Noiuni fundamentale

10

1 Noiuni fundamentale 1.1 Definiii [9 cap 1]

1.1.1 Structur Etimologic, termenul de structur provine de la latinescul structura, care nseamn construcie, cldire. Preluat n limbile europene, acest termen se nuaneaz mai trziu, semnificnd ideea de edificiu, respectiv de mod de a construi. n concluzie, structura este un mod de organizare, relativ stabil, al unui ansamblu de elemente interconectate dinamic pe baza relaiilor funcionale existente ntre acestea i al restriciilor de compatibilitate.

1.1.2 Sistem Termenul de sistem provine din grecescul sistema care nseamn ansamblu, reunire, punere mpreun a mai multor obiecte. Sistemul implic existena unor relaii cu proprieti integrative ntre elementele lui componente, sau ntre nsuirile lor [10]. Aceste relaii conduc la apariia unor proprieti noi la nivelul ansamblului, distincte fa de cele ale prilor componente. Urmrind, de exemplu, circuitul de ap - abur dintr-un cazan cu circulaie natural, nelegem cum funcionarea acestuia este posibil tocmai prin stabilirea unor relaii integrative ntre diversele componente (economizor, tambur, evi cobortoare, evi din sistemul vaporizator etc.), relaii de dispunere i succesiune ale acestora ntr-o anumit ordine care s permit aducerea apei la starea de saturaie, de vaporizare a ei i respectiv de supranclzire a aburului. Existena acestor relaii face ca o modificare a funcionrii unei componente s se transmit i asupra funcionrii celorlalte. Oprirea unui arztor, de exemplu, va influena cmpul termic din focar i cldura sensibil a gazelor de ardere. Ca urmare, se va modifica transferul de cldur spre circuitul de ap - abur i deci, vor fi influenate performanele acestuia. De aceea, subliniem faptul c, elementele unui sistem trebuie s fie interconectate dinamic. n rezumat, putem defini sistemul ca fiind un ansamblu de elemente interconectate dinamic, capabil de a se individualiza de mediul ambiant prin realizarea unei funcii sau a unui grup de funcii specifice. n mod practic orice aparat, echipament, sau instalaie tehnologic se poate considera ca fiind un sistem, deoarece fiecare dintre acestea:

reprezint un ansamblu de elemente interconectate dinamic; se caracterizeaz printr-o anumit funcie sau un grup de funcii (n particular, cele pentru

care au fost proiectate);

interacioneaz cu alte instalaii, sau direct cu mediul ambiant; au o structur funcional relativ stabil.

1.1.3 Stare Mulimea valorilor mrimilor fizice care reflect principalele nsuiri ale structurii lui, la un moment dat, definesc starea sistemului. Mrimile respective se numesc mrimi (parametri) de stare i au proprietatea de a fi independente unele de altele, fapt pentru acare se numesc i primare sau fundamentale. Pe baza relaiilor funcionale specifice unui sistem, se pot obine i alte mrimi, numite derivate (secundare). Ele se exprim n funcie de mrimile de

Definiii [9 cap 1]

11

stare primare i sunt folosite pentru obinerea unor informaii suplimentare despre sistemul considerat.

1.1.4 Transformare Orice schimbare a strii unui sistem se numete transformare. Atunci cnd studiem o transformare a unui sistem, ntr-un interval de timp, de la 1, la 2, starea corespunztoare momentului 1 se va numi stare iniial, iar cea corespunztoare momentului 2 se va numi stare final. Orice alt stare prin care trece sistemul n cursul unei transformri este o stare intermediar, de neechilibru i uneori greu controlabil. O transformare real este din punct de vedere practic o transformare de neechilibru. ns, n principiu, acest neechilibru poate fi fcut orict de mic, dac se micoreaz viteza de desfurare a transformrii. Astfel, transformarea de echilibru apare ca un caz limit al transformrii de neechilibru, atunci cnd viteza de variaie a mrimilor de stare tinde ctre zero. De aceea, transformrile de echilibru care presupun trecerea sistemului n mod succesiv prin stri de echilibru, se mai numesc i transformri reversibile. Celelalte sunt transformri ireversibile. Dup realizarea lor, n sens direct i n sens invers, sistemul nu revine la starea iniial. S-a demonstrat experimental c toate transformrile naturale spontane sunt ireversibile; n natur, nu exist transformri reversibile. O transformare la care este supus sistemul va fi cu att mai aproape de echilibru, cu ct este mai mic timpul de egalizare a perturbaiilor strii de echilibru a sistemului (perturbaii care au loc n timpul transformrii), n comparaie cu timpul caracteristic de desfurare a transformrii respective.

