Geometria Plană

UNGHIURI

definiţie : figura geometrică obţinută prin reunirea a două semidrepte care au aceeaşi origine se numeşte unghi.

măsura :împărţind cercul în 360 de părţi egale,

fiecare parte este un arc de cerc cu măsura de 1° (un grad sexagesimal) ; submultiplii gradului sunt minutul si secunda

1° = 60' şi 1' = 60''măsura unghiului , cu vârful centrul cercului , este aceeaşi cu măsura arcului de cerc corespunzător.

unghiuri congruente : sunt unghiurile care au

aceeaşi măsura.

clasificare :

a) un unghi ( după măsura ) poate fi :1. unghi nul măsura = 0°2. unghi ascuţit măsura < 90°3. unghi drept măsura = 90°4. unghi obtuz măsura > 90°5. unghi alungit măsura = 180°6. unghi în jurul unui punct măsura = 360°

b) două unghiuri ( după măsura ) pot fi :

1. complementare - suma măsurilor lor este de 90°2. suplementare - suma măsurilor lor este de 180°

c) doua unghiuri după aşezare pot fi :1. adiacente - au vârf comun , o latura

comuna , iar celelalte laturi sunt deoparte şi de alta laturii comune.

2. opuse la vârf - prelungirea fiecărei laturi a unui unghi este latura a celuilalt unghi.

precizare : unghi propriu este acel unghi care nu-i nul şi nici alungit.

Teoremă : unghiurile opuse la vârf sunt congruente.

definiţie : semidreapta , cu originea în vârful unui unghi şi care-l înjumătăţeşte pe acesta , se numeşte bisectoarea acelui unghi.

Teoremă : bisectoarele , a două unghiuri adiacente suplementare

( complementare ) sunt perpendiculare - formează un unghi drept - ( un unghi de 45° ).

DREPTE PARALELE

definiţie : două drepte a căror intersecţie este mulţimea vidă se numesc drepte paralele.

T1 - două drepte intersectate de o secantă formează unghiuri alterne interne ( sau alt. int. , sau corespodente ) congruente , atunci acele drepte sunt paralele.

RT1- două drepte paralele intersectate de o secanta formează unghiuri congruente.

T2 - două perpendiculare pe aceeaşi dreaptă sunt paralele.

T3 - două unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente ( când sunt de acelaşi fel ) , sau suplementare.

T4 - două unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt congruente ( când sunt de acelaşi fel ) , sau suplementare.

coliniaritate - trei puncte care aparţin aceleaşi drepte.

PARALELOGRAM

definiţie : patrulaterul la care laturile sunt paralele se numeşte paralelogram.

definiţie : paralelogramul cu un unghi drept se numeşte dreptunghi.

definiţie : paralelogramul cu laturile congruente se numeşte romb.

definiţie : - dreptunghiul cu laturile congruente se numeşte pătrat.

- rombul cu un unghi drept se numeşte pătrat.

T1 - unghiurile ale unui paralelogram sunt congruente , iar cele alăturate unei laturi sunt suplementare.

T2 - laturile paralele ale paralelogramului sunt congruente.

1RT2 - patrulaterul , care are laturile opuse congruente ( două perechi) , este paralelogram.

2RT2 - patrulaterul , care are două laturi paralele şi congruente , este paralelogram.

T3 - diagonalele paralelogramului se înjumătăţesc.

RT3 - patrulaterul la care diagonalele se înjumătăţesc este paralelogram.

T4 - diagonalele dreptunghiului sunt congruente.

RT4 - paralelogramul cu diagonalele congruente este dreptunghi.

T5 - diagonalele rombului sunt perpendiculare şi bisectoare ale unghiurilor rombului.

RT5 - paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb.

TRAPEZ

definiţie : patrulaterul convex cu ( numai ) două laturi paralele se numeşte trapez.

definiţie : trapezul care are laturile neparalele congruente se numeşte trapez isoscel.

definiţie : trapezul care are un unghi drept se numeşte trapez dreptunghic.

