EDITORIAL

H SSM

- 1 -

Cuvnt nainte

Un salut cordial tuturor vou colegi, profesori de matematic sau elevi care deschidei, iat, RMM 9, revista iubitorilor de matematic din judeul Mehedini. Aa cum am promis cititorilor notri, ne strduim s continum irul apariiilor publicaiei mehedinene foaie pentru minte, inim i matematic. Desigur, printre cititorii acestui numr vor fi muli elevi sau chiar profesori care o rasfoiesc intia oar. Le vom spune dumnealor c ne place s credem c RMM este o sor mult mai mic a venerabilei Gazeta Matematic care se apropie de 115 ani de apariie nentrerupt; c n revista noastr vom vedea care sunt membrii activi ai Filialei Mehedini a Societii de tiine Matematice din Romnia, vom vedea numele tuturor elevilor care s-au remarcat n competiii matematice alturi de distinii lor dascli; vom vedea care sunt aciunile organizate de entuziati profesori de matematic; vom vedea Teme pentru cercurile de matematic pe care elevii notri emineni s le poat studia pentru o pregtire matematic profund i aductoare de rezultate pentru viitorul lor. Nu n ultimul rnd vom vedea o serie de probleme propuse de profesorii mehedineni pentru testarea tinerilor notri prieteni ai MATEMATICII. Timpul trece, vedem din fericire fotii notri olimpiaditi devenind oameni cu profesii onorabile, dedicai tiinelor. n paginile revistei noastre avem adesea i astfel de biografii care ne intresc convingerea c demersurile noastre sunt utile. Timpul trece i unii dintre noi urmnd calea fireasca i dureroas a firii ne prsesc. n acest an ne-am desprit de cel ce a fost ntiul meu dascl de matematic, profesor pasionat i om minunat CONSTANTIN CHIHAI. Adio iubite profesor i nu voi uita niciodat nici orele tale dinamice, nici excursiile fcute mpreun, nici partidele de pescuit la care m duceai ca s mai vorbim de vreo problem din Gazet care ne dadea de furc. Toi care au trecut prin slile de clas n care tu ai intrat, i vor pstra o respectuoas amintire. Toat lumea vorbete de cumplita criz economic. Marele Einstein era ns de parere c tocmai n astfel de vremuri minile luminate gsesc soluii excepionale la probleme grele. S ne pregtim cu entuziasm tnra generaie pentru a putea spera la un viitor mai bun.

Preedintele Filialei Mehedini a SSMR,

Profesor doctor Gh.Ciniceanu

EDITORIAL

- 2 -

Membrii Filialei Mehedini a S.S.M.R.

- 31.XII.2008 1 Cainiceanu Gheorghe CNT PRESEDINTE 2 Prajea Manuela CNT Vicepresedinte 3 Stretcu Daniel Colegiul.Gh.Titeica Secretar 4 Grecu Vasile Colegiul Economic Casier 5 Nnui Dan CNT ISJ Membru comitet 6 Nedeianu Dan Lic. Dl. Tudor Membru comitet 7 Sceanu Victor c. Gen. Nr.11 Membru comitet 8 Ungureanu Octavian Colegiul.Gh.Titeica Membru comitet 9 Gimoiu Iuliana CNT CENZOR

10 Giugiuc C-tin C. Dl. Tudor CENZOR 11 Borug Ion Expert contabil CENZOR

1 BL DUMITRU C. U. DROBETA 41 BDESCU EMILIA Gr.c. Dl. Tudor 2 POPESCU LUMINIA C. U. DROBETA 42 CHILEA ION Gr.c. Dl. Tudor 3 SIMION DALIA C. U. DROBETA 43 CHIRFOT CARMEN Gr.c. Dl. Tudor 4 STUPARU DRAGO C. U. DROBETA 44 CIUC IONEL Gr.c. Dl. Tudor 5 TOMI VASILE C. U. DROBETA 45 CRISTEL ECATERINA Gr.c. Dl. Tudor 6 LUGOJ TANA Colegiul Decebal 46 FRITEA EUGEN Gr.c. Dl. Tudor 7 LUPU ADRIAN Colegiul Decebal 47 Giugiuc Constantin Gr.c. Dl. Tudor 8 NIOIU ANGELA Colegiul Decebal 48 NEDEIANU DAN Gr.c. Dl. Tudor 9 OPRIA SIMONA Colegiul Decebal 49 Vasilcanu Florentina Gr.c. Dl. Tudor 10 PUPZ ECATERINA Colegiul Decebal 50 FLUERAU GABRIELA GR. C. HALNGA 11 BZDOAC CLAUDIA Colegiul Economic 51 RIZA VERONICA GR. C. HALNGA 12 CROITORU ION Colegiul Economic 52 BOGDAN DOREL GR. C. MARIN 13 GRECU ADELA Colegiul Economic 53 FALON FLORICA GR. C. MARIN 14 GRECU VASILE Colegiul Economic 54 PETRACHE ELENA GR. C. MARIN 15 LDARU DANIELA Colegiul Economic 55 TUDOSE LILIANA GR. C. MARIN 16 POPESCU VIRGIL Colegiul Economic 56 LUNGU ION Gr.c.T.Vladimirescu 17 SITARU DANIEL Colegiul Economic 57 Istodor (Tache) Oana L. . CIOCULESCU 18 DAN DANIEL Colegiul Gh. ieica 58 BOBIC NICOLAE L. T. LALESCU 19 FRITEA FLORIN Colegiul Gh. ieica 59 FARAGO ALEXANDRU L. T. LALESCU 20 FRNTU MIHAELA Colegiul Gh. ieica 60 GORUN SANDA L. T. LALESCU 21 POPESCU RODICA Colegiul Gh. ieica 61 ACHIMESCU FLORIAN LIC. DR. V. GOMOIU 22 STRETCU DANIEL Colegiul Gh. ieica 62 OSIN VICTORIA LIC. DR. V. GOMOIU 23 TTUCU MARIANA Colegiul Gh. ieica 63 BLOI VALERIA LICEUL PEDAGOGIC 24 Ungureanu Octavian Colegiul Gh. ieica 64 BLU NICOLETA LICEUL PEDAGOGIC 25 ANTONIE RODICA COLEGIUL TRAIAN 65 POPESCU MARCEL LICEUL PEDAGOGIC 26 BEJENARU LAVINIU COLEGIUL TRAIAN 66 PRENEANU DORU LICEUL PEDAGOGIC 27 Ciniceanu Gh. COLEGIUL TRAIAN 67 TICUI OVIDIU LICEUL PEDAGOGIC 28 GIMOIU IULIANA COLEGIUL TRAIAN 68 UNTARU ILIE LICEUL PEDAGOGIC 29 GIUGIUC LEONARD COLEGIUL TRAIAN 69 VDUVA ION LICEUL PEDAGOGIC 30 MARICA TEFAN COLEGIUL TRAIAN 70 FLUERAU ANGHEL C. IZV. BRZII 31 NNUI DAN COLEGIUL TRAIAN 71 MOCLEA ADRIANA COALA 11 32 PAPONIU DANA COLEGIUL TRAIAN 72 RMNICIANU ELENA COALA 11 33 Popescu Eleodor COLEGIUL TRAIAN 73 SCEANU VICTOR COALA 11 34 PRAJEA MANUELA COLEGIUL TRAIAN 74 DIACONESCU EMILIA COALA 13 35 BONDOC GABRIELA GR. C. AUTO 75 TIOIU VALERIA COALA 14 36 BONDOC LUCIAN GR. C. AUTO 76 COAD CARMEN COALA 2 37 MIJACHE MIHI GR. C. AUTO 77 FLORESCU VIOLETA COALA 4 38 VRZARU MARIANA GR. C. AUTO 78 LPDAT PETRUA COALA 7 39 LAZR ALEXANDRU Gr.c.C.Brncoveanu 79 PANDIONIU ARISTIA COALA HINOVA 40 CRIAN LIVIA Gr.c. Construcii 80 POP VERONICA c. Severineti

EDITORIAL

H SSM

- 3 -

NOT

Avnd n vedere c se apropie perioada olimpiadelor colare (faza local, faza judeean) am considerat de cuviin s reamintim temele pentru grupele de performan expuse n numerele anterioare ale revistei noastre R.M.M. din perioada 2002-2008. n plus, vom prezenta i lista unor teme, ce ar putea constitui viitoare articole, ce se pot redacta de colaboratorii fideli ai revistei (profesori, elevi). Articolele (temele) utile deja publicate n anii precedeni le-am grupat pe diverse niveluri dup cum urmeaz: CLASA a-V-a i a-VI-a:

*Metode de rezolvare a problemelor de aritmetic (R.M.M. 2006) *Probleme de divizibilitate (R.M.M. 2005) *Criterii de divizibilitate cu 7, 11, 13 (R.M.M. 2004-2) *Numrul divizorilor i suma divizorilor unui numr natural (R.M.M. 2002) *Probleme de numrare (R.M.M. 2002) *Ultima cifr a unei puteri (R.M.M. 2003) *Baze de numeraie (R.M.M. 2005) *Operaii cu numere naturale binare (R.M.M. 2008) *Ptrate perfecte (R.M.M. 2004-1) *Numere raionale pozitive (R.M.M. 2004-1) *Rapoarte i proporii, probabiliti (R.M.M. 2005) *Calculul unor sume (R.M.M. 2002, 2003, 2007)

CLASA a-VII-a i a-VIII-a *Inegaliti, probleme de ordonare, interpretri geometrice (R.M.M. 2002, 2003, 2004-1, 2004-2, 2005, 2007) *Principiul lui Dirichlet (R.M.M. 2002) *Probleme de teoria numerelor (R.M.M. 2003) *Aplicaii ale formulelor de calcul prescurtat (R.M.M. 2006, 2007) *Operaii cu numere iraionale (R.M.M. 2008) *Probleme de algebr cu soluii geometrice (2007) *Puncte laticiale (R.M.M. 2003, 2005) *Ceviene izogonale, teorema lui Ptolemeu (2003) *Punctul lui Torricelli (R.M.M. 2003) *Construcii geometrice utiliznd asemnarea (2003) *Teorema lui Pitagora generalizat (R.M.M. 2004-1) *Patrulatere circumscriptibile (R.M.M. 2004-2) *Teorema bisectoarei (R.M.M. 2005) *Teorema lui Casey (R.M.M. 2006) *Planul mediator, planul bisector (R.M.M. 2005)

CLASA a-IX-a si a-X-a *Ecuaii diofantice de tip

222, zyxcbyax (R.M.M. 2004-1) *Partea ntreag, partea fracionar a unui numr real (R.M.M. 2004-1,2005) *Principiul invariantului (R.M.M. 2008) *Ecuaia lui Pell i aplicaii (R.M.M. 2005) *Funcia caracteristic a unei mulimi (R.M.M. 2005) *Lema chinezeasc a resturilor (R.M.M. 2002) *Identitatea lui Prozvolov (R.M.M. 2008) *Identiti trigonometrice condiionate (R.M.M. 2006) *Inducia matematic n probleme de geometrie vectorial (R.M.M. 2003)

*Calculul unor sume (R.M.M. 2002, 2003, 2007) *Inegaliti remarcabile, aplicaii (R.M.M. 2002, 2003, 2004-1, 2004-2, 2005, 2007) *Monotonia funciilor numerice (R.M.M. 2003) *Ecuaii exponeniale i logaritmice neclasice (2004-1) *Aplicaii ale numerelor complexe n geometrie (R.M.M. 2007) *Produs mixt, produs vectorial (R.M.M. 2004-2) *Relaii metrice n tetraedru (R.M.M. 2006)

CLASA a-XI-a

*Metode de calcul a matricei nA (R.M.M. 2002)

*Ridicarea la putere a matricelor diagonalizabile (R.M.M. 2003) *Determinani de matrice cu elementele 1 (2004-1) *Vectori proprii, valori proprii, teorema Cayley-Hamilton, teorema lui Frobenius (R.M.M. 2004-2) *Asupra polinomului caracteristic (R.M.M. 2006) *Studiul irurilor recurente definite de funcii continue monotone (R.M.M. 2002) *Recurene neliniare (R.M.M. 2004-2) *Densitatea numerelor raionale n mulimea numerelor reale (R.M.M. 2007) *Cteva probleme generate de exponeniala de baza

2 (R.M.M. 2008) *Limite de funcii calculate elementar (R.M.M. 2002) *Discontinuitatea funciilor reale (R.M.M. 2003) *Funcii cu proprietatea Darboux (R.M.M. 2004-1) *Asupra teoremei lui Knaster (R.M.M. 2006) *Continuitatea uniform a funciilor (R.M.M. 2005)

CLASA a-XII-a *Structuri algebrice induse (R.M.M. 2003) *Determinarea unor pri stabile pentru legi de compoziie (R.M.M. 2005) *Elemente simetrizabile ntr-un monoid (2008) *Teoremele lui Sylow (R.M.M. 2006) *Teorema lui Lagrange, centralizatorul unui element ntr-un grup, centrul unui grup, indicele unui subgrup ntr-un grup (R.M.M. 2008) *Probleme de olimpiad grupuri, corpuri (2002) *Asupra numerelor algebrice (R.M.M. 2008) *Caracteristica unui inel (R.M.M. 2006) *Extinderi de inele i corpuri (R.M.M. 2008) *Despre izomorfisme (R.M.M. 2003) *Despre polinoame ciclotomice (R.M.M. 2004-1) *Calculul unor integrale definite (R.M.M. 2002) *Inegaliti cu integrale definite (R.M.M. 2005) *Primitivele unor funcii continue periodice (2004-2)

EDITORIAL

- 4 -

n partea a doua a acestei informri, prezentm o list cu temele pentru grupele de performan (regsite n programa olimpiadei de matematic, n vigoare), cu precizarea c apelm la colaboratorii revistei (profesori, chiar elevi) s redacteze diverse materiale, comentarii, note matematice, articole care s cuprind aspecte legate de temele amintite mai jos.

