temele de control de la sfarsitulfiecarui modul al suportului de curs. Studentii vor primi feed-back la rezultatele realizate in exame-nul final prin comunicare directa cu cei care solicita. In cazul cand studentul doreste sa revina la un


examen de marire a notei, acest nou examen se va desfasura in aceleasi conditii, cu aceleasi cerinte,ca si examenul initial.

Elemente de deontologie academica: Pentru a evita situatiile care pun in discutie onestitatea stu-dentilor facem de la inceput precizarea ca se interzice categoric frauda, iar tentativele de fraudase vor trata conform reglementarilor in vigoare elaborate la nivelul facultatii si universitatii. Estenormal ca atunci cand se utilizeaza anumite date, texte, formulari, etc. luate din alte surse, sa sefaca citarea, si astfel sa se asume meritele doar pentru munca si contributia proprie. Se va cerestudentului sa aiba un comportament academic fata de profesori si fata de colegi.

Studentii cu dizabilitati: Nu vor avea nici o problema in a se incadra in cerintele cursului si acelorlalte activitati, sansele in pregatire si obligatiile lor fiind de aceeasi factura ca si pentru studentiifara dizabilitati.

Strategii de studiu recomandate: Recomandam studentilor sa se pregateasca mai intai din aspec-tele teoretice, asa incat, mai intai, din curs, sa fie studiate modulele cu teoria si exemplele ilustrativeformulate, apoi sa se abordeze problemele rezolvate, iar apoi si problemele formulate spre rezolvare.Pentru tot cursul, apreciem ca fondul de timp necesar insusirii complete este de 56 de ore, din care40 pentru suportul de curs, 8 pentru activitatile directe cu tutorii, iar 12 pentru sarcinile individualede studiu al bibliografiei si realizarea temelor de control.

II. Suportul de curs propriu-zis Cursul va fi structurat pe module, iar dorinta este de a seobtine o prezentare gradata a notiunilor si rezultatelor.


1 MODULUL I. ALGEBRA LINIARAObiective

Familiarizarea cu notiunile de transformari elementare, rezolvarea sistemelor de ecuatii liniareprin metoda lui Gauss;

Definirea solutiei admisibile de baza pentru un sistem de ecuatii liniare;

Formularea si rezolvarea unei probleme de programare liniara;

Formularea si rezolvarea unei probleme de transport.

Concepte de baza

Transformari elementare, solutii pentru sisteme de ecuatii liniare, solutii admisibile de baza;

Problema de programare liniara, algoritmul simplex;

Problema de transport, algoritmul distributiv.

Rezultate asteptateIn urma parcurgerii acestui modul se asteapta ca studentii sa cunoasca si sa opereze cu notiunile

introduse, sa fie in stare sa le aplice la problemele concrete: modelul matematic al unei problemesimple de programare liniara, respectiv al unei probleme de transport.

Sinteza

1.1 UNITATEA 1. Aplicatii economice

Formulam cateva exemple de probleme economice care se modeleaza cu ajutorul unor elemente dealgebra liniara, respectiv matematici financiare si actuariale.

Exemplul 1. O firma intentioneaza sa produca n tipuri de produse stiind ca poate sa utilizezem tipuri de resurse. Se cunosc elementele: cantitatile disponibile din fiecare resursa pe o perioadaprecizata (bi cantitatea din resursa Ri , i = 1,m), beneficiile unitare nete pentru fiecare produs (cjpentru valorificarea unei bucati din Pj , j = 1,n), coeficientii tehnologici aij - care reprezinta cantitateadin resursa Ri ce se foloseste pentru o unitate din produsul Pj , i = 1,m, j = 1,n.

Se cere sa se determine cantitatile ce urmeaza a fi realizate din fiecare produs xj =?, j = 1,n, astfelncat sa fie consumate toate cantitatile disponibile din resursele existente si sa se obtina beneficiultotal maxim.

Modelul matematic al acestei probleme este:xj =?, j = 1,n astfel ncat

a11x1 + ...a1nxn = b1

...............................

am1x1 + ...+ amnxn = bm

sistem de restrictiixj 0, j = 1,conditii de nenegativitate

solutie admisibila

de baza.

f = c1x1 + ...+ cnxnmaxima (functia scop, de eficienta).

7

Exemplul 2. La m furnizori (producatori) se afla un tip de produs care va fi solicitat de catre nbeneficiari (consumatori).

Se cunosc:-cantitatile disponibile existente la fiecare furnizor, astfel daca furnizorul este Fi , notam cu

ai , i = 1,m cantitatea disponibila la furnizorul Fi ;-cantitatea solicitata de fiecare beneficiar Bj , atunci bj este cantitatea solicitata, j = 1,n;-costurile unitare de transport de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar cij de la Fi la Bj .

Se cer: cantitatile(xij

)ce urmeaza a fi transportate de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar

astfel ncat:-toata cantitatea disponibila sa fie transportata;-toata cantitatea solicitata de fiecare beneficiar sa fie primita;-costul total al transportului sa fie minim.

Modelul matematic al acestei probleme se va obtine prin evidentierea tuturor cerintelor formu-late economic prin relatii matematice.

In problema economica formulata nu au fost evidentiate din anumite motive si alte aspecte refe-ritoare la problema de transport, cum ar fi costurile de achizitie.

Cautam necunoscutele: xij =? i = 1,m, j = 1,n astfel ncatnj=1xij = ai i = 1,m - toata cantitatea de la Fi sa fie transportata

mi=1xij = bj j = 1,n - toata cantitatea solicitata de Bj sa fie primita

xij 0 i = 1,m, j = 1,n - conditii de nenegativitate.f =

mi=1

nj=1cijxij sa fie minimamin.

Exemplul 3. O persoana mprumuta de la o banca suma de 50 000 u.m., pe timp de 6 ani, cu pro-centul anual de 9%, urmand ca la sfarsitul fiecarui an sa se ramburseze aceeasi cota din mprumut,la care se adauga dobanda aferenta acelei perioade. Sa se ntocmeasca planul de amortizare cores-punzator acestui mprumut.

Exemplul 4. Sa se calculeze valoarea primei lunare pe care trebuie sa o plateasca o persoana nvarsta de 36 ani, timp de 26 ani, pentru ca dupa aceea sa primeasca o pensie lunara de 250 u.m. Sase gaseasca prima lunara si in cazul cand persoana plateste prime lunare numai timp de un an.

1.2 UNITATEA 2. Sisteme de ecuatii liniare. Solutii admisibile debaza

Sisteme de ecuatii liniareMulte din problemele economice, respectiv din aplicatiile matematicii n alte domenii se repre-

zinta prin intermediul unor sisteme de ecuatii liniare.O ecuatie liniara este aceea care contine una sau mai multe necunoscute, toate fiind la puterea

I.


Forma generala a unui sistem de ecuatii liniare este:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

unde ai j sunt coeficienti reali, aij R, , i = 1,m, j = 1,n, bi R, i = 1,m sunt termeni liberi iar xjsunt necunoscutele, j = 1,n.

Problema este de a determina necunoscutele xj astfel ncat sa fie verificate toate ecuatiile siste-mului.

Transformari elementare n matrici. Daca A este matricea coeficientilor, b coloana termenilor li-beri si x coloana necunoscutelor atunci sistemul se poate scrie sub forma unei ecuatii matriceale

A x = b.Pentru a introduce transformarea vom considera matricea A reprezentata ntr-o forma n care seevidentiaza liniile sale

A =

L1L2...

Lm

, Li = (ai1, ai2, . . . , ain) .Principalele doua tipuri de transformari elementare sunt:

t1) nmultirea unei linii cu o constanta nenula: ,Li : Li Li ;t2) adunarea la elementele unei linii a elementelor corespunzatoare unei alte linii: Li ,Lk :

Li +Lk Li .

Regula dreptunghiului. Reprezinta un algoritm de reducere a coloanelor unei matrici pentru aobtine o forma simplificata, echivalenta a acesteia. O coloana este redusa daca are toate elementeleegale cu 0, mai putin unul egal cu 1. Elementul pe a carui pozitie va ramane valoarea 1 se numesteelement pivot. Regula dreptunghiului implementeaza o succesiune de transformari liniare pe linii.

Regula dreptunghiului se aplica dupa cum urmeaza:

1. Se alege un element pivot diferit de zero. Acesta se marcheaza prin ncercuire. Fie (i, j) pozitiaacestuia.

2. Elementele de pe coloana pivotului vor deveni 0.

3. Elementele de pe linia pivotului se mpart la elementul pivot.

4. Restul elementelor matricii se calculeaza dupa regula dreptunghiului, adica:

alkaijalk aljaik

aij


Figura 1.1: Regula dreptunghiului

unde alj si aik reprezinta colturile dreptunghiului format din elementul pivot aij si elementulde calculat alk dupa cum se vede n figura de mai jos.

Observatie 1 Daca pe linia pivotului avem elemente egale cu 0 atunci coloana respectiva se poate copia;Daca pe coloana pivotului avem elemente de 0 atunci putem copia linia respectiva.

Metoda eliminarii complete pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare. Are la baza faptulca solutiile unui sistem de ecuatii liniare nu se schimba daca o ecuatie a sistemului este nlocuitacu ecuatia obtinuta prin nmultirea acelei ecuatii cu o constanta nenula sau cu ecuatia obtinuta prinadunarea ei membru cu membru la o alta ecuatie a sistemului.

Este evident ca acestor transformari care nu schimba solutiile sistemului le corespund trans-formari elementare pe linii n matricea extinsa a sistemului respectiv.

Fie sistemul de ecuatii liniarea11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . .

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

a carui matrice extinsa este

Ae =

a11 . . . a1n b1a21 . . . a2n b2. . . . . . . . . . . .

am1 . . . amn bm

Sa presupunem ca numerotarea necunoscutelor si ordinea n care sunt scrise ecuatiile sunt asa ncatprin efectuarea unor transformari elementare pe linii n Ae sa ajungem la matricea

Ae =

1 . . . 0 1,r+1 . . . 1n 1. . . . . . . . . . . . . . .

0 . . . 1 r,r+1 . . . rn r0 . . . 0 0 . . . 0 r+1. . . . . . . . . . .

0 . . . 0 0 . . . 0 m


care este matricea extinsa a sistemului

(2)

x1 + 1,r+1xr+1+ . . . +1nxn = 1. . . . . .

xr + r,r+1xr+1+ . . . +rnxn = r. . . . 0 = r+1. . . . . .

. . . . 0 = m

Transformarile elementare pe linii care duc de la matricea Ae la matricea Ae corespund trecerii dela sistemul (1) la sistemul (2) prin transformari ce nu schimba solutiile sistemului. Deci solutiilesistemului (2) sunt solutiile sistemului (1) .

