1

SEMINARAPLICAIILINIARENUCLEU,IMAGINE,MATRICEADETRECERE

CESUNTAPLICAIILELINIARE?

Aplicaiileliniaresuntmorfismedespaiivectoriale.AmintiivdinclasaaXIIastructurialgebrice(monoizi,grupuri, inele,corpuri)ceeraumorfismele?Eraufuncii care aveau ca domeniu i codomeniumulimile suport ale structurii algebrice i aveau n plus douproprieti. La fel sepuneproblema i lamorfismelede spaii vectoriale (acestemorfisme le vomnumi ncontinuareaplicaiiliniare).Definiie.FieV iW spaiivectorialerealei K corpulscalarilor.Ofuncie :f V W senumeteaplicaieliniar(saumorfismdespaiivectoriale)dac:

1. 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v ,pentruorice 1 2,v v V 2. ( ) ( )f v f v ,pentruorice K i v V .

Consecine:1. (0 ) 0V Wf (corespondenavectorilornuli)2. ( ) ( )f v f v

Denumiriechivalente:aplicaieliniar,transformareliniar,operatorliniar,morfismdespaiivectoriale;CUMSCRIEM(DESCRIEM)OAPLICAIELINIAR?ngeneral,oaplicaie liniarsedsub forma: :f V W (undeV iW suntprecizate) iprin legeacareleagelementeledinV cuceledinW : f v w ,unde v V i w W (exactca la legiledecompoziie/morfismele din clasa a XIIa, dar spre deosebire de acestea, spaiile vectoriale care reprezint domeniul icodomeniulaplicaiei liniareNUmaisuntdedimensiune1,adicnumaisunt sau sausubmulimialeacestora,ciaudimensiunimaimari).

Exemplu: 2 3:f , , , ,f x y x y y x y Aceastformdedefinirepoatefi"transcris"ntrunmodmaisimplu,echivalent,pentruaputeaefectuacalculecuvectoriscrii"pecoloane"astfel:

ndomeniuldedefiniie 2V ,oricevector 2v aredoucomponente,decisepoatescrie:x

vy

;

2

ncodomeniul 3W ,oricevector 3w aretreicomponente,decisepoatescrie:a

w bc

;

Legturadintre 2v i 3w ,prinfuncia f ,este: v

w

ax

f by

c

,unde a x y ,b y i

c x y . "Rescrierea"aplicaieiliniareipunereanevidenamatriceiasociate:

1 10 0 1

1 1matricea asociat

x y x yx x

f y yy y

x y x y

,adic f v A v .

Observaie:ORICEaplicaieliniarsescrienforma: f v A v .Atenie!!!Coloanelematricei A conincoeficieniielementelordinvectorul v NORDINEADIN v ,nunordineancarepotapreanw .Deexemplu:

3 3:f , , , 2 , , 2f x y z y x z x x y

Serescrieaplicaialiniar:2 2 0 2 1 0

0 1 0 12 2 0 1 2 0

x y x x y xf y z x x z yz x y x y z

.

CUMVERIFICMCOFUNCIE :f V W ESTEAPLICAIELINIAR?

Cudefiniia!

Exemplul1:Verificaidac 2 3:f ,K (corpulscalarilor)definitprin , , ,f x y x y y x y esteaplicaieliniar.

Maintiscriem:

" "" "

" "v

w

x y primul al doileax

f y al doileay

x y primul al doilea

Verificmproprietatea1.dindefiniie: 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v ,pentruorice 1 2,v v V ( 2V ).

3

Fie 111

xv

y i

22

2

xv

y vectorioarecaredin

2 .

" "

1 2 1 21 2

1 2 1 21 2

1 2 1 2" "

" "( ) " "

" "

primul

al doilea

x x y y primul al doileax x

f v v f y y al doileay y

x x y y primul al doilea

i1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

( ) ( )x y x y x x y y

f v f v y y y yx y x y x x y y

.Deci 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v (proprietatea

1.esteverificat).Verificmproprietatea2.dindefiniie: ( ) ( )f v f v ,pentruorice i 2v .

Fie xvy

unvectoroarecaredin2 . ( ) ( )

x y x yx

f v f y y f vy

x y x y

.

Deci ( ) ( )f v f v (proprietatea2.esteverificat).nconcluzie, f esteaplicaieliniar.Exemplul2:Verificaidac 3 3:f ,K (corpulscalarilor)definitprin , , 0, ,f x y z z x esteaplicaieliniar.

Maintiscriem:

0 " "" "" "

v w

x zerof y z al treileaz x primul

Verificmproprietatea1.dindefiniie: 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v ,pentruorice 1 2,v v V ( 3V ).

Fie1

1 1

1

xv y

z

i

2

2 2

2

xv y

z

vectori oarecare din 3 .

