facultatea de hidrotehnic a, geodezie ˘si ingineria ... filealgad 2 - geometrie analitica si...

ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala

Lect.dr. Ana Nistor

Facultatea de Hidrotehnica, Geodezie si Ingineria MediuluiUniversitatea Tehnica ”Gh. Asachi” din Iasi

Cursurile 1 - 6

A.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 1 / 88

Introducere

Introducere

Bibliografie:• V. Balan, C. Frigioiu, M. Roman, Geometrie Analitica, Geometrie Diferentiala siElemente de Algebra Tensoriala.• C. Deliu, Analiza matematica, algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala- pentru studenti in invatamantul superior tehnic, 2014• P. Georgescu, G. Popa, Geometrie vectoriala, analitica si diferentiala - Problemepropuse 2009.• A.I. Lazu, Algebra si geometrie - Culegere de probleme• http://math.etc.tuiasi.ro/apletea/seminarii.htmlCuprins:

- Vectori liberi - recapitulare

I Planul si dreapta in spatiu

II Conice

III Cuadrice

IV Curbe

V Suprafete ainistor||at||tuiasi||punct||roA.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 2 / 88

Vectori liberi - recapitulare

Vectori liberi - produsul scalar

Definitie

S.n. produs scalar pe spatiul vectorilor liberi aplicatia

〈 , 〉 : V3 × V3 → R, 〈u, v〉 =

{‖u‖‖v‖ cos∠(u, v), daca u, v 6= 0,

0, daca u = 0 sau v = 0

Fie u = (u1, u2, u3)︸︷︷︸coord. eucl.

=

expr .analitica︷︸︸︷u1 i + u2 j + u3k si v = (v1, v2, v3) = v1 i + v2 j + v3k.

Atunci, expr. analitica a p.s. este 〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + u3v3.• ‖u‖ =

√〈u, u〉

• u ⊥ v d.n.d 〈u, v〉 = 0



Vectori liberi - produsul vectorial

Definitie

S.n. produs vectorial pe spatiul vectorilor liberi aplicatia

× : V3 × V3 → V3, u × v = ‖u‖‖v‖ sin∠(u, v)e

unde e este versorul(lungimea=1) perpendicular pe pl. det. de cei doi vectori siorientat dupa regula burghiului(sensul de inaintare a unui burghiu cand u se rotestecatre v formand un unghi minim.


=

expr .analitica︷︸︸︷u1 i + u2 j + u3k si v = (v1, v2, v3) = v1 i + v2 j + v3k .

Atunci, expr. analitica a p.v. este u × v =

∣∣∣∣∣∣i j ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣.• u × v = 0 daca u = 0, v = 0 sau u si v sunt coliniari. ( 0 este vectorul nul!)• aria paralelogramului constr. pe u si v este ‖u × v‖.• aria triunghiului constr. pe u si v este 1

2‖u × v‖.A.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 4 / 88


Vectori liberi - produsul mixt

Definitie

S.n. produsul mixt al vectorilor u, v , w aplicatia

(·, ·, ·) : V3 × V3 × V3 → R, (u, v , w) = 〈u, v × w〉


=

expr .analitica︷︸︸︷u1 i + u2 j + u3k , v = (v1, v2, v3) = v1 i + v2 j + v3k si

w = (w1,w2,w3) = w1 i + w2 j + w3k .

Atunci, expr. analitica a produsului mixt este (u, v , w) =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣.• (u, v , w) = 0 daca cel putin unul dintre vectori este zero sau daca vectorii suntcoplanari.• volumul paralelipipedului det. de u, v , w este: |(u, v , w)|• volumul tetraedrului det. de u, v , w este: 1

6 |(u, v , w)|A.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 5 / 88


Distanta dintre doua puncte

Fie reperul ortonormat R(O; i , j , k) si punctele A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)si C (x3, y3, z3).Distanta dintre A si B este:

dist(A,B) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

Coordonatele unui punct M care imparte segmentul AB intr-un raportk ∈ R \ {−1}, AM = kMB,sunt:

xM =x1 + kx2

1 + k, yM =

y1 + ky2

1 + k, zM =

z1 + kz2

1 + k.

Mijlocul segmentului AB este M

(x1 + x2

2,y1 + y2

2,z1 + z2

2

).

Centrul de greutate al triunghiului 4ABC este:

G

(x1 + x2 + x3

3,y1 + y2 + y3

3,z1 + z2 + z3

3

).


CAP. I Planul si dreapta in spatiu Sect.1 Planul

Cap.I Planul si dreapta in spatiuSect.1 Planul



1.1 Ecuatiile planului

Fie reperul ortonormat R(O; i , j , k) si notam (P) un plan in spatiultridimensional.

Definitie

S.n. vector normal la planul (P) un vector nenul N a carui dreapta suporteste perpendiculara pe planul (P).

Definitie

S.n. vectori directori ai planului (P) doi vectori necoliniari u si v ale carordrepte suport sunt paralele cu planul (P).

Geometric, un plan poate fi unic determinat astfel:

i) un punct al planului si un vector normal la plan

ii) un punct al planului si doi vectori necoliniari din plan

iii) trei puncte necoliniare



i) Planul det. de un punct si un vector normal

Fie M0(x0, y0, z0) ∈ (P) si N = Ai + Bj + Ck normala, vector nenul, deciA,B,C nu toti zero simultan, adica A2 + B2 + C 2 > 0.

Un pct generic M(x , y , z) ∈ (P) d.n.d. M0M ⊥ N d.n.d. 〈M0M, N〉 = 0.Folosind M0M = (x − x0)i + (y − y0)j + (z − z0)k, produsul scalar devine:

(x − x0)A + (y − y0)B + (z − z0)C = 0 (1)

care s.n. ecuatia normala a planului. Echivalent, (1) devine:Ax + By + Cz + (−Ax0 − By0 − Cz0)︸︷︷︸

not. D

= 0, adica

Ax + By + Cz + D = 0 (2)

care s.n. ecuatia generala a planului.

Ex.1



ii) Planul det. de un punct si doi vectori directori

Fie M0(x0, y0, z0) ∈ (P) siv1 = l1 i + m1 j + n1k, v2 = l2 i + m2 j + n2k ∈ (P) doi vectori directori,deci necoliniari, v1 × v2 6= 0.

Un pct generic M(x , y , z) ∈ (P) d.n.d. M0M, v1, v2 sunt coplanari d.n.d.(M0M, v1, v2) = 0. Folosind expresia analitica a produsului mixt, obtinem:∣∣∣∣∣∣

x − x0 y − y0 z − z0

l1 m1 n1

l2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣ = 0 (3)

care s.n. ecuatia unui plan det. de un pct. si doi vectori directori.

