teoria probabilitatii laborator nr.2

8/10/2019 Teoria Probabilitatii Laborator NR.2

1/19

Ministerul Educaiei al Republicii Moldova Universitatea Tehnic a Moldovei

Lucrare de laborator Nr. 2

La Teoria Probabilitilor i a Informaiei realizat n sistemul MATHEMATICA 5.1

Tema : Teoria probabilitilor. Calculul probabilitilor

Varianta XIX

Elaborat: Rusu Cristinst.gr.134

Verificat: Lisnic Ingalect. asist.

Chiinu 2013


2/19

SISTEMUL DE PROGRAME MATHEMATICA.

Rezolvarea exerciiilor din Matematici Teoria probabilitilor

1. Calculul probabilitilor. Dac rezolvarea unei probleme de calcal probabilitii i aceast problem s-a reduc la aplicaia unei formule dcalcul, atunci rmne de introdus n aceast formul datele nume problemei i parametrii necesari. Astfel se obine o expresie numcare trebuie calculat valoarea. Di cele expuse anterior rezult Sist programe Mathematica permite: calculul valorii exacte, calculul unei valora proximative cu apte cifre semnificative i calculul unei aproximative cu un numr dorit de cifre semnificative.

Cititorul are de acuma o careva experien de lucru cu SiMathematica i nu va uita ca dup scrierea instruciunii s Shift+Enter dup care instruciunea va fi executat. De aceea rezolvrilor problemelor ce urmeaz va conine numai instrurespectiv i rezultatul executrii ei: Input, Output precum icomentarii (dac ele sunt necesare).

Unele calcule din exerciiile ce urmeaz pot efectuate cu ajutorul microcalculator, sau chiar n minte. Prin atare exerciii se ilustratt necesitatea utilizrii Sistemului Mathematica, ct posibilitatea utilizriilui.

Variante de exerciii pentru lucrul individual pot fi gsite, de exemplun lucrarea didacticThorie des probabilits et statistiquemathmatique, (numit succintTPSM ). Pentru comoditate, unele dinaceste exerciii au fost incluse n exerciiile propuse pentru rezolvsunt lasfritul paragrafului.

La rezolvarea exerciiilor ce urmeaz vor fi folosite unele funcele enunate anterior i unele din funciile: Collect[expr,x] reduce termenii asemenea din expresia expr arangeaz dup puterile lui x; Sum[f[i],{i,i min ,imax }] calculeaz suma valorilor funciei f pentru i dimin pn la imax cu pasul +1;NSum[f[i],{i,i min ,imax }] calculeaz o valoare a sumei valorilor funci pentru i de la imin pn la imax cu pasul +1;Product[f[i],{i,i min ,imox }] - calculeaz produsul valorilor funciei f pentde la imin pn la imax cu pasul +1;NProduct[f[i],{i,i min ,imox }] calculeaz o valoare a produsului valorifunciei f pentru i de la imin pn la imax cu pasul +1.

2. Scheme clasice de calcul al pr obabilitilor . Amintim ctevaformule i scheme de calcul al probabilitilor.


3/19

1) Definiia clasic a probabilitii. Formule de adunare aprobabilitilor. Dac spaiul evenimentelor elementare conine un nfinit de evenimente elementare echiprobabile, atunci probabilitatea unueveniment aleator A se calculeaz conform formulei

card Acard A P )( , (8.1.1)

unde card nseamn numrul de elemente ale mulimii respective. Aformul reprezintdefiniia clasic a probabilitii. Formula de adunare a probabilitilor evenimentelor incompatibile dou cte dou este

ni i

n

i i A P A P

11)()( , (8.1.2)

iar formula de adunare a probabilitilor n cazul general este n ji

jin

i in

i i A A P A P A P

111

)()()( +

)()1(...)(1

1

1

n

i in

nk jik ji A P A A A P (8.1.3)

2) Probabiliti condiionate. Formule de nmulire a probabilitilor. Se numete probabilitate a evenimentului A condiionat de evenimentulu

B mrimea notat cu )}( B A P definit prin egalitatea )(

)()|(

A P B A P

A B P . (8.1.5)

Din (8.1.5) rezult formula de nmulire a probabilitilor a douevenimente aleatoare

)|()()( A B P A P B A P . (8.1.6) n cazul general formula de nmulire a probabilitilor are forma