T1 - în trapez , unghiurile alăturate bazelor sunt suplementare.

T2 - în trapezul isocel , unghiurile alăturate bazelor sunt congruente.

RT2 - trapezul , la care unghiurile alăturate bazelor sunt congruente , este trapez isoscel.

T3 - diagonalele trapezului isoscel sunt congruente.

RT3 - trapezul , cu diagonalele congruente , este trapez isoscel.

definiţie : segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele ( ale trapezului )se numeşte linia mijlocie a trapezului.

T4 - linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele şi lungimea ei este media aritmetică a lungimilor bazelor.

aria trapezului : A ABCD = = MN · h( B + b ) · h

2

TRIUNGHI

definiţie : figura geometrică obţinuta din reunirea segmentelor determinate de trei puncte necoliniare , se numeşte triunghi.

clasificare : a) după felul unghiurilor :1. - triunghi ascuţitunghic - are toate

unghiurile ascuţite

2. - triunghi dreptunghic - are un unghi drept

3. - triunghi obtuzunghic - are un unghi obtuz

b) după felul laturilor : 1. triunghi SCALEN - are toate

laturile necongruente

2. triunghi ISOCEL - are două laturi congruente

3. triunghi ECHILATERAL - are toate laturile congruente

Observaţie : triunghi OARECARE este acel triunghi ascuţitunghic şi scalen.

linii importante în triunghi : - ÎNĂLŢIMEA - perpendiculara

din vârf pe latura opusă

- MEDIANA - segmentul determinat de vârf şi de mijlocul laturii opuse

- MEDIATOAREA - perpendiculara pe latură în mijlocul ei

- BISECTOAREA - bisectoarea unghiului triunghiului

- LINIA MIJLOCIE - segmentul determinat de mijloacele a două laturi

concurenţa liniilor importante :H ortocentrul - punctul de

concurenţă al înălţimilor

G centrul de greutate - punctul de concurenţă al medianelor

O centrul cercului circumscris - punctul de concurenţă al mediatoarelor

I centrul cercului în scris - punctul de concurenţă al bisectoarelor

CONGRUENŢA :definiţie : două triunghiuri se numesc

congruente , dacă au laturile respectiv congruente şi unghiurile corespunzătoare lor respectiv congruente.

cazurile de congruenţă :

a) două triunghiuri oarecare sunt congruente dacă auL.U.L. două laturi şi unghiul format de ele , sauU.L.U. două unghiuri şi latura lor comună , sauL.L.L. cele trei laturi respectiv congruente

b) două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au :C.C. catetele , sauC.U. o cateta şi unghiul ascuţit alăturat , sau

I.U. ipotenuza şi un unghi ascuţit , sauI.C. ipotenuza şi o catetă respectiv

congruente

TEOREME :

T1 - într-un triunghi isoscel , la laturi congruente corespund unghiuri congruente.

RT1 - dacă un triunghi are două unghiuri congruente , atunci laturile corespunzătoare lor sunt congruente.

T2 - într-un triunghi isoscel , bisectoarea unghiului format de laturile congruente este mediană , înălţime , mediatoare.

1RT2 - dacă într-un triunghi , o bisectoare este şi mediană ( sau înălţime , sau mediatoare ) , atunci triunghiul este isoscel.

2RT2 - dacă într-un triunghi , o înălţime este şi mediană (sau bisectoare , sau mediatoare ) , atunci triunghiul este isoscel.

T3 - într-un triunghi isoscel , înălţimile corespunzătoare laturilor congruente , sunt congruente.

T4 - într-un triunghi isoscel , medianele corespunzătoare laturilor congruente , sunt congruente.

T5 - suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180°.

C1T5 - unghiurile ascuţite ale triunghiului dreptunghic sunt complementare.

C2T5 - unghiurile ascuţite ale triunghiului dreptunghic isoscel au masuri de 45°.