1.1.5 Proces Ansamblul tuturor transformrilor pe care le realizeaz un sistem ntr-un interval dat de timp constituie un proces. Acesta arat modul n care a evoluat funcional sistemul sub aciunea interaciunilor sale cu mediul ambiant. Atunci cnd evoluia sistemului are la baz transformri de acelai fel, procesul rezultant este relativ simplu. Lucrurile se complic, n cazul proceselor cu transformri de diferite tipuri (izoterme, izobare, izocore etc.). Dac sistemul revine la starea iniial, dup ce a parcurs o anumit secven repetabil de transformri simple, spunem c procesul poate fi reprezentat printr-un ciclu de transformri. Un exemplu cunoscut, n acest sens, l constituie ciclul Carnot, format din dou transformri izoterme i dou transformri adiabate, nseriate n mod alternativ (fig. 1.1). Este un ciclu teoretic, luat ca referin n studiul mainilor termice. Ca i transformrile, procesele pot fi reversibile sau ireversibile. n primul caz, ne referim la procese ideale, procese luate ca modele simplificatoare ale proceselor reale, care sunt ireversibile. n funcie de natura cauzelor care le produc, ireversibilitile pot fi interne sau externe [13] - [15]. Ireversibilitile interne sunt intrinseci proceselor care se desfoar n cadrul sistemelor i a structurii lor funcionale. Ele se datoreaz urmtoarelor cauze:

Figura 1.1

1-2: transformare izoterm; 2-3: transformare adiabat; 3-4: transformare Izoterm; 4-1: transformare adiabat;

Noiuni fundamentale

12

frecarea care se manifest n toate procesele termice i care determin o reducere a cmpului de presiuni pentru agentul termic sau n cazul proceselor mecanice de contact;

diferena finit de temperatur care se manifest, n cazul proceselor de transfer de cldur din instalaiile energetice;

amestecarea unor gaze de compoziie diferit, n cazul motoarelor cu ardere intern sau a altor instalaii energetice;

arderea combustibilului, un proces esenial n funcionarea cazanelor de abur, ndeosebi a celor din centralele termoelectrice.

Ireversibilitile externe se manifest n cadrul interaciunii dintre sistem i mediul ambiant, influennd prin aceasta, n mod indirect, calitatea procesului realizat de ctre sistem. Principala cauz de producere a acestor ireversibiliti o constituie diferena finit de temperatur i presiune care caracterizeaz procesul de transfer de cldur i respectiv de schimb de lucru mecanic cu mediul ambiant. Raportate la timp, procesele pot fi staionare sau nestaionare. n primul caz, relaiile de calcul prin care se modeleaz desfurarea unui proces nu conin variabile de timp. Este vorba deci despre un proces atemporal, fr istorie i fr viitor. Este un caz limit al proceselor nestaionare, atunci cnd viteza de variaie a parametrilor de stare este mic. Tot un caz limit l constituie i procesul adiabatic, un proces termodinamic n care sistemul nu interacioneaz termic cu mediul ambiant (transferul de cldur dintre sistem i mediul ambiant este nul).

1.1.6 Sistem energetic

1.1.6.1 Energie Dei reflect o anumit mentalitate mecanicist, dicionarele definesc conceptul de energie ca fiind capacitatea unui sistem fizic de a efectua lucru mecanic la trecerea lui dintr-o stare dat ntr-o alt stare [7], [19], [20]. Etimologic, termenul are la baz cuvintele de origine latin energia i respectiv greac enerheia care aveau neles de activitate. Pentru Planck, energia este pur i simplu o funcie de stare: Sub numele de energie a unui corp sau a unui sistem de corpuri, se nelege o mrime care depinde de starea fizic instantanee n care se gsete sistemul" [24].

1.1.6.2 Sistem energetic Dac energia este o mrime de stare a unui sistem fizic, atunci se poate spune c, orice sistem fizic reprezint un sistem energetic. O astfel de generalizare nu ne satisface ns, deoarece nu aduce informaii suplimentare despre procesele i structura funcional a unui sistem, despre interaciunile lui cu mediul ambiant i respectiv despre funciile obiectiv pe care le are de ndeplinit. De aceea, din punct de vedere metodologic, sfera semantic a conceptului de sistem energetic a fost restrns, iar n ultima vreme ea a fost specializat pentru a rspunde unor cerine practice, de exploatare a sistemelor tehnologice destinate producerii, transportului, distribuiei i utilizrii energiei electrice i termice. Distingem deci dou concepte de sistem energetic", sau mai bine zis dou sfere semantice diferite pentru conceptul de sistem energetic. n primul caz, se vizeaz satisfacerea unor cerine generale de ordin epistemologic, iar, n al doilea caz, se ncearc un rspuns direct, specializat, la o serie de probleme practice de ordin tehnologic, economic, organizatoric i social.