Ex.2



iii) Planul det. de trei puncte necoliniare

Fie M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2),M3(x3, y3, z3) ∈ (P) necoliniare

Un pct generic M(x , y , z) ∈ (P) d.n.d. M1M,M1M2,M1M3 suntcoplanari, d.n.d. (M1M,M1M2,M1M3) = 0.Folosind expresia analitica a produsului mixt, obtinem:∣∣∣∣∣∣

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣ = 0⇔

∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (4)

care s.n. ecuatia unui plan det. de trei puncte necoliniare.In particular, fie M1(a, 0, 0), M2(0, b, 0) si M3(0, 0, c) intersectiile lui (P)cu axele de coord. Atunci, obtinem ecuatia planului prin taieturi:

x

a+

y

b+

z

c− 1 = 0 (5)

Ex.3 Ex.4A.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 11 / 88


1.2 Plane particulare

Ecuatia planului xOy : z = 0 Ec. unui plan paralel cu xOy : z = z0

Ecuatia planului xOz : y = 0 Ec. unui plan paralel cu xOz : y = y0

Ecuatia planului yOz : x = 0 Ec. unui plan paralel cu yOz : x = x0

Ec. unui plan paralel cu Oz : Ax + By + D = 0Ec. unui plan paralel cu Oy : Ax + Cz + D = 0Ec. unui plan paralel cu Ox : By + Cz + D = 0

Ec. unui plan care contine originea O(0, 0, 0): Ax + By + Cz = 0



1.3 Pozitia relativa a doua plane

Fie(P1) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0(P2) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0Notam

M =

(A1 B1 C1

A2 B2 C2

)matricea sist format din ec. planelor

M =

(A1 B1 C1 D1

A2 B2 C2 D2

)matricea extinsa

• deoarece rangM < 3 sist nu poate fi compat.det.(sol. unica) - deci2 plane nu se pot intersecta intr-un pct.• rangM = 1 si rangM = 1: sist are o infinit de sol. - planele coincid.Altfel spus: A1

A2= B1

B2= C1

C2= D1

D2

• rangM = 1 si rangM = 2: sist. incompat. - planele sunt paralele, nuau nici un pct. comun. Altfel spus: A1

A2= B1

B2= C1

C26= D1

D2

• rangM = 2 atunci si rangM = 2: sist are o infinit de sol, fara ca planelesa coincida - planele se intersecteaza dupa o dreapta. Ex.5



1.4 Unghiul a doua plane

Fie(P1) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 cu normala N1

(P2) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 cu normala N2

Definitie

Unghiul α := ∠((P1), (P2)) a doua plane este definit de unghiul format denormalele la cele doua plane.

cosα =〈N1, N2〉‖N1‖‖N2‖

(6)

Doua plane sunt perpendiculare (P1) ⊥ (P2) d.n.d. normalele lor suntperpendiculare N1 ⊥ N2, adica 〈N1, N2〉 = 0, A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Ex.6



1.5 Distanta de la un punct la un plan

Fie M0(x0, y0, z0) si (P) : Ax + By + Cz + D = 0

Distanta de la M0 /∈ (P) la (P) este data de:

dist(M0, (P)) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√

A2 + B2 + C 2(7)

si reprezinta lungimea vectorului M0M ′, unde M ′ este proiectia punctuluiM0 pe planul (P).


CAP. I Planul si dreapta in spatiu Sect.2 Dreapta in spatiu

Cap.I Planul si dreapta in spatiuSect.2 Dreapta in spatiu



2.1 Ecuatiile dreptei in spatiu

Fie reperul ortonormat R(O; i , j , k) si notam (d) o dreapta in spatiultridimensional.

Definitie

S.n. vector director al dreptei (d) vectorul nenul v = l i +mj + nk a caruidreapta suport este paralela cu dreapta (d).l ,m, n ∈ R s.n. parametrii directori ai lui (d).Notam v0 = 1

‖v‖ v versorul director al lui (d).

Geometric, o dreapta poate fi unic determinata astfel:

i) un punct si un vector director nenul

ii) doua puncte distincte

iii) intersectia a 2 plane



i) Dreapta det. de un pct si un vector director nenul

Fie M0(x0, y0, z0) ∈ (d) si v = l i + mj + nk un vector director al lui (d)

Un pct generic M(x , y , z) ∈ (d) d.n.d. M0M, v coliniari d.n.d.∃λ ∈ R a.i.M0M = λv .Folosind M0M = (x − x0)i + (y − y0)j + (z − z0)k , egalitatea precedentadevine:

x = x0 + λl

y = y0 + λm

z = z0 + λn

(8)

care s.n. ecuatiile parametrice ale dreptei (d). Echivalent,

x − x0

l=

y − y0

m=

z − z0

n(9)

care s.n.ecuatiile canonice ale dr. (d).Ex.8



ii) Dreapta det. de doua puncte distincte

Fie M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2) ∈ (d)Un vector director al lui (d) estev := M1M2 = (x2 − x1)i + (y2 − y1)j + (z2 − z1)kAtunci, ecuatia (9) pentru pctul M1 si vectorul director v de mai susdevine:

x − x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1=

z − z1

z2 − z1(10)

care s.n. ecuatia dreptei prin doua puncte.Ex.9



iii) Dreapta ca intersectie a doua plane

Fie planele neparalele(P1) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 cu normala N1

(P2) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 cu normala N2

Atunci ecuatia canonica a dreptei de intersectie a celor doua plane,(d) := (P1) ∩ (P2) este

x − x0

l=

y − y0

m=

z − z0

n(11)

unde punctul M0(x0, y0, z0) este o solutie a sistemului format de ecuatiile

celor doua plane iar directia dreptei este v = N1 × N2 =

∣∣∣∣∣∣i j kA1 B1 C1

A2 B2 C2

∣∣∣∣∣∣ .Altfel spus, parametrii directori sunt:

l =

∣∣∣∣B1 C1

B2 C2

∣∣∣∣ m =

∣∣∣∣C1 A1

C2 A2

∣∣∣∣ n =

∣∣∣∣A1 B1

A2 B2

∣∣∣∣ .Ex.10



2.2 Drepte particulare

Ec. axei Ox :

{y = 0

z = 0Ec. axei Oy :

{x = 0

z = 0Ec. axei Oz :

{x = 0

y = 0



2.3 Unghiul a doua drepte

Fie

(d1) :x − x1

l1=

y − y1

m1=

z − z1

n1, cu vect. dir. v1 = l1 i + m1 j + n1k

(d2) :x − x2

l2=

y − y2

m2=

z − z2

n2cu vect. dir. v2 = l2 i + m2 j + n2k

Definitie

Unghiul α := ∠((d1), (d2))a doua drepte este definit de unghiul format devectorii directori ai celor doua drepte.

cosα =〈v1, v2〉‖v1‖‖v2‖

(12)



2.3 Unghiul a doua drepte

Fie

(d1) :x − x1

l1=

y − y1

m1=

z − z1


(d2) :x − x2

l2=

y − y2

m2=

z − z2


• Doua dr sunt perpendiculare (d1) ⊥ (d2) d.n.d. vect. lor directori suntperp., v1 ⊥ v2 d.n.d. 〈v1, v2〉 = 0⇔ l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0.• Doua drepte sunt paralele (d1)||(d2) d.n.d. vectorii lor directori suntparaleli, v1||v2 d.n.d. l1

l2= m1

m2= n1

n2.

