ANALIZA STĂRII DE TENSIUNE

Mediul continuu este un model al unui corp material care se caracterizeaza printr-o distributie continua a masei în volumul ocupat de corp. În studiul Rezistentei Materialelor, elementul de volum dv trebuie sa fie suficient de mic pentru ca sa poata fi tratat din punct de vedere matematic ca o marime infinit mica, dar suficient de mare pentru a cuprinde în interiorul lui un numar de molecule, astfel încât efectul mediei statistice a comportarii moleculelor sa fie independenta de starea individuala a moleculelor. Fortele interne infinitetezimale dintr-un mediu continuu sunt concepute, de asemenea, ca valori medii statistice ale fortelor de interactiune dintre moleculele situate de o parte si de alta a unei sectiuni. Evident, aceleasi restrictii se impun si pentru aria dA, adica aceasta trebuie sa fie suficient de mica pentru a putea fi tratata din punct de vedere matematic ca marime infinit mica si suficient de mare pentru ca forta dF ce actioneaza asupra ei sa nu depinda de starea individuala a moleculelor cuprinse în dA.

III.1 Tensiuni normale. Tensiuni tangentiale. Dualitatea tensiunilor tangentiale

Ca urmare a cresterii sarcinilor exterioare, eforturile din interiorul corpului, fiecare din ele raspândite pe sectiunea de calcul, nu mai au

capacitatea sa se opuna, astfel ca materialul corpului începe sa se rupa în zona cea mai solicitata din sectiune. În consecinta, este interesant de vazut

modul de repartizare a eforturilor RF, RM pe sectiune.

Se considera pe fata pozitiva de arie A a unei sectiuni fictive în jurul unui punct M o arie elementara

dA, fig. (III.1), pe care este repartizat efortul elementar dRF rezultat ca urmare a discretizarii

eforturilor RF si RM. Se defineste tensiunea medie ca raportul:

(III.1)

Fig. III.1 Te 353p158d nsiunea medie px med

Deoarece mediul este considerat continuu, la limita obtinem tensiunea px în punctul M; prin x se indica orientarea suprafetei pe care se calculeaza

tensiunea:

[MPa] (III.2)

Tensiunea px reflecta distributia punctuala a efortului sectional de pe suprafata de orientare x. Tensiunea dintr-un punct pentru o suprafata de

orientare data este redata matematic printr-un vector; tensiunea din jurul unui punct este redata matematic printr-un tensor. Sistemul de axe se modifica odata

cu orientarea suprafetei.

Daca în loc de ipoteza mediului continuu, studiul s-ar face prin prisma structurii atomice discontinue a

solidului, tensiunea p va exprima variatia fortelor intermoleculare aferente unui punct la solicitarea

corpului. Fiind dependenta de orientarea suprafetei, tensiunea din jurul unui punct este redata printr-un

model matematic numit tensor.

Tensiunea dintr-o sectiune este definita prin doi indici: primul arata directia versorului normalei la

suprafata sectiunii, al doilea indice reprezinta directia tensiunii. Daca este trecut un singur indice, acesta

arata directia normalei la suprafata.

Tensiunea px dintr-un punct M situat într-un plan, ce admite ca normala axa x, poate fi descompusa

dupa normala si dupa cele doua axe din planul sectional, fig. (III.2 b). Proiectia tensiunii px dupa

normala reprezinta tensiunea normala σ x (sigma), componentele din planul sectiunii numindu-se tensiuni tangentiale τ (tau), notate τ xz, τ xy.

Tensiunile sunt însotite de indici conform explicatiilor date anterior.

Din descompunerea tensiunii px (diagonala paralelipipedului) în tensiunile componente, se poate

scrie relatia:

(III.3)

Fig. III.2 Proiectia tensiunii px

Daca în jurul punctului M se considera o sectiune cu o alta orientare, tensiunea p capata o alta valoare

si o alta directie.

Ansamblul tensiunilor corespunzatoare tuturor sectiunilor trecând prin punctul M determina starea

de tensiune din jurul punctului. Aceasta poate fi exprimata considerând tensiunile de pe trei plane perpendiculare. Pentru redarea acestora pe fetele

vizibile ale cubului elementar se reprezinta tensiunile în vârful N, fig. (III.3), omolog cu M, conform fig.

(III.4).