CLASA a-V-a *Principiul cutiei *Compararea puterilor *Cuburi perfecte *Probleme de perspicacitate *Probleme de micare *Metoda reducerii la absurd

CLASA a-VI-a *Proprieti ale relaiei de divizibilitate n N, Z (cele din programa specific olimpiadei) *Numere raionale (pozitive i negative)-periodicitate, operaii, ecuaii *Probabiliti *Linia mijlocie n triunghi (teorema direct i teorema reciproc)

CLASA a-VII-a *Proprieti ale modulului unui numr real *Calcul algebric: formule pentru ,nn ba n par sau impar, identitatea Lagrange,

nn bMaba )( ,etc. *Teorema medianei *Probleme de maxim i de minim *Teorema sinusurilor *Teoremele lui Ceva, Menelaus (cu reciproce) *Formule pentru aria triunghiului, aplicaii *Patrulater ortodiagonal *Patrulatere inscriptibile (condiii necesare i suficiente) *Arc capabil de unghi dat *Poziiile relative a dou cercuri

CLASA a-VIII-a *Patrulater ortodiagonal *Patrulatere inscriptibile (condiii necesare i suficiente) *Arc capabil de unghi dat *Poziiile relative a dou cercuri *Inegaliti geometrice (inegalitatea triunghiului, oblica n relaie cu perpendiculara, etc.) *Construcii simple cu rigla gradat i compasul *Probleme elementare de loc geometric *Perpendiculara comun a dou drepte *Teorema lui Menelaus,teorema lui Thales n spaiu *Corpuri care admit axe de simetrie, simetria fa de un plan

CLASA a-IX-a *Funcii injective,surjective,bijective *Teoremele Euler, Fermat, Wilson *Indicatorul lui Euler *Teorema mpririi cu rest in Z *Principiul includerii i excluderii *Recurene liniare de ordinul I i II, recurene omografice *Congruene modulo n *Relaii metrice *Teoreme clasice (Van Aubel, Stewart, Steiner), dreapta Euler, dreapta Simson, etc. *Teoreme de concuren i coliniaritate *Puncte i linii importante *Mulimi numrabile i nenumrabile

CLASA a-X-a *Convexitate n sensul lui Jensen *Polinoame (c.m.m.d.c., c.m.m.m.c., algoritmul lui Euclid, teorema fundamental a algebrei, teorema lui Bezout, rdacini multiple, polinomul Taylor, derivata formal, polinoame ireductibile, polinom minimal, relaiile lui Viete, polinoame simetrice, sumele lui Newton) *Pol i polar n cerc *Mulimi convexe, nfuratoarea convex *Teorema lui Helly

CLASA a-XI-a *Descompunerea unei permutri n produs de cicli disjunci, respectiv transpoziii *Determinani de ordinul n *Regula lui Laplace *Rangul unei matrice, inegalitatea lui Sylvester *Mulimi deschise, nchise, compacte *Puncte limit pentru iruri, limit inferioar, limit superioar *Mulimi numrabile, mulimi nenumrabile *Formula lui Taylor cu restul Lagrange

CLASA a-XII-a *Grupuri finite, teorema lui Cauchy *Produs direct n structuri *Grupuri finit generate *Nucleul i imaginea unui morfism *Elemente nilpotente i elemente idempotente *Orice corp finit este comutativ *Sume Darboux, sume Riemann, integrabilitate *Mulimi neglijabile Lebesgue, criteriul lui Lebesgue.

prof. Bdescu Emilia prof. Nedeianu Dan

Colegiul Tehnic Domnul Tudor

Petre Sergescu

H

- 3 -

SSM Concursul Interjudeean de Matematic

PETRE SERGESCU Ediia a V-a, aprilie 2009, Drobeta Turnu-Severin

Prof.dr.Cainiceanu Gheorghe,Presedintele Filialei Mehedinti a SSMR

Concursul Interjudetean de matematica Petre Sergescu editia a V-a, s-a desfasurat la Drobeta Turnu-Severin pe 03.04.2008. Organizatorii concursului, ca si la celelalte trei editii au fost Colegiul National Traian din Drobeta Turnu-Severin si Filiala Mehedinti a SSMR. La concurs au participat peste 500 de elevi din Mehedinti ,Caras-Severin, Gorj, Dolj, iar la Simpozionul desfasurat cu aceasta ocazie au participat cu lucrari de istoria matematicii si articole metodico-stiintifice peste 60 de cadre didactice din Mehedinti, Gorj, Bucuresti, Timis, Dolj, Caras-Severin. Ne- a bucurat participarea din partea Biroului Consiliului National al SSMR a domnului Mircea Trifu, care in cadrul Simpozionului a sustinut o interesanta prezentare despre Matematica in limba romana din Ardeal.

SUBIECTE Clasa a III-a

1) a) S se calculeze: 2:3420232594 . b) Mama i fiica au impreun 65 de ani. S se afle vrsta mamei i fiicei tiind c mama este cu 35 de ani mai mare dect fiica. c) Cu 24 kg miere s-au umplut 6 borcane identice. Cte kg miere sunt necesare pentru a umple 10 borcane de acelai fel?

Pipina Cameni, Drobeta Tr.-Severin 2) a) Suma a trei numere naturale este 478. Dac din fiecare numr se scade acelai numr natural,

atunci obinem: 27, 35 i 47. Aflai cele trei numere. tefania Filip, Drobeta Tr.-Severin

b) Trei numere au suma egal cu 308. Dac l dublm pe primul i l njumtim pe al treilea, cele trei numere devin egale. Aflai cele trei numere.

Gazeta Matematic 3) Pe o tabl sunt scrise numerele: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Un elev joac urmtorul joc format din

mai muli pai: la fiecare pas, el terge la ntmplare dou numere de pe tabl i adaug n loc suma celor dou numere terse. Jocul se ncheie cnd rmne scris pe tabl un singur numr. Se cere:

a) Dup ci pai se ncheie jocul ? b) Ct este suma numerelor rmase pe tabl dup un singur pas ? c) Care este numrul rmas pe tabl la finalul jocului ?

Manuela Prajea, Drobeta Tr.Severin Clasa a IV-a

1) a) S se calculeze: 8:634:8182104 . b) S se afle valoarea numrului x din egalitatea: 825:2632 x . c) Suma dintre un numr, dublul su i jumtatea sa este egal cu 1680. Care este numrul ?

Mihaela Popescu, Drobeta Tr.-Severin 2) a) Dac n prezent scad 7 ani din vrsta mamei obin de trei ori vrsta mea. mpreun avem 43

de ani. Aflai peste ci ani mama va avea de dou ori vrsta mea. Gazeta Matematic

b) Un elev are o carte cu 122 de pagini. Dup ce rupe o fil din carte, elevul constat c numrul cifrelor folosite pentru numerotarea paginilor rmase este 253.Ce numere erau nscrise pe fila rupt din carte ?

Alina Tei, Drobeta Tr.-Severin

Petre Sergescu

- 4 -

3) Se consider irul de numere: ...,5,4,3,2,1,4,3,2,1,3,2,1,2,1,1 Se cere: a) S se scrie urmtorii ase termeni din ir. b) S se afle suma primilor 15 termeni ai irului. c) S se determine al 200-lea termen al irului.

Manuela Prajea, Drobeta Tr.-Severin Clasa a V -a

1).Cum trebuie distribuite greutile de 9...,,3,2,1 grame n trei cutii, astfel nct n prima cutie s fie dou greuti, n a doua cutie trei greuti, n a treia cutie patru greuti, iar suma greutilor din fiecare cutie s fie aceeai?

prof. Iuliana Gimoiu 2).Restul mpririi numrului natural x la 13 este 12 , iar restul mpririi numrului natural y la

11 este 10 . S se arate c restul mpririi numrului yx 1311 la 143 este un multiplu de 17 . Prof. Ovidiu Ticui

3).Se consider numerele naturale nenule 200921 ...,,, aaa . a)Artai c 120093221 ... aaaaaa este numr par. b)S se determine restul mpririi la 5 a numrului: 14 120093221 ... aaaaaaN .

Gazeta Matematic Nr. 12/2008 Clasa a VI-a

1) Fie unghiul A O B avand masura de 1200, iar C un punct pe bisectoarea unghiului A O B astfel incat OC=OA+OB.Sa se demonstreze ca triunghiul ABC este echilateral.

Rodica Antonie, Dr.Tr.-Severin 2) Fie x,y,z numere naturale astfel incat x2+y2=z2. Aratati ca 3 divide xy.

Aurel Ene,Ramnicu-Valcea (G.M.10/2008) 3) Doi elevi extrag pe rand bile dintr-o urna cu 2009 bile.Stiind ca ei au voie sa extraga de fiecare

data cel putin o bila si cel mult zece bile si castiga cel care a extras ultima bila, sa se arate ca exista o strategie de joc care sa stabileasca invingatorul.

Manuela Prajea, Dr. Tr.-Severin Clasa a VII-a

1. a) Dac 2, nNn , s se arate c numrul 105 2 n se poate scrie ca sum de cinci ptrate perfecte de numere naturale consecutive. b) Dac 2, nNn , s se arate c numrul 71284 2 nn se poate scrie ca sum de cinci ptrate perfecte de numere naturale distincte dou cte dou. Aceast scriere a nu- mrului

71284 2 nn este unic? Prof. Vasile-Doru Preneanu

2. Pentru n natural, se consider numrul real: nnnn

na 7575 11

a) Verificai c 32a

Petre Sergescu

H

- 5 -

SSM 2. Fie tetraedrul ABCD, astfel nct AB=CD, BC=AD, CA=BD. Demonstrai c feele lui ABCD

sunt triunghiuri ascuitunghice. GIUGIUC LEONARD, DROBETA TURNU-SEVERIN

3. Fie x,y,z > 0.

a) Artai c

zyyzxx 11

41

2 b) Artai c xyzz

xzyy

yzxx

zyx

222

11121

G.M. Nr. 10/2008 Clasa a IX-a

1. Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia: xxx 20092009 , unde x reprezinta partea fractionara a numarului real x .

Dana Paponiu

2. a. Sa se demonstreze identitatea: xx

xx

xx

xx

x 16sin15sin16

8cos7cos8

4cos3cos4

2coscos2

cos1

.

G.M. 12,2008 b. Fie ABCD un patrat in planul P si CBAM ,,3 . Pentru fiecare numar natural 3n , multimea 1nM este definita prin: XYXZMYXPZMM nnn 2incat astfel ,|1 . Determinati valorile lui 3n pentru care nMD .

*** 3. Sa se determine functiile strict crescatoare ,0,0:f ce satisfac relatia: yfxfyxff , pentru orice ,0, yx .

Manuela Prajea Clasa a X-a

1. n triunghiul ascuitunghic ABC notm cu A1 , B1 i C1 mijloacele laturilor triunghiului. Artai c HA1 + HB1 + HC1 OH + R + r, notaiile fiind cele uzuale.

Gazeta Matematic, 2008 2. S se rezolve ecuaia: 2009log2010log 20102009 x)(20101x) (2009

prof. dr. Daniel Stretcu Drobeta Turnu - Severin 3. S se determine funciile f:QQ care satisfac relaia: f(2009f(x) + f(y)) = 2009x + y pentru orice x, yQ.

prof. dr. Manuela Prajea, Drobeta Turnu - Severin Clasa a XI-a

1. a) S se rezolve n 3M (Z) ecuaia

001100010

2008X .

Gazeta Matematic 5-6/2008

b) Fie 201012...20082009201020102009...321

S

. S se studieze dac

exist o permutare 2010Sx astfel nct 2008x .

Prof.Ovidiu Ticui 2. Fie f : RR o funcie continu , iar lxfkxf

xx

)(lim,)(lim , lk, R.

a) S se arate c funcia f este mrginit pe R. b) S se arate c n N , nc R astfel nct 1)(

12 nnn

nn cccf . c) S se arate c irul 1))(( nncf conine un subir convergent. ( irul 1)( nnc este cel obinut la punctul precedent).

Prof.dr.Gheorghe Ciniceanu

Petre Sergescu

- 6 -

3. S se determine funciile ),0(),0(: f care verific relaia

),0(,,2

)()())(( yxyfxfxfxyf .

Prof.dr.Manuela Prajea Clasa a XII-a

1. Fie ,G un grup cu elementul neutru e. S se arate ca oricare dintre condiiile urmtoare este suficient pentru ca ,G s fie grup comutativ.

a) 222;, yxxyGyx b) exGx 2; c) ,G are un singur automorfism.

