tehnica reglĂrii Şi control automat...regulatoare automate continue 116 5.1. poziţia...

Mitică Temneanu

TEHNICA REGLĂRII ŞI CONTROL AUTOMAT

Iaşi, 2009

Tehnica reglării şi control automat

Prefaţă Având în vedere necesitatea conducerii proceselor, cu atingerea şi menţinerea unor performanţe impuse, este necesară cunoaşterea diverselor metode de abordare a problemelor în ceea ce priveşte tehnica reglării şi controlul automat. Este importantă cunoaşterea metodelor şi a tehnicilor necesare conducerii automate a proceselor, dată fiind complexitatea tot mai mare a acestora şi nivelul de performanţă tot mai ridicat impus funcţionării lor. Prezenta lucrare îşi propune să prezinte principalele metode care se utilizează în conducerea proceselor. Ea se adresează atât studenţilor, viitori ingineri, dornici să intre în tainele reglării şi controlului automat, continuare a cunoştinţelor acumulate în cadrul teoriei sistemelor, cât şi inginerilor care se ocupă de proiectarea şi exploatarea unor procese moderne. Fiecare poate să-şi găsească în prezenta lucrare elemente care să contribuie la aprofundarea cunoştinţelor existente, ridicând nivelul de cunoaştere al acestora în probleme legate de reglare şi control automat. În primul capitol sunt prezentate probleme generale legate de procesul tehnic şi conducerea acestuia, de etapele care trebuie parcurse pentru implementarea unui sistem de reglare automată. În capitolul 2 sunt prezentate elemente legate de sensibilitatea sistemelor de reglare automată monovariabile. Capitolul 3 prezintă noţiunile legate de performanţele sistemelor de reglare automată, atât în ceea ce priveşte variaţia referinţei cât şi a perturbaţiei. Capitolul 4 prezintă principalele probleme legate de corecţia sistemelor de reglare automată. Sunt prezentate principalele tipuri de corectoare, modul lor de acţiune asupra procesului în vederea conducerii acestuia către performanţele impuse. Corectoarele prezentate sunt însoţite de exemple care să permită apropierea aspectelor teoretice prezentate de problemele concrete legate de utilizarea acestora. Capitolul 5 permite cunoaşterea modalităţilor de implementare a unor structuri de conducere automată a proceselor prin utilizarea regulatoarelor continue. Sunt prezentate legile de reglare clasice, diferitele modalităţi de implementare a acestora, modul în care pot fi

3

Mitică Temneanu

îmbunătăţite performanţele sistemului prin utilizarea regulatoarelor continue. De asemenea este prezentat fenomenul de windup şi modul în care acesta poate fi evitat. Sunt prezentate şi aspecte legate de acordarea reguatoarelor pentru procese pentru care nu este cunoscut un model matematic, acordarea parametrilor regulatorului făcându-se după determinarea prin metode experimentale a unor caracteristici ale procesului. In capitolul 6 sunt prezentate consideraţii cu privire la controlul robust al sistemelor automate. Capitolul 7 prezintă exemple de sisteme pentru care pot fi deduse modele matematice şi care sunt supuse controlului automat prin metodele descrise în cadrul capitolelor 4 şi 5. Aceste aplicaţii au rolul de a apropia şi mai mult cititorul care a parcurs partea teoretică a acestor capitole de elementele concrete legate de implementarea unor astfel de sisteme de reglare utilizând diverse corectoare sau regulatoare continue. Autorul exprimă pe această cale mulţumirile sale cele mai călduroase domnilor prof. dr. ing. Mircea Nemescu şi prof. dr. ing. Gheorghe Livinţ de la Universitatea Tehnică „Gh. Asachi” din Iaşi pentru sprijinul, observaţiile, sugestiile şi încurajările care au condus la apariţia prezentei lucrări. Totodată autorul va considera binevenită orice observaţie sau sugestie care poate conduce la îmbunătăţirea sau la creşterea profunzimii de abordare a subiectelor din prezenta lucrare. Iaşi, aprilie 2009 Autorul

4


Cuprins Prefaţă 3 Cuprins 5 Capitolul 1 Conducerea proceselor tehnice 11 1.1. Procesul tehnic şi conducerea acestuia 11 1.1.1. Procesul tehnic 11

1.1.2. Proces tehnic în buclă închisă 12 1.2. Sisteme de reglare automată 13 1.2.1. Tipuri de sisteme de reglare automată 15 1.3. Etapele parcurse pentru implementarea unui sistem de control 15 1.3.1. Stabilirea modelului matematic 16 1.4. Exemple de sisteme automate 18 1.4.1. Sistem de control a temperaturii unei încăperi 18

1.4.2. Controlul elevatorului unui avion 20 Capitolul 2 Sisteme de reglare automată monovariabile 23 2.1. Structura sistemului de reglare automată monovariabil 23 2.1.1. Influenţa zgomotelor şi perturbaţiilor 26 2.2. Abaterea şi eroarea sistemului automat monovariabil 27 2.3. Sensibilitatea sistemului de reglare automată 28

5

Mitică Temneanu

2.3.1. Sensibilitatea funcţiei de transfer a căii directe a sistemului în raport cu un parametru 28 2.3.1.1. Influenţa parametrului asupra amplificării 29 2.3.1.2. Influenţa parametrului asupra constantei de timp 30 2.3.2. Sensibilitatea funcţiei de transfer în buclă închisă a 31 sistemului în raport cu un parametru 2.3.2.1. Influenţa parametrului asupra amplificării 32 2.3.2.2. Influenţa parametrului asupra constantei de timp 33 2.4. Sensibiliatea mărimii de ieşire în raport cu funcţia de transfer a părţii fixate 34 2.5. Sensibiliatea mărimii de ieşire în raport cu funcţia de transfer a traductorului 35 2.6. Micşorarea sensibilităţilor sistemului de reglare automată 35 Capitolul 3 Performanţele sistemelor de reglare automată 37 3.1. Indici de calitate la variaţia treaptă a referinţei 37 3.1.1. Indici de calitate pentru sistemul de ordinul I 37 3.1.2. Indici de calitate pentru sistemul de ordinul II 39 3.2. Performanţele sistemelor de reglare automată la variaţia treaptă a perturbaţiei 44 3.3. Indici de performanţă puşi în evidenţă prin folosirea răspunsului la frecvenţă 46 3.3.1. Indici de performanţă pentru sistemul deschis 46 3.3.2. Indici de performanţă pentru sistemul închis 48 3.4. Precizia sistemelor de reglare automată 51 3.4.1. Precizia sistemelor de reglare automată în raport cu referinţa 52 3.4.2. Precizia sistemelor de reglare automată în raport cu perturbaţia 58 Capitolul 4 Corecţia sistemelor de reglare automată 64

6


4.1. Obiectivele corecţiei sistemelor de reglare automată 64 4.2. Element de corecţie cu avans de fază 68 4.2.1. Răspunsul la frecvenţă al corectorului cu avans de fază 69 4.2.2. Loculde transfer al corectorului cu avans de fază 71 4.2.3. Intervenţia corectorului cu avans de fază asupra locului de transfer al sistemului iniţial 73 4.2.4. Intervenţia corectorului cu avans de fază asupra caracteristicilor Bode ale sistemului iniţial 74 4.2.5. Corector cu avans de fază cu amplificare 76 4.2.6. Corector cu avans de fază şi amplificare realizat cu amplificator operaţional 77 4.3. Element de corecţie cu întârziere de fază 83 4.3.1. Răspunsul la frecvenţă al corectorului cu întârziere de fază 84 4.3.2. Loculde transfer al corectorului cu întârziere de fază 86 4.3.3. Intervenţia corectorului cu întârziere de fază asupra locului de transfer al sistemului iniţial 88 4.3.4. Intervenţia corectorului cu întârziere de fază asupra caracteristicilor Bode ale sistemului iniţial 89 4.3.5. Corector cu întârziere de fază cu amplificare 91 4.4. Element de corecţie cu avans şi întârziere de fază 95 4.4.1. Corector cu avans şi întârziere de fază realizat cu elemente pasive 98 4.5. Comparaţie între corectoarele prezentate 104 4.6. Corecţia prin anulare 107 4.6.1. Tipuri de corectoare prin anulare de ordinul II 108 4.7. Elemente de corecţie introduse pe calea de reacţie locală 111 4.8. Corecţia sistemelor cu timp mort. Predictorul Smith 114

7

Mitică Temneanu

Capitolul 5 Regulatoare automate continue 116 5.1. Poziţia regulatorului în sistemul de reglare automată 116 5.2. Regulatoare automate analogice. Principii contructive 117 5.2.1. Structura generală a unui regulator realizat cu amplificator operaţional 118 5.3. Regulatorul cu acţiune proporţională, P 120 5.3.1. Regulator proporţional ideal realizat cu amplificator operaţional 122 5.3.2. Regulator proporţional real realizat cu amplificator operaţional 123 5.4. Regulatorul cu acţiune prop. integratoare, PI 124 5.4.1. Regulator proporţional integrator ideal realizat cu amplificator operaţional 128 5.4.2. Regulator proporţional integrator cu modificarea largă a amplificării 129 5.5. Regulator cu acţiune proporţional-derivativă, PD 130 5.5.1. Regulator PD necauzal realizat cu amplificatoare opraţionale 133 5.5.2. Regulatoare PD cu structură cauzală 135 5.5.3. Regulatoare PD cu structură cauzală realizat cu amplificatoare operaţionale 137 5.5.4. Regulatoare PD cu structură cauzală, cu modificarea largă a amplificării 138 5.6. Regulator cu acţiune proporţional- -integrator-derivativă, PID 139 5.6.1. Regulator PID ideal realizat cu amplificatoare operaţionale 146 5.6.2. Regulatoare PID cauzale 147 5.6.3. Regulator PID cauzal relizat cu amplificatoare operaţionale 148 5.7. Regulator cu acţiune proporţional- -integrator-derivativă, PI-D 150 5.8. Regulatorul I-PD 152

8


5.9. Gradele de libertate ale controlului 153 5.9.1. Control cu un singur grad de libertate 153 5.9.2. Control cu două grade de libertate 154 5.10. Fenomenul de windup şi prevenirea apariţiei acestuia 155 5.10.1. Fenomenul de windup 155 5.10.2. Evitarea apariţiei fenomenului de windup 159 5.11. Acordarea regulatoarelor continue 162 5.11.1. Factorul de amplificare critic şi pulsaţia critică a unui sistem 163 5.11.2. Acordarea regulatorului pe baza amplificării şi pulsaţiei critice 165 5.11.3. Determinarea caracteristicilor sistemului în buclă deschisă 168 5.11.4. Stabilirea parametrilor modelului 169

5.11.5. Acordarea regulatorului utilizând modelul pentru bucla deschisă 173 5.11.6. Acordarea regulatorului după criterii integrale 173 Capitolul 6 Consideraţii privind controlul robust al sistemului 177 6.1. Elemente ale controlului robust 177 6.2. Senzitivitatea la erorile modelului 178 6.3. Marginea de stabilitate 180 Capitolul 7 Aplicaţii ale corectoarelor şi regulatoarelor 184 7.1. Ansamblul bilă-ghidaj 184 7.1.1. Controlul sistemului utilizând un compensator cu avans de fază 187 7.1.2. Controlul sistemului utilizând regulatoare clasice 192 7.2. Poziţia unui motor de curent continuu 195

9

Mitică Temneanu

7.2.1. Controlul sistemului utilizând regulatoare clasice 200 7.3. Viteza unui vehicul 206 7.3.1. Controlul sistemului utilizând un compensator cu întârziere de fază 209 7.3.2. Controlul sistemului utilizând regulatoare clasice 211 Bibliografie 219

10


Capitolul 1 Conducerea proceselor tehnice 1.1. Procesul tehnic şi conducerea acestuia

Un proces tehnic reprezintă o instalaţie, un echipament, un mecanism, un utilaj, eventual un subansamblu de elemente ce funcţionează împreună având scopul de a realiza o anumită sarcină.

Conducerea unui process tehnic este posibilă numai după stabilirea unui obiectiv al conducerii ce defineşte destinaţia funcţională a procesului respectiv. 1.1.1. Procesul tehnic

Un proces tehnic este caracterizat printr-un ansamblu de mărimi

de stare, x, şi de ieşire, y, asupra cărora acţionează atât un număr de mărimi de execuţie, m, cât şi un set de mărimi perturbatoare, v, ca în Fig.1.1.

Mărimi Perturbatoare

Fig.1.1.

Conducerea procesului tehnic reprezintă un ansamblu de acţiuni

care se efectuează asupra procesului, prin intermediul mărimilor de execuţie m, în scopul aducerii şi menţinerii mărimilor de ieşire y la acele valori care să satisfacă obiectivele impuse, indiferent de evoluţia mărimilor perturbatoare, v.

Proces Tehnic

v Mărimi de Mărimi de

ieşire Execuţie y m

x

11

Mitică Temneanu

Conducerea procesului tehnic are un caracter permanent întrucât perturbaţiile se manisfestă în mod continuu asupra procesului.

Acţiunea efectivă asupra procesului se realizează prin intermediul unor elemente numite elemente de execuţie. Intervenţia asupra procesului este dată prin mărimile de comandă, u, care, aplicate elementelor de execuţie determină apariţia mărimilor de execuţie, m. Mărimile controlate sunt mărimile de ieşire, y.

Pentru un proces tehnic funcţionând în buclă deschisă, reprezentarea schematică este dată în Fig.1.2.

Fig.1.2.

Mărimea de ieşire a procesului, y, poate fi cunoscută prin

intermediul unor traductoare sau aparate de masură. Conducerea procesului tehnic poate fi formulată astfel: fiind

precizat obiectivul conducerii şi cunoscând în permanenţă mărimile măsurate, yr (corespunzătoare mărimilor de ieşire y), să se elaboreze mărimea de comandă u astfel încât să fie atins şi menţinut obiectivul conducerii.

Atunci când elaborarea şi aplicarea comenzilor se efectuează de către un operator uman, avem de a face cu o conducere manuală a procesului, iar când aceste comenzi sunt efectuate prin intermediul unor mijloace tehnice, fără intervenţia operatorului uman, conducerea procesului este automată.

1.1.2. Proces tehnic în buclă închisă

Schema de principiu a unui sistem de conducere a proceselor este dată în Fig.1.3.

Operatorul uman sau mijlocul tehnic de conducere primeşte în permanenţă informaţii prin intermediul mărimii măsurate, yr. Aceste valori sunt comparate cu valorile prescrise yp, iar pe baza rezultatului obţinut sunt elaborate mărimile de comandă, u.

v

Proces Tehnic, x

Elemente de execuţie

Traductoare, Aparate măs.

m y yr u

12


Acestea modifică, prin intermediul elementelor de execuţie EE mărimile de execuţie care schimbă starea procesului şi deci valorile măsurate, yr, ale mărimilor de ieşire, y.

Este evidentă, în structura acestui sistem, legătura inversă (feedback, reacţie negativă) ce permite aducerea evoluţiei mărimilor de ieşire, y, prin mărimile măsurate, yr, lânga valorile prescrise yp în vederea efectuării comparaţiei şi elaborării comenzii, u.

Fig.1.3.

Ansamblul format din procesul tehnic şi mijloacele tehnice care

asigură conducerea acestuia fără intervenţia operatorului uman se numeşte sistem automat.

Mijloacele tehnice capabile să asigure conducerea automată a proceselor se numesc echipamente de automatizare. Acestea sunt de obicei regulatoare (dacă elaborează legi de reglare standard) sau controlere (compensatoare) atunci când elaborează legi de comandă neconvenţionale. 1.2. Sisteme de reglare automată

Fiind dat procesul tehnic şi având impuse anumite performanţe, este necesară alegerea elementelor de execuţie şi a traductoarelor. Procesul tehnic, împreună cu EE şi traductorul reprezintă partea fixată a sistemului, ca în Fig.1.4. Semnificaţia elementelor şi a mărimilor care intervin este următoarea: EP – element de prescriere EC – element de comparaţie R – regulator

Elemente de execuţie

Operator uman sau mijloace

tehnice

v

Proces Tehnic.

yp u m y

Traductor şi adaptor

yr

13

Mitică Temneanu

EE – element de execuţie PT – proces tehnic Tr – traductor PF – partea fixată a sistemului EA – echimpamentul de automatizare yp = mărimea prescrisă yr = mărimea măsurată r = mărimea de referinţă ε = r- yr = abaterea u = mărimea de comandă m = mărimea de execuţie v = perturbaţia y = mărimea de ieşire

Fig.1.4.

Uneori, din partea fixată fac parte numai PT şi EE, traductorul Tr

fiind evidenţiat separat, pe calea de reacţie. Prin traductor se întelege un ansamblu format dintr-un element

sensibil şi un adaptor capabil să transforme mărimea de ieşire y în mărimea de reacţie yr (mărimea măsurată), având aceeaşi natură fizică şi acelaşi domeniu de variaţie cu mărimea de referinţă, r.

La rândul său, referinţa r este furnizată de către elementul de prescriere EP care primeşte la intrare mărimea prescrisă, yp.

Elementul de comparaţie, EC, realizează diferenţa între referinţă şi mărimea măsurată şi furnizează abaterea ε = r- yr.

Regulatorul prelucrează abaterea ε (iar uneori şi mărimea măsurată yr ) în conformitate cu legea de reglare aleasă şi furnizează mărimea de comandă, u.

EP EE R PT

Tr

-y

yp

r

r ε u m y

vEC

PF EA

14


De multe ori, elementul de prescriere, elementul de comparaţie şi regulatorul formează un singur ansamblu care este numit în continuare „regulator”.

Mărimea de comandă u este aplicată elementului de execuţie EE, acesta furnizând mărimea de execuţie m prin intermediul căreia se modifică fluxul de energie şi substanţă ce intră în proces şi care, în final, modifică mărimea de ieşire y şi deci şi valoarea măsurată yr în scopul anulării abaterii ε.

In general, elementul de execuţie EE cuprinde un element de acţionare şi un element de reglare. Elementul de acţionare furnizează energia mecanică necesară elementului de reglare care acţionează efectiv asupra procesului tehnic.

Un sistem care realizează anularea abaterii ε indiferent de mărimile perturbatoare care actionează asupra procesului tehnic se numeşte sistem de reglare automată.

1.2.1. Tipuri de sisteme de reglare automată

In funcţie de obiectivul ce trebuie atins, deosebim:

• sisteme de rejecţie a perturbaţiilor, în care r = constant, rezultând y = constant, indiferent de evoluţia perturbaţiilor;

• sisteme de reglare automată cu program, în care r = f(t), funcţie cu o variaţie cunoscută;

• sisteme de urmărire, în care r = g(t), având o variaţie imprevizibilă.

Dacă asupra procesului tehnic acţionează perturbaţii ce infuenţează puternic o serie de mărimi intermediare, măsurabile ale procesului, este necesară realizarea unui sistem de reglare în cascadă, prevăzut cu un număr de regulatoare egal cu numărul mărimilor controlate din proces. O astfel de structură creşte viteza de reacţie a sistemului şi micşorează influenţa perturbaţiilor asupra mărimii de ieşire. 1.3. Etapele parcurse pentru implementarea unui sistem de control Pentru implementarea unui sistem de control automat este necesară parcurgerea mai multor etape. Mai întâi este necesară studierea sistemului/procesului tehnic ce urmează a fi controlat şi stabilirea senzorilor şi a elementelor de

15

Mitică Temneanu

execuţie/actuatorilor ce vor fi utilizaţi cât şi a locului în care aceste elemente vor fi amplasate în cadrul procesului. Urmează stabilirea unui model matematic pentru procesul ce urmează a fi condus iar, dacă este necesar, simplificarea modelului, fără a pierde elementele definitorii ale comportării acestuia. Se analizează apoi modelul rezultat, stabilind proprietăţile de bază ale acestuia. Pentru a se defini o strategie de control este necesară stabilirea mai întâi a performanţelor impuse sistemului de control. În funcţie de performanţele impuse şi de modelul matematic stabilit pentru sistemul supus controlului este necesară stabilirea tipului de controler ce urmează a fi utilizat. Urmează proiectarea controlerului astfel încât să permită atingerea de către sistem a performanţelor impuse. După stabilirea şi proiectarea controlerului urmează o etapă de simulare a comportării sistemului automat fie prin simulare pe computer fie prin utilizarea unui model fizic al sistemului propriu-zis. În funcţie de rezultatele obţinute prin simulare se poate stabili dacă strategia adoptată este una corespunzătoare, deci dacă sistemul controlat atinge performanţele impuse iniţial. Dacă rezultatele nu sunt chiar cele aşteptate, se reia procedeul descris de la început acordând o mai mare atenţie detaliilor care au fost neglijate într-o primă etapă, analizând pierderile de informaţii datorate simplificării modelului, ş.a.m.d. Dacă se constată că rezultatele obţinute prin simulare sunt corespunzătoare se poate trece la etapa următoare, aceea de stabilire a hardware-ului si software-ului necesar şi de implementare efectivă a controlerului. Urmează o etapă de verificare a sistemului de control realizat şi de acordare fină a parametrilor controlerului în vederea obţinerii şi menţinerii performanţelor impuse sistemului automat. 1.3.1. Stabilirea modelului matematic Modelul matematic al unui astfel de sistem poate fi obţinut, în principiu, în două moduri: a) Model stabilit pe baza aplicării legilor fizice, mecanice, din chimie, ş.a.m.d. Pe baza legilor care guvernează comportarea sistemului

16


respectiv se pot scrie ecuaţii diferenţiale ai căror coeficienţi depind de valorile cantitative ale anumitor parametri ai acestuia (mase, lungimi, densităţi, capacităţi, inductanţe etc). În general, aceste mărimi pot fi măsurate. Aceste metode de stabilire a modelului, pe baza legilor ce guvernează comportarea sistemului, e aplicabilă cu succes în sistemele electromecanice. Aici pot fi amintite vehicule (auto, electrice, navale, aeriene), roboţi ş.a.m.d. Există însă şi sisteme ale căror modele nu pot fi stabilite prin această medotă, fie din cauza unei complexităţi sporite, fie din cauza faptului că legile care guvernează comportarea acestora sunt necunoscute. De aceea este necesară stabilirea modelului printr-o altă metodă, şi anume: b) Model pe baza datelor experimentale (model experimental). Pentru a înţelege acest mod de stabilire a modelului unui proces tehnic, considerăm un proces simplu, având o singură intrare şi o singură ieşire. Considerăm că sistemul se află în repaus şi se aplică acestuia o mărime de intrare u. Sistemul va răspunde cu o variaţie a mărimii de ieşire, notată y. Se analizează mărimea de ieşire y prin prisma mărimii de intrare u. Experimentul se repetă de mai multe ori, obţinând un set de perechi de date (u,y). Considerăm că aceste date sunt singurele informaţii pe care le avem în legătură cu sistemul fizic supus modelării. Aceasta este situaţia cea mai severă, în care procesul este ca o „cutie neagră”, despre conţinutul interior al acesteia neavând nicio informaţie. De cele mai multe ori însă, există ceva informaţii despre sistem, chiar dacă acestea sunt obţinute pe baza unor simple observaţii. După efectuarea acestor experimente pot fi desprinse unele concluzii. Mai întâi, se va observa dacă, aplicând acelaşi semnal de intrare la momente de timp diferite, sistemul va răspunde în acelaşi mod. Apoi, menţinând mărimea de intrare la valoarea nulă, se poate observa dacă sistemul se manifestă în vreun fel. Sistemul fizic real produce doar o ieşire pentru o anumită intrare, deci este un sistem determinist. Totuşi, există o anumită nesiguranţă deoarece nu putem prevedea cu exactitate semnalul de ieşire. Ideal, orice model trebuie să acopere datele din experimente în sensul că ar trebui să fie capabil să producă orice pereche de date intrare-

17

Mitică Temneanu

ieşire observată experimental. Este evident că modelul ar trebui nu numai să acopere datele observate într-un număr finit de experimente, ci toate evoluţiile pe care le poate urma sistemul fizic real atunci când la intrarea acestuia se aplică un semnal oarecare. Dacă nondeterminismul care acoperă rezonabil domeniul de date vizat nu este inclus în model, nu se va putea avea încredere deplină că proiectarea bazată pe un astfel de model va funcţiona pe un sistem real. Pentru ca proiectarea sistemului de control să fie corectă, modelul sistemului trebuie să fie nondeterminist, având incertitudinile prezentate explicit. 1.4. Exemple de sisteme automate 1.4.1. Sistem de control a temperaturii unei încăperi

Considerăm un sistem pentru controlul temperaturii unei încăperi, care utilizează combustibil gazos, având structura de principiu dată în Fig.1.5.

Temperatura Izolaţie Mediu= actuală Temperatura

Fig.1.5.

Temperatura dorită (referinţa) este introdusă în sistem prin intermediul unui potenţiometru. Temperatura actuală din încăpere este

Pot.

Adaptor

Controler

dorită

Temperatura măsurată

Mărime de comandă

Intrare gaz

Arzător

Pierderi căldură

Aport căldură

Temperatura exterioară

Trad. Temp.

Debit Electrovalvă gaz gaz

18


măsurată prin intermediul unui traductor de temperatură (termocuplu, termorezistenţă). Diferenţa dintre aceste două valori este introdusă într-un controler (regulator). Acesta furnizează mărimea de comandă. Este comandată electrovalva prin care debitul de gaz este trimis catre arzător. Prin arderea combustibilului se va aduce un aport de caldură în încăpere. Pierderile de caldură au loc la nivelul pereţilor încăperii. Sarcina sistemului este aceea de a regla debitul de gaz trimis către arzător pentru a aduce temperatura din încăpere la valoarea dorită şi de a o menţine la această valoare. Orice diferenţă între valoarea dorită şi cea masurată a temperaturii va determina o modificare liniară a debitului de gaz trimis către arzător. Schema bloc asociată sistemului de reglare prezentat este dată în Fig.1.6. Traductorul, împreună cu adaptorul, au sarcina de a aduce valoarea masurată a temperaturii [°C] într-o mărime electrică [V], compatibilă ca domeniu de variaţie cu valoarea dorită a temperaturii [°C] prescrisă prin intermediul potenţiometrului [V]. Regimul staţionar se va atinge atunci când temperatura obţinută în încăpere şi cea dorită sunt egale, aportul de caldură adus de către arzător fiind egal cu pierderile prin pereţii încăperii.

Temp exterioară Debit Aport Eroare Mărime

Fig.1.6.

Controlul sistemului poate fi realizat în două moduri distincte:

• controlul continuu : deplasarea plunjerului electrovalvei este liniară, ea depinzând de nivelul erorii şi de modul de realizare a controlerului. Acest lucru va determina modificarea continuă a debitului de gaz către arzător, deci modificarea continuă a

Pot. Contro-

ler Valvă

gaz Arzător Încăpere

Traductor Adaptor

Temp. Dorită [°C]

[V] Comandă [V]

gaz [mc/s]

Căldură Izolaţie [°C] [W] Pierderi Temp

căldură obţin. [W] [V] [°C] -

- Temp măsurată [V]

19

Mitică Temneanu

aportului de caldură în încăpere. Această modalitate de control se aplică acolo unde precizia cu care se doreşte menţinerea temperaturii este suficient de mare (sub 1°C), costul menţinerii acestei temperaturi fiind liber (necondiţionat).

• controlul de tip „tot–sau–nimic” – (on-off): în această situaţie, controlul asupra electrovalvei este bipoziţional (complet deschis sau complet închis), aportul instantaneu de caldură fiind maxim sau egal cu zero. Acest mod de control produce oscilaţii ale temperaturii din încapere cu 2-3 °C sub sau peste valoarea dorită a temperaturii. Sistemul de control este necostisitor şi uşor de implementat, fiind utilizat acolo unde precizia cu care se doreşte obţinerea şi menţinerea temperaturii din încapere nu este foarte mare.

1.4.2. Controlul elevatorului unui avion Traiectoria în plan vertical a unui avion este controlată, în principal, prin intermediul elevatorului. La început, modificarea poziţiei elevatorului se făcea prin folosirea unor cabluri de oţel acţionate prin intermediul manşei avionului. In avioanele moderne, de mare viteză, deplasarea unghiulară a elevatorului se face prin intermediul unor servomecanisme capabile să dezvolte forţe mari asupra acestor suprafeţe. Comanda acestora este asigurată tot prin intermediul manşei. Sistemul de control al elevatorului este dat în Fig.1.7. Deplasarea unghiulară a manşei furnizează, prin intermediul potenţiometrului de prescriere, valoarea dorită (de referinţă) pentru unghiul elevatorului. Această valoare este comparată cu valoarea reală, măsurată, a unghiului elevatorului, diferenţa acestora constituind semnalul de eroare. Această eroare, prelucrată de către controler, este transformată într-un semnal de comandă către servovalva electrohidraulică (distribuitor). Acest semnal determină deplasarea sertarului distribuitorului şi a pistonului în cilindrul hidraulic, deplasare care determină modificarea poziţiei unghiulare a elevatorului. Prin deplasarea sertarului distribuitorului, apare o diferenţă de presiune între cele două camere ale cilindrului hidraulic, asigurând forţa necesară modificării poziţiei elevatorului.

20


Unghi

Fig.1.7.

Servomecanismele electrohidraulice au un raport putere/greutate foarte bun, fiind ideale pentru aplicaţiile care necesită ca forţe mari să fie dezvoltate de către dispozitive de dimensiuni reduse. Schema bloc a sistemului de control este dată în Fig. 1.8. Semnalul de eroare, prelucrat de către controler în semnal de comandă, determină modificarea continuă a poziţiei sertarului distribuitorului şi deci a debitului de fluid ce intră în una sau în cealaltă dintre camerele cilindrului hidraulic.

Fig.1.8.

Controler

Unghi Fluid sub dorit dorit Coadă presiune avion Elevator

Piston Cilindru

Unghi

Traductor Unghi elevaţie

elevaţie Semnal de

comandă

Traductor Unghi dorit

Unghi măsurat

Manşă Bobină Distribuitor avion comandă distribuitor

Mărime Unghi Debit Comandă

Eroare Dorit fluid [V] Unghi [V] Forţă [grade] [mc/s] Actual

Pot. Contro-

ler servo valvă

Cilindru Piston Elevator

[N] [grade] [V]

Traductor Adaptor

- Proces Unghi EE

măsurat [V]

21

Mitică Temneanu

Diferenţa de presiune creată pe cele două feţe ale pistonului va determina deplasarea acestuia, într-un sens sau în celălat şi, implicit, modificarea poziţiei unghiulare a elevatorului. Sistemele de control acţionează atât timp cât există diferenţă între valoarea dorită şi cea masurată a unghiului elevatorului. Indiferent de procesul tehnic ce urmează a fi controlat, conducerea acestuia presupune cunoaşterea mărimii de ieşire a procesului, informaţie ce se obţine prin intermediul traductorului. În cazul procesului termic, traductorul furnizează informaţii cu privire la evoluţia temperaturii din încăpere, sarcina sistemului de reglare automată fiind aceea de a obţine şi de a menţine temperatura dorită. Pentru sistemul de control a poziţiei elevatorului unui avion, traductorul utilizat este de tip potenţiometric. În practică, pilotul avionului este asistat de către un simulator ce permite acestuia să ia decizii cu privire la deplasarea manşei, deci cu privire la valoarea dorită a unghiului elevatorului, ţinând cont de nivelul forţelor aerodinamice care acţionează în orice moment asupra acestuia, pentru a evita apariţia unor sarcini în exces asupra aripilor sau cozii avionului.

22


Capitolul 2 Sisteme de reglare automată monovariabile 2.1. Structura sistemului de reglare automată monovariabil Un sistem de reglare automată monovariabil este caracterizat prin faptul că are o singură marime de ieşire y şi o singură cale de reacţie negativă. Asupra acestui sistem pot acţiona mai multe mărimi de intrare: referinţa, perturbaţii şi zgomote. Schema bloc structurală a unui sistem de reglare automată monovariabil este dată în Fig.2.1.