Fig. III.3 Tensiunile din vârful N al cubului elementar

din interiorul unui corp solicitat

În cadrul acestui studiu, o reflectare a ipotezei mediului continuu este evidentiata prin tensiunile

tangentiale care apar simultan pe suprafete ortogonale. Pentru aceasta în sistemul de axe x, y, z

se considera din punctul M un paralelipiped elementar dx dy dz supus unei stari omogene de

tensiune pe întregul volum, fig. (III.4).

Fig. III.4 Cubul elementar

Scriind ecuatia de echilibru a momentelor elementare în raport cu punctul G, se constata:

- rezultantele tensiunilor normale nu creeaza moment, deoarece suportul rezultantelor trece prin

G;

- scriind ecuatia de momente în raport cu una din directiile sistemului ortogonal, se observa ca în

echilibrul momentului orientat dupa aceasta actioneaza doar forte elementare generate de τ ce sunt definite pe perechi de suprafete opuse.

Fiind o stare omogena pe întregul volum, pentru o directie data, Gy’, tensiunile fiind constante pe fetele paralelipipedului elementar, se poate scrie:

; (III.4)

În mod analog, scriind si , rezulta relatiile:

(III.5)

Relatiile (III.5) exprima proprietatea de dualitate a tensiunilor tangentiale potrivit careia, fiind date

doua plane normale unul pe celalalt, în interiorul unui corp, de-a lungul muchiei de intersectie a celor doua

plane, componentele tensiunilor tangentiale din aceste doua plane sunt normale pe muchie, egale în modul si converg sau diverg de la muchia respectiva.

III.2 Ecuatiile diferentiale de echilibru

Tensiunile care iau nastere într-un corp nu au aceeasi valoare în fiecare punct decât în cazul unei stari omogene de tensiuni. Presupunând ca tensiunile variaza de la punct la punct, atunci, daca pe una din fetele elementului actioneaza, de exemplu, tensiunile σ x, τ xy, τ xz, fig. (III.5), pe fata opusa actioneaza aceleasi tensiuni plus

cresterile respective, adica , , . În mod analog se stabilesc tensiunile si pe celelalte fete.

Tensiunile dau nastere unor forte având directia tensiunii respective si marimea egala cu produsul

dintre valoarea tensiunii si suprafetele pe care actioneaza. Neglijând fortele masice, fortele care

actioneaza pe cele sase fete ale elementului trebuie sa mentina elementul în echilibru.

Scriind ecuatia de proiectii pe Ox se obtine:

(III.6)

rezultând relatia diferentiala:

(III.7)

Fig. III.5 Variatia tensiunilor pe cubul elementar

În mod analog, din ecuatiile de proiectii pe Oy si Oz se obtin alte doua relatii, astfel ca rezulta urmatoarele ecuatii diferentiale de echilibru:

(III.8)

cunoscute sub denumirea de ecuatiile diferentiale de echilibru ale lui Cauchy.

1III.3 Variatia tensiunii în jurul unui punct

Studiul variatiei tensiunilor in jurul unui punct urmareste stabilirea expresiilor tensiunilor , , dintr-un plan oarecare de orientare în functie de tensiunile de pe suprafetele unui sistem ortogonal ales.

Expresiile tensiunilor pentru o suprafata oarecare data se stabileste astfel:

-din însumarea vectoriala a componentelor sale determinate în baza ecuatiilor de echilibru a fortelor ce actioneaza pe un volum elementar;

-din însumarea proiectiilor pe directia a componentelor lui ;

- din calcul vectorial cunoscând si .

Se considera un punct M dintr-un corp solicitat, fig. (III.6). Se izoleaza în jurul acestuia un volum elementar de forma unui tetraedru dreptunghiular MBCD ale carui suprafete rectangulare de marime dAx, dAy, dAz admit versorii , , ai unui sistem oarecare de axe x, y, z.

Fig. III.6 Volumul elementar

Planul secant BCD de orientare oarecare si marime este definit în raport cu sistemul de axe adoptat de

cosinusii directori l, m, n:

, , . (III.9)

Fig. III.7 Tensiunile de pe fetele tetraedrului elementar

În urma solicitarii, pe fetele tetraedrului se dezvolta tensiunile , , , , în fig. (III.7) fiind reprezentate tensiunile si , împreuna cu componentele lor. Tensiunile de pe fetele tetraedrului studiat de versori , ,

, pot fi scrise vectorial numai dupa o aceeasi orientare a suprafetei sub forma:

, (III.10)

(III.11)

Considerând ca starea de tensiune este omogena si având în vedere componentele tensiunilor definite de (III.11), echilibrul fortelor elementare pe fiecare directie se scrie tinând cont de (III.10) si de , sub forma:

(III.12)

Înlocuind în relatia (III.12) expresiile (III.9), dupa simplificari rezulta valoarea componentelor tensiunii pentru o orientare oarecare în raport cu orientarea initiala , , (x, y, z).

