CRISTIAN - RADU STAICU

ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE PLANA SI SFERICA

2015

SUMARINTRODUCERENOTAIII. TRIGONOMETRIA PLAN1. AXIOME I DEFINIII2. FUNCIILE TRIGONOMETRICE3. TEOREMA COSINUSULUI4. OPERAIUNI CU FUNCII TRIGONOMETRICE4.1. Sume i diferene de unghiuri4.2. Semnul funciilor trigonometrice i limitele valorilor lor4.3. Dublul, triplul unghiului i jumtatea sa4.4. Funciile unghiului exprimate prin tg (/2)4.5. Sume i diferene de funcii trigonometrice4.6 Valorile funciilor trigonometrice ale unor unghiuri remarcabile. Folosirea numrului 5.RELAII TRIGONOMETRICE N CERC5.1Unitile de msur5.2.Relaii ntre unghi, coard, sgeat6. REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR6.1. TEOREMA SINUSULUI6.2.TEOREMA TANGENTEI6.3. nlimile, mediatoarele, medianele, bisectoarele i raza cercului nscris n triunghi.6.4.SUPRAFAA TRIUNGHIULUI

II. TRIGONOMETRIA SFERIC7. AXIOME I DEFINIII8. TEOREMA COSINUSULUI9. TEOREMA SINUSULUI10. ECUAIILE LUI DELAMBRE; ECUAIILE LUI NAPIER11. TEOREMA COTANGENTEI12. RELAII NTRE UNGHIURILE I LATURILE TRIUNGHIURILOR SFERICE PARTICULARE12.1. Triunghiurile echilaterale;triunghiurile isoscele 12.2. Triunghiurile rectilaterale12.3.Triunghiurile dreptunghice13. TRIUNGHIUL POLAR; ECUAIILE LUI GAUSS PENTRU UNGHIURI13.1. Definiia polilor13.2.Triunghiul polar14. EXCESUL SFERIC15. CALOTA, RAZA CERCULUI CIRCUMSCRIS I CELUI NSCRIS N TRIUNGHIUL SFERIC; ARCE IMPORTANTE1.Generaliti2.Raza cercului circumscris3. Raza cercului nscris 4. nlimile, mediatoarele, bisectoarele i medianele triunghiului sferic5. Fusul sferic.Suprafaa triunghiului sferic16. REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR SFERICE

INTRODUCERE Paginile de fa au un scop modest dar util - acela de a pune la dispoziia persoanelor care, asemeni autorului, nu sunt nici olimpici, nici studeni la matematic, nici nu viseaz s ctige premiul Abel, un ghid practic ntr-un domeniu dificil ns indispensabil vieii noastre - TRIGONOMETRIA. Ideea unei astfel de lucrri s-a cristalizat atunci cnd am cutat explicaiile unor ecuaii din trigonometria sferic pe Internet i am observat c trebuie s consult prea multe lucrri pariale, cele mai multe n limbi strine (englez, francez, italian), de multe ori prea specializate pentru situaiile obinuite. Ghidul de fa este o sintez a acestora, precum i a altor cri din domeniul public; dei au o vrst ele sunt nc valoroase dac sunt revzute ntr-o manier apropiat de exigenele secoluui nostru. Trebuie spus c am cutat soluiile cele mai simple, iar n acest scop am folosit i demonstraii proprii. Sunt explicate aproximativ o sut de ecuaii trigonometrice; trei sau patru care necesitau demonstraii laborioase au fost doar enunate, n cazurile respective fcndu-se trimiteri la surs electronic accesibil.Expunerea se vrea a fi clar i logic, simplu de folosit, cititorul avnd nevoie doar de cunotine normale de algebr i geometrie plan. Am folosit un sistem identic de expunere att n partea referitoare la trigonometria plan ct i la cea sferic, astfel nct s se poat detaa cu claritate paralelismele i diferenele dintre cele dou situaii. Am evitat: 1. demonstraiile din analiza matematic - care implicau limite de funcii sau integrale; 2. utilizarea logaritmilor, cutnd ntotdeauna demonstraii simple de tip algebric. Am exclus din acest ghid acele ecuaii care nu erau necesare expunerii i demonstraiilor, fiind doar probe de virtuozitate matematic; cteva - triunghiurile polare, ecuaiile lui Gauss - fiind considerate utile, dar implicnd demonstraii de un nivel mai ridicat dect cel al paginilor de fa - au fost prezentate succint.Deoarece am presupus c teoremele fundamentale ale geometriei sunt cunoscute, nu am dat demonstraia lor. Acestea, mpreun cu acele teoreme trigonometrice care se puteau dovedi prea specializate pentru publicul int i scopul limitat pe care mi l-am propus, au fost tratate drept definiii i axiome preliminare". Autorul este cel dinti care recunoate c nu a realizat un tratat exhaustiv, dar reamintete c nu a avut nici un moment ambiia de a scrie un manual.