Fig.2.1

Semnificaţiile funcţiilor de transfer şi a mărimilor care intervin sunt următoarele: C1,2(s) = funcţiile de transfer ale controlerelor aflate pe calea directă şi de reacţie a sistemului; G1,2(s) = funcţiile de transfer ale părţii fixate; Hr(s) = funcţia de transfer a traductorului; R(s) = transformata Laplace a mărimii de referinţă, r(t); ε(s) = transformata Laplace a abaterii; Yr(s) = transformata Laplace a mărimii de măsură (reacţie); U(s) = transformata Laplace a mărimii de comandă;

C1(s)

Hr(s)

G1(s) G2(s)

C2(s)

V2(s) V1(s) R(s) U(s) ε(s) Y(s)

Yr(s)

Z(s) +

+ + - -

-

+

23

Mitică Temneanu

V1,2(s) = transformata Laplace a mărimilor perturbatoare; Y(s) = transformata Laplace a mărimii de ieşire; Z(s) = transformata Laplace a zgomotului; Ţinând seama de structura sistemului de reglare automată, pot fi scrise următoarele relaţii: )s(V)s(G))s(V)s(G)s(U()s(Y 2211 −⋅−⋅= (2.1) )s()s(C)s(U 1 ε⋅= (2.2) )s(Y)s(R)s( r−=ε (2.3) )s(C))s(Z)s(Y)s(H()s(Y 2rr ⋅+⋅= (2.4) Inlocuind corespunzător, rezultă:

)s(V)s(G)s(V)s(G

)]s(C))s(Z)s(Y)s(H()s(R)[s(C)s(Y

2211

2r1

−⋅−⋅⋅⋅+⋅−= (2.5)

Se notează:

)s(G)s(G)s(G

)s(C)s(C)s(C

21

21

⋅=⋅=

(2.6)

Rezultă:

)s(V)s(V)s(G)s(Z)s(G)s(C)s(R)s(G)s(C)]s(H)s(G)s(C1[)s(Y

212

1r

−−−−=+⋅

(2.7)

Se obţine expresia lui Y(s):

)s(V

)s(H)s(G)s(C11)s(V

)s(H)s(G)s(C1)s(G

)s(Z)s(H)s(G)s(C1

)s(G)s(C)s(R)s(H)s(G)s(C1

)s(G)s(C)s(Y

2r

1r

2

rr

1

⋅+

−⋅+

−

⋅+

−⋅+

= (2.8)

Se fac notaţiile:

)s(H)s(G)s(C11)s(N

)s(H)s(G)s(C1)s(H)s(G)s(C)s(M

r

r

r

+=

+=

(2.9)

Rezultă:

24


)s(V)s(N)s(V)s(N)s(G

)s(Z)s(M)s(H

1)s(R)s(H

1)s(M)s(C

1)s(Y

212

rr2

−−

−−= (2.10)

Funcţia de transfer a sistemului deschis este: )s(H)s(G)s(C)s(H r= (2.11) Se poate scrie că:

)s(H11)s(N

)s(H1)s(H)s(M

+=

+=

(2.12)

cu proprietatea: (2.13) 1)()( =+ sNsMRezultă că mărimea de ieşire depinde atât de referinţa R(s), de perturbaţiile V1(s), V2(s) cât şi de zgomotul Z(s). Aceste dependenţe sunt prin intermediul lui M(s) si N(s). Se fac notaţiile:

• )s(H

1)s(M)s(C

1)s(Hr2

0 = = funcţia de transfer a sistemului

închis în raport cu referinţa;

• )s(M)s(H

1)s(Hr

z0 −= = funcţia de transfer a sistemul închis în

raport cu zgomotul; • = funcţia de transfer a sistemului închis în

raport cu perturbaţia V)s(N)s(G)s(H 21v0 −=

1; • = funcţia de transfer a sistemului închis în

raport cu perturbaţia V)s(N)s(H 2v0 −=

2; In aceste condiţii, expresia lui Y(s) devine:

)s(V)s(H)s(V)s(H)s(Z)s(H)s(R)s(H)s(Y 22v011v0z00 +++= (2.14) Se notează:

)s(V)s(H)s(Y

)s(V)s(H)s(Y)s(Z)s(H)s(Y

)s(R)s(H)s(Y

22V02V

11V01V

Z0Z

0R

=

===

(2.15)

25

Mitică Temneanu

Mărimile YR(s), YZ(s), YV1(s) şi YV2(s) reprezintă componentele mărimii de ieşire în raport cu referinţa, zgomotul, perturbaţiile V1 şi respectiv V2. Se poate scrie:

)s(Y)s(Y)s(Y)s(Y)s(Y 2V1VZR +++= (2.16)

2.1.1. Influenţa zgomotelor şi perturbaţiilor

Se observă că influenţele perturbaţiilor şi zgomotului în mărimea de ieşire sunt date şi de factorii M(s) şi N(s).

Micşorarea acestei influenţe poate fi obţinută prin micşorarea factorilor M(s) şi N(s).

Deoarece M(s) + N(s) = 1, rezultă că influenţa zgomotului şi a perturbaţiilor nu poate fi micşorată simultan în acelaşi domeniu de frecvenţă.

Atunci când zgomotele au nivele comparabile cu semnalele utile apare o problemă, în sensul că informaţia utilă este înnecată în zgomot şi nu poate fi uşor prelucrată. Zgomotul se manifestă de obicei în zona traductoarelor, la semnale mici.

In general, zgomotul se manifestă la frecvenţe înalte, iar perturbaţiile V1 şi V2 în domeniul frecvenţelor joase.

Este posibilă diminuarea simultană a efectelor zgomotului şi perturbaţiilor, dacă se micşoreaza M(s) în zona frecvenţelor înalte şi N(s) în zona frecventelor joase.

Spectrul de frecventă corespunzător zgomotului şi perturbaţiilor are aspectul din Fig.2.2.

Fig.2.2.

|V|, |Z| |V| |Z|

ω1 ω0

Deoarece M(s) şi N(s) depind de controlerele C1(s) şi C2(s), este necesară alegerea acestor controlere astfel încât la frecvente joase (ω < ω1) să

26


avem M(jω) ≅ 1 şi N(jω) ≅ 0, iar pentru (ω > ω1), la frecvenţe înalte, să avem |M(jω)| < |M(jω)|max.impus . In această manieră este posibilă obţinerea mărimilor de ieşire impuse prin rejectarea zgomotelor şi diminuarea efectului perturbaţiilor.

2.2. Abaterea şi eroarea sistemului automat monovariabil Deoarece în sistemul automat acţionează o singură mărime de referinţă, ne interesează numai abaterea şi eroarea în funcţie de aceasta. Consideram V1(s) = V2(s) = Z(s) = 0, deci mărimea de ieşire are numai componenta dată de referinţă, YR(s). Abaterea în raport cu referinţa este:

)s(R)s(H1

1)s(N)s(R)]s(M1)[s(R

)s(R)s(H

1)s(M)s(C

1)s(C)s(H)s(R

)s(C)s(Y)s(H)s(R)s(Y)s(R)s(

r22r

2RrrR

+==−=

=−=

=−=−=ε

(2.17)

Rezultă expresia abaterii: (2.18) )s(R)s(H)s( RR ε=εSe observă că abaterea depinde de funcţia de transfer a sistemului închis şi de referinţă. Sistemul automat functionează pe principiul abaterii, şi, de aceea, în general avem 0)s(R ≠ε Dacă legatura inversă este unitară, atunci Yr(s) = Y(s); C2(s) = Hr(s) = 1. În această situaţie diferenţa dintre mărimea de referinţă şi mărimea reglată se numeşte eroare, este notată ER(s) şi are expresia:

)s(Y)s(R)s(ER −= (2.19) Rezultă:

)s(R)s(G)s(C1

)s(G)s(C)s(R)s(E 1

R +−= (2.20)

adică:

)s(R)s(G)s(C1

1)s(ER += . (2.21)

27

Mitică Temneanu

Eroarea nu este generată şi nu acţionează în cadrul sistemului automat, ea fiind o mărime virtuală ce serveşte la definirea preciziei sistemului de reglare automată. 2.3. Sensibilitatea sistemului de reglare automată Considerăm că mărimea de ieşire y este afectată de modificarea unui parametru α. Dacă α se modifică, devenind α + α∆ , atunci mărimea de ieşire va deveni y + . y∆

Măsurând variaţiile relative αα∆ şi respectiv yy∆ ale parametrului α şi ale mărimii de ieşire y, putem defini sensibilitatea lui y la variaţiile parametrului α prin:

)(lnd)y(lnd

yddy

yylim

yylimS

00y

α=

αα

=α

α∆∆

=αα∆

∆=

→α∆→α∆α . (2.22)

Sensibilitatea defineşte influenţa pe care o are asupra mărimii de ieşire y modificarea parametrului α. Astfel, dacă α se modifică în valori relative cu a%, atunci y variază cu

şi devine . %aSy ⋅α %)aS1(y y ⋅+ α

Sensibilitatea astfel definită este o sensibilitate relativă, normată, ce oferă posibilitatea ordonării gradelor de influenţă a mai multor parametri asupra ieşirii. Astfel, dacă 1, modificările parametrului α se transmit

integral asupra ieşirii y, iar dacă 0 , atunci mărimea de ieşire nu este influenţată de variaţiile parametrului α.

Sy =α

Sy =α

Parametrii sistemului de reglare automată se modifică în timp, atât datorită schimbării proprietăţilor materialelor din care sunt realizate elementele componente sub acţiunea factorilor mediului înconjurător cât şi datorită uzurii. Ca urmare, apar modificări în funcţia de transfer a părţii fixate şi a traductorului. 2.3.1. Sensibilitatea funcţiei de transfer a căii directe a sistemului în raport cu un parametru Astfel, dacă funcţia de transfer a căii directe a sistemului, H(s), depinde de un parametru α, atunci sensibilitatea lui H(s) la variaţiile lui α este dată de:

28


α∂

∂=

αα∂∂

=α ln))s(H(ln)s(H)s(HS )s(H . (2.23)

Dacă funcţia de transfer H(s) se scrie ca un raport a două polinoame în s,

),s(Q),s(P)s(H

αα

= , (2.24)

atunci sensibilitatea devine:

α⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡αα∂

α∂−

αα∂α∂

=

=α∂

α−α∂=

α∂αα

∂=α

),s(Q1),s(Q

),s(P1),s(P

ln)),s(Qln),s(P(ln

ln

)),s(Q),s(P(ln

S )s(H

(2.25)

Considerăm un sistem de reglare automată care are funcţia de transfer a căii directe de forma:

Ts1

k)s(H+

= ; (2.26)

Considerăm că parametrii k şi T sunt afectaţi, pe rând, de un parametru α. 2.3.1.1. Influenţa parametrului asupra amplificării

1) ; 0kk ⋅α=Ts1k

)s(H 0+⋅α

= , T = constant; (2.27)

1k

)Ts1(Ts1

k)s(H

)s(HSS0

0)s(H)s(Hk =

α+α

+=

αα∂

∂== α . (2.28)

Sensibilitatea este 1, deci orice variaţie a factorului de amplificare a unui sistem de ordinul I se regăseşte integral în funcţia de transfer H(s), deci în ieşirea sistemului. Pentru 1k , 0 = 1=α , 2=α şi 3=α , răspunsul indicial al sistemului având funcţia de transfer H(s) este dat în Fig.2.3. Răspunsul sistemului este în relaţie totală cu α. Pentru:

• 2)1111(1)S1(kk2 )s(H

k0 =⋅+=αα∆

+=⇒=α (2.29)

• 3)1211(1)S1(kk3 )s(H

k0 =⋅+=αα∆

+=⇒=α (2.30)

29

Mitică Temneanu

2.3.1.2. Influenţa parametrului asupra constantei de timp

2) ; 0TT α=sT1

k)s(H0α+

= ; k = constant; (2.31)

Fig.2.3.

α=3

α=2

α=1

( )

sT1sT

k)sT1(

sT1skT

)s(H)s(HSS

0

0

02

0

0)s(H)s(HT

α+α

−=

=α+α

α+−=

αα∂

∂== α

(2.32)

În acest caz, sensibilitatea funcţiei de transfer în raport cu parametrul α este în funcţie de frecvenţă. Pentru , [s], 1k = 1T0 = 3,2,1=α situaţia este prezentată în Fig.2.4.

Fig.2.4.

α=3 α=2 α=1

30


Constantele de timp sunt T = 1 [s], 2 [s] şi 3 [s], valoarea de regim staţionar fiind aceeaşi. Pentru , avem , înseamnă că sensibilitatea lui H(s) în raport cu variaţiile constantei de timp nu influenţează regimul staţionar la o variaţie treaptă a referinţei.

0→s 0S )s(HT →

2.3.2. Sensibilitatea funcţiei de transfer în buclă închisă a sistemului în raport cu un parametru Se consideră sistemul având forma dată în Fig.2.5.

Fig.2.5.

Funcţia de transfer în buclă închisă este:

)s(H1

)s(H)s(H0 += ; (2.33)

Considerăm că funcţia de transfer depinde de un parametru α. )s(H0

Sensibilitatea lui la variaţia lui α este: )s(H0

( )

)s(H11S

)s(H11

)s(H)s(H

))s(H1)(s(H)s(H

)s(H))s(H1(

)s(H1

)s(H)s(H))s(H1()s(H

)s(H)s(H

S

)s(H

20

0)s(H0

+=

+α

α∂∂

=

=+α

α∂∂

=+α

⋅

⋅+

α∂∂

−+α∂

∂

−=α

α∂∂

=

α

α

(2.34)

Putem spune deci că:

)s(H1

1SS )s(H)s(H0

+= αα ; (2.35)

Rezultă că sensibilitatea lui în raport cu α este cu atât mai mică cu cât 1+H(s) este mai mare.

)s(H0

H(s) Y(s) ε(s) R(s)

-

31

Mitică Temneanu

Considerăm funcţia de transfer de ordinul I ,

Ts1

k)s(H+

= , (2.36)

plasată într-o buclă cu reacţie negativă unitară, aşa cum este prezentat în Fig.2.6.

Fig.2.6.

Funcţia de transfer în buclă închisă este:

sk1

T1

k1k

Tsk1k

Ts1k1

Ts1k

)s(H1)s(H)s(H0

++

+=++

=

++

+=+

= ; (2.37)

Rezultă:

sT1

k)s(H1

10 +

= (2.38)

unde:

k1

kk1 += ;

k1TT1 +

= . (2.39)

2.3.2.1. Influenţa parametrului asupra amplificării Considerăm că factorul de amplificare k al lui H(s) depinde de parametrul α, adică avem:

0kk α= ; 0

01 k1

kk

α+α

= ; 0

1 k1TTα+

= ; T=constant. (2.40)

Potrivit relaţiei anterioare, avem:

Tsk1

Ts1

Ts1k

1

11)s(H1

1SS00

)s(Hk

)s(Hk

0

+α++

=

+α

+⋅=

+= , (2.41)

k 1+Ts

Y(s) ε(s) R(s)

-

32


deoarece . Sensibilitatea este, de asemenea, funcţie de frecvenţă.

1S )s(Hk =

2.3.2.2. Influenţa parametrului asupra constantei de timp Dacă factorul de amplificare este fixat iar constanta de timp depinde de α, avem: k=constant, iar 0TT α= , avem: (2.42)

sTk1sT

sTk1sT1

sT1sT

)s(H11SS

0

0

0

0

0

0)s(HT

)s(HT

0

α++α

−=

=α++

α+α+

α−=

+=

. (2.43)

Se constată că şi este dependentă de frecvenţă. )s(HT

0S

Concluzii: Pentru o intrare treaptă unitară, r(t)=1(t), s

sR 1)( = , influenţa

parametrului α la nivelul regimului staţionar al sistemului în buclă închisă este:

000s

)s(Hk0s k1

1Tsk1

Ts1limSlim 0

α+=

+α++

=→→

(2.44)

Rezultă că modificarea factorului de amplificare a căii directe la valoarea determină modificarea factorului de amplificare al sistemului închis

de la valoarea 0kα

0

0k1

k+

(2.45)

la valoarea

)k1

11(k1

k

00

0αα∆

α++

+. (2.46)

Pentru , 1k 0 = 1=α , avem:

21

k1k

0

0 =+

. (2.47)

Pentru modificări ale parametrului α avem:

33

Mitică Temneanu

• 2=α , 32

64)

11

311(

21k1 ==⋅+=⇒=α∆ . (2.48)

• 3=α , 43

86)

12

411(

21k2 ==⋅+=⇒=α∆ . (2.49)

Acest rezultat este în concordanţă cu valoarea amplificării 0

0k1

kα+

α.

0)sTk1

sT(limSlim

0

00s

)s(HT0s

0 =α++

α−=

→→ (2.50)

Rezultă că, în regim staţionar, modificarea constantei de timp a căii directe la valoarea nu afectează valoarea de regim staţionar a sistemului în buclă închisă.

0Tα

Sensibilităţile calculate se manifestă în mod diferit la aplicarea unor semnale de referinţă sinusoidale de diferite pulsaţii, funcţiile de transfer corespunzătoare fiind diferite. 2.4. Sensibiliatea mărimii de ieşire în raport cu funcţia de transfer a părţii fixate Ţinând seama de structura sistemului de reglare automată prezentat iniţial şi de expresia mărimii de ieşire corespunzătoare variaţiei referinţei, se poate determina sensibilitatea lui în raport cu funcţia de transfer a părţii fixate.

)s(YR

)s(YR

)s(R)s(H)s(G)s(C1

)s(G)s(C)s(Y

r

1R +

= ; (2.51)

Rezultă:

)s(H11

)s(H)s(G)s(C11

)s(C)s(H)s(G)s(C1

)]s(H)s(G)s(C1[)s(H)s(G)s(C)s(C))s(H)s(G)s(C1)(s(C

)s(Y)s(G

)s(dG)s(dYS

r1

r

2r

r1r1

R

R)s(Y)s(G

R

+=

+=

+⋅

⋅+

−+=

=⋅=

(2.52)

Se obţine: . (2.53) )s(NS )s(Y

)s(GR =

34


2.5. Sensibiliatea mărimii de ieşire în raport cu funcţia de transfer a traductorului În acelaşi mod se determină sensibilitatea ieşirii în raport cu funcţia de transfer a traductorului, )s(Hr :

)s(H1)s(H

)s(H)s(G)s(C1)s(H)s(G)s(C

)s(G)s(C))s(H)s(G)s(C1()s(H

)]s(H)s(G)s(C1[)s(G)s(C)s(G)s(C

)s(Y)s(H

)s(dH)s(dYS

r

r

1

rr

2r

1R

r

r

R)s(Y)s(H

Rr

+−=

+−=

+⋅⋅

⋅+

−=⋅=

(2.54)

Rezultă: . (2.55) )s(MS )s(Y

)s(H/1R

r=

Dacă ţinem cont că 1)s(N)s(M =+ , rezultă că cele două sensibilităţi nu pot fi micşorate simultan. Dacă se micşorează sensibilitatea N(s) prin alegerea convenabilă a structurii controlerelor, 1)s(C >> , simultan are loc creşterea lui M(s). Pentru a evita manifestarea sensibilităţii ieşirii în raport cu traductorul este necesar deci ca acesta să fie făcut din materiale de foarte bună calitate şi cu o prelucrare foarte îngrijită. 2.6. Micşorarea sensibilităţilor sistemului de reglare automată Rezultă de aici că un sistem de reglare automată insensibil la variaţiile funcţiei de transfer a părţii fixate, 0)s(N = , asigură în acelaşi timp rejecţia perturbaţiilor, prin anularea componentelor mărimii de ieşire în raport cu acestea. Se poate scrie că:

)s(H1

1lg20N dB += ; (2.56)

Pentru pulsaţiile pentru care 1)s(H >> , avem:

dBdB H)s(Hlg20)s(H

1lg20N −=−=≅ ; (2.57)

iar pentru pulsaţiile pentru care 1)s(H << , avem:

35

Mitică Temneanu

001

1lg20N dB =+

≅ . (2.58)

Pentru sisteme deschise de tip 0 şi 1 (fără nici un pol sau cu un singur pol în origine), funcţiile de sensibilitate definite au aspectul dat în Fig.2.7 şi Fig.2.8, respectiv:

Fig.2.7.

Fig.2.8.

|H|dB

|M|dB

|N|dB

|M|dB

|H|dB

|N|dB

Se observă că sensibilitatea )j(N ω este o funcţie de frecvenţă şi că )j(N ω este cu atât mai mic cu cât 1)j(H >ω . Pentru valori joase ale frecvenţelor, deci pentru zona în care acţionează perturbaţiile, 0)j(N ≅ω (foarte mic) deci avem o rejecţie foarte bună a perturbaţiilor.

36

Tehnica reglării şi control automat Capitolul 3 Performanţele sistemelor de reglare automată Indicii de calitate ai unui sistem de reglare automată pot fi puşi în evidenţă pe baza răspunsului sistemului la semnale de tip treaptă, rampă sau sinusoidale. 3.1. Indici de calitate la variaţia treaptă a referinţei Răspunsul unui sistem de reglare automată la variaţia treaptă a semnalului de referinţă poartă numele de răspuns indicial. Deoarece în multe situaţii sistemul de reglare este de ordinul I sau II, se vor defini principalii indici de calitate făcând referire la aceste sisteme. 3.1.1. Indici de calitate pentru sistemul de ordinul I Considerăm un sistem de reglare automată de ordinul I, cu reacţie negativă unitară, având structura din Fig.3.1.

Fig.3.1.

Funcţia de transfer în buclă deschisă este:

Ts1KK

)s(H 1+

= (3.1)

Calculând funcţia de transfer a sistemului închis, se obţine:

s

KK1T1

KK1KK

Ts1KK1

Ts1KK

)s(H1)s(H)s(H

1

1

1

1

1

0

++

+=

++

+=+

= ; (3.2)

K1 K 1+Ts

Y(s) ε(s) R(s)

37

Mitică Temneanu

Notăm:

KK1

KKK

1

10 += factorul de amplificare (3.3)

KK1

TT1

0 += constanta de timp (3.4)

Rezultă:

sT1

K)s(H

0

00 +

= (3.5)

Pentru sistemul închis se observă o micşorare a constantei de timp T de (1+K1K) ori şi o modificare a factorului de amplificare ce tinde către valoarea 1 atunci când produsul K1K are o valoare foarte mare. Răspunsul indicial al sistemului închis este de forma:

)e1(K)t(y 0Tt

0

−−= (3.6)

Valoarea de regim staţionar este: 0

tst K)t(ylimy ==

∞→ (3.7)

Reprezentarea grafică a răspunsului indicial este dată în Fig.3.2.

Timpul de răspuns tr se defineşte ca fiind timpul în care mărimea de ieşire a sistemului intră într-o bandă de dimensiuni 0K∆ (∆ = 2% sau ∆ = 5%) centrată pe valoarea de regim staţionar, K0. Astfel:

000Tt

0r K)1(KK)e1(K)t(y 0

r

∆−=∆−=−=−

(3.8) Pentru ∆ = 2% (0.02) se obţine 0%2r T4t ≅ , iar pentru ∆ = 5% (0.05) se

obţine 0%5r T3t ≅ . Eroarea staţionară este:

KK1

1K1y11

0stst +=−=−=ε (3.9)

Se observă că eroarea staţionară este cu atât mai mică cu cât factorul de amplificare K1 este mai mare (K este fix). Timpul de creştere tc este definit ca fiind timpul în care mărimea de ieşire ajunge la valoarea 0st K9.0y9.0 = .

38


Fig.3.2.

Rezultă:

0Tt

0c K9.0)e1(K)t(y 0

c

=−=−

Se obţine pentru timpul de creştere valoarea: (3.10) 0c T2.2t ≅ 3.1.2. Indici de calitate pentru sistemul de ordinul II De multe ori, în cadrul aplicaţiilor practice, modelul matematic al unui sistem de reglare automată este de ordinul II. Funcţia de transfer corespunzătoare unui astfel de sistem este:

2nn

2

2n

s2sK

)s(R)s(Y)s(H

ω+ξω+

ω== (3.11)

unde: ωn = pulsaţia naturală a sistemului ξ = factorul de amortizare

39

Mitică Temneanu

Dacă mărimea de referinţă este o treaptă, r(t) = r01(t), având transformata Laplace R(s) = r0/s, atunci valoarea de regim staţionar a mărimii de ieşire pentru acest sistem poate fi dedusă utilizând teorema valorii finale:

0

02nn

2

2n

0s

0s0stst

Krsr

s2sK

slim

)s(R)s(sHlim)s(sYlim)t(ylimy

=ω+ξω+

ω=

====

→

→→∞→

(3.12)

De cele mai multe ori, mărimea de ieşire are aspectul din Fig.3.3.

Fig.3.3.

Se pot defini următoarele mărimi:

• eroarea, )t(yr)t(y)t(r)t( 0 −=−=ε (3.13) • eroarea activă, sty)t(y)t( −=σ (3.14)

În regim staţionar, se pot defini: • eroarea staţionară, ( ) st0

tst yr)t(y)t(rlim −=−=ε

∞→ (3.15)

• eroarea staţionară relativă, procentuală,

%100)ry

1(100r

%0

st

0

stst ⋅−=⋅

ε=ε (3.16)

În regim dinamic, avem:

40


• eroarea activă maximă (depăşirea maximă) stmaxmax1 yy −=σ=σ (3.17) • eroarea activă, relativă, maximă (suprareglarea)

%100y

%st

1 ⋅σ

=σ (3.18)

• timpul de răspuns tr (durata regimului tranzitoriu) este intervalul de timp în care mărimea de ieşire intră într-o bandă sty∆ centrată pe yst: stst yy)t(y ∆<− pentru , unde ∆ = 2% (=0.02) sau ∆ = 5% (=0.05)

rtt >

• timpul de creştere, tc la 0.9yst • timpul de liniştire, tl, reprezintă timpul scurs de la aplicarea

referinţei până când mărimea de ieşire devine egală cu yst, după trecerea prin valoarea maximă.

• gradul de amortizare, 1

2σσ

=δ

• perioada de oscilaţie proprie, Tp Aceşti indici de calitate pot constitui obiective impuse în cadrul proiectării unui sistem de reglare automată. Considerăm acum un sistem de ordinul II având funcţia de transfer de forma:

2nn

2

2n

s2s)s(H

ω+ξω+

ω= , (K=1) (3.19)

Dacă se aplică o referinţă treaptă unitară, )t(1)t(r = , răspunsul indicial al sistemului este:

)t1sin(1

e1)t(y 2n2

tnϕ+ξ−ω

ξ−−=

ξω− (3.20)

unde:

2np 1 ξ−ω=ω este pulsaţia proprie de oscilaţie (3.21)

pp

2Tωπ

= este perioada proprie de oscilaţie (3.22)

Polii funcţiei de transfer sunt daţi de relaţia:

41

Mitică Temneanu

2nn2,1 1jp ξ−ω±ξω−= (3.23)

pentru un sistem oscilant cu răspunsul indicial având forma prezentată în figură. Momentele t1, t2 în care y(t) trece prin valorile maxime se obţin prin anularea derivatei:

0dt

)t(dy= (3.24)

adică:

0)t1sin(1

e 2n2

tn

n=ξ−ω

ξ−

ω ξω− (3.25)

Rezultă:

π=ξ−ω it1 i2

n , i = 1,2... (3.26) adică:

2

ni

1

itξ−ω

π= , i = 1,2... (3.27)

Valorile mărimii de ieşire corepunzătoare timpilor t1 şi t2 sunt:

21

1 e1)t(y ξ−

πξ−

+= (3.28)

21

2

2 e1)t(y ξ−

πξ−

−= (3.29) Rezultă:

21

1 e ξ−

πξ−

=σ (3.30)

21

2

2 e ξ−

πξ−

=σ (3.31) Se constată că avem: (3.32) 2

12 σ=σDin aceste relaţii rezultă că suprareglarea σ% depinde numai de factorul de amortizare ξ, dependenţa fiind dată în Fig.3.4. Valorile admise în practică sunt:

15.0

%16%0<ξ<≤σ<

(3.33)

42


Fig.3.4.

Gradul de amortizare δ devine:

21

1

2 e ξ−

πξ−

=σσ

=δ (3.34)

Deoarece , atunci, pentru o suprareglare maximă de 16% (0.16), vom avea , adică

212 σ=σ0256.02 =σ %56.22 =σ .

Această relaţie arată că răspunsul y(t) intră în banda de 5% înainte de apariţia amplitudinii , când regimul tranzitoriu este deja încheiat, timpul de răspuns t

2σr fiind mic.

Durata regimului tranzitoriu se determină din : str y)t( ∆≤σ , (3.35) adică, în acest caz

∆≤ξ−

ξω−

2

t

1

e rn, (yst = 1), (3.36)

deoarece 1)tsin( p ≤ϕ+ω . Rezultă:

n

2

r)1ln(

tξω

ξ−∆−= (3.37)

Deoarece 11 2 <ξ−∆ , logaritmul este negativ, rezultând tr>0. Pentru valorile curente ale lui ξ, considerând ∆ = 5% (0.05), pentru timpul de răspuns tr se obţin valorile date în Tabelul 3-1.

43

Mitică Temneanu

Tabelul 3-1. ξ 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

trωn 6.28 5.36 4.76 4.38 4.25

deoarece ξ

ξ−∆−=ω

)1ln(t

2

nr .

Se observă că pentru valori uzuale ale lui ξ, putem scrie că (acoperitor).

4t nr ≅ω

Performanţa care se impune sistemului cu privire la timpul de răspuns este de forma: (3.38) impusrr tt ≤

3.2. Performanţele sistemelor de reglare automată la variaţia treaptă a perturbaţiei Se consideră un sistem de reglare automată monovariabil, cu legătură inversă unitară şi aflat într-un regim staţionar, având mărimea de ieşire egală cu y0. Dacă r(t)=0 şi se aplică o treaptă la nivelul perturbaţiei, , există două variaţii posibile ale mărimii de ieşire ca în Fig.3.5. şi Fig.3.6.

)t(1v)t(v 0=

Fig.3.5. Fig.3.6.

Deoarece perturbaţia şi mărimea de ieşire sunt două mărimi de natură fizică diferită, se utilizează eroarea activă provocată de perturbaţie: 0stst yy −=σ (3.39) În situaţia prezentată în Fig.3.5 avem: 0,yy st0st =σ= ,

44

Tehnica reglării şi control automat iar în situaţia prezentată în Fig.3.6 avem: 0,yy st0st ≠σ≠ . În cazul studierii regimului staţionar obţinut la variaţia perturbaţiei, deosebit de importantă este caracteristica statică yst=f(v). Considerăm caracteristica statică dată în Fig.3.7, liniară pe întreg domeniul de variaţie al perturbaţiei [0,vmax], numit domeniu de proporţionalitate al sistemului automat.

yst

y0

±σst2 σst1

yk

∆Vm

Fig.3.7.

vmax vvk 0

În cazul sistemelor de reglare automată ideale, funcţionarea în regim staţionar are loc pe caracteristica ideală, trasată cu linie plină. Astfel, unei valori vk a perturbaţiei îi corespunde o singură valoare yk a mărimii de ieşire, eroarea staţionară fiind 1stσ . În funcţie de eroarea activă staţionară determinată pe caracteristica ideală, se defineşte statismul sistemului:

k

1st

vS

σ= (3.40)

Sistemele de reglare automată reale prezintă imperfecţiuni (frecări, jocuri, histerezis) care determină o zonă de insensibilitate de lăţime constantă, centrată pe caracteristica ideală. Din această cauză, pentru o valoare vk a perturbaţiei se introduce o eroare activă staţionară . 2stσ±Unei valori yk a mărimii de ieşire îi corespunde o mulţime de valori pentru perturbaţii, cuprinse în zona ∆vm, centrată pe valoarea vk. Această zonă este numită zona moartă a perturbaţiei.

45

Mitică Temneanu

Ca urmare, eroarea activă staţionară ce determină calitatea sistemului de reglare automată este: 2st1stst σ±σ=σ (3.41) Micşorarea erorii active staţionare poate fi făcută prin acordarea regulatorului automat, caz în care se micşorează 1stσ şi prin folosirea unor elemente de calitate şi cu o execuţie îngrijită, când se micşorează

. 2stσSistemele de reglare automată la care valoarea erorii active staţionare nu depinde de perturbaţie (S = 0) se numesc astatice (Fig.3.5), iar cele la care eroarea activă staţionară depinde de perturbaţie (Fig.3.6) se numesc statice. Pentru majoritatea sistemelor de reglare automată avem: 0S,0,yy st0st <<σ< . (3.42) Se întâlnesc şi sisteme de reglare automată la care S>0, numite sisteme cu statism invers. 3.3. Indici de performanţă puşi în evidenţă prin folosirea răspunsului la frecvenţă Aceste performanţe ale sistemului de reglare automată pot fi definite pornind de la locul de transfer sau de la caracteristicile atenuare-frecvenţă şi fază-frecvenţă (diagrama Bode). 3.3.1. Indici de performanţă pentru sistemul deschis Se consideră locul de transfer al sistemului deschis, în planul căruia este trasat cercul cu centrul în origine şi de rază unitară, ca în Fig.3.8. Se pot defini următorii indici de calitate:

• marginea de amplificare:

)j(H

1mAπω

= (3.43)

pentru: (3.44) π−=ωπ )j(HargMarginea de amplificare astfel definită ne arată de câte ori putem creşte amplificarea la pulsaţia ωπ.

46

Tehnica reglării şi control automat Pentru un sistem stabil, avem 1)j(H <ωπ , rezultă . 1mA >Se poate defini marginea de amplificare în decibeli prin: (3.45) )mlg(20m AdBA =

Valori tipice pentru marginea de amplificare sunt: , deci [dB]. (3.46) 2mA ≥ 6m dBA ≥

ImH(jω)

1

Fig.3.8.

• marginea de fază:

)j(Harg180m 1F ω+°= (3.47) pentru: 1)j(H 1 =ω (3.48) În aceste expresii, ω1 reprezintă pulsaţia pentru care locul de transfer intersectează cercul cu centrul în origine şi de rază 1. Valoarea modulului în acest caz este 1, adică 1)j(H 1 =ω (de aici şi indicele 1 pentru ω). Valoarea ωπ este pulsaţia pentru care locul de transfer intersectează semiaxa reală negativă, deci acolo unde faza este de -180°,

π−=ωπ )j(Harg (de aici şi indicele π pentru ω).

ReH(jω) (-1, j0)

mA

ω = 0

ω = ∞

ω1

ωπ

|H(jω1)|=1

|H(jωπ)|=1/mA

mF

47

Mitică Temneanu

Valori tipice pentru o margine de fază corespunzătoare sunt . ]60,30[mF °°∈

Marginile de amplificare şi de fază pot fi evidenţiate şi pe diagramele Bode construite pentru sistemul deschis. În Fig.3.9 sunt prezentate caracteristicile Bode, orientative, fiind evidenţiate marginile de fază şi de amplificare pentru un sistem stabil.

Fig.3.9.

