2.2 Reţele Petri Hibride

2.2.1 Formalizare şi noţiuni caracteristice

O Reţea Petri Hibridă autonomă este reprezentată sub forma unui

ansamblu [59], [65], [93] :

RPH = < P, T, h ,Pre, Post, M0 >, (2.30)

în care:

- P = {P1, P2, …, Pn} este mulţimea poziţiilor reţelei, alcătuită din

elemente discrete şi continue: P = PD P

C,

unde:

- PD P reprezintă submulţimea poziţiilor discrete ale

reţelei,

- PC P – submulţimea poziţiilor continue ale acesteia.

- T = {T1, T2, …, Tq} – mulţimea tranziţiilor, formată , din

tranziţii

discrete şi continue: T = TD T

C,

cu:

- TD T – submulţimea tranziţiilor discrete,

- TC T – submulţimea tranziţiilor continue.

- h : P T {D, C} este o funcţie hibridă care indică tipul

fiecărui

nod al reţelei : discret sau continuu;

- Pre : P T R+ sau N+

- matricea de incidenţă de intrare (pre –

tranziţie);

- Post : P T R+ sau N+

- matricea de incidenţă de ieşire (post

– tranziţie);

- M0 : P R+ sau N+

- vectorul coloană al marcajului iniţial.

Observaţii:

1. În relaţia de definiţie, mulţimea numerelor naturale apare drept

codomeniu al funcţiilor atunci când Pi PD, iar mulţimea numerelor

reale pentru Pi PC.

2. Dacă Pi PD şi Tj T

C , atunci Pre(Pi, Tj) = Post(Pi, Tj)

Mecanismul care asigură dinamica unei astfel de reţele reuneşte, în

mare măsură, particularităţile impuse de existenţa în cadrul aceleiaşi

structuri a unor elemente diferite - atât ca natură, cât şi din punct de

vedere al comportamentului.

Astfel, o tranziţie discretă Tj a unei reţele hibride este validată dacă

[59], [145]:

mi Pre(Pi, Tj), Pi Tj, q,1j , (2.31)

unde mi este marcajul corespunzător poziţiei Pi a reţelei.

O tranziţie continuă Tj este validată dacă fiecare din poziţiile Pi

Tj îndeplineşte condiţiile:

mi Pre(Pi, Tj), (2.32)

dacă poziţia Pi este una discretă şi:

mi > 0, (2.33)

sau

vk > 0 , Tk Pi , q,1k (2.34)

dacă este vorba de o poziţie continuă, iar vk este viteza de execuţie a

tranziţiei Tk [2], [59].

Mai mult decât atât , o tranziţie continuă Tj este puternic validată

dacă fiecare poziţie de intrare a sa conţine un marcaj strict pozitiv;

altfel, tranziţia este slab validată.

În strânsă legătură cu definirea submulţimilor PD şi P

C ale reţelei se

află şi vectorul marcajului, M. Astfel, fiecărei submulţimi îi

corespunde marcajul MD - alcătuit din poziţii discrete, respectiv MC

-format din poziţii continue. Se poate arăta că, într-o reţea hibridă

este totdeauna posibil să se stabilească o relaţie de ordine între

poziţiile părţii discrete şi cele ale părţii continue (indicele „i” al unei

poziţii discrete - Pi să fie mai mic decât indicele „k” ce corespunde

unei poziţii continue - Pk) , [44], [64] şi astfel, pentru vectorul

marcajelor reţelei se poate fi utilizată notaţia:

C

D

M

MM (2.35)

Dacă se consideră o aceeaşi ordonare a tranziţiilor, vectorul v al

vitezelor instantanee de execuţie a acestora are expresia:

}T{CardDim

}T{CardDim

C

D

Cv

0

v , (2.36)

unde:

- 0 este un vector cu toate componentele nule, de dimensiune egală

cu numărul tranziţiilor discrete ale reţelei;

- vC – vector ce conţine vitezele instantanee de execuţie ale

tranziţiilor continue din reţea, de dimensiune egală cu numărul

tranziţiilor discrete (2.36), [59].

Bilanţul marcajului unei poziţii continue Pi într-o reţea hibridă are o

expresie similară cu cea folosită la descrierea evoluţiei unei reţele

continue:

ij ikPT PT

ikkijjii mv)T,P(ePrv)T,P(PostB

, (2.37)

unde:

- dt

dmm i

N

i reprezintă variaţia elementară în timp a marcajului

poziţiei Pi.

În general, dinamica unei Reţele Petri Hibride este asigurată de

comportarea fiecăreia dintre cele două părţi ale sale, care

interacţionează în permanenţă şi asigură înlănţuirea regimurilor

dinamic şi staţionar. Tranziţia de la o stare staţionară la alta are loc

doar dacă se produce unul din următoarele evenimente:

- se execută o tranziţie discretă, sau

- marcajul unei poziţii continue al cărei bilanţ este negativ devine

zero, sau

- marcajul unei poziţii continue al cărui bilanţ este pozitiv şi care

este în acelaşi timp o poziţie de intrare a unei tranziţii discrete se

îmbogăţeşte cu o cantitate egală cu ponderea arcului de legătură

între poziţie şi tranziţie (cu suma ponderilor, dacă există mai multe

poziţii de intrare în tranziţia respectivă).