Definiii [9 cap 1]

13

Referindu-ne la primul caz, vom defini un sistem energetic ca fiind acel sistem a crui mrime de stare fundamental este energia, iar interaciunile cu mediul ambiant satisfac cerinele legii de conservare i transformare a energiei. Definiia dat mai sus are un caracter relativ, deoarece pentru un acelai sistem, energia poate fi considerat sau nu mrime de stare fundamental, n funcie de scopul analizei ntreprinse. Cu toate acestea, definiia prezentat mai sus este operaional, deoarece rspunde unor cerine metodologice i respectiv cu ajutorul ei se pot individualiza uor sistemele energetice din multitudinea celor fizice existente. Pentru astfel de sisteme, mrimile de intrare i cele de ieire se exprim cantitativ n uniti de energie.

1.1.7 1.5.4. Sistem termodinamic Temodinamica este definit ca o tiin care se ocup cu studiul legilor de transformare a energiei [14], [45] - [47]. Att termodinamica, ct i fizica statistic au ca obiect studiul fenomenelor termice mpreun cu fenomenele mecanice, electromagnetice i chimice pe care le nsoesc. Diferena dintre ele apare nu prin obiectul de studiu, ci prin perspectiva de abordare i respectiv, prin metodele folosite. Termodinamica studiaz fenomenele la scar macroscopic, n timp ce fizica statistic pornete de la structura atomic a substanei [37], [47]. Dar fizica statistic nu studiaz n mod individual atomi sau molecule, ci corpuri macroscopice, care constituie ansambluri de 10n ale acelor atomi i molecule. Vom denumi deci sistem termodinamic un sistem caracterizat prin interaciuni energetice cu mediul ambiant. Aceste schimburi se realizeaz ndeosebi sub form de lucru mecanic i cldur. Se admit i schimburi de substan cu mediul ambiant, dar numai n msura n care acestea se constituie n purttori de energie. n funcie de tipul interaciunii dintre sistemul termodinamic i mediul ambiant, n literatura de specialitate se prezint o clasificare a sistemelor termodinamice, sistematizat sub forma tabelului 1.1 [45]- [47].

Tabelul 1.1 Clasificarea sistemelor termodinamice

Interaciuni cu mediul ambiant de energie de substan Sisteme Lucrul

mecanic Cldur Izolate NU NU NU

nchise adiabate DA NU NU nchise rigide NU DA NU

Deschise DA DA DA Referitor la terminologia folosit n aceast clasificare, facem observaia c noiunea de sistem nchis nu reflect realitatea i nu se ncadreaz n mod gradat ntre noiunile de sistem izolat i cea de sistem deschis. Credem c, mai potrivit ar fi s denumim sistemul termodinamic nchis ca fiind un sistem termodinamic deschis energetic.

1.1.8 Sistem termo-energetic Vom defini sistemul termo-energetic ca fiind un sistem energetic caracterizat prin interaciuni termice cu mediul ambiant. Sistemele termoenergetice constituie deci o submulime a sistemelor energetice. Spre deosebire de sistemele termodinamice, cele

Noiuni fundamentale

14

termoenergetice sunt sisteme materiale, aa cum le gsim n universul natural sau n cel tehnologic creat de om. Introducerea acestui concept este cerut de necesiti practice i teoretice. Cu ajutorul lui se poate folosi o metodologie modern, respectiv o abordare sistematic a unor echipamente i instalaii, care nu intrau n aria de cuprindere a conceptelor clasice de sistem termodinamic, sau chiar cel de sistem energetic. De exemplu, un schimbtor de cldur, un cazan de abur dintr-o central, sau chiar un cuptor industrial constituie instalaii n care nu se produce lucru mecanic, fapt pentru care un studiu termodinamic nu prezint interes. Cu att mai mult, cu ct termodinamica clasic este bazat pe analiza sistemelor n regimuri staionare i condiii de echilibru termic. Termoenergetica nu impune astfel de restricii. Considerarea acestor instalaii ca sisteme termoenergetice ne permite o analiza multifuncional. a lor (regimuri nominale, nenominale i tranzitorii), o corelare a elementelor funcionale cu cele constructive, precum i o optimizare tehnico-economic. De asemenea, ca tiin interdisciplinar, termoenergetica permite o abordare a problemelor de stabilitate funcional, de fiabilitate i mentenan a sistemelor analizate, precum i de realizare a unor probleme de securitate tehnologic i eficien economic. Pentru analiza proceselor termoenergetice, chiar dac operm cu unele ipoteze de lucru simplificatoare (cmpuri termice staionare, procese adiabate, regimuri funcionale nominale), acestea nu sunt restrictive. Ele pot fi oricnd relaxate i elaborate analize mai complexe n concordan cu cerinele de exploatare a echipamentelor i instalaiilor tehnologice.