)...( 21 n A A A P = (8.1.7))...|()...|()|()( 11213121 nn A A A P A A A P A A P A P

n cazul cnd fiecare din evenimentele aleatoare A1, A2, ..., An esteindependent de celelalte i de orice intersecie a lor, atunci formnmulire a probabilitilor lor este

)...( 21 n A A A P = )()...()()( 321 n A P A P A P A P . (8.1.8)3) Formula probabilitii totale. Formula lui Bayes. Fie un spaiu deevenimente elementare, H 1, H 2, ..., H n este un sistem complet de evenimentei A este un eveniment aleator. Atunci are loc formula probabilitii totale

)|()(...)|()()( 11 nn H A P H P H A P H P A P (8.1.9)


4/19

i formula lui Bayes

)|()(...)|()(

)|()()|(

11 nn

j j j H A P H P H A P H P

H A P H P A H P . (8.1.10)

4) Experiene independente. Experienele aleatoare

E 1, E

2,..., E

n se

numesc independente n raport cu evenimentul aleator A, dac acesteveniment poate s se realizeze sau nu n fiecare din aceste exper probabilitatea realizrii lui n careva experien nu depinde de faptus-a realizat sau nu n celelalte experiene. Experienele independetratate ca oexperien care se repet den ori.

5) Schema binomial (schema Bernoulli sau schema cu revenire aurnei cu bile de dou culori). Formula Bernoulli . Fie c n fiecare dinn experiene independente E 1, E 2,..., E n evenimentul A poate s se realizeze cu probabilitatea p: p = P ( A). Atunci probabilitatea ca evenimentul A s nu se produc esteq = P ( A) = 1 P ( A) = 1 p. Notm aceast probabilitate cu P n(k ) probabilitatea ca evenimentul A s se realizeze dek ori n decursul alacestor n experiene. Se demonstreaz c aceast probabilitate pocalculat conform formulei Bernoulli:

P k C p qn nk k n k ( ) , k = 0, 1,...,n. (8.1.11)

Schema cu revenire a urnei nseamn c bilele se scot din urnuna i fiecare bil scoas, dup observarea culorii ei se ntoarce diurn.

6) Schema polinomial (schema cu revenire a urnei, care coninebile de mai multe culori) . Fie c n rezultatul fiecrui dinn experieneindependente E 1, E 2, ..., E n pot s serealizeze evenimentele aleatoare A1,

A2, ..., Ar , care formeaz un sistem complet de evenimente. Notm p i = P ( Ai), i = 1, 2, ..., r . Evident c p1 + p2 + ... + p r = 1. Probabilitatea

P n(k 1,k 2,...,k r ) ca n decursul a acestorn experiene independenteevenimentul Ai s se realizeze dek i ori i = 1, 2, ...,r , n = k 1 + k 2 + ... +k r , poate fi calculat conform formulei

P n(k 1,k 2,...,k r ) = n

k k k p p p

r

k k r k r !

! ! ... !.. .

1 21 2

1 2

. (8.1.12)

Evident, c pentrur = 2 din formula(8.1.12) rezult (8.1.11). 7) Schema Poisson. Funcia generatoare de probabiliti . Fie c nexperienele independente E 1, E 2, ..., E n evenimentul A poate s se realizeze,respectiv, cu probabilitile p1 , p2, ..., pn. Atunci probabilitatea P n(k ) ca ndecursul acestorn experiene independente evenimentul A s se realizeze dek ori,k = 1, 2, ...,n, este egal cu coeficientul lui xk din expresia


5/19

n( x)=n

iii x pq

1

)( , (8.1.13)

undeqi = 1 p i.Funcia n( x) definit prin egalitatea (8.1.13) se numete funcie

generatoare de probabiliti.Schema Bernoulli este caz particular din schema Poisson i

cazul cnd p1 = p2 = ... = pn = p. n acest caz funcia generatoare d probabiliti are forma

n( x) = (q+ px)n. (8.1.14)8) Schema fr revenire a urnei cu bile de dou culori . Fie c ntr -o urnsunt n bile dintre caren1 sunt albe in2 sunt negre. Se extrag la ntmplarem bile fr a ntoarce bila extras n urn. Atunci probabilitatea P m(m1,m2)ca printrem bile extrasem1 s fie albe im2 se calculeaz conform formulei

mn

mn

mn

mC

C C mm P

2

2

1

1),( 21 . (8.1.15)9) Schema fr revenire a urnei cu bile de mai multe culori

Fie c ntr -o urn suntn bile din careni sunt de culoareai, i = 1, 2, ...,r , n = n1 + n2 + ... +nr , se extrag succesiv fr revenirem bile,m n. Atunci probabilitatea ),...,,( 21 r m mmm P ca printre bilele extrasemi s fie de culoareai, i= 1, 2, ...,r , m = m1 + m2 + ... +mr , se calculeaz conform formulei

mn

mn

mn

mn

r mC

C C C mmm P

r

r ...