Printr-un raţionament analog cu cel folosit la exprimările (2.35),

respectiv (2.36), vectorul execuţiilor discrete ale tranziţiilor – n, se

scrie [59], [93] :

}T{CardDim

}T{CardDim

C

DD

0

n

n , (2.38)

în care:

- nD este vectorul de dimensiune egală cu numărul

tranziţiilor discrete ale reţelei, ale cărui elemente sunt numere

asociate execuţiei tranziţiilor ;

- 0 – vector de dimensiune egală cu numărul tranziţiilor

continue, cu toate elementele nule;

În acest fel, vectorul caracteristic V definit pentru reţelele discrete

şi continue, care intervine în ecuaţia fundamentală, este unul ale

cărui componente sunt numere întregi (corespunzătoare tranziţiilor

discrete) sau numere reale pozitive (pentru tranziţiile continue), [59]

:

t

0

du)u()t()t( vnV , (2.39)

unde v este vectorul vitezelor de execuţie a tranziţiilor continue.

Primul termen al relaţiei (2.39) corespunde tranziţiilor discrete, iar

cel de-al doilea termen, tranziţiilor continue. Cu această precizare,

ecuaţia fundamentală a unei Reţele Petri Hibride capătă forma:

t

0

0 du)u()t( vnUMM , (2.40)

în care:

M este vectorul marcajului curent al reţelei;

M0 – vectorul marcajului iniţial;

U este matricea de incidenţă.

Observaţii:

1.Într-oReţea Petri Hibridă sunt surprinse mult mai exact

interacţiunile dintre subsistemul operativ şi subsistemul de comandă,

părţii discrete fiindu-i, în general, rezervată modelarea modificărilor

de structură şi/sau comportament ale sistemului, subreţeaua

continuă rămânând să surprindă evoluţia stării între acţiunea a două

evenimente externe.

2.Nu există încă un punct de vedere unitar asupra formalizării

matematice a acestui tip de reţea, deoarece metodele proprii

sistemelor cu evenimente discrete sunt total diferite de cele utilizate

în teoria sistemelor continue, dar unele dintre soluţiile propuse sunt

încurajatoare [59], [65], [92].

3. Prin specificul lor, Reţelele Petri Hibride pot modela procese

continue particulare: amestecuri de constituenţi lichizi sau

pulverulenţi – în instalaţiile de dozare, sau de umplere (engl: batch

processes), linii de fabricaţie cu cadenţă ridicată etc., pentru care

alte metode de analiză nu sunt la fel de operante.

În rezumat, în structura unei reţele hibride se întâlnesc aşadar, două

subreţele : una discretă (care conţine poziţii discrete şi tranziţii

discrete) şi una continuă (alcătuită din poziţii şi tranziţii continue).

Acestea sunt interconectate prin intermediul arcelor, care pot lega

noduri discrete de noduri continue. Ceea ce este important şi vine în

h2

R1

R2

h1

a b

h1 P1

h2 P3

T1 T2

P2 P4

T3

T4 v1 v2

sprijinul unei afirmaţii de mai sus, este că, în anumite situaţii, una

dintre cele două părţi poate influenţa comportarea celeilalte fără ca

acest lucru să provoace modificări ale marcajului. În alte situaţii,

execuţia unei tranziţii discrete poate modifica atât marcajul

continuu, cât şi pe cel discret.

Astfel, poziţiile P1 şi P3 (Fig. 2.18.b) modelează un sistem de două

rezervoare R1, R2 , (Fig.2.18 a), între care este vehiculat un fluid.

Marcajul aferent corespunde nivelului de lichid existent în fiecare

dintre acestea, tranziţia T1 reprezintă operaţia de pompare a

lichidului din R2 în R1 („transportul” marcajului din P1 în P3), iar

tranziţia T2 corespunde curgerii gravitaţionale dintre cele două

rezervoare. Subreţeaua discretă (alcătuită din poziţiile P2 şi P4 şi

tranziţiile T3, T4) surprinde stările în care se poate găsi resursa

sistemului (pompa) şi acţiunile asupra acesteia (evenimentele

externe de tip comandă): când pompa funcţionează (un jeton în

poziţia P2), tranziţia T1 este validată şi se execută continuu cu viteza

v1 (valoarea v1 este măsura debitului de lucru al pompei). La oprirea

pompei (comanda de oprire este asociată tranziţiei T3), reţeaua

discretă surprinde modificarea stării resursei (jeton în P4, dar nu şi în

P2), tranziţia T1 nu mai este validată şi nu se mai execută

(transportul lichidului din R2 în R1 nu mai are loc).

Fig. 2.18 Explicativă la modelarea cuReţele Petri Hibride:

a) Structura sistemului compus din două rezervoare; b) Reţeaua hibridă

model.