Rezulta astfel ca:

(i) daca cel putin unul dintre numerele r+1, . . . ,m este diferit de zero atunci sistemul de ecuatii(1) este incompatibil si

(ii) daca r+1 = . . . = m = 0 atunci solutia generala a sistemului (1) este:

(3)

x1 = 1 (1,r+1xr+1 + . . .+1nxn). . . . . . . . . . . .

xr = r (r,r+1xr+1 + . . .+rnxn)xr+1 R. . . . . . . . . . . .

xn R

Din cele de mai sus rezulta urmatorul procedeu practic de rezolvare a oricarui sistem de ecuatiiliniare, procedeu care poarta numele de metoda eliminarii complete:

A. Se asociaza sistemului dat un tabel (de fapt matricea extinsa a sistemului) care are pe prima co-loana termenii liberi ai ecuatiilor sistemului si n continuare coeficientii necunoscutelor x1, . . . ,xndin ecuatiile sistemului. (Cum se va vedea, scrierea la nceput a coloanei termenilor liberi estemai convenabila pentru utilizarea acestei metode n algoritmul de rezolvare a problemelor deprogramare liniara.)

B. In tabelul astfel obtinut se efectueaza, n pasi succesivi, transformari elementare pe linii (curegula dreptunghiului) alegand la fiecare pas pivotul dintr-o linie din care n-a fost ales pivot laun pas anterior (n caz contrar zerourile ,,constituite la acel pas anterior s-ar ,,distruge si nus-ar progresa n rezolvare),

C. Transformarile de la B. continua pana cand nu mai poate fi ales un nou pivot. Atunci cand numai poate fi ales un nou pivot este posibil unul si numai unul din urmatoarele cazuri:

(a) au fost alesi pivoti din toate liniile tabelului,

(b) exista linii din care nu s-a putut alege pivot (deci linii care pe coloanele coeficientilor necu-noscutelor contin numai zerouri) si toate aceste linii au pe coloana termenilor liberi zerouri,


(c) exista linii din care nu s-a putut alege pivot si cel putin una are pe coloana termenilor liberiun element diferit de zero.

Este clar (vezi forma (3) a solutiei generale) ca ecuatiile ce corespund liniilor din care au fost alesipivotii sunt ecuatiile principale, iar necunoscutele ce corespund coloanelor din care au fost alesipivotii sunt necunoscutele principale ale rezolvarii respective a sistemului.

In cazul a) sistemul este compatibil, el neavand ecuatii secundare.In cazul b) sistemul este compatibil deoarece toate ecuatiile secundare au forma 0 = 0,In cazul c) sistemul este incompatibil deoarece una din ecuatiile secundare are forma 0 = , unde

, 0.Un sistem compatibil este compatibil determinat daca nu are necunoscute secundare si este com-

patibil simplu (dublu, triplu, . . . ) nedeterminat daca are una (doua, trei, . . . ) necunoscute secundare.Pentru a scrie usor solutia generala (n cazul in care sistemul este compatibil) este convenabil ca

dupa alegerea fiecarui pivot sa fie scrisa n stanga liniei de unde a fost ales pivotul, necunoscuta dincoloana coeficientilor careia a fost ales acel pivot.

Atunci solutia se poate scrie astfel: fiecare necunoscuta principala (scrisa n stanga tabelului)este egala cu elementul din coloana termenilor liberi a liniei acelor necunoscute minus combinatialiniara a necunoscutelor secundare (daca asemenea necunoscute secundare exista, deci daca sistemulcontine si necunoscute care nu ajung sa fie scrise n stanga tabelului) cu coeficienti egali cu elemen-tele situate n linia acelei necunoscute principale pe coloanele respectivelor necunoscute secundare(vezi (3))

Exemplul 1 Sa se rezolve sistemul x1 + 2x2 x3 + x4 = 2x1 x2 + 5x3 2x4 = 82x1 + x2 + 4x3 x4 = 10

Rezolvare: Rezolvarea acestui sistem cu metoda eliminarii complete este:

b x1 x2 x3 x42 1 2 1 18 1 1 5 2

10 2 1 4 1 x1 2 1 2 1 1

6 0 3 6 36 0 3 6 3

x1 6 1 0 3 1 x2 2 0 1 2 1

0 0 0 0 0

Din ultimul tabel obtinut se constata ca din linia din care nu poate fi ales pivot (linia a treia) are pecoloana termenilor liberi zero (ne aflam n cazul b)) deci sistemul este compatibil. Necunoscutele


principale ale rezolvarii date aici sunt x1 si x2 deci necunoscutele x3 si x4 vor fi secundare. Astfelsistemul este compatibil dublu nedeterminat. Solutia generala este:

x1 = 6 3x3 + x4x2 = 2 + 2x3 x4x3 Rx4 R

Solutii admisibile de baza. Din multimea tuturor solutiilor unui sistem de ecuatii liniare se poateextrage o submultime de solutii care are o calitate speciala, si anume fiecare solutie are necunoscutelesecundare cu valoarea egala cu 0, iar necunoscutele principale cu valorile mai mari sau egale cu 0.Aceste solutii se numesc solutii admisibile de baza.

La o astfel de solutie admisibila de baza se poate ajunge utilizand metoda eliminarii complete lacare alegerea pivotului se face cu respectarea unor conditii.

Sa presupunem ca sistemul considerat are m necunoscute principale, iar restul nm sunt necu-noscutele secundare. Presupunem si ca primele m necunoscute sunt cele principale. Asta revine la aspune ca trebuie asociat sistemului un tabel care, dupa utilizarea transformarilor elementare (reguladreptunghiului), are urmatoarea forma:

b x1 x2 . . . xm xm+1 . . . xn1 1 0 . . . 0 1,m+1 . . . 1,n2 0 1 . . . 0 2,m+1 . . . 2,n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

m 0 0 . . . 1 m,m+1 . . . m,n

Din tabel se observa ca prima solutie admisibila de baza este:

X1 =

12...

m0...

0

, i 0, i = 1,m

In continuare, cu ajutorul unor transformari elementare convenabile, vrem sa trecem de la aceastasolutie admisibila de baza la o alta solutie admisibila de baza. Consideram ca elementul pivot este


1,m+1; aplicand regula dreptunghiului obtinem urmatorul tabel:

b x1 x2 . . . xm xm+1 . . . xn1

1,m+11

1,m+10 . . . 0 1 . . . 1,n1,m+1

2 2,m+11,m+1 1 . . . 0 0 . . . 2,n

m m,m+11,m+1 0 . . . 1 0 . . . m,nunde

2 = 21

1,m+12,m+1,

m = m1

1,m+1m,m+1,

2,n = 2,n1,n1,m+1

2,m+1,iar

m,n = m,n1,n1,m+1

m,m+1.Prima conditie asupra pivotului este:

1,m+1, 0 .

Acum necunoscutele principale sunt cele care au coloanele cu 0 si anume x2,x3 . . . ,xm+1 , celelaltefiind necunoscute secundare. Noua solutie admisibila de baza este:

X2 =

02 11,m+12,m+1

...

m 11,m+1 m,m+11

1,m+1

0...

0

Solutia X2 este solutie admisibila de baza daca sunt ndeplinite conditiile:

11,m+1

0, 2 11,m+12,m+1 0, . . . ,m 1

1,m+1m,m+1 0

Din prima inegalitate rezulta ca 1,m+1> 0, deci pivotul trebuie sa fie pozitiv.Daca 2,m+1 0 a doua conditie este automat ndeplinita iar daca

2,m+1> 0


trebuie ca2

2,m+1 11,m+1

.

In mod analog tragem concluzia ca daca m,m+1> 0 trebuie ca

mm,m+1

11,m+1

.

Din inegalitatile de mai sus deducem cea de a doua conditie esentiala pentru pivot: raportul dintretermenul liber 1 si pivotul 1,m+1 este cel mai mic dintre toate rapoartele care se obtin mpartindtermenii liberi la elementele pozitive corespunzatoare din coloana pivotului, adica 11,m+1 este cel

mai mic dintre rapoartele ii ,m+1 , cui ,m+1> 0.

Exemplul 2 Sa se determine o solutie admisibila de baza pentru urmatorul sistem de ecuatii liniare:{2x1 + x2 + x3 x4 = 3x1 x2 + x3 + x4 = 4

b x1 x2 x3 x4 Rapoarte3 2 1 1 1 3/24 1 1 1 1 4/1

x1 3/2 1 1/2 1/2 1/2 -5/2 0 3/2 1/2 3/2 5/2

x1 7/3 1 0 4/3 0 x4 5/3 0 1 1/3 1

In prima etapa s-a dorit alegerea pivotului de pe prima coloana, asa ca s-au construit rapoartele ntretermenii liberi si elementele acesteia: 3/2 si 4/1, din care se alege cel mai mic, 3/2, si n consecintapivotul este 2. Astfel x1 devine necunoscuta principala. In continuare alegem element pivot de pecoloana lui x4. In final se citeste solutia: x1 = 7/3, x2 = 0, x3 = 0 si x4 = 5/3 tinand cont ca necunos-cutele principale iau valorile corespunzatoare de pe coloana termenilor liberi iar cele secundare auvaloarea 0.

Observatie 1 Un sistem compatibil nedeterminat poate avea mai multe sotutii admisibile de baza. Pentrua determina si altele se poate continua calculul alegand element pivot de pe una din coloanele corespunzatoare necunoscutelor secundare. In exemplul anterior putem continua astfel:

x1 7/3 1 0 4/3 0 7/4 x4 5/3 0 1 1/3 1 5/1 x3 7/4 3/4 0 1 0x4 13/12 1/4 1 0 1

Noua solutie admisibila de baza este: x1 = 0 (secundara), x2 = 0 (secundara), x3 = 7/4 si x4 = 13/12 fiindnecunoscutele principale.


1.3 UNITATEA 3. Programare liniara

Formularea problemei canonice In cadrul domeniului economic sunt adesea ntalnite problemecare n formulare matematica sunt niste probleme de programare liniara.

O firma intentioneaza sa produca n tipuri de produse stiind ca poate sa utilizeze m tipuri deresurse. Se cunosc elementele: cantitatile disponibile din fiecare resursa pe o perioada precizata (bicantitatea din resursa Ri , i = 1,m), beneficiile unitare nete pentru fiecare produs (cj pentru valorifi-carea unei bucati din Pj , j = 1,n), coeficientii tehnologici aij - care reprezinta cantitatea din resursaRi ce se foloseste pentru o unitate din produsul Pj , i = 1,m, j = 1,n.

Se cere sa se determine cantitatile ce urmeaza a fi realizata din fiecare produs xj =?, j = 1,n, astfelncat sa se obtina beneficiul total maxim.

Modelul matematic acestei probleme este:xj =?, j = 1,n astfel ncat

a11x1 + ...a1nxn = b1

...............................

am1x1 + ...+ amnxn = bm

sistem de restrictiixj 0, j = 1,conditii de nenegativitate

solutie admisibila

de baza.

f = c1x1 + ...+ cnxnmaxima (functia scop, de eficienta).Problema canonica de programare liniara, n scriere matriciala se prezinta astfel:Se cauta coloana necunoscutelor X astfel ncat

AX = b,X 0,f = CXmax

Rezolvarea problemei canonice Pentru rezolvarea problemei de programare liniara vom utilitarezultatele obtinute pana acum in legatura cu solutiile admisibile de baza. Cele doua solutii sunt:

X1 =

12..

m0..

0

X2 =

02 11,m+12,m+1

...

m 11,m+1 m,m+11

1,m+1

0...

0

1,m+1> 0

11,m+1

= min{

ii ,m+1

},cu i ,m+1> 0.