NOTAIIN PLAN PE SUPRAFAA SFEREIA, B, C unghiurile triunghiului A, B, Ca = BC a = BCb = AC laturile triunghiului b = ACc = AB c = ABO centrul cercului O= centrul sfereiP = a + b + c perimetrul triunghiului P = a + b + c p = (a+b+c) semi-perimetrul triunghiului p = (a+b+c) R raza cercului circumscris Ro r raza unui cerc oarecare r r' raza cercului nscris roS ABC suprafaa triunghiului ABC S ABC = face parte din... P = polul calotei sferice || paralele _|_ perpendicular c > a - b.6. n orice triunghi laturii mai mari i se opune unghiul mai mare.7. Triunghiul isoscel are dou laturi i unghiurile de la baza lor egale. n particular, atunci cnd toate trei laturile sunt egale, toate unghiurile au 60, iar triunghiul este echilateral.8. Dreapta care mparte n dou pri egale un unghi se numete bisectoare. n triunghi cele trei bisectoare sunt concurente (se ntlnesc) n centrul cercului nscris.9. Perpendicularele pe mijlocul fiecrei laturi a unui triunghi se numesc mediatoare i se ntlnesc n centrul cercului circumscris. Orice triunghi se poate nscrie ntr-un cerc.10. Dreapta care unete un vrf cu mijlocul laturii opuse lui se numete median. n triunghi medianele sunt concurente n centrul de greutate, aflat la 2/3 din lungimea medianei fa de vrful ei.11. nlimile triunghiului sunt perpendicularele coborte din vrfuri pe laturile opuse

2. FUNCIILE TRIGONOMETRICEn triunghiul dreptunghic exist ntre cele trei laturi urmtoarele 6 relaii:( = 90 a = ipotenuza, b, c = catetele b _|_ c B + C= 90)b/a = sin B = cos C c/a = cos B = sin C b/c = tg B = ctg C c/b = ctg B = tg C a/b = cosec B = sec C a/c = sec B = cosec C Not: prescurtrile pentru sinus, cosinus, secant i cosecant au fost ntotdeauna aceleai, dar pentru tangent i cotangent s-au mai folosit tan, respectiv cotg, cotan. Se observ imediat c, n general:sin = cos (90 - ) ( a ) cos = sin (90 - ) ( b ) tg = ctg (90- ) ( c )ctg = tg (90 - ) ( d )cosec = 1/sin sec = 1/cos sin = tg cos cos = ctg sin tg = sin / cos = 1/ctg = sin sec ctg = cos / sin = 1/tg = cos cosec n general, secanta i cosecanta sunt mult mai puin folosite dect celelate funcii.Teorema lui Pitagora n triunghiul ABC se poate scriea2 = b2 + c2 mprind cu a2 obinemb2 / a2 + c2/ a2 = 1 sin 2 B + cos 2 B = cos 2 C + sin 2 C = 1 sau n general sin 2 + cos 2 = 1 [1] (sin2/cos2) + 1= 1/ cos21 + (cos2/sin2) = 1/sin2De aici se ajunge la urmtoarele reguli de transformare: sin =+ [ 1 - cos2 ]1/2 cos = +[1 - sin2 ]1/2 ( e ) tg =+ sin / [ 1- sin 2 ]1/2 = +[ 1- cos2 ]1/2 / cos ( f ) ctg =+[ 1- sin 2 ]1/2 /sin = +cos /[ 1- cos2 ]1/2 ( g )cos = +1/ [ 1 + tg2 ]1/2 sin = + tg /[ 1 + tg2 ]1/2 ( h )sin = + 1 / [ 1 + ctg 2 ]1/2 cos = + ctg /[1 + ctg 2 ]1/2 ( i )Se observ imediat c atunci cnd una din catete devine egal cu zero i unghiul opus ei are 0. Relaiile - , a - d i ecuaia [1] ne arat c pentru unghiurile 0 i 90 funciile trigonometrice au urmtoarele valori:sin 0 = cos 90= 0 sin 90 = cos 0 = 1tg 0 = ctg 90 = 0 tg 90 = ctg 0 = +Valorile funciilor trigonometrice sunt mrimi scalare, aadar numere reale n sine, fr un determinant, spre deosebire de arce i unghiuri n cazul crora avem ntotdeauna exprimat o unitate de msur, de ex. 10 grade, 1 radian , 1 dr.Unghiurile ntre care exist relaia + = 90 se numesc complementare, iar cele ntre care exist relaia + =180 se numesc suplementare.

3. TEOREMA COSINUSULUITeorema lui Pitagora este un caz particular al unei teoreme aplicabile oricrui triunghi numit teorema cosinusului. Ea va ajuta la nelegerea tuturor celorlalte teoreme i ecuaii care urmeaz.Se d triunghiul oarecare ABC. Se duce nlimea AD, D BC, AD_|_BC.Se observ imediat c AD mparte latura BC n dou pri care sunt de fapt proieciile laturilor AB i AC pe BC, deoarece triunghiurile ABD i ACD sunt dreptunghice. Prin urmare putem scrieBC=AB cosB + AC cosC ceea ce este identic cu notaiaa = c cos B + b cosC Pentru a simplifica att calculele ct i nelegerea lor s notm AD=h1 BD=x DC=y BD=a-y DC=a-xTeorema lui Pitagora ne arat c exist egalitile:h12= c2 - x2 h12= b2-(a-x)2 h12 = b2-y2 h12= c2 -(a-y)2 de unde deducem c2 - x2= b2 - a2 - x2 + 2ax c2= b2 - a2 + 2ax b2 - y2 = c2 - a2 - y2 + 2ay b2 = c2 - a2 + 2ay- b2= - a2 - c2 + 2ax b2= a2 + c2 - 2ax= a2 + c2 - 2ac cosB- c2 = - a2 - b2 + 2ay c2= a2 + b2 - 2ay= a2 + b2 - 2ab cosC

