Curs 3SISTEME DINAMICE DISCRETEClasificare:Un sistem dinamic discret este o secven de funcii yt, care sunt definite recursiv, adic exist o regul care leag funciile din secven.Notm secvena:{yt}.

(1)Relaia (1) este ecuaie recursiv.

(2)Relaia (2) este ecuaie cu diferene de ordin unu,poate fi transformat n ecuaie recursiv.

n ecuaia (1) sau n (2), poate fi liniar/neliniar.Discretizarea ecuaiilor difereniale:

Ecuaia dinamic liniar discret de ordinul doi, neomogen, cu coeficieni constani:

Rezolvarea ecuaiilor liniare dinamice discrete cu coeficieni constani:1. Rezolvm ecuaia omogen:

Cutm o soluie de forma :

mprim ecuaia la :

ecuaia caracteristic.Exist trei cazuri:1.Discriminantul

, rdcini reale distincte.Soluia general a ecuaiei omogene are forma:

sunt constante generalizate arbitrare.2. Discriminantul, rdcini reale egale

3. Discriminantul rdcini complexe conjugate.

Forma polar a numerelor complexe:

modulul numrului complex

argumentul numrului complexTeorema lui Moivre:

cu i constante complexe.nlocuind n soluie i fcnd calculele obinem:

cu i constante reale.Soluia particular prin metoda coeficienilor nedeterminai:

se consider d forma termenului liber i se pune condiia ca ea s verifice ecuaia neomogen.

Echilibrul i stabilitatea sistemelor dinamice discrete

Considerm sistemul dinamic discret:

este punct de echilibru/fix dac i numai dac:

Stabilitatea/instabilitatea punctelor fixe:

dac atunci este asimptotic stabil i este punct fix de tip atractor;

dac , atunci este asimptotic instabil i este punct fix de tip repelor;

Sistem stabil, punct fix atractor

Sistem instabil

Punct fix repelor

Punct fix atractor, local asimptotic stabil (numai cnd condiiile iniiale sunt ntr-o vecintate a punctului fix)

Punct fix atractor, global asimptotic stabil, starea iniial se afl oriunde n spaiul strilor.

Exemplul 1:Creterea Malthusian a populaieiIpotez: ntre t i t+1, creterea populaiei este proporional cu nivelul iniial al populaiei, k > 0 este factorul de proporionalitate:

Cu soluia analitic:

Punct fix:

Stabilitatea:

sistem asimptotic instabil, punct fix repelor.

Tem:Considerm datele: k=1,5P0= 1000Calculai populaia pentru t=1-10, facei graficul, calculai punctul fix, analizai stabilitatea.Exemplul 2Modelul Harrod - Domar, varianta discretDiscretizare:

Modelul devine:

Obinem ecuaia cu diferene de ordinul unu:

Cu soluia:

sistemul este stabil,

sistemul este instabil.Punct fix:

Tem:

Scriei traiectoria de evoluie a venitului, calculai punctul fix, analizai stabilitatea (tipul de punct fix), facei graficul traiectoriei pentru t = 1-10

Aproximarea liniar a ecuaiilor neliniare cu difereneForma general a ecuaiei recursive de ordin unu, neliniar:

Considerm forma autonom ( nu depinde explicit de timp).Exist punct fix, dac:

toi t.Aproximarea liniar de ordinul unu:

Ignornd restul, obinem:

Exemplu:

Modelul lui Solow n timp discret

n timp discret avem: venitul la momentul t este produs de combinaia de factori ai anului precedent.

funcia de producie macroeconomic per capita, cu i Discretizare:

Ecuaia investiiilor brute devine:

rata deprecierii capitalului fix,Populaia crete cu o rat constant n:

Economiile sunt o pondere din venit i n echilibru, sunt egale cu investiiile:

De unde:

Ecuaia de evoluie a capitalului:

Determinm ecuaia de evoluie a capitalului per capita, mprim la :

n cazul funciei de producie Cobb-Douglas per capita cu randamente constante la scal:

Ecuaia de dinamic a capitalului per capita:

Sau:

Deci:

Soluia staionar:

Avem dou puncte fixe:

Dezvoltarea Taylor n jurul punctului :Deci:

Tem:Considerm valorile:

a. Scriei modelul lui Solow n mrimi per capita.b. Determinai numeric punctele fixe ale funciei :

c. Scriei ecuaia de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii determinat prin aproximare liniar:

Ecuaie liniar, neomogen, de ordinul unu, cu coeficieni constani:

ecuaia omogen.

Facem ipoteza c soluia este de forma

mprim prin .Ecuaia caracteristic este:

Soluia general a ecuaiei omogene:

Soluia particular:

Punem condiia ca soluia particular s verifice ecuaia neomogen:

Constanta generalizat:

Soluia:

Reprezentai grafic n EXCEL soluia obinut.

18