Calculam pentru cele 2 solutii X1,X2 valorile functiei si comparam aceste valori. Avem


f (X1) = c11 + c22 + ...+ cmm, si

f (X2) = c2

(2 11,m+12,m+1

)+ ...+ cm

(m 11,m+1m,m+1

)+

+cm+11

1,m+1,

f (X2) = c22 + ...+ cmm + cm+11

1,m+1

11,m+1

(c22,m+1 +...+ cmm,m+1 ).

f (X2) = f (X1) c11 + 11,m+1 [cm+1 (c22,m+1 +...+ cmm,m+1 )]

f (X2) = f (x1) +1

1,m+1

cm+1

not. fm+1 c11,m+1 +c22,m+1 +...+ cmm,m+1

.

Notam fm+1 = c11,m+1 +c22,m+1 +...+ cmm,m+1 . Atunci

f (X2) = f (X1) +1

1,m+1(cm+1 fm+1)

In aceasta relatie cm+1este coeficientul lui xm+1 care este necunoscuta principala din X2. Se vededin ultima relatie ca solutia X2 este mai buna decat X1 daca

11,m+1

(cm+1 fm+1) > 0

Deoarece 11,m+1 0, pentru ca relatia de mai sus sa aiba loc trebuie ca (cm+1 fm+1) > 0, adicacm+1 > fm+1.In concluzie imbunatatirea este posibila numai atunci cand diferenta (cm+1 fm+1) > 0.Caatare conditiile de optimalitate sunt

cj fj 0,j = 1,n.Tinand cont de toate cele spuse mai sus, putem enunta etapele algoritmului simplex:Etapa 1. Se determina o solutie admisibila de baza.Etapa 2. Se verifica optimalitatea solutiei. (Daca solutia este optima se trece la etapa 5, daca nu

este optima se trece la etapa 3.)Etapa 3. Se imbunatateste solutia (alegand o noua necunoscuta principala, aceea pentru care nu

a fost indeplinita conditia de optimalitate).Etapa 4. Se repeta etapele 2 si 3 (pana cand toate conditiile de optimalitate sunt indeplinite).Etapa 5. Se scrie solutia optima (necunoscutele principale au valorile corespunzatoare din co-

loana termenilor liberi, necunoscutele secundare au toate valoarea egala cu zero, iar valoarea optimaa functiei scop se extrage din tabel).


1.4 UNITATEA 4. Problema de repartitie (de transport)

Formularea problemei O problema de programare liniara de o structura speciala este problemade repartitie. La o astfel de problema se evidentiaza grupul de restrictii care se mparte n doua,conditiile de negativitate si functia scop care de obicei trebuie minimizata.

Pentru comoditate vom scrie necunoscutele cu doi indici n scopul evidentierii celor doua tipuride parteneri. Ilustram modelul matematic al unei probleme de repartitie sub forma unei problemede transport.

Formularea economica. La m furnizori (producatori) se afla un tip de produs care va fi solicitat decatre n beneficiari (consumatori).

Se cunosc:-cantitatile disponibile existente la fiecare furnizor, astfel daca furnizorul este Fi , notam cu

ai , i = 1,m cantitatea disponibila la furnizorul Fi ;-cantitatea solicitata de fiecare beneficiar Bj , atunci bj este cantitatea solicitata, j = 1,n;-costurile unitare de transport de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar cij de la Fi la Bj .

Se cer: cantitatile(xij

)ce urmeaza a fi transportate de la fiecare furnizor la fiecare beneficiar

astfel ncat:-toata cantitatea disponibila sa fie transportata;-toata cantitatea solicitata de fiecare beneficiar sa fie primita;-costul total al transportului sa fie minim.

Modelul matematic al acestei probleme se va obtine prin evidentierea tuturor cerintelor for-mulate economic prin relatii matematice. Avem de determinat niste necunoscute care sa satisfacarestrictiile iar functia scop sa aiba valoarea minima.

Observatie. In problema economica formulata nu au fost evidentiate din anumite motive si alteaspecte referitoare la problema de transport, cum ar fi costurile de achizitie.

Cautam necunoscutele: xij =?, i = 1,m, j = 1,n astfel ncatnj=1xij = ai i = 1,m - toata cantitatea de la Fi sa fie transportata

mi=1xij = bj j = 1,n - toata cantitatea solicitata de Bj sa fie primita

xij 0 i = 1,m, j = 1,n - conditii de nenegativitate.f =

mi=1

nj=1cijxij sa fie minimamin.

Observatie. La modelul formulat se mai alatura de obicei asa zisa conditie de echilibrare:

mi=1

ai =nj=1

bj

care arata ca totalul cantitatilor disponibile coincide cu totalul cantitatilor necesare solicitate.Daca problema nu este echilibrata atunci ea se poate echilibra prin considerarea unui furnizor

fictiv n primul caz sau a unui beneficiar fictiv n al doilea caz astfel ncat problema sa devina echi-librata.


In continuare ne vom ocupa doar de cazul problemei echilibrate.Pentru rezolvarea problemei enuntate se va enunta un algoritm numit algoritmul distributiv,

etapele caruia se parcurg comod prin considerarea unui tabel asociat problemei de transport. In ta-belul cu doua intrari se evidentiaza pe linie datele referitoare la furnizori si pe coloane se evidentiazadatele referitoare la beneficiari.

La intersectia unei linii Fi cu coloana Bj apare n tabel ceea ce se numeste ,,casuta cu 4 cameren fiecare camera urmand a fi nregistrat un anumit element.

Bj

Ficij ui + vj xij

Exemplu. La doi furnizori se afla acelasi tip de produs n cantitate 80 buc. la primul (F1) si 140buc. la al doilea (F2). Trei beneficiari solicita acest produs n cantitatile 60, 90, 70 bucati. Problemaeste echilibrata. In plus costurile unitare de transport sunt prezentate mai jos:

C =(

2 3 54 1 2

)Sa se determine cantitatile ce vor fi transportate de la fiecare furnizor la beneficiari astfel ncatcerintele sa fie ndeplinite.

Modelul matematic:

Exemplul 1 xij =? , i = 1,2, j = 1,3 astfel ncat{x11 + x12 + x13 = 80

x21 + x22 + x23 = 140x11 + x21 = 60x12 + x22 = 90

x13 + x23 = 70xij 0 i = 1,2, j = 1,3f = 2x11 + 3x12 + 5x13 + 4x21 + x22 + 2x23minTabelul asociat acestei probleme:

BupslopeF B1 B2 B3 Cant

Fi2

x11

3x12

5x13

80

F214

x21

1x22

2x23

140

Cant 60 90 70 220upslope220

Rezolvarea problemei de transport Modelul matematic al problemei de transport xij =? , i = 1,m,j = 1,n (m - furnizori, n - beneficiari) astfel ncat:


nj=1xij = ai i = 1,m

mi=1xij = bj j = 1,n

xij 0 i = 1,m, j = 1,nf =

mi=1

nj=1cijxij min.

cu conditia de echilibru:

mi=1

ai =nj=1

bj

Examinand modelul matematic rezulta ca avemmn necunoscute sim+n ecuatii. Vom aveam+n1ecuatii principale (din cauza conditiilor de echilibru rezulta ca o ecuatie e secundara)

Din cele mn necunoscute numai m + n 1 vor fi necunoscute principale, toate celelalte fiindnecunoscute secundare.

Cum determinam care sunt necunoscutele principale?Utilizam n continuare o metoda de a gasi necunoscutele principale (m + n 1 ) prin asocierea

la problema de transport a tabelului cu doua intrari. Pe linii vom preciza toate datele referitoarela furnizori iar pe coloane vom trece toate elementele ce corespund beneficiarilor. La interecttialiniei de indice i vom trece datele despre Fi (furnizorii Fi ) iar pe coloane cu indice j datele desprebeneficiarul Bj . La intersectia (i, j) vom avea n tabel o asa zisa ,,casuta cu 4 camere

cij ui + vj xij

Avem 23 = 6 - necunoscute; 2 + 3 = 5 - restrictii; 2 + 3 1 = 4 - necunoscute principale.Algoritmul distributiv pentru rezolvarea problemelor de transporteste similar cu algoritmul simplex, etapele fiind ca formulare teoretica identice, diferind doar n

modul lor concret de parcurgere.Algoritmul distributiv:

Etapa 1. Se determina o solutie initiala de baza.Etapa 2. Se verifica optimalitatea solutiei.Etapa 3. Se mbunatateste solutia.Etapa 4. Se repeta etapele 2;3 pana cand toate conditiile de optimalitate vor fi ndeplinite.Etapa 5. Se scrie solutia optima si se calculeaza valoarea minima a lui f .Metoda de determinare a unei solutii initiale de baza(Metoda Nord-Vest) Atribuim valori necunoscutelor problemei n ordinea N-V din tabelul asociat

problemei de transport sau n subtabelele ramase. Incepem cu x11 = min {a1,b1} = 60.In acest cazx21trebuie sa ia valoarea 0, devenind necunoscuta secundara. Continuam completarea tabeluluicu coltul NV ramas liber, adica x12 = min {a1 b1,b2} = 20 (scadem din valoarea lui a1 pe x11 -seconsidera ca furnizorul F1 trimite catre beneficiarul B1 60 de bucati, ramanand n stoc doar cu 20).Rationamentul continua n acelasi mod.

Ilustram n tabelul de solutii calculele si rationamentele precizate mai sus.


v1 = 2 v2 = 3 v3 = 4

u1 = 02 2

603 3

205 4 80 20 0

u2 = 2 4 01 1

702 2

70140 70 0

60 90 700 70 0

0

Convenim ca n tabelul de solutii necunoscutele secundare sa le nscriem cu punct (valorile lorsunt zero). Casutele ocupate sunt casutele ce corespund necunoscutelor principale (acelea la care amnscris valorile). Celelalte casute (cu ) care corespund necunoscutelor secundare se numesc casutelibere.

Pentru Etapa 2, verificarea optimalitatii se face cu ajutorul unor necunoscute ,,duale:ui care corespund furnizorilorvj care corespund beneficiarilor

Aceste necunoscute sunt solutii ale sistemului de ecuatii

ui + vj = cij , unde indicii i si j sunt ai necunoscutelor principale (casute ocupate).

Conditia de optimalitate: trebuie sa aiba loc inegalitatile

cij ui + vj , unde indicii i si j sunt ai necunoscutelor secundare (casutele libere).Daca toate conditiile de optimalitate vor fi ndeplinite atunci de la etapa a 2-a a algoritmului

distributiv se trece la etapa a 5-a .Daca nsa cel putin o conditie de optimalitate nu este ndeplinita atunci se va trece la etapa a 3-a

(de mbunatatire).La exemplul nostru avem urmatorul sistem:u1 + v1 = 2u1 + v2 = 3u2 + v2 = 1u2 + v3 = 2

4 necunoscute principale = 4 ecuatii; 5 necunoscute

In cazul general sistemul ui + vj = cij , are m+n 1 ecuatii (cate necunoscute principale avem) cum + n necunoscute. Avem o necunoscuta duala secundara careia i putem da orice valoare. Pentrucomoditate i se da valoarea zero si astfel se va putea rezolva sistemul obtinandu-se o solutie.