! Dr. sunt paralele SAU coincid! Distinctia se face verif. daca un pct aluneia dintre drepte se afla (coincid) sau nu (paralele) pe cealalta dreapta.! doua dr. perpendiculare pot fi necoplanare !! doua dr. paralele sunt intotdeauna coplanare!• Doua drepte sunt coplanare d.n.d. v1, v2,M1M2 sunt coplanari d.n.d.

(v1, v2,M1M2) = 0⇔

∣∣∣∣∣∣x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

l1 m1 n1

l2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣ = 0



2.4 Unghiul dintre o dreapta si un plan

Fie

(d) :x − x0

l=

y − y0

m=

z − z0

ncu vect. dir. v1 = l i + mj + nk

(P) : Ax + By + Cz + D = 0 cu vect. normal N = Ai + Bj + Ck

Definitie

Unghiul α := ∠((d), (P)) dintre o dreapta si un plan este definit de unghiulformat de dreapta cu proiectia ei pe plan, si care este egal cu complementulunghiului format de dreapta si normala la plan.

sinα = cos(π

2− α

)=〈N, v〉‖N‖‖v‖

(13)



2.5 Distanta de la un punct la o dreapta

Fie

(d) :x − x1

l=

y − y1

m=

z − z1

ncu vect. dir. v = l i + mj + nk si

M1(x1, y1, z1) ∈ (d)M0(x0, y0, z0) /∈ (d)

Distanta de la M0 la (d) este data de:

dist(M0, (d)) =‖M1M0 × v‖‖v‖

(14)



2.6 Distanta dintre doua drepte

Fie

(d1) :x − x1

l1=

y − y1

m1=

z − z1


(d2) :x − x2

l2=

y − y2

m2=

z − z2


Definitie

S.n. perpendiculara comuna a celor doua drepte dreapta unica (d) perpen-diculara pe (d1) si (d2) si care intersecteaza dreptele (d1) si (d2).

Notam M1(x1, y1, z1) ∈ (d1) si M2(x2, y2, z2) ∈ (d2).

Un vector director al perpendicularei comune (d) este:v = v1 × v2 = l i + mj + nk



2.6 Distanta dintre doua drepte

Dreapta (d) = (P1) ∩ (P2) se obtine ca intersectia planelor

(P1) det. de M1 si vect dir ai dr (d1) si (d) :

∣∣∣∣∣∣x − x1 y − y1 z − z1

l1 m1 n1

l m n

∣∣∣∣∣∣ = 0

si

(P2) det. de M2 si vect dir ai dr (d2) si (d) :

∣∣∣∣∣∣x − x2 y − y2 z − z2

l2 m2 n2

l m n

∣∣∣∣∣∣ = 0

Atunci,dist((d1), (d2)) = lungimea perpendicularei comune = inaltimeaparalelipipedului construit pe vect. v1, v2, M1M2 cu baza data deparalelogramul format de v1 si v2.

dist((d1), (d2)) =|(M1M2, v1, v2)|‖v1 × v2‖


CAP. I Planul si dreapta in spatiu Sect.3 Dreapta in plan

Cap.I Planul si dreapta in spatiuSect.3 Dreapta in plan



3.1 Ecuatiile dreptei in plan

Fie R(O; i , j) un reper ortonormat in plan.Geometric, o dreapta in plan este unic determinata astfel:

i) un punct si un vector director

ii) doua puncte

iii) un punct si panta

iv) un punct si o directie normala



i) dr. det. de un pct si un vect. director

Fie M0(x0, y0) si v = l i + mj vect. director nenul (l2 + m2 > 0)

Ecuatiax − x0

l=

y − y0

m(15)

s.n ec. canonica a dreptei.Calculand m︸︷︷︸

not.a

x −l︸︷︷︸not.b

+ ly0 −mx0︸︷︷︸not.c

= 0 obtinem:

ax + by + c = 0 (16)

care s.n.ec. generala a dreptei in plan.Egaland (15) cu un parametru real λ avem{

x = x0 + λl

y = y0 + λm(17)

care s.n. ecuatiile parametrice ale dreptei in plan.A.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 30 / 88


ii) dr. det. de doua puncte

Fie M1(x1, y1) si M2(x2, y2)

Ecuatiax − x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1(18)

s.n ec. canonica a dreptei det. de doua puncte.

In particular, fie o dreapta (d) care nu trece prin O(0, 0) si nu e paralelacu axele de coord. Notam (d) ∩ Ox = A(a, 0) si (d) ∩ Oy = B(0, b) a.i.ab 6= 0Atunci, ec. (18) devine

x

a+

y

b− 1 = 0 (19)

care s.n ec. prin taieturi a unei drepte in plan.



3.2 Panta unei drepte in plan

Fieax + by + c = 0 (20)

ec. gen. a unei drepte neparalele cu Oy , adica b 6= 0.Echivalent,

y = −a

b︸︷︷︸not.m

x −c

b︸︷︷︸not.n

si obtinemy = mx + n (21)

care s.n. ec. redusa a dreptei.•m s.n. panta dreptei•n reprezinta ordonata intersectiei dr. cu Oy .



3.2 Panta unei drepte in plan

Fie(d) : y = mx + n dr. neparalela cu OyM1(x1, y1) ∈ (d), atunci verif ec. dr.: y1 = mx1 + nsiM2(x2, y2) ∈ (d), atunci verif. ec. dr.: y2 = mx2 + nScazand cele 2 relatii obtinem expresia pantei m = y2−y1

x2−x1:= tan θ,

unde θ = ∠(semiaxa poz Ox, semidr. de pe (d) situata deas. lui Ox)

m > 0 d.n.d. θ este unghi ascutit

m < 0 d.n.d. θ este unghi obtuz

m = 0 d.n.d. (d)||Ox

Obs.iii) O dreapta (d) este unic determinata de un punct de pedreapta M0(x0, y0) ∈ (d) si panta sa m. Fie un pct generic de pe dreaptaM(x , y) ∈ (d). Avem: m = y−y0

x−x0, adica, ec. dr.(d) : y − y0 = m(x − x0)



3.3 Drepte particulare in plan

Ecuatia axei Ox : y = 0 Ecuatia unei drepte paralele cu Ox : y = y0

Ecuatia axei Oy : x = 0 Ecuatia unei drepte paralele cu Oy : x = x0

Ecuatia primei bisectoare: y = xEcuatia celei de-a2a bisectoare: y = −x

Ex.7 Ex.8



3.4 Unghiul a doua drepte in plan

Fie(d1) : x−x1

l1= y−y1

m1, cu vect. dir. v1 = l1 i + m1 j

(d2) : x−x2l2

= y−y2m2

cu vect. dir. v2 = l2 i + m2 j

Definitie

Unghiul α := ∠((d1), (d2))a doua drepte este definit de unghiul format devectorii directori ai celor doua drepte.

cosα =〈v1, v2〉‖v1‖‖v2‖

(22)

• Doua dr sunt perp. (d1) ⊥ (d2) d.n.d. v1 ⊥ v2 ⇔ l1l2 + m1m2 = 0.• Doua dr sunt paralele (d1)||(d2) d.n.d. v1||v2 ⇐⇒ l1

l2= m1

m2.