Introducere [18]

15

2 Gazul ideal [18, 11]

2.1 Introducere [18]

2.1.1 Lucrul mecanic Lucrul mecanic schimbat de un sistem nchis prin interaciune mecanic cu mediul nconjurtor, proces n timpul cruia sistemul sufer o transformare, se numete lucru mecanic exterior sau lucru mecanic al transformrii. L = F dx = pA dx = p dV (3.21) Deoarece n diagrama p-v se poate reprezenta grafic lucrul mecanic sub forma unei suprafee, aceast diagram se mai numete diagram mecanic. Lucrul mecanic consumat pentru deplasarea masei de fluid aflate la un moment dat ntr-un sistem deschis, numit lucru mecanic de deplasare (de dislocare) i notat Ld, este: Ld = Fx = pAx = pV [J] (3.26) Formele difereniale ale relaiilor de definiie rezult din relaiile 3.26: Ld = d (p V) = pdV + Vdp (3.28) Lucrul mecanic utilizabil n afara sistemului, sau lucrul mecanic furnizat la arborele turbinei, se numete lucru mecanic tehnic, se noteaz cu Lt i are unitatea de msur [J]. Lucrul mecanic furnizat la arborele turbinei de unitatea de mas de fluid de lucru se numete lucru mecanic tehnic specific masic, se noteaz cu lt i are unitatea de msur [J/kg]. lt = l - ld = pdv - d(pv) = pdv - pdv - vdp Astfel, forma diferenial a relaiei de definiie a lucrului mecanic tehnic specific este: lt = - vdp (3.30)

2.1.2 Enunuri ale principiului nti al termodinamicii Energia unui sistem termodinamic izolat este constant. De aici se poate ajunge la formularea specific termotehnicii i anume: Un perpetuum mobile de spea (sau de ordinul) nti este imposibil, adic nu poate exista o main termic motoare care s produc o anumit form de energie fr a consuma o cantitate egal din alte forme de energie.

2.1.3 Sisteme nchise Un sistem nchis dar neizolat poate schimba energie cu mediul nconjurtor prin mai multe tipuri de interaciuni, dintre care n cadrul termodinamicii se studiaz n principal cele termice i mecanice. Cantitile de energie primite sau cedate sub form de cldur (Q) i lucru mecanic (L) produc modificarea energiei interne (U) a sistemului. Pentru exprimarea matematic a tuturor cazurilor posibile ar fi necesare patru relaii matematice, care s evidenieze faptul c sistemul primete sau cedeaz cldur i lucru mecanic respectiv toate variantele posibile din relaia: U = Q L

2.1.4 Sisteme deschise Energia total a fluidului de lucru ntr-o stare oarecare este compus din energia cinetic (ec), energia potenial (ep), energia intern (u) i toate celelalte forme de energie care nu se modific (e0), deci pentru unitatea de mas:

Gazul ideal [18, 11]

16

e = w2/2 + gh + u + e0 [J/kg] (3.46) e= e2 - e1 = w2

2 - w122 + g(h2 - h1) + (u2 - u1) [J/kg] (3.47)

Variaia energiei specifice (parametru de stare) este cauzat de schimbul de energie cu mediul ambiant prin interaciune termic i mecanic, deci de cantitile de energie schimbate sub form de cldur i lucrul mecanic (parametri de proces). Sistemul schimb cldura q12 produce la arborele mainii lucrul mecanic tehnic lt12. n plus, el primete energie asociat cu fiecare kilogram de fluid de lucru introdus n sistem sub forma unui lucru mecanic de admisie (ladm) i consum un lucru mecanic de deplasare pentru evacuarea fluidului din sistem, numit lucru mecanic de evacuare (lev), pierznd practic energia coninut de fiecare kilogram de fluid de lucru evacuat.

e = q12 - lt12 + ladm12 - lev12 = q12 - lt12 + p1v1 - p2v2 [J/kg] (3.48) Separnd parametrii de stare de parametrii de proces i grupnd convenabil termenii Pr1 (entalpia i= u+ pv ):

w22 - w122 + g(h2 - h1) + (i2 - i1) = q12 - lt12 [J/kg] (3.49)

2.1.5 Ecuaia termic de stare (Ecuaia lui Clapeyron) pv = RiT sau pV = mRiT unde:

Ri se numete constanta caracteristic a gazului ideal i: Ri = RMi = 8314/Mi [J/kgK]

2.2 Transformri reversibile deschise ale gazelor perfecte [11, 2.6] Calculul transformrilor simple deschise ale gazelor perfecte este necesar pentru studiul ciclurilor teoretice ale motoarelor cu gaze cu piston. Se admite c transformrile sunt reversibile, iar fluidul care evolueaz este un gaz perfect.

