I. Calcul de sume si produse.1. ;.... 2:)1(...321321 +++++ ==????= nnnn aaaaaaP2. ; ;122222 +=?=+ nnnn 1333333 +=?=++ nnnnn ;4444444 1+=?=+++ nnnnnn

3.

;

=?+++++=?+++++=+++++= 12...22)11(1)2...221(12....2221 22321nnnS

121)22(...12...)22(12...2)22(12...22)22( 13332232 ?=?+==?+++=?++++=?+++++= +nnnnnn

4. Pentru calculul unei sume de tipul (1), oricare n natural , a natural nenul sinna aaaaS +++++= ...132

, 1?a , procedamastfel:? inmultim suma cu baza comuna a: (2).1322, ...)...1(

+++++=++++?=? nnna aaaaaaaaSa? trecem relatiile (2), (1) unele sub altele astfel incat puterile de acelsi exponent sa corespunda pe coloane:

nna

nnna

aaaaS

aaaaaSa

+++++=

+++++=? +

...1

...32

,

132,

Efectuand scaderea membru cu membru, obtinem: , deci

obtinem:

11,, ?=??+n

nana aSSa

1)1( 1, ?=??+n

na aSa .Observatii:? recunoastem o astfel de suma ca fiind suma tuturor puterilor de baza a, cu exponentii numere naturale consecutive, incepand cu

puterea de exponent 0.? Daca suma nu incepe cu , adica este de forma , oricare numar natural nenul si diferit de 1,

oricare 0

? Daca m>n atunci patratele lor sunt in acceasi ordine de marime, adica ;22 nm >? In multimea numerelor naturale (!) egalitatea are loc daca si numai daca m=n;22 nm =? Numim doua numere patrate perfecte consecutive daca sunt patratele unor numere naturale consecutive; exemple: 64 si 81 sunt

patrate perfecte consecutive deoarece sunt patratele numerelor consecutive 8 si 9;? Intre doua patrate perfecte consecutive nu mai exista nici un numar natural patrat perfect; exemplu; aratati ca intre 17 si 24 nu exista

nici un patrat perfect: cum , rezulta ca 16 si 25 sunt patrate perfecte consecutive, dedci intre ele nuse mai afla nici un alt patrat perfect;

22 5252417164 =

Regula ridicarii la putere: adica cifra unitatii puterii an-a a numarului a este egala cu cifra unitatii puterii a n-a a

cifrei unitatii numarului a; exemplu: ;

)))((()( nn auuau =3)343()7()347(;2)32()2()12( 3355 ====== uuuuuu

Observam din regula precedenta ca pentru a determina cifra unitatii unui numar natural presupune cunoasterea regulilor de repetitie acifrei unitatii puterilor numerelor de o cifra:Cum atunci , oricare n>0; deci daca u(a)=0 atunci ; exemplu:

;

,00...00 21 ==== n 0)0( =nu 0)0()( == nn uau0)0()320( 55 == uu

Cum atunci , oricare n natural; deci daca u(a)=1, atunci ;11...111 210 ===== n 1)1( =nu 1)1()( == nn uau

Cum avem generalizarea: daca u(a)=2 atunci ;,322;162;82;42,22,12 543210 ======

???

?

???

?

?

+=+=+=

==

==

346248144

4201

)2()(

knknkn

knn

uau nn

Cum avem generalizarea: daca u(a)=3 ;,...2433,813;273,93;33;13 543210 ======

???

???

?

+=+=+=

=

==?

347249143

41

)3()(

knknkn

kn

uau nn

Cum avem: daca u(a)=4 atunci ;,...644;164;44;14 3210 ====??

??

?

+===

==126

2401

)4()(kn

knn

uau nn

Cum avem ca daca u(a)=5 atunci ;n5...55;15 210 ===???

>=

==0501

)5()(nn

uau nn

Cum avem ca daca u(a)=6 atunci ;n6...66;16 210 ===???

>=

==0601

)6()(nn

uau nn

Cum avem ca daca u(a)=7 atunci ;,7...7;1...7;3437;497,77,17 543210 ======

???

???

?

+=+=+=

=

==?

343249147

41

)7()(

knknkn

kn

uau nn

Cum avem ca daca u(a)=8 atunci ;,8...8;6...8;2...8;648,88,18 543210 ======

???

?

???

?

?

+=+=+=

==

==

346242144

4801

)8()(

knknkn

knn

uau nn

Cum avem ca daca u(a)=9 atunci;...819;99;19 210 ===???

+==

==129

21)9()(

knkn

uau nn

Proprietate:Ultima cifra a patratelor perfecte poate fi 0,1,4,5,6 sau 9.Orice numar natural care are cifra unitatilor 2,3,7 sau 8 nu poate fi patrat perfect!Exista numere naturale care au cifra unitatilor 0,1,4,5,6 sau 9 care nu sunt patrate perfecte; exemplu: 10 nu este patrat perfect.