),...,,(2

2

1

1

21 . (8.1.16)10) Schema Pascal (geometric). Fie c evenimentul aleator A poate s serealizeze n fiecare din experienele independente E 1, E 2, cu probabilitatea p. Atunci probabilitatea P (k ) ca el s se realizeze prima datn experiena E k se calculeaz conform formulei

P (k ) = pq k 1, (8.1.17)undeq = 1 p.

11) Calculul valorilor aproximative ale probabilitii din schemaBernoulli . Pentru n i m relativ mari calculul probabilitii confoformulei Bernoulli prezint mari dificulti, dac nu se aplic SMathematica. n acest caz se folosesc formule de calcul al unor valoriaproximative ale acestei probabiliti. Una din acestei formule rezteorema local Moivre-Laplace i are forma


6/19

2

21

2

1)(

npq

npk

n enpq

k P , (8.1.18)

unde 0 p 1, P n(k ) este probabilitatea ca evenimentul aleator A cu P ( A) = p, q = 1 p, s se realizeze dek ori n decursul an experiene independente,n fiind destul de mare.

n cazul cnd probabilitatea p este aproape de 0 sau de 1, atunci o mai bun aproximaie n raport cu formula (8.1.18) este obinut prin fo

,

!

)( ak

n e

k

ak P (8.1.19)

undea = np in este destul de mare, iar p este aproape de zero. Aceastformul rezult dinteorema Poisson . Se recomand ca aceast formula sfie aplicat atunci, cndnpq 9, iar n celelelte cazuri formula (8.1.18).

O valoare aproximativ a probabilitii P n(k 1 k k 2) ca n decursul an experiene independente numrulk de realizri ale evenimentului aleato

A s fie cuprins ntrek 1 ik 2 poate fi calculat conform formulei

npqnpk

npqnpk k k k P n

1221 )( , (8.1.20)

unde ( x) este funcia Laplace care se definete prin egalitatea

xt dt e x

0

2/2

2

1)( . (8.1.21)

Formula (8.1.20) rezult di teorema integral Moivre-Laplace.Avnd la dispoziie Sistemul Mathematica, nu este necesar aplicareaformulelor (8.1.18) (8.1.21), dar putem cerceta i compara erorile ca

obin la aplicarea lor.


7/19

Exerciii pentru lucrul individual

8.1.1 Se arunc un zar de dou ori. S se calculeze probabilevenimentelor aleatoare:1) A = {suma numerelor aprute nu ntrece 7},2) B = {suma numerelor aprute este egal cu5},3) C = { produsul numerelor aprute este mai mare ca14}.Rezolvare. Spaiul evenimentelor elementare = (i, j): 1 i, j 6 .Favorabile pentru evenimentul A sunt evenimentele elementare A = (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3)(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1). Cum card A = 21 i card = 36,avem

card Acard

A P )(

card A = m; card = n P(A)= ;

n=36;m=21;P(A)=21/36

In[1] :=N[21/36]Out[1] = 583333 Favorabile pentru evenimentul B sunt evenimentele elementare B =(1,4),(2,3),(3,2),(4,1). Cumcard B = 4 icard = 36, avem

card Bcard

A P )(

card B = m1; card = n

P(B)= ;n=36;m1=4;


8/19

P(B)=4/36In[2] :=N[4/36]Out[2] =0.111111

Favorabile pentru evenimentul C sunt evenimentele elementareC = (3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}Cumcard C = 13icard = 36, avem

card C card

A P )(

card C = m2; card = n

P(C)= ;n=36;m2=13;

P(C)=13/36In[3] :=N[13/36]Out[3] =0.361111

8.1.2. ntr-un lot care conine 119 piese de acelai tip sunt 8 piese cu caredefect. Se extrag fr revenire 6 piese. Dac toate piesele extrase suntcalitative, atunci lotul este acceptat, iar n caz contrar este refuzacalculeze probabilitatea evenimentului A = {lotul este acceptat}.