2.2.1 Transformarea izocor (V = ct)

Ecuaia de stare, pV = mrT, se difereniaz:

pdV+Vdp = mrdT; dV = 0 Vdp = mrdT

Transformri reversibile deschise ale gazelor perfecte [550H11, 2.6]

17

dL = pdV = 0, deci sistemul termodinamic nu face schimb de lucru mecanic cu exteriorul. Rezult:

dTTpdT)

Vrm(dp

Ecuaia diferenial a izocorei este:

TdT

pdp

iar prin integrare: 1

2

1

2TT

pp ; ct

Tp

Legea lui Charles: n transformarea la volum constant raportul p/T rmne constant pe tot parcursul transformrii. Integrnd ntre strile 1 i 2, rezult:

V(p2-p1) = mr(T2-T1);

Tpct

Tp

Vrm

TTpp

V12

12

Raportnd ecuaia la presiunea p0 pe care ar avea-o sistemul la temperatura de 0 C (T0= 273,16 K), rezult:

= 16,273

1T1

Vprm

Tp

p1

000V0

[K-1]

- coeficientul de compresibilitate a gazului perfect la V=ct. Reprezentarea n diagrame este dat n (Fig. 2.13).

Schimbul de cldur Q12: (Q)V= mcvdT= dU

1)pp(V

)TT(1

rmUU)TT(cmQ 12121212v12

Aadar schimbul de cldur servete exclusiv pentru variaia energiei interne a sistemului. Variaia entropiei:

TdTc

T)q(

ds vV

1

2v

1

2v12 p

plncTTlncss

V=ct.

2

1

T

s

V=ct.

2

1

p

V

V=ct.

2

1

p

T

Fig. 2.13. Transformarea izocor. (V=ct.)

Gazul ideal [18, 11]

18

iar pentru masa m: 1

2v

1

2v1212 p

plncm

TT

lncm)ss( mSS

n diagrama T-s, izocora este o curb exponenial.

2.2.2 Transformarea izobar (p = ct)

Se poate scrie:

pdV= mrdT (dp=0)

TVct

prm

dTdV ;

1

2

1

2TT

VV ; ct

TV

i integrnd, rezult: );TT(rm)VV(p 1212 p

rmTV

p

Raportnd la volumul V0 (de la 0 oC):

16,2731

T1

Vprm

TV

V1

000p0

[K-1]

- coeficientul de dilatare izobar a gazului perfect. Legea lui Gay-Lussac: n transformarea la presiune constant raportul V/T rmne constant pe tot parcursul transformrii. Schimbul de energie mecanic L12:

21 12121212 )vv(pm)TT(rm)VV(pdVpL Schimbul de cldur Q12:

(Q)p= mcpdT; 121212pp12 L1)TT(1rm)TT(cmQ

Variaia entropiei dS:

TdTcm

T)Q(

dS pp ;

1

2p

1

2p12 V

Vlncm

TT

lncmSS

n diagrama T-s izobara este o curb exponenial. Considernd un punct comun (a) n care temperatura s fie T, pantele curbelor V= ct i p= ct vor fi:

vv cT

dsdT

;

pcT

dsdT

V=ct

2

T

sSV

T1

T2

T a

p=ct.

SFig. 2.15. Pantele

transformrilor izobar i izocor.

1

Transformri reversibile deschise ale gazelor perfecte [550H11, 2.6]

19

cp > cv , deci: pv ds

dTdsdT

prin urmare, n diagrama T-s, izocora are pant mai mare ca izobara (Fig.2.15).

2.2.3 Transformarea izoterm (T = ct)

n acest caz:

pdV = -Vdp; 0V

dVp

dp V

dVp

dp ;

iar prin integrare i antilogaritmare:

2

1

1

2VV

pp

sau: p1V1=p2V2=pV=ct=mrT=ct.=C n planele T-V i p-T izoterma este reprezentat prin drepte, iar n planul p-V printr-o hiperbol echilater.(Fig.2.16).

Schimbul de energie mecanic L12:

2

1

1

211

2

1

2

112 pp

lnTrmVV

lnVpV

dVCdVpL Schimbul de cldur Q12 rezult din ecuaia Principiului I al Termodinamicii:

Q12-L12 = mcvT = 0 (T = 0) Q12 = L12

Astfel cldura primit este cedat integral de sistem sub form de energie mecanic, energia intern rmnnd constant (dU = 0; U = ct) Variaia entropiei S:

2p1plnrm

1V2Vlnrm

TT)12Q(1S2SS

T=ct.

2

1 p

V

T=ct. 2 1

T

s q12

Fig.2.16.Transf izoterm. (T=ct.)