Aadar, ntr-un triunghi ptratul unei laturi este egal cu suma ptratelor celorlalte dou minus dublul produsul lor nmulit cu cosinusul unghiului dintre ele.Pentru latura BC=a se deduc imediat relaiilea2 = b2 + c2 - 2bc cos, cos = [2]dar dac = 90, cos 90 = 0 2 ab cosC=2 b2 2ac cos B= 2c2a2 = b2 + c2 b2 = a2 + c2 - 2 c2 = a2 - c2 c2 = a2 + b2 - 2 b2 = a2 - b2adic egalitile care rezult direct din teorema lui Pitagora.

4. OPERAIUNI CU FUNCIILE TRIGONOMETRICETeorema cosinusului ne ajut s nelegem cum se obin funciile trigonometrice ale unor sume, diferene, pri sau multipli ai unor unghiuri date. 4.1. Sume i diferene de unghiuriPentru a simplifica explicaiile, vom discuta pentru nceput doar de unghiuri ascuite. Fie arcul de cerc AOB < 90, OA = OB = R. Alegem un punct pe arc, notndu-l cu C. OC = R, CC'= YB', aadar sin > sin , OA > OB', deci cos > cos - prin urmaresin ( - ) = sin cos - sin cos [4]S calculm cosinusul i sinusul unghiului - =0 - cos 0 = 1 sin 0 = 0cos (0-) = 1x cos + 0 x sin = cos sin (0-) = 0 x cos - 1x sin = - sin Dac scriem unghiul + sub forma + = [ - (-)] obinem imediat ecuaiilecos( + ) = cos cos - sin sin [5]sin ( + ) =sin cos + sin cos [6]Reamintindu-ne c tg = sin / cos , iar ctg = cos / sin , calculm imediat suma i diferena acestor unghiuri, simplificnd ecuaiile n cazul tangentei cu cos cos , iar n cazul cotangentei cu sin sin .tg ( - ) = = [7]tg ( + ) = = [8]ctg ( - ) = = [9]ctg ( + ) = = [10]4.2. Semnul funciilor trigonometrice i limitele valorilor lorAm limitat n paragraful anterior demonstraia la unghiuri ascuite. Aceasta nu duce la invalidarea ecuailor [3] - [10] pentru unghiurile obtuze. Trebuie ns discutate dou aspecte fundamentale: care sunt limitele de valori admise pentru fiecare funcie i care sunt regulile pe care le urmeaz. Acum avem posibilitatea s facem aceast discuie. S dm, rnd pe rnd, unghiului valorile 90, 180, 270, 360, < 90. S-a discutat mai sus situaia 90-, ( - ) [0, 90], de aceea nu se repet ceea ce s-a spus. Toate funciile au valori pozitive, sin i tg sunt cresctoare, cos i ctg sunt descresctoare n acest interval. Indiferent de intervalul considerat, funcia tangent este cresctoare, iar cotangenta descresctoare.

= 90 ( + [90, 180]sin 90= 1 cos 90 = 0 sin (90 + ) = cos cos (90 + ) = - sin tg (90 + ) = cos / (-sin ) = - ctg ctg (90 + ) = (-sin ) / cos = - tg Limitele funciei sinus sunt ntre 1 i 0, valoarea ei este pozitiv i descrete atunci cnd crete. Pentru = 90, adic sin 180, valoarea este 0. Funcia cosinus este negativ, descrete de la 0 la - 1 pentru 180.Tangenta i cotangenta sunt negative, deorece sinusul i cosinusul au semne diferite. Fiecare dintre ele ia valoarea 0 atunci cnd funcia de la numrtor are valoarea 0 i - atunci cnd funcia de la numitor are valoarea 0, astfel c avem o funcie negativ cresctoare n cazul tangentei i una negativ descresctoare n cazul tangentei. Exist un punct de discontinuitate n cazul valorilor tg 90: tg 90 = +, tg (90 + 1") = - 206 264,806245....i unul n cazul celor ale ctg 180:ctg 180 = -, ctg (180 + 1") = + 206 264,806245...Nu trebuie s par surprinztor c venind dinspre 90 spre 180, ctg tinde spre -, iar dinspre 180 spre 270 pornim de la +. este un simbol care arat o tendin, nu un numr n adevratul sens al cuvntului. Valoarea infinit nu este niciodat atins, o funcie cu numitorul 0 - n cazul nostru cos /0 nu are sens. - i + arat de fapt c pentru un unghi care difer de 180 cu o mrime infinitezimal - s presupunem 1"/1.000.000.000.000 - vom obine o valoare care tinde spre infinit, totui este un numr real, negativ sau pozitiv, dup cum este semnul funciei pe intervalul respectiv. Acelai lucru se poate spune i despre tangentele unghiurilor 90 i 270 i despre cotangenta de 360.Valorile absolute -mrimea fr semn - sunt ale funciilor identice ale unghiui complementar al lui .