In exemplul nostru presupunem u1 = 0 = v1 = 2, v2 = 3, u2 = 2, v3 = 4.Calculul pentru obtinerea acestor valori ale necunoscutelor duale se poate face pe tabel.Se testeaza optimalitatea solutiei gasite. Pentru aceasta vom calcula sumele ui + vj n casutele

libere.cij ui + vj , xij necunoscute secundare

5 44 0

} = sunt ndeplinite conditiile de optimalitate astfel[Inapoi la Cuprins] 21

ncat se va trece direct la la etapa a 5-a.Scriem solutia optima:

xopt =(

60 20 00 70 70

)fmin = 120 + 60 + 70 + 140 = 390(costul total minim al transportului).

Etapa 3. Daca cel putin o conditie de optimalitate nu este ndeplinita ci0j0 < ui0 + vj0 nseamnaca solutia nu este optima si ea trebuie mbunatatita n sensul ca necunocuta secundara xi0j0 (care arevaloarea zero), trebuie sa devina necunoscuta principala. Aceasta se realizeaza prin adunarea la zeroa unei cantitati unde se determina astfel ncat toate ecuatiile care au necunoscuta xi0j0 sa ramanasatisfacute, xi0j0 = 0 +.

Deci daca se aduna ntr-un loc atunci trebuie sa se scada din alt loc.Sigur scaderile se vorputea face doar de la necunoscutele care au valori pozitive (sunt necunoscute principale). De faptacestor operatii de adunare / scadere se vor face ntr-un asa zis ,,ciclu de casute format dintr-o suc-cesiune de casute, prima de la care se pleaca fiind casuta libera, toate celelalte fiind casute ocupate.In acest mod se obtine o noua solutie care este mai buna decat vechea solutie, adica valoarea functieipentru noua solutie este mai mica decat valoarea functiei pentru solutia anterioara.

Exemplu. Sa se rezolve problema de transport data prin tabelul:

v1 = 1 v2 = 5 v3 = 10

u1 = 34 4

1002 8

3 13 100

u2 = 01 1

505 5 250

2 10+ 300 250

u3 = 3 3 22 2+ 0

7 7 200 200

150 250 20050 0

atentie la xij = x32 = 0, necunoscuta principala.Trebuie sa fie m+ n 1 - necunoscute principale.Am gasit o solutie initiala. Avem

f1 = 400 + 50 + 1250 + 1400 = 3100

Etapa 2. Verificam optimalitatea (efectuand calculele direct pe tabel). Deoarece 2 10 este fals,solutia nu este optima, deci trebuie facuta imbunatatirea (etapa a 3-a), adica acel zero (punctul dincasuta libera) trebuie modificat. Pentru aceasta vom adauga ( + ). si vom scadea () un total de 200care este minimul din casutele notate cu . (Plec de la casuta libera merg pe linii / coloane tinandseama ca daca adun ceva pe o coloana trebuie sa scad din alta parte).

=? (dar nu pot scadea mai mult decat 200 ....se ia minim de la casutele notate cu pentrua nu face ca unele valori sa devina negative) = ..sol. = = 200 = verificam optimalitatea

Obtinem o noua solutie. Etapa a 4-a consta in repetarea etapelor 2 si 3. Astfel avem:


v1 = 4 v2 = 8 v3 = 5

u1 = 04 4 100

2 8 0

3 5

u2 = 3 1 1+ 505 5- 50

2 2200

u3 = 6 3 22 2

2007 1

Deoarece 2 > 8este fals, solutia imbunatatita nu este optima, iar f2 = 1500. Continuam succesiv(conform cu etapa a 4-a) si obtinem urmatoarele tabele :

= 50v1 = 4 v2 = 2 v3 = 5

u1 = 04 4 50

2 250

3 5+

u2 = 3 1 1+ 1005 1

2 2 200

u3 = 03 4

2 2200

7 5

= 50v1 = 0 v2 = 0 v3 = 1

u1 = 24 2

2 250

3 350

u2 = 11 1

1505 1

2 2150

u3 = 23 2

2 2200

7 3

Solutia este optima si trecem deci la Etapa 5.

Xopt =

0 50 50

150 0 1500 200 0

fmin = 100 + 150 + 150 + 300 + 400 = 1100 u.m

1.5 Probleme rezolvate

Problema 1. Folosind metoda eliminarii complete sa se rezolve urmatorul sistem de ecuatii:2x1 +x2 +3x3 = 2x1 x2 + x3 = 2x1 + x3 = 1

.


Rezolvare. Vom reduce pe rand coloanele matricii asociate sistemului alegand elementele pivotnumere pozitive intotdeauna de pe o linie sau coloane de pe care nu au mai fost alese alte elementepivot. Vom aseza matricea sistemului intr-un tabel in felul urmator:

b x1 x2 x2 Transformarea:I. 2 2 1 3

2 1 1 1 L1 +L2 L21 1 0 1

II. 2 2 1 3 (3)L3 +L1 L14 3 0 4 (4)L3 +L2 L21 1 0 1

III. 1 5 1 0 17L2 L20 7 0 0 (5)L2 +L1 L11 1 0 1 L2 +L3 L3

IV. 1 0 1 00 1 0 01 0 0 1

..

Prin transformarile elementare efectuate am obtinut o matrice echivalenta cu matricea sistemului,de forma:

A A =

0 1 01 0 00 0 1

101

Din aceasta matrice ne este usor sa citim solutia (unica, sistemul este compatibil determinat):

x1 = 0x2 = 1x3 = 1

.

Problema 2. Sa se rezolve urmatorul sistem de ecuatii:{2x1 + x2 x3 = 0x1 x2 + 4x3 = 3

.

Rezolvare. Vom folosi metoda eliminarii complete:

b x1 x2 x3I. 0 2 1 1

3 1 1 4II. 0 2 1 1

3 3 0 3III. 2 0 1 3

1 1 0 1

..


In tabelul III observam ca nu a mai ramas nici o line de pe care sa alegem element pivot. Sistemulnostru a fost redus la un sistem echivalent de forma:{

x2 3x3 = 2x1 + x3 = 1

Sistemul este compatibil nedeterminat, x3 (a carui coloana nu a fost redusa) este necunoscuta secun-dara iar solutia se scrie astfel:

x1 = + 1x2 = 3 2x3 = R

..

Problema 3. Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare:x1 x2 + x3 = 6

2x1 + x2 x3 = 7x1 + x2 x3 = 10

..

Rezolvare. Folosim metoda eliminarii complete:

b x1 x2 x3I. 6 1 1 1

7 2 1 110 1 1 1

II. 6 1 1 113 3 0 016 2 0 0

III. 2 0 1 111 0 0 0

8 1 0 0

Dupa cum se observa in tabelul III nu mai putem alege pivot si de pe lina a 2-a deoarece toateelementele sale sunt nule. In aceasta situatie verificam coloana termenilor liberi. Daca si acolo avemtot zero, atunci inseamna ca ecuatia corespunzatoare liniei respective este o ecuatie secundara. Dacainsa termenul liber corespunzator nu ese nul, ca si in cazul nostru, inseamna ca avem o situatieimposibila, ecuatia respectiva fiind de forma:

0 = 11.Spunem ca sistemul este incompatibil.

Problema 4. Sa se rezolve sistemul:x1 + x2 + x3 = 2a+ 1x1 x2 x3 = 1

2x1 + x2 2x3 = 2 3b..


a,b numere reale.Rezolvare. Construim tabelul corespunzator sistemului:

b x1 x2 x3I. 2a+ 1 1 1 1

1 1 1 12 3b 2 1 2

II. 2a+ 1 1 1 12a+ 2 2 0 0

1 2a 3b 1 0 3III. a 0 1 1

a+ 1 1 0 03a 3b 0 0 3

IV b 0 1 0a+ 1 1 0 0a+ b 0 0 1

Citim solutia din tabelul IV si avem: x1 = a+ 1x2 = bx3 = a+ b

..

Problema 5. Sa se determine o solutie admisibila de baza pentru urmatorul sistem de ecuatiiliniare: {

2x1 + 3x2 x3 = 9x1 x2 + x3 = 2

..

Rezolvare. Pentru gasirea unei solutii admisibile de baza elementul pivot trebuie ales astfel incatsa respecte cele doua reguli: sa fie strict pozitiv si raportul intre termenul liber si pivot sa fie minimulrapoartelor dintre termenii liberi si celalte elemente pozitive corespunzatoare de pe coloana sa.

b x1 x2 x3 RapoarteI. 9 2 3 1 92 = 4.5

2 1 1 1 21 = 2.0II. 5 0 5 3 55 = 1

2 1 1 1 -III. 1 0 1 3/5

3 1 0 2/5

In primul tabel (I.), pentru a alege un element pivot din prima coloana, vom construi rapoarteledintre termenii liberi si elementele coloanei: 92 si

21 . Il alegem pe cel cu valoarea cea mai mica, adica

21 , deci element pivot va fi 1. In tabelul al doilea putem alege element pivot de pe coloana lui x2 saua lui x3. In coloana lui x2 avem o singura varianta de algere a pivotului, deoarece avem un singur


element pozitiv pe coloana. Tabelul III ne furnizeaza o solutie admisibila de baza pe care o citimastfel: necunoscutele secundare (corespunzatoare coloanelor nereduse) vor lua valoarea 0, iar celeprincipale (corespunzatoare coloanelor reduse) se citesc de pe coloana termenilor liberi. Astfel, osolutie de baza a sistemului va fi:

x1 = 3x2 = 1x3 = 0 - necunoscuta secundara

..

Problema 6. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara:

x1 + 2x2 + 2x3 x4 = 6x1 + x2 + 2x4 = 5

2x1 x2 + x3 + x4 = 8xj 0, j = 1,4f = 2x1 + x2 + 5x3 + 3x4 max

Rezolvare. Vom rezolva problema folosind algoritmul simplex. Vom construi un tabel similar cucel pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii, doar ca vom mai adauga niste linii si niste coloane:

- deasupra coloanelor corespunzatoare necunoscutelor mai adaugam o linie care sa contina valo-rile coeficientilor functiei f corespunzatoare fiecarei necunoscute.

- n stanga tabelului vom mai adauga doua coloane, una n care vom trece necunoscutele prin-cipale gasite iar cealalta n care vom scrie coeficientii functiei corespunzatori acestor necunoscuteprincipale.

Primul tabel va arata n felul urmator:

2 1 5 3CB B b x1 x2 x3 x4 6 1 2 2 1 5 1 1 0 2 8 2 1 1 1

Pentru nceput nu vom completa coloana B a necunoscutelor principale deoarece nu avem nmatricea sistemului nici o coloana redusa (nici o necunoscuta nu este inca principala).

