1

Dinamica Constructiilor si Inginerie Seismica

Anul de studiu III Specializari: CCIA, ACH, IFDR, IEC

Titular de curs: ş.l.dr.ing. Mirela Popa Conditii de participare la examen:

- Participarea la sesiunea curentă -- finalizarea şi susŃinerea celor două teme de casă, până cel târziu în săptămânile 13, 14

- Participarea la sesiunea de restanŃe - finalizarea şi susŃinerea celor două teme de casă, la un termenul afisat la vizier, anterior datei de sustinere a restanŃelor

Mod de evaluare - examen scris: media a 3 note: două pentru aplicatii numerice si una pentru

aspecte teoretice - posibilítate de evaluare pe parcurs prin examen partial din capitolele de

dinamica a sitemelor cu 1 gld.; conditie de participare la examenul parŃial – finalizarea si sustinere temei 1

Cap.1. Introducere: 1. Obiectivele analizei dinamice si diferenŃele faŃă de analiza statică. 2. Clasificarea acŃiunilor dinamice. 3. Modelarea sistemelor dinamice. 4. Ipoteze simplificatoare în calculul dinamic

Obiectivul analizei dinamice este acela de a determina răspunsul (deplasări, eforturi,

tensiuni) dezvoltat în structuri supuse unei acŃiuni dinamice care are ca efect mişcarea structurii.

AcŃiunea dinamică este o acŃiune a cărei intensitate, direcŃie, sens, punct de aplicaŃie variază

în timp. Răspunsul structurii la o astfel de acŃiune va fi şi el variabil în timp.

Caracteristici specifice analizei dinamice

• prezenŃa factorului timp .

• prezenŃa forŃelor de inerŃie - pentru o analiză dinamică sunt necesare informaŃii despre masa

structurii.

• amortizarea datorată multiplelor mecanisme de disipare a energiei.

2

Răspunsul dinamic al unei structuri depinde de:

• natura acŃiunii dinamice;

• caracteristicile dinamice proprii ale structurii (sub forma perioadelor proprii sau a

modurilor proprii de vibraŃie), care depind de proprietăŃile inerŃiale ale structurii (masa) şi

caracteristicile elastice ale structurii (rigiditatea);

• capacitatea de amortizare a structurii care presupune disiparea energiei unui sistem

dinamic ca urmare a prezenŃei forŃelor rezistente

In funcŃie variabilitatea în timp, acŃiunile dinamice se poate clasifica în periodice şi

neperiodice

AcŃiunile dinamice aplicate unei structuri elastice generează o mişcare având caracterul unor

mici oscilaŃii în vecinătatea poziŃiei de echilibru stabil.

În funcŃie de cauzele care le produc vibraŃiile se pot clasifica în:

• Vibra Ńii libere – când structura este scoasă din poziŃia de echilibru de un

factor perturbator şi după încetarea acŃiunii factorului perturbator structura execută mişcarea

numai sub acŃiunea forŃelor elastice interioare

• Vibra Ńii for Ńate – care se produc sub acŃiunea unei cauze perturbatoare

exterioare care acŃionează pe întreaga durată a vibraŃiilor

Cel mai simplu model dinamic este constituit dintr-o masă conectată de un suport elastic

fixat în plan sau spaŃiu, aşa încât este posibilă mişcarea în timp (oscilaŃia) în jurul unei poziŃii de

echilibru. Dacă acestui sistem i se adaugă un sistem disipativ care modelează amortizarea se obŃine

un sistem dinamic complet.

Gradele de libertate dinamică reprezintă coordonatele dinamice independente care pot

defini complet poziŃia instantanee a unui sistem dinamic discret, la orice moment al mişcării.

Deplasările pe direcŃia coordonatelor dinamice reprezintă necunoscutele principale în analiza

dinamică, prin urmare numărul necunoscutelor dinamice este egal cu numărul GLD sau cu numărul

minim de legături necesare pentru a fixa sistemul dinamic în poziŃia de repaus.