Cu pante:• Doua dr sunt perpendiculare d.n.d. produsul pantelor = −1• Doua dr sunt paralele d.n.d. pantele sunt egale.



3.5 Distanta de la un pct la o dreapta in plan

Fie (d) : ax + by + c = 0 ec. gen a unei drepte in plansi M0(x0, y0) /∈ (d)

Atunci N = ai + bj , vect. nenul, este perpendicular pe (d).

Distanta de la pctul M0 la dreapta (d) este:

dist(M0, (d)) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2

Obs. iv) O dreapta (d) poate fi unic determinata in plan de unpunct al dreptei M1(x1, y1) ∈ (d) si o directie normala N = ai + bj:(d) : a(x − x1) + b(y − y1) = 0.


CAP. II Conice Sect.1 Conice pe ecuatii canonice

Cap.II ConiceSect.1 Conice pe ecuatii canonice



Introducere

Fie F un pct si (d) o dreapta in plan.

Definitie

L.g. al pctelor M din plan pt. care raportul distantelor de la M la pctul fixF si de la M la dreapta (d) este constant s.n. conica.Pctul F s.n. focarul conicei.Dreapta (d) s.n. dreapta directoare a conicei.Raportul constant din definitia conicei s.n. excentricitatea conicei si senoteaza e.

Daca F ∈ (d), atunci conica s.n. degenerata.Daca F /∈ (d), atunci conica s.n. nedegenerata.

e ∈ (0, 1) - conica de tip eliptic; s.n. elipsa

e = 1 - conica de tip parabolic; s.n. parabola

e ∈ (1,∞) - conica de tip hiperbolic; s.n. hiperbola



1.1 Cercul

Definitie

Cercul este l.g. al pctelor din plan egal departate de un pct. fix numitcentru.

Fie C (x0, y0)- centrul, r -raza.Un pct generic M(x , y) ∈ C(C , r) d.n.d ‖CM‖ = r .Echivalent, obtinem

(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2 (23)

care s.n. ec.canonica a cercului C(C , r).O ecuatie de forma:

x2 + y2 + 2mx + 2ny + p = 0, cu m2 + n2 − p > 0

reprez. ec. generala a unui cerc cu C (−m,−n) si r =√

m2 + n2 − p.

Ec. (23) este echivalenta cu:

{x = x0 + r cos t

y = y0 + r sin t, t ∈ [0, 2π)care s.n. ec. parametrice ale cercului.



1.1 Cercul

Pozitia relativa a unei drepte fata de un cerc

Fie(d) : ax + by + c = 0 si(C) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2, cu centrul C (x0, y0)

Notam dist(C , (d)) =|ax0 + by0 + c |√

a2 + b2

dist(C , (d)) > r : (d) ∩ (C) = ∅, (d) e exterioara cercului

dist(C , (d)) = r : (d) ∩ (C) = {un punct}, (d) e tangenta cercului

dist(C , (d)) < r : (d) ∩ (C) = {2 puncte}, (d) e secanta cercului

Ecuatia tangentei la cerc intr-un pct al cercului M1(x1, y1) ∈ (C) seobtine prin dedublare: (x1 − x0)(x − x0) + (y1 − y0)(y − y0) = r2

Ex.1



1.2 Elipsa

Definitie

Fie F si F ′ doua pcte distincte cu ‖FF ′‖ = 2c > 0 si a ∈ R+ cu 2a > 2c .Elipsa este l.g. al pctelor din plan cu proprietatea ca suma distantelor lapunctele fixe F si F ′ este const. = 2a.

• F si F ′ s.n. focarele• F ′F s.n. axa focala, iar ‖F ′F‖ = 2c s.n. distanta focala



1.2 Elipsa - ecuatiile elipsei

Pt a gasi ec. elipsei fixam reperul ortonormat centrat in origineaO =mijl. segm FF ′ si versorii i = 1

‖FF ′‖FF′ si j ⊥ i cu ‖j‖ = 1 a.i. {i , j}

este pozitiv orientata.

Un pct generic M(x , y) ∈ E d.n.d ‖FM‖+ ‖F ′M‖ = 2a, a > 0 fixat.

Prin calcul direct, obtinem ec. canonica a elipsei:

x2

a2+

y2

b2= 1, (24)

unde am notat b2 = a2 − c2.Reciproc, se arata ca orice pct care verifica (24) apartine elipsei.Din (24) se deduc ec. parametrice ale elipsei:{x = a cos t,

y = b sin t, t ∈ [0, 2π)



1.2 Elipsa - elementele elipsei

• a s.n. semiaxa mare si b s.n. semiaxa mica a elipsei• A(a, 0), A′(−a, 0), B(0, b), B ′(0,−b) s.n. varfurile elipsei si reprez∩Ox , resp.∩Oy• O(0, 0) s.n. centrul elipsei si este centru de simetrie:daca M(x , y) ∈ E ⇒ M1(−x ,−y) ∈ E− axa Ox este axa de simetrie: daca M(x , y) ∈ E ⇒ M1(x ,−y) ∈ E− axa Oy este axa de simetrie: daca M(x , y) ∈ E ⇒ M1(−x , y) ∈ EDirectoare si excentricitateRevenind la:√

(x + c)2 + y2 =c

a

∣∣∣∣x +a2

c

∣∣∣∣ ,−a ≤ x ≤ a⇔ ‖MF ′‖ = e dist(M, (d ′)),

unde am notat e = ca si (d ′) : x = −a2

c .

Lucrand cu celalalt radical, obtinem ‖MF‖ = e dist(M, (d)), (d) : x = a2

c .

• x = ±a2

c s.n. dreptele directoare ale elipsei• e = c

a ∈ (0, 1) s.n. excentricitatea elipseiA.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 43 / 88


1.2 Elipsa - poz. rel a unei drepte fata de o elipsa

Rezolvam sistemul:

{(E) : x2

a2 + y2

b2 = 1

(d) : y = mx + nEliminand y se obtine ec. de

gr.2: (a2m2 + b2)x2 + 2a2mnx + a2(n2 − b2) = 0.

∆ > 0 (E) ∩ (d) = 2 pcte distincte, (d) este secanta elipsei;

∆ < 0 (E) ∩ (d) = ∅, (d) este exterioara elipsei;

∆ = 0 (E) ∩ (d) = un pct dublu, (d) este tangenta elipsei.

Obs. Dintr-un pct exterior al unei elipse vom obtine 2 tangente la elipsa:

(d1) : y = mx +√

a2m2 + b2 (d2) : y = mx −√

a2m2 + b2

Ec. tangentei la elipsa intr-un pct al elipsei M1(x1, y1) ∈ E se obtine prindedublare:

xx1

a2+

yy1

b2− 1 = 0. (25)

Ex.2A.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 44 / 88


1.3 Hiperbola

Definitie

Fie F si F ′ doua pcte distincte cu ‖FF ′‖ = 2c > 0 si a ∈ R+ cu 0 < 2a <2c. Hiperbola este l.g. al pctelor din plan cu proprietatea ca diferentadistantelor la doua puncte fixe, F si F ′ (numite focare) este const. = 2a.