Trecem acum la prima etapa a algoritmului simplex, adica determinarea unei solutii admisibilede baza. Pentru aceasta vom avea n vedere ca elementul pivot sa respecte cele doua reguli: sa fiepozitiv iar raportul dintre termenul liber si pivot sa fie minimul rapoartelor similare de pe coloana


respectiva:2 1 5 3

CB B b x1 x2 x3 x4 Rapoarte: 6 1 2 2 1 62 = 3

I 5 1 1 0 2 51 = 5 8 2 1 1 1 1 x2 3 1/2 1 1 1/2 31

2= 6

II 2 1/2 0 1 5/2 212

= 4

11 5/2 0 2 1/2 1152

= 2251 x2 1 0 1 2 3 12

III 2 x1 4 1 0 2 5 1 0 0 7 12 1/71 x2 5/7 0 1 0 3/7

53

IV 2 x1 30/7 1 0 0 11/73011

5 x3 1/7 0 0 1 12/7fj 10 2 1 5 5

cj fj 0 0 0 83 x4 5/3 0 7/3 0 1

V 2 x1 5/3 0 7/3 0 15 x3 3 0 4 1 0

fi 70/3 2 59/3 5 3cj fj 0 56/3 0 0

In tabelul IV observam ca s-a determinat o prima solutie admisibila de baza. Se trece de aceea laetapa urmatoare a algoritmului, adica la verificarea optimalitatii acestei solutii. Pentru aceasta avemnevoie sa calculam diferentele cj fj , unde cj- coeficientul lui xj n f iar fj se calculeaza ca si sumaproduselor elementelor de pe coloana coeficientilor bazei CB si elementele fiecarei coloane j, j = 1,4.

Se observa ca n tabel vom trece o linie noua pentru valorile lui fj si nca una pentru diferentelecj fj . Pe linia lui fj si coloana termenilor liberi vom obtine valoarea functiei f pentru solutia testata.

Daca solutia ar fi optima atunci toate diferentele cj fj ar trebui sa fie negative. Se observa nsaca pe coloana lui x4, c4f4 = 8 > 0. Trecem la urmatoarea etapa, adica mbunatatirea solutiei de bazagasite. Acest lucru se realizeaza prin reducerea coloanei pentru care avem diferenta cj fj pozitiva(n cazul nostru coloana lui x4), alegand elementul pivot cu respectarea celor doua reguli.

In tabelul V obtinem astfel o noua solutie admisibila de baza. Calculand si pentru aceastadiferentele cjfj constatam ca sunt toate negative sau zero, de unde deducem ca noua solutie obtinutaeste optima. O ,,citim din tabelul V tinand cont de faptul ca necunoscutele principale vor lua valo-rile corespunzatoare de pe coloana termenilor liberi, adica x1 =

53 , x3 = 3 si x4 =

53 iar cele secundare,

n cazul nostru x2 va fi zero. Solutia optima se scrie:

Xtopt =(53, 0, 3,

53

)[Inapoi la Cuprins] 28

Valoarea optima a functiei apare n tabelul V pe linia lui fj si coloana termenilor liberi:

f(xopt

)= fmax =

703.

Problema 7. Sa se rezolve problema de programare liniara canonica:

3x1 + x3 + 6x4 = 112x2 x3 + 4x4 = 8

3x1 x3 + 4x4 = 8xj 0, j = 1,4

f = 4x1 + 2x2 x3 + 4x4Rezolvare. Vom folosi algoritmul simplex:

4 2 1 4CB B b x1 x2 x3 x4 11 3 0 1 6

I 8 0 2 1 4 82 8 3 0 1 4 11 3 0 1 6

II 2 x2 4 0 1 1/2 2 8 3 0 1 4 8/3 19 0 0 0 10 19/10 = 1,9

III 2 x2 4 0 1 1/2 2 4/2 = 24 x1 8/3 1 0 1/3 4/3 8/4 = 24 x4 19/10 0 0 0 1

IV 2 x2 1/5 0 1 1/2 04 x1 2/15 1 0 1/3 0

fj12815 4 2 73 4

cj fj 0 0 4/3 0In tabelul IV obtinem o solutie admisibila de baza a carei optimalitate o verificam. Observam

nsa ca pe coloana lui x3 diferenta c3 f3 = 43 > 0 deci solutia nu e optima. Daca nsa vrem sa ombunatatim observam nsa ca pe coloana lui x3 nu e nici un element pozitiv care sa poata fi alespivot. Ne aflam ntr-un caz special n care functia de optimizat are maxim infinit.

Observatie: Chiar daca mai avem si alte diferente pozitive pentru care coloanele corespunzatoarene pot furniza un element pivot, existenta unei singure coloane pentru care diferenta cjfj e pozitivaiar elementele coloanei sunt negative implica faptul ca maximul functiei e infinit.



x1 + 3x2 + x3 + x4 = 7x1 + x2 + 2x3 + x4 = 7

3x1 + 2x2 + x3 = 8xj 0, j = 1,4

f = 5x1 + x2 + 4x3 + 2x4 maxRezolvare. Aplicam algoritmul simplex

5 1 4 2CB B b x1 x2 x3 x4 7 1 3 1 1 7/1 = 7

I 7 1 1 2 1 7/2 = 3,5 8 3 2 1 0 8/1 = 8 7/2 1/2 5/2 0 1/2 7/5

II 4 x3 7/2 1/2 1/2 1 1/2 7/1 9/2 5/2 3/2 0 1/2 9/31 x2 7/5 1/5 1 0 1/5 7/1

III 4 x3 14/5 2/5 0 1 2/5 14/2 = 7 12/5 11/5 0 0 4/5 12/111 x2 13/11 0 1 0 3/11 13/3

IV 4 x3 26/11 0 0 1 6/11 13/35 x1 12/11 1 0 0 4/11

fj17711 5 1 4 7/11

cj fj 0 0 0 15/111 x2 0 0 1 1/2 0

V 2 x4 13/3 0 0 11/6 15 x1 8/3 1 0 2/3 0

fi 22 5 1396 2

cj fj 0 0 156 0In tabelul IV observam ca rapoartele minime necesare pentru alegerea pivotului sunt egale intre

ele. In acest caz, pentru a alege pivotul vom folosi ordonarea lexicografica pentru a compara celedoua linii. Pentru aceasta vom scrie cele doua linii, fiecare mpartita la posibilul pivot corespunzator:

L1 =(0,

113, 0, 1

)si L2 =

(0, 0,

116, 1

)In ordonarea lexicografica se compara elementele celor doua linii 2 cate 2. Este declarata mai

mica si aleasa ca si linie pivot linia pentru care apare primul element mai mic decat corespondentulsau de pe cealalta linie.

In cazul nostru avem 0 = 0, 113 > 0 de unde rezulta ca linia a doua e mai mica n ordine lexico-logica decat prima si deci alegem pivot pe 611 . Solutia gasita n tabelul V este optima deoarece toate


diferentele cj fj sunt negative. Citim solutia si avem:

Xtopt =(83, 0, 0,

133

)iar

fmax = 22

Observatie: Faptul ca am avut nevoie de ordonarea lexicografica pentru a alege ntre 2 rapoarteminime egale ne indica faptul ca solutia pe care o vom obtine este degenerata, adica vom avea necu-noscute principale cu valoarea zero. Intr-adevar, n xopt avem x2 = 0 chiar daca x2 este necunoscutaprincipala.


3x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 10x2 + x1 + 2x3 6x4 + 3x5 = 5x1 + x2 + x3 2x4 + 2x5 = 4

xj 0, j = 1,5f = 5x1 + 4x2 + 8x3 + 2x4 + 3x5 max

Rezolvare. Folosim algoritmul simplex


5 4 8 2 3CB B b x1 x2 x3 x4 x5 10 3 2 3 1 2 10/2

I 5 1 1 2 6 3 5/1 4 1 1 1 2 2 4/1

2 1 0 1 5 2 2/1II 1 2 0 1 4 1

4 x2 4 1 1 1 2 2 4/15 x1 2 1 0 1 5 2 2/1

III 5 0 0 3 6 3 5/34 x2 2 0 1 0 7 45 x1 1/3 1 0 0 3 1

IV 8 x3 5/3 0 0 1 2 1 4 x2 2 0 1 0 7 4 2/4

fj 23 5 4 8 3 3cj fj 0 0 0 1 0

5 x1 5/6 1 1/4 0 5/4 0V 8 x3 13/6 0 1/4 1 1/4 0

3 x5 1/2 0 1/4 0 7/4 1fj 23 5 4 8 3 3

cj fj 0 0 0 1 0Observam ca n tabelul IV solutia admisibila de baza obtinuta este solutia optima, deoarece toate

diferentele cj fj sunt negative. Putem scrie aceasta solutie

Xtopt1 =(13, 2,

53, 0, 0

)iar

fmax = 23

Studiind linia cj fj observam ca pe coloana necunoscutei secundare x5 avem c5 f5 = 0. Acestlucru indica faptul ca problema are mai multe solutii optime pe care le putem gasi reducand coloanalui x5.

Observatie: Intodeauna cand numarul zerourilor de pe linia cj fj , n cazul unei solutii optime,este mai mare decat numarul necunoscutelor principale nseamna ca problema poate avea mai multesolutii optime.

Reducand coloana lui x5 obtinem o noua solutie:

Xtopt2 =(56, 0,

136, 0,

12

)pentru care valoarea functiei f este tot 23.


Observatie: Solutia generala a problemei de programare liniara se scrie ca si combinatie liniaraconvexa a solutiilor optime.

In cazul nostru solutia generala se scrie:

Xtopt = 1Xtopt1 +2X

topt2, 1,2 0, 1 +2 = 1

adica

Xtopt =(1

3+

526, 21,

513

+132

6, 0,

22

)iar

fmax = 23

Problema 10. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara generala:

2x1 + x2 + x3 50x1 + 4x2 + x4 60x1 + x4 = 15

x3 + x4 = 20xj 0, j = 1,4f = 2x3 5x4maxima

.

Rezolvare. Observam ca diferenta dintre forma in care este prezentata problema data si formacanonica a problemei de programare liniara consta in acest caz in faptul ca in sistem apar atat ecu-atii cat si inecuatii. Deoarece nu putem aplica algoritmul simplex decat pentru problema canonicade programare liniara, va trebui sa transformam problema data intr-una echivalenta, dar scrisa informa canonica. Pentru aceasta vom transforma inecuatiile in ecuatii introducand niste variabile noi,de compensare in fiecare inecuatie. Variabilele de compensare trebuie sa se supuna conditiilor de nenegati-vitate, si de aceea, in functie de semnul inecuatiilor, le vom aduna sau le vom scadea la membrul stang alinecuatiei pentru a obtine egalitate.

Astfel, in prima inecuatie vom adauga variabila de compensare x5 iar in a doua x6. Problemanoastra va deveni:

2x1 + x2 + x3 + x5 = 50x1 + 4x2 + x4 + x6 = 60x1 + x4 = 15

x3 + x4 = 20xj 0, j = 1,6f = 2x3 5x4maxima

.

Obsevam ca variabilele de compensare nu modifica expresia functiei de optimizat.