L12

Gazul ideal [18, 11]

20

2.2.4 Transformarea adiabatic (Q = 0) Scriind:

ecuaia de stare difereniat: pdV + Vdp = mrdT; (pV = mrT) principiul I: Q - pdV = mcvdT; +pdV = - mcvdT= - dU relaia lui Robert Mayer: cp + cv = r, sau cp = cv rezult ecuaia diferenial a transformrii ( - exponent adiabatic):

0V

dVp

dp

iar prin integrare i antilogaritmare:

2

1

1

2VV

pp ; pVVpVp 2211

Folosind ecuaiile: pV = mrT, pV =ct. = C= p1V1= p2V2; i eliminnd p i apoi V se obin:

TV-1= ct i ctp

T1 sau: T1V1

-1= T2V2-1; 12

1

2

1TT

pp

;

1

2

1

2

1pp

TT

n planul p-V adiabata este reprezentat printr-o hiperbol cu panta mai mare dect a izotermei ntr-un punct comun a.(F ig.2.17):

Vp

dVdp

T

;

Vp

dVdp

S

dar Vp

Vp ,deoarece >1.

Schimbul de energie mecanic (p=CV-): dVVCdVpL

1VpVp

dVVCL 22112V1V12

2

1

a

T=ct

p

V

Q=0

Fig. 2.17. Transformarea adiabatic (s=ct).

L1

V1 V2

Transformri reversibile deschise ale gazelor perfecte [550H11, 2.6]

21

sau: 2121v2112 UUTTcm)TT(1rmL . Se observ c se obine energie mecanic printr-o

destindere adiabatic n contul micorrii energiei interne. Lmax= U= mcvT, dac temperatura absolut a sistemului ar cobor pn la 0 K. Variaia entropiei: S= 0;S= ct. Schimbul de cldur: Q12= 0; (Q= 0)

2.2.5 Transformarea politropic reversibil. Este o transformare pe parcursul creia toate mrimile de stare sunt variabile, iar sistemul face schimb de cldur i energie mecanic cu exteriorul. Din relaiile:

pV = mrT pdV + Vdp = mrdT

mcndT - pdV = mcvdT r = cp - cv

rezult ecuaia diferenial a politropei: 0

VdV

vcncpcnc

pdp

Se noteaz: ncccc

vn

pn

; 0V

dVnp

dp i integrnd ntre strile1 i 2: n

2

1

1

2VV

pp

n - exponent politropic. Deci: p1V1n = p2V2n = pVn = C = ct. Alte forme pentru relaiile dintre parametri: TVn-1 = ct;

ct

p

T

n1n ; rm2T

2V2p

1T1V1p =ct.

n diagrama p-V politropa este o hiperbol a crei pant depinde de valoarea exponentului politropic n n raport cu exponentul adiabatic .

Pentru o transformare efectuat cu vitez finit, exponentul politropic n este cuprins n intervalul [1, ], aadar politropa reversibil este reprezentat n planul p-V printr-o hiperbol intermediar cuprins ntre izoterm i adiabat. Schimbul de energie mecanic L12 (pVn = C = p1V1n; p = CV-n; L = pdV):

)TT(1n1cmTT

1nrm

1nVpVp

LL 21v212211V

V122

1

a T=ct.

1

=ct.

p

V 1

Gazul ideal [18, 11]

22

sau: )UU(1n1L 2112

Schimbul de cldur Q12:

Q = mcndT; Q12= mcn(T2-T1) = mq12 Din ecuaiile:

v

p

vn

pn

cc

ncccc

rezult: 1n

ncc vn

121212v12 L1n)UU(

1nn)TT(

1nncmQ

Variaia entropiei:

TdTcmdS n ;

1

2n12 T

TlncmSS

n diagrama T-s, politropa este reprezentat printr-o exponenial (Fig.2.19). Semnul variaiei entropiei, ca i semnul schimbului de cldur, depind de: sensul variaiei de temperatur; valoarea exponentului politropic n. Se deosebesc trei cazuri:

Dac n < cnT1 Q0 i dac T2>T1 Q>0; ds>0 - sistemul primete cldur.

2.2.6 Politropa ca transformare general a transformrilor deschise i reversibile ale gazelor perfecte.

Exponentul n poate avea orice valoare, deci cele patru transformri studiate sunt cazuri particulare ale politropei. Din ecuaiile politropei rezult:

2

1

T

s q12

T

s

2 2 2

1T

Tn>n=n

Transformri reversibile deschise ale gazelor perfecte [550H11, 2.6]

23

12

21

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

TpTp

ln

pp

ln

VV

ln

TT

ln1

VV

ln

pp

lnn

Cunoscnd dou stri termice ale sistemului se poate calcula n.

