IVAN VLAD GABRIEL

Clasa a VI-a A

Colegiul Naţional „Al. I. Cuza” Ploieşti

Clasa a VI-a

1. Să se afle A = aabc divizibil cu 45 ştiind că B = abc + bca + cab se divide cu 57.

2. Scrieţi numărul 292009 ca o sumă de două pătrate perfecte, distincte.

3. Fiind date punctele coliniare A, B, C, D în această ordine, astfel încât 3AB = 2CD,

AD = 2AC şi BC = 6 cm, să se calculeze lungimile segmentelor [AB], [CD] şi distanţa dintre

mijloacele segmentelor [AB], CD].

4. Să se determine toate numerele naturale de două cifre ab ştiind că ab + ba este pătrat

perfect şi ab — ba este pătrat perfect.

5. Comparaţi 123321 cu 321123.

6. Să se arate că suma pătratelor a patru numere naturale consecutive nu poate fi pătrat

perfect.

7. Pe semidreapta [OP se consideră punctele: A0, A1,..., A2008 şi punctele: B0, B1, B2,..., Bn astfel

încât: OA0 = 2 mm, OA1 = 7 mm, OA2 = 12 mm,..., OA2008 = 10042 mm; Obo = 5 mm, OB1 =

ll mm, OB2 = 17 mm,.... Se cere:

a) Calculaţi câţi cm sunt între punctele O şi A22

b) Calculaţi S = OA0 + OA1 + OA2 + ... + OA2oo8

c) Determinaţi n pentru care Bn este cel mai apropiat de A2008.

- 1 -

8. Să se determine numerele naturale a,b,c, direct proporţionale cu 2,3,4, ştiind că: a,

(b)+b,(c)+c,(a)=20.

9. a) Fie AB un segment şi P € [AB]. Care este poziţia lui P astfel încât:

i)AP - BP = minim;

ii)AP — BP = maxim.

b) Pe dreapta OM luăm punctele, în acelaşi sens, A1 de două ori mai depărtat de O decât M,

apoi A2 de trei ori mai depărtat de O decât M, apoi A 3 de patru ori mai depărtat de O decât M

etc. Aflaţi lungimea segmentului OM ştiind că OA1 + OA2 + OA3 +... + OAn = 180 cm , iar

lungimea lui [OM] este număr natural.

10. Un număr natural de forma abcd se numeşte senzaţional dacă 2 * ab = cd .

a) Câte numere senzaţionale există?

b) Arătaţi ca orice număr senzaţional se divide cu 51.

11. Într-un bloc sunt apartamente cu 2, respectiv 4 camere, în total 51 apartamente şi 140

camere. Să se afle câte apartamente de fiecare fel sunt?

12. Să se determine toate fracţiile de forma (a+b)/ab, ab scris în baza 10, care se simplifică cu 6.

13. Arătaţi că 2327 + 2723 este divizibil cu 10.

14. În mulţimea {1,2,3,4,...,n}, 123 de numere se divid cu 2, dar nu se divid cu 4, iar 62 denumere se divid cu 4, dar nu se divid cu 8. Să se afle n.

15. Suma a patru numere naturale este 626. Împărţindu-le prin acelaşi număr natural nenul, se obţin câturile numere naturale consecutive si resturile 1, 2, 3 respectiv 4. Aflati numerele. Câte soluţii are problema?

- 2 -

16. Aflaţi numărul natural pătrat perfect, care prin împărţirea la 26 dă restul egal cu dublulcâtului.

17. Notăm cu a1, a2, ... ,a2oo9 numerele 1, 2, ..., 2009, scrise în altă ordine. Arătaţi cănumărul N = (l + a1) * (2 + a2)*...*(2009 + a2009) este par. Este posibil ca N să nu fie

divizibil cu 4 ?

18. Suma primilor 16 termeni ai şirului 1, 01; 2, 002; 3, 0003; 4, 00004; 5, 000005 ... este ...

19. Daca a si b sunt numere naturale nenule care indeplinesc condiţia 3 * a * b + a = 63,atunci a = ...Valoarea numărului: n = 2001* 2002 * 2003 - 2001 * 2002 2 - 2000 * 2002 este numărul...

20. Care este numărul maxim de pătrate ce se pot forma din 24 bete de chibrit?a) 6 b)16 c)10 d)14 e)9

21. Fie cifrele a si b astfel incat ab + ba = 165. Valoarea sumei a + b este un număr egal cu a) 25 b)15 c)100 d)65 e)165.