HdB(ω)

mA dBωπ ω1

ω[dec]

φ(ω)

ω[dec] mF

-180°

3.3.2. Indici de performanţă pentru sistemul închis Considerăm caracteristica atenuare-frecvenţă a sistemului închis dată în Fig.3.10. Principalii indici de calitate puşi în evidenţă pe această caracteristică sunt:

• banda de trecere a sistemului, ωB. Această valoare este pulsaţia în care )j(H0 ω scade până la valoarea 0.707 H0(0), unde H0(0) este atenuarea corespunzătoare pulsaţiei nule.

48


Fig.3.10.

|H0(jω)| H0(ωr)

H0(0) 0.707H0(0)

ωr ωB

ω

Avem:

3)0(Hlg202

)0(Hlg20)j(H 0

0dBB0 −==ω [dB] (3.49)

deoarece:

32

1lg20 −= [dB]. (3.50)

Performanţa impusă sistemului de reglare legată de banda de trecere este: (3.51) impusBB ω≥ω

• factorul de rezonanţă

Acesta se defineşte prin relaţia:

)0(H

)j(HQ

0

r0 ω= (3.52)

Dacă se are în vedere un sistem de ordinul II cu funcţia de transfer:

2nn

2

2n

0s2s

)s(Hω+ξω+

ω= (3.53)

atunci:

2n

22222n

2n

004)(

)j(H)(Hωωξ+ω−ω

ω=ω=ω (3.54)

Valoarea maximă se obţine pentru pulsaţia rω pentru care avem:

0d

)(dH0 =ωω

(3.55)

Rezultă:

49

Mitică Temneanu

2nr 21 ξ−ω=ω (3.56)

unde este pulsaţia de rezonanţă. rωBanda de trecere pentru acest sistem se obţine din relaţia:

2

1

4)()(H

2n

2B

222B

2n

2n

B0 =ωωξ+ω−ω

ω=ω (3.57)

Rezultă de aici că factorul de rezonanţă este:

20

r0

212

1)0(H

)j(HQ

ξ−ξ=

ω= (3.58)

relaţie care se obţine prin înlocuirea lui ω cu ωr în expresia lui |H0(jω)|. Factorul de rezonanţă depinde deci numai de factorul de amortizare ξ. Banda de trecere ωB calculată din relaţia (3.57) are expresia:

24421 242nB +ξ−ξ+ξ−ω=ω (3.59)

Aceasta depinde atât de factorul de amortizare ξ cât şi de pulsaţia naturală a sistemului ωn , ca în Tabelul 3-2: Tabelul 3-2.

ξ 0.5 0.6 0.7 0.8 ωB 1.27ωn 1.15 ωn ≈ωn 0.76 ωn

Se consideră un sistem de ordinul I având funcţia de transfer:

sT1

K)s(H

0

00 +

= (3.60)

Răspunsul la frecvenţă este:

0

00 Tj1

K)j(H

ω+=ω (3.61)

20

20

0T1

K)j(H

ω+=ω (3.62)

Banda de trecere se deduce din:

2

K2

)0(H

T1

K)j(H 00

20

2B

0B0 ==

ω+=ω (3.63)

Rezultă 0B T1=ω .

50

Tehnica reglării şi control automat Pentru un sistem de ordinul I, valoarea maximă a atenuării este H0(0), deci nu se poate vorbi de un factor de rezonanţă Q. Pentru un sistem de ordinul I, caracteristica atenuare-frecvenţă este dată în Fig.3.11.

Fig.3.11.

|H0(jω)| H0(0)

0.707H0(0)

ωB

ω

3.4. Precizia sistemelor de reglare automată Considerăm un sistem de reglare automată cu legătură inversă unitară, ca în Fig.3.12.

Fig.3.12.

Vom aplica principiul superpoziţiei, considerând Y(s) ca depinzând mai întâi de R(s) (pentru V(s)=0) şi apoi de V(s) (pentru R(s)=0). Rezultă:

)s(R)s(G)s(G)s(C1

)s(G)s(G)s(C)s(Y21

21R +

= (3.64)

)s(V)s(G)s(G)s(C1

)s(G)s(Y21

2V +

−= (3.65)

Notăm:

R(s) U(s) Y(s) -V(s)

ε(s) G2(s) C(s) G1(s)

-Yr(s)

51

Mitică Temneanu

)s(G)s(G)s(G 21= (3.66) )s(G)s(C)s(H = (3,67) Rezultă:

)s(V)s(H1

)s(G)s(R)s(H1

)s(H)s(Y)s(Y)s(Y 2VR +

−+

=+= (3.68)

Eroarea este: )s(Y)s(R)s( −=ε (3.69) adică:

)s(V)s(H1

)s(G)s(R

)s(H1)s(H)s(R)s( 2

++

+−=ε (3.70)

Rezultă:

)s(V)s(H1

)s(G)s(R)s(H1

1)s( 2+

++

=ε (3.71)

Notăm:

)s(H11)s(H R +

=ε funcţia de transfer a erorii în raport (3.72)

cu referinţa

)s(H1)s(G)s(H 2

V +=ε funcţia de transfer a erorii în raport (3.73)

cu perturbaţia Rezultă: )s(V)s(H)s(R)s(H)s( VR εε +=ε (3.74) 3.4.1. Precizia sistemelor de reglare automată în raport cu referinţa Considerăm că referinţa aplicată sistemului este un semnal de tip treaptă, rampă sau parabolă. Pentru aceste semnale, transformatele Laplace corespunzătoare sunt:

• s1)s(R = pentru r(t) = 1(t)

• 2s1)s(R = pentru r(t) = t

• 3s2)s(R = pentru r(t) = t2

52

Tehnica reglării şi control automat Putem scrie, în general:

α=

s1)s(R , cu

• , pentru r(t) = 1(t) 1=α• , pentru r(t) = t 2=α• , pentru r(t) = t3=α 2 Considerăm că sistemul este asimptotic stabil, adică toţi polii funcţiei de transfer ai sistemului închis se găsesc în semiplanul stâng al planului complex. Pentru funcţia de transfer a sistemului deschis considerăm o scriere

de forma γ

∗=

s)s(H)s(H , unde reprezintă acea parte din

funcţia de transfer H(s) care rămâne după separarea polilor în origine prin termenul

)s(H∗

γs .Numărul de poli în origine este γ, iar ( nu mai are alţi poli în origine).

0)0(H0 ≠∗ )s(H∗

Se spune că un sistem de reglare automată este precis în raport cu referinţa dacă: 0)t(lim

t=ε

∞→ (3.75)

Aplicând teorema valorii finale, putem scrie: )s(R)s(sHlim)s(slim)t(lim R

0s0stst ε

→→∞→=ε=ε=ε (3.76)

Rezultă:

)s(Hs

slims1

s)s(H1

1slim)s(slim1

0s0s0sst ∗γ

α−+γ

→α

γ

∗→→ +=

+

=ε=ε (3.77)

unde ...,3,2,1,0;...,3,2,1 ∈γ∈α 1. Pentru semnalul treaptă, α=1:

,)s(Hs

slim)s(slim0s0s

st ∗γ

γ

→→ +=ε=ε (3.78)

Rezultă:

53

Mitică Temneanu

• 0pentruk1

1)0(H1

1

pst =γ

+=

+=ε

∗ (3.79)

• 1pentru0st ≥γ=ε Reprezentarea grafică a acestor două situaţii este dată în Fig.3.13 ( , γ = 0 )şi Fig.3.14 ( ,γ ≥ 1).

1=α1=α

Fig.3.13. Fig.3.14.

2. Pentru semnalul rampă unitară, α=2:

)s(Hs

slim)s(slim1

0s0sst ∗γ

−γ

→→ +=ε=ε (3.80)

Rezultă:

• 0pentru,st =γ∞=ε

• 1pentru,k1

)0(H1

vst =γ==ε

∗. (3.81)

• 2pentru,0st ≥γ=ε ,

unde , (3.82) )0(H)s(sHlimk0s

v∗

→==

este coeficientul erorii de viteză. Reprezentarea grafică a acestor situaţii este dată în Fig.3.15(α = 2, γ = 0 ), Fig.3.16 (α = 2, γ = 1 ) şi Fig.3.17 (α = 2, γ ≥ 2 )

54


Fig.3.15. Fig.3.16.

Fig.3.17.

Se observă că, în cazul α = 2 eroarea este infinită pentru γ = 0, constantă pentru γ = 1 şi egală cu zero pentru γ ≥ 2.

3. Pentru o referinţă tip parabolă, α=3:

)s(Hs

slim)s(slim2

0s0sst ∗γ

−γ

→→ +=ε=ε (3.83)

Rezultă:

• 1,0pentru,st =γ∞=ε

• 2pentru,k1

)0(H1

ast =γ==ε

∗ (3.84)

• 3pentru,0st ≥γ=ε

55

Mitică Temneanu

unde , (3.85) )0(H)s(Hslimk 20s

a∗

→==

este coeficientul erorii de acceleraţie. Reprezentarea grafică este dată în Fig.3.18(α = 3, γ = 0,1 ),Fig.3.19 (α = 3, γ = 2 ) şi Fig.3.20 (α = 3, γ ≥ 3 )

Fig.3.18. Fig.3.19.

Fig.3.20.

Se observă că, în cazul α = 3, eroarea este infinită pentru γ = 0 şi γ = 1, constantă pentru γ = 2 şi egală cu zero pentru γ ≥ 3. Eroarea staţionară de poziţie este nulă numai dacă funcţia de transfer a sistemului deschis are cel puţin un pol în origine. Celelalte erori se anulează dacă funcţia de transfer are în origine un pol având ordinul de multiplicitate mai mare sau egal cu α.

Situaţiile prezentate sunt date sintetic în Tabelul 3-3:

56

Tehnica reglării şi control automat Tabelul 3-3.

Referinţa 1(t), (α=1) t, (α=2) t2, (α=3)

R(s) s1 2s

1 3s2

0 pk1

1+

∞ ∞

1 0 vk

1 ∞

2 0 0 ak

1

Numărul de poli în origine ai lui H(s),

γ

≥3 0 0 0

În consecinţă, rezultă că precizia sistemului de reglare automată creşte odată cu ordinul polului în origine pentru funcţia de transfer a sistemului dechis. Dar, pentru γ≥2, sistemul deschis devine instabil, iar stabilizarea sistemului închis devine dificilă. Atunci când eroarea este finită, valoarea sa depinde de factorul de amplificare al sistemului deschis şi scade cu creşterea acestuia. Micşorarea erorii staţionare prin creşterea factorului de amplificare trebuie făcută cu grijă deoarece mărirea acestuia duce la micşorarea rezervei de stabilitate a sistemului. Concluzii: Un sistem de reglare automată este precis în raport cu referinţa (treaptă, rampă, parabolă, ...) dacă eroarea staţionară calculată în raport cu aceasta este nulă.

Reluăm expresia erorii staţionare pentru referinţa α

=s1)s(R :

)s(Hs

slim1

0sst ∗γ

α−+γ

→ +=ε (3.86)

Pentru ca această eroare să fie nulă, este necesar ca 11 ≥α−+γ , adică α≥γ , unde γ reprezintă ordinul de multiplicitate pentru polul în origine

al funcţiei de transfer a sistemului deschis.

57

Mitică Temneanu

Acest lucru este evident pentru un sistem de reglare automată, analizând tabelul care sintetizează nivelul erorii în raport cu γ şi α.

Pentru o referinţă α

=s1)s(R , sistemul de reglare automată este precis

dacă funcţia de transfer a sistemului deschis are în origine un pol de ordin α≥γ , are o eroare staţionară finită dacă 1−α=γ şi o eroare staţionară

infinită dacă . 1−α<γ Privind expresia funcţiei de transfer a sistemului deschis, se poate preciza imediat, în funcţie de tipul referinţei şi de ordinul polului în origine, nivelul erorii staţionare (zero, finită, infinită). 3.4.2. Precizia sistemelor de reglare automată în raport cu perturbaţia Pentru sistemul de reglare automată prezentat în Fig.3.12, avem:

)s(V)s(H)s(V)s(H1

)s(G)s(Y V

2V ε=

+= (3.87)

Considerăm acum R(s)=0. Perturbaţia o vom considera de tip treaptă, rampă sau parabolă, având transformata Laplace:

α=

s1)s(V , α = 1, 2, 3...

Valoarea de regim staţionar a componentei mărimii de ieşire în raport cu perturbaţia se determină pe baza teoremei valorii finale:

)s(Hslim

s1)s(sHlim

)s(V)s(sHlim)s(sYlim)t(ylimy

V1

0sV

0s

V0s

V0s

VtstV

εα−

→αε→

ε→→∞→

==

====

(3.88)

Dacă sistemul considerat este strict stabil, având toţi polii funcţiei de transfer în semiplanul stâng al planului complex, atunci condiţia ca să fie nulă este:

)s(H Vε

stVy

(3.89) 0)s(Hslim V1

0s=ε

α−

→

58

Tehnica reglării şi control automat Dacă funcţia de transfer conţine, în origine, un zerou având

ordinul de multiplicitate γ, atunci avem , unde

.

)s(H Vε

)s(Hs)s(H VV∗ε

γε =

0)0(H V ≠∗ε

Condiţia anterioară devine: (3.90) )s(Hslim)s(Hsslimy V

10s

V1

0sstV ε+α−γ

→ε

γα−

→==

Pentru 0y stV = , rezultă 11≥+α−γ , adică α≥γ . Rezultă că ) trebuie să aibă în origine un zerou având ordinul de multiplicitate

s(H Vεα≥γ .

Dar:

)s(G)s(C1

)s(G)s(H1

)s(G)s(H 22V +

=+

=ε (3.91)

Deoarece şi ) sunt fixate, rezultă că zeroul căutat pentru nu poate să provină decât de la produsul , acesta

trebuind să aibă un pol în origine de ordin de multiplicitate γ, adică:

)s(G 2 s(G)s(H Vε )s(G)s(C

γ

∗∗=

s)s(G)s(C)s(G)s(C , având (3.92) 0)0(G)0(C ≠∗∗

Rezultă:

)s(G)s(Cs

)s(Gs

s)s(G)s(C1

)s(G)s(H 22

V ∗∗γ

γ

γ

∗∗ε+

=

+

= (3.93)

Deoarece polul în origine considerat este pol pentru funcţia de transfer a căii directe H(s), rezultă că avem două situaţii:

• În cazul în care partea fixată are un pol în origine prin componenta G1(s), atunci controlerul C(s) trebuie să conţină în origine un pol cu ordinul de multiplicitate egal cu diferenţa dintre γ şi ordinul polului în origine al lui G1(s):

β

∗=

s)s(G)s(G 1

1 , , (3.94) 0)0(G1 ≠∗

β−γ

∗

=s

)s(C)s(C , . (3.95) 0)0(C ≠∗

59

Mitică Temneanu

Rezultă:

)s(G)s(G)s(Cs)s(Gs

s)s(G)s(G)s(C

1

)s(G)s(H

21

2

21

2V ∗∗γ

γ

γ

∗∗ε+

=

+

= (3.96)

• Dacă în schimb, partea fixată are în funcţia de transfer un pol de ordin de multiplicitate β dat de componenta G2(s), atunci compensatorul C(s) este cel care trebuie să introducă polul cu ordinul de multiplicitate γ:

β

∗=

s)s(G)s(G 2

2 . (3.97) 0)0(G 2 ≠∗

Rezultă:

)s(G)s(G)s(Cs)s(Gs

s)s(G

)s(Gs

)s(C1

s)s(G

)s(H21

2

21

2

V ∗∗γ+β

γ

β

∗

γ

∗

β

∗

ε+

=

+

= (3.98)

Exemplul 3-1. Considerăm sistemul de reglare automată având schema bloc dată în Fig.3.21.

Fig.3.21.

Considerăm funcţia de transfer a părţii fixate dată prin:

)s31(s1)s(G)s(G)s(G 21 +

== ; (3.99)

Pentru controler, considerăm funcţia de transfer de forma:

ss51)s(C +

= (3.100)

R(s) U(s) Y(s) -V(s)

ε(s) G2(s) C(s) G1(s)

-Yr(s)

60

Tehnica reglării şi control automat Vom considera următoarele dou ituaţii: ă s

a) s31

)s(G1 += , 1

s)s(G2 = 1

ultă:

Rez

)s51()s31(s)s31(s

s1

)s31(ss511

s1

)s(G)s(C1)s(G)s(H

2

2

2

2V

+++

+=

=

+

++

=+

=ε

(3.101)

• Pentru variaţia treaptă a perturbaţiei, s1)s(V = , avem:

011(s1slim)s(V)s(sHlim 2

2

V =+

== ε (3s)s51()s31(s

)s3s

y0s0sstV

+++→→.102)

• Pentru variaţia rampă a perturbaţiei, 2s1)s(V = , av

em:

01s1

)s51()s31(s)s31(s

s1slim

)s(V)s(sHlimy V0sstV

22

2

0s≠=

+++

+=

==

→

(3.103)

b)

ε→

s1)s(G1 = ,

s311)s(G 2 +

=

Rezultă:

)s51()s31(ss

)s51()s31(s)s31(s

s311

)s31(ss511

1s31

1)s(G)s(C1

)s(G)s(H

2

2

2

2

2

2V =ε

+++=

+++

++

=

=

+

+++

=+

(3.104)

• Pentru variaţia treaptă a perturbaţiei, s1)s(V = , avem:

0sslim)s(V)s(sHlim 2

2

V === ε (3s1

)s51()s31(sy

0s0sstV+++→→

.105)

61

Mitică Temneanu

2s1)s(V = ,• Pentru variaţia rampă a perturbaţiei, a mve :

0)s31(ssslim)s(V)s(sHlim 20s

V0sst =

++==

→ε

→ (3.

s1

)s51(y 2

2

V+

106)

Concluzie: În situaţia (a) compensatorul C(s) şi G1(s) au împreună un singur pol în origine, rezultând 0y stV = numai pentru s aptă

s) şi G1

emnalul treunitară iar 1y stV = pentru semnalul rampă unitară. În situaţia (b), compensatorul C( (s) au împreună, în origine, un pol de ordinul II, în această situaţie avem 0y stV = , atât pentru o variaţie

a stetreaptă, cât şi pentru o variaţie rampă a perturbaţiei V(s). Rezultă că un sistem de reglare autom tă e precis în raport cu

perturbaţia pentruα

=1)s(V dacă funcţia de transfer a

spână în punctul în care intră perturbaţia, un pol în origine de ordinul

α≥

căii directe are,

γ . Exemplul 3-2. Considerăm sistemul de reglare automată având structura din Fig.3.22.

Fig.3.22.

Partea fixată are funcţiile de transfer:

Ts1+

k)s(G 11 =

sSă se aprecieze precizia sistemului în

k)s(G 22 =

raport cu referinţa şi perturbaţiile ntru semnale de tip treaptă sau rampă în situaţiile:

a) pe

c

b)

k)s(C =

ic sT

1k)s(C +=

Funcţia de transfer a căii directe este:

R(s) U(s) V (s) 1

Y(s) -

-C(s) G1(s) G2(s)

Y

V2(s) -ε(s)

r(s)

62

Tehnica reglării şi control automat )s(G)s(G)s(C)s(H 21= (3.107)

a) sTs1

k)s(H c += kk 21 (3.108)

eoarece H(s) are în origine un pol simplu, rezultă că sistem recis pentru o referinţă treaptă şi are o eroare staţionară finită la un semnal

pă.

st2V = pentru o treaptă v (t)=1(t) deoarece există un integrator

a directă până la intra

D ul este p

ramAvem 0ttanconsy st1V ≠= pentru o treaptă v1(t) deoarece nu avem un

integrator pe calea directă a sistemului până la intrarea perturbaţiei V1(s). Avem y 0 2

pe cale rea perturbaţiei V2(s).

b) sTs1sTi +

(3.109)

H(s) are pe calea directă un pol dublu în origine. R

kksTk1)s( 21ic+=H

ezultă că sistemul este is la referinţe treaptă şi ramp şi are o eroare staţionainţă tip parabolă.

prec ă ră finită la o referDeoarece avem un singur pol în origine până la intrarea perturbaţiei V1(s) în sistem, rezultă că sistemul este precis la o variaţie treaptă a perturbaţiei V1(s), are o eroare staţionară finită la o variaţie rampă şi infinită la o variaţie tip parabolă a perturbaţiei. Deoarece avem doi poli în origine până la intrarea perturbaţiei V2(s) în sistem, rezultă că sistemul este precis în raport cu V2(s) la o variaţie treaptă şi rampă şi are o eroare staţionară finită la o variaţie tip parabolă.Valorile efective pentru aceste mărimi pot fi determinate cu uşurinţă.

63

Mitică Temneanu

Capitolul 4 Corecţia sistemelor de reglare automată Se consideră un sistem de reglare automată ai cărui indicatori de performanţă nu se încadrează în limitele impuse, fiind necesară îmbunătăţirea acestor performanţe, atât în regim dinamic, cât şi în regim staţionar. Acest lucru se poate realiza prin introducerea în structura sistemului a unor elemente de corecţie. Rolul acestor elemente este de a deforma locul de transfer al sistemului deschis astfel încât să fie îndeplinite condiţiile de stabilitate şi de precizie. Dacă deformarea locului de transfer are loc în domeniul frecvenţelor situate în apropierea punctului critic (-1, j0) se modifică performanţele sistemului în regim tranzitoriu, iar dacă deformarea are loc în domeniul frecvenţelor joase şi foarte joase, se modifică comportarea în regim staţionar. Elementele de corecţie, realizate de obicei din elemente pasive, introduc atenuări şi de aceea ele sunt însoţite de elemente de amplificare capabile să compenseze parţial sau total atenuarea introdusă. Elementele de corecţie pot fi introduse în serie pe calea directă a sistemului, ca în Fig.4.1 sau în paralel, formând reacţii locale cu un element de pe calea directă, aşa cum este prezentat în Fig.4.2.

Fig.4.1.

Cel mai frecvent utilizat este elementul de corecţie serie. 4.1. Obiectivele corecţiei sistemelor de reglare automată Obiectivele avute în vedere prin introducerea corecţiei în sistemele de reglare automată se referă la stabilizarea sistemului, la îmbunătăţirea

Cor G(s) R(s) ε(s) Y(s)

-

64


performanţelor în regim tranzitoriu, sau la creşterea performanţelor în regim staţionar. Din punctul de vedere al modificărilor produse de către corector la nivelul locului de transfer, obiectivele descrise pot fi reprezentate grafic.

Fig. 4.2.

În Fig.4.3, sistemul necorectat (1) este instabil (lasă punctul critic (-1,j0) în dreapta locului de transfer parcurs de la ω=0 către ω=+∞), iar sistemul corectat este stabil, rezultând o anumită margine de fază şi de amplificare.

Fig. 4.3.

În Fig.4.4, sistemul iniţial (1) este stabil, având o margine de amplificare şi de fază necorespunzătoare. Se intervine asupra locului de transfer în zona punctului critic (-1, j0) şi se modifică marginea de fază şi de amplificare, ameliorându-se comportarea în regim tranzitoriu.

ReH(jω)

ImH(jω)

(-1, j0)

ω = ∞

ω1

(1)

(2)

ω = 0

G1(s) G2(s) ε(s) Y(s) R(s)

Cor

C(s) - -

65

Mitică Temneanu

Fig. 4.4.

ImH(jω)

În Fig.4.5, dintr-un sistem de tip „0” (fără niciun pol în origine pe calea directă), care prezintă o eroare de poziţie finită, se obţine, prin introducerea corectorului, un sistem de tip „1” care va asigura o eroare staţionară nulă la variaţia treaptă a referinţei.

Fig. 4.5.

ReH(jω) (-1, j0) ω = ∞

ω1

(1)

ω = 0

(2)

ImH(jω)

ReH(jω) (-1, j0) ω = ∞

ω = 0

ω1

(1)

(2) ω = 0

66


Stabilizarea sistemului, cât şi îmbunătăţirea performanţelor, poate fi evidenţiată cu uşurinţă, pentru un element de corecţie serie, prin analiza diagramelor Bode ale sistemului necorectat, ale corectorului şi ale sistemului corectat. Acest lucru este foarte facil deoarece, la un corector serie, caracteristicile sistemului compensat se obţin prin sumarea punct cu punct a caracteristicilor sistemului iniţial, necompensat, cu cele ale compensatorului. Dacă G(s) este funcţia de transfer a căii directe a sistemului necompensat, iar Hα(s) este funcţia de transfer a compensatorului, atunci, funcţia de transfer a căii directe a sistemului compensat este: )s(G)s(H)s(H α= (4.1) Răspunsul la frecvenţă este:

)j(Gargj)j(Hargj e)j(Ge)j(H)j(G)j(H)j(H ωωαα ωω=ωω=ω α (4.2)

Rezultă de aici: )j(G)j(H)j(H ωω=ω α (4.3) )j(Garg)j(Harg)j(Harg ω+ω=ω α (4.4) Ţinând cont că în diagramele Bode atenuarea este dată în dB, adică: )j(Hlg20)j(H dB ω=ω (4.5) se poate scrie că:

)j(Garg)j(Harg)j(Harg

)j(G)j(H)j(H dBdBdB

ω+ω=ω

ω+ω=ω

α

α (4.6)

Aceste ultime relaţii evidenţiază posibilitatea de obţinere a caracteristicilor sistemului compensat din celelalte două caracteristici prin sumarea acestora punct cu punct. Elementele de corecţie serie frecvent utilizate sunt:

• Corectorul cu avans de fază • Corectorul cu întârziere de fază • Corectorul cu avans şi întârziere de fază • Corectorul prin anulare

Fiecare dintre aceste elemente acţionează asupra locului de transfer în vederea atingerii obiectivelor stabilite.

67

Mitică Temneanu

4.2. Element de corecţie cu avans de fază Structura unui circuit de corecţie cu avans de fază realizat numai din elemente pasive este dată în Fig.4.6. Considerăm că elementul conectat la ieşirea corectorului are o impedanţă de intrare suficient de mare şi nu constituie o sarcină pentru acesta. Impedanţele corespunzătoare grupului paralel R1-C, şi respectiv rezistorului R2, sunt:

Fig. 4.6.

sC1||R)s(Z 11 = (4.7)

sC11

R1

)s(Z1

11+= (4.8)

adică:

22

1

11

R)s(ZCsR1

R)s(Z

=+

= (4.9)

Considerând circuitul ca fiind un divizor construit cu impedanţele Z1(s) şi Z2(s), ca în Fig.4.7, putem scrie:

)s(UR

CsR1R

R)s(U)s(Z)s(Z

)s(Z)s(U 1

21

1

21

21

22

++

=+

= (4.10)

U1(s)

C

R1 R2 U2(s)

68


Z1(s)

U1(s) Z2(s)

Fig. 4.7.

U2(s)

Funcţia de transfer a corectorului este:

CsR

RRR1

CsR1RR

R)s(U)s(U)s(H

121

2

1

21

2

1

2

++

++

==α (4.11)

Notăm:

21

2RR

R+

=α <1 (4.12)

CRT 1=α [s], constanta de timp (4.13) Rezultă funcţia de transfer:

sT1

sT1)s(H

α

αα α+

+α= (4.14)

4.2.1. Răspunsul la frecvenţă al corectorului cu avans de fază Răspunsul la frecvenţă al corectorului este:

α

αα αω+

ω+α=ω

Tj1Tj1

)j(H (4.15)

Expresia modulului şi a fazei sunt:

222

22

T1T1

)j(Hα

αα

ωα+

ω+α=ω (4.16)

)T(arctg)T(arctg)( ααα αω−ω=ωϕ (4.17) Caracteristica atenuare-frecvenţă este:

22222dB T1lg20T1lg20lg20)j(H ααα ωα+−ω++α=ω (4.18)

69

Mitică Temneanu

Pulsaţiile de frângere sunt: 121 T1,

T1

ω>α

=ω=ωαα

(α < 1).

• Asimptota de joasă frecvenţă: Pentru ,1ω<ω α=ωα lg20)j(H dB (4.19)

• Asimptota de medie frecvenţă: Pentru ,21 ω<ω<ω

)Tlg(20lg20

T1lg20lg20)j(H 22dB

α

αα

ω+α≅

≅ω++α=ω (4.20)

având o pantă de +20 [dB/dec]. • Asimptota de înaltă frecvenţă:

Pentru ,2ω>ω 0)Tlg(20)Tlg(20lg20)j(H dB =αω−ω+α≅ω ααα (4.21)

Valoarea defazajului pentru pulsaţii foarte joase sau foarte înalte este: 0)(lim)(lim

0=ωϕ=ωϕ α

∞→ωα

→ω (4.22)

(la pulsaţii mari, fiecare termen intervine cu 90°, unul cu plus, celălalt cu minus, rezultând valoarea 0). Putem deduce valoarea pulsaţiei ωαm pentru care φα(ω) are valoarea maximă din condiţia:

0d

)(d=

ωωϕα (4.23)

Deoarece α < 1, )T(arctg)T(arctg αα αω>ω , 0)( >ωϕα . Avem: )T(arctg)T(arctg)( ααα αω−ω=ωϕ (4.24)

0T1

TT1

Td

)(d22222 =

ωα+

α−

ω+=

ωωϕ

α

α

α

αα (4.25)

Rezultă: (4.26) 1T22

m =αω αα

α

=ωα

α T1

m (4.27)

Pentru această valoare a pulsaţiei, defazajul este maxim şi are valoarea:

70


)(arctg)1(arctg)()( mm α−α

=ωϕ=ωϕ ααα (4.28)

Rezultă:

α+α−

=ωϕα 11)(sin m (4.29)

de unde:

α+α−

=ωϕ=ωϕ ααα 11arcsin)()( mm (4.30)

Pentru această pulsaţie, valoarea modulului este:

α=

αα+

α+

α=ω

αα

αα

αα2

22

22

mT

T11

TT11

)j(H (4.31)

Cu aceste rezultate, pot fi trasate caracteristicile Bode ale corectorului Hα(s), Fig.4.8.

|Hα(jω)|dB

αT1

ααT1

Fig. 4.8.

4.2.2. Locul de transfer al corectorului cu avans de fază Pentru trasarea locului de transfer se reia răspunsul la frecvenţă:

0 ω[dec]20lgα

φ(ω)+90°φαm

0 ω[dec]ααT

1

71

Mitică Temneanu

222222

22

T1T)1(

jT1

T1

Tj1Tj1

)j(H

α

α

α

α

α

αα

ωα+

ωα−α+

ωα+

αω+α=

=αω+ω+

α=ω

(4.32)

Se notează:

222

222

22

T1T)1(

)j(HImV

T1T1

)j(HReU

α

αα

α

αα

ωα+

ωα−α=ω=

ωα+

αω+α=ω=

(4.33)

Pentru simplificarea scrierii, folosim notaţia: ααω= Tx (4.34) Rezultă:

2

2

2

x1x)1(V

x1xU

+

α−=

+

+α=

(4.35)

Pentru obţinerea locului de transfer, se elimină x între partea reală U şi partea imaginară V a funcţiei de transfer. Rezultă:

2

22

21V

21U ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α−

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+

− (4.36)

Locul de transfer este deci un cerc cu centrul în punctul )0,2

1(C α+ , şi

de rază 2

1R α−= .

Deoarece α < 1, avem V > 0, deci locul căutat pentru pulsaţii ω>0 este semicercul situat deasupra axei reale, ca în Fig.4.9. În practică, valorile maxime pentru φαm sunt în jurul valorii de 55°, corespunzătoare valorii α = 0.1. Pentru a compensa unghiuri mai mari de 55° este necesară introducerea a două corectoare serie, primul dimensionându-se pentru a compensa o parte din valoarea ce trebuie compensată, structura acestuia fiind

72


determinată pe baza elementelor sistemului iniţial (necompensat), iar al doilea dimensionându-se pe baza sistemului parţial compensat prin intermediul primului compensator.

φαmImHα(jω) Hα(jω)

Fig. 4.9.

4.2.3. Intervenţia corectorului cu avans de fază asupra locului de transfer al sistemului iniţial Modul în care compensatorul cu avans de fază modifică locul de transfer al sistemului este prezentat în Fig.4.10. Locul de transfer al sistemului iniţial, notat cu (1) arată că sistemul în buclă închisă este stabil, dar are o margine de fază şi de amplificare necorespunzătoare. Prin introducerea compensatorului cu avans de fază, locul de transfer al sistemului compensat, notat cu (2), se obţine prin compunerea punct cu punct a locului de transfer al sistemului iniţial şi a locului de transfer al compensatorului cu avans de fază, reprezentat prin semicercul situat în cadranul I. Concret, pentru o anumită pulsaţie ω*, modulul funcţiei de transfer al sistemului se modifică de la valoarea *)(H ω la valoarea *)(H*)(H ωω α iar argumentul se modifică de la valoarea *)(ωϕ la valoarea

*)(*)( ωϕ+ωϕ α . Cum 1*)j(H <ωα , rezultă că, pentru pulsaţia ω*, modulul funcţiei de transfer a sistemului compensat este mai mic decât modulul funcţiei de transfer a sistemului iniţial.

ReHα(jω)2

1 α+ α

ωαm

1ω=∞

73

Mitică Temneanu

Deoarece 0*)( >ωϕα , rezultă că argumentul funcţiei de transfer a sistemului compensat este mai mare decât argumentul funcţiei de transfer a sistemului iniţial. Aşa cum rezultă din Fig.4.10, se modifică în sensul îmbunătăţirii, atât marginea de fază cât şi marginea de amplificare.

Fig. 4.10.