(***)

2. Fie legile de compoziie pe R : 22 11* xyyxyx i .6665 yxxyyx a) S se arate c ,*R este grup abelian. b) S se rezolve ecuaia: 1.............

'2009'

oride

xxx .

Prof. Daniel Sitaru 3. Fie Rx . Notm xcmi - cel mai apropiat ntreg de numrul x.

a) S se reprezinte n plan mulimea punctelor:

0;,0,,

yxcmiyxyxMA

b) Fie .;2;1,0;1,0,

Nkk

yxcmiyxyxMB Calculai aria mulimii B.

Prof. dr. Ciniceanu George

Clasament Clasa a III-a Clasa a IV-a

ANTONESCU DENIS GEN.6 I CORNEA REBECA ODOBLEJA I BURDESCU ALEXANDRU GEN.3 II VIASU ANDREEA ODOBLEJA I FLORESCU DRAGOS CAROL II CAZACU VLADIMIR ODOBLEJA II LUNGU VANESSA ELENA ODOBLEJA III ROCHIAN VLAD TM.22 II Netoiu Andrei Cristian ODOBLEJA III FLEANCU INGRID VOINESCU III FLORESCU ROXANA CAROL M PELEASA TEODORA P.S. III TEIS MARIAN EMANUEL ODOBLEJA M PUFAN ADRIAN GEN.3 M BETIU PAVEL CAROL M ROMAN LORENA VOINESCU M Iloaia Pirvulescu Andreea P.S. M Burducescu Alexandra VOINESCU M ISTODOR MARIA GEN.6 M DAESCU DRAGOS ODOBLEJA M JIEANU ROBERT TRAIAN ODOBLEJA M GAVRILOIU ANDREI ODOBLEJA M MARGHESCU BOGDAN GEN.6 M BAZAVAN ANDRA ODOBLEJA M PISTRITU STEFAN MIHAI ODOBLEJA M FAIER ANDREEA GEN.3 M PREDI DRAGOS CAROL M LICA ROBERT GEN.6 M ZORILA CIPRIAN GEN.14 M MARINESCU ROBERT ODOBLEJA M IANASI BOGDAN DORINEL ODOBLEJA M PANTURU SEBASTIAN GEN.3 M BREHUI ANDREEA GEN.6 M SIRBU FLORIN ODOBLEJA M Popescu Laura Andrea GEN.3 M SOSEA ANDREI VOINESCU M SURU FLORINA GEN.3 M CHIS MARA TM.22 M BARBU CERBULESCU GEN.3 M GAMAN EDUARD P.S. M NACHE CATALIN VIOREL ODOBLEJA M BOCEANU RAFAEL ODOBLEJA M Predescu Diana Iuliana ODOBLEJA M CAMENITA RADU ODOBLEJA M TUDOR ALEXANDRU ODOBLEJA M DOROBANTU ANDRA GEN.6 M

Petre Sergescu

H

- 7 -

SSM CIUREL ANDRA ODOBLEJA M GRECU BEATRICE GEN.14 M NASTASIU MONA DIANA ODOBLEJA M MOLEA GEORGIANA ODOBLEJA M FOTA REBECA MARIA ODOBLEJA M POPESCU LAURENTIU ODOBLEJA M PETCU ALMA MARIA GEN.3 M CHIPESU DENISA ODOBLEJA M ROSCA MARINA ODOBLEJA M DRAGOI DARIUS GEN.6 M Voicu Raluca Giorgiana ODOBLEJA M LUNGU VLAD P.S. M BEBEC MARIA ODOBLEJA M MUNTEANU ANDREEA GEN.3 M ZAHARIA TEODOR GEN.3 M NASTASIE SERGIU ODOBLEJA M CRETAN MARISIA ODOBLEJA M ROSOGA LETITIA ODOBLEJA M Dumitrescu Doriana ODOBLEJA M BALASOIU BIANCA GEN.14 M BODEAN MARIA GEN.14 M

Clasa a V-a MILU CLAUDIU ODOBLEJA M ARSENOV ORIANA M.NICOARA I PAPA MIHAI GEN.6 M BURTEA CATALIN CNT I TOMOESCU IULIA GEN.3 M POPESCU CRISTIANA CNT I Bala Andreea Mihaela GEN.14 M RAVEANU ROBERT CNT I BOSOANCA ANDREI ODOBLEJA M FIRUTI BOGDAN CNT II DANCIU ALEXANDRA GEN.6 M LICA ROBERT CNT III DUMITRU VICTOR GEN.14 M ARSENOV BRANCO M.NICOARA M Hobeanu Mihail Damian VOINESCU M GHILICICA VLAD MIHNEA CNT M ISPAS MIHAELA ODOBLEJA M GHITAN ELENA DANIELA CNT M Muchitsch Danube-Maria GEN.3 M CRACIUN MADALINA CNT M Munteanu Alexandru GEN.3 M PAUNA GEORGIANA CNT M PRIBOI MALINA GEN.6 M PROTOPOPESCU RURI CNT M Raceanu EdenGheorghe GEN.6 M SENTALIU GEORGIANA CNT M ZIMTA LOREDANA GEN.6 M BUZGAU SERBAN M.NICOARA M NICORAS VLAD TM.22 M Clasa a VI-a TOMA DENISA CNT M POGACEAN VICTOR CNT I BUDIHALA RAZVAN GEN.14 M TATAROIU JEAN MARC M.NICOARA II IOVANESCU RARES M.NICOARA M PRENCEA CASSIAN CNT III RACEANU MONICA CNT M BOLDIS ANDRADA TM.22 M TANASIE DANUT CNT M BORUGA ADRIAN CNT M TROACA LAURENTIU CNT M SURDEA VLAD TM.22 M BALU SMARANDA CNT M VERGHELET MARIA CNT M CIOBANU M.VLADIMIR ODOBLEJA M CHIRITA DAN CNT M COTARCEA CLAUDIA CNT M BANICA TEODOR CNT M DRAGOTESCU RADU CNT M CEBUC RAZVAN CNT M SANDU MARIAN GABRIEL TITEICA M Iloaia Pirvulescu Bianca P.S. M SONTEA CLAUDIU GEN.14 M PIRJOL GEORGIANA P.S. M PALEACU COSMIN CNT M STANA ROBERT M.NICOARA M BADEA SIMONA P.S. M PLOSCARU RAZVAN CNT M BUTARU C.DANIEL ODOBLEJA M MARGINEANU IULIA CNT M SARACIN DENISA CNT M SURDULESCU VLAD CNT M STANCIULESCU BOGDAN CNT M IOVITU MIRCEA VINJU M Clasa a VII-a FILIP NADINE CNT M PUICAN TIBERIU CNT I SARBU ALEXANDRA CNT M BENGA ANDREI CNT II CIOROGARIU RADU TM.22 M TRONCOTA DIANA CNT III FILIP RADU CNT M YASSIN AYLLIN CNT M MARIN HORIA GEN.14 M BORTOI MIRUNA M.NICOARA M SANDULESCU DANIELA ODOBLEJA M Barbulescu Ramona CNT M SPATARU YASMINA P.S. M VLADU CATALIN ALEX NEGREANU M

CIUCIU LAURENTIU CNT M Clasa a VIII-a FLORESCU VLAD M.NICOARA M

GIMOIU RUXANDRA CNT I ROSU MARIA M.NICOARA M STEFAN ANDREI CNT I DUTONIU ANDREI CNT M DANCIU BOGDAN M.NICOARA II Gherasim Andrei Cristi CNT M NICOLAE ANDREI CNT III TRAILESCU LILIANA OBARSIA CLOSANI M ZAMFIRESCU SIMONA CNT M BREBU AGNANA CNT M

Petre Sergescu

- 8 -

BADEA BEATRICE CNT M CIOBANU DIANA CNT M VITIAN SORINA CNT M CIUTA CORA CNT M ANGHEL CRISTIAN GOMOIU M DUNARINTU ROBERTA GEN.15 M PRISTOLEANU NARCIS CNT M MANOLESCU OANA CNT M VOICU RAZVAN CNT M POPESCU CORNELIU CNT M BACANU ADRIAN CNT M TRUSCA ALINA CNT M TANASIE DENISA CNT M DOBRESCU MARIA SERGESCU M BORCEAN DIANA MADALINA SEVERINESTI M GHEORGHE BOGDAN CNT M FILIP RADU CNT M MARZOCA CEZARA CNT M GEORGESCU ANA CNT M Mema Serban Costin CNT M MARGHESCU ANDREEA CNT M MUNTEANU ENIA CNT M SACEANU ANDREI CNT M ROATA VALENTIN CNT M CALAFETEANU LIVIU G. NEGREANU M SLAINA ANDREEA CNT M HINOVEANU ELENA CNT M TANASIE VALENTIN CNT M ANITA GEORGIANA CNT M GIURCHITA MARIA BIANCA SERGESCU M MITRAN DRAGOS CNT M MARCULESCU TEODORA GEN.6 M NADU ALEXANDRA CNT M RACEANU DRAGOS GEN.6 M POPESCU DARIA CNT M SPANU ANTONELA SERGESCU M

SIPOTEANU AURA OBARSIA CLOSANI M

Clasa a IX-a Clasa a X-a BALEANU ANDREI COSBUC I TESILA BIANCA CNT I TOADER IULIA CNT II TOCIU LAURA M.NICOARA II ANDREESCU MADALINA CNT III GOSA VIVIANA CNT III MARASESCU SILVIU COSBUC M ARCUS ANA MARIA CNT M ISPAS ANA-MARIA CNT M MILICI ALINA CNT M BESLIU RUXANDRA CNT M BOTOSANU CRISTIAN CNT M PRUNESCU FLAVIUS CNT M CAPLEA LUMINITA CNT M STOICA ANDREI M.NICOARA M FURCUTA IOANA CNT M AFRIM MIHAI CNT M CEPESI CRISTIAN CNT M DRAGUSIN CORNEL CNT M Gugulici Alexandra CNT M GROSU VLAD CNT M BALULESCU LIGIA CNT M LUPITU GABRIELA CNT M IANCU DENIS CNT M ROSCA IOANA CNT M MARINA DRAGOS CNT M SVOBODA ADELINA IRINA ORSOVA M PAPA MADALINA CNT M DRAGHICI RAZVAN CNT M GIURCA ROBERT D-L TUDOR M Clasa a XII-a GURAN MARIA CNT M VOICU ANDREEA CNT I PAVELESCU SORIN CNT M POSA BOGDAN COSBUC II RADU RAMONA CNT M BALACI ALEXANDRA CNT III CUSNETOV ALEXANDRU MOTRU M CATANA NICU COSBUC M VUCULESCU VALENTIN MOTRU M CIOROBEA MIHAI CNT M CROITORU ANDRA CNT M MANOLEA ROXANA CNT M SANDULESCU ADELA CNT M Budirinca Alexandru CNT M BUTARU NICU CNT M

Clasa a XI-a NISTOR OVIDIU CNT M FILIP LAURIAN M.NICOARA I STEFANOIU ANCA CNT M Carapencea Constantin CNT II CERGA ALINA CNT M SEITAN MIHAELA CNT III MERCIONI MARINA ORSOVA M PIRVULESCU DAN CNT M PICU BIANCA CNT M CALINOVICI PAUL CNT M VULCANESCU ADELA CNT M TUDOR MIHAELA COSBUC M BUDA MARIA CNT M Craciunescu Marian CNT M DUMBRAVA ROXANA ORSOVA M CROITORU RAZVAN CNT M SAVOIU AUREL CNT M TORSIN LIGIA ORSOVA M Stuparu Constantin CNT M BALACI GABRIELA ORSOVA M VALCU CONSTANTIN CNT M GARJOABA ANTONIO CNT M