= 180 ( - [90, 180] sin 180= 0 cos 180 = -1sin (180 - ) = sin cos (180 - ) = - cos tg (180 - ) = - tg ctg (180 - ) = - ctg Valoarea absolut a funciei este aceeai cu a funciei corespunztoare a unghiului ascuit, dar numai sinusul este pozitiv. Intervalul ntre care poate varia unghiul este acelai ca mai sus [90, 180], aadar toate celelalte observaii sunt identice.( + [180, 270]Valorile minime i maxime pe care le pot lua funciile sunt urmtoarele:sin 180 = 0 sin 270 = - 1 cos 180 = - 1 cos 270 = 0tg 180 = 0 tg 270 = + ctg 180 = + ctg 270 = 0sin (180 + ) = - sin cos (180+ ) = - cos tg (180+ ) = tg ctg (180+ ) = ctg Valorile absolute sunt cele ale funciilor corespunztoare ale lui .Sinusul este descresctor i negativ, cosinusul cresctor i negativ. Tangenta i cotangenta sunt pozitive, tangeta este cresctoare, iar cotangenta descresctoare. Punctele de discontinuitate sunt 270 pentru tangent i 180 pentru cotangent. = 270 ( - )sin (270 - ) = - cos cos (270 - ) = - sin tg (270 - )= ctg ctg (270 - ) = tg Valorile absolute sunt cele ale funciei unghiului complementar al lui . Intervalul, semnele i celelalte observaii sunt identice cu acelea de la 180+ .( + [270, 360]sin 270 = - 1 sin 360 = 0 cos 270 = 0 cos 360= 1tg 270 = - tg 360 = 0 ctg 270 = 0 ctg 360 = - sin (270 + ) = - cos cos (270 + ) = sin tg (270 + ) = - ctg ctg (270 + ) = - tg Funcia cosinus este pozitiv n acest interval, celelalte sunt negative. Cotangenta este descresctoare, toate celelalte sunt cresctoare. Valorile n mrime absolut sunt cele ale funciei identice a unghiului complementar al lui . = 360 ( - [270, 360] 360 - este o alt form de a scrie 0 - , astfel nctsin (360 - ) =sin (0 - ) = - sin cos (360 - ) = cos (0 - ) = cos tg (360 - ) = tg (0 - ) = - tg ctg (360 - ) = ctg (0 - ) = - ctg Funcia are valoarea funciei identice a unghiului (-). Fiind vorba de acelai interval [270, 360], observaiile sunt identice cu acelea de la punctul 270 + .Unghiurile (360 + ) sunt unghiurile ascuite obinuite din intervalul [0, 90]. Note. 1. n manualele de trigonometrie se folosete pentru explicarea semnelor i valorilor funciilor un cerc avnd centrul n punctul 0 al unui sistem cartezian de coordonate, iar raza sa este 1.Scopul este urmrirea proieciilor acestei raze atunci cnd unghiul su cu axa OX variaz. Intervalele de cte 90 sunt numite cadrane, numerotate astfel: 0-90= cadranul I, 90-180=cadranul II, 180-270= cadranul III i 270-360= cadranul IV. Sinusul este pozitiv n cadranele I i II, cosinusul n I i IV, tangenta i cotangenta sunt pozitive n cadranele I i III. Sinusul este cresctor n cadranele IV i I, cosinusul este cresctor n cadranele III i IV, graficul acestor dou funcii este continuu, are o form specific "sinusoid" i exist un decalaj de 90 ntre punctul de maxim al cosinusului i cel de maxim al sinusului.2. Exist tradiia de a se nota aceste intervale cu mrimea lor n radiani: 0 - , - , - , - 2 . Deorece am ncercat o expunere simplificat, ambele sisteme de mai sus apreau prea specializate. De asemenea am oferit o variant "popularizat" pentru limitele funciilor tangent i cotangent.