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0( )

x xf v v f y y z z

z z x x

i

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0 0 0( ) ( )f v f v z z z z

x x x x

.Deci 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v (proprietatea1.esteverificat).

Verificmproprietatea2.dindefiniie: ( ) ( )f v f v ,pentruorice i 3v .

4

Fiex

v yz

unvectoroarecaredin 3 .

0 0( ) ( )

xf v f y z z f v

z x x

.

Deci ( ) ( )f v f v (proprietatea2.esteverificat).nconcluzie, f esteaplicaieliniar.

Exemplul3:Verificaidac 3:f ,K (corpulscalarilor)definitprin 2 2 2, , , ,f x y z x y z esteaplicaieliniar.

Maintiscriem:

2 2 2v

xf y x y zz

Verificmproprietatea1.dindefiniie: 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v ,

pentruorice 1 2,v v V ( 3V ).Fie1

1 1

1

xv y

z

i

2

2 2

2

xv y

z

vectorioarecaredin 3 .

1 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2

( )x x

f v v f y y x x y y z zz z

i 2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2( ) ( )f v f v x y z x y z .

Evident, 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v deciproprietatea1.NUesteverificat,adic f nuesteaplicaieliniar.Exemplul4:Fie :f P P ,(amnotatcu P mulimeapolinoamelorcucoeficienireali)iK (corpulscalarilor).Sseverificedacsuntaplicaiiliniare:

a) 2( ) ( )f p x p x ,pentruorice p P ;b) 2( ) ( )f p x p x ,pentruorice p P .

a)Verificmproprietatea1.dindefiniie: 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v ,pentruorice 1 2,v v V ( V P ).Fie 1 ( )v p x i 2 ( )v q x vectori oarecare din P . 21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )f v v f p x q x p x q x i

2 21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f v f v f p x f q x p x q x . Evident, 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v deci f nu esteaplicaieliniar.b)Verificmproprietatea1.dindefiniie: 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v ,pentruorice 1 2,v v V ( V P ).Fie 1 ( )v p x i 2 ( )v q x din P .Calculm 2 2 21 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xf v v f p x q x p q p x q x

5

i 2 21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f v f v f p x f q x p x q x . Deci 1 2 1 2( ) ( ) ( )f v v f v f v (proprietatea 1.esteverificat).Verificmproprietatea2.dindefiniie: ( ) ( )f v f v ,pentruorice i ( )v p x P .

2( ( )) ( ) ( ( ))f p x p x f p x (proprietatea2.esteverificat).nconcluzie, f esteaplicaieliniar.NUCLEULIIMAGINEAUNEIAPLICAIILINIARECESUNT?Definiie.Fie :f V W oaplicaieliniar.

NUCLEULlui f esteunsubspaiuvectorialaldomeniuluiV ,definitprin: Ker | ( ) 0Wf v V f v

IMAGINEAlui f esteunsubspaiuvectorialalcodomeniuluiW ,definitprin: Im | , ( )f w W v V f v w

Dimensiuneanucleului,dimKer f senumeteDEFECTULaplicaieiliniare;ATENIE!!!Dacnucleulesteformatdoardinvectorulnul0V ,atuncidimKer 0f .

Dimensiuneaimaginii,dimIm f senumeteRANGULaplicaieiliniare.Teoremarangdefect:dimKer dim Im dimf f V CUMSEDETERMINNUCLEULIIMAGINEA?NUCLEUL:Serezolvsistemulliniariomogen ( ) 0Wf v ,apoisedetermindimKer f ;IMAGINEA: O variant rapid i util este folosirea Teoremei rangdefect (deci se determin mai ntidim Im f )iapoisefoloseteproprietatea:" Im f estegeneratdevectoriicoloanaimatriceiasociateaplicaieiliniare".Din sistemul de generatori format cu vectorii coloan ai matricei se alege un numr de vectori liniarindependeni,corespunztordimensiuniiimaginii.Exemplul5:Fieaplicaialiniar 3 3:f ,definitprin: , , 3 , , 2f x y z x y z y z x z .

a) Scrieimatriceaasociatlui f nbazacanonic;b) DeterminaiKer f i Im f (cteobazidimensiuneapentrufiecare).

6

a) 3 3 1 3 1

0 0 1 12 0 2 1 0 2

x x y z x y z xf y y z y z yz x z x z z

,matriceaasociateste

1 3 10 1 11 0 2

A

.

b) 33Ker | ( , , ) 0x

f y f x y zz

; 3( , , ) 0f x y z esteechivalentcusistemulliniaromogen:

3 00

2 0

x y zy zx z

careserezolvcumetodaGauss:

3 1 3 231 3 11 3 1 0 0 1 3 1 0

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 01 0 2 0 0 3 3 0 0 0 0 0

L L L L

;sistemulechivalenteste:

3 00

x y zy z Notm ,z iobinem y i 2x .Deaicirezultc:

3

2Ker 1 |

1f

,dimKer 1f iobazsedeterminalegndovaloarenenul

pentru .Alegem 1 iobazpentruKer f este: Ker211

fB

.