Rezolvare: Notm: Ai = {piesa cu numrul de extragere i este calitativ}, i = 1, 2, 3, 4,5,6.Are loc egalitatea A=A1+A2+A3+A4+A5+A6

Deci:P(A)=P(A1) * P(A2 A1) * P(A3 A1+A2A1+A2+A3) * P(A5 A1+A2+A3+A4)* P(A6A1+A2+A3+A4+A5)

In[4] :=N[ -


9/19

Out[4] =0.441514

8.1.3. Un aparat const din trei elemente care n timpul funcionrii luse deterioreze independent unul de altul. Notm: Ai = {elementul i se deterioreaz}, i = 1, 2, 3. Se probabilitile acestor evenimente: p1 =0.6, p2 = 0.7, p3 = 0.5. S secalculeze probabilitile evenimentelor: A = {nu se deterioreaz nici un element},B = {se deterioreaz un singur element}, C = {se deterioreaz dou elemente}, D = {se deterioreaz toate elementele}, E = {primul element nu se deterioreaz}.

Rezolvare . : p1 =P(A1) =0.6, p2 =P(A2)= 0.7, p3 =P(A3)= 0.5.

Vom exprima evenimentul aleator A prin evenimentele A1, A2 i A3.

( )= ( ) Calculm probabilitatea evenimentului B folosind succesiv: formula denmulire a probabilitilor evenimentelor independente i formula dal probabilitii negaiei evenimentului.

In[5]:= N[(1-0.6)*(1-0.7)*(1-0.5)]

Out[5]= 0.06

Vom exprima evenimentul aleator B prin evenimentele A1, A2 i A3. Seva deteriora numai un singur element cnd primul element se deterial doilea nu i al treilea nu, sau al doilea se deterioreaz i primul- nui altreilea nu, sau al treilea se deterioreaz i primul nu i al doilea nu. Conform definiiilor reuniunii i a interseciei evenimealeatoare, avem:( )=( )+( )+( )

.


10/19

Calculm probabilitatea evenimentului B folosind succesiv: formula deadunare a probabilitilor evenimentelor incompatibile, formunmulire a probabilitilor evenimentelor independente i formula dal probabilitii negaiei evenimentului.

In[6] := N[0.6*(1-0.7)*(1-0.5)+(1-0.6)*0.7*(1-0.5)+(1-0.6)*(1-0.7)*0.5]

Out[6] =0.29

Vom exprima evenimentul aleator C prin evenimentele A1, A2 i A3.

( )=( )+( )+( )

Calculm probabilitatea evenimentuluiC folosind succesiv: formula de

adunare a probabilitilor evenimentelor incompatibile, formunmulire a probabilitilor evenimentelor independente i formula dal probabilitii negaiei evenimentului.

In[7] := N[0.6*0.7*(1-0.5)+(1-0.6)*0.7*0.5+0.6*(1-0.7)*0.5]

Out[7] =0.44

Vom exprima evenimentul aleator D prin evenimentele A1, A2 i A3.

( )=( )

Calculm probabilitatea evenimentului D folosind succesiv: formula denmulire a probabilitilor evenimentelor independente.

In[8] := N[0.6*0.7*0.5]


11/19

Out[8] =0.21

Vom exprima evenimentul aleator E prin evenimentele A1, A2 i A3.

( )=( )

Calculm probabilitatea evenimentuluiE folosind succesiv: formula denmulire a probabilitilor evenimentelor independente i formula dal probabilitii negaiei evenimentului.

In[9] :=N[(1-0.6)*0.7*0.5]

Out[9] =0.14

8.1.4. Un magazin primete pentru vnzare articole cu exteridentice fabricate la trei uzine n proporie de:40% de la uzina nr.1, 40% dela uzina nr.2 i20% de la uzina nr.3. Procentele de articole defectate sunt:5% pentru uzina nr.1, 3% pentru uzina nr.2 i 2% pentru uzina nr.3..1) Care este probabilitatea caun articol cumprat s fie calitativ?2) Un articol luat la ntmplare este defectat. Care este probabilitaacest articol a fost fabricat la uzina nr.1.