4.3. Dublul, triplul unghiului i jumtatea saSe pot calcula din ecuaiile de tip ( + urmtoarele:sin 2 = sin cos +sin cos = 2 sin cos [11]cos 2 = cos cos - sin sin = cos2 - sin2 = 2 cos2 -1= 1- 2 sin2 [12]tg 2 = 2 tg / (1-tg2) [13]ctg 2 = (ctg2 - 1) /2 ctg [14]sin 3 = sin ( + 2) = sin [1-2sin2] +2 sin cos cos = sin - 2sin3 + + 2 sin [1 - sin2 ] = 3 sin - 4 sin3 [15]cos 3 = cos ( + 2) = cos [2cos2 - 1] - sin [2 sin cos ] == 4 cos3 - 3 cos [16]tg 3 = [tg (1 - tg2) + 2 tg ]/ [(1- tg2)- 2 tg2 ] == [ 3tg - tg3 ] / [1 - 3tg2 ] [17]ctg 3 = [ctg ctg 2 - 1] / [ctg + ctg 2] = [ctg3 - 3ctg ] / [3 ctg2 - 1] [18]S privim unghiul ca fiind 2(/2). Putem scrie atunci:sin = 2 sin (/2) cos(/2) [19]cos = cos2(/2) - sin2(/2) = 2 cos2 (/2) - 1= 1 - 2 sin2 (/2) [20]tg = 2 tg (/2) / [1 - tg2 (/2)] [21]ctg = [ctg2(/2) - 1] / 2 ctg (/2) [22]Ecuaia [20] ne permite s stabilim urmtoarele relaii extrem de utile ntre funciile trigonometrice:2 sin2 (/2) = 1 - cos 2 cos2 (/2) = 1 + cos sin (/2) = + [(1- cos )/2]1/2 [23]cos (/2) = + [(1 + cos ) / 2]1/2 [24]tg (/2) = + [(1- cos ) / (1 + cos )]1/2 [25]4.4. Funciile unghiului exprimate prin tg (/2)Deoarece sin(/2) =tg (/2) cos(/2) i cos2(/2) = 1 / [1 + tg2(/2)], atunci sin = 2 tg (/2) cos2 (/2) = 2 tg (/2) / [1 + tg2(/2)] [26]cos = cos2(/2) - sin2(/2) dar sin2 (/2) = tg2 (/2) / [1 + tg2(/2)], aadarcos = [1 - tg2(/2)] / [1 + tg2(/2)] [27]tg = 2 tg (/2) / [1 - tg2(/2)] [28]ctg = [1 - tg2(/2)] / 2 tg (/2) [29]Pornind de la egalitile 26 - 29 i rezolvnd ecuaiile de gradul doi n care apare tg (/2) putem echivala tg (/2) astfel:tg (/2) = = =

4.5. Sume i diferene de funcii trigonometriceExist situaii cnd avem nevoie s transformm o sum de funcii trigonometrice n produsul lor i invers; iat cum procedm:S presupunem c trebuie s transformm cos + cos ntr-un produs. Facem un artificiu de calcul i scriem egalitile = x + y = x - y de unde + = 2x x = ( + ) - = 2y y = ( - ) dar n acest caz cos + cos = (cos x cos y - sin x sin y) + (cos x cos y + sin x sin y) == 2 cos x cos y = 2 cos cos [30] Situaia invers se rezolv astfelcos cos = [( cos cos - sin sin ) + ( cos cos + sin sin )] = = [cos ( + ) + cos ( - )] [31] Similar se obin urmtoarele ecuaiicos - cos = - 2 sin sin = 2 sin sin [32]sin sin = [cos ( - ) - cos ( + )] [33]sin + sin = 2 sin x cos y = 2 sin cos [34]sin cos = [sin ( + ) + sin ( - )] [35] sin - sin = 2 sin y cos x = 2 sin cos [36] tg + tg = [sin cos + sin cos ] / cos cos = = sin ( + ) / cos cos [37]tg - tg = sin ( - ) / cos cos [38]ctg + ctg = [cos sin + cos sin ] / sin sin == sin ( + ) / sin sin [39]ctg - ctg = sin ( - ) / sin sin [40][sin + sin ] / [sin - sin ] = = 2 sin ( + ) cos ( - ) / 2 sin ( - ) cos ( + ) == tg ( + ) ctg ( - ) = tg ( + ) / tg ( - ) [41][sin + sin ] / [cos + cos ] = = 2 sin ( + ) cos ( - ) / 2 cos [( + )] cos[(( - )] = tg [42] [sin - sin ] / [cos + cos ] = = tg [sin + sin ] / [cos - cos ] = = ctg [43][sin - sin ] / [cos - cos ] = = - ctg [tg + tg ] / [tg - tg ] = sin ( + ) / sin ( - ) [44]

4.6 Valorile funciilor trigonometrice ale unor unghiuri remarcabile. Folosirea numrului Se poate pune ntrebarea de principiu: de ce este util s calculm unele unghiuri folosind sume de radicali i de fracii n epoca laptop - ului, PC-ului, a programelor care ne dau la o simpl apsare pe taste 30 de zecimale exacte?Rspunsul este foarte simplu: marea majoritate a mrimilor trigonometrice sunt numere iraionale - adic, mai simplu spus, au un numr infinit de zecimale - astfel c exist situaii n care folosirea lor sub aceast form este foarte greoaie. Dimpotriv, n anumite stadii ale rezolvrii unor probleme - m refer la probleme practice, reale, nu din culegeri sau manuale, folosirea acestor ecuaii "clasice" este deosebit de util, putnd duce la simplificri de formule sau la regsirea unor ecuaii cunoscute. Din motive practice voi vorbi numai de unghiuri din intervalul 0 - 90. Toate funciile lor sunt pozitive, astfel c semnul radicalului nu va mai fi precizat. Formula general de rezolvare va fisin nx = cosm x x = 90/ (n+m)S ncepem cu unghiul de 45. Triunghiul dreptunghic care are aceste unghiuri este isoscel, astfel nctsin 45 = cos 45 sin2 45 + cos2 45 = 1 2 sin2 45 = 2 cos2 45 = 1de unde sin 45 = cos 45 = 1/ = 2 / 2tg 45= ctg 45=1Unghiul de 135 = 90 + 45 = 180 - 45 are sinusul 2 / 2, cosinusul -2 / 2,tg i ctg -1; unghiul de 225 are sinusul i cosinusul egale i negative - 2 / 2,tg i ctg +1; unghiul de 315 are sin negativ - 2 / 2, cos pozitiv 2 / 2 i tg i ctg -1. [Am prezentat acest caz n detaliu drept un exemplu de folosire extensiv a calculelor. Pentru celelalte unghiuri se vor folosi indicaiile paragrafului 4.2.]

