calculul unor sume

5
1 x Calculul unor sume in gimnaziu Exercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnite chiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrarea unor formule de calcul pentru acestea ,altele decat cele ce folosesc inductia matematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvarea unor probleme propuse pentru diferite concursuri. Calculul unor sume de numere 1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 + 2 + 1 2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1 2S=n(n+1) S= 2 ) 1 ( n n 2. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1) S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1 2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n 2S=2n.n S= n 2 3. S=1 + x + x 2 +…+ x x n 2 + x n 1 + x n Sx= x x x x x n n 1 3 . ... 2 Sx-S = 1 1 x n S(x-1) = 1 1 x n S=( x n 1 -1)/( x -1) 4. S= 1 2 + 2 2 + 3 2 +…+ n 2 Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie: 1 2 =1

Upload: georgiancraciun

Post on 05-Dec-2014

245 views

Category:

Documents


11 download

DESCRIPTION

Calculul Unor Sume

TRANSCRIPT

Page 1: Calculul Unor Sume

1

x

Calculul unor sume in gimnaziu

Exercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnitechiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrareaunor formule de calcul pentru acestea ,altele decat cele ce folosesc inductiamatematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvareaunor probleme propuse pentru diferite concursuri.

Calculul unor sume de numere

1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 + 2 + 1 2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1 2S=n(n+1)

S=2

)1( nn

2. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1) S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1 2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n 2S=2n.n S=n2

3. S=1 + x + x2 +…+ x xn 2 + xn 1 + xn

Sx= xxxxx nn 13 ....2

Sx-S = 11xn

S(x-1) = 11xn

S=( xn 1 -1)/( x -1)

4. S=12 +22 +32 +…+n2

Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie:

12 =1

Page 2: Calculul Unor Sume

2

22 =1+3

32 =1+3+5 …………………………….

k 2 =1+3+5+…+(2k-1)…………;…………………..

n2 =1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-1) Adunand membru cu membru obtinem:S=n.1+(n-1).3+(n-2).5+…+(n-k+1).(2k-1)+…+2.(2n-3)+(2n-1)

Termenul general are forma:(2k-1).(n-k+1) si poate fi scris: (2k-1).(n-k+1)=(n+1).(2k-1)-2k 2 +k,atunci:

S=(n+1).(1+3+5+…+2n-1)-2(12 +22 + 32 +…+n2 )+(1+2+3+…+n)

3S=(n+1).n2 +n(n+1)/2

6S=2.(n+1).n2 +n.(n+1)6S=n(n+1)(2n+1)

S=6

)12)(1( nnn

5. S=2.1

1 +3.2

1 +4.3

1 +…+)1(

1nn

Se demonstreaza usor ca:)1(

1nn

=n1 -

11n

S=11 -

21 +

21 -

31 +…+

n1 -

11n

=11 -

11n

=1n

n

Generalizare:)( knn

k

=n1 -

kn 1

Aplicatii:a) Calculati suma cifrelor numarului:x=9+99+999+…+99..99,unde ultimul termen are 2008 cifre.Numarul x se mai poate scrie:

x=10-1+102 -1+103 -1+…+102008 -1=(10+102 +103 +…+102008 -1=

=(10+102 +103 +…+102008 )-2008=10(1+10+102 +…+102007 )-2008=

=10.110

1102008

-2008=10.9

99..999 -2008=10.111…11-2008=111…1109102.In rezultat

apare de 2004 ori,deci suma cifrelor va fi :2016.Generalizare: Pentru a calcula: S=a+ aa + aaa +…+ aaaa... se calculeaza:

9a (9+99+999+…+99…9)

Page 3: Calculul Unor Sume

3

b)Calculati: S=4.1

3 +9.4

5 +16.97 +…+

1849.176485

Se foloseste relatia:)( knn

k

=n1 -

kn 1 si avem:

S=11 -

41 +

41 -

91 +

91 -

161 +…+

17641 -

18491 =

18491848 c)Sa se

calculeze:

S=)1.(1

1k

+)12)(1(

1 kk

+)13)(12(

1 kk

+…+)1](1)[(

1 nkkn

Se observa ca diferenta dintre factorii de la numitor este k,deci vom inmulti cu k siobtinem:

Sk=)1.(1 k

k +)12)(1( kk

k +)13)(12( kk

k +…+)1](1)1[( nkkn

k =

=11 -

11k

+1

1k

-12

1k

+12

1k

-13

1k

+…+1)1(

1 kn

-1

1nk

=

=11 -

11nk

=1

11

nknk =

1nknk ,de unde:S=

1nkn .

d)Aratati ca numarul :N=1+2+22 +23 +…+22006 nu este patrat perfect.