Petre Sergescu

H

- 9 -

SSM

SIMPOZIONUL INTERNATIONAL PETRE SERGESCU EDITIA A V-A DROBETA TURNU SEVERIN 3.04.2009

PROF.UNIV.DR.BUSE CONSTANTIN,UVT - Contributii ale scolii matematice din

Timisoara la cercetarea stiintifica matematica PROF.DR.GHEORGHE CAINICEANU,CNT - Un punct de vedere asupra problemelor de teoria probabilitatilor PROF.DR.PRAJEA MANUELA,CNT - Retele de poligoane in plan PROF.DR.STRETCU DAN,COL.NAT.GH.TITEICA - Gheorghe Titeica 1873-1939 PROF.DR.ADRIAN LUPU, CT DECEBAL - Cateva consideratii legate de extinderile de inele si corpuri SANJA NICOLIC,DONJI MILANOVAC,SERBIA - Interactive teaching trough Discovery method in mathematics DANIJEL DRAGASI,MIROSLAV PLAZONIC, DONJI MILANOVAC,SERBIA Geometry tasks in primary mathematics DAN NEDEIANU,LIC.D-L TUDOR - Dimitrie Pompeiu,matematician de importanta Internationala ANTONIE MIHAELA,CNT - Probleme de concurs cu jocuri PAPONIU DANA,CNT - Aplicatii ale Teoremei Hamilton-Cayley GIMOIU IULIANA ,CNT - Probleme de numarare GIUGIUC LEONARD,CNT - Aplicatii ale algebrei in rezolvarea unor probleme de geometrie PIT VASILE,CNT - Jocul NIM si aplicatii DRD.BEJENARU LAVINIU,CNT - Calculul oricaror integrale STOICA RODICA,CNT - Filosofia si matematica GHIOCEL FLORIN,GHIOCEL GEORGETA,CNT - Matematica distractive TICUSI OVIDIU,LIC.ST.ODOBLEJA - Cateva aspecte metodice ale teoremelor de medie GABRIELA BUSE,Sc.Gen.22 Timisoara - Metodica predarii elementelor de geometrie la clasa aV-a GABRIELA ZAGARA,CNT - Inteligenta artificiala si educatie BONDOC GABRIELA,GSI AUTO,Teorema lui Lagrange si consecintele sale CHILEA ION,LIC.D-L TUDOR Dimitrie Pompeiu 1873-1954 FARAGO ALEXANDRU,LIC.TRAIAN LALESCU, Grigore Moisil-personalitate a stiintei si culturii romanesti FARAGO GABRIELA AFRODITA,SC.GEN.P.DUMITRIU Traian Lalescu PIT RADA MARICA,SC.GEN.5 Sirul Fibonacci si aplicatii MANDRESI ANA,LIC.C.D.LOGA,CARANSEBES Coparticiparea in procesul educational si realizarea unei bune cooperari GIORGI VICTORIA,SC.GEN.SF.NICOLAE,TG.JIU Aspecte moderne ale educatiei GIUGIUC CONSTANTIN,LIC.D-L TUDOR Matematica si poezia SACEANU VICTOR,SC.GEN.11 Triunghiul ortic-un triunghi special RIMNICEANU ELENA,SC.GEN.11 Metode moderne de invatare a matematicii MOCLEA ADRIANA,SC.GEN.11 Dan Barbilian,un poet al matematicii romanesti IONICA CONSTANTIN,SC.GEN.14 Rezolvarea unor probleme de geometrie folosind constructii ajutatoare ZINCA ELENA,CNT Mijloace tehnice in educatie BROSCAREANU LACRAMIOARA,CNT Adaptarea curriculara in predareamatematicii pentru copiii cu cerinte educationale Ica Gheorghe,Sc.Gen.14 - Instruirea asistata de calculator in orele de matematica la clasele 1-4 ICA MARIANA,SC.GEN.3 Modalitati de integrare a jocului didactic in orele de matematica OSAIN VICTORIA,LIC.GOMOIU Miron Nicolescu OSAIN TITEL,SC.GEN.VANJU MARE Traian Lalescu FLORESCU VIOLETA,SC.GEN.PETRE SERGESCU Petre Sergescu-mehedintean si matematician de renume mondial PANDIONIU ARISTIA,HINOVA Inegalitati MALINEANU GABRIELA,SC.GEN.PETRE SERGESCU Laurentiu Panaitopol matematician al zilelor noastre CALAFETEANU GHORGHE,SC.GEN.NR.9 Probleme pentru cercuri de elevi BARBU DANA,LIC.CALIMANESTI Inegalitati POPESCU TUDOR,COLEGIUL F.NITTI,TIMISOARA Spatii Banach TRAILESCU DIANA,SC.OBARSIA CLOSANI Metode de calcul integral

Petre Sergescu

- 10 -

GAGEA GRIGORITA,SC.GEN.NR.6 Mendel Haimovici 1906-1973 BALU NICOLETA,LIC.ST.ODOBLEJA David Emmanuel 1854-1941 ANTONIE NICUSOR,LIC.ODOBLEJA Ecuatiile fizicii matematice BALOI VALERIA,LIC.ST.ODOBLEJA Geometrizarea logicii, un aspect original In scrierile lui Stefan Odobleja CAMELIA ROMAN,CNT Utilizarea tutorialeleor interactive in lectiile de chimie PUPAZA VASILICA,GSA,HALANGA Matematicieni romani DIACONESCU EMILIA SC.GEN.13 Exercitii matematice cu implicatii in dezvoltarea Aptitudinii matematice PATULEANU MAGDA,LIC.D-L TUDOR Calculul valorii unor determinanti CRISAN LIVIA, GSA,HALANGA Haosul-teorie a ordinii interioare a sistemelor TARALESCA ELENA,SC.GEN.15 Leonhard Euler 1707-1783 MARIS MARINELA,GSI AUTO Despre sirul lui Fibonacci DASCALU ANA,SC.GEN.3 Succesul scolar OPROIU MIHAELA,CNT Thales din Milet BADESCU OCTAVIAN SERGIU,CNT Sisteme informatice in Geografie UDROIU MARIANA,CNT Ion Barbu matematica si poezie HRUBY ELISABETA,CNT Statistica-metoda de cercetare literara TOMA NINETA,CNT Geometria formelor poetice TRUSCA DANIELA,CNT Ion Barbu poetul mathematician BORUGA GEORGETA,CNT Logica matematica si geometrica CARAPENCEA VALI,CNT Aplicatii ale matematicii in studiul fizicii.Interpretari Geometrice ale lucrului mechanic DRAGOMIR VETURIA,PAUNESCU LIVIA,CNT Modele economice

CHAIRMAN: CONF.UNIV.DR,C.U.DOBETA TOMITA VASILE DIRECTOR CNT PROF.DR PRESEDINTE FILIALA MH.A SSMR PRAJEA MANUELA PROF.DR. GH.CAINICEANU

Si in acest an Filiala Mh. A SSMR si Colegiul National

Traian va invita in zilele de 25-26 martie 2010 la cea de-a VI-a editie a Concursului Interjudetean Petre Sergescu si Simpozionul dedicat acestui eveniment. Programa si invitatiile vor fi trimise de organizatori prin mail tuturor scolilor.

FOTI ELEVI MEHEDINENI

- 19 -

H SSM

Monica Vian.

Universitatea din Chicago M-am nscut n Drobeta-Turnu-Severin n August 1979. Am studiat clasele IVIII la coala General Nr. 4 si apoi Liceul Traian. Cu toate c am fost elev contiincioas n toate subiectele studiate n scoal, am fost ntotdeauna mai atras de matematic si fizic. n consecin, am petrecut multe ore ncercnd s rezolv problemele din ediia lunar a Gazetei Matematice.

Profesorii mei, dintre care Eleodor Popescu merit o meniune special, au fost ntotdeauna doritori s m ajute, nu numai cu rezolvatul problemelor vechi, dar i cu gsitul altor probleme noi si interesante. Timpul investit a fost rspltit din plin cu un premiu trei la Olimpiada National de Fizic n 1993, doua premii trei la Olimpiada National de Matematic n 1997 i 1998, premiul doi la Concursul Gheorghe ieica n 1995, nc dou meniuni la acelai concurs n 1997 si 1998 i premiul trei la concursul de fizic Schwartz n 1997. Pe lng satisfacia intelectual, aceste premii au fost acompaniate de excursii n Europa. Cu aceste ocazii am vizitat Grecia, Ungaria, Franta, Italia, Austria, Germania si Elvetia.

La terminarea liceului, m-am nscris la Facultatea de Matematic din Bucuresti. n anul III am primit o burs de studii la Universitatea Tor Vergata din Roma, unde am petrecut cinci luni. Am terminat facultatea ca ef de promoie si am folosit premiul ca s-mi sponsorizez plecarea la studii de doctorat in Statele Unite ale Americii.

Mi-am luat doctoratul n 2006 la Universitatea din California, Los Angeles (UCLA). Profesorul meu a fost Terence Tao, care recent a primit premiul Fields cea mai mare onoare acordat unui matematician. Terry a devenit faimos pentru ca a demonstrat (n colaborare cu Ben Green) c mulimea de numere prime conine progresii aritmetice de orice lungime. Terry m-a introdus n principalul meu domeniu de cercetare: analiza armonic si ecuatii cu derivate partiale. Teza mea de doctorat const n demonstratia c anumite ecuatii Schrodinger nonlineare admit solutii, aceste solutii sunt unice, i descrierea comportamentului acestor soluii. Dupa terminarea doctoratului am petrecut doi ani la Institutul de Studii Avansate in Princeton. Acum sunt profesor de matematic la Universitatea din Chicago.

Mulumit matematicii am avut oportunitatea s cltoresc i s vorbesc la conferine si universiti n ri ca Frana, Germania, Elveia, China, Japonia, Canada si de-a lungul i de-a latul Statelor Unite. Sunt cstorit, soul meu este din Noua Zeeland, este deasemenea matematician i locuim n Statele Unite ale Americii.

CERCUL DE MATEMATICA

16- 16 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a- VI -a

Un rezultat rapid pentru un produs particular Prof. Chirfot Carmen - Victoria

Colegiul Tehnic Domnul Tudor, Drobeta Turnu - Severin

De multe ori se ntmpl s avem nevoie de un rezultat rapid, pentru a reduce timpul de lucru, sau este bine de tiut al crui produs este un numr bine definit (n sensul c, scrierea lui ascunde o operaie de care avem nevoie, dar la care ne este greu s ne gndim).

n acest sens, mi-am propus n acest articol s gsesc o formul de scriere pentru numrul *

1oride1orimde

,,11...1111...11 NnmPn

. Presupunem (fr a restrnge generalitatea) c nm , deoarece

nmulirea este comutativ. Se cere s se gseasc formula de scriere pentru P, dac 9n . De asemenea, s se calculeze produsul pentru 12,11,10n .

Putem rezolva n scris aceast nmulire, dar mult mai interesant mi se pare demonstraia, folosind o matrice (sau dispunere) care s depind de cifrele factorilor produsului nostru i ale crei elemente s genereze rezultatul. Pentru aceasta, considerm produsul

njmibaNnmbbbaaaP jin

nm ,1,,1,cifre,,,,......*

1oride

21

1orimde

21 .

Avem c ...101010 413223131221211 nmnmnm babababababaP nmnmnm bababa 10... 11 .

Fie matricea

nmmm

n

n

bababa

babababababa

...............

...

...

21

22212

12111

. Tind cu linii paralele elementele matricei,

ncepnd cu linia ce conine elementele 21ba i 12ba i adunnd elementele unei astfel de linii ntre ele, obinem numerele din paranteze n aceeai ordine.

Dac njmiba ji ,1,,1,1 , obinem matricea

1......11...1

.........1

...1

...1

1...1111...111

de m linii i n

coloane asociat produsului nmNnmPn

,,,11...1111...11 *1oride1orimde . Adunnd elementele matricei

de pe fiecare dintre liniile tiate, obinem respectiv sumele 1 2, 3, 4, ..., 1),-( , ,... , 1),-( ...., 4, 3, 2, 1,

ori1de

nnnnnm-n

(1). Evident, sunt m-n+1 sume egale cu n,

deoarece prima sum de valoare n se obine pentru linia paralel care are primul element pe a n-a linie i ultimul element pe a n-a coloan. Toate liniile de ordin mai mare sau egal cu n i mai mic sau egal cu m genereaz aceeai sum n, adic n total m-n+1 sume de valoare n.

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 17 -

Dac 9n , unind toate aceste sume (care reprezint cifre zecimale) n ordinea rezultat, obinem valoarea produsului *

1oride1orimde

,,11...1111...11 NnmPn

, i anume,

1 2 3 4 ... 1)-( ... 1)-( .... 4 3 2 1 ori1de

nnnnPnm-n

.

Observaie: Sumele cresc consecutiv pn la numarul n inclusiv i scad apoi consecutiv pn la 1. Dac n10 , evident c cel puin suma n, depete valoarea 9. Prin urmare, sumele de la

(1) nu mai reprezint cifrele numrului nostru (sau pot fi considerate cifre ntr-o baz mai mare dect n, chiar i baza n+1), dar n ordinea dat pot genera numrul P. Dac 10n , avem

09876543211 ... 11234567901 ori10de m-

P (de preferat, ca atunci cnd scriem rezultatul s ncepem cu

ultima cifr, pentru a ine minte cifrele de transport spre stnga numrului). Dac 11n , avem 0987654321 2 ... 21234567901

2 ori10de

m-

P . Dac 12n , avem sumele

1 2, 3, 4, ...,8, 9,10,11, ,12 ,... ,12 11, ,109,8,...., 4, 3, 2, 1,12 ori11de

m-

, care nsilate, genereaz numrul

1 2 3 209876543 ... 3212345679013 ori11de

m-

P . La fel se calculeaz pentru valori mai mari dect cele

prezentate. Exemple: 1) ?11111 . Deoarece 3-2+1=2, avem sumele 1, 2, 2, 1, deci rezultatul este 1221. 2) ?111111 . Deoarece 4-2+1=3 avem sumele 1, 2, 2, 2, 1, deci rezultatul este 12221. 3) ?11111111 . Avem 5-3+1=3, deci produsul numerelor este 1233321. 4) ?11111111111 . Evident 7-4+1=4, deci numrul rezultat este 1234444321. 5) ?111111111111111111 . Avem 9-9+1=1, deci produsul este 12345678987654321. 6) S se descompun n produs de 2 factori numrul 123444321. Se observ c 4n i

1111111111123444321631 mnm . Exerciii:

1. S se descompun numrul 123333321 n produs de dou numere. 2. Ct face

2

1ori10de

1...1 ?.