DinTeoremarangdefect, 3dimIm dim dimKer 3 1 2f f ;Folosimfaptulc" Im f estegeneratdevectoriicoloanaimatriceiasociateaplicaieiliniare",deciputemscrie:

1 2 3

1 3 1Im 0 , 1 , 1

1 0 2v v v

f Sp

ipentruc dimIm 2f ,alegem2vectori(deexemplu, 1v i 2v )iverificm

dacsuntliniarindependeni:dac 31 1 2 2 0v v ,atunci: 1 2 0 ;

1 1 2 2 0v v 1 21 3 00 1 01 0 0

1 2

2

1

3 000

,deci 1 2 0 .Obazpentru Im f este:.

Im

1 30 , 11 0

fB

.

7

Exemplul6:Fieaplicaialiniar 3 4:f ,definitprin: 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3, , , , 2 3 , 3f x x x x x x x x x x x x x x .a) Scrieimatriceaasociatlui f nbazacanonic;b) DeterminaiKer f i Im f (cteobazidimensiuneapentrufiecare).

a)

1 2 31 1

1 32 2

1 2 33 3

1 2 3

1 1 11 0 1

2 3 1 2 33 1 1 3

x x xx x

x xf x x

x x xx x

x x x

,matriceaasociateste

1 1 11 0 11 2 31 1 3

A

.

b) 41

32 1 2 3

3

Ker | , , 0x

f x f x x xx

; 41 2 3, , 0f x x x esteechivalentcusistemulliniar

omogen:1 2 3

1 3

1 2 3

1 2 3

00

2 3 03 0

x x xx x

x x xx x x

careserezolvcumetodaGauss:

2 1

3 1 3 2

4 1 4 22

1 1 10 0 1 1 1 01 1 10 0 0 1 2 01 0 1 0 1 20 0 0 0 0 01 2 3 0 1 20 0 0 0 0 01 1 3 0 2 4

L L

L L L L

L L L L

;sistemulechivalenteste:

1 2 3

1 3

00

x x xx x

Notm 3 ,x iobinem 2 2x i 3x .Deaicirezultc:

3

1Ker 2 |

1f

,dimKer 1f iobazsedeterminalegndovaloarenenul

pentru .Alegem 1 iobazpentruKer f este: Ker121

fB

.

DinTeoremarangdefect, 3dimIm dim dimKer 3 1 2f f ;Folosimfaptulc" Im f estegeneratdevectoriicoloanaimatriceiasociateaplicaieiliniare",deciputemscrie:

8

1 2 3

1 1 11 0 1

Im , ,1 2 31 1 3v v v

f Sp

ipentru c dimIm 2f , alegem2 vectori (de exemplu, 1v i 2v ) i se

verificdacsuntliniarindependeni:dac 41 1 2 2 0v v ,atunci: 1 2 0 ().Obazpentru Im f

este: Im

1 11 0,

1 21 1

fB

.

MATRICEADETRECEREDELAOBAZLAALTAFie V un spaiu vectorial i 1 1 2, ,..., kB v v v , 2 1 2, ,..., kB w w w baze n V (evident, au aceeaidimensiune).Notmcu 2

1

BB matriceadetreceredelabaza 1B labaza 2B iavemurmtoarelecazuri:

a) Dac 1 1 2, ,..., kB v v v estebazacanonic,atunci: 21 1 2 ...BB kw w w

(practic,esteformatcuvectoriibazei 2B ,pecoloane)

b) Dac 1 1 2, ,..., kB v v v esteobazoarecare(NUBAZACANONIC),atunci:

2

1

1 1 1

2 2 2BB

k k k

unde , ,...,i i i cu 1,i k suntsoluiilecelor k sistemeliniare:

1 1 1 2 2

2 1 1 2 2

1 1 2 2

...(1)

...(2).............................................