În partea continuă a reţelei, tranziţia T2 este singura care se execută

în continuare, câtă vreme marcajul corespunzător poziţiei P3 este

pozitiv, modelând curgerea gravitaţională între cele două

rezervoare până la golirea completă a lui R1. În dinamica RPC nu

puţine sunt situaţiile în care partea continuă a unei reţele intervine

în mecanismul de tranziţie a stărilor subsistemului discret. De

exemplu, comanda de repornire a pompei (Fig.2.18), poate fi

elaborată în funcţie de nivelul lichidului din rezervorul R1 (valoarea

nivelului determină execuţia tranziţiei discrete T4 din starea „oprit”

a resursei).

Într-un alt exemplu, propriu unei linii flexibile, tranziţia T1

corespunde fabricaţiei unui produs de către o maşină automată. La

fel de bine, dacă sistemul este de talie mare, numărul de

semifabricate sau produse finite care se realizează poate fi

aproximat printr-o mărime continuă care are semnificaţia unui flux

al produselor (Fig. 2.19).Iniţial, stocul de intrare S1 are capacitatea

N1 , iar nivelul stocului S2 este N2 (N2 < N1). Jetonul din poziţia P2

autorizează execuţia continuă a tranziţiei T1 (MU produce, nivelele

în cele două stocuri se modifică). Când stocul de ieşire, modelat de

poziţia P3 atinge nivelul N3 (N3 > N2) , tranziţia T2 este activată, iar

maşina unealtă este oprită (jeton în P4). Execuţia acestei tranziţii

este prioritară în raport cu celelalte tranziţii ale modelului.

Fig. 2.19 Influenţa reţelei continue asupra celei discrete:

a) Structura staţiei de producţie; b) Modelul de tip hibrid.

N1 P1

N2 P3

T1 P2

P4 T2

N3

N3

Stoc de intrare

Producţie

Stoc de ieşire

Autorizarea producţiei

Stop S1 S2 MA

a b

a.

P7 P8 T7

0,75 b.

P5 P6 T5

0,75

0,34 0,2

Un aspect interesant al modelării cu RPH este legat de posibilitatea

transformării unui marcaj exprimat sub formă reală într-unul

discret.(Fig. 2.20 a), o dată cu execuţia unei tranziţii discrete. Dacă

marcajul corespunzător poziţiei P5 are o valoare inferioară ponderii

arcului P5 – T5, tranziţia T5 nu este validată şi nu poate fi executată.

Execuţia acesteia este permisă numai când m5 > k1 (m5 este valoarea

marcajului existent în P5, iar k1 – ponderea arcului ). Problema duală

constă în conversia marcajului discret într-unul continuu (Fig. 2.20

b.): tranziţia T7 este executabilă, iar execuţia acesteia conduce la

extragerea unui jeton (număr întreg) din poziţia P7 şi adăugarea unei

„cantităţi” de marcaj egală cu ponderea arcului T7 - P8 în poziţia P8.

Fig. 2.20 Explicativă la transformarea marcajelor într-o reţea hibridă:

a) Nevalidarea tranziţiei T5, în condiţiile m5 = 0,34, k1 = 0,75 ;

b) Execuţia tranziţiei T7 conduce la modificarea marcajului P8.

Observaţie: În general, într-o Reţea Petri Hibridă, o tranziţie discretă

poate fi conectată fie la poziţii discrete, fie la poziţii continue.

Aceeaşi regulă se aplică şi pentru tranziţiile continue, dar trebuie

precizat că poziţiile discrete se conectează prin arce care au aceeaşi

pondere şi, mai mult, o poziţie de ieşire a unei tranziţii continue

trebuie să fie, în acelaşi timp şi poziţie de intrare în aceeaşi tranziţie

(Fig.2.18 şi Fig. 2.19). Această proprietate este esenţială pentru

conservarea caracterului discret al marcajului. Consecinţa imediată

este că executarea unei tranziţii continue nu poate modifica marcajul

părţii discrete a reţelei.

2.2.2 Structuri particulare de Reţele Petri Hibride

2.2.2.1 Reţele Petri Hibride cu arce inhibitoare

Prezenţa arcelor inhibitoare în structura unei reţele discrete sporeşte

puterea de modelare a acesteia. Se cunoaşte că un astfel de arc – de

pondere „r” – care leagă o poziţie Pi de o tranziţie Tj permite

executarea acesteia doar dacă marcajul poziţiei Pi este inferior ca

valoare ponderii arcului [24], [58], [64], [71]. Altfel, execuţia

tranziţiei este inhibată.

Această proprietate se regăseşte şi în cazul structurii hibride,

conducând la modificări în mecanismul de execuţie a tranziţiilor.

Arcul inhibitor P3 – T1 (Fig.2.21 a) al reţelei care modelează un

sistem producător – consumator, autorizează reluarea producţiei

doar dacă nivelul stocului de ieşire (modelat de poziţia continuă P3,

împreună cu marcajul m3 al acesteia) scade sub valoarea ponderii

„r” a arcului P3 – T1. În momentul în care consumul produselor din

stoc (execuţia tranziţiei T3) aduce nivelul acestuia la valoarea m3 < r

tranziţia T1 poate fi executată, iar execuţia acesteia adaugă un jeton

în poziţia P2, şi validează tranziţia T2, pentru reluarea producţiei.

