TEMA III. TEOREME DE PROBABILITATE3.1. Probabilitate condiionatVom introduce noiunea de probabilitate condiionat pornind de la exemplul urmtor. Exemplul. Consideram experiena care const n aruncarea a dou zaruri. Notm cu a numrul care apare pe primul zar i cu b numrul care apare pe al doilea zar. Ne ntrebm care este probabilitatea ca b=3, tiind c a+b>8? Soluie: Spaiul de selecie asociat acestei experiene este mulimea S de perechi: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6). Toate aceste evenimente sunt egal probabile i prin urmare P((i, j))=36, pentru orice i=1,6; j=1,6. Dintre cele 36 evenimente elementare din spaiul de selecie S, doar n cazul evenimentelor: (6,3), (5,4), (4,5), (3,6), (6,4), (5,5), (4,6), (6,5), (5,6), (6,6) se realizeaz condiia a+b>8. Considerm mulimea S0 format doar din aceste evenimente: S0={(6,3),(5,4),(4,5),(3,6),(6,4),(5,5),(4,6),(6,5),(5,6),(6,6)}. Mulimea S0 este un spaiu de selecie mai restrns asociat aceleiai experiene. Aici au fost luate n considerare doar acele evenimente elementare pentru care a+b>8. Cele 10 elemente din S0 sunt egal probabile i de aceea probabilitatea fiecrui eveniment din S0 este 1/10 . Exist un singur eveniment n S0 pentru care b=3: (6,3). De aceea n spaiul de selecie redus, probabilitatea evenimentului b=3 este 1/10. Acest rezultat va fi numit probabilitatea evenimentului b=3 condiionat de a+b>8. Putem judeca ns i n felul urmtor: determinm la nceput n spaiul de selecie S probabilitatea ca evenimentul A=a+b>8 s se produc. Aceasta este P(A)=10/36. Apoi determinm tot n S probabilitatea ca evenimentul B=b=3 s se produc. Aceasta este P(B)=6/36 . Probabilitatea n S de producere a ambelor evenimente A i B este P(AB)=P((6,3))=1/36. Dac notm cu P(B|A) probabilitatea evenimentului B n condiia n care A s-a produs, atunci avem: P(B|A)=1/10, P(A)=10/36, P(AB)=1/36, de unde P(B|A)=P(BA)/P(A)=P(AB)/P(A). Definiie. Probabilitatea evenimentului A condiionat de B se noteaz P(A|B) sau PB(A) i este definit prin P(A|B)=P(AB)/P(B), dac P(B)0. Spaiul de selecie micorat este B (evenimentul de condiionare). Remarc. Probabilitatea introdus axiomatic prin Definiie este i ea una condiionat de evenimentul sigur, care este un spaiu de selecie S, cu P(S)=1.Pentru BP(S) fixat, cu P(B)0, oricare ar fi A1, A2 din P(S), avem: A1) 0P(A1|B)1; A2) P(S|B)=1;A3) A1, A2 - incompatibile P((A1A2)|B)=P(A1|B)+P(A2|B). Demonstraie. Din P(A1|B)=P(A1B)/P(B) rezult P(A1|B)0 i din P(A1B)P(B) rezult P(A1B)1. P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)/P(B)=1. P((A1A2)|B)=P((A1A2)B)/P(B)=P(A1B)/P(B)+P(A2B)/P(B)=P(A1|B)+ P(A2|B). Teorem. Dac A i B sunt evenimente independente avnd probabilitile nenule, atunci: P(A|B)=P(A) i P(B|A)=P(B).Demonstraie. Deoarece A i B sunt independente i AB=BA, avem P(AB)=P(BA)=P(A)P(B). Rezult: P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A)/P(B|A)=P(BA)/P(A)=P(B)P(A)/P(A)=P(B). Teorem. Dac A1, A2, ..., An sunt evenimente astfel nct P(A1A2...An)0 (ele se pot realiza simultan),atunci P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|(A1 A2))...P(An|(A1 ...An1)). Demonstraie. P(A1)P(A2|A1)P(A3|(A1A2))...P(An|(A1...An1))= P(A1)P(A1A2)/P(A1)P(A3|(A1A2))...P(An|(A1...An1))=P(A1A2) P(A1A2A3)/P(A1A2)...P(An|(A1...An1))=.........=P(A1...An1) P(A1...An1An)/P(A1...An1)=P(A1...An). Consecin. Dac A1, A2, ..., An sunt evenimente independente, atunci P(A1 A2...An)=P(A1)P(A2)...P(An). Exemplul. O urn conine 3 bile albe i 5 bile negre. Din urn se extrag dou bile, una dup alta (fr ntoarcere). S se scrie un spaiu de selecie pentru aceast experien i probabilitile asociate evenimentelor din acest spaiu. Soluie: Dac a este evenimentul extragerii unei bile albe i n este evenimentul extragerii unei bile negre, atunci un spaiu de selecie asociat experienei este: S={(a,a),(a,n),(n,a),(n,n)}. (n,a) arat c prima bil extras este neagr iar a doua bil extras este alb. Deoarece bilele sunt extrase la ntmplare, toate bilele din urn, la orice extracie, au aceeai probabilitate de extracie: P(a,a) = 3/82/7=6/56, P(a,n)=3/85/7 = 15/56, P(n,a)=5/83/7=15/56, P(n,n)=5/84/7= 20/56.