(III.13)

Deoarece dimensionarea structurilor metalice se face si prin folosirea calculului matricial, expresia (III.13)

mai poate fi scrisa sub forma:

, (III. 14)

sau:

, (III. 15)

unde:

. (III. 16)

Relatia (III.14) permite caracterizarea printr-o singura expresie a starii de tensiune din punctul considerat prin intermediul notiunii , numita tensorul tensiunilor.

. (III. 17)

Cum si sunt matrice coloana asociate unor vectori, relatia (III.15) arata ca este o matrice asociata unui tensor, simetric de ordinul al II-lea. Având în vedere relatia de reciprocitate a tensiunilor tangentiale, se constata ca aceasta matrice este simetrica. De asemenea, infinitatea de tensiuni din jurul punctului M este perfect definita, pentru o orientare data, de sase marimi algebrice distincte

, , , , , .

De remarcat ca în matricea Tσ coloanele reprezinta componentele tensiunii , , de pe suprafetele rectangulare date, definite de versorii , , relatia (III.11). Tensorul tensiunilor, relatia (III. 17), este util în determinarea tensiunii periculoase si a directiei pe care aceasta actioneaza.

Cu ajutorul relatiilor (III. 13) se determina vectorul care reprezinta tensiunea totala. Înseamna ca tensiunea de pe o suprafata de orientare are

valoarea:

. (III.18)

Daca se face proiectia componentelor lui pn (pnx, pny, pnz) dupa axa normala pe planul secant, rezulta tensiunea

:

. (III.19)

Introducând în (III.19) expresiile din (III. 13), se obtine:

. (III.20)

Tensiunea tangentiala , cealalta componenta ortogonala a lui , fig. (III.7), situata în planul secant, se determina cunoscând , astfel:

. (III.21)

III.4 Tensiuni normale principale. Directii principale.Plane principale

Studiul tensiunilor are ca scop stabilirea valorilor extreme în jurul punctului considerat. În cazul

tensiunilor normale, acestea se determina asimilând relatia (III.20) cu o suprafata de gradul II.

Din geometria analitica se cunoaste ca prin rotirea axelor de coordonate se ajunge într-o pozitie în care

cosinusii directori au o valoare l’, m’, n’, situatie pentru care termenii dublului produs (ce contine

tensiunile τ ) din relatia mentionata sunt nuli. Deoarece , rezulta ca exista un sistem

de axe x, y, z în raport cu care tensiunile tangentiale din relatia (III.20), , , sunt nule. Axele în

aceasta situatie reprezinta directiile principale (axele principale) si se noteaza cu 1, 2, 3. Planele ortogonale corespondente se numesc plane

principale, iar tensiunile normale de pe aceste plane se numesc tensiuni normale principale (deoarece numai asupra lor se distribuie întreaga stare de tensiune) care, în ordinea marimii lor algebrice,

respecta conditia:

, (III.22)

în care:

- tensiunea normala maxima;

- tensiunea normala minima în planul 12; dar tensiune normala maxima în planul 23;

- tensiunea normala minima.

Pe fiecare dintre planele principale 1, 2, 3 tensiunea pn se manifesta numai sub forma uneia dintre tensiunile normale principale . Prin urmare relatiile de echilibru (III. 13) se scriu:

(III.23)

Se observa ca tensiunea totala într-un punct prin componentele sale poate fi determinata si numai functie de tensiunile normale principale (III. 23).

Determinarea tensiunii principale se face egalând expresia tensiunii pn scrisa pentru directiile oarecare x, y, z, (III. 13) cu cea scrisa pentru directiile principale 1, 2, 3 (III.23).

. (III.24)

Datorita relatiei fundamentale a cosinusilor directori , sistemul (III.24) nu admite solutia banala

, astfel ca rezulta conditia (III.25):

. (III.25)

Determinantul (III.25) exprima o ecuatie de gradul III în ale carei radacini sunt functie de starea de tensiune si nu depind de sistemul de axe initial adoptat.:

. (III.26)

În consecinta, chiar daca axele se rotesc, coeficientii ecuatiei (III.26) I1, I2, I3 ramân invariabili. Acestia se numesc invariantii starii de tensiune având valorile:

, (III.27)

, (III.28)

, (III.29)

unde este determinantul matricii asociate tensorului scris pe directiile principale 1, 2, 3 având forma:

. (III.30)

Prin prisma tensiunilor normale principale, relatia (III.20) se scrie sub forma:

, (III.31)

unde l, m, n reprezinta cosinusii directori ai directiilor principale.

