rmb12006olan.pdf
DESCRIPTION
gghghTRANSCRIPT
O generalizare a identitatii Botez - CatalanIoana OLAN 1
În 1872, N. St. Botez publica o lucrare originala în care apare identitatea1
n+ 1+
1
n+ 2+ · · ·+ 1
2n+ 1= 1− 1
2
µ1
1 · 3 +1
2 · 5 + · · ·+1
n (2n+ 1)
¶, n ∈ N∗,
care, daca tinem seama de formula de descompunere1
2k (2k + 1)=1
2k− 1
2k + 1, k ∈ N∗,
se aduce la forma1
n+ 1+
1
n+ 2+ · · ·+ 1
2n= 1− 1
2+1
3− 14+ · · ·+ 1
2n− 1 −1
2n, n ∈ N∗, (1)
numita identitatea Botez - Catalan. Ne propunem sa-i dam o generalizare.Amintim o demonstratie a formulei (1), generalizarea obtinându-se în acelasi fel:
1− 12+1
3− 14+ · · ·+ 1
2n− 1 −1
2n=
µ1− 1
2
¶+
µ1
3− 14
¶+ · · ·+
µ1
2n− 1 −1
2n
¶=
=
µ1 +
1
2− 2 · 1
2
¶+
µ1
3+1
4− 2 · 1
4
¶+ · · ·+
µ1
2n− 1 +1
2n− 2 · 1
2n
¶=
= 1 +1
2+1
3+1
4+ · · ·+ 1
2n− 1 +1
2n− 2
µ1
2+1
4+ · · ·+ 1
2n
¶=
= 1 +1
2+1
3+ · · ·+ 1
2n−1 +1
2n−µ1 +
1
2+ · · ·+ 1
n
¶=
1
n+1+
1
n+2+ · · ·+ 1
2n.
Propozitie. Pentru n ∈ N∗ si m ∈ N, are loc egalitatea1− 2
m − 12m
+1
3m− 2
m − 14m
+· · ·+ 1
(2n− 1)m−2m − 1(2n)
m =1
(n+ 1)m+· · ·+ 1
(2n)m . (2)
(Pentru m = 1 se obtine identitatea (1).)Demonstratie. Într-adevar, avem:
1− 2m − 12m
+1
3m− 2
m − 14m
+ · · ·+ 1
(2n− 1)m −2m−1
(2n)m =
=
µ1+
1
2m−2m 1
2m
¶+
µ1
3m+1
4m−2m 1
4m
¶+ · · ·+
µ1
(2n− 1)m+1
(2n)m−2m 1
(2n)m
¶=
= 1 +1
2m+1
3m+1
4m+ · · ·+ 1
(2n− 1)m +1
(2n)m− 2m
µ1
2m+1
4m+ · · ·+ 1
(2n)m
¶=
= 1 +1
2m+1
3m+ · · ·+ 1
(2n− 1)m +1
(2n)m −
µ1 +
1
2m+ · · ·+ 1
nm
¶=
=1
(n+ 1)m+
1
(n+ 2)m+ · · ·+ 1
(2n)m, q.e.d.
Cazuri particulare. Pentru m = 2 si m = n, formula (2) devine:
1− 3
22+1
32− 3
42+ · · ·+ 1
(2n−1)2 −3
(2n)2=
1
(n+1)2+
1
(n+2)2+ · · ·+ 1
(2n)2,
1− 2n−12n
+1
3n− 2
n−14n
+ · · ·+ 1
(2n−1)n−2n−1(2n)
n =1
(n+1)n+
1
(n+2)n+ · · ·+ 1
(2n)n .
1 Eleva, cl. a VIII-a, Colegiul National "C. Negruzzi", Iasi
25