3. S se demonstreze c 2123321123432112321 .

4. S se calculeze numrul 12344321

100001233211000

1221100

1110

.

5. S se calculeze 1578911112, folosind matricea descris n acest articol. Bibliografie:

1) Gazeta Matematic, Seria B 2) D.E. Knuth, The Art of Computer Programming

CERCUL DE MATEMATICA

18- 18 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a- VII -a

Rezolvarea unor probleme de geometrie folosind construciile ajuttoare

Prof. Ionic Constantin Este cunoscut faptul c n alegerea metodei de rezolvare a problemelor de geometrie suntem pui n situaii diferite. Totui metoda aleas trebuie s corespund cu obiectivul operaional propus. De exemplu, profesorul i propune s verifice sau s consolideze anumite noiuni i atunci impune metoda de rezolvare sau propune elevilor mai multe metode i cere acestora s-a gseasc pe cea mai potrivit pentru rezolvarea problemei. Exist i situaia n care profesorul i propune ca elevul s gseasc singur calea de rezolvare. O dat convenit metoda de rezolvare dup fiecare etap trebuiesc analizate rezultatele obinute i reinute cele necesare pentru etapa urmtoare.

Propunem o problem care presupune o construcie ajuttoare n rezolvarea ei, avnd ca obiectiv operaional verificarea i consolidarea mai multor noiuni nvate.

Problem: Fie ABC cu BC = a, AC = b i CD bisectoarea v ACB. S se demonstreze c

lungimea bisectoarei CD nu este mai mare dect ba

ab

2 .

Din enunul problemei nu rezult ce fel de unghi este

v

ACB, aadar rezolvarea problemei impune analizarea tuturor cazurilot posibile. Rezolvm problema pentru cazul cnd

v ACB este ascuit. Desenm triunghiul i l notm trecnd datele problemei pe figur. Analiznd datele existente, ne punem ntrebarea dac acestea sunt suficiente. Evident c nu i apelm la o construcie ajuttoare. Vom construi prin D o paralel la AC, deci DE II AC.

Analizm rezultatele obinute:

a b

Din construcia fcut BED BCA (T.F.A.) CADE =

BCBE =

BABD .

nlocuind n primele dou rapoarte se obine proporia bx =

axa i aplicnd proprietatea

fundamental a proporiei se obine:

ax = ab bx ax + bx = ab x (a+b) = ab x = ba

ab

.

Ne ajut relaia la care am ajuns? Rspunsul este afirmativ, rezolvarea problemei este imediat din CED unde CD < CE + DE i

nlocuind se obine CD < 2DE sau CD < ba

ab

2 .

v

C1

v

C2 (ip) v

D1 v

C2 (alt.int.) CED este isoscel de baz CD CE = DE = x

v D1 v C2, deci

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 19 -

Prezentm o alt rezolvare a acestei probleme fcnd o alt construcie ajuttoare.

Exprimm segmentul BF = BC CF = BC AC = a b i folosind GBFG =

ab unde formnd

proporii derivate se obine FGGB

FG

= ba

b

BFFG =

bab

.

nlocuim BF = a b ba

FG

= ba

b

FG = babab

2 CG = b +

babab

2 =

bababbab

22 =

baab

2 . Cum folosim acest rezultat?

n CDG cu m ( v D) = 90o avem CD < CG, adic CD < ba

ab

2 .

Se poate arta elevilor i o rezolvare a problemei care nu presupune o construcie ajuttoare, dndu-le o formul: 2sin = 2sin cos . Notm

vACD =

v

DCB = , BC = a, AC = b i CD = l.

Folosind formula 2sin = 2sin cos lsin (a+b) = 2absin cos

l =

sin)(cossin2

baab

=

baab

2 cos i cum 0< cos x

CERCUL DE MATEMATICA

20- 20 -

Tema pentru grupa de performanta la clasele VIII, IX, XI

Generalizarea unor probleme de concurs Profesor Nedeianu Dan

Colegiul Tehnic Domnul Tudor

n cele ce urmeaz ne propunem s aducem argumente de generalizare a unor probleme de

concurs, ce au figurat ca subiecte la O.J.M. din 07.03.2009 (cu subiecte unice la nivel naional),

subiectul 1 de la clasa a VIII-a , subiectul 1 de la clasa a XI-a,respectiv subiectul 1 de la clasa a IX-

a aferent O.J.M .din 01.03.2009.

Enunul primei probleme de concurs de la clasa a-VIII-a este urmtorul:

S se determine numerele reale pozitive x, y, z care verific simultan egalitile

xyxyx 222 1 , yzyzy 222 1 i xzzzx 222 1 .

Putem formula un cadru general la aceast problem, dup cum urmeaz:

Generalizare:

Dac m>0, s se determine numerele reale pozitive a, b, c care ndeplinesc simultan condiiile: 2222 )( myxxyxm , 2222 )( mzyyzym i 2222 )( mxzxzzm .

Soluie: Cu inegalitatea mediilor avem c:

mxymyxxyxm 2)( 2222 , deci xyxyx 22 , adic xyx 2 i cum yxx 0 .

Analog se arat c yzy 2 , deci zy i xzz 2 , deci xz .

Deci x = y = z = K i din enun vom avea c:

mzyxmkmmkkmkkm 0)(022 22224242 i cu aceasta soluia

este ncheiat.

Pentru m = 1 i inegalitile din enun nlocuite cu egaliti se obine problema de concurs amintit.

La concursul destinat elevilor clasei a-XI-a, prima problem are urmtorul enun:

Fie A, B, C trei matrici de ordin 3, care au elemente numere reale i care ndeplinesc condiiile: det

(A + iB) = det( C + iA ) i det A = det B = det C. Artai c det(A + B)= det(C + + A). Prin extensie

se poate vorbi de urmatoarele:

Generalizare 1

Dac A, B, C )(3 QM , d , d , det A = det B i )det()det( dACdBA , s se

arate c: d

CAd

CABA detdet1

)det()det(

.

Soluie: Considerm polinomul

P( x ) = det( A + Bx) - det( C + xA), care va fi de forma

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 21 -

P( x ) = (det B det A) 3x + )det(det2 CAxx cu Q , i deci P( x ) =

)det(det2 CAxx .n plus )()(0)( 2 dxKxPdP , QK .

Dar P( 0 ) = det A det C = - Kd, iar P( 1 ) = det( A + B )-det( C + A) = - K ( d - 1) , de unde se

ajunge la relaia dorit.

Generalizare 2

Dac NdRMCBA ),(,, 3 liber de ptrate, det A = det B i )det()det( dAiCdBiA , s

se arate c: d

CAd

CABA detdet1

)det()det(

.

Soluie: Se reia rezolvarea anterioar i )()( 2 dxKxP , cu P(0) = det A det C = Kd, iar P( 1 )

= det( A + B ) - det( C + A ) = K(d+1), de unde obinem relaia cerut. Pentru cazul particular d = 1

i det A = det B = det C se obine problema de concurs de la clasa a XI-a.

n final, ilustrm o generalizare i pentru o problem de concurs de la O.J.M., clasa a-IX-a

(01.03.2008), care are urmtorul enun :

Fie 1)( nna un ir de numere reale cu proprietatea c

Nnaa nn ,11 , iar 1)( nnb irul

definit prin ....21

naaab nn

S se arate ca Nnbb nn ,21

1

Putem formula interpretarea mai general :

Generalizare

Se consider irurile de numere reale 1)( nna si 1)( nnb , cu ....21

naaab nn

, 1n .

S se demonstreze c dac irul 11 )( nnn aa este mrginit, atunci i irul 11 )( nnn bb este

mrginit.

Soluie :

Din faptul c 1,1 ncaa nn , se deduce Nnmnmcaa nm ,, i atunci

2)1(2...)1(

)1(...

)1(... 12111211

1

cnn

ccnccnnn

aaaaaann

naanabb nnnnnnn

CERCUL DE MATEMATICA

22- 22 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a- IX -a

Generalizarea teoremei lui Van Aubel Prof. Felicia Nistor

Colegiul Tehnic Lorin Salagean, Dr.Tr. Severin

In acest articol voi demonstra Generalizarea teoremei lui Van Aubel care are un numar insemnat de aplicatii in problemele de concurs, poate fi dedusa chiar de elevi ,daca acestora li s-a predat teorema lui Menelaus in orele de pregatire suplimentara.Aceasta teorema prezenta in culegerile de matematica a teoremei lui Menelaus, Ceva, bisectoarei, relatiei lui Steiner, Carnot etc. m-a incurajat sa incerc sa abordez si mai putin cunoscuta teorema a lui Van Aubel.

Fie o ceviana oarecare n locul bisectoarei unui triunghi se obtine urmatoarea generalizare a teoremei bisectoarei :

CAMBAM

ACAB

MCMB

sinsin (1) (rezulta aplicand teorema sinusurilor in ABM si ACM pentru a

putea exprima pe MB si MC.) La rndul ei, relatia (1) poate fi generalizata la cazul n care

ceviana AM este nlocuita cu o transversala B1C1M ce nu-i paralela cu AB, AC (cteva pozitii ale acesteia sunt prezente n figurile de mai jos):

1

1

1

1

sinsin

BC

CBBC

MCMB

(2) evident, pentru A B1 C1 relatia (2) devine (1).

Pentru a dovedi aceasta relatie, procedam ca si n cazul relatiei (1): cu teorema

sinusurilor aplicata n C1BM si B1CM obtinem 11 sin

sinC

MBCMB

si

MC= 11 sin

sinB

MCBMB

care, prin mpartire, dau (2).

In unele aplicatii este utila o consecinta directa a rezultatului dat de (2), consecinta prin care sunt eliminate n fapt unghiurile.

Fie trei drepte a, b, c concurente doua cte doua si transversalele t si t0. Adoptam notatiile prezente pe figura alaturata si convenim ca (a; b) sa nsemne masura unuia dintre unghiurile determinate de dreptele a si b.

Propozitie. n conditiile specificate mai sus, are loc

urmatoarea relatie: 1

'1

'

''

''

1

1

CBBC

CMBM

BCCB

MCMB

(3)

Demonstratie: ntr-adevar, conform cu (2), aplicata

triunghiurilor ABC si ''CAB si transversalei B1C1, avem:

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 23 -

);sin();sin(

1

1

cbca

CBBC

MCMB

,);sin();sin(

1'

1'

''

''

cbca

CBBC

CMBM

1

1

CBBC

MCMB

=);sin();sin(

1'

1'

''

''

cbca

CBBC

CMBM

... deq

Observatii : 1. Egalitatea (3) si demonstratia nu sufera modificari pentru alte pozitii ale dreptelor a, b, c (concurente doua cte doua) si transversalelor t si t0. 2. Daca dreptele a, b, c sunt concurente n A, adica B1 si C1 coincid cu A, atunci

(3) se scrie n forma: ''

''

''

ABAC

CMBM

ABAC

MCMB

(3)

Teorema 1. (generalizarea teoremei Van Aubel ). Fie triunghiul ABC si punctele B

(AC), C (AB) cu BB CC = {O}. Daca prin O trece o dreapta care taie (BC) , in A1, (BA) n C1 si (CA) n B1 atunci are loc relatia:

1''

''

1

1

1

1 OCOA

CBAB

OBOA

BCAC

Demonstratie: Aplicam (3) mai nti la dreptele CA, CB, CC si transversalele AB si A1B1 si apoi la dreptele BA, BC, BB si transversalele AC si A1C1:

1

1

1

1

''

CBCA

OAOB

CACB

BCAC

, 1

1

1

1

''

BCBA

OAOC

BACB

CBAB

BCAC

'' +

1

1

1

1

1

1

1

1

''

BCBA

BCBA

CBCA

CBCA

OCOA

CBAB

OBOA

(5)

Construim 11 ABAD si observam ca BABD

BCBAsi

CACD

CBCA

1

1

1

1 ca membrul drept al

relatiei (5)

revine la forma 1BABD

BCBA

CACD

CBCA relatia (4) este dovedita.

Observatii. 1. Daca A B1 C1, se obtine relatia Van Aubel. 2. Particulariznd O G (centrul de greutate al triunghiului), relatia (4) se scrie

111

111GAGCGB

3. Particulariznd O I (centrul cercului nscris t riunghiului), obtinem:111 IA

BCICAB

IBAC

Bibliografie: [1]. D. Brnzei, S. Anita, M. Chirchiu - Geometrie. Clasa a IX-a (Colectia "Mate2000"), ed. a III-a, Editura Paralela 45, Pitesti, 1998. [2]. C. Artenie, C. Constanda - Generalizarea problemei bisectoarei glisate. Recreatii Matematice, 1/2001, 32-33.

