SUBIECTUL I (30 puncte)

5p 1) Se considera intervalele A = [ 2, 3) si B = [0, 1). Sa se determine numarulelementelor multimii (A B) 5p 2) Se considera functia f : , f (x) = x2 + ax + b. Determinati a, b stiind caparabola asociata functiei este tangenta la axa Ox in punctul de abscisa x = 15p 3) Rezolvati in inecuatia logx4 < 2

5p4) Se considera multimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Care este probabilitatea caalegand o submultime cu trei elemente a multimii A, aceasta sa contina doarnumere prime?

5p 5) Daca 2AB + 3AC = BC , calculati ||||AB |

|||

||||BC |

|||

.

5p 6) Calculati aria triunghiului ABC stiind ca AB = 8 si B = C = 6.

SUBIECTUL II (30 puncte)

1) Se consider grupul comutativ G =

A(k) =

2k 2k 1 00 1 00 0 2k

, k

in raport cu

inmultirea matricelor.5p a) Demonstrati ca I3 G.5p b) Determinati simetricul elementului A(2) in grupul (G, ).5p c) Determinati toate numerele intregi p si q cu proprietatea A(p) A(q) = A

pq

2) Se considera polinomul f = X3 + X2 + aX + b si x1, x2, x3 radacinile lui.5p a) Determinati a, b daca f (i) = 0, unde i2 = 1 .5p b) Determinati a, b daca f (X 3) impartit la (X 1) da restul -4 six13 + x23 + x33 = 9.5p c) Demonstrati ca f nu are toate radacinile de modul 1.SUBIECTUL III (30 puncte)

1) Se considera funcia f : (0, ) , f (x) = 1 + lnx x.5p a) Calculati limx

f (x)x .

5p b) Demonstrati inegalitatea 1 + ln(x) x, x (0, ).

5p c) Demonstrati ca exista c (1, 2) astfel incat f|(c)f (c) =

12 c

2) Se considera functia f : , f (x) = 1x2 + 1 si notam In = 01 f n(x)dx, n .5p a) Calculati aria suprafetei marginite de gracul functiei g(x) = x

2 f (x), axa Ox,dreptele x = 1 si x = 3 .

5p b) Demonstrati ca sirul (In)nn este convergent.5p c) Demonstrati ca 2nIn+1 (2n 1)In = 12n , n

.