Dacă arcul inhibitor îşi are originea într-o poziţie discretă Pi a unei

reţele discrete sau a uneia hibride şi are ponderea unitară, acesta

modelează un „test de zero”: tranziţia corespunzătoare se execută

doar dacă marcajul poziţiei este nul. Dacă originea arcului inhibitor

este o poziţie continuă „testul de zero” va putea fi modelat prin

adoptarea unei convenţii prin care „valoarea” 0+ reprezintă o

pondere infinit mică, dar nenulă a arcului de legătură. Astfel,

tranziţia T1 este validată doar dacă m3 = 0 (Fig. 2.21 b) [59], [93].

Fig. 2.21 Structură particulară a unei reţele hibride datorată arcelor

inhibitoare:

a) Restricţie în executarea unei tranziţii discrete, cu r = 10,3 şi m3 = 15;

b) Modelarea unui test de zero, cu r = 0+ şi m3 = 15.

b a

P2

P4 T1

Consum

Productie

Stoc de iesire

Autorizarea productiei

Productie oprita

15 P3

T2

T3

0+

P2 P1

T1

Consum

Productie

Stoc de iesire

Autorizarea productiei

Productie oprita

15 P3

T2

T3

10,3

0

P4 P3

T2

r

P2 P1

T1

r

a b

P6

0

P5

T3

r

c

0

P8

0

P7

T4

r

d

Se cunosc mai multe structuri tipice construite prin introducerea de

arce inhibitoare prin care sunt introduse în model restricţiile de

comportament ale sistemului real, rezultate din interacţiunea cu

sistemele vecine (Fig. 2.22), [59], [70]. Ponderea r a arcului

inhibitor poate fi un număr natural (Fig. 2.22 a şi Fig. 2.22 b), real

pozitiv sau de valoare 0+ dacă originea arcului este o poziţie

continuă (P5 în Fig. 2.22 c şi P7 în Fig. 2.22 d).

Aşadar, faţă de reţelele hibride „clasice” , prezenţa arcelor

inhibitoare aduce o serie de elemente noi care măresc puterea de

reprezentare a acestora [59], [72]. Sunt surprinse astfel mai intuitiv

restricţiile între partea continuă şi cea discretă a sistemului şi se

poate modela un „test de zero” considerând că ponderea unui arc

(inhibitor sau nu) cu originea într-o poziţie continuă Pi este r R+

{0+}, iar valoarea marcajului corespunzător acesteia – un număr

mi R+ {0

+};

Fig. 2.22 Structuri obţinute prin introducerea arcelor inhibitoare în

reţelele hibride: a), b) Ponderea arcului inhibitor este un număr natural; c),

d) Ponderea arcului inhibitor este un număr real.

2.2.2.2 Reţele Petri Hibride temporizate

Analiza proprietăţilor cantitative ale sistemului modelat printr-o

reţea hibridă este posibilă prin introducerea în topologia reţelei a

poziţiilor sau tranziţiilor temporizate (reprezentarea este, oricum,

duală). Unei poziţii discrete, care semnifică starea unui element al

sistemului real (o maşină automată, sau un conveior, de exemplu) i

se poate asocia o durată operatorie în care jetoanele marcajului sunt

indisponibile (nu participă la dinamica reţelei) şi, care ilustrează

intervalul de timp în care elementul modelat participă la

desfăşurarea unei activităţi (prelucrarea unui semifabricat,

transportul de piese, încărcarea unei maşini etc.). La fel, tranziţiile

pot fi temporizate (trebuie spus că pe această cale se pot introduce în

structura realizată şi componente proprii reţelelor stochastice),

impunând dinamicii modelului particularităţi specifice [59], [64],

[93]. În funcţie de specificul procesului surprins, se poate opta

pentru utilizarea uneia, sau alteia dintre cele două variante. Cei mai

mulţi autori, consideră, totuşi că prin asocierea timpului tranziţiilor

reţelei, construcţia astfel realizată este mai aproape de situaţia reală

şi face posibilă o verificare mai rapidă a proprietăţilor

comportamentale şi structurale [59], [71], [93], [118 ], [131 ].

Modelele temporizate de tip hibrid sunt utile în special pentru

surprinderea situaţiilor în care procese care se execută fie paralel, fie

înlănţuit, au timpi de evoluţie foarte diferiţi ca valoare. Este o

situaţie frecvent întâlnită în liniile de fabricaţie în care, o maşină

automată are o cadenţă ridicată în comparaţie cu o alta, pentru care

durata operatorie este mai mare, sau, care efectuează mai multe

operaţii asupra unui semifabricat şi, în plus, periodic se poate

defecta, ori poate fi supusă unei revizii planificate(Fig. 2.23).