Funciile unghiurilor de 30 i 60 sin x = cos 2 x sin x = 1 - 2 sin2 x 1 - sin2 x - sin2 x - sin x= 0 (1- sin x)(1+sin x) - sin x (1+sin x) = 0deoarece 1 + sin x este diferit de 0 putem simplifica ecuaia1 - 2 sin x= 0 sin x = 1/2cos x = [1 - ]1/2 = 3/2sin 30 =cos 60 = 1/ 2 cos 30 = sin 60 = 3/ 2tg 30 = ctg 60 = 1/3 = 3 /3 ctg 30 = tg 60 = 3

Funciile unghiurilor de 22 30' i 67 30'Aceste funcii se obin calculnd ecuaiile [23] - [25] cu funcia cos 45 sin 22 30' =cos 67 30' = [ (1 - ) ]1/2 = (2 - 1/2cos 22 30' =sin 67 30'= (2 + )1/2 tg 22 30' = ctg 67 30'= [(2 - / (2 + ]1/2 =[(2 - )2/(4-2) ]1/2== [(6 - 4)/2]1/2= (3 - 2)1/2ctg 2230'=tg 67 30'=[(2 + / (2 - ]1/2 =[(2 + )2/(4-2) ]1/2= = [(6 + 4)/2]1/2=(3 + 2)1/2Se poate continua astfel, calculnd din cos 22 30' funciile pentru 11 15', dar ecuaiile devin prea complicate pentru avantajul pe care l-ar putea prezenta. Funciile unghiurilor de 15 i 75 sin 15 = sin (45 - 30) = 2/2) x (3/2) - 2/2) x 1/ 2 = ( - ) = cos 75cos 15 = sin 75 = (6 + 2) cele dou funcii au valori conjugate astfel nct n cazul tangentei eliminm radicalul numitorului amplificnd fracia cu numrtorul , tg =sin215/sin15 cos15 tg 15 = ctg 75= [6 + 2 - 12]/[6 - 2] = 2 - 3 similarctg 15 = tg 75 = 2 + 3Not. Trebuie subliniat c putem porni i de la cosinusul unghiului de 30, unghiul de 15 fiind jumtate cel de 30. Obinem sin 15 = [(1-3/2)/2]1/2= [2 - 3]1/2 cos 15 = [2 + 3]1/2, ceea ce reprezint alte forme pentru aceleai valori.

Funciile unghiurilor de 18 i 72Rezolvarea unghiului de 18 este foarte interesant deoarece ne permite s discutm o form elegant de simplificare a scrierii ecuailor.sin 3 x = cos 2 x3 sin x - 4 sin3x = 1- 2 sin2 x 3 sin x (1 - sin2x) = (1 - sin2x) - sin2 x (1 - sin x) 1 - sin x> 0 3 sin x (1+ sin x) = 1 + sin x - sin2 x3 sin x + 3 sin2 x + sin2 x - sin x - 1 = 04 sin2 x + 2 sin x - 1 = 0sin x = [-2 + (41/2]/8 = [ -1] /4 sin 18 = cos 72 = [ -1] /4=1/(2) = ( - 1) cos 18 = sin 72 = [1 - sin218]1/2= 1/4[ 16 - 5 - 1+ 2]1/2=1/4[10+21/2= = [ 2 + ]1/2tg 18 = ctg 72 = [1 - (2/)]1/2=[2 +]1/2 / [3 + 1]ctg 18 = tg 72 = [5+2]1/2= [2+]1/2=[4 + 3]1/2Exist n natur o proporie numit proporia de aur , numrul de aursau . Este vorba de raportul care mparte un segment de dreapt astfel nct cele dou pri s se afle n acelai raport n care se afl cea mai mare dintre ele cu segmentul ntreg. Acest raport nu privete numai drepte - el se poate referi la raportul dintre lungimea i limea unui lucru, la raportul dintre lungimea i nlimea unei construcii, a unei statui, la dimensiunile unei vieti marine etc. De cte ori apare proporia avem certitudinea unui echilibru - nu este vorba numai de unul artistic, aparent, altfel proporia aceasta nu ar aprea att de frecvent n natur. Proprieti similare le are i numrul 1/.Numerele i 1/ se obin rezolvnd raporturile = xy + y2= x2 x2 - xy - y2=0 | : y2 (x/y)2 - (x/y) - 1= 0y2 + xy - x2= 0|: x2 (y/x)2 + (y/x) - 1= 0x/y= [ 1 + (1+4)1/2]= (1+ ) = y/x = [- 1 + (1+4)1/2] = () = 1/ = 1,61803398874989... 1/ = 0, 61803398874989... - ( 1/) = 1 1/ = - 1 2 - 1 = 2= + 1 1/2= (-1)2= 2-2 + 1 = 2 - 3 = (+1)= + 2 ( - 1)3= 2 - 2 - -1+ = 2 - 3 4 = 2 + 2 + 1= 3 + 2 1/4 = 4 + 2 - 4 = 5 - 3Funciile unghiului de 18 permit calcularea valorilor pentru 36 i 54, a diferenelor 45 - 36=9, 36-30= 6, 30 - 18=12, 18 -15= 3, 45-18=27 i a unghiurilor complementare corespunztoare. Folosirea numrului simplific scrierea ecuaiilor.Pentru unghiurile mici, ntre 0 - 5, sin tg mrimea unghiului n radiani.Pentru sin 1 tg 1 [1505 9031] /21070 cos 1 [ + ] / 14sau cos 1= Not: aceste valori se obin din sinusul i cosinusul pentru 30 i cos 3100'9,789=6/7; arcsin[1505 9031] /21070 = 059'59,997884715; arctg[1505 9031] /21070=059'59,4497 ctg 1=57,2899180/ arccos [ + ] / 14 =100'09,789 -diferena fa de cos 1 fiind -8,29379 x 10-7, astfel c pentru situaiile cele mai frecvente sunt aproximaii utile.