Daca se considera câte doua din ecuatiile sistemului (III.24) în care s-au introdus solutiile si formând un nou sistem în care este cuprinsa si relatia fundamentala a cosinusilor directori, rezulta pe rând valoarea cosinusilor directori l, m, n.

În raport de valorile ce le capata invariantii, starea de tensiune poate fi:

- spatiala, când , , , de unde , , ;

- plana, când unul din invarianti are valoarea zero, de exemplu , , , de unde ,

, ;

- liniara, când , , , de unde , , .

Determinând tensiunile , ecuatiile (III.23) sunt verificate de solutiile obtinute folosite corespunzator, astfel:

(III.32)

Înlocuind cosinusii directori din relatia (III.32) în relatia fundamentala a acestora, rezulta:

. (III.33)

Marimile , , pot fi considerate ca niste coordonate ale tensorului tensiunii totale pn ce descrie un elipsoid ale carui semiaxe sunt tensiunile normale , fig. (III.8).

Fig. III.8 Elipsoidul tensiunilor

Odata determinate directiile tensiunilor normale principale într-un punct, s-a pus problema orientarii acestora în punctele învecinate. Una din posibilitatile de evidentiere a acestor orientari este prin fotoelasticitate, metoda de investigare bazata pe principiile opticii experimentale. Astfel se pot determina izoclinele, locul geometric al punctelor din plan în care tensiunile normale principale au o directie constanta. Izoclinele pot fi folosite si pentru trasarea traiectoriilor tensiunilor normale principale, numite izostatice. Liniile izostatice sunt curbele care se bucura de proprietatea ca tangentele în fiecare punct coincid cu una din directiile principale, prin fiecare punct trecând doua curbe reciproc ortogonale.

2

III.5 Tensiuni tangentiale maxime

Prin prisma relatiei (III.21), se poate deduce expresia tensiunilor tangentiale maxime mai simplu, deoarece tensiunile si pot fi exprimate si functie de tensiunile normale principale, asa cum s-a aratat în paragraful precedent.

În plus, de regula se cunoaste unul din planele

principale care trece prin punctul studiat, astfel ca celelalte

doua plane principale se determina dintr-o familie de plane

ortogonale pe planul principal identificat.

Prin prisma premizelor prezentate se considera cubul

lui Cauchy, fig. (III.9), orientat dupa axele principale (

) din care se decupeaza o prisma dreptunghiulara, fig.

(III.10). Aceasta se obtine ducând un plan oblic ce ramâne

tot timpul paralel cu una din axele principale (axa y în

cazul prezentat), indiferent de marimea unghiului de

înclinare α . Pentru reprezentarea din fig. (III.9), versorul

suprafetei oarecare (a nu se confunda versorul suprafetei

oarecare cu cosinusul director n) formeaza cu versorul

al axei z, axa de referinta (pentru înaintarea surubului drept

dupa axa y, axa z este cea care se suprapune peste axa x, x-

y-z-x-y), unghiul oarecare α . Pentru acest caz, cosinusii

directori au valorile, fig. (III.9):

,

,

.

Fig. III.9 Sectiune prin cubul lui Cauchy

Fig. III.10 Prisma dreptunghiulara decupata

Studiul se face în continuare pentru cazul general unde si . Daca se cunosc tensiunile normale principale, tensiunea totala , prin înlocuirea relatiei (III.32) în relatia (III.18), capata forma:

. (III.34)

Cunoscând calculat conform relatiei (III.31), tensiunea tangentiala, relatia (III.21), se poate calcula functie de tensiunea normala principala:

(III.35)

Rezulta:

(III.36)

Înlocuind unul din cosinusii directori prin ceilalti doi rezulta:

. (III.37)

Pentru determinarea tensiunii tangentiale maxime, se anuleaza derivata partiala a expresiei (III.37) în raport cu l, respectiv cu n:

; (III.38)

. (III.39)

În cazul general, când , ecuatiile obtinute pot

fi simplificate prin împartire cu diferenta tensiunilor

principale, iar dupa o transformare simpla se pot scrie sub

forma:

. (III.40)

Solutia trebuie eliminata, deoarece ea

corespunde directiei axei Oy. Nu este posibil nici cazul

, deoarece, simplificând ecuatiile (III.40) prin l,

respectiv n si scazând una din alta, se obtine , ceea ce

contravine conditiilor initiale puse. Astfel, ramân doua

posibilitati si anume:

- si , când rezulta din prima ecuatie , ,

;

- si , când rezulta din a doua ecuatie , ,

.