Im

4.2.4. Intervenţia corectorului cu avans de fază asupra caracteristicilor Bode ale sistemului iniţial Efectul introducerii compensatorului cu avans de fază poate fi observat şi pe caracteristicile Bode prezentate în Fig.4.11. Având în vedere faptul că avem, pentru caracteristica atenuare-pulsaţie, o reprezentare logaritmică, acest lucru permite obţinerea caracteristicilor sistemului compensat prin sumarea caracteristicilor funcţiei de transfer a sistemului iniţial cu cele ale compensatorului cu avans de fază.

Re2

1 α+α 1

Hα(jω*)

ω=∞

ω=ω*

H(jω*)H(jω*)Hα(jω*) φ(ω*)

mF

mFc

(-1, j0)

φ(ω*)

ω=ω*

ω=ω*

(1)(2)

ω=0

74


Caracteristicile atenuare-frecvenţă şi fază-frecvenţă ale sistemului compensat (3) se obţin prin sumarea caracteristicilor sistemului iniţial (1) cu cele ale compensatorului cu avans de fază, (2) . Pe caracteristicile prezentate sunt evidenţiate marginile de fază şi de amplificare ale sistemului necompensat (n) şi compensat (c). Marginea de amplificare este definită , la nivelul acestor caracteristici prin dBA )j(H0m πω−= , unde ωπ este pulsaţia pentru care φ(ωπ) = -180°. Se observă că atât sistemul necompensat cât şi cel compensat au o margine de amplificare pozitivă, marginea de amplificare a sistemului compensat fiind mai mare. Marginea de fază este definită prin )(180m 1F ωϕ+°−= , unde ω1 este pulsaţia pentru care modulul funcţiei de transfer este 1, adică

0)j(H dB1 =ω . Pentru situaţia prezentată, se observă că atât sistemul necompensat cât şi sistemul compensat au o margine de fază pozitivă, sistemul compensat având o margine de fază foarte bună în comparaţie cu sistemul necompensat.

Fig. 4.11.

75

Mitică Temneanu

4.2.5. Corector cu avans de fază cu amplificare Introducerea compensatorului pe calea directă are ca efect micşorarea factorului de amplificare la frecvenţe joase. Această modificare este evidenţiată în caracteristica atenuare-frecvenţă (Bode) prin coborârea caracteristicii în zona frecvenţelor joase cu valoarea 20lgα. Acest lucru duce la înrăutăţirea regimului staţionar a sistemului închis. Dacă elementul cu avans de fază este combinat cu un amplificator, având factorul de amplificare k=1/α, atunci caracteristica atenuare-frecvenţă rămâne nemodificată în zona frecvenţelor joase. Funcţia de transfer a compensatorului devine:

sT1

sT1sT1

sT1k)s(H k

α

α

α

αα α+

+=

α++

α= (4.37)

În această situaţie, amplificarea compensatorului este unitară, echivalând cu ridicarea caracteristicii atenuare-frecvenţă cu 20lg k = -20lgα. Comportarea compensatorului este aceea a unui element derivativ cauzal, ca în Fig.4.12.

|Hα(jω)|dB

-20lgα

ααT1 0

αT1 ω[dec]

φ(ω)+90°φαm

0 ω[dec]

Fig. 4.12.

ααT1

76


4.2.6. Corector cu avans de fază şi amplificare realizat cu amplificator operaţional Structura unui astfel de element este dată în Fig.4.13.

C2

R2

Fig. 4.13.

Impedanţa de reacţie a circuitului operaţional este:

2

22 sC1||R)s(Z = (4.38)

adică:

22

22 CsR1

R)s(Z+

= (4.39)

În mod asemănător, impedanţa de intrare este:

11

11 CsR1

R)s(Z+

= (4.40)

Deoarece amplificatorul operaţional este inversor, s-a ataşat un inversor suplimentar pentru restabilirea fazei semnalului, rezultând pentru corector funcţia de transfer:

22

11

1

2

1

2CsR1CsR1

RR)1(

)s(Z)s(Z)s(H

++

=−−=α (4.41)

Se aleg valorile R2 şi R1 astfel încât să avem R2/R1=1. Constantele de timp sunt: 111 CRT =α [s] (4.42) 222 CRT =α [s], (4.43) 21 TT αα >Rezultă:

U2(s) U1(s)

R1

+

-

AO

C1

-1

77

Mitică Temneanu

sT1sT1

)s(H2

1

α

αα +

+= (4.44)


2

1Tj1Tj1

)j(Hα

αα ω+

ω+=ω (4.45)

Pentru această funcţie de transfer rezultă modulul:

2

22

21

2

T1

T1)j(H

α

αα

ω+

ω+=ω (4.46)

şi argumentul: )T(arctg)T(arctg)( 21 ααα ω−ω=ωϕ . (4.47) Raţionând în mod asemănător rezultă:

21

m TT1

ααα =ω , (4.48)

)TT

(arctg)TT

(arctg)()(1

2

2

1mm

α

α

α

αααα −=ωϕ=ωϕ (4.49)

Diagrama Bode corespunzătoare este dată în Fig.4.14.

|Hα(jω)|dB

Fig. 4.14.

2

1

TT

lg20α

α

2T1

α

0

1T1

α

ω[dec]

φ(ω)+90°φαm

0 ω[dec]

78


Exemplul 4-1. Se consideră un sistem de reglare automată având schema bloc dată în Fig.4.15.

Y(s) R(s) Hα(s) G1(s) G2(s)

-

Fig. 4.15.

Partea fixată este dată de:

s01.01

k)s(G1 += (4.50)

)s21(s

1)s(G 2 += (4.51)

Se pune problema determinării unui compensator care să asigure o margine de fază de 50° şi o eroare la treapta de viteză (semnal de intrare rampă unitară) de 2%. Funcţia de transfer a căii directe este:

)s21)(s01.01(s

k)s(G)s(G)s(H 21 ++== (4.52)

Deoarece sistemul are pe calea directă un pol de ordinul I în origine, rezultă că sistemul este precis la un semnal de referinţă treaptă (are eroarea staţionară nulă). Pentru determinarea valorii factorului de amplificare k, vom determina coeficientul erorii de viteză:

k)s21)(s01.01(s

kslim)s(sHlimk0s0s

v =++

==→→

(4.53)

Eroarea staţionară la viteză este:

%)2(02.0k1

k1

vstV ===ε , k = 50. (4.54)

Deci funcţia de transfer a sistemului este:

)s21)(s01.01(s

50)s(H++

= (4.55)

Constantele de timp ale sistemului sunt:

79

Mitică Temneanu

[s] ; [s]. 2T1 = 01.0T2 =Răspunsul la frecvenţă este dat de:

)2j1)(01.0j1(j

50)j(Hω+ω+ω

=ω (4.56)

iar în dB:

2

2

41lg20

0001.01lg20lg2050lg20dB)j(H

ω+−

−ω+−ω−=ω (4.57)

Cele două pulsaţii de frângere sunt:

5.0T1

11 ==ω [rad/s] şi 100

01.01

T1

22 ===ω [rad/s]. (4.58)

Sistemul este de ordinul III, tip I, înseamnă că asimptota de joasă frecvenţă a caracteristicii atenuare-frecvenţă are o pantă de -20[dB/dec], iar caracteristica φ(ω) pleacă de la -90° şi evoluează spre -270°. Avem: )01.0(arctg)2(arctg90)( ω−ω−°−=ωϕ (4.59) Diagrama Bode corespunzătoare este dată în Fig.4.16.

Fig.4.16.

Pentru sistemul iniţial avem o margine de fază °= 2mF şi o margine de amplificare . dB6mA =

80


Răspunsul indicial al sistemului necompensat este dat în Fig.4.17. Se observă că răspunsul este oscilant, slab amortizat, având un timp mare de răspuns.

Fig. 4.17.

Trebuie compensate: °=°−−=ϕα 453mm FFimpm (4.60)

Din relaţia α+α−

=ωϕα 11)(sin m , rezultă 1971.0

sin1sin1

m

m =ϕ+ϕ−

=αα

α .

Pentru această valoarea a lui α avem dB14lg20 −=α . Valoarea atenuării introdusă de compensator în pulsaţia mαω este

dB46.7lg20 −=α . Pulsaţia se alege de pe caracteristica Hmαω dB(ω) astfel încât să avem:

dB46.7lg20)(H mdB =α−=ωα , altfel spus, mαω va fi pulsaţia în care caracteristica atenuare-frecvenţă a sistemului corectat va intersecta linia de 0 dB. Rezultă [rad/s]. Se poate calcula acum constanta de timp a corectorului:

25.3m =ωα

81

Mitică Temneanu

7271.01Tm

=αω

=α

α [s]. (4.61)

Rezultă pentru corector funcţia de transfer:

s1433.01s7271.011971.0

sT1sT1

)s(H++

=α++

α=α

αα (4.62)

Pentru sistemul compensat, noile valori pentru marginea de amplificare şi marginea de fază sunt °== 51m,dB29m FcAc . Caracteristicile Bode ale sistemului necompensat (1), ale compensatorului (2) şi ale sistemului compensat (3) sunt date în Fig.4.18.

Fig. 4.18.

Răspunsul indicial al sistemului compensat este dat în Fig.4.19. Se observă o ameliorare a răspunsului, un timp de răspuns foarte bun şi o suprareglare situată în jurul a 25%.

82


Fig. 4.19.

4.3. Element de corecţie cu întârziere de fază Structura acestui tip de corector, realizat numai cu elemente pasive, este dată în Fig.4.20.

Fig. 4.20.

Considerăm şi în acest caz că elementul conectat la ieşirea circuitului de corecţie are o impedanţă mare de intrare şi nu constituie o sarcină pentru acesta. Impedanţele corespunzătoare sunt de forma:

U1(s)

R1

U2(s) R2

C2

83

Mitică Temneanu

2

22

222

11

sCRsC1

sC1R)s(Z

R)s(Z+

=+=

= (4.63)

Privind structura ca un divizor, putem scrie:

)s(U

sCRsC1R

sCRsC1

)s(U)s(Z)s(Z

)s(Z)s(U 1

2

221

2

22

121

22 +

+

+

=+

= (4.64)

Funcţia de transfer a corectorului este:

22

2

21

22

1

2

CRR

RRs1

CsR1)s(U)s(U)s(H

++

+==β (4.65)

Notăm:

1R

RR

2

21 >+

=β (4.66)

22CRT =β [s], constanta de timp (4.67) Rezultă:

sT1

sT1)s(H

β

ββ β+

+= (4.68)

4.3.1. Răspunsul la frecvenţă al corectorului cu întârziere de fază Răspunsul la frecvenţă este:

β

ββ βω+

ω+=ω

Tj1Tj1

)j(H (4.69)

222

22

T1

T1)j(H

β

ββ

ωβ+

ω+=ω (4.70)

)T(arctg)T(arctg)( βββ βω−ω=ωϕ (4.71) Caracteristica atenuare-frecvenţă este dată de:

22222dB

T1lg20T1lg20)j(H βββ ωβ+−ω+=ω (4.72)

84


Pulsaţiile de frângere sunt 121 T1,

T1

ω>=ωβ

=ωββ

, (β > 1).

Se pot trasa acum caracteristicile Bode: • Asimptota de joasă frecvenţă:

Pentru ,1ω<ω 0)j(H

dB=ωβ (4.73)

• Asimptota de medie frecvenţă: Pentru ,21 ω<ω<ω

)Tlg(20

T1lg20)j(H 222dB

β

ββ

βω−≅

≅ωβ+−=ω (4.74)

având o pantă de -20[dB/dec]. • Asimptota de înaltă frecvenţă:

Pentru ,2ω>ω β−=βω−ω≅ω βββ lg20)Tlg(20)Tlg(20)j(H

dB (4.75)

Valorile defazajului introdus la capetele benzii de frecvenţă sunt: 0)(lim)(lim

0=ωϕ=ωϕ β

∞→ωβ

→ω (4.76)

Deoarece β > 1, )T(arctg)T(arctg ββ βω<ω , 0)( <ωϕβ . Valoarea defazajului introdus de element este: )T(arctg)T(arctg)( βββ βω−ω=ωϕ (4.77) Valoarea ωβm pentru care defazajul φβ(ω) este minim este dată de relaţia:

0d

)(d=

ω

ωϕβ (4.78)

Formula de calcul este asemănătoare cu aceea de la corectorul cu avans de fază, şi anume:

β

=ωβ

β T1

m (4.79)

Valoarea maximă a defazajului este:

)(arctg)1(arctg)()( mm β−β

=ωϕ=ωϕ βββ (4.80)

β+β−

=ωϕβ 11)(sin m , (4.81)

85

Mitică Temneanu

de unde se poate calcula:

β+β−

=ωϕ=ωϕ βββ 11arcsin)()( mm (4.82)

Valoarea modulului pentru pulsaţia ωβm este:

β

=

ββ+

β+

=ω

ββ

ββ

ββ1

TT11

TT11

)j(H2

22

22

m (4.83)

Caracteristicile Bode ale corectorului sunt date în Fig.4.21. Se constată o atenuare suplimentară a frecvenţelor înalte, în timp ce frecvenţele joase nu vor fi afectate.

|Hβ(jω)|dB

βT1

Fig. 4.21.

Defazajul maxim depinde numai de β, iar pulsaţia la care acest defazaj se obţine depinde de β şi Tβ. 4.3.2. Locul de transfer al corectorului cu întârziere de fază Pentru a se trasa locul de transfer, se reia răspunsul la frecvenţă şi se separă partea reală şi partea imaginară:

ββT1

φ(ω)

φβm

-20lgβ0 ω[dec]

ββT1

0 ω[dec]

-90°

86


222222

22

T1

T)1(j

T1

T1

Tj1Tj1

)j(H

β

β

β

β

β

ββ

ωβ+

ωβ−+

ωβ+

βω+=

=βω+

ω+=ω

(4.84)

Se notează:

222

222

22

T1

T)1()j(HImV

T1

T1)j(HReU

β

ββ

β

ββ

ωβ+

ωβ−=ω=

ωβ+

βω+=ω=

(4.85)

Pentru uşurinţa calculelor, se face notaţia: ββω= Tx (4.86) Părţile reală şi imaginară ale funcţiei de transfer, U şi V, sunt de forma:

2

2

2

x1x1V

x1x1U

+ββ−

=

+

+ββ

= (4.87)

Se elimină x între cele două relaţii şi se obţine ecuaţia locului de transfer de forma:

2

2

2

2

11V

2

11U

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛β

−=+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛β

+− (4.88)

Această relaţie reprezintă ecuaţia unui cerc cu centrul în

punctul )0,2

11(C β

+, şi de rază

2

11R β

−= .

Deoarece β > 1, avem V < 0, deci pentru pulsaţii între 0 şi +∞, locul de transfer este dat de semicercul situat sub axa reală, ca în Fig.4.22.

87

Mitică Temneanu

Fig. 4.22.

Locul de transfer este similar celui cu avans de fază, numai că este în cadranul IV (simetric faţă de axa reală), iar locul lui α este luat de 1/β. 4.3.3. Intervenţia corectorului cu întârziere de fază asupra locului de transfer al sistemului iniţial Modul în care compensatorul cu întârziere de fază modifică locul de transfer al sistemului este prezentat în Fig.4.23. Locul de transfer al sistemului iniţial, notat cu (1) arată că sistemul în buclă închisă este stabil, dar are o margine de fază şi de amplificare necorespunzătoare. Prin introducerea compensatorului cu întârziere de fază, locul de transfer al sistemului compensat, notat cu (2), se obţine prin compunerea punct cu punct a locului de transfer al sistemului iniţial şi a locului de transfer al compensatorului cu întârziere de fază, reprezentat prin semicercul situat în cadranul IV. Concret, pentru o anumită pulsaţie ω*, modulul funcţiei de transfer al sistemului se modifică de la valoarea *)(H ω la valoarea *)(H*)(H ωω β iar argumentul se modifică de la valoarea *)(ωϕ la valoarea

*)(*)( ωϕ+ωϕ β . Cum 1*)j(H <ωβ , rezultă că, pentru pulsaţia ω*, modulul funcţiei de transfer a sistemului compensat este mai mic decât modulul funcţiei de transfer a sistemului iniţial.

2

11β

+ImHβ(jω)

ReHβ(jω)

11 ω=0 β

ωβm

φβm

Hβ(jω)

88


Deoarece 0*)( <ωϕβ , rezultă că argumentul funcţiei de transfer a sistemului compensat este mai mic decât argumentul funcţiei de transfer a sistemului iniţial. Aşa cum rezultă din Fig.4.23, se modifică în sensul îmbunătăţirii, atât marginea de fază cât şi marginea de amplificare.

Fig. 4.23.

Im

4.3.4. Intervenţia corectorului cu întârziere de fază asupra caracteristicilor Bode ale sistemului iniţial Efectul introducerii compensatorului cu întârziere de fază poate fi observat şi pe caracteristicile Bode prezentate în Fig.4.24. Având în vedere faptul că avem, pentru caracteristica atenuare-pulsaţie, o reprezentare logaritmică, acest lucru permite obţinerea caracteristicilor sistemului compensat prin sumarea caracteristicilor funcţiei de transfer a sistemului iniţial cu cele ale compensatorului cu întârziere de fază.

Re

2

11β

+

1

Hβ(jω*)

ω=0

ω=ω*

H(jω*)H(jω*)Hβ(jω*) φ(ω*)

(-1, j0)

φ(ω*)

β1

ω=ω*

ω=ω*

(1)(2)

ω=0

89

Mitică Temneanu

Caracteristicile atenuare-frecvenţă şi fază-frecvenţă ale sistemului compensat (3) se obţin prin sumarea caracteristicilor sistemului iniţial (1) cu cele ale compensatorului cu întârziere de fază, (2) . Pe caracteristicile prezentate sunt evidenţiate marginile de fază şi de amplificare ale sistemului necompensat (n) şi compensat (c). Marginea de amplificare este definită , la nivelul acestor caracteristici prin dBA )j(H0m πω−= , unde ωπ este pulsaţia pentru care φ(ωπ) = -180°. Se observă că atât sistemul necompensat cât şi cel compensat au o margine de amplificare pozitivă, marginea de amplificare a sistemului compensat fiind mai mare. De remarcat faptul că, în situaţia prezentată, pulsaţia ωπ pentru care este definită marginea de amplificare este aceeaşi, atât pentru sistemul necompensat cât şi pentru cel compensat. Marginea de fază este definită prin )(180m 1F ωϕ+°−= , unde ω1 este pulsaţia pentru care modulul funcţiei de transfer este 1, adică

0)j(H dB1 =ω . Pentru situaţia prezentată, se observă că atât sistemul necompensat cât şi sistemul compensat au o margine de fază pozitivă, sistemul compensat având o margine de fază foarte bună în comparaţie cu sistemul necompensat.

Fig.4.24.

90


Introducerea compensatorului cu întârziere de fază lasă nemodificate caracteristicile Bode în zona frecvenţelor joase, şi micşorează amplificarea în zona frecvenţelor înalte (introduce o atenuare suplimentară a acestor frecvenţe), ceea ce duce la modificarea performanţelor în regim dinamic. 4.3.5. Corector cu întârziere de fază cu amplificare Dacă sistemul permite o creştere a amplificării în zona frecvenţelor joase, atunci este posibilă introducerea unui factor de amplificare suplimentar care să ridice caracteristica atenuare-frecvenţă a compensatorului în zona frecvenţelor joase. Funcţia de transfer a compensatorului devine:

sT1

sT1k)s(H k

β

ββ β+

+= (4.89)

Dacă avem k = β, atunci caracteristicile Bode arată ca în Fig.4.25.

|Hβ(jω)|dB

20lgβ

0 ω[dec]βT

1 ββT

1

ββT1

φ(ω)

0 ω[dec]φβm

-90°

Fig.4.25.

Singura care se modifică este caracteristica atenuare-frecvenţă. Aceasta este deplasată pe verticală cu valoarea 20lgβ (>0).

91

Mitică Temneanu

Exemplul 4-2.

e consideră sistemul de reglare automată având structura din Fig.4.26.

uncţia de transfer a căii directe este:

S

Fig.4.26.

F

)s1.01)(s1(s

5)s(H = ++

(4.90)

ă se determine structura corectorului care să asigure o m

Bode pentru funcţia de transfer a căii directe sunt date în

Se cere s arginede fază de 40°. Caracteristicile Fig.4.27.

Fig.4.27.

R(s) Y(s) Hβ(s) H(s)

-

92


Marginile de amplificare şi de fază ale sistemului iniţial sunt:

ăspunsul indicial al sistemului iniţial este slab amortizat, cu un timp de

°== 5.13m,dB8.6m FA

Rrăspuns mare, ca în Fig.4.28.

Fig.4.28.

e caută pulsaţia pentru care S

=°++°−=ωϕ 5m180)( impF °−135 (4.) Pulsaţia corespunzătoare acestui defazaj este ω* = 0,84 [rad/s]. Pentru această pulsaţie, valoarea atenuării este: dB13*)(HdB =ω . Pulsaţia de frângere a compensatorului ( răpulsaţia superioa ) se alege cu cel puţin o decadă mai mică decât pulsaţia ω*, adică:

041.0*1=

ω==ω [rad/s]

20T2β

(4.91)

Rezultă valoarea constantei de timp Tβ = 24.39 [s]. Din relaţia dB13*)(Hlg20 dB =ω=β , se poate determina valoarea lui β.

. lsaţie de frângere a compensatorului se determină cu relaţia:

Se obţine β 46.410 20/13 ==Cealaltă pu

93

Mitică Temneanu

0092.0T1

1 =β

=ωβ

[rad/s] (4.92)

Funcţia de transfer a corectorului este deci:

0092.0s041.0s

46.41

ss1

Ts1sT1

)s(H1

2++

=ω+ω+

β=

β+

+=

β

ββ (4.93)

Marginile de amplificare şi de fază ale sistemului compensat sunt:

. °≅≅ 43m,dB19m FcAc Caracteristicile Bode ale sistemului iniţial (1), ale compensatorului (2) şi ale sistemului compensat (3) sunt date în Fig.4.29.

Fig.4.29.

Răspunsul indicial al sistemului compensat este dat în Fig.4.30. Se constată o îmbunătăţire a răspunsului sistemului prin creşterea marginii de fază.

94


Fig.4.30.

4.4. Element de corecţie cu avans şi întârziere de fază Un asemenea element de corecţie se obţine prin conectarea a două elemente de corecţie, unul cu avans iar celălalt cu întârziere de fază, separate între ele printr-un amplificator operaţional având impedanţa de intrare foarte mare şi impedanţa de ieşire mică. De asemenea, considerăm că elementul ce urmează celui de-al doilea corector are o impedanţă de intrare suficient de mare. Pentru a nu fi condiţionaţi prea mult de această impedanţă de intrare, o variantă ar fi utilizarea unui amplificator operaţional inversor după corectorul cu întârziere care să restabilească faza semnalului în situaţia în care amplificatorul intermediar este inversor. Pentru acest element rezultă structura din Fig.4.31.

95

Mitică Temneanu

Fig.4.31.

Pentru elementele evidenţiate cu (1), (2), (3) şi (4), avem următoarele relaţii:

• sT1

sT1)s(H

α

αα α+

+α= (4.94)

• α

−=+

−=1

RRR1A

2

21 (4.95)

• sT1

sT1)s(H

β

ββ β+

+= (4.96)

• 12A −= (4.97) unde:

1RR

R

21

2 <+

=α , 1R

RR

4

43 >+

=β , (4.98)

11CRT =α [s], 44CRT =β [s]. (4.99) Aceste elemente fiind conectate în serie, funcţia de transfer echivalentă este:

sT1

sT1sT1

sT1)s(H

β

β

α

ααβ β+

+

α++

= (4.100)

Cel mai adesea, acest corector este astfel realizat încât atenuarea să fie nulă la ambele capete ale benzii de frecvenţă (0, ∞), adică:

11sT1

sT1sT1

sT1lim)0(Hs

=αβ

=β+

+

α++

=β

β

α

α

∞→αβ (4.101)

însemnând:

U2(s)

R3

R4

C4 U1(s)

C1

>A1 >A2 R1

R2

1 2 4 3

96


0)(Hlim)0(HdBdB

=ω= αβ∞→ω

αβ (4.102)

Rezultă de aici , adică 1=αβα

=β1 , β > 1, α < 1.

Constantele de timp se aleg astfel încât pulsaţiile de frângere ale caracteristicii atenuare-frecvenţă (Bode) să fie ordonate astfel: 2121 ααββ ω<ω<ω<ω (4.103) unde:

α

αα

α α=ω=ω

T1,

T1

21 (4.104)

β

ββ

β =ωβ

=ωT1,

T1

21 (4.105)

cu [s], [s]. 11CRT =α 44CRT =β

Ţinând seama de rezultatele obţinute, pentru elementul cu avans de fază şi respectiv întârziere de fază, caracteristicile Bode pentru elementul cu avans-întârziere arată ca în Fig.4.32. Locul de transfer se obţine prin compunerea locurilor de transfer a celor două elemente şi are aspectul din Fig.4.33. Intervenţia asupra sistemului automat a acestui corector poate fi explicată atât la nivelul locului de transfer, care va fi puternic deformat în zona situată în proximitatea punctului critic (-1, j0), dar şi în zona situată în cadranul III, la intersecţia cu cercul unitate cu centrul în origine. Se modifică astfel marginea de fază şi marginea de amplificare. Locul de transfer nu se modifică la frecvenţe joase şi nici la frecvenţe înalte, ceea ce înseamnă că performanţele de regim staţionar ale sistemului vor fi conservate. Modificări importante vor avea loc în ceea ce priveşte stabilitatea: stabilizarea sistemului cu atingerea rezervei de stabilitate impuse în cazul sistemului instabil sau îmbunătăţirea stabilităţii în cazul sistemului stabil.

97

Mitică Temneanu

|Hαβ(jω)|dB

Fig.4.32.

ωβ1 ωβ2 ωα1 ωα2

ω[dec]20lgα

φαβ(ω)

0 ω[dec]

Fig.4.33.

ImHαβ(jω)

ReHαβ(jω) ω=0 ω=∞

Caracteristica atenuare frecvenţă este lăsată nemodificată la frecvenţe joase şi înalte, îmbunătăţind marginea de amplificare. Caracteristica fază-frecvenţă este modificată în aceeaşi zonă, ameliorând marginea de fază. 4.4.1. Corector cu avans şi întârziere de fază realizat cu elemente pasive Cel mai simplu de realizat şi destul de frecvent utilizat este corectorul cu avans-întârziere obţinut numai cu elemente pasive, ca în Fig.4.34.

98


Fig.4.34.

Impedanţele celor două grupuri RC sunt:

1

11 sC||R)s(Z = 1 (4.106)

11

11 CsR1

R)s(Z+

= (4.107)

2

22

222 sC

RsC= (4.108) 1

sC1R)s(Z +

+=

Reaşezând elementele corectorului sub forma unui divizor, putem scrie:

)s(Z)s(Z

)s(Z)s(U)s(H 22 == (4.109) )s(U 211 +αβ

otăm: N

11CRT =α [s], 22CRT =β [s]. (4.110) Rezultă:

21

2

1

2CsR)sT1)(sT1(

)sT1)(sT1(

sCsT1

sT1R

sCsTβ1

)s(H+++

++=

++

+

+

=βα

βα

β

α

αβ (4.111)

Numitorul poate fi descompus dacă se notează 21CRT = [s] şi se face identificarea sub forma:

)Ts1)(Ts1(sT)sT1)(sT1( βαβα β+α+=+++ , cu (4.112) αβ = 1.

U1(s) U2(s)

C2

R1

R2

C1

99

Mitică Temneanu

Rezultă: α ββ β+α=++ TTTT a (4.113)

e alege perechea de valori α şi tfel încât αβ = 1 şi egalitatea de mai T

S β assus să fie satisfăcută (α<1 şi β>1). Rezultă o funcţie de trasnfer de forma:

)Ts1)(Ts1(

)sT1)(sT1()s(H βα

αββα β+α+

++= (4.114)

rector cu avans-întârziere de fază.

de reglare automată având structura din Fig.4.36.

uncţia de transfer a părţii fixate

deci un co

xemplul 4-3. E

onsiderăm un sistemC

R(s) Y(s) Hαβ(s) H(s)

-

Fig.4.35.

F este:

)s1)(s25.01(s

k)s(H++

= (4.115)

e cere determinarea structurii unui compensator cu avans e de -1

S -întârzierfază astfel încât coeficientul erorii de viteză să fie kv=10[s ], marginea de fază de 50° iar marginea de amplificare de minim 10 dB. Vom considera corectorul de forma:

)Ts1)(Ts1()sT1)(sT1(

)s(H βααβ

++= cu α <

βα β+α+ 1, β > 1 şi αβ = 1. (4.116)

Rezultă că: 1

s Hlim

0s)s(Hlim)s( == αβ

∞→αβ (4.117)

oeficientul erorii de viteză este: →

C

101k)s(H)s(sHlimk v == αβ

0s=

→. Rezultă k = 10. (4.118)

roarea de viteză este: E

100


1011

==ε [k v

st s] (4.119)

Sistemul are deci funcţia de transfer a căii directe:

)1s)(4s(s

4010)s(H == )s1)(s25.01(s ++++

(4.120)

Caracteristicile Bode pentru G(s) arată ca în Fig.4.36.

Fig.4.36.

Sistemul este de ordin III, tip 1. Rezultă pentru sistem o margine

e fază

iere a amplificării

ntul este

trebuie să fie de 50°.

d mF = -15° şi o margine de amplificare mA = -6 dB. Pulsaţia pentru care se obţine această margine de amplificare este ωA = 2 [rad/s], iar marginea de fază este pentru ωF = 2.8 [rad/s]. Sistemul este instabil. Răspunsul indicial al sistemului este dat în Fig.4.37. Următorul pas este alegerea noii pulsaţii de tă(intersecţia cu linia de 0 dB a caracteristicii atenuare-frecvenţă). Deoarece ωA = 2 [rad/s] este pulsaţia pentru care argumede -180°, se alege această pulsaţie ca fiind noua valoare a pulsaţiei de tăiere a amplificării. Deoarece marginea de fază impusă este de 50°, suplimentul de fază introdus de compensator în pulsaţia ω = 2 [rad/s]

101

Mitică Temneanu

Odată aleasă noua pulsaţie de frângere ω = 2 [rad/s], se pot determina pulsaţiile de frângere ale compensatorului cu întârziere de fază.

Fig.4.37.

e alege pulsaţia β

β =ωT1

2S ca fiin ă mai mică decât pulsaţia

ă 02 =ωβ

s de compensatorul cu întârziere e fază este

d cu o decad

ω = 2 [rad/s], adic 2. [rad/s]. Valoarea minimă a defazajului introdu

d mβϕ , cu:

β+β−

=ϕβ 11)sin ω(m (4.121)

entru β = 10, rezultăP °−≅ϕβ 5m . ă că şi partea cu avans de fază va interveni cu

ă a defazajului, de 55°, deci vom avea α = 0.1.

5Deoarece αβ = 1, rezultaceeaşi valoare maxim

Deoarece β = 10, se poate calcula pulsaţia 02.0T1

1 =β

=ωβ

β [rad/s].

Deci, pentru partea de întârziere de fază, structura corectorului este:

102


β

β

ββ

+=

β+β=

1ssT1)s(H (4.122) β

βT

++ T

1ssT1

s501s5110

02.0s2.0s)s(H

++

=++

=β (4.123)

Avem α = 1/10, înseamnă că valoarea maximă a atenuării introduse de partea de avans de fază este dB20lg20 −=α . Panta este de 20 [dB/dec].

e trasează, pe caracteristica HdB(ω) o dreaptă cu o pantă de 20 [dB/dec]

pe a a teristi

Sce trece prin punctul (-6 dB, 2 rad/s) pentru a compensa, la această pulsaţie, valoarea de 6 dB de c r c ca HdB(ω). Intersecţia acestei drepte cu linia de 0 dB va furniza pulsaţia ωα2 iar intersecţia cu linia de -20 dB ne va furniza pulsaţia ωα1. Rezultă ecuaţia dreptei: )2lgx(lg206y −=+ (4.124) Pentru:

4x,210x,0y =⇒=2

20/6 =⇒≅ . (4.125) •

4.0x,2.0102x,20y 20/14 =⇒≅=⇒−= −• . (4.126)

Deci pulsaţiile pentru care dreapta intersectează liniile de 0 dB şi respectiv -20 dB sunt:

]s/rad[4TT 21 α α

αα

α

Rezultă pentru partea d

1]s/rad[,4.01==ω==

e avans de fază funcţia de transfer a corectorului de forma:

ω (4.127)

4ss25.0110sT1 ++α+ αα

Corectorul

4.0ss5.211sT1)s(H +

=+

=+

α= α (4.128)

cu avans-întârziere va fi dat de produsul celor două funcţii de

transfer:

02.0s4s +2.0s4.0s)s(H)s(H)s(H +

++

== βααβ (4.129)

s25.01s5.21

s501s51)s(H

++

+=αβ (4.130) +

103

Mitică Temneanu

Avem: α = 0.1, β = 10, şi constantele de timp Tβ = 5 [s] , βT , Tα 2.5 [s] , αTα = 0.25 [s] .

istemului corectat (3) sunt date în Fig.4.38.

β = 50 [s]=Caracteristicile Bode ale sistemului necorectat (1) ale corectorului cu avans-întârziere (2) şi ale sRăspunsul indicial al sistemului corectat este dat în Fig.4.39.

Fig.4.38.