3.2.Teoremele de nmulire a probabilitilor

Considernd evenimentele A, B, intersecia acestora nsemnnd realizarea i a evenimentului A i a evenimentului B, este (se citete A i B). Intersecia unui sistem de evenimente {Ai; i=1,2,n} se prezint sub forma:

TEOREMA NMULIRII EVENIMENTELOR INDEPENDENTE SI DEPENDENTE Fie A1 si A2 doua evenimente dependente. Se va determina in continuare probabilitatea producerii simultane a acestor evenimente, adica P(A1A2). ntr-o operatie de masa se pot intmpla urmatoarele: 1) se produce evenimentul A1A2 n m1 cazuri favorabile; 2) se produce evenimentul A1A2 n m2 cazuri favorabile; 3) se produce evenimentul A1A2 n m3 cazuri favorabile; 4) se produce evenimentul A1A2 in m4 cazuri favorabile. n total sunt n=m1+m2+m3+m4 cazuri posibile. Rezulta ca: P(A1A2)=m1/n Probabilitatea evenimentului A1 se stabileste astfel: Numarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului A1 este m1+m2, deci: P(A1)=(m1+m2)/n Evenimentele A1 si A2 fiind dependente, nseamn ca probabilitatea lui A2 va fi influenat de realizarea lui A1, deci se va calcula PA1(A2), relaie care se citeste ,,probabilitatea lui A2 conditionata de A1 sau ,,probabilitatea lui A2 dup ce s-a realizat A1. Cazurile favorabile realizrii evenimentului A2, dup ce s-a produs A1, sunt n numr de m1, iar cazurile posibile m1+m2. Deci:PA1(A2)=m1/(m1+m2) nmulind relaiile (2) si (3), membru cu membru, se obtine: P(A1)*PA1(A2)=(m1+m2)/n *m1/(m1+m2)=m1/n, adic rezultatul de la (1).Deci, P(A1A2)=P(A1)*PA1(A2)relaie care constituie regula de nmulire a probabilitilor a dou evenimente dependente. Din ultima se obine: PA1(A2)=P(A1A2)/P(A1)n mod analog, probabilitatea evenimentului A1 condiionat de A2 este: PA2(A1)=P(A1A2)/P(A2)Relaiile de la urm arat c probabilitatea unui eveniment, condiionat de realizarea unui alt eveniment, este egal cu raportul dintre probabilitatea interseciei (producerii simultane) a celor dou evenimente i probabilitatea evenimentului ce o condiioneaz. APLICAIE: Dintr-un lot de 40 de becuri sosit la un magazin, dintre care 37 corespund standardului si 3 nu corespund, un cumprtor cumpr dou buci. S se calculeze probabilitatea ca aceste doua becuri sa fie corespunztoare. Fie A1 evenimentul ca primul bec sa fie corespunztor i A2 c al doilea bec sa fie corespunztor. Probabilitatea evenimentului A1 este P(A1)=37/40. Cnd becul al doilea a fost luat dup ce n prima extragere am obinut un bec standard, n-au mai rmas dect 39 de becuri, dintre care 36 standard si 3 rebut. Probabilitatea evenimentului A2 conditionata de A1 va fi: PA1(A2)=35/39Deci probabilitatea ca amndou becurile s fie corespunztoare este: P(A1A2)=P(A1)*PA1(A2)=37/40 * 36/39n general fie evenimentele A1, A2,, Ak. Probabilitatea producerii simultane se calculeaz pe baza formulei P(A1A2...Ak)=P(A1)*P(A2)*PA1A2(A3)...PA1A2...Ak-1(Ak)Demonstrarea acestei relaii se face prin metoda induciei matematice. DEFINITIE: Dac P(A1A2)=P(A1)*P(A2), se va spune, c evenimentele A i B sunt independente intre ele. Se vede ca dou evenimente sunt independente dac probabilitatea unuia dintre ele nu depinde de faptul ca celalalt eveniment s-a produs sau nu. Daca, de pilda, se arunca o moneda de dou ori este clar ca probabilitatea apariiei stemei (evenimentul A) n prima aruncare nu depinde de faptul c in a doua aruncare are sau nu loc evenimentul B (apariia valorii); i invers, probabilitatea lui B nu depinde de faptul c s-a produs sau nu evenimentul A . Un alt exemplu de evenimente independente l gsim in cazul unei urne cu bile de doua culori, din care se fac extrageri in urmtoarele condiii : n urna se gsesc 6 bile albe si 4 negre. Dac A este evenimentul care consta in extragerea unei bile albe, atunci: P(A)=6/10Dup extragere, bila se reintroduce in urna si se face o nou extragere. Fie B evenimentul ca sa fie extrasa o bil neagr n aceast a doua extragere. Atunci P(B)=4/10, probabilitate care nu depinde de faptul c evenimentul A s-a produs sau nu. Se consider, prin urmare, relaia: P(A1A2)=P(A1)*P(A2)Fcnd nlocuirea corespunztoare se obine: PA1(A2)=P(A1A2)/P(A1)=P(A1)*P(A2)/P(A1)=P(A2)PA2(A1)=P(A1A2)/P(A2)=P(A1)*P(A2)/P(A2)=P(A1)Egalitile PA1(A2)=P(A2) i PA2(A1)=P(A1) arat c a condiiona pe A2 de A1 si pe A1 de A2 nu influeneaz probabilitile P(A1) i P(A2). Evenimentele A si B sunt independente. n acest caz, avem: P(A1A2...Ak)=P(A1)*P(A2)*...*P(Ak)Prin urmare, probabilitatea producerii simultane a unui numr oarecare de evenimente independente este egal cu produsul probabilitilor acestor evenimente. APLICAIE: Dou maini produc aceeai piesa. Probabilitile ca piesa sa fie corespunztoare sunt de 0,96, respectiv de 0,93. Se ia pentru ncercare cte o piesa de la fiecare maina i se cere s se calculeze probabilitatea ca ambele piese sa fie corespunztoare. Acestea fiind independente, rezult: P(A1A2)=P(A1)*P(A2)=0,96*0.93=0,8928Este important s se precizeze ca cele artate mai nainte nu pot fi extinse la un numr oarecare de evenimente, fr a defini n prealabil ce se nelege prin evenimente independente n totalitatea lor. Mai multe evenimente se numesc evenimente independente n totalitatea lor dac fiecare dintre ele i orice intersecie a celorlalte (coninnd fie pe toate, fie o parte a lor) sunt evenimente independente. Astfel, evenimentele A, B i C sunt independente n totalitatea lor dac sunt independente evenimentele: A i B, A i C, B i C, A i BC, B i AC, C i AB. Se poate vedea c independena n totalitate nu poate fi asigurat de independena evenimentelor luate dou cte dou.