CERCUL DE MATEMATICA

24- 24 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a- XI -a

Teorema lui Taylor si aplicabilitatea ei

Masterand Ularu Condescu Nicoleta-Loredana Universitatea de Vest din Timioara

O problem important n analiza matematic este aceea a aproximrii funciilor prin polinoame, calcularea unor limite n cazurile de nedeterminare sau demonstrarea unor inegaliti. Pentru aceasta este folosit formula lui Taylor sau dezvoltarea n serie Taylor a funciilor. Teorem: Fie I un interval nevid i RIf : o funcie de clas ( ) , 1nC n fixat. Atunci pentru orice punct 0t I i orice t I , are loc formula

( 1)2 10 0 0

0 0 0 0 1'( ) "( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )1! 2! ( 1)!

nn

nf t f t f tf t f t t t t t t t R t

n

(1)

unde

0

1( )

1( )( ) ( )( 1)!

t nn

nt

t aR t f a dan

(2)

Demostraie ([1]) :Vom demonstra teorema prin inducie dup n . Pentru 1n avem

0 0( ) ( ) ( )f t f t R t , unde 0

0 ( ) '( )t

t

R t f a da , ceea ce este adevrat. Presupunem formula adevrat

pentru n i vom demonstra pentru 1n . Vom avea de demonstrat c ( )

01 0

( )( ) ( ) ( )!

nn

n nf tR t t t R t

n , adic

0 0

( )1( ) ( 1) 0

0( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( 1)! ! !

t t nn nn n n

t t

f tt a t af a da f a da t tn n n

echivalent cu

0

( )1( ) ( 1) 0

0( )( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )

! !

t nnn n n

t

f tt a nf a t a f a da t tn n

(3)

Primul membru al acestei relaii este egal cu 0

( )1 [( ) ( )]!

tn n

t

d t a f a dan da

i aplicnd formula lui

Leibniz-Newton, aceast integral este egal cu ( ) ( )0 00

1 1[( ) ( )] ( ) ( )! !

n n n na tt a f a t t f ta tn n

i

astfel formula (3) este verificat.

Observaie: Pentru 0, ,f t n fixate se poate defini polinomul Taylor ( )1

00

0

( )( ) ( )!

knk

k

f tT t t tk

i

astfel formula (1) se mai scrie 1( ) ( ) ( )nf t T t R t ; expresia 1( )nR t este numit restul integral de ordinul 1n . Remarc: Pentru orice polinom P cu coeficieni reali de grad n i pentru orice 0t fixat are loc formula

( )0 0

0 0 0'( ) ( )( ) ( ) ( ) ... ( )1! !

nnP t P tP t P t t t t t

n .

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 25 -

Demonstraie([1]): n formula (1) vom nlocui n cu 1n i observm c restul

0

( 1) ( )( ) ( )!

t nn

nt

t aR t P a dan

este nul, deoarece derivata de ordinul 1n a unui polinom de grad n

este funcia nul. Remarc: Dac RIf : derivabil de n ori n 0t I , atunci :

00

( )lim 0.( )

fn

nt

R tt t

Formula lui Taylor permite unele precizri n studiul funciilor reale: (a) O funcie RIf : de clas 1C se numete convex pe intervalul I , dac pentru orice

0,x x I , are loc inegalitatea 0 0 0( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x , adic graficul funciei este situat deasupra tangentei n orice punct al graficului. Dac f este de clas 2C pe I , atunci

are loc relaia 200 0 0'( ) "( )( ) ( ) ( ) ( )1! 2!

f x ff x f x x x x x , pentru orice 0,x x I i

situat ntre x i 0x . Rezult c dac " 0f pe I , atunci funcia f este convex i reciproc.

(b) Fie RIgf :, dou funcii de clas 1nC i 0x I . Vom spune c f i g au contact de ordin n n punctul 0x , dac

( ) ( ) ( 1) ( 1)0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ), '( ) '( ),..., ( ) ( ), ( ) ( )

n n n nf x g x f x g x f x g x f x g x . Dac f i g au contact de ordin cel puin doi n 0x , se mai spune c ele au aceai curbur n 0x

n continuare vom arta unicitatea descompunerii din formula lui Taylor a unei funcii derivabile de n ori ntr-un punct prin urmtoarea aplicaie: Aplicaie: Fie RIf : ( I interval) i x I astfel c exist , 0,1, 2,...,kA k n i

RIPn : cu ( )lim 0

( )n

nt x

P tt x

i

0

( )( ) ( )!

kn

k nk

t xf t A P tk

(1) S se arate c dac f este difereniabil de n ori n x , atunci

( ) ( ), 0,1,2,..., .kkA f x k n Dar reciproca este adevarat? Soluie ([2]) Pentru t x n (1) se deduce 0( )f x A . Folosind definiia derivatei ntr-un punct i (1) obinem imediat c 1 '( )A f x . Presupunem c

( ) ( )jjA f x pentru 0,1, 2,..., 1j k . Din (1)

i formula lui Taylor ( )0

( )( ) ( ) ( )!

jnj

nj

t xf t f x R tj

avem c

( )( ) ( )( ) ( ) ( )! !

j jn nj

n j nj k j k

t x t kf x R t A P tj j

mprind cu ( )kt x i apoi trecnd la limit pentru t x , obinem ( ) ( ).kkA f x Reciproca nu este adevrat, aa cum rezult din urmtorul exemplu:

23

2

, 2( )

, 2

t t tf t

t t

Se observ c (0) 0f i lund 0 1 20, 1A A A i

CERCUL DE MATEMATICA

26- 26 -

3

2,

( )0, t tP t

t

putem scrie relaia (1), dei x nu are derivat dect n 0x (deci f nu e difereniabil de dou ori n 0x ). Remarca: Din ( ) ( )kkA f x pentru 0,1, 2,...,k n rezult ( ) ( )n nP t R t i obinem astfel unicitatea descompunerii din formula lui Taylor a unei funcii difereniabile de n ori ntr-un punct x I .

Aplicaie: S se calculeze 0

limarcsin arcsin

n n

n nx

arctg x arctg xx x

unde , 2n n .

Soluie([4]): Folosind formula lui Taylor avem: 3

3

( ) ( ) unde 0( 0)3x R xarctg x x R x x

x (1)

3

3

( )arcsin ( ) cu 0( 0)3x S xx x S x x

x (2)

Ridicnd la puterea n rezult: 6

22

( )arcsin ( ) cu 0( 0)6

n n nn

n T xx x x T x xx

(3)

22

( )( ) cu 0( 0)3

n n nn

n L xarctg x x x L x xx

(4)

Deci 3 2 2

2 2 22 3

3 2 20 0 02 2 22 3

( ) ( )( ) ( ) 3 3 3lim lim lim 1( ) ( )arcsin arcsin ( ) ( )

6 6 6 6

n n nn n n n n

n n n n

n n nn nx x xn n n n nn n

x n n L x R x xx R x x x L x xarctg x arctg x n x xx n n T x R x xx x x S x x x T x x

x x

Cum 2,n n , rezult *2n . Deci limita este egal cu -2. Aplicaie: Dac 1 2, ,..., nx x x sent rdcinile unui polinom cu coeficieni reali, atunci

[0,2] [0,1]1 1

(5 2 6) maxn n

nk kx xk k

max x x x x

Soluie([3]) Fie a b . Vom face urmtoarele notaii: P -spaiul liniar al tuturor polinoanlor complexe;

nP -mulimea polinoamelor algebrice p de grad cel mult n ; D -derivatele definite pe P ;

nT -polinoamele Cebev de categoria nti, definite pentru [ 1,1]t prin ( ) cos( arccos )nT t n t . O alt reprezentare a lui nT este

2 21( ) (( 1) ( 1) ),2

n nnT x x x x x x (1)

Toate rddcinile lui nT aparin intervalului [ 1,1] i nT este o funcie cresctoare pe [0, ) . Pentru f P vom considera norma

[ , ] [ , ]max ( )

a b x a bf f x

. Vom folosi:

(1) formula lui Taylor pentru polinoamele np P

00

0

( )( ) ( )( )!

nnk

k

x xp x D p xk

(2) (2) Avnd n vedere inegalitatea lui W. Markoff: dac P este un polinom complex de grad cel

mult n , cu proprietatea ( ) 1, [ 1,1]P x x , atunci pentru 1, 2,...k i pentru orice [ 1,1]x

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 27 -

2 2 2 2( 1)...( ( 1) )( )( ) ( )(1)(2 1)!!

k kn

n n n kD P x D Tk

(3)

Prin transformarea liniar 2( ) ( )x a bp x P

b a

rezultatele lui Markoff de mai sus pot fi

reformulate astfel: (1) dac p P are gradul cel mult n , atunci pentru 0,1, 2,...k i pentru orice [ , ]x a b

[ , ]

2( )( ) ( )(1)k

k kna b

D p x p D Tb a

(4)

n (4) cazul de egalitate se pstreaz pentru 2( ) n

x b ap x Tb a

i sau x a x b . Din

demonstraia urmtoarei teoreme va rezulta inegalitatea din enun. Teorem: Fie np P . Atunci pentru 0 [ , ]x a b i 0h :

0 [ , ]

2( ) 1n a bhp x h T p

b a

(5)

Demonstraie: Folosind formula lui Taylor i (4) avem 0

0 [ , ] [ , ]0 0

( )( ) 1 2 2( ) ( )(1) 1! !

k kn nk k

n na b a bk k

D p x h hp x h h p D T T pk k b a b a

.

Presupunem c [ , ] [0,1]a b , 0 0x i fie * [0,2]x astfel nct *

[0,2]( ) max ( )

zp x p z

. Dac *h x ,

folosind (5) vom avea: *

[0,2] [0,1](1 2 )np T x p

Deoarece *1 1 2 5x avem c *(1 2 ) (5).n nT x T Folosind identitatea (1) avem

[0,2] [0,1] [0,1]

1(5) ((5 2 6) (5 2 6) ) .2

n nnp T p p

De aici [0,2] [0,1]

np c p cu : (5 2 6)nc . Dac vom pune 1

( ) ( )n

kk

p x x x

, atunci relaia din enun este demonstrat. Bibliografie:

1. O. Stnil, Analiz matematic, editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1981 2. C.Popa, V.Hiri, M.Megan, Introducere n analiza matematic prin exerciii i probleme,

editura Facla, Timioara, 1967 3. http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?search_id=82235572&t=15379

4. Gazeta Matematic, nr.7- 8, 1992

CERCUL DE MATEMATICA

28- 28 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a- XI -a

Greeli frecvente aprute n rezolvarea unor probleme de analiz matematic

prof. Grecu Vasile

Colegiul Naional Economic Th. Costescu-Turnu Severin

n acest articol ne vom ocupa de greelile ce pot aprea n rezolvarea unor probleme de

matematic atunci cnd folosim corolare ale Teoremei lui Lagrange, din Analiza Matematic, clasa

a XI-a.

1. Corolar 1. Fie funcia f definit pe o vecintate V a punctului 0x , continu n 0x , derivabil pe }{\ 0xV .

Dac exist limita )('lim0

xflxx

, atunci exist i derivata )(' 0xf i lxf )(' 0 .

Deseori, nefiind ateni la condiiile corolarului, se confund derivatele laterale ale unei funcii

ntr-un punct cu limitele laterale ale derivatei acesteia n acel punct.

Exemple:

a) S se studieze derivabilitatea funciei:

1,ln21,)(,:

2

xxxxxfIRIRf , n punctul 1x

Derivata funciei va fi:

1,2

1,2)(' x

x

xxxf . Limitele laterale ale derivatei sunt:

2)('lim)('lim

11

11

xfxf

xx

xx

. i, de aici, concluzia c funcia ar fi derivabil n punctul 1x .

Concluzie eronat, deoarece funcia nu este nici mcar continu n punctul respectiv.

b) Pentru funcia:

0,0

0,1sin)(,:2

x

xx

xxfIRIRf se cere derivata la stnga n punctul 0x .

Fcnd derivata funciei, pentru 0x , obinem: xx

xxf 1cos1sin2)('

Apoi x

coxx

coxx

xxf

xx

xx

xx

1lim)11sin2(lim)('lim

00

00

00

nu exist, deci )0('sf nu exist.

Acest rezultat este greit, deoarece fcnd derivata la stnga n punctul 0 (folosind definiia),

obinem: 01sinlim0

)0()(lim)0(

00

00

'

xx

xfxff

xx

xxs

. Deci exist.

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 29 -

Aadar, n exemplele de mai sus nu au fost ndeplinite condiiile corolarului enunat:

n exemplul a) funcia nu era continu n 10 x , iar n exemplul b) funcia este continu n

00 x dar nu exist limita derivatei n acest punct.

2. Corolar 2. Fie IRIf : , derivabil pe I , I-interval. Atunci Ixxftaconsf ,0)('tan

Exemplu: Calculnd derivata funciei x

arctgarctgxxfIRIRf 1)(,: * , obinem 0)(' xf .

De aici s-ar putea trage concluzia c f este constant.

Totui 2

)1( f , iar 2

)1( f . Deci f nu este constant.

Greeala de abordare const n faptul c domeniul de definiie al funciei de mai sus nu este

interval aa cum specific corolarul.

Soluia corect:

Funcia este constant pe fiecare din intervalele )0,( , ),0( i

0,2

0,2)(

xdaca

xdacaxf

.

3. Corolar 3. Fie IRIf : , derivabil pe I , I-interval. Dac Ixxf ,0)(' (sau Ixxf ,0)(' ), atunci f

este funcie strict cresctoare pe I (respectiv strict descresctoare pe I)

Exemplu: S se studieze monotonia funciei x

xfIRIRf 1)(,*: .