Linia de fabricaţie analizată este compusă din două maşini automate

MA şi MB care procesează alternativ patru semifabricate, MA fiind

dedicată unei singure operaţii – Op1, iar MB având posibilitatea

execuţiei a două operaţii distincte – Op2 şi Op3, cu durate operatorii

egale, sau diferite. În starea iniţială (Fig. 2.23 a), în stocul MA există

două semifabricate (două jetoane în P1), maşina MA prelucrează un

semifabricat (jeton în poziţia P2), iar maşina automată MB execută

şi ea operaţia Op2 asupra unui semifabricat, dar este în acelaşi timp

disponibilă pentru execuţia Op3 (jeton în P4). Duratele operatorii ale

fiecărei maşini - dA ,respectiv dB - asociate în mod curent cu

poziţiile P2 şi P4 asigură indisponibilitatea jetoanelor din poziţia P2

într-un interval dA , înainte ca tranziţia T2 să fie executată şi o durată

de indisponibilitate pentru jetoanele din P4 egală cu dB. Dualitatea

reprezentărilor de tip reţea P- temporizată, respectiv T –

temporizată, conduce la posibilitatea alocării timpului unor elemente

ale reţelei fără ca prin această operaţie topologia acesteia să se

b

Stoc MA Stoc MB MA MB

Op 2,

Op 3 Op 1

a

P1

P2

P3

P4

P'2

P'4

T1

T2

T3

T4

d A

d B Prelucrare pe MB

Stoc intrare MA

Stoc intrare MB

Prelucrare pe MA

P1

P2

P3

P4

P'2

P'4

T1

T2

T3

T4

d A

d B

Prelucrare pe MB

Sfârşit

prelucrare pe MA

Prelucrare pe MA

c

Sfârşit

prelucrare pe MB

modifice. Astfel, acelaşi proces (Fig. 2.23 a) este surprins într-o

reţea T - temporizată în care, la nivelul tranziţiilor T2 şi T4 s-a

asociat câte un interval de timp (Fig. 4.23 c) a cărui margine

superioară reprezintă sfârşitul operaţiei executate la maşina

automată respectivă (poziţiile P2 şi P4 din amontele tranziţiilor).

Celelalte tranziţii ale reţelei vor fi executate imediat după validare,

conform regulii clasice [59], [93].

Dacă duratele operatorii diferă foarte mult ca ordin de mărime,

reţeaua poate fi transformată dintr-o structură discretă într-un model

continuu, sau, desigur, hibrid (Fig. 2.24).

Fig. 2.23 Explicativă la modelarea cu reţele temporizate:

a) Structura liniei de fabricaţie; b) Modelul de tip P - temporizat ; c.

Modelul de tip T - temporizat.

Fig. 2.24 Variante ale modelului corespunzător liniei de fabricaţie:

a) Reţea continuă; b), c) Reţele hibride.

Operaţiile executate la maşinile MA şi MB sunt reprezentate prin câte

o viteză asociată fiecăreia din tranziţiile T12 şi T34 (Fig. 2.24.a).

Pentru valori constante ale duratelor operatorii, vitezele maxime

asociate celor două tranziţii sunt V12 = 1/dA, respectiv V34 = 2/dB

(MB execută două operaţii în paralel). Topologia reţelei hibride (Fig.

2.24 c) induce o comportare prin care se asigură VA + VB = V34

(Fig. 2.24 b) [59].

2.2.2.3 Exemple de procese descrise prin modele de tip hibrid

Modelele de tip hibrid sunt un instrument puternic de reprezentare a

unor sisteme a căror structură conţine atât elemente continue cât şi

discrete, care interacţionează unele cu altele. Introduse iniţial ca un

caz limită al Reţelelor Petri discrete, reţelele continue pot modela

procese care, în teoria clasică a sistemelor continue sunt descrise

prin ecuaţii diferenţiale, sau altele în care construcţia continuă este o

aproximare foarte bună a unui sistem discret cu dinamica pilotată de

evenimente asincrone, pentru care numărul stărilor tangibile este

foarte mare, iar reţeaua discretă utilizată drept model de referinţă se

dovedeşte dificil de manipulat şi interpretat.

a

2 P1

1 P3

P'2

P'4

T12

T34

1 P3

2 P1

T34

T12

P'B

P'2

1 P3

2 P1

TB

T12

TA P'A V34=2/dB

V12=1/dA

V12=1/dA

VB=1/dB

V12=1/dA

V34=2/dB VA=1/dB

b c

Mai mult decât atât, o Reţea Petri Hibridă oferă posibilitatea

descrierii comportamentului continuu al stărilor sistemului, între

apariţia evenimentelor externe care determină tranziţia acestora.

Această trăsătură este deosebit de interesantă, întrucât permite

utilizarea unui instrument unic de analiză al comportamentului

sistemului în ansamblu, chiar dacă pentru descrierea evoluţiei

subsistemelor sale (discret şi continuu) se utilizează în esenţă

formalisme diferite.

Există procese pentru care utilizarea unui model de tip hibrid

reprezintă soluţia cea mai viabilă de identificare a unui

comportament specific în diverse situaţii reale: cele caracteristice

liniilor automate de îmbuteliere, de dozare şi amestecare a unor

produse lichide sau sub formă de pulberi, liniilor automate care

lucrează în cadenţă ridicată, staţiilor de sortare şi ambalare

automată, liniilor automate de transfer al produselor, tehnologiilor

din industria alimentară etc.

A. Sistem de transfer al produselor lichide

Exemplul analizat surprinde o structură a unui subsistem de

recirculare a unui lichid, între doi recipienţi (rezervoare), (Fig. 2.25

a).