Un exemplu de sistem cu 1 GLD este castelul de apă reprezentat în Fig. 1a care masa e

concentrată în la partea superioară; în analiza dinamică simplificată (care nu Ńine seama de

3

interacŃiunea fluid - pereŃii rezervorului) se poate un singur GLD şi anume translaŃia orizontală a

masei concentrate.

Pentru cadrul plan din Fig 1b, masele se consideră concentrate la nivelul riglelor, şi fiecare

din ele au o singură posibilitate de mişcare dacă se consideră perfect rigide faŃă de stâlpi. Deci

pentru cadrele plane, de fac parte din structuri cu planşee rigide, numărul gradelor de libertate este

egal cu cel planşeelor ce se pot translata.

Mărimea efectivă a amortizării este greu de evaluat. Coeficientul de amortizare care se nota

în continuare cu c (şi care prin multiplicare cu viteza furnizează forŃa de amortizare) se obŃine prin

extrapolarea rezultatelor obŃinute la testarea in situ a unor structuri asemănătoare.

Cu cât capacitatea de amortizare este mai ridicată, timpul necesar pentru încetarea completă

mişcării vibratorii este mai mic. Cea mai mică valoare a capacităŃii de amortizare pentru care este

eliminată complet vibraŃia sistemului, structura întorcându-se la poziŃia de echilibru printr-o mişcare

aperiodică se numeşte amortizare critică.

În mod obişnuit capacitatea de amortizare este exprimată sub forma fracŃiunii (procentului)

din amortizarea critică care reprezintă raportul dintre coeficientul efectiv de amortizare vâscoasă

şi coeficientul amortizării critice. crc

c=ν

Cap.2. Dinamica sistemelor cu 1 gld: 1. EcuaŃia de mişcare ptr acŃiuni directe şi acŃiuni indirecte. 2. VibraŃii libere neamortizate. 3. VibraŃii libere cu amortizare vâscoasă. 4. Răspunsul la acŃiuni armonice. 5. Răspunsul la acŃiuni neperiodice – impulsuri, forŃe arbitrare. 6. Răspuns spectral

AcŃiunile dinamice care se manifestă asupra sistemelor cu 1 GLD, funcŃie de direcŃia de aplicare a

forŃelor perturbatoare se pot clasifica în:

• acŃiuni dinamice directe aplicate direct elementelor portante ale sistemului oscilat, care sunt

descrise prin variaŃia intensităŃii forŃei funcŃie de timp şi au direcŃia gradelor de libertate

dinamică;

• ForŃa de inerŃie )()( tumtFi &&−=

• ForŃa de amortizare )()( tuctFa &=

4

• ForŃa elastică )()( tkutFe =

• ForŃa dinamică )(tF

EcuaŃia de mişcare va avea forma

)()()()( tFtFtFtF eai =++−

)()()()( tFtkutuctum =++ &&&

Prin particularizări ale ecuaŃiei se obŃine ecuaŃia diferenŃială a vibraŃiilor neamortizate pentru c=0,

respectiv a vibraŃiilor libere pentru F(t)=0.

• acŃiuni dinamice indirecte care se transmit structurilor prin medii de propagare (acŃiuni

seismice, explozii subterane, trafic) aplicate la baza de sprijin a structurii şi descrise prin variaŃia

acceleraŃiei mişcării terenului.

In cazul acŃiunilor indirecte care se manifestă asupra bazei de sprijin, structura va suferi o

deplasare de corp rigid împreună cu terenul, la care se adaugă deplasările elastice ale

structurii. Mişcarea absolută se compune din mişcarea de transport cu acceleraŃia bazei de

sprijin )(tug&& şi mişcarea relativă cu acceleraŃia )(tu&& .