Prin derivare în raport cu m, se obtine în mod

asemanator înca o solutie:

, , . (III.41)

Înseamna ca valorile extreme ale tensiunilor

tangentiale apar în plane ale caror normale fac unghiuri

egale ( ) cu câte doua din directiile principale 1, 2, 3 si

sunt paralele cu cea de a treia, fig. (III.11), unghiul

oarecare α este reprezentat separat pentru fiecare pereche

de planuri. În aceste reprezentari unghiul oarecare este

reprezentat separat pentru fiecare pereche de plane. Astfel

în planul secant determinat de planele principale 1 si 2 (si

paralel cu directia 3) s-au notat cu 4 si 4’ directiile ce

determina planele în care se dezvolta tensiunile tangentiale

maxime pentru situatia prezentata, fig.( III.11.c). Analog s-

au notat cu 5 si 5’ si cu 6, respectiv 6’ directiile dupa care

se dezvolta celelalte tensiuni tangentiale maxime, fig.

( III.11.b, d).

Fig. III.11 Planele în care se dezvolta tensiunile tangentiale extreme

Înlocuind în relatia (III.36) solutiile obtinute pentru cosinusii directori, rezulta valorile extreme ale tensiunilor tangentiale:

; ; ,(III.42)

egale asadar cu semidiferenta tensiunilor principale. Alaturi de ele, pe aceste plane în care se dezvolta tensiunile tangentiale extreme, actioneaza si tensiuni normale, egale cu semisuma tensiunilor principale:

; ; . (III.43)

Spre exemplu, în cele doua plane înclinate cu (planul 6), respectiv (planul 6’) fata de directia lui , în planul (1, 3) se dezvolta tensiunea tangentiala cât si tensiunea normala , respectiv , . Evidentierea tensiunilor tangentiale maxime τ max este redata în fig. (III.12) pentru cazul planelor ce contin directiile 3, 6, 1, 6’.

Tensiunea tangentiala maxima corespunde semidiferentei celei mai mari dintre tensiunile principale. Daca , atunci:

. (III.44)

Fig. III.12 Tensiuni tangentiale maxime

III.6 Tensiuni octaedrice

Planele egal înclinate fata de directiile principale 1, 2, 3 se numesc plane octaedrice, la care cosinusii

directori au aceeasi valoare:

. (III.45)

În acest plan se dezvolta tensiunile octaedrice si , fig. (III.13).

Din relatia (III.34) rezulta expresia tensiunii totale octaedrice:

, (III.46)

iar din relatia (III.20) tensiunea normala octaedrica:

, (III.47)

egala ca valoare cu media tensiunilor normale principale din punctul considerat.

Fig. III.13 Tensiuni octaedrice

Prin prisma tensiunilor normale octaedrice, relatia (III.47), tensorul tensiunilor scris pe directiile

principale se poate descompune în doi tensori de forma:

, (III.48)

unde:

, (III.49)

este numit tensor sferic al tensiunilor, iar:

, (III.50)

este numit tensor deviator al tensiunilor.

Se poate calcula si tensiunea tangentiala octaedrica:

. (III.51)

Dupa înlocuire rezulta:

. (III.52)

Functie de tensiunile tangentiale principale, tensiunea tangentiala octaedrica are valoarea:

. (III.53)

III.7 Expresiile tensiunilor pentru starea plana

Starea plana de tensiuni se poate deduce din starea spatiala prin anularea parametrilor caracteristici uneia din directii. Pentru aprofundarea fenomenului se face în continuare un studiu independent al starii plane de tensiune. Dealtfel, în majoritatea cazurilor practice, unul din planele principale în punctul studiat poate fi indicat de la început; celelalte doua plane se determina din familia de plane perpendiculare pe primul, stabilirea orientarii acestora facându-se în studiul starii plane.

Se considera un corp sub forma de placa de grosime constanta, solicitat în planul median zx. Se considera un punct M în interiorul corpului, iar în jurul acestuia o prisma triunghiulara elementara cu înaltimea de marimea grosimii. Sarcinile actioneaza în planul zx conform fig. (III.14).