Între cele două rezervoare curgerea are loc natural şi asigură un

debit de intrare q2 în R2, iar pentru realimentarea lui R1 este utilizată

o pompă cu debit constant – q1 (Fig. 2.25 a). Nivelul de lichid în

cele două rezervoare, corespunzător stării iniţiale în care se găseşte

sistemul este, în general diferit de la un recipient la altul (h1in h2in,

de exemplu h1in = 120 cm, h2in = 60 cm). În ansamblu, sistemul este

unul continuu şi acceptă o descriere realizată sub forma unei reţele

continue (Fig. 2.25.b). Poziţiile P3 şi P4 corespund lui R1, respectiv

R2, iar marcajul acestora (m3 şi m4) reprezintă nivelul de lichid în

fiecare din cele două rezervoare. Curgerea liberă între R1 şi R2 este

surprinsă prin intermediul tranziţiei T3 (viteza de execuţie a acesteia

este egală cu valoarea debitului q2), iar curgerii forţate - înapoi în

R1 - îi este alocată T4 (viteza de execuţie a acesteia este egală cu

valoarea debitului q1).

Fig. 2.25 Explicativă la modelarea sistemului de recirculare a unui lichid: a)

Structura sistemului; b) Modelul de tip continuu; c. Variaţia nivelului de

lichid în cele două rezervoare pentru q1 = 2 l/s, q2 = 3 l/s, h1 in. = 120 cm,

h2 in = 60 cm.

Atât timp cât m3 > 0 şi m4 > 0, tranziţia T3 este executată cu viteza

V3, iar tranziţia T4 se execută cu viteza V4, deci, în conformitate cu

ecuaţia fundamentală (2.18), se poate scrie:

dt)VV()t(m)dtt(m 3433 , (2.41)

respectiv:

m3 P3

T3

V3=q2

m4 P4

T4 V4=q1

a b

q1

h2

R1

R2

h1

Pompă

q2

Comportarea reţelei

temporizate (Fig.2.6 b)

0 50 100 150 200 t [s]

50

100

h1, h2

150

200

180

c

[cm]

h1

h2

dt)VV()t(m)dtt(m 4344 (2.42)

Pentru m3(0) = h1in = 120, m4(0) = h2in = 60, V3 = q2 = 3 şi V4 = q1 =

2 rezultă:

t1120)t(m3 (2.43)

şi:

t160)t(m4 (2.44)

Ecuaţiile (2.43) şi (2.44) descriu evoluţia marcajului (variaţia

nivelului de lichid în cele două rezervoare) reţelei atât timp cât m3 >

0. La momentul t = 120 s, m3 = 0 şi m4 = 180, prin urmare

tranziţia T4 poate fi executată în continuare cu viteza maximă, dar

tranziţia T3 nu (R1 este gol). Începând din acest moment, marcajul

corespunzător poziţiei P3 este completat prin execuţia tranziţiei T4

cu viteza V4 (rezervorul 1 este umplut prin intermediul pompei).

După t = 60 s, tranziţia T3 se execută deci cu viteza V4 (Fig. 2.25 c).

Rezumând, în intervalul 120t0 s, reţeaua funcţionează cu

viteză maximă, iar valorile instantanee ale vitezelor de execuţie a

celor două tranziţii -v3, respectiv v4 - sunt egale cu valorile maxime:

v3(t) = V3 = 3 şi v4(t) = V4 = 2. Pentru 120t s , tranziţia T3 devine

slab validată, iar valoarea instantanee a vitezei sale de execuţie

diferă de cea corespunzătoare funcţionării anterioare: v3(t) = V4 = 2

şi v4(t) = V4 = 2.

Funcţionarea în condiţii reale a sistemului este, însă, guvernată de

evenimente externe asociate comenzilor exercitate asupra resurselor

acestuia (pompa, ventile de legătură între rezervoare, traductoare de

nivel etc.), care îi conferă un caracter hibrid şi impune utilizarea în

modelare a instrumentelor de tip RPH. Faţă de configuraţia iniţială a

sistemului (Fig. 2.25 a), introducerea între cele două rezervoare

a robinetului R (Fig. 2.26 a), (închis, sau deschis), transformă

structura reţelei într-una hibridă (Fig. 2.26 b), mult mai flexibilă,

prin care pot fi surprinse modificările apărute în funcţionarea

sistemului. Astfel, în starea iniţială, în care nivelul lichidului în R1

este h1in, iar în R2 – h2in, robinetul R este deschis, iar pompa nu

funcţionează. După un timp (corespunzător duratei d1 asociată

tranziţiei T1), se închide R şi pompa funcţionează într-o altă

perioadă de timp (durata d2 , asociată tranziţiei T2). În continuare,

evoluţia sistemului este ciclică, între stările „deschis” – „închis” ale

lui R, (respectiv „oprit” – „pornit” , pentru pompă), (Fig. 2.27 a).

Dinamica reţelei hibride poate fi analizată şi prin intermediul

grafului de evoluţie (Fig.2.27 b). Acesta este constituit din noduri

(stări distincte) interconectate prin intermediul tranziţiilor, care

determină modificarea stării sistemului. Reprezentarea este similară

cu cea întâlnită la analiza modelelor continue, unei stări distincte a

grafului fiindu-i proprie o porţiune în care se indică marcajul

corespunzător subreţelei discrete şi una în care sunt redate vitezele

instantanee de execuţie a tranziţiilor continue, în starea respectivă

(pentru care, atât marcajul discret cât şi vectorul vitezelor

instantanee sunt constante), [2], [58], [146].