Avand acum problema scrisa in forma canonica, putem sa aplicam algoritmul simplex:

0 0 2 5 0 0 RapoartecB B b x1 x2 x3 x4 x5 x6

I 0 x5 50 2 1 1 0 1 0502 = 25

0 x6 60 1 4 0 1 0 1 - 15 1 0 0 1 0 0 151 = 15 12 0 0 1 1 0 0 -

II. 0 x5 20 0 1 1 2 1 0 201 = 200 x6 75 0 4 0 2 0 10 x1 15 1 0 0 1 0 0 20 0 0 1 1 0 0 201 = 20

III. 0 x5 0 0 1 0 3 1 0 01 = 00 x6 75 0 4 0 2 0 1

754

0 x1 15 1 0 0 1 0 0 -2 x3 20 0 0 1 1 0 0 -

fj 40 0 0 2 2 0 0cj fj 0 0 0 7 0 0

IV. 0 x2 0 0 1 0 3 1 00 x6 75 0 0 0 14 4 10 x1 15 1 0 0 1 0 02 x3 20 0 0 1 1 0 0

fj 40 0 0 2 2 0 0cj fj 0 0 0 7 0 0

In tabelul numarul II observam ca solutia problemei este degenerata, deoarece avem rapoarteminime egale. Pentru alegerea pivotului am aplicat ordonarea lexicografica. Din tabelul III, datoritafaptului ca avem mai multe zerouri pe linia diferentelor cj fj decat numarul de coloane reduse, de-ducem ca problema s-ar putea sa aiba mai multe solutii. Prin reducerea coloanei respective observamca solutia nu se modifica. Astfel, avem:

Xtoptim = (15,0,20,0,0,75) si fmax = 40.

Observatie. Problema generala in care se cere minimul functiei obiectiv se rezolva in acelasi moddoar ca vom schimba conditia de optimalitate, adica o solutie va fi optima daca toate diferentele cjfjsunt > 0.

Problema 11. Sa se rezolve problema de transport data in tabelul:

4 2 140

2 1 325

10 35 20


Rezolvare. In primul rand, verificam daca problema data este echilibrata. Avem

10 + 35 + 20 = 40 + 25 = 65.

In acest caz putem aplica algoritmul distributiv pentru rezolvarea problemei de transport. Vomfolosi metoda Nord-Vest pentru determinarea unei solutii initiale a problemei:

410

230

1 40 30 0

2

15

320

25 20 0

10 35 200 5 0

0

In continuare verificam optimalitatea solutiei rezolvand sistemul de ecuatii de forma

ui + vj = cij,

xij sunt necunoscutele principale. In cazul nostru acest sistem are 2 + 3 1 = 4 ecuatii si 2 + 3 = 5necunoscute. Inseamna ca putem alege una din necunoscute ca fiind secundara si sa-i dam o valoareoarecare. Pentru comoditate ii dam valoarea 0 lui u1. Tot pentru comoditate vom rezolva sistemul deecuatii direct pe tabel, scriind pe bordura din stanga a tabelului valorile lui ui iar deasupra tabeluluivalorile pentru vj . Pentru rezolvarea sistemului aflam pe rand fiecare necunoscuta pornind de la ceala care i-am dat valoare si avand grija ca pentru casutele ocupate sa aiba loc egalitatea ui + vj = cij . Pemasura ce aflam valorile lui ui si vj completam coltul din dreapta sus al fiecarei casute ocupate cusuma lor ui + vj .

v1 = 4 v2 = 2 v3 = 4

u1 = 04 4

102 2- 30

1 4+ 40 30 0

u2 = 1 2 31 1+ 5

3 3- 20

25 20 0

10 35 200 5 0

0

Dupa rezolvarea sistemului vom completa si pentru casutele neocupate coltul din dreapta sus cusumele ui + vj . Solutia determinata este optima daca pentru toate casutele neocupate avem inegali-tatea ui + vj cij . Verificam asadar casutele neocupate (cu punct) si constatam ca avem u1 + v3 = 4 >1 = c13 si u2 + v1 = 3 > 2 = c21. Deducem ca solutia nu este optima, deci trebuie sa o imbunatatim.

Imbunatatirea solutie se face pornind de la casuta libera care nu satisface conditia de optimalitatesi diferenta dintre ui + vj si cij este cea mai mare. In cazul nostru, aceasta este casuta (1,3). Formamciclul pornind de la aceasta casuta, trecand pe linii sau pe coloane doar prin casute ocupate si mar-cand alternativ cu + si casutele prin care trecem. Cautam minimul valorilor din casutele cu semn


, adica min{30,20} = 20. Aceasta este valoarea pe care o vom adauga, respectiv scadea din casuteleciclului pentru a obtine o solutie imbunatatita. Intr-una din casutele ciclului va ramane valoarea 0.In loc de 0 vom trece , necunoscuta respectiva va deveni necunoscuta secundara, iar necunoscutade la care am pornit ciclul va deveni necunoscuta principala. Urmatorul tabel va arata in forma:

v1 = 4 v2 = 2 v3 = 1

u1 = 04 4- 10

2 2+ 10

1 420

u2 = 1 2 3+ 1 1- 25

3 0

Verificam optimalitatea noii solutii si constatam ca inca nu am ajuns la final deoarece in casuta(2,1) avem u2 + v1 c21 (2 < 3). Pornim un ciclu de la aceasta casuta si trecem la solutia urmatoareadunand, respectiv scazand valorilor din casutele din ciclu pe = 10 = min{10,25}.

v1 = 3 v2 = 2 v3 = 1

u1 = 04 3

2 220

1 120

u2 = 1 2 2101 1

153 0

Pentru noua solutie se verifica conditiile de optimalitate, asadar putem scrie solutia

Xoptim =(

0 20 2010 15 0

)pentru care costul total de transport este minim, si anume:

fmin = 2 20 + 1 20 + 2 10 + 1 15 = 95.Problema 12. Sa se rezolve problema de transport data in tabelul:

4 2 5 1110

6 5 4 4170

6 8 1 5140

50 150 70 150

..

Rezolvare. In primul rand verificam daca problema este echilibrata. Avem:

50 + 150 + 70 + 150 = 110 + 170 + 140 = 420.

Putem sa aplicam algoritmul distributiv. La primul pas determinam o solutie a problemei folosindmetoda Nord-Vest.


v1 = 4 v2 = 2 v3 = 1 v4 = 1

u1 = 04 4

502 2

605 1

1 1 110 60 0

u2 = 36 7

5 590

4 4- 70

4 4+ 10

170 80 10 0

u3 = 46 8

8 6

1 5+

5 5- 140

140 0

50 150 70 1500 90 0 140

0 0

Constatam ca solutia gasita nu este optima asa ca vom aplica procedeul de imbunatatire. Vom formaun ciclu pornind de la casuta (3,3), trecand doar prin casute ocupate, mergand pe linii si pe coloanesi marcand alternativ fiecare casuta cu +, respectiv .Alegem minimul valorilor din casutele cu semnnegativ = 70 si trecem la tabelul urmator adaugand, respectiv scazand din casutele ciclului infunctie de semnul fiecareia.

v1 = 4 v2 = 2 v3 = 3 v4 = 1u1 = 0

4 4- 50

2 2+ 60

5 -3

1 1

u2 = 36 7

5 5- 90

4 0

4 4+ 80

u3 = 46 8+

8 6

1 170

5 5- 70

Nu am gasit inca solutia optima asa ca vom continua procesul de imbunatatire. Formam ciclulpornind de la casuta (3,1) si trecand prin (1,1), (1,2), (2,2),(2,4) si (3,4). Avem = 50 si putem trecela solutia urmatoare:

v1 = 2 v2 = 2 v3 = 3 v4 = 1u1 = 0

4 2

2 2- 110

5 -3

1 1+

u2 = 36 5

5 5+ 40

4 0

4 4- 130

u3 = 46 6

508 6

1 170

5 520

Solutia gasita este optima:

Xoptim1 =

0 110 0 00 40 0 130

50 0 70 20


iarfmin = 220 + 200 + 520 + 300 + 70 + 100 = 1410.

Faptul ca in casuta (1,4) avem egalitatea u1 + v4 = c14 (1=1) inseamna ca problema poate aveamai multe solutii optime (la fel de bune). Pentru a determina si cealalta solutie vom modifica solutiaobtinuta pornind ciclul de casute de la cea in care are loc egalitatea ( ui + vj = cij ). Obtinem o nouasolutie

v1 = 2 v2 = 2 v3 = 3 v4 = 1u1 = 0

4 2

2 2

5 -3

1 1110

u2 = 36 5

5 5150

4 0

4 420

u3 = 46 6

508 6

1 170

5 520

care este tot optima:

Xoptim2 =

0 0 0 1100 150 0 20

50 0 70 20

.Putem verifica acest lucru calculand valoarea lui f pentru Xoptim2 si constatand ca obtinem tot fmin

f = 110 + 750 + 80 + 300 + 70 + 100 = 1410.

Observam ca in casuta (1,2) avem din nou egalitate intre u1+v2 si c12. Daca insa am trece la o nouasolutie am observa ca de fapt revenim la Xoptim1. Inseamna ca problema nu mai are si alte solutii, deciputem scrie solutia generala ca si combinatie convexa a solutiilor obtinute, adica

Xoptim =

0 1101 0 11020 401 + 1502 0 1301 + 202

501 + 502 0 701 + 702 201 + 202

iar

fmin = 1410.

Problema 13. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:

4 3 1100

2 4 3200

1 2 6300

500 50 50

..


Rezolvare. Vom aplica algoritmul distributiv. Avem:

v1 = 4 v2 = 5 v3 = 9

u1 = 04 4- 100

3 5

1 9+ 100 0

u2 = 2 2 22004 3

3 7 200 0

u3 = 3 1 1+ 2002 2

506 6- 50

300 100 50 0

500 50 50400 0 0200

0

= 50 si trecem la solutia urmatoare:

v1 = 4 v2 = 5 v3 = 1

u1 = 04 4- 50

3 5+

1 150

u2 = 2 2 22004 3

3 -1

u3 = 3 1 1+ 2502 2- 50

6 -2

avem = 50 iar tabelul urmator arata astfel:

v1 = 3 v2 = 3 v3 = 1

u1 = 04 4

03 3

501 1

50

u2 = 2 2 22004 1

3 -1

u3 = 3 1 13002 0

6 -2

Observam ca la construirea noii solutii apare in doua casute deoarece in casutele cu semn aleciclului aveam doua valori minime egale. Este esential insa sa se pastreze numarul de necunoscuteprinicipale constant (numarul de casute ocupate) si de aceea, in una din casutele ciclului in care artrebui sa apara vom trece valoarea 0 si o vom considera casuta ocupata.

Solutia la care ajungem este o solutie degenerata. In cazul nostru am ajuns la solutia optima:

Xoptim =

0 50 50

200 0 0300 0 0


iarfmin = 150 + 50 + 400 + 300 = 900.

1.6 Teme de control

Problema 1. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:x1 + x3 = 4x1 + x2 x3 = 4

10x2 + x3 = 3..

Raspuns. x1 = 1;x2 = 0;x3 = 3.Problema 2. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2x1 x2 = 3x1 + x3 = 0

..

Raspuns. x1 = 1;x2 = 2;x3 = 1.Problema 3. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:

x1 + x3 + x4 = 1x1 + x2 + x4 = 2x1 + 3x2 + 2x3 x4 = 1x1 + 7x2 x3 = 5

..

Raspuns. x1 = 95 ;x2 = 710 ;x3 = 1910 ;x4 = 910 .Problema 4. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:

2x1 + x2 x3 + x4 = 4x1 + x2 + 2x3 x4 = 1

3x1 2x2 + 5x3 = 5x1 x2 + x3 x4 = 1

..