4.5. Comparaţie între corec ezentate

pentru îmbunătăţirea plificator,

uza amplificării suplimentare a ului de reglare automată.

toarele pr Corectorul cu avans de fază este frecvent utilizat tabilităţii. Un corector cu avans de fază asociat cu un ams

pentru a conserva amplificarea la joasă frecvenţă, conduce la creşterea benzii de trecere a sistemului de reglare automată. Acest lucru înseamnă reducerea duratei regimului tranzitoriu. Banda de trecere a unui sistem cu avans de fază este întotdeauna mai mare decât a unui sistem corectat prin întârziere de fază. Atunci când este dorit un timp de răspuns cât mai mic şi o bandă de trecere cât mai mare se va utiliza corectorul cu avans de fază. Dacă zgomotul de înaltă frecvenţă afectează sistemul, atunci o bandă de trecere prea largă nu este de dorit din cazgomotului, lucru nedorit în cadrul sistem

104


Fig.4.39.

Corectorul cu întârziere de fază reduce amplificarea la frecvenţe înalte, fără afectarea amplificării în zon elor joase. Rezultă că banda de

ecere este diminuată, iar timpul de răspuns al sistemului este mărit. Din

minuare a timpului de răspuns cât şi o

plimentar frecvenţele joase (având ca efect iminuarea erorii staţionare) cât şi frecvenţele înalte (care determină

corectoare, răspunsurile la semnale

a frecvenţtrcauza reducerii amplificării în zona frecvenţelor înalte, se poate avea în vedere o amplificare totală la nivelul căii directe, îmbunătăţind astfel foarte mult regimul staţionar. Zgomotele de înaltă frecvenţă vor fi atenuare din cauza micşorării amplificării (în mod obişnuit) la aceste frecvenţe. Dacă este necesară atât o diîmbunătăţire a regimului staţionar, poate fi folosit corectorul cu avans-întârziere de fază. Prin utilizarea acestui tip de corector, asociat cu un factor de amplificare, pot fi amplificate sudcreşterea benzii de trecere şi a vitezei de răspuns) cu îmbunătăţirea, în acelaşi timp, a stabilităţii sistemului. Din punctul de vedere al răspunsului sistemului de reglare automată având pe calea directă aceste tipuri de

105

Mitică Temneanu

de tip treaptă unitară sau rampă unitară sunt date astfel: în Fig.4.40,

răspunsul sistemului necorectat, în Fig.4.41, răspunsul sistemului compensat prin avans de fază, în Fig.4.42, răspunsul sistemului compensat prin întârziere de fază, iar în Fig.4.43, răspunsul sistemului compensat cu avans-întârziere de fază.

Fig.4.40.

Fig.4.41.

Fig.4.42.

y(t)

t t

1

y(t) εst

y(t)

t t

1

y(t) εst

y(t) y(t)

t t

1 εst

106


Fig.4.43.

4.6. Corecţia prin anulare

acă în urma analizei sistemului de reglare automată se constată că

le impuse şi este necesară menţinerea pului sistemului, se poate apela a corecţia prin anulare.

comportare necorespunzătoare, acesta va fi anulat” prin intermediul zeroului compensatorului şi „înlocuit” cu polul

Se urmă lului p = -1/T, adică a constantei de timp T ce are o valoare prea mare.

Dacesta nu îndeplineşte cerinţetiAcest tip de corecţie urmăreşte „înlocuirea” unui factor din funcţia de transfer a căii directe cu un alt factor care să asigure atingerea performanţelor impuse. Concret, dacă sistemul are un pol real negativ prea apropiat de origine, fapt care determină o„acestuia. Considerăm sistemul de reglare automată din Fig.4.44.

R(s) Y(s)

-H (s) a

k s(1+Ts)

y(t) y(t)

t t

1 εst

Fig.4.44.

reşte eliminarea, prin intermediul corectorului, a po

Această eliminare este posibilă dacă funcţia de transfer a compensatorului este de forma:

107

Mitică Temneanu

sT1

)s(H1

a += (4.131)

Ts1+

ezultă funcţia de tran ăii directe: R sfer a c

)sT1(s)Ts1(ssT1

)s(H11 +

=++

=kkTs1+ (4.132)

ste anulat astfel efectul polului p = -1/T înlocuit cu po 1/T1, deci constanta de timp T este înlocuită cu constanta de timp T1, mult mai

ică.

eche de poli cu o poziţie onvenabilă în planul complex, care să furnizeze termenului de gradul al

4.6.1. de ordinul II

i că se foloseşte un corector vând .4.46.

E şi lul p = -

mAceastă metodă poate fi aplicată şi atunci când funcţia de transfer a sistemului deschis are poli complex conjugaţi. Dacă poziţia polilor în planul complex este necorespunzătoare, atunci este posibilă înlocuirea acestora cu o altă percdoilea o amortizare şi o pulsaţie naturală dorite. Acest lucru este posibil prin anularea efectului perechii de poli cu o pereche de zerouri a corectorului. Considerăm sistemul de reglare automată din Fig.4.45.

R(s) Y(s)

-Ha(s)

)s2s(sk

2111

2 ω+ωξ+

Fig.4.45.

Tipuri de corectoare prin anulare

Corecţ a prin anulare poate fi realizată daa structura din Fig

108


Fig.4.46.

ia de transfer a acestui corector poate fi scrisă astfel:

R R

C1

C2

U1(s) U2(s)

Funcţ

1s)C2C(RsCCR)s(U 21211 +++

1sRC2R)s(U)s(H 22

22

2a

+== (4.133)

Funcţia de transfer a căii directe a sistemului compensat este:

sCC 221 +

)s2s(sk

CCR1s

RC12

RC1s

CCR12

)s2s(s 111 ω+ωξ+

sRC

s

k)s(H)s(

2111

2

212

12

2

2121

2

22a

ω+ωξ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++

=

==

(4.134)

Dacă se dimensionează corectorul astfel încât:

H

21

211 CCRatunci funcţia de transfer a căii directe devine:

2111;2

RC2

ω=ωξ= , (4.135)

)s2s(s 112

Noua componentă de ordinul II poate fi aleasă p

k)s(H 22 ω+ωξ+=

rin valorile:

(4.136)

22

12

1 (4.137)

2121

2

12

CCR

2RC

12RC1

ω=ω=

ωξ=+

Deoarece termenul liber, , este impus prin partea iniţială a funcţiei de transfer, se poate interveni asupra factorului de amortizare prin

21ω

109

Mitică Temneanu

122 ωξ , valoarea 112 ωξintermediul termenului fiind, de asemenea, dată ţial şi „anulată” de către com

altă structură RC utilizată ţie este dată în Fig.4.47.

ini pensator. O pentru acest tip de corec

Funcţia de transfer corespunzătoare este:

1Cs)R(sC

1CsR2sCRR)s(U)s(U)s(H

122

21

122

21

1

2a

++

++== (4.138)

În această situaţie, funcţia de transfer a căR2RR 2 +

ii directe este:

Fig.4.47.

R2

C

U1(s) U (s)

C

R1 2

)s2s(s 2 +

k

CRR1s

CR12

CR1s

CRR1s

CR2s

ss(sk)s(H)s(H

2111

22121

2

2212

2

2111

a

ω+ωξ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++

=

=ω+ω

=

(4.139)

Dacă se alege grupul de componente astfel încât

22 ξ+ )

212

2111

2 CRR1;2

CR2

ω=ωξ= (4.140)

atunci putem scrie că:

)s2s(s

k)s(H 2112

2 ω+ωξ+= (4.141)

unde:

110


22

21

ω= 1221

1221

CRR

2CR

12CR

1

ω=

ωξ=+

(4.142)

Din punct de vedere teoretic, corecţia prin anulare este foarte uşor de t. În practică însă, această „anulare” este dificil de realizat din

cauza imposibilităţii amplasării ansamblului pol-zerou cu mare precizie. Dacă această anulare nu este facută foarte precis, ea poate cauza un

spuns cu amplitudine redusă u o componentă de regim iu ce se stinge foarte greu. Dacă anularea nu este exactă dar este suficient de bună, atunci această componentă tranzitorie va fi destul de mică.

ecvenţe, r

versă. ctura din Fig.4.48.

entru sistemul necorectat, fără Hα(s) pe calea de reacţie locală, funcţia

Fig.4.48.

realiza

ră şi c tranzitor

4.7. Elemente de corecţie introduse pe calea de reacţie locală Această medotă de corecţie este utilă atunci când pe calea directă există elemente cu caracteristici mai puţin constante în timp. Folosind legătura inversă locală, se poate inlocui, pe un anumit interval de fr

ncţia de transfer a elementului de pe calea directă cu funcţia de transfefua elementului de corecţie, situat pe legătura inSe consideră sistemul având struPde transfer a căii directe este:

)s(G)s(G)s(G)s(H 321= (4.143) Pentru sistemul închis, funcţia de transfer este:

)s(G)s(G)s(G1

)s(G)s(G)s(G)s(H

321

3210 +

= (4.144)

R(s) Y(s)

-G1(s) G2(s) G3(s)

Hα(s)

+ -

111

Mitică Temneanu

Dacă se foloseşte reacţia locală pe elementul G2(s), atunci funcţia de transfer a sistemului deschis devine:

)s( G)s((G1

)GG)s(H 32

1*

α+=

În această situaţie, pentru sistemul închis, avem funcţia de transfer: H)ss(2 (4.145) )s(

)s(H)s(G)s(G)s(G)s(G1)s(G)s(G

)s(H1)s(H)s(H

2321

21*

**0

α++=

+= (4.146)

Dacă 1)j(H)j(G 2 <<ωω α , ă pentru aceste frecvenţe, gătura de reacţie locală este slabă, şi sistemul se comportă ca şi cum α(s) nu ar exista, având funcţia de transfer pe calea dire şi în

acă avem

înseamnă cleH ctă H(s) buclă închisă H0(s).

, atunci putem considera că, (4.147)

: D 1)j(H)j(G 2 >>ωω α

)s(H)s(G)s(H)s(G1 22 αα ≅+pentru aceste frecvenţe, şi deci funcţia de transfer a sistemului deschis se poate scrie:

)s(H)s(G)s(G1 (4.148) )s(G

)s(H)s(G)s(G)s(G)s(H 3

32

21

*

αα=≅

În aceste condiţii, funcţia de transfer în buclă închisă devine:

)s(H)s(G)s(G

1)s(H 31

α

α +

Aceasta arată că sistemul de reglare este echivalent cu sistemul prezentat în Fig.4.49.

)s(H)s(G)s(G

)s(G)s(G)s(G)s(G

)s(H

31

31

31*0

α=+

= (4.149)

Y(s) R(s)

-G1(s) 1

Hα(s) G3(s)

Fig.4.49.

112


Este exact ca şi cum funcţia de transfer G (s) este înlocuită, pe intervalul ţe pentru care

2

1)j(H)j(G 2 >>ωω α cu funcţia de transfer de frecven

)s(H1

α.

ază caracteristicile Bode pentru cele două funcţii de transfer le sistemului deschis:

1.

Comportarea sistemul în cele două situaţii prezentate poate fi analizată dacă se trasea

)s(G)s(G)s(G)s(H 321= pentru 1)j(H)j(G 2 <<ωω α ,

2. )s(G)s(Hα

1)s(G 31= pentr)s(H u 1)j( ωαH)j(2 >>ω .

Cele două caracteristici H(ω) sunt dat .4.50.

intre ace puncte poate să lips scă, fiind t către valoarea 0 sau ∞.

ceste puncte avem:

G

e în Fig

Fig.4.50.

Intersecţia acestor două caracteristici este dată de punctele A şi B. În ite situaţii, unul danum ste două ea

rejectaÎn a

)(G)(H

)(G)(G)(G)(G 31321 ωα 1

ωω=ωωω (4.150)

unde: )j(H)(H,)j(G)(G ii ω=ωω=ω αα (4.151) Rezultă: 1)(H)(G 2 =ωω α , (4.152) adică:

)(G

1)(H2 ω

=ωα (4.153)

(1 )s(G)s(G)s() G)s(H = 321

(2) )s(G1)s(G)s(H = A

B

H(ω)

ω

)s(H 31α

113

Mitică Temneanu

Pentru sistemul corectat, având în vedere situaţiile pentru care 1)j(H ωα)j(G 2 <<ω sau 1)j(H)j(G 2 >>ωω α , caracteristica

amplitudine-pulsaţie pentru sistemul corectat este aproxima ă în Fig.4.50 cu linie continuă. 4.8. Corecţia sistemelor cu timp mort. Predictorul Smith Se consideră sistemul dat în Fig.4.51:

Fig.4.51.

le provocate de prezenţa timpului m rt în interiorul buclei de glare pot fi eliminate printr-o reacţie locală aralelă, ca în Fig.4.52.

t

fecteE o

re p

Fig.4.52.

Funcţia de transfer a căii directe a sistemului corectat este:

sτ−

1 (4.154)

:

e)s(G)s(C)s(C1

)s(C)s(H+

=

Pentru sistemul în buclă închisă, avem

R(s) Y(s)

-C(s) G(s)e-τs

C1(s)

+ -

ε(s)

R(s) Y(s)

-C(s) G(s)e-τs

ε(s)

114


)e)s(G)s(C)(s(C1e)s(G)s(C

e)s(G)s(C)s(C)se)s(G)s(C

Hs(H(H

s1

s1

s

0

τ−

τ−

−)s()

1)s

(C1 sτ

τ−

++=

++ (4.155)

Dacă se alege corectorul C1 astfel în em 1 =+ τ− ,

dică , fizic realizabil, atunci funcţia de transfer în

= = =+

)s(Ge)s(G)s(C scât să av

)e1)(s(G)s(C s1

τ−−=abuclă închisă devine:

se)s(G)s(C)s(H τ−= (4.156) 0 )s(G)s(C1+iar struc iste e reglare devine cea din Fig.4.53.

e observă că timpul mort este scos ă a acestuia, în privinţa stabilit

Totuşi, efectul timpului mort nu este eliminat în ceea ce priveşte relaţia intrare-ieşire.

tura s mului d

R(s) Y(s)

-C(s) G(s)

ε(s) e-τs

Fig.4.53. S în afara buclei de reglare, influenţa negativ ăţii sistemului, fiind astfel eliminată.

115

Mitică Temneanu

Capitolul 5 Regulatoare automate continue Rolul cel mai important în structura unui sistem de reglare automată îl are regulatorul automat (controlerul), acesta având şi structura cea mai complexă. Regulatorul automat prelucrează abaterea )t(ε şi/sau mărimea de reacţie a sistemului de reglare şi furnizează la ieşire mărimea de comandă, .

)t(yr

)t(u Dependenţa dintre mărimea de comandă şi mărimea de intrare în regulator poartă numele de „legea reglării” şi defineşte regulatorul din punct de vedere funcţional.

)t(u

5.1. Poziţia regulatorului în sistemul de reglare automată În structura unui sistem de reglare automată, regulatorul poate fi amplasat pe calea directă şi/sau pe calea de reacţie. În această situaţie, mărimile de intrare in regulator sunt diferite, aşa cum este prezentat în Fig.5.1.

V(s) Y(s) -U(s) R(s) G2(s) C1(s) G1(s) -

Yr(s) Ym(s) Hr(s) C2(s)

Fig.5.1.

În această situaţie, controlerul C1(s), aflat pe calea directă prelucrează abaterea, iar controlerul C2(s) aflat pe calea de reacţie prelucrează mărimea de măsură )t(ym obţinută la ieşirea traductorului având funcţia de transfer )s(Hr .

116


Există situaţii în care regulatorul este format din mai multe elemente care prelucrează abaterea sau mărimea de reacţie, ca în Fig.5.2. În această situaţie, controlerele C1(s) şi C2(s) prelucrează abaterea, iar controlerul C3(s) prelucrează mărimea de reacţie . )t(yr

U(s) C1(s)

Fig.5.2.

5.2. Regulatoare automate analogice. Principii contructive Denumirea de regulator automat se atribuie regulatoarelor ce prelucrează mărimea de intrare după o lege de reglare standard. Acţiunile care stau la baza acestor legi de reglare standard sunt, în principal, de trei tipuri: proporţionale, integrale şi derivative. Un regulator automat foloseşte, în general, una sau mai multe dintre acţiunile de bază, în diverse combinaţii, rezultând legi de reglare cu acţiune proporţională (de tip P), proporţional-integratoare (de tip PI), proporţional-derivativă (de tip PD) sau proporţional-integrator-derivativă (de tip PID). În general, prin noţiunea de regulator se înţelege blocul capabil să furnizeze mărimea de comandă prin prelucrarea, conform unei anumite legi de reglare, a mărimii de intrare.

)t(u

Pentru realizarea regulatoarelor automate electronice cel mai frecvent sunt folosite amplificatoarele operaţionale. Acestea au un factor de amplificare în buclă deschisă, A, de ordinul sutelor de mii, impedanţa de intrare foarte mare, iar prin asocierea cu circuite de corecţie pe reacţie şi pe intrare pot fi obţinute comportări corespunzătoare legilor de reglare menţionate.

R(s) V(s) Y(s)

Ym(s)

-

-G1(s) G2(s)

Yr(s) C3(s)

C2(s)

Hr(s)

117

Mitică Temneanu

5.2.1. Structura generală a unui regulator realizat cu amplificator operaţional Structura generală a unui regulator realizat cu amplificator operaţional este dată în Fig.5.3. În situaţia prezentată, intrarea (+) a amplificatorului operaţional, numită şi intrare neinversoare, este conectată la masă. Semnalul de intrare se aplică prin intermediul impedanţei pe intrarea (-) a amplificatorului operaţional, numită şi intrare inversoare, iar amplificatorul se numeşte inversor.

)s(Z1

I2(s) Z2(s)

Fig.5.3.

Dacă scriem prima lege a lui Kirchoff în punctul P, avem: )s(I)s(I)s(I 2i1 += (5.1) Curenţii corespunzători au expresiile:

)s(Z

)s(U)s(U)s(I

1

i11

−= (5.2)

)s(Z

)s(U)s(U)s(I2

2i2

−= (5.3)

)s(Z)s(U)s(I

i

ii = (5.4)

Amplificatorul fiind inversor, avem: . (5.5) )s(UA)s(U i2 ⋅−=Înlocuind, obţinem:

U2(s) U1(s)

Z1(s)

Zi(s) +

- Ii(s)

P

Ui(s) I1(s)

AO

118


)s(Z

A)s(U

)s(Z

)s(UA

)s(U

)s(ZA

)s(U)s(U

i

2

2

22

1

21

−+

−=+

(5.6)

Rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=

)s(AZ1

)s(Z1

)s(AZ1

A1)s(U)s(Z)s(U

i22211 (5.7)

Funcţia de transfer a regulatorului este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=−=

)s(Z)s(Z

)s(Z)s(Z

1A11

1)s(Z)s(Z

)s(U)s(U)s(C

1

2

i

21

2

1

2 (5.8)

Factorul de amplificare fiind foarte mare, avem:

)s(Z)s(Z

)s(Z)s(Z

1A1

2

i

2 ++>> (5.9)

şi putem aproxima funcţia de transfer a regulatorului prin:

)s(Z)s(Z

)s(U)s(U

)s(C1

2

1

2 ≅−= (5.10)

Deoarece amplificarea A este foarte mare, putem scrie că:

0A

)s(U)s(U 2i ≅−= (5.11)

deci putem considera că punctul P este legat la masă. Dacă semnalul de intrare se aplică pe intrarea neinversoare, structura regulatorului devine ca în Fig.5.4.

Z2(s)

Z1(s) -

Fig.5.4.

U2(s) + U1(s) AO

119

Mitică Temneanu

Deoarece , putem spune că potenţialul de pe intrarea neinversoare este egal cu potenţialul de pe intrarea inversoare, deci:

0)s(Ui ≅

(5.12) )s(U)s(U 1=+

)s(U)s(Z)s(Z

)s(Z)s(U 221

1+

=− (5.13)

Avem şi deci, funcţia de transfer a regulatorului se poate scrie:

)s(U)s(U −+ =

)s(Z)s(Z1

)s(U)s(U)s(C

1

2

1

2 +== (5.14)

Pentru această structură a regulatorului, impedanţa de intrare este foarte mare. În funcţie de configuraţia impedanţelor de intrare şi de reacţie pot fi obţinute diferitele tipuri de regulatoare. 5.3. Regulatorul cu acţiune proporţională, P Legea de reglare pentru un regulator de tip P este de forma: 0p u)t(K)t(u +ε= (5.15) unde: = factor de amplificare. pKAceastă lege de reglare poate fi dată sub forma:

)t(B1)t(upε= (5.16)

unde : % = Banda de proporţionalitate. pBdată de relaţia:

)t(domeniul)t(udomeniul

K100%B

pp ε

= (5.17)

Dacă ) şi au acelaşi domeniu de variaţie, atunci: t(u )t(ε

p

p K100%B = (5.18)

Pentru o variaţie treaptă unitară a abaterii )t(1)t( =ε , mărimea de comandă este:

120


0t,K)t(1K)t(u pp ≥== . (5.19) Răspunsul indicial al regulatorului de tip P , pentru > 1, este reprezentat în Fig.5.5.

pK

Fig.5.5.

u(t) Kp

1

0 t

Dacă abaterea are o variaţie armonică tsin)t( ω=ε , atunci mărimea de comandă este: tsinK)t(u p ω= (5.20) Se observă că este tot o mărime armonică, în fază cu abaterea, având aceeaşi pulsaţie, dar amplitudine diferită.

)t(u

Funcţia de transfer este:

pK)s()s(U)s(C =

ε= (5.21)

Răspunsul la frecvenţă este: (5.22) pK)j(C =ωLocul de transfer este un punct pe axa reală, ca în Fig.5.6.

Fig.5.6.

ImC(jω)

0 ReC(jω) Kp

Caracteristicile Bode sunt:

121

Mitică Temneanu

0)(

Klg20)(Clg20)(C pdB

=ωϕ

=ω=ω (5.23)

Reprezentarea acestor caracteristici, pentru > 1, este dată în Fig.5.7. pK

CdB(ω) 20lgKp

Fig.5.7.

Un regulator de tip P introdus pe calea directă a unui sistem de reglare automată, pentru > 1, măreşte factorul de amplificare al sistemului deschis, măreşte banda de trecere, diminuează eroarea staţionară şi micşorează rezerva de stabilitate.

pK

Acest tip de regulator se foloseşte atunci când precizia impusă în funcţionarea sistemului permite existenţa unei abateri. 5.3.1. Regulator proporţional ideal realizat cu amplificator operaţional Realizarea fizică a unui regulator de tip P ideal folosind un amplificator operaţional este dată în Fig.5.8.

Fig.5.8.

U(s) ε(s)

R1

R2

+

-

AO

φ(ω) 0 ω[dec]

0 ω[dec]

122



p1

2 KRR

)s()s(U)s(C ==

ε= (5.24)

5.3.2. Regulator proporţional real realizat cu amplificator operaţional În realitate, comportarea este cu întârziere, rezultând pentru un regulator de tip P real structura din Fig.5.9.

Fig.5.9.

Avem:

sC11

R1

)s(Z1;

sC1||R)s(Z

;R)s(Z

2222

11

+==

= (5.25)

Rezultă:

2

22 sCR1

R)s(Z+

= (5.26)


21

2

1

2sCR11

RR

)s(Z)s(Z)s(C

+== (5.27)

Se notează:

U(s) ε(s)

R1

R2

+

-

AO

C

123

Mitică Temneanu

1

2p R

RK = , factorul de amplificare şi (5.28)

[s], constanta de timp, (5.29) CRT 2=şi se obţine:

Ts1

K)s(C p

+= (5.30)

Rezultă că regulatorul P real se comportă ca un element cu întârziere de ordinul I. 5.4. Regulatorul cu acţiune proporţional-integratoare, PI Regulatorul de tip PI îmbină acţiunea proporţională cu cea integratoare. În funcţie de modul de realizare fizică, putem avea o structură serie sau paralel, legile de reglare fiind de forma:

0

t

0ip udt)t(

T1)t(K)t(u +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε+ε= ∫ (5.31)

pentru structura serie şi

0

t

0ip udt)t(

T1)t(K)t(u +ε+ε= ∫ (5.32)

pentru structura paralel. În aceste legi de reglare:

pK = factorul de amplificare,

ii K

1T = = timpul de integrare,

iK = coeficientul de integrare Prezenţa componentei integrale pe calea directă asigură o creştere sau o descreştere în timp a mărimii de comandă, fapt care face posibilă anularea erorii. Funcţiile de transfer corespunzătoare sunt:

)sT11(K

)s()s(U)s(C

ip1 +=

ε= (5.33)

pentru structura serie şi:

i

p1 sT1K

)s()s(U)s(C +=

ε= (5.34)

124


pentru structura paralel. Structurile regulatoarelor au aspectul dat în Fig.5.10 (pentru regulatorul serie) şi în Fig.5.11 (pentru regulatorul paralel).

U(s)

Fig.5.10.

Fig.5.11.

Dacă se consideră structura serie, atunci răspunsul indicial al regulatorului PI este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫

t

0ip dt)t(1

T1)t(1K)t(u (5.35)

adică:

)Tt1(K)t(ui

p += (5.36)

Răspunsul indicial are aspectul dat în Fig.5.12. Timpul de integrare este definit ca fiind timpul în care mărimea de ieşire variază cu valoarea , abaterea fiind constantă. )t(K pεDacă abaterea este armonică: tsin)t( ω=ε (5.37)

Kp

isT1

+

-

+

+

U(s)R(s)

Yr(s)

ε(s)

Kp isT

1 +ε(s) +R(s)

- +Yr(s)

125

Mitică Temneanu

atunci:

u(t)

Kp Kp

ε(t) 1

Fig.5.12.

Ti t 0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω+ω= ∫

t

0ip tdtsin

T1tsinK)t(u (5.38)

adică:

)tcosT1t(sinK)t(ui

p ωω

−ω= (5.39)

Se notează:

ω

=ϕiT1tg (5.40)

Deci:

)tsin(T1K)t(u 2i

2p ϕ−ωω+= (5.41)

Rezultă că regulatorul PI introduce un defazaj în urmă a mărimii de comandă în raport cu abaterea, fapt care conduce la înrăutăţirea comportării dinamice a sistemului. Pentru acest regulator, funcţia de transfer este:

)sT11(K)s(C

ip1 += (5.42)


)Tj

11(K)j(Ci

p1 ω+=ω (5.43)

partea reală şi imaginară a funcţiei de transfer având aspectul:

126


ip1

p1

T1K)j(CIm

K)j(CRe

ω−=ω

=ω

(5.44)

Locul de transfer este dat în Fig.5.13.

ImC1(jω)

Kp

ω=∞ ReC1(jω)

Fig.5.13.

ω=0

Caracteristicile Bode sunt:

)Tlg(20T1lg20

Klg20)(Clg20)(C

i2i

2

p1dB1

ω−ω++

+=ω=ω (5.45)

iT

1arctg)(ω

−=ωϕ (5.46)

Reprezentarea acestor caracteristici este dată în Fig.5.14.

Fig.5.14.

C1dB(ω) -20 dB/dec

20lgKp

1/Ti ω[dec] φ(ω) 0

ω[dec] -45˚ -90˚

127

Mitică Temneanu

Asimptota de joasă frecvenţă a caracteristicii atenuare-frecvenţă are o pantă de -20 [dB/dec]. Argumentul are valori negative, pornind de la -90° pentru frecvenţe joase şi evoluează către 0° pentru frecvenţe înalte. 5.4.1. Regulator proporţional integrator ideal realizat cu amplificator operaţional O structură de regulator PI ideal conţine drept impedanţă de reacţie o structură RC serie, aşa cum este prezentat în Fig.5.15.

R2

Fig.5.15.

Impedanţele de intrare şi de reacţie au expresiile:

sCsCR1

)s(Z;sC1R)s(Z

;R)s(Z

2222

11

+=+=

= (5.47)

Rezultă:

)sCR

11(RR

scRsCR1

)s(Z)s(Z

)s(C21

2

1

2

1

2 +=+

== (5.48)

Se notează:

1

2p R

RK = , factor de amplificare (5.49)

[s], timp de integrare (5.50) CRT 2i =Rezultă:

)sT11(K)s(C

ip += (5.51)

U(s) ε(s)

R1

+

-

AO

C

128


Funcţia de transfer rezultată corespunde unui regulator PI având o structură serie. 5.4.2. Regulator proporţional integrator cu modificarea largă a amplificării Există situaţii în care este nevoie ca factorul de amplificare şi timpul de integrare să poată fi modificate în limite largi. O soluţie pentru rezolvarea acestei situaţii este dată în Fig. 5.16.

Fig. 5.16.

Tensiunea de reacţie este: )s(U)s(Ur α= , α<1. (5.52) Dacă tranzistorul TEC-J funcţionează în regim de rezistenţă comandată, atunci rezistenţa echivalentă din circuitul de intrare este: T1 RRR += (5.53) Impedanţele de intrare şi de reacţie sunt: (5.54) 1T1 C||)RR()s(Z +=adică:

11

11 RsC1

R)s(Z

+= (5.55)

şi respectiv:

2

2 sC1)s(Z = (5.56)

Rezultă pentru regulator funcţia de transfer din relaţia:

ε(s)

+

-

AO

C2

C1

R RvTEC-J U(s) Ur(s)

129

Mitică Temneanu

)CsR

11(CC

RsC1RsC

1

)s(Z)s(Z

)s()s(U

112

1

11

1

2

1

2r +=

+

==ε

(5.57)

şi ţinând cont că )s(U)s(Ur α= , se poate scrie că:

)CsR

11(CC1

)s()s(U)s(C

112

1 +α

=ε

= (5.58)

Rezultă factorul de amplificare:

2

1p C

C1Kα

= (5.59)

şi timpul de integrare: [s]. (5.60) 11i CRT = Factorul de amplificare poate fi modificat în limite largi prin intermediul rezistorului variabil Rv , iar timpul de integrare Ti prin comanda adecvată a tranzistorului cu efect de câmp TEC-J. Pentru un astfel de regulator, modificarea factorului de amplificare determină ridicarea sau coborârea caracteristicii atenuare-frecvenţă, fără modificarea caracteristicii fază-frecvenţă, iar modificarea timpului de integrare Ti determină deplasarea stânga-dreapta a caracteristicii regulatorului (odată cu modificarea poziţiei punctului de frângere al caracteristicii) cât şi modificarea caracteristicii fază-frecvenţă. 5.5. Regulator cu acţiune proporţional-derivativă, PD Pentru un regulator PD ideal, legea de reglare este de forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

+ε=dt

)t(dT)t(K)t(u dp (5.61)

pentru o structură serie şi

dt

)t(dT)t(K)t(u dpε

+ε= (5.62)

pentru o structura paralel, unde:

pK = factorul de amplificare, iar

dT = timpul de derivare.

130


Pentru aceste legi de reglare, funcţiile de transfer corespunzătoare au aspectul:

)sT1(K)s()s(U)s(C dp1 +=

ε= (5.63)

pentru structura serie, şi

dp2 sTK)s()s(U)s(C +=

ε= (5.64)

pentru structura paralel. Structura unui regulator serie este dată în Fig. 5.17 iar a unui regulator paralel în Fig. 5.18.

U(s)

Fig. 5.17.

Fig. 5.18.

Răspunsul indicial al acestui regulator se obţine pentru o variaţie treaptă a mărimii de intrare, . )t(1)t( =εRezultă: ))t(T)t(1(K)t(u dp δ+= (5.65) pentru structura serie, şi )t(T)t(1K)t(u dp δ+= (5.66) pentru structura paralel. Aspectul răspunsului indicial este dat în Fig. 5.19.

Kp

sTd

+

-

+

+

U(s)R(s)

Yr(s)

ε(s)

Kp sTd

+ε(s) +R(s)

- +Yr(s)

131

Mitică Temneanu

Răspunsul este format dintr-un impuls în origine, urmat de o revenire a mărimii de comandă la valoarea )t(K pε Dacă mărimea de intrare este armonică, tsin)t( ω=ε (5.67)

Fig. 5.19.

u(t)

Kp

Atunci: )tcosTt(sinK)t(u dp ωω+ω= (5.68) Se notează: dTtg ω=ϕ (5.69) Cu notaţia făcută, se poate scrie:

)tsin(cos

1K)t(u p ϕ+ωϕ

= (5.70)

Dar:

2d

2T1cos

1ω+=

ϕ (5.71)

Se obţine:

)tsin(T1K)t(u 2d

2p ϕ+ωω+= (5.72)

unde: (5.73) )T(arctg dω=ϕSe observă că răspunsul este tot un semnal sinusoidal, având aceeaşi pulsaţie ca şi semnalul de intrare, dar defazat în faţă cu unghiul φ. Defazajul creşte cu creşterea lui Td pentru o valoare constantă a lui ω. Rezultă de aici un efect de anticipare al regulatorului PD. Pentru structura serie, funcţia de transfer a regulatorului este: (5.74) )sT1(K)s(C dp1 +=

1

t 0

ε(t)

132


Răspunsul la frecvenţă este )Tj1(K)j(C dp1 ω+=ω (5.75) Rezultă:

(5.76) dp1

p1

TK)j(CIm

K)j(CRe

ω=ω

=ω

Locul de transfer este dat în Fig. 5.20.

ImC1(jω) ω=∞

ω=0 Kp ReC1(jω)

Fig. 5.20.

