teorema lui menelaus.pdf
TRANSCRIPT
Teorema lui Menelaus
Marian Tache
Liceul Teoretic W. ShakespeareTimisoara
March 30, 2015
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 1 / 9
Teorema lui Menelaus
Theorem
Teorema lui Menelaus:
Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .Atunci are loc relatia:
DA
DB· FBFC· ECEA
= 1.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9
Teorema lui Menelaus
Theorem
Teorema lui Menelaus:
Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .
Atunci are loc relatia:
DA
DB· FBFC· ECEA
= 1.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9
Teorema lui Menelaus
Theorem
Teorema lui Menelaus:
Se da triunghiul ABC . Dreaptad intersecteaza drepteleAB, BC , CA ın puncteleD, E , F .Atunci are loc relatia:
DA
DB· FBFC· ECEA
= 1.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 2 / 9
Reciproca teoremei lui Menelaus
Theorem
Reciproca teoremei luiMenelaus:
Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA
DB ·FBFC ·
ECEA = 1.
Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9
Reciproca teoremei lui Menelaus
Theorem
Reciproca teoremei luiMenelaus:
Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA
DB ·FBFC ·
ECEA = 1.
Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9
Reciproca teoremei lui Menelaus
Theorem
Reciproca teoremei luiMenelaus:
Se da triunghiul ABC . Pedreptele AB, BC , CA seconsidera punctele D, E , F .astfel ca DA
DB ·FBFC ·
ECEA = 1.
Atunci punctele D, E , F suntcoliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 3 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:
Pentru bisectoarea [AD : DBDC = AB
AC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD :
DBDC = AB
AC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE :
EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF :
FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul neisoscel ABC semidreptele[AD, [BE , [CF sunt bisectoareexterioare, D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB.Sa searate ca punctele D, E , F sunt coliniare.Demonstratie
Aplic teorema bisectoarei exterioare:Pentru bisectoarea [AD : DB
DC = ABAC
Pentru bisectoarea [BE : EAEC = BA
BC
Pentru bisectoarea [CF : FBFA = CB
CA
Inmultind convenabil⇒ 1 = AB
AC ·ACBC ·
BCAB =
= DBDC ·
FAFB ·
ECEA (Reciproca T. Menelaus)⇒
punctele D, E , F sunt coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 4 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC =
9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM =
95 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF :
DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM =
35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
E3/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiulABC se considera D ∈ (AB), E ∈ (AC )astfel ca BD
DA = EAEC = 3.
Sa se afle raportul ıncare dreapta DE ımparte mediana din A.Solutie
Consider {F} = BC ∩ DE .Aplic Teorema lui Menelaus pentrutriunghiul ABC si transversala DE :
DADB ·
FBFC ·
ECEA = 1⇒ FB
FC = 9⇒ FBFM = 9
5 . Aplic teorema lui Menelaus
pentru 4ABM si transversala DF : DADB ·
FBFM ·
PMPA = 1⇒ PA
PM = 35 .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 5 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA =
1−k1+k . Exprim raportul PA
PE ın functie de k :PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k .
Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE =
1+k1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :
MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k .
Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :
MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1.
Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND =
1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒
N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
A1/ pg. 233, manual M. Burtea
In triunghiul ABC se consideraD ∈ (AB), E ∈ (AC ) astfel ca DA
DB = ECEA .
Sa se arate ca mijloacele segmentelor[AB], [DE ], [AC ] sunt puncte coliniare.Solutie
Consider M, P mijloacele laturilor[AB], [AC ], iar {N} = MP ∩ DE . Notez
DADB = EC
EA = k . Exprim raportul MDMA ın functie de k :
MDMA = 1−k
1+k . Exprim raportul PAPE ın functie de k :
PAPE = 1+k
1−k . Aplic teorema lui Menelaus 4ADE si transversalei MP :MDMA ·
NEND ·
PAPE = 1. Inlocuiesc valorile rapoartelor cunoscute si exprim
raportul NEND = 1 ⇒ N− mijlocul [DE ].
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 6 / 9
Dreapta lui Gauss
Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind
laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 7 / 9
Dreapta lui Gauss
Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind
laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 8 / 9
Dreapta lui Gauss
Mijloacele diagonalelorunui patrulater complet sunt coliniare.Definitie: Daca avemun patrulater ABCD convex care nu faceparte din ”categoria paralelogramelor”(paralelogram, dreptunghi, romb, patrat)si nu este nici trapez, atunci, prelungind
laturile opuse acestea se intersecteaza, notam cu E si F. Configuratiaobtinutasi notata ABCDEF se numeste patrulater complet.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Menelaus March 30, 2015 9 / 9