Figura 2.1 Transformrile simple n diagrama p-v Cazuri particulare:

1. n = 0; cn = cp transformarea izobar. 2. n = 1; cn = transformarea izoterm. 3. n = ; cn = 0 transformarea adiabat. 4. n = ; cn = cv transformarea izocor. nlocuind n n ecuaiile lucrului mecanic i cldurii, se obin expresiile pentru: p = ct, V = ct; = ct. Pentru n = 1 (izoterm) toate nlocuirile duc la nedeteminri (L12 = 0, Q12 = 0, S12 = 0), deci ecuaiile politropei nu sunt valabile i pentru izoterm (ele au fost deduse pentru dT 0). Vor trebui gsite alte forme pentru L12, Q12 i S care s satisfac i cazul izotermei. Pentru lucrul mecanic L12: TVn-1= C, se logaritmeaz i se difereniaz:

0Vdv)1n(

TdT

ClnVln)1n(Tln

VdVT)1n(dT

Lucrul mecanic exterior politropic elementar este:

dT1nrmL

i nlocuind dT, rezult:

Gazul ideal [18, 11]

24

VdVTrmL ;

1

212

VVlnTrmL

Pentru schimbul de cldur Q12: dT1nncmQ v

nlocuind dT, rezult (punnd n = 1 la numrtor):

VdVT)1(vcmV

dV)1n()T(1n

nvmcQ

LV

dVTrmV

dVT)1(c mQ v Deci: Q12 = L12. Politropa este un caz general al transformrilor termodinamice reversibile simple i deschise ale gazului perfect; n 0, , dar n timpul unei transformri n rmne constant.

2.3 Exemple

2.3.1 Problema 4 O cantitate de gaz, avnd constanta specific r = 188,9 J/kgK i exponentul adiabatic = 1,3, execut o transformare termodinamic din starea iniial, dat de p1 = 1 bar, t1 = 20 C i V1 = 2 dm3, pn n starea final, n care p2 = 15,8 bari i V2 = 0,2 dm3.Se cer:

a) natura transformrii; b) lucrul mecanic exterior L12; c) cldura schimbat cu mediul exterior Q12 i variaia energiei interne U12; d) variaia entropiei gazului S12;

Se vor considera cldurile specifice constante. a. Se calculeaz exponentul politropic n (pVn = ct.)

2

1

1

2

ln

ln

VVpp

n

deci transformarea este o comprimare politropic de exponent n. b.

12211

12

nVpVpL

c. )TT(cmQ 12n12

1

11rT

Vpm

111

nnr

nncc vn

rmVpT

222

Exemple

25

)( 1212 TTcmU v Verificarea primului principiu al termodinamicii: Q12 - L12 = U12 d.

1

212 ln T

TcmS n

2.3.2 Oala de fiert sub presiune O oal de gtit sub presiune pregtete mncarea mult mai repede deoarece acest lucru se realizeaz la temperatur i presiune mai ridicat. Presiunea din oal este controlat de un regulator care menine o presiune constant prin eliberarea periodic a unei cantiti de abur, mpiedicnd creterea presiunii. Aceste oale lucreaz la o presiune manometric de 2 atm (sau 3 atm presiune absolut) n interior. Prin urmare, aceste oale lucreaz la temperatur de cca. 133 C (or 271 F) n loc de 100 C (or 212 F), reducnd timpul de gtire cu pn la 70 %, minimiznd totodat pierderile de nutrieni. Oalele mai noi folosesc o supap cu arc n locul unei greuti. O oal sub presiune are un volum de 6 l i o presiune manometric de lucru de 75 kPa. Iniial, ea conine 1 kg de ap. Oala primete un flux de cldur de 500 W timp de 30 min dup care se atinge presiunea de lucru. Dac se consider o presiune atmosferic de 100 kPa, s se determine: (a) temperatura la care are loc gtirea i (b) cantitatea de ap rmas n oal la terminarea procesului. Rezolvare Oalei i este transmis un flux constant de cldur pentru o anumit perioad de timp. Trebuie aflat temperatura i cantitatea de ap rmas n oal. Ipoteze: 1. procesul poate fi considerat ca o curgere staionar deoarece proprietile aburului care

iese din volumul de control rmn constante pe durata ntregului proces. 2. Energia cinetic i potenial ale fluxului (debitului) de abur sunt neglijabile, ke = pe = 0. 3. Presiunea din oal este constanta i deci variaiile de energie cinetic i potenial sunt

zero; adic, EK = EP = 0 i Esystem = Usystem. 4. Presiunea (i deci temperatura) n oal rmne constant. 5. Aburul iese din oal n stare de vapori saturai la presiunea din oal. 6. Nu exist interaciuni electrice sau mecanice la graniele sistemului. 7. Fluxul de cldura transmis oalei este constant. Analiza: Se consider oala ca un sistem (Fig. 5-49). Ea poate fi considerat ca un volum de control (CV) deoarece exist transfer de mas peste graniele sale n timpul procesului. Se observ c acesta este un proces de curgere nestaionar deoarece se produc modificri n interiorul

2

1

p

V

L1

pVn =ct. 2

1

T

S

Q1

SSVV

Gazul ideal [18, 11]

26

volumului de control. De asemenea, exist un flux de mas care iese i nici unul care s intre.