Ca si în starea spatiala problema este de a determina tensiunile de pe o suprafata elementara dAn în raport cu tensiunile de pe doua suprafete ortogonale dAx si dAz, cazul solicitarii în planul zx, fig. (III.15). Suprafetele elementare reprezinta ariile laterale ale prismei; suprafata dAn facând

unghiul α oarecare cu planul orizontal xy. Tensiunile σ n

si τ n din starea spatiala se regasesc în tensiunile σ α si

τ α , tensiuni dependente de unghiul α pentru o solicitare data.

Fig. III.14 Planul de actiune al sarcinilor

Între suprafetele laterale ale prismei exista relatiile:

(III.54)

Fig. III.15 Suprafata elementara

III.7.1 Expresia tensiunii normale

Din conditia de echilibru dupa axa , fig. (III.15), rezulta:

.(III.55)

Înlocuind relatia (III.54) în (III.55) si simplificând prin dAn rezulta:

. (III.56)

Se observa ca functiile trigonometrice ale unghiului α se pot transcrie pentru a nu avea produs

de functii trigonometrice sub forma cosinusilor directori ai suprafetelor astfel:

, , m = 0 ( y)(III.57)

Punând conditia m = 0 în relatia (III.20), rezulta aceeasi expresie a tensiunii normale în starea plana, relatia (III.56):

. (III.58)

Studiul functiei tensiunii σ α se face mai usor pentru cazul în care functia trigonometrica se scrie functie de argumentul 2α . Rezulta:

, (III.59)

sau:

. (III.60)

III.7.2 Expresia tensiunii tangentiale

Din conditia de echilibru dupa axa , fig. (III.15), rezulta:

.(III.61)

Înlocuind relatia (III.54) în (III.61) si simplificând prin dAn rezulta:

.(III.62)

Scriind relatia (III.62) pentru argumentul 2α , rezulta:

. (III.63)

III.8 Tensiuni normale principale. Tensiuni tangentiale principale

Orientarea planelor principale 1 si 3, ce definesc tensiunile normale maxime si minime, sub un unghi

α σ , este data de solutia obtinuta prin anularea derivatei functiei (III.60):

. (III.64)

Se observa ca în cazul plan se regaseste conditia dedusa pentru starea spatiala în care

tensiunile tangentiale sunt nule pe directiile tensiunilor normale principale.

Din relatia (III.64) rezulta:

. (III.65)

Întrucât functia tangenta determinata de parametrii σ x, σ z, τ zx, perpendiculari între ei, are perioada π , rezulta ca pe un cerc întreg sunt doua

solutii, 2α 1 si 2α 3, decalate între ele cu π . Se observa ca directiile principale 1 (α 1) si 3 (α 3)

formeaza un unghi drept între ele.

Procedând în mod similar asupra functiei (III.63) se obtine orientarea planelor principale 6 si 6’, sub unghiul α τ , pentru tensiuni tangentiale extreme:

. (III.66)

Rezulta:

. (III.67)

Directiile 6 (α 6) si 6’ (α 6’) sunt rectangulare din aceleasi considerente exprimate pentru directiile 1 si

3.

Ecuatia (III.67) este reciproca si negativa în raport cu ecuatia (III.65):

. (III.68)

Relatia (III.68) arata ca valorile argumentului 2α determinate în cele doua situatii (III.67, III.65) sunt decalate între ele cu π . Înseamna ca directiile [1

(α 1) si 3 (α 3)] si [6 (α 6) si 6’ (α 6’)] formeaza între ele unghiuri de .

Daca în relatia tensiunilor normale σ (III.60) se

înlocuiesc functiile si prin functia exprimata pentru directiile principale si anume:

(III.69)

rezulta expresia tensiunilor normale principale:

. (III.70)

Semnul plus din fata radicalului este asociat tensiunii σ 1, semnul minus este corespunzator

tensiunii σ 3.

Adunând tensiunile normale principale rezulta:

(invariantul starii de tensiune).(III.71)

Procedând ca mai înainte pentru expresia tensiunilor tangentiale τ (III.63) prin folosirea relatiei

(III.67) se obtine:

. (III.72)

Rezulta ca tensiunea tangentiala maxima are aceeasi valoare cu cea minima în concordanta cu legea dualitatii tensiunilor tangentiale pentru doua

suprafete ortogonale.