3.3.Formula probabilitii totale

Pornind de la un exemplu practic, considernd c tolele necesare statorului unei maini electrice sunt tanate la trei prese diferite. Se cunosc urmtoarele evenimente: X1 (presa 1), produce 30% din totalul tolelor cu un rebut de 2%; X2, (presa 2) produce 20% din totalul tolelor cu un rebut de 3%; X3 (presa 3) produce 50% din totalul tolelor cu un rebut de 1%. Tolele ajung la secia de montaj i se amestec. Aici se pune problema probabilitii extragerii unei tole necorespunztoare.Generaliznd, considerm un sistem complet de evenimente X1, X2,,Xn, adic

Fie un alt eveniment A, defectul, care nu se poate realiza singur ci numai mpreun cu unul din evenimentele Xi, formnd un sistem de evenimente incompatibile.

n consecin, evenimentul . Deoarece evenimentele , sunt incompatibile, adic, , probabilitatea evenimentului A este:

Deoarece evenimentele Xi i A sunt compatibile i dependente:

nlocuind 3.23 n 3.22:

Aceast relaie, este cunoscut sub denumirea ,,formula probabilitilor totale.

Revenind la exemplul iniial, unde ; ; i, de asemenea, ; ; , rezult probabilitatea unei tole defecte:

3.4.Formula lui BAYES

Pentru a nelege mai uor mecanismul procesului la care se refer teorema ipotezelor, plecm de la exemplul analizat n cazul anterior (probabiliti totale) cu diferena c la secia de montaj extracia unei tole a avut loc i s-a constatat c este defect. Se pune acum problema la care pres a fost executat. Deci, care sunt cauzele producerii defectului respectiv. Probabilitile iniiale, precizate, devin acum nite ipoteze. De aici i denumirea de ,,teorema ipotezelor-Bayes sau ,,teorema probabilitilor cauzelor.Trecnd la formularea general a teoremei considerm:Fie un sistem complet de ipoteze (evenimente) incompatibile, H1, H2,,Hn

Aceste ipoteze (evenimente), reprezint cauzele unui alt eveniment A, condiionat de evenimentele H1, H2,,Hn.nainte de a efectua vreo experien sunt date probabilitile ipotezelor P(H1), P(H2), , P(Hn) i P(A/H1), P(A/H2), , P(A/Hn). Realizndu-se evenimentul A, se pune ntrebarea ce valoare capt probabilitile acestor ipoteze, condiionate de evenimentul A care s-a produs.