Calculand N obtinem: N=22007 -1

U(22007 -1)=U(U(22007 )-1)=7.Cum nici un patrat perfect nu se termina in 2,3,7,8rezulta N nu este patrat perfect.e)Sa se calculeze suma: S=12 +32 +52 +…+ )12( 2n Se porneste de la )12( 2n =4.n2 -4.n+1 avem:

12 =4.12 -4.1+1

32 =4.22 -4.2+1

52 =4.32 -4.3+1 …………………….

)12( 2n =4.n2 -4n+1 Adunand membru cu membru obtinem:

S=4(12 +22 +32 +…+n2 )-4(1+2+3+…+n)+n=

= 4.6

)12)(1( nnn -4.2

)1( nn +n=3

)12)(1(2 nnn -2n(n+1)+n=

=3

3)1(6)12)(1(2 nnnnnn =

Page 4: Calculul Unor Sume

4

=3

)3662424( 2 nnnn n =3

)14( 2 nn.

f) Calculati:S=22 +42 +62 +…+20082 .Suma mai poate fi scrisa:

S= )1.2( 2+ )2.2( 2

+ )3.2( 2+…+ )1004.2( 2

=22 .12 +22 .22 +22 .32 +…+

+22 .10042 =22 (12 +22 +32 +…+10042 )=6

2009.1005.1004.4 =

=1004.670.2009.

g) Calculati: S=22 +62 +102 +…+40142 .Suma se mai scrie:

S= )1.2( 2+ )3.2( 2

+ )5.2( 2+…+ )2007.2( 2

=22 .12 +22 .32 + …+

+22 .20072 =4(12 +32 +…+20072 )=3

)1.4(1004.4 10042 =

=3

)1(1004.4 20082 =

32009.2007.1004.4 =4.1004.669.2009

h) S=1+21

1

+321

1

+…+2008...321

1

=

=1+2/)3.2(

1 +2/)4.3(

1 +…+2/)2009.2008(

1 =

=1+3.2

2 +4.3

2 +…+2009.2008

2 =1+2( 3.2

14.3

1 +…+2009.2008

1 )=

=1+2(21 -

31 +

31 -

41 +…+

20081 -

20091 )=1+2(

21 -

20091 )=1+

20092007 =

40094016 .

i) S=1+x1 +

x2

1 +x3

1 +…+xn1 . Suma se mai poate scrie:

S=x

xxn

nn x 1...1

=)1(

11

xxx

n

n

Aratati ca numarul:

x=3

122 nn -32

2 242 nn -…-310

2 242 nn este patrat perfect.

Numarul poate fi scris: x=3

)1( 2n-

3)1(

2

22 n

-…-3

)1(10

22 n

=

= )1( 2n (31 -

32

2 -…-310

2 )= )1( 2n )[31 -

32

2 (1+31 +

32

1 +…+38

1 )]=

= )1( 2n (31 -

32

2 .3

38

9

.21

)= )1( 2n (3

310

9 131 )= )1( 2n .

310

1 =patrat perfect.

Page 5: Calculul Unor Sume

5

j) Calculati :S=3+7+11+…+8035. Se observa ca diferenta intre factori este 4,ne gandim la teorema impartirii cu restsi constatam:3=4.0+37=4.1+311=4.2+3……………….8035=4.2008+3S=4.0+3+4.1+3+4.2+3+…+4.2008+3=4(1+2+3+….+2008)+

+2009.3=2

2009.2008.4 +6027=4016.2009+6027=2009.4019

Concluzionand in calculul unei sume de mai multi termeni sunt necesareparcurgerea urmatoarelor etape: _stabilirea numarului de termeni ai sumei; _identificarea termenului general sau a regulii dupa care sunt construiti termeniisumei; _identificarea formulei sau lucru pe termenul general si repetarea pe fiecaretermen in parte