Inegalit˘ a¸ti pentru mediane, bimediane, bisectoare Dan ¸ Stefan MARINESCU ¸ si Viorel CORNEA 1 A B C M N Fig. 1 Vom demonstra pentru început urm˘ atoarea Lem˘ a. Fie ABC un triunghi ¸ si M ∈ (BC) astfel încât BM BC = k ∈ (0, 1). Atunci AM < k AC + (1 − k) AB. Demonstra¸tie. Fie N ∈ (AB) astfel încât MN k AC (fig. 1). Din teorema fundamental˘ a a asem˘ an˘ ariiob¸tinem MN = k AC ¸si AN = (1 − k) AB. Aplicând în triunghiul AMN inegalitatea triunghiului avem AM < MN + AN sau, conform celor de mai sus, AM < k AC + (1 − k) AB. Propozi¸tia1. Fie ABCD un tetraedru, M ∈ int (BCD), N ∈ (CM ∩ BD ¸ si P ∈ (DM ∩ BC. Dac˘ a BN ND = u ¸ si BP PC = v, atunci AM < 1 u + v +1 AB + v u + v +1 AC + u u + v +1 AD. Demonstra¸tie. Fie Q ∈ (BM ∩ CD (fig. 2). În baza teoremei lui van Aubel, BM MQ = BN ND + BP PC = u + v, de unde BM BQ = u + v u + v +1 . (1) ¸ Tinând seama de (1) ¸si de Lem˘ a, în 4ABQ avem AM < 1 u + v +1 AB + u + v u + v +1 AQ. (2) A B C M N Fig. 2 D Q P Din teorema lui Ceva, aplicat˘ a în 4BCD, ob¸tinem CQ QD = u v , adic˘ a CQ CD = u u + v . Aplicând iar˘ a¸siLema în 4ACD vom avea AQ < v u + v AC + u u + v AD. (3) Rela¸tiile (2) ¸si (3) conduc la AM < 1 u + v +1 AB + v u + v +1 AC + u u + v +1 AD, ceea ce încheie demonstra¸tia acestei propozi¸tii. Câteva cazuri particulare ale acestui rezultat pre- zint˘ a interes în sine. Corolarul 1 (Inegalitatea medianei). Fie ABCD un tetraedru ¸ si G A centrul de greutate al fe¸ tei BCD; atunci AG A < 1 3 (AB + AC + AD). 1 Profesori, Liceul Teoretic "Iancu de Hunedoara", Hunedoara 5
Inegalitati pentru mediane, bimediane, bisectoareDan Stefan
MARINESCU si Viorel CORNEA1
A
B CM
N
Fig. 1
Vom demonstra pentru nceput urmatoarea
Lema. Fie ABC un triunghi si M (BC) astfel nctBMBC
= k (0, 1). Atunci AM < kAC + (1 k)AB.Demonstratie. Fie N
(AB) astfel nctMN k AC
(fig. 1). Din teorema fundamentala a asemanarii obtinemMN = k AC
si AN = (1 k)AB. Aplicnd n triunghiulAMN inegalitatea triunghiului
avem AM < MN + ANsau, conform celor de mai sus, AM < kAC+(1
k)AB.Propozitia 1. Fie ABCD un tetraedru, M int (BCD), N (CM BD
si