)()()()()( tFtumtkutuctum g =−=++ &&&&&

VibraŃiile libere se execută în absenŃa unor forŃe perturbatoare, sub acŃiunea forŃelor elastice, după

ce sistemul a fost scos din poziŃia de repaus, aplicând un impuls iniŃial. Dacă se consideră situaŃia

ipotetică în care se neglijează amortizarea, EcuaŃia obŃinută arată periodicitatea mişcării, repetându-

se identic după trecerea unui interval de timp T, numit perioadă proprie. Cum perioada de variaŃie a

funcŃiei sin esteπ2 , se deduce că perioada proprie a mişcării este ][2

sTωπ= iar numărul de vibraŃii

efectuate într-o secundă reprezintă frecvenŃa ][2

1Hz

Tf

πω== . PulsaŃia proprie reprezintă numărul

de vibraŃii executat de sistem în π2 s. Cele trei mărimi perioada, pulsaŃia, frecvenŃa, depind numai

de caracteristicile intrinseci ale structurii, fiind independente de condiŃiile iniŃiale ale mişcării. Ele

reprezintă caracteristicile dinamice ale sistemelor cu 1GLD, fiind indispensabile oricărei analize

dinamice.

5

In cazul vibratiilor libere neamortizate se disting trei azuri de amortizare. Amortizarea subcritică

• Amplitudinea vibraŃiilor descreşte în timp după o lege exponenŃială tAetA β−=)(

• Mişcarea îşi păstrează caracterul oscilatoriu, are caracter armonic, cu pulsaŃia *ω , şi se

numeşte pseudoarmonică

• Intervalul de timp T* dintre două amplitudini succesive se numeşte pseudoperioada mişcării

şi este egală cu 2*

*

1

22

νωπ

ωπ

−==T

Decrementul logaritmic al amortizării este o mărime ce se poate determina experimental şi care face

legătura dintre răspunsul sistemului cu 1 GLD şi fracŃiunea din amortizarea critică. Acesta este

definit ca logaritmul natural al raportului dintre două amplitudini succesive, notate un şi un+1.

%20pentru 21

2

1

22lnln

22**

)(1

* <≅−

=−

=====∆+−

−

+

νπνν

πννω

πνωωπνωβ

β

β

TAe

Ae

u

uTt

t

n

n

AcŃiunea dinamică a unui motor electric sau unei maşini cu piese mobile neechilibrate în mişcare de

rotaŃie, se poate reprezenta matematic printr-o forŃa armonică de tipul

( )tFtF θsin)( 0= ,

în care F0 este amplitudinea forŃei, iar θ este pulsaŃia acŃiunii armonice, care se poate determina în

funcŃie de turaŃia motorului, notată cu n.

min]/[ unde],/[30

rotnsradnπθ =

Răspunsul staŃionar, in absenta amortizării, se obŃine din suprapunerea a două componente:

• vibraŃiile armonice având perioada proprie structurii )sin( tust ωωθµ ;

6

• vibraŃiile care au perioada forŃei armonice, care reprezintă vibraŃiile pur forŃate

( )tust θµ sin .

Proiectarea structurilor se face urmarind evitarea situatiilor in care se ajunge la valori apropiate ale

perioadelor proprii cu periodele factorilor perturbatori.

Integrala Dunhamel este o metodă generală de determinare a răspunsului dinamic sub acŃiunea unei

forŃe arbitrare. Deoarece integrala de convoluŃie se bazează pe principiul suprapunerii efectelor,

integrala Duhamel este valabilă numai pentru sisteme liniar elastice. Pentru încărcări dinamice

complicate sau care sunt descrise numeric prin valori discrete, răspunsul de determină prin

rezolvarea numerică a integralei.

Conceptul de răspuns spectral reprezintă mijlocul cel mai convenabil pentru a ilustra răspunsul de

vârf pentru orice sistem cu 1 GLD, la o acŃiune dinamică dată.

Reprezentarea grafică a răspunsului maxim (ca deplasare, viteză sau acceleraŃie) funcŃie de perioada

proprie şi de coeficientul din amortizarea critică pentru o acŃiunea dinamică dată se numeşte

răspuns spectral sau spectru de răspuns.