• F si F ′ s.n. focarele• F ′F s.n. axa focala, iar ‖F ′F‖ = 2c s.n. distanta focala



1.3 Hiperbola - ecuatiile hiperbolei

Un pct generic M(x , y) ∈ H d.n.d |‖FM‖ − ‖F ′M‖| = 2a, a > 0 fixat.

Prin calcul direct, obtinem ec. canonica a hiperbolei:

x2

a2− y2

b2= 1, (26)

unde am notat b2 = c2 − a2.Reciproc, se arata ca orice pct care verifica (26) apartine hiperbolei.

Din (26) se deduc ec. parametrice :

{x = a cosh t,

y = b sinh t, t ∈ RReamintim functiile hiperbolice:

cosh : R→ [1,∞), cosh(t) =et + e−t

2,

sinh : R→ R, sinh(t) =et − e−t

2.

Proprietate: ch2(t)− sh2(t) = 1, ∀t ∈ R.A.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 46 / 88


1.3 Hiperbola - elementele hiperbolei

• O(0, 0) s.n. centrul hiperbolei si este centru de simetrieAxele Ox si Oy sunt axe de simetrie.

• a s.n. semiaxa mare si b s.n. semiaxa mica a hiperbolei

• A(a, 0), A′(−a, 0) s.n. varfurile hiperbolei si reprez ∩Ox .

• Axa Ox s.n. axa transversa a hip.

• x = ±a2

c s.n.dreptele directoare ale hiperbolei

• e = ca > 1 s.n. excentricitatea hiperbolei

• y = ±bax s.n. asimptotele hiperbolei si se obtin ca asimptote oblice ale

functiilor f1(x) = ba

√x2 − a2 si f2(x) = −b

a

√x2 − a2.



1.3 Hiperbola - exemple

Ex.1. Fiind data hiperbola (H) : x2

a2 − y2

b2 = 1, atunci hiperbola

(H′) : y2

b2 − x2

a2 = 1 s.n. hiperbola conjugata lui H.Elementele lui (H′) sunt:

Oy este axa transversa, iar B(0, b) si B ′(0,−b) sunt varfurilefocarele sunt F (0, c), F ′(0,−c)asimptotele lui (H′) coincid cu cele ale lui (H), y = ± b

a xexcentricitatea lui (H′) este e′ = c

b .

Exemplu: y2

22 − x2

32 − 1 = 0

Ex.2. Daca a = b, hiperbola de ecuatie

x2 − y2 = a2

s.n. hiperbola echilatera, avand asimptotele date de bisectoareleaxelor de coordonate, y = x si y = −x .Exemplu: x2 − y2 = 1

Ex.3. Expresiaxy = ±a2

reprezinta doua hiperbole echilatere, avand ca axe de simetriebisectoarele axelor iar ca asimptote axele de coordonate.Exemplu: xy = 22 (rosu) xy = −22 (verde) Obs. y = ± 4

x



1.3 Hiperbola - poz rel a unei dr. fata de hiperbola

Rezolvam sistemul:

{(H) : x2

a2 − y2

b2 = 1

(d) : y = mx + nEliminand y se obtine:

(b2 − a2m2)x2 − 2a2mnx − a2(n2 + b2) = 0.• Pt.m 6= ±b

a avem o ec. de gr. 2 in x .

∆ > 0 (H) ∩ (d) = 2 pcte distincte, (d) este secanta hiperbolei;∆ < 0 (H) ∩ (d) = ∅, (d) este exterioara hiperbolei;∆ = 0 (H) ∩ (d) = un pct dublu, (d) este tangenta hiperbolei.

Obs. Dintr-un pct exterior al unei hiperbole vom obtine 2 tangente lahiperbola, numai cand m ∈ (−∞,−b

a ) ∪ (ba ,∞), deoarece∆ = 0⇔ n2 = a2m2 − b2.

(d1) : y = mx +√

a2m2 − b2 (d2) : y = mx −√

a2m2 − b2

• Pt. m = ±ba si n 6= 0 avem o ec. de gr. 1 in x .

(H) ∩ (d) = un singur pct, (d) este paralela cu una dintre asimptote, (d)s.n. secanta de dir. asimptotica. (?!) de ce nu e tangenta?• Pt. m = ±b

a si n = 0 obtinem asimptotele hiperbolei.

Ec. tangentei la hiperbola intr-un pct al hiperbolei M1(x1, y1) ∈ H:xx1

a2− yy1

b2− 1 = 0. (27)

Ex.1



1.4 Parabola

Definitie

Fie o dreapta (d) si un pct F /∈ (d). Parabola este l.g. al pctelor din planegal departate de punctul F si de dreapta (d)

• F s.n. focar, (d) s.n. dreapta directoare• Spunem ca parabola are excentricitatea e = 1• Fie p = dist(F , (d)), p s.n. parametrul parabolei.



1.4 Parabola - ecuatiile parabolei

Alegem un reper centrat in origine, pe semiaxa pozitiva (Ox fixam focarulF (p2 , 0), OF = p

2 i , iar Oy ⊥ Ox a.i. sa obtinem un reper pozitiv. Atunci,dreapta directoare are ecuatia (d) : x = −p

2 .O(0, 0) este varful paraboleiUn pct generic M(x , y) ∈ P d.n.d dist(M, (d)) = ‖FM‖. Adica,√

(x − p2 )2 + y2 =

∣∣x + p2

∣∣. Ridicand la patrat, rezulta ec. canonica a

parabolei:y2 − 2px = 0. (28)

Reciproc, se arata ca un pct oarecare M0(x0, y0) care verifica (28) apartineparabolei cu focarul F si drepta directoare (d).

Din (28) se deduc ec. parametrice:

{x = t2

2p ,

y = t, t ∈ R.Obs. Ox este axa de simetrie a parabolei iar Oy este tangenta laparabola in varful O(0, 0) acesteia.



1.4 Parabola - exemple

1 Ecuatia y2 = −2px , p > 0 reprez parabola cu vf. in origine, avandaxa transversa Ox dar situata in semiplanul din stanga axei Oy .

2 Ec. x2 = 2py si x2 = −2py , p > 0 reprez. parabole cu vf. in originesi axa transversa Oy . y = f (x) = 1

2p x2



1.4 Parabola - poz. rel. a unei dr. fata de o parabola

Rezolvam sistemul:

{(P) : y2 − 2px = 0

(d) : y = mx + nEliminand y se obtine:

m2x2 + 2(mn − p)x + n2 = 0.• Pt.m 6= 0 avem o ec. de gr. 2 in x .

∆ > 0 (P) ∩ (d) = 2 pcte distincte, (d) este secanta parabolei;

∆ < 0 (P) ∩ (d) = ∅, (d) este exterioara parabolei;

∆ = 0⇔ n = p2m si obtinem o singura tangenta la parabola,

y = mx +p

2m

• Pt. m = 0 avem o ec. de gr. 1 in x : −2px + n2 = 0, iar dreapta(d) : y = n. (P) ∩ (d) = un singur pct, (d) s.n. secanta.