22. Ordinea descrescătoare a numerelor: aaa, aba, bbb, bab, daca a<b este:a) aaa, bbb, aba, babb) bbb, aba, bab, aaac) aba, aaa, bbb, babd) bbb, bab, aba, aaae) bab, aaa, bbb, aba.

- 3 -

Clasa a V-a

1. Pe o masa sunt de doua ori mai multe mere decât pere. Copiii aşezaţi în jurul mesei

manânca fiecare câte 3 mere si 2 pere, rămânând nemâncate 8 mere si o para.

a) Câţi copii sunt la masă?

b) Câte mere si câte pere erau pe masă?

2. a) Într-o drumeţie cei 29 de elevi ai unei clase merg în şir indian. Elevul şef al clasei

observa ca numarul elevilor din faţa sa este 3/4. din numărul elevilor care merg în urma sa.

Câţi elevi sunt în faţa şefului clasei?

b) Determinaţi perechile de numere naturale de forma (a,b) care verifica simultan relaţiile:

9 + a- b>15 si 6< a <10 .

3. Suma a doua numere naturale este 824. Daca ambele numere se împart la 4, se obţin doua

numere a căror diferenţa este 108. Sa se afle cele doua numere.

4. În trei lăzi sunt în total 190 de mere. Dacă s-ar muta 5 mere din a doua ladă în prima, cele

doua lăzi ar avea acelaşi număr de mere. Dacă s-ar muta 10 mere din a treia ladă în a doua,

aceste două lăzi ar avea acelaşi număr de mere. Câte mere sunt în fiecare ladă?

5. Se dă şirul de numere naturale: 5, 10, 15, 25, , 6050.

a) Câţi termeni are şirul?

b) Cu cât este egală suma primilor 50 de termeni?

c) Care este primul număr din şir cu suma cifrelor 27?

6. Determinaţi cifrele a , b , c, d din egalitatea:

abcd = a10 +a9 +a8 +a7 +a6 +a4 +a + 4 .

7. Să se arate că dublul sumei numerelor naturale care împărţite la 205 dau restul şi catul le

- 4 -

este un produs de 3 numere consecutive. Generalizare.

8. Un număr natural se numeşte deştept dacă este format din cifre distincte nenule, a căror

sumă este un număr care are ultima cifră 0.

a) Determinaţi cel mai mic număr deştept

b) Determinaţi cel mai mare număr deştept.

9. Un pătrat are perimetrul de 20 cm. Suprafaţa lui se decupează în două dreptunghiuri

dintre care unul are perimetrul de 16 cm. Ce perimetru are al doilea dreptunghi?

10. Suma a 3 numere naturale este 316. Daca impartim al doilea număr la primul obţinem

catul 3 si restul 18. Împărţind al treilea număr la al doilea se obţine carul 2 si restul 12.

Sa se determine cele 3 numere.

11. Intr-o urnă sunt de 4 ori mai multe bile roşii decât bile negre. Se mai pun în urnă 2

bile şi se constată că numărul bilelor roşii este de 2 ori mai mare decât numărul bilelor

negre. Câte bile din flecare fel au fost iniţial în urnă ?

12. Suma a două numere este 143, iar unul dintre ele este format din trei cifre

consecutive. Să se afle toate perechile de numere care satisfac cerinţele date.

13. Să se determine numărul xy ştiind că 20xy09 + xy2009 + 2009xy = 665544.

14. Catul împărţirii a două numere naturale este 5, iar restul este 15. Adunând

deîmpărţitul, împărţitorul, restul şi catul obţinem 230. Care sunt numerele?

- 5 -

15. Se scriu numerele naturale nenule în ordine crescătoare: 1, 2, 3, Determinaţi

a 36 519-a cifră din şir.

16. Să se determine patru numere naturale care îndeplinesc condiţiile:

a) suma lor este 320;

b) adunând la primul număr 3, scăzând din al doilea număr 3, înmulţind al treilea număr cu

3 şi împărţind al patrulea număr la 3 obţinem rezultate identice.

17. Aflaţi numerele de două cifre care sunt de cinci ori mai mari decât suma cifrelor lor.

18. Determinaţi 3 numere naturale stiind ca produsul primelor doua este 126, produsul

ultimelor doua este 108, iar suma dintre primul si ultimul este 26.

19. Să se afle numărul X din egalitatea:

[(207 + 206 * 207): (207 * 208 - 207)] * x = 111 * 90: (111 + 222 + 333 +... + 999).

20. Câte numere naturale de trei cifre au produsul cifrelor egal cu 18?

- 6 -