Rezolvare . 1. Notm: A = {piesa luat la ntmplare este calitativ}. n rapfaptul care uzin a fabricat piesa luat pot fi enunate ipotezele: Hi luat a fost fabricat de uzina nr.i}, i = 1, 2, 3. Din condiiile exemplului rezult c uzina nr.1 a fabricat 40% din piese dincele existente la depozit, uzina nr.2 40% i uzina nr.3 20% din pieseletotale. Aplicnd definiia clasic a probabilitii, avem:P(H1) =0.4, P(H2) =0.4,i P(H3) = 0.2 .

Cum ni% din piesele fabricate de uzina isunt rebut, rezult c (1ni)% di piese sunt calitative. Deci P(AH1)=0,95 , P(AH2)= 0,97i P(AH3) =0,98. Aplicnd formula probabilitii totale avem:


12/19

P A)=P H1) P A|H1)+P H2) P A|H2) + P H3)P A|H3)

In[10] :=N[(0.4*0.95)(0.4*0.97)+(0.2*0.98)]

Out[10] =0.34344

Conform notaiei din punctul 1 avem A = piesa luat la ntmplare esterebut .P(AH1)=0.5 , P(AH2)= 0,3 , P(AH3) = 0,2

3P

3 H

2P

2 H

1P

1 H

3P3 HP B

In[11] := N[(0.2*0.2)/((0.4*0.5)+(0.4*0.3)+(0.2*0.2))]

Out[11]= 111111

8.1.5. O moned se arunc de44 ori. S se calculeze probabilitilevenimentelor: A = {valoarea a aprut de 29 ori}, B = {stema a aprut numai mult de 2 ori}, C = {stema nu a aprut nici o dat}.

Rezolvare . Fie evenimentulD = apariia valorii.Avem: p = P (D) = 1/2 iq = 1 p = 1/2. Formula Bernoulli P k C p qn n

k k n k ( ) , k = 0, 1,...,n. pentrun = 44,k = 29, p =1/2 iq = 1/2, este

( )= ( )= ( )( ) In[12] := ,( ) ( ) ( 5)( 5)-

Out[12] =0.013069


13/19

B = { stema a aparut nu mai mult de 2 ori }

P(B) = 2144 44P

(1)= 5 5 (2)= 5 5

P(B) = 5 5+ 5 5 In[13]:= , + -

Out[13]= 5 6275 1

P(C)= ./ ./

In[14] := , ( ) 5 5-

Out[14] =2.84217*1

8.1. 6 Probabilitatea ca unaparat electric s se defecteze in perioada garanie este p=0,12. S se calculeze probabilitatea ca din 1000 cumprate, in perioada de garanie, s se defecteze 119 aparate.

Rezolvare:Avem: p=0.12; n=1000; m=119; q=0.88

Conform teoremei locale Moivre-Laplace avem

2n p q

n p21

np q

1n em

2

0 . 8 8. 1 20 0 00 . 1 20 0 01 9

21

0 . 8 8. 1 21 0 0 0 1

1 0 0 0 e119


14/19

In[17] := ]])([[ 2

88.0*12.0*100012.0*1000119

21

88.0*12.0*1000**21 Exp N

Out[17] = 386386

8.1.7. Intr-o urn sunt 18 bile de trei culori: 6 bile albe, 8 bile negre i 4 bilealbastre. Se extrag succesiv cu revenire9 bile. S se calculeze probabilitile evenimentelor:

A = {toate bilele sunt albe},B = {4 bile sunt albe, 3sunt negre i2 sunt albastre},C = 4 bile sunt albe iar restul sunt de alte culori.

Rezolvare .1) Vom exprima evenimentul aleator A prin evenimentele A1, A2 i A3.Fieevenimentele: A1 = bila extras este alb, A2 = bila extras este neagr i A3 = bila extras este albastr.

Atunci: p1 = P ( A1) = 6/18 , p2 = P ( A2) = 8/18, p3 = P ( A3) = 4/18

Aplicnd formula (8.1.12) cun = 9,k 1 = 9,k 2 = 0, ik 3 = 0, obinem P 9(9,0,0) = . / . / . /

P(A)= . / . / . /

In[18] := . / . / . /

Out[18] =

2)Vom exprima evenimentul aleator B prin evenimentele A1, A2 i A3.Fieevenimentele: A1 = bila extras este alb, A2 = bila extras este neagr i A3 = bila extras este albastr.Atunci: p1 = P ( A1) = 6/18 ,

p2 = P ( A2) = 8/18,


15/19

p3 = P ( A3) = 4/18Aplicnd formula (8.1.12) cun = 9,k 1 = 4,k 2 = 3, ik 3 = 2, obinem

P 9(4,3,2) = . / . / . /

P(B)= . / . / . /

In[19] := . / . / . /

Out[19] =

3)Aplicind formula (8.1.12) cu n=9, k1=4, k2=5, obtinem

P 9(4,5) = . / . / P(B)= . / . /

In[19] := . / . / Out[19] =

8.1.8. S se calculeze probabilitile evenimentelor A, B i C din exerciiul8.1.7 cu condiia c bilele extras nu revine n urn.