Ec. tangentei la parabola intr-un pct al parabolei M1(x1, y1) ∈ P:

yy1 − p(x + x1) = 0. (29)

Ex.2A.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 53 / 88

CAP. II Conice Sect.2 Repere carteziene

Cap.II ConiceSect.2 Repere carteziene



Introducere

Vom defini repere pe dreapta, in plan si in spatiu si vom studia schimbareade repere la translatii si rotatii.

Fie spatiile liniare (X,+, ·,R), unde X reprez.

mult. vect. de pe o dreapta, V1,

mult. vect. din plan, V2,

mult. vect. din spatiu, V3.

Definitie

Numim reprer in spatiul (X,+, ·,R) o pereche R(O;S), unde O reprez.originea reperului iar S este o baza in X.

Pentru un punct generic M ∈ X, vectorul OM s.n. vectorul de pozitie alpctului M fata de reperul R.



2.1 Repere carteziene pe dreapta

Pe o dreapta (d) avem originea O ∈ R si baza formata din versorul i .

Definitie

O schimbare a reperului R(O; i) cu reperul R′(O ′; i) pe dreapta (d) s.n.translatie.

Fie x0 ∈ R coord. lui O ′. Fie M ∈ (d) un pct generic care are coord.x ∈ R in R si x ′ ∈ R in R′. Atunci,

x = x0 + x ′



2.2 Repere carteziene in plan - translatia

Fie reperul cartezian ortonormat R(O; i , j), pctul O ′(x0, y0) si consid.reperul cartezian ortonormat R′(O ′; i , j).

Definitie

O schimbare a reperului R(O; i , j) cu reperul R′(O ′; i , j) in plan s.n. trans-latie.

Pt un pct generic M din plan, notam

(x , y) coord in R(x ′, y ′) coord in R′

Atunci,{x = x0 + x ′

y = y0 + y ′Matriceal :

(xy

)=

(1 00 1

)(x0

y0

)+

(x ′

y ′

)



2.2 Repere carteziene in plan - translatia

Justificare:

OM = OO ′ + O ′M ⇐⇒

x i + y j = x0 i + y0 j + x ′ i + y ′ j

Deci, schimbarea de coordonate la translatie este:

{x = x0 + x ′

y = y0 + y ′



2.2 Repere carteziene in plan - rotatia

Fie R′(O; i ′, j ′) un reper cartezian ortonormat obtinut prin rotirea cu ununghi α ∈ [0, π) a reperului R(O; i , j).

Definitie

O schimbare a reperului R(O; i , j) cu reperul R′(O; i ′, j ′) in plan s.n. ro-tatie.

Pp. ca R′ este la fel orientat cu R

〈i , i〉 = 1 〈i , j〉 = 0 〈j , j〉 = 1

〈i ′, i〉 = cosα (30)

〈j ′, i〉 = cos(α +π

2) = − sinα

〈i ′, j〉 = cos(π

2− α) = sinα

〈j ′, j〉 = cosα




Pt un pct generic M din plan, notam

(x , y) coord in R(x ′, y ′) coord in R′. Deci, OM = x i + y j = x ′ i ′ + y ′ j ′

Inmultim scalar cu i apoi cu j :x〈i , i〉+ y〈j , i〉 = x ′〈i ′, i〉+ y ′〈j ′, i〉x〈i , j〉+ y〈j , j〉 = x ′〈i ′, j〉+ y ′〈j ′, j〉Inlocuind (30), obtinem schimbarea de coordonate la rotatie:{

x = x ′ cosα− y ′ sinα

y = x ′ sinα + y ′ cosαMatriceal :

(xy

)=

(cosα − sinαsinα cosα

)(x ′

y ′

)

Matricea schimbarii de coordonate C =

(cosα − sinαsinα cosα

)este ortogonala,

C−1 = CT , deci rotatia in plan este o transformare ortogonala. detC = 1




Pp. ca R′ este invers orientat fata de R

C =

(cosα sinαsinα − cosα

)C−1 = CT , detC = −1Schimbarea de coordonate este:(xy

)= C

(x ′

y ′

)OBS. In calcule vom lucra cu repere la fel orientate, matricea schimbariide baze va avea det = 1.



2.2 Repere carteziene in plan - rototranslatia

Un pct generic M are coord:

(x , y) in R(O; i , j)

(x ′, y ′) in R′(O; i ′, j ′)

(x”, y”) in R”(O ′; i ′, j ′),



2.2 Repere carteziene in plan - rototranslatia

Rotatia: R(O; i , j) −→ R′(O; i ′, j ′)

(xy

)= C

(x ′

y ′

),

(x0

y0

)= C

(x ′0y ′0

)

Translatia: R′(O; i ′, j ′) −→ R”(O ′; i ′, j ′)

(x ′

y ′

)=

(x ′0y ′0

)+

(x”y”

),

Rototranslatia:

R(O; i , j) −→ R”(O ′; i ′, j ′)

(xy

)= C

(x ′0y ′0

)+C

(x”y”

)=

(x0

y0

)+C

(x”y”

)

Daca R′ este la fel orientat cu R, C =

(cosα − sinα

sinα cosα

)obtinem

schimbarea de coordonate la rototranslatie:{x = x0 + x” cosα− y” sinα

y = y0 + x” sinα + y” cosα.



2.3 Repere carteziene in spatiu


(x , y , z) in R(O; i , j , k)

(x ′, y ′, z ′) in R′(O; i ′, j ′, k ′)

(x”, y”, z”) in R”(O ′; i ′, j ′, k ′),

Rotatia:

R(O; i , j , k) −→ R′(O; i ′, j ′, k ′)

xyz

= S

x ′

y ′

z ′

,

x0

y0

z0

= S

x ′0y ′0z ′0

unde S reprezinta matricea de trecere de la o baza la cealalta:i ′ = a11 i + a21 j + a31k

j ′ = a12 i + a22 j + a32k

i ′ = a13 i + a23 j + a33k

Notam :S =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.



2.3 Repere carteziene in spatiu

Translatia: R′(O; i ′, j ′, k ′) −→ R”(O ′; i ′, j ′, k ′)

x ′

y ′

z ′

=

x ′0y ′0z ′0

+

x”y”z”

,

Rototranslatia: R(O; i , j , k) −→ R”(O ′; i ′, j ′, k ′)xyz

= S

x ′0y ′0z ′0

+ S

x”y”z”

=

x0

y0

z0

+ S

x”y”z”



2.4 Repere polare in plan

Definitie

Un reper polar in plan se defineste printr-un pct fix numit pol, O(0, 0) siaxa Ox de versor i , trecand prin pol, numita axa polara.

Pozitia unui pct generic M din plan este determinata de:

ρ = ‖OM‖ dist de la pol la pct.; ρ > 0s.n. raza vectoare sau modulul lui M

θ = unghiul facut de directia OM cu axa polara Ox ; θ ∈ [0, 2π)s.n. unghiul polar al lui M.

M(ρ, θ), ρ, θ s.n. coord. polare

Obs. O(0, 0) nu are coord. polare!