C3T5 - fiecare unghi al triunghiului echilateral are măsura de 60°.

C4T5 - triunghiul isoscel care are un unghi ( oricare ) cu măsura de 60° este triunghi echilateral.

T6 - într-un triunghi dreptunghic , cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.

T7 - unghiul exterior al triunghiului este egal cu suma unghiurilor neadiacente cu el.

T8 - linia mijlocie a triunghiului este paralelă cu latura a treia si egală cu jumătate din ea.

T9 - mediana corespunzătoare ipotenuzei , unui triunghi dreptunghic , este jumătate din ipotenuză.

T10 - o paralelă cu latura unui triunghi determină pe celelalte laturi segmente proporţionale ( Teorema lui Thales ).

RT10 - dacă două puncte împart două laturi ale unui triunghi în segmente proporţionale , atunci dreapta determinată de cele două puncte este paralelă cu latura a treia.

T11 - o paralelă cu o latură a unui triunghi , determină un nou triunghi asemenea cu primul.

T12 - dacă două triunghiuri au unghiuri respectiv congruente , atunci acele triunghiuri sunt asemenea ( cazul 1 ).

T13 - dacă două triunghiuri au un unghi respectiv congruent şi laturile care-l formează proporţionale , atunci acele triunghiuri sunt asemenea ( cazul 2 de asemănare ).

T14 - dacă două triunghiuri au cele trei laturi proporţionale , atunci acele triunghiuri sunt asemenea ( cazul 3 ).

T15 - dacă două triunghiuri dreptunghice au un unghi ascuţit congruent , atunci acele triunghiuri sunt asemenea.

T16 - dacă două triunghiuri dreptunghice au catetele proporţionale , atunci acele triunghiuri sunt asemenea.

T17 - dacă două triunghiuri isoscele au un unghi ( la fel aşezat ) respectiv congruent , atunci acele triunghiuri sunt asemenea.

T18 - bisectoarea unghiului unui triunghi împarte latura opusă în segmente proporţionale cu laturile care formează unghiul.

T19 - centrul de greutate al triunghiului se găseşte pe mediană la 2/3 de vârful triunghiului şi la 1/3 de latura opusă.

T20 - cateta este medie proporţională între ipotenuză si proecţia ei în ipotenuză ( Teorema catetei ).

T21 - într-un triunghi dreptunghic , inalţimea corespunzătoare ipotenuzei este medie proporţională între segmentele determinate de ea pe ipotenuză ( Teorema 1 a înălţimii ).

T22 - înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este egală cu raportul dintre produsul catetelor şi ipotenuză ( Teorema 2 a înălţimii ).

T23 - suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei ( Teorema lui Pitagora ).

T24 - în triunghi , pătratul unei laturi esteegală cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus ( sau plus ) de două ori

2a

22 2 ( c + b ) - a

4 2b+c

2 2

produsul lor cu cosinusul unghiului dintre cele două laturi ( Teorema lui Pitagora generalizată ).

T25 - în triunghi , produsul dintre oricare latură şi înălţimea corespunzătoare ei este aceeaşi.

T26 _ teorema lui Steward.

T27 _ teorema lui Menelaus.

T28 _ teorema lui Ceva.

ALTE RELATIIîn triunghi oarecare :lungimea înălţimii

AD = ha = p ( p-a ) ( p-b ) ( p-c)

lungimea medianei AM = ma =

2

a · ha

2

a · b · c 4R

L 3 4

L 3 4

2

lungimea bisectoarei AA' = ba = . bcp ( p-a )

aria AABC = AABC = p ( p-a ) ( p-b) ( p-c) formula lui Heron

AABC =

AABC =

unde R = raza cercului circumscris

în triunghi echilateral :

înălţimea h =

aria A =

a · c · sinB 2

CERC

definiţie : locul geometric al punctelor planului egal depărtate de un punct al planului ( centru ) se numeşte cerc.

raza : distanţa de la centrul cercului la un punct al cercului.

coarda : segmentul determinat de două puncte ale cercului.

diametru : coarda care conţine centrul cercului.