Fig. 2.26 Explicativă la modelarea cu Reţele Petri Hibride a sistemului de

reciculare: a) Structura sistemului; b) Modelul de tip hibrid în starea

iniţială.

q1 R1

h1

Pompă q2

h2

R2

R

m3 P3

T3

V3=q2

m4 P4

T4 V4=q1

P1

P2

T1 T2

Robinet deschis

Functionare

pompa

d1 d2

h1

h2

Fig. 2.27 Reprezentarea evoluţiei reţelei hibride care modelează

sistemul de recirculare: a)Evoluţia marcajului din starea iniţială pentru h1in

= 60 cm, h2in = 120 cm, q1 = 2 l/s, q2 = 3 l/s;

m1

0 100 200 300 400

1

0 100 200 300 400 t [s]

1

0 100 200 300 400 t[s]

50

100

150

0 100 200 300 400 t[s]

50

100

150

m2

a

h1 [cm]

h2 [cm]

t [s]

Fig. 2.27 Reprezentarea evoluţiei reţelei hibride care modelează

sistemul de recirculare: b) Graful de evoluţie.

Determinarea componentelor vectorului M al marcajului la un

moment „t” se poate face prin aplicarea la exemplul analizat a

relaţiilor (2.39) şi (2.40) [59]. Astfel, în intervalul t [0, 170],

tranziţia T1 este executată la momentul t = 90 s, iar T2 la t = 165 s.

Tranziţia continuă T3 se execută continuu cu viteza v3 = V3 în

intervalele 0 t 20, respectiv 165 t 170, iar T4 se execută

continuu cu viteza v4 = V4 pentru 90 t 165.

Cu (2.39) şi (2.40) se obţine în final vectorul M al marcajului reţelei

la t = 170 s:

(1, 0) (3, 0)

(60, 120)

(1, 0) (0, 0)

(0, 180)

(0, 1) (0, 2)

(0, 180)

(1, 0) (3, 0)

(150, 30)

(1, 0) (0, 0)

(0, 180)

(v3, v4) m3 = 0 / 20

T1 / 70 T1 / 40

T2 / 75

m3 = 0 / 50

t0 = 0

(m1, m2)

(m3, m4)

Starea 5

Starea 1

Starea 4

Starea 3

Starea 2

b

120

60

0

1

)0(M ;

1100

1100

0011

0011

U ;

0

0

1

1

)170(n ;170

0

150

75

0

0

dt)t(v ,

45

135

0

1

)170(M (2.45)

În mod cu totul analog, analiza poate fi efectuată pe orice interval,

sau în orice moment de funcţionare a sistemului.

B. Sistem de tip linie de fabricaţie serială

În numeroase cazuri, structurile de fabricaţie sunt alcătuite din staţii

de prelucrare dispuse într-un flux serial, având alocate, fiecare din

ele, stocuri de materii prime, semifabricate şi/sau produse finite

(Fig.2.28). O staţie SAi poate fi caracterizată, în general, prin trei

parametri: durata operatorie constantă Si, o rată de defect - i şi o

rată a remedierii defectului - i. Fiecare stoc (buffer) este descris

prin capacitatea proprie, Cj.

F

ig. 2.28 Structura liniei de fabricaţie seriale.

În cazul unei producţii de serie (care determină, de altfel, această

structură a sistemului) numărul stărilor posibile în care se poate găsi

linia de fabricaţie este foarte mare. De aceea, se poate utiliza o

aproximare a modelului discret printr-un model continuu, în care se

SA1

S1 sau V1

1

1

C2

SA2

S2 sau V2

2

2

C1

B1 SA3

S3 sau V3

3

3

B2

asociază tranziţiilor viteze de execuţie Vi = 1/Si. În esenţă este vorba

şi în acest caz de un sistem hibrid. Pe de o parte se remarcă existenţa

subsistemului continuu şi a celui discret între care are loc schimbul

permanent de informaţie, pe de altă parte, sistemul are o natură

duală: este determinist (prelucrarea semifabricatelor şi comanda

maşinilor unelte integrate în fluxul de fabricaţie) şi stochastic (

timpii de bună funcţionare ai maşinilor unelte şi duratele reparaţiilor

efectuate sunt, de multe ori, variabile stochastice) [28], [45].

S-a arătat că modelele utilizate până în prezent (reţele discrete şi

continue, fire de aşteptare, automate) nu permit o analiză unitară a

sistemelor integrate liniilor flexibile şi că, o posibilă rezolvare

constă în utilizarea modelelor de tip RPH, în care reţeaua discretă să

fie de tip stochastic [69], [83], [93] (Fig.2.29).

Fig. 2.29 Modelul hibrid al liniei de fabricaţie.

Observaţie:

Un astfel de model (Fig. 2.29) surprinde atât fluxul operaţional cât

şi posibilitatea apariţiei şi remedierii defectelor.