Locul de transfer este o semidreaptă care pleacă de pe axa reală din punctul Kp. Caracteristica Bode se obţine prin logaritmarea modulului dat de relaţia:

2d

2p11 T1K|)j(C|)(C ω+=ω=ω (5.77)

adică:

)T(arctg)(

T1lg20Klg20)(Clg20)(C

d

2d

2p1dB1

ω=ωϕ

ω++=ω=ω (5.78)

Reprezentarea acestor caracteristici este dată în Fig. 5.21. Rezultă pentru regulator o comportare de filtru trece-sus, rezultând că nu atenuează zgomotele, acestea având frecvenţe înalte. 5.5.1. Regulator PD necauzal realizat cu amplificatoare opraţionale O structură de regulator PD necauzal realizat cu amplificatoare operaţionale este dată în Fig. 5.22. Impedanţa de intrare este constituită dintr-un grup RC paralel, iar impedanţa de reacţie conţine un rezistor.

133

Mitică Temneanu

C1dB(ω)

Fig. 5.21.

Fig. 5.22.

Impedanţele de intrare şi de reacţie sunt:

22

1

1111

R)s(ZsCR1R)s(Z;

sC1||R)s(Z

=+

== (5.79)

Rezultă funcţia de transfer:

)sCR1(RR

)s()s(U)s(C 1

1

2 +=ε

= (5.80)

Se notează:

1

2p R

RK = , factor de amplificare, şi (5.81)

C , timp de derivare. (5.82) RT 1d =

U(s) ε(s)

R1

R2

+

-

AO

C

20lgKp

1/Td ω[dec]

ω[dec]

+90˚

+20 dB/dec

φ(ω)

+45˚

0

134


Rezultă: )sT1(K)s(C dp += (5.83) Structura prezentată corespunde unui regulator PD având o funcţie de transfer de tip serie. 5.5.2. Regulatoare PD cu structură cauzală Pentru acest regulator, cel mai adesea sunt utilizate legi de reglare cauzale, introducând o întârziere la nivelul componentei derivative a semnalului de comandă. Acest lucru se obţine prin înserierea termenului derivativ cu o structură având forma dată în Fig. 5.23.

Fig. 5.23.

Funcţia de transfer a acestei structuri este:

sT1

1)s(Gdα+

= (5.84)

În funcţie de locul în care este amplasată această structură, în cazul unui regulator PD serie, se obţine o structură serie ca în Fig. 5.24.

Fig. 5.24.

Pentru structura serie, rezultă funcţia de transfer:

αTds

U2(s) U1(s)

-

Kp sTd

+

+

+

-

R(s)

Yr(s)

ε(s)

αTds

U(s)

-

135

Mitică Temneanu

sT1

sT1K

sT11)sT1(K)s(C

d

dp

ddp α+

+=

α++= (5.85)

O structură mixtă este prezentată în Fig. 5.25. În acastă situaţie, filtarea este aplicată numai componentei derivative a funcţiei de transfer.

U(s)

Fig. 5.25.

Pentru structura mixtă, funcţia de transfer este de forma:

)sT1

sT1(K)s(C

d

dp α+

+= (5.86)

Introducerea acestor elemente poate fi evidenţiată, în cazul unui regulator serie, în caracteristicile Bode ca în Fig. 5.26.

Fig. 5.26.

Kp

sTd

+

-

+ε(s) R(s)

+Yr(s)

αTds

U1(s)

-

CdB(ω)

20lg(Kp/α)

20lgKp

1/αTd1/Td ω[dec] φ(ω)

ω[dec]

136


Structura este asemănătoare cu aceea a unui element cu avans de fază având factorul de amplificare Kp. Se evidenţiază o limitare a amplificării frecvenţelor înalte, cu creşterea corespunzătoare a benzii de trecere a sistemului. 5.5.3. Regulatoare PD cu structură cauzală realizat cu amplificatoare operaţionale O structură fizică având această comportare şi realizată cu un amplificator operaţional este dată în Fig. 5.27.

R2

Fig. 5.27.

R1

Impedanţele de intrare şi reacţie sunt date de relaţiile:

11

1111

sC1R

1R1

)s(Z1;)

sC1R(||R)s(Z

++=+= , (5.87)

de unde rezultă :

22

11

111

R)s(ZC)RR(s1)CsR1(R)s(Z

=++

+=

(5.88)

Funcţia de transfer a regulatorului este:

111

1

112

11

112

1

2

C)RR(RR

Rs1

C)RR(s1R

RCsR1

C)RR(s1R

R)s(Z)s(Z

)s()s(U)s(C

++

+

++=

=+

++==

ε=

(5.89)

Se notează:

U(s) ε(s) R

+

-

C1

AO

137

Mitică Temneanu

R

RK 2

p = , factorul de amplificare: (5.90)

[s], timp de derivare: (5.91) 11d C)RR(T +=

1

1RR

R+

=α <1. (5.92)

Rezultă:

sT1

sT1K)s(C

d

dp α+

+= (5.93)

5.5.4. Regulatoare PD cu structură cauzală, cu modificarea largă a amplificării O structură de regulator PD cauzal care permite modificarea factorului de amplificare este dată în Fig. 5.28. Tensiunea de reacţie este: )s(U)s(Ur β= , β< 1. (5.94) Impedanţele de intrare şi de reacţie sunt:

22

22

11

11

RsC1R

)s(Z

RsC1R)s(Z

+=

+=

(5.95)

C2

R2

Fig. 5.28.

ε(s)

R1

+

-

AO

C1

RvUr(s) U(s)

138


Se poate scrie că:

22

11

1

2

1

2rRsC1RsC1

RR

)s(Z)s(Z

)s()s(U

++

==ε

(5.96)

Adică, pentru funcţia de transfer a regulatorului, se obţine forma:

11

1

2

11

1

2

CRRRs1

RsC1RR1

)s()s(U)s(C

+

+β

=ε

= (5.97)

Se notează:

1

2p R

R1Kβ

= , factorul de amplificare iar (5.98)

, timpul de derivare. (5.99) 11d CRT =

1

2RR

=α <1. (5.100)

Se obţine în final funcţia de transfer corespunzătoare unui regulator PD cu întârziere de forma:

sT1

sT1K

)s()s(U)s(C

d

dp α+

+=

ε= (5.101)

Factorul de amplificare se poate modifica din rezistorul variabil Rv. Modificarea acestuia este echivalentă cu translatarea sus-jos a caracteristicii atenuare-frecvenţă a regulatorului, caracteristica fază-frecvenţă rămânând nemodificată. 5.6. Regulator cu acţiune proporţional- -integrator-derivativă, PID Legile de reglare pentru un regulator PID sunt de forma:

• Pentru o structură serie:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε+ε+ε= ∫ dt

)t(dTdt)t(T1)t(qK)t(u d

t

0ip (5.102)


139

Mitică Temneanu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

=++=ε

=

dii

dp

di

p

sTsT1)

TT

1(K

)sT1)(sT11(K

)s()s(U)s(C

(5.103)

unde:

i

dTT

1q += (5.104)

se numeşte coeficient de interinfluenţă între acţiunea integrală şi cea derivativă. Structura unui regulator PID ideal, serie, este dată in Fig. 5.29.

Fig. 5.29.

• Pentru o structură paralel:

dt

)t(dTdt)t(T1)t(K)t(u d

t

0ip

ε+ε+ε= ∫ (5.105)

Acestei legi de reglare îi corespunde funcţia de transfer:

di

p sTsT1K

)s()s(U)s(C ++=

ε= (5.106)

Structura regulatorului PID ideal, paralel, este dată în Fig. 5.30.

• Pentru o structură mixtă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε+ε+ε= ∫ dt

)t(dTdt)t(T1)t(K)t(u d

t

0ip (5.107)


Kp isT

1+

-

+

+Yr(s)

ε(s) U(s) R(s) sTd

+

+

140


Fig. 5.30.

)sTsT11(K

)s()s(U)s(C d

ip ++=

ε= (5.108)

Structura regulatorului este dată în Fig.5.31.

Fig. 5.31.

Această structură este cel mai frecvent utilizată pentru regulatoarele PID. Din acest motiv se va analiza răspunsul indicial şi răspunsul la frecvenţă pentru acest tip de regulator. Răspunsul indicial se obţine pentru o variaţie treaptă unitară a abaterii,

. )t(1)t( =εRezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ++= )t(T

Tt)t(1K)t(u di

p (5.109)

isT1

+

-

+

+

R(s)

Yr(s)

ε(s)

sTd

U(s) Kp

Kp

isT1

ε(s)+

-

+

+

R(s)

Yr(s)

sTd

U(s)

141

Mitică Temneanu

aspectul mărimii de comandă fiind dat în Fig.5.32. Dacă mărimea de intrare are o variaţie armonică, tsin)t( ω=ε , atunci:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω+ω+ω= ∫ dt

tsindTtdtsinT1tsinK)t(u d

t

0ip (5.110)

adică:

Fig. 5.32.

u(t)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ω−ω+ω= tcos)

T1T(tsinK)t(u

idp (5.111)

Se notează:

i

d T1Ttgω

−ω=ϕ (5.112)

)T1T(arctg

id ω−ω=ϕ (5.113)

Rezultă:

)tsin()T1T(1K)t(u 2

idp ϕ+ω

ω−ω+= (5.114)

Mărimea de ieşire este tot armonică, având amplitudinea şi faza dependente de ω, Ti şi Td. Locul de transfer se obţine pornind de la funcţia de transfer:

)sTsT11(K

)s()s(U)s(C d

ip ++=

ε= (5.115)

1

Kp

t 0

ε(t)

Kp

Ti

142


Pentru s = jω se obţine:

)T1T(jK)j(C

idp ω−ω+=ω (5.116)

Rezultă:

)

T1T(K)j(CIm

K)j(CRe

idp

p

ω−ω=ω

=ω

(5.117)

Pentru:

+∞→ω⇒∞→ω−∞→ω⇒→ω

)j(CIm,)j(CIm,0

(5.118)

Locul de transfer are aspectul dat în Fig. 5.33.

ImC(jω) ω=∞

diTT1

=ω

Kp ReC(jω)

ω=0

Fig. 5.33.

Avem:

)T1T(arctg)(

id ω−ω=ωϕ (5.119)

Rezultă că )(ωϕ <0 pentru diTT

1<ω şi )(ωϕ >0 pentru

diTT1

>ω .

Caracteristicile Bode ale regulatorului serie PID sunt date în Fig. 5.34. Dacă cele două pulsaţii de frângere ale regulatorului sunt suficient de îndepărtate (minim 1 decadă) şi sunt în relaţia:

di T

1T1< (ca în Fig.5.34), (5.120)

143

Mitică Temneanu

atunci, pentru Kp=1, zona de magnitudine constantă, situată între cele două pulsaţii de frângere, are o valoare apropiată de 0 [dB], iar

caracteristica fază pulsaţie trece prin punctele )45,T1(i

°− şi respectiv

)45,T1(d

°+ sau foarte aproape de acestea.

C1dB(ω)

Fig. 5.34.

Dacă di T

1T1> atunci, pentru Kp=1, zona de magnitudine constantă a

caracteristicii atenuare-frecvenţă are o valoare considerabilă, egală cu

)TT

1lg(20i

d+ .

Pentru o valoare Kp≠1, caracteristica atenuare-frecvenţă are aceeaşi formă dar urcă sau coboară cu 20lgKp în funcţie de valoarea supraunitară sau subunitară a acestuia. Caracteristica fază-frecvenţă rămâne nemodificată la variaţia factorului de amplificare. Atunci când se doreşte corectarea caracteristicilor Bode pentru un sistem care nu îndeplineşte performanţele impuse sau chiar este instabil şi se

20lgKp(1+Td/Ti)

ω[dec]

ω[dec]

1/Ti

+90˚

φ(ω)

0

+20 dB/dec

-20 dB/dec

1/Td

diTT1

=ω -90˚

144


doreşte corectarea acestuia cu un regulator PID, este recomandat să se considere mai întâi un regulator cu structură serie, să se determine parametrii acestuia, iar apoi să se adapteze aceste valori ale parametrilor la o altă structură de regulator (paralel sau mixtă) ce va fi implementată în practică. Trecerea de la parametrii regulatorului PID serie la un regulator paralel sau mixt echivalent se poate face simplu dacă se analizează comparativ funcţiile de transfer ale acestora. Funcţia de transfer pentru un regulator cu structură mixtă poate fi pusă sub forma:

i

i2

dipd

ip sT

1sTsTTK)sT

sT11(K)s(C

++=++= (5.121)

Această structură poate avea comportări diferite, în funcţie de zerourile polinomului de la numărătorul funcţiei de transfer, si anume:

• Polinomul de la numărătorul funcţiei de transfer poate avea două rădăcini reale şi distincte pentru adică pentru

. 0TT4T di

2i >−=∆

di T4T >Funcţia de transfer a regulatorului devine:

i

21p sT

)sT1)(sT1(K)s(C

++= , (5.122)

deci o structură similară cu structura serie a regulatorului.

• Pentru ∆=0, adică pentru Ti = 4Td, se obţin două rădăcini reale şi egale, deci funcţia de transfer se poate scrie:

Ts2

)sT1(K)s(C2

p+

= (5.123)

unde . dT2T =

• Pentru ∆<0,deci pentru Ti < 4Td, avem la numărător două rădăcini complex conjugate, funcţia de transfer a regulatorului fiind de forma:

i

22

p sT1Ts2sTK)s(C +ξ+

= (5.124)

145

Mitică Temneanu

unde:

i

di

TT2TTT

=ξ

= (5.125)

adică avem:

d

iTT

21

=ξ (5.126)

5.6.1. Regulator PID ideal realizat cu amplificatoare operaţionale O structură de regulator PID ideal este dată în Fig.5.35.

R2 C2

Fig. 5.35.

Se poate scrie: )s(U)s(Ur α= , α< 1. (5.127) Impedanţele de intrare şi de reacţie sunt:

2

222

11

11

sCRsC1)s(Z

RsC1R)s(Z

+=

+=

(5.128)

Avem:

21

2211

1

2rCsR

)RsC1)(RsC1()s(Z)s(Z

)s()s(U ++

==ε

(5.129)

de unde:

)RsC1)(CsR

11(RR1

)s()s(U)s(C 11

221

2 ++α

=ε

= (5.130)

ε(s)

+

-

AO

C1

R1

U(s) RvUr(s)

146


parametrii regulatorului fiind:

1

2p R

R1Kα

= , factorul de amplificare (5.131)

, timpul de integrare (5.132) 22i CRT = , timpul de derivare (5.133) 11d RCT =Factorul de amplificare poate fi modificat prin intermediul rezistorului variabil Rv şi atrage deplasarea sus-jos a caracteristicii atenuare-frecvenţă. 5.6.2. Regulatoare PID cauzale Şi pentru regulatorul PID se utilizează cel mai frecvent legi de reglare cauzale, în care componenta derivativă este afectată de un element cu întârziere de ordinul I. Pentru acest tip de regulator, o structură cauzală se obţine prin înserierea componentei derivative cu o structură de forma celei din Fig. 5.36.

Fig. 5.36. Funcţia de transfer corespunzătoare acestei structuri este:

sT1

1)s(Gdα+

= , α < 1. (5.134)

Această structură poate fi ataşată unui regulator PID serie, obţinându-se o structură nouă, ca în Fig. 5.37. Rezultă funcţia de transfer:

sT1

sT1)

sT11(K

)s()s(U)s(C

d

d

ip α+

++=

ε= (5.135)

Dacă se consideră o structură PID mixtă, iar întârzierea se aplică doar componentei derivative, se obţine schema bloc din Fig.5.38.

αTds

U2(s) U1(s)

-

147

Mitică Temneanu

Fig. 5.37.

Fig. 5.38.

Pentru această structură se poate scrie funcţia de transfer sub forma:

)sT1

sTsT11(K

)s()s(U)s(C

d

d

ip α+

++=ε

= (5.136)

5.6.3. Regulator PID cauzal relizat cu amplificatoare operaţionale O structură fizică de regulator PID cauzal este dată în Fig.5.39. Avem: )s(U)s(Ur α= , α< 1. (5.137)

Kp

isT1

+

-

+

+

R(s)

Yr(s)

ε(s) sTd

+

+

αTds

U(s)

-

isT1

ε(s) U(s) +

-

+

+

R(s)

Yr(s)

sTd

Kp

αTds -

148


Impedanţele de intrare şi de reacţie sunt:

11

1111

sC1R

1R1

)s(Z1;)

sC1R(||R)s(Z

++=+= (5.138)

R2 C2R1

Fig. 5.39.

adică:

2

222

11

111

sCCsR1)s(Z

C)RR(s1)CsR1(R)s(Z

+=

+++

=

(5.139)

Putem scrie:

)CsR1(sRC

]C)RR(s1)[CsR1()s(Z)s(Z

)s()s(U

112

1122

1

2r+

+++==

ε (5.140)

Rezultă:

111

1

11

22

2

C)RR(RR

Rs1

C)RR(s1)CsR

11(R

R1)s()s(U)s(C

++

+

+++

α=

ε= (5.141)

Se notează:

R

R1K 2p α= , factorul de amplificare (5.142)

, timpul de integrare (5.143) 22i CRT = , timpul de derivare (5.144) 11d C)RR(T +=

ε(s)

+

-

C1

R

U(s) RvUr(s) AO

149

Mitică Temneanu

1

1RR

R+

=α <1 (5.145)

Cu aceste notaţii, funcţia de transfer se scrie sub forma:

sT1

sT1)

sT11(K

)s()s(U)s(C

d

d

ip α+

++=

ε= (5.146)

Caracteristica Bode amplificare-frecvenţă capătă o pulsaţie de frângere suplimentară în punctul 1/αTd rezultând din acest punct revenirea caracteristicii de la panta de +20 [dB/dec] la o pantă de 0 [dB/dec], deci la o amplificare constantă a frecvenţelor înalte. Este posibil să avem regulatoare cu structură PD sau PID dar care nu prelucrează integral semnalul de eroare, una din componentele regulatorului acţionând asupra mărimii de reacţie, yr. 5.7. Regulator cu acţiune proporţional- -integrator-derivativă, PI-D Dacă asupra semnalului de eroare acţionează numai componentele PI iar componenta D acţionează asupra mărimii de reacţie, rezultă o structură de regulator PI-D, având forma prezentată în Fig.5.40. În această situaţie, componenta derivativă D prelucrează numai mărimea de reacţie, evitând astfel apariţia unor valori mari în mărimea de comandă datorate variaţiei prin salt a erorii ca urmare a modificării referinţei prin salt, urmată de o tratare de tip derivativ a acestui salt. Mărimea de ieşire nu variază prin salt şi deci evită apariţia unor valori mari la nivelul mărimii de comandă u. Se poate scrie că:

)s(YsTK)s()sT11(K)s(U rdp

ip −ε+= (5.147)

sau încă, ţinând cont că: )s(Y)s(R)s( r−=ε (5.148)

)s(Y)sTsT11(K)s(R)

sT11(K)s(U rd

ip

ip ++−+= (5.149)

Dar: )s(Y)s(H)s(Y rr = , (5.150)

150


Fig. 5.40.

iar: )s(G)]s(V)s(U[)s(Y −= . (5.151) Înlocuind, rezultă:

)s(V)s(G)s(R)s(G)

sT11(K

)s(H)s(G)sTsT11(K1)s(Y

ip

rdi

p

−+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

(5.152)

Se poate pune relaţia sub forma:

)s(V)s(H)s(G)sT

sT11(K1

)s(G

)s(R)s(H)s(G)sT

sT11(K1

)s(G)sT11(K

)s(Y

rdi

p

rdi

p

ip

+++−

−+++

+=

(5.153)

Dacă se notează:

)s(H)s(G)sT

sT11(K1

)s(G)sT11(K

)s(R)s(Y)s(H

rdi

p

ip

R+++

+== (5.154)

isT1

-

+

+Yr(s)

ε(s) U(s) R(s) Kp

+

V(s)-

G(s)

sTd

Hr

-

+

151

Mitică Temneanu

)s(H)s(G)sT

sT11(K1

)s(G)s(Hrd

ip

V+++

−= (5.155)

atunci se poate scrie că: )s(V)s(H)s(R)s(H)s(Y VR += (5.156) Se constată că mărimea de ieşire în raport cu referinţa are pe calea directă numai componentele PI ale regulatorului, comparativ cu o structură PID clasică în care apar toate cele trei componente. În privinţa perturbaţiilor V, funcţiile de transfer în raport cu acestea sunt aceleaşi, indiferent de structura PID sau PI-D a regulatorului. 5.8. Regulatorul I-PD Dacă pe calea directă a sistemului acţionează numai componenta integratoare, componentele proporţională şi derivativă acţionând pe calea de reacţie, rezultă un regulator cu o structură I-PD, ca în Fig.5.41.

Fig. 5.41.

În această situaţie, se poate scrie:

)s(Y)sTsT11(K)s(R

sT1K)s(U rd

ip

ip ++−= (5.157)

Funcţiile de transfer ale mărimii de ieşire în raport cu referinţa R(s) şi cu perturbaţia V(s) capătă forma:

isT1

-

+

+

Yr(s)

ε(s) U(s) R(s) Kp

+

V(s)-

G(s)

sTd

Hr

-

+

152


)s(H)s(G)sT

sT11(K1

)s(GsT1K

)s(R)s(Y)s(H

rdi

p

ip

R+++

== (5.158)

)s(H)s(G)sT

sT11(K1

)s(G)s(Hrd

ip

V+++

−= (5.159)

Rezultă că, în raport cu referinţa, sistemul are pe calea directă numai componenta integratoare a regulatorului. În privinţa perturbaţiei V(s) se constată că funcţia de transfer în raport cu referinţa este aceeasşi cu cea a regulatorului clasic PID şi cu a regulatorului PI-D. 5.9. Gradele de libertate ale controlului În funcţie de modul în care realizat controlul sistemului automat, pot fi evidenţiate grade de libertate diferite la nivelul controlului. 5.9.1. Control cu un singur grad de libertate Considerăm sistemul având structura dată în Fig.5.42.

V(s) Y(s) U(s) -ε(s) R(s) G(s) C(s)

-Yr(s)

Fig.5.42.

Sistemul are drept mărimi de intrare referinţa R(s), perturbaţia V(s) şi zgomotul Z(s). Aplicând principiul suprapunerii efectelor, se poate determina, mărimea de ieşire Y(s) ca o sumă a efectelor mărimilor R(s), V(s) şi Z(s) date de funcţiile de transfer corespunzătoare, notate HR(s), HV(s) şi respectiv HZ(s).

Z(s)

Hr(s) +

+

153

Mitică Temneanu

Avem:

)s(H)s(G)s(C1

)s(G)s(C)s(R)s(Y)s(H

rR +

== (5.160)

)s(H)s(G)s(C1

)s(G)s(V)s(Y)s(H

rV +

−== (5.161)

şi respectiv:

)s(H)s(G)s(C1

)s(G)s(C)s(R)s(Z)s(H

rZ +

−== (5.162)

Gradele de libertate ale unui sistem de control se referă la numărul de astfel de funcţii de transfer care sunt independente. În această situaţie, dacă luăm ca referinţă funcţia de transfer HV(s), se poate scrie:

)s(H

)s(G)s(H)s(G)s(C1V

r −=+ (5.163)

)s(H)s(H)s(G)s(H

)s(H)s(G1

)s(H1)s(G)s(C

Vr

V

Vr

+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= (5.164)

Rezultă:

)s(G)s(H

)s(G)s(H

)s(H)s(G

)s(H)s(H)s(G)s(H

)s(Hr

V

V

Vr

V

R+

=−

+−

= (5.165)

În mod asemănător, avem:

)s(G)s(H

)s(G)s(H)s(H

r

VZ

+−= (5.166)

Dacă partea fixată a sistemului este dată de G(s) şi Hr(s), care sunt fixate şi care nu se modifică în timp, atunci funcţiile de transfer ale mărimii de ieşire în raport cu referinţa şi cu zgomotul pot fi scrise în funcţie de elementele părţii fixate şi de funcţia de transfer a ieşirii în raport cu perturbaţia. Înseamnă că sistemul are un singur grad de libertate. 5.9.2. Control cu două grade de libertate Se consideră acum că sistemul are structura dată în Fig.5.43. Avem:

)s(Y)s(C)s(R))s(C)s(C()s(U r121 −+= (5.167)

154


Dar: )s(Z)s(Y)s(H)s(Y rr += (5.168) )s(G)]s(V)s(U[)s(Y −= (5.169) Rezultă:

)s(H)s(G)s(C1))s(C)s(C)(s(G

)s(R)s(Y)s(H

r1

21R +

+== (5.170)

)s(H)s(G)s(C1

)s(G)s(V)s(Y)s(H

r1V +

−== (5.171)

Fig. 5.43.

)s(H)s(G)s(C1

)s(G)s(C)s(R)s(Z)s(H

r1

1Z +

−== (5.172)

Dacă HV(s) este dată, se constată uşor că HZ(s) poate fi scrisă în funcţie de HV(s) dar HR(s) este independentă de HV(s) deoarece are componenta C2(s) care este independentă. Rezultă în această situaţie că sistemul de control are două grade de libertate. Asupra sistemului se poate acţiona pe două căi distincte pentru îmbunătăţirea performanţelor. 5.10. Fenomenul de windup şi prevenirea apariţiei acestuia 5.10.1. Fenomenul de windup Fenomenul de windup apare în controlul proceselor industriale atunci când structura regulatorului conţine un integrator. Acest fenomen poate

R(s) V(s) Y(s)

Z(s)

-

-C1(s)

C2(s)

U(s) +G(s)

+Yr(s)

Hr(s) +

+

155

Mitică Temneanu

să apară atât în cazul funcţionării propriu-zise a regulatorului cât şi în situaţia în care elementul de execuţie este cu saturaţie, adică mărimea sa de intrare este activă numai dacă este situată între anumite limite. Există regulatoare PI sau PID cu construcţie specială, capabile să evite fenomenul de windup. Pentru a înţelege fenomenul de windup, trebuie mai întâi înţeles că, un regulator care conţine în structură un integrator, are mărimea de ieşire în permanentă evoluţie atât timp cât semnalul de eroare este nenul şi nu au fost atinse limitele extreme ale semnalului de ieşire. Deci, atât timp cât mărimea de ieşire a regulatorului nu este saturată, aceasta va avea o evoluţie crescătoare cât timp semnalul de eroare este pozitiv şi descrescătoare atunci când semnalul de eroare este negativ. Această evoluţie a semnalului de ieşire a regulatorului trebuie înţeleasă prin prisma componentei integrale a acestuia, deci după stingerea unor eventuale componente derivative. Analiza comportării sistemului poate fi înţeleasă dacă se urmăreşte Fig.5.44.

ε(t)

t u(t)

100% 115%

t2 t3 t4 t5 t1 0 t

y(t)

yp

Fig.5.44.

t

Dacă semnalul de eroare are o valoare pozitivă, în descreştere datorită comenzii date de regulator, este posibil ca mărimea de ieşire a

156


regulatorului să atingă valoarea limită superioară, fixată, a regulatorului (momentul t1), în timp ce mărimea de comandă internă a regulatorului să continue să crească, în anumite limite. Astfel, regulatoarele continue clasice permit o variaţie a mărimii interne de comandă a regulatorului în limitele [-15%, 115%], [-7%, 107%] sau [-5%, 105%], în timp ce mărimea de ieşire a regulatorului este limitată între valorile [0%, 100%]. De exemplu, pentru un regulator ce lucrează în semnal unificat, 2-10 [mA], având în vedere situaţia în care mărimea internă de comandă a regulatorului este cuprinsă în limita [-15%, 115%], atunci valoarea mărimii interne de comandă poate să evolueze între [0.8, 11.2] [mA], în timp ce mărimea efectivă de comandă a regulatorului (cea livrată de regulator către elementul de execuţie) este în limita [2-10] [mA], adică [0%-100%]. Astfel, dacă mărimea de comandă a regulatorului nu reuşeşte să anuleze eroarea în timpul în care mărimea internă de comandă a regulatorului este egală cu mărimea de ieşire a acestuia (deci dacă încă nu a intervenit limitarea superioară a mărimii de ieşire, momentul t1) atunci aceasta va evolua până la limita superioară internă (momentul t2) să spunem 115%, adică, în cazul prezentat – al unui regulator cu semnal unificat [2-10] [mA] – aceasta ajunge la valoarea 11.2 mA. Dacă în momentele următoare atingerii acestei valori limită, regulatorul, prin valoarea maximă (100%) a mărimii sale de ieşire produce micşorarea erorii până la anularea acesteia (momentul t3), atunci, ţinând cont că ieşirea regulatorului este încă pe valoarea limită superioară, ieşirea procesului evoluează în continuare corespunzător acestei valori a mărimii de comandă, şi eroarea îşi schimbă semnul. Această schimbare a semnului erorii este sesizată de către regulator, prin componenta integrală a acestuia (considerând că eroarea este negativă dar foarte mică în modul, efectul componentei proporţionale fiind nesemnificativ) şi mărimea internă de comandă a regulatorului începe să scadă. Dar, această scădere începe de la +115%, evoluează către 100% (între momentele t3 şi t4) şi apoi şi mai jos, numai că, atât timp cât mărimea de comandă internă se află în zona [115% spre 100%], mărimea de ieşire a regulatorului este, în continuare, pe valoarea limită superioară, 100%. Abia din momentul în care mărimea internă de comandă coboară sub 100% (momentul t4), mărimea de ieşire a regulatorului devine egală cu

157

Mitică Temneanu

mărimea internă de comandă şi începe să scadă de la valoarea limită superioară. În tot acest interval de timp, mărimea de ieşire a procesului a evoluat, depăşind valoarea prescrisă, după care aceasta trece printr-o valoare maximă şi apoi începe să scadă datorită scăderii mărimii de comandă a regulatorului. Această descriere făcută cu privire la limitarea mărimii de ieşire a regulatorului poate fi extinsă pentru a înţelege ce se petrece atunci când un regulator continuu comandă, prin mărimea sa de ieşire, un element de execuţie care poate să intre în saturaţie. Un element de execuţie de acest tip are structura reprezentată în Fig.5.45.

Semnal de Ieşire EE intrare

Fig.5.45.

Element de execuţie, EE

Se consideră, pentru exemplificare, că elementul de execuţie EE acceptă semnale de comandă în tensiune, cuprinse în zona [0, 4] V, sau, considerate în valori procentuale [0%, 100%]. Atât timp cât semnalul de intrare se modifică între limitele active ale intrării elementului de execuţie, mărimea de ieşire a acestuia evoluează între poziţiile minime şi maxime [0%, 100%] ale elementului de reglare. Concret, considerând că acest element de execuţie este o servovalvă comandată în tensiune [0, 4] V, adică [0%, 100%], atunci pentru valoarea de 0 V (0%) a mărimii de comandă, elementul de acţionare (servomotorul) va acţiona asupra elementului de reglare (valva) astfel încât aceasta să fie complet închisă, iar pentru valoarea limită superioară a comenzii, 4 V (100%), servomotorul acţionează asupra valvei, ducând-o pe poziţia complet deschis. Orice semnal de comandă în exteriorul acestei zone va lăsa electrovalva pe ultima poziţie extremă atinsă. Numai semnale de comandă cuprinse între [0, 4] V pot modifica poziţia elementului de reglare. Dacă acest element de execuţie face parte dintr-

158


un sistem de reglare automată (de debit sau de nivel) iar regulatorul ce urmează este unul cu destinaţie generală, PI sau PID, atunci poate să apară fenomenul de windup. El este asemănător celui descris pentru regulatorul propriu-zis. Concret, semnalul de comandă util este cuprins în zona [0, 4] V, deci, dacă regulatorul PID cu structură clasică furnizează valori ale mărimii de ieşire situate într-o zonă mult mai extinsă decât aceasta, este necesară evitarea fenomenului de windup ce poate să apară în cazul funcţionării acestui sistem de reglare automată. 5.10.2. Evitarea apariţiei fenomenului de windup Evitarea apariţiei fenomenului de windup poate fi realizată, considerând de exemplu că regulatorul are o lege de reglare PI, dacă se procedează astfel:

• Se limitează valoarea de ieşire a regulatorului în concordanţă cu limitele acceptate de către intrarea elementului de execuţie;

• Considerăm că legea de reglare ce trebuie obţinută este de tip PI serie. Se doreşte ca regulatorul să evite saturarea componentei integrale. Mărimea de comandă este:

)s()sT11(k)s(U

ip ε+= (5.173)

Rezultă:

)s(sTk

)s(k)s(Ui

pp ε+ε= (5.174)

Notăm:

)s(sTk

)s(Ui

pi ε= , (5.175)

componenta integrală a legii de reglare. Rezultă: )s(U)s(k)s(U ip +ε= (5.176) Ţinând cont de relaţia (5.175), avem: (5.177) )s(UsT)s(k iip =ε

Eliminând între relaţiile (5.176) şi (5.177), rezultă: )s(kpε

)s(U)s(UsT)s(U iii += (5.178) adică:

159

Mitică Temneanu

)s(UsT11)s(U

ii +

= (5.179)

Pe baza acestor relaţii, structura regulatorului poate fi pusă sub forma din Fig.5.46. Ţinând cont de modul în care este amplasată limitarea, rezultă că partea integrală a semnalului de comandă ui(t) va fi automat limitată. Mărimea Ui(s) este legată de mărimea de comandă U(s) printr-o funcţie de transfer de ordinul I cu factor de amplificare unitar şi cu o constantă de timp egală cu Ti, deci aceasta nu poate niciodată să părăsească zona în care U(s) este limitată.

R(s) U(s)

Fig.5.46.