2.4 Repere polare in plan

Fie reperul R(O; i , j) cu originea in polul O, i versorul axei polare a.i.{i , j} sa fie baza ortonormata pozitiv orientata.


(x , y) coord carteziene

(ρ, θ) coord. polare

Schimbarea de coordonate este data de:

{x = ρ cos θ

y = ρ sin θ, ρ > 0, θ ∈ [0, 2π)

Si reciproc:

{ρ =

√x2 + y2

θ = arctan( yx

), pentru x , y > 0



2.4 Repere polare in spatiu

Definitie

Un reper polar in spatiu se defineste printr-un plan numit plan baza, xOyin care s-a ales un reper polar (pol O(0, 0) si axa polara Ox de versor i) siaxa Oz de versor k , perpendiculara pe planul baza.

Fie un pct generic M /∈ Oy din spatiu.Notam M ′ proiectia ortogonala pexOy , r ′ = OM ′

ρ = ‖r‖ = ‖OM‖, ρ > 0;

ϕ = ∠(r , k) ∈ [0, π);

θ = ∠(r ′, i) ∈ [0, 2π).

(ρ, ϕ, θ) s.n. coord. polare in spatiuale lui M. Notam M(ρ, ϕ, θ).



2.4 Repere polare in spatiu

Legatura intre coord. carteziene M(x , y , z) si coord polare M(ρ, ϕ, θ) seobtine astfel:r ′ este proiectia lui r pe planul xOy =⇒ ‖r ′‖ = ‖r‖ sinϕ• x = 〈i , r ′〉 = ‖r ′‖ cos θ = ‖r‖ sinϕ cos θ• y = 〈j , r ′〉 = ‖r ′‖ sin θ = ‖r‖ sinϕ sin θ• z = 〈k , r〉 = ‖r‖ cosϕ.Deci, schimbarea de coordonate este data de:x = ρ sinϕ cos θ

y = ρ sinϕ sin θ

z = ρ cosϕ, ρ > 0, ϕ ∈ [0, π), θ ∈ [0, 2π)Reciproc:ρ =

√x2 + y2 + z2

ϕ = arccos

(z√

x2+y2+z2

)θ = arctan

( yx

), pentru x , y > 0

Deoarece x2 + y2 + z2 = ρ2

reprez. ec. sferei centrate inorigine de raza ρ, (ρ, ϕ, θ) s.n.si coord. sferice.



2.4 Repere polare in spatiu - coordonate semipolare

Fie un pct generic M /∈ Oz din spatiu,avand

(x , y , z) - coord. carteziene

(ρ, θ, z) coord. semipolare

Schimbarea de coordonate:x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

z = z , ρ > 0, θ ∈ [0, 2π), z ∈ RReciproc:ρ =

√x2 + y2

θ = arctan( yx

), pentru x , y > 0

z = z

Deoarece

{x2 + y2 = ρ2

z ∈ Rreprez. ec. unui cilindru cir-cular drept centrat in originesi de raza ρ, (ρ, θ, z) s.n. sicoord. cilindrice.


CAP. II Conice Sect.3 Conice pe ecuatii generale

Cap.II ConiceSect.3 Conice pe ecuatii generale



Introducere

Definitie

Conica este l.g. (Γ) al pctelor M din plan ale caror coord. (x , y) in rap cuR(O; i , j) satisfac ecuatia:

(Γ) : f (x , y) := a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0, (31)

unde a211 + a2

12 + a222 > 0, aij ∈ R, i , j ∈ {1, 2, 3}.

Problema: Ar. ca orice conica este una dintre urm. multimi: cerc, elipsa,hiperbola, parabola, per. de dr.(conc., paral., confundate), pct dublu, ∅.Sugestia:• Utilizand rotatia si translatia realizam o schimbare de reper de laR(O; i , j) la un reper adecvat, pozitiv orientat, numit reper canonic, fatade care conica (31) sa se scrie ca o ecuatie canonica.• Pentru gasirea formei canonice vom studia 2 cazuri:

daca a12 = 0 se face o translatiedaca a12 6= 0 se face o rotatie, urmata de o translatie.



3.1 Reducerea la forma canonica a unei conice

Invariantii unei coniceFie conica:

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

unde a211 + a2

12 + a222 > 0, aij ∈ R, i , j ∈ {1, 2, 3}.

Numerele reale: I = a11 + a12, δ =

∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ , ∆ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣ s.n.

invariantii conicei.Theorem

La o schimbare de reper, ec. conicei (31) se transf. intr-o ec. de aceeasiforma:

a′11x′2 + 2a′12x

′y ′ +′ a22y′2 + 2a′13x

′ + 2a′23y′ + a′33 = 0

iar invariantii I , δ, ∆ nu se schimba la translatii sau rotatii.




Invariantii unei coniceFie conica:

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

unde a211 + a2

12 + a222 > 0, aij ∈ R, i , j ∈ {1, 2, 3}.

Numerele reale: I = a11 + a12, δ =

∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ , ∆ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣ s.n.

invariantii conicei.δ da genul conicei:

δ > 0 - gen elipticδ < 0 - gen hiperbolicδ = 0 - gen parabolic

∆ da degenerarea:

∆ 6= 0 - c. nedegenerata∆ = 0 - c. degenerata

Pt. δ < 0, avem:

∆ 6= 0 si I = 0:hiperbola echilatera

∆ = 0 si I = 0 : drepteperpendiculare.




Efectuand o translatie a reperului:

{x = x0 + x ′

y = y0 + y ′

ec. conicei (31) f (x , y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33

devine:f (x ′, y ′) = a11x

′2 + 2a12x′y ′ + a22y

′2 + 2(a11x0 + a12y0 + a13)x ′ +2(a12x0 + a22y0 + a23)y ′ + f (x0, y0).

Definitie

Spunem ca C (x0, y0) este centrul conicei (31) daca in raport cu reperultranslat in (x0, y0) avem: f (x ′, y ′) = 0⇔ f (−x ′,−y ′) = 0

Theorem

Pctul C (x0, y0) este centrul conicei (31) d.n.d{a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a12x0 + a22y0 + a23 = 0(32)




Obs.1 Sist. (32) este echivalent cu:

{12∂f∂x = 0

12∂f∂y = 0

Obs.2 Det. sist. (32) este: δ =

∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣Theorem

a) Daca δ 6= 0 conica are un sigur centru, dat de sol. sist. (32).

b) In reperul translat cu centrul in (x0, y0) ec. conicei devine:a11x

′2 + 2a12x′y ′ + a22y

′2 + ∆δ = 0

c) Exista un reper in care ecuatia conicei este: λ1X2 + λ2Y

2 + ∆δ = 0,

unde λ1, λ2 sunt valorile proprii ale matricei

(a11 a12

a12 a22

), adica

λ2 − Iλ+ δ = 0.