Derivata funciei este 2

1)('x

xf , deci *,0)(' IRxxf .

Rezult (pripit) c f este strict descresctoare pe domeniul su de definiie.

Totui )2()1()1( fff ; Deci f nu este monoton.

Greeala apare din faptul c domeniul de definiie nu este interval, ci reuniune de intervale.

Soluia corect:

Funcia strict descresctoare pe intervalul )0,( i strict descresctoare pe intervalul ),0( .

CERCUL DE MATEMATICA

30- 30 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a- XII -a

Rafinri ale prii ntregi i fracionare a unui numr

Masterand Ularu Condescu Nicoleta-Loredana Universitatea de Vest din Timioara

n acest articol vom prezenta cteva noiuni despre partea ntreag i fracionar a unui

numr i aplicaii practice ale acestora. Dac este un numr real, partea ntreag i fracionar a acestui numr satisfac

urmtoarele relaii: 1 i a . Teorema: Partea ntreag si partea fracionar a unui numr real sunt unic determinate. Demonstraie([3]): Vom considera a b i c d , unde a i c sunt numere ntregi iar b i d numere reale astfel nct 0 1b i 0 1d . Avem c a b c d , echivalent cu a c d b , deci a c d b . Dar a c este numr ntreg. Din 0 1b i 0 1d rezult

c 1 0b , deci 1 1d b sau 1d b . Deci, singurul numr ntreg nenegativ mai mic

dect 1 fiind 0 avem c 0a c deci 0a c , deci a c i b d , de unde rezult unicitatea .

Teorem: Pentru orice numr real avem: 2 02

.

Demonstraie([3]): Pentru 0 12

avem c

2 2 2

, deci 2 22 2

. Dac

10 ,2 2

atunci 0 1

2

, deci 2

2

, datorit unicitii prii ntregi. Deci

0 2 02

. Scriind 2 1 (2 1)2 2

constatm, datorit unicitii prii ntregi c

2 12

, deci 2 1

2

, adic 2 0

2

.

Teorem: Pentru orice numr real i orice numr natural n avem: n n

.

Demonstraie([3]): cu 0 1 , deci n n n

. Dar

n n n

cu 0 1n n

, deci n n n n

. Vom arta c 0 1n n

.

Aplicnd teorema mpririi ntregi lui i n obinem , 0 ,nq r r n deci a rqn n

,

rn n

avnd 0 1,r qn

fiind un numr ntreg. Avem 1,r n deci 1 11 .r nn n n

Deci

110 1 1 1,n n n n n

deoarece 1 0. Din cauza unicitii prii

ntregi, din n n n n

i 0 1,n n

rezult egalitatea din enun.

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 31 -

Aplicai:eS se calculeze 1

2 1lim sinn

nn

x dxx

.

Solui([1]): Fie 2 1( ) sinf x xx

. Putem scrie ( ) ( )f x x g x , unde ( ) 0 i lim ( ) 0x

g x g x

.

Funcia f este monoton cresctoare si pentru 0 avem c 3

sin6

. Pentru un n

suficient de mare , ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1)f n n g n n f n n g n . De aici, rezult ( )f x n are soluie n intervalul ( , 1)n n . Din monotonia lui f rezult c aceasta este unic. Vom scrie aceast soluie ca nx n a . Observm c ( ) ( )n n nf n a n a g n a , deci ( )n na g n a . Rezult c lim 0nn a .

Acum putem scrie integrala ca

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 ( ) ( )n n n n n n n

nn n n n n n n

f x dx f x n dx f x ndx f x ndx dx x n dx g x dx

Prima integral este egal cu 12

, iar 1

( ) 0 i 0n

nn

g x dx

. Deci limita este egal cu 12

.

Aplicaie: S se gseasc toate funciile :f care ndeplinesc urmtoarea condiie:

( ) ([ ]) ({ }) ,f x f x f x x x Soluie([2]): Avem 2(0) (0) 0, (0) 0 sau (0) 1f f f f . Pe de alt parte, lund x n , deoarece [ ] i 0n n n avem ( ) 1 (0) ,f n f n n , care este imposibil dac (0) 1f , deoarece expresia din stnga este tot timpul 0. De aici, rezult (0) 0 i f(n)=n, nf . Pentru

(0,1)x , din 0x obinem ( ) ( ) (0) ( ) , [0,1)f x f x f f x x x . Deoarece i [0,1),x x x avem ( ) ([ ]) ({ }) [ ]{ } ,f x f x f x x x x x x .

Aplicaie: Fie 2n un ntreg, r un ntreg pozitiv astfel nct acesta nu este un multiplu al lui n i

g cel mai mare divizor comun al lui n i r . S se demonstreze c 1

1

1 ( )2

n

i

ri n gn

.

Soluie([5]): Pentru nceput vom evalua 1

1( mod )

n

jrj n

,dup aceea observm c

modrjrj n rj nn

i obinem o estimare pentru

1

1

n

j

rjn

, i atunci 1

1

n

j

rjn

este direct.

ncepnd cu remarca (mod ) ( , ) |rj a n r n g a i avem exact ( , )r n g ntregi ( / )j n n care verific (mod )rj a n pentru un a dat. Deci,

12 2

1 | 1 ( 1)/

1 1 1( mod n)

2

n

j g a dg n d n g

n ng g

rj g a g dg g d g

.

Pentru ( , ) |g r n n avem c g |(n-1) i de aici 1 1n ng g

, deci

2 22

1 1 1( ) ( )

2 2 2

n ng g n n g n n gg g

g

.

CERCUL DE MATEMATICA

32- 32 -

Acum remarcm c mod rjrj n rj nn

, ceea ce ne conduce la faptul c

1 1 1

1 1 1

( )( mod )2

n n n

j j j

rj n n grj n rj nn

. Deci

1 1

1 1 2

n n

j j

rj r n gjn n

. n final

1 1 1 2 1

1 1 1 1 1

1 ( )2 2

n n n n n

j j j j j

rj r rj r r n gj j j n gn n n n n

.

Aplicaie: Fie , 2p p fixat. S se gseasc *a astfel nct:

1 2 1... , ( )px x x x ax xa a a

.

Soluie([4]): Pentru 0x rezult 1 1... 0pa a

(1).

De asemenea, a nu este un numr negativ i fractiile de sub partea ntreag sunt strict cuprinse

ntre 0 i 1. Pentru un n ntreg i 1, 1k p avem kn na

. (2)

Punnd 1x i folosind (2) : 1p a p a p (3)

Acum punnd 1x i folosind (2) rezult 1 1p a p a p p a p (4)

Din (3) i (4) rezult a p .

n continuare vom scrie x ca fiind kx np

, unde ,n k sunt ntregi, real, 0 1k p i

10p

. Termenul p k al egalitii este egal cu n , i cei k termeni care au rmas vor avea

valoarea 1n , ceea ce ne va da

( ) ( 1) ( )kp k n k n pn kn kn k pn k pn k p p n pxp

.

Aplicaie: Se consider funcia : , ( ) (1 )f f x x x .

a) S se calculeze 1

0

( )f x dx ;

b) S se demonstreze c funcia f admite primitive pe ;

c) S se arate c valoarea ntreg a integralei 1

( )a

a

f x dx

nu depinde de numrul real a.

Soluie([6]): a) 1 1

0 0

1( ) (1 )6

f x dx x x dx

b) Funcia parte fracionar este continu n orice punct nentreg.In punctele k avem lim{ } 1, lim{ } 0x k x k

x x

, deci lim ( ) lim ( ) ( ) 0x k x k

f x f x f k

. Astfel, funcia este continu pe , deci

are primitive. c) Pe intervalul , 1a a funcia f are urmtoarea form:

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 33 -

2

2

( 1) ( 1) , [ , )( )

( ) ( ) , [ , 1)x k x k x a k

f xx k x k x k a

, unde k este singurul numr ntreg din intervaulul de

lungime 1,[ , 1]a a . Atunci 1 1 1

2 2( ) ( ) ( ) (( 1) ( 1) ) (( ) ( ) )a k a k a

a a k a k

f x dx f x dx f x dx x k x k dx x k x k dx

2 3 2 3 1( 1) ( 1) ( ) ( ) 1

2 3 2 3 6k ax k x k x k x ka k

- nu depinde de a .

Aplicaie: S se arate c exponentul numrul prim p din descompunerea canonic a produsului 1 3 5 ... (2 1)m este

2 22 1 2 1 2 1... k k

m m m m m mp p p p p p

, unde 12 1k kp m p .

Soluie([7]): nmulim i mprim produsul 1 3 5 ... (2 1)m prin 2 4 6 ... 2m . Obinem (2 1)!1 3 5 ... (2 1)

!2mmm

m

. Exponenii i ai numrului prim p din descompunerea

canonic a numerelor (2 1)!m i respectiv !m sunt

22 1 2 1 ...m m

p p

2 ...m mp p

deci exponentul lui p n descompunerea canonic a produsului 1 3 5 ... (2 1)m va fi

2 22 1 2 1 ...m m m m

p p p p

Aplicaie: S se demonstreze c: (1) (2) ... ( ) ...1 2 3n n n nn

n

, unde ( )i

este numrul divizorilor pozitivi ai lui i .

Soluie([7]): Avem , | 1

1

, | 1

n k nkn

k n k nk

Vom demonstra egalitatea prin inducie. Pentru 1, 2n n , egalitatea este verificat. Presupunem c este adevrat pentru n i o vom demonstra pentru 1n , adic

1 1 1(1) (2) ... ( 1) ...2 1

n n nnn n

. Primul membru s-a mrit cu ( 1)n ,

adic cu numrul divizorilor lui 1n . n membrul al doilea rmn neschimbai termenii al cror numitor nu divide pe 1n i cresc cu 1

acei termeni al cror numitor k divide pe 1n cu k n . Apare n plus termenul 1 11

nn

. Deci

membrul drept crete exact cu numrul divizorilor, adic cu ( 1)n .

Aplicaie: S se demonstreze c 1

1 ( )m

m n nn m

, unde ( )n este numrul divizorilor

pozitivi ai lui n .

CERCUL DE MATEMATICA

34- 34 -

Soluie([7]): Dac |m n , atunci n mq i n qm

,

11 1 ( 1) 1 1nn mq m q m qm

. Deci

|

1 1( 1) 1 ( )m n

m n n nq q nn m m m

.

Dac |m n , atunci n mq r cu 0 r m i n qm

. Dar 1 1,0 1n mq r r m i deci

1n qm

. Adic 1 0n n

m m

pentru |m n . Avem n definitiv c

1

1 ( )m

n n nm m

.

Aplicaie: S se arate c un ir neconstant de numere naturale nenule este o progresie aritmetic dac i numai dac exista astfel nct oricare ar fi .

Soluie[8]: Presupunem c sunt n progresie aritmetic. Rezult c avem, , unde

. Vom alege i vom verifica egalitatea din enun.

Reciproc, vom presupune c exist astfel nct , pentru orice numr

natural . Notm . Avem , i prin urmare , de unde

, (1) adic . Deoarece avem rezult . Presupunem

i vom demonstra c . Deoarece , mai trebuie s artm .

Adunnd n ambii membri ai egalitii (1) pe , se obin urmtoarele inegaliti .

Aplicaie: Fie . S se determine numerele reale pentru care are loc egalitatea:

Soluie[8]: Presupunem c prin mprirea lui la se obine ctul i restul . Pentru ca egalitatea din enun s fie adevrat, trebuie ca cei mai mici termeni din membrul stng s fie egali cu , iar dintre ei s fie egali cu . Vom demonstra c dac , atunci , unde

, iar dac atunci , unde avem: ). Vom considera

ca fiind cel mai mare element al mulimii pentru care , adic

, ceea ce este echivalent cu . Obinem deci,

, , de unde rezult

sau . Din teorema mpririi cu rest avem existena i

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 35 -

unicitatea numerelor i , deci soluiile cutate sunt unde . Dac

, atunci i se verific imediat c egalitatea din enun este verificat doar dac

prile ntregi din membrul stng sunt egale cu , deci i .

Aplicaie: Se d funcia , , unde i de unde .

S se arate c funcia este injectiv dac i numai dac i . Soluie[8]: ( ) Presupunem i . Atunci pentru orice putem scrie

Deci, funcia este strict cresctoare pe i deci injectiv. ( ) Presupunem injectiv i demonstrm c i . a) Demonstrm c . Presupunem prin reducere la absurd c . Atunci, pentru

orice avem relaia: , deci , ,

ceea ce arat c . Deci este o mulime finit,ceea ce este o

contradicie(deoarece este injectiv i are drept domeniu de finiie o mulime infinit, atunci este o mulime infinit). Deci .

b) Demonstrm . Din avem c .

Funcia , este strict cresctoare, i cum funcia parte ntreag este de asemenea cresctoare, deducem c funcia este cresctoare. Deoarece este injectiv, deducem c ea este strict cresctoare. Avem ; atunci i deoarece deducem ; la fel ,, , adic

. Ultima inegalitate se mai poate scrie sub form echivalent . (1)

Dac am avea , atunci i alegnd inegalitatea (1) nu ar mai fi satisfcut. Deci, .