Cu alte cuvinte, dacă U(s) atinge una din limitele sale, atunci şi Ui(s) atinge această limită, să spunem 100%. Dacă în acest moment eroarea devine negativă, atunci mărimea de comandă devine:

%100%100)t(k)t(u p <+ε= deoarece eroarea este 0)t( <ε . Rezultă că, dacă acest regulator comandă electrovalva, acesta va începe să închidă valva chiar în momentul în care eroarea trece prin 0 şi devine negativă, nemaifiind necesară trecerea unui timp pentru desaturarea componentei integrale. Se observă că în regim staţionar, eroarea este 0: )s(k)s(U)s(U)s(U pii ε+== (5.180) adică 0)s( =ε . Înţelegerea mai exactă a acestei comportări se poate face prin realizarea în MATLAB-SIMULINK a structurii prezentate, considerând că legea de reglare care trebuie obţinută este:

1 1+sTi

Kp ε(s) + +

Ui(s) +

Y(s) -

160


)sT11(k

)s()s(U)s(C

ip +=

ε= (5.181)

Se consideră pentru parametrii regulatorului valorile kp = 2 şi Ti = 10 [s]. Considerăm că semnalul de eroare ε(t) are evoluţia prezentată în Fig.5.47. De menţionat că, pentru fiecare interval de timp în care semnalul de eroare este constant, mărimea de ieşire a regulatorului creşte sau scade cu o pantă egală cu ip Tk (în valoare absolută). Astfel, pentru un interval de timp Ti, mărimea de comandă creşte sau scade cu valoarea

, în funcţie de semnul erorii. )t(k pεComparăm, prin intermediul mărimilor de comandă realizate, structura prezentată cu aceea a unui regulator PI clasic, având aceiaşi parametri de acordare, cel din urmă neavând limitări asupra mărimii de comandă. Evoluţiile mărimilor de comandă ale regulatorului PI clasic şi ale regulatorului PI cu evitarea fenomenului de windup realizat cu structura din Fig.5.46 arată că, în situaţia în care aceste regulatoare vor comanda o electrovalvă cu semnal de intrare în zona [0, 4] V, regulatorul PI clasic se va confrunta cu apariţia fenomenului de windup.

ε(t)

1

Fig.5.47.

u(t)

t

t

10

0

-1

10 50 100 150 200

Ieşire regulator

4

-4

clasic PI Comandă electrovalvă fără compensare windup

Comandă electrovalvă cu compensare windup

161

Mitică Temneanu

Astfel, dacă elementul de execuţie are valorile admise ale mărimii de intrare cuprinse în intervalul [0, 4] V corespunzător intervalului [0%, 100%], atunci, orice valoare a mărimii de comandă dată de regulatorul PI clasic, situată peste limita superioară, va lăsa electrovalva complet deschisă (intervalul [20, 80] s), chiar dacă eroarea a devenit negativă la momentul t = 50 [s], moment în care aceasta trebuia să înceapă să se închidă. În schimb, regulatorul din Fig.5.46 reacţionează imediat la modificarea erorii prin , urmată de o evoluţie a mărimii de ieşire corespunzătoare unei componente integrale şi unei erori negative,

V.

)t(k pε

5.0)t( −=εDacă mărimea de eroare este menţinută la valoarea 5.0)t( −=ε V în intervalul cuprins între [50,150] [s], atunci cele două mărimi de comandă evoluează, pentru regulatorul PI clasic, aceasta coborând sub 0 V, în timp ce pentru regulatorul PI din Fig.5.46, evoluţia ieşirii se opreşte la valoarea limită inferioară, 0 V. La momentul t = 150 [s] apare o treaptă la nivelul semnalului de eroare de +0.7 V, rezultând o valoare efectivă pentru eroare 2.0)t( =ε V. Ieşirea regulatorului clasic PI devine activă (din punctul de vedere al elementului de execuţie) abia la momentul t = 190 [s], în timp ce ieşirea regulatorului PI cu evitarea fenomenului de windup reacţionează imediat, începând deschiderea electrovalvei chiar din momentul în care eroarea a devenit pozitivă, adică la momentul t = 150 [s]. În acest studiu, legea de reglare a electrovalvei nu interesează, ci numai modificarea comenzii efective asupra elementului de reglare iar, în cazul în care secţiunea de trecere se modifică proporţional cu semnalul de comandă, avem şi evoluţia procentuală a acestuia. Elementul cu limitare prezentat în structura regulatorului din Fig.5.46 poate fi chiar saturaţia elementului de execuţie, dacă aceasta este accesibilă.

5.11. Acordarea regulatoarelor continue Acordarea regulatoarelor automate continue constă în ajustarea parametrilor acestora astfel încât să fie atinse şi menţinute performanţele impuse sistemului de reglare automată.

162


Există două metode frecvent folosite de acordare a parametrilor regulatorului unui proces. Prima metodă este o metodă online sau în buclă închisă şi se utilzează în orice situaţie, dar în mod obligatoriu atunci când procesul respectiv nu permite deschiderea buclei de reglare. A doua metodă se bazează pe răspunsul sistemului în buclă deschisă la un semnal de intrare treaptă. Acordarea înseamnă de fapt ajustarea parametrilor regulatorului în vederea obţinerii unui răspuns dorit al sistemului în buclă închisă. Valorile parametrilor regulatorului depind de toate elementele care alcătuiesc bucla de reglare. Dacă procesul este neliniar, el poate fi liniarizat în jurul unui anumit punct de funcţionare. Rezultă că, pentru un sistem de reglare dat, caracteristicile acestuia se modifică la trecerea de la un punct de funcţionare la altul. Aceasta înseamnă că acordarea parametrilor regulatorului, efectuată pentru un anumit punct de funcţionare, produce răspunsul dorit al sistemului numai în acest punct, ţinând cont că regulatoarele standard sunt liniare. Pentru lucrul într-un domeniu mai larg trebuie realizat un compromis în acordarea regulatorului, alegând parametrii acestuia astfel încât să avem o comportare corespunzătoare a sistemului pe întreg domeniul de lucru. O caracteristică a sistemelor de reglare automată ce simplifică mult procesul de acordare a parametrilor regulatorului constă în faptul că performanţele sistemului nu sunt foarte dependente de parametrii regulatorului. Faţă de o valoare a parametrilor care rezultă dintr-o acordare foarte precisă a regulatorului, o variaţie a acestora în limita a 50% nu va produce modificări profunde în evoluţia sistemului. 5.11.1. Factorul de amplificare critic şi pulsaţia critică a unui sistem Considerăm un sistem de reglare automată stabil, având o margine de fază şi de amplificare corespunzătoare. Dacă se face referire la locul de transfer al sistemului deschis, înseamnă că acesta intersectează semiaxa reală negativă într-un punct situat în zona [-0.5, 0] şi cercul de rază unitară cu centrul în origine într-un punct situat în cadranul III, având argumentul în zona [-150°, -120°], adică o margine de fază între [30°, 60°].

163

Mitică Temneanu

Considerăm acum că sistemul are pe calea direcă un regulator de tip P, deci un factor de amplificare kp. Acest factor de amplificare constituie componenta liberă a factorului de amplificare global al funcţiei de transfer a căii directe, notat k. Dacă se creşte factorul de amplificare kp, creşte implicit şi k, iar, pentru o anumită valoare a acestuia, locul de transfer trece prin punctul critic (-1, j0). În acest punct, sistemul devine instabil, factorul de amplificare pentru care se obţine această situaţie fiind notat kcr (k critic), iar sistemul oscilează cu pulsaţia ωcr. Valorile kcr şi ωcr se obţin rezolvând ecuaţia caracteristică a sistemului, 1+H(s)=0, unde H(s) este funcţia de transfer în buclă deschisă a sistemului, dependentă de elementele constructive ale sistemului şi de factorul de amplificare k. Exemplul 5-1. Se consideră sistemul de reglare automată având forma din Fig.5.48.

Y(s) R(s) kp G(s)

-

Hr(s)

Fig.5.48.

Funcţiile de transfer corespunzătoare sunt:

)s301)(s31(

8.0)s(G++

= (5.182)

)s101(

1)s(Hr += (5.183)

Ecuaţia caracteristică este: (5.184) 0)s(H1 =+adică:

0s101

1)s301)(s31(

8.0k1 p =+++

+ (5.185)

164


Rezultă: 0k8.0)s301)(s101)(s31( p =++++ (5.186) Se consideră: crjs ω= (5.187) Înlocuind s în ecuaţia caracteristică, se obţine: 0k8.0)30j1)(10j1)(3j1( crcrcrcr =+ω+ω+ω+ (5.188) Separând partea reală şi cea imaginară, şi anulându-le, se obţine:

(5.189) 043900

0k8.01420

cr3cr

cr2cr

=ω+ω−

=++ω−

Ţinând cont că factorul de amplificare este pozitiv, obţinem: ]s/rad[2186.0cr =ω iar 8.23kcr = (5.190)

]s[7.282Tcr

cr =ωπ

= (5.191)

Este adevărat că eroarea staţionară a acestui sistem poate fi redusă prin creşterea factorului de amplificare kp. Dar această creştere nu poate fi făcută oricât de mult deoarece se micşorează rezerva de stabilitate a sistemului. Pentru k=kcr, sistemul devine oscilant (instabil). 5.11.2. Acordarea regulatorului pe baza amplificării şi pulsaţiei critice Dacă sistemul supus acordării parametrii regulatorului permite determinarea teoretică a amplificării şi pulsaţiei critice, deci dacă sistemul este cunoscut complet prin funcţiile de transfer ale tuturor elementelor componente, se poate trece direct la determinarea parametrilor regulatorului. Dacă acest lucru nu este posibil, este necesară determinarea experimentală a acestor valori. Pentru aceasta, se procedează astfel:

• Se anulează efectul componentelor integrale şi derivative ale regulatorului. Acest lucru se face prin anularea componentei derivative, Td=0, şi prin creşterea la valoarea maximă posibilă (teoretic la infinit) a lui Ti (efect integrator minim);

• Cu sistemul de reglare în sistem automat, cu bucla închisă, se creşte amplificarea kp a regulatorului proporţional până când sistemul oscilează cu amplitudine constantă. Valoarea acestei amplificări este k=kcr ( această valoare se notează);

165

Mitică Temneanu

• Din înregistrarea oscilaţiilor ieşirii sistemului se măsoară perioada oscilaţiilor notată Tcr;

Creşterea amplificării, după apariţia oscilaţiilor (amortizate) în comportarea sistemului trebuie făcută în paşi mici către valoarea kcr. Pentru răspunsul sistemului, metoda de acordare propusă de Ziegler şi Nichols presupune o scădere a amplitudinii oscilaţiilor în timpul funcţionării sistemului de reglare automată în raport 4:1. Acest raport este de fapt raportul dintre amplitudinile pozitive ale primelor două oscilaţii ale ieşirii sistemului. Acest raport este independent de intrarea sistemului şi depinde numai de rădăcinile ecuaţiei caracteristice a sistemului închis. Răspunsul care se are în vedere la o variaţie treaptă a perturbaţiilor este dat în Fig.5.49.

A y(t)

A/4

Fig.5.49.

yst

t

Dacă se are în vedere o variaţie treaptă a referinţei, atunci sistemul va răspunde aşa cum este prezentat în Fig.5.50.

y(t) A

A/4

yst

t

Fig.5.50.

166


Acordarea parametrilor regulato aza informaţiilor cu privire la

abelul 5-1. Parametru regulator

rului pe bfactorul de amplificare critic şi pulsaţia critică, determinate pentru sistemul în buclă închisă, se face după notaţiile date în tabelul 5-1. T

Tip Regulator kp TdTi

P crk

21

- -

PI crk

2.21 crT

2.11

-

PID crk

7.11 crT

21 crT

81

egulatorul PID pentru care sunt daţi aceşti parametri de acord are

Rfuncţia de transfer de forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 11α+

++=

d

d

ip Ts1

sT)

sT1(k)s(C (5.192)

Pentru alte tipuri de legi de reglare se face adaptarea corespunzătoare a

ducerea componentei integrale (regulator PI)

ducerea componentei derivative (regulator PID),

eoarece integrarea introduce o întârziere de

n cazul perturbaţiilor care

este chiar atât de convenabilă pentru

ui de

parametrilor de acord. Se constată că introdetermină reducerea cu 10% a amplificării kp în comparaţie cu regulatorul de tip P. În schimb, la introamplificarea este mai mare decât la regulatoarele P şi PI, iar timpul de integrare scade faţă de PI. Acest lucru este necesar dfază, iar derivarea introduce un avans de fază. Acest tip de acordare este foarte convenabil îvor fi stinse, ca efect, imediat. Totodată, această acordare nuvariaţia treaptă a referinţei, deoarece produce suprareglări de 50%. Acest lucru poate fi corectat imediat prin reducerea factorulamplificare faţă de vloarea din tabel.

167

Mitică Temneanu

Procedura de determinare a parametrilor de acord a regulatorului presupune deci modificarea unui singur parametru al regulatorului, kp. Din cauza insenzitivităţii răspunsului sistemului, la acordarea precisă a regulatorului, nu este absolut necesar să creştem amplificarea sistemului până la apariţia oscilaţiilor întreţinute. Orice oscilaţie amortizată, obţinută prin creşterea factorului de amplificare kp, poate fi utilizată pentru acordarea parametrilor regulatorului. Perioada critică de oscilaţie se obţine imediat, factorul de amplificare obţinut din kcr putând fi ajustat ulterior la fineţe. 5.11.3. Determinarea caracteristicilor sistemului în buclă deschisă Spre deosebire de metoda de acordare a regulatorului descrisă de Ziegler-Nichols care foloseşte sistemul online (în buclă închisă) există o multitudine de metode care fac acordarea regulatorului utilizând caracteristicile procesului determinate în buclă deschisă. Pentru determinarea acestor caracteristici este necesară aplicarea unui semnal de intrare tip treaptă şi observarea evoluţiei sistemului prin înregistrarea ieşirii traductorului. Pentru analiza răspunsului sistemului la o anumită treaptă de intrare se utilizează, în principiu, două modele distincte de sisteme capabile să acopere majoritatea proceselor, şi anume:

• Modelul element de ordinul I cu timp mort:

Ts1

ke)s(Gs

+=

τ− (5.193)

• Modelul element de ordinul II cu timp mort:

)sT1)(sT1(

ke)s(G21

s

++=

τ− (5.194)

sau

2nn

2

s2n

s2sek

)s(Gω+ξω+

ω=

τ− (5.195)

unde: k = factor de amplificare τ = timp mort T, T1, T2 = constante de timp ξ = factor de amortizare

168


ωn = pulsaţie naturală Cel mai frecvent utilizat este modelul element de ordinul I cu timp mort, cele de ordinul II având o precizie de determinare mult mai scăzută. 5.11.4. Stabilirea parametrilor modelului Considerăm că sistemul de reglare automată având bucla întreruptă, răspunde la aplicarea unei trepte de intrare la nivelul mărimii de comandă u(t) ca în Fig.5.51.

u(t)

∆u

t y(t)

∆yst

Fig.5.51.

t

Dacă mărimea de ieşire este y(t), putem scrie în transformate Laplace: )s(U)s(G)s(Y = (5.196) adică:

su

Ts1ke)s(Y

s ∆+

=τ−

(5.197)

Rezultă:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−∆= τ−

Ts1T

s1euk)s(Y s (5.198)

Revenind în domeniul timpului, avem:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−τ−∆=

τ−−

Tt

e1)t(1uk)t(y (5.199)

unde τ≤=τ− tpentru0)t(1 .

169

Mitică Temneanu

Reprezentarea grafică a răspunsului este dată în Fig.5.52.

aloarea de regim staţionar a mărimii de ieşire este: V uk)t(ylimyst

t∆==∆

∞→(5.200)

g.5.52.

ezultă amplificarea:

∆yst

y(t)

t τ τ+T

Fi

R

u

yk st

∆∆

= (5.201)

xistă trei modele ce pot fi propuse pentru determinarea timpului mort τ

• Prima metodă utilizează tangenta dusă la răspunsul procesului în pun

ctul t = τ ca în

Avem:

Eşi a constantei de timp T. De remarcat că fiecare dintre ele furnizează alte valori pentru τ şi T.

ctul în care acesta are cea mai mare variaţie în timp. Pentru sistemul de ordinul I, tangenta se duce în punFig.5.53.

Fig.5.53.

∆yst

y(t)

τ τ+T

0.632∆yst

t

170


Ty

T1uk

dt)t(dy st

t

∆=∆=

τ= (5.202)

Răspunsul modelului, comparativ cu răspunsul sistemului, pentru acest

e constată că nu avem o estimare foarte precisă la nivelul constantei de

• A doua metodă este asemănătoare cu prima, numai că se impune con i

∆=−∆=+τ − (5.203)

tip de aproximare, este dat în Fig.5.54.

Fig.5.54.

∆yst

y(t)

τ τ+T

tModel

Proces

Stimp T (modelul este mai lent decât procesul).

diţ a ca modelul şi procesul să aibă aceeaşi valoare a ieşirii la momentul t=T+τ, ca în Fig.5.55. Rezultă: y st

1 y632.0)e1(uk)T(

Fig.5.55.

∆yst

y(t)

τ τ+T

tModel

0.632∆yst

Proces

171

Mitică Temneanu

Se constată că modelul este mai apropiat de proces decât în cazul

• A treia metodă. În determinarea parametrilor τ şi T, în cadrul mo e

a răspunsului în punctul T+τ

ngentă, s-a propus ca

precedent.

del lor anterioare, cel mai sensibil moment (şi mai puţin precis) este dat de trasarea tangentei la răspunsul sistemului în punctul în care acest răspuns are cea mai mare variaţie în timp. Chiar şi la modelul doi, la care valoare(=0.632∆yst) este independentă de tangenta dusă, totuşi estimarea parametrilor T şi τ depinde de această tangentă. Pentru eliminarea dependenţei de această tadeterminarea lui T şi τ să se facă astfel încât modelul să coincidă cu procesul în două puncte din zona în care mărimea de ieşire are cea mai mare variaţie. Aceste două momente sunt τ+T/3 şi τ+T. Avem:

st3/1 y283.0)e1(uk)

3T(y ∆=−∆=+τ − (5.204)

(5.205) ceste două momente sunt:

st1 y632.0)e1(uk)T(y ∆=−∆=+τ −

A

3Tt +τ= şi t T+τ=1 2 . (5.206)

ţia corespunz etode este prezentat

5.56.

entru parametrii modelului, rezultă valorile:

Situa ătoare acestei m ă grafic în Fig.5.56.

Fig.

P

Tt

)tt(3T −=22

12

−=τ (5.207)

∆yst

y(t)

t1 t2 t

0.632∆yst

0.283∆yst

172


Există situaţii în care, pentru un sistem cunoscut, de ordin superior, este ecesară aproximarea acestuia printr-un model de ordinul I. În această

situaţie, constanta de timp T se aproximează ca fiind cea mai mare

ichols pentru I.

arame aţi, pentru diversele legi de reglare, în

n

constantă de timp a procesului. Timpul mort τ poate fi aproximat ca fiind suma tuturor celorlalte constante de timp ale procesului plus timpul mort al acestuia. 5.11.5. Acordarea regulatorului utilizând modelul pentru bucla deschisă Acesşti parametri de acord au fost stabiliţi de Ziegler-Nmodelul stabilit pe baza tangentei, deci după modelul P trii regulatorului sunt dtabelul 5-2. Tabelul 5-2.

Parametru regulator Tip Regulator kp Ti Td

P 1

Tk1 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ - -

PI 1

Tk9.0 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ τ33.3 -

PID 1

Tk2.1 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ τ2 τ5.0

Aceste ii sunt orientative, ele fiind suficient de precise pentru valori ale raportu i τ/T cuprinse între [0.1, 0.5].

ost determinat de Paul Murrill oces un model de ordinul I, cu

de timp T şi timpul mort τ.

relaţlu

5.11.6. Acordarea regulatorului după criterii integrale Acest mod de acordare a regulatorului a fşi Cecil Smith, care folosesc pentru prfactor de amplificare k, constanta

173

Mitică Temneanu

Aceşti parametri au fost determinaţi în vederea minimizării erorii sistemului. Criteriile de acordare propuse sunt:

• Criteriul Integrala din valoarea absolută a erorii să fie minimă ue of the Error)

(Integral of the Absolute Val

immindt)t(IAE0

=ε= ∫ (5.208) ∞

• Criteriul Integrala din pătratul erorii să fie minim (Integral of the Square of the Error)

∞

iferenţa dintre IAE şi ISE constă în faptul că ISE pune are

accent pe erorile mari, care apar de obicei la începutul răspunsului istemului.

stora după un timp îndelungat.

ime-Weighted Absolute Value of the Error)

immindt)t(ISE0

2 =ε= ∫ (5.209)

D un mai m

sÎn încercarea de a reduce erorile iniţiale, criteriul ISE conduce la valori mari ale factorului de amplificare şi răspunsuri foarte oscilante, cu liniştirea aceEliminarea acestor neajunsuri se poate obţine prin ponderarea erorilor cu timpul scurs, rezultând criteriile:

• Criteriul Integrala valorii absolute a erorii ponderate în tim să fie minimă (Integral of the T

immindt)t(tITAE =ε= ∫∞

(5.210) 0

• Criteriul Integrala pătrat i erorii ponderat în fie

minimă (Integral of the Time-Weighted Square of the Error) ∞

Pentru aceste criterii, au fost elaborate tabele de acordare a parametrilor regulatorului, atât pentru situaţiile în care variaţiile perturbaţiilor sunt

ulu timp să

immindt)t(tITSE0

2 =ε= ∫ (5.211)

174


mult mai prezente în sistem decât variaţia referinţei (sisteme de rejecţie a erturbaţiilor) cât şi pentru situaţiile în care referinţa se mod vent

(sisteme de urmărire), perturbaţiile intervenind întâmplător. p ifică frec

Parametrii de acord ai regulatorului pentru un proces al cărui model este

de forma Ts1

ke)s(Gs

+=

τ− în cazul sistemelor destinate rejecţiei

erturbaţiilor sunt daţi în Tabelul 5-3. p Tabelul 5-3.

Criteriu ISE IAE ITAE

Regulator P, pk)s(C = . bak ⎟⎞

⎜⎛ τ=p k ⎝ T ⎠

b = 1.411

-0.9170.902

-0.985 0.490

-1.084 a =

Regulator PI,

)sT11(k)s(C

ip +=

1b1

p Tkk ⎟

⎠⎜⎝

= ;a ⎞⎛ τ 2b

2i Ta

TT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ=

a2 = b2 =

0.4920.739

0.608 0.707

0.674 0.680

a = 1b1 =

1.305-0.959

0.984 -0.986

0.859 -0.977

Regulator PID,

)sTsT11(k)s(C d

ip ++=

1b1

p Tkk ⎟

⎠⎜⎝

= ; a ⎞⎛ τ 2b

2i Ta

TT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ= ;

3b

3d TTaT ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ=

a2 = b2 = a3 =

-1.1010.7710.560

-0.878 0.749 0.482

-0.842 0.738 0.381

a1 = b1 =

b3 =

1.4950.945

1.006

1.435 0.921

1.137

1.357 0.947

0.995

175

Mitică Temneanu

Parametrii de acord ai regulatorului, pentru un proces al cărui model este

de forma Ts1

ke)s(Gs

+=

τ−, determinaţi în funcţie de factorul de amplificare

, de timpul mort τ şi de constanta de timp T, în cazul sistemelor de

4.

kurmărire, sunt daţi în Tabelul 5-4. Tabelul 5-

Criteriu IAE ITAE

Regulator PI, )sT11(k)s(C

ip +=

1b1

pak =

Tk⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ ;

)T(baTT22

i τ+=

a1 = b1 = a2 = b2 =

0.758-0.8611.020

23

0.586 -0.916 1.030

5 -0.3 -0.16

Regulator PID,

)sTsT11(k)s(C d

ip ++=

1b1

p Tkk ⎟

⎠⎜⎝

= ;a ⎞⎛ τ)T(ba

TT22

i τ+= ;

3b

3d TTaT ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ=

b2 = a3 =

-0.1300.348

-0.147 0.308

a1 = b1 = a2 =

b3 =

1.086-0.8690.740

0.914

0.965 -0.855 0.796

0.929

Şi aceşti parametri de acordare au fost stabiliţi în condiţiile unor valori pentru raportul τ cuprinse între [0.1, 1].

/T

176


Capitolul 6 Consideraţii privind controlul robust al sistemului Analizând comportarea unui sistem în buclă închisă, este evident că introducerea reacţiei negative reduce efectul perturbaţiilor asupra sistemului şi diminuează influenţele modificării parametrilor sistemului. 6.1. Elemente ale controlului robust Dacă se doreşte ca în prezenţa perturbaţiilor şi a zgomotelor să se obţină un sistem de control performant, trebuie luate în considerare următoarele elemente:

a) performanţa de urmărire (sarcina de a menţine eroarea de urmărire cât mai mică);

b) rejecţia perturbaţiilor (modificări nesemnificative ale mărimii de ieşire la variaţia perturbaţiilor);

c) senzitivitatea la erorile modelului sistemului (sarcina de a menţine senzitivitatea la valori cât mai mici);

d) marginea de stabilitate (obţinerea unei margini de stabilitate robuste);

e) senzitivitatea la zgomotele traductorului (obţinerea unei senzitivităţi reduse).

Pentru a evidenţia modul în care pot fi atinse aceste obiective, se consideră sistemul având structura dată în Fig.6.1. Pentru acest sistem se pot face următoarele aprecieri: a) performanţele de urmărire. Aceste performanţe sunt date de funcţia de transfer în raport cu referinţa:

)]s(C)s(C[)s(H)s(G)s(C1

)s(G)s(R)s(Y)s(H 21

r1R +

+== (6.1)

Pentru a obţine performanţă în urmărirea referinţei, trebuie ca HR(s) să fie cât mai aproape de 1 (în modul) pe un larg domeniu de frecvenţe. Acest lucru este posibil a fi realizat prin ajustarea parametrilor controlerelor C1(s) şi C2(s). b) rejecţia perturbaţiilor. Gradul de rejecţie al perturbaţiilor poate fi exprimat prin raportul dintre funcţia de transfer a mărimii de ieşire în

177

Mitică Temneanu

raport cu perturbaţiile, HV(s), şi funcţia de transfer a căii directe între punctul în care intră perturbaţia şi ieşirea sistemului, G(s), adică:

)s(H)s(G)s(C1

1)s(G)s(H

)s(Sr1

VV +

−== (6.2)

Pentru a îmbunătăţi rejecţia perturbaţiilor, este necesar ca SV(s) să fie cât mai mic pe un domeniu de frecvenţă cât mai extins.

Fig. 6.1.

6.2. Senzitivitatea la erorile modelului c) senzitivitatea la erorile modelului. Atunci când se are în vedere conceperea unui sistem de reglare automată se porneşte de la modelul părţii fixate a procesului tehnic supus controlului. Un astfel de model nu este întotdeauna foarte precis, dar el aproximează suficient de bine procesul tehnic respectiv. Diferenţa dintre procesul propriu-zis şi modelul contruit pentru acesta este dată de eroarea de modelare. Aceste erori pot să apară din mai multe cauze:

• neglijarea caracteristicilor neliniare ale părţii fixate; • neglijarea caracteristicilor la înaltă frecvenţă ale părţii fixate (ex:

rezonanţe, neglijarea maselor unor resoarte, ...); • stabilirea cu o slabă acurateţe a parametrilor părţii fixate; • caracteristici ale părţii fixate care se pot modifica în timp, etc.

Pentru simplificarea notaţiilor, considerăm funcţia de transfer actuală a părţii fixate, funcţia de transfer a modelului acesteia, iar

diferenţa dintre acestea, adică:

)s(G)s(G

)s(G∆

R(s) V(s) Y(s)

Z(s)

-

-C1(s)

C2(s)

U(s) +G(s)

+Yr(s)

Hr(s) +

+

178


, eroarea de model (6.3) )s(G)s(G)s(G −=∆Senzitivitatea la erorile modelului se referă la diferenţa dintre răspunsul sistemului în prezenţa erorii de model şi în absenţa acesteia. Deoarece:

))s(C)s(C()s(H)s(G)s(C1

)s(G)s(R)s(Y)s(H 21

r1R +

+== , (6.4)

variaţiile lui pot fi date prin: )s(H R

)s(H)s(G)s(C1)s(G))s(C)s(C(

))s(G)s(G)(s(H)s(C1))s(G)s(G())s(C)s(C(

)s(R)s(Y)s(H

r1

21

r1

21R

++

−

−∆++∆++

==∆

(6.5)

adică:

( ) ))s(H)s(G)s(C1())s(G)s(G)(s(H)s(C1)s(G))s(C)s(C()s(H

r1r1

21R +∆++

∆+=∆ (6.6)

Rezultă:

)s(G)s(H)s(C1

1)s(G)s(G

)s(H)s(H

r1R

R

+∆

=∆ (6.7)

Această relaţie arată că variaţia relativă a lui este de )s(HR

))s(G)s(H)s(C1/(1 r1+ ori mai mare decât variaţia relativă a funcţiei de transfer a părţii fixate. Se observă că, deşi funcţia de transfer HR(s) depinde de C1(s) şi C2(s), totuşi, variaţia relativă a lui HR(s) depinde numai de C1(s). Se notează:

)s(H)s(G)s(C1

1)s(Sr1+

= (6.8)

Se observă că, exceptând semnul (-) cu care perturbaţia intră în sistem, gradul de rejecţie al perturbaţiilor definit prin SV(s) este acelaşi cu senzitivitatea S(s). S(s) poartă numele de funcţia de senzitivitate. În sistemele înalt performante, trebuie ţinut cont de modelul părţii fixate la frecvenţe înalte şi introduse compensatoare bazate pe aceste modele. Dacă partea fixată nu este complet cunoscută la frecvenţe înalte, este recomandat ca amplificarea la aceste frecvenţe să fie menţinută la valori cât mai mici pentru a suprima eventualele comportări nedorite la aceste frecvenţe.

179

Mitică Temneanu

6.3. Marginea de stabilitate d) marginea de stabilitate. Este important de ştiut cum eroarea de model poate să afecteze stabilitatea unui sistem de control automat. Stabilitatea sistemului închis este determinată de modul în care funcţia de transfer a sistemului deschis: ( ))s(G)s(G)s(H)s(C)s(G)s(H)s(C r1r1 ∆+= (6.9) satisface condiţiile criteriului de stabilitate Nyquist. Dacă )j(G)j(H)j(C r1 ω∆ωω este mai mică, în modul, decât distanţa dintre punctul critic (-1, j0) şi punctul )j(H)j(G)j(C r1 ωωω pentru o frecvenţă dată, ω, atunci )s(G)s(H)s(C r1 satisface condiţiile criteriului de stabilitate Nyquist. Astfel dacă: )j(G)j(H)j(C1)j(G)j(H)j(C r1r1 ωωω+<ω∆ωω , (6.10) atunci sistemul în buclă închisă este stabil. Se defineşte:

)s(H)s(G)s(C1

)s(H)s(G)s(C)s(T

r1

r1+

= (6.11)

Cu această notaţie, inegalitatea (6.10) devine:

)j(T

1)j(G)j(G

ω<

ωω∆ (6.12)

Rezultă de aici că marginea de stabilitate la această frecvenţă este cu atât mai mare cu cât T(jω) este mai mic. Funcţia T(s) se numeşte funcţia complementară de senzitivitate. Considerăm că eroarea relativă a modelului este mărginită superior de valoarea d(jω). Dar:

)j(d)j(G)j(G

ω<ωω∆ (6.13)

Este de notat că în cele mai multe cazuri d(jω) este destul de mic (de ordinul a 0.1) în domeniul frecvenţelor joase, aproximativ 1 în zona frecvenţelor medii şi destul de mare în zona frecvenţelor înalte. Locul de transfer al sistemului este dat în Fig.6.2. Dacă G(s) este perturbat către valoarea , locul de transfer se modifică dar rămâne în zona haşurată.

)s(G

180


Sistemul de fază minimă rămâne stabil atât timp cât regiunea haşurată nu include punctul critic (-1, j0). Se alege T(s) astfel încât să avem:

)j(d)j(T

1ω≥

ω (6.14)

Ţinând cont de expresia senzitivităţii şi a senzitivităţii complementare, putem scrie: (6.15) 1)j(T)j(S =ω+ω

Im

Fig. 6.2.

(-1, j0) Re

În zona frecvenţelor înalte în care d(jω) este mai mare decât unitatea, avem:

)j(d

1)j(Tω

≤ω (6.16)

)j(d

11)j(Sω

−≥ω (6.17)

Dacă S(jω) şi T(jω) satisfac aceste inegalităţi, atunci stabilitatea sistemului este garantată. De notat că d(jω) reprezintă marginea superioară pentru |T(jω)|. Deoarece :

)j(H)j(G)j(C1

)j(H)j(G)j(C)j(T

r1

r1ωωω+

ωωω=ω (6.18)

iar )j(H)j(G)j(C r1 ωωω este mic la frecvenţe înalte (<<1), rezultă că T(jω) este aproximat pentru aceste frecvenţe prin )j(H)j(G)j(C r1 ωωω .