C. Sistem de transport

De multe ori, legătura între două sau mai multe staţii de lucru dintr-

o linie de fabricaţie este asigurată printr-un sistem de transport de tip

0 0

0 0

V1 V2 V3

pozitie disponibila

pozitie disponibila

pozitie ocupata

pozitie ocupata Masini

operationale

Masini defecte

C2 C1

1 2 3 3 2 1

V1 V2

V3

conveior (Fig. 2.30), alimentat printr-un stoc tampon la intrare (B1)

şi care, la ieşire are prevăzută o zonă de stocare – B2 intermediară.

Fig. 2.30 Structura subsistemului de transport.

Un lot N1 de produse care urmează a fi transportate este depozitat

(din momentul iniţial t = 0) la fiecare t1 minute în bufferul B1.

Lungimea conveiorului este L, viteza acestuia vc şi capacitatea

maximă de transport - Qc produse (cu o densitate qc de produse / m).

Un posibil model este unul de tip hibrid (Fig. 2.31), în care

marcajul poziţiilor P2 şi P5 reprezintă numărul de produse existente

în cele două buffere, iar tranziţiile T3 şi T4 reprezintă intrarea,

respectiv ieşirea din sistemul de transport (V3 = V4 = vc · qc).

Fig. 2.31 Modelul hibrid al conveiorului.

Poziţia P4 modelează capacitatea maximă de transport, iar

temporizarea asociată tranziţiei T2 corespunde intervalului de timp

în care un produs parcurge întreaga lungime a conveiorului (t2 = L /

vc). În topologia reţelei sunt prezente arcele P3 – T2, respectiv T2 –

P4 cu o pondere notată „0+”, pentru a surprinde dinamica sistemului.

Astfel, când o cantitate foarte mică din produsele transportate ajunge

N1 produse la

fiecare t1 minute

Stoc

B1

Stoc

B2

L

Densitate maximă

qc (produse / m)

conveior

vc

P1

N1

P2

0

P3

0

P4

0

P5

Qc P6

T1 T2 T3 T4 N1

t1 V3 V4 t2

0+ 0+

pe conveior (printr-un sistem de transfer adecvat), tranziţia T2 este

validată şi execuţia ei, la sfârşitul temporizării t2 conduce la

transferul marcajului în poziţia P4. Aşadar, structura P3 – T2 – P4

modelează transportul efectiv al produselor.

Modelul surprins este o aproximare continuă foarte bună a unui

sistem de transport de talie mare şi cu o cadenţă relativ ridicată; dacă

sistemul de transport este utilizat într-un proces continuu (transport

de materie prezentă sub formă de granule, sau pulbere) reţeaua

reprezintă un model exact al acestuia.

Observaţii:

1. În cazul sistemelor flexibile de producţie, structura fizică a

sistemului se poate modifica în cursul funcţionării, schimbarea fiind

solicitată fie la sfârşitul intervalelor de producţie (prin trecerea la

fabricaţia unui alt produs), fie forţată de evenimente

aleatoare(apariţia defectelor). Modificarea poate afecta o serie de

parametri (mărimea loturilor de produse, cadenţa liniei etc.), sau

chiar structura acesteia. Prin urmare, este evident că modelul iniţial

de tip discret nu mai este valabil şi trebuie modificat.

2. Principial, sunt posibile două direcţii prin care problema să poată

fi atacată: una dintre ele propune utilizarea unei singure reţele pentru

modelarea sistemului în toate stările (configuraţiile) posibile, iar cea

de-a doua operează cu o mulţime de subreţele separate, fiecare

asociată unei configuraţii particulare a sistemului, care devin active

pe măsură ce restricţiile de precedenţă impuse sunt luate în

considerare.

3. Reţelele Petri Hibride conduc la realizarea de modele în

conformitate cu ambele abordări semnalate şi oferă o flexibilitate

ridicată întregii structuri. Trebuie precizat că activarea subreţelelor

componente în cursul evoluţiei nu înseamnă modificarea structurii

reţelei iniţiale (matricea de incidenţă rămâne nemodificată), fapt

care ar ridica dificultăţi în legătură cu formalizarea matematică.

4. Deşi ambele abordări sunt suficiente, în multe cazuri pentru a

oferi un rezultat concludent, se ajunge în situaţii fără ieşire atunci

când sistemul este complex, iar numărul stărilor este foarte mare.

Mai mult decât atât, ambele direcţii necesită, în prealabil

cunoaşterea tuturor configuraţiilor posibile ale sistemului, lucru care

vine în contradicţie cu atributul de flexibilitate al liniei, sau al

sistemului.

5. Construcţiile care pot oferi un răspuns în toate aceste situaţii sunt

reprezentate de o posibilă extindere a formalismului Reţelelor Petri

Hibride, sub forma unor reţelelor cu structură variabilă, care să fie

capabile să urmărească modificările de configuraţie ivite în sistemul

fizic real.

6. În ceea ce priveşte posibilităţile de utilizare a acestui

formalismului în organizarea unor structuri de comandă, acestea nu

sunt încă pe deplin exploatate, deşi topologia şi dinamica proprie le

transformă, în anumite cazuri, în instrumente eficiente (este suficient

să se asocieze comenzi binare tranziţiilor subreţelei discrete).