Cap.3. Dinamica sistemelor cu mai multe gld: 1. Modelare. 2. Moduri proprii de vibraŃie. 3. Definirea amortizării. 4. Metode de analiză dinamică

Având în vedere complexitatea configuraŃiilor structurale şi distribuŃia continuă a maselor, pentru

analiza dinamică sunt puŃine cazurile în care structurile sunt schematizate ca sisteme cu un gld. De

cele mai multe ori structurile reale sunt transformate îm sisteme oscilante cu un număr finit de

GLD.

Limitarea GLD se poate face prin modelare inerŃială sau prin modelarea cu ajutorul funcŃiilor de

formă.

VibraŃiile libere sunt descrise de ecuaŃia diferenŃială matricială 0=⋅+⋅ UKUM && ale cărei soluŃii

reprezintă caracteristicile dinamice ale sistemului cu n GLD

7

Perechile formate din perioada (pulsaŃia) proprie ωi şi forma deformată asociată {φ} i alcătuiesc un

mod propriu de vibraŃie. Modul fundamental de vibraŃie corespunde perioadei fundamentale.

Cunoaşterea modurilor de vibraŃie este necesară pentru determinarea răspunsului sistemelor liniare

la solicitări dinamice. Aşa cum se va vedea în capitolele următoare, răspunsul final este controlat în

cea mai mare măsură de primul mod de vibraŃie, iar participarea modurilor de vibraŃie superioare

scade odată cu scăderea perioadei proprii.

In analiza vibraŃiilor forŃate se va considera forma completă a ecuaŃiei diferenŃiale a mişcării:

)(tPKUUCUM =++ &&& Se pot folosi două procedee generale pentru rezolvarea ecuaŃiilor

diferenŃiale:

a. Suprapunerea modală care presupune transformarea sistemului (1) în ecuaŃii diferenŃiale

independente corespunzătoare modurilor proprii (ecuaŃii decuplate) şi determinarea răspunsului prin

suprapunerea răspunsurilor obŃinute separat pentru fiecare mod propriu de vibraŃie.

Această metodă se aplică doar sistemelor cu comportare liniar elastică deoarece se bazează pe

principiul suprapunerii efectelor.

Suprapunerea modală se poate aplica în două variante:

• Determinarea răspunsului instantaneu prin sumarea în timp a răspunsurilor modale;

• Sumarea probabilistică a răspunsurilor modale maxime.

Metoda este avantajoasă pentru acele sisteme la care răspunsul poate fi evaluat cu suficientă

precizie pentru primele câteva moduri proprii de vibraŃie. Acest caz apare dacă excitaŃia este

reprezentată în principal de componente cu frecvenŃe joase.

Dacă încărcarea este complexă şi variaŃia în timp conŃine componente semnificative de frecvenŃe

înalte sunt necesare mai multe moduri proprii pentru a obŃine o precizie satisfăcătoare a

răspunsului.

b. Integrarea numerică directă în paşi de timp şi determinarea răspunsului pas cu pas care

se impune ca metodă de rezolvare pentru sistemele cu comportare neliniară la care nu se

poate aplica principiul suprapunerii efectelor. Metoda este eficientă şi pentru cazul în care

pentru a se obŃine rezultate satisfăcătoare ar trebui să se folosească nu număr mare de

moduri proprii de vibraŃie.

8

Cap.4. NoŃiuni elementare de seismologie

Cap.5. Raspunsul seismic. 1. Sisteme cu 1 gld. 2. Spectre elastice de proiectare. 3. Spectre de răspuns ale sistemelor inelastice. 4. Sisteme cu mai multe gld

AcŃiunea produsă de mişcarea seismică imprimată bazei are caracter indirect, de aceea ecuaŃia de

condiŃie are forma [ ] 0)()()()( =+++ tkutuctutum g &&&&& sau )()()()( tumtkutuctum g&&&&& −=++

Variabilele )(tu , )(tu& , )(tu&& definesc răspunsul seismic instantaneu exprimat în mărimi relative.