Concluzii1 Daca δ 6= 0, at. conica are un centru de simetrie, originea reperului

canonic. Conice cu centru:

∆ 6= 0: cerc, elipsa, hiperbola;∆ = 0: per. de dr. concurente, un pct dublu, ∅

2 Daca δ = 0,at. conica NU are centru de simetrie. Conice fara centru:

∆ 6= 0: parabola∆ = 0: per. de dr.paralele sau confundate, sau ∅




Clasificarea conicelor

δ ∆ I∆ Tipul conicei CONICA

> 0 6= 0 < 0 nedegen, tip eliptic ELIPSA

> 0 6= 0 > 0 nedegen, tip eliptic conica vida

> 0 = 0 degen, tip eliptic pct. dublu

< 0 6= 0 nedegen, tip hiperbolic HIPERBOLA

< 0 = 0 degen, tip hiperbolic 2 dr. conc.

= 0 6= 0 nedegen, tip parabolic PARABOLA

= 0 = 0 degen, tip parabolic 2 dr. paralele/confundate, ∅



3.2 Algoritmul de red. la forma can. a unei conice

Vom cauta un reper ortonormat (numit canonic), in raport cu care conicava avea o ecuatie de tipul:

x2

a2+

y2

b2= 1 (elipsa)

x2

a2− y2

b2= 1 (hiperbola)

y2 − 2px = 0 (parabola)

x2

a2+

y2

b2= −1 (conica vida)

(ax + by + cz)(a′x + b′y + c ′z) = 0 (o per . de drepte)

x2 + y2 = 0 (punct dublu)

x2 = −1 (dr . imag . paralele)



3.2 Algoritmul...

Reamintim ec. gen. a unei conice:

(Γ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

unde a211 + a2

12 + a222 > 0, aij ∈ R, i , j ∈ {1, 2, 3}.

CAZ I: a12 6= 0, atunci:Pas I: Se realizeaza rotatia R(O; i , j)→ R′(O; e1, e2):

Fie forma patratica h : R2 → R, h(x , y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2, in rap.cu baza ortonormata {i , j}.Atunci, exista o baza ortonormata {e1, e2} in raport cu care h are formacanonica

h(x ′, y ′) = λ1(x ′)2 + λ2(y ′)2, unde :

• e1 si e2 reprez. versorii vectorilor proprii• λ1 si λ2 reprez. valorile proprii

pt. A =

(a11 a12

a12 a22

).



3.2 Algoritmul...

Pentru a det. λ1 si λ2 rezolvam ec. caract.:∣∣∣∣a11 − λ a12

a12 a22 − λ

∣∣∣∣ = 0⇔ λ2 − (a11 + a22)λ+ a11a22 − a212 = 0.

Distingem cazurile:

i) λ1 si λ2 au semne contrare, adica δ < 0, conica fiind de genhiperbolic;

ii) λ1 si λ2 au acelasi semn, adica δ > 0, conica fiind de gen eliptic;

iii) una dintre radacini este 0, adica δ = 0, conica fiind de gen parabolic.



3.2 Algoritmul...

Coresp. val. proprii λ1 si λ2 det. vect. proprii u =

(u1

u2

)si v =

(v1

v2

)rez. sist.:

{(a11 − λ)u1 + a12u2 = 0

a11u1 + (a22 − λ)u2 = 0,

{(a11 − λ)v1 + a12v2 = 0

a11v1 + (a22 − λ)v2 = 0.

Ortonormam e1 = 1‖u‖ u si e2 = 1

‖v‖ v .

Astfel, versorii vectorilor proprii, (e1, e2), dau directiile noilor axe de coord,Ox ′ si respectiv Oy ′.

Notand e1 = a1 i + a2 j , e2 = b1 i + b2 j , matricea de rotatie: R =

(a1 b1

a2 b2

)satisface cond. detR = 1 pt. a avea repere la fel orientate.Avem in vedere: • posibilit. inloc. unuia dintre versori cu opusul sausau • renumerot. versorilor.

Facem sch. de coord.:

(xy

)= R

(x ′

y ′

).

Ec. conicei devine: λ1x′2 + λ2y

′2 + 2a′13x′ + 2a′23y

′ + a′33 = 0



3.2 Algoritmul...

Pas II: Se face translatia R′(O; e1, e2)→ R”(C ; e1, e2).Daca λ1λ2 6= 0 conica va fi o conica cu centru. Det. coord lui C (x0, y0)rezolvand sistemul (32):{

a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a12x0 + a22y0 + a23 = 0

Forma canonica va fi:

λ1X2 + λ2Y

2 +∆

δ= 0.

Reprez. grafic conica in reperul R”(C ; e1, e2).

Stop!



3.2 Algoritmul...

Pas III: λ1λ2 = 0Una dintre val proprii este 0. Pp. ca λ2 6= 0.Ec. conicei in reperul R′ devine: λ2y

′2 + 2a′13x′ + 2a′23y

′ + a′33 = 0.

Rstrangem patratele si efectuam o translatie, astfel:

λ2

(y ′2 + 2

a′23λ2

y ′ +(a′23λ2

)2)

=(a′23)2

λ2− a′33 − 2a′13x

′ ⇔

λ2

y ′ +a′23

λ2︸︷︷︸Y

2

= −2a′13

x ′ +a′33 −

(a′23)2

λ2

2a′13︸︷︷︸X

Translatia R′(O; e1, e2)→ R”(V ; e1, e2):

y ′ = Y − a′23λ2

x ′ = X −a′33−

(a′23)2

λ22a′13



3.2 Algoritmul...

Forma canonica: Y 2 = −2a′13λ2

X• Daca a′13 = 0, conica se reduce la 2 dr. confundate.• Daca a′13 6= 0, conica este o parabola.Varful parabolei va fi si originea noului reper. Coord. varfului in reperul

rotit R ′ sunt: x ′0 =a′33−

(a′23)2

λ22a′13

si y ′0 = −a′23λ2

.

In reperul initial R(O; i , j), coord. varfului V (x0, y0), care coincid cu

coord. originii reperului final, se obtin aplicand rotatia:

(x0

y0

)= R

(x ′0y ′0

).

Axa de simetrie a parabolei trece prin V si are vect normal dat de vect.propriu coresp. val. proprii nenule λ2.

Reprez. grafic conica in reperul R”(V ; e1, e2).

Stop!

CAZ II: a12 = 0, atunci se trece la Pas II.A.I. Nistor (TU Iasi) ALGAD2 85 / 88

CAP. III Cuadrice Cuadrice pe ecuatii canonice

Cursurile 7 - 8

Cap.III CuadriceCuadrice pe ecuatii canonice

Sfera, Elipsoidul, Hiperboloidul cu o panza, Hiperboloidul cu 2 panze,Paraboloidul elipric, Paraboloidul hiperbolic , Cilindri, Conul.


CAP. IV Curbe Sect. 2 Curbe in spatiu

Cursurile 9 - 11

Cap.IV Curbe

Sect. 1 Curbe in planSect. 2 Curbe in spatiu


CAP. V Suprafete

Cursurile 12 - 14

Cap.V Suprafete

Introducere, Exemple de suprafete regulate in R3, Planul tangent,Normala, Prima forma fundamentala,(A doua forma fundamentala, Curbura Gaussiana, Curbura medie)


facultatea de hidrotehnic a, geodezie ˘si ingineria ... filealgad 2 - geometrie analitica si...

Documents