Bibliografie: 1. http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=1856322716&t=111667 2. http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=1856322716&t=110607 3.C. Popoviciu, Teoria numerelor, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1973 4. http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=1630776172&t=270217 5. http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=1856322716&t=56863 6. Ghid metodic bacalaureat 2009 M1, matematic, modele de rezolvare, Editura Gil, Zalu, 2009 7. I. Cucurezeanu, Probleme de aritmetic i teoria numerelor, Editura Tehnica, Bucureti, 1976 8. Olimpiadele naionale de matematic pentru liceu 1954-2003, Editura Enciclopedic, Bucureti.2004

PROBLEME PROPUSE

- 42 -

Elevii vor rezolva probleme de la clasa pe care o urmeaz i de la clasa inferioar. Se pot rezolva i problemele date la Ediia a IV-a a concursului Petre Sergescu -

pagina 3. Soluiile redactate pe foi format A5 se vor preda profesorului ndrumtor.

Ciclul Primar CP.1. Scade sfertul numrului 348 din triplul sumei vecinilor numrului 999.

inst. Mariana Cornea, inst. Gabriela Petriu, Drobeta Turnu Severin CP.2. Catalin, Radu i Edi au mpreun 34 de ani. Primii doi sunt frai gemeni, iar

Edi are cu 2 ani mai mult dect suma vrstelor celorlali doi frai. Ci ani are fiecare biat?

inst. Mariana Cornea, inst. Gabriela Petriu, Drobeta Turnu Severin CP.3. Scrie numerele de trei cifre, mai mari dect 400 i mai mici dect 500, care se

termin cu dou cifre identice. inst. Mariana Cornea, inst. Gabriela Petriu, Drobeta Turnu Severin

CP.4. Suma a trei numere este 2009. Dac din primul numr se scade 202, din al doilea 203, iar din al treilea 104 numerele devin egale. Afl valorile iniiale ale celor trei numere.

inst. Mariana Cornea, inst. Gabriela Petriu, Drobeta Turnu Severin CP.5. S se determine numrul de forma abdcd , unde a este cel mai mic numr par

diferit de zero, b este jumtate din a, iar c este dublul sumei cifrelor a, b, d. Inst. Lucia Rochian, Drobeta Turnu Severin

CP.6. Suma a cinci numere este 93. Aflai numerele tiind c dac pe primul l mprim la 2, pe al doilea l adunm cu 5, din al treilea scdem 3, din al patrulea pastrm un sfert iar din al cincilea pstrm dou treimi obinem numere egale.

Inst. Lucia Rochian, Drobeta Turnu Severin CP.7. Fie x un numr natural. Treimea lui x adunat cu 6 este egal cu sfertul lui x

adunat cu 7. Aflai numrul x. Inst. Lucia Rochian, Drobeta Turnu Severin

CP.8. Afl trei numere, tiind c treimea sumei a dou cte dou din ele este egal cu: 4, 5 i 7.

Inst. Lucia Rochian, Drobeta Turnu Severin CP.9. Jumtate din lungimea unui teren agricol n form de dreptunghi este cu 40

m mai mare dect o treime din limea lui. Dac lungimea s-ar mri cu 2 dam, atunci perimetrul terenului ar fi 36000 cm. Aflai ci metri au lungimea i limea terenului agricol.

Inst. Filip Nora, Drobeta Turnu Severin CP.10. Dintr-un dreptunghi cu perimetrul de 10400 cm se formeaz trei ptrate cu

laturi egale cu limea dreptunghiului. Ci metri de srm sunt necesari pentru a mprejmui un teren care are forma figurii obinute, cu cinci rnduri de srm ?

Inst. Tei Alina, Drobeta Turnu Severin CP.11. n anul 2010 eu voi avea vrsta egal cu de 4 ori suma cifrelor anului n care

m-am nscut. Ce vrst voi avea? Prof. Victor Sceanu

CP.12. Un elev merge ntr-o diminea de la Castelul de ap pn la Colegiul Naional Traian de la 9 la 930. A doua zi, se ntmpl s mearg pe acelai drum invers, de la Colegiul Naional Traian pn la Castelul de ap tot n intervalul 9 - 930. Justificai c la o anumit or el se afl exact n acelai loc de pe drum ca i n ziua precedent.

Gheorghe Ciniceanu, Drobeta Turnu - Severin CP.13. Considerm numrul 798. Suma cifrelor sale este 24. Suma cifrelor acestui

numar este 6. Spunem c 6 este rdcina cifric a numarului 798. Aflati rdcina cifric a numrului 8 999 973 495. Cercetai dac numrul se mparte exact la 9.

PROBLEME PROPUSE

H SSM

- 43 -

Gheorghe Ciniceanu, Drobeta Turnu - Severin CP.14. S se afle numerele naturale zyx , tiind c au loc simultan relaiile:

23524 zyx i 25348 zyx . tefan Marica, Drobeta Turnu - Severin

CP.15. Suma a dou numere naturale este egal cu cel mai mic numr impar de trei cifre, iar produsul lor este egal cu cel mai mic numr par de trei cifre. Aflai numerele.

Victor Sceanu, Drobeta Turnu - Severin CP.16. 5 creioane, 3 caiete i 2 cri cost 40 lei. 2 caiete i 3 cri cost 40 lei. Ct

cost mpreun 1 creion, 1 caiet i o carte ? Victor Sceanu, Drobeta Turnu - Severin

CP.17. Aflai x din egalitatea 0212009200920092009 x . Victor Sceanu, Drobeta Turnu - Severin

CP.18. ntr-o grdin sunt de dou ori mai multe lalele dect crini i nc jumtate din numrul acestora. Dac Maria culege jumtate din numrul crinilor pentru a-i duce la pia, lalele cu 10 mai mult dect o cincime din cte sunt, n grdin rmn flori i pentru sora Mariei, Ana, care vrea s ias i ea la pia cu jumtate din cte flori au rmas n grdin plus 5. Dup ce culege i Ana florile, n grdin rmn 30 fire. Care este numrul de flori cu care merge fiecare dintre surori la pia? Cte flori erau n grdin?

Chirfot Carmen Victoria, Drobeta Turnu - Severin CP.19. Un numr natural este de opt ori mai mare dect alt numr natural. S se

afle cele dou numere tiind c suma lor este cu 20 mai mare dect dublul ctului lor.

Violeta Florescu, Drobeta Turnu Severin CP.20. Un patrat cu latura de 2cm. se imparte in 4 patratele cu latura de

1cm.Fiecare patratel se coloreaza cu verde sau cu galben.In cate feluri diferite poate fi colorat patratul?

Antonie Mihaela Rodica Drobeta Turnu-Severin CP.21. Determin suma numerelor naturale care mprite la 4 dau ctul egal cu

restul. inst. Gman Camelia coala cu clasele I-VIII Nr. 14

CP.22. M gndesc la un numr. Adaug produsul dintre cel mai mai mic numr scris cu trei cifre i cel mai mare numr par scris cu dou cifre i obin cel mai mare mic numr impar scris cu cinci cifre. La ce numr m-am gndit?

inst. Melcioiu Felicia coala cu clasele I-VIII Nr. 15 CP.23. O familie format din 5 persoane (prinii i cei trei copii) a pltit pentru o

excursie n Grecia 1225 de euro. tiind c pentru un adult s-a pltit de 2 ori mai mult dect pentru un copil, afl ct s-a pltit pentru un copil i ct s-a pltit pentru un adult.

inst. Vian Veronica - coala cu clasele I-VIII Nr. 14 CP.24. Pentru premierea ctigtorilor de la concursul Eminescu poezie i

culoare s-au cumprat 135 de creioane de acelai fel i 40 de cri a cte 16 lei bucata. Ci lei s-au pltit n total tiind c 67 creioane cumprate costau 134 de lei?

inst. Gman Camelia coala cu clasele I-VIII Nr. 14 CP.25. S-au cumprat 3 buci de stof de aceeai calitate, avnd n total 66 de

metri. Prima bucat a costat 336 lei, a doua bucat 480 lei, iar a treia 768 lei. Ci metri avea fiecare bucat de stof?

inst. Mariana Cornea coala cu clasele I-VIII Nr. 14 CP.26. Suma dintre desczutul, scztorul i diferena unei scderi este 468.

Care este desczutul?

PROBLEME PROPUSE

- 44 -

inst. Mariana Cornea coala cu clasele I-VIII Nr. 14 CP.27. Ctul a dou numere este 3, iar restul 4. Dac adunm dublul primului

numr cu dublul celui de-al doilea obinem 160. Care sunt cele dou numere?

inst. Melcioiu Felicia coala cu clasele I-VIII Nr. 15 CP.28. Ioana a cumprat 3 buchete de garoafe, pltind 255 lei. tiind c n primul

buchet au fost 3 garoafe, n al doilea 5, iar n al treilea 9 garoafe, afl ci lei a pltit Ioana pentru fiecare buchet.

inst. Vian Veronica - coala cu clasele I-VIII Nr. 14 CP.29. Maria este elev n clasa a IV-a. De ziua ei ea a adus la scoal bomboane si a

oferit fiecrui elev cte 4 bomboane rmnndu-i o bomboan. Stiind c numrul bomboanelor pe care le-a adus Maria este cu 82 mai mare dect numrul elevilor din clasa ei, s se afle cti elevi sunt n clas si cte bomboane a adus Maria.

Emilia Raducan,Colegiul Decebal CP.30. Mama este cu 22 de ani mai mare dect fiica sa. Peste 10 ani suma vrstelor

lor va fi cu 54 mai mare dect vrsta actual a fiicei. Ce vrst are mama si ce vrst are fiica n prezent?

Emilia Raducan, Colegiul Decebal CP.31. Scriei toate numerele de forma abc care ndeplinesc simultan condiiile: 1)

a-b= 3 2) a b c = 0 inst.Ileana Tudor,Gen.14

CP.32. Suma a trei numere este 80. Produsul celor trei numere este de 16 ori mai mare dect produsul primelor dou numere. Primul numr este cu 8 mai mic dect dublul celui de-al doilea. Aflai cele trei numere.

inst.Ileana Tudor,Gen.14 CP.33. Dac mprim numrul cel mare la numrul cel mic obinem ctul 3 i

restul 15. tiind c suma celor dou numere este 1815, s se afle numerele. Inst.Lucia Rochian,Gen.14

CP.34. Ctul a dou numere este 2. Dac dempritul se nmulete cu 2, iar mpritorul se mparte la 2, obinem dou numere a cror diferen este 105.

Care sunt numerele iniiale ? Inst. Tei Alina, Liceul Pedagogic tefan Odobleja

CP.35. Suma dintre un numr, dublul unui al doilea numr i triplul unui al treilea numr este 49. Adunnd triplul primului numr, dublul celui de - al doilea i de 4 ori al treilea numr se obine 70. Care sunt cele trei numere, dac primul este cu 3 mai mic dect al treilea ?

Inst. Filip Nora, Liceul Pedagogic tefan Odobleja CP.36. Aflati cel mai mic numar natural format cu cifre nenule,care are suma cifrelor

egala cu 2009. Gimoiu Iuliana,Colegiul National Traian

CP.37. Se scriu numerele naturale,in ordine crescatoare,incepand cu 1.Sa se determine cifra de pe locul 2009.

Gimoiu Iuliana,Colegiul National Traian CP.38. Produsul a zece numere naturale este 20 , iar diferenta dintre produsul si

suma lor este3 . Sa se afle cele zece numere. Dana Paponiu,Colegiul National Traian

CP.39. Pentru a pagina doua reviste diferite, tipografia foloseste 246 de cifre. Cate pagini are fiecare revista stiind ca sunt indeplinite simultan conditiile:

i. numarul de pe ultima pagina a primei reviste este rasturnatul celui de pe ultima pagina a celei de a doua reviste;

ii. numarul de pagini al celei de a doua reviste are cifra unitatilor egala cu dublul cifrei zecilor.

PROBLEME PROPUSE

H SSM

- 45 -

Stefan Marica,pensionar

Clasa a V-a V.1. Un dreptunghi are dimensiunile exprimate in metri prin numere naturale. Daca

aria dreptunghiului este mai mica decat 100 m 2 , sa se arate ca perimetrul dreptunghiului poate fi cel mult 200 m.

Prof. Nedeianu Dan, Drobeta Turnu Severin V.2. Un rezervor gol este umplut cu ajutorul unui robinet in trei ore, iar cu ajutorul

altui robinet in doua ore. Daca ambele robinete ar curge impreuna, in cate secunde se va umple rezervorul?

Prof. Nedeianu Dan, Drobeta Turnu Severin V.3. Sa se determine a2009 , daca acesta este a 2009-a zecimala a numarului

naaaa ...,0261

321 .

Prof. Preneanu Vasile Doru, Drobeta Turnu Severin V.4. Se da numarul )(,0)(,0)(,0)(,0 cdabbcdaabcddabcn Sa se arate ca 9abcdNn .

Prof. Preneanu Vasile Doru, Drobeta Turnu Severin V.5. Andrei are in pusculita 144 de monede.O treime din ele sunt de 10 de bani,un

sfert din restul monedelor sunt monede de 50 de bani iar celelalte sunt de 5 bani.Poate el s