Răspunsul dinamic al structurilor la acŃiuni seismice se poate determina prin una din următoarele

trei metode, sau variante ale acestora care se pot sintetiza astfel:

1) Metoda forŃelor statice echivalente – metodă simplificată, specifică analizelor globale care

determină o forŃă seismică de bază determinată pe baza modului fundamental de vibraŃie, care se

distribuie pe verticală sub forma forŃelor seismice de nivel

2) Metoda spectrelor seismice de răspuns – metodă folosită în mod curent în proiectarea

structurilor de rezistenŃă în care se determină valoarea forŃei seismice de bază pe baza

acceleraŃiilor spectrale corespunzătoare modurilor proprii semnificative.

OperaŃia de decuplare modală a răspunsului seismic total conduce la exprimarea condiŃiilor

de mişcare prin n ecuaŃii independente, fiecare descriind răspunsul dinamic al unui sistem

seismic formal cu 1 GLD ale cărui caracteristici dinamice proprii sunt identice cu cele

modale, numite sisteme dinamic echivalente.

Expresia forŃei tăietoare de bază modale maxime se va obŃine pe baza condiŃiilor de

echivalenŃă existente între caracteristicile dinamice proprii ale sistemelor cu n GLD si cu 1

GLD.

( )i

i

iiii SA

M

PSAmeF

*

2*

== unde ( )

∑

∑

=

=

==n

kkik

n

kkik

i

ii

m

m

M

Pme

1

2

2

1

*

2*

φ

φse numeşte masa echivalentă sau

masă modală.

9

3) Metoda integrării directe – bazată pe procedeul pas cu pas care permite reprezentarea

răspunsului seismic pe durata seismului, metodă laborioasă aplicată structurilor cu caracter de

unicat precum baraje, centrale nucleare, etc.

Cap.6. Normare seismica conform P100-1/2006: 1. Criterii pentru alegerea modelului structural şi a metodei de calcul. 2. Metoda forŃelor statice echivalente. 3. Metoda de calcul modal. Introducerea efectelor torsiunii ptr modele plane şi ptr

modele spaŃiale. 4. Descrierea acŃiunii seismice verticale. 5. Spectrele de proiectare funcŃie de fracŃiunea din amortizarea critică. 6. Combinarea efectelor componentelor acŃiunii seismice. 7. Rosturi seismice. 8. Verificarea deplasărilor relative. 9. Ductilitate pentru oŃel si beton - prevederi ale codului asigurarea ductilit ăŃii

Normarea seismică presupune

• alegerea nivelului de asigurare al construcŃiilor diferenŃiat funcŃie de clasa de importanŃă şi de

expunere la cutremur în care construcŃia se încadrează. ImportanŃa construcŃiilor depinde de

consecinŃele prăbuşirii asupra vieŃii oamenilor, de importanŃa lor pentru siguranŃa publică şi

protecŃia civilă în perioada de imediat după cutremur şi de consecinŃele sociale şi economice ale

prăbuşirii sau avarierii grave.

• alegerea metodei de calcul ;

• alegerea modului în care se va descrie acŃiunea seismică : spectre sau acceleraograme. În cazul

utilizării spectrelor se va parcurge schema logică prezentată mai jos ;

• alegerea modelului structural.

În alegerea metodei de calcul, a modelului structural şi unui parametru de cod important (factorul de

comportare) este necesară încadrarea construcŃiei în categoria celor regulate sau neregulate.

CondiŃiile pentru caracterizarea construcŃiilor ca regulate sunt date în 4.2.3.2 şi 4.2.3.3.