(a) presiunea absolut din oal este Pabs = Pman + Patm Deoarece n oal exist n permanen condiii de saturaie (Fig. 5-50), temperatura de gtire este temperatura de saturaie corespunztoare acestei presiuni. Din Table A-5, aceasta este T = Tsat@175kPa = 116.04 C care e cu cca. 16 C mai mare dect temperatura normal de fierbere. (b) Dac se observ c energiile microscopice ale fluidelor n curgere i stagnante sunt reprezentate de entalpia h i respectiv energia intern u, bilanul masic i energetic pentru acest sistem n curgere uniform sunt Bilanul masic: min - mout = msystem -me = (m2 - m1)CV sau me = (m1 - m2)CV Bilanul energetic:

Ein - Eout = Esistem Energia net transferat prin cldur,

lucru mecanic i mas = Variaia energiei interne, cinetice,

poteniale, etc. Qin - mehe = (m2u2 - m1u1)CV Dac se combin cele 2 ecuaii de bilan se obine Qin = (m1 - m2)he + (m2u2 - m1u1)CV Cantitatea de cldur transmis pe durata ntregului proces este Qin = Q

in t

Aburul iese constant din oal sub form de vapori saturai la 175 kPa (Fig. 5-51). Astfel, he = hg@175kPa Pentru a determina energia intern iniial, trebuie determinat mai nti titlul de vapori: vol spec al amestecului n st 1: v1 = V/m1

Exemple

27

v = (1-x) v' + x v" = v' + x(v" - v') x1 = (v1 - vf)/vfg unde: ..fg - variaia proprietii respective ntre lichid/fluid i gaz/vapori - din tabel Astfel, u1 = uf + x1ufg i U1 = m1u1 Masa sistemului n starea final este m2 = V/v2. nlocuind aceast relaie n ecuaia energiei rezult: Qin =

m1 - Vv2 he +

V

v2 u2 - m1u1

n aceast ecuaie sunt 2 necunoscute, u2 i v2. Pentru a putea rezolva ecuaia, ele trebuie exprimate n funcie de o singur necunoscut comun. Dac se consider c n starea final exist nc ap lichid n oal (adic exist condiii de saturaie), v2 i u2 pot fi exprimate astfel: v2 = vf + x2vfg u2 = uf + x2ufg S ne reamintim c n timpul vaporizrii la presiune constant proprietile fiecrei faze rmn constante (variaz doar cantitile). Dac se nlocuiesc aceste expresii n ecuaia energiei, x2 devine singura necunoscut, i poate fi determinat: x2 Astfel, v2 i m2 = V/v2 Prin urmare, dup 30 min n oal au mai rmas de ap (lichid + vapori). Discuie: Se observ c aproape din apa din oal s-a evaporat n timpul fierberii.

2.3.3 Curgerea staionar a aburului printr-o turbin (5-49) 5-49 Se consider curgerea staionar a aburului printr-o turbin adiabatic. Condiiile de intrare ale aburului sunt 10 MPa, 450 C, i 80 m/s, iar cele de ieire sunt 10 kPa, 92 %, i V = 50 m/s. Debitul masic de abur este de 12 kg/s. S se determine: (a) variaia energiei cinetice, (b) puterea produs, i (c) seciunea de intrare n turbin Rezolvare: Folosind Tab. A-4 6 se determin Pentru starea la intrare caracterizat de P1 = 10 MPa i T1 = 450

C v1 i h1

Gazul ideal [18, 11]

28

Pentru starea la ieire caracterizat de P2 = 10 kPa, x2 = 92/100: h2' , r h2 = h2' + x2r (a) Variaia energiei cinetice este

Ek = V22 - V122

(b) m1 = m2 = m. Bilanul energetic (n fluxuri) pentru sistemul n curgere staionar este

Energia net transferat prin cldur,

lucru mecanic i mas = Variaia energiei interne, cinetice,

poteniale, etc. E in = E out

m (h1 + V12/2) = W

out + m (h2 + V22/2) (deoarece Q

pe 0) Rezult deci puterea produs de turbin:

W out = -m

h2 - h1 + V2

2 - V122

(c) Seciunea de intrare a turbinei se determin din ecuaia de bilan masic,

m = A1V1v1 A1 = m v1V1

5-50 Se reconsider Prob. 5-49. S se studieze efectul presiunii de ieire din turbin asupra puterii produse de turbin. Presiunea de ieire variaz ntre 10 i 200 kPa. S se reprezinte grafic aceast influen i s se discute rezultatele.

2.4 !Aplicaii