Rezolvare :

P(A)=0 ;Imposibil de extras 9 bile albe dintr-o urn n care sunt doar 6 bile albe.

( )= (4 3 2)=


16/19

In 20 , - Out 20 =0.103661

( )= (4)=

In 21 := , -

Out 21 = 0.244344

8.1.9. 1) Care este probabilitatea c numrul 3 va aprea pentru primla a 23-a aruncare a zarului? 2) Care este pr obabilitatea c la primele23aruncri ale zarului numrul 3 nu va aprea?

Rezolvare :

Schema Pascal (geometric). Fie c evenimentul aleator A poate s serealizeze n fiecare din experienele independente E 1, E 2, cu probabilitatea p. Atunci probabilitatea P (k ) ca el s se realizeze prima datn experiena E k se calculeaz conform formulei:

( )= = 1

=16 = 116=

56

1) ( )= ./ In[22] :=N[ ./ ]


17/19

Out[22] =0.003018992) B = { la primele 23 de aruncari ale zarului numarul 3 nu va aparea }

Evenimentul B poate fi definit si altfel:

B = { numarul 3 va aparea pentru prima data la aruncarea a 24,25,26,27 }.

P(B) = P(24)+P(25)+P(26)+P(27)+= 1k (5/6)*(1/6)24k

In[23] := , ./ 24 -

Out[23] =

In[24] :=N[ ]

Out[24]= 0.01509498.1.10. Probabilitatea unui eveniment A intr-o experien aleatoar e este p: p = 0,011. 1) S se calculeze probabilitatea ca in decursul a 1000 repetri aacestei experiene evenimentul A se va realiza de10 ori (s se foloseascformula care rezult din teorema local Moivre-Laplace i formula carerezult din teorema Poisson). 2) B = S se calculeze probabilitnumrul de realizri ale evenimentului A s fie cuprins intre6 i17.

Avem: n=1000; p=0.011; q=0.989; k=10; k1 = 6 ; k2 = 17;

1) Din teorema local Moivre-Laplace avem2

21

2

1)(

npq

npk

n enpq

k P ,2

989.0*011.0*1000

011.0*100010

2

1

1000989.0*011.0*1000*2

1)10(

e P


18/19

In[25] := ]]989.0*011.0*1000011.0*100010

21

[989.0*011.0*1000*2

1[

2

Exp N

Out[25] = 0.11552

Din formula care rezult dinteorema Poisson

,!

)( ak

n ek a

k P

Unde a = n*p ;

,!10

)011.0*1000()10( )011.0*1000(10

1000 e P

In[26] := )]]011.0*1000([*!10

)011.0*1000([

10

Exp N

Out[26] = 0.119378P(A)=0.119378

2)

npq

npk

npq

npk k k k P n

1221 )( ,

unde ( x) este funcia Laplace care se definete prin egalitatea

x

t dt e x0

2/2

2

1)(

.

Obtinem:


19/19

dt e P t 2/21

1000

2989.0*011.0*1000

011.0*100017

989.0*011.0*1000011.0*10006

)17106(

In[27] :=Nintegrate}],,{],2/[[

989.0*011.0*1000011.0*100017

989.0*011.0*1000011.0*100062

21 t t Exp

Out[27] = 0.900782

P(B) = 0.900782

Concluzie :

La aceast lucrare de laborator aminvatats calculez rezultate la problemde calcul al probabilitii. Am realizat ca sistemul de programeMathematica 5.1 permite: calculul valorii exacte, calculul unei valori

aproximative cu apte cifre semnificative i calculul unei

aproximative cu un numr dorit de cifre semnificative. Bibliografie :

Am folosit fisierul propus de lectorul asistent i am utilizat cunostinteleacumulate la seminarele de Teoria Probabilitatilor si Informatiei.

teoria probabilitatii laborator nr.2

Documents