Raspuns. x1 = 1;x2 = 116 ;x3 = 13 ;x4 = 12 .Problema 5. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:

x1 + x2 + x3 = 7x1 + 2x2 + x3 = 6x1 10x2 x3 = 20

..

Rezolvare. Sistemul este incompatibil.


Problema 6. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 8x1 + 3x2 x3 + x4 = 10

xj 0, j = 1,4f = x1 + 4x2 + 6x3 + 3x4maxima

Raspuns. xtoptim = (28,0,18,0), fmax = 136.Problema 7. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:

2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 12x1 + x2 + x3 + 2x4 = 7

xj 0, j = 1,4f = 2x1 + 8x2 + 5x3 + x4maxima

Raspuns. xtoptim = (53 ,

263 ,0,0), fmax =

2183 .

Problema 8. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 53x1 + x3 + 2x4 = 7x1 + x2 + x3 + 2x4 = 4

xj 0, j = 1,4f = 4x1 + x2 + 3x3 + 6x4maxima

Raspuns. xtoptim = (34 ,0,

154 ,

12 ), fmax =

694 .

Problema 9. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:x1 + 3x2 x3 x4 = 6

2x1 + x2 + x3 x5 = 8xj 0, j = 1,5f = 2x1 + x2 + 3x3maxima

Raspuns. fmax =.Problema 10. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:

3x1 + x2 + 2x3 = 103x1 + x3 + x4 = 45x1 + 2x3 + x5 = 8xj 0, j = 1,5f = x1 + 2x3maxima

Raspuns. xtoptim = (0,10,0,4,8), fmax = 20.


Problema 11. Sa se rezolve urmatoarea problema de programare liniara standard:

x1 + 2x2 + x4 + x5 = 124x1 + 2x2 2x3 x4 = 13x1 + x2 + x3 + x4 = 7

xj 0, j = 1,5f = x1 + 2x3 + x4maxima

Raspuns. xtoptim = (34 ,

458 ,

58 ,0,0), fmax =

1018 .

Problema 11. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:

8 3 5 21000

4 1 6 71500

1 9 4 32500

500 1000 2000 1500

..

Raspuns. fmin = 14000, Xoptim =

0 0 0 10000 1000 500 0

500 0 1500 500

.Problema 12. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:

2 3 1 170

3 2 3 1240

2 1 4 1190

50 100 250 100

..


0 0 70 00 0 180 60

50 100 0 40

.Problema 13. Sa se determine solutia generala a urmatoarei probleme de transport:

2 3 2 4700

2 1 3 4100

5 3 2 1200

250 500 150 100

..


Rezolvare. fmin = 2200,

Xoptim =

2501 + 2502 4001 + 3002 501 + 1502 0

0 1001 + 1002 0 00 1001 0 1001 + 1002


8 3 5 216

4 1 6 718

1 9 4 326

5 20 20 15

..


0 2 0 140 18 0 05 0 20 1


2 2 1 3250

1 2 3 4150

3 2 3 2100

100 150 50 200

..


0 100 50 100

100 50 0 00 0 0 100

.Bibliografie1. Muresan A. S., Lung R. I., Matematici aplicate in economie (cercetari operationale), Editura Me-

diamira, Cluj-Napoca, 20052. Muresan A. S., Filip D. A. , Ban I. M., Hangan A., Operatiuni financiare, Editura Mediamira,

Cluj-Napoca, 2005


2 MODULUL II. MATEMATICI FINANCIAREObiective

Familiarizarea cu tehnicile si metodele utilizate in cadrul matematicilor financiare

Definirea notiunilor de dobanda, anuitati, credite si imprumuturi

Concepte de baza

Dobanda simpla, dobanda compusa

Anuitati

Imprumuturi-rambursari directe, indirecte

Rezultate asteptateIn urma parcurgerii acestui modul se asteapta ca studentii sa cunoasca si sa opereze cu notiunile

introduse, sa fie in stare sa le aplice la problemele concrete: sisteme de imprumuturi echivalente,rambursari de credite si imprumuturi.

Sinteza

2.1 UNITATEA 1. Dobanzi

2.1.1 Dobanda simpla

Dobanda simpla este una dintre cele mai importante si des folosite operatiuni financiare. In gene-ral, dobanda este o suma de bani pe care o plateste o persoana fizica sau juridica (numita DEBI-TOR) unei alte persoane fizice sau juridice (numita CREDITOR) pentru folosirea unei sume de banimprumutate cu un anumit procent, pe o perioada de timp. Altfel spus, dobanda este pretul la carese vinde sau se cumpara capitalul mprumutat pe piata capitalului.

Formula de bazaDe obicei, operatia de dobanda simpla se foloseste pentru mprumuturi sau depozite pe termen

scurt (mai mici de un an), cand suma initiala s ramane invariabila pe toata durata mprumutului saudepozitului si, n final produce o dobanda platita n totalitate la scadenta. In continuare, vom folosiurmatoarele notatii:

s = suma initiala exprimata n unitati monetare (u.m.)p = procentul anual (%)t = durata de timp exprimata n aniz, l etc. = durata de timp exprimata n zile, luni etc.D = dobandaDefinitie. Dobanda este o functie D : [0,) [0,) [0,), (s, t) 7 D (s, t), care satisface

cerintele:- este strict crescatoare n raport cu fiecare dintre argumentele sale,

44

- este continua n raport cu fiecare dintre argumentele sale. In definitie sunt precizate conditiile naturale (firesti) din punct de vedere financiar. De asemenea,

daca aceasta functie este si derivabila, atunci vor fi ndeplinite inegalitatile:

Ds

> 0,Dt

> 0

Pentru a exprima concret dependenta dobanzii n raport cu cele doua argumente ale sale existamai multe formule, nsa cel mai adesea este folosita o relatie foarte simpla, aproape unanim accep-tata.

Dupa cum este firesc, dobanda este direct proportionala cu suma initiala s si cu durata de timp t.Daca notam cu i factorul de proportionalitate, obtinem imediat

D(s, t) =D = i s tCateva variante ale acestei formule pentru diverse unitati de masura ale timpului sunt urmatoarele:

D =i s z360

, D =i s l

12care au fost obtinute din formula, avand n vedere urmatoarele:

1 an 360 zile 12 lunit ani z zile l luni

Observatia 1. Se constata ca i = D(1,1), adica este dobanda produsa de o unitate monetara petimp de un an si de aceea se numeste dobanda unitara anuala.

Observatia 2. In aplicatiile practice ale operatiei de dobanda simpla, cel mai adesea n loculdobanzii unitare anuale i, se foloseste procentul. Acesta este tot o dobanda pentru 100 u.m. pe timpde 1 an, deci p =D(100,1). Altfel spus, p = 100 i sau i = p/100.

Exemplu. O persoana fizica a depus n contul sau deschis la o banca suma de 3000 u.m. n datade 19 februarie 2005 si suma de 5000 u.m. n data de 10 martie 2005. Care este dobanda pentrusumele depuse, la data de 25 septembrie 2005, daca procentul anual este 9%.

Rezolvare. Calculam duratele celor doua plasamente (sume initiale):s1 = 3000 u.m., z1 = 218 ziles2 = 5000 u.m., z2 = 199 zileDobanda totala este D =D1 +D2, unde

D1 =s1 i z1

360=

=3000 0,09 218

360= 163,5 (u.m.)

D2 =s2 i z2

360=

=5000 0,09 199

360= 248,75 (u.m.)


deci obtinem D = 412,25 u.m. Dobanzi unitare echivalente n cazul operatiei de dobanda simplaSa consideram, n cele ce urmeaza, ca un an se mparte n m subperioade, unde m 2 este un

numar natural. Astfel, pentru m = 2 obtinem mpartirea anului n 2 semestre, pentru m = 4 obtinemmpartirea anului n 4 trimestre, pentru m = 12 obtinem mpartirea anului n 12 luni, iar pentrum = 360 obtinem mpartirea anului n 360 zile (1an = 360 zile n domeniul financiar-bancar). Panaacum am notat cu t durata n ani a mprumutului sau a depunerii. Notam prin tm aceeasi durata detimp, exprimata cu ajutorul subperioadelor si avem relatia tm =m t (daca tinem cont de faptul ca 1an = m subperioade si atunci t ani = m t subperioade). De asemenea, notam cu im dobanda unitaracorespunzatoare subperioadei.

Definitie. Dobanzile unitare i si im se numesc echivalente daca pentru aceeasi suma initiala, peacelasi interval de timp, conduc la aceeasi suma finala (produc aceeasi dobanda) n regim de dobandasimpla.

Dobanda pentru suma initiala s depusa pe perioada t se scrie

D = i s tsau

D = im s tm = im s m tde unde se obtine relatia de legatura ntre i si im

im =im

Observatie. Relatia de mai sus arata faptul ca dobanda unitara anuala, i, si dobanda unitaracorespunzatoare subperioadei, im, care sunt echivalente sunt si proportionale. Aceasta se va dovedia fi o situatie specifica doar operatiei de dobanda simpla.

2.1.2 Factor de fructificare. Factor de actualizare

In continuare vom considera ca unitatea de masura a timpului este anul si introducem notatia Spentru suma finala. Aceasta, din punct de vedere matematic este o functie, S : [0,)[0,) [0,),(s, t) 7 S (s, t), obtinuta cumuland suma initiala cu dobanda. Avem urmatoarele relatii de calcul:

S = s+D sau S = s (1 + i t)Folosind formula de mai sus, cunoscand suma initiala, dobanda unitara anuala si durata de timpputem determina suma finala. Invers, cunoscand suma finala, dobanda unitara anuala si durata detimp putem determina suma initiala folosind formula:

s =S

1 + i tSuma initiala, la randul ei, este o functie: s : [0,) [0,) [0,), (S, t) 7 s (S, t) .

Cazuri particulare importante1) Daca s = 1 u.m., t = 1 an, atunci notam cu u suma finala corespunzatoare, deci u = S(1,1),

de unde obtinem u = 1 + i, pe care l numim factor de fructificare. Avem urmatoarea reprezentareintuitiva:


1 u.m.> u u.m.++>

0 1 anu este valoarea de peste un an a unei unitati monetare de azi.2) Daca S = 1 u.m., t = 1 an, atunci notam cu v suma initiala corespunzatoare, deci v = s(1,1), de

unde obtinem v = 11+i =1u , pe care l numim factor de actualizare. Avem urmatoarea reprezentare

intuitiva:v u.m. 1 u.m.

++>0 1 an

v reprezinta valoarea de azi a unei unitati monetare de peste un an.

2.1.3 Dobanda compusa

De obicei, pentru aceasta operatiune se mai foloseste denumirea de dobanda capitalizata sau dobandala dobanda. Dobanda compusa apare atunci cand suma initiala s este depusa pe o perioada de timpmai mare decat 1 an. Pentru a atrage depunatorii, bancile acorda acest tip de dobanda si pentrufractiuni de timp mai mici decat un an, cum ar fi depozitele pe 1 luna, 3 luni, 6 luni, 9 luni sau altevariante n functie de banca.