Metoda fortelor statice echivalente determină forŃa tăietoare de bază corespunzătoare modului

fundamental, notată cu Fb, se determină cu relaŃia: λγ ⋅⋅⋅= mTSF dIb )( 1

unde:

• γI – factor de importanŃă – expunere, cu valori cuprinse între 0,8…1,4

10

• Sd(T1) – ordonata spectrului de răspuns de proiectare corespunzătoare perioadei fundamentale;

• T1 – perioada proprie fundamentală; aceasta se poate determina din calculul vibraŃiilor libere sau

se poate aproxima conorm relaŃiilor aproximative din anexa B a codului P100/2006

• m – masa totală a clădirii (suma maselor de nivel, obŃinute din gruparea încărcărilor

gravitaŃionale aşa cum se prevede în CR0-2005 în cazul grupării speciale);

• λ – factor de corecŃie care Ńine seama de contribuŃia modului propriu fundamental:

o λ=0,85 pentru perioada fundamentală mai mică decât perioada de control TC şi pentru

clădiri cu mai mult de două niveluri;

o λ=1 pentru celelalte situaŃii.

Deoarece metoda consideră în exclusivitate modul fundamental de vibraŃie, un calcul dinamic

pentru determinarea modurilor proprii de vibraŃie nu se justifică şi în acest caz devin necesare

formulele simplificate pentru estimarea perioadei fundamentale, prezentate în secŃiunea B2 a

codului de proiectare seismică, iar coeficienŃii de repartizare pe verticală se vor determina pe baza

aproximării formei deformate corespunzătoare modului fundamental de vibraŃie cu una liniară.

Dacă evaluarea forŃei tăietoare de bază se face folosind metoda calculului modal se vor considera

modurile proprii cu o contribuŃie semnificativă la răspunsul seismic total. Criteriul de identificare a

modurilor proprii semnificative se bazează pe masele modale. Masa modală efectivă asociată

modului propriu de vibraŃie i (masa echivalentă mei )se determină cu relaŃia:

∑

∑

=

=

=n

kkik

n

kkik

i

m

m

me

1

2

2

1

φ

φ

unde kiφ - componenta vectorului propriu în modul de vibraŃie i, pe direcŃia gradului de libertate

dinamică de translaŃie la nivelul k; mk - masa concentrată la nivelul k

ForŃa tăietoare de bază Fbi aplicată pe direcŃia de acŃiune a mişcării seismice în modul de vibraŃie i

este: iidIbi meTSF )(γ= ForŃa de bază totală se obŃine cu relaŃia de compunere modală:

∑=

=n

ibib FF

1

2

11

ForŃele seismice de nivel, pentru fiecare mod propriu considerat se obŃin prin multiplicarea forŃei

de bază modale cu coeficienŃi de distribuŃie modali

∑=

==n

kkik

kikbikibiki

m

mFdFF

1

φ

φ

ApariŃia momentelor de torsiune cu caracter accidental este posibilă şi în cazul structurilor

simetrice datorită neomogenităŃii materialelor, nesincronismului mişcării seismice de bază. In acest

sens normativul P100-1-2006, la secŃiunea 4.5.2.1 prevede considerarea efectelor de torsiune

accidentală prin introducerea unei excentricităŃi accidentale adiŃionale. Aceasta se consideră pentru

fiecare direcŃie de calcul şi pentru fiecare nivel şi se raportează la centrul maselor. Pentru a

considera efectele de torsiune produse de existenŃa nesimetriilor precum si efectul unor

excentricitati accidentale, calculul pe modelul plan trebuie corectat prin determinarea fortelor

seismice de nivel suplimentare care revin subsistemelor plane care alcatuiesc modelul.

In secŃiunea 4.5.3.2.4 a normativului se indică modul în care forŃele seismice de nivel obŃinute

pentru modelele plane asociate la două direcŃii principale ortogonale se distribuie subsistemelor

plane componente din fiecare direcŃie

Daca se utilizează un model spaŃial, efectul de torsiune produs de o excentricitate accidentală se

poate considera prin introducerea la fiecare nivel a unui moment de torsiune iii FeM =

In P100/2006 la 2.2.2 şi 2.2.3 se vorbeşte despre verificarea deplasărilor relative de nivel iar la

4.5.4 despre calculul deformaŃiilor; aceste verificari se fac conform Anexei E din P100/2006 pentru

cele două stări limit ă