5.RELATII TRIGONOMETRICE N CERC5.1Unitile de msurAa cum am artat, arcurile i unghiurile la centru au aceeai msur. Exist trei tipuri de uniti: 1. raportate la unghiul drept [dr]; 2. raportate la lungimea razei cercului, radiani [rad]; 3.grade - acestea putnd fi: sexagesimale[], cu diviziunile minut sexagesimal ['] =1/60, secunda sexagesimal ["] = 1 /3600, sau grade centesimale [g], cu diviziunile minutul centesimal [c] = 1g/100 i secunda centesimal [cc] = 1g/10000.Dup cu se vede sistemul este destul de complicat n toate cazurile. Indiscutabil s-a nceput prin a compara orice unghi cu unghiul drept. Dac este uor s spui c unghiurile frecvente i importante 45, 30, 60, 120 i 135 reprezint , 1/3, 2/3,4/3[=1 ] i 3/2 [=1 ] din unghiul drept, alte unghiuri devin adevrate sume de fracii. O metod mai bun a fost s se compare lungimea arcului cu raza sa. Treptat s-a observat c exist un raport constant ntre lungimea cercului i diametrul su - dat fiind c era vorba de o constant iraional s-a folosit litera , iniiala cuvntului "perimetru". Valoarea sa a fost aproximat de Arhimede ntre 3 + 10/71 i 3 + 10/70. ns aceasta implic, n cazul unghiurilor egale, un raport constant ntre lungimea arcurilor i razele cercurilor din care acestea fac parte - fapt evident n cazul cercurilor concentrice n care se delimiteaz un sector. Gradul sexagesimal s-a obinut, dup toate probabilitile, din observaia c o coard egal cu raza subntinde un arc egal cu 1/6 din cerc i divizndu-se acest arc n 60 de pri egale. n antichitate sistemul sexagesimal era folosit la unitile de lungime, de greutate, n sistemul monetar. Prerile sunt divergente n ce privete motivul folosirii acestei baze de numeraie, cel mai probabil pare a fi c 60 se putea mpri la 2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, fiind un multiplu comun pentru bazele 10,12 i 20 folosite concomitent n epoc. Gradul centesimal a fost obinut prin mprirea unghiului drept n 100 de pri. Avem urmtoarele relaii fundamentale ntre aceste uniti de mrime: 1 cerc = 4 dr = 2 rad = 360=400g1 dr = /2 rad=90= 100g1 rad = 180/=5717'44",806... = 206 264",806 247 =0,63661977236758... dr1=/180rad = 0,0174532925199433 rad = 1/90 dr= 1g,111111....Trebuie spus c gradul centesimal a fost un eec, astzi nu este folosit dect excepional. Secunda sexagesimal se divide zecimal. Dup apariia calculatoarelor electronice, n programele pentru calculator gradul sexagesimal a fost mprit n fraciuni zecimale - v. Windows. n acest caz avem 1 10' = 1,1666666666.... 1 20'= 1,3333333333....1 15' = 1,25 1 25'= 1,41666666666.... etc.Numrul = 3,141 592 653 589 793... se poate folosi n scopuri practice sub formele 3, 1416 i 3,141 aceste variante avnd avantaje n ce privete divizibilitatea: 3,1416 are un numr finit de zecimale pentru orice divizor ntre 1 i 12, cu excepia lui 9 - pentru care se folosete 3,141.1/=0,318309886183790...Not. ntre mrimea n radiani a unui unghi i valorile funciilor sale trigonometrice exist relaii studiate n analiza matematic, dar acestea depesc nivelul propus pentru paginile de fa.5.2.Relaii ntre unghi,coard, sgeatS construim n cercul cu centrul n O i cu raza R o coard DE. Coborm perpendiculara din O pe DE, care intersecteaz coarda n punctul F i arcul n punctul G. Ducem razele OD i OE, realiznd un triunghi isoscel ODE,== rad innd seam de proprietile triunghiurilor isoscele, OF este nlime, bisectoare a unghiului , mediatoare a laturii DE i median. n acelai timp OG = OD = OE =R DF=FE =1/2 DE, FG=R- OF=sgeata arcului DGEde unde deducem c DE= 2 R sin , OF = R cos , FG = R(1- cos ) = 2 R sin2 dar DE = 4 R sin cos , raportul ntre sgeat i coard fiind aadar2 R sin2 / 4 R sin cos = tg [45]iar cel ntre arc i sgeatR /2 R sin2 = / 2 sin2 [46]Suprafaa sectorului circular DOE se calculeaz observnd c ea se afl n acelai raport cu suprafaa total a cercului n care se afl arcul cu circumferina acestuia, aadarSDOE/ R2 = /360 SDOE = R2/360 , dar /360=/2 aadar SDOE = R2/360 = R2 [47]Suprafaa dintre coarda DE i arcul DGE se numete segment circular i se calculeaz scznd suprafaa triunghiului DOE din aria sectorului circularSDOE = OF x DE/2 = R2sin cos = R2sin S DGEFD = R2 [(/360) - sin ] = R2( - sin ) [48]Not. ntotdeauna coarda subntinde dou arce, i 360 - . Calculele se fac n funcie de arcul care ne intereseaz.

6. REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR6.1. TEOREMA SINUSULUIS construim cercul cu centrul n O i raza R. Lum trei puncte oarecare pe circumferina lui i le unim prin segmente de dreapt, obinnd triunghiul nscris ABC. Ducem razele OA, OB, OC, i construim mediatoarele OL, OM, ON pe laturile BC=a, AC=b, AB = c. Observm c vrfurile triunghiului i unghiurile la centru corespunztoare au aceleai arcuri (~ BC pentru i 0 pe intervalul 0 - 180- i ecuaia directsin a = 2 [95]sin b = 2 sin c = 2 avantajul ecuaiilor 92-94 fiind c avem un singur arc pentru mrimea calculat, deoarece n intervalul [0,90] exist un singur sinus cu aceast valoare.Demonstraia ecuaiei lui Lhuiller este destul de laborioas; se pornete de la A+B+C-180=, =90-sin (90- ) = cos , cos (90- ) = sin , = = i se aplic formulelor 73-74 ale lui Delambre; se obine relaiatg =( tg tg tg tg )1/2 [96]Not. Detalii referitoare la aceast egalitate precum i la celelalte ecuaii din capitolele 14 - 15 se gsesc n cursul lui Spiru Haret, pp.206-211; nivelul acestui ghid sumar nu permite intrarea n toate amnuntele.Pornind de la egalitatea [94] i nmulind tg cu tg , apoi simplificnd produsul lor se ajunge la relaiactg = (ctg ctg + cos C)/sin C [97]

15. CALOTA, RAZA CERCULUI CIRCUMSCRIS I CELUI NSCRIS N TRIUNGHIUL SFERIC; ARCE IMPORTANTE1.Generaliti.S presupunem c ntr-o sfer real cunoatem nlimea I i raza rb a bazei unei calote; P este polul, Ob este centrul cercului bazei; O fiind centrul, iar Rs raza sferei; A, B, C sunt trei puncte astfel nctPA= PB = PC= Ro ObA= ObB= ObC = rb ; {A, B, C, rb} fiind planul seciunii bazeiEste evident c A, B, C formeaz un triunghi sferic pe suprafaa calotei i unul plan, proiecie a primului, pe baz. Ro este raza cercului circumscris triunghiului sferic, P fiind centrul su; unghiul POA ne permite urmtoarele relaii evidenterb = Rs sin Ro I = Rs (1- cos Ro ) = 2 Rs sin2 Ro deoarece sin Ro = 2 sin Ro cos Ro rb / I = tg Ro Dac A, B, C sunt unghiurile triunghiului sferic, vom nota unghiurile triunghiului plan corespunztor cu Ab, Bb, Cb; Bb Cb este coarda arcului a i latura a n triunghiul planAb Cb este coarda arcului b i latura b n triunghiul planAb Bb este coarda arcului c i latura c n triunghiul planBb Cb = 2 Rs sin a = aAb Cb = 2 Rs sin b = bAb Bb = 2 Rs sin c = cDin ecuaia [ 49] obinem2 Rs sin a/ sin Ab =2 Rs sin b /sin Bb =2 Rs sin c /sin Cb =2 Rs sin Ro = sin Ro Notnd tg Ro = t folosind egalitatea [26] obinem = 2 t/ (1 + t2) =2 Irb / (I2 + rb2).2.Raza cercului circumscris. Ecuaiile anterioare au avut rolul s uureze calculul n cazul sferelor reale, pentru probleme cu date metrice. Ecuaia general pentru Ro se poate obine n mai multe forme cu demonstraii diferite; am considerat c urmtoarea este cea mai simpl i nu necesit neaprat un desen explicativ.Trasm razele dintre polul P i A, B, C; se creeaz trei triunghiuri isoscele: APB, APC i BPC; unghiurile A, B, C sunt mprite de raze astfel nct la baza fiecrui triunghi echilateral avem dou unghiuri necunoscute dar egale ntre ele. Pentru a simplifica scrierea notm: