calculul unor sume
DESCRIPTION
Calculul Unor SumeTRANSCRIPT
1
x
Calculul unor sume in gimnaziu
Exercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnitechiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrareaunor formule de calcul pentru acestea ,altele decat cele ce folosesc inductiamatematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvareaunor probleme propuse pentru diferite concursuri.
Calculul unor sume de numere
1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 + 2 + 1 2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1 2S=n(n+1)
S=2
)1( nn
2. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1) S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1 2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n 2S=2n.n S=n2
3. S=1 + x + x2 +…+ x xn 2 + xn 1 + xn
Sx= xxxxx nn 13 ....2
Sx-S = 11xn
S(x-1) = 11xn
S=( xn 1 -1)/( x -1)
4. S=12 +22 +32 +…+n2
Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie:
12 =1
2
22 =1+3
32 =1+3+5 …………………………….
k 2 =1+3+5+…+(2k-1)…………;…………………..
n2 =1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-1) Adunand membru cu membru obtinem:S=n.1+(n-1).3+(n-2).5+…+(n-k+1).(2k-1)+…+2.(2n-3)+(2n-1)
Termenul general are forma:(2k-1).(n-k+1) si poate fi scris: (2k-1).(n-k+1)=(n+1).(2k-1)-2k 2 +k,atunci:
S=(n+1).(1+3+5+…+2n-1)-2(12 +22 + 32 +…+n2 )+(1+2+3+…+n)
3S=(n+1).n2 +n(n+1)/2
6S=2.(n+1).n2 +n.(n+1)6S=n(n+1)(2n+1)
S=6
)12)(1( nnn
5. S=2.1
1 +3.2
1 +4.3
1 +…+)1(
1nn
Se demonstreaza usor ca:)1(
1nn
=n1 -
11n
S=11 -
21 +
21 -
31 +…+
n1 -
11n
=11 -
11n
=1n
n
Generalizare:)( knn
k
=n1 -
kn 1
Aplicatii:a) Calculati suma cifrelor numarului:x=9+99+999+…+99..99,unde ultimul termen are 2008 cifre.Numarul x se mai poate scrie:
x=10-1+102 -1+103 -1+…+102008 -1=(10+102 +103 +…+102008 -1=
=(10+102 +103 +…+102008 )-2008=10(1+10+102 +…+102007 )-2008=
=10.110
1102008
-2008=10.9
99..999 -2008=10.111…11-2008=111…1109102.In rezultat
apare de 2004 ori,deci suma cifrelor va fi :2016.Generalizare: Pentru a calcula: S=a+ aa + aaa +…+ aaaa... se calculeaza:
9a (9+99+999+…+99…9)
3
b)Calculati: S=4.1
3 +9.4
5 +16.97 +…+
1849.176485
Se foloseste relatia:)( knn
k
=n1 -
kn 1 si avem:
S=11 -
41 +
41 -
91 +
91 -
161 +…+
17641 -
18491 =
18491848 c)Sa se
calculeze:
S=)1.(1
1k
+)12)(1(
1 kk
+)13)(12(
1 kk
+…+)1](1)[(
1 nkkn
Se observa ca diferenta dintre factorii de la numitor este k,deci vom inmulti cu k siobtinem:
Sk=)1.(1 k
k +)12)(1( kk
k +)13)(12( kk
k +…+)1](1)1[( nkkn
k =
=11 -
11k
+1
1k
-12
1k
+12
1k
-13
1k
+…+1)1(
1 kn
-1
1nk
=
=11 -
11nk
=1
11
nknk =
1nknk ,de unde:S=
1nkn .
d)Aratati ca numarul :N=1+2+22 +23 +…+22006 nu este patrat perfect.
Calculand N obtinem: N=22007 -1
U(22007 -1)=U(U(22007 )-1)=7.Cum nici un patrat perfect nu se termina in 2,3,7,8rezulta N nu este patrat perfect.e)Sa se calculeze suma: S=12 +32 +52 +…+ )12( 2n Se porneste de la )12( 2n =4.n2 -4.n+1 avem:
12 =4.12 -4.1+1
32 =4.22 -4.2+1
52 =4.32 -4.3+1 …………………….
)12( 2n =4.n2 -4n+1 Adunand membru cu membru obtinem:
S=4(12 +22 +32 +…+n2 )-4(1+2+3+…+n)+n=
= 4.6
)12)(1( nnn -4.2
)1( nn +n=3
)12)(1(2 nnn -2n(n+1)+n=
=3
3)1(6)12)(1(2 nnnnnn =
4
=3
)3662424( 2 nnnn n =3
)14( 2 nn.
f) Calculati:S=22 +42 +62 +…+20082 .Suma mai poate fi scrisa:
S= )1.2( 2+ )2.2( 2
+ )3.2( 2+…+ )1004.2( 2
=22 .12 +22 .22 +22 .32 +…+
+22 .10042 =22 (12 +22 +32 +…+10042 )=6
2009.1005.1004.4 =
=1004.670.2009.
g) Calculati: S=22 +62 +102 +…+40142 .Suma se mai scrie:
S= )1.2( 2+ )3.2( 2
+ )5.2( 2+…+ )2007.2( 2
=22 .12 +22 .32 + …+
+22 .20072 =4(12 +32 +…+20072 )=3
)1.4(1004.4 10042 =
=3
)1(1004.4 20082 =
32009.2007.1004.4 =4.1004.669.2009
h) S=1+21
1
+321
1
+…+2008...321
1
=
=1+2/)3.2(
1 +2/)4.3(
1 +…+2/)2009.2008(
1 =
=1+3.2
2 +4.3
2 +…+2009.2008
2 =1+2( 3.2
14.3
1 +…+2009.2008
1 )=
=1+2(21 -
31 +
31 -
41 +…+
20081 -
20091 )=1+2(
21 -
20091 )=1+
20092007 =
40094016 .
i) S=1+x1 +
x2
1 +x3
1 +…+xn1 . Suma se mai poate scrie:
S=x
xxn
nn x 1...1
=)1(
11
xxx
n
n
Aratati ca numarul:
x=3
122 nn -32
2 242 nn -…-310
2 242 nn este patrat perfect.
Numarul poate fi scris: x=3
)1( 2n-
3)1(
2
22 n
-…-3
)1(10
22 n
=
= )1( 2n (31 -
32
2 -…-310
2 )= )1( 2n )[31 -
32
2 (1+31 +
32
1 +…+38
1 )]=
= )1( 2n (31 -
32
2 .3
38
9
.21
)= )1( 2n (3
310
9 131 )= )1( 2n .
310
1 =patrat perfect.
5
j) Calculati :S=3+7+11+…+8035. Se observa ca diferenta intre factori este 4,ne gandim la teorema impartirii cu restsi constatam:3=4.0+37=4.1+311=4.2+3……………….8035=4.2008+3S=4.0+3+4.1+3+4.2+3+…+4.2008+3=4(1+2+3+….+2008)+
+2009.3=2
2009.2008.4 +6027=4016.2009+6027=2009.4019
Concluzionand in calculul unei sume de mai multi termeni sunt necesareparcurgerea urmatoarelor etape: _stabilirea numarului de termeni ai sumei; _identificarea termenului general sau a regulii dupa care sunt construiti termeniisumei; _identificarea formulei sau lucru pe termenul general si repetarea pe fiecaretermen in parte