test de autoevaluare la geometrie analitica

8/14/2019 Test de Autoevaluare La Geometrie Analitica

1/6

Model de test de autoevaluare ( timp de lucru 90 de minute!)

Adevrat / Fals( cte 3 puncte pentru fiecare rspuns corect )

Adevrat Fals

1. Mulimea,

( ){ }41 2 3 4 1 2 3 4, , , 3 2 0S x x x x x x x x= + =

)

formeaz un subspaiu vectorial de dimensiune 3.

Adevrat:R

2. Teorema dimensiunii a lui Grassmann afirm c, pentru orice dou subspaii vectoriale,V i V ale unui K spaiu vectorial V, dimensiunea subspaiului sum, V este dat

de relaia:

V +

( ) ( ) ( ) (dim dim dim dim K K K K V V V V V V + = + +

Fals:R

3. Dac : f V W este un morfism de spaii vectoriale peste acelai corpK, atunci,

( ) ( )f x y f y x =

Adevrat:R

4. Matricea aplcaiei biliniare, , definit prin:3 3:g

( ) 1 2 2 3 3 1,g x y x y x y x y= +

relativ la baza canonic a operatorului este

0 1 00 0 1

1 0 0

A =

Adevrat:R

5. Varietatea ptratic asociat formei ptratice:

( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2,q x x x x x x= = 2

este format din dou drepte perpendiculare care trec prin origine.


2/6

Adevrat:R

Multiple choice (cte 5 puncte pentru fiecare rspuns corect)

6. S se precizeze care dintre urmtoarele sisteme de funcii sunt liniar independente:

( ) ( ) ( ) ( ){ }33 21 1 2 31, , 1S f x x f x x x f x x= = + = + = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }2 1 2 3, 1 , 1S g x x g x x x f x x x x= = = + = + + 2

)a este liniar independent i liniar dependent1S 2S

)b este liniar independent i liniar dependent2S 1S

)c Ambele sisteme sunt liniar dependente

)d Ambele sisteme sunt liniar independente

:R )a

7. Fie Vun spaiu vectorial peste corpulKi . Atunci, una din afirmaiile de mai

jos este adevrat:

dimKV n=

)a exist un unic sistem de n vectori liniar independeni peste V

)b spaiul vectorial conne doar n vectori ce formeaz un sistem de generatori

)c exist dou baze avnd un numr diferit de vectori

)d Veste izomorf cu spaiul aritmetic nK

:R )d

8. Pe , cu structura canonic de - spaiu liniar, se consider forma ptratic,3

( ) ( )1 2 3 1 2 2 3 1 3, , 2q x x x x x x x x x= + +

S se reduc la forma canonic expresia ptratici s se indice transformarea de coordonate

corespunztoare.

)a ( ) 2 21 2 3 1 2 3, ,q = + +2

1 1

2

2x = , ( )2 1 2 32

2x = + , ( )3 1 32

2x =


3/6

)b ( ) 2 21 2 3 1 2 3, ,q = + +2

( )1 1 22

2

x = , ( )2 22

2

x = 3 , ( )3 1 32

2

x =

2

)c ( ) 2 21 2 3 1 2 3, ,q = +

( )1 1 2 32

2x = + , ( )2 1 2

2

2x = + 3 , ( )3 1 3

2

2x =

2

)d ( ) 2 21 2 3 1 2 3, ,q =

( )1 1 2 32

2x = + , ( )2 1 2

2

2x = 3 , 3 3

2

2x =

: )R d

9. Fie , spaiul afin real raportat la reperul cartezian .S se scrie ecuaia

general a planului ce trece prin punctul i are direcia de terminat de vectorii

3A { 1 2 3; , ,R O e e e= }

)

3e 3

0

0

(0 2,1, 1P

1 1 23v e e= + + i 2 1 2 2v e e e= +

)a 1 2 33 5 x x x + =

)b1 3 1 0x x+ =

)c 1 2 33 5 4 5 x x x =

)d 2 3 0x x+ =

: )R c

10. n spaiul afin real , spaiul afin real raportat la reperul cartezian ,3A { }1 2 3; , ,R O e e e=

se consider dreptele afine:

( ) i ( )1 2 3

1 1 2 3

2 4 0

0:

2 2

x x xd

x x x

+ = + + =

1 2 3

22 3 1

:2 2 5

x x xd

+ += =

3e

S se scrie ecuaiile generale ale dreptelor care se sprijin pe ( i ( i au subspaiul

director, vectorul .

)1d )2d

1 22v e e= + +


4/6

)a1 2 3

1 2 3

5 6 2 8

8 5 2 3

x x x

x x x

+ + = + =

0

0

0

0

0

0

)b1 2 3

1 2 3

7 6 5 12

8 5 2 3

x x x

x x x

+ + = + =

)c1 2 3

1 2 3

7 6 5 12

8 5 2 3 0

x x x

x x x

+ + + = + =

)d1 2 3

1 2 3

5 6 2 8

6 2 12 0

x x x

x x x

+ = + =

: )R b

Matching questions (cte 8 puncte pentru fiecare rspuns corect)

Fie o aplicaie definit prin:3:f 2

( ) ( )1 2 3 1 3 1 2, , ,f x x x x x x x= +

S se potriveasc chestiunile 11 15 cu variantele posibile de rspunsA J

11. freprezint o

12. Matricea A, a aplicaiei f relativ la baza canonic este

13.Nucleul aplicaieif, ker f este

14. Imaginea aplicaiei f, Im f este

15. Dimensiunile suspaiilor ker f i Im f sunt, respectiv

A. 2Im f =

B. i( )dim ker 2f = ( )dim Im 1f =

C. aplicaie liniar

D.

1 1

0 1

1 0

A

=

E. { }ker f e = unde, ( )1,1,1e =


5/6

F. form ptratic

G.1 0 1

1 1 0A

=

H. Im f =

I. i( )dim ker 1f = ( )dim Im 2f =

J. { }1 1 2 2 1 2ker , ,f e e = + unde i( )1 1,0, 1e = ( )2 1,1,0e =

Rspunsuri: 11 C

12 G

13 E

14 A

15 I

S se specifice urmtoarele cuadrice potrivind formele canonice ( ) cu variantele( )16 20

( ) ( )A P

16. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 1 x x x+ + =

17. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 1 x x x+ =

18. ( ) ( )2 21 2 32 0 x x x+ =

19. ( ) ( )2 21 2 1x x =

20. ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 0 x x x+ + =

A. Elipsoid

B. O dreapt dubl

C. Hiperboloid cu o pnz


6/6

D. Elipsoid imaginar

E. Hiperboloid cu dou pnze

F Cilindru eliptic

G. Cilindru hiperbolic

H. Paraboloid eliptic

I. Paraboloid hiperbolic

J. Con

K. Cilindru imaginar

L. Cilindru parabolic

M. Dou plane paralele

N. Dou drepte concurente

O. Punct dublu

P. Dou plane imaginare

Rspunsuri: 16 A

17 C

18 H

19 G

20 O

test de autoevaluare la geometrie analitica

Documents