Formula de bazaSa consideram ca suma initiala s este depusa pe o perioada de n ani (n N). Notand cu sk suma

de la sfarsitul anului k, k = 1,n, putem scrie urmatoarele relatii de calcul:

s1 = s+ i s 1 = s (1 + i) = s us2 = s1 + i s1 1 = s1 (1 + i) = s1 u = s u2...

sn = s un .Ultima relatie este usor justificabila prin metoda inductiei matematice. Daca depozitul a fost facutpe n ani, atunci suma finala este data de relatia S = sn, deci avem

S = s unrelatie care este numita formula de baza a operatiei de dobanda compusa. Prin aceasta formula esteilustrata fructificarea sumei initiale s.

Din formula de baza obtinem imediat exprimarea sumei initiale

s = S 1un

= S vn

relatie care ilustreaza actualizarea sumei finale.Se stie, de asemenea, ca S = s+D, de unde obtinem, pentru dobanda compusa formula de calcul:

D = s (un 1)


Observatie. Semnificatia dobanzii unitare anuale i se pastreaza si n cazul operatiei de dobandacompusa. Intr-adevar, pentru s = 1 u.m., n = 1 an se obtineD = u1 = i, deci i este dobanda compusaunitara anuala.

Dobanzi unitare echivalente n cazul operatiei de dobanda compusaConsideram, n continuare, ca anul este mpartit n m subperioade si notam prin im dobanda

unitara corespunzatoare subperioadei.Definitie. Dobanzile unitare i si im se numesc echivalente daca pentru aceeasi suma initiala,

pe acelasi interval de timp, conduc la aceeasi suma finala (aceeasi dobanda) n regim de dobandacompusa.

Daca 1 an = m subperioade, rezulta ca n ani = n m subperioade. Exprimam egalitatea dintresumele finale obtinute n cele doua moduri si avem

s unmm = s unumm = uim =

m

1 + i 1Din relatia obtinuta ntre im si i se observa imediat ca dobanzile unitare echivalente nu sunt proportionalen cazul operatiei de dobanda compusa.

Observatie. Folosind procentele echivalente se poate considera durata depunerii t si cand aceastanu este un numar ntreg de ani. In consecinta, din punct de vedere matematic, S : [0,+)[0,+)[0,+), (s, t) 7 S (s, t) , unde S (s, t) = sut.De asemenea s va fi privita ca functia s : [0,+)[0,+)[0,+), (S, t) 7 s (S,t) , data prin s (S,t) = Svt.

2.1.4 Echivalenta sistemelor de mprumuturi

Definitie. Se numeste mprumut un triplet format din:- o suma nominala (initiala s sau finala S),- un procent (p),- o durata (un moment t al nominalizarii sumei). Astfel, mprumutul va fi (s,p, t) sau (S,p, t).In orice problema financiara trebuie sa rezulte daca folosirea sumei este anterioara sau posteri-

oara datei nominalizarii. Mai multe mprumuturi formeaza un sistem de mprumuturi. Sunt situatiin care un sistem de mprumuturi se schimba cu alt sistem de mprumuturi. Schimbarea este posi-bila numai daca cele doua sisteme sunt echivalente. Aceasta echivalenta se bazeaza pe principiulechilibrului financiar, potrivit caruia doua sisteme de mprumuturi sunt echivalente daca si numaidaca suma valorilor actuale ale valorilor nominale de la primul sistem este egala cu suma valoriloractuale ale valorilor nominale de la al doilea sistem. Aici, prin valori actuale ntelegem:

- valorile finale daca au fost nominalizate valorile (sumele) initiale,- valorile initiale daca au fost nominalizate valorile (sumele) finale.Toate consideratiile care urmeaza sunt valabile atat n cazul operatiei de dobanda simpla, cat si n

cazul operatiei de dobanda compusa. Ilustram rationamentele n cazul operatiei de dobanda simpla.Consideram sistemele de mprumuturi date cu valorile finale ca valori nominale, primul sistem

fiind format din m imprumuturi, iar cel de-al doilea sistem din n imprumuturi, adica:


{(S k ,p

k , tk

)}k=1,m

si {(Sk ,pk , tk)}k=1,nDefinitie. Spunem ca cele doua sisteme de mprumuturi sunt echivalente si scriem{(

Sk ,pk , tk

)}k=1,m

{(Sk ,pk , tk)}k=1,ndaca si numai daca are loc egalitatea:

mk=1

sk =nk=1

sk

adica

mk=1

S k1 + ik t

k

=nk=1

Sk1 + ik tk

Analog, daca sistemele sunt date cu valorile initiale, ca valori nominale ele vor fi echivalente siscriem {(

sk ,pk , tk

)}k=i,m

{(sk ,pk , tk)}k=i,ndaca si numai daca are loc egalitatea:

mk=1

S k =nk=1

Sk

adica

mk=1

sk (1 + ik t

k

)=

nk=1

sk (1 + ik tk)

Cazuri particulare:1) m = n = 1 echivalenta a doua mprumuturi.(S,p, t) (S,p, t) daca si numai daca s = s adica

S 1 + it =

S1 + it

respectiv (s,p, t) (s,p, t) daca si numai daca S = S adica:

s (1 + i t) = s (1 + i t)2) m = 1 si n - oarecare, echivalenta unui mprumut cu un sistem de mprumuturi

(S ,p, t) {(Sk ,pk , tk)}k=1,n


daca si numai daca s =nk=1

sk adica

S 1 + it =

nk=1

Sk1 + iktk

respectiv (s,p, t) {(sk ,pk , tk)}k=1,n daca si numai daca S =nk=1

Sk adica:

s (1 + it) =nk=1

sk (1 + iktk)

3) m = n si se fixeaza unul dintre elementele mprumuturilor. Se obtin valorile medii:- volumul mediu al sumelor;- procentul mediu;- scadenta comuna;- scadenta mijlocie.3.1) Volumul mediu al sumelorConsideram sistemul de mprumuturi

{(sk ,pk,tk

)}k=1,n fixam s

k = s si luam p

k = pk si t

k = tk, deci

avem echivalenta:

{(s,pk , tk)}k=1,n {(sk ,pk , tk)}k=1,nIn aceasta echivalenta, s poarta numele de volumul mediu al sumelor sk .Conform principiului de echivalenta avem relatia:

nk=1

s (1 + iktk) =nk=1

sk (1 + iktk)

astfel

s =

nk=1

sk (1 + iktk)nk=1

(1 + iktk)

3.2) Procentul mediuConsideram sistemul de mprumuturi

{(sk ,pk,tk

)}k=1,n fixam p

k = p si luam s

k = sk si t

k = tk, deci

avem echivalenta

{(sk ,p, tk)}k=1,n {(sk ,pk , tk)}k=1,nIn aceasta echivalenta, p poarta numele de procentul mediu al procentelor pk .Principiul de echivalenta ne conduce la egalitatea:

nk=1

sk (1 + itk) =nk=1

sk (1 + iktk)


astfel

i =

nk=1

sk (1 + iktk)nk=1

sk

nk=1

sktk

In concluzie,

p = 100

nk=1

sk (1 + iktk)nk=1

sk

nk=1

sktk

3.3) Scadenta comunaConsideram sistemul de mprumuturi

{(sk ,pk,tk

)}k=1,n fixam t

k = t si luam s

k = sk si p

k = pk, deci

avem echivalenta:

{(sk ,pk , t)}k=1,n {(sk ,pk , tk)}k=1,nIn aceasta echivalenta, t poarta numele de scadenta comuna pentru scadentele tk .Conform principiului de echivalenta avem relatia:

nk=1

sk (1 + ikt) =nk=1

sk (1 + iktk)

astfel

t =

nk=1

sk (1 + iktk)nk=1

sk

nk=1

skik

3.4) Scadenta mijlocieConsideram sistemul de mprumuturi {(sk ,pk , tk)}k=1,n fixam tk = t, pk = p (procentul mediu) si

luam sk = sk deci avem echivalenta:{(sk ,p,t

)}k=1,n {(sk ,pk , tk)}k=1,n

In aceasta echivalenta, t poarta numele de scadenta mijlocie pentru scadentele tk .Conform principiului de echivalenta avem relatia:

nk=1

sk (1 + it) =nk=1

sk (1 + iktk)

astfel

t =

nk=1

sk (1 + iktk)nk=1

sk

nk=1

ski


Observatia 1. Pentru a obtine scadenta mijlocie t se poate pleca de la echivalenta: nk=1

sk ,p, t

{(sk ,pk , tk)}k=1,nunde p este procentul mediu.

Observatia 2. Valori medii similare se pot defini si n cazul cand sistemul de mprumuturi estedat prin valorile (nominale) finale, adica {(Sk ,pk , tk)} .

Toate consideratiile pot fi reluate n cazul operatiei de dobanda compusa.

2.2 UNITATEA 2. Imprumuturi

2.2.1 Notiuni introductive

Definitie. Prin mprumut ntelegem un triplet de forma (s,p,t), unde s reprezinta suma initiala carese mprumuta debitorului de catre creditor, cu procentul anual p, pe durata de timp t.

Intuitiv, avem situatia reprezentata mai jos(s,p, t)

CREDITOR>DEBITORDebitorul poate rambursa suma mprumutata mpreuna cu dobanda aferenta n urmatoarele

doua moduri:- o singura data plata unica- esalonat, prin plata unor sume de bani la niste momente dinainte precizate.Pentru primul caz situatia este simpla. Se calculeaza dobanda aferenta, se adauga la suma initiala

si se ramburseaza suma finala la momentul ntelegerii.In al doilea caz avem nevoie de niste calcule intermediare, pentru a putea determina care este

dobanda pentru suma nerambursata la un moment dat si a vedea care sunt sumele care se rambur-seaza de fiecare data, cu alte cuvinte sa calculam ratele. Pentru a usura ntelegerea modalitatilor decalcul vom introduce si studia notiunea de anuitate.

2.2.2 Anuitati

Definitie si clasificariSa consideram ca se cumpara un bun material, iar plata lui se va face n rate. Astfel, la diverse

momente de timp dinainte precizate, se vor face anumite plati. Consideram ca se vor plati n rate rk ,k = 1,n, la momentele de timp tk , k = 1,n, dupa cum se poate observa mai jos:

r1 r2 ... rn sume de bani+++>

t1 t2 ... tn timpDefinitie. Se numeste anuitate ansamblul format din rate si momentele de timp la care se platesc

ratele respective.Anuitatile se mai ntalnesc si sub denumirile de plati n rate sau plati esalonate.Deoarece ratele se platesc la diverse momente de timp si, avand n vedere ca sumele, pe anumite

perioade de timp, produc dobanzi, este dificil sa facem aprecieri sau calcule daca nu ne referim la


acelasi moment de timp. Din aceasta cauza, se considera un moment de timp, notat prin t, si toatesumele se vor evalua (actualiza) n acest moment. Suma tuturor ratelor actualizate la momentul t seva numi valoarea anuitatii la momentul t.

r1 r2 ... rk1 V(t) rk ... rn sume de bani++++++>

t1 t2 tk1 t tk tn timpRaportate la momentul de evaluare t, ratele r1, r2, ..., rk1 sunt sume initiale si astfel, la momentul

t ele vor deveni rj uttj = rj vtjt, j = 1, k 1, n timp ce ratele rk , rk+1, ..., rn sunt sume finale siele, actualizate la momentul t vor fi rj vtjt, j = k,n. Atunci, conform defi

matem financiare actuariale - curs

Documents