Se tie c: . Intersecia evenimentelor fiind comutativ, .

Se poate scrie egalitatea: , de unde:

Conform formulei probabilitilor totale probabilitatea evenimentului A este nlocuind n ea se obine relaia:

care poart denumirea de ,,formula lui Bayes.Se observ c aceast formul definete o probabilitate condiionat. Exist astfel dou moduri de interpretare a probabilitii condiionate: una ,,obiectivist (sau frecvenial) i alta, ,, subiectivista (sau bayesian), exprimat prin ultima relaie.Prima interpretare ,,obiectivist, se bazeaz pe conceptul de frecven de apariie a evenimentului respectiv, n cazul unor experimente repetabile, n condiii identice. Interpretarea ,,subiectivist, depete limitele rigorii ,,obiectiviste i definete probabilitatea respectiv pornind de la o serie de ipoteze cu probabilitile specificate valoric. Probabilitatea devine astfel o msur a unei stri de cunoatere.Reinem cele dou modaliti de interpretare care completeaz i fundamenteaz optica modern n tratarea multor probleme noi, lrgind orizontul tehnic de cunoatere.

3.5.Independena evenimentelor

Dou sau mai multe evenimente se numesc independente dac probabilitatea efecturii unuia dintre ele nu este influenat de faptul c celelalte evenimente s-au produs sau nu.Exemplu:a) Dac dintr-un lot cu piese standard ct i piese rebut se extrage cte o piesa care revine la lot dup fiecare extracie, evenimentele care constau n extragerea unei piese standard la fiecare extracie sunt independente.b) Dac se arunc o moned de dou ori, probabilitatea apariiei stemei (evenimentul A) n a doua aruncare nu depinde de faptul c n prima aruncare s-a produs sau nu apariia valorii (evenimentul B).Dou sau mai multe evenimente se numescdependentedac probabilitatea unuia dintre ele este influentata de evenimentele anterioare (depunde de faptul ca evenimentele anterioare s-au produs sau nu).Exemplu:ntr-o urn se gasesc abile albe i bbile negre. Se noteaza cu Aevenimentul de a extrage o bil alb i cu Bevenimentul constnd n extragerea unei bile negre dupa ce a fost extras o bil (care nu se reintroduce n urn naintea celei de-a doua extrageri). Se fac, deci dou extrageri succesive. Dac prima bil extras a fost alb, adic s-a produs evenimentul A, atunci n urn au ramas bbile negre i probabilitatea evenimentultui Beste; dac prima bil extras a fost neagr, realizndu-se evenimentul A, atunci n urn au ramas b-1bile negre si probabilitatea evenimentului Beste. Se observ c probabilitatea evenimentului Bdepinde de faptul c evenimentul As-a produs sau nu.Exemplu:S se calculeze probabilitatea c un aparatcu o vechime deani s nu mai functioneze dup o perioad cuprins ntresiani (). n acest caz apar evenimentele Ai B. Evenimentul Bse realizeaz atunci cnd aparatul cu o vechime deani funcioneaz dupani, iar evenimentul Batunci cnd aparatul i nceteaz funcionarea n perioada. Se vede din acest exemplu c evenimentul Beste dependent (conditionat) de evenimentul A, deoarece pentru ca aparatul cu o vechime deani s-i nceteze funcionarea ntreiani trebuie mai nti sa funcioneze dupani.3.6.Exemplul lui S.N.Bernstein

Considerm un tetraedru omogen cu feele colorate astfel: una n alb, una n negru, una n rou i a patra n toate cele trei culori. Aruncnd tetraedrul pe o mas el se aseaz pe una din fee; ne intereseaz probabilitatea apariei fiecrei culori i independena evenimentelor corespunztoare. Rezolvare: Notm cu A1 evenimentul care const n apariia culorii albe, A2 evenimentul apariiei culorii negre i cu A3 evenimentul apariiei culorii roii. Avem: P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/2, deoarece pentru fiecare culoare sunt 4 cazuri posibile i dou favorabile (faa cu culoarea respectiv i faa cu trei culori). Probabilitile interseciilor a cte 2 dintre evenimente sunt: P(A1A2)=P(A1A3)=P(A2A3)=1/4, dar P(A1A2A3)=1/4P(A1)*P(A2)*P(A3)=1/8