Din compararea relatiilor (III.71) si (III.72), se observa ca τ 66’ se mai poate exprima sub forma:

. (III.73)

Înlocuind relatia (III.67) în relatia (III.60), rezulta ca, în planele în care actioneaza tensiunile tangentiale extreme, tensiunea normala are

valoarea:

. (III.74)

Pentru redarea imaginii starii plane de tensiune (planul zx) a unui punct, se procedeaza astfel, fig.

(III.16):

- se considera în jurul unui punct M un cub elementar supus unei stari plane si omogene

de tensiune σ x, σ z, τ xz, τ zx, reprezentat în planul solicitarii prin suprafata hasurata de

laturi dx, dz (pentru simplificarea figurii nu s-au reprezentat tensiunile);

- suprafata studiata rotita fata de axa z cu unghiul α dupa o directie oarecare pe care

se dezvolta tensiuni σ α si τ α se reprezinta la o scara mai mica;

- prin rotirea elementului (suprafetei) studiate cu unghiul α σ 1, α σ 3 reprezentat la o scara si mai mica se obtin directiile principale 1 si 3; pe colturi, perpendicular pe diagonale,

s-au reprezentat suprafetele ce au versorii dupa directiile principale 6 si 6’, rotite cu

fata de directiile 1 si 3.

Fig. III.16 Starea plana de tensiune

În starea plana de tensiune, daca asupra elementului studiat actioneaza numai tensiuni

tangentiale extreme, solicitarea se numeste forfecare pura. Astfel, din relatia (III.74), punând conditia ca pe

directia principala 6 tensiunea normala sa fie nula, rezulta:

, de unde . (III.75)

de unde, conform relatiei (III.60), se obtine

.

Înseamna ca pe directiile principale 1 si 3 rotite la , fata de starea de forfecare pura, exista o stare echivalenta (reprezentarea s-a facut la o scara mai mica) în care tensiunile normale sunt egale si de

sens contrar, fig. (III.17).

Fig. III.17 Starea de forfecare pura

3

III.9 Cercul lui Mohr

Cercul lui Mohr este o reprezentare geometrica a relatiilor între tensiunile si pentru starea plana sau spatiala de tensiune.

În planul zx relatiile (III.60) si (III.63) definesc un cerc, ceea ce se poate demonstra rescriindu-le astfel:

(III.76)

(III.77)

Ridicând la patrat cele doua ecuatii si adunându-le, obtinem:

(III.78)

De remarcat ca sunt constante ce reprezinta o

stare de tensiune data; si reprezinta variabilele.

Rezulta ca este o constanta C, iar membrul din

dreapta al ecuatiei (III.78) este o alta constanta, R.

Folosind aceste notatii, ecuatia (III.78) devine:

( III.79)

Ecuatia (III.79) reprezinta, în sistemul de coordonate

, un cerc cu raza:

, (III.80)

al carui centru este deplasat la dreapta, fata de origine, pe

axa cu distanta OC care are marimea constantei C:

. (III.81)

Fig. (III.18) reprezinta cercul lui Mohr pentru o

stare plana de tensiune. Centrul C reprezinta media

tensiunilor normale, iar raza R este ipotenuza

triunghiului dreptunghic CDM. Prin punctele E,F,G

sunt redate tensiunile extreme , , .

Fig. III.18 Cercul lui Mohr

Punctele M de pe cerc redau proprietatile starii plane de tensiune. Spre exemplu, se poate observa ca tensiunea tangentiala maxima este egala cu raza cercului, deci cu semidiferenta tensiunilor principale

si corespunde unui unghi fata de directiile principale de solicitare.

Starea plana de tensiune poate avea mai multe cazuri particulare, dupa cum urmeaza:

1. Starea liniara de tensiune când (III.78). Ea se produce în barele drepte solicitate la întindere sau compresiune uniaxiala si în cazul încovoierii pure:

Fig. III.19 Cercul lui Mohr pentru starea liniara

. (III.82)

Reprezentarea s-a facut pentru ; pentru (cercul se afla în partea stânga).

2. Starea de forfecare pura daca (III.78). Ea se realizeaza în barele solicitate la forfecare pura sau torsiune:

(III.83)

Fig. III.20 Cercul lui Mohr pentru starea de forfecare pura

3. Starea de tensiune cu , . În acest caz tensiunile sunt dirijate în lungul directiilor principale de solicitare. Aceasta stare se produce, în mod aproximativ, în peretele unui cazan solicitat de o presiune interioara:

Fig. III.21 Cercul lui Mohr pentru cazul ,

, (III.84)

În mod asemanator ca în starea plana de tensiune, tensiunile în starea spatiala se reprezinta în sistemul de referinta prin trei cercuri ale lui Mohr în planele normale pe cele trei axe principale, fig. (III.22).