(1) (2)

Sistem nominal

Sistem perturbat

181

Mitică Temneanu

Rezultă atunci că, pentru frecvenţele înalte,

)j(d

1)j(H)j(G)j(C <ωωω , r1 ω(6.19)

ceea ce înseamnă că eroarea de model este mărginită superior. nzitivitate

d

oncluzii: ru îmbunătăţirea rejecţiei perturbaţiilor, trebuie să avem

• nzitivitate la erorile modelului cât mai mică,

• bilitate trebuie să avem T(jω)

• rarea senzitivităţii la zgomotele traductorului trebuie

Dar S( teresant de observat că în timp ce

egulator PID cu două grade de libertate, se vor îmbunătăţi

de control cu două grade de

control robust în planul

jω) să fie mică în domeniul frecvenţelor joase impune o

e) senzitivitatea la zgomotul traductoarelor. Această seeste eterminată de funcţia de transfer HV(s). Rezultă că această senzitivitate este cu atât mai mică cu cât funcţia complementară de senzitivitate este mai mică, iar efectul zgomotului traductorului este mic. C

• PentS(jω) cât mai mic; Pentru a avea o setrebuie să avem S(jω) cât mai mic; Pentru îmbunătăţirea marginii de stacât mai mic; Pentru micşosă avem T(jω) cât mai mic. jω) + T(jω) = 1. Este in

performanţa de urmărire depinde atât de C1(s) cât şi de C2(s), celelalte performanţe depind doar de C1(s). Aceasta înseamnă că C1(s) determină caracteristicile sistemului în buclă închisă în totalitate, iar C2(s) influenţeată doar funcţia de transfer în buclă închisă între referinţa R(s) şi ieşirea Y(s). Folosind un rmai întâi performanţele sistemului în buclă închisă prin C1(s) şi apoi răspunsul sistemului la referinţă, prin C2(s). Acesta este avantajul utilizării unui sistem libertate, posibilitatea ajustării performanţelor sistemului şi a răspunsului la semnalul de referinţă în mod independent. Amplasând cerinţele pentru un sistem decaracteristicii atenuare-frecvenţă (Bode), pot fi impuse condiţii care să satisfacă cerinţele impuse de senzitivitate, eroare staţionară sau zgomot de traductor. Cerinţa ca S(mărginire inferioară a amplificării la frevenţe joase.

182


În mod asemănător, cerinţa ca T(jω) să fie cât mai mic în zona frecvenţelor înalte impune o mărginire superioară a amplificării la frecvenţe înalte. O diagramă Bode acceptabilă, care să satisfacă aceste condiţii, este dată în Fig.6.3.

dB

Fig. 6.3.

Pulsaţia ω1 trebuie să fie în vecinătatea benzii de trecere impuse, iar panta caracteristicii atenuare-frecvenţă în zona pulsaţiei ω1 trebuie să fie de -20 [dB/dec].

ω ω1

|T(jω)| mic

|S(jω)| mic

183

Mitică Temneanu

Capitolul 7 Aplicaţii ale corectoarelor şi regulatoarelor Se consideră câteva exemple de sisteme ale căror modele sunt determinate prin scrierea ecuaţiilor ce guvernează funcţionarea acestora. Comportarea acestor sisteme este îmbunătăţită prin introducerea unor compensatoare sau regulatoare pe calea directă a părţii fixate a sistemului. 7.1. Ansamblul bilă-ghidaj

Se consideră o bilă amplasată pe un ghidaj, având posibilitatea de

a se deplasa prin rostogolire de-a lungul ghidajului, ca în Fig.7.1.

d

Lr

α

θ

disc

ghidaj

Fig.7.1.

Un capăt al ghidajului este într-o articulaţie, iar celălalt capăt este

condus prin intermediul unui braţ articulat, de către un disc ce are posibilitatea de a se roti. Pe disc, braţul este fixat la distanţa d de centrul de rotaţie, iar o mişcare cu unghiul θ a discului va determina o înclinare a ghidajului cu unghiul α. Notaţiile utilizate pentru descrierea sistemului sunt:

• M, masa bilei [kg]

184


• R, raza bilei [m] • d , distanţa articulaţiei faţă de punctul de rotaţie [m] • g , acceleraţia gravitaţională [m/s2] • L , lungimea ghidajului [m] • J, momentul de inerţie al bilei [Kgm2] • r, poziţia curentă a bilei pe ghidaj [m]

Dacă se neglijează derivata a II-a a unghiului α (care este foarte mic), poate fi scrisă ecuaţia mişcării:

22 mrsinmgr)m

RJ( α=α−+ &&& (7.1)

Dacă se ţine cont că, pentru valori foarte mici ale lui α putem scrie că , atunci, neglijând termenul în , obţinem: α≅αsin 2α&

α=+ mgr)mRJ( 2

&& (7.2)

Considerând că pentru θ = 0 avem α = 0, atunci, pentru variaţii mici ale acestor unghiuri în jurul poziţiei de zero, putem scrie:

α≅θ

α≅θdd

sinLsind (7.3)

sau încă:

θ=αLd . (7.4)

Înlocuind valoarea lui α în relaţia mişcării rezultă:

θ=+Ldmgr)m

RJ( 2

&& (7.5)

Dacă se trece în transformate Laplace în condiţii iniţiale nule, avem:

)s(Ldmg)s(Rs)m

RJ( 22 θ=+ . (7.6)

Rezultă, pentru acest ansamblu, funcţia de transfer de forma:

2

2s1

)mRJ(L

mgd)s()s(R)s(G

+=

θ= . (7.7)

Se obţine o funcţie de transfer având un pol dublu în origine.

185

Mitică Temneanu

Sistemul liniarizat poate fi reprezentat în spaţiul stărilor dacă se

consideră drept vector de stare şi y = r mărimea de ieşire, atunci

avem:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

rr

x&

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

θ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

rr

01y

)mRJ(L

mgd0

rr

0010

rr

2

&

&&&

&

(7.8)

matricile corespunzătoare fiind:

[ ] [ ].0D;01C;)m

RJ(L

mgd0

B;0010

A

2

==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= (7.9)

Dacă în locul discului şi al braţului care modifică înclinarea ghidajului se foloseşte un servomotor, ghidajul fiind fixat la mijloc pe axul acestuia, atunci, poziţia bilei faţă de ghidaj va putea fi controlată prin intermediul cuplului dezvoltat de servomotor, cuplu ce va determina modificarea poziţiei unghiulare a ghidajului. Exemplu numeric:

• M = 0.11 [Kg] • R= 0.015 [m] • d = 0.03 [m] • g = 9.8 [m/s2] • L = 1 [m] • J= 10-5 [Kgm2]

Având în vedere valorile date , sistemul poate fi scris în MATLAB astfel:

k = (m*g*d)/(L*(J/R^2+m)) % factorul de amplificare num = [k]; den = [1 0 0]; sist = tf(num,den);

unde tf = „transfer function”

186


7.1.1. Controlul sistemului utilizând un compensator cu avans de fază Se pune problema stabilirii unui controler capabil să conducă la un timp de răspuns al sistemului de max. 3 [s] şi o suprareglare de max. 5%. Pentru controlul poziţiei bilei faţă de ghidaj, este necesară introducerea acestui ansamblu într-o buclă închisă, având pe calea directă un controler cu funcţia de transfer C(s), ca în Fig.7.2.

Fig.7.2.

C(s) G(s)

R(s) Y(s)+

-

U(s)ε (s)

Funcţia de transfer a părţii fixate este:

22

2sk

s1

)mRJ(L

mgd)s(G =+

= (7.10)

Stabilirea parametrilor compensatorului cu avans de fază se poate face pornind de la caracteristicile Bode ale sistemului deschis, necompensat obţinute prin: bode(sist,'r') Se constată că funcţia de transfer a părţii fixate conţine un pol dublu în origine, rezultând că eroarea staţionară la o variaţie treaptă a mărimii de referinţă este 0 chiar prin utilizarea unui regulator P sau PD. Nu este necesară introducerea unui regulator PID deaoarece nu este necesară introducerea unui pol în origine tocmai pentru faptul că procesul tehnic are, în origine, un pol dublu. Caracteristicile Bode sunt date în Fig.7.3.

187

Mitică Temneanu

Fig.7.3..

Se constată că sistemul este instabil deoarece marginea de fază este zero. Răspunsul sistemului deschis la un semnal de intrare treaptă este dat în Fig.7.4. Se constată că, pentru o valoare a unghiului de comandă θ, oricât de mic, bila începe să se deplaseze pe ghidaj, până la cealaltă extremitate, unde este oprită prin limitarea mecanică a cursei. Este necesară introducerea corectorului cu avans de fază pentru a putea obţine o margine de fază care să corespundă cerinţelor impuse. Se consideră compensatorul:

Ts1Ts1k)s(C 1 α+

+α= (7.11)

Valoarea maximă a fazei introdusă de un astfel de compensator este de 90 [grade]. Pentru a determina structura compensatorului se ţine cont de faptul că suprareglarea nu trebuie să depăşească 5%, corespunzător unui factor de amortizare ξ = 0.7.

In general, marginea de fază minim necesară pentru o suprareglare impusă este de 100ξ ; ( pentru suprareglarea σ = 5%, mF min = 0.7 * 100 = 70 [grade]). Pentru controler se consideră deci, acoperitor, valoarea φm = 85 [grade].

188


Fig.7.4.

Ţinând cont de relaţia dintre timpul de răspuns şi banda de trecere,

24421t4 242

rB +ξ−ξ+ξ−

ξ=ω , (7.12)

Atunci, pentru tr = 3 [s] şi ξ = 0.7, rezultă ωB = 1.92 [rad/s].

Pulsaţia ωm pentru care se obţine defazajul maxim al compensatorului trebuie aleasă sub valoarea benzii de trecere ωB . Se alege ωm = 1 [rad/s] (sau o altă valoare apropiată). Se calculează apoi valoarea lui α din relaţia :

0019.0sin1sin1

m

m =ϕ+ϕ−

=α . (7.13)

Se calculează apoi constanta de timp T cu relaţia:

9038.221Tm

=αω

= [rad/s] (7.14)

189

Mitică Temneanu

Având determinate constantele α şi T, pot fi determinate pulsaţiile de

frângere ale compensatorului, T

1;T1

21 α=ω=ω .

Funcţia de transfer a controlerului mai poate fi pusă sub forma:

1

2111 s

sk

T1s

T1s

kTs1

Ts1k)s(Cω+ω+

=+

α+

=α++

α= . (7.15)

Structura controlerului poate fi considerată de forma: contr = tf(k1*α*[T 1],[α*T 1]); Se trasează caracteristicile Bode pentru sistemul deschis necompensat (1), pentru compensator (2) şi pentru sistemul compensat (3):

bode(sist, contr, contr*sist) Aceste caracteristici, pentru factorul de amplificare k1=60, sunt date în Fig.7.5. Sistemul în buclă închisă, cu reacţie negativă unitară este: sist_cl = feedback(contr*sist,1); Răspunsul la un semnal treaptă se obţine prin comanda: step(sist_cl,2). Pentru amplificarea k1=60, răspunsul la un semnal treaptă al sistemului este dat în Fig.7.6. Se constată o suprareglare de aproximativ 23%, fiind necesară diminuarea amplificării. Valoarea corespunzătoare este k1=35, pentru care se obţine o suprareglare su 5% şi un timp de răspuns corespunzător. Caracteristicile atenuare-frecvenţă ale compensatorului (2) şi sistemului compensat (3) coboară puţin, valoarea marginii de fază care se obţine fiind de aproximativ 81°. Rezultă pentru corector funcţia de transfer de forma:

s*9038.22*0019.01s*9038.2210019.0*35

Ts1Ts1k)s(C 1 +

+=

α++

α=

Pentru această valoare a amplificării, k1=35, răspunsul la treaptă este dat în Fig.7.7.

190


Fig.7.5.

Fig.7.6.

191

Mitică Temneanu

Fig.7.7.

7.1.2. Controlul sistemului utilizând regulatoare clasice Pentru structura de reglare considerată se utilizează un regulator P sau PD având structura generală serie: )sk1(k)s(C dp += . (7.16) Regulatorul de tip P. Se consideră componentele integrală şi derivativă egale cu zero. Se introduce o valoare pentru factorul de amplificare. Sistemul rămâne instabil, indiferent de valoarea factorului de amplificare. Regulatorul de tip PD . Deoarece sistemul conţine, pe calea directă, un pol dublu în origine, se va obţine eroare staţionară nulă chiar în prezenţa unui regulator PD. Se consideră ki =0. Se ajustează kp şi kd . Sistemul poate fi stabilizat. Se obţin performanţele impuse prin acordarea corespunzătoare a regulatorului. Se consideră mai întâi kp = 1 şi kd = 1. Caracteristicile Bode ale sistemului necompensat (1), ale regulatorului (2) şi ale sistemului compensat (3) sunt date in Fig.7.8.

192


Fig.7.8.

Răspunsul la un semnal de intrare treaptă este dat în Fig.7.9.

Fig.7.9.

193

Mitică Temneanu

Se creşte kp = 10 şi kd = 1. Caracteristicile Bode devin cele din Fig.7.10.

Fig.7.10.

Răspunsul la un semnal de intrare treaptă este dat în Fig.7.11.

Fig.7.11.

194


Marginea de fază poate fi crescută prin creşterea timpului de derivare, deci a coeficientului kd la valoarea kd = 2 , apoi la kd = 3, păstrând amplificarea la kp = 10. Răspunsul la un semnal treaptă se ameliorează, atât ca nivel al suprareglării cât şi a timpului de răspuns. În final, se creşte amplificarea, rezltând parametrii finali ai regulatorului PD la valoarile kp = 15 şi kd = 3. Pentru aceste valori, caracteristicile Bode sunt date în Fig.7.12.

Fig.7.12.

Răspunsul la un semnal de intrare treaptă este dat în Fig.7.13. 7.2. Poziţia unui motor de curent continuu

Prin integrarea vitezei unghiulare a motorului se obţine poziţia acestuia. Considerăm motorul având structura simplificată dată în Fig.7.14. Parametrii motorului sunt:

• J, Momentul de inerţie [kg m2/s2] • b, Coeficientul de frecare vâscoasă [Nms] • ke=kt=k , Constantele motorului [Nm/A] • R, Rezistenta rotorică [Ω]

195

Mitică Temneanu

• L, Inductanţa rotorică [H]

Fig.7.13.

Mărimea de intrare în sistem este tensiunea de alimentare, u, iar

mărimea de ieşire este poziţia unghiulară a axului rotorului, θ, care se obţine prin integrarea vitezei unghiulare . θ=ω &

Ecuaţiile motorului sunt:

θ&eke =

R L

u

J

T

θ

θ&b

Fig.7.14.

196


ikT t= ,T = cuplul motor; (7.17) θ= &

eke , e = tensiunea contraelectromotoare; (7.18) kibJ =θ+θ &&& , Ecuaţia de echilibru a cuplurilor; (7.19)

θ−=+ &kuRidtdiL , Ecuatia de echilibru a tensiunilor. (7.20)

Trecând în transformate Laplace în condiţii iniţiale nule, se obţine:

)s(kI)s()bJs(s =θ+ ; (7.21) )s(ks)s(U)s(I)RLs( θ−=+ ; (7.22)

Eliminând I(s) între cele două relaţii se obţine:

)s(U)s(ks)s(k

)bJs)(RLs(s=θ+θ

++ ; (7.23)

Rezultă funcţia de transfer:

)k)bJs)(RLs((sk

)s(U)s()s(G 2+++=

θ= (7.24)

Dacă se face o reprezentare în spaţiul stărilor, considerând vectorul de

stare , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θ

θ

=i

x &

atunci se poate scrie:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θ

θ

=θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θ

θ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θ

θ

i001y

uL/1

00

iL/RL/k0J/kJ/b0

010

idtd

&

&&

(7.25)

Matricile corespunzătoare sunt:

197

Mitică Temneanu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

L/RL/k0J/kJ/b0

010A ; ; (7.26)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

L/100

B

[ ]001C = ; . [ ]0D = Exemplu numeric:

• J=3.2284e-6 [kg m2/s2] • b=3.5077e-6 [Nms] • ke=kt=k=0.0274 [Nm/A] • R=4 [Ω], • L=2.75e-6 [H]

Sistemul poate fi descris în MATLAB prin: num=k; den=[J*L J*R+L*b b*R+k^2 0]; motor=tf(num,den);

Răspunsul indicial se obţine prin comanda: step(motor,'r',0.2) grid

Acesta are aspectul prezentat în Fig.7.15.

Fig.7.15.

198


Caracteristicile Bode ale sistemului iniţial, în buclă deschisă sunt date în Fig.7.16.

Fig.7.16.

Pentru controlul poziţiei motorului este necesară introducerea acestuia într-o buclă de reglare, ca în Fig.7.17.

Fig.7.17.

C(s) G(s) R(s) Y(s)=θ(s) +

-

Com.V(s)-

+

unde: R(s) = referinţa [rad]; V(s) = perturbaţia; C(s) = funcţia de transfer a controlerului; G(s) = funcţia de transfer a motorului; ε(s) = eroarea;

199

Mitică Temneanu

Y(s) = θ(s) = mărimea de ieşire. Pentru o treaptă de intrare de 1 [rad], se impun sistemului următoarele performanţe:

• Timp de răspuns tr ≤ 0.04 [s]; • Suprareglare maximă 16%; • Eroare staţionară nulă în raport cu referinţa; • Eroare staţionară nulă în raport cu perturbaţia.

7.2.1. Controlul sistemului utilizând regulatoare clasice Controlerul utilizat este un regulator PID ( cu structură serie) având funcţia de transfer de forma:

skks)kk1(kskk

)sk1)(s

k1(k)s(C ipdip

2dp

di

p+++

=++= (7.27)

Regulator de tip P. Acordarea parametrilor acestui tip de regulator se face prin studierea caracteristicilor Bode ale sistemului deschis, necorectat. Considerăm kp = 2, ki = kd = 0.

Răspunsul indicial al sistemului se obţine prin determinarea funcţiei de transfer a sistemului în buclă închisă, cu corectorul prezent pe calea directă, şi apoi dând comanda step:

contr=tf(kp*[kd 1+ki*kd ki],[1 0]) sist_cl = feedback(contr*motor,1); step(sist_cl,'r',0.2); grid

Răspunsul indicial al sistemului la o variaţie treaptă a referinţei este dat în Fig.7.18. Pentru perturbaţie, deoarece calea directă între perturbaţie şi ieşire are funcţia de transfer „motor” iar calea de reacţie are funcţia de transfer „contr”, avem:

pert_cl = feedback(motor,contr); Răspunsul la o treaptă de perturbaţie este dat de:

step(pert_cl,'r',0.2); grid

200


Fig.7.18.

Răspunsul indicial al sistemului la o variaţie treaptă a perturbaţiei este dat în Fig.7.19.

Fig.7.19.

201

Mitică Temneanu

Deoarece, pentru această structură a regulatorului, perturbaţia nu are pe calea directă a sistemului nici un integrator până în punctul în care aceasta intră în sistem, vom avea o valoare finită a erorii staţionare în raport cu perturbaţia:

p0sv_st k

1s1

)s(C)s(G1)s(Gslim =

+=ε

→; (7.28)

Pentru a avea erori staţionare nule atât în raport cu referinţa cât şi în raport cu perturbaţia trebuie să avem un integrator la nivelul regulatorului C(s). Regulatorul PI. Pentru această structură, păstrăm valoarea amplificării kp = 2 dar introducem şi o componentă integratoare, ki = 10. Componenta derivativă este nulă, kd = 0. Caracteristicile Bode ale sistemului deschis compensat sunt date în Fig.7.20.

Fig.7.20.

Răspunsul la un semnal de intrare treaptă la nivelul referinţei este dat în Fig.7.21.

202


Fig.7.21.

Răspunsul la un semnal de intrare treaptă la nivelul perturbaţiei este dat în Fig.7.22.

Fig.7.22.

203

Mitică Temneanu

Regulatorul PID. Pentru această structură, considerăm valoarea amplificării kp = 6, introducem o componentă integratoare, ki = 100. Pentru diminuarea suprareglării se introduce o componentă derivativă, kd = 0.025 . Caracteristicile Bode ale sistemului deschis compensat sunt date în Fig.7.23.

Fig.7.23.

Răspunsul la un semnal de intrare treaptă la nivelul referinţei este dat în Fig.7.24. Răspunsul la un semnal de intrare treaptă la nivelul perturbaţiei este dat în Fig.7.25. Se constată că pentru aceste valori ale parametrilor regulatorului se obţin performanţele impuse sistemului iniţial.

204


Fig.7.24.

Fig.7.25.

205

Mitică Temneanu

7.3. Viteza unui vehicul

Se consideră un vehicul de masă m, pentru care inerţia roţilor este neglijată, forţele de frecare fiind proporţionale cu viteza de deplasare v. Forţa de tracţiune aplicată vehiculului este F. Sistemul considerat este reprezentat în Fig.7.26.

v m

F

bv

Fig.7.26.

Echilibrul forţelor se scrie sub forma:

Fbvma =+ , (7.29) unde: a = acceleraţia dezvoltată de vehicul v = viteza vehiculului, b = coeficientul de frecare, m = masa vehiculului. Se consideră că mărimea de ieşire pentru sistem este viteza v. Transformata Laplace, în condiţii iniţiale nule, a ecuaţiei ce descrie comportarea sistemului este ( ţinând cont că va &= ) :

)s(F)s(bV)s(msV =+ (7.30) de unde se obţine funcţia de transfer:

s)b/m(1b/1

bms1

)s(F)s(V)s(G

+=

+== (7.31)

Rezultă că funcţia de transfer este a unui element cu întârziere de ordinul I, având factorul de amplificare şi constanta de timp:

b/mT;b/1k == . Dacă se consideră o reprezentare a sistemului în spaţiul stărilor, considerând mărimea de stare x = v iar mărimea de ieşire y = v, se poate scrie:

[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ]v1y

Fm/1vm/bv=

+−=& (7.32)

206


matricile corespunzătoare fiind:

[ ] [ ] [ ] [ ] .0D;1C;m/1B;m/bA ===−= (7.33)

xemplu numeric:

g]

istemul poate fi descris în MATLAB prin:

; n);

Se consideră că mărimea de ieşire pentru sistem este viteza v.

Dacă f

E• F = 500 [N] • m = 1000 [K• b = 50[Ns/m]

Snum=[1/b]; den=[m/b 1]sist=tf(num,de

orţa de tracţiune este F = 500 [N] atunci, după parcurgerea unui regim tranzitoriu, vehiculul va atinge viteza s/m10b/Fv == . Răspunsul sistemului în buclă deschisă se poate obţine prin:

unde F = 500 N iar 150 [s] reprezintă valoarea maximă a timpului de

ăspunsul sistemului în buclă deschisă este dat în Fig.7.27.

Se constată că viteza vehiculului atinge valoarea v = 10 [m/s] după m

celereze până la această viteză în mai puţin d

când se utilizează un sistem de control se doreşte ca

Deoarece viteza care trebuie atinsă este v = 10 [m/s], vom aplica sistemu

step(F*sist,150) grid

simulare. R

ai mult de 100 s. Fiind un element de ordinul I, răspunsul acestuia intră în banda de 5% (9.5 [m/s]) după trei constante de timp T, iar în banda de 2% (9.8 [m/s] ) după 4T.

Se doreşte ca vehiculul să ace 5 [s].

Atunci suprareglarea să nu depăşească valoarea de 10 %. Se admite o eroare maximă de regim staţionar de 2 %.

lui în buclă închisă o treaptă de viteză de valoare r = 10 [m/s].

207

Mitică Temneanu

Fig.7.27.

Caracteristicile Bode ale sistem is, necompensat, sunt date în ului deschFig.7.28.

Fig.7.28.

208


7.3.1. Controlul sistemului ut

entru controlul vitezei vehiculului este necesară introducerea acestui

Fig.7.29.

ste necesară introducerea unui corector cu întârziere de fază şi

ilizând un compensator cu întârziere de fază Pansamblu într-o buclă închisă, având pe calea directă un controler cu funcţia de transfer C(s), ca în Fig.7.29.

Eamplificare având funcţia de transfer de forma:

1

2ss1k

T1s

T1s +1k

Ts1Ts1k)s(C

ω+ω+

β=

β+β

=β++

= (7.34)

Se poate introduce pentru început un corector cu întârziere de fază cu

orului se ia ω2 = 0.4 [rad/s].

factor de amplificare unitar, k = 1. Valoarea maximă a defazajului introdus o considerăm de 45°. Rezultă β = 1/0.1716. Pulsaţia pentru care se doreşte intersectarea caracteristicii atenuare-frecvenţă cu linia de zero dB se consideră la valoarea ω = 6 [rad/s]. Pulsaţia superioară de frângere a corectRezultă ω1 = ω2/β = 0.4*0.1716 [rad/s]. Se obţine pentru corector expresia:

1716.0*4.0s4.0s1716.0*ks1k)s(C 2 =

ω+=

s 1 ++

ω+β (7.35)

Pentru k = 1, caracteristicile Bode ale sistem

C(s) G(s)

R(s) Y(s) +

-

U(s)ε (s)

ului necompensat (1), ale compensatorului (2) şi ale sistemului compensat (3) sunt date în Fig.7.30. Rezultă că, pentru pulsaţia ω = 6 [rad/s], caracteristica atenuare-pulsaţie trebuie ridicată, prin creşterea factorului de amplificare k, cu valoarea de 90.7 dB, rezultând pentru factorul de amplificare valoarea k = 10^(90.7/20) = 34277. Caracteristicile Bode ale sistemului necompensat

209

Mitică Temneanu

(1), ale compensatorului (2) şi ale sistemului compensat (3) pentru noua valoare a factorului de amplificare k sunt date în Fig.7.31.

Fig.7.30.

Fig.7.31.

210


Răspunsul sistemului închis com n semnal de intrare treaptă, de pensat la uvaloare r = 10 [m/s] este dată în Fig.7.32.

Fig.7.32.

.3.2. Controlul sistemului utilizând

entru structura de reglare considerată se utilizează un regulator P, PD

7 regulatoare clasice Psau PID având structura generală serie:

skks)kk1(kskkk 2

dp +)sk1)(

s1(k)s(C ipdip

di

p++

=++= . (7.36)

unde : kp = factorul de amplificare

( = 1/Ti )

inând cont de expresia numărătorului şi numitorului funcţiei de transfer

contr=tf(kp*[kd 1+ki*kd ki],[1 0])

ki = coeficientul de integrare kd = ceficientul de derivare ( = Td ). Ţa controlerului ( regulatorului), se poate scrie:

211

Mitică Temneanu

Caracteristicile Bode ale sistemului deschis, necompensat, sunt cele date în Fig.7.28. Pentru amelioarea comportării sistemului este necesară introducerea unui regulator de tip P, PI sau PID. Pentru determinarea răspunsului sistemului la un semnal de intrare treaptă, este necesară determinarea funcţiei de transfer a sistemului în buclă închisă. Acest lucru se poate face în MATLAB prin:

sist_cl = feedback(contr*sist,1);

Răspunsul la un semnal de intrare treaptă de amplitudine r se poate obţine prin comanda:

step(r*sist_cl,'r',10); grid

Regulator de tip P Pentru acest tip de regulator se consideră valori diferite ale amplificării kp de la valori mici (kp = 100) spre valori mari. Pentru kp = 1000, răspunsul sistemului este dat în Fig.7.33.

Fig.7.33.

212


Se constată îmbunătăţirea timpului de răspuns prin micşorarea constantei de timp şi existenţa unei erori staţionare de aproximativ 0.5 [m/s]. Pentru anularea erorii staţionare este necesară introducerea componentei derivative în structura regulatorului. Regulator de tip PI Alegerea parametrilor de acordare ai regulatorului se poate face pornind, mai întâi de la structura generală PID, luând kp = 1 şi kd = 0. Parametrul ki se alege astfel încât să avem pentru calea directă o modificare a caracteristicilor Bode în sensul dorit. Se consideră mai întâi valoarea ki = 1. Caracteristicile Bode ale sistemului necompensat (1), ale compensatorului (2) şi ale sistemului compensat (3) sunt date în Fig.7.34.

Fig.7.34.

Răspunsul la un semnal de intrare treaptă are o evoluţie necorespunzătoare din cauza amplificării foarte mici. Este necesară deci, pentru această valoare a coeficientului de integrare, ridicarea caracteristicii atenuare-frecvenţă, astfel încât, pentru pulsaţia de frângere

213

Mitică Temneanu

a amplificării (intersecţia acestei caracteristici cu linia de 0 dB) să avem o margine de fază apropiată de 90°. Ca exemplu, se alege pulsaţia de intersecţie a caracteristicii atenuare-frecvenţă cu linia de 0 dB la valoarea ω = 7 [rad/s]. Pentru această valoare a pulsaţiei argumentul sistemului este φ = -97.7° iar atenuarea este de -76.9 dB. Rezultă un factor de amplificare suplimentar kp = 10 76.9 / 20 = 6998 . Caracteristicile Bode modificate sunt date în Fig.7.35.

Fig.7.35.

Răspunsul sistemului la un semnal de intrare treaptă este dat în Fig.7.36. Se constată un răspuns corespunzător atât din punctul de vedere al timpului de răspuns cât şi din punct de vedere al suprareglării care nu depăşeşte 10%. Regulator PID Pentru acest tip de regulator, având în vedere faptul că sistemul în buclă deschisă are o amplificare foarte mică, vom începe acordarea regulatorului serie prin introducerea din start a unei amplificări, kp = 100.

214


Fig.7.36.

Pentru acţiunile integrală şi derivativă, ţinând cont de faptul că pentru regulatorul PID serie avem imaginea exactă a caracteristicilor atenuare-frecvenţă şi fază-frecvenţă în funcţie de kp, ki şi kd, ţinănd cont de pulsaţiile de frângere ale caracteristicii, putem considera ca valori corespunzătoare pentru început ki = 1 şi kd = 0.1. Pentru aceste valori, caracteristicile Bode ale sistemului necompensat (1), ale compensatorului (2) şi ale sistemului compensat (3) sunt date în Fig.7.37. Răspunsul sistemului la un semnal de intrare treaptă este oscilant, cu timp mare de răspuns, acesta fiind dat în Fig.7.38. Este necesară creşterea amplificării şi deci ridicarea caracteristicii atenuare-frecvenţă astfel încât să se obţină o margine de fază corespunzătoare. De remarcat faptul că soluţia care va fi găsită pentru parametrii regulatorului nu este unică. Dacă se alege o bandă de trecere mai mare, atunci trebuie crescută valoarea lui ki şi micşorată corespunzător valoarea lui kd , după care se determină noul factor de amplificare kp.

215

Mitică Temneanu

Fig.7.37.

Fig.7.38.

216


Pentru situaţia dată, ca exemplu, se alege pulsaţia de intersecţie a caracteristicii atenuare-frecvenţă cu linia de 0 dB la valoarea ω = 2.7 [rad/s]. Pentru această valoare a pulsaţiei argumentul sistemului este φ = -94.3° iar atenuarea este de -27.8 dB. Rezultă un factor de amplificare suplimentar kp = 10 27.8 / 20 = 24.54 . Ţinând cont că valoarea iniţială a amplificării este kp = 100, rezultă pentru regulator valoarea amplificării kp =100*10 27.8 / 20 10 67.8 / 20= 2454. Caracteristicile Bode modificate sunt date în Fig.7.39.

Fig.7.39.

Răspunsul sistemului la un semnal de intrare treaptă este ameliorat, rezultând o suprareglare cu puţin peste 10% şi un timp de răspuns satisfăcător, acesta fiind dat în Fig.7.40. Pentru diminuarea suprareglării este necesară creşterea coeficientului de derivare de la valoarea kd = 0.1, pas cu pas, din zecime în zecime. Se constată că pentru valoarea kd = 0.4, avem o suprareglare situată sub valoarea de 10%, obţinută simultan cu un timp de răspuns satisfăcător, aşa cum este prezentat în Fig.7.41.

217

Mitică Temneanu

Timpul de răspuns poate fi diminuat dacă se are în vedere creşterea benzii de trecere a sistemului.

Fig.7.40.

Fig.7.41.

218


Bibliografie

1. Astrom, K.I, Control System Design, Lund, Sweden, 2002 2. Bubnicki, Z, Modern control theory, Springer-Verlag, Berlin

Heidelberg, 2005. 3. Burns, R. Advanced control engineering, Butterworth-

Heinemann, Woburn, 2001 4. Călin, S., Dumitrache, I., Regulatoare automate, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 5. Doyle, J. Francis, B., Tannenbaum, A., Feedback Control Theory,

MacMillan Publishing, 1990. 6. Dumitrache, I., Tehnica reglării automate, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1980. 7. Ellis, G., Control system design guide, Elsevier Academic Press,

London, 2004. 8. Engelberg, S., A mathematical introduction to control theory,

Imperial College Press, London, 2005. 9. Geering, H.P., Optimal control with engineering applications,

Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2007. 10. Huges, A.T., Measurement and control basics, 3-rd Edition, ISA

Press, 2002. 11. Ionescu, V., Teoria sistemelor, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1985.

219

Mitică Temneanu

12. Landau, I.D., Identificarea şi comanda sistemelor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1997

13. Nemescu, M. V., Tehnica reglării automate, Editura Politehnium,

Iaşi, 2005. 14. Nemescu, M.V., Cleju M., Temneanu M., Bazele automatizării,

Editura „Gh. Asachi”, Iaşi, 1995. 15. Ogata, K., Modern control engineering, 3-rd Edition, Prentice

Hall International, New York, 1997. 16. Shaw, J., The PID control algoritm, 2-nd Edition, 2003. 17. Shinskey, F., Process control systems, McGraw Hill , New York,

2002. 18. Smith, C.A., Corripio A.B., Principles and practice of automatic

process control, John Wiley & Sons, New York, 2003. 19. Voicu, M., Introducere în Automatică, Editura Dosoftei, Iaşi,

1998.

220

tehnica reglĂrii Şi control automat...regulatoare automate continue 116 5.1. poziţia...

Documents