T1 - măsura unghiului înscris în cerc este jumătate din măsura arcului de cerc corespunzător.

- măsura unghiului cu vârful în exteriorul cercului este jumătate din diferenţa măsurilor arcelor corespunzătoare.

- măsura unghiului cu vârful în interiorul cercului este jumătate din suma măsurilor arcelor corespunzătoare.

definiţie : dreapta care are un singur punct de intersecţie cu cercul se numeşte tangenta la cerc.

T2 - diametrul perpendicular pe o coardă înjumătăţeşte coarda şi pe arcul corespunzător ei.

RT2 - dacă un diametru înjumătăţeşte o coardă, atunci el este perpendicular pe acea coardă.

T3 - coardele egal depărtate de centru sunt congruente ( în acelaşi cerc , sau în cercuri congruente ).

RT3 - coardele congruente sunt egal depărtate de centru.

T4 - la coardele congruente corespund arce congruente ( în acelaşi cerc , sau în cercuri congruente ).

RT4 - la arce congruente corespund coarde congruente ( în acelaşi cerc , sau în cercuri congruente ).

T5 - între coarde paralele sunt arce congruente.

definiţie : patrulaterul ale cărui vârfuri sunt puncte conciclice ( aparţin aceluiaşi cerc ) se numeşte patrulater închis in cerc .Patrulater inscriptibil este acel patrulater care poate fi înscris într-un cerc.

T6 - unghiurile opuse ale patrulaterului înscris în cerc sunt suplementare.

RT6 - dacă două unghiuri opuse ale unui patrulater sunt suplementare , atunci patrulaterul este inscriptibil.

2 π R

T7 - într-un patrulater înscris în cerc , unghiul format de o latură şi o diagonală este congruent cu unghiul format de latura opusă şi cealaltă diagonala.

RT7 - dacă într-un patrulater , unghiul format de o latură şi o diagonală este congruent cu unghiul opus format de latura opusă şi cealaltă diagonală , atunci patrulaterul este inscriptibil.

T8 - tangentele la cerc , dintr-un punct exterior , sunt congruente , iar dreapta determinată de punctul exterior şi de centrul cercului este bisectoare a unghiului format de cele două tangente.

T9 - triunghiul dreptunghic se înscrie într-un semicerc al cărui centru este mijlocul ipotenuzei.

lungimea cercului L = aria discului A = 2 π R

2 π R n° 360°

180° n

180° n

R2

R 2 2

R 3 2

π R n° l · R 360° 2

lungimea arcului de cerc l =

aria sectorului de cerc As = sau

latura şi apotema poligonului regulat înscris în cerc în funcţie de raza cercului

ln = 2 R sin an = R cos

3 4 6

l R 3 R 2 R

a

AC AB · AD + CB · CDBD BA · BC + DA · DC

- inegalitatea lui Ptolomeu - într-un patrulater convex , produsul diagonalelor este mai mic cel mult egal cu suma produselor dintre laturile opuse.

- T1 Ptolomeu - într-un patrulater inscriptibil , produsul diagonalelor este egal cu suma produselor dintre laturile opuse.

- T2 Ptolomeu - într-un patrulater inscriptibil există relaţia :

=

- T Pascal - într-un hexagon înscris in cerc , intersecţiile laturilor opuse sunt trei puncte coliniare.

ABCDEF - inscriptibilAC ∩ CD = { M }AB ∩ DE = { P } => M , N , P coliniareBC ∩ EF = { N }

- cercul lui Euler ( cercul celor 9 puncte ) - într-un triunghi , mijloacele laturilor ,

picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor determinate de ortocentru şi vârfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

O' - centrul cercului lui Euler este mijlocul segmentului determinat de H - ortocentrul triunghiului - şi de O - centrul cercului circumscris ;

r - raza cercului lui Euler este jumătate din raza cercului circumscris al triunghiului.