Fig. III.22 Cercul lui Mohr pentru starea spatiala

P III.1 Într-un anumit punct dintr-un corp solicitat, tensiunile principale sunt MPa si MPa. Sa se determine tensiunile normale si tangentiale corespunzatoare planelor a caror normale fac unghiurile de

si cu axa x.

Pentru rezolvarea problemei, se ilustreaza starea de tensiune data, în fig. (P.III.1.1). stiind ca MPa si τ = 0, se obtine punctul A (80,0). Similar rezulta B (-40,0). Se traseaza cercul cu diametrul . Sub un unghi , se duce dreapta DE, în care punctul D are coordonatele ( , ), iar punctul E are coordonatele (

, ).

Prin urmare:

iar pe planul perpendicular:

Fig. P.III.1.1

Tensiunile normale si tangentiale corespunzatoare planelor cu normale de si fata de axa x sunt reprezentate în fig. (P.III.1.2).

Fig. P.III.1.2

III.10 Starea liniara de tensiune

Starea liniara de tensiune se caracterizeaza prin faptul ca, indiferent de orientarea sectiunii de calcul,

tensiunile se dezvolta pe o aceeasi directie. Este caracteristica solicitarii axiale a barelor. Bara fiind solicitata dupa axa x, înseamna ca, oricare ar fi

orientarea suprafetei de calcul pn pnx, axa x este pe directia principala 1. Planul ortogonal pe directia pe

care se dezvolta tensiunile normale principale σ 1 are tensiunile tangentiale nule.

Starea liniara de tensiune se deduce simplu din starea plana prin anularea parametrilor caracteristici

uneia din directii. Tratarea analitica prezentata în continuare se abordeaza pentru o întelegere mai

usoara a solicitarilor simple.

Se considera o bara solicitata axial si un punct M în interiorul acesteia în jurul caruia se decupeaza o

prisma triunghiulara, fig. (III.23).

Fig. III.23 Bara solicitata axial

Pentru starea liniara de tensiune, la fel ca si în celelalte stari studiate, problema este de a determina tensiunea (prin componentele sale si ) de pe o

suprafata elementara dAn oarecare, în raport cu tensiunea de pe o suprafata ortogonala pe directia

solicitarii dAx (având în vedere orientarea solicitarii si a suprafetei, ). Pentru elementul studiat, fig. (III.24), relatiile între caracteristicile geometrice sunt

aceleasi ca în cazul plan.

Fig. III.24 Suprafata elementara

Din conditia de echilibru dupa axa rezulta:

, (III.85)

. (III.86)

Aceasta relatie se obtine direct din starea:

- spatiala, punând conditiile m = 0, σ z = 0, τ zx = 0:

;

- plana, punând conditiile σ z = 0, τ zx = 0:

.

Din conditia de echilibru dupa axa rezulta:

, (III.87)

. (III.88)

Relatia se obtine direct din starea plana punând conditiile σ z = 0, τ zx = 0:

. (III.89)

Tensiunile principale se deduc anulând derivata expresiilor tensiunilor. În cazul tensiunilor normale:

(III.90)

Se observa ca si pentru starea liniara pe directia tensiunilor normale principale, tensiunile tangentiale sunt nule. Sintetizând cele prezentate, se poate scrie

pn = pnx = σ x = σ 1 = σ . În solicitarea axiala tensiunea normala se simbolizeaza simplu σ fara

indice.

Înlocuind valorile lui α deduse în expresia lui σ α (III.74), rezulta σ 1 si σ 3:

Se verifica invariantul tensiunilor normale:

Determinarea tensiunii tangentiale extreme se face prin anularea derivatei functiei tensiunii τ α .

(III.91)

Înlocuind valorile lui α pentru directiile principale 6 si 6’ în expresia lui τ α (III.88), rezulta τ 66’ si τ 6’6. Tensiunile normale pe aceste directii se determina

prin folosirea relatiei (III.86):

Se verifica dualitatea tensiunilor tangentiale: .

Pentru redarea imaginii starii liniare de tensiune (planul zx) din jurul unui punct, se procedeaza astfel:

- se reprezinta cubul elementar din jurul punctului M prin fata din planul zx;

- se studiaza cazul pentru suprafetele

orientate cu unghiurile si ;

- la o scara mai mica se reprezinta

elementul studiat pentru .

Fig. III.25 Starea liniara de tensiune

4