...( )

k k

k k

k k k

w v v vw v v v

w v v vk

9

Exemplul7:n 2 seconsiderbazacanonicibazele 11 1,

1 1B

i 2

1 1,

0 3B

.Determinai:

a) Matriciledetreceredelabazacanonicla 1B ila 2B ;b) Matriceadetreceredela 1B la 2B .

a) Notm 1 0,0 1

B

baza canonic din 2 . Conform teoriei, matricea de trecere de la baza

canoniclaoricealtbazesteformatdinvectoriicoloanaiaceleibaze.Avem:

11 11 1

BB

irespectiv2

1 10 3

BB

.

b) Notmvectoriibazelor 1B i 2B cu: 1 21 1,

1 1v v irespectiv 1 2

1 1,

0 3w w .Matricea

detrecerede labaza 1B la 2B este: 21 1 12 2

BB

,unde ,i i cu 1,2i suntsoluiilecelor2

sistemeliniare: 1 1 1 2 22 1 1 2 2

(1)(2)

w v vw v v

.Rezolvmperndsistemeleliniare:

(1) 1 1 1 2 2w v v esteechivalentcu: 1 21 2

10

,deundeobinem 1 212

;

(2) 2 1 1 2 2w v v esteechivalentcu: 1 21 2

13

,deundeobinem 1 2 i 2 1 .

nconcluzie,matriceadetreceredela 1B la 2B este: 21

1 221 12

BB

.

SCHIMBAREAMATRICEIUNEIAPLICAIILINIARELASCHIMBAREABAZELORCAZUL1: :f V V aplicaie liniar (endomorfism) i 1A matricea asociat lui f , ntrobaz 1B a lui V (poatefibazacanonicsaualtbaz).Atuncimatricealui f ntroaltbazdinV ,notat 2B ,este:

2 21 112 1B BB BA A

10

CAZUL2: :f V W aplicaieliniar(morfism)i 1A matriceaasociatlui f ,nraportcuperecheadebaze1B dinV i 1B dinW (potfibazelecanonicesaualtebaze).Atuncimatricealui f nalteperechidebaze 2B

dinV i 2B dinW este:

2 211 12 1B BBBA A (Practic,sefolosescdoumatricedetrecere:unanV ,dela 1B la 2B ioaltmatricedetrecere,nW ,dela1B la 2B ).

Exemplul8:Fieaplicaialiniar 3 3:f ,definitprin: , , 3 , , 2f x y z x y z y z x z .

a) Determinaimatriceadetreceredelabazacanoniclabaza 21 1 10 , 1 , 10 0 1

B

;

b) Determinaimatriceaasociatlui f nbaza 2B .Aplicaia liniardatesteunendomorfism ( 3V W ) iarmatriceaasociat lui f nbazacanoniceste

1

1 3 10 1 11 0 2

A

(veziexemplul5).Notmcu 11 0 00 , 1 , 00 0 1

B

bazacanonicdin 3 .

a) Conform teoriei,matriceade trecerede labazacanonic laoricealtbazeste formatdinvectorii

coloanaiaceleibaze,deci: 21

1 1 10 1 10 0 1

BB

;

b) Matriceaasociatlui f nbaza 2B este: 2 21 112 1B BB BA A .Determinm 21 1BB ,cumetodaGaussJordan:

2 3 1 2

1 3

1 1 01 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 00 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 10 0 1

L L L L

L L

,deci

21 11 1 00 1 10 0 1

BB

i 21 1 0 1 3 1 1 1 1 1 3 30 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 30 0 1 1 0 2 0 0 1 1 1 3

A

.

11

Exemplul9: Fieaplicaia liniar 3 3:f ,acreimatriceasociat nbaza 11 1 10 , 1 , 10 0 1

B

este

1

1 1 11 0 11 2 3

A

.Determinaimatriceaendomorfismului f nbaza 21 3 22 , 1 , 33 2 1

B

.

Matricea asociat lui f n baza 2B este: 2 21 112 1B BB BA A . Notm vectorii bazei 1B cu1 2 3

1 1 10 , 1 , 10 0 1

v v v

ivectoriibazei 2B cu 1 2 31 3 22 , 1 , 33 2 1

w w w

.Elementelematriceide

treceresunt , ,i i i cu 1,3i ,soluiialecelor3 sistemeliniare:1 1 1 2 2 3 3

2 1 1 2 2 3 3

3 1 1 2 2 3 3

(1)(2)(3)

w v v vw v v vw v v v

(1) 1 1 1 2 2 3 3w v v v esteechivalentcu:1 2 3

2 3

3

12

3

,deundeobinem 1 2 1 i 3 3 ;

(2) 2 1 1 2 2 3 3w v v v esteechivalentcu:1 2 3

2 3

3

31

2

,deundeobinem 1 3 2 i 2 1 ;

(3) 3 1 1 2 2 3 3w v v v esteechivalentcu:1 2 3

2 3

3

23

1

,deundeobinem 1 1 , 2 2 i 3 1 .

Asfel,avem 21

1 2 11 1 23 2 1

BB

.Determinm 21 1BB ,cumetodaGaussJordaniobinem:

21 15 4 3

1 7 2 318

1 8 3

BB

i

2

5 4 3 1 1 1 1 2 1 13 23 101 17 2 3 1 0 1 1 1 2 47 11 5018 18

1 8 3 1 2 3 3 2 1 53 17 38A

.