1

Seminarul 6 : Serii numerice

Criteriul lui Leibniz : Daca seria alternanta∞∑

n=1

(−1)n−1Un, Un > 0 are propri-

etatile:Un+1 ≤ Un si lim

n→∞Un = 0

atunci este convergenta.

Criteriul raportului : Fie∞∑

n=0

Un o serie numerica cu proprietatea ca exista :

limn→∞

|Un+1||Un|

= k

• daca k < 1 seria este absolut convergenta, deci convergenta.

• daca k > 1 seria este divergenta.

Remarca : � pentru k = 1 nu putem trage nicio concluzie.

� putem inlocui conditia de existenta a limitei cu conditiile :

• daca exista k ∈ (0, 1) si n0 ∈ N astfel ca |Un+1||Un| ≤ k pentru orice n ≥ n0 atunci seria

este convergenta.

• daca |Un+1||Un| ≥ 1 pentru orice n ≥ n0 atunci seria este divergenta.

� daca seria are termenii pozitivi nu avem nevoie de modul.

Criteriul radacinii : Fie∞∑

n=0

Un o serie numerica cu proprietatea ca exista :

limn→∞

n√|Un| = k

• daca k < 1 seria este absolut convergenta, deci convergenta.

• daca k > 1 seria este divergenta.

Remarca : � pentru k = 1 nu putem trage nicio concluzie.

� putem inlocui conditia de existenta a limitei cu conditiile :

• daca exista k ∈ (0, 1) si n0 ∈ N astfel ca n√|Un| ≤ k pentru orice n ≥ n0 atunci seria

este convergenta.

2

• daca n√|Un| ≥ 1 pentru orice n ≥ n0 atunci seria este divergenta.

� daca seria are termenii pozitivi nu avem nevoie de modul.

Criteriul lui Abel : Daca seria∞∑

n=0

αnUn are proprietatea ca sirul (Sn)n≥1:

Sn = U1 + U2 + ....+ Un

este marginit si :αn+1 ≤ αn, lim

n→∞αn = 0

atunci seria este convergenta.

Calculul aproximativ al sumelor de serii : de cele mai multe ori este aproapeimposibil de determinat suma unei serii convergente si prin urmare ne multumim cuaproximarea acesteia prin intermediul sirului sumelor partiale:

Sn = U1 + U2 + ...+ Un.

• in general ne intereseaza aproximarea S ≈ Sn cu o anumita eroare ε > 0, adicadeterminarea acelui n pentru care :

|S − Sn| < ε.

Propozitie : Daca convergenta unei serii∞∑

n=1

Un este stabilita prin :

• criteriul raportului, adica |Un+1||Un| ≤ k < 1, n ≥ n0 atunci :

|S − Sn| ≤|Un+1|1− k

n ∈ N∗

• criteriul radacinii, adica n√|Un| ≤ k < 1 , n ≥ n0 atunci :

|S − Sn| ≤kn+1

1− k

Daca convergenta seriei alternante∞∑

n=1

(−1)n−1Un , Un > 0 este stabilita prin criteriul

lui Leibniz atunci :

|S − Sn| < Un+1.

Aplicatie : Calculati cu o eroare mai mica decat 10−3 suma